SCIENTIFIQUES Avec la contribution de Yann Lozier Physique

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L. Alméras • J. Appenzeller • M. Cavelier • J. Cubizolles G. Delannoy • C. Giroud • E. Jahier • C. Jorssen • C. Vilain

Avec la contribution de Yann Lozier

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Loïc Alméras est professeur en CPGE scientifique au lycée Chateaubriand à Rennes.Jérôme Appenzeller est professeur en CPGE scientifique au lycée François-Rabelais à Saint-Brieuc.Marc Cavelier est professeur en classe préparatoire scientifique au lycée Chateaubriand à Rennes.Julien Cubizolles est professeur en classe préparatoire scientifique au lycée Louis-le-Grand à Paris.Guillaume Delannoy est professeur en classe préparatoire scientifique au lycée Chateaubriand à

Rennes.Claire Giroud est professeure en CPGE scientifique au lycée Saint-Louis à Paris.

Erwan Jahier est professeur en classe préparatoire scientifique au lycée Chateaubriand à Rennes.Christophe Jorssen est professeur en classe préparatoire scientifique au lycée Jacques-Decour à Paris.Claire Vilain est responsable éditoriale du site institutionnel CultureSciences-Chimie et responsable del’épreuve pratique des Olympiades nationales de la chimie. Elle a enseigné de nombreuses années en

CPGE scientifiques.Avec la contribution de Yann Lozier, professeur en classe préparatoire scientifique au lycée

Frédéric-Mistral à Avignon.

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+ 8 activités disponiblessur notre console Python :

Activité 1.Équations différentiellesd’ordre 1

Activité 2.Équations différentiellesd’ordre 2

Activité 3.Mouvement d’une planète

Activité 4.Étude d’un pendule

Activité 5.Fonction qui donne l’état del’eau selon la température

Activité 6.Donner la configurationélectronique d’un atomeselon le nombre d’électronsActivité 7.Convertir une quantité enmole

Activité 8.Fonction qui donne le ph

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ISBN : 978-2-311-40687-0

Conception de couverture : Hung Ho Thanh

Conception LaTeX : Sébastien Mengin

Mise en page : Hervé Soulard

La loi du 11 mars 1957 n’autorisant aux termes des alinéas 2 et 3 de l’article 41, d’une part, que les « copies ou reproductionsstrictement réservées à l’usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective » et, d’autre part, que les analyseset les courtes citations dans un but d’exemple et d’illustration, « toute représentation ou reproduction intégrale, ou partielle,faite sans le consentement de l’auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est illicite » (alinéa 1er de l’article 40). Cettereprésentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit, constituerait donc une contrefaçon sanctionnée par lesarticles 425 et suivants du Code pénal. Des photocopies payantes peuvent être réalisées avec l’accord de l’éditeur. S’adresserau Centre français d’exploitation du droit de copie : 20 rue des Grands Augustins, F-75006 Paris.

Tél. : 01 44 07 47 70

© Vuibert – juillet 2019 – 5 allée de la 2e DB, 75015 Paris

SOMMAIREPHYSIQUE

Partie 1. Signaux physiques 17

Chapitre 1 Oscillateur harmonique19

Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1. Loi de Hooke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2. Étude dynamique du système masse-ressort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3. Aspect énergétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4. Validation expérimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5. Une approche de la méthode du physicien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Fiche de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Aide à la résolution des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Chapitre 2 Propagation d’un signal47

Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

1. Notion de signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2. Ondes progressives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3. Superposition d’ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4. Interférences d’ondes mécaniques ou acoustiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5. Ondes stationnaires mécaniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6. Diffraction à l’infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67


Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72


Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3

SOMMAIRE

Chapitre 3 Optique géométrique85

Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

1. Sources de lumière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

2. Indice d’un milieu transparent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

3. Modèle de l’optique géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4. Réflexion et réfraction de la lumière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5. Objets et images d’objets par un système optique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

6. Image d’un objet par un miroir plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

7. Conditions de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

8. Lentilles minces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

9. Approche documentaire : l’appareil photographique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

10. À propos de l’œil humain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106


Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110


Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

Chapitre 4 Introduction au monde quantique127

Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

1. « Dualité » onde-particule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

2. Fonction d’onde et probabilité de résultat de mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

3. Relation d’indétermination de Heisenberg spatiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

4. Quantification de l’énergie et confinement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

5. Ouverture : indétermination et mesure en physique quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146


Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149


Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

Chapitre 5 Circuits dans l’ARQS161

Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

1. Aspect microscopique : conduction électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

2. Potentiel et tension électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

3. Approximation des régimes quasi stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

4. Description des dipôles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

5. Quelques dipôles électrocinétiques modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

6. Circuits électriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

7. Lois de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

8. Deux autres dipôles modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

9. Dipôle équivalent à l’association de deux conducteurs ohmiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

4

SOMMAIRE


Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186


Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

Chapitre 6 Circuits linéaires du premier ordre193

Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

1. Régime libre d’un circuit R C série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

2. Réponse à un échelon de tension d’un dipôle R C série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201


Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209


Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

Chapitre 7 Oscillateurs amortis221

Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

1. Deux systèmes modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

2. Régime libre des oscillateurs harmoniques amortis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

3. Réponse à un échelon des oscillateurs harmoniques amortis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

4. Prévisions à partir du portrait de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

5. Régime sinusoïdal forcé des oscillateurs amortis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

6. Résonance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

7. Électrocinétique en notation complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247


Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253


Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

Chapitre 8 Filtrage linéaire263

Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

1. Signaux périodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

2. Généralités sur la transformation de signaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

3. Filtres linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

4. Quelques filtres du premier et du deuxième ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

5. Réalisation d’opérations élémentaires à l’aide de filtres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

6. Approche documentaire : le sismomètre, un exemple de filtrage mécanique . . . . . . . . . . 276


Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280


Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

5

SOMMAIRE

Partie 2. Mécanique 289

Chapitre 9 Cinématique291

Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

1. Description du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

2. Mouvement d’un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

3. Systèmes de coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

4. Exemples de mouvements fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

5. Mouvement d’un solide dans deux cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

6. Limites de la cinématique newtonienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320


Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324


Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

Chapitre 10 Loi de la quantité de mouvement337

Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338

1. État de mouvement d’un objet matériel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338

2. Lois de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

3. Mouvements caractéristiques des principales forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347


Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362


Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

Chapitre 11 Énergétique du point matériel375

Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376

1. Puissance et travail d’une force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376

2. Théorèmes de la puissance et de l’énergie cinétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379

3. Énergies potentielle et mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381

4. Mouvement conservatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388


Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402


Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408

Chapitre 12 Mouvement de particules chargées413

Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414

1. Force de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414

6

SOMMAIRE

2. Mouvement d’une particule chargée dans un champ électrostatique uniforme . . . . . . . . 419

3. Mouvement d’une particule chargée dans un champ magnétostatique uniforme . . . . . . . 423

4. Dynamique relativiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425


Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428


Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433

Chapitre 13 Loi du moment cinétique437

Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438

1. Moment cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438

2. Éléments dynamiques : moment d’une force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443

3. Loi du moment cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447

4. Exemple d’utilisation : pendule pesant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449

5. Approche énergétique du mouvement d’un solide en rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453


Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458


Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465

Chapitre 14 Mouvement dans le champ d’une forcecentrale conservative 471

Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472

1. Forces centrales conservatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472

2. Lois générales de conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474

3. Énergie potentielle effective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477

4. Mouvement dans un champ de force newtonien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478

5. Cas du mouvement circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486


Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491


Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496

Partie 3. Thermodynamique 501

Chapitre 15 Description macroscopique de la matière503

Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504

1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504

2. Éléments de langage en thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504

3. Modélisations macroscopiques de la matière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514

7

SOMMAIRE

4. Changements d’état . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517


Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526


Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532

Chapitre 16 Description microscopique de la matière545

Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546

1. Les trois échelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546

2. Modèle du gaz parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548

3. Pression et température cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550

4. Énergie interne et capacité thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554


Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560


Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565

Chapitre 17 Premier principe de la thermodynamique573

Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574

1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574

2. Échange d’énergie par transfert thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577

3. Échange d’énergie via les forces de pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579

4. Premier principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583

5. Enthalpie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585


Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594


Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 600

Chapitre 18 Deuxième principe de la thermodyna-mique

607Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 608

1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 608

2. Deuxième principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 610

3. Fonction d’état entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612

4. Bilans d’entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617


Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622


Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627

8

SOMMAIRE

Chapitre 19 Machines dithermes633

Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634

1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634

2. Fondamentaux des machines dithermes fermées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634


Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642


Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648

Partie 4. Induction et forces de Laplace 659

Chapitre 20 Champ magnétique661

Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662

1. Introduction : le champ magnétique autour de nous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662

2. Notion de cartes de champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662

3. Étude de quelques distributions de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667

