S©minaire Pierre Lelong-Henri Skoda (Analyse) Ann©es 1980/81: Colloque de Wimereux, Mai 1981 â€œLes fonctions plurisousharmoniques en dimension finie ou infinieâ€, organis©

Lecture Notes in Mathematics Edited by A. Dold and B. Eckmann

919

S6minaire Pierre Lelong - Henri Skoda (Analyse) Annees 1980/81

et

Colloque de Wimereux, Mai 1981 "Les fonctions plurisousharmoniques en dimension finie ou infinie", organis6 en I'honneur de Pierre Lelong

Edit6 par Pierre Lelong et Henri Skoda

Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 198 2

E d i t e u r s

Pierre Lelong

Henri Skoda

Universit6 de Paris Vl, Mathematiques

Tour 4 5 - 4 6 -5eme 6tage,

4 Place Jussieu, 75005 Paris, France

AMS Subject Classifications(1980): 32-XX

ISBN 3-540-11482-3 Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York

ISBN 0-387-11482-3 Springer-Verlag New York Heidelberg Berlin

CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek Seminaire Pierre Lelong, Henri Skoda (Analyse): Seminaire Pierre Lelong, Henri Skoda (Analyse): annees ... - Berlin; Heidelberg; New York: Springer 1980/81 .... Et Colloque de Wimereux, Mai 1981, ,,Les Fonctions Plurisousharmoniques en Dimension Finie ou Infinie": organise en I'honneur de Pierre Lelong. - 1982. (Lecture notes in mathematics; Vol. 9t9) ISBN 3-540-11482-3 (Berlin, Heidelberg, New York) ISBN 0-387-11482-3 (New York, Heidelberg, Berlin)

�9 N E : Colloque Les Fonctions Plurisousharmoniques en Dimension Finie ou Infinie <1981, Wimereux>; GT

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@) by Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1982 Printed in Germany

Printing and binding: Beltz Offsetdruck, Hemsbach/Bergstr. 2141/3140-543210

Introduction au S~minaire P.LELONG,H.SKODA ;980-1981.

Ce volume est divis~ en deux parties.

La premiere partie se compose des exposes faits au s~minaire P.Lelong,H.Skoda

durant les annEes 1980 et 1981, qui n'ont pas d~jg ~tE publiEs ailleurs. La

deuxi~me partie reprend certains des exposes du Colloque de Wimereux , de Mai

1981, sous le titre : "Les fonctions plurisousharmoniques en dimension finie ou

infinie", organisE en l'honneur de Pierre Lelong.

On a reproduit ici parmi les allocutions prononcEes ~ cette occasion celle

de G.Coeur~ et la r~ponse de P.Lelong.

Indiquons bri~vement les sujets trait~s dans les exposes des deux parties

en les regroupant suivant leurs th~mes scientifiques. Ii s'agit toujours de tra-

vaux apportant des r~sultats nouveaux dans le domaine de l'Analyse complexe,

domaine qui continue g se dEvelopper rapidement.

On retrouve dans ce volume des th~mes classiques qui sont d~j~ apparus plusieurs

fois dans ce sEminaire.

I/ En premier lieu apparaissent les notions capacltaires et la th~orie des fonc-

tions plur~sousharmoniques.

L'expos~ de R.E.Molzon et B.Shiffman introduit des notions de capacitY, de

diam~tre transfini et de constante de Tchebycheff sur ~n-I en liaison avec la

th~orie quantitative des ensembles analytiques dans ~n et apporte des rEsultats

de comparaison entre ces diff~rentes notions.

E.Bedford Etend aux espaces analytiques complexes sa ~hEorie de llopErateur

de Mong~-Ampgre (ddC) n et la notion de capacit~ associ~e. Comme application, il

~tend le th~or~me de Josephson sur les ensembles localement pluripolaires

certains espaces analytiques (~ventuellement sans fonctions holomorphes).

IV

B.Gaveau et J.Lawrynowicz d~finissent ~ l'aide de la th~orie des jeux de Von

Neumann une int~grale de Dirichlet puis des notions capacitaires invariantes par

isomorphisme analytique. Leur approche semble assez diff~rente de celle qui utili-

se l'~quation de Monge-Amp~re complexe, lls donnent une application ~ la physique

th~orique des particules ~l~mentaires.

2/ C.O.Kiselman ~tudie le nombre de Lelong de la restriction d'une fonction pluri-

sousharmonique aux diff~rents germes de sous-vari~t~s analytiques passant par l'ori-

gine.

Ii montre que ce nombre est ind~pendant de la sous-vari~t~ sauf pour des sous-

vari~t~s appartenant ~ un ensemble exceptionnel. L'ensemble des germes de sous-

vari~t~ ~tant de dimension infinie, l'~tude des fonctions plurisousharmoniques sur

des espaces de dimension infinie apparalt ici comme particuligrement naturelle.

Une question posse g cette occasion ~ Wimereux par C.O.Kiselman a suscitg une r~-

ponse de P.Lelong qui donne un nouveau moyen de calculer ce nombre et en d~duit un

lemme de Schwarz en dimension infinie.

M.Blel approfondit dans son article les propri~t~s de sommabilit~ locale

de exp(-V) oh V est le potentiel canonique plurisousharmonique associ~ par

H.Skoda gun ensemble analytique X . Par une s~rie de contre-exemples, il montre

qu'il n'y a pas de liaison simple entre les propri~t~s alg~briques des singularit~s

de l'ensemble X (par exemple ~tre une intersection compl~te) et les singularit~s

du potentiel V .

V~ utilise la complexification et la notion de cellule d'harmoni-

cit~? introduite pour la premiere fois par Aronszajn et P.Lelong, pour l'~tude des

fonctions harmoniques d'ordre infini et donne des r~sultats sur celles d'entre

elles qui sont arithm~tiques, c'est-g-dire telles que f(~n) C~ .

3/ Un autre th~me classique du s~minaire est celui de l'analyse harmonique et de

la synth~se spectrale . Ii est bien eonnu depuis les travaux d'Ehrenpreis,

B.Malgrange et V.P.Palamodov, que ces questions se ram~nent ~ l'~tude des varifies

d'interpolationp c'est-~-dire au probl~me de l'extension d'une fonction holomorphe

V

avec croissance ~ partir d'une sous-vari~t~ V de ~n . C.A.Berenstein et

B.A.Taylor d'une part, J~ d'autre part montrent que si les mineurs

de la matrice jacobienne de l'application holomorphe d~finissant V , ne d~crois-

sent pas trop vite, alors V est d'interpolation. En fait, ils construisent une

bonne r~traction holomorphe sur V dans un voisinage de V , permettant d'utili-

ser ensuite les m~thodes semi-globales pour l'op~rateur ~ .

Plus g~n~ralement, J.-P.Demailly s'int~resse au probl~me du scindage holomorphe

avec croissance d'une suite exacte de fibres holomorphes au-dessus d'une vari~t~

de Stein . Le probl~me precedent correspond au cas de la suite exacte d~finissant

le fibr~ normal ~ V . Ii obtient des r~sultats ~ peu pros optimaux, dans le m~me

esprit que ceux obtenus par H.Skoda dans les precedents s~minaires pour les mor-

phismes de fibres vectoriels semi-positifs.

-Dans un article de la m~me veine, il introduit une troisi~me notion de positivi-

t~ pour les fibres vectoriels holomorphes, la positivit~ forte, compl~tant les no-

tions de positivit~ au sens de P.A.Griffiths et S.Nakano.

Ii compare ces diff~rentes notions et transpose les r~sultats obtenus ~ la positi-

vit~ des courants. II obtient ainsi d'int~ressantes relations entre les positivi-

t~s faibles et fortes des courants.

