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UE7 - MA5 : Analyse

SERIES NUMERIQUESréelles ou complexes

I. Généralités

Définition 1Etant donnée une suite (un) de nombres réels ou complexes, on appelle série de termegénéral un la suite (Sn) définie par :

(1) Sn = u0 + u1 + … + un = ∑k = 0

n  uk

Sn est appelée somme partielle d'indice n (ou de rang n , ou d'ordre n) de la série.

Notation

On note généralement ∑n ≥ 0

   un ou ∑

 

   un la série de terme général un .

Exemples de séries déjà considérées :Séries géométriques ; suites définies par des relations de récurrence Sn = Sn-1 + un ;

écriture décimale (éventuellement illimitée) d'un réel.

Définition 2 , de la convergence

On dit que la série ∑ 

   un converge si la suite (Sn) définie en (1) converge.

Dans ce cas, la limite de la suite (Sn) est appelée somme de la série et notée S = ∑n = 0

&  un .

Quand la suite (Sn) ne converge pas, on dit que la série diverge.

Remarque 1

Si on considère seulement (un) pour n ≥ n0 > 0 , on peut, pour n ≥ n0 , poser Sn = ∑k = n0

n  uk

et appeler alors série de terme général un la nouvelle suite (Sn).

Cette série est alors notée ∑n ≥  n0

   un .

2

Il est aisé de vérifier que la convergence de ∑n ≥ 0

   un équivaut à celle de ∑

n ≥  n0

   un , mais en

général ∑n = 0

&  un n'est pas égal à ∑

n = n0

&  un quand la série converge.

Définition 3

Pour une série convergente, ∑n ≥ 0

   un , de somme S et de sommes partielles Sn , on appelle

reste d'ordre n (ou de rang n) la différence Rn = S - Sn .

Rn est aussi la somme de la série convergente ∑p ≥ n + 1

   up , c'est-à-dire Rn = ∑

p = n + 1

&  up .

Exemple

Si un = 1

n(n + 1) pour n ≥ 1 , on obtient un = 1n -

1n + 1 , Sn = 1 -

1n + 1 et la série

∑n ≥ 1

  

1n(n + 1) converge et a pour somme 1.

ExempleSi un = (-1)n pour n ≥ 0 , Sn = 1 si n est pair alors que Sn = 0 si n est impair, et la série

∑ 

  (-1) n diverge.

Théorème 1

Si la série ∑ 

   un converge, alors le terme général un tend vers 0 quand n tend vers + & .

Attention : la réciproque de ce théorème est fausse et il existe des séries dont le terme général tend

vers 0 et qui sont divergentes (voir ∑ 

  

1n ci-dessous).

Remarque 2Le théorème précédent est utile sous la forme contraposée : si (un) ne tend pas vers 0, la

série ∑ 

   un diverge. On dit alors que la série est grossièrement divergente.

3

Exemple de référence : séries géométriques

La série ∑n ≥ 0

   an où a ‘ Â est convergente si et seulement si …a… < 1 et sa somme est alors

S  =  1

1 - a = ∑n = 0

&  an .

Attention : la somme change si la série ne commence pas à n = 0 ; par exemple si …a… < 1 ,

∑n = 2

&  an =

a2

1 - a .

Le résultat qui suit permet de munir l'ensemble des séries convergentes d'une structured'espace vectoriel :Théorème 2

Soient ∑ 

   un et ∑

 

   vn deux séries convergentes.

La série somme ∑ 

  (un + vn) est convergente et on a ∑

n = 0

&  (un + vn) = ∑

n = 0

&  un + ∑

n = 0

&  vn .

Si ¬ est un scalaire, la série ∑ 

  (¬ un) est convergente et on a ∑

n = 0

&  (¬ un) = ¬ . ∑

n = 0

&  un .

On en déduit alors le résultat suivant :

Corollaire

Si ∑ 

   un converge et ∑

 

   vn diverge, alors la série ∑

 

  (un + vn) diverge.