4. Dipôle magnétique – Moment magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671

5. Annexe : code Python . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674


Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 677


Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682

Chapitre 21 Forces de Laplace689

Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 690

1. Force de Laplace sur un élément de courant filiforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 690

2. Barre conductrice en translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 691

3. Spire en rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692

4. Action d’un champ extérieur sur un aimant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 697

5. Effet moteur d’un champ tournant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 699


Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703


Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 709

Chapitre 22 Lois de l’induction717

Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 718

1. Observations expérimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 718

9

SOMMAIRE

2. Flux d’un champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722

3. Loi de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723

4. Loi de modération de Lenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726


Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 730


Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735

Chapitre 23 Circuit fixe dans un champmagnétique quidépend du temps

739Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 740

1. Cas d’une unique bobine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 740

2. Deux bobines en interaction : inductance mutuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746

3. Application au transformateur de tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 748


Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 757


Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764

Chapitre 24 Circuit mobile dans un champ magnétiquestationnaire 771

Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772

1. Conversion de puissance mécanique en puissance électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772

2. Conversion de la puissance électrique en puissance mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783


Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794


Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802

CHIMIE

Partie 5. Transformations de la matière 813

Chapitre 25 Les états physiques de la matière815

Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816

1. Les différents états de la matière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816

2. Notion de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 821

10

SOMMAIRE

3. Changements d’états de la matière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 822Fiche de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 827Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 829Aide à la résolution des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 832Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833

Chapitre 26 Le système physico-chimique : descriptionet évolution vers un état final 837

Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8381. Le système physico-chimique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8382. Les transformations de la matière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8403. Modélisation d’une transformation physico-chimique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8414. Évolution vers un état d’équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845Fiche de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 850Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 852Aide à la résolution des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857

Chapitre 27 Évolution temporelle d’un système : vi-tesses de réaction et lois de vitesse 863

Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8641. Vitesse d’une réaction chimique dans un système fermé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8642. Ordre d’une réaction chimique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8683. Paramètres cinétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8764. Cinétique en réacteur ouvert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 879Fiche de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 882Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884Aide à la résolution des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 889Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 890

Partie 6. Architecture de la matière 897

Chapitre 28 La classification périodique des éléments899

Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9001. L’élément chimique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9002. Configuration électronique des atomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9033. Construction du tableau périodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 911Fiche de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 918Aide à la résolution des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 922Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923

11

SOMMAIRE

Chapitre 29 Périodicité des propriétés chimiques deséléments 929

Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9301. Périodicité des propriétés atomiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9302. Propriétés des corps simples : étude expérimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9313. Propriétés des corps composés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935Fiche de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 937Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 938Aide à la résolution des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 941Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 942

Chapitre 30 Architecture des molécules945

Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9461. La liaison covalente localisée : modèle de Lewis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9462. Propriétés des liaisons covalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 952Fiche de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956Aide à la résolution des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 959Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 960

Chapitre 31 Interactions intermoléculaires967

Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9681. Les interactions de Van der Waals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9682. La liaison hydrogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9733. Les solvants moléculaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976Fiche de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 979Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 981Aide à la résolution des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985

Partie 7. Architecture de la matière 991

Chapitre 32 Le modèle du cristal parfait993

Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9941. L’état cristallin : un état particulier de la matière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9942. Définitions relatives à l’étude du cristal parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9953. Étude de la maille cubique faces centrées (CFC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996Fiche de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1001Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1002Aide à la résolution des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1006Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1007

12

SOMMAIRE

Chapitre 33 Cristaux métalliques, solides ioniques, so-lides macrocovalents et moléculaires 1013

Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014

1. Cristaux métalliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014

2. Empilements compacts d’atomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1015

3. Coordinence d’un atome dans les structures hexagonale compacte et cubique faces cen-trées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1018

4. Interstices octaédriques et tétraédriques entre les plans d’empilement . . . . . . . . . . . . . . 1018

5. Sites interstitiels de la maille CFC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1019

6. Alliages de substitution et d’insertion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1022

7. Solides macrocovalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1022

8. Solides moléculaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1023

9. Solides ioniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1023


Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1027


Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1032

Partie 8. Transformation chimique en solutionaqueuse 1037

Chapitre 34 Réactions d’oxydoréduction1039

Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1040

1. Oxydant et réducteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1040

2. Nombre d’oxydation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1041

3. Réactions de dismutation et de médiamutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1043

4. Demi-pile, électrode et cellule électrochimique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1044

5. Potentiel d’électrode ou potentiel d’oxydoréduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046

6. Domaines de prédominance ou d’existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1048

7. Constante d’équilibre d’une réaction d’oxydoréduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1050

8. Capacité d’une pile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1051

9. Dosage rédox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1052


Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1056


Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1063

13

SOMMAIRE

Chapitre 35 Réactions acido-basiques en solutionaqueuse

1073Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074

1. Acido-basicité de Brønsted . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074

2. Distribution des espèces selon le pH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1079

3. Détermination de la constante d’équilibre d’une réaction acide-base . . . . . . . . . . . . . . . 1083

4. Méthode pour le calcul du pH d’une solution aqueuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1083

5. Solutions tampon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085


Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1088


Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1093

Chapitre 36 Équilibres de précipitation1101

Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1102

1. Présentation des équilibres de précipitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1102

2. Facteurs influençant les équilibres de précipitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1105


Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1110


Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1114

Chapitre 37 Diagrammes potentiel-pH1121

Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1122

1. Principe de construction des diagrammes E−pH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1122

2. Diagramme potentiel−pH de l’eau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1123

3. Tracé du diagramme E−pH du zinc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1125

4. Règles générales pour le positionnement des espèces dans un diagramme E−pH . . . . . . 1129

5. Utilisation des diagrammes E−pH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1130


Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1135


Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1142

14

PHYSIQUE

Partie 1

SIGNAUX PHYSIQUES

Chapitre 1

Oscillateur harmonique1. Loi de Hooke — 2. Étude dynamique du systèmemasse-ressort — 3. Aspect énergétique — 4. Validationexpérimentale — 5. Une approche de la méthode du physicien

Objectifs et compétences du programmeCapacitésexigibles

Exercicesassociés

Travailréalisé

• Établir et reconnaître l’équation différentielle quicaractérise un oscillateur harmonique. La résoudrecompte tenu des conditions initiales.

→ Exercices 1, A, C �

• Caractériser le mouvement en utilisant lesnotions d’amplitude, de phase, de période, defréquence, de pulsation.

→ Exercices 2, 3, B, C �

• Contrôler la cohérence de la solution obtenueavec la conservation de l’énergie mécanique,l’expression de l’énergie potentielle élastique étantici affirmée.

→ Exercices 3, C �

Robert Hooke (1635 – 1703) scientifique anglaisRobert Hooke est connu pour avoir construit la première pompe à air quipermettra à un de ses collègues (Robert Boyle) d’étudier le comportementdes gaz. Il mène aussi quelques travaux en optique.Il restera dans l’histoire des sciences en raison de la loi de l’élasticité qu’ildécouvre en 1660 : il énonce, en latin, ut tension sic vis soit telle extension,telle force, ce que l’on traduit de manière contemporaine par « l’allongementest proportionnel à la force ».

19

COURSOn rencontre dans la nature un grand nombre de situations dans lesquelles un phénomène se repro-duit identique à lui-même, au bout d’un certain temps : on parle de phénomènes périodiques. Certainssystèmes mécaniques présentent la particularité d’osciller autour d’une position particulière.

1. Loi de Hooke1.1. Manipulons...

a. Longueur à vide. b. Ressort comprimé. c. Ressort étiré.

Figure 1.1. Quelques manipulations qualitatives.

Commençons par manipuler un ressort (cela peut être, par exemple, le ressort présent dans certainsstylos à bille). Lorsque l’on n’exerce aucun effort sur le ressort (voir figure 1.1a), il possède une certaineforme que l’on peut typiquement caractériser par une longueur. On parle de longueur à vide du ressort.Notons-là `0.

Accrochons l’une des extrémités du ressort à un bâti fixe et cherchons à modifier sa longueur `.

• On peut d’abord comprimer le ressort, c’est-à-dire imposer ` < `0 (voir figure 1.1b). On constateque la force qu’exerce le ressort sur notre main s’oppose à cette compression.

• On peut aussi l’étirer, c’est-à-dire imposer ` > `0 (voir figure 1.1c). On constate que la force qu’exercele ressort sur notre main s’oppose à cet étirement.

