Simulation Simulation d’écoulements d’écoulements discontinus 1Ddiscontinus 1D

en volumes finisen volumes finis

Rudy HAYATRudy HAYAT

Tuteur : Serge PIPERNOTuteur : Serge PIPERNO Responsable du projet CAIMAN Responsable du projet CAIMAN

Directeur adjoint du CERMICS Directeur adjoint du CERMICS

SommaireSommaire

Présentation de l’INRIA et du projet CAIMANPrésentation de l’INRIA et du projet CAIMAN

Contexte du projetContexte du projet

ThéorieThéorie

Résultats obtenusRésultats obtenus

ConclusionConclusion

L’INRIA : Institut National de L’INRIA : Institut National de recherche informatique et recherche informatique et

automatiqueautomatique Différentes activités :Différentes activités :

Systèmes communicants (réseau et télécommunication, systèmes Systèmes communicants (réseau et télécommunication, systèmes embarqués et mobilité...)embarqués et mobilité...)

Systèmes cognitifs (évolution Artificielle et Fractales, apprentissage et Systèmes cognitifs (évolution Artificielle et Fractales, apprentissage et reconnaissance en vision par ordinateur…)reconnaissance en vision par ordinateur…)

Systèmes symboliques (sécurité et fiabilité du logiciel, organisation des Systèmes symboliques (sécurité et fiabilité du logiciel, organisation des contenus et de la langue…)contenus et de la langue…)

Systèmes numériques (automatique et systèmes complexes, Systèmes numériques (automatique et systèmes complexes, Modélisation, simulation et analyse numérique, optimisation et Modélisation, simulation et analyse numérique, optimisation et problèmes inverses en stochastique ou en grande dimension)problèmes inverses en stochastique ou en grande dimension)

Systèmes biologiques (modélisation et simulation pour la biologie et la Systèmes biologiques (modélisation et simulation pour la biologie et la médecine…)médecine…)

Transfert technologique(collaborations, Transfert technologique(collaborations, logiciels et start-up)logiciels et start-up)

Projet CAIMAN au sein du Projet CAIMAN au sein du CERMICSCERMICS

CERMICS laboratoire commun INRIA/ENPC.CERMICS laboratoire commun INRIA/ENPC.

CERMICS : Centre d’Enseignement et de CERMICS : Centre d’Enseignement et de Recherche en Mathématique, Informatique et Recherche en Mathématique, Informatique et Calcul Scientifique.Calcul Scientifique.

Projet CAIMAN appartient Projet CAIMAN appartient à la branche calcul la branche calcul scientifique du CERMICS.scientifique du CERMICS.

CAIMAN : Calcul scientifique, modélisation et CAIMAN : Calcul scientifique, modélisation et analyse numérique analyse numérique

Centres d’intérêt du projet Centres d’intérêt du projet CAIMANCAIMAN

Quatre principaux centres d’activité :Quatre principaux centres d’activité :

Résolution rapide des équations de l’électromagnétismeRésolution rapide des équations de l’électromagnétisme Éléments finis discontinus et schéma centrés pour l’électromagnétisme en

domaine temporel Volumes finis multi-échelles en espace et en temps pour Volumes finis multi-échelles en espace et en temps pour

l’électromagnétisme en domaine temporell’électromagnétisme en domaine temporel Environnement plasmique des satellitesEnvironnement plasmique des satellites

Autres activités en fonction des contrats ( Autres activités en fonction des contrats ( mécanique des fluides, aéroacoustique)mécanique des fluides, aéroacoustique)

Contexte du stageContexte du stage

Dans le but d’éviter des catastrophes comme Dans le but d’éviter des catastrophes comme celle du barrage de Malpasset (1959)celle du barrage de Malpasset (1959)

Créer des cartographies pour les inondationsCréer des cartographies pour les inondations Sujet important de sécurité civileSujet important de sécurité civile

ProblèmeProblème : Le LNHE rencontrait des problèmes : Le LNHE rencontrait des problèmes de convergence lors des tests de leur algorithme de convergence lors des tests de leur algorithme en géométrie complexe.en géométrie complexe.

