Séquence 6 - Académie en ligne · Séquence 6 – MA01 1 Séquence 6 Sommaire 1. Pré-requis 2. Aire et intégrale d’une fonction continue et positive sur un intervalle 3. Primitives

1Séquence 6 – MA01

Séquence 6

Sommaire

1. Pré-requis

2. Aire et intégrale d’une fonction continue et positive sur un intervalle

3. Primitives

4. Primitives et intégrale d’une fonction continue sur un intervalle5. Synthèse de la séquence

6. Exercices de synthèse

� Introduire une nouvelle notion : l’intégrale d’une fonction sur un intervalle a b; . � Après une première approche géométrique, l’introduction de la notion de primitive

permet d’élargir la définition et les possibilités de calcul.

� Quelques exemples d’applications en Économie sont ensuite donnés.

Objectifs de la séquence

Intégration

© Cned - Académie en ligne


1 Pré-requis

Aires

1. Aires usuelles

On considère des figures dans un plan où une unité de longueur a été choisie.

On sait calculer les aires déterminées par différentes figures géométriques :

� Aire d’un triangle : base hauteur×

2 ;

� Aire d’un rectangle : longueur largeur× ;

� Aire d’un trapèze : petite base + grande base hauteur

2( ) ×

;

� Aire d’un disque : π × rayon2.

2. Propriétés des aires

� Additivité

Pour calculer l’aire de figures moins simples que les précédentes, on peut décom-poser celles-ci en un certain nombre de figures dont on sait calculer l’aire. Par exemple, pour calculer l’aire d’un polygone, on peut le décomposer en un certain nombre de triangles. La somme des aires des triangles donne alors le résultat souhaité. La propriété utilisée s’appelle l’additivité de l’aire, elle est énoncée dans la propriété suivante.

On a l’habitude d’appeler « domaines » les ensembles de points du plan dont on calcule les aires.

A

Vocabulaire :


4 Séquence 6 – MA01

Propriété

Si �1 et �2 sont deux domaines du plan

dont l’intersection a une aire nulle alors

l’aire de � �1 2∪ est égale à la somme

des aires de �1 et �2 :

Aire � �1 2∪( ) = Aire �1( )+ Aire �2( ).

Dans la figure ci-contre :

Aire ABCD Aire ABD Aire BCD( ) = ( )+ ( ).

AB

C

D

�1�2

� Inclusion

Soit �1 et �2 deux domaines du plan tels

que ⊂2 1� � alors aire ( ) ≤2� aire .1�( )

� Translation, symétrie

Propriété Invariance par translation

Soit une translation tv� et deux domaines du plan �1

et �2 tels que �2 soit l’image de �1 par la trans-

lation tv� (c’est-à-dire que tous les points du domaine

�2 sont obtenus par translation de tous les points du

domaine �1 ). Alors les domaines �1 et �2 ont la

même aire :

aire �1( ) = aire �2( ).

�1

�2

v

�1

�2



Propriété Invariance par symétrie

Soit s� une symétrie axiale d’axe � et deux

domaines du plan �1 et �2 tels que �2 soit

l’image de �1 par la symétrie s� (c’est-à-dire

que tous les points du domaine �2 sont obte-

nus par symétrie de tous les points du domaine

�1 ). Alors les domaines �1 et �2 ont la même

aire : aire aire� �1 2( ) = ( ).

�1

�

�2

3. Domaines, aires et mesures

On confond parfois un domaine (une surface) avec une aire, ou une aire avec une de ses mesures.

On précise ici par un exemple la différence entre ces notions.

Un domaine est un ensemble de points du plan.

Des domaines qui sont des ensembles de points différents, sont des domaines dif-férents, mais ces domaines peuvent avoir la même aire comme les trois domaines ci-dessous qui ont chacun une aire égale à 12 carreaux.

Mesurer une aire, c’est lui associer un nombre en utilisant une aire de référence, l’unité.

Prenons l’exemple d’une aire � de 1m2. On peut écrire l’égalité

= =1m 10000 cm2 2� mais bien sûr les nombres 1 et 10000 ne sont pas égaux.

Le nombre 1 est la mesure de l’aire � en m2 et 10000 est la mesure de la même

aire � avec une autre unité, le cm2 .



Dans cette séquence, les intégrales sont des nombres et ces nombres sont utilisés pour mesurer des aires, l’unité étant souvent appelée « unité d’aire » ce que l’on note u.a.

Il faut faire attention aux unités. Si l’unité d’aire est donnée par un repère où

l’unité est 2 cm sur chaque axe, on aura 1 4u.a. cm2= .

Il arrive que, quelquefois, on confonde une aire avec une de ses mesures.

Dérivation

Comme on le verra, les deux notions de dérivation et d’intégration sont très liées, on rappelle donc ici les formules essentielles qui doivent être connues.

1. Fonctions usuelles

Expression de f x( ) f dérivable sur l’intervalle I Expression de f x'( )

f x k( ) ,= k constante réelle I = � f x'( ) = 0

f x x( ) = I = � f x'( ) = 1

f xx

( ) = 1

I = = + ∞ +� * ; 0 ou

] [= = −∞−I * ; 0� f x

x'( ) = − 1

2

f x x( ) = I = = + ∞ +� * ; 0 f x

x'( ) = 1

2

f x x nn( ) ,= ∈ ∗� I = � f x nxn'( ) = −1

f xx

x nn

n( ) ,= = ∈− ∗1�

I = = + ∞ +� * ; 0 ou

I = = −∞ −� * ; 0

f xn

xnx

nn'( ) = − = −

+− −

11

f x x( ) = e I = � f x f x x'( ) ( )= = e

f x x( ) ln= I = = + ∞ +� * ; 0 f x

x'( ) = 1

B



2. Opérations algébriques

Dans le tableau ci-dessous, les fonctions u et v sont définies et dérivables sur le même intervalle I, k est un nombre réel, dans les deux derniers cas la fonction v ne s’annule pas. Ainsi la fonction f est dérivable sur le même intervalle I.

Fonction f Fonction dérivée f '

f u v= + f u v' ' '= +

f uv= f u v uv' ' '= +

f ku= f ku' '=

fv

= 1 f

v

v'

'= −2

fuv

= fu v uv

v'

' '= −2

3. Autres opérations avec une fonction u

Dans le tableau suivant, u est dérivable sur un intervalle I et vérifie éventuellement certaines conditions. Alors la fonction f est dérivable sur le même intervalle I.

Fonction f Fonction dérivée f ' Remarques éventuelles

u2 2u u'

1u

− u

u

'2

u ne s’annule pas sur I

eu u u'e



2 Aire et intégrale d’une fonction continue et positive sur un intervalle

Objectifs du chapitre

Dans ce chapitre, on définit l’intégrale d’une fonction continue et positive sur un intervalle en utilisant les aires et on en étudie les propriétés.

Pour débuter

Avec les vitesses et les distances

� Un objet se déplace pendant 10 secondes à la vitesse de 3 m.s–1. Quelle distance a-t-il parcourue ?

� Un objet se déplace pendant 10 secondes. On peut seulement enregistrer les valeurs successives de sa vitesse v t( ) à l’instant t. On obtient les valeurs

suivantes et on demande de donner une valeur approchée de la distance

parcourue notée d.

t 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 7 8 9

v t( ) 9 7,6 6,1 4,6 3,7 2,7 2,3 1,8 1,4 1,1 0,7 0,5 0,4 0,2 0,2 0,1

� Un objet se déplace pendant 10 secondes. On peut seu-lement enregistrer, sur une représentation graphique, sa vitesse v t( ) à l’instant t.

Dans les questions précédentes, des produits d’une vitesse par une durée sont apparus. On interprète ces produits comme des aires de rectangles. En utilisant cette interprétation, donner une valeur approchée de la distance D parcourue par l’objet.

A

B

1

1 5 10 ten secondes

v(t)en m.s–1

Activité 1



Aire sous la parabole

Dans un repère orthonormé, soit � la parabole représentant la fonction f définie

sur 0 1; par f x x( ) .= 2 La courbe � est représentée sur les trois figures ci-

dessous.

On s’intéresse à l’aire � �( ) du domaine � délimité par l’axe des abscisses, la

parabole � et la droite d’équation x = 1. Ce domaine � est colorié sur la figure

du milieu et son aire est appelée « aire sous la courbe ».

O

�

B1

�1

A1

15

A2 A3 A5A4

B2

B3

B4

B5

25

35

45

1

y = x2

O

�

�

�(�)

B5

1 O

�

B1

�2

A1

C C C

15

A2 A3 A5A4

B2

B3

B4

B5

25

35

45

1

�

1 1 1

On cherche à encadrer cette aire � �( ). Pour cela on divise l’intervalle 0 1;

en cinq intervalles de même amplitude 15

0 2= , .

� Sur la figure de gauche, on a construit cinq rectangles dont la base mesure 15

et

dont les hauteurs sont données par les ordonnées des points O, B , B , B , et B .1 2 3 4

On ne voit que quatre rectangles car le premier, ayant une hauteur nulle, est

confondu avec le segment OA1 .

On appelle 1� l’aire totale de ces cinq rectangles.

Déterminer ,1� l’unité d’aire (notée u.a.) étant l’aire du rectangle du repère,

c’est-à-dire le rectangle OA B C.5 5

� Sur la figure de droite, on a construit cinq rectangles dont la base est 0,2 et

dont les hauteurs sont données par les ordonnées des points B B B B B1 2 3 4 5, , , .et

Activité 2



On appelle �2 l’aire totale de ces cinq rectangles.

Déterminer �2, l’aire totale de ces cinq rectangles (en unités d’aire).

� À l’aide de � et de � conjecturer 2 bornes entre lesquelles l’aire � �( ) vous

semble être comprise.

Cours

1. Définition

On se propose de généraliser la notion d’aire à des domaines du plan liés à des fonctions.

Le plan est muni d’un repère

orthogonal O,I,J( ) ; l’unité d’aire qui

sera utilisée pour mesurer les aires

est l’aire du rectangle OIKJ tel que

I(1 ; 0), J(0 ; 1) et K(1; 1).

