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MachinesMécaniques etTurbomachines
Chapitre 2
Etude générale :compression dufluide
Compressiondes gaz
Pompes etventilateurscentrifuges
Compresseurscentrifuges etaxiaux
Machines Mécaniques et TurbomachinesCours de Semestre 8
Chapitre 2
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MachinesMécaniques etTurbomachines
Chapitre 2
Etude générale :compression dufluide
Compressiondes gaz
Pompes etventilateurscentrifuges
Compresseurscentrifuges etaxiaux
Machines génératrices
1 Etude générale : compression du fluide
2 Compression des gaz
3 Pompes et ventilateurs centrifuges
4 Compresseurs centrifuges et axiaux
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MachinesMécaniques etTurbomachines
Chapitre 2
Etude générale :compression dufluide
Compressiondes gaz
Pompes etventilateurscentrifuges
Compresseurscentrifuges etaxiaux
Contenu du cours
1 Etude générale : compression du fluide
2 Compression des gaz
3 Pompes et ventilateurs centrifuges
4 Compresseurs centrifuges et axiaux
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Chapitre 2
Etude générale :compression dufluide
Compressiondes gaz
Pompes etventilateurscentrifuges
Compresseurscentrifuges etaxiaux
Introduction
L’énergie mécanique apportée au fluide par la machine est généralement
transformée en énergie cinétique (1
2C
2) et en énergie potentielle (
p
ρ + gz ).
Pour l’étude des pompes (fluide incompressible) servant à transvaser un liquide d’unréservoir amont vers un réservoir aval, l’énergie mécanique sert à vaincre lesdifférences de niveau voire de pression.
Dans ce cas, l’énergie potentielle est largement plus désirée.
Pour l’étude des compresseurs (fluide compressible) servant à gonfler un réservoiraval, l’énergie cinétique du fluide est utilisée d’autant plus que l’on néglige les effetsde pesanteur sur un fluide compressible.
Compression des liquidesLe transfert d’énergie dans un écoulement met en évidence une énergie mécanique et uneénergie thermique qui est d’ailleurs très souvent négligée car la chaleur dégagée par lesfrottements visqueux est très faible.
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Chapitre 2
Etude générale :compression dufluide
Compressiondes gaz
Pompes etventilateurscentrifuges
Compresseurscentrifuges etaxiaux
Bilan énergétiques
Bilan des travaux
Le travail net de transvasement peut se mettre sous la forme :
W T 1→2=
2
1
dp
ρ=
p 2 − p 1
ρ
Le travail indiqué a pour expression : W i 1
→2
= W n 1
→2
−W f 1
→2
d’où :
W i 1→2=
p 2 − p 1
ρ+
1
2(C
22 − C
21 ) + g (z 2 − z 1)−W f 1→2
Pour les liquides, on fera très souvent les bilans énergétiques en hauteur de fluide,c’est à dire en travail rapporté au Newton. On définit ainsi :
H n =
W n 1
→2
g : la hauteur nette en J /N ou en m
H th =W i 1→2
g : la hauteur théorique de fluide.
On peut alors écrire :
H th =1
2g (C
22 − C
21 ) + (C
2e 2− C
2e 1
)− (W 22 −W
21 )
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Chapitre 2
Etude générale :compression dufluide
Compressiondes gaz
Pompes etventilateurscentrifuges
Compresseurscentrifuges etaxiaux
Bilan énergétiques
Machines génératrices
Machines génératrices⇒ travaux nets et indiqués positifs.
Couple exercé par la roue sur le fluide : M z = q m (r 2C gir 2 − r 1C gir 1 )Puissance théorique reçue par le fluide : ℘ = q m (C e 2 C gir 2 − C e 1 C gir 1 )
La hauteur théorique de fluide n’est pas l’énergie totalement reçue par le fluide entrel’entrée et la sortie de la machine.
H th = H n + Σpertes internes
Rendements
Rendement global d’une pompe est défini par :
ηgl =
q m W n 1
→2
℘a =
ρgq v H n
℘a
où ℘a est la puissance sur l’arbre. ℘a = M z a ωr
Rendement interne (rendement hydraulique ou manométrique) :
ηint =H n
H th
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Chapitre 2
Etude générale :compression dufluide
Compressiondes gaz
Pompes etventilateurscentrifuges
Compresseurscentrifuges etaxiaux
Réseaux de pompage
H
H ref
a
H g
z
z s
e
On retrouve généralement sur un réseaude pompage une conduite d’aspiration etune conduite de refoulement.
On définit ainsi une hauteur netted’aspiration et une hauteur derefoulement nommées respectivement
H a et H ref .
La somme de ces deux hauteurs et desdimensions de la machine est la hauteurgéométrique (dans un repère centré surla pompe) :
H g = H a + H ref + z s
−z e
où z s et z e sont les côtes d’entrée et desortie de la machine.
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Chapitre 2
Etude générale :compression dufluide
Compressiondes gaz
Pompes etventilateurscentrifuges
Compresseurscentrifuges etaxiaux
Réseaux de pompage
Espace libre
H
H ref
a
H g
z
z s
e
Hu = Hg
Espace fermé
H
H ref
a
H g
z
z s
e
H u = H g +p aval − p amont
ρg 8 / 8 5
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Chapitre 2
Etude générale :compression dufluide
Compressiondes gaz
Pompes etventilateurscentrifuges
Compresseurscentrifuges etaxiaux
Réseaux de pompage
Pertes de charge
Si on fait maintenant intervenir les pertes entre l’amont et l’aval de la pompe, on obtient :
H u = H n − (ϕamont →e + ϕs →aval )
Hauteur résistanteDans un réseau de pompage, la pompe doit fournir au fluide une énergie égale à lahauteur nette.
Cette hauteur est également appelée hauteur résistante H r du réseau. On a alors :
H r = H n = H u + ϕamont →e + ϕs →aval
avec : H u = H g système libreH u = H g + p aval −p amont
ρg système sous pression
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Chapitre 2
Etude générale :compression dufluide
Compressiondes gaz
Pompes etventilateurscentrifuges
Compresseurscentrifuges etaxiaux
Cavitation d’une pompe
Conséquences de la cavitation d’une pompe
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Chapitre 2
Etude générale :compression dufluide
Compressiondes gaz
Pompes etventilateurscentrifuges
Compresseurscentrifuges etaxiaux
Charge nette à l’aspiration
Zone de cavitation
La cavitation d’une pompe se produit dans la zone où la dépression est maximale.Théorème de Bernoulli entre l’entrée (1) et le point M de dépression maximale.
p M − p 1
ρ+ g (z M − z 1) +
1
2(C
2M − C
21 ) = −ϕ1→M + W n 1→M
qui peut se mettre sous la forme :
p M − p sv
ρg =
p 1 − p sv
ρg − (z M − z 1)− 1
2g (C
2M − C
21 )− ϕ1→M
avec p sv : tension de vapeur saturante
La pompe ne cavitera pas si p M > p sv :
p 1 − p sv
ρg +
C 21
2g charge nette à laspiration
>C 2M
2g + z M − z 1 + ϕ1→M
charge minimale à laspiration
Charge nette à l’aspiration : N .P .S .H disponible (Net Positive Suction Head)
Charge minimale à l’aspiration : N .
P .
S .
H requis
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Chapitre 2
Etude générale :compression dufluide
Compressiondes gaz
Pompes etventilateurscentrifuges
Compresseurscentrifuges etaxiaux
Exercice d’application
Circuit hydraulique
φ =300mm
=0.04λ3m
75m
amont
aval
conduites
longueur (L)
longueur (l) pompe 4 étages série
P athm = 1bar P sv = 0, 0317bar ∑ ϕ = k .q 2v q v = 1000m
3/h
Au point de fonctionnement, chaque étage fournit une hauteur nette de H n = 21.6m pourun NPSH r = 4m .
