2

x

y

z

plan de l'aiguille

Aiguille du midi

2

1

0,5 2

1

A

B

GEOMETRIE VECTORIELLE DANS L’ESPACE

Comment calculer la longueur de câble pour rejoindre le plan de l’aiguille (2137m) au sommet du pic du midi (3776m) ?

1. MODELISATION DE LA SITUATION

Il faudrait pouvoir calculer la .......................... du vecteur formé entre les deux balises.

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2. REPERAGE DANS L’ESPACE2.1. Repère orthonormal de l’espace

Soit un plan P muni d’un repère orthonormal ( O,¾¾®\s\up7(\d\fo2(,¾¾®\s\up7(\d\fo2().et (z’z) une droite coupant

le plan en O et orthogonale à P.

Si ¾¾®\s\up7(\d\fo2(est le vecteur unitaire de la droite (z’z) alors ( O,¾¾®\s\up7(\d\fo2(,¾¾®\s\up7(\d\fo2(,¾¾®\

s\up7(\d\fo2() est un repère orthonormal de l’espace.

2.2. Coordonnées d’un point dans l’espaceOn note,

"a" la projection orthogonale du point A sur le plan P. xA la projection orthogonale du point a sur (x’x). yA la projection orthogonale du point a sur (y’y). zA la projection orthogonale du point A sur (z’z).

Les coordonnées du point A sont : x = xA y = yA z = zA

On parlera du point A (xA ; yA ; zA) dans le repère ( O,¾¾®\s\up7(\d\fo2(,¾¾®\s\up7(\d\fo2(,¾¾®\s\up7(\d\fo2().

2.3. Coordonnées d’un vecteur dans l’espace

Considérons le point A (xA ; yA ; zA) dans le repère ( O,¾¾®\s\up7(\d\fo2(,¾¾®\s\up7(\d\fo2(,¾¾®\s\up7(\d\fo2().

On a \s\up9( = xA¾¾®\s\up7(\d\fo2( + yA¾¾®\s\up7(\d\fo2( + zA¾¾®\s\up7(\d\fo2(

Considérons un point B, de coordonnées, de coordonnées B (xB ; yB ; zB).

2.4. Norme d’un vecteur

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Soit le vecteur \s\up9( ( X; Y; Z)La norme du vecteur \s\up9( est \s\up9(= ................................

Le vecteur \s\up9( a pour coordonnées ( ; ; )

Si A (xA ; yA ; zA) alors \s\up9( ( ..... ;....... ; ....... )

2

x

y

z

plan de l'aiguille

Aiguille du midi

2

1

0,5 2

1

A

B

3. CALCUL DE LA LONGUEUR DE CABLE POUR REJOINDRE LE PLAN DE L’AIGUILLE (2137 m) AU SOMMET DU PIC DU MIDI (3776 m).

4. EXERCICES ET APPLICATIONS. Exercice n° 1Considérons le parallélépipède rectangle suivant, de côté OE = 2 ; OG = 4 ; OA = 3

On note \s\up9( = \s\up9( ; \s\up9( = \s\up9( , et \s\up9( = \s\up9(.

1. Dans ce repère, donner les coordonnées des points A, B, C, D, E, F, G.

2. Donner alors les coordonnées des vecteurs \s\up9(, \s\up9( et \s\up9(.

3. Calculer |; | \s\up9(|; |, |; | \s\up9(|; |, |; | \s\up9( |; | puis vérifier que le triangle OAF est rectangle en O.

4. Soit M et N les milieux respectifs des segments [A ;G] et [B ;D] Calculer les coordonnées de M et N.

5. Calculer la longueur du segment MN.

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On considère les points A et B. Les coordonnées sont données en km.

A (2 ; 0,5 ; 0 ) et B ( 1 ; 2 ; 2)

D’où \s\up9( ( ; ; )

et \s\up9( = ....................... = ............... km

Sachant que la longueur du câble est supérieure de 23% à la distance qui sépare les deux gares de téléphériques, quelle est la longueur de ce câble ?

......................................................

Exercice n° 2

On considère le parallélépipède rectangle représenté ci-contre.1. Donner les coordonnées des sommets. 2. On note I le centre de la face BCFE.a) Donner les coordonnées de I.b) Calculer ¾¾®\s\up7(\d\fo2(.

Exercice n° 3

On souhaite réaliser l’éclairage par deux lampes d’une image accrochée sur un mur.Cette situation est représentée ci-dessous dans le repère orthonormal ( O,¾¾®\s\up7(\d\fo2(,¾¾®\s\up7(\d\fo2(,¾¾®\s\up7(\d\fo2()tel que : ¾¾®\s\up7(\d\fo2( = ¾¾®\s\up7(\d\fo2(= ¾¾®\s\up7(\d\fo2( = 1 mLe vecteur ¾¾®\s\up7(\d\fo2( , ayant pour support une verticale, est dirigé du bas vers le haut de la pièce.L’image A est située à 1 m du sol, la lampe L1 en B à 2 m du sol et la lampe L2 en C à 1 m du sol.A est dans le plan ( O,¾¾®\s\up7(\d\fo2( ,¾¾®\s\up7(\d\fo2(,¾¾®\s\up7(\d\fo2().1. Donner les coordonnées de A, B et C.2. Donner les coordonnées de ¾¾®\s\up8(\d\fo2( , ¾¾®\s\up8(\d\fo2( et ¾¾®\s\up8(\d\fo2(.3. a) Déterminer les valeurs exactes des longueursen mètres, AB, BC et AC.b) Donner les valeurs arrondies au centième, des longueurs en mètres, AB, BC et AC.

Exercice n° 4

L’entreprise de Jules réalise des réservoirs sur mesure pour des camping-cars ou des bateauxJules doit réaliser pour un client un réservoir selon le schéma ci-contre.

Dans le repère orthonormal d'axes (Ox), (Oy) et (Oz) : d’unités graphiques le centimètre, les points A, B et F ont pour coordonnées respectives:A(50; 0 ; 0), B (50 ; 15 ; 30) et F (50 ; 15; 0).

ABCO, BDEC et AGHO sont des rectangles.

1. Déterminer les longueurs des segments OA, AF et BF. 2.a. Déterminer les coordonnées du point C. b. Déterminer la longueur du segment BC. 3.a. Calculer les coordonnées du vecteur ¾¾®\s\up7(\d\fo2( .b. En déduire la longueur AB, au cm près. 4. Déterminer la mesure de l'angle \s\up5(, au degré près. 5. On donne la longueur BD = 35 cm. Calculer l'aire de la face ABDG, qui est en forme de trapèze. 6. Déterminer le volume du réservoir réalisé par Jules en cm3 puis en litres.

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