4/ L'article de B.Barlet concerne les op~rateurs diff~rentiels et l'~tude des sin-

gularit~s. II observe que l'int~gration d'une forme diffgrentielle C ~ g support

compact sur les fibres d'une application holomorphe d'un espace analytique X

valeurs dans ~ ne fournit pas en g~n~ral une fonction C ~ . Ii d~crit les sin-

gularit~s de cette derni~re fonction ~ l'aide d'un d~veloppement asymptotique dont

les coefficients sont des courants sur X . De plus, les nombres rationnels qui

interviennent dans ce d~veloppement sont reli~s ~ la r~solution des singularit~s

de X et aux racines du polynSme de Bernstein-Sato.

5/ Le th~me de la th~orie fine des fonctions holomorphes est repr~sent~ dans ce

volume par les articles de B.Gaveau et M.Range.

B.Gaveau d~crit des conditions n~cessaires quantitatives v~rifi~es par la

courbure scalaire des diviseurs d'une fonction holomorphe dans une r de Hardy

VI

de la boule de ~n . Des conditions de ce type, distinctes de la condition de

Blaschke et de celle de P~ sont en effet activement recherch~es. Un

r~sultat similaire est obtenu pour les diviseums dans ~n o

M. Range, dans un article de synth~se, fait le point sur la th~orie des esti-

mations hSlderiennes pour ~ dans un domaine pseudoconvexe. Cette th~orie n'est

encore satisfaisante que dans le cas strictement pseudoconvexe et dans le cas d'un

ouvert convexe de ~2 ~ fronti~re analytique r~elle. Ii ~tudie ~galement la r~gu

larit~ hSld~rienne des d~rivges d'ordre k des solutions explicites pour ~ en

bidegr~ (p,q) avec q ~ i . Le rgsultat nouveau, correspondant g q >1 , est

obtenu par une modification convenable de la solution de Henkin~

6/ Le thgme des applications ~ la Physique thgorique, quelque peu oubli~ dans le

precedent s~minaire, r~appparait ici.

V.S.Vladimirov pr~sente dans son article un panorama actuel des liens entre

la Physique Th~orique et les fonctions holomorphes de plusieurs variables. Ii mon-

tre tour ~ tour le rSle jou~ en Physique Th~orique par le th~or~me du "edge of

the wedge" , le thgor~me de l'enveloppe C-convexe, le th~or~me de covariance finie

et l'~tude des fonctions holomorphes de partie r~elle> O d~finies dans un tube.

B.Gaveau et G.Laville montrent le lien entre les fonctions propres d'un cer-

tain hamiltonien et les fonctions holomorphes v~rifiant les ~quations de Cauchy-

Riemann tangentielles sur le groupe de Heisenberg. Ce lien est ~tablit par l'in-

term~diaire d'une transform~e de Fourier partielle sur le groupe de Heisenberg.

B.Gaveau et J.Lawrynowicz dans leur travail d~j~ cit~ donnent ~galement

une application g la Physique Th~orique.

Nous remercions les auteurs qui nous ont confi~ leurs textes , Madame Orion

qui a pr~par~ de nombreux manuscrits et la librairie Springer qui gdite ce s~mi-

naire et qui contribue ainsi ~ la diffusion rapide de r~sultats nouveaux.

Pierre LELONG - Henri SKODA

T A B L E DES M A T I E R E S

/ I SEMINAIRE d'ANALYSE (PARIS) .

I BERENSTEIN (C.A.) et TAYLOR (B.A.). -On the geometry of interpolating varieties .......................................... I

2 BLF~ (M.). - Fonctions plurisousharmoniques et ideal d~finissant un ensemble analytique ................................ 26

3 DEMAILLY (J.-p.). - Relations entre les diff~rentes notions de fibres et de courants positifs ............................ 56

4 " - Scindage holomorphe d'un morphisme de fibres vectoriels semi-positifs avec estimations L 2 ........... 77

5 GAVEAU (B.). - Int~grales de courbure et potentiels sur les hypersur-

faces analytiques de C n ........................... 108

6 GAVEAU (B.) et LAVILLE (G.). - Fonctions holomorphes et particule

charg~e dans un champ magn~tique uniforme .......... 123

7 GAVEAU (B.) et ~AWRYNOWICZ (J.). - Int~grale de Dirichlet sur une vari~t~ complexe I ................................... 131

8

167

9 1 7 7

LELONG (P.)~ - Calcul du nombre densit~ 9(x,f) et lemme de Schwarz pour les fonctions plurisousharmoniques dans un espace vectoriel topologique .......................

RANGE (M.). - Boundary regularity for the Cauchy-Riemann complex ....

Ill COLLOQUE de WIMEREUX , Mai 198| .

Allocution prononcge par G. COEUR~ en l'honneur du Professeur P.LELONG. 187

R~ponse de P.LELONG ....................................... 190

AVANISSIAN (V.). - Sur les fonctions harmoniques d'ordre quelconque et leur prolongement analytique dans ~n .............. 192

BARLET (D.). - D~veloppements asymptotiques des fonctions obtenues par integration sur les fibres ........................ 282

BEDFORD (E.). - "The operator (ddC) n on complex spaces ............ 294

KISELMAN (Ch.O.). - Stabilit~ du nombre de LELONG par restriction une sous-vari~t~ ................................... 324

MOLZON (R.E.) et SHIFFMAN (B.). - Capacity , Tehebycheff constant , and transfinite hyperdiameter on complex projective space .............................................. 337

VLADIMIROV (V.S.). - Several complex variables in Mathematical physics ............................................ 358

Exposes faits ~ WIMEREUX dont les r~sultats paraltront ailleurs :

DIEDERICH (K.) , DINEEN (S.) , GRAUERT (H.) , HARVEY (R.) , NACHBIN (L.) ,

SIMONY (N.) , SICIAK (J.) , SIU (Y.T.) , STOLL (W.) .

S~minaire P.LELONG,H. SKODA (Analyse) 20e et 21e annie, |980-1985.

ON THE GEOMETRY OF INTERPOLATING VARIETIES

Carlos A. Berenstein and B. A. Taylor

i. The problem we want to consider here is the following. Let V

be an analytic variety in C n and p a plurisubharmonie weight func-

tion. What are the necessary and sufficient conditions on V such that

every analytic function ~ on V satisfying an estimate of the form

(i) ]~(z) I <_ A exp(Bp(z)) , for all z 6 V,

has an extension to an entire function �9 satisfying the same kind of

estimate for all z ( {n, namely

(2) ]%(z) I _< A' exp(B'p(z) ) .

We will then say that V is an interpolating variety (for the weight

p). Actually one has to impose some minimal conditions on V and p

in order that the problem does not become trivial (e.g., no functions

on V satisfy (i) except for the constants), and in applications to

harmonic analysis one also needs to consider the problem of multiplici-

ties. Rather than burden the reader with unnecessary details we refer

to our paper [5], where essentially the opposite problem is considered,

i.e. given V find the necessary and sufficient conditions on ~ such

that it has an extension 9 satisfying (2). We also refer to [4] and

[5] for an explanation of the relevance of this kind of questions to

mean-periodicity and related subjects in harmonic analysis.

To simplify the exposition we will assume throughout that p(z) =

]z] and point out whether the results below hold for more general weight

functions. Hence, A := {9 entire functions in C n satisfying (2)} = P

space of functions of exponential type, which is a space of considerable

interest by itself [i0], [4]. We remind the reader though, that even

simple looking variations of this weight ]z I like p(z) = IIm z I +

log(l+Iz [) often lead to considerable extra difficulties. In this se-

cond example, A = 6' (JR n) = space of Fourier transforms of distribu- P

tions in IR n with compact support.

Consider first in more detail the case n = 1 where the above

problem is settled (at least for p(z) = Izl) . If v = v(f) :=

{z ( c : f(z) = o} (counted with multiplicities) for some f ( A , then P

V = { (zk,mk) : Zk zero of f of multiplicity mk} ' any analytic func-

tion on V is just a doubly indexed sequence {akj } (0 ~ j < m k) and

we have a restriction map

p : A(C) ~ A(V)

from the space of entire functions to the analytic functions on V, given

by

(3) i v (j) (Zk) 1 P(m) = j!