1 Tracer la caractéristique résistante du réseau.
2 Calculer la longueur développée du réseau.
3 Déterminer la longueur l maxi de la conduite amont autorisée.
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Chapitre 2
Etude générale :compression dufluide
Compressiondes gaz
Pompes etventilateurscentrifuges
Compresseurscentrifuges etaxiaux
Contenu du cours
1 Etude générale : compression du fluide
2 Compression des gaz
3 Pompes et ventilateurs centrifuges
4 Compresseurs centrifuges et axiaux
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Chapitre 2
Etude générale :compression dufluide
Compressiondes gaz
Pompes etventilateurscentrifuges
Compresseurscentrifuges etaxiaux
Bilans énergétiques
Travail net
W n 1→2=
2
1
dp
ρ+
1
2(C
22 − C
21 ) + ¨ ¨ g ∆z
la variation d’énergie potentielle est négligée pour les gaz.Travail indiqué
W i 1→2= W n 1→2
−W f 1→2
Travail sur l’arbre
W a 1→2 = W i 1→2 −W m 1→2
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Chapitre 2
Etude générale :compression dufluide
Compressiondes gaz
Pompes etventilateurscentrifuges
Compresseurscentrifuges etaxiaux
Rendements
Rendement global
Le rendement est donné par la relation :
ηgl =q m W n 1→2
℘a
où ℘a est la puissance sur l’arbre dont l’expression est en négligeant les fuites :
℘a = q m W a 1→2 .
ηgl =W n 1→2
W a 1→2
=
2
1
dp
ρ + 1
2(C 22 − C 21 )
W a 1→2
Le calcul du rendement est très difficile à effectuer car le travail net et notamment la
partie liée au travail de transvasement ( 21
dp
ρ ) est peu évidente à calculer.Le lien entre p et ρ n’est pas évaluable en transformation réelle : On sera alorsamené à calculer des rendements pour des évolutions types :
Evolution adiabatique réversible (SQ)
Evolution isotherme réversible (Θ)
Evolution polytropique (k )
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Chapitre 2
Etude générale :compression dufluide
Compressiondes gaz
Pompes etventilateurscentrifuges
Compresseurscentrifuges etaxiaux
Evolution adiabatique réversible
Definition
Evolution associée aux compressions et aux détentes dans les turbomachinescaractérisée par Q e 1→2
= Q f 1→2= 0
Q e 1→2représente le travail mécanique dissipé en chaleur
Q f 1→
2représente le travail visqueux dissipé en chaleur.
Travail de compression
W SQ 1→2= −
2
1
pdv = U 2 − U 1
Travail de transvasement :
W T SQ 1→2= 2
1
vdp = H 2 − H 1
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Chapitre 2
Etude générale :compression dufluide
Compressiondes gaz
Pompes etventilateurscentrifuges
Compresseurscentrifuges etaxiaux
Evolution adiabatique réversible
Rendements dans la compression
Rendement global :
ηgl =
W n 1
→2
W a 1→2 = 2
1
dp
ρ SQ + 1
2(C
22 − C
21 )
W a 1→2
Rendement interne :
ηi SQ =
2
1
dp
ρ
SQ + 1
2(C 22 − C 21 )
W i 1→2
avec W i 1→2= H 2 − H 1 + 1
2(C 22 − C 21 )− $ $ $ Q e 1→2
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E l i di b i é ibl
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Chapitre 2
Etude générale :compression dufluide
Compressiondes gaz
Pompes etventilateurscentrifuges
Compresseurscentrifuges etaxiaux
Evolution adiabatique réversible
Rendements dans la compression
On peut négliger la variation d’énergie cinétique qui est généralement faible, et onaboutit à une valeur approchée par excès du rendement adiabatique :
ηi SQ =
2
1
dp
ρ
S 112Q
H 2
−H 1
=∆H SQ
∆H
Ces rendements sont des valeurs aprochées des rendements des compresseurs etdes turbines. Ces rendements peuvent naturellement être calculés sur chacun desétages de la turbine.
Nota : Si le fluide mis en jeu lors de la compression ou de la détente peut êtreconsidéré comme parfait (pv = rT = Cte ), on aura alors :
ηi SQ = T 2 − T 1
T 2 − T 1en compression
ηi SQ =
T 2 − T 1
T 2 − T 1en détente
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E l ti i th é ibl
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Chapitre 2
Etude générale :compression dufluide
Compressiondes gaz
Pompes etventilateurscentrifuges
Compresseurscentrifuges etaxiaux
Evolution isotherme réversible
Definition
L’évolution isotherme réversible (Θ) est une évolution théorique où :
T = Cte
Q f 1→1= 0
On utilise cette évolution pour l’étude :
des compression refroidies
des détentes réchauffées.
Par définition :
W Θ1→2= −
2
1
pdv = U 2 − U 1 − Q e 1→1
W T Θ1→2= 2
1
vdp = H 2 − H 1 − Q e 1→1
avec Q e 1→1= T (S 2 − S 1) et S i représentant l’entropie du fluide.
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E l ti i th é ibl
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Chapitre 2
Etude générale :compression dufluide
Compressiondes gaz
Pompes etventilateurscentrifuges
Compresseurscentrifuges etaxiaux
Evolution isotherme réversible
Définition du rendement global
Si le fluide mis en jeu lors de la compression ou de la détente peut être considérécomme parfait (pv = rT = Cte ), on aura alors U 2 = U 1 et H 2 = H 1 soit :
v =rT
p et W T
Θ1→2
= 2
1
vdp = rT 2
1
dp
p
d’où :
W Θ1→2= W T Θ1→2
= −Q e 1→1= rT ln
p 2
p 1= rT ln
v 1
v 2
On a alors le rendment global donné par :
ηgl Θ=
W T 1→2 + ∆E c
W a 1→2
=rT ln p 2
p 1 + 12 (C 22 − C 21 )
W a 1→2
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Evolution polytropique
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Chapitre 2
Etude générale :compression dufluide
Compressiondes gaz
Pompes etventilateurscentrifuges
Compresseurscentrifuges etaxiaux
Evolution polytropique
Definition
L’évolution polytropique est une évolution théorique réversible caractérisée par :
pv k = Cte
Q f 1→1= 0
Q e 1→1= H 2 − H 1 −W k 1→2
= 0.
On a alors pour cette évolution :
W k 1→2 = − 2
1
pdv = r k − 1
(T 2 − T 1)
W T k 1→2=
2
1
vdp =rk
k − 1(T 2 − T 1)
avec Q e 1
→1
= H 2
−H 1
−W k 1
→2
.
L’évolution k est associée à une évolution réelle, les deux évolutions ayant lesmêmes points de départ et d’arrivée, on introduit alors la notion de coefficient k pourl’évolution polytropique associée :
k − 1
k =
lnT 2T 1
lnp 2p 1
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Evolution polytropique
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Chapitre 2
Etude générale :compression dufluide
Compressiondes gaz
Pompes etventilateurscentrifuges
Compresseurscentrifuges etaxiaux
Evolution polytropique
Définition du rendement global
On définit alors le rendement global lors de l’évolution k par :
ηgl k =
W T k 1→2 + ∆E c
W a 1→2
= 21
dp
ρ k +
1
2 (C 22 − C 21 )W a 1→2
=k −1
k
γ−1
γ
Ce rendement obtenu en associant à l’évolution k une évolution SQ est déterminé enfaisant les mêmes hypothèses qu’au paragraphe précédent, c’est à dire enconsidérant que la variation d’énergie cinétique est négligeable.
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Pompage des compresseurs
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Chapitre 2
Etude générale :compression dufluide
Compressiondes gaz
Pompes etventilateurscentrifuges
Compresseurscentrifuges etaxiaux
Pompage des compresseurs
Definition
Le pompage est un phénomène de fonctionnement instable qui concerne nonseulement le compresseur mais également l’ensemble de la machine.
Si la pression du circuit aval de la machine devient supérieure à la pression derefoulement du compresseur, la détente des gaz s’effectue non seulement vers
l’arière, mais également vers l’avant.Dans ce cas, le débit de matière devient nul, la pression chute alors brutalement et lecompresseur débite à nouveau jusqu’à ce que la condition initiale soit retrouvée.
