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BACCALAURAT MALIEN SESSION DE JUIN 1986 2 Partie

SRIES : S.E.T- M.T.I - M.T.G.C EPREUVE DE : MATHMATIQUES (connaissance)

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Dans ce problme on tudie la famille de fonctions f dfinies par : f(x) = 1 + ln(1+x) o est un nombre rel non nul. I- On recherche le nombre de points dintersection de la courbe reprsentative C de

fdans un repre orthonorm (O ; i ,

j ) avec la droite ( D ) dquation y= x .

1-Donner lensemble de dfinition de f ( on distinguera les deux cas : 0 et 0 , C et ( D) ont- telles de points communs ? 1-a) Comparez )(xf et )( xf . Existe-il un lien entre les deux courbes

CetC ?. b)Soit la reprsentation graphique de la fonction logarithme nprien. Trouver , lorsque 0f une translation qui transforme en C . c) Reprsenter dans

un mme repre orthonorm ( on prendra comme unit 3cm) les courbes )(,),( 22 DetCC . II- Calcul dune valeur approche de labscisse des points dintersection de la courbe C avec la droite ( D) dans le cas particulier 1= .

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BACCALAURAT MALIEN SESSION DE JUIN 1986

SRIES : S.E.T- M.T.I - M.T.G.C EPREUVE DE : MATHMATIQUES (composition)

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Soit le plan affine euclidien P muni du repre orthonorm R= }{ ),(, jio et soit P le plan vectoriel associ muni de la base orthonorme directe B= }{ ji, ( avec i = j =1cm ) . I Soit le point )1,1( du plan P et les vecteurs : I = 4 i +3 j et J = j du plan P . Soit le repre r = ( , I , J ) du plan .Un point M sera repr par ses coordonnes x et y dans R et X et Y dans r . Soit (C) la courbe dquation XY=

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dans le repre r .

1-Reconnatre la nature de (C) . 2- Etablir les relations entre x, y ,X et Y. Montrer quune quation de (C) dans le repre R est :

( x 1)(4y 3x 1) = 12. Mettre cette quation sous la forme y =f(x ) o f est une fonction de dans dterminer . 3- Etudier les variations de la fonction f et construire (C) . 4- Calculer laire en cm2 de la partie (D) du plan P dfinie dans le repre r par :

XYetXYXM

4301

21/),( on donne ln2 69,0 .

II- Soit h lapplication affine de P dans P qui au point M(x, y) associe le point M( x, y ) dans le repre R par les relations :

+=

+=

1234'5643'5

yxyyxx

1-Dterminer la matrice dans la base B de lendomorphisme associ de h . Quelle est la nature de ? 2- Montrer que lensemble des points invariants par h est une droite (d) dont on donnera une quation.

Dduire des rsultats prcdents la nature de h dans R . 3- Dterminer limage du point par h puis exprimer ( I ) et ( J ) en fonction de I et J . En dduire lexpression de h dans le repre r sous la forme :

++=

++=

''''

'

cYbXaYcbYaXX

o a , b , c , a , b, c sont des rels dterminer .

Retrouver ce rsultat dune autre manire .Quelle est la nature de h dans le repre r ? 4-a) Montrer que la droite () dquation Y =5X dans le repre r est globalement invariante par h . b) Montrer que la courbe ( C ) est globalement invariante par h . III/ 1-Dterminer dans R un vecteur unitaire k de ( ) dont les coordonnes seront positives Soit la rotation vectorielle du plan vectorielle P tel que )(k = i et soit g la rotation du plan affine P de centre et dendomorphisme associ . 2- Dterminer la matrice de dans la base B . 3- Soit M (x,y) et M (x,y )deux points dans le repre R tels que g(M) = M . Dterminer x et y en fonction de x et y . En dduire X et Y en fonction Xet Y. 4- Dterminer par son quation dans R limage ( C ) de la courbe ( C ) par g (on aura intrt passer par lintermdiaire du repre r). a) Quelle est la nature de la courbe ( C ) , en donner les lments caractristiques . b) Retrouver les lments caractristiques de la courbe ( C ).

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