Séquence 7 - Académie en ligne · On dit qu’une série statistique est à caractère quantitatif continu quand on connaît seulement les effectifs ou les fréquences des termes

1Séquence 7 – MA01

Séquence 7Probabilité :lois à densité

Sommaire

Introduction

1. Pré-requis

2. Lois de probabilité à densité sur un intervalle

3. Lois uniformes

4. Lois normales

5. Synthèse de la séquence

6. Exercices de synthèse

© Cned - Académie en ligne

2 Séquence 7 – MA01

IntroductionDans cette séquence, on introduit une situation nouvelle en probabilité : l’univers

associé à une expérience aléatoire est formé d’une infinité d’éléments.

Plus précisément, on va étudier des variables aléatoires X, fonctions de dans

, les valeurs prises par la variable aléatoire X formant un intervalle I de .

L’expérience aléatoire consiste à prendre un point M sur un demi-cercle. L’univers

est alors formé par l’infinité des points du demi-cercle.

On considère la variable aléatoire X qui à un point M du demi-cercle associe la

mesure en degrés de l’angle AOM.

Les valeurs prises par la variable aléatoire X forment l’intervalle 0 180; et la

notation ( )0 45≤ ≤X désigne l’ensemble des points de l’arc AC.

M

C

AO

45°

B

Il est donc nécessaire d’introduire de nouveaux outils dans le cours de probabilité.

On étudie deux exemples importants de lois suivies par des variables aléatoires : les lois uniformes et les lois normales.

Tous les événements étudiés dans cette séquence seront décrits par l’intermédiaire de variables aléatoires et d’intervalles.

Dans d’autres documents vous pouvez trouver d’autres écritures sans variable aléatoire, par exemple P c d; ( ) (c et d étant deux nombres réels). Dans ce cas, l’univers est lui-même un intervalle I contenant les nombres c et d. L’intervalle I est muni directement d’une loi de probabilité. Ici, même dans ce cas, nous utili-serons une variable aléatoire X pour désigner le résultat obtenu par l’expérience aléatoire. On a ainsi :

P c d P X c d P c X d; ; ( ) = ∈ ( ) = ≤ ≤( ) et nous n’utiliserons pas la première écriture.

Exemple

Remarque

Notation



1 Pré-requis1StatistiquesUne série statistique porte sur un caractère (taille, poids, sport pratiqué…)

Le caractère est qualitatif (sport pratiqué) ou quantitatif s’il peut être associé à un nombre (taille, poids...).

On dit qu’une série statistique est à caractère quantitatif discret (du latin discretus : séparé) quand les valeurs prises par le caractère sont des nombres isolés (par exemple le nombre de frères et sœurs). Dans ce cas, la série statistique est représentée par un diagramme en bâtons.

On dit qu’une série statistique est à caractère quantitatif continu quand on connaît seulement les effectifs ou les fréquences des termes de la série appar-tenant à des intervalles (par exemple la taille des personnes inscrites à un club sportif). Ces intervalles sont aussi appelés « classes ». Une série statistique à caractère quantitatif continu est représentée par un histogramme des effectifs ou des fréquences.

Dans un histogramme des fréquences, les fréquences des classes sont représentées par les aires des rectangles de l’histogramme, l’aire totale mesurant 1 (soit 100 %). Pour lire l’histogramme, on indique la fréquence d’une aire de référence.

Une série statistique à caractère quantitatif continu est représentée par l’histo-gramme ci-dessous.

Donner les classes et la fréquence de chaque classe.

1 2 3 4 5 6

fréquence : 5 %

Classes 1 2; 2 2 5; , 2 5 4, ; 4 5 5; , 5 5 6, ; Fréquences 0,1 0,1 0,45 0,3 0,05

Pour déterminer la moyenne et l’écart-type, on utilise les centres des classes, c’est-à-dire qu’on remplace la série à caractère continu par une série à caractère

A

Exercice

Solution



discret, chaque classe formée d’une infinité de valeurs étant remplacée par une seule valeur. On dit que l’on a « discrétisé » la série statistique.

Calculer la moyenne de l’exemple précédent.

Milieux des classes : xi 1,5 2,25 3,25 4,75 5,75

Fréquences : fi 0,1 0,1 0,45 0,3 0,05

On a :

X x fE( ) 1,5 0,1 2,25 0,1 3,25 0,45 4,75 0,3 5,75 0,05 3,55.i ii

i

1

5

∑= = × + × + × + × + × ==

=

ProbabilitéVous devez avoir présent à l’esprit la signification du vocabulaire spécifique aux probabilités étudiées en classe de seconde, première et dans la séquence 3 : uni-vers muni d’une loi de probabilité, variables aléatoires, probabilités condition-nelles. Même si le passage du discret au continu, des ensembles finis aux inter-valles de , modifie certaines propriétés, les idées principales pour modéliser les situations sont très voisines.

1. Variables aléatoires

Rappelons seulement quelques éléments concernant les variables aléatoires, pour l’instant dans un univers ayant un nombre fini d’éléments.

Par exemple, on tire des lettres placées dans un sac. On a alors Ω = a, b, c,... ,z et on peut choisir la variable aléatoire qui associe 1 à chaque voyelle, 2 à k, q, w, z (lettres rares en français) et 0 aux autres lettres.

Les événements sont des sous-ensembles de Ω. Précisons à l’aide de l’exemple la notation utilisée pour les événements définis à l’aide d’une variable aléatoire X.

Exercice

Solution

B

Définition

On dit qu’on définit une variable aléatoire X sur l’ensemble Ω lorsque, à chaque éventualité ω de l’expérience aléatoire, on associe un nombre réel X ( )ω : ω ω X ( ).

Notation



Dans l’exemple précédent, l’événement a, e, i, o, u, y sera aussi noté ( ).X = 1

On notera de même ( )X = 2 l’événement k, q, w, z et ( )X = 0 l’événement

b, c, d, f, g, h, j, l, m, n, p, r, s, t, v, x .

Dans le cas général la notation ( )X a= où a est un nombre réel désigne l’évé-nement ω ω∈ = Ω / ( ) ,X a c’est-à-dire l’ensemble des éventualités ω pour lesquelles la variable aléatoire X prend la valeur a.

Le travail sur les variables aléatoires ne fait intervenir que des aspects numé-

riques, l’univers apparaît peu directement.

2. Loi binomiale

Définition

La loi de probabilité d’une variable aléatoire X est donnée par :

l’ensemble des valeurs x x x, , ... , r1 2 prises par la variable aléatoire ;

les probabilités P X xi( )= pour toutes les valeurs xi prises par X (on

rappelle que P X x( ) 1).ii

i r

1∑ = ==

=

Définition

L’espérance de la variable aléatoire X est le nombre, noté E(X), défini par :

X x P X x x P X x x P X x

x p x p x p x p

E( ) ( ) ( ) ... ( )

... .

r r

r r i ii

i r1 1 2 2

1 1 2 21

∑

= = + = + + =

= + + + ==

=

Définition

Soit X la variable aléatoire définie par le nombre de succès obtenus quand

on répète n fois de façon indépendante une expérience ayant deux résultats

possibles, réussite de probabilité p et échec de probabilité 1− p. La loi de

probabilité de X est la loi binomiale de paramètres n et p, notée n p( ; ).



Représentation graphique d’une loi binomiale

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213141516171819200,000

0,050

0,100

0,150

0,200

0,250

n=20 et p=0,7 P(X=k)

k

prob

abili

té

Utiliser une calculatrice ou un tableur

Soit X une variable aléatoire de loi binomiale de paramètres n et p :

La syntaxe LOI.BINOMIALE(k ; n ; p ; FAUX) ou LOI.BINOMIALE(k ; n ; p ; 0) renvoie la probabilité P X k( ).=

La syntaxe LOI.BINOMIALE(k ; n ; p ; VRAI) ou LOI.BINOMIALE(k ; n ; p ; 1) renvoie la probabilité cumulée P X k( ).≤

Avec une calculatrice TI (84, mais aussi 83 et 82 avec des modifications mineures)

Pour calculer P X k( )= lorsque X suit la loi binomiale B( ),n p; on utilise l’instruction binomFdp( (que l’on obtient par l’instruction DISTR (touches 2ND VARS ) et la touche 0) que l’on complète ainsi : binomFdp(n, p, k).