C’est un phénomène cyclique.
Le phénomène de pompage des compresseurs se manifeste lorsque le débit de lamachine descend en dessous d’une certaine valeur en fonction de la vitesse derotation.
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Causes du pompage d’un compresseur
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Chapitre 2
Etude générale :compression dufluide
Compressiondes gaz
Pompes etventilateurscentrifuges
Compresseurscentrifuges etaxiaux
Causes du pompage d un compresseur
Dans l’utilisation normale, un moteur est conçu pour fonctionner sans pompage dansson domaine d’utilisation.
Les causes classiques de pompages peuvent être liées à :
Un pompage provenant du circuit amont : Entrée d’air obstruée, compresseur
endommagéUn pompage provenant du circuit aval : Réduction de la section de sortie, chambre ou
turbine endommagées
Accélération trop brutale ou surcharge d’un moteur
Pour éviter le pompage d’un compresseur, il faut le faire travailler en régime stable,c’est à dire trouver le bon compromis entre la caractéristique du compresseur et lacaractéristique du circuit de fluide.
Ce phénomène de pompage se retrouvera dans le cas des turbomoteurs etturboréacteurs.
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Contenu du cours
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Chapitre 2
Etude générale :compression dufluide
Compressiondes gaz
Pompes etventilateurscentrifuges
Compresseurscentrifuges etaxiaux
Contenu du cours
1 Etude générale : compression du fluide
2 Compression des gaz
3 Pompes et ventilateurs centrifuges
4 Compresseurs centrifuges et axiaux
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Pompes et ventilateurs centrifuges
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Chapitre 2
Etude générale :compression dufluide
Compressiondes gaz
Pompes etventilateurscentrifuges
Compresseurscentrifuges etaxiaux
Pompes et ventilateurs centrifuges
Definition
Les pompes et ventilateurs centrifuges sont composés de différents éléments entrel’aspiration (e) et la sortie (s).
On retrouve les éléments suivants :
L’entrée e : aspiration
La roue mobile : rotation à la vitesse angulaire ωr
Le diffuseur : réduit la vitesse en sortie de roue
La volute : canalise le fluide vers la sortie s .
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Rôle du diffuseur sur l’écoulement
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Chapitre 2
Etude générale :compression dufluide
Compressiondes gaz
Pompes etventilateurscentrifuges
Compresseurscentrifuges etaxiaux
Rôle du diffuseur sur l écoulement
Definition
Dans une machine génératrice, l’organe fixe est situé après l’organe mobile.Dans une pompe centrifuge on a alors une arrivée axiale du fluide sans perturbation
soit un angle α1 = π 2
ce qui implique que C gir 1 = 0.
On peut alors tracer le diagramme des vitesses entre l’entrée (1) et la sortie (2) del’organe mobile
W
W
C
Ce
Ce
1
1
2
2
2b2
b1
1C
H th =C e 2
C gir 2
g et q v = π D 1b 1C m 1 = π D 2b 2C m 2 .
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Rôle du diffuseur sur l’écoulement
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Chapitre 2
Etude générale :compression dufluide
Compressiondes gaz
Pompes etventilateurscentrifuges
Compresseurscentrifuges etaxiaux
Rôle du diffuseur sur l écoulement
Definition
Le fluide sort donc de la roue avec une vitesse −→C 2 = −→C e 2 +−→W 2 .
On retrouve cette vitesse à l’entrée (2) du diffuseur où le fluide va être transformé jusqu’à la sortie (3).
De par la construction des pompes centrifuges, on a toujours D 3 > D 2 et b 3 ≥ b 2.
La conservation du débit dans la pompe permet d’écrire entre l’entrée (2) et la sortie
(3) du diffuseur la relation :
q v = π D 3b 3C m 3 = π D 2b 2C m 2
On en déduit alors que la vitesse de sortie C m 3 est inférieure à la vitesse d’entréedans le diffuseur C m 2 .
Le diffuseur a donc un rôle de réducteur de vitesse, ce qui se traduit par une
augmentation de la pression du fluide.
Remarque
Si le diffuseur ne comporte pas d’aubages, on aura r 2C gir 2 = r 3C gir 3 ce qui montreégalement la réduction de vitesse dans le diffuseur.
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Rôle du diffuseur sur l’écoulement
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Chapitre 2
Etude générale :compression dufluide
Compressiondes gaz
Pompes etventilateurscentrifuges
Compresseurscentrifuges etaxiaux
Rôle du diffuseur sur l écoulement
Evolution des pressions dans la pompe
En prenant comme valeurs des pressions dans la pompe :
p s pression d’aspirationp 1 pression à l’entrée de la roue
p 2 pression à la sortie de la roue et en entrée du diffuseurp 3 pression en sortie de diffuseur
En appliquant le théorème de Bernoulli entre les différents points, on obtient :
∆p
ρ+ ∆E c = W n a →b
− ϕa →b
en négligeant ∆E p .
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Evolution des pressions dans le compresseur
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Chapitre 2
Etude générale :compression dufluide
Compressiondes gaz
Pompes etventilateurscentrifuges
Compresseurscentrifuges etaxiaux
p p
point0 1 2 3
p
p2
3
p0
p1
pression
32/85
Introduction des pertes
8/3/2019 Slides Machines 2
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Chapitre 2
Etude générale :compression dufluide
Compressiondes gaz
Pompes etventilateurscentrifuges
Compresseurscentrifuges etaxiaux
p
Evolution des pressions dans la pompe avec les pertes
Entre 0 et 1
p ∗1
ρg =
p 0
ρg − C 21
2g − ϕ0→1 =
p 1
ρg − ϕ0→1
<0
⇒ p ∗1 > p 1
Entre 1 et 2p ∗2
ρg =
p 2
ρg − ϕ1→2
<0
⇒ p ∗2 > p 2
Entre 2 et 3
p ∗3 ρg
= p 3
ρg − ϕ2→3
<0
⇒ p ∗3 > p 3
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Evolution des pressions dans le compresseur
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MachinesMécaniques etTurbomachines
Chapitre 2
Etude générale :compression dufluide
Compressiondes gaz
Pompes etventilateurscentrifuges
Compresseurscentrifuges etaxiaux
point0 1 2 3
ϕ 2 3
ϕ1 2
ϕ0 1
p
p2
3
p0
p1
Courbe théorique
Courbe réelle
pression
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Influence de l’angle β2
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Chapitre 2
Etude générale :compression dufluide
Compressiondes gaz
Pompes etventilateurscentrifuges
Compresseurscentrifuges etaxiaux
g β2
On étudie 3 roues mobiles pour lesquelles seul l’angle β2 est changé
a b c
On peut alors tracer les diagrammes des vitesses en sortie de roue à partir de−→C 2 =
−→C e 2 +
−→W 2 .
Dans le cas d’une roue mobile radiale sans perturbation de l’écoulement par unorgane fixe : C gir 1 = 0, C gir 2 = C e 2 + W 2 cos β2.
La hauteur théorique de fluide en sortie vaut alors :
H th ∞ =C e 2 C gir 2
g =
1
g
C
2e 2
+ C e 2 W 2 cos β2
avec H th ∞ : hauteur théorique idéale, C e 2 = Cte et C
a gir 2> C
b gir 2> C
c gir 2
.
Ainsi H th ∞ augmente avec l’inclinaison vers l’avant des pales ( β2 <π 2
).
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Influence de l’angle β2
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Chapitre 2
Etude générale :compression dufluide
Compressiondes gaz
Pompes etventilateurscentrifuges
Compresseurscentrifuges etaxiaux
β
Influence sur l’écoulement dans le rotor
Les trajectoires relatives du fluide vont automatiquement être influencées parl’orientation des aubes.
Il apparaît que pour les orientations β2 <π 2
la déviation du fluide est plusimportante entre l’entrée et la sortie.