• Si l’on recommence les expériences précédentes en étirant ou en comprimant davantage le ressort,on constate que plus la longueur du ressort s’éloigne de sa longueur à vide, plus l’action exercéepar le ressort sur notre main est importante.

Si l’on change de ressort (pensons, par exemple, à ceux présents dans les amortisseurs de voiture), l’actionà exercer pour le comprimer ou l’étirer change aussi. On peut donc penser qu’un deuxième paramètreest nécessaire pour caractériser un ressort : on parlera de raideur.

1.2. Modélisons...Cherchons à traduire mathématiquement les observations précédentes.

1.2.1. Vecteur force et composante

L’action mécanique exercée par le ressort se modélise par une force, représentée par un vecteur, que nousnoterons

#»F . Pour caractériser entièrement ce vecteur, nous devons préciser sa direction, son sens et sa

norme.

20

Chapitre 1 – Oscillateur harmonique

COUR

S

L’expérience montre que la direction de l’action est donnée par la direction de l’axe du ressort. Introdui-sons le vecteur unitaire #»ex « parallèle » au ressort, orienté du bâti vers son autre extrémité. On peut alorsécrire

#»F sous la forme :

#»F = Fx

#»ex .

Les informations concernant le sens et la norme sont ainsi entièrement contenues dans la grandeur Fx ,appelée composante de

#»F selon #»ex .

Telle que nous l’avons définie, Fx peut tout aussi bien être une grandeur positive que négative : il s’agitd’une grandeur algébrique. Si Fx > 0, alors le sens de la force est le même que celui de #»ex tandis que, siFx < 0, alors le sens de la force est opposé à celui de #»ex (voir figure 1.2).

`0

`

#»F = Fx

#»ex

#»ex

a. Le ressort est comprimé : Fx > 0.

`0

`

#»F = Fx

#»ex

#»ex

b. Le ressort est étiré : Fx < 0.

Figure 1.2. Fx est une grandeur algébrique.

À retenir.

La norme ‖#»F ‖ du vecteur #»

F est une grandeur positive. On a ‖#»F ‖= |Fx | et Fx =±‖#»

F ‖.

RemarqueLa norme ‖#»

F ‖d’une force contient moins d’informations que sa composante Fx puisqu’elle ne renseignepas sur le sens de

#»F . Notons néanmoins que la donnée de Fx est indissociable du vecteur unitaire #»ex , qu’il

faut donc systématiquement introduire.

À retenir.

Dans le secondaire, la notation Fx désigne très souvent la norme #»

F . Dans le supérieur, cette conven-

tion est très peu utilisée. Nous le soulignons de nouveau : Fx est une grandeur algébrique.

1.2.2. Variations de la force en fonction de l’allongementRevenons à nos observations pour tenter de déterminer le signe de Fx . À la lumière du paragraphe précé-dent, on peut directement conclure que Fx > 0, si ` < `0, et Fx < 0, si ` > `0. De plus, on a Fx = 0, si `= `0.Fx est donc une fonction décroissante de la variable ` (au moins dans le voisinage de `0).

Fx (`) =−k (`− `0).

À retenir.

Le coefficient k est appelé raideur du ressort et s’exprime en newton par mètre dans le systèmeinternational ([k ] =N.m−1).

21

Physique-Chimie PTSI

`0

−k

0 `

Fx

Figure 1.3. Représentation graphique des variations deFx en fonction de la longueur du ressort `.

`00 `

Fx

Figure 1.4. Représentation graphique identique à cellede la figure 1.3 : le ressort y a été ajouté ainsi que la force

exercée par le ressort.

Résumons notre modélisation de l’action exercée par le ressort sur l’une de ses extrémités.

Loi 1.1. Loi de Hooke

L’action qu’exerce un ressort, de longueur à vide `0 et de raideur k , sur son extrémité M , située à ladistance ` de son autre extrémité O , est modélisée par une force dite force de rappel dont l’expressionest :

#»F =−k (`− `0)

#»ex , où #»ex =# »

O M

‖# »

O M ‖ .

2. Étude dynamique du système masse-ressort2.1. Présentation du problèmeDans ce paragraphe, nous allons nous intéresser au mouvement d’un objet de masse m accroché à l’unedes extrémités d’un ressort, de raideur k et de longueur à vide `0, dont l’autre extrémité O est accrochéeà un bâti fixe. Dans la suite, nous supposons que la seule action que subit l’objet est celle exercée par leressort (nous verrons plus tard comment il est possible, en pratique, de réaliser cela de manière appro-chée).

2.2. Mise en équation du problèmeConseils méthodologiquesLa mise en équation d’un problème de mécanique commence toujours par les étapes suivantes.

• On définit le système étudié : il s’agit ici de l’objet de masse m que l’on assimile à son centred’inertie M .

• On définit le référentiel dans lequel on se place pour étudier le mouvement : on choisit leréférentiel du laboratoire que l’on suppose galiléen dans les conditions de l’expérience.

22


COUR

S

• On réalise un « bilan des forces » : on recense l’ensemble des forces qui s’appliquent sur lesystème étudié. Dans ce problème, seule la force de rappel du ressort

#»F est prise en compte.

• On représente schématiquement la situation physique (voir figure 1.5) en introduisant lesnotations nécessaires.

O M#»ex`0

`

#»F

0 xM

Figure 1.5. Point M soumis à la force de rappel #»F d’un ressort étiré (` > `0).

2.2.1. Loi d’évolution : deuxième loi de Newton

À retenir.

L’évolution dans le temps du système est gouvernée, dans un référentiel galiléen, par la deuxièmeloi de Newton qui s’écrit :

d#»p

dt=

#»F , où #»p est la quantité de mouvement du système.

Notons #»v le vecteur vitesse instantané du point M . Par définition :

#»p =m #»v .

Or, dans le cas qui nous intéresse, la masse est constante :

d#»p

dt=

d(m #»v )dt

=md#»v

dt.

La deuxième loi de Newton se réécrit donc sous la forme :

md#»v

dt=

#»F ,

ou encore,m #»a =

#»F ,

en introduisant le vecteur accélération instantanés #»a =d#»v

dt.

RemarqueDans la suite, on omettra souvent l’adjectif « instantané » pour qualifier les vecteurs vitesse et accéléra-tion.

23


2.2.2. Description du mouvement du point M sur un axe de direction constante

Le mouvement s’effectue uniquement le long de l’axe (O , #»ex ) de direction constante : le mouvement estdit rectiligne.

Dans le repère (O , #»ex ), repérons le point M par son abscisse xM . Le vecteur position s’écrit alors# »

O M =(xM − xO )

#»ex , soit :# »

O M = xM#»ex ,

l’abscisse xO du point O , origine du repère, étant nulle.

Le vecteur vitesse #»v du point M s’écrit, par définition :

#»v =d

# »

O M

dt.

Dans notre cas, on a successivement :

#»v =d(xM

#»ex )dt

=dxM

dt#»ex ,

puisque le vecteur #»ex est un vecteur constant. La composante vx du vecteur vitesse selon #»ex s’écrit donc :

vx =dxM

dt.

À retenir.

• La composante vx est une grandeur algébrique. Lorsque vx > 0, l’abscisse xM du point M croîtau cours du temps tandis qu’elle décroît lorsque vx < 0.

• Une vitesse est homogène au rapport d’une longueur par un temps, ce qui se note :

dim vx =LT = LT−1.

L’unité de vitesse dans le système international est le mètre par seconde : [vx ] =m.s−1.

Le vecteur accélération #»a du point M s’écrit, par définition :

#»a =d#»v

dt.

Dans notre cas, on a :#»a =

d(vx#»ex )

dt=

dvx

dt#»ex .

La composante ax du vecteur accélération selon #»ex s’écrit donc :

ax =dvx

dt,

ou encore :

ax =d

dt

�dxM

dt

�=

d2 xM

dt 2,

oùd2 xM

dt 2est la dérivée seconde de xM par rapport au temps, c’est-à-dire la dérivée de la dérivée de xM .

24


COUR

S

À retenir.

• La composante ax est une grandeur algébrique. Lorsque ax > 0, la composante vx de la vitessedu point M croît au cours du temps, tandis qu’elle décroît lorsque ax < 0.

• Une accélération est homogène au rapport d’une longueur par un temps élevé au carré, ce quise note :

dim ax =LT2= LT−2.

L’unité d’accélération dans le système international est le mètre par seconde au carré : [ax ] =m.s−2.