Ces calculatrices donnent aussi les probabilités P X k( )≤ par l’instruction binomFREPdp(.

Avec une calculatrice Casio (graph 35+ ou plus)

Pour calculer P X k( )= lorsque X suit la loi binomiale

B( ),n p; on utilise le menu STAT, on choisit DIST

(touche F5) puis BINM (touche F5), Bpd (touche F1) et

Var (touche F2).

On renseigne la boîte de dialogue : Data : variable ; valeur désirée : k ; Numtrial : n ; probabilité : p.

Avec une calculatrice Casio graph 25+Pro, pour calcu-ler P X k( ),= il faut taper la formule ou avoir implé-menté un programme.

é h d’ l b l

Propriétés de la loi binomiale

P X knk

p pk n k( ) ( )= =

− −1 pour tout entier k tel que 0 ≤ ≤k n, le

nombre nk

est un coefficient binomial qui se lit « k parmi n » et qu’on

peut déterminer avec une calculatrice.

E( ) .X np=

Exemple

Avec un tableur



Intégration

1. Aire sous une courbe

Par définition, l’aire du domaine sous la courbe d’une fonction continue positive

définie sur un intervalle a b; a pour mesure f t ta

b( ) d∫ en unités d’aire.

0I

J K

1

1

a bb

x

yy

1 ua

f

2. Notation

Dans l’écriture f t ta

b( ) d∫ on dit que t est une variable « muette » car on a :

f t t f x xa

b

a

b( ) ( ) .d d∫ ∫=

3. Cas particulierSoit f une fonction continue sur un intervalle I. Quel que soit α élément de I,

on a f t t( ) .dα

α

∫ = 0

4. Intégrale et dérivée

Soit f une fonction continue et positive sur a b; , la fonction F définie sur

a b; par x f t t F xa

x ( ) ( )d∫ = est dérivable sur a b; et F f' .=

5. Intégrale et primitive

Soit f une fonction continue positive sur un intervalle I et F une de ses primitives

sur I, les nombres a et b sont dans I. On a f t t F t F b F aa

b

ab

( ) ( ) ( ) ( ).d∫ = = −

C



2 Lois de probabilité à densitésur un intervalle

Objectifs du chapitre

On se place dans un univers ayant un nombre infini d’éléments. Cet infini ne permet pas d’utiliser la définition d’une loi de probabilité rencontrée dans les cours précédents où l’univers était fini (il suffisait de donner les probabilités des événements élémentaires et de vérifier que la somme de ce nombre fini de termes positifs était égale à 1).

On définit ici des lois de probabilité de variables aléatoires X telles que, pour

chacune, l’ensemble de ses valeurs X ( )Ω est un intervalle I.

On en donne quelques propriétés élémentaires.

Pour débuter

Des équations interviennent dans la situation de cet exercice, mais il ne s’agit pas de les résoudre.

L’équation x x x3 20 79 10 722 12 276 0− − + =, , , possède une seule solution

entière (c’est 3).Quelle est la probabilité d’obtenir cette solution en lançant un

dé cubique non truqué ? Un dé dodécaédrique non truqué ? (Rappel : un dé dodé-

caédrique a douze faces numérotées de 1 à 12.)

L’équation x x x3 20 876543211 1 876543211 0 246913578 0+ + − =, , , , notée

(E), possède une unique solution d dans , d = 0 123456789, .

On choisit au hasard dans 0 1; un nombre décimal s’écrivant avec au plus 9

chiffres après la virgule. Sachant qu’il y a 109 nombres décimaux qui s’écrivent

avec au plus 9 chiffres après la virgule dans l’intervalle 0 1; , quelle est la pro-

babilité qu’il soit égal au nombre d solution de l’équation (E) ?

a) Montrer que l’équation x x3 1 0+ − = possède une solution unique dans

et que cette solution, qui est notée α , appartient à l’intervalle 0 1; .

A

B

Activité 1



b) On choisit au hasard un nombre X de l’intervalle 0 1; , quelle valeur propo-

sez-vous pour la probabilité de l’événement X = α ?

On a interrogé des clients d’un magasin en leur demandant dans laquelle des classes proposées se trouvait le montant de leurs achats (en €).

On a obtenu le tableau suivant :

Montant des achats (en €) [0 ; 20[ [20 ; 40[ [40 ; 60[ [60 ; 100[ [100 ; 140[ [140 ; 200]Fréquence 0,09 0,20 0.22 0,24 0,16 0,09

On représente cette série statistique par un histogramme dans un repère orthogonal.

Pour construire les rectangles de l’histogramme, on a besoin de leurs dimensions : remplir le tableau suivant.

Montant des achats (en €) [0 ; 20[ [20 ; 40[ [40 ; 60[ [60 ; 100[ [100 ; 140[ [140 ; 200]

Amplitude de la classe =20

largeur du rectangleAire du rectangle 0,09Hauteur du rectangle

Quelle est la graduation maximale indiquée sur l’axe des ordonnées ? Les fréquences sont-elles indiquées sur l’axe des ordonnées ? Construire l’histogramme.

Cours

1. Définitions

L’activité 2 a permis d’approfondir la représentation d’une série statistique par un histogramme.

Les fréquences sont représentées par les aires des rectangles.

Les hauteurs des rectangles sont les densités de fréquence, ces densités sont indiquées sur l’axe des ordonnées.

Les densités de fréquences sont positives, elles sont constantes sur chacun des intervalles formant les classes de la série statistique. Elles définissent une fonc-tion constante par morceaux.

Par analogie, en probabilité, on utilisera des fonctions, continues à valeurs posi-tives, et les probabilités des intervalles seront données par des aires, c’est-à-dire par des intégrales.

Activité 2

C



Dans le tableau ci-dessous, a et b désignent des nombres réels.

I a b= ; I a ;[ [= + ∞

f t ta

b( ) d∫ = 1

ba

1

1O a 1

1

O

I b;] ]= −∞ I ;] [= −∞ + ∞

b1

1

O1

0,5

O

Montrer que la fonction f définie sur 0 1; par f t t( ) = − +2 2 est une densité de

probabilité sur 0 1; .

La fonction f est une fonction affine continue sur 0 1; . Pour tout t de 0 1; ,

on a t ≤ 1, d’où − + ≥ − × +2 2 2 1 2t , donc la fonction f est une fonction positive.

D l t bl i d t b dé i t d b é lb

Définition 1

On dit qu’une fonction f, définie sur un intervalle I de , est une densité de probabilité sur I lorsque :

la fonction f est continue sur I ;

la fonction f est à valeurs positives sur I ;

l’aire sous la courbe de f est égale à 1 u.a.

La troisième condition correspond à plusieurs cas différents suivant la nature de l’intervalle I.

Exemple 1

Solution



Comme − +( ) = − +

= − +( )− =∫ 2 2 2 1 2 0 10

12

0

1t t t td , la

troisième condition est vérifiée, la fonction f est bien une den-

sité de probabilité sur 0 ;1 .[ ]

On considère une expérience aléatoire et un univers associé Ω, muni d’une loi

de probabilité P.

Soit X une variable aléatoire, fonction de Ω dans , qui à chaque issue ω associe un nombre réel X ( )ω d’un intervalle I de .

P X I( ) .∈ = 1

En effet, la mesure de l’aire sous la courbe de la fonction de densité f est égale à 1.

Soit f la fonction de densité de

probabilité de l’exemple 1 et soit X une

variable aléatoire ayant pour densité la

fonction f sur 0 1; . On appelle J l’intervalle

0 3 0 8, ; , . Déterminer P X J( )∈ c’est-à-

dire P X0 3 0 8, , .≤ ≤( )

y = f(t)1

O 1

Dans le cas de cet exemple 1, on observe que la fonction f prend des valeurs

supérieures à 1 sur l’intervalle 0 0 5; , : c’est possible car f x( ) n’est pas

une probabilité, c’est une densité de probabilité.