Ceci se traduit par une augmentation des pertes dans l’aubage lorsque les aubes
sont orientées vers l’avant.
Influence sur l’écoulement dans le rotor
En considérant les pertes sous la forme :
ϕ = λ
l
D
1
2g q v
S 2
= λ
l
D
1
2g C
2
on remarque que ϕ si C donc si β2 Donc les pertes augmentent lorsque les aubes sont orientées vers l’avant.
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Influence de l’angle β2
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Chapitre 2
Etude générale :compression dufluide
Compressiondes gaz
Pompes etventilateurscentrifuges
Compresseurscentrifuges etaxiaux
β
Influence sur l’écoulement
C
donc si β2
+ grande variation d’énergie cinétique
moins d’augmentation de pression dans la roue
du diffuseur pour de la pression de sortie
de la volute pour canaliser le fluide
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Influence de l’angle β2
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Chapitre 2
Etude générale :compression dufluide
Compressiondes gaz
Pompes etventilateurscentrifuges
Compresseurscentrifuges etaxiaux
Influence sur la qualité de l’énergie fournie
Les diagrammes de vitesses que nous avons tracé montrent que−→C 2 est plus élevée
lorsque β2 <π 2
. L’influence de l’énergie cinétique est donc plus importante dans
l’énergie fournie (p 2 ρ + C 22
2).
Il faudra alors un diffuseur et une volute plus important pour réduire cette vitesse etpar là même accroître la pression à la sortie (rôle principal des pompes centrifuges).
L’évolution des pression nous permet de dire que nous étudions une roue à“réaction”.
L’introduction d’un degré de réaction permettra alors de quantifier la qualité del’énergie.
Ce degré de réaction est le rapport entre le travail de transvasement et le travail net :
σ =W T 1→2
W n 1→2
=
p 2−p 1 ρ
W n 1→2
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Influence de l’angle β2
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Chapitre 2
Etude générale :compression dufluide
Compressiondes gaz
Pompes etventilateurscentrifuges
Compresseurscentrifuges etaxiaux
Influence sur la qualité de l’énergie fournie
On a également un degré de réaction théorique idéal σ th ∞ tel que :
σ th ∞ =p 2 − p 1
ρgH th ∞
avec
H th =p 2 − p 1
ρg +
C 22 − C
21
2g + (z 2 − z 1)
=0 (machine théorique)
soit :
σ th ∞ = 1−C 22
−C 21
2gH th = 1−C 22
−C 21
2C e 2 C gir 2
Les roues mobiles avec des aubes inclinées vers l’avant ont un degré de réactionplus faible.
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Influence de l’angle β2
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Chapitre 2
Etude générale :compression dufluide
Compressiondes gaz
Pompes etventilateurscentrifuges
Compresseurscentrifuges etaxiaux
Remarques
Dans la pratique, on a fréquemment C m 1 = C m 2 , par suite :σ th ∞ = 1− C gir 2
2C e 2
µR ∞ =gH th ∞
C 2e 2
=C gir 2
C e 2
soit finalement :
σ th ∞ = 1− µR ∞
2
Dans le cas où β2 = π 2
, on a alors :
C gir 2 = C e 2 ⇒ σ th ∞ = 0, 5
µR ∞ = 1
Pour toutes ces raisons, on tendra à choisir des roues mobiles avec les aubesinclinées vers l’arrière ( β2 >
π 2
)
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Caractéristiques théoriques idéales
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Chapitre 2
Etude générale :compression dufluide
Compressiondes gaz
Pompes etventilateurscentrifuges
Compresseurscentrifuges etaxiaux
Evolution de la hauteur théorique idéale en fonction du débit
Le but est d’écrire une relation du type :
H th = f (q v )
A partir des relations :
C m 2 = W 2 sin β2 et q v = π D 2b 2C m 2
on écrit alors :
H th ∞(q v ) =C e 2 C gir 2
g
avec :
C gir 2 = C e 2 + W 2 cos( β2) = C e 2 +
C m 2
tan( β2) = C e 2 +
q v
π D 2b 2 tan( β2)
soit :
H th ∞(q v ) =C e 2
g
C e 2 +
q v
π D 2b 2 tan β2
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Caractéristiques théoriques idéales
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Chapitre 2
Etude générale :compression dufluide
Compressiondes gaz
Pompes etventilateurscentrifuges
Compresseurscentrifuges etaxiaux
Evolution de la hauteur théorique idéale en fonction du débit
Pour une vitesse de rotation ωr donnée, on a C e 2 = Cte , alors H th ∞ est une fonction
linéaire de q v dont la pente dépend de l’angle β2 et dont l’ordonnée à l’origine estC
2e 2
g
comme indiqué ci dessous :
π
2β<
π
2β>
π
2β=
H th
qv
Ce2
g
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Caractéristiques théoriques idéales
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Chapitre 2
Etude générale :compression dufluide
Compressiondes gaz
Pompes etventilateurscentrifuges
Compresseurscentrifuges etaxiaux
Evolution de la puissance théorique idéale en fonction du débit
℘th ∞ = q m W n 1→2= ρgq v H th ∞ = ρC e 2
q v C e 2 + q
2
v
π D 2b 2 tan β2
π
2β<
π
2β>
π
2β=
P th
q v
On peut ainsi voir que pour obtenir un accroissement de débit ∆q v , l’accroissementde puissance ∆℘th ∞ sera plus faible pour les aubes courbées vers l’arrière.
Cette remarque est un nouvel avantage pour les aubes courbées vers l’arrière parrapport aux aubes courbées vers l’avant.
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Influence du nombre d’aubes
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Chapitre 2
Etude générale :compression dufluide
Compressiondes gaz
Pompes etventilateurscentrifuges
Compresseurscentrifuges etaxiaux
Nous avons mis en évidence au chapitre 1 les limitations de la théorie d’Euler.
L’angle de sortie réel des filets fluides n’est pas β2 mais un angle β2 dévié de 5◦ à10◦
.
La hauteur théoriquement disponible en sortie de roue est plus faible que celledéfinie par la théorie d’Euler.
On appellera H th la valeur moyenne de cette hauteur pour les filets fluides.
Introduction d’un coefficient de glissement ε tel que :
ε =C gir 2
C gir 2∞
=H th
H th ∞
Le coefficient de glissement ε dépend du nombre d’aubes, de leur forme et de l’angle β2.
Si le débit n’est pas trop faible, on peut admettre que ε est indépendant du débit et
vaut pour les pompes courantes de 0,7 à 0,8.
De l’écriture de ε on tire :
H th = εH th ∞ = εC e 2
C e 2 + q v
π D 2 b 2 tan β2
℘th = ε℘th ∞ = ερC e 2 q v C e 2 + q 2v
π D 2b 2 tan β244/85
Pertes d’énergie et conditions de fonctionnement
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Chapitre 2
Etude générale :compression dufluide
Compressiondes gaz
Pompes etventilateurscentrifuges
Compresseurscentrifuges etaxiaux
L’écoulement, les transferts d’énergie et les transformations d’énergie ne peuvent
s’effectuer sans perte énergétique.Dans chaque machine, il existe un point de fonctionnement optimal correspondant àun débit volumique q v déterminé, où ces pertes sont minimales et de ce fait, lerendement optimal.
Ce point pour lequel la distribution des pressions statiques autour de la roue est àpeu près uniforme est très voisin de celui pour lequel il y a entrée sans choc, lequelcorrespond au débit volumique d’adaptation q
v a
.
Par ailleurs en fonctionnement réel, on constate que la roue peut créer unepré-rotation du fluide du fait d’une action en amont de l’aire d’aspiration.
Cette pré-rotation est en général positive pour les faibles débit, soit dans le mêmesens que le sens de rotation de la roue, négative pour les forts débits.
Ceci peut alors se superposer aux problèmes de cavitation que nous avons énoncésauparavant.