On dit qu’une fonction f est positive sur un intervalle si, pour tout x de l’intervalle,

f x( ) est positif : f x( ) .≥ 0

C

0I

J K

1

1

a bb

x

�

yy

1 ua

� f

Définition 1

Soit f une fonction définie sur l’intervalle a b; , continue et positive sur a b; .

On appelle � le domaine du plan limité par la courbe �f représentant f, l’axe des abscisses et les droites d’équation x a= et x b= .

On appelle intégrale de la fonction f sur a b; la mesure de l’aire du

domaine � en unités d’aire.

Ce nombre est noté f x xa

b( ) .∫ d



L’aire du domaine � s’appelle aussi « aire sous la courbe ».

On a donc : aire( ) d u.a.� = ∫ f x xa

b( )

Et si sur chaque axe l’unité de longueur est égale à 5 cm on aura :

f x xaire( ) ( ) d 25 cm .ab 2� ∫=

×

Remarque

L’intégrale de la fonction carré sur a b; est telle que x xb a

a

b 23 3

3∫ = −d

comme on l’a vu dans le corrigé de l’activité 2. Ainsi, par exemple,

x x21

2 3 32 13

73∫ = − =d .

� Le domaine � peut aussi être défini par un système d’inégalités :

M x ya x b

y f x;

( ).( ) ∈ ⇔

≤ ≤≤ ≤

�0

� Le nombre f x xa

b( )∫ d se lit « intégrale de a à b de f (x) dx » ou « somme

de a à b de f (x) dx ».

� Les réels a et b sont appelés les bornes de l’intégrale.

� On dit que x est une variable muette. En effet, la définition de « l’intégrale

de a à b de la fonction f » ne fait pas intervenir la variable et on pourrait

s’en passer, mais il faudrait alors donner un nom à chacune des fonctions

utilisées ce qui serait bien compliqué. On préfère donc donner les

fonctions par leurs expressions, on donne un nom à la variable mais ce

nom n’a aucune importance (seuls a et b qui désignent les bornes ne

peuvent pas être utilisés). Ainsi x x t t y ya

b

a

b

a

b2 2 2d d d∫ ∫∫= = .

� La notation « dx » a pour origine la largeur des rectangles qui ont été utilisés dans les premiers calculs d’approximation, cette largeur multiplie les valeurs prises par la fonction (comme on le voit avec 0,2 dans l’activité 2). Cette notation est indispensable quand plusieurs lettres sont utilisées pour définir l’expression de la fonction (par exemple

−ke )x , « dx » indique alors nettement quelle est la variable… mais cela n’apparaîtra pas dans cette séquence.

Remarque

� Exemple 1



Calculer les intégrales :

� I d=−−

∫ 32

1t et J d= ∫ 3 t

a

b, a et b étant des nombres réels tels que a b≤ ;

� K d= +−−

∫ ( , )0 5 24

2t t et ∫= +t tL (0,5 2)d ,

ab

a et b étant des nombres réels

tels que a b≤ ;

� Reconnaître sur la calculatrice la courbe représentative de la fonction f définie

par f x x( ) = −1 2 sur [ ]−1;1 ; en déduire la valeur de M d= −−∫ 1 2

1

1x x.

�

La fonction que l’on intègre est une fonction constante, on mesure donc des aires

de rectangles et on obtient : I d= = × − − − =−−

∫ 3 3 1 2 32

1t ( ( )) et

J d= = −∫ 3 3t b aa

b( ).

�

L’intégrale K est la mesure de l’aire du triangle ABC :

K d= + = − − − × =−−

∫ ( , )( ( ))

;0 5 22 4 1

21

4

2t t ;

� Exemple 2

� Solution

1-1-2

1

0a b

3

Dans chaque cas, l’aire est mesurée avec

l’unité d’aire donnée par le repère qui peut être

orthonormal ou orthogonal.

Remarque

1-2-4

1

0 a b

A D E

F

G

C

B

0,5a+2

0,5b+2



L’intégrale L est la mesure de l’aire du trapèze DEFG :

L d= + = + + + × − = +∫ ( , )

( , ) ( , )( )

( ,0 5 2

0 5 2 0 5 22

0 5t t

b ab a

ba

b 00 5 42

, )( ).

a b a+ −

� La courbe semble être un demi-cercle de

centre O et de rayon 1 (c’est bien le cas).

D’où M d= − = × × =−∫ 1

12

12

21

1 2x x π π.

2. PropriétésLes aires permettent d’obtenir les propriétés qui suivent.

Le domaine � est réduit à un segment donc son aire est de mesure nulle.

1-1

1

0

Dans le cas particulier où la fonction f est une fonction

constante qui prend la valeur λ (cette lettre grecque se

prononce « lambda ») sur tout l’intervalle a b; , on a

f x x x b aa

b

a

b( ) ( )∫ ∫= = −d dλ λ car le domaine � est

un rectangle dont les côtés mesurent b a− et λ.

Remarque

1

1

0a b

Propriété 1

Soit f une fonction définie sur l’intervalle a b; , continue et positive sur a b; .

Pour tout réel c de l’intervalle a b; , f x xc

c( ) .∫ =d 0

� Démonstration



La mesure d’une aire est un nombre réel positif.

Le domaine �f défini par �x ya x b

y f xM ;

0 ( )f( ) ∈ ⇔≤ ≤≤ ≤

est inclus dans le

domaine �g défini par ( ) ∈ ⇔≤ ≤≤ ≤

x ya x b

y g xM ;

0 ( ).g� D’où l’inégalité des

aires : � �aire airef g( )( ) ≤ et de leurs mesures : f x x g x x( ) d ( ) d .a

b

a

b∫ ∫≤

La comparaison des positions des courbes des fonctions carré, x x� et

racine sur 0 ;1[ ] permet de trouver :

x x x x x xd d d0

1

0

1 20

1∫ ∫ ∫≤ ≤

Propriété 2 Positivité

Soit f une fonction définie sur l’intervalle a b; , continue et positive sur

a b; . Alors f x x0 ( ) d .a

b∫≤

Commentaire : cette propriété est appelée « positivité » de l’intégrale, et il suffit de rappeler ce mot quand on utilise cette propriété.

� Démonstration

Propriété 3 Comparaison

Soit f et g deux fonctions définies

sur l’intervalle a b; , continues

et positives sur a b; , telles

que f g≤ , c’est-à-dire telles que

f x g x( ) ( )≤ pour tout x de a b; .

Alors f x x g x xa

b

a

b( ) ( ) .∫ ∫≤d d x

0 1 a b

y

� f

� g

1

0

1

1

y = x

y = x2

y = x

� Démonstration

� Exemple 3



a

y

c b

x

f(t)dt�ca f(t)dt�b

c

f (b)

f (c)f (a)

L’aire coloriée est la somme des deux aires dont elle est la réunion.

Propriété 4 Relation de Chasles

Soit f une fonction définie sur l’intervalle a b; ,[ ] continue et positive sur a b; .[ ]

Soit c un nombre de l’intervalle a b; ,[ ]alors f x x f x x f x x( ) d ( ) d ( ) d .

a

c

c

b

a

b∫ ∫ ∫+ =

Commentaire : vous avez très probablement remarqué l’analogie avec la relation vectorielle AC CB AB,

� �� + = et vous retiendrez facilement que cette

égalité entre des intégrales est appelée « relation de Chasles ».

� Démonstration

Définition 2

La valeur moyenne d’une fonction f définie sur l’intervalle a b;[ ] avec a b,≠

continue et positive sur a b; ,[ ] est égale au nombre b a

f t t1

( ) d .a

b∫−



On applique la propriété 3 à la fonction constante m, à la fonction f et à la fonction constante M. D’où :

m t f t t M ta

b

a

b

a

bd d d∫ ∫∫≤ ≤( ) ,

soit

m b a f t t M b aa

b( ) ( ) ( ).− ≤ ≤ −∫ d

Et, en divisant par b a− qui

est strictement positif, on a :

mb a

f t t Ma

b≤

−≤∫

1( ) ,d soit

m M≤ ≤µ .

Commentaire :

Notons µ cette valeur moyenne. On a donc µ =

− ∫1

b af t t

a

b( ) d et µ( ) ( ) .b a f t t

a

b− = ∫ d

Le produit µ( )b a− peut être interprété comme la

mesure de l’aire d’un rectangle ABCD (il est indiqué

sur la figure). Ce rectangle ABCD a donc la même aire

que le domaine �.

La valeur moyenne µ de la fonction f sur l’intervalle

a b; est égale à la hauteur AD du rectangle qui a la

même base et la même aire que le domaine �.

0 1

1

a bb

� f

A B

D Cµ

Propriété 5 Inégalités de la moyenne

Soit une fonction f définie sur l’intervalle a b; avec a b≠ , continue

et positive sur a b; , et deux nombres m et M tels que, pour tout x de

l’intervalle a b; , on a m f x M≤ ≤( ) . Alors m M≤ ≤µ , µ étant la

valeur moyenne de la fonction f sur a b; .

0 1

1

a

M

bbA B

D C

H m G

µ� f

F E

Commentaire : On peut retenir visuellement ces résultats assez facilement car les inégalités

m b a f t t M b aa

b( ) ( ) ( )− ≤ ≤ −∫ d sont la traduction de aire(ABGH) aire(ABCD) aire(ABEF).≤ ≤

� Démonstration



La valeur moyenne de la fonction carré sur l’intervalle [ ]=I 1; 3 est égale à

µ =−

= −

= ≈∫

13 1

12

3 13

133

4 3321

3 3 3t td , . Les aires hachurées sont égales.

3. Intégration et dérivation

On rappelle que, dans l’activité 2, on a admis que t dtb a

a

b 23 3

3 3∫ = − pour

b a≥ , et donc aussi F x t dtx a

a

x( ) = = −∫ 2

3 3

3 3 pour x a≥ . On obtient alors

que la fonction F est dérivable si x a≥ , et que F x x f x'( ) ( ).= =2

Le théorème qui suit est fondamental. Il permet de relier l’intégration et la dérivation, facilitant le calcul de beaucoup d’intégrales. Ce théorème est admis.

0 1

1

� Exemple 4

0 1

1

µ = 4,33

� Exemple 5

Théorème 1

Soit f une fonction continue et positive sur a b; , la fonction définie sur

a b; par x f t ta

x� ( ) d∫ est dérivable sur a b; et sa fonction dérivée

est la fonction f.