Remarque

Définition 2

Soit f une fonction, définie sur I, qui est une densité de probabilité sur I.

On dit que la variable aléatoire X suit la loi de densité f sur l’intervalle I

(ou est « à densité f sur I ») lorsque, pour tout intervalle J inclus dans I, la

probabilité de l’événement X J∈ est la mesure, en unités d’aire, de l’aire

du domaine : M ; etx y x J y f x; ( ) .( ) ∈ ≤ ≤ 0

Conséquence

En général, un calcul de probabilités se ramènera donc à un calcul d’intégrale.

Remarque Exemple 2



On mesure l’aire sous la courbe sur l’intervalle J.

On a :

P X t t t t0,3 0,8 ( 2 2) d 2

0,8 2 0,8 0,3 2 0,3

0,96 0,51 0,45.

0,3

0,82

0,3

0,8

2 2

∫( ) ( )( )≤ ≤ = − + = − +

= − + × − − + ×

= − =

2. Propriétés

1

1O c d

Propriété 1

Soit X une variable aléatoire qui suit la loi de densité f sur l’intervalle I, on a les propriétés suivantes.

a) Pour tout intervalle J c d= ; de I,

on a : P c X d f t tc

d≤ ≤( ) = ∫ ( ) .d

b) Pour tout réel α de I, on a : P X =( ) =α 0.

Solution

y = f(t)1

1O O,3 O,8

Définition 3

Soit X une variable aléatoire qui suit la loi de densité f sur l’intervalle I.

Soit J1, J ,...,2 Jn des intervalles de I, deux à deux disjoints (c’est-à-dire que pris deux à deux ils

sont disjoints).

On définit la probabilité P X J J Jn∈ ∪ ∪ ∪( )1 2 ... par la somme des probabilités des événements :

P X J J J P X J P X J P X Jn n∈ ∪ ∪ ∪( ) = ∈( )+ ∈( )+ + ∈( )1 2 1 2... ... .

c) Pour tous réels c et d de I,

P c X d P c X d P c X d P c X d≤ ≤( ) = < ≤( ) = ≤ <( ) = < <( ).d) Soit J un intervalle, on a : P X J P X J∈( ) = − ∈( )1 .



a) Pour tous réels c et d de I, la probabilité de l’événement

( ) ( )X J c X d∈ = ≤ ≤ est la mesure, en unités d’aire, de l’aire du domaine

M ; etx y x c d y f x; ; ( ) ,( ) ∈ ≤ ≤ 0 on a donc bien :

P c X d f t tc

d≤ ≤( ) = ∫ ( ) .d

b) Pour tout réel α de I, on a : P X f t t=( ) = =∫αα

α( ) .d 0

c) Pour tous réels c et d de I, l’événement ( )c X d≤ ≤ est la réunion

des deux événements incompatibles ( )X c= et ( ).c X d< ≤ On a :

P c X d P X c P c X d≤ ≤( ) = = + < ≤( )( ) . Comme P X c=( ) = 0 d’après la pro-

priété précédente, on a bien P c X d P c X d≤ ≤( ) = < ≤( ). Les deux autres éga-

lités se démontrent de la même façon.

d) On a P X I( ) ,∈ = 1 soit P X J J( ) .∈ ∪ = 1 D’après la définition 3, on peut écrire

P X J J P X J P X J( ) ( ) ( )∈ ∪ = ∈ + ∈ = 1 donc P X J P X J∈( ) = − ∈( )1 .

La définition suivante généralise la définition des probabilités conditionnelles qui

a été donnée dans le cas d’une loi de probabilité dans un univers fini.

Soit X une variable aléatoire de densité f définie sur [ ]0 ;1 par f x x( ) = − +2 2 (exemple 1).

Déterminer P XX( , )( , , ).0 0 5 0 4 0 6≤ ≤ ≤ ≤

On a J = 0 4 0 6, ; , et I ' ; , ,= 0 0 5 donc J I∩ = ' , ; , .0 4 0 5 Alors :

P X J I P X t t

t t

( ') (0,4 0,5) ( 2 2) d

2 0,75 0,64 0,11.

0,4

0,5

20,4

0,5

∫∈ ∩ = ≤ ≤ = − +

= − +

= − =

Démonstration

Définition 4

Soit I’ un intervalle de I tel que P X I∈( ) ≠' 0 et soit J un autre intervalle

de I. On définit la probabilité conditionnelle P X JX I∈ ∈( )' par l’égalité :

P X JP X J I

P X IX I∈ ∈( ) =∈ ∩( )

∈( )''

'.

Exemple 3

Solution



De même :

P X I P X t t( ') ( , ),

∈ = ≤ ≤ = − +( )∫0 0 5 2 20

0 5d

== − +

= − =t t2

0

0 52 0 75 0 0 75

,, , .

D’où P XX( , )( , , ),,

, .0 0 5 0 4 0 60 110 75

0 147≤ ≤ ≤ ≤ = ≈

Exercices d’apprentissage

Pour chacune des fonctions représentées graphiquement ci-dessous, dire s’il s’agit d’une densité de probabilité sur l’intervalle I en justifiant votre réponse.

O 0,5

2

1

1

I = [0 ; 0,5]

2

O

I = [0 ; 2]1,5 20,5

1/3

0,5

2/3

1

1

3

O-1 1

1

I = [-1 ; 1]

4

O 3

1/3

1

1I = [1 ; 3]

1

D

Exercice 1



Vérifier que la fonction f définie sur 0 1; par f t t( ) = 4 3 est une densité de

probabilité. Représenter la fonction f dans un repère orthogonal.

Soit X une variable aléatoire ayant pour densité f.

a) Indiquer sur le graphique la probabilité P X0 5 0 75, , .≤ ≤( ) Calculer cette pro-babilité.

b) Déterminer un nombre m tel que P X m≤( ) = 0 5, .

Exercice 2



3 Lois uniformesObjectifs du chapitre

Dans ce chapitre, on étudie les lois uniformes qui correspondent aux lois équiré-parties du cas fini et qui sont très importantes.

Pour débuter

On souhaite donner un sens précis à l’expression « prendre un nombre au hasard ».

Il faut d’abord dire dans quel intervalle on prendra ce nombre. Raisonnons avec l’in-

tervalle 0 1; qui nous permettra ensuite d’aborder le cas des intervalles a b; . On cherche donc une loi de probabilité à densité pour la variable X correspondant à l’expérience aléatoire qui fournit un nombre réel « au hasard » compris entre 0 et 1.

Tout d’abord, remarquons que, d’après le chapitre précédent, pour tout réel α, on a P X( )= =α 0 lorsque la variable aléatoire X suit une loi à densité.

Il est naturel de penser que, si on choisit un nombre au hasard, les probabilités

P X ∈ ( )0 0 5; , et ( )[ ]∈P X 0,5 ;1 sont égales.

Comme

( ) ( ) ( )( )

[ ] [ ] [ ][ ]

( )∈ + ∈ = ∈ − =

= ∈ =

P X P X P X P X

P X

0 ; 0,5 0,5 ;1 0 ;1 0,5

0 ;1 1,

on souhaite donc que P X P X∈ ( ) = ∈ ( ) =0 0 5 0 5 112

; , , ; .

De même, on souhaite que

( ) ( ) ( )( )

[ ] [ ] [ ][ ]

∈ = ∈ = ∈

= ∈ =

P X P X P X

P X

0 ; 0,25 0,25 ; 0,5 0,5 ; 0,75

0,75 ;114

.

Il semble intuitivement que, pour la loi cherchée, plus un intervalle a une grande

amplitude (longueur), plus il est probable que le nombre pris au hasard lui appar-

tienne. Si l’amplitude de l’intervalle I’ est deux fois celle de l’intervalle I, on sou-

A

B

Activité 3



haite que P X I P X I∈( ) = ∈( )' .2 Et même que la probabilité que le nombre pris

au hasard appartienne à un intervalle soit proportionnelle à l’amplitude de cet

intervalle. Comme l’amplitude de l’intervalle 0 1; est égale à 1, on aboutit

finalement à P c X d d c≤ ≤( ) = − , c et d étant des nombres réels de l’intervalle

0 1; , avec c d≤ . C’est effectivement cette égalité qui va définir la loi uniforme

et nous verrons dans le cours qu’il est possible de la présenter sous un autre aspect.