In this case p(Ap) E Ap(V) :: {{akj ] : ]akj i ~ A exp(B[Zki) }. And

the interpolation problem is simply put: Is the map p : A ~ A (V) P P

onto? In [3] we showed that the necessary and sufficient condition for

V to be interpolating (for the weight izl) is

(4)

(m k ) f (z k )

m k l ~ e x p ( - C l Z k l )

for some s, C > 0. In particular', if all the points z k in V are

simple, this condition reduces to

(5) If' (Zk) I > s exp(-ClZkl) ,

a result due to A. F. Leont'ev. (Similar statements hold for arbitrary

weights p, see [3].)

Recall that the function f defining V in the case V = V(f)

is unique up to an exponential factor and hence (4) is really a condi-

tion on V. More generally, one assumes only that V ~ V(f), f ( A . P

As it is well known [19], this condition V ~ V(f) is equivalent to

the geometric condition

(6) n(r) :: ~ m k : O(r) as r ~ ~,

]Zkl~r

which measures the (0-dimensional) area of V 0B(0,r), B(a,r) :=

{z ( C : Iz-al ~ r}. (Similarly one can describe geometrically the

statement V = V(f), f E A , p(z) = ]z I , see [i0] .) Under this weaker P

~ssumption (6) one can describe V as the set of common zeroes of sev-

eral functions in A and correspondingly a statement similar to (4) P

holds, see [3, Theorem 4]. This analytic condition (4) has been trans-

lated into geometric terms by W. A. Squires [26]. He shows that V is

an interpolating variety (for p(z) : Izl) if and only if for some

fixed constants A,B > 0 one has

(7) [Izkl dt < Ai ' + B for every z k ( V, n(zk,t)-- ~ z k ] J0

where

(8) n(zk,r ) = ~ m. 0<izj_zkl~ r 3

is the "area" of V n (B(zk,r)\{Zk}) . It was shown by Gelfond that

every exponential-polynomial satisfies (7) (see e.g. [30] where sharp

estimates for the constants A and B are given). Let us also point

out that the corresponding geometric characterization for p(z) =

lira zl + ieg(l+Izl) is not known although (4) still holds when V = V(f),

f slowly decreasing, see [3]. While the technical condition of f

being slowly decreasing is a generic condition for this weight, [26]

shows that some interpolating varieties cannot be defined by slowly de-

creasing f.

We discuss also other natural definitions of interpolating vari-

eties in [3], [5]. In fact, there is a whole scale of such interpolat-

ing problems and the corresponsing geometric characterizations are not

always completely known. In relation to this let us finish this secion

by pointing out a small misprint in formula (23), [3, p. 121], it should

read

m k- 1

lakr$1r ~ < i exp(BP(Zk;r)) , $:0

k ~ lr O ~ f . . . .

2, In the case of several variables we can give sufficient condi-

tions for interpolation when V is a smooth manifold of codimension k,

say

(9) V : V(f I, fN ) {z ( {n .... : : f!(z) ..... fN(z) = 0}, fl ..... fN ( Ap,

and

~fk (i0) at each point z ( V, the rank of the jacobian matrix Df =

is k.

Skoda has shown in [23] that if V is a subvariety of C n of pure

dimension n -k, then (for p(z) : Izl) (9) is a consequence of the

area condition

(ii) a(r) 2 (n-k)

r

- O(r) as r ~ -,

where o(r) denotes the (2(n-k)-dimensional) area of V @ V(0,r) (com-

pare with (6)). For k = 1 one can give a sharpening of (ll) ensuring

that N = 1 in (9) (this is included in the earlier work [18] of

Lelong). Hence, for k : I, one can see that both (9) and (i0) are a

consequence of this sharper area condition when V is a manifold �9

It is also well known that algebraic varieties are characterized

by ~(r)r -2(n-k) being bounded [27].

The following condition analogous to (5) was stated without proof

as sufficient for interpolation in [5]. We denote by 8I,J the k • k

minors of the matrix mf, I : (i I ..... ik), J : (Jl ..... Jk )' 1 0 the minors /I,J satisfy

~ exp(-Cp(z)), for all z ( V.

k • k minors of Df.

Neither the statement nor the proof of this theorem depend on

p(z) : Izl, it only requires that p satisfies the conditions on [15].

Namely: p(z) ~ 0, log(l+Izl) = O(p(z)), and there exist four constants

c I ..... c 4 such that Izl ~ exp(-clP(Z)-O2) implies that p(w)

c3P(Z) + c 4 �9

PROOF. The ]~ea of the proof is very simple. One has to extend

the function ~ analytic on V and satisfying (i) , to a sufficiently

large neighborhood of V preserving the growth conditions and then

apply the following Semilocal Interpolation Theorem whose proof can be

[5], [17] . Denote by If(z) i := (I Ifj (z) 12) 1/2 found in and

(13) S(6,D,f) : {z ( ~n If(z) I < 5 exp(-Dp(z)))

where 5,D > 0. (Actually only the components of S(6,D,g) which con--

tain points of V are of any interest.)

SEMILOCAL INTERPOLATION THEOREM. If $

in S = S(6,D,f) satisfying the estimate

I$ (z) I ~ A 1 exp(BlP(Z)) ,

is an analytic function

for all z ( S,

then there is an entire function ~ ( A such that %IV : ~I v. P

The way we accomplish the extension from V to S is by showing

that for a convenient choice of ~,D there is a holomorphic retraction

: S ~ V

such that along the fibers of ~ the weight function does not change

much, namely if ~ (z) = ~(z') then

p(z) _< DlP(Z') + D 2

for some constants DI,D 2 > 0. Then the function ~(z) :: ~(~ (z)) will

satisfy the hypothesis of the Semilocal Interpolation Theorem and we

will be done. Actually, one can construct n only on the union of those

components of S containing points of V, but then one can choose

= 0 on the remaining components, which gets around this difficulty.

Henceforth we will disregard any of the latter components. 8f

l it follows that From hypothesis (12) and the fact that ~ ( Ap ]

there are ~i,ci,~2,c2 > 0 such that

(14) [ IAI,JI >- el exp(-clP(Z)) for z ( S(g2,c2,f).

(It is here where we have to throw out the components with no points in

V.) Hence, by a theorem of Hormander [15] there exist s3,c3 > 0 and

functions ~I,J (Ap(S(s3,c3,f)) (with the obvious notation) such that

(15) ~ ~I,jAI,j : 1 on S(s3,c3,f) .

a tangent vector to C n at z (S(g3,c3,f) For Z = [ ai ~z 1

define

(16) ~(Z) = n(Z,z) := ~ ~i,j(z)X(Z,I,J) , I,J

where the vector field X(Z,I,J) is defined as follows. Let ag(Z,I,J)

be the determinant of the k x k matrix obtained by replacing the Zth

8fi column of ~ i(I,jEJ by the column vector llZ(fi)lli( I and

= ( aj(Z,I,J) 8z. (17) X(Z,I,J) j[j ]

Claim. The vector fields X(Z,I,J) have the following properties.

(18)

(19)

and

(2O)

where

X(Z,I,J) is linear in Z,

X(Z,l,J) (f) = Ai,j(z)Z(f ) at all points z E V,

"q gives a splitting of T "normal" to T(V) ,

T = tangent bundle to C n along %7 ~ pullback of the trivial bundle

C n x fn cn on by the inclusion map V c~ fn and, T(V) is the tan-

gent bundle of V.

Property (18) being clear we proceed to prove (19). Consider the

(k+l) • (k+l) augmented matrix

A =

I I ~ f i il jz(f ) =--il : i ~ ozj iEI,jEJ

At points z E V, only k of the vectors vf I ..... vf N ~f 3f

: l ..,8_~)) can be linearly independent since V has codi- (vfi (~z '" 1 n

mension k, hence the matrix A is singular. Thus

~f

= - jEJ~ aJ (Z'I'J) 8--~ ' 0 = det A Z(f~)Ai, J

which proves (19).