Équations de Saint-Venant (1)Équations de Saint-Venant (1)

Proviennent d’une intégration verticale de Proviennent d’une intégration verticale de Navier-Stokes sous les contraintes suivantes :Navier-Stokes sous les contraintes suivantes :

Fluides incompressiblesFluides incompressibles Pression hydrostatiquePression hydrostatique

gSJx

ZgS

S

Q

xt

Q

x

Q

t

S

2

0

Équations de Saint-Venant (2)Équations de Saint-Venant (2)

On écrit la pression sous la forme :On écrit la pression sous la forme :

avecavec

Le système devientLe système devient

dzzxSgSxPy

tt 0

),(),( fZZy

gSJdx

dZgSdz

x

ZxSgSxP

S

Q

xt

Q

x

Q

t

S

f),(),(

0

2

Équations de Saint-Venant (3)Équations de Saint-Venant (3)

Nous résolvons : Nous résolvons :

AvecAvec ,,

et et

),(),(),(

WxGx

WxF

t

txW

Q

SQSW ),(

),(),( 2

SxPS

Q

Q

WxF

gSJ

dx

dZgSdz

x

ZxSg

WxG f),(

0

),(

Équations de Saint-Venant (4)Équations de Saint-Venant (4)

La jacobienne s’écrit : La jacobienne s’écrit :

Avec Avec

Les vecteurs propres du systèmes sont :Les vecteurs propres du systèmes sont :

etet

uucWxDF

2

10),(

22

S

Pc

cu

r1

1

cu

r1

2

Méthodes des volumes finisMéthodes des volumes finis

1 domaine 1D divise en N cellules1 domaine 1D divise en N cellules Système de résolution pour le problème Système de résolution pour le problème

homogène:homogène:

AvecAvec

1

)),(,(1

),()(

1

)()(

2/12/12/1

,

2/12/1,1

,

n

n

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t

t

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ni

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nhi

nhi

dttxWxFt

F

dxtxWCmes

W

FFCmes

tWW

),( 12/1n

in

in

i WWF

Comment définit-on le flux?(1)Comment définit-on le flux?(1)

Problème Problème linéarisé de Riemannde Riemann

continue.continue.

.

est diagonalisable avec des valeurs propres réelles.

On obtient alors et le flux s’écrit :

0

0)0,(

0),(~

xsiU

xsiUxU

x

UUUA

t

U

d

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dg

)()())(,(~

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~

A

)(),(~

UDFUUA

dgdgdg

dg UUUUAUFUF

UU

)(2

1

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~

~

A

Comment définit-on le flux?(2)Comment définit-on le flux?(2)

