Séquence 1 - Académie en ligne : tous les cours de l ... · On complète d’abord la ligne "étapes" en respectant les règles de ... précis vendu en promotion durant un mois

1Séquence 1 – MA04

Séquence 1

Matrices - Applications

� Introduire l’écriture matricielle pour modéliser des situations concrètes.

� Faire des opérations sur les matrices.

� Résoudre des systèmes d’équations linéaires par un calcul matriciel en utilisant une calculatrice.

Objectifs

Dans cette séquence les calculs matriciels se font essentiellement sur la calculatrice TI-82 Stats.fr .

La Casio Graph 25+ ne permet pas de faire de calculs sur les matrices. Certains calculs sont présentés sur

une Casio Graph 35+

Sommaire

1. Pré-requis

2. Notion de matrice – Addition-Multiplication par un réel 3. Multiplication de matrices

4. Applications

5. Synthèse de la séquence

6. Exercices de synthèse

© Cned - Académie en ligne

2 Séquence 1 – MA04

1 Pré-requisVecteurs

1. Coordonnées d’un vecteur dans un repère

Soit �u un vecteur du plan muni d’un repère d’origine O. Les coordonnées du

vecteur �u sont les coordonnées de l’unique point M tel que OM u

� �� = .

Si M x y( ; ) on note ( ; )x y ou xy

les coordonnées de

� � ��u OM= .

On peut écrire : �u x y( ; ) en ligne ;

�u x

y

en colonne.

Si A x yA A( ; ) et B x yB B( ; ) alors AB x x y yB A B A

� ��( ; )− − ou AB

x x

y yB A

B A

� �� −

−

.

2. Somme de deux vecteurs

Si �u a b( ; ) et

�v c d( ; ), alors

� �u v a c b d+ + +( ; ).

On peut aussi écrire : si�u a

b

et�v c

d

, alors� �u v a c

b d+ +

+

.

3. Produit d’un vecteur par un nombre réel

Si k est un réel et si�u a b( ; ), alors ku ka kb

�( ; ).

On peut aussi écrire : si k est un réel et si�u a

b

, alors ku kakb

�

.

Promenade sur un quadrillage

Pour se rendre d’un point X à un point Y on doit :

se déplacer d’abord une fois horizontalement ;

se déplacer ensuite, éventuellement, une fois verticalement.

Les trajets vers la droite ou vers le haut sont notés positivement, les trajets vers la gauche ou vers le bas sont notés négativement.

Ainsi le trajet D A→ sera noté ( )−1 2 en ligne, ou−

12

en colonne.

A

Exercice



Un trajet " par étapes" tel que D A C F→ → →' ' impose de passer par A' puis par C ' avant d’arriver en F.

Le quadrillage ci-contre est formé de 100 petits carrés de même taille.

� Recopier et compléter le tableau (" Ligne" et " Colonne").

� On pose DA u� ��

= et DB v� ��

= . Compléter la ligne " Notation vectorielle" en exprimant

les trajets en fonction de �u et de

�v .

Trajet D A→ D B→ D A C→ → D A→ ' D A C→ →' ' D A S→ → D A C F→ → →' '

Ligneétapes (– 1 2) (– 1 2) + (– 1 2)

direct (– 1 2) (– 2 4)

Colonne

étapes−

12

− + −

12

12

direct

−

12

−

24

Notation vectorielle DA u

��= DB v��

�= DA AC u� ��

�+ = 2

� On complète d’abord la ligne " étapes" en respectant les règles de déplacement.

Pour obtenir la ligne " direct" il suffit de compter les carrés horizontalement puis verticalement. Cela permet de comprendre comment additionner deux ou trois trajets.

Les écritures en colonne se déduisent immédiatement des résultas obtenus pour les écritures en ligne.

C

A

A’

C’ F

S

D B

Solution



Trajet D A→ D B→ D A C→ → D A→ ' D A C→ →' ' D A S→ → D A C F→ → →' '

Ligneétapes (– 1 2) (2 0) (– 1 2) + (– 1 2) (1 – 2) (1 – 2) + (1 – 2) (– 1 2) + (2 0)

(1 – 2) + (1 – 2)

+ (4 0)

direct (– 1 2) (2 0) (– 2 4) (1 – 2) (2 – 4) (1 2) (6 – 4)

Colonne

étapes −

12

20

− + −

12

12

12−

12

12−

+−

−

+1

220

12

12

40−

+−

+

direct

−

12

20

−

24

12−

24−

12

64−

Notation vectorielle DA u

��= DB v�

�= DA AC u

� ��

+ = 2 DA' = –u��

� DA A C u' ' '��

�+ = −2 DA AS u v

� ��

+ = + DA A C C F

u v

' ' ' '��

� �+ + =

− +2 2

� En posant DA u� ��

= et DB v� ��

= on complète la ligne " notation vectorielle".

On a � ��

� �� DC DA DA DA DC DA DS DA AS DA DB

DF DC C F DA DB

2 , ' , ' 2 , ,

' ' 2 2 .

= = − = − = + = +

= + = − +

Systèmes d’équations linéaires Un système de deux équations linéaires à deux inconnues est un système de la

formeax by c

a x b y c

+ =+ =

' ' '.

Résoudre ce système c’est chercher le(s) couple(s) ( ; )x y vérifiant en même temps les deux équations. Un système de deux équations linéaires à deux

inconnues peut avoir

•••

aucune solution ;

une seule solution ;

une infinité dee solutions.

On utilise essentiellement deux méthodes de résolution.

� La méthode par substitution qui consiste à exprimer l’une des variables en fonction de l’autre dans l’une des deux équations et à substituer cette expression dans l’autre équation. On se ramène alors à la résolution d’une équation à une seule inconnue.

� La méthode par combinaison linéaire consiste à multiplier chaque équation par un coefficient bien choisi pour qu’en additionnant (ou en soustrayant) les deux nouvelles équations obtenues l’une des deux inconnues" s’élimine". On se ramène alors à la résolution d’une équation à une seule inconnue.

B



Les soldes

Deux copains, Yann et Erwan achètent des chemises et des pantalons en solde. Un magasin fait une remise de 20 % sur les chemises et une remise de 40 % sur les pantalons (prix en euros).

Yann a acheté deux chemises et un pantalon pour 128 euros. Erwan lui a acheté une chemise et trois pantalons pour 184 euros.

Déterminer les prix, avant les soldes, d’une chemise et d’un pantalon.

Appelons x le prix d’une chemise en solde et y le prix d’un pantalon en solde.

L’achat de Yann nous donne l’équation 2 128x y+ = . L’achat d’Erwan nous donne l’équation x y+ =3 184.

Résolvons le système ( )[ ][ ]

.Sx y

x y2 128

3 18412

+ =+ =

Méthode par substitution

Dans [2] on obtient x y= − +3 184. On reporte cette expression dans [1] ce qui nous donne 2 3 184 128( ) .− + + =y y

On résout alors l’équation 2 3 184 128( )− + + =y y qui est bien une équation à une seule inconnue.

On obtient 240 5= y , d’où y = 48. On calcule alors x = − × + =3 48 184 40.

Appelons c le prix d’une chemise non soldée et p le prix d’un pantalon non soldé.

On sait que x c y p= =0 80 0 6, , .et D’où c p= = = =400 8

50480 6

80, ,

.et

Méthode par combinaison linéaire

( )Sx y

x y2 128

3 18412

3

1

+ =+ =

−−

La première combinaison donne− − = −

=

+

2 128

2 6 368

x y

yX.