If Z E T(V) then Z(f i) = 0, hence E (Z) = 0. Moreover, for

any Z E I, N(Z) (fi) : Z(f i) for all i since

n(Z) (f i) = Z ~I,jX(Z,I,J) (fi) (by (19))

= [ ~i,JAi,jZ(fi ) = Z(fi ) (by (15}) .

Hence, Z - ~(Z) is tangent to V and Z = N(Z) + (Z-9 (Z)) gives the

splitting

(21) T : range ~ e T(V) : N ~ T(V)

N is then a "normal" bundle to V.

There is an associated holomorphic map

v : N ~ C n

given by

(22) v z, ~aj ~) = z + a I ..... an), 3

where z ~ V, [ a~ Z 3 m

3 let

( range ~ and (a I ..... a n ) 6 ~n. For 6,D > 0

S~(5,D) := { (z,Z) ( N ~ [z < {~ exp(-Dp(z))}.

Claim. For ~:D,60,D 0 > 0 convenient one has:

(23) v is a one-to-one map on 5~(60,D 0 ) and

(24) v([~(w ~ S(6,m,f) .

-i Note that once this claim has been proved the map v followed by

the projection of N onto V is the retraction map ~ we are looking

for. (V is just the zero section of N and v(z,0) : z.)

PROOF OF THE CLAIM. Fix a point q0 6 V. We can choose I, J, and

positive constants ~4' ~5' c4' c5 such that

(25) [Ai,j(z) j ~ s4 exp(-c4P(q0)) for Iz-q0 ] ~ s5 exp(-c5P(q0))"

We may also assume I = J = {l,2,..,k}. From (25), via the implicit

function theorem, we can choose ~6,c6 > 0 such that

(26) fl .... 'fk'Zk+l'''''Zn give local coordinates on the open set B,

B : B(q0,~6,c6) = {~ 6~n : ]q0 -~I < ~6 exp(-c6P(q0)) }' and

(27) Zk+l,...,z n give local coordinates on V.

There are sections Z 1 ..... Z k of T over B such that

(28) Zi(fj) : Sij, 1 _< i,j _< k.

k ~ 8fi -i Namely, set Zi : ~j=l ~ij 8~j" where II~ij] 1 = ~--~

Let us take now their normal components, that is,

(i -~ i -< k),

(29) X i = D(Zi) , i = 1 ..... k.

Then X 1 ..... X k ( N and Xi(fj) = Zi(fj) = 6ij. Hence, they are lin-

early independent and provide a local holomorphic frame for N and

corresponding local coordinates <l,...,<k, Zk+l,...,z n for N. If

Zl,...,z k are the functions of Zk+ 1 .... ,z n which define V and we

write

k n x i : ~ a i ~ + [ b ~ (i < i ~ k),

j=l J ~zi j=k+l 13 ~zj

then the map v can be written explicitly as

V(<l--.<k,Zk+l...Zn) : (z I ..... z n) +

k

<i (ai, l ..... ai,k,bi,k+l ..... bi,n). i=l

Now, from the explicit formulas for a.. and b.. it is clear that i3 13

these functions arebounded by A0exp(B0p(g0)) on B. Further we can

assume that the tangent plane at q0 is given by z I ..... z k = 0,

hence ~(q0 ) = 0 for i~ i<_k, k+l_< j <n and, at thatpoint q0' we have

(30) 1 = detllZi(fj)) 1 : det)Ixi(fj)II = det e 1 aigszg

8fi = detl]aijll �9 det 8--~ "

On the other hand, in the <l,...,<k,Zk+l,...,Zn

Jacobian of the map v is given by

coordinates, the

aij i bi'~

8~ - det .... i ...... detll aij II a (<,z)

0 ~ I

So all entries and their derivatives are bounded by A 1 exp(Blp(q0))

for z ( B and I~l ~ i. Now, (130)gives a lower bound for this Jacobian

at the point (q0,0), hence we can apply the implicit function theorem

and get that v is a biholomorphic map on

9

(31) I~I < s7 exp(-c7P(q0)) ' Iz'-z0 I < s7 exp(-c7P(q0))'

z' = (Zk+l ..... Zn), z~ = z' (q0) ,

and its image contains a ball B(q0,ss,Cs). The set described by (31)

contains a subset of the form

(B(q0,g9,c 9) n V) • {IZI < Sl0 exp(-cl0P(Z))}

by (26)-(29), and on this subset the image of v contains a ball

B(q0,gll,Cll). We define 60 and D O in (24) by

260 < s9,Sl0 and D > c9,ci0.

We can show now that v is globally one-to~one. In fact, if V(Wl,Wl)

= v(w2,W 2) then

lWl-W21 < 260 exp(-D0P(Wl)) < e 9 exp(-c9P(Wl)),

and, since v is locally one-to-one in that region, it follows (Wl,Wl;

= (W2,W2). Finally, by (14) it is clear that q0~V B(q0,gll,Cll) con-

tains S(6,D,f) for 6,D > 0 convenient. This concludes the proof of

the claim.

The proof of the theorem follows by observing that the required

small change of the weight p on the fibres of n is a consequence of

the above construction and the restrictions imposed above on the weight

function p. []

A few simple examples of application of this theorem to (smooth)

hypersurfaces are the following.

Example I. Let f be a polynomial and assume V = {f = 0} is a

smooth submanifold of C n. Then V is interpolating for any weight p.

%f 8fn have no common zeroes, hence by Namely, the polynomials f, ,...,8z n

Hilbert's Nullenstellensatz [29] there exist polynomials g0,gl,...,g n

such that

8f 8f g0 f +gl ~z + "'" + gn 8z - i.

1 n

This identity implies IVfl ~ s(l+Izl) -m on V for some s > 0, m ~ 0.

10

~f af) is the gradient of f and !Vf! its length. Here Vf = (8Zl '~Zl] Since we are assuming that all weights p satisfy the condition

log(l+Izl) = O(p(z)) the above assertion holds. Similarly for alge-

braic submanifolds of {n.

We should mention here that interpolation problems for algebraic

varieties in ~n are completely understood. Ehrenpreis in [i0] , and

then Palamodov [21], Liess [20] and Bjorck [6] have given proofs of the

following statement. Given an algebraic variety V (with multiplicities),

there are finitely many algebraic varieties V., UV = V and differen- 3 3

tial operators with polynomial coefficients Qj (D) such that the neces-

sary and sufficient condition for an analytic function @ on V to

have an extension 9 ( A ({n) is that for all j it satisfies the P

estimates

L , rQj (D),~(z) i ~ Ae Bp(z) , z ( V..3

When one can take all Qj (D} = identity operator, the variety is inter-

polating. A particular case occurs when V : {f = 0}, f polynomial

without multiple factors [5, 21], Since in the above definition of

interpolating varieties, the multiplicities are not taken into account,

one can always assume that f has no mt]itiple factors and hence every

algebraic hypervariety is interpolating.

Example 2 Let z (z',Zn) , z' ( ~n-i (cn-l) �9 = , g 6 A and p(z) P0

>_ p0(z') + log(l+[Znl) then

f(z) = z g(z') n

belongs to the space Ap(~ n) and V = {f = 0} is an interpolating

hypersurface since I vfl >_ 1 throughout.

We remark that when the conditions of Theorem 1 are satisfied for a

weight p, they are automatically satisfied for any weight q ~ p. It

follows that V is an interpolating variety also for Aq({ n) . In

the case of one variable it is easy to see that if a variety V is

interpolating for a weight p, it is also interpolating for any weight

q ~ p. We don't know whether this is the case for n > i.

Problem i. let V be a interpolating variety for A (C n) (n >i) P

and q another weight satisfying g > p. Is V interpolating for

A ({n)? q

What happens in an interpolating manifold V for weights smaller

than p

example due to Demailly [8].

Example 3. Let V _c {2 be defined by the equation

z] z 2 e + e - i.