On définit le flux tel que On définit le flux tel que

AvecAvec ,,

etet

~

2,2,2

~~~

1,1,1

~~

)(||)(||2

1

2

)()(),( rcurcu

WFWFWW gdgd

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SS

SuSuu

~

dg

dg

SS

xSPxSPc

),(),(2~

~

2,2

~

1,1 rrW ggg ~

2,2

~

1,1 rrW ddd

Détails sur le fonctionnement Détails sur le fonctionnement du programme (1)du programme (1)

Nous calculons la pression après avoir calculNous calculons la pression après avoir calculé la la hauteur d ’eau.hauteur d ’eau.

Calcul des et Calcul des et

)1()(

)1()1()()()(

iSiS

iSiuiSiuiu

autrement

iLiyia

iSg

S

P

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iPiP

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)()().(

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1)()1(

)()1(

)()1(

)(

0

2

)(ic )(iu

Détails sur le fonctionnement Détails sur le fonctionnement du programme (2)du programme (2)

Simulation sur le temps :Simulation sur le temps :

avec avec

Possibilités de résoudre 2 problèmes différents: le Possibilités de résoudre 2 problèmes différents: le problème homogène ou le problème comprenant problème homogène ou le problème comprenant les termes sources.les termes sources.

|)()(|

|)(|min

~~

iciu

icellulet

Ni

1

Traitement des Traitement des termes sourcestermes sources

Premier Terme Premier Terme

Deuxième TermeDeuxième Terme

Schéma finalSchéma final

i

i

XXii

i SXPdx

d

X

ZgS

xTS),(

0

1

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2

1

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2/112/1

2/1

~

2/1

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2/1

12/12/1

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~

2/1

~~

2/1

2

iiii

iii

iiii

iii

SxPSxPcuc

SxPSxPcuc

TSi

)()(212/12/1

1ii

ni

ni

ni

ni TSTS

x

tFF

x

tWW

RésultatsRésultats

Vérifications du système au reposVérifications du système au repos

Le schéma ne donne pas de débit négatifLe schéma ne donne pas de débit négatif

La ligne d’eau ne peut pas évoluer vers le La ligne d’eau ne peut pas évoluer vers le haut.haut.

Problème de Riemann (1)Problème de Riemann (1)

Problème à résoudreProblème à résoudre Effondrement d ’un barrage sur milieu secEffondrement d ’un barrage sur milieu sec Données du barrage :Données du barrage :

Profil canal rectangulaire : l = 4m Profil canal rectangulaire : l = 4m Longueur : L=5000m Longueur : L=5000m Discrétisation : 1000 points Discrétisation : 1000 points

Données initiales :Données initiales :Hauteur d ’eau : h = 6m avant le barrageHauteur d ’eau : h = 6m avant le barrage

h = 0m après h = 0m après Conditions limites : Conditions limites :

Débit nul imposé aux extrémitésDébit nul imposé aux extrémitésSurface mouillée fixe à l ’amont et évolutive à l ’avalSurface mouillée fixe à l ’amont et évolutive à l ’aval

Problème de Riemann (2)Problème de Riemann (2)

Hauteur (m) = f(x,y), x et y en (m)

Hauteur (m) = f(x,y), x et y en (m)

État initial État final

Problème de Riemann (3)Problème de Riemann (3)Hauteur (m) = f(x,t), x (m) l’abscisse, t le temps (s)

Chute brutale de la ligne d ’eau

Problème de Riemann (4)Problème de Riemann (4)

Débit (m3/s) = f(x,t), x (m) l’abscisse, t le temps (s)Courbe intérieure t = 100s, Courbe extérieure t = 200s

Évolution de la hauteurd’eau (m) en fonction de la position (m) et du temps (s)

Évolution du débit (m3/s) en fonction de la position (m) et du temps (s)

Rupture de deux barrages (1)Rupture de deux barrages (1)

Données du problème :Données du problème : Inclinaison du canal de 0.1%.Inclinaison du canal de 0.1%. Profil trapézoïdal avec évasement évolutif.Profil trapézoïdal avec évasement évolutif. Largeur de fond variable vers l ’aval de l ’écoulement . L = 4 m sur les Largeur de fond variable vers l ’aval de l ’écoulement . L = 4 m sur les

10/1110/11emesemes de l ’écoulement puis élargissement. de l ’écoulement puis élargissement. Longueur du canal L =6 000 m.Longueur du canal L =6 000 m.

Conditions initiales et limites :Conditions initiales et limites : Le débit Q=10mLe débit Q=10m33/s en amont./s en amont. 3 sections mouillées différentes en fonction de la position dans le 3 sections mouillées différentes en fonction de la position dans le

canal.canal. Surfaces évolutives sur les bords de l ’écoulement.Surfaces évolutives sur les bords de l ’écoulement. Débit évolutifs à l’extrémité aval du canal.Débit évolutifs à l’extrémité aval du canal.

Rupture de deux barrages (2)Rupture de deux barrages (2)

Hauteur (m) = f(x,y), x et y en (m) Hauteur (m) = f(x,y), x et y en (m)

État initial État final

Rupture de deux barrages (3)Rupture de deux barrages (3)

Hauteur (m) = f(x,t), x (m) l’abscisse, t le temps (s)

Évolution de la hauteur d’eau (m) en fonction de la position (m) et du temps (s)

Évolution du débit ( m3/s)en fonction de la position (m) et du temps (s)

Cas de géométrieCas de géométrie complexe (1) complexe (1)

Nous considérons un canal rectangulaire dont le Nous considérons un canal rectangulaire dont le profil est le suivant :profil est le suivant :

Profil de la rivière

Cas de géométrie Cas de géométrie complexe (2)complexe (2)

Résultats obtenus pour des termes Résultats obtenus pour des termes sources sans décentragesources sans décentrage

Débit (m3/s) = f(x,t), x (m)l’abscisse, t le temps(s)

Hauteur (m) = f(x,t), x (m) l’abscisse, t le temps (s)

Évolution de la hauteur d’eau (m) en fonction de la position (m) et du temps (s)

Évolution du débit (m3/s) en fonction de la position (m) et du temps (s)

Cas de géométrie Cas de géométrie complexe (3)complexe (3)

Résultats obtenus avec décentrageRésultats obtenus avec décentrage

Évolution de la hauteur d’eau (m) en fonction de la position (m) et du temps (s)

Évolution du débit (m3/s)en fonction de la position (m) et du temps (s)

ConclusionConclusion

Création d ’un code en Fortran 90 permettant de Création d ’un code en Fortran 90 permettant de résoudre les équations de Saint-Venantrésoudre les équations de Saint-Venant

Code fonctionnel pour le cas homogène simple et avec Code fonctionnel pour le cas homogène simple et avec termes sources dans le cas de géométries simplestermes sources dans le cas de géométries simples

Vérification et correction des calculs effectués par N. Vérification et correction des calculs effectués par N. GoutalGoutal

Implémentation des termes manquantsImplémentation des termes manquants

PerspectivesPerspectives

Implémentation du termes de friction Implémentation du termes de friction (Strickler)(Strickler)

Vérification globale du programmeVérification globale du programme

Mise en place du code en 2D afin de pouvoir Mise en place du code en 2D afin de pouvoir simuler des cas réelssimuler des cas réels