En utilisant le résultat classique pour des suites réelles ou complexes selon lequel une suite(Sn) est convergente si et seulement si c'est une suite de Cauchy, on obtient :

Théorème 3 (critère de Cauchy pour les séries)Pour que la série de terme général un soit convergente, il faut et il suffit que :

◊™ > 0 , ¡N ‘ ˙ , ◊n ≥ N , ◊m ≥ n , … ∑k = n

m  uk… ≤ ™

ou encore

◊™ > 0 , ¡N ‘ ˙ , ◊n ≥ N , ◊p ≥ 0 , … ∑k = n

n + p  uk… ≤ ™

Remarque 3

Ce résultat est important et il sera utilisé par la suite car il permet de démontrer la

4

convergence ou la divergence de certaines séries sans que l'on ait besoin de chercher, enmême temps, leur somme.

Exemple

La série harmonique ∑n ≥ 1

  

1n diverge : il suffit de remarquer que S2n - Sn =

1n + 1 +

1n + 2

+ … + 1

2n est, pour tout n , minoré par 12 (n termes supérieurs à

12n ) .

Le résultat suivant peut être utile pour étudier une série à terme général un complexe :

Proposition

∑ 

   un converge si et seulement si les deux séries ∑

 

   Re un et ∑

 

   Im un convergent et on a :

∑n = 0

&  un = ∑

n = 0

&  Re un + i ∑

n = 0

&  Im un

Exercice 1

1) Ecrire sous forme décimale illimitée le nombre 3/7.2) Ecrire sous la forme p / q avec p et q entiers le nombre 2, 136 136 136 … où le bloc 136 est

répété indéfiniment.

Exercice 2Calculer le nombre 0,297297 … | 3,3636 …

Exercice 3Montrer que la série de terme général un converge et calculer sa somme dans les cas :

(a) un = ˘n

 1 -  1n2  , n ≥ 2 (b) un =

1n(n + 1)(n + 2)

(c) un = (n + 1)1

n + 1 - n1n (d) un = ˘n

n2 + 2n + 1n2 + 2n

(e) un = n3

n ! en exprimant n3 en fonction de n(n - 1)(n - 2), n(n - 1) et n

Exercice 4Montrer que la série de terme général un est divergente dans les cas :

5

(a) un = (-1)n (b) un = n . ˘n n

n  + 1

(c) un = en .  n !

nn (on pourra étudier un+1un

)

Exercice 5

Déterminer la nature de la série de terme général :

un = 1

(n + 1)å + 1

(n + 3)å - 2

(n + 2)å , å ‘ È , n ≥ 0

Si elle converge, calculer sa somme.

Exercice 6

Soit ß une permutation de ˙* . Montrer, en utilisant le "paquet de Cauchy" ∑k = n + 1

2n 

ß(k)k2 que la

série de terme général ß(n)n2 diverge.

II. Séries à termes réels positifs ou nuls

Pour l'étude des séries de terme général un réel positif ou nul, on dispose de résultatssimples obtenus à partir de la remarque que Sn est alors croissante.Les résultats ci-dessous sont bien sûr applicables si les un ne sont positifs qu'à partir d'uncertain n0 (cf. remarque 1 du §I) ou si tous les un sont négatifs ou nuls (cf. théorème 2 du §I)

en utilisant ∑ 

  (-un) .

1. Une CNS de convergence pour les séries à termes ≥ 0000

ThéorèmeUne série de terme général un réel positif ou nul est convergente si et seulement si la suitedes sommes partielles Sn est majorée.

2. Comparaison de deux séries à termes ≥ 0000Le théorème précédent conduit facilement au théorème suivant :

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Théorème 1

Soient ∑ 

   un et ∑

 

   vn deux séries à termes réels positifs telles que pour tout n ‘ ˙ on

ait 0 ≤ un ≤ vn .

Si la série ∑ 

   vn converge, la série ∑

 

   un converge aussi et ∑

n = 0

&  un ≤ ∑

n = 0

&  vn .