2.2.3. Expression de la force de rappel en fonction de l’abscisse du point M

La loi de Hooke que nous avons énoncée à la section précédente s’écrit :#»F =−k (`− `0)

#»ex .

Or, il est possible d’expliciter la longueur du ressort selon :

`= ‖# »

O M ‖=Æ(xM − xO )2 =

qx 2

M = |xM |= xM ,

en tenant compte du fait que xM est nécessairement positif (le point M se situe « après » O quand on sedéplace sur l’axe (O , #»ex ) dans le sens de #»ex ). La longueur du ressort s’exprime donc très simplement enfonction de l’abscisse du point M :

`= xM .

Dès lors, on peut récrire la force de rappel du ressort sous la forme#»F = Fx

#»ex avec :

Fx =−k (xM − `0).

2.2.4. Équation différentielle vérifiée par l’abscisse du point M

Compte tenu de toutes les simplifications que nous avons établies précédemment, l’égalité vectorielledonnée par la deuxième loi de Newton peut se réduire à :

max = Fx ,

soit :

md2 xM

dt 2=−k (xM − `0),

soit :d2 xM

dt 2+

k

mxM =

k

m`0.

À retenir.

Cette égalité est une équation différentielle : elle lie la fonction du temps xM à sa dérivée seconded2 xM

dt 2. Elle est dite :

• du deuxième ordre (elle fait intervenir la dérivée seconde de la fonction xM ) ;• linéaire (l’un des membres de l’égalité est une somme dont chaque terme est constitué par lafonction xM ou une de ses dérivées, multipliée par un coefficient) ;

• à coefficients constants (les coefficients apparaissant dans la somme sont constants) ;• à second membre constant.

25


2.2.5. Pulsation propre

À retenir.

Il est commode d’introduire la grandeur ω0 appelée pulsation propre du système masse-ressort etdéfinie par :

ω0 =

√√ k

m.

Dans ces conditions, l’équation différentielle précédente se réécrit :

d2 xM

dt 2+ω2

0 xM =ω20`0.

Deux grandeurs physiques peuvent être additionnées à condition d’être homogènes, c’est-à-dire à condi-tion qu’elles aient la même dimension. Appliquons ce principe aux deux termes de l’addition :

dim

�d2 xM

dt 2

�= dim(ω2

0 xM ).

Or, d’une part,d2 xM

dt 2est une accélération, soit dim

�d2 xM

dt 2

�= LT−2 ; d’autre part :

dim(ω20 xM ) = (dimω0)

2 dim xM = (dimω0)2L.

Ainsi :dimω0 =T−1.

La pulsation propreω0 est donc homogène à l’inverse d’un temps. On verra que son unité est le radianpar seconde ([ω0] = rad.s−1), le radian étant une unité sans dimension.

2.2.6. Position d’équilibre

Un système mécanique occupe une position d’équilibre si sa vitesse et son accélération y sont nulles.Cherchons à l’aide de l’équation différentielle précédente la position d’équilibre xM ,e du point M . Enannulant l’accélération du point M , on obtient :

xM ,e = `0.

À retenir.

Le point M possède donc une seule position d’équilibre qui correspond à sa position lorsque le ressorta une longueur égale à sa longueur à vide.

2.2.7. Changement de variable : allongement du ressort

Posons x = xM −xM ,e , soit x = xM −`0. x est l’allongement du ressort. Réaliser ce changement de variablerevient à changer l’origine du repère en la plaçant de telle sorte qu’elle coïncide avec le point M lorsqu’ilse trouve dans sa position d’équilibre (voir figure 1.6).

26


COUR

S

O M#»ex`0

`

0 x

Figure 1.6. Nouvelle origine du repère : repérage de la position du point M via l’allongement.

À retenir.

L’allongement x = xM − xM ,e du ressort est une grandeur algébrique : si x > 0, le ressort est étiré et,si x < 0, le ressort est comprimé.

Remarquons ensuite quedxM

dt=

d(x + xM ,e )dt

=dx

dtpuisque xM ,e est une constante. De même,

d2 xM

dt 2=

d2(x + xM ,e )dt 2

=d2 x

dt 2.

2.2.8. Masse accrochée à un ressort : un oscillateur harmonique

Compte tenu du changement de variable précédent, l’équation différentielle se réécrit :

d2 x

dt 2+ω2

0(xM − xM ,e ) = 0, soit :d2 x

dt 2+ω2

0 x = 0.

Il s’agit toujours d’une équation différentielle du deuxième ordre, linéaire, à coefficients constants mais,cette fois, le second membre est nul.

À retenir.

d2 x

dt 2+ω2

0 x = 0 est l’équation différentielle qui caractérise un oscillateur harmonique (non amorti, enrégime libre).

2.3. Évolution du système au cours du temps2.3.1. Fonctions solutions de l’équation différentielle

Une manière de lire l’équation différentielle caractéristique de l’oscillateur harmonique est de dire quel’allongement x est une fonction qui est telle que sa dérivée seconde lui est proportionnelle. « Peu » defonctions présentent cette particularité : on peut songer aux fonctions exponentielles et aux fonctionssinus ou cosinus. Intuitivement, on s’attend à ce que le mouvement du point M soit oscillant autour desa position d’équilibre. On cherche donc x sous la forme d’une fonction périodique.

27


À retenir.

L’allongement s’exprime selon :x (t ) = A cos(ω0t +ϕ),

où :• A est une constante positive, homogène à une longueur (dim A = L), appelée amplitude de x ;• ϕ est une constante, comprise entre −π et π, sans dimension (dimϕ = 1), appelée phase àl’origine des temps de x .

La représentation graphique de cette fonction est donnée dans la figure 1.7.

T0 2T0 3T0 4T0

−A

A

A cosϕT0

T0

0 t

x

Figure 1.7. Représentation graphique des variations de x en fonction de t , avec ϕ = −π/3.Le signe de la valeur de la dérivée à l’instant initial (−ω0A sinϕ) permet de savoir si la fonction

est « initialement » croissante ou décroissante.

À retenir.

t 7→ x (t ) est une fonction périodique de période T0, appelée période propre de l’oscillateur et définiepar :

T0 =2π

ω0.

Cela signifie que le mouvement se reproduit, identique à lui-même, au bout d’une durée multiple entièrede T0. T0 est homogène à un temps (dim T0 = T) et s’exprime en seconde dans le système international([T0] = s). On introduit également la fréquence propre f0 définie par :

f0 =1

T0=ω0

2π.

f0 est homogène à l’inverse d’un temps (dim f0 =T−1) et s’exprime en hertz dans le système international([ f0] =Hz= s−1).

Montrons que cette fonction est bien solution de l’équation différentielle. Commençons par calculer sadérivée première :

dx

dt(t ) =−Aω0 sin(ω0t +ϕ).

28


COUR

S

Calculons ensuite sa dérivée seconde en dérivant sa dérivée première :

d2 x

dt 2(t ) =

d

dt

�t 7→ −Aω0 sin(ω0t +ϕ)

�(t ) =−Aω2

0 cos(ω0t +ϕ).

On constate que :

d2 x

dt 2(t ) +ω2

0 x (t ) =−Aω20 cos(ω0t +ϕ) +ω2

0A cos(ω0t +ϕ) = 0.

x (t ) = A cos(ω0t +ϕ) est donc bien solution de l’équation différentielle, quelles que soient les valeurs deA et de ϕ.

−A

A

A cosϕ

0 t

x

0 T0

8

T0

4

3T0

8

T0

2

5T0

8

3T0

4

7T0

8

T0

`0

Figure 1.8. Évolution de la forme du ressort au cours d’une période du mouvement.

2.3.2. Conditions initiales

Reste à savoir quelle(s) valeur(s) donner aux constantes A etϕ afin que la fonction x décrive correctementl’évolution de l’allongement du ressort en fonction du temps.

À retenir.

Les valeurs de A et de ϕ sont imposées par la donnée de conditions initiales, c’est-à-dire, dans notrecas, par la donnée de l’allongement initial x (0) et de la vitesse initiale dx

dt(0).

Posons x (0) = x0 etdx

dt(0) = v0 (ces deux grandeurs sont algébriques). Pour que la fonction x (t ) =

A cos(ω0t +ϕ) convienne, il faut que :(

x (0) = A cosϕ = x0dx

dt(0) =−Aω0 sinϕ = v0

soit

(A cosϕ = x0

A sinϕ =− v0

ω0

.