Comme la loi équirépartie dans le cas où la variable aléatoire prend un nombre fini de valeurs, la loi uniforme intervient dans de très nombreuses situations.

Pour faire des simulations, vous avez déjà utilisé votre calculatrice ou un tableur car on y trouve des générateurs de nombres « aléatoires ». Les nombres obte-nus sont parfois appelés « pseudo-aléatoires » pour exprimer le fait qu’ils sont construits par des processus algorithmiques déterministes. Il s’agit d’imiter le hasard le mieux possible. Créer de tels générateurs est un vrai défi.

La copie d’écran ci-dessous, illustre la répartition de 5000 nombres « aléatoires » fournis par le tableur OpenOffice dans les dix intervalles ayant pour bornes : 0 ; 0,1 ; 0,2 ; … ; 0,9 ; 1.

Les 5000 nombres sont dans la colonne A. Pour visualiser les résultats, un gra-phique est donné. Il s’agit d’un diagramme en bâtons car le logiciel ne fait pas d’histogrammes (au sens mathématique).

En utilisant la touche F9 vous pouvez renouveler le tirage des nombres « aléa-toires » (attention : l’axe des ordonnées du diagramme en bâtons ne commence pas toujours à 0 mais à une valeur plus grande ce qui augmente l’apparence de l’irrégularité des fréquences).

On observe que les fréquences sont toutes proches de 0,10 (10 %) : c’est ce qui est attendu d’un générateur de nombres aléatoires.

E



Cours

1. Loi uniforme sur 0 1;

Nous venons de voir, dans l’activité 3, que nous souhaitons obtenir une loi d’une variable aléatoire X où la probabilité que X appartienne à un intervalle, inclus dans 0 1; , est égale à l’amplitude de l’intervalle.

Si on cherche à exprimer cette condition pour avoir une loi à densité, on doit faire intervenir des intégrales et on se souvient de l’intégrale d’une fonction constante.

On peut aussi penser qu’une fonction de densité constante exprime bien la notion d’uniformité.

La définition qui est donnée utilise ce point de vue et permettra de considérer l’espérance de cette loi.

Une fonction constante est continue sur son ensemble de définition, la fonction f

est positive et 1 1 0 10

1

01

dx x∫ = = − = donc les trois conditions sont vérifiées,

la fonction f est bien une densité de probabilité.

C

Propriété 2

La fonction constante f définie sur 0 1; par f x( ) = 1 est une densité de probabilité.

Démonstration

c d 1

1

O

Définition 5

On dit qu’une variable aléatoire X suit la loi uniforme sur l’intervalle

0 1; si sa densité est la fonction

définie sur 0 1; par f x( ) .= 1

Propriété 3

Pour tout intervalle c d; inclus dans 0 1; , on a :

P X c d P c X d d c∈ ( ) = ≤ ≤( ) = −; .



En effet, P X c d P c X d t t d cc

d

cd∈ ( ) = ≤ ≤( ) = = = −∫; .1d

Sur la figure, le rectangle dont on mesure l’aire a pour largeur d c− et 1 pour hauteur.

On choisit un nombre au hasard dans 0 1; . Quelle est la probabilité qu’il soit compris entre 0,2 et 0,25 ?

Comme l’énoncé précise que le nombre est choisi « au hasard », la variable aléa-

toire X, qui modélise ce choix, suit la loi uniforme sur l’intervalle 0 1; . On a

alors P X0 2 0 25 0 25 0 2 0 05, , , , , .≤ ≤( ) = − =

On rappelle que

( ) ( ) ( )( )

≤ ≤ = ≤ < = < ≤

= < <

P X P X P X

P X

0,2 0,25 0,2 0,25 0,2 0,25

0,2 0,25 ,

donc l’expression « compris entre 0,2 et 0,25 » peut être interprétée avec des inégalités strictes sans changement du résultat.

2 Loi uniforme sur a b;

Comme sur 0 1; on cherche une loi pour laquelle un intervalle a une proba-bilité proportionnelle à son amplitude et pour laquelle la densité est constante.

La fonction f est bien continue à valeurs positives.

On a : 1

1b a

tt

b ab

b aa

b aa

b

a

b

−=

−

=

−−

−=∫ d .

Les trois conditions sont vérifiées, la fonction f est bien une densité de probabilité.

Démonstration

Exemple 4

Solution

Propriété 4

La fonction constante f définie sur a b; , avec a b, par f xb a

( ) =−1

est une densité de probabilité.

Démonstration

Définition 6

Une variable aléatoire suit une loi uni-

forme sur l’intervalle a b; , avec a b,

si sa densité est la fonction définie sur

a b; par f xb a

( ) .=−1

c d b = 3 a = –1 1

1

O

0,25



On a : P c X db a

tt

b ad

b ac

b ad cbc

d

c

d

≤ ≤( ) =−

=−

=

−−

−= −

−∫ 1d

aa.

Sur la figure, le rectangle dont on mesure l’aire a pour largeur d c− et pour

hauteur1

0 25b a−

= , .

On choisit un nombre réel au hasard dans 0 100; . Quelle est la probabilité qu’il soit compris entre 90 et 100 ?

Comme l’énoncé précise que le nombre est choisi « au hasard », la variable aléa-

toire X, qui modélise ce choix, suit la loi uniforme sur l’intervalle 0 100; , on a

alors P X90 100100 90100 0

0 1≤ <( ) = −−

= , .

3. Espérance d’une loi uniforme

On note que cette définition constitue un prolongement dans le cadre continu de l’espérance d’une variable aléatoire discrète prenant un nombre fini de valeurs. En effet, dans le cas discret fini, en classe de Première, on a défini l’espérance par :

X x P X x x P X x x P X x

x p x p x p x p

E( ) ( ) ( ) ... ( )

... .

r r

r r i ii

i r1 1 2 2

1 1 2 21

∑

= = + = + + =

= + + + ==

=

Remarque

Propriété 5

Pour tout intervalle c d; inclus dans a b; ,[ ] on a :

P X c d P c X dd cb a

∈ ( ) = ≤ ≤( ) = −−

; .

Démonstration

Exemple 5

Solution

Définition 7

L’espérance E( )X d’une variable aléatoire à densité f sur a b; est définie

par : E d( ) ( ) .X x f x xa

b= ∫



On a : E d( )( ) ( )

Xb a

x xxb a

b ab aa

b

a

b

=−

=−

= −−

=∫ 12 2

2 2 2 aa b+2

.

L’espérance de la loi uniforme sur 0 1; vaut donc 12

.

Exercices d’apprentissage

Le facteur vient déposer le courrier dans la boite aux lettres du lycée entre 10 h et 10 h 30.

Le facteur passe toujours pendant cette plage horaire et on a observé qu’il peut arriver à tout instant avec les mêmes chances. La variable aléatoire F désigne l’heure d’arrivée du facteur en minutes après 10 h (par exemple ( )F = 8 désigne l’événement « le facteur passe à 10 h 08 »). Comment peut-on modéliser la variable aléatoire F (valeurs prises par F, densité) ?

Dans le cas où la variable aléatoire est à densité, on ne peut pas faire une

somme d’un nombre infini de termes. Mais le terme f x x( )d peut s’interpré-

ter comme l’aire d’un rectangle de côtés dx et f x( ) (avec dx « infiniment

petit ») fournissant en quelque sorte la probabilité que la variable X prenne

la valeur x. Dans ces conditions l’intégrale x f x xa

b( )∫ d correspond à une

« somme » de produits x f x x× ( )d (d’ailleurs le symbole ∫ se lit « inté-

grale » ou « somme »).