Si la série ∑ 

   un diverge, il en est de même de la série ∑

 

   vn .

Exemple

0 ≤ un = sin

 12n  ≤

12n donc ∑

 

   sin

 12n  converge.

CorollaireSoient (un) et (vn) deux suites de réels positifs tels qu'il existe deux réels ¬ ≥ µ > 0 , telsque pour tout n on a : µ vn ≤ un ≤ ¬ vn .

Alors les deux séries ∑ 

   un et ∑

 

   vn sont de même nature, c'est-à-dire que soit elles

convergent toutes les deux, soit elles divergent toutes les deux.

Il est parfois plus facile d'utiliser des équivalents que des majorations ou minorations, et lecorollaire précédent fournit le résultat suivant :

Théorème 2

Soient ∑ 

   un et ∑

 

   vn deux séries à termes réels positifs telles que un õ vn (n @ &).

Alors les deux séries sont de même nature.

Exemple

un = n2 + sin n

n3 + 1 õ

1n (n @ &) donc la série de terme général un est divergente.

Exemple

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Si ∫ > 0 , la série de terme général un = 1n∫ -

1(n + 1)∫ est une série télescopique

convergente. Or un calcul simple montre que un õ ∫

n1+  ∫ (n @ &) . La série de terme

général 1

n1+  ∫ est donc convergente quand ∫ > 0 .

3. Comparaison d'une série avec une intégraleOn considère ici des séries dont le terme général est de la forme un = f(n) . Par

encadrement, en s'aidant d'un dessin, on obtient :

ThéorèmeSoit f une fonction définie sur [0 , + &[ à valeurs réelles positives, continue et décroissante.

La série ∑ 

   f(n) converge si et seulement si l'intégrale ⌡⌠

     0

+ &  f(x) dx converge.

RemarqueLe résultat est encore valable si la fonction f est positive, continue et décroissante sur un

intervalle [a , + &[ en considérant la série ∑n ≥ n0

   f(n) avec n0 ≥ a .

Exemple de référence : séries de Riemann

La série ∑n ≥ 1

  

1nå où å ‘ È converge si et seulement si å > 1 .

En effet, pour å ≤ 0 la série est grossièrement divergente et si å > 0 le théorème précédent

ramène la convergence à celle de l'intégrale de Riemann vue au chapitre précédent.4. Quelques règles pratiques

Les résultats des paragraphes II.2 et II.3 permettent d'obtenir des résultats simples àappliquer en comparant une série à termes positifs soit à une série de Riemann, soit à unesérie géométrique. Il peut être plus ou moins facile de majorer ou minorer, de calculer unelimite ou de déterminer un équivalent simple, ce qui conduit à plusieurs versions de cescomparaisons :

Règle de Riemann (1ère version)

Soit un ≥ 0 . Si un õ A / nå avec A réel strictement positif et å ‘ È , alors ∑ 

   un converge

si et seulement si å > 1 .

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Règle de Riemann (2ème version)Soit un ≥ 0 .a) S'il existe un entier n0 , un réel A ≥ 0 et un réel å > 1 tels que, pour tout n ≥ n0 on ait

0 ≤ un ≤ A / nå , la série ∑ 

   un converge.

b) S'il existe un entier n0 , un réel A > 0 et un réel å ≤ 1 tels que, pour tout n ≥ n0 on

ait un ≥ A / nå, la série ∑ 

   un diverge.

Cette version permet d'en obtenir une autre souvent plus facile à appliquer :

Règle de Riemann (3ème version)Soit un ≥ 0 .

a) S'il existe un réel å > 1 tel que nå . un admette une limite finie lorsque n tend vers

l'infini, alors la série ∑ 

   un converge.

b) S'il existe un réel å ≤ 1 tel que nå . un admette une limite strictement positive ou

infinie quand n tend vers l'infini, alors la série ∑ 

   un diverge.

Exemple

Soit un = Ln(n)n¬ + 1

.