29


Expression de l’amplitude A Pour déterminer l’expression de A, sommons les égalités précédentes éle-vées au carré :

A2 cos2ϕ+A2 sin2ϕ = x 20 +

�− v0

ω0

�2

,

soit, en utilisant l’identité cos2ϕ + sin2ϕ = 1, A = ±√√√

x 20 +

v 20

ω20

. Conformément à sa définition, nous ne

retenons que la valeur positive de l’amplitude :

A =

√√√x 2

0 +v 2

0

ω20

.

Expression de la phase à l’origine des tempsϕ La phaseϕ est l’angle, compris entre−π etπ, qui vérifie :

cosϕ =x0Æ

x 20 + (v0/ω0)2

sinϕ =− v0/ω0Æx 2

0 + (v0/ω0)2

2.3.3. Quelques conditions initiales particulières

•x0 > 0 et v0 = 0 : x (t ) = A cos(ω0t +ϕ) est solution de l’équation différentielle. Les conditions initialesimposent :

x (0) = A cosϕ = x0

dx

dt(0) =−ω0A sinϕ = 0

Dans ces conditions, sinϕ = 0, ce qui implique que ϕ = 0 ou ϕ = ±π. Or, x0 > 0, ce qui impose quecosϕ > 0. Donc ϕ = 0. On en déduit que x0 = A cos 0= A. Finalement :

x (t ) = x0 cos(ω0t ).

T0 2T0 3T0 4T0

−x0

x0

0 t

x

Figure 1.9. Représentation graphique de x (t )pour x0 > 0 et v0 = 0.

T0 2T0 3T0 4T0

x0

−x0

0 t

x

Figure 1.10. Représentation graphique de x (t )pour x0 < 0 et v0 = 0.

30


COUR

S

•x0 = 0 et v0 > 0 : x (t ) = A cos(ω0t +ϕ) est solution de l’équation différentielle. Les conditions initialesimposent :

x (0) = A cosϕ = 0

dx

dt(0) =−ω0A sinϕ = v0

Dans ces conditions, cosϕ = 0, ce qui implique queϕ =±π2

. Or, v0 > 0, ce qui impose que sinϕ < 0. Donc

ϕ =−π2

. On en déduit que A =− v0

ω0 sin(−π/2) = +v0

ω0. Finalement :

x (t ) =v0

ω0cos

�ω0t − π

2

�=

v0

ω0sin(ω0t ).

3. Aspect énergétique3.1. À propos de l’énergieL’énergie est une grandeur omniprésente en physique. Il est pourtant bien difficile d’en donner une défi-nition. Dans le cadre de ce chapitre introductif, retenons les choses suivantes.

À retenir.

• L’énergie est une grandeur physique associée à l’état d’un système : c’est un attribut du sys-tème.

• L’énergie est une grandeur conservative. Cela signifie que l’énergie ne peut être ni créée, nidétruite. Elle ne peut être qu’échangée par transfert entre un système et un autre.

• Il existe différents types d’énergie. Citons l’énergie cinétique Ec , l’énergie potentielle Ep , l’éner-gie mécanique Em , l’énergie interne U , etc.

• Il existe deux types de transfert d’énergie : le travail, qui peut être mécanique, électrique,magnétique, chimique... et le transfert thermique.

3.2. Évolution de l’énergie mécanique du systèmemasse-ressort

Revenons au mouvement qui nous intéresse dans ce chapitre.

À retenir.

Le système constitué par le point M et le ressort (on parle de système masse-ressort) possède :• Une énergie due à sonmouvement que l’on appelle énergie cinétique et qui vaut, par définition :

Ec =1

2m v 2.

• Une énergie due à la déformation du ressort que l’on appelle énergie potentielle élastique etqui vaut, par définition,

Ep ,e =1

2k (`− `0) =

1

2k x 2.

31


RemarqueLa dimension d’une énergie (quelle qu’elle soit) se détermine facilement par la formule définissant l’éner-gie cinétique :

dimE= dim�

1

2m v 2

�= dim m (dim v )2 =M(LT−1)2 =ML2T−2.

L’unité d’énergie est le joule ([E] = J = kg.m2.s−2).

L’énergie mécanique Em du système masse-ressort s’écrit, par définition :

Em = Ec +Ep ,e ,

soit :

Em =1

2m v 2+

1

2k x 2.

En utilisant les expressions de x et de v établies précédemment, on a :

Em =1

2m [−ω0A sin(ω0t +ϕ)]2+

1

2k [A cos(ω0t +ϕ)]2,

soit, en se rappelant queω0 =

√√ k

m:

Em =1

2m

k

mA2 sin2(ω0t +ϕ) +

1

2k A2 cos2(ω0t +ϕ) =

1

2k A2.

À retenir.

On constate que l’énergie totale du système masse-ressort est une constante au cours du temps (voirfigure 1.11). Sa valeur est imposée par les conditions initiales :

Em =1

2m v 2

0 +1

2k x 2

0 .

T0

1

2k A2

1

2k A2 cos2ϕ

0 t

Em

Ec

Ep

Figure 1.11. Évolution temporelle des énergies cinétique et potentielle élastique : la somme deces énergies est une constante.

32


COUR

S

RemarqueL’énergie totale d’un système ne peut varier que s’il y a échange d’énergie avec l’extérieur du système. Ily a deux possibilités pour que l’énergie totale reste constante : soit il n’y a pas d’échange d’énergie avecl’extérieur, soit il y a des échanges qui se compensent. Nous montrerons dans un chapitre ultérieur que,dans le cas considéré ici, il n’y a pas d’échange d’énergie avec l’extérieur.

4. Validation expérimentaleLe système que nous avons considéré dans ce chapitre est un système modèle. En appliquant les lois dela physique, nous avons prédit son mouvement. Afin de valider expérimentalement cette prédiction, ilest nécessaire de construire un système physique réel s’approchant au plus du système modélisé et deréaliser des mesures sur celui-ci.

La construction d’un système masse-ressort ne présente pas beaucoup de difficultés. Ce qui est moinsaisé, en revanche, c’est de faire en sorte que les frottements soient négligeables. Une méthode consisteraità réaliser l’expérience sur une surface glissante comme de la glace. En laboratoire, on préfère simulerl’absence de frottement en utilisant un dispositif soufflant de l’air sous l’objet : on parle de banc à coussind’air. Le dispositif utilisé est photographié dans la figure 1.12 : la position du mobile est repérée à l’aided’une fourche optique. L’évolution de la position, mesurée en fonction du temps, est représentée dans lafigure 1.13.

Figure 1.12. Dispositif expérimental.

2 4 6

−2 ·10−2

2 ·10−2

0 t (s)

x (m)

Figure 1.13. Nuage de points correspondant àl’acquisition de la position dumobile demasse m = 75±1 gà différents instants de dates régulièrement espacées

(raideur du ressort : k = 0,9±0,1 N.m−1).

On constate qualitativement que le mouvement du mobile est bien oscillant. Afin de vérifier quantita-tivement la compatibilité entre le modèle prévoyant une loi horaire de la forme x (t ) = A cos(ω0t +ϕ)et l’expérience, on peut utiliser un logiciel de modélisation. Le logiciel fournit A = 23,8±0,3 mm, ω0 =202,5±0,2 °.s−1 et ϕ = 212,3±0,9° et donne un « écart expérience-modèle » de 8, 6 %, ce qui est accep-

table. La valeur attendue de ω0 est :

√√ 0, 9

75 ·10−3 = 3,5±0,4 rad.s−1 = 2,0±0,3 ·102 °.s−1 (l’incertitude sur

cette grandeur a été calculée à partir des incertitudes sur les valeurs de k et de m). Elle est compatibleavec la valeur donnée par le logiciel de modélisation. On peut donc conclure que la prédiction du modèleest compatible avec l’expérience.

Poussons la curiosité jusqu’à observer ce qu’il se passe pour une expérience de durée plus longue (voirfigure 1.15). Cette fois, pas besoin de logiciel de modélisation, il suffit de regarder qualitativement l’allure

33


Figure 1.14. Capture d’écran du logiciel de modélisation(Regressi) : le modèle est en trait plein.

10 20 30

−2 ·10−2

2 ·10−2

0 t (s)

x (m)

Figure 1.15. Nuage de points correspondant à uneacquisition plus longue.

du nuage de points pour conclure qu’une modélisation par une fonction sinusoïdale ne conviendra pas.Le modèle élaboré dans ce chapitre ne sera donc pas compatible avec une expérience de durée pluslongue : il faudra l’adapter en tenant compte, par exemple, des forces de frottements. C’est ce que nousferons dans un chapitre ultérieur.