Attention ! Il s’agit d’une interprétation pour expliquer en quoi la notation

∫ prolonge Σ . Il ne faut jamais dissocier le symbole « a

b

∫ » du sym-

bole « dx » (lorsque la variable muette s’appelle x).

b

Propriété 6

L’espérance E( )X d’une variable aléatoire X suivant une loi uniforme sur

a b; est telle que : E( ) .Xa b= +

2

Démonstration

Cas particulier

D

Exercice 3



Calculer la probabilité que le facteur passe :

a) à 10 h 25 exactement b) entre 10 h 15 et 10 h 20

c) avant 10 h 20 d) après 10 h 15.

Quelle est l’heure moyenne de son passage ?

À partir de 7 heures, le tram passe toutes les dix minutes à l’arrêt qui se trouve devant la maison d’Ayana.

Le moment d’arrivée d’Ayana à l’arrêt du tram est modélisé par la variable aléa-toire X exprimée en minutes après 7 heures. On suppose que X suit la loi uni-forme sur l’intervalle 0 20; . Quelle est la probabilité qu’Ayana attende le tram moins de deux minutes ?

Quelle est la probabilité qu’Ayana attende le tram plus de cinq minutes ?

Soit X une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur 0 1; . Déterminer la loi

de probabilité de la variable aléatoire T où T est la première décimale de X.

Exercice 4

Exercice 5



4 Lois normalesObjectifs du chapitre

On observe, dans une activité, des représentations graphiques de lois bino-miales, puis de lois binomiales centrées et réduites. On est amené à définir la loi normale ( ; ).0 1

On étudie donc la loi normale ( ; )0 1 qui est la loi normale de référence.

On termine par la définition des autres lois normales et des exemples d’utilisation.

Pour débuter

Approche de la loi normale centrée et réduite

On montre dans cette activité la démarche qui, en partant des lois binomiales, amène à la loi normale centrée et réduite.On fait cette approche en trois étapes

Observation des représentations graphiques des lois binomialesOn donne ci-dessous deux représentations graphiques des probabilités obtenues par des lois binomiales n p( ; ).

Il s’agit de diagrammes en bâtons, le logiciel OpenOffice dessinant les bâtons un peu épais. Il ne faut pas confondre avec des histogrammes.,

A

B0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48

0

0,020

0,040

0,060

0,080

0,100

0,120

0,140

Loi binomialen=50 p=0,7

Valeurs de k

prob

abili

té P

(X=

k)

Activité 4

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 20 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40

00,020,040,060,08

0,10,120,140,160,18

Loi binomialen=40 p=0,2

Valeurs de k

prob

abili

té P

(X=

k)



Les lois, donc les représentations graphiques, dépendent des valeurs des para-mètres n et p, mais on observe, ici et aussi sur la représentation donnée dans les pré-requis, une grande ressemblance entre ces graphiques. Toutes les représenta-tions graphiques des lois binomiales sont analogues.

Il semble que la probabilité maximum (le bâton de plus grande ordonnée) est obtenue pour la valeur moyenne, pour l’espérance qui vaut np.

On associe à chacune de ces lois n p( ; ) une autre loi.

Ainsi, à la variable aléatoire X, on associe la variable aléatoire ZX np

np p= −

−( )1

(cette formule ne peut pas être justifiée ici).

–0,

31 0

–0,

93

–1,

54

1,54

2,16

–2,

16

–2,

78

2,78

3,39

4,01

–4,

01

4,63

–4,

63

–5,

25

–5,

86

–6,

48

–7,

1

–7,

72

–8,

33

–8,

95

–9,

57

–10

,18

–10

,8

–3,

39

0,93

0,3

1

Loi de ZZ=(X–np)/rac(np(1–p)) n=50 et p=0,7

Valeurs de Z

0,15

Toutes les variables aléatoires Z définies à partir d’une loi binomiale ont des représentations graphiques qui ont la même allure. Elles sont seulement plus ou moins « étalées », le maximum est plus ou moins grand.

Changement de représentationLes sommets des bâtons semblent dessiner une courbe, qui est de plus en plus « visible » quand n grandit.

Pour définir cette courbe, puis utiliser une probabilité à densité, on change de représentation. On passe des diagrammes en bâtons où les probabilités sont représentées par la hauteur des bâtons, à des rectangles où les probabilités sont représentées par les aires des rectangles.

Les deux représentations sont illustrées ci-dessous sur un exemple où n n’est pas très grand.

O

0,2

1

loi de X : B(n,p)n = 20 et p = 0,7Z = (X–14)/ 4,2

loi de probabilité de Z : ordonnées des bâtons



Le rectangle correspondant au bâton en couleur est colorié sur la représentation suivante (analogue à un histogramme). L’axe des ordonnées permet de repérer les densités, comme on l’a vu dans le chapitre 2 (Lois à densité).

O 1

densité

probabilité : 0,025

loi de X : B(n,p)n = 20 et p = 0,7Z = (X–14)/ 4,2

loi de probabilité de Z : aires des rectangles

0,2

Chaque bâton est remplacé par un rectangle. La mesure de l’aire du rectangle est égale à la probabilité. Comme toutes les bases des rectangles ont la même longueur, les aires des rectangles sont proportionnelles aux hauteurs de ces rec-tangles et donc les hauteurs des rectangles sont proportionnelles aux hauteurs des bâtons. Les bords supérieurs des rectangles ont donc la même allure que les extrémités supérieures des bâtons.

Les bords supérieurs des rectangles font apparaître une courbe régulière et symétrique.

Le mathématicien Abraham de Moivre, protestant français émigré en Angleterre

après la révocation de l’édit de Nantes, a montré en 1733, dans un cas particulier,

que cette courbe est la courbe représentative de la fonction définie sur par

f tt

( ) .=−1

2

2

2π

e

Ce résultat a été généralisé par Pierre-Simon de Laplace (dans Théorie analytique

des probabilités (1812)).



la largeur des rectangles est de plus en plus petite ;

les aires des rectangles deviennent de plus en plus proches des aires

correspondantes limitées par la courbe représentant la fonction f et

l’axe des abscisses : les probabilités

P a Z b≤ ≤( ) sont de plus en plus

proches de 1

2

2

2π

e d−

∫t

a

bt .0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

n = 99

p = 0,34

0

1 2 3 4–4 –3 –2 –1



Étude de la fonction définie sur par f xx

( ) =−1

2

2

2π

e (complément de

l’exercice 15 de la séquence 6).

Montrer que la représentation graphique de f est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Étudier les variations de f et donner la représentation graphique de la fonction f.

Donner une valeur approchée de f x x( ) .−∫ 10

10d Quelle conjecture peut-on

faire pour la mesure de l’aire (en unités d’aire) sous la courbe représentant f tout

entière ?

Justifier que f semble donc être une densité de probabilité.

Cours

1. Loi normale centrée réduite (0,1)

a) Définition

La fonction a été étudiée dans l’activité 5. C’est une fonction continue à valeurs positives, on admet que l’aire sous la courbe est égale à 1u.a.

Cette courbe est souvent appelée « courbe de Gauss » ou « courbe en cloche ».

Activité 5

C

La fonction f est définie sur tout entier. Le domaine situé sous la courbe est donc infini. Cependant, la mesure de l’aire de ce domaine est un nombre fini puisque c’est 1.

Remarque

Propriété 7

La fonction définie sur par f xx

( ) =−1

2

2

2π

e est une densité de pro-babilité.

O 1

1/ 2 0,4π ≈



La courbe de la fonction de densité de la loi normale centrée réduite ( ; )0 1 est

symétrique par rapport à l’axe des ordonnées, donc les mesures des aires égales

aux probabilités P X ≤( )0 et P X ≥( )0 sont égales, P X P X≤( ) = ≥( )0 0 .

O

f P(X 0)P(X 0)

Comme1 0 0 0 0= ≥ + < = ≥ + ≤P X P X P X P X( ) ( ) ( ) ( ), on obtient 1 2 0= ≥P X( ).