V clearly satisfies the hypothesis of Theorem 1 for p(z) : [z I .

the other hand [8] shows that if e is an analytic function in V

isfying, for some integer m and c > 0,

may be very hard to decide. There is the following beautiful

On

sat-

]r (z) I < e(l+Izl) m (z (V)

then e is the restriction of a polynomial of degree ~m. In particular

the only bounded functions on V are the constants.

Finally, the method of proof of Theorem I is based in the fact that

V is a holomorphic retract of a neighborhood. This can only occur if

V is actually a smooth submanifold of {n [13]. We also would like

to point out that our method is related to Skoda's work [24]. Professor

Skoda has kindly informed us that J. P. Demailly has generalized our

proof of the existence of a holomorphic retraction in that context [9].

3, We will discuss the question of the necessity of condition (12)

for interpolating submanifolds of C n and some geometric conditions

related to this condition in the next section. It is clear that the

main difficulty to prove the necessity of any kind of condition is the

construction of sufficiently many test fanctions. In the case of one

variable this was solved very easily due to the fact that zero-one func-

tions were at our disposal (see e.g. [3, p. 124]).

In this section we will consider a particular kind ofhypervarieties

(not necessarily smooth) for which sufficient conditions for interpola-

tion analogous to (12) can be found and one example where we can find

a condition that is both necessary and sufficient.

Recall that to simplify the exposition we are assuming throughout

that the weight p(z) : Izl . In [2] and [5, Section 7] we discussed

the hypervarieties V : {f = 0] defined by a pseudopolynomial (z:(s,w)

~n-i x {)

(32) f(z) = f (s,w) :: m

fj(s)w m-3 ,

j=O

12

where the f. are entire functions of exponential type in {n-1 nor- 3

malized by the condition

m (33) [ ifj(s) i ~ a exp(-blsl)

j=O

for some a,b > 0. The function f being a polynomial in w has a

well defined discriminant whose square s is a polynomial in the

coefficients f. [29], hence A(s) is also an entire function of ex- 3

ponential type. It has been shown in [5, Section 9], [2, Chapter 4]

that the following condition is sufficient for V to be an interpolat-

ing variety

(34) There are constants c,d > 0 and q z 0 such that for every

0 < s < 1 we have

max l~%(s) I >_ cs -q exp(-dlsl) .

B ( s , s )

If the fj are exponential polynomials this condition is satisfied as

soon as A(s) ~ 0 [33]. This condition says that on the average two

points in V cannot get too close in the euclidean metric unless they

are comparably close to each other by measuring distances along the

variety. We will see later that this condition is related to (12).

Let us discuss now an example where a more subtle version of (34)

is both necessary and sufficient. Let f(s,w) be defined in C 2 by

(35) f (s,w) : (w-g (s)) (w-h (s)) ,

and we assume F(s) = h(s) - g(s) ~ 0. Both g, h are entire functions

of exponential type in C. Consider the condition:

(36)

f(s,w) = 0}. Then V is an interpolation variety for A (~2)

only if (36) holds.

The map a(s) ~ ~ F(s)a(s) of the space

{a entire in C : la(s) [ ~ A exp B(Isl +Ig(s) I) for some A,B ~ 0}

into itself, has closed range.

THEOREM 2. Let p(z) = Izl : (Is12+lw12) I/2 and V = {z ( C 2 :

if and P

PROOF. Write q(s) : Is} + }g(s) [, which is essentially p(z)

when w - g(s) = 0. Assume the interpolation property holds. Let

a(s) be an entire function with la(s)F(s) I ~ Ae Bq(s) Define an ana-

lytic function on V by

13

~ (s,w) : ii (s)F (s) if w = g(s)

if w = h(s) .

Since ~ satisfies the correct growth conditions there is an extension

( ip(C 2) with %IV = ~.

From the mean value theorem we have that if lWl-W 1 ~ i, iw2-wl ~ i,

Bl(ISl+iw[) l+(s,w I) - ~(s,w2) i _< AllWl-w2ie

Thus if IF(s) I _< 1/2, we have

i~(s)F(s) I = l~(s,g(s)

= l~(s,g(s)

- ~ (s,h(s))

- % (s,h(s)) Bl(ISl+bg(s) j)

Allg(s) -h(s) le

Hence,

l~(s Bl(lsi+ig(s) I)

I -< Ale

But, if IF(s) I ~ 1/2, the division estimate is clear. This proves

(36).

To prove the converse. First, we observe that V 1 = {w-h(s) = 0]

is an interpolation variety, e.g. by Theorem 1 or by the above mentioned

results in this section. Hence, given ~ on V, we can extend ~IVl

to a global function %1 and consider ~ - 41 . Therefore, we can al-

ways assume without any loss of generality that ~ = 0 on V I. But, if

this condition is satisfied there is an entire function a such that

<~ w:g(s) : ~(s,g(s)) : ~(s)F(s) .

Since ~ satisfies the required growth condition

l~(z) I _< Ae Bp(z) , z ( V

we conclude from (36) that

~llg(s) i I s (s) I -< Ale

Then, as V 2 : {w-g(s) : 0} is also an interpolation variety we can

extend ~, considered as a function in V 2 to an entire function

A(s,w) of exponential type. Set

14

+(s,w) : A(s,w) (w-h(s) ,

clearly �9 ~ A (C2) . Furthermore P

+ = 0 = ~ on the set V 1 = h(s) - w = 0},

and, on the set V 2 = {g(s) - w = 0} we have

% : (g(s)-h(s))A(s,g(s) ) = F(s)c(s) : e.

Hence ~ is the required extension, rJ

To conclude this secticn we would like to show' that there are in

fact varieties for which (36) does not hold. Taking g(s) : cos s,

the answer is given by the fo]!owing.

given by ~ w-~ Fc

entire function

THEOREM 3. Let q(s) : Is I + explIm s[, and Aq = {~ entire func-

tions on C : la(s) I < Ae Eq(s) for some A,B > 0]. Then there exists

an entire function F, of exponential type, such that the map A ~ A q q

does not have closed range. That is, there is an

such that @F ~ A but ~ ~ A . q q

PROOF. Let {Xn} , {yn} he sequences of positive numbers converg-

ing to ~, with the property

Xn < Yn < Xn+l < Yn+l' Yn < 2Xn"

Set Sn = Yn - Xn and, for a given

(37) ~n = {s = a +i~ : xn 0, define ~ = !~ (~ n n

e I~I < m + ~(Is log(S+Is!) }.

by

We then define in ~n' h n = unique harmonic function on ~ n

h = q on ~ . Then, set n n

with

(38) u(s)

: I hn(s) '

Lq (s),

n

s ~ u~ n

Clearly U(s) is subharmonic in {. We want to know some properties

of this auxiliary function U; in particular, that U >> q at many

points in ~ . For this, we will need to assume something about the n

shape of ~n' that ~n is large compared to the height of ~n" The

15

key is the following simple estimate.

LEMMA i. Let M : min{q(s) : s C ~ and Re s = ~ = x or n n n

: yn}, : Then, if gn > Wn we and w n 2 max{~ : s : o + i~ ( ~n

have

(39) U >

we have U = h . Enclose PROOF OF THE LEMMA. Recall that on ~n n

~ n b y t h e r e c t a n g l e Rn w i t h v e r t i c a l s i d e s o n o = x n , ~ : Yn a n d

W n

horizontal sides on ~ : • . Let h be the harmonic function on 2 n

R with h = M on the horizontal sides and h = 0 on the vertical n n n n

sides. We then have

h <_ h on %Q n n n

So, by the maximum principle h < h n n

clearly have

. Since ~ > w n we in ~n n '

~ ix +y ~ i

and (29) follows.