Lors de la conception d’une machine, il faut considérer l’ensemble roue-diffuseursachant que cet ensemble se comportera convenablement au point optimal defonctionnement.
En dehors de ce point, les pertes augmentent rapidement et des décollementspeuvent se produire dans les aubes.
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Pertes d’énergie et conditions de fonctionnement
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Chapitre 2
Etude générale :compression dufluide
Compressiondes gaz
Pompes etventilateurscentrifuges
Compresseurscentrifuges etaxiaux
Différentes pertes rencontrées
Les différentes pertes que l’on rencontre sont :
Les pertes hydrauliques : Chocs, tourbillons, frottement du liquide dans son passage à
travers la machine
Les pertes par frottement du disque : Frottement de la roue sur le liquide qui l’entoure
Les pertes volumétriques : Fuites ou courts-circuits de liquide à travers les jeux existant
entre les organes fixes et mobiles de la machine
Les pertes mécaniques : Paliers, roulements et frottements aux étoupes.
vq
puissance
perdue
pertes hydrauliques
pertes volumétriques
pertes mécaniques
Pour une pompe donnée, la puissance fournie par le moteur d’entraînement est la sommede la puissance nette et des différentes puissances perdues en valeur absolue.
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Les pertes hydrauliques
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Chapitre 2
Etude générale :compression dufluide
Compressiondes gaz
Pompes etventilateurscentrifuges
Compresseurscentrifuges etaxiaux
Pertes de charge
Elles dépendent du nombre de Reynolds et de la rugosité de la conduite :
ϕ =1
4
λP e
S
l C 2∞
2g
avec :
λ coefficient de perte unitaire
S section moyenne de passage
P e périmètre mouillé
l longueur du canal
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Les pertes hydrauliques
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MachinesMécaniques etTurbomachines
Chapitre 2
Etude générale :compression dufluide
Compressiondes gaz
Pompes etventilateurscentrifuges
Compresseurscentrifuges etaxiaux
Pertes par choc
Elles résultent d’un problème de direction des vitesses entre la sortie de la roue et l’entréedans le diffuseur :
ϕc = K c
(−→C −−→C )2
2g = K c
C 2c
2g
avec :
K c coefficient géométrique de la roue−→C vitesse absolue théorique−→
C vitesse absolue réelle−→C c composante de choc
La vitesse de sortie de roue est en fonctionnement normal tangente au profil dudiffuseur.
Le choc est dû à une variation de la direction de cette vitesse qui vient alors“percuter” le profil du diffuseur.
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Les pertes volumétriques
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Chapitre 2
Etude générale :compression dufluide
Compressiondes gaz
Pompes etventilateurscentrifuges
Compresseurscentrifuges etaxiaux
Definition
Le jeu fonctionnel entre l’organe mobile et le corps de la machine génère un débit de fluide
nommé q .
Q
Q
+q
La conservation du débit Q entre l’entrée et la sortie de la roue fait que la roue doit donner
de l’énergie au débit Q + q pour palier la fuite (q = f (p 1, p 2)).
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Les pertes mécaniques
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MachinesMécaniques etTurbomachines
Chapitre 2
Etude générale :compression dufluide
Compressiondes gaz
Pompes etventilateurscentrifuges
Compresseurscentrifuges etaxiaux
Definition
Les pertes mécaniques sont principalement dues aux frottements que l’on retrouveentre toutes les pièces en mouvement relatif les unes par rapport aux autres.
On inclut dans les pertes mécaniques les pertes par frottement du disque.
En effet, le film de fluide compris entre la roue et le corps de la machine est soumis àun champ de vitesse.
On a alors dissipation d’énergie par frottement visqueux entre les parois.
Cette énergie peut se mettre sous la forme :
W p = k ρC 3e r
2
avec k qui dépend à la fois de la largeur du canal entre la roue et le corps et du rayonde la roue.
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Rendements de la pompe
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MachinesMécaniques etTurbomachines
Chapitre 2
Etude générale :compression dufluide
Compressiondes gaz
Pompes etventilateurscentrifuges
Compresseurscentrifuges etaxiaux
La puissance nécessaire sur l’arbre vaut :
℘a = ρg (H n + ϕ1→2) (Q + q ) + |P m |+ |P f |La puissance utile est :
℘n = ρgQH n
Le rendement global de la pompe a pour valeur :
ηgl = ℘n
℘a
= ρgQH n
ρg (H n + ϕ1→2) (Q + q ) + |W m |+ |W f |On retrouve aussi des rendements :
ηm = H n
H th = H n
H n +ϕ1→2rendement manométrique
ηm ∞ = εηm =
H n
H th ∞ rendement manométrique idéalηv = Q
Q +q rendement volumétrique
ηmec =ρg (H n +ϕ1→2 )(Q +q )
℘a rendement mécanique
avec ηgl = ηm ∗ ηv ∗ ηmec .
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Caractéristiques réelles
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MachinesMécaniques etTurbomachines
Chapitre 2
Etude générale :compression dufluide
Compressiondes gaz
Pompes etventilateurscentrifuges
Compresseurscentrifuges etaxiaux
Caractéristique réelle d’une pompe
Hth
Hn
Théorie
Courbe réelle
Pertes de charge
Pertes par choc
N=Cte
Hf
H
Point de rendement optimal Point d'adaptation
(entrée sans choc)
qv
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Amorçage d’une pompe
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Chapitre 2
Etude générale :compression dufluide
Compressiondes gaz
Pompes etventilateurscentrifuges
Compresseurscentrifuges etaxiaux
Definition
Une pompe centrifuge n’est pas auto-amorçante.
Il est donc nécessaire de la remplir de liquide avant mise en route ou de la munird’un dispositif auxiliaire d’amorçage (système d’injection ou pompe auxiliaire à
anneau liquide).
La turbopompe fonctionnant par différence de pression, il est beaucoup plus difficiled’obtenir le ∆p avec de l’air qu’avec un liquide.
En effet la hauteur de fluide nécessaire pour obtenir une même variation de pressionest d’environ 800 fois plus grande avec de l’air (système désamorcé) qu’avec del’eau (système amorcé).
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Données constructives
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Chapitre 2
Etude générale :
compression dufluide
Compressiondes gaz
Pompes etventilateurscentrifuges
Compresseurscentrifuges etaxiaux
Dimensions principales d’une turbopompe centrifuge
Rayon d’entrée r 0 en considérant que la vitesse axiale −→C 0ne doit pas dépasser 2 à 6m /s selon la hauteur produitede la roue.
Le rayon r 1 vaut à peu près 1 à 1, 15r 0.
b 1 déduit avec−→C 1 supérieure ou égale à
−→C 0 .
Débit pris en compte = 1,
03 à 1,
1q v car on intègre lesfuites internes.
H th ∞ = 1
2g
C 2e 2
+ C e 2W 2 cos β2 − C e 1
C 1 cos α1
C 2 cos α2 = C e 2 + W 2 cos β2
avec α1 = π
2
:
H th ∞ =C e 2
C 2 cos α2
g
b 1 et b 2 du même ordre avec b 2 ≤ b 1.
On choisit alors un rapportr 2r 1
≤2 sauf si la roue tourne
lentement55/85
Tracé de la grille d’aubes
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Chapitre 2
Etude générale :
compression dufluide
Compressiondes gaz
Pompes etventilateurscentrifuges
Compresseurscentrifuges etaxiaux
Les roues peuvent être en métal coulé (fonte, bronze, acier, acier inoxydable...) ou enmatière plastique.
Il est évident que le choix du matériau sera conditionné par les conditions d’utilisationet la nature du fluide mis en jeu (fluide corrosif, hautes températures...).
Le tracé des aubages est effectué à partir des angles
β1et
β2qui ont été calculés
en fonction des vitesses d’entrée et de sortie du fluide.
Plusieurs méthodes existent pour effectuer le tracé et sont habituellement le résultatde considérations empiriques et expérimentales et font partie des “secrets defabrication”.