En additionnant les deux égalités membre à membre on obtient 5 240y = .

La seconde combinaison donne6 3 384

3 184

x y

x y

+ =− − = −

.

En additionnant les deux égalités membre à membre on obtient 5 200x = .

On retrouve x y= =40 48et . On en déduit de mêmec p= =50 80et .

Donnons les résultats dans un tableau.

En solde Avant les soldes

Prix d’une chemise 40 € 50 €

Prix d’un pantalon 48 € 80 €

Exercice

Solution



� On pouvait aussi prendre pour inconnues les prix avant soldes. Si x désigne le prix d’une chemise non soldée et y le prix d’un pantalon non soldé on obtient

le système suivant 2 0 8 0 6 128× + =

×

, ,.

x y0,8 + 3 0,6 = 184x y

On peut montrer que x = 50 et y = 80 vérifient le système.

� Dans la méthode par combinaison linéaire on peut calculer x après avoir fait la première combinaison.

Le festival de Matrix

La ville de Matrix organise tous les étés un festival de musique, en plein air, sur deux jours. Le prix du billet n’est pas le même le vendredi et le samedi ; entre 2011 et 2012 le prix de chaque billet a augmenté de 1 euro.

Le tableau suivant nous donne le nombre de festivaliers et les recettes des années 2011 et 2012.

AnnéeNombre de festivaliers Recette

en eurosVendredi Samedi2011 4 000 6 500 280 5002012 4 500 8 000 348 000

Calculer le prix, en euros, de chaque billet en 2011 et en 2012.

Tous les prix sont exprimés en euros.

Désignons par x le prix d’un billet le vendredi et par y le prix d’un billet le samedi, en 2011.

Le vendredi la recette est égale à 280 500 d’où 4 000 6 500 280 500x y+ = . En divisant les deux membres par 500 on obtient comme équation 8 13 561x y+ = .

Le samedi la recette est égale à 348 000 d’où : 4 500 1 8 000 1 348 000( ) ( ) .x y+ + + =

Cela donne 4 500 8 000 335 500x y+ = .

En divisant les deux membres par 500 on obtient comme équation9 16 671x y+ = .

Résolvons le système 8 13 561

9 16 67198

16

13

x yx y

+ =+ =

−−

en utilisant les

combinaisons indiquées.

La première combinaison nous donne 11y = 319 d’où y = 29.

La seconde combinaison nous donne 11x = 253 d’où x = 23.

Les prix en 2011 et en 2012 sont indiqués dans le tableau.

Vendredi Samedi

Prix en euros2011 23 292012 24 30

Remarques

Exercice

Solution



2 Notion de matrice – Addition Multiplication par un réel

Objectifs du chapitre � Résumer une situation à l’aide de matrices.

� Faire des opérations élémentaires sur les matrices.

� Utiliser une calculatrice pour faire ces opérations élémentaires sur les matrices.

Pour débuter

L’informatique en promotion

Trois magasins spécialisés en informatique vendent, entre autres, des imprimantes, des cartouches d’encre et des ordinateurs. Pour chacun des matériels on s’intéresse uniquement à un modèle bien précis vendu en promotion durant un mois. À la fin de ce mois de promotion chaque magasin fait le bilan des ventes qui est résumé dans le tableau suivant :

Matériel informatique Prix en €

Cartouches Imprimantes Ordinateurs Achat Vente

Mag

asin

s M1 26 18 30 20 40 Cartouches

M2 28 22 20 50 80 Imprimantes

M3 24 15 25 400 600 Ordinateurs

� Déterminer, pour chacun des trois magasins, quel était le montant total des achats de matériel.

� Déterminer, pour chacun des trois magasins, la recette totale obtenue durant ce mois de promotion.

� En déduire, pour chacun des trois magasins, le montant des bénéfices du mois.� Calculer, pour l’ensemble des trois magasins, les recettes correspondant aux

ventes de chacun des trois matériels.

Moyennes trimestrielles

On connaît les moyennes trimestrielles de trois élèves d’une classe de terminale ES dans trois disciplines (Math – Philosophie – SES). Les moyennes des trois trimestres sont données dans un tableau.

A

B

Activité 1

Activité 2



Trimestre 1 Trimestre 2 Trimestre 3

Math Philo SES Math Philo SES Math Philo SES

Alix 13 12 13 15 13 11 14 14 12

Briac 16 10 12 15 10 10 17 13 14

Carole 12 8 12 14 10 12 16 12 15

� Calculer le total des trois moyennes trimestrielles, pour chaque élève et dans chacune des matières.

� Calculer la moyenne annuelle, pour chaque élève et dans chacune des matières.

Cours

1. Notion de matrice – Tableau de nombres Considérons le tableau des ventes de l’activité 1.

Ce tableau peut être présenté en y mettant uniquement les nombres, soit entre deux grandes parenthèses, soit entre deux grands crochets.

Matrice 3�3 Matrice 3�3

L L L1 2 3, , sont les 3 lignes de la matrice.

C C C1 2 3, , sont les 3 colonnes de la matrice.

C C C

L

L

L

1 2 3

1

2

3

26 18 3028 22 202

↓ ↓ ↓→

→

→ 44 15 25

C C C

L

L

L

1 2 3

1

2

3

26 18 3028 22 202

↓ ↓ ↓→

→

→ 44 15 25

Ces deux tableaux sont des matrices3 � 3

lignes colonnes

Une matrice est un tableau rectangulaire de nombres appelés coefficients (ou termes, ou éléments) de la matrice.

Si la matrice comporte n lignes et p colonnes on dit que la matrice est de dimension n p× .

Les matrices sont le plus souvent désignées par des lettres majuscules A, B, C, etc.

Définition 1

C



Mn.p =

C1 C2 …Cj …

Cp

Le coefficient situé à l’intersection de la i-ème ligne et de la j-ème colonne

est aij

aij

i numéro j numéro de ligne de colonne

L1 a11 a12 … a1j … a1p

L2 a21 a22 … a2j … a2p

Li ai1 ai2 … aij … aip

Ln an1 an2 … anj … anp

Dans la pratique on aura le plus souvent 1 4 1 4≤ ≤ ≤ ≤n pet .

� Voici quelques exemples de matrices :

A B C= − = −

=

( ) ;

,

; 1 2

2

2

0 5

1

6

2

5

3

4 ; ; ;D E

M

=

=

=

123

654

1 78 9

2 9 47 5 36 1 88

3

2

2

22

12

9

23

6610

=−

−

; N

A est une matrice ligne de dimension1 2× ;on dit aussi" vecteur ligne".

B est une matrice colonne de dimension 3 1× ; on dit aussi" vecteur colonne".

C est une matrice de dimension 2 3× alors que D est une matrice de dimension 3 2× .On dit que D est la transposée de C et on note D Ct= . Les lignes de l’une des matrices sont les colonnes de l’autre.

E est une matrice carrée (autant de lignes que de colonnes) de dimension 2 2× (on dit aussi d’ordre 2).

M est une matrice carrée 3 3× assez particulière …car la somme de ses 3 lignes, de ses 3 colonnes et de ses 2 diagonales est égale à 15 (c’est une matrice " magique" de constante 15).

N est une matrice de dimension 2 4× .

� Voici quelques matrices particulières :

O A=

=

=

−0 0 00 0 00 0 0

1 0 00 1 00 0 1

4 5 60 2 2I00 0 1

3 0 00 2 00 0 1−

=

−

B

O est une matrice nulle

I est une matrice unité

A est une matrice triangulaire

B est une matrice diagonale

Exemple 1



Il existe aussi une matrice nulle d’ordre 2, une matrice unité d’ordre 2. Les matrices unités sont parfois appelées matrices identités et notées I I I2 3 4, , ,etc. l’indice indiquant l’ordre de la matrice. Les matrices unités (ou matrices identités) interviendront dans certains exercices.