On en déduit P X P X0 012

.( ) ( )≤ = ≥ =

Définition 8

Une variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite

( ; )0 1 si, pour tous réels a et b tels que a b< , on a :

P a X b f x x xa

b x

a

b≤ ≤( ) = =∫ ∫

−( ) .d e d

1

2

2

2π

La fonction définie sur par f xx

( ) =−1

2

2

2π

e est appelée fonction de

densité de la loi ( ; ).0 1

La loi normale centrée réduite est aussi appelée « loi de Gauss ».

Propriété 8

Soit X une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite ( ; ),0 1 on a :

P X P X0 012

.( ) ( )≤ = ≥ =

Démonstration



b) Calculs

La fonction de densité de la loi normale centrée réduite ( ; )0 1 n’a pas de pri-

mitive explicite, c’est-à-dire qu’il est impossible de l’exprimer algébriquement

(somme, produit…) à partir des fonctions usuelles (polynômes, exponentielle,

logarithme…). Les calculatrices et les tableurs permettent de calculer des valeurs

approchées des intégrales (voir le cours d’intégration), mais ils permettent aussi

d’obtenir directement des valeurs approchées de certaines probabilités liées à

la loi normale. Les calculs des probabilités de la forme P a X b( ),≤ ≤ P X c( )≤

et P X c( ),≥ a, b et c étant des nombres réels donnés, seront expliqués dans la

partie 2. où sont étudiées toutes les lois normales.

Donnons ici un résultat particulier à la loi normale centrée réduite :

P X− ≤ ≤( ) ≈1 96 1 96 0 95, , , .

On montrera plus loin ce résultat avec la calculatrice. On obtient ainsi une

bonne idée de la répartition des valeurs de X : environ 95% des réalisa-

tions de X (c’est-à-dire les résultats obtenus quand on réalise concrètement

l’expérience aléatoire) se trouvent entre −1 96, et 1,96.

À savoir

c) Espérance et écart-type de la loi normale centrée réduite

On généralise la définition de l’espérance E( )X d’une variable aléatoire à den-sité qui a été vue pour les lois uniformes.

Ici la variable aléatoire est définie sur .L’espérance de la loi normale centrée réduite ( ; )0 1 est donc égale à la mesure

de l’aire sous la courbe de la fonction définie sur par x xf xx

x

( ) .=−

2

2

2π

e

On admettra que E( ) .X = 0

Écart-type

Par analogie avec l’écart-type d’une série statistique, on définit aussi l’écart-type σ( )X d’une variable aléatoire X et ce nombre est un indicateur de dispersion.

On admettra que l’écart-type de la loi normale centrée réduite est égal à 1.

On emploie souvent le mot moyenne pour désigner l’espé-rance.

Remarque



2. Loi normale ( ; )2µ σ

a) Définition, espérance, écart-type

Voici un premier exemple de modélisation d’un phénomène concret par une loi normale.

Le poids en kg des nouveau-nés à la naissance est une variable aléatoire qui

peut être modélisée par une variable aléatoire suivant la loi normale de moyenne

µ = 3 3, et d’écart type σ = 0 5, . La probabilité qu’un nouveau-né pèse moins de

2,5 kg à la naissance est donc : P X( , ).< 2 5 Avec une calculatrice (l’explication

est donnée un petit peu plus loin), on trouve P X( , ) ,< ≈2 5 0 054 à 10 3− par

défaut.

Ainsi, le risque qu’un nouveau-né soit d’un poids inférieur à 2,5 kg est un peu supérieur à 5 %.

On a représenté ci-après les courbes des fonctions de densité de cinq lois normales.

On observe que chaque courbe semble symétrique par rapport à la droite d’équa-tion x = µ.

Propriété 9

Quand la variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite ( ; ),0 1

on a : E( )X = 0 et σ( ) .X = 1

Définition 9

Une variable aléatoire X suit une loi normale ( ; )2µ σ si la variable aléa-

toire ZX= − µ

σ suit la loi normale (0 ;1).

Exemple 6

Exemple 7



O 1

(0;4)

(0;1)

(1;4)

(3;0,25)

(1;1)

b) Utilisation des calculatrices

La variable aléatoire X suivant la loi normale ( ; ),µ σ2 il faut savoir cal-

culer des probabilités de la forme : P a X b( ),≤ ≤ P X c( )≤ et P X c( ),≥ a,

b et c étant des nombres réels donnés.

Il faut aussi savoir déterminer le nombre x tel que P X x p( ) ,≤ = p étant une probabilité donnée.

On donne d’abord les explications pour toutes les calculatrices TI et les cal-culatrices Casio pour les modèles Graph 35 et plus. On donne ensuite les explications pour la calculatrice Casio 25+Pro.

À savoir

Propriété 10

On admet que, si une variable aléatoire X suit la loi normale ( ; ),µ σ2

alors son espérance est égale à µ et son écart-type à σ : E( )X = µ et

σ σ( ) .X =



P a X b( )≤ ≤

Sauf la calculatrice Casio 25+Pro, les calculatrices étudiées ici font le calcul directement.

Par exemple P X( , ) ,− ≤ ≤ ≈1 1 5 0 203877 où X suit la loi ( ; ).3 4

Texas Casio Graph 35…On choisit Distr (par 2nd Distr) puis nor-malcdf (ou, en français, normalFRep).

On indique les données dans l’ordre a, b,

µ et σ (attention à ne pas confondre σ

et σ2 ).Voici un exemple avec a = –1 b = 1,5 µ = 3 et σ = 2 :

Dans le menu Stat, on choisit Distr, puis NormCD. On indique les

données dans l’ordre a, b, σ et µ (attention à ne pas confondre

σ et σ2 ).

Voici un exemple avec a = –1 b = 1,5µ = 3 et σ = 2 :

P X c( )≤ et P X c( )≥

Les calculatrices étudiées ne font pas le calcul directement.

Pour P X c( ),≤ on utilise l’approximation P X c P X c( ) ( )≤ ≈ − ≤ ≤1099 où on néglige P X( ).< −1099 Et on est ramené au cas précédent.

De même, pour P X c( ),≥ on utilise l’approximation P X c P c X( ) ( )≥ ≈ ≤ ≤ 1099

où on néglige P X( ).1099 ≤

P X( ) ,≤ ≈8 0 9937903 où X suit la loi ( ; ).3 4

Déterminer x tel que P X x p( ) ,≤ = p étant une probabilité donnée.

La plupart des calculatrices permettent de trouver directement le résultat.

Texas Casio graph 35 et plusOn choisit Distr (par 2nd Distr) puis invNorm (ou, en français, FracNorm), puis on donne p, µ et σ.

Dans le menu Stat, on choisit Distr, puis Inverse Normal. On indique les données dans l’ordre p, σ et .µ

Voici un exemple avec p = 0,1 ; µ = 3 et σ = 2 : Voici un exemple avec p = 0,1 ; µ = 3 et σ = 2 :

Exemple 8



Cas particulier de la calculatrice Casio 25+Pro

Cette calculatrice donne seulement les probabilités de la forme P Z c( )≤ où Z suit la loi normale centrée réduite ( ; ).0 1

Pour accéder à cette fonctionnalité, on utilise :

PROB OPTN P(

Ainsi PROB OPTN P(2) donne P Z( ) , .≤ ≈2 0 97725

Pour calculer P X c( )≤ où X suit la loi normale ( ; ),µ σ2 on se ramène à la

loi ( , )0 1 en utilisant ZX= − µ

σ.

On a X Z= +σ µ d’où P X c P Z c P Zc

( ) ( ) .≤ = + ≤ = ≤ −

σ µ µσ

P X( )≤ 8 où X suit la loi ( , )3 4 s’obtient par PROB OPTN P(( ) / )8 3 2−

et on trouve P X( ) , .≤ ≈8 0 9937903

P a X b P X b P X a( ) ( ) ( )≤ ≤ = ≤ − ≤ car P X a P a X b P X b( ) ( ) ( )< + ≤ ≤ = ≤

(probabilité de l’union de deux événements incompatibles ou aire de l’union de deux ensembles disjoints).