Si ¬ ≤ 1 , la deuxième version avec un ≥ 1

n¬ + 1 fournit facilement la divergence de la série

alors que si ¬ > 1 la troisième version avec un å ‘ ]1 , ¬ [ fournit facilement la convergence

de la série.

Règle de d'Alembert (1ère version)Soit un > 0 .

a) S'il existe n0 tel que, pour tout n ≥ n0 on ait un+1un

≥ 1 alors la série ∑ 

   un diverge.

b) S'il existe n0 et un réel ¬ ‘ [0 , 1[ tels que, pour tout n ≥ n0 on ait un+1un

≤ ¬ alors la

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série ∑ 

   un converge.

Attention ici à ne pas oublier les inégalités strictes un > 0 et ¬ < 1 .

Règle de d'Alembert (2ème version)Soit un > 0 .

On suppose que la suite un+1un

a une limite ˘ finie ou + & .

a) Si ˘ < 1 , la série ∑ 

   un converge.

b) Si ˘ > 1 ou + & , la série ∑ 

   un diverge.

Exemple

La série ∑n ≥ 0

  

an

n ! , où a > 0 , converge car ici un+1un

= a

n + 1 tend vers 0 quand n tend vers

l'infini.

Règle de Cauchy (1ère version)Soit un ≥ 0 .

a) S'il existe n0 tel que, pour tout n ≥ n0 on ait n

un ≥ 1 alors la série ∑

 

   un diverge.

b) S'il existe n0 et un réel ¬ ‘ [0 , 1[ tels que, pour tout n ≥ n0 on ait n

un ≤ ¬ alors

la série ∑ 

   un converge.

Règle de Cauchy (2ème version)Soit un ≥ 0 .

On suppose que la suite n

un a une limite ˘ finie ou + & .

a) Si ˘ < 1 , la série ∑ 

   un converge.

b) Si ˘ > 1 ou + & , la série ∑ 

   un diverge.

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Exemple

La série ∑ 

   an

nn , où a ≥ 0 , converge car n an

nn =

an tend vers 0 quand n tend vers

l'infini.

Attention : les règles de d'Alembert et de Cauchy ne permettent pas de conclure si ̆= 1 et les

exemples ∑ 

   1n et ∑

 

  

1n2 montrent que, dans ce cas, il peut aussi bien y avoir divergence que

convergence.

5. Sommation des équivalents

Le théorème 2 du paragraphe II.2 peut être complété afin de permettre de calculer deséquivalents de restes ou de sommes partielles de séries :

Théorème

Soient ∑ 

   an et ∑

 

   bn deux séries à termes réels positifs tels que an õ bn (n @ &) (donc

de même nature).a) Si les séries convergent, leurs restes respectifs d'ordre n sont équivalents quand n

tend vers l'infini, c'est-à-dire :

∑k = n + 1

&  uk õ ∑

k = n + 1

&  vk (n @ &)

b) Si les séries divergent, leurs sommes partielles respectives d'ordre n sontéquivalentes quand n tend vers l'infini, c'est-à-dire :

∑k = 0

n  uk õ ∑

k = 0

n  vk (n @ &)

Exemple 1

Comme ⌡⌠

     n

n + 1 

dxx = Ln

 1 +  1n  õ

1n (n @ &) et que la série harmonique diverge, le

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théorème précédent montre que ∑k = 1

n 

1k õ ∑

k = 1

n  ⌡⌠

     k

k + 1 

dxx (n @ &) .

Cette dernière somme vaut ⌡⌠

     1

n + 1 

dxx = Ln(n + 1) et  ∑

k = 1

n   

1k   õ  Ln(n) (n @ &)  .

Exemple 2

On vérifie facilement que si å > 1 , ⌡⌠

     p

p + 1 

dxxå õ

1på (p @ &) et, avec le théorème précédent,

on obtient ∑p = n

& 

1på õ ⌡⌠

     n

+ & 

dxxå (n @ &) intégrale qui se calcule aisément.

Le résultat obtenu peut aussi être démontré par comparaison série - intégrale.