COROLLARY. U(s) # O(q(s)) if ~ : _ V n - x n > x c for some ~ > 0. n n

�9 ~ log Yn ~ log x (Yn < Xn )' we PROOF. Since for large n w n n

Xn+Y n x a . Let s Then = s can apply the lemma when $n > n n : ---2---" q(Sn) n

but

M n 1

U(Sn) > 2 - 2 q(Xn+i~n) ' where

q~ n

e : 1 + e(IXn+i~nllog(3+IXn+i~nl)) -

So for n large, we have

(Xn+i~n ~2 q ) ~ x log x . n n

Using once more that Yn < 2Xn we see that

3 U(Sn) > ~ x n log x and q(Sn) < -- x .

- n - 2 n

16

So U(s) :~ O{q(s)). []

LEMMA 2. Let {an] be the set of Gaussian integers located in

the union of the squares of center s = 2 n and half-side 2 n/2. Then n

there is an entire function F of exponential type with zero set precisely

{fan}, and it satisfies

(40) IF(s) I -< e -6 when I s-2nl s]logFs[ < ! 2n/2, 4

for some 6 > 0.

We omit the proof slnce it only involves standard estimates of

Hadamard products. We have already used properties of this function

elsewhere [3, Example 15].

We can now continue with the proof of Theorem 3. Set

_ Xn+Yn 6n 2 - 2n'

with

Yn - Xn = (Xn) 1/3

Choose s > 0 so small that the discs

(r Let q(s) = U(s). We claim that n

1 g< contain ~ = IS-Snl < ~ n

(41) There is ~ 6 A~\Aq such that ~F 6 Aq.

Namely, using interpolation we can find an entire function ~ such

that,

(42) ~(s n) = exp(sl~(Sn)) and J~(s) I _< c exp(~(s))

(see [3]). If we choose r < 6,6 as in (40), we will have

I~ (s)F(s) I _< Cl eBlsl in U~ n

< . From since ~(s) = hn(S) _ AJSnJ + elsllogJs I on ~n

~F 6 A . q

(38) it follows

The first part of (42) and the Corollary to Lemma 1 shows ~ / A . [] q

17

4, For the case of discrete varieties V = {ak} ~ C n, condition

(12) corresponds to the case where all the points are counted with multi-

plicity one and the following condition is then necessary and sufficient

for interpolation [5]

-cp(a k ) (43) IJ(ak) I ~ ~e ,

where J(z) the Jacobian of the defining equations, V= {fl ..... fn = 0],

f 6 A . For n : i, as mentioned, we can prove the corresponding 3 P

theorem without any restriction on the multiplicities [3]. This leads

to the following

Problem 2. Given V interpolating submanifold of C n

defined by (9) and (i0) is condition (12) then satisfied?

for A P

Even for hyper-surfaces and p(z) = Izl

rephrase it

Problem 3.

ever f(z) = 0.

variety for A p'

this is unknown, let us

Let p(z) = Izl, f 6 Ap such that Vf(z) # 0 when-

Suppose that V = {z ( C n = 0} is an interpolating

does there exist constants s,c > 0 such that

(44) IVf(z) I _> s exp(-clz I) whenever f(z) = 0?

We will discuss here some of the geometric conditions on V im-

posed by (44) and by the interpolation condition. To simplify matters

we will assume n = 2. Observe then that V is just an open Riemann

surface embedded in C 2, which we will consider with the induced metric.

The associated distance in V will be denoted by d.

First, note that (44) is really an intrinsic property of V, since

if g is any other function of exponential type vanishing exactly on

V and such that the multiplicity of the zeroes of g is one (possibly

with the exception of a lower dimensional set), then g is the product

of f by an exponential function exp(azl+~Z2+y), for some a,~,y ~ C.

Hence (44) also holds for g.

As a consequence of the construction in Theorem 1 of the open set

S(6,D,f) of which V is a holomorphic retract one has the following

relation between the "external distance" between two points in V (called

diastasis in [7]) and the distance d measured along the manifold V.

(45) There are constants Cl,C2,C 3 > 0, 0 < c I < 1 such that if two

-CllZJ points z,w ( V satisfy Iz-wl ~ sle , then

18

c41z] l~-wl ~ d(z,w) :~ CZe Iz-wl.

Of course, the first inequality is always true since d is given

by the induced metric. Calabi has shown that the diastasis between

different points is in fact an intrinsic property of V [7]. Namely,

given any isometric imbedding of V into fN (N = - is also allowed)

then the diastasis Iz-wl between two points of V remains the same.

This condition means that the manifold V cannot come back on itself

too often and corresponds to a similar condition in the case of one

variable, it is also related to the fact that the necessary and suf-

ficient conditions for extending a given function <~ can be expressed

in terms of the restriction of this function to all lines through the

origin [5, Theorem 7.1]. If one can guarantee that the estimate (i)

for ~ gives an estimate for the tangential derivaties of ~ then (45)

implies an estimate on the divided difference ~ (z)-~ (w) when z and Z--W

w are in the same line.

The question of the estimation of the derivatives of ~ is related

both to interpolation and to the curvature of the manifold V as we

will see shortly.

We recall that V is a one dimensional complex manifold and all

curvatures coincide. Hence using the definition given in [31] or re-

ducing oneself locally to the case of a graph and using [28, p. 823]

one obtains the following formula for the curvature K of V, V =

{f = 0}

(46) K = -2

if2 f -2f f f + f2 f z 2 ZlZ 1 z I z 2 ZlZ 2 z I z2z212

J~fl 6

As an immediate consequence, we have the following.

PROPOSITION i. If f is a function of exponential type and sa-

tisfies (44), the curvature of the submanifold V of C 2 given by

V = {z ~ {2 : f(z) : 0} satisfies

(47) 0 ~ -K(z) ~ Ae B!zl

for some constants A,B > 0.

8f PROPOSITION 2. If < ( V is a point where --~(~) = Ivf(<) I

and IK(z) I ~ R for z ( V N B(<;I), then V can be described by the

19

equation z 2 = g(z I) over a disk of radius at least (8R) -I/2 (we

recall B(<;I) {z ( ~2 = : Iz-<l < i).)

PROOF. We can assume < : 0 for simplicity. The tangent line

T to V at 0 is then described by T {z ( C 2 = : z 2 : 0} since by

hypothesis af = ~zq(0) = 0. Hence, near 0, V can be described by z 2

g(zl) . Let i be the largest disk in T of center 0 such that the

graph of g is contained in V N B(0;I). Denote its radius by r. It

follows that in i, 0_--f (z) # 0, where z = (zl,g(zl)). Let

~ : {z I ( ~ : (z) > �89 l].

Either ~ = A or ~ @ A # @. Choose w ~ 0A in the first case and

w E ~ I] s in the second. Integrating over the straight line segment

from 0 to w we obtain (with z : (tw,g(tw)) over this segment)

l~!f<w,g(w) 2 61 ~12h

61 0f 12) 1 d ~10z21 dZl

I _< 2 Iwl d 0 < Ivfl 2

Since lwl _< r we only need to estimate the integrand in terms of R.

We have on V,

8f 2 2 f2 f f f + f -2f f f d z2 Zl z2 ZlZl Zl z2z2 Zl z2 ZlZ2

dZl Ivfl 2 fz 2 l~fl 4

Hence, using (46) and the hypothesis of the proposition we obtain

d~ 1 Ivfl 2

_ R

This estimate concludes the proof of Proposition 2. []

20

Proposition 2 can be written in a way that shows its similarity

with the well known Ahlfors' lemma on the hyperbolic metric [i] where one

places and estimate on K from above, while here we have an estimate

from below. In our special case one has the following theorem.

THEOREM 4. Let V be a Riemann surface given as above by V =

{f : 0}, f ~ Ap(C2) , p(z) = Izl. Then there exist constants A,B > 0

such that for all z ( V.

- A e B l z l _< re(z) <_ 0

if and only if there exist s,C > 0 such that for each z ( V there is an

analytic map of the unit disk A : {s ( C : Isl < i}

and

: A ~ V n B(z;l), ~(0) = z,

-clzl [ ~ ' ( o ) 1 > ~e

Further, ~ can be taken to be schlicht.