Pour déterminer x tel que P X x p( ) ,≤ = p étant une probabilité donnée, la

seule possibilité est de commencer par tâtonner. On cherche d’abord z tel que

P Z z p( ) ,≤ = Z suivant la loi normale ( ; )0 1 puis on utilise l’équivalence

Z zX

z X z≤ ⇔ − ≤ ⇔ ≤ +µσ

σ µ. On en déduit x z= +σ µ.

Par exemple, pour déterminer x tel que P X x( ) ,≤ = 0 1 où X suit la loi ( ; ),3 4 on trouve d’abord en tâtonnant z ≈ −1 281, , puis x ≈ × − +2 1 281 3( , ) d’où x ≈ 0 438, .

Pour s’entraîner

X est une variable aléatoire qui suit la loi normale ( ).21; 9 Calculer :

a) P X( )8 18≤ ≤ b) P X( )≥ 23 c) x tel que P X x( ) , .≤ = 0 7

a) P X( ) ,8 18 0 159≤ ≤ ≈ b) P X( ) ,≥ ≈23 0 252 c) x ≈ 22 573, .

Exemple 9

Solution



c) Intervalles « un, deux, trois sigmas »

On a représenté ci-contre les

fonctions de densité de trois lois

normales ( ; )µ σ2 de même

espérance µ et d’écarts-types

différents : σ = 2, σ = 1 et

σ = 0 5, .

On sait que l’écart-type σ mesure la dispersion des valeurs prises par la variable aléatoire autour de son espérance µ. L’influence de l’écart-type sur la courbe est très visible : plus il est important, plus la courbe est « étalée ».

Les résultats suivants doivent être connus, ils donnent une idée de la répartition, autour de son espérance µ, d’une variable aléatoire X qui suit une loi normale ( , ).µ σ2

µ

0,68

µ– µ+

O

( ;0,25)

( ;1)

( ;4)

Propriété 11

P X( ) ,µ σ µ σ− ≤ ≤ + ≈ 0 68 (à 10 2− près)

P X( ) ,µ σ µ σ− ≤ ≤ + ≈2 2 0 95 (à 10 2− près)

P X( ) ,µ σ µ σ− ≤ ≤ + ≈3 3 0 997 (à 10 3− près).



µ

0,95

µ–2 µ+2

µ

0,997

µ–3 µ+3

On a µ σ µ σ σ µ σ µσ

− ≤ ≤ + ⇔ − ≤ − ≤ ⇔ − ≤ − ≤X XX

1 1.

Donc P X PX

P Z( ) ( )µ σ µ σ µσ

− ≤ ≤ + = − ≤ − ≤

= − ≤ ≤1 1 1 1 avec

ZX= − µ

σ. Comme la variable aléatoire Z suit la loi normale ( ; ),0 1 la cal-

culatrice permet de faire le calcul et on trouve environ 0,68.

De même P X PX

P Z( ) ( ) ,µ σ µ σ µσ

− ≤ ≤ + = − ≤ − ≤

= − ≤ ≤ ≈2 2 2 2 2 2 0 95

et P X PX

P Z( ) ( ) ,µ σ µ σ µσ

− ≤ ≤ + = − ≤ − ≤

= − ≤ ≤ ≈3 3 3 3 3 3 0 997..

Ainsi, environ 68 % des réalisations d’une variable aléatoire suivant la loi nor-

male ( ; )µ σ2 se trouvent dans l’intervalle µ σ µ σ− + ; , environ 95 % se

trouvent dans l’intervalle µ σ µ σ− + 2 2; et environ 99,7 % dans l’intervalle

µ σ µ σ− + 3 3; .

Démonstration



Exercices d’apprentissagePlusieurs exercices de cette séquence sont issus de documents ressources de l’Education nationale.Dans les exercices 6 et 7, on donnera des valeurs approchées à 10 4− près par défaut.

Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite.

Calculer :

a) P X( , , )− ≤ ≤0 5 1 3 ; b) P X( )≤ −1 ; c) P X( , ).≥ 1 8

Déterminer le réel x tel que P X x( ) , .≤ = 0 8

Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale (12 ; 9).

Calculer

a) P X( )10 14≤ ≤ ; b) P X( )≤ 13 ; c) P X( ).≥ 7

Déterminer le réel x tel que P X x( ) , .≤ = 0 9

On donne ci-après les représentations graphiques des fonctions densité de

probabilité des lois normales (7 ; 1), ( ),7 22; ( )5 ; 1 et ( , ).5 0 52; Asso-

cier chaque courbe à la loi correspondante.

Proposer une valeur pour la moyenne µ et pour l’écart-type σ de la loi nor-male ( )µ σ; 2 dont la fonction densité de probabilité est représentée par la courbe C .

O 1

1

1

3

2

C

4

D

Exercice 6

Exercice 7

Exercice 8



Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale ( ).µ σ; 2

Si µ = 15 et P X( ) , ,< =12 0 4 combien vaut σ ?

Si σ = 0 5, et P X( ) , ,< =7 0 3 combien vaut µ ?

Une entreprise produit en grande quantité des pièces cylindriques. Soit X la variable aléatoire qui, à chaque pièce prélevée au hasard dans la production, associe son diamètre, en millimètres. On admet que la variable aléatoire X suit la loi normale de moyenne 61,5 mm et d’écart-type 0,4 mm.

Déterminer, dans ces conditions, la probabilité qu’une pièce, tirée au hasard, ait un diamètre compris entre 60,7 mm et 62,3 mm.

Une pièce est déclarée défectueuse si son diamètre est, soit inférieur à 60,7 mm, soit supérieur à 62 3, mm. Calculer la probabilité qu’une pièce tirée au hasard soit défectueuse.

Sachant qu’une pièce n’est pas défectueuse, quelle est la probabilité que son diamètre soit inférieur à 61mm ?

La production laitière annuelle, en litres, des vaches laitières de la race « Fran-çaise Frisonne Pie-Noir » peut être modélisée par une variable aléatoire suivant la loi normale de moyenne = 6000 et d’écart-type σ = 400.

Calculer la probabilité qu’une vache de cette race produise entre 5800 et 6200 litres par an. Calculer la probabilité qu’une vache de cette race produise moins de 5700 litres par an. Calculer la probabilité qu’une vache de cette race produise plus de 6400 litres par an. Donner une interprétation concrète du nombre x tel que P X x( ) , .< = 0 30 Déterminer x. Calculer la production minimale prévisible des 20% de vaches les plus pro-ductives du troupeau.

Exercice 9

Exercice 10

Exercice 11



5 Synthèsede la séquence

1. Lois de probabilité à densité

I a b= ; I a ;[ [= + ∞

f t ta

b( ) d∫ = 1

ba

1

1O a 1

1

O

I b;] ]= −∞ I ;] [= −∞ + ∞

b1

1

O1

0,5

O

On considère une expérience aléatoire et un univers associé Ω, muni d’une loi de probabilité P.

Définition 1

On dit qu’une fonction f, définie sur un intervalle I de , est une densité de probabilité sur I lorsque :

f est continue sur I,

f est à valeurs positives sur I,

l’aire sous la courbe de f est égale à 1 u.a.



Soit X une variable aléatoire, fonction de Ω dans , qui à chaque issue ω associe un nombre réel X ( )ω d’un intervalle I de .

P X I( ) .∈ = 1

Définition 3

Soit X une variable aléatoire qui suit la loi de densité f sur l’intervalle I.

Soit J1, J ,..,2 Jn des intervalles inclus dans I et disjoints deux à deux.

On définit la probabilité de P X J J Jn∈ ∪ ∪ ∪( )1 2 ...

par la somme des probabilités des événements :

P X J J J P X J P X J P X Jn n∈ ∪ ∪ ∪( ) = ∈( )+ ∈( )+ + ∈( )1 2 1 2... ... . -

En général, les probabilités seront calculées par des intégrales.

RemarqueR

Définition 2

Soit f une fonction, définie sur I, qui est une densité de probabilité sur I.