Exemple 3Si une suite réelle (un) converge vers ˘ , elle est bornée donc il est possible de choisir un ¬assez grand pour que la suite (un + ¬) soit formée de termes positifs et que ˘ + ¬ > 0 .

Comme cette suite converge vers ˘ + ¬ , le théorème précédent fournit :

∑k = 1

n  (uk + ¬) õ n(˘ + ¬) (n @ &)

ou encore limn @ &

1n . ∑

k = 1

n  (uk + ¬) = ˘ + ¬

ou enfin limn @ &

1n . ∑

k = 1

n  uk = ˘

C'est un résultat classique dû à Cesaro.

6. Majoration des restes de séries convergentes

De telles majorations sont liées aux méthodes employées pour prouver la convergence de lasérie :

1ère méthodeSi un > 0 et si on a déterminé un entier n0 et un réel ¬ ‘ [0 , 1[ tel que, pour tout n ≥ n0

on ait un+1un

≤ ¬ alors, pour tout n ≥ n0 on a :

 Rn  =    ∑k = n + 1

&     uk  ≤   

¬1 - ¬    un 

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2ème méthodeSi un ≥ 0 et si on a déterminé un entier n0 et un réel ¬ ‘ [0 , 1[ tel que, pour tout n ≥ n0

on ait n un ≤ ¬ alors, pour tout n ≥ n0 on a :

 Rn  ≤   ¬n+1

1 - ¬  

3ème méthode

Si un = f(n) avec f positive, continue décroissante sur [a , + &[ et ⌡⌠

     a

+ &  f(x) dx

convergente, on a pour tout n ≥ a :

⌡⌠

     n + 1

+ &    f(x) dx  ≤  Rn  ≤ ⌡⌠

     n

+ &    f(x) dx  

Exercice 7

Etudier la nature des séries dont le terme général est :

(a)1

n(n + ˘n n) (b) sin2

 π  

 n +   1n    (c)

1nn+2

(d) e sin n (e)an

2 - sin n , a ≥ 0 (f)n + cos n

n3 + 1

(g)sin2 n

n2 (h) e -

 1 +   1n 

n(i)

1

n  n n

(j) n2 . e-   n (k) n2 sin π2n (l)

nn

(n + 1)(n + 2) … 2n

(m)

 n + an + b 

n2(n)

 n - 1n + 1 

2n(o)

n  ˘n(n)n2 + 1

(p) n1/n2 - 1 (q)  tan  

an  -  sin  

an   (r) ⌡⌠

     0

1/n 

dt1 + tn

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(s)nn . (n !)2

(3n) ! (t) (˘n n)- ˘n(n)

Exercice 8

Etudier la convergence et calculer éventuellement la somme de la série de terme général :a ˘n(n + 3) + b ˘n(n + 2) + c ˘n(n + 1)

Exercice 9Soit (un) une suite à termes positifs.

Montrer que les séries de termes généraux un et vn = un

1 +  un sont de même nature.

Exercice 10Montrer que l'équation Arctg x = Ln x + n π admet, pour chaque n ‘ ˙ , une unique racine xn >

0 .Déterminer la nature de la série de terme général xn .

Exercice 11

Déterminer la nature des séries de terme général un définies par u0 ≥ 0 et un+1 = 1n e- un pour

tout n ‘ ˙ * .

Exercice 12

Soient ∑ 

   un et ∑

 

   vn deux séries à termes positifs telles que

un+1un

≤ vn+1vn

pour tout n ≥ N

.

1) Montrer que si ∑ 

   vn converge alors ∑

 

   un converge.

2) En déduire la convergence de la série de terme général un = 1 | 3 | 5 | … | (2n - 1)

2 | 4 | 6 | … | (2n + 2) .

(Prendre vn = n- å avec 1 < å < 3/2 et utiliser le développement limité à l'ordre 1 de vn+1vn

- un+1un

. )

Exercice 13

On considère, pour å > 1 , un = ∑k = n + 1

& 

1kå .

En utilisant une comparaison série - intégrale, discuter la nature de la série de terme général un .