If V is actually an algebraic manifold, it follows from Example

1 that IK(z) I = O((l+Izl) m) for some integer m. Vitter has shown that

if V is non-singular at infinity then actually IK(z) I : O((l+Izl) -2)

[28]. It is the fact that the curvature might grow at infinity which

does not allow us to use below the refined analytic methods form [ii] ,

[22], [32].

To find the relation between curvature and interpolation we need

to recall the definition given in [5, Definition 3.5] of the space A (V) P

and introduce new spaces A(k) (V). We consider the space P of all P

polynomials in 2 variables (since here V [ C2), with the norm

IIPII = I[~ cazal] : max{ Icala!}.

p(k) is the subspace of P of polynomials of degree Ak.

an entire function, then

IP(D)h(z)l : ll%h (~)(z)l < IIPII [ lh(~)(z)l at

Hence, if h ( A ({2) satisfies P

lh(z) I < AeBlzl

If h is

we get

21

BllZl IP(D)h(z) I _< A1 I]PIie

where A1, B 1 depend only on A, B. Let I be the ideal of entire

functions in A (~2) which vanish on V, denote by P the ideal of p z

all polynomials P such that

(48) P(D)h(z) : 0 for all h E I.

The ideal P remains the same if we replace in (48) the ideal I by z

the ideal of all entire functions which vanish on V, or even if I is

replaced by I the ideal of (germs of) analytic functions defined in z

a neighborhood of z which vanish on the germ of variety V defined z p(k)

by V. l~ote that z ( V if and only if P # {0}. We denote = z z

P N p(k) If ~ (A(V) is an analytic function on V then P(D)~(z) z

is well defined for every z ( V (or even z (C2). The space A (V) P

is then defined by (recall p(z) = Izl)

(49) Ap(V) := {Q 6 A(V) : there are constants A, B such that

IP(D)e(z) I < AIIPHe Blzl for all P 6 Pz' all z ( V}.

We can also define

(50) A(k) (V) := {~ (A(V) : there are constants A, B such that P

IP(D)~(z) I ~ AIIPIIe B]zl for all p ~ p(k) , all z (V}. z

Further we define A (') (V) = N A (k) (V). We clearly have P k~_0 P

(51) Ap(V) ~ A (')p (V) 5 ~ A (0)p (V).

Note that the space defined by condition (1) is precisely A(0) (V). In P

this notation, V is an interpolating variety precisely when the res-

triction map

p : A (s * A (0) (V) P P

is onto. The remarks above (48) show that

(52) p(Ap(C2)) c_ Ap(V) .

Hence, the following is self-evident.

22

PROPOSITION 3. A necessary condition for V to be an interpolat-

ing variety is that A (V) = A(0) (V) . In particular, it is necessary P P

that A [k}" " (V) = i [0~" " (V) for k : 1,2 ..... ~. P P

ing.

As a consequence of Proposition 2 one can easily prove the follow-

PROPOSITION 4. If V : {f = 0) is a Riemann surface defined as

above and satisfies (47), then A(~0 (V) : A(0) (V) . P P

Problem 4. Is the converse of Proposition 4 true?

Problem 5. If (47) holds and V is an interpolating manifold does

(44) follow?

Problem 6. If (47) holds and V is an interpolating manifold does

(45) fo!]ow?

Problem 7. Assume (47) holds, given s,c > 0

A,B > 0 such that for every pair z0,z I ( V,

does there exist

d(z0,z I) { se

implies there exist ~ ~ A(V), ~(z 0) : 0, :~(z!) : 1 and

l~(z) [ :~ Ae BIz I z 6 V t �9

An affirmative answer to Problem '7 would help to answer Problem 6

affirmatively.

Finally, there is one mQre consequence of the inequality (44) that

we want to point out, and it is the solvability of the i-equation on

V with exponential type bounds. In fact, as a consequence of the

Kodaira identity [12, 24] and the method developed in [14], one has the

following proposition.

PROPOSITION 5. Let d[~ denote the element of volume in V,

as above by {f : 0}, f E Ap(C2) , p(z) : Iz I. If w defined is

(0,i) form in V satisfying for some c ~ 0,

2 e_C ]z id~ (z) < lwl12 ;V IVf

then there is a solution u of the equation ~u = w such that

23

i j wl2 -clzl i I lw 2 d~(z) . . . . e-ClZldS~(z) e

v Ivfl ~ (l+Iz!2) 2 2 v Ivfl 2 "

In particular, if (44) and [vlwl 2 e-ClZld~(z) < ~ for some c > 0,

there are constants A,B > 0 and solution u to the above equation

such that

I lU!2e-AlZld~(z) S B [ ]wl2e-ClZldc;~(z) . V V

(Here lwi denotes the length of w in the induced metric.)

One can also prove the Kodaira identity in this case directly by

elementary considerations similar to [3, Lemma 2]. We omit the details.

Problem 8. Suppose the last assertion of Proposition 5 holds, i.e.

solvability of the T-equation with exponential bounds. Does it follow

that ~f satisfies the inequality (44)? What if we assume further that

the curvature satisfies (47)? This question is related to the following.

P~oblem 9. Let p, q be two weights in ~ (or ~n) such that

for every (~-closed) (0,I) form w satisfying

j lwi2e_Pd k <

we have a solution u to the problem 7u = w with the bound

[ lul2e-qdk ~ i lwl2e-Pdk,

what is the relation between the weights p and q? (Here dk

Lebesgue measure~

denotes

The result [14, Theorem 4.4.2] is the statement that

q ~ p + 2 log(l+Izl 2) suffices. This has been improved by Skoda [25]

to q ~ p + (l+g)log(l+[zl 2) + C(~) . The above question is really the

converse of these two results, that is, can we conclude for instant

that q ~ p?

5, The authors gratefully acknowledge the support received from

the National Science Foundation in the preparation of this paper. M.

Berenstein voudrait aussi remercier l'Universit6 de Paris VI et

sp6cialement le Professeur P. Le]ong pour leur hospitalit6.

24

io

2.

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4.

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Added in proof : The answer to problem 3 (and hence problem 2) is negative.

Take f(z,w) = w 2 - sin z sin %z/z , where ~ is a Liouville number. It satisfies

(32) - (34) but doesn't satisfy (44).

C. A. Berenstein Department of Mathematics University of Maryland College Park, MD 20742

B. A. Taylor Department of Mathematics University of Michigan Ann Arbor, MI 48109

FONCTIONS PLURISOUSHARMONIQUES ET IDIAL DEFINISSANT~ UN ENSEMBLE ANALYTIQUE

par Mongi B L E L

INTRODUCTION .

On se donne un courant e positif ferm~ de dimension pure p (0$ p~n-l) . On

lui associe un potentiel canonique U obtenu en reeolant par une partition de l'uni-

t~ [( Oj)j Ej famille localement finie ]les potentiels canoniques locaux ,

_ [ nj(x)d~(x) -1 Uj(z)

O~p en I~ - • J

~p la mesure de la sphere unite dans ~P .

la mesure trace associEe au courant 9 dEfinie par

~P i d,d,,izi2 ~ = e ^ p-q-- et ~ = ~

�9 Djune fonction indEfiniment diffErentielle ~ support compact,

positive, le support de 0j est inclu dans le support de qj et qj est identi-

quement ~gale ~ I dans le support de O. �9 J

H.SKODA ~8j montre que U est presque pshdans le sens qu'il existe une fonction

= psh continue ~o telle que U + ~o W soit une fonction plurisousharmonique.

Dans le paragraphe 7 de [8] , il ~tudie la liaison entre le fait que ~tu soit somma-

ble ou non pour t>O au point Zo et la densitE'(ou hombre de Lelong) ~(Zo) du

courant @.

Dans le cas p = n-I et @ est le courant d'intEgration sur un ensemble analy-

tique,PoLELONG [4] montre que le potentiel canonique v~rifie l'~quation id'd"U = @ .

Soit X un ensemble analytique de dimension pure p (p § k = n) et soit J

le faisceau d'id~aux des fonctions holomorphes nulles sur X . Un th~or~me profond

d'Oka dit que J est coherent, de sorte que les thEor~mes Aet B de H.Cartan s'appli-

quent ~ J .