Certains consistent à faire évoluer linéairement β1 vers β2, d’autres s’efforcent deréaliser un transfert continu de l’énergie de l’entrée vers la sortie de la roue
(croissance linéaire ou parabolique de la puissance transmise avec le rayon).
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Le diffuseur
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Chapitre 2
Etude générale :
compression dufluide
Compressiondes gaz
Pompes etventilateurscentrifuges
Compresseurscentrifuges etaxiaux
Definition
Organe destiné à transformer l’énergie cinétique du fluide en sortie en une pression.
Il est constitué s’il est “lisse” par deux surfaces de révolution entourant la roue etentre lesquelles le fluide décrit des spirales divergentes.
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Le diffuseur
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MachinesMécaniques etTurbomachines
Chapitre 2
Etude générale :
compression dufluide
Compressiondes gaz
Pompes etventilateurscentrifuges
Compresseurscentrifuges etaxiaux
Definition
Le diffuseur peut être muni d’un certain nombre d’aubes (5 à 10), il est alors nommé“diffuseur à ailettes” et son efficacité est augmentée pour un encombrement réduit
Dans le cas de pompes multi-cellulaires, le diffuseur est à ailettes et oriente le fluidevers l’entrée de la roue suivante.
En sortie du diffuseur de la dernière roue, le fluide débouche dans une conduiteenroulée sur elle même et dont la section augmente proportionnellement au débit ;c’est la volute.
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M hi
Contenu du cours
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MachinesMécaniques etTurbomachines
Chapitre 2
Etude générale :
compression dufluide
Compressiondes gaz
Pompes etventilateurscentrifuges
Compresseurscentrifuges etaxiaux
1 Etude générale : compression du fluide
2 Compression des gaz
3 Pompes et ventilateurs centrifuges
4 Compresseurs centrifuges et axiaux
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Machines
Compresseurs centrifuges et axiaux
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Chapitre 2
Etude générale :
compression dufluide
Compressiondes gaz
Pompes etventilateurscentrifuges
Compresseurscentrifuges etaxiaux
La conception des turbocompresseurs est analogue à celle des machines véhiculantdes fluides incompressibles, leur fonctionnement diffère en raison de lacompressibilité du fluide et des phénomènes thermiques qui entrent en jeu.
Le taux de compression d’un compresseur centrifuge variera de 2,5 à 10, alors quele taux de compression d’un compresseur axial varie de 1,15 à 1,3.
Ainsi, pour les faibles taux de compression, la masse volumique du fluide variera peuet les effets thermiques étant faibles, on pourra en première approximationconsidérer ρ = Cte , comme pour les pompes et les ventilateurs.
Pour obtenir des augmentations notables de pression, il y a lieu d’associer plusieursétages au moyen de plusieurs roues mobiles montées par exemple sur le mêmearbre moteur.
On obtient ainsi des turbomachines multi-cellulaires dont on peut grouper ensembleles étages en corps séparés : basse pression, moyenne pression et haute pression.
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Machines
Compresseurs centrifuges et axiaux
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MachinesMécaniques etTurbomachines
Chapitre 2
Etude générale :
compression dufluide
Compressiondes gaz
Pompes etventilateurscentrifuges
Compresseurscentrifuges etaxiaux
Equation générale
∆H + ∆E c + ∆E p =0
= W i 1→2 + Q e 1→2
En admettant une évolution adiabatique, à la traversée de l’organe mobile, onobtient :
∆H + ∆E c = W i 1→2
et à la traversée de l’organe fixe :
∆H + ∆E c = 0
Comme pour les pompes, on peut introduire une hauteur de fluide qui est la hauteurde compression :
H ∗n =
W i
g
qui compte tenu de l’équation d’Euler se met sous la forme :
H ∗n =
1
g (C e 2 C gir 2 − C e 1 C gir 1 )
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Machines
Compresseurs centrifuges
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MachinesMécaniques etTurbomachines
Chapitre 2
Etude générale :
compression dufluide
Compressiondes gaz
Pompes etventilateurscentrifuges
Compresseurscentrifuges etaxiaux
Influence de la forme des aubes
Comme pour les pompes centrifuges nous retrouvons une grille d’aubes mobile et un
diffuseur fixe muni ou non d’ailettes.
Dans la plupart des machines, l’angle α1 est voisin deπ 2
, ce qui a pour effet
d’éliminer le terme C e 1 C 1cos α1 dans l’expression de H ∗n .
Le travail de compression à fournir est alors de la forme :
W i 1
→2
= C e 2 C gir 2
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Machines
Compresseur centrifuges
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ac esMécaniques etTurbomachines
Chapitre 2
Etude générale :
compression dufluide
Compressiondes gaz
Pompes etventilateurscentrifuges
Compresseurscentrifuges etaxiaux
Pour que ce travail soit relativement important
Augmenter C e 2 en augmentant le rayon de la roue et/ou la vitesse de rotation de lamachine ce qui peut générer des problèmes d’effet centrifuge sur le matériau, maiségalement l’adaptation des paliers pour les grandes vitesses de rotation (latechnologie s’oriente vers les paliers fluides).
Augmenter C gir 2 en jouant sur l’orientation des aubes de la roue mobile. On aC gir 2 = C e 2 + W 2 cos β2 ce qui pourrait nous amener à utiliser des aubes inclinées
vers l’avant ( β2 <π 2
). On retrouve cependant les mêmes effets de l’inclinaison desaubes que pour l’étude des pompes, c’est à dire une diminution du degré de réactionet la nécessité d’utiliser un diffuseur important.
Il devient alors très fréquent de rencontrer des roues mobiles à aubes radiales
β2 = π 2 qui résistent mieux aux effets centrifuges.
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Machines
Données constructives
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Mécaniques etTurbomachines
Chapitre 2
Etude générale :
compression dufluide
Compressiondes gaz
Pompes etventilateurscentrifuges
Compresseurscentrifuges etaxiaux
On classe les compresseurs centrifuges en deux familles principales :
Les compresseurs à admission axiale
Les compresseurs à admission radiale
Admission axiale
Taux de compression élevé.
Déviation de π 2 dans chaque étage.
Possibilité d’une “avant-roue” tournant à la même vitesse que la roue centrifugemunie d’ailettes judicieusement orientées pour donner à la vitesse, une inclinaisonconvenable à l’entrée de la roue qui est elle munie d’ailettes radiales.
La hauteur de compression est obtenue en appliquant la théorie d’Euler dansl’ensemble “avant-roue/roue-mobile”.
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Machines
Données constructives
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Mécaniques etTurbomachines
Chapitre 2
Etude générale :
compression dufluide
Compressiondes gaz
Pompes etventilateurscentrifuges
Compresseurscentrifuges etaxiaux
Admission radiale
La déviation deπ 2
de l’écoulement de fluide se fait en amont de la roue mobile, c’està dire dans la veine d’aspiration.
L’entrée du fluide dans la roue mobile se fait alors à la vitesse absolue radiale−→C 1 , ce
qui fixe la direction de W 1 et par là même le profil des aubages.
Les aubes sont courbées vers l’arrière ce qui fait que les effets centrifuges sont plusimportants que dans le cas précédent où les aubes étaient radiales.
Ce type de roue ne peut donc tourner très vite (ce qui limite les possibilités decompression), suivant le matériau utilisé pour sa fabrication.
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MachinesMé i t
Compresseurs axiaux
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Mécaniques etTurbomachines
Chapitre 2
Etude générale :
compression dufluide
Compressiondes gaz
Pompes etventilateurscentrifuges
Compresseurscentrifuges etaxiaux
La particule de fuide traverse la roue en restant à la même distance de l’axe de rotation
H ∗n =C e
g (C gir 2 − C gir 1 )
Pour la compression seul C gir varie. Comme ∆C gir ne peut être qu’une fraction de C e , lespossibilités de compression d’un étage axial sont bien inférieures à celle d’un étagecentrifuge.Plusieurs étages axiaux sont necessaires là où un seul étage centrifuge suffit.