14

Exercice 14

Soit ∑ 

   un une série numérique à termes positifs convergente telle que la suite (un) soit décrois-

sante. Etudier la série de terme général n(un-1 - un) et en déduire que limn @ + &

n . un = 0 .

Exercice 15

Montrer que la suite un = 1

˘n n

 2  +   

32

23  + … +   (n + 1)n

nn+1    , où n ≥ 22 , est convergente et calculer

sa limite. (Utiliser le théorème de sommation des équivalents.)

Le but des exercices 16 à 21 est de mettre en oeuvre deux résultats :A : la convergence d'une suite (un) équivaut à la convergence de la série de terme général un - un-1B : le théorème de sommation des équivalents pour des séries à termes positifs

Exercice 16

1) En remarquant que ˘n(n + 1) - ˘n(n) õ 1n (n @ &) et, en utilisant B, montrer que :

1 + 12 + … +

1n õ ˘n(n) (n @ &)

2) En utilisant A, montrer que la suite définie par un = 1 + 12 + … +

1n - ˘n(n) est

convergente.Soit C (appelée constante d'Euler) sa limite.

3) En justifiant et en utilisant ⌡⌠

     n

n + 1 

dxx2 õ

1n2 (n @ &) , puis en considérant la série de terme

général un+1 - un , montrer que un - C õ 1

2n (n @ &) .

4) En considérant la suite vn = un - C - 1

2n et en utilisant la série de terme général vn+1 - vn

, montrer que vn õ - 1

12n2 (n @ &) .

5) Calculer u8 , u16 , u32 et avec u'n = un - 1

2n + 1

12n2 , u'8 , u'16 , u'32 .

Exercice 17

Exercice analogue au précédent avec un = 1 + 1

2 + … +

1

n - 2 n .

15

Exercice 18

1) Montrer que ⌡⌠

     n - 1

n  ˘n x dx õ ˘n(n) (n @ &) .

2) En utilisant B , montrer que ˘n(n !) õ n ˘n(n) (n @ &) .

Exercice 19

Soit un = n !

n

 en 

n .

En utilisant la série de terme général ˘n(un+1) - ˘n(un) , montrer que la suite (un) a une limite

non nulle.

Remarque : ce résultat est évident si on utilise la formule de Sterling : n ! õ

 ne  

n .

2π n  (n @ &) mais en fait la formule de Sterling s'obtient en utilisant cet exercice.

Exercice 20

On considère la série ∑ 

  

1n2 + 1

et on appelle Rn son reste d'ordre n .

1) Montrer que Rn õ 1n (n @ &) .

2) On pose un = 1n - Rn .

Montrer que un+1 - un õ - 1n3 (n @ &) et en déduire que un õ

12n2 (n @ &) et donc

Sn  = S - 1n +

12n2 + 0

 1n2  en appelant S et Sn respectivement la somme et la somme

partielle d'ordre n de la série.

Exercice 21

Soit å > 0 . On considère une suite définie par u1 > 0 et un+1 = un + e- un

nå pour tout n ≥ 1 .

1) Considérons le cas de å > 1 .a) Montrer que (un) converge. On notera ˘ sa limite.

b) Montrer que ˘ - un õ e- ˘

(å - 1)nå - 1 (n @ &) .

2) Considérons le cas de å ≤ 1 .a) Montrer que (un) tend vers + & .

b) Démontrer que eun+1 - eun õ 1nå (n @ &) .

c) En déduire un équivalent de un quand n tend vers l'infini.

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Exercice 22

On considère la série de terme général n

10n . Prouver que pour n ≥ 9 : Rn ≤ 98

(n + 1)10n+1 .

Exercice 23Calculer une valeur approchée à 10-5 près de

∑n = 1

& 

1n . 2n (donc de ˘n2 = - ˘n

 1 -  12  comme il sera vu grâce aux séries entières) .