5. En guise de conclusion : une approche de laméthode du physicien

La physique est une science expérimentale qui repose sur des allers-retours constants entre théorie etexpérimentation. Ces interactions peuvent grosso modo se répartir en trois niveaux de conceptualisationet d’abstraction.

Approche qualitative Des phénomènes naturels sont observés et identifiés. L’expérimentation joue unrôle d’investigation et d’exploration en recensant les propriétés qualitatives des phénomènes. Lesmodèles permettent éventuellement d’identifier des phénomènes en se fondant sur des théoriesdéjà connues et permettent de concevoir et d’interpréter les expériences.

Approche quantitative Les propriétés observées et leurs corrélations suggèrent des relations entre pro-priétés. L’expérience permet d’élaborer des modèles en mesurant quantitativement les propriétésdes phénomènes observés.

Approche théorique L’interprétation des phénomènes est généralisée à d’autres phénomènes semblables(éventuellement pas encore observés). La théorie guide l’expérience. Les expériences jouent le rôlede justification a posteriori de la théorie, testent la validité de la prédiction du modèle et prouventl’existence d’objets prédits par la théorie.

34

FICHE

SYNTHÈSELoi de Hooke

La force de rappel qu’un ressort exerce sur le point M est donnée par la loi de Hooke : #»F =−k (`−

`0)#»ex , où k est la raideur du ressort, `0 sa longueur à vide, ` sa longueur et #»ex un vecteur unitaire

orienté de l’autre extrémité du ressort vers le point M .

Dans le cas d’un point matériel de masse constante se déplaçant le long d’un axe (O , #»ex ), la deuxième

loi de Newton s’écrit simplement : md2 xM

dt 2= Fx , où xM est l’abscisse du point M et Fx la composante

(algébrique) selon #»ex de la résultante des forces s’exerçant sur M .

Pulsation, période et fréquences propres du système masse-ressort

La pulsation propre ω0 associée au mouvement d’une masse m accrochée à un ressort de raideur

k vaut : ω0 =

√√ k

m. On définit aussi la période propre T0 =

2π

ω0et la fréquence propre f0 =

ω0

2π.

La position d’équilibre d’un point M accroché à un ressort horizontal et ne subissant pas de frottementcorrespond à la position qu’il occupe lorsque le ressort n’est ni comprimé ni étiré. L’allongement x duressort est l’écart (algébrique) à cette position d’équilibre.

Équation différentielle de l’oscillateur harmonique

Le système masse-ressort horizontal non amorti est un oscillateur harmonique. L’allongement x est

solution de l’équation différentielle :d2 x

dt 2+ω2

0 x = 0, que l’on obtient à l’aide de la deuxième loi deNewton.

Solutions de l’équation différentielle de l’oscillateur harmonique

Les solutions de l’équation différentielle sont de la forme : x (t ) = A cos(ω0t+ϕ), où A est l’amplitude(positive) du mouvement et ϕ la phase à l’origine du temps.Les valeurs de A et de ϕ sont déterminées en utilisant les conditions initiales, c’est-à-dire les valeursde x et de v à l’instant de date t = 0.

Aspect énergétique du système masse-ressort horizontal

L’énergie mécanique Em du système masse-ressort horizontal est la somme de son énergie cinétiqueEc =

1

2m v 2 et de son énergie potentielle élastique Ep ,e =

1

2k x 2.

L’énergie mécanique est constante au cours du mouvement.

35

EXERCICES

Vrai ou faux ?Vrai Faux

a) La force de rappel exercée par un ressort est constante. � �

b) Considérons le schéma suivant représentant une force#»F .

#»ex

#»F = Fx

#»ex

On a : Fx < 0.

� �

c) La pulsation propre d’un système masse-ressort est définie par

ω0 =

√√ k

m.

� �

d) L’équation différentielle d’un oscillateur harmonique s’écrit :dx

dt+ω0 x = 0.

� �

e) La solution générale de l’équation différentielle vérifiée par unoscillateur harmonique peut s’écrire sous la formex (t ) = A sin(ω0t +ϕ).

� �

f) Si x (0) = x0 et v (0) = 0, avec x0 < 0, alors l’allongement du ressort peuts’écrire sous la forme x (t ) = x0 cos(ω0t ).

� �

g) La position d’un point M accroché à un ressort est donnée par

xM (t ) = `0 +A sin�

2π f0t +π

3

�. Cela revient à la même chose d’écrire

xM (t ) = `0 +A cos�

2πt

T0+π

3

�.

� �

h) Si l’amplitude du mouvement d’un système masse-ressort estmultipliée par deux, son énergie mécanique est multipliée par quatre.

� �

Exercices d’application du chapitre 1

Exercice 1 Voir plus loin « Aide à la résolution » 5 min.On considère un système masse-ressort. On adopte les notations de la figure 1.6. On note x l’allongementet #»a = ax

#»ex l’accélération du mobile. Représenter graphiquement les variations de ax en fonction de x .

36


Exercice 2 Voir plus loin « Aide à la résolution » 15 min.Un dispositif a réalisé l’acquisition de l’allongement d’un ressort au cours du temps. Les résultats sontprésentés graphiquement dans la figure 1.16.

0 0, 1 0, 2 0, 3 0, 4

−5

0

5

P1

P2

P3

P4

t (min)

x(c

m)

Figure 1.16. Évolution temporelle de la position d’un oscillateur.

1. On cherche à exprimer l’allongement sous la forme x (t ) = A sin(2π f0t +ϕ). Déterminer graphique-ment les valeurs numériques de A, f0 et ϕ.

2. Représenter le système masse-ressort aux instants correspondant aux points P1, P2, P3 et P4. Repré-senter qualitativement les vecteurs vitesse et accélération.

Exercice 3 Voir plus loin « Aide à la résolution » 15 min.Un système masse-ressort a un mouvement dont l’amplitude est de 12,3±0,5 cm et la période de 1,2±0,1 s.À l’instant de date t1, on mesure son énergie cinétique et son énergie potentielle. On trouve Ec (t1) =1,2±0,1 ·10−1 J et Ep ,e (t1) = 4,2±0,1 ·10−1 J. Les incertitudes données sont les estimations de type B desincertitudes-types sur les grandeurs, associées à une loi rectangulaire de densité de probabilité. Détermi-ner les meilleures estimations de la masse et de la constante de raideur ainsi que l’intervalle de confianceà 95 % associé. On pourra se servir du logiciel gum_mc, téléchargeable gratuitement à l’adresse http://jeanmarie.biansan.free.fr/gum_mc.html.

Exercices d’approfondissement du chapitre 1

Exercice A Voir plus loin « Aide à la résolution » 10 min.La figure 1.17 présente l’astronaute Tamara Jernigan en train d’utiliser un BMMD (Body Mass Measu-rement Device) au cours d’une mission en orbite autour de la Terre. Il s’agit essentiellement d’un siègepouvant se translater vers l’avant ou vers l’arrière et lié au bâti par des ressorts. Quel est l’intérêt d’un teldispositif ? On pourra consulter avec profit la page du site du CNES suivante : https://cnes.fr/fr/quest-ce-que-limpesanteur.

Exercice B Voir plus loin « Aide à la résolution » 5 min.L’élongation x d’un ressort est donnée (en centimètres) par : x (t ) = 5, 0 cos(2π× 0, 5× t )− 3, 2 sin(2π×0, 5× t ), où t est en secondes.

37

EXER

CICES


Figure 1.17. Tamara Jernigan assise dans son BMMD.

1. Quelle est la fréquence du mouvement ?2. Déterminer les expressions de la vitesse vx et de l’accélération ax .

Exercice C Voir plus loin « Aide à la résolution » 30 min.

#»ex

−L/2 L/2−`/2 `/20

GM1 M2

O1

O2

`

L

a. Schématisation du dispositif à l’équilibre.

#»ex

−L/2 L/2xG − `/2 xG + `/2xG

0

GM1 M2

O1

O2

`1 ` `2

L

b. Schématisation du dispositif.

Figure 1.18. Masse accrochée à deux ressorts.

On considère le dispositif constitué par un mobile de masse m = 51 g, posé sur un banc à « coussin d’air »et accroché à deux points fixes O1 et O2 par l’intermédiaire de deux ressorts R1 et R2 de caractéristiquesidentiques. On note k leur raideur et `0 leur longueur à vide. Lorsque la soufflerie du banc à coussind’air est en fonctionnement, on admet que tout se passe comme si le mobile n’était soumis qu’à l’actionmécanique des ressorts. Le mouvement du mobile est rectiligne selon la direction

# »

O1O2.