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MachinesMécaniques et
Compresseurs axiaux
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Mécaniques etTurbomachines
Chapitre 2
Etude générale :
compression dufluide
Compressiondes gaz
Pompes etventilateurscentrifuges
Compresseurscentrifuges etaxiaux
Avantages et inconvénients
L’avantage du compresseur axial par contre réside dans la possibilité d’avoir un débitpratiquement illimité.
Un compresseur axial se composera donc d’une suite d’étages axiaux disposés ensérie chacun comprenant une roue à aube mobile (rotor) et une roue à aube fixe(stator), tous ces étages étant calculés pour adapter parfaitement leurs conditions defonctionnement à celles des étages en amont et en aval.
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MachinesMécaniques et
Ecoulement bidimensionnel, degré de réaction
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Mécaniques etTurbomachines
Chapitre 2
Etude générale :
compression dufluide
Compressiondes gaz
Pompes etventilateurscentrifuges
Compresseurscentrifuges etaxiaux
Definition
Considérons une compression adiabatique dans un étage de compresseur axial.
Supposons cet étage périodique, c’est à dire que la vitesse absolue−→C 1 à l’entrée du
rotor est égale à la vitesse absolue
−→C
3à la sortie du stator.
Entre (1) et (2), le Premier Principe de la Thermodynamique permet d’écrire alors :
H 2 − H 1 = C e (C gir 2 − C gir 1 )− C 22 − C 21
2
On trace alors le diagramme des vitesses de la roue du compresseur.
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MachinesMécaniques et
Ecoulement bidimensionnel, degré de réaction
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Mécaniques etTurbomachines
Chapitre 2
Etude générale :
compression dufluide
Compressiondes gaz
Pompes etventilateurscentrifuges
Compresseurscentrifuges etaxiaux
Ce1 = Ce2 = Ce
Ce1 = Ce2 = Ce
ΔC gir
W gir1
W gir2
Cgir1Cgir2
W 1
W moy
2
C
C
C
C
moy
1
2
C 3=
C e
Cgir moy
W girmoy
ΔW gir
ax
W
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MachinesMécaniques et
Ecoulement bidimensionnel, degré de réaction
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qTurbomachines
Chapitre 2
Etude générale :
compression dufluide
Compressiondes gaz
Pompes etventilateurscentrifuges
Compresseurscentrifuges etaxiaux
Ce1 = Ce2 =C e
Ce1 = Ce2 = Ce
ΔC gir
W gir1
Wgir2
Cgir1Cgir2
W 1
W moy
2
C
C
C
C
moy
1
2
C 3=
C e
Cgir moy
Wgir moy
ΔWgir
ax
W
H 2 − H 1 = C e (C gir 2− C gir 1 )− C 22 − C 21
2
avec :C
22 = C
2ax 2
+ C 2gir 2
et C 21 = C
2ax 1
+ C 2gir 1
soit :
C 22 − C
21 = C
2gir 2− C
2gir 1
= (C gir 2 − C gir 2 ) (C gir 2 + C gir 1 )
= 2∆C gir .C gir moy
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MachinesMécaniques et
Ecoulement bidimensionnel, degré de réaction
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Turbomachines
Chapitre 2
Etude générale :
compression dufluide
Compressiondes gaz
Pompes etventilateurscentrifuges
Compresseurscentrifuges etaxiaux
Ce1
= Ce2
=Ce
Ce1 = Ce2 = Ce
ΔC gir
W gir1
W gir2
Cgir1Cgir2
W 1
W moy
2
C
C
C
C
moy
1
2
C 3=
C e
Cgir moy
W gir moy
ΔW gir
ax
W
H 2 − H 1 = C e (∆C gir )− 1
2
2∆C gir .C gir moy
comme :
∆C gir = ∆W gir et C e = C gir moy + W gir moy
= 2W gir moy
alors :
H 2 − H 1 = 2W gir moy ∆W gir − ∆W gir W gir moy
= ∆W gir W gir moy
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MachinesMécaniques etT b hi
Ecoulement bidimensionnel, degré de réaction
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Turbomachines
Chapitre 2
Etude générale :
compression dufluide
Compressiondes gaz
Pompes etventilateurscentrifuges
Compresseurscentrifuges etaxiaux
Ce1 = Ce2 =C e
Ce1 = Ce2 = Ce
ΔC gir
Wgir1
Wgir2
Cgir1Cgir2
W1
Wmoy
2
C
C
C
C
moy
1
2
C 3=
C e
Cgir moy
Wgir moy
ΔW gir
ax
W
On obtient alors :H 2 − H 1 = ∆W gir W gir moy
Pour ce qui est du diffuseur, entre (2) et (3) on a :
H 3 − H 2 = −C 23 − C 22
2
Entre (1) et (3) soit l’étage complet :
H 3 − H 1 = C e ∆W gir
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Ecoulement bidimensionnel, degré de réaction
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Turbomachines
Chapitre 2
Etude générale :
compression dufluide
Compressiondes gaz
Pompes etventilateurscentrifuges
Compresseurscentrifuges etaxiaux
Pour distinguer alors dans la compression totale, la contribution du stator et celle durotor, on définit le degré de réaction σ de l’étage tel que :
σ =H 2 − H 1
H 3 − H 1
ce qui correspond au rapport de l’accroissement d’enthalpie dans le rotor surl’accroissement d’enthalpie dans l’ensemble stator+rotor.
σ =W gir moy
C e
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Influence du degré de réaction sur le rendement
Definition
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Turbomachines
Chapitre 2
Etude générale :
compression dufluide
Compressiondes gaz
Pompes etventilateurscentrifuges
Compresseurscentrifuges etaxiaux
Definition
Le rendement aérodynamique d’un étage dépend de la manière dont s’écoule le fluideautour des aubes et par conséquent de la distribution des vitesses en grandeur et endirection autour des organes fixes et mobiles.
Trois dispositions d’un étage de machine axiale traversée par un même débit, et ayant unemême vitesse de rotor
Etudions trois dispositions d’un étage de machine axiale traversée par un mêmedébit, et ayant une même vitesse de rotor.
On suppose que−→C 1 =
−→C 3 ce qui implique que ∆W gir donnée par le rotor est égale
et opposée à ∆C gir donnée par le rotor.74/85
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Influence du degré de réaction sur le rendement
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Turbomachines
Chapitre 2
Etude générale :compression dufluide
Compressiondes gaz
Pompes etventilateurscentrifuges
Compresseurscentrifuges etaxiaux
Diagrammes des vitesses
Même hauteur de compression H ∗n .
fig a : rotor avant le stator, −→C axiale à l’entrée/sortie de l’étage ; 0, 5 < σ < 1
fig b : stator avant le rotor,−→C axiale à l’entrée et à la sortie de l’étage ; σ > 1
fig c : stator avant le rotor, le diagramme des vitesses est symétrique ; σ = 0, 5
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Influence du degré de réaction sur le rendement
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Chapitre 2
Etude générale :compression dufluide
Compressiondes gaz
Pompes etventilateurscentrifuges
Compresseurscentrifuges etaxiaux
Le fluide subit une déviation mesurée par l’angle entre les vitesses relatives W 2 etW 3.
Cet angle est minimal dans la disposition (b), ce qui permet d’avoir une aube de rotorpeu cambrée. Cependant comme le calage de l’aube est important par rapport à lavitesse axiale, les vitesses relatives sont relativement grandes.
La disposition (c) présente la plus grande déviation, mais en revanche les vitessesrelatives sont les plus faibles. En écoulement réel, les deux facteurs déviation etvitesse relative jouent un rôle important dans la production des pertes d’énergie,
aussi bien dans le stator que dans le rotor. Le rendement de l’étage du compresseurest alors influencé par le degré de réaction.