Les fonctions du type de F vont être étudiées dans le chapitre suivant.

Exercices d’apprentissage

Le plan est muni d’un repère

orthonormé. On utilise le résultat

t dtb a

a

b 23 3

3 3∫ = − pour b a≥ .

� Calculer t t20

1d∫ et, par des

considérations de symétries et

d’aires, déterminer t td0

1∫ .

� Déterminer la mesure de l’aire du domaine situé entre la courbe de la fonction

carré et la courbe de la fonction racine.

Déterminer la valeur moyenne de la fonction carré sur − 4 4; , puis sur

l’intervalle − a a; , a étant un nombre réel strictement positif.

Une voiture se déplace sur une route, elle démarre à l’instant t = 0, puis accélère

de façon régulière durant la première heure (on suppose constante l’accélération

Commentaire :

� On appellera F la fonction définie sur a b; par x f t ta

x� ( ) ,d∫ ainsi

F x f t ta

x( ) ( )= ∫ d et on a F x f x'( ) ( ).=

� Notation : on rappelle que dans l’écriture F x f t ta

x( ) ( )= ∫ d la variable

« t » est muette, on aurait pu choisir la notation F x fa

x( ) = ∫ où l’on

voit mieux que l’intégrale ne dépend que de f et des bornes a et x, mais

cette notation n’est pas du tout pratique. On utilise donc la notation

F x f t ta

x( ) ( )= ∫ d dans laquelle il est essentiel que la variable muette soit

nommée différemment de la borne x qui est la variable habituelle.

� Remarque : F a( ) .= 0

D

0

1

1

y = x

y = x2

y = x

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3



qui est la dérivée de la vitesse). Après une heure de route sa vitesse est alors

80 km.h–1. Elle garde cette vitesse durant les deux heures suivantes puis décélère

de façon régulière pour s’arrêter une demi-heure plus tard.

� Dans un repère orthogonal, représenter la vitesse v du véhicule en fonction du temps.

� Déterminer la distance parcourue durant ce trajet ainsi que la vitesse moyenne du parcours.

Quelle est la fonction dérivée de la fonction F définie sur 1 100; par

∫+

xt

t1

1d ?

x21

�

Même question pour la fonction G définie sur 2 100; par xt

tx

�1

122 +∫ d .

Qu’observe-ton ?

Quelle est la relation existant entre F x( ) et G x( ) pour tout x de 2 100; qui permettait de prévoir ce résultat ?

Dans cet exercice les trois premières questions sont des Questions à Choix Multiples pour lesquelles trois réponses sont proposées dont une seule est correcte. Dans la quatrième question on doit dire si la proposition qui est énoncée est vraie ou fausse. Toutes les réponses doivent être justifiées.

Les fonctions qui sont intégrées sont continues et positives sur les intervalles d’intégration.

� Si I d=−−

∫ f x x( )4

1 et J d=

−∫ f x x( ) ,1

2 alors f x x( ) d

−∫ 4

2 est égale à :

a) − +I J b) I J

2+

c) I J.+

Exercice 4

Exercice 5

0-4 1

1



� La valeur moyenne sur − 4 0; de la fonction f représentée sur la figure précédente vaut :

a) 2 b) 3 c) 3,5.

� L’intégrale I d=−∫ f x x( )

3

0 appartient à l’intervalle :

a) 7 9; b) 9 11; c) 11 12; .

� La proposition suivante est-elle vraie ou fausse ?

Si deux fonctions f et g continues et positives sur a b; sont telles que

f x x g x xa

b

a

b( ) ( ) ,d d∫ ∫= alors f x g x( ) ( )= pour tout x de a b; .



3 PrimitivesObjectifs du chapitre

À la fin du chapitre 2, apparaît une fonction dont on connaît la fonction dérivée. Dans ce chapitre, on définit et on étudie ces fonctions définies par leurs fonctions dérivées. Dans le chapitre qui suivra, on pourra alors calculer des intégrales.

Pour débuter

� On considère les fonctions F, G et H définies sur � par : F x x( ) ,= +3 5 G x x( ) ,= −3 0 1 et H x x( ) .= +3 9999

Déterminer leurs fonctions dérivées. Qu’observe-ton ? Les fonctions F, G et H sont-elles égales ?� Mêmes questions, les fonctions F, G et H étant définies sur 1; + ∞ par

F xxx

( ) ,= −−

31

G xx

( ) = −−

12

1 et H x

xx

( ) .= −−

3 51

On considère les deux fonctions f et F définies sur 0 ; + ∞ par f x x( ) ln= et

F x x x x( ) ln .= −� Montrer que, pour tout x de ] [+∞0 ; , F x f x'( ) ( ).=

� Trouver deux fonctions G et H différentes de F, telles que G H F' ' '.= =� Déterminer une fonction K définie sur 0 ; + ∞ telle que K f' = et K ( ) .1 0=

� Trouver une fonction F définie sur � telle que, pour tout réel x, F x f x'( ) ( )=

avec f x x x( ) .= + +6 2 15

� Même question avec f x x x( ) = + −5 3 3 sur �.

� Même question avec f xx x

( ) = − +1 12

sur 0 ; .+ ∞

� Soit f la fonction définie sur � par f x x x( ) ( ) .= +3 1 e Déterminer deux nombres réels a et b tels que la fonction F définie sur � par F x ax b x( ) ( )= + e ait pour fonction dérivée la fonction f.

A

B

Activité 3

Activité 4

Activité 5



Cours

1. Définition des primitives d’une fonction sur un intervalle, existence

Soit f la fonction carré définie sur �. La fonction F définie sur � par F xx

( ) =3

3

est une primitive de la fonction carré car, pour tout réel x, on a F x x'( ) .= 2

La fonction ln est une primitive sur 0 ; + ∞ de la fonction inverse car, pour tout

réel x strictement positif : ln'( ) .xx

= 1

On a démontré dans le chapitre 2 que, pour une fonction particulière f,

continue et positive sur un intervalle fermé a b; , la fonction définie sur

a b; par x f t ta

x� ( ) d∫ est dérivable sur a b; et que sa fonction

dérivée est la fonction f. On a admis cette propriété pour toutes les fonctions

continues et positives sur a b; .

On obtient donc qu’une fonction f continue et positive sur un intervalle a b;

admet au moins une primitive sur a b; définie par x f t ta

x� ( ) .d∫ Plus

généralement, pour une fonction de signe quelconque, on a le théorème qui

suit et qui sera admis.

Rappel

C

Définition 3

F est une primitive de la fonction f, continue sur l’intervalle I, si et seulement si f est la fonction dérivée de F sur I.

� Exemple 6

Théorème 2

Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle.



Les fonctions F, G et H définies sur � par : F x x( ) ,= +2 5 G x x( ) ,= −2 0 1

et H x x( ) ,= −2 9999 sont des primitives de la fonction f définie sur � par

f x x( ) .= 2

2. Propriétés des primitives

Dans l’exemple précédent, on a ajouté des constantes à une primitive connue, la fonction carré, pour fabriquer d’autres primitives de la fonction x x� 2 . La propriété suivante montre qu’il n’y a pas d’autres formes de primitives.

Pour tout x de I, on a ( )'( ) '( ) '( ) ( ) ( ) .F G x F x G x f x f x− = − = − = 0 La dérivée de

la fonction F G− est nulle sur l’intervalle I donc la fonction F G− est une

fonction constante sur I.

� D’après la propriété précédente, si G est une autre primitive de f sur I alors

F G− est une fonction constante sur I, donc G F k= + .

� Réciproquement : soit G une fonction telle que G F k= + où k est une constante.

Pour tout x de I, F x f x'( ) ( )= et G x F x k( ) ( ) .= + Comme k est une constante,

G x F x f x'( ) '( ) ( ),= + =0 donc la fonction G est une primitive de f sur I.

Toutes les primitives de la fonction carré sur � sont les fonctions F de la forme

F xx

k( ) ,= +3

3 k étant une constante. En effet, la fonction x

x3

3� est une

primitive de la fonction carré.

� Exemple 7

Propriété 6

Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I, et soit F et G deux

de ses primitives. Alors la fonction F G− est une fonction constante.

Propriété 7

Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I, et soit F une de ses primitives. Alors l’ensemble des primitives de f sur I est égal à l’ensemble des fonctions de la forme F k+ , où k est une constante.

� Démonstration

� Démonstration

� Exemple 8



En effet, d’après le théorème 2 la fonction f admet des primitives. Soit F l’une

d’entre elles, on sait, d’après la propriété 7, que les autres primitives sont

de la forme F k+ , où k est une constante. Savoir que x0 a pour image y0

détermine de façon unique la valeur de la constante k (puisque k doit vérifier

F x k y( ) ).0 0+ =

Trouver la primitive G de la fonction carré f qui prend la valeur 1 pour x = 2.

Remarquons d’abord l’utilisation de l’article « la » : en effet la propriété 8 assure

qu’il n’y a qu’une fonction qui convient. La fonction G que l’on cherche est de la

forme G xx

k( ) ,= +3

3 vérifiant G( ) .2 1=

Comme G k k k( ) ,2 123

1 183

53

3= ⇔ + = ⇔ = − ⇔ = −

la primitive G qui convient

est définie par G xx

( ) .= −3 53

Un cas particulier important

Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I et soit x0 un élément de I. Alors il existe une et une seule primitive de f sur I qui s’annule en x0.

Il s’agit de la propriété précédente avec y0 0= . Soit F une des primitives de f

sur I. La primitive de f sur I qui s’annule en x0 est la fonction G définie sur I par

G x F x F x( ) ( ) ( ).= − 0

Déterminer la primitive H de la fonction carré qui prend la valeur 0 pour x = 5.

Une primitive de la fonction carré est la fonction F définie par

F xx

( ) ,=3

3 donc la primitive H que l’on cherche est telle que

H x F x Fx x

( ) ( ) ( ) .= − = − = −5

353

1253

3 3 3

Propriété 8

Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I. Soit x0 un élément

de I et y0 un nombre réel. Alors il existe une et une seule primitive de f sur

I qui prend la valeur y0 en x0.