On dit que la variable aléatoire X suit la loi de densité f sur l’intervalle I

(ou est « à densité f sur I ») lorsque, pour tout intervalle J inclus dans I, la

probabilité de l’événement X J∈ est la mesure, en unités d’aire, de l’aire

du domaine : M ; etx y x J y f x; ( ) .( ) ∈ ≤ ≤ 0

Conséquence

Propriété 1

Soit X une variable aléatoire qui suit la loi de densité f sur l’intervalle I, on a les propriétés suivantes.

a) Pour tout intervalle J c d= ; de I, on a : P c X d f x xc

d≤ ≤( ) = ∫ ( ) .d

b) Pour tout réel α de I, on a : P X =( ) =α 0.

c) Pour tous réels c et d de I,

P c X d P c X d P c X d P c X d≤ ≤( ) = < ≤( ) = ≤ <( ) = < <( ).d) Soit J un intervalle inclus dans I, on a : P X J P X J∈( ) = − ∈( )1 .



2. Lois uniformes

Définition 4

Soit I’ un intervalle de I tel que P X I∈( ) ≠' 0 et soit J un autre intervalle

de I. On définit la probabilité conditionnelle P X JX I∈ ∈( )' par l’égalité :

P X JP X J I

P X IX I∈ ∈( ) =∈ ∩( )

∈( )''

'.

c d 1

1

O

Définition 5

On dit qu’une variable aléatoire X suit la loi uniforme

sur l’intervalle 0 1; si sa densité est la fonction défi-

nie sur 0 1; par f x( ) .= 1

Propriété 3

Pour tout intervalle c d; inclus dans 0 1; , on a :

P X c d P c X d d c∈ ( ) = ≤ ≤( ) = −; .

Définition 6

Une variable aléatoire suit une loi uniforme sur l’intervalle a b; , avec a b,

si sa densité est la fonction définie sur a b; par f xb a

( ) .=−1

c d b = 3 a = –1 1

1

O

0,25



3. Lois normales

Loi normale centrée réduite

Propriété 5

Pour tout intervalle c d; inclus dans a b; ,[ ] on a :

P X c d P c X dd cb a

∈ ( ) = ≤ ≤( ) = −−

; .

Définition 7

L’espérance E( )X d’une variable aléatoire à densité f sur a b; est définie

par : E d( ) ( ) .X x f x xa

b= ∫

Propriété 6

L’espérance E( )X d’une variable aléatoire X suivant une loi uniforme sur

a b; est telle que : E( ) .Xa b= +

2

Dans le monde qui nous entoure, beaucoup de phénomènes sont dus à l’ad-dition d’un grand nombre de petites perturbations imprévisibles élémen-taires, chacune pouvant être modélisée par une variable de Bernoulli. La somme de ces petites perturbations donne lieu à des lois binomiales. La loi normale (centrée réduite) est apparue dans cette séquence comme le pro-longement de lois binomiales lorsque le paramètre n devient grand. C’est pour cela qu’on qualifie la loi normale de « loi limite ». C’est aussi pour cela qu’elle intervient si souvent dans les phénomènes de la nature et explique qu’elle soit si importante.



Définition

Une variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite ( ; )0 1 si, pour tous

réels a et b tels que a b< , on a : P a X b f x x xa

b x

a

b≤ ≤( ) = =∫ ∫

−( ) .d e d

1

2

2

2π

Si X suit la loi normale ( ; )0 1 alors

E( )X = 0 et σ( ) .X = 1

Lorsque la variable aléatoire X

suit la loi normale ( ; ),0 1 on a :

P X− ≤ ≤( ) ≈1 96 1 96 0 95, , , .

Autres lois normales

Définition

Une variable aléatoire X suit une loi normale ( ; )µ σ2 si la variable aléatoire

ZX= − µ

σ suit la loi normale centrée réduite ( ).0 1;

O 1

(0;4)

(0;1)

(1;4)

(3;0,25)

(1;1)

O 1

π ≈1/ 2 0,4



Espérance et écart-type

Si une variable aléatoire X suit la loi normale ( ; ),µ σ2 alors E( )X = µ et σ σ( ) .X =

Calculs

La variable aléatoire X suivant la loi normale ( ; ),µ σ2 il faut savoir calculer des probabilités de la forme : P a X b( ),≤ ≤ P X c( )≤ et P X c( ),≥ a, b et c étant des nombres réels donnés.

Il faut aussi savoir déterminer le nombre x tel que P X x p( ) ,≤ = p étant une probabilité donnée.

P X( ) ,µ σ µ σ− ≤ ≤ + ≈ 0 68 (à 10 2− près)

P X( ) ,µ σ µ σ− ≤ ≤ + ≈2 2 0 95 (à 10 2− près)

P X( ) ,µ σ µ σ− ≤ ≤ + ≈3 3 0 997 (à 10 3− près).

µ

µ–3 µ+3

µ–2 µ+2

0,68

µ– µ+



6 Exercicesde synthèse

Lois uniformes : le paradoxe de Bertrand

Soit un cercle de rayon 1, le côté d’un triangle équilatéral inscrit dans ce cercle

est alors égal à 3.

Le but de cet exercice est d’étudier différentes méthodes pour déterminer la pro-

babilité qu’une corde du cercle, choisie au hasard, ait une longueur supérieure

à 3.

A

CB

33

D

E

O

3

O

I

I

3

Première méthode.

On fixe un point A sur le cercle . On choisit au hasard un point M sur le cercle et on considère la corde AM. Quelle est la probabilité que la corde AM ait une longueur supérieure à 3 ? (On pourra utiliser les points B et C du cercle tels que le triangle ABC est équilatéral.)

Deuxième méthode.

Soit O le centre du cercle et D un point du cercle. On choisit au hasard un point I sur le segment OD . Quelle est la probabilité que la corde de milieu I ait une longueur supérieure à 3 ?

Troisième méthode.

On choisit au hasard un point I à l’intérieur du disque. Quelle est la probabilité que la corde de milieu I ait une longueur supérieure à 3 ? (On pourra faire intervenir la distance du point I au centre O).

Commenter les résultats précédents.

Exercice I



Lois normales

Sur une chaîne d’embouteillage, la quantité X (en cl) de liquide fournie par une machine pour remplir chaque bouteille, étiquetée 75 cl, de contenance totale 83 cl (liquide + air + bouchon), peut être modélisée par une variable aléatoire X suivant une loi normale de moyenne µ et d’écart-type σ = 2.

Le directeur de la coopérative demande de régler la machine pour qu’il y ait moins de 1% de bouteilles qui débordent.

a) Quelle est alors la valeur de µ ?

b) Quelle est, dans les conditions du a), la probabilité que la bouteille contienne moins de 75 cl ? La législation imposant qu’il y ait moins de 0 1, % de bouteilles contenant moins de 75 cl, la législation est-elle respectée ?

a) Sans changer l’écart-type, à quelle valeur de la moyenne µ doit-on régler la machine pour respecter la législation ?

b) Quelle est alors la probabilité qu’une bouteille déborde au remplissage ?

Déterminer µ et σ pour qu’il y ait moins de 0 1, % de bouteilles de moins de 75 cl et moins de 1% de bouteilles qui débordent.

Loi normale

Une confiserie produit des plaques de chocolat. On admet que la variable aléa-

toire égale au poids d’une plaquette de 125 g suit une loi normale d’espérance

µ = 125 et d’écart-type σ = 0 5, .

La plaquette est jugée conforme lorsque son poids est compris entre µ σ− 3 et µ σ+ 3 .

Calculer la probabilité qu’une plaquette prélevée aléatoirement au hasard en fin de chaîne soit non conforme.

Pour contrôler le réglage de la machine, on détermine des poids d’alerte µ − h et µ + h tels que P h X h( ) , .µ µ− ≤ ≤ + = 0 99

Ces poids d’alerte sont inscrits sur une carte de contrôle et correspondent à une marge de sécurité en lien avec des normes de conformité.

Déterminer ces poids d’alerte.

Exercice II

Exercice III


Documents

Séquence 7 - Académie en ligne · On dit qu’une série statistique est à caractère quantitatif continu quand on connaît seulement les effectifs ou les fréquences des termes