Les notations sont introduites sur les schémas des figures 1.18a et 1.18b. On repère la position du mobilepar la position de son centre d’inertie G . L’origine du repère est prise lorsque le point G se trouve aumilieu du banc, les ressorts ayant alors la même longueur (voir figure 1.18a).

1. a. Exprimer la force#»F1 exercée par le ressort R1 sur le mobile en fonction de `1, `0, k et #»ex . En

déduire son expression en fonction de k , xG , `, L , `0 et #»ex .b. Exprimer de même la force

#»F2 exercée par le ressort R2 sur le mobile en fonction de `2, `0, k

et #»ex . En déduire son expression en fonction de k , xG , `, L , `0 et #»ex .2. Montrer que l’équation différentielle vérifiée par xG peut s’écrire sous la forme :

d2 xG

dt 2+ω2

0 xG =ω20 xG ,e .

38


On précisera les expressions deω0 et de xG ,e .3. a. Montrer que la fonction xG (t ) = A cos(ω0t ) + B sin(ω0t ), où A et B sont deux constantes

réelles, est solution de l’équation différentielle. Préciser la dimension de A et de B .

b. On pose xG (0) = x0 etdxG

dt(0) = v0. Déterminer les expressions de A et de B en fonction de x0,

v0 et/ouω0. Vérifier la dimension de B .4. On admet que l’énergie potentielle élastique associée au système constitué par le mobile et les

deux ressorts peut s’écrire :Ep = k x 2

G .

Montrer que l’énergie mécanique du système est constante et exprimer cette constante en fonctionde x0, v0, m et k .

1 2 3

−5 ·10−2

5 ·10−2

0 t (s)

xG (m)

Figure 1.19. Variation de la position du mobile au coursdu temps.

0, 5 1 1, 5 2

−0, 4

−0, 2

0, 2

0, 4

F1

F2

F

0 t (s)

(N)

Figure 1.20. Variations des forces et de leur résultanteau cours du temps.

5. Les figures 1.19 et 1.20 présentent certaines mesures effectuées au cours de l’acquisition ou qui ensont déduites.

a. Déterminer graphiquement les valeurs de x0 et de T0.b. En déduire une mesure de la raideur des ressorts.c. On note

#»F1 = F1

#»ex ,#»F2 = F2

#»ex ,#»F =

#»F1+

#»F2 = F #»ex . La figure 1.20 présente l’évolution de F1, F2 et

F au cours de l’acquisition.

2 4 6 8 10

−5 ·10−2

5 ·10−2

0 t (s)

xG (m)

Figure 1.21. Évolution au cours du temps de l’abscisse xG du point G sur un intervalle de 10 s.

39

EXER

CICES


Déterminer l’abscisse de la position d’équilibre. Pour quelle raison le mobile ne reste-t-il pasdans sa position d’équilibre lorsqu’il y passe ?

d. Sur un schéma, positionner le mobile, les ressorts et en représenter les vecteurs-force#»F1 et

#»F2

à l’instant de date 0,5 s. On ne tiendra compte que du signe de xG et pas de sa valeur précise. Onintroduira une échelle de représentation des vecteurs force. Représenter, sans souci d’échelle,les vecteurs vitesse et accélération (on précisera la méthode utilisée pour déterminer le sensde ces vecteurs).

e. La figure 1.21 présente l’évolution de l’abscisse du point G sur un intervalle de temps pluslong.

i. Qu’observe-t-on ? Comment peut-on le justifier ?ii. Le logiciel de traitement de données propose la modélisation suivante :

xG (t ) = e−t /τ[A cos(ω0t ) +B sin(ω0t )].

Conclure quant à la validité du modèle choisi dans ce problème pour décrire la situationexpérimentale envisagée.

40

AIDE À LA RÉSOLUTIONDES EXERCICES

Exercices d’application du chapitre 1Exercice 1Il s’agit d’écrire l’équation différentielle vérifiée par x et d’utiliser la définition du vecteur accélération.

Exercice 2La figure donne accès à une mesure graphique de la période et de l’amplitude de x (t ). Le signe et la valeurde la vitesse s’obtient à l’aide des tangentes au graphe de x en fonction de t . L’accélération est liée defaçon simple à la position (voir l’exercice 1).

Exercice 3L’énergie mécanique s’exprime en fonction de k et de A. La meilleure estimation d’une grandeur est appe-lée « Estimateur » dans gum_mc. Consulter l’aide à la page : http://jeanmarie.biansan.free.fr/telechargement/lazarus/gum_mc/aide/Aide_GUM_MC.html.

Exercices d’approfondissement du chapitre 1Exercice APenser à une méthode indirecte de mesure de la masse.

Exercice BLa solution x (t ) de l’équation différentielle peut s’exprimer de plusieurs façons, en particulier sous laforme x (t ) = A cos(ω0t ) +B sin(ω0t ). Attention aux unités.

Exercice CAttention à l’orientation du ressort fixé en O2 : vérifier physiquement l’expression proposée de

#»F2.

41

CORRIGÉSCorrigés des Vrai/Fauxa) Faux. La force de rappel exercée par un ressort est une fonction affine de sa longueur (ou une fonctionlinéaire de son allongement).

b) Faux.#»F a le même sens que #»ex : Fx > 0.

c) Vrai.

d) Faux. L’équation différentielle d’un oscillateur harmonique est du deuxième ordre :d2 x

dt 2+ω2

0 x = 0.

e) Vrai.

f) Vrai. Néanmoins on préfère prendre une amplitude positive et introduire un déphasage : x (t ) =−x0 cos(ω0t ±π).g) Faux. Cela revient au même d’écrire xM (t ) = `0+A sin

�2πt

T0+π

3

�ou bien xM (t ) = `0+A sin

�2π f0t +

π

3

�.

h) Vrai. L’énergie mécanique est proportionnelle à l’amplitude du mouvement au carré.

Corrigés des exercices d’applicationdu chapitre 1Exercice 1La deuxième loi de Newton appliquée à la masse s’écrit m #»a =

#»F où

#»F =−k (`−`0)

#»ex =−k x #»ex . Le mouve-

ment étant rectiligne, on a #»a = ax#»ex . Ainsi, max =−k x , soit ax =−

k

mx , soit, en introduisant la pulsation

propre :ax =−ω2

0 x .

On en déduit que ax : x 7→ −ω20 x est une fonction linéaire de x de pente −ω2

0. Voir la figure 1.22 pour sareprésentation graphique.

Exercice 21. On mesure, sur la figure 1.23, 2T0 = 0, 42− 0, 02 = 0,40 min, soit T0 = 0,20 min = 12 s et 2A = 8− (−8) =

16 cm, soit A = 8 cm. On en déduit f0 =1

T0, soit f0 = 8,3 ·10−2 Hz. À l’instant initial, x (0) = 6 cm. Or, x (0) =

A sinϕ, soit sinϕ =x (0)

A=

6

8=

3

4.

2. Voir les figures 1.24.

42

CORR

IGÉS


−ω20

0 x

ax

Figure 1.22. Variations de ax en fonction de x .

0 0, 1 0, 2 0, 3 0, 4

−5

0

5

P1

P2

P3

P4

2T0

2A

t (min)

x(c

m)

Figure 1.23. Détermination graphique des paramètresde l’oscillateur harmonique.

O M

0x#»v

#»a

a. Position P1.

O M

0x

#»v #»a

b. Position P2.

O M

0 x

#»v#»a

c. Position P3.

O M

0 x#»v

#»a

d. Position P4.

Figure 1.24. Vecteurs vitesse et accélération pour différentes positions de la masse.

Exercice 3L’énergie mécanique du système masse-ressort est constante. On a montré que Em =

1

2k A2. Or, par défi-

nition, Em = Ec + Ep ,e . On en déduit que k =2[Ec (t1) +Ep ,e (t1)]

A2. Par ailleurs, T0 =

2π

ω0= 2π

sm

k, soit

m =k T 2

0

4π2. Afin de déterminer les meilleures estimations ainsi que les incertitudes associées, on utilise le

logiciel gum_mc. Il donne k = 7±2 ·101 N.m−1 et m = 2,6±0,1 kg.

Corrigés des exercices d’approfondissementdu chapitre 1Exercice AL’astronaute se trouvant en orbite autour de la Terre est en impesanteur : l’utilisation d’une balance afinde mesurer la masse est impossible. Le BMMD permet de mesurer indirectement la masse en mesurant

la période des oscillations du système astronaute-siège-ressorts : T0 =2π

ω0= 2π

pmk , soit m =

k T 20

4π.