2. Égalité de deux matrices

Deux matrices A et B sont égales si elles ont la même dimension et si chaque élément de A est égal à l’élément correspondant de B.

Définition 2

Soit A et B les matrices suivantes : A =

0 12 8

etBx

y z=

0 2

3.

Déterminer les triplets ( ; ; )x y z pour que A B= .

Si A = B alors x y e z2 31 2 8= = =, .t D’où x = –1 ou x = 1, y = 4 et z = 2.

Cela donne deux triplets solutions.

On a ( ; ; ) ( ; ; )x y z = −1 4 2 ou ( ; ; ) ( ; ; ).x y z = 1 4 2

3. Addition de matrices

La matrice somme de deux matrices A et B de même dimension est la matrice obtenue en ajoutant à chaque élément de A l’élément de B qui lui correspond.

Il est possible aussi de faire la somme de trois matrices ou plus (voir exemple 3).

Définition 3

Reprenons les tableaux de l’activité 2, mis sous forme de matrices.

A B=

=13 12 1316 10 1212 8 12

15 13 1115 10 1014 1

;00 12

14 14 1217 13 1416 12 15

=

; C d’où

A B C+ + =

42 39 3648 33 3642 30 39

.

Exemple 2

Solution

Exemple 3



4. Multiplication d’une matrice par un réel

La matrice A définie par A =

254032

est une matrice de prix de vente H.T.

On suppose que le taux de la TVA est de 20 %.

Déterminer la matrice B des prix de vente T.T.C.

Le coefficient multiplicateur est égal 1,20. On doit donc multiplier tous les éléments de A par 1,20.

On obtient B =

3048

38 4,.

On peut aussi écrire1 2, × =A B ou encore 1 2254032

3048

38 4,

,.×

=

Le produit d’une matrice A par un réel k est la matrice k A obtenue en multipliant tous les termes de A par le réel k.

Cas particulier : k = – 1. La matrice ( )− = −1 A A est la matrice opposée de A.

Définition 4

� Pour toutes matrices A et B de même dimension et pour tout réel k on a

k A B k A k B( ) .+ = +

Propriété 2

5. Calculatrices et matrices (1/2)

La TI-82 Stats.fr possède 10 variables de type matrice : [A] [B]……[ I] [J].

La Casio Graph 35+ possède 26 variables de type matrice : A, B, ……, Z.

Exemple 4

Solution

� Pour toute matrice A on a : A + O = O + A = A où O est la matrice nulle de même dimension que A.

� Si les matrices A et B sont de même dimension alors A B B A+ = + .

Propriété 1



TI-82 Stats.fr Casio Graph 35+

On choisit de créer la matrice carrée A =

2 9 47 5 36 1 8

.

matrice

�

On peut aussi faire � �

au lieu de

�

MENU (RUN) EXE F3

( � MAT)

1 EXE

3 entrer 3 entrer

(indique la dimension de [A])3 EXE 3 EXE EXE

2 entrer 9 entrer 4 entrer



2 EXE 9 EXE ... 1 EXE 8 EXE

2nde quitter matrice EXIT

EXIT

1 entrer

(affiche la matrice [A])

MENU (RUN) EXE OPTN

F2 (MAT) F1

(Mat) ALPHA

A EXE

On choisit de créer la matrice carrée B =

2 1 11 1 21 3 4

matrice � 2EXIT

EXIT

F3

( � MAT) �



3 entrer 3 entrer EXE 3 EXE 3 EXE

EXE




2 EXE 1 EXE ... 3 EXE 4 EXE

Addition de deux matrices On additionne [A] et [B]

2nde

quitter matrice 1 + matrice 2 entrer

EXIT

EXIT

MENU

(RUN) EXE OPTN F2

(MAT) F1 (Mat)

ALPHA A + F1 (Mat)

ALPHA B EXE

Multiplication par un réel On multiplie [A] par 3

3 � matrice 1 entrer

(le � n'est pas obligatoire)

3 � F1 (Mat)

ALPHA A EXE

Matrices particulières

Matrice identité d’ordre 3

matrice � 5 3 ) entrer

(en changeant le 3 en 2 on a I2)

MENU (RUN) EXE OPTN

F2 (MAT) F6 (�) F1 (Iden)

3 � F6 (�) F1

dim

}

(Mat) ALPHA I EXE

Matrice transposée de A

matrice 1 matrice � 2

entrer

MENU (RUN) EXE OPTN

F2 (MAT) F4

(Trn) F1 (MAT) ALPHA A

EXE

Noter les différences entre � MAT ; MAT et Mat ; le 1er est obtenu à partir de F3, le 2nd à partir de F2, le 3e à partir de F1.

dim

}



Exercices d’apprentissage

M est une matrice 3 3× telle que a i jij = + . Écrire la matrice M.

N est une matrice 3 3× telle que a i jij = −2 . Écrire la matrice N.

On donne les trois matrices suivantes :

A B=−

− −

=−

−− −

2 3 2

4 0 0 5

1 5 1 1

1 0 5 3

3 1 5 2

1 4

,

,

,

,

,

55

5 2 2 6

3 1 5 34 1 5

=−− −− −

,

,

, .C

Vérifier, sur cet exemple, que : A B C A B C+ + = + +( ) ( ) .

On donne les trois matrices suivantes :

Ax

xB

yy

S=

=

−

= −

3

0 2

2

11 11 7

, , .

Déterminer les réels x et y pour que A B S+ = .

On donne A

a a

a a

a a

Xx y zy z xz x y

=−

−−

=

0

0

0

,

=

, .M3 0 32 2 21 4 1

Calculer x, y et z pour que l’on ait A X M+ = .

On pose M A B=

=

−−

−

=6 1 87 5 32 9 4

0 3 3

3 0 3

3 3 0

, ,66 4 54 5 65 6 4

.

La matrice M est une matrice magique.

� Les matrices A et B sont-elles magiques ? Vérifier que A B M+ = .

� Écrire la matrice tM, transposée de M (échanger les lignes et les colonnes).

� Vérifier que A M Mt= −12

( ) etB M Mt= +12

( ).

D

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4

Exercice 5



3 Multiplication de matrices

Objectifs du chapitre

� Apprendre à multiplier une matrice ligne par un vecteur colonne, une matrice par un vecteur colonne.

� Multiplier deux matrices entre elles (quand cela est possible).

� Apprendre à inverser une matrice (quand cela est possible).

� Utiliser une calculatrice pour faire ces diverses opérations sur les matrices.

Pour débuter

Réservation d’hôtel

Un responsable gérant trois hôtelsH , H et H ,1 2 3 fixe les prix des pensions complètes selon la catégorie de l’hôtel et suivant le confort et la taille des chambres (E : économique ; S : standard ; F : familiale).

La matrice A donne les tarifs, en euros, de la pension complète pour une journée.

Une agence de tourisme T1 souhaite retenir dans chaque hôtel, pendant la haute saison, 15 chambres économiques, 20 chambres standard et 10 chambres familiales.

Une agence de tourisme T2 souhaite retenir dans chaque hôtel, pendant la haute saison, 10 chambres économiques, 15 chambres standard et 8 chambres familiales.

Les deux vecteurs colonneT1 etT2 indiquent le nombre de réservations faites par chacune des deux agences.