III. Quelques résultats pour les séries dont le terme général n'est pas réelde signe constant

Dans de tels cas, la première idée est d'essayer de se ramener à des séries à termes positifs :

1. Convergence absolue

Définition

Une série ∑ 

   un à termes réels ou complexes est dite absolument convergente si la série

∑ 

   …un… est convergente.

Exemples

Si on a un = sin(n)

n2 ou vn = ein

n2 on a aussi …un… ≤ 1n2 et …vn… =

1n2 donc les séries

ayant pour terme général un ou vn sont absolument convergentes.

L'intérêt de cette notion est donné par :Théorème

Toute série absolument convergente est convergente.

Attention, la réciproque est fausse : on verra au paragraphe suivant que la série de terme général (-1)n

n est convergente alors qu'on a montré que la série des modules 1n est divergente.

Une telle série qui est convergente sans être absolument convergente est dite semi-convergente .

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Les théorèmes et règles énoncés au paragraphe II peuvent être utilisés pour la série ∑ 

   …un…

et donnent des moyens de prouver la convergence absolue, et donc la convergence, ou la nonconvergence absolue et dans ce dernier cas il faudra reprendre autrement l'étude de laconvergence.On a par exemple :

Règle de RiemannS'il existe å > 1 tel que la suite nå …un… soit bornée (en particulier si elle a une limite

finie), alors la série ∑ 

   un est absolument convergente.

Règle de d'Alembert

Si un ≠ 0 pour tout n ≥ n0 et si la suite …un+1…

…un… a une limite ¬ < 1, alors la série ∑

 

   un

est absolument convergente.

Règle de Cauchy

Si n

…un…  a une limite ¬ < 1, alors la série ∑

 

   un est absolument convergente.

Bien sûr, si pour n ≥ n0 , …un+1…

…un… ≥ 1 ou

n…un… 

≥ 1 , alors le terme général un ne tend

pas vers 0 et la série est grossièrement divergente.

Exemple

Avec la règle de d'Alembert, on obtient que la série ∑ 

   an

n ! converge absolument pour tout a

complexe.

2. Séries alternéesIl s'agit de séries dont le terme général est réel et de la forme un = (-1)n . an avec les antous positifs (ou négatifs) à partir d'un certain rang. Pour de telles séries, on a le résultatsuivant :

18

Critère spécial des séries alternéesSoit (an) une suite décroissante de réels qui converge vers 0 (donc an ≥ 0) .

Alors la série ∑ 

  (-1) n . an est convergente.

On peut préciser ce résultat :En notant Sn les sommes partielles de cette série et S sa somme, la suite (S2p) estdécroissante, la suite (S2p+1) est croissante et on a, pour tout p : S2p+1 ≤ S ≤ S2p .

Ainsi, pour tout n, on a :

 …Rn… =  …S - Sn… ≤ an+1 

ce qui est une majoration très simple du reste d'ordre n .

Exemple

Pour tout å > 0 , la série ∑n ≥ 1

  

(-1)n

nå converge, en particulier pour å = 1 , la série

harmonique alternée ∑n ≥ 1

  

(-1)n

n converge.

Attention à bien vérifier les conditions d'application du critère : la série de terme général (-1)n

n  +  (-1)n (resp.

(-1)n

n + (-1)n ) ne permet pas d'utiliser le critère (le vérifier) mais en

multipliant numérateur et dénominateur par n - (-1)n (resp. n - (-1)n) , on obtient

facilement que la série diverge (resp. converge).

3. Utilisation de développements asymptotiques (limités)Il est possible, en utilisant des développements limités, de transformer le terme générald'une série un en somme de deux (ou plus) termes généraux de séries de convergences plus

faciles à étudier.

Si on considère, par exemple, un = (-1)n

nå + (-1)n avec å > 0 , il est bien sûr clair que la série

de terme général un est absolument convergente si et seulement si å > 1 , mais pour å ‘ ]0 ,1] le critère spécial ne s'applique pas.