� Exemple 9

� Solution

Conséquence

� Exemple 10

� Solution



On fera attention à la précision des mots employés : on dit « la » primitive quand on désigne une primitive déterminée de façon unique, on dit « une » primitive quand il s’agit d’une primitive quelconque.

Remarque

Depuis le début de cette séquence, pour l’étude des primitives et des

intégrales, on s’est placé sur un intervalle. C’est essentiel en effet pour la

démonstration de la propriété 6, pour pouvoir dire que la fonction F G− est

une fonction constante. Et la propriété 6 est indispensable pour démontrer

les propriétés suivantes, en particulier la propriété 7 qui donne l’ensemble

des primitives d’une fonction sur un intervalle et la propriété 8 qui est une

propriété d’existence et d’unicité.

Montrons sur un exemple ce qui pourrait se passer sur une réunion d’intervalles.

La fonction H : xx

�1

a pour dérivée la fonction h : xx

� − 12

sur

−∞ ∪ + ∞ ; ; .0 0

La fonction K définie par K x H x( ) ( )= sur 0 ; + ∞ et par K x H x( ) ( ) ,= + 8 2

sur −∞ ; 0 a la même fonction dérivée que H sur ; 0 0 ; .] [ ] [−∞ ∪ +∞

Mais on ne peut pas dire que la fonction K H− est une fonction constante sur

−∞ ∪ + ∞ ; ; ,0 0 la constante n’étant pas la même sur les deux intervalles.

3. Primitives et intégrales

Pour prouver que la différence ne dépend pas de la primitive choisie, nous allons

choisir 2 primitives quelconques et montrer que la différence est la même pour

Propriété 9

Soit f une fonction continue sur un intervalle I et a et b deux nombres réels de I. Soit F une des primitives de la fonction f sur I. La différence F b F a( ) ( )− ne dépend pas de la primitive choisie.

� Démonstration



ces deux primitives. Soit F1 et F2 deux primitives de f sur I, d’après la propriété 6

il existe alors un nombre réel k tel que, pour tout x de I, on a : F x F x k2 1( ) ( ) .= +

On obtient donc : F b F a F b k F a k F b F a2 2 1 1 1 1( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ).− = + − + = −

La différence F b F a( ) ( )− est donc bien la même quelle que soit la primitive F choisie.

Les fonctions G et H des exemples 9 et 10 sont des primitives de la fonction carré sur �.

Pour a = −2 et b = 1, on a

G b G a G G( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )− = − − = − − − − = − − =1 2

1 53

2 53

1 23

33 3 3 3

et H b H a H H( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )− = − − = − − − − = − −

1 21 125

32 125

31 23 3 3 33

33= .

La propriété suivante fait le lien entre deux nouvelles notions : celle d’intégrale

et celle de primitive.

À la fin du chapitre 2 on a vu que la fonction définie sur a b; par

x f t ta

x� ( ) d∫ est dérivable sur a b; et sa fonction dérivée est la fonction f.

Donc la fonction définie sur a b; par x f t ta

x� ( ) d∫ est une primitive de

la fonction f. Or f t ta

a( ) ,d∫ = 0 donc, d’après la propriété 8 et sa conséquence,

la fonction définie sur a b; par x f t ta

x� ( ) d∫ est la primitive de la

fonction f qui s’annule en a. Et, on sait que, si F est une des primitives de f

sur I, la primitive de f qui s’annule en a est la fonction x F x F a� ( ) ( ),− donc

f t t F x F aa

x( ) ( ) ( ),d∫ = − en particulier f t t F b F a

a

b( ) ( ) ( ).d∫ = −

Une primitive de la fonction carré est la fonction F définie sur � par F xx

( ) =3

3

donc on a l’égalité t dtb a

a

b 23 3

3 3∫ = − avec b a≥ . On justifie donc ici ce résultat

qui a été admis dans le chapitre 2.

� Exemple 11

Propriété 10

Soit f une fonction continue et positive sur a b; et F une de ses primitives.

On a alors : f t t F b F aa

b( ) ( ) ( ).d∫ = −

� Démonstration

� Exemple 12



D’une part, on a vu qu’une fonction continue et positive sur un intervalle

a b; possède des primitives en utilisant une fonction définie par une

intégrale. D’autre part, la propriété 10 montre qu’il est possible de calculer

une intégrale si on connaît une primitive de la fonction qui est intégrée. Ces

deux notions sont donc très liées. Dans ce chapitre 3, on étudie surtout les

primitives, la notion d’intégrale sera ensuite approfondie dans le chapitre 4.

Remarque

4. Primitives des fonctions usuelles, opérations et composition� Fonctions usuelles

« Déterminer une primitive » est l’opération inverse de « dériver une fonction » : si f est la fonction dérivée de F sur un intervalle I alors F est une primitive de f. Le tableau des dérivées usuelles nous permet alors de dresser le tableau des primitives des fonctions usuelles.

Dans ce tableau, k désigne un nombre réel constant.

Expression de f x( ) sur I I Expression de F x( ) sur I

f x( ) = 0 I =� F x k( ) ,= k constante réelle

f x( ) = 1 I =� F x x k( ) = +

f xx

( ) = 12

I = = + ∞

+� * ; 0 ou I = = −∞

−� * ; 0 F xx

k( ) = − +1

f xx

( ) = 1 I = = + ∞

+� * ; 0 F x x k( ) = +2

f x x nn( ) ,= ∈ ∗� I =� F xn

x kn( ) =+

++11

1

f xx

x n nn

n( ) , ,= = ∈ ≥−12�

I = = + ∞ +� * ; 0

ou I = = −∞ −� * ; 0

F xn x

kn

x kn

n( )( )

= −−

+ =− +

+−

− +1

1

111

1

f x x( ) = e I =� F x kx( ) = +e

f xx

( ) = 1 I = = + ∞

+� * ; 0 F x x k( ) ln= +



� Avec une ou deux fonctions

Dans ce tableau f, g, u, sont des fonctions continues sur un intervalle I, les

fonctions F et G sont des primitives des fonctions f et g sur I. Les notations α β, , a, b, désignent des nombres réels.

Ce tableau est obtenu à partir des propriétés de la dérivation.

Fonction définie sur I Les primitives sur I Remarque

f g+ F G k+ +

αf αF k+

α βf g+ α βF G k+ +

u u' 12

2u k+

u

u

'2

–1u

k+ u ne s’annule pas sur I

u eu' e ku +

uu

'ln(u) u > 0 sur I

Pour chercher des primitives, on

dispose donc de tous ces résultats,

issus de ce qui est connu sur la

dérivation, et des indications

données par les énoncés des

exercices (comme dans la question

� de l’activité 5).

Malheureusement il existe des fonctions pour

lesquelles on ne peut pas trouver une formule explicite

pour les primitives, par exemple la fonction définie sur

� par x x� e− 2. On en rencontrera en probabilité,

mais, ailleurs, on évite ces cas en Terminale.

Remarque

5. Exemples de recherche de primitives

� Pour trouver les primitives, il faut bien connaître les formules sur les dérivées.

� Quand on a trouvé une primitive, il est prudent de vérifier le résultat en dérivant la primitive obtenue.

� Quand on demande une primitive (et non les primitives), on prend souvent

k = 0.� On ne trouvera pas toujours une formule du cours qui s’adapte exactement :

il faudra souvent choisir une ou plusieurs constantes multiplicatives.

Remarques préliminaires



On considère la fonction f définie sur � par f x x x( ) .= + +2 1 Trouver une

primitive de f sur �.

f x x x( ) ( ) ,= ( )+ +13

312

2 12 d’où F x x x x( ) = + +13

12

3 2 sur � (ici, on ne

demande qu’une primitive).

On considère la fonction f définie par f xx x

( ) = +3

2

52

sur I = + ∞ 0 ; . Donner toutes les primitives de f sur I.

f xx x

( ) ,=

+

32

15

12

donc les primitives de f sur I sont les fonctions F telles

que F xx

x k( ) ,= −

+ ( )+32

15 2 k étant une constante (ici on demande toutes

les primitives).

On considère la fonction f définie sur � par f x x x( ) .= −+ +3 3 2 2 1e e Donner toutes les primitives de f sur I.

On reconnaît ou on met en évidence la forme u u'e : f x x x( ) .= − ( )+ +312

3 2 2 1e 2e

Donc les primitives de f sur � sont les fonctions F telles que

F x kx x( ) .= − ++ +e e3 2 2 112


Dans chaque cas, déterminer une primitive F de la fonction f sur l’intervalle I.

� f x x x x x( ) = − − + +5 3 3 4 24 3 2 sur I = � � f xx

( ) = 52

sur I = + ∞ 0 ;

� f xx

( ) = − 23

sur I ; 0] [= −∞ � f xx x

( ) = +1 22

sur I = + ∞ 0 ;

� f x xx

( ) = + +23

sur I = + ∞ 0 ; .

� Exemple 13

� Solution

Commentaire :

On dit que 13

et 12

sont des constantes multiplicatives.

� Exemple 14

� Solution

� Exemple 15

� Solution

D

Exercice 6



Dans chaque cas, sur l’intervalle I, déterminer la primitive F de la fonction f telle

que F x y( ) .0 0=

� f x x( ) = +2 3 I = � x0 2= y0 0=

� f x x( ) = e I = � x0 0= y0 4= −

� f xx

( ) = 1 I = + ∞ 0 ; x0 1= y0 2= .

Les fonctions suivantes sont toutes définies sur �. Pour chacune d’elles, donner toutes ses primitives sur �.

� f x x x x( ) = + + −e e e2 2 � f x x( ) = 4 3e � f x x x( ) ( )= 22

e

� f xx

( ) =−

e 2 � f x x x( ) = − +e e2 3 4 � f x x x x( ) .= + −( ) −e e e2 5 1

Soit f la fonction définie sur � par f x x x( ) ( ) .= +2 3 e

Déterminer deux nombres réels a et b tels que la fonction F définie sur � par

F x ax b x( ) ( )= + e soit une primitive de f.

Soit f la fonction définie sur � par f x x x( ) ( – ) .= 1 2001

On veut déterminer une primitive F de f sur �.

� En écrivant x x= +( – )1 1 donner une autre écriture de f x( ).