Pour le gérant la matrice T résume le nombre de réservations faites par les deux agences.

E S F

A =

←

←

←

50 60 8060 80 10080 100 120

1

2

3

H

H

H

T1

152010

=

←←←

ESF

T2

10158

=

←←←

E

FS T =

←←←

15 1020 1510 8

E

FS

A

B

Activité 3



� Calculer le coût de réservation journalier dans chacun des trois hôtels pour l’agence T1. Écrire les résultats sous forme d’un vecteur colonne.

� Calculer le coût de réservation journalier dans chacun des trois hôtels pour l’agence T2 . Écrire les résultats sous forme d’un vecteur colonne.

� Pour le gérant des trois hôtels le coût de réservation journalier des deux agences peut s’écrire sous forme d’une matrice 3 2× , notée G. Écrire la matrice G.

Cours

1. Multiplication d’une matrice ligne par un vecteur colonne

Ecrivons, pour l’agence T1, le coût de réservation journalier dans l’hôtel H1 50 15 60 20 80 10 2 750: .× + × + × =

Ce coût est égal au produit d’une matrice ligne par un vecteur colonne dont une disposition est la suivante :

15

20

10

50 60 80( )

(2 750)

2. Multiplication d’une matrice par un vecteur colonne

Dans la première question de l’activité 3 le vecteur colonne obtenu est le produit de la matrice A par le vecteur (ou la matrice) colonneT1 et se note A T AT× 1 1( ).ou

Le premier élément de A T× 1 est le produit de la première ligne de A par le vecteur colonneT1.

Le deuxième élément de A T× 1 est le produit de la deuxième ligne de A par le vecteur colonneT1.

Le troisième élément de A T× 1 est le produit de la troisième ligne de A par le vecteur colonneT1.

De même, dans la deuxième question de l’activité 3 le vecteur colonne obtenu est le produit de la matrice A par le vecteur (ou la matrice) colonne T2 et se noteA T AT× 2 2( ).ou

C

Explication du calcul :

50 75× × ×15+ 60 20 +80 10 = 2 0.



À l’aide de ces deux exemples concrets on peut donner la définition générale à partir d’un exemple abstrait.

Nombre de colonnes de A = nombre de lignes de X.

Une ville organise, durant un weekend, une séance de cinéma et une pièce de théâtre pour les enfants.

Le samedi 520 enfants vont voir le film alors que 450 vont au théâtre. Le dimanche 640 enfants vont au cinéma alors que 560 vont voir la pièce de théâtre. Le prix de la séance de cinéma est de 6,50 € et celui de la pièce de théâtre 8,50 €.

Déterminer les recettes du samedi et du dimanche sous forme d’un produit d’une matrice par une matrice colonne.

Écrivons le nombre d’enfants assistant aux deux spectacles le samedi et le dimanche sous forme d’une matrice 2 2× .

Soit la matrice et la matricA SD

=

←←

520 450640 560

ee colonne P =6 508 50

,,

.

↑ ↑cinéma théâtre

Les recettes seront données par les deux lignes de la matrice A P× .

A P× =

×

= ×520 450

640 5606 508 50

520,,

6,5+ 4550 8,5640 6,5+560 8,5

×× ×

d’où

A P× =

7 205

8 920.

La recette du samedi est de 7 205 € et celle du dimanche de 8 920 €.

Remarque

Exemple 5

Solution

Soit les deux matrices A et X telles que

A =

2 5 64 3 8

et Xxyz

=

.

La matrice produit A X× est la matrice

colonne2 5 6

4 3 8

x y zx y z

+ ++ +

.

Disposition pratique

xyz

X

��

2 5 64 3 8

A� ��

2 5 6

4 3 8

x y zx y z

A

+ ++ +

× X� ��

Définition 5



3. Multiplication de deux matricesRevenons à la troisième question de l’activité 3.

A T× =

×50 60 8060 80 10080 100 120

15 1020 1510 8

=

2 750 2 040

3 500 2 600

4 400 3 260

.

Disposition pratique

15 1020 1510 8

T� ��

50 60 8060 80 10080 100 120

A� ��

2 750 2 040

3 500 2 600

4 400 3 260

×A T� ��

� La première colonne de la matrice A T× est obtenue en multipliant successivement chaque ligne de A par la première colonne de T.

� La deuxième colonne de la matrice A T× est obtenue en multipliant successivement chaque ligne de A par la deuxième colonne de T.

Soit A et B deux matrices telles que le nombre de colonnes de A soit égal au nombre de lignes de B.

La matrice produit A B× s’obtient en multipliant chaque vecteur ligne de A par chaque vecteur colonne de B.

Définition 6

On donne A B C=−

=

=

0 5 20 5 3

4 21 3

20 1220 13

,,

, , =

et I 1 0

0 1.

� Déterminer les matrices A , C× × ×I I IB et .

� Justifier que les produits A B× etB A× existent. Calculer A B× etB A× . Comparer les deux produits obtenus ; que peut-on en déduire ?

� Justifier que les produits A × A etB B× existent. Déterminer le produit A A× , noté A2, et le produit B B× , notéB2.

Déterminer le produitB B B B× × = 3.

� Calculer les produits ( )A B C× × et A B C× ×( ). Que peut-on en déduire ?

Exemple 6



� On montre que A A B B× × ×I I I= = =, et C C.

� Le produit A B× existe car le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B. Le produitB A× existe car le nombre de colonnes de B est égal au nombre de lignes de A.

On a A B× =−

×

=

0 5 20 5 3

0 5

5 10

,,

4 21 3

et

B A× =

×

−

= −

4 2

1 31 141 11

0,5 20,5 3

.

D’après les résultats obtenus on peut dire que A B B A× ≠ × .

Comme A B B A× ≠ × , il faut faire attention à l’ordre des matrices.

� Comme A et B sont des matrices carrées les produits A A× etB B× existent.

On a A A× =−

×−

=0 5 20 5 3

0 5 20 5 3

1 25 5

1

,,

,,

,

,225 10

et

B B× =

×

=

4 21 3

4 21 3

18 147 11

.

D’où A2 1 25 51 25 10

=

,,

et B2 18 147 11

=

.

CalculonsB B B B B B3 2= × × = × . On aB3 4 21 3

=

×

18 147 11

.

D’oùB3 86 7839 47

=

.

� Calculons ( )A B C× × =

×

=0 5

5 10

100 65

300 1920 1220 13 00

.

A B C× × =−

×

=( ),,

0 5 20 5 3

100120 7480 51

665

300 190

.

On obtient les résultats sur deux écrans de calculatrice.

On constate, sur cet exemple, que ( ) ( ).A B C A B C× × = × ×

Solution

Remarque



On admet les propriétés suivantes où A B, et C désignent trois matrices (on suppose que les sommes et les produits de matrices existent) :

� En général A B B A× ≠ × .

� Pour toute matrice carrée A on a A A A× = × =I I (où I est la matrice unité de même ordre que A).

� ( ) ( ).A B C A B C× × = × ×

� A B C A B A C× + = × + ×( ) et( ) .A B C A C B C+ × = × + ×

� Pour tout k réel, A kB kA B k A B× = × = ×( ) ( ) ( ).

Propriété 3

Pour n entier et n A A A A An

n

≥ = × × × ×1, .......fois

� ��

4. Inverse d’une matrice

Soit A et B les deux matrices définies par A =

8 53 2

etB =−

−

2 5

3 8.

Calculer A B× et B A× . Que constate-t-on ?