43


Exercice B1. L’allongement est exprimé sous la forme x (t ) = λcos(2π f t ) + µsin(2π f t ). Par identification, on af = 0,5 Hz (t étant en secondes).

2. La vitesse est la dérivée première de la position : vx =dxM

dt. Or, la position est égale, à une constante

additive près s’annulant après dérivation, à l’élongation : xM = `0+ x . Donc, vx (t ) =dx

dt(t ) =−5, 0×2π×

0, 5 sin(2π×0, 5× t )−3, 2×2π×0, 5 cos(2π×0, 5× t ) =−5, 0πsin(2π×0, 5× t )−3, 2πcos(2π×0, 5× t ) (enm.s−1).L’accélération est la dérivée seconde de la position, ce qui correspond à la dérivée première de la vitesse :

ax =dvx

dt. Ainsi, ax (t ) =−5, 0π2 cos(2π×0, 5× t ) +3, 2π2 sin(2π×0, 5× t ) (en m.s−2).

RemarqueIl est aussi possible de remarquer que, d’une part, ω0 = 2π× 0, 5 (en rad.s−1) et, d’autre part, que ax =−ω2

0 x d’après la deuxième loi de Newton. Ainsi, ax =−(2π×0, 5)2[5, 0 cos(2π×0, 5×t )−3, 2 sin(2π×0, 5×t )](en m.s−2). On retrouve bien entendu le même résultat.

Exercice C

1. a. D’après la loi de Hooke,#»F1 = −k (‖# »

O1M1‖ − `0)# »

O1M1

‖# »

O1M1‖. Or

# »

O1M1

‖# »

O1M1‖= #»ex et ‖# »

O1M1‖ = `1. Donc

#»F1 =−k (`1− `0)

#»ex .

Par ailleurs, `1 = |xM1− xO1

|= xM1− xO1

=�

xG −`

2

�− −L

2= xG −

`

2+

L

2.

Ainsi,#»F1 =−k

�xG −

`

2+

L

2− `0

�#»ex .

b. D’après la loi de Hooke,#»F2 = −k (‖# »

O2M2‖− `0)# »

O2M2

‖# »

O2M2‖. Or

# »

O2M2

‖# »

O2M2‖= −#»ex et ‖# »

O2M2‖ = `2. Donc#»F2 =

+k (`2− `0)#»ex .

Par ailleurs, `2 = |xM2−xO2

|=−(xM2−xO2

) =−�

xG +`

2

�+

L

2=−xG− `2+

L

2. Ainsi,

#»F2 = k

�−xG − `2 +

L

2− `0

�#»ex .

2. On se place dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen dans les conditions de l’expérience. Onétudie le système constitué par le mobile. Étant donné les hypothèses formulées dans l’énoncé, les seulesactions mécaniques à considérer sont les forces de rappel

#»F1 et

#»F2. De plus, le mouvement étant rectiligne

dans la direction# »

O1O2 colinéaire à #»ex , les vecteurs position, vitesse et accélération s’écrivent# »

OG = xG#»ex ,

#»v =dxG

dt#»ex et #»a =

d2 xG

dt 2#»ex . La deuxième loi de Newton donne m #»a =

#»F1+

#»F2, soit, en ne retenant que les

composantes selon #»ex :

md2 xG

dt 2=−k

�xG −

`

2+

L

2− `0

�+k

�−xG −

`

2+

L

2− `0

�,

soit après simplification et réarrangement :

d2 xG

dt 2+

2k

mxG = 0.

On obtient bien la forme demandée en posantω0 =

√√2k

met xG ,e = 0.

3. a. Calculons d’abord la dérivée de xG :dxG

dt(t ) =−Aω0 sin(ω0t )+Bω0 cos(ω0t ). Calculons ensuite la

dérivée seconde de xG :d2 xG

dt 2(t ) =

d

dt

�dxG

dt

�=−Aω2

0 cos(ω0t )−Bω20 sin(ω0t ). On constate que

d2 xG

dt 2=

44

CORR

IGÉS


−ω20 xG (t ), ce qui signifie que xG est bien solution de l’équation différentielle

d2 xG

dt 2+ω2

0 xG = 0.

A et B sont homogènes à une longueur. En effet, une égalité, pour être homogène, doit avoir ses deuxmembres de même dimension. Or dim xG = L. Donc A cos(ω0t ) et B sin(ω0t ) sont homogènes à unelongueur. Or, les fonctions cos et sin sont sans dimension. Ainsi, dim A = dim B = L.

b. xG (0) = A cos(0) +B sin(0) = A. Donc A = x0.dxG

dt(0) = Bω0 cos(0) = Bω0. Donc Bω0 = v0, soit B =

v0

ω0.

On a dim B =dim v0

dimω0=

LT−1

T−1= L, ce qui est cohérent.

4. Par définition,Em = Ec+Ep . Or, d’une part, par définition,Ec =1

2m�

dxG

dt

�2

, soitEc (t ) =1

2m [−x0ω0 sin(ω0t )+

v0 cos(ω0t )]2, soit :

Ec (t ) =1

2m�x 2

0ω20 sin2(ω0t )−2x0ω0v0 sin(ω0t )cos(ω0t ) + v 2

0 cos2(ω0t )�

.

D’autre part, Ep = k x 2G , soit Ep (t ) = k

�x0 cos(ω0t ) +

v0

ω0sin(ω0t )

�2

, soit :

Ep (t ) = k

�x 2

0 cos2(ω0t ) +2x0v0

ω0cos(ω0t )sin(ω0t ) +

v 20

ω20

sin2(ω0t )

�.

En utilisant le fait queω0 =

√√2k

m, on a alors

Em (t ) =1

2m x 2

0

2k

msin2(ω0t )− 1

2m2x0

√√2k

mv0 sin(ω0t )cos(ω0t ) +

1

2m v 2

0 cos2(ω0t )

+k x 20 cos2(ω0t ) +2k x0v0

sm

2kcos(ω0t )sin(ω0t ) +k v 2

0

m

2ksin2(ω0t ),

soit

Em = k x 20 [sin2(ω0t ) + cos2(ω0t )]+

1

2m v 2

0 [cos2(ω0t ) + sin2(ω0t )]

+ (−x0v0

p2k m + x0v0

p2k m )cos(ω0t )sin(ω0t ),

soit finalement, compte tenu de l’identité trigonométrique cos2 θ + sin2 θ = 1 :

Em (t ) =1

2m v 2

0 +k x 20 .

L’énergie mécanique est donc constante.5. a. On obtient x0 par lecture de la valeur de xG à l’instant initial : x0 =−5,8 cm. On mesure 3T0 = 2,4 s,soit T0 = 0,8 s.

b. Par définition,ω0 =2π

T0. De plus,ω0 =

√√2k

m, soit k =

2π2m

T 20

. On en déduit que k =2× (3, 14)2×50 ·10−3

(0, 8)2'

1,5 N.m−1.c. i. La position d’équilibre correspond à une résultante des forces nulle. On constate, par exemple, queF (0,2 s) = 0. On en déduit que la position d’équilibre a pour abscisse xG (0,2 s) = 0.ii. On constate que la pente de la tangente à la courbe (extrapolée) représentative de xG (t ) en t = 0,2 sn’est pas nulle. Cela signifie que la vitesse n’est pas nulle : le mobile passe par sa position d’équilibre maisne s’y immobilise pas.d. À t = 0,5 s, on lit graphiquement que F1 = −0,36 N et que F2 = 0,2 N : |F1|> F2. En raison de leur signe,les deux forces sont de sens opposés. Par ailleurs, on lit xG (0,5 s) = 3,2 cm : le mobile se trouve à droitedu point O . La vitesse correspond à la pente de la tangente à la courbe représentative de xG (t ). Or, à

45


t = 0,5 s, cette pente est négative : le mobile se déplace vers les xG décroissants (#»v a un sens opposé à #»ex ).Enfin, d’après la deuxième loi de Newton, l’accélération est colinéaire, de même sens que la résultantedes forces. Or, F =−0,15 N < 0 : l’accélération a un sens opposé à #»ex .e. i. On constate que l’amplitude diminue avec le temps. Cela peut s’expliquer par la présence de frot-tements.ii. Le modèle n’est pas compatible avec l’expérience, si cette dernière dure trop longtemps. On ne peutplus alors négliger les frottements. Le modèle semble en revanche compatible pour les expériences decourte durée.

46

www. .fr

ISBN : 978-2-311-40687-0

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