� En déduire une primitive F de f sur �.

Voici les courbes représentatives de quatre fonctions f f f1 2 3, , et f4 , définies sur �.

Exercice 7

Exercice 8

Exercice 9

Exercice 10

Exercice 11



Des primitives de chacune des fonctions f f f1 2 3, , et f4 , sont représentées

ci-dessous. Indiquer pour chacune des fonctions f f f1 2 3, , et f4 , quelle est la

courbe de sa primitive.

O O

OO

1 2

3 4

O

O

O O

a b

c d



4 Primitives et intégrale d’unefonction continue sur un intervalle

Objectifs du chapitre

Dans le chapitre 2, on a défini l’intégrale d’une fonction continue et positive sur

un intervalle a b; en utilisant les aires. La notion de primitive vue au chapitre

3 permet de généraliser la définition de l’intégrale aux fonctions continues de

signe quelconque sur un intervalle en conservant les propriétés déjà rencontrées.

Pour débuter

On rappelle la propriété 10 : soit f une fonction continue et positive sur a b;

et F une de ses primitives, on a alors : f t t F b F aa

b( ) ( ) ( ).d∫ = −

� Calculer les intégrales I t t= ∫ 22

5d et J t= ∫

1t

d2

5.

� Calculer l‘intégrale K tt

t= +

∫ 2

2

5 1d , puis comparer K et I J+ .

� Calculer L t t= ∫ 6 22

5d , puis comparer L et 6I.

� On considère ici deux fonctions f et g continues et positives sur un intervalle

a b; . Soit F une primitive de f sur a b; et G une primitive de g sur a b; .

Démontrer que f g t t f t t g t ta

b

a

b

a

b+( ) = +∫ ∫ ∫( ) ( ) ( ) .d d d

� Soit α un nombre réel, montrer que α αf t t f t ta

b

a

b( ) =∫ ∫( ) ( ) .d d

A

B

Activité 6



Cours

1. Intégrale d’une fonction continue de signe quelconque

Dans le chapitre précédent, on a vu que si f est une fonction continue et positive

sur a b; , f t t F b F aa

b( ) ( ) ( ).d∫ = − Cette égalité va nous servir pour générali-

ser la notion d’intégrale à des fonctions qui ne sont pas positives sur I.

Calculer les intégrales suivantes : � −∫ 4 31

2t td � 2 1

2

3x x+( )−∫ d .

� La fonction f définie sur � par f t t( ) = −4 3 est continue sur � et une de

ses primitives est la fonction F définie par F t t( ) = − 4 (remarque : la fonction

C

Définition 4

Soit f une fonction continue sur un intervalle I et a et b deux nombres réels de I. Soit F une des primitives de la fonction f sur I. On appelle

« intégrale de a à b de la fonction f » le nombre F b F a( ) ( )− et on note

f t t F b F aa

b( ) ( ) ( ).d∫ = −

� On rappelle que la fonction f possède une infinité de primitives sur I, mais

que la différence F b F a( ) ( )− ne dépend pas de la primitive choisie.

� Il n’y a pas ici de condition sur le signe de f t( ) ni sur l’ordre de a et b.

� Bien sûr, dans le cas des fonctions positives sur un intervalle a b; (donc a b≤ ) les définitions 1 et 4 coïncident grâce à la propriété 10.

� La différence F b F a( ) ( )− est souvent notée F tab

( ) , ce qui se lit « F t( ) pris entre a et b ».

Remarque

� Exemple 16

� Solution



f est une fonction à valeurs négatives sur l’intervalle d’intégration). On a :

− = −

= −( ) − −( ) = −∫ 4 2 1 1531

2 4

1

2 4 4t t td .

� x x x x2 1 d 12 2 10.2

3 22

3∫ ( )+ = +

= − =

− −

Le premier calcul est ici très détaillé. Dans la pratique on rédige plutôt comme le deuxième calcul, mais, attention, il est toujours conseillé de travailler avec beaucoup de parenthèses pour éviter les erreurs dues aux signes « − ».

Remarque

2. Propriétés

Dans les propriétés suivantes, les fonctions sont continues sur un intervalle I,

les nombres réels a, b et c sont dans I, les nombres α et β sont deux réels

quelconques.

Propriété 11

f t t f t tb

a

a

b( ) ( ) .d d∫ ∫= −

Il suffit d’appliquer la définition : f t t F a F b f t tb

a

a

b( ) ( ) ( ) ( ) .d d∫ ∫= − = −

On procède comme dans l’activité 6.

Dans le chapitre 2, la définition de l’intégrale de a à b d’une fonction positive a permis d’établir plusieurs propriétés en utilisant les propriétés des aires.

Nous allons ici retrouver ces propriétés dans le cas général, le cas particulier des fonctions positives vous permettant d’en avoir une image géométrique.

� Démonstration

� Démonstration

Propriété 12

α β α βf g t t f t t g t ta

b

a

b

a

b+( ) = +∫ ∫ ∫( ) ( ) ( ) .d d d

Cette propriété s’appelle la

linéarité de l’intégrale.

Remarque



f t t F a F aa

a( ) ( ) ( ) .d∫ = − = 0

Soit F une primitive de la fonction f sur I.

La démonstration a déjà été faite dans le chapitre 2, puisqu’on se retrouve dans le cas d’une fonction positive.

Pour aller plus loin, nous vous proposons ici une

deuxième démonstration pour montrer qu’une autre

méthode est possible avec la nouvelle définition : comme

f t t F b F aa

b( ) ( ) ( )d∫ = − où F est une fonction dont la

dérivée F f' = est à valeurs positives, alors la fonction F est

croissante sur I, donc a b≤ implique F a F b( ) ( ),≤ c’est-à-dire F b F a( ) ( ) .− ≥ 0

� Démonstration

Propriété 13

f t ta

a( ) .d∫ = 0

Propriété 14

Relation de Chasles : f x x f x x f x xa

c

c

b

a

b( ) ( ) ( ) .∫ ∫ ∫+ =d d d

� Démonstration

f x x f x x F x F x

F c F a F b F c

F b F a

f x x

( ) d ( ) d ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) d .

ac

cb

ac

cb

ab

∫ ∫

∫

( ) ( )[ ] [ ]+ = +

= − + −= −

=

Avec cette définition générale utilisant une primitive, il n’est plus nécessaire de faire une supposition sur l’ordre des nombres a, b et c, on suppose simplement que les trois bornes sont dans I.

Remarque

Propriété 15 Positivité

Soit f une fonction continue et positive sur l’intervalle I. Pour tous nombres

a et b de l’intervalle I tels que a b≤ , on a alors : 0 ≤ ∫ f x xa

b( ) .d

� Démonstration

La condition a b≤ est essentielle.

Remarque



Méthode : on se ramène au cas précédent et on applique la propriété de linéarité.Comme f x g x( ) ( )≤ pour tout x de I, on a aussi 0 ≤ −g x f x( ) ( ) et on applique

la propriété de positivité à la fonction g f− , les nombres a et b vérifiant a b≤ .

Donc 0 ≤ −( )∫ g x f x xa

b( ) ( ) .d

D’où, d’après la linéarité, 0 ≤ −∫ ∫g x x f x xa

b

a

b( ) ( ) ,d d

soit f x x g x xa

b

a

b( ) ( ) .∫ ∫≤d d

Elle est analogue à celle faite pour une fonction f positive dans le chapitre 2.

Dans cette propriété aussi la

condition a b≤ est essentielle.

Remarque

� Démonstration Méth d è é éd t t li l iété d li é ité

Propriété 16 Comparaison

Soit f et g deux fonctions continues sur un intervalle I et telles que f g≤ ,

c’est-à-dire telles que f x g x( ) ( )≤ pour tout x de I. Soit a et b dans I tels que

a b≤ , alors f x x g x xa

b

a

b( ) ( ) .∫ ∫≤d d

Cette propriété sera très utile pour trouver des valeurs approchées d’intégrales de fonctions qu’on ne sait pas intégrer mais qu’on peut encadrer.

Remarque

Définition 5

La valeur moyenne d’une fonction f continue sur un intervalle a b; ,

avec a � b, est égale au nombre 1

b af t t

a

b

− ∫ ( ) .d


Soit une fonction f continue sur l’intervalle a b; avec a b≠ , et deux nombres

m et M tels que, pour tout x de l’intervalle a b; , on a m f x M≤ ≤( ) . Alors

m M≤ ≤µ , µ étant la valeur moyenne de la fonction f sur a b; .

� Démonstration



3. Calculer la valeur approchée d’une inté-grale avec une calculatrice ou un logiciel de calcul formel

a) Avec une calculatrice TI-82-stats.fr

On utilise la touche MATH puis l’instruction 9 : fonctIntégr.

La syntaxe est fonctIntégr(expression de la fonction, nom de la variable, borne inférieure, borne supérieure).

Voici, par exemple, le calcul de x x20

1d∫ :

b) Avec une calculatrice Casio 25+Pro

On utilise successivement OPTN CALC dx∫ .

La syntaxe est

expression de la fonction, borne inférieure, borrne supérieure, tolérance( )∫ .

Les calculs se font de façon approchée et la « tolérance » permet de choisir une

précision plus ou moins grande. Il est possible de ne pas indiquer la valeur de la

tolérance (la calculatrice utilisera alors 10 5− ) et de ne pas fermer la parenthèse.

Voici, par exemple, le calcul de x x20

1d∫ :

c) Avec un logiciel de calcul formel

Voici un écran obtenu avec le logiciel Xcas.

La première instruction int(x^2,x) permet d’obtenir à la deuxième ligne une

primitive de la fonction donnée par l’expression x^2 où la variable est x, il s’agit

donc de la fonction carré. (Avec l’instruction int(k*x^2,k) on obtiendrait x *k2 2

2

car la variable serait k.)

La deuxième instruction correspond à l’intégrale x x23

5d∫ dont le logiciel donne

la valeur : 983

.



4. Utiliser le calcul intégral pour déterminer une aire

a) Aire d’un domaine limité par l’axe des abscisses et la courbe représentative d’une fonction positive

Par définition, l’aire du domaine sous la courbe d’une fonction positive définie sur

un intervalle a b; a pour mesure f x xa

b( ) d∫ en unités d’aire.