On a A B× =

×

−−

=

=8 5

3 2

2 5

3 81 00 1 2I

et B A× =−

−

×

=

=

2 5

3 88 53 2

1 00 1 2I .

On constate que A B B A× = × = I2. On dit que la matrice B est la matrice inverse de A et on noteB A= −1.

De même la matrice A est la matrice inverse de B et on note A B= −1.

Soit A une matrice carrée. S’il existe une matrice B telle que A B B A× = × = I , cette matrice B est appelée matrice inverse de A et on noteB A= −1. On dit dans ce cas que la matrice A est inversible.

Définition 7

On peut montrer que l’une des deux conditions A B× = I ou B A× = I suffit pour montrer que A est inversible.

Si B est l’inverse de A alors A est l’inverse de B.

Montrer que la matrice A telle que A =

2 34 6

n’a pas de matrice inverse.

Notation

Exemple 7

Solution

Remarque

Conséquence de la définition.

Exemple 8



Supposons que la matrice A possède une matrice inverse, notée B. On a doncA B B A× = × = I.

Posons B a bc d

=

et calculons le produit A B× .

On a A B a c b da c b d

× =

×

= + ++ +

2 34 6

2 3 2 34 6 4 6

a bc d

.

Comme A B× = I on devrait avoir 2a + 3c = 1 et 4a + 6c = 0.

L’équation 4a + 6c = 0 peut aussi s’écrire 2(2a + 3c) = 0.

On obtient donc 2a + 3c = 1 et 2a + 3c = 0 ; on arrive à une contradiction car 1 ≠ 0. La supposition" la matrice A possède une matrice inverse" est donc fausse. Ainsi la matrice A ne possède pas de matrice inverse.

La démonstration que l’on vient de faire est une démonstration par l’absurde.

� Toutes les matrices n’admettent pas de matrice inverse.

Si une matrice carrée A possède une matrice inverse, notée A−1, alors

A A A A× = × =− −1 1 I .

La matrice inverse de A−1 est la matrice A. D’où A A− −( ) =1 1.

Propriété 4

5. Calculatrices et matrices (2/2)

TI-82 Stats.fr Casio Graph 35+

Multiplication de deux matrices On multiplie [A] par [B]

matrice


MENU (RUN) EXE OPTN

F2 (MAT) F1

(Mat)

ALPHA

A � F1 (Mat)

ALPHA B EXE

On multiplie [B] par [A]

matrice


F1 (Mat) ALPHA

B �

F1 (Mat)

ALPHA

A EXE

Élever une matrice à une puissance n On calcule [A]3

matrice

1 ^ 3 entrer

(pour n = 2 on peut faire

matrice

1 x2 entrer )

F1 (Mat) ALPHA

A ^

3 EXE

Solution

Remarque



Inverse d’une matrice Inverse de [B]

matrice 2 x–1 entrer �

(la touche � permet de faire défiler l’écran)

F1 (Mat) ALPHA

B SHIFT

x–1 EXE

Puis, éventuellement, F Dpour le mode décimal.

Inverse de C =

2 63 9

matrice 3 x–1 entrer

(C n’est pas inversible)

F1 (Mat) ALPHA

C SHIFT

x–1 EXE


On donne A = −− −

12

1 3

3 1.

Déterminer les matrices A A2 3et . En déduire la matrice A−1, matrice inverse de A.

Déterminer la matriceB A A A= + +2 3.

On considère la matrice A a bc d

=

et la matriceB

d b

c a=

−−

.

Calculer A B× et en déduire que, si ad bc− ≠ 0, la matrice A est inversible. Déterminer alors la matrice A−1.

On considère les matrices A B C=

=

=

0 10 0

1 00 1

1 10 1

, .et

Vérifier que A B A C× = × . Ceci nous montre que l’on peut avoir A B A C× = ×et B C≠ .

On donne A = −−

1 11 1

et B =

2 32 3

.

Calculer A B× . Que peut-on en déduire ?

Soit A la matrice définie par A =− −

−− −

2 2 4

1 3 4

1 2 3

.

� Déterminer, en utilisant une calculatrice, si la matrice inverse de A existe.

� Calculer A2 et A3 puis conjecturer, pour n entier, la matrice An .

� Calculer ( ) .2 2A − I En déduire la matrice inverse de la matrice 2A − I .

D

Exercice 6

Exercice 7

Exercice 8

Exercice 9

Exercice 10



Dans un pays, deux sociétés A et B se partagent le marché des télécommunications. Le 1er janvier 2010 les clients souscrivent, soit auprès de A, soit auprès de B, un contrat d’un an au terme duquel ils sont libres à nouveau de choisir soit A, soit B.

L’année 2010, la société A détient 90 % du marché et la société B, qui vient de se lancer, 10 %. On estime que, chaque année, 20 % de la clientèle de A change pour B alors que 30 % de la clientèle de B change pour A.

On considère une population de 1 000 clients de l’année 2010. Ainsi, 900 sont clients de la société A et 100 clients de la société B. On veut étudier l’évolution de cette population les années suivantes.

Résumons les évolutions de clientèle dans un tableau.

Notons an le nombre de clients de A l’année (2010 + n) et bn le nombre de clients de B l’année (2010 + n).

Désignons par ( )a bn n la matrice ligne indiquant le nombre de clients respectifs en (2010 + n).

La matrice ligne ( )a b0 0 décrit donc l’état initial des clients en 2010, d’où( ) ( ).a b0 0 900 100=

Soit C la matrice définie par C =

0 8 0 20 3 0 7

, ,, ,

.

� Déterminer la matrice ligne ( )a b1 1 et vérifier que :( ) ( ) .a b a b C

1 1 0 0= ×

� On admet que, pour tout n a b a b Cn nn≥ = ×0 0 0, ( ) ( ) .

Calculer le nombre de clients de chaque société en 2012, en 2015 et en 2020. Quelle(s) conjecture(s) peut-on faire ?

Exercice 11

Vers

A B

DeA 0,8 0,2

B 0,3 0,7



4 ApplicationsObjectif du chapitre

� Résoudre des systèmes d’équations linéaires sous forme matricielle en utilisant une calculatrice.

Pour débuter

Les trois joueurs

Trois amis jouent ensemble trois parties. À chaque partie le perdant double l’avoir des deux autres joueurs. Chaque joueur perd une partie et à la fin du jeu chacun possède 240 €.

On note x, y et z les avoirs initiaux respectifs, en euros, de chacun des trois joueurs appelés X, Y et Z.

On suppose que X perd la 1re partie, Y perd la 2e et Z perd la 3e.

On considère le système ( )Sx y z

x y zx y z

− − =− + − =− − + =

60

3 120

7 240

� Montrer que le problème peut se ramener à résoudre le système ( ).S

� Résoudre le système ( )S par deux méthodes :

1re méthode Se ramener, en utilisant des combinaisons, à un système de deux équations à deux inconnues. Résoudre ce nouveau système 2�2 (soit par substitution, soit par combinaison) et terminer la résolution.

2e méthode (résolution sous forme matricielle)

Soit A Vxyz

=− −

− −− −

=

1 1 1

1 3 1

1 1 7

, et BB =

60120240

.

Montrer que le système ( )S peut se mettre sous la forme matricielle A V B× = . Vérifier sur une calculatrice que la matrice inverse de A existe. En déduire queV A B= ×−1 . Déterminer V à l’aide d’une calculatrice.

� En déduire les avoirs initiaux de chacun des trois joueurs.