Dans la théorie des grilles d’aube planes, nous avons défini la perte de charge dansl’écoulement réel par la relation :
ϕ1
→2 =
C x l
p
C 2moy
2 sin
α∞d’où une perte de charge en hauteur :
∆H =1
2g
C x l
p
C 2moy
sin α∞
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Influence du degré de réaction sur le rendement
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Chapitre 2
Etude générale :compression dufluide
Compressiondes gaz
Pompes etventilateurscentrifuges
Compresseurscentrifuges etaxiaux
En considérant l’étage complet du compresseur, on obtient alors :
∆H = ∆H s + ∆H r
avec ∆H s perte de charge dans le stator et ∆H r perte de charge dans le rotor, soit :
∆H =1
2g C x l
p s
C 2moy
sin α∞+
C x l
p r
W 2moy
sin β∞Le rendement se définit à partir de la relation :
η =H n − ∆H
H n
→ 1− η =∆H
H n
Comme H n =
W n
g =
C e ∆W gir
g , on obtient alors :
1− η =∆H
H n
=1
2C e ∆W gir
C x l
p
s
C 2moy
sin α∞+
C x l
p
r
W 2moy
sin β∞
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Influence du degré de réaction sur le rendement
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Chapitre 2
Etude générale :compression dufluide
Compressiondes gaz
Pompes etventilateurscentrifuges
Compresseurscentrifuges etaxiaux
On a vu dans la définition des coefficients de sustentation et de traînée :
C z l p
s = 2
∆W gir
C moy C z
l
p
r
=2∆W gir
W moy
On obtient alors l’expression suivante :
1− η = 12C e ∆W gir
C x l p
s
C
2
moy
sin α∞+ C x l
p
r
W
2
moy
sin β∞
=1
2C e
C x
C z
s
C moy
sin α∞+
C x
C z
r
W moy
sin β∞
avecC x
C z = tan ε ε (inverse de la finesse du profil) etC moy sin α∞ = C a = W moy sin β∞ d’où l’écriture suivante :
1− η =C a
C e
εs
sin2 α∞+
εr
sin2 β∞
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Influence du degré de réaction sur le rendement
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Chapitre 2
Etude générale :compression dufluide
Compressiondes gaz
Pompes etventilateurscentrifuges
Compresseurscentrifuges etaxiaux
En travaillant sur le diagramme des vitesses et en posant αm = π 2
−α∞ et
βm = π 2 − β∞, on obtient alors :
C e
C a
= tan βm − tan αm et C a
C e
= Φ
Le degré de réaction σ =W gir moy
C e s’écrit alors sous la forme :
σ = Φ tan βm
d’où : tan βm = σ
Φtan αm = tan βm − 1
Φ
On peut alors remplacer α∞ par π 2 − αm , β∞ par π
2 − βm et 1cos2 par tan2 +1 :
1− η =1
Φ((ε r + εs ) σ
2 − 2εs σ + εs ) + (εr + εs )Φ
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Influence du degré de réaction sur le rendement
En considérant que ε et ε sont constants les variations de η en fonction de σ pour
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Chapitre 2
Etude générale :compression dufluide
Compressiondes gaz
Pompes etventilateurscentrifuges
Compresseurscentrifuges etaxiaux
En considérant que ε r et εs sont constants, les variations de η en fonction de σ pour
un Φ donné sont représentées par une parabole dont le maximum est atteint pour :
σ =εs
εs + ε r
On en sort également :
tan αm =
−εr
εs +εr
1
Φ
tan βm = εs εs +εr
1
Φ
1− ηmaxi = 1
Φ
εs εr
εs +εr
+ (ε r + εs )Φ
Le rendement maximal de l’étage est une fonction du coefficient de vitesse Φ.QuandΦ varie, sa valeur optimale est obtenue pour :
Φ =√εs ε r
εs + ε r
tan βm = − 1
tan αm = εs
εr
1− ηopt = 2√εs εr
Dans ces conditions optimales, on a βm − αm = π 2
, c’est à dire que W moy et C moy
sont orthogonales.
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Influence du degré de réaction sur le rendement
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Chapitre 2
Etude générale :compression du
fluide
Compressiondes gaz
Pompes etventilateurscentrifuges
Compresseurscentrifuges etaxiaux
Remarques sur le rendement
On admettra souvent εr = εs = ε et les relations précédentes se réduisent alorsà :
rendement maximal
σ = 1
2
tan βm = − tan αm = 1
2Φ
1
−ηmaxi = εs 2Φ+ 1
2Φ
Le partage de la compression s’effectuera en parties égales entre le rotor et le stator,et les vitesses W moy et C moy sont alors symétriques par rapport à la vitesse axiale.
rendement optimal
Φ = 1
2
βm = −αm = π 4
1
−ηopt = 2ε
La vitesse axiale est égale à la moitié de la vitesse d’entraînement.
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Travail théorique
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Chapitre 2
Etude générale :compression du
fluide
Compressiondes gaz
Pompes etventilateurscentrifuges
Compresseurscentrifuges etaxiaux
On peut appliquer pour les compresseurs axiaux la même théorie que pour lespompes axiales. Pour un étage, on a alors :
W i 1→2= C e ∆C gir =
C 22 − C 21
2− W 22 −W 21
2
Aux pertes près on a :
W i 1→2= W n 1→2
=
2
1
dp
ρ+
C 22 − C 21
2
D’où on sort l’expression du travail de transvasement W T 1→2:
W T 1→2 = 2
1
dp ρ = −W
2
2 −W
2
1
2
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Ch i 2
Compresseur à aubes courtes et longues
C à b t
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Chapitre 2
Etude générale :compression du
fluide
Compressiondes gaz
Pompes etventilateurscentrifuges
Compresseurscentrifuges etaxiaux
Compresseur à aubes courtes
Les compresseurs sont considérés à aubes courtes lorsque la longueur h des aubesest petite devant le rayon moyen r m .
En pratique, on considèreh
r m < 0, 25 dans ce cas les grilles sont considérées
comme cylindriques et le pas de grille p ainsi que la vitesse d’entraînement C e sontconsidérés constants sur tout h .
Les filets fluides ont tous les mêmes caractéristiques.
Compresseur à aubes longues
Dans un grand nombre de compresseurs axiaux, la hauteur des aubes n’est pasfaible vis à vis du rayon moyen.
Le comportement du fluide n’est donc pas cinématiquement identique sur la hauteurde l’aube.
Il faut alors considérer un écoulement tridimensionnel pour prendre en compte lesdifférentes couches de fluide.
En pratique, on isole successivement les couches, c’est à dire qu’on considèrera unempilement d’aubes courtes dans lesquelles on pourra modéliser l’écoulement dufluide.
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Chapitre 2
Compresseur périodique
Compresseur périodique
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Chapitre 2
Etude générale :compression du
fluide
Compressiondes gaz
Pompes etventilateurscentrifuges
Compresseurscentrifuges etaxiaux
Un compresseur sera dit périodique si :
La vitesse axiale est constante de grille en grille (la variation de masse volumiquereste négligeable)
La vitesse en entrée de rotor et la vitesse en sortie de stator sont égales−→C 1 =
−→C 3 .
Si on trace alors le diagramme des vitesses d’un étage de compresseur périodique pourlequel α1 = π − β2 et α2 = π − β1 on obtient le diagramme ci-dessous :
Le résultat est un trapèze isocèle pour lequel le degré de réaction vaut 0,5 ; ce qui signifieque le rendement est maximal. Les aubages fixes et mobiles sont donc identiques.
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Chapitre 2
Compresseur périodique
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Chapitre 2
Etude générale :compression du
fluide
Compressiondes gaz
Pompes etventilateurscentrifuges
Compresseurscentrifuges etaxiaux
Remarque sur le compresseur périodique
Le schéma idéal d’un compresseur entièrement périodique est rarement utilisé.
On cherche en effet à faire évoluer le travail indiqué et la vitesse axiale pour
s’afranchir des variation de ρ lors de la compression et essayer d’annuler lacomposante tangentielle de la vitesse à la sortie du dernier étage.
On est alors ammené à construire des compresseurs avec des roues comportantdifférents diamètres et calages d’aubes.
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