Le plan est muni d’un repère orthogonal, l’unité étant 1cm en abscisse et 2cm en ordonnée.

La fonction f est définie sur 0 3; par f x x( ) .= −e Déterminer en cm2 l’« aire

sous la courbe représentative de f » que l’on nommera .�

En unités d’aire, l’« aire sous la courbe » mesure :

e d e e e− − − −∫ = −

= − − − = −x xx0

3

0

3 3 31 1( ) . Ici on a

1 2u.a. cm2= , donc � = −( ) = −( )×− −1 1 23 3e u.a. e cm2.

b) Aire entre deux courbes représentatives de fonc-tions positives

� Exemple 17

Il faut faire attention aux unités.

Remarque0 1

1

� Solution

a 0 1 b

x

y�g

�f1

�

�f

Propriété 18

Soit f et g deux fonctions définies, continues et positives sur l’intervalle

a b; , telles que, pour tout t de a b; , f t g t( ) ( ).≤ L’aire du domaine �

limité par la courbe représentative de f, celle de g et les droites d’équation

x a= et x b= , mesure g t f t t( ) – ( ) dab∫ ( ) en unités d’aire.



En notant �f (respectivement �g ) le domaine situé sous la courbe représentant

f, on a : � � �f g∪ = . D’après les propriétés des aires, on obtient

aire aire aire� � �f g( ) ( ) = ( )+ , d’où

g x x f x xaire aire aire ( ) d ( ) d .g f ab

ab

� � � u.a∫ ∫( )( ) ( )= − = −

Et la linéarité de l’intégrale donne : g t f t taire ( ) ( ) d .ab

� ∫ ( )( ) = − u.a

Soit f et g les deux fonctions

définies sur � par f x x( ) = +2 1

et g x x( ) ,= + 3 leurs courbes

représentatives sont données ci-

contre.

� D’après le graphique, comparer

f x( ) et g x( ) lorsque x appartient

à l’intervalle − 1 2; .

� Calculer, en unités d’aire, l’aire du domaine situé entre les deux courbes (aire coloriée).

� Graphiquement on lit que f x g x( ) ( )≤ car la fonction g est affine, donc la

droite représente la fonction g.

� En unités d’aire, l’aire du domaine colorié mesure donc :

I g x f x x x x x x x x

x xx

( ) ( ) d 3 1 d 2 d

3 22

12 2

12 2

12

3 2

1

2

∫ ∫ ∫( )( ) ( )( ) ( )= − = + − + = − + +

= − + +

− − −

−

I83

22

2 2( 1)

3( 1)

22 ( 1)

83

613

1,5 4,5.

2 3 2= − + + ×

− − − + − + × −

= − +

− −

=

O

1

1

� Démonstration

� Exemple 18

� Solution



Dans un repère orthonormé, la fonction f définie sur � par f x x x( ) = − +3 23 4

est représentée par la courbe �. Déterminer, en unités d’aire, l’aire du domaine

situé entre la courbe � et la droite � d’équation y x= +1.

On observe graphiquement que la courbe � est au-dessus de la droite �

lorsque − ≤ ≤1 1x et que la droite � est au-dessus de � lorsque 1 3≤ ≤x .

On calcule donc

f x x x x f x x

x x x x x x x

xx

xx

xx

xx

( ( ) ( 1) d ( 1 ( )) d

x 3 3 d 3 3 d

4 23

4 23 8

11

13

3 21

1 3 213

43

2

1

1 43

2

1

3

∫ ∫∫ ∫( ) ( )

− + + + −

= − − + + − + + −

= − − +

+ − + + −

=

−

−

−

L’aire coloriée est donc égale à 8 u.a.

Si la différence g t f t( ) ( )− n’est pas de signe constant, on décompose

l’intervalle a b; en une union d’intervalles sur chacun desquels le signe

est constant et on utilise la relation de Chasles.

Remarque

0 I

J

�

�

� Exemple 19

� Solution



5. Une aire en économie : courbe de Lorenz et coefficient de Gini

Pour étudier la répartition des salaires dans une population on peut utiliser une courbe appelée courbe de Lorenz.

Les salaires sont rangés par ordre croissant et regroupés en classes.

On va faire un graphique où l’on portera :

� en abscisse les fréquences cumulées des effectifs,

� en ordonnée les fréquences cumulées de la masse salariale.

Par exemple, le point de coordonnées 0 50 0 39, ; ,( ) indique que 50% des salariés

les moins riches reçoivent 39% de la masse salariale.

La courbe obtenue est appelée courbe de Lorenz.

Si la répartition de la masse salariale était égalitaire cela voudrait dire que n %

des salariés se partageraient n % de la masse salariale, quel que soit n. Tous

les points du graphique se trouveraient sur la droite d’équation y x= , plus

précisément sur le segment OA en appelant A le point de coordonnées 1 1; .( )

Ce segment OA représente une répartition égalitaire de la masse salariale.

L’indice de Gini donne un moyen de mesurer l’écart entre la répartition étudiée

et la répartition égalitaire.

(M. O. Lorenz (1880/1962) économiste américain, C. Gini un économiste italien (1884-1965)).

Prenons l’exemple des salaires mensuels versés aux 100 salariés d’une entreprise.

Salaires(en centaines d’euros)

[10 ;14[ [14 ;18[ [18 ;22[ [22 ;26[ [26 ;30]

Nombre de salariés 20 30 25 15 10

� Remplir un tableau indiquant les fréquences des effectifs et les fréquences des masses salariales ainsi que les fréquences cumulées croissantes des effectifs et des masses salariales (notées fci et Fci ).

� Le plan étant muni d’un repère où l’unité est 10 cm sur chaque axe, placer les

points de coordonnées f Fci ci; .( ) Joindre ces points pour obtenir la courbe de

Lorenz (qui passe aussi par l’origine O).

� Exemple 20



� L’aire du domaine compris entre la première bissectrice et la courbe de Lorenz

s’appelle l’aire de concentration. On considère les points A(1 ; 1) et B(1 ; 0). On

définit l’indice de Gini par : IG = aire de concentrationaire du triangle OAB

.

Calculer approximativement IG en utilisant le papier millimétré (unité : 10 cm sur chaque axe).

� Voici le tableau rempli :

SalairesEffectifs

ni Fréquences

fi

Fréquences cumulées

croissantes fci

Centres des classes

Ci

Masses salariales n Ci i

Fréquences Fi arrondies

Fréquences cumulées

croissantes Fci

[10 ;14[ 20 0,20 0,20 12 240 0,13 0,13[14 ;18[ 30 0,30 0,50 16 480 0,26 0,39[18 ;22[ 25 0,25 0,75 20 500 0,27 0,66[22 ;26[ 15 0,15 0,90 24 360 0,19 0,85[26 ;30] 10 0,10 1 28 280 0,15 1

100 1860

1

0,85

0,66

0,39

0,13

0 0,20 0,50 0,75 0,90

Fci

fciB

A

aire deconcentration

courbede Lorenz

1

� Solution

�



� On peut évaluer graphiquement l’aire de la partie coloriée à 8 cm2 environ.

L’aire du triangle OAB est égale à 50 cm2. Ainsi :

IG = =aire de concentrationaire du triangle OAB

airre coloriée50

850

≈ , soit IG ≈ 0 16, .

� On a toujours 0 1≤ ≤IG .

� Si on utilise l’unité d’aire donnée par le repère, l’aire du triangle OAB mesure

0,5 et on obtient IG = = ×aire de concentration0,5

aire de concentra2 ttion.

� Si la courbe de Lorenz est confondue avec le segment [OA], la répartition est parfaitement égalitaire, l’aire de concentration est nulle, l’indice de Gini est nul.

� Si la courbe de Lorenz est confondue avec la ligne OBA (une seule personne reçoit le total de la masse salariale), l’inégalité est totale, l’aire de concentration est égale à celle du triangle OAB, l’indice de Gini vaut 1.

� Ainsi, si l’indice de Gini est voisin de zéro la répartition est assez équitable. Par contre s’il est voisin de 1 alors la répartition est très inégale.

� Dans l’exemple précédent, comme IG ≈ 0 16, , on peut dire que la répartition salariale n’est pas trop inégale (en effet, par exemple, 50% des salariés possèdent 39% de la masse salariale, alors que 75% des salariés possèdent 66% de la masse salariale).

Dans la pratique il n’est pas toujours simple de calculer avec précision l’aire de concentration. Si la courbe de Lorenz est modélisée comme étant la courbe représentative d’une fonction, on pourra calculer une intégrale (de façon exacte ou approchée).

Remarque

6. Un exemple de moyenne en économie

Cet exemple est un extrait d’un exercice proposé au baccalauréat en 2011.

Certains scientifiques estiment que les futures découvertes de pétrole dans le

monde peuvent être modélisées, à partir de l’année 2011, grâce à la fonction f

définie sur l’intervalle 11; + ∞ par f x x( ) ,= −17280 0 024e de sorte que f (x)

représente, en billions de barils (millions de millions de barils), l’estimation de la

quantité de pétrole qui sera découverte au cours de l’année 2000 + x.� Déterminer une primitive F de la fonction f sur 11; .+ ∞

� Exemple 21



� Calculer la valeur exacte, puis donner la valeur arrondie à l’unité près, de

l’intégrale I suivante : I f x x= ∫ ( ) .d11

21

� En déduire le nombre moyen de barils, en billions, que l’on peut espérer découvrir par an d’après ce modèle, entre les années 2011 et 2021.

� En écrivant f x x x( ),

,, ,= =−

−( )− −17280172800 024

0 0240 024 0 024e e on obtient

une primitive F définie par : F x x( ),

.,= − × −172800 024

0 024e

I f x x F x= = = − ×∫ −( ) ( ),

,d e11

211121 0 02417280

0 024xx

= − +( )− × − ×

11

21

0 024 21 0 024 11172800 024,

, ,e e == − +( )− −172800 024

0 504 0 264,

., ,e e

� Il s’est écoulé 10 ans entre 2011 et 2021, donc le nombre moyen de barils,

en billions, que l’on peut espérer découvrir par an est égal à I

10, soit environ

11798 billions.