Cependant, en utilisant le développement limité à l'ordre 1 de 1

1 + x en 0 , on peut écrire :

19

un = (-1)n

nå 1

1 +  (-1)n

nå

= (-1)n

nå

 1  -    

(-1)n

nå     (1 + ™(n)) 

avec limn @ &

™(n) = 0 et en posant vn = (-1)n

nå , wn = 1 + ™(n)

n2å on a : un = vn - wn .

La série de terme général vn est convergente pour å > 0 d'après le critère spécial des sériesalternées et la série de terme général wn , positif pour n assez grand, converge si et

seulement si å > 12 car wn õ

1n2å .

Les résultats vus au paragraphe I (théorème 2 et corollaire) montrent alors que la série de

terme général un converge si et seulement si å > 12 .

4. Regroupement de termes

Proposition

Considérons une série ∑ 

   un dont le terme général un tend vers 0 quand n tend vers l'infini.

Notons vp = u2p + u2p+1 . Alors les séries ∑ 

   un et ∑

 

   vp sont de même nature et, si elles

convergent, ont la même somme.

Exemple un = (-1)n

n + (-1)n , n ≥ 2

On a bien limn @ &

un = 0 et vp = 1

2p + 1 - 12p =

12p(2p + 1) .

La série de terme général vp est convergente (utiliser un équivalent) donc la série de termegénéral un est aussi convergente.

RemarqueIl est facile de généraliser la proposition au regroupement de trois termes ou d'au plus ktermes, k étant fixé.

Exercice 24

Etudier la convergence et la convergence absolue des séries dont le terme général est :

20

(a)(-1)n

n2 + sin(n2) (b) (-1)n

˘n nn (c)

(-1)n    n  + 1n

(d) exp

 

(-1)n

n  - 1 (e)

cos   n

n  n (f)

(-1)n

th n

(g) ⌡⌠

     n π

(n + 1) π 

sin xx dx

Exercice 25

Déterminer la nature des séries dont le terme général est :

(a) sin(π n2 + 1  ) (b)1 + (-1)n . nå

n2å (c)(-1)n

n2/3 + cos n

(d) ˘n

 1 +   

(-1)n-1

nå    , å > 0 (e) sin

 

(-1)n

3 n     

Exercice 26

Démontrer que :

(a) ∑n = 2

& 

(-1)n

n2 - 1 =

14

(b) si k entier ≥ 1 : ∑n = 1

n ≠ 2k

& 

(-1)n

n2 - 4k2 = 3

16k2

Exercice 27

Déterminer la nature de la série de terme général un = (-1)n

n

 1 +   12  +  …  +   

1n  .

Exercice 28

Déterminer la nature de la série de terme général un = (-1)n+1

n .

 1 -   12  +  …  +   

(-1)n+1

n   .

(Le crochet s'écrit S - Rn où S est la somme et Rn le reste d'ordre n d'une série convergente.)

Exercice 29

Déterminer la nature de la série de terme général un = (-1)n . ⌡⌠

     0

n  e- n2t2 dt .

21

Exercice 30

Dans la série de terme général 1

˘n n on remplace les termes 1

˘n(3p) par - 2

˘n(3p) .

Déterminer la nature de la série obtenue.

Exercice 31 (Sujets d'examens)Déterminer la nature des séries dont le terme général est :

(a) un = (-1)n   n

n + (-1)n   n  + 1 (Septembre 1997)

(b) un = n2

nå + ¬n , ¬ ‘ È , å > 0 (Novembre 1997)

(c) un = ∑k = n

& 

1k4 en montrant que ⌡⌠

     n

n + 1 

dtt4 õ

1n4 (n @ &) (Novembre 1997)

(d) un =

 2n + 12n + 5 

n2 et vn = n(-1)n / n - 1 (Janvier 1998)

(e) un = arctan  n

nå , å ‘ È (Septembre 1998)

(f) un = n sin n

3n et vn = n . ˘n

 n + 1n - 1  (Novembre 1998)

(g) un =

 1 - å   Ln n

n   n , å ‘ È (Janvier 1999)

(h) un = n a n , a > 0 (Septembre 1999)