A

B

Activité 4



Tableau entrées-sorties

Considérons une région virtuelle où l’économie (très) simplifiée se décompose en deux branches : l’agriculture et l’industrie. Toutes les productions et toutes les consommations seront données en unité monétaire (UM).

Agriculture : Une production de 200 UM est répartie entre consommations intermédiaires et consommation finale.

Industrie : Une production de 800 UM est répartie entre consommations intermédiaires et consommation finale.

� Écrire le vecteur colonne X des productions.

Écrire le vecteur colonne C des consommations intermédiaires et le vecteur colonne F des consommations finales.

� Recopier et compléter le tableau d’échanges suivant :

Consommations intermédiaires Consommation

finaleProduction

De l’agriculture De l’industrie

Agriculture c11 = 20 c12 = 80 x = …

Industrie c21 = 60 c22 = 320 y = …

Ce tableau est aussi appelé" tableau entrées-sorties" (en abrégé : TES).

� On définit la matrice des coefficients techniques A par :

Aa a

a a

cx

cy

cx

cy

=

=

11 12

21 22

11 12

21 22

=

0 1, ...... ...

.

a. Déterminer la matrice A.

b. Calculer A X× et vérifier que l’on obtient le vecteur colonne C des consommations intermédiaires.

c. Exprimer par une égalité matricielle le fait que la production soit égale à la somme des consommations intermédiaires et de la consommation finale.

En déduire queF A X= − ×( ) ,I où I est la matrice identité d’ordre 2. Montrer que les données de l’énoncé vérifient cette égalité.

d. Exprimer la matrice X en fonction des matrices I , .A Fet

Activité 5



� On admet dans la suite de l’activité que la matrice A reste stable. On suppose que la production agricole augmente de 5 %. Calculer les nouvelles consommations finales (les calculs matriciels seront faits à la calculatrice).

� a. On souhaite augmenter chaque consommation finale de 10 %. Déterminer les productions agricoles et industrielles qui vont permettre de satisfaire cette demande.

b. On souhaite augmenter la consommation en produit agricole de 10 % et celle de la consommation industrielle de 5 %. Déterminer les productions agricoles et industrielles qui vont permettre de satisfaire cette demande (arrondir les résultats à 0,001 près).

Cours

1. Écriture matricielle d’un système

Système linéaire Écriture matricielle

Si A

est

inve

rsib

le

Résolution

2�2a x a y

a x a y11 12

21 22

+ =+ =

αβ

Aa a

a a=

11 12

21 22 , X x

y=

,

B =

αβ

AX B=

A A X A B− −× × = ×1 1

I��

I × = ×−X A BX�

1

X A B= −1

3�3

a x a y a z

a x a y a z

a x a y a z

11 12 13

21 22 23

31 32 33

+ + =+ + =+ + =

αβγγ

A

a a a

a a a

a a a

=

11 12 13

21 22 23

31 32 33

Xxyz

=

,B =

αβγ

AX B=

A A X A B− −× × = ×1 1

I��

I × = ×−X A BX�

1

X A B= −1

n �n ... AX B= X A B= −1

C



On considère le système ( )S de 2 équations linéaires à 2 inconnues suivant

4 3 3

7 4

x yx y

− =+ =

.

Mettre ce système sous forme matricielle.

Utiliser une calculatrice pour résoudre le système ( ).S

Considérons les matrices A X xy

B= −

=

=

4 37 1

34

, .et

L’écriture matricielle du système est A X B× = .

Pour résoudre le système ( )S il faut trouver X. Cherchons si A est inversible.

D’après la copie d’écran 1 on peut dire que A est inversible.

Écran 1 Écran 2

On peut écrire A A X A B− −× × = ×1 1

I�� d’où I × = ×−X A B

X�

1 , ce qui donne

X A B= ×−1 .

La copie d’écran 2 nous donne x = 0,6 et y = – 0,2. Sous forme fractionnaire on

obtient x = 35

et y = − 15

.

Le couple35

15

; −

est l’unique solution du système.

En appelant E l’ensemble des solutions du système ( )S on obtient

E = −

35

15

; .

On considère le système ( )S de 3 équations linéaires à 3 inconnues suivant 2 3 13

4

3 2 2

x y zx y zx y z

− + =+ − = −+ + =

.

Mettre ce système sous forme matricielle.Utiliser une calculatrice pour résoudre le système ( ).S

Considérons les matrices A Xxyz

B=−

−

=

=2 1 3

1 1 1

3 2 1

13, et −−

42

.

L’écriture matricielle du système est A X B× = .

Exemple 9

Solution

Exemple 10

Solution



Pour résoudre le système ( )S il faut trouver X. Cherchons si A est inversible.

D’après la copie d’écran 1, on peut dire que A est inversible.

Écran 1 Écran 2

On sait que X A B= ×−1 d’où x = 1, y = – 2, z = 3. Le système admet une solution unique, le triplet (1 ; – 2 ; 3).

E étant l’ensemble des solutions du système on a E = −{ }( ; ; ) .1 2 3

2. Matrice de Léontief (Wassily Léontief 1905 – 1999)

Le modèle de Léontief est un modèle linéaire de production assez particulier : considérons un pays virtuel, sans échange extérieur, où l’économie très simplifiée se compose de n secteurs (on prendra en général n ≤ 4).

Chaque secteur consomme des productions des autres secteurs et, éventuellement, une partie de sa propre production : ce sont les consommations intermédiaires. Le reste correspond à la consommation finale (ou demande).

Un tel modèle est dit fermé car, sans échange extérieur, il satisfait à ses propres besoins. Un tel modèle n’est cependant pas très fréquent.

Donnons un tableau entrées-sorties pour 2 secteurs (le principe est le même pour 3 ou 4 secteurs).

Consommations intermédiaires Consommation

finale (ou demande)

ProductionS1

S2 Total

S1 c11 c12 c11 +

c12 d1 = x – ( c11 +c12 ) x

S2 c21

c22 c21 +

c22 d2 = y – ( c21 +c22 ) y

Posons Aa a

a a

cx

cy

cx

cy

=

=

11 12

21 22

11 12

21 22

=

=

, .Dd

dX x

y1

2et



Cette matrice A est appelée matrice technologique ou matrice des coefficients techniques (ou matrice des coefficients d’échanges).

La relation" production = consommations intermédiaires + consommation finale" se traduit par la relation matricielle suivante : X AX D= + qui s’écrit aussi X AX D− = , d’où ( )I − =A X D (où I = I2, matrice unité d’ordre 2).

Si ( )I − A est inversible, la matrice production X est telle que X A D= − −( ) .I 1

Une économie comporte deux secteurs de production : l’acier et l’électricité.

La production d’un euro d’acier nécessite : 0,3 euro d’acier et 0,2 euro d’électricité.

La production d’un euro d’électricité nécessite : 0,5 euro d’acier et 0,1 euro d’électricité.

Les demandes des consommateurs correspondent à 200 000 euros d’acier et 500 000 euros d’électricité.

Soit x la quantité d’acier et y la quantité d’électricité à produire, exprimées en milliers d’euros.

1) Montrer que x et y vérifient le système : 0 3 0 5 200

0 2 0 1 500

, ,

, ,.

x y xx y y

+ + =+ + =

2) a. Écrire la matrice technologique A et vérifier que A X C X+ = où X xy

=

et C =

200500

.

b. Exprimer C en fonction de A et X puis X en fonction de A et C.

3) À la calculatrice déterminer x et y. Donner les quantités d’acier et d’électricité à produire, exprimées en euros.

1) On sait que" production = consommations intermédiaires + demande des consommateurs".