On remarque que I

f x x10

121 11 11

21=

− ∫ ( ) ,d le nombre moyen de barils est donc

donné par la valeur moyenne de la fonction f sur l’intervalle 11 21; .


Calculer les intégrales suivantes :

� A d=−∫ 2 3

3

2x x � B e d= ∫ q q

0

2 � C d= ∫

121

2

tt

� D de

= +

∫ x

xx

11

� E e d= −−∫

41

1 x x � F de

= ∫ln

.t

tt

1

Déterminer la valeur moyenne de la fonction f sur l’intervalle 0 3; sachant

que f x x( ) .= −e 2

Soit f la fonction définie sur 0 ; + ∞ par f x x x( ) ln .= + 3 2

� Vérifier que la fonction F définie sur 0 ; + ∞ par F x x x x x( ) ln= + −3 est

� Solution

�

I ≈ 117982.

D

Exercice 12

Exercice 13

Exercice 14



une primitive de f sur 0 ; .+ ∞ � Calculer l’intégrale A d

e= +( )∫ ln .x x x3 2

1Soit f la fonction définie sur � par f x

x

( ) =−1

2

2

2π

e et soit � sa courbe

représentative dans un repère orthogonal.

� Dire pourquoi la courbe � est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

� On appelle I( )b l’intégrale définie par I d( ) ( )b f x xb

= ∫0 où b est un réel

positif ou nul. Sur la figure, l’aire colorée mesure I( )b en unités d’aire.

On ne sait pas calculer exactement l’intégrale I( ).b

On donne dans le tableau suivant des valeurs approchées de I b( ) pour quelques

valeurs de b :

b 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

I b( )

0,191 46 0,341 34 0,433 20 0,477 25 0,493 79 0,498 65 0,499 77 0,499 97

En déduire des valeurs approchées des intégrales suivantes :

A f x dx B f x dx C f x dx

D f x dx E f x dx

( ) ; ( ) ; ( ) ;

( ) ; ( ) .

–10

1,53,5

–22

–4–1

–31

∫ ∫∫

∫∫

= = =

= =

� Calculer G f x x( ) d4

4∫=−

et commenter le résultat obtenu.

Soit f la fonction définie sur � par f x x x( ) ( )= + −3 e et représentée par la

courbe � dans un repère orthonormé.

� Etudier le sens de variation de f.

Exercice 15

�

x0

0,1

b 1

y

Exercice 16



� Déterminer les réels a et b pour que la fonction F définie sur � par

F x ax b x( ) ( )= + −e soit une primitive de f.

� Calculer, en unités d’aire, la valeur exacte puis une valeur approchée à 10 2−

près par défaut de l’aire A1 du domaine du plan limité par la courbe �, l’axe

des abscisses et les droites d’équation x = −3 et x = 4.

� Calculer f ( ).−2 En déduire que f x( ) ≤ e2 pour tout réel x. Calculer, en unités

d’aire, la valeur exacte puis une valeur approchée à 10 2− près par défaut de l’aire

A2 du domaine du plan limité par la courbe �, la droite d’équation y = e2 et

les droites d’équation x = −3 et x = 4.

On considère la fonction f définie sur 0 ; + ∞ par f x xx

( ) .= + −12 On

appelle � la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé.

� Etudier le sens de variation de f sur 0 ; .+ ∞

� Soit � la droite d’équation y x= +1. Etudier les positions relatives de � et

de �. Représenter � et � dans le repère orthonormé (unité : 2 cm).

� Colorier le domaine � déterminé par �, �, les droites d’équation x = 1 et x = e.

Calculer, en cm2, l’aire du domaine �.

Voici un tableau indiquant la répartition des revenus des ménages d’un pays.

Lecture du tableau : les 10 % de ménages les moins favorisés détiennent seulement 2,18 % du revenu national.

On veut calculer l’indice de Gini,

noté IG , de cette répartition.

La courbe de Lorenz correspondante est tracée sur la figure.

Unités graphiques : 1 cm pour 10 unités en abscisse, 1 cm pour 10 unités en ordonnée.

Exercice 17

DécilesProportion

des ménages

Revenu cumulé (en %)

1 10% 2,182 20% 6,013 30% 10,954 40% 16,975 50% 24,176 60% 32,967 70% 43,528 80% 56,159 90% 72,28

Exercice 18



100

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

courbe de Lorenz

Revenucumulé (en %)

Proportion des ménages en %20 30 40 50 60 70 80 90 100

A

B

� Méthode graphique

D’après la figure, évaluer l’aire du domaine compris entre le segment [OB] et la

courbe de Lorenz. En déduire une valeur approchée du coefficient IG .

� Méthode utilisant une intégrale.

On admet que la courbe de Lorenz peut être approchée par la courbe C d’équation

y x x= +0 009 0 0332, , et que cette courbe est située sous la droite (OB).

Donner une équation de la droite (OB).

En utilisant une intégrale, donner une valeur approchée du coefficient IG .

� Que peut-on penser de la répartition des revenus des ménages dans ce pays ?

Quel pourcentage du revenu national est détenu par les 10 % des ménages les plus riches ?



Une maladie contagieuse s’est développée dans une ville. On a constaté que le

nombre f t( ) de personnes atteintes par cette maladie t jours après l’apparition

de celle-ci est tel que f t t t( ) = −30 2 3 pour 0 30≤ ≤t .

� Calculer le nombre moyen de personnes malades durant les dix premiers jours.

� Quel est le jour t0 où il y a le plus de malades ? Quel est le nombre maximum de malades ?

� Calculer le nombre moyen de personnes malades durant l’intervalle

t t0 04 4− + ; .

Exercice 19



5 Synthèsede la séquence

1. Aire et intégrale d’une fonction continue et positive sur un intervalle

2. Primitives

Théorème 1

Soit f une fonction continue

et positive sur a b; , la

fonction définie sur a b; par

x f t ta

x� ( ) d∫ est dérivable sur

a b; et sa fonction dérivée est

la fonction f.

Théorème 2

Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle.

Définition 3

F est une primitive de la fonction f, continue sur I, si et seulement si f est la fonction dérivée de F sur I.

0I

J K

1

1

a bb

x

�

yy

1 ua

� f

Définition 1

L’intégrale de a à b d’une fonction f continue et

positive sur a b; est la mesure de l’« aire sous la

courbe » en unités d’aire.

f x xaire( ) ( ) d u.a.ab

� ∫=



3. Primitives et intégrale d’une fonction continue

On définit l’intégrale de a à b d’une fonction f continue de signe quelconque en généralisant l’égalité précédente qui sert alors de définition de l’intégrale à partir d’une primitive.

Dans les propriétés suivantes, les fonctions sont continues sur un intervalle I,

les nombres réels a, b et c sont dans I, les nombres α et β sont deux réels

quelconques.

Pour la relation de Chasles, la positivité, les comparaisons et les inégalités de la moyenne, il est utile d’avoir une vision géométrique en pensant aux « aires sous les courbes ».

Propriété 8

Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I. Soit x0 un élément

de I et y0 un nombre réel. Alors il existe une primitive et une seule de f sur I

qui prend la valeur y0 en x0.

On détermine les primitives des fonctions usuelles par lecture inverse du tableau des dérivées.

En particulier une fonction de la forme u u'e a pour primitive la fonction eu .

Propriété 10 Primitive et intégrale

Soit f une fonction continue et positive sur a b; et F une de ses primitives.

On a alors : f t t F b F aa

b( ) ( ) ( ).d∫ = −

Définition 4

Soit f une fonction continue sur un intervalle I et F une de ses primitives sur I, les nombres a et b sont dans I. L’intégrale de a à b de la fonction f est

définie par : f t t F b F aa

b( ) ( ) ( ).d∫ = −



4. Applications

Propriétés 11 à 16

f t t f t tb

a

a

b( ) ( ) .d d∫ ∫= −

α β α βf g t t f t t g t ta

b

a

b

a

b+( ) = +∫ ∫ ∫( ) ( ) ( )d d d

f t ta

a( ) .d∫ = 0

f x x f x x f x xa

c

c

b

a

b( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫+ =d d d (relation de Chasles).

Pour f ≥ 0 sur I et a b≤ , f x xa

b( )∫ ≥d 0 (positivité).

Pour f et g telles que f g≤ et a b≤ , f x x g x xa

b

a

b( ) ( )∫ ∫≤d d (comparaison).

Définition 5

La valeur moyenne d’une fonction f continue sur un intervalle a b; ,

avec a � b, est égale à 1

b af t t

a

b

− ∫ ( ) .d


Soit une fonction f continue sur l’intervalle a b; , et deux nombres m et

M tels que, pour tout x de l’intervalle a b; , on a m f x M≤ ≤( ) . Alors

m M≤ ≤µ , µ étant la valeur moyenne de la fonction f sur a b; .

Propriété 18 Aire entre deux courbes

Soit f et g deux fonctions continues et positives sur l’intervalle a b; ,

telles que, pour tout t de a b; , f t g t( ) ( ).≤ L’aire du domaine � limité

par la courbe représentative de f, celle de g et les droites d’équation x a=

et x b= , mesure g t f t t( ) – ( ) dab∫ ( ) en unités d’aire.



�f

a 0 1 b

x

y�g

�f

�

1

Indice de Gini

On définit l’indice de Gini par :

IG = = ×aire de concentrationaire du triangle OAB

2 aaire de concentration.

� On a toujours 0 1≤ ≤IG .

� Si l’indice de Gini est voisin de zéro la répartition est assez équitable. Par contre s’il est voisin de 1, la répartition est très inégale.

0

1

1

B

A



6 Exercices de synthèse(exercice proposé au baccalauréat)

Lors d’une émission télévisée, les téléspectateurs sont appelés à envoyer des messages téléphoniques par SMS, pendant une durée de 5 minutes.

Pendant ces 5 minutes, les appels arrivent de façon continue, avec un débit variable en fonction du temps. Si x est le temps exprimé en minutes, le débit, exprimé en milliers d’appels par minute, est donné par la fontion f telle que :

� f x x x( ) –= +4 82 pour x ∈ 0 1 ; .

� f x x x( ) ln –= + 5 pour x ∈ 1 5 ; .