Les quantités sont exprimées en milliers d’euros.

Pour l’acier on obtient x x yProductiond acier

Consommationser'

, ,� = +0 3 0 5

int mmédiairesDemande

� �� + 200 .

Pour l’électricité on obtient y x yProductiond'électricité

Consommation� = +0 2 0 1, ,

ssintermédiaires

� �� + 500Demande

.

Les inconnues x et y vérifient donc le système 0 3 0 5 200

0 2 0 1 500

, ,

, ,.

x y xx y y

+ + =+ + =

2) a. La matrice technologique A est telle que A =

0 3 0 50 2 0 1, ,, ,

.

SoitC =

200500

et X xy

=

.

Exemple 11

Solution



Le système obtenu peut s’écrire sous forme matricielle :

0 3 0 50 2 0 1

200500

, ,, ,

+

A X

xy

� ��

=

C X

xy

��

.

D’où A X C X+ = .

b. L’égalité précédente peut s’écrire X A X C− = d’où ( ) .I − =A X C

La matrice colonne X s’exprime en fonction de I et de A par la relation

X A C= − −( ) .I 1

3) Voici ce que l’on obtient sur l’écran d’une calculatrice (ce qui prouve l’existence de ( )I − −A 1) :

Ainsi x = 811,321 et y = 735,849 (arrondis au millième). Pour satisfaire les consommations intermédiaires et les demandes des consommateurs il faut produire :

811 321 euros d’acier et 735 849 euros d’électricité.


Dans le plan muni d’un repère on considère les points E 17

15; −

et F − −

53

1; .

L’équation réduite de la droite ( )EF s’écrit sous la forme y = a x + b.

� Écrire un système où les deux inconnues sont a et b.

� Résoudre ce système par substitution ou par combinaison linéaire et donner l’équation réduite de la droite ( ).EF

� Résoudre ce système, mis sous forme matricielle, à l’aide d’une calculatrice.

� On considère le système suivant

2 7

6 6 2 21

24 6 15

y zx y zx y z

+ =+ + =+ + =

.

Donner une écriture matricielle de ce système. Résoudre ce système en utilisant une calculatrice.

� Soit f la fonction définie sur l’intervalle ] ; [− +∞2 parf x ax bc

x( ) = + +

+ 2 et

( )C sa courbe représentative dans un repère du plan.

La courbe ( )C passe par les trois points A B D0 ;72

et

, ; ; .172

452

Calculer les constantes a, b et c. En déduire l’expression def x( ) en fonction de x.

D

Exercice 12

Exercice 13



On considère le système suivant

x y z tx y z tx y z tx y z t

+ + + =− + − = −

− + − + = −+ − +

2 3 4 5

2 1

3 2 3 14

4 3 ==

13

.

Donner une écriture matricielle de ce système. Résoudre ce système en utilisant une calculatrice.

Une entreprise embauche des commerciaux, les uns sous contrat A travaillant 35 h et payés 550 € par semaine, les autres sous contrat B travaillant 20 h et payés 220 € par semaine.

Le chef d’entreprise dispose de 370 h de travail et d’un budget de 5 060 € par semaine.

On note x le nombre de personnes embauchées sous contrat A et y le nombre de personnes embauchées sous contrat B.

� Traduire les informations précédentes par un système de deux équations à deux inconnues.

� Écrire ce système sous forme matricielle et le résoudre.

� Donner le nombre de commerciaux embauchés : sous contrat A, sous contrat B.

L’économie simplifiée d’un pays virtuel se décompose en trois secteurs : l’agriculture, l’industrie et les services.

Pour produire 1 UM (unité monétaire) de produits agricoles il faut : 0,2 UM de produits agricoles, 0,4 UM de produits industriels.

Pour produire 1 UM (unité monétaire) de produits industriels il faut : 0,2 UM de produits agricoles, 0,6 UM de produits industriels et 0,2 UM de services.

Pour produire 1 UM (unité monétaire) de services il faut : 0,2 UM de produits industriels et 0,2 UM de services.

La demande finale est de 100 UM de produits agricoles, 300 UM de produits industriels et 200 UM de services.

On désigne par x, y, z les productions, en UM, du secteur agricole, du secteur industriel et du secteur des services.

� Les inconnues x, y, z vérifient un système (S) de trois équations linéaires à trois inconnues. Écrire le système (S).

� Donner la matrice technologique et en déduire une écriture matricielle du système (S).

� Calculer le niveau de production de chaque secteur permettant de satisfaire les consommations intermédiaires et les demandes finales.

� La demande finale en produits industriels baisse de 5 % alors que la demande finale dans le secteur des services augmente de 10 %. Calculer le niveau de production de chaque secteur permettant de satisfaire ces demandes.

Exercice 14

Exercice 15

Exercice 16



5 Synthèse de la séquence

� Une matrice est un tableau rectangulaire de nombres de dimension n p× .

� Si n = p on dit que la matrice est une matrice carrée d’ordre n.

� Une matrice unité (ou matrice identité) est une matrice carrée dont la diagonale principale est constituée de 1, les autres termes étant tous nuls.

Les matrices I I2 31 00 1

1 0 00 1 00 0 1

=

=

, , .etc sont des matrices

unités.

� Addition de matrices de même dimension : on additionne les éléments correspondants.

Si les matrices A et B sont de même dimension alors A B B A+ = + .

� Multiplication d’une matrice A par un réel k : on multiplie tous les termes de A par k.La matrice −A est la matrice opposée de A.

Si A et B sont de même dimension alors k A B k A k B( ) .+ = +

� La matrice transposée de A, notée t TA A( ),ou s’obtient en échangeant les lignes et les colonnes de A.

� 2 3 5 2 3 5( ) ×

= + +

xyz

x y z

nombre réel� ��

.

�

� ��

×

=+ ++ ++ +

×

xyz

x y z

x y zx y z

1 6 57 2 48 9 3

6 5

7 2 4

8 9 3

.

A X A X

Disposition pratique.

xyz

X

�

1 6 57 2 48 9 3

A� ��

+ ++ ++ +

×

x y zx y zx y z

6 5

7 2 4

8 9 3

A X



� −−

×− −

−

1 0 32 3 13 0 2

0 2 31 4 2

2 1 0

A� ��

=−

− −

×B A B� ��

6 1 3

5 15 12

4 8 9��

.

Expliquons le calcul donnant a23 =12.

On multiplie la 2e ligne de A par la 3e colonne de B.

(– 2)�(– 3) + 3 � 2 + 1 � 0 = 6 + 6 = 12.

A B A�B

Dimension n �p p �m n �m

Le produit A�B n’existe pas toujours.

� En général A B B A× ≠ × .

� Pour toute matrice carrée A on a A A A× = × =I I (où I est la matrice unité de même ordre que A).

� ( ) ( ).A B C A B C× × = × ×

� A B C A B A C× + = × + ×( ) et ( ) .A B C A C B C+ × = × + ×

� Pour tout k réel, A k B k A B k A B× = × = ×( ) ( ) ( ).

� Pour n entier et n A A A A An

n

≥ = × × × ×1, .......facteurs

� ��

� Si une matrice carrée A possède une matrice inverse, notée A−1, alors

A A A A× = × =− −1 1 I . On a A A− −( ) =1 1.

Certaines matrices carrées n’admettent pas de matrice inverse.

� Résolution d’un système d’équations linéaires (à l’aide de la calculatrice).

Tout système de n équations linéaires à n inconnues peut s’écrire sous forme matricielle : AX B= .