La courbe ( ),� représentative de la fonction f dans un repère orthonormal du plan, est donnée ci-après à titre indicatif.

On veut calculer le nombre total d’appels reçus pendant ces 5 minutes, et on

admet que ce nombre d’appels est donné par f x dx( ) .0

5∫

� Démontrer que f est croissante sur [0 ; 1], et décroissante sur [1 ; 5].

� a) Donner une primitive de la fonction f sur [0 ; 1].

b) Calculer l’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine plan limité par la courbe

( ),� l’axe des abscisses et la droite d’équation x = 1.

� a) Soit g et G les fonctions définies sur [1 ; 5] par g x x( ) ln= et

G x x x x( ) ln – .=

Montrer que G est une primitive de g sur [1 ; 5].

b) Calculer l’aire, exprimée en unités d’aire,

du domaine plan limité par la courbe ( ),� l’axe des abscisses, et les droites d’équation

x x= =1 5 .et

� Donner le nombre total d’appels reçus pendant ces 5 minutes.

Exercice I

O I

J



(exercice proposé au baccalauréat)

La courbe �f tracée ci-dessous est la représentation graphique d’une fonction

f définie et dérivable sur �.

On note f ' la fonction dérivée de f.

La tangente T à la courbe �f au point A 0 3;( ) passe par le point B 1 5; .( )� En utilisant les données et le graphique, préciser la valeur de f ( )0 et la valeur

de f '( ).0

� Déterminer une équation de la tangente T à la courbe f� au point A.

� Préciser un encadrement par deux entiers consécutifs de l’aire, en unités

d’aire, de la partie du plan située entre la courbe �f , l’axe des abscisses, l’axe

des ordonnées et la droite d’équation x = 1.

� On admet que la fonction f est définie, pour tout nombre réel x , par une

expression de la forme f xax b

( ) 1e

.x

= + + où a et b sont des nombres réels.

a) Déterminer l’expression de f x'( ) en fonction de a, b et x.

b) À l’aide des résultats de la question �, démontrer que l’on a, pour tout réel x :

f xx

( ) 14 2

e.

x= + +

Exercice II

O I

J

A

B



� Soit F la fonction définie sur � par F x xx

( )–4 – 6

e.

x= + On admet que F ,

qui est dérivable sur � , est une primitive de f sur �.

Déterminer la valeur exacte puis une valeur approchée à 10 2– près de l’aire, en

unités d’aire, de la partie du plan située entre la courbe �f , l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées et la droite d’équation x = 1.

Ce résultat est-il cohérent avec l’encadrement obtenu à la question � ?

Un artisan bijoutier fabrique chaque mois un nombre x de bijoux, où x est un entier compris entre 0 et 80.

Le coût unitaire de production d’un objet lorsqu’on fabrique x objets est noté

f x( ). La courbe ci-jointe représente la fonction f dans un repère orthogonal.

Le coût unitaire est exprimé en euros.

Exercice III

.

.

...

.

.

.f (x) en euros

2040

2000

1400

1000

200

104

O 10 20 30 4036

50 60 70 80 x

P



� Déterminer graphiquement le nombre n de bijoux que l’artisan doit fabriquer pour que le coût de production d’un objet soit minimal.

� La fonction f est de la forme f x x bx c( ) .= + +2 A l’aide d’informations graphiques, déterminer b et c.

� Calculer le coût moyen de production d’un objet lorsque l’artisan fabrique :

� 40 bijoux par mois ;

� 80 bijoux par mois.

Dans une entreprise le coût total de fabrication d’une quantité q d’un produit

comprend un coût fixe CF et un coût variable C q( )V qui dépend de la quantité q.

Ainsi C q C C qT F V( ) ( ).= +

On donne CV ( )0 0= et CF = 5 000 (en euros).

On admet que le coût marginal C qma ( ) est la dérivée de C qT ( ).

� Soit l’intégrale A C x dxmaq

= ∫ ( ) .0

Montrer que A C q( ) – 5 000.T= .

� On donne C q q qma ( ) – .= +3 120 1 0002

Montrer que C q C C x dxT F maq

( ) ( ) .= + ∫0

Exprimer C qT ( ) en fonction de q.

(exercice donné au baccalauréat)

Une entreprise fabrique et vend à des particuliers des panneaux solaires photovoltaïques produisant de l’électricité. Elle en produit chaque mois entre 50 et 2500.

Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0,5 ; 25] par

f x x x x( ) ln – – .= +18 16 152

Si x représente le nombre de centaines de panneaux solaires fabriqués et

vendus, alors on admet que f x( ) représente le bénéfice mensuel de l’entreprise, en milliers d’euros. On suppose que f est dérivable sur [0,5 ; 25], et on note f ' sa fonction dérivée.

Partie A

� Calculer f x'( ). Vérifier que, pour tout nombre x appartenant à l’lintervalle

[0,5 ; 25], on a f xx x

x'( )

–.= + +2 16 182

� Étudier le signe de f x'( ) sur l’intervalle [0,5 ; 25]. En déduire les variations de la fonction f sur l’intervalle [0,5 ; 25].

Exercice IV

Exercice V



� a) Calculer f ( ).1

b) Montrer que sur l’intervalle [18 ; 19] l’équation f x( ) = 0 admet une solution

unique α. Déterminer une valeur approchée par défaut de α à 10 2− près.

c) En déduire le signe de f x( ) pour tout x appartenant à l’intervalle [0,5 ; 25].

� Quels sont le nombre minimal et le nombre maximal de panneaux que l’entreprise doit produire et vendre pour être bénéficiaire ?

� Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

L’entreprise peut-elle réaliser un bénéfice mensuel de 100 000 € ? Justifier la réponse.

Partie B

� On admet que la fonction G définie sur l’intervalle 0 ; +∞ par

G x x x x( ) ln= − est une primitive de la fonction logarithme népérien sur

l’intervalle 0 ; .+∞

En déduire une primitive F de la fonction f sur l’intervalle [0,5 ; 25].

� Rappel : soit f une fonction définie et continue sur un intervalle a b ; , où

a b< .

La valeur moyenne de la fonction f sur l’intervalle a b ; est le nombre réel m

défini par mb a

f x dxa

b=

− ∫1

( ) .

Déterminer la valeur moyenne du bénéfice mensuel de l’entreprise, arrondie à la

centaine d’euros, lorsque celle-ci produit et vend entre 100 et 1 800 panneaux

solaires.

Soit f et g les deux fonctions définies sur 0 1 ; par : f x x x( ) = −e 1 et

g x x( ) .= 2 Le plan est muni d’un repère orthonormé O ; I J,( ) et on appelle A

le point de coordonnées 1 1; .( ) Soit C f et C g les courbes représentatives des

fonctions f et g.� a) Etudier la position de la courbe C f par rapport au segment [OA]. En

déduire que C f est une courbe de Lorenz.

b) Déterminer les réels a et b pour que la fonction F définie sur 0 1; par F x ax b x( ) ( )= + −e 1 soit une primitive de la fonction f.

Exercice VI



c) En supposant que la courbe � f représente la répartition de la masse salariale des ouvriers d’une entreprise, calculer l’indice de Gini correspondant.

� Calculer le coefficient de Gini pour la répartition correspondant à la courbe

� g .

� Dessiner les courbes � f et � g .

Comparer les deux coefficients de Gini et comparer les deux répartitions correspondantes.

Sur le graphique de la figure ont été tracées les courbes représentatives �f et

�g de deux fonctions f et g dérivables sur l’intervalle 0 ; .+∞

Partie A Questions préliminaires

� Résoudre, avec la précision permise par le graphique, les équations ou inéquations suivantes :

f x f x g x f x g x f x g x( ) 8 ; ( ) 4 ; ( ) 11 ; ( ) ( ) ; ( ) ( ).= = = = ≥

� Lire sur le graphique f f g g( ) ; ( ) ; ( ) ; ( ).0 14 0 3

� Donner le signe des fonctions dérivées f ' et g ' sur l’intervalle 0 15 ; .

Partie B

La fonction f est la fonction de demande d’un produit : elle met en correspondance

le prix f x( ) du produit et la quantité x achetée par les consommateurs.

La fonction g est la fonction d’offre : elle met en correspondance le prix g x( ) du produit et la quantité x vendue par les producteurs.

La quantité est exprimée en centaines d’unités et le prix en dizaines d’euros.

� Interprétation graphique

a) Quelle quantité est achetée par les consommateurs si le prix est de 80 euros ? si le prix est de 40 euros ?

b) Quelle quantité est vendue par les producteurs si le prix est 110 euros ?

c) En dessous de quel prix les producteurs ne sont-ils pas prêts à vendre ?

� Équilibre du marché

La fonction f représentée sur la figure est définie sur 0 ; [ [+∞ par f xx

( ) .=+

402

Exercice VII



La fonction g représentée sur la figure est définie sur 0 ; [ [+∞ par

g x x( ) .= +118

32

O

1

2

3

4

5

10

15

20

1 2 3 4 5 10

x

15

PRIX(en dizaines d'euros)

QUANTITÉ (en centaines)

K

�g

�f

Dans un marché à concurrence pure et parfaite, le prix p0 qui se forme sur le marché selon la « loi de l’offre et de la demande » correspond à l’égalité de l’offre et de la demande, c’est-à-dire à l’ordonnée du point d’intersection K des deux courbes �f et �g .

Conjecturer les ordonnées du point K puis vérifier par le calcul (on notera les

coordonnées de K par ( ; )).x p0 0 Quel est le prix d’équilibre ?

La situation est favorable aux consommateurs lorsque l’offre dépasse la demande



Déterminer les situations favorables aux consommateurs et celles défavorables aux consommateurs.

� Rente des producteurs

Les producteurs qui étaient prêts à vendre à un prix inférieur au prix d’équilibre réalisent un gain fictif appelé profit (ou rente) des producteurs.

Ce nombre, noté P ,p est donné, en milliers d’euros, par : P x p g x x( ) d .px

0 0 00∫= −

Calculer Pp et en donner une interprétation graphique.�


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Séquence 6 - Académie en ligne · Séquence 6 – MA01 1 Séquence 6 Sommaire 1. Pré-requis 2. Aire et intégrale d’une fonction continue et positive sur un intervalle 3. Primitives