La matrice A est d’ordre n alors que les matrices X et B sont des matrices colonnes de dimension n ×1.

Si la matrice A est inversible un tel système possède une solution unique et on

obtient : X A B= −1 .

Disposition pratique.

� ��

− −

−

B

2

0

0 2 31 4

2 1

2 3 1

� ��

−−

−

A

1 0 3

3 0 2

6

4 8 9

1 3−

×

− −

5 15 12

A B� ��



� Matrices de Léontief

Le modèle fermé de Léontief est un modèle linéaire de production, sans échange extérieur, qui satisfait à ses propres besoins.

Chaque secteur consomme des productions des autres secteurs et, éventuellement, une partie de sa propre production : ce sont les consommations intermédiaires. Le reste correspond à la consommation finale (ou demande).

Donnons un tableau entrées-sorties pour 3 secteurs.

Consommations intermédiairesConsommation finale

(ou demande)Production

S1 S2 S3

Total

S1 c11 c12 c13

c11 +c12

+c13 d1 = x – ( c11 +c12 +c13 ) x

S2 c21

c22 c23 c21

+c22 +c23 d2 = y – ( c21 +c22 +c23 ) y

S3 c31 c32 c33 c31 +c32 +c33 d3 = z – ( c31 +c32 +c33 ) z

Posons

A

a a a

a a a

a a a

cx

c

=

=11 12 13

21 22 23

31 32 33

11 112 13

21 22 23

31 32 33

y

c

z

cx

cy

c

zc

x

c

y

c

z

=

=

, .D

d

d

d

Xxyz

1

2

3

et

A est la matrice des coefficients techniques (ou matrice des coefficients d’échanges, ou matrice technologique).

La relation matricielle X AX D= + s’écrit aussi X AX D− = , d’où ( )I − =A X D (où I = I3 , matrice unité d’ordre 3).

Si ( )I − A est inversible, la matrice production X est telle que

X A D= − −( ) .I 1



6 Exercices de synthèseDans le plan muni d’un repère on considère les pointsA B C( ; , ) , ( ; ) ( ; ).2 2 5 1 5 3 3− − et

Soit � la parabole d’équation y ax bx c= + +2 passant par ces trois points.

� Écrire un système de trois équations à trois inconnues qui sont a, b et c.

� Mettre ce système sous forme matricielle puis déterminer les valeurs de a, b et c.

En déduire l’équation de la parabole �.

� Calculer les coordonnées du sommet K de la parabole �.

En janvier 2012 les 2 000 clients d’une banque se répartissent en deux catégories distinctes.

I : les clients Internet.

En janvier 2012, 92 % des clients de la banque sont des clients d’agence et 8 % des clients sont des clients Internet.

On admet que, chaque mois, 5 % des clients d’agence deviennent clients Internet et inversement 1 % des clients Internet deviennent clients d’agence.

On suppose que le nombre de clients de la banque reste constant au cours du temps et qu’un client ne peut faire partie des deux catégories.

Notons a1 le nombre de clients d’agence en janvier 2012 et i1 le nombre de clients Internet en janvier 2012.

Le mois de janvier 2012 est de rang 1, le mois de février 2012 de rang 2, le mois de mars 2012 de rang 3, etc.

Notons an le nombre de clients d’agence le mois de rang n et in le nombre de clients Internet le mois de rang n.

Désignons par ( )a in n la matrice ligne indiquant le nombre de clients respectifs le mois de rang n.

La matrice ligne ( )a i1 1 décrit donc l’état initial des clients en janvier 2012, d’où ( ) ( )a i1 1 1840 160= .

Soit C la matrice définie parC =

0 95 0 050 01 0 99, ,, ,

.

� Déterminer la matrice ligne ( )a i2 2 et vérifier que :

( ) ( )a i a i C2 2 1 1= × .

Exercice I

Exercice II



� On admet que, pour tout n a i a i Cn nn≥ = × −1 1 1

1, ( ) ( ) .

Calculer le nombre de clients d’agence et le nombre de clients Internet en décembre 2012, en décembre 2015, en décembre 2022 et en décembre 2032. Quelle(s) conjecture(s) peut-on faire ?

On considère la matrice magique G définie parG =

2 9 47 5 36 1 8

et la matrice

colonneC =

121110

.

� Déterminer la matrice G −1, inverse de la matrice G, et montrer que G −1 est une matrice magique.

Comparer les constantes de G et de G −1.

� Déterminer, à la calculatrice, la matrice colonne Xxyz

=

telle queG X C= .

Le carré magique d’Albrecht Dürer (1471 – 1528) est un carré magique de constante 34, situé dans le coin supérieur droit d’une gravure sur cuivre intitulée" Melancolia I" réalisée en 1514. La date se trouve dans les deux cases colorées du carré magique.

Carré magique de Dürer Matrice D

16 3 2 13

D =

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

On considère la matrice D correspondant à ce carré magique.

� Que peut-on dire, d’après la calculatrice, de l’inverse de la matrice D ?

� On veut résoudre le système (S) défini par

16 3 2 13 624

5 10 11 8 634

9 6 7 12

x y z tx y z tx y z t

+ + + =+ + + =+ + + = 6634

4 15 14 624

1

2

3

4x y z t+ + + =

←

←

←

←

L

L

L

L

Exercice III

Exercice IV



Supposons que le système (S) possède une solution ( ; ; ; ).x y z t

a. Montrer, en effectuant la soustractionL L3 2− , que x + t = y + z.

b. Écrire l’équation obtenue en additionnant L1 et L2.

En déduire que x + t = y + z = 37.

c. Montrer, en utilisant par exempleL4 , que 3x + y = 69.

En déduire que y, z et t peuvent s’exprimer uniquement en fonction de x.

d. On choisit x = 17. Déterminer alors les valeurs de y, z et t.

e. Pour quelle valeur de x a-t-on x = z ?

f. Combien le système (S) admet-il de solutions ?

À l’accueil d’un musée on peut lire les tarifs suivants : Adultes (12 €) ; Enfants (6 €) ; Étudiants (8 €).

Voici les renseignements concernant les visites d’une journée :

nombre d’étudiants ;

" plein tarif", pour non présentation de leur carte d’étudiant ;

Déterminer le nombre d’adultes, d’enfants et d’étudiants qui ont visité le musée ce jour-là.

On suppose que l’économie d’un pays se décompose en trois secteurs : l’acier, l’électricité, la fabrication automobile.

Toutes les productions et toutes les consommations sont données en unité monétaire (UM).

Le tableau d’échanges inter-industriels (ou TES) est le suivant :

Consommations intermédiairesConsommations

finalesProduction

Acier ÉlectricitéFabrication automobile

Total

Prod

ucti

on

Acier 400 400 600 5 000

Électricité 100 200 200 1 600

Fabrication automobile

100 200 100 800

Exercice V

Exercice VI



� Recopier et compléter le tableau entrées-sorties.

� a. Déterminer la matrice technologique, notée A, ainsi que le vecteur colonne F des consommations finales.

b. Soit X le vecteur colonne des productions et C le vecteur colonne des consommations intermédiaires. Vérifier que A X C= et en déduire queA X F X+ = .

� Vérifier que la matrice ( )I − A est inversible et exprimer X en fonction de A et de F.

� Les résultats seront arrondis à 0,01 près.

Calculer les productions nécessaires pour satisfaire les nouvelles demandes dans les deux cas suivants :

a. Les demandes dans les trois secteurs augmentent de 100 UM.

b. La demande d’acier augmente de 10 % alors que les deux autres demandes augmentent de 5 %.

�


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