En vue de construire des sections globales de croissanee donn~e; H.Skoda redEmon-

tre en fait le thEor~me A @our J sans utiliser nile thEor~me d'Oka nile th~or~me

de H.Cartan, mais en utilisant le potentiel canonique et les estimations L 2 .

avec :

27

Ii serait int~ressant de suivre la m~me procedure pour le th~or~me B pour J

de mani~re par exemple ~ obtenir des versions ~ croissance. Ce th~or~me est utile

pour l'~tude des ~quations de convolution (probl~me de la restriction avec eroissance).

On est alors amen~ ~ poser le probl~me suivant :

Si on se donne Hne fonction f analytique nulle sur X ; alors la fonction

Ifl 2 e -2~U est-elle localement sommable ?

La r~ponse est positive sur le compl~mentaire de ~(X) o~ ~(X) d~signe l'ensem-

ble des points singuliers de X .

On d~si~ne par X x l'ensemble des Doints r~guliers de X .Dans la premiere par-

tie de ce travail on va utiliser le potentiel

-V Ce potentiel a ~t~ normalis~ de sorte que e

-~V mais poss~de la propri~t~ limite (i.e. : e

tout ~ avec 0 < ~ < I).

Le probl~me est de savoir si

-V singularit~ de e

si

V = 2kU

soit non localement sommable sur X

est localement sommable sur X ~ pour

f s'annule suffisamment sur X pour "tuer" la

Ii est ais~ de voir que la r~ponse est positive si X est une hypersurface ou

X est sans singularit~s.

Dans la premiere partie nous montrons que la r~ponse au probl~me pos~ est n~gative

en codimension quelconque lorsqu'il y a des singularit~s. Plus pr~cis~ment on d~montre

le th~or~me suivant et on donne un exemple qui v~rifie les conditions du th~or~me.

THEOREME 1.2.

Soit X un ensemble analytique de ~n de dimension pure p , (p<n - l) . On

suppose que Vx(O) = c, c >O . Et soit f une fonction analyti~ue nulle en 0 telle

que ~f(O) = m. Alors si m<kc - n ( k = n - p la codimension de X ) If]2 e-V

n'est pas localement sommable au voisinage de O .

Puis. on donne une condition suffisante pour que la r~ponse au probl~me pos~ soit

positive.

Le probl~me B pour J semblerait done ~chapper ~ une m~thode semblable ~ celle

de H. Skoda.

28

Dans la deuxi~me partie de ce travail on ~tudie la liaison entre la sommabilit~

de e "~ (si ~ est une fonction plurisousharmonique) et le comportement de ~ sur

les branches irr~ductibles de X = {x / ~(x) > 0} (ensemble des points de densit~

de ~ ) et leur codimension. Dans le cas o3 X est un ensemble analytique de dimension

pure p , on met en ~vidence la difference entre le comportement de U et @ , si U

d~signe le potentiel canonique associ~ ~ IX] . Pour ~tudier ce Drobl~me on sugggre

deux questions :

I~ Si X est un ensemble analytique, irr~ductible de dimension pure p (OSp~n-l)

et si c = inf ~ (x) c >0, alors ~ - cU est-elle une fonction presque plurisous- x6X ~ '

harmonique "presque psh" dens le sens qu'il existe une fonction @ psh telle que o

~o m 0 et ~ - c U + ~o soit psh.

2~/ Sous les m~mes hypotheses que la premiere question,on se demande par analogie

avec le potentiel canonique de X :

�9 Si ~(x) < 2k alors e -~ est-elle localement sommable. (p + k = n) ?

Alors on d~montre que [e meilleur r~sultat possible est celui de H.Skoda ~ savoir que

pour tout ~ psh :

�9 Si ~(x) <2 ; e "9 est localement sommable

�9 Si %) (x) ~ 2n; e -~ n'est pas localement son~nable.

Nous renvoyons le lecteur ~ P.Lelong [5] pour les d~finitions et propri~t~s g~n~-

rales des courants positifs et des fonctions plurisousharmoniques, "psh".

Je tiens ~ exprimer toute ma reconnaissance ~ M. H.SKODA pour ses conseils avis~s et

l'aide constante qu'il m'a apport~e.

I~re partie I

L'objet de ce paragraphe eat de motiver le probl~me pos~ en montrant que si X

poss~de la proprigtg suivante :

"Pour toute fonction f analytique nulle sur X , Ifl 2 -2kU e localement sommable

sur X" . Alors on a une d~monstration de

tiel canonique et les estimations L 2 .

Position du probl~me.

Soient ~ un ouvert de Stein (~ C ~n) et

loealement fini, de ~ par des ouverts de Stein.

HI( ~, J) = 0 n'utilisant que le poten-

(~J)j ej un recouvrement assez fin,

29

Soient ( ~;)j une partition de l'unit~ subordonn~e au recouvrement (~j) jEJ jEJ

et soit une donn~e de Cousin additive (fij)j,iEJ xJ avec f..l],, nulle sur X et

f..~] EH(~j). f.lj + fjk + fki ~ 0 . On notera ~jk = ~'] n ~k ~j,k "

On cherche une solution (fj) EH(~j) pour tout j telle que f" - fk ] = fjk

et f. nulle sur X pour tout j . ]

Dans la d~monstration on utilisera le th~or~me suivant d@ ~ H8rmander. / \

THEOREME l. I.

Soit f une forme ~ ferm~e dans ~ (f de type (0,|)) v~rifiant :

I Ill 2 e -~ d~ < +

oO ~ est une fonction plurisousharmonique dans ~ . II existe u

~u = f et 2 I 'u'2 e - ~ ~ (1 ' ' I +,z,2) 2 dX ~ Ifl 2 e -~ d% .

LEMME |. I.

telle que

Soit ~ un ouvert pseudo-convexe de ~n (~,) une partition de l'unit~ su- ' ] jEJ

(Dj de ~ . Alors il existe une fonction plurisous- bordonn~e au recouvrement )jE J --

harmonique ~ de elasse C ~ dans ~ t_eelle que E I~ ~jl 2 ~e* dans j 6J

La somme ~tant localement finie.

D~monstration du lemme I.I.

Soit O une fonction psh dans ~ exhaustive de classe C a sur ~ . On prend

de la forme * = X o p o~ X est une application de IR --~ IR , convexe, croissante

de classe C restreinte ~ la condition

x(t) ~ sup. log ( E I~ ~jl 2) m

p(z)<t j E J

La borne sup~rieure ~tant finie puisque {z E ~/ p(z)~ t} est un compact.

Ce qui termine la d~monstration du lemme.

On revient au probl~me pos~ : une solution C~ du probl~me de Cousin gj est

donn~e par gj = ~"--~ f~j Soit f la forme ~ ferm~e sur a d~finie par f = ~gj dans ~j (car

~gj - ~gz = ~fj~ = 0) de sorte que f = ~ (~ ~ ~)f~j sur ~.] .

0n a encore f = $ ~j f = ~ ~j(~)~s avee f~J 1 f~j sur ~j~ ] s 0 ailleurs.

30

Par l'in~galit~ de Cmuchy

if12 ~< ( ~,g,j r ]~ ~s 2) . ( s Xg-Xj �9 ['~'gj[2 )

o~ Xj (respectivement Xg ) d6signe la fonction caract6ristique du support de

�9 (resp. ~%). ~ d' ~3 ] ~ ~J donc, apr~s le lemme l . l .

Xj XZI[s 2) �9 Ifl 2 ~ e* ( Z,J

Donc

(I) Ifl 2 e-2#e -V dl~<E % Xj lfgj e d% .

Z,j ~j

On a suppos6 que pour route fonction h analytique nulle sur X, lhl 2 e -V est

localement sommable sur X .

Le support de X% Xj est compact dans Q~j , fzj est une fonction holomorphe

nulle sur X .

Done I X~ Xj I f~jI 2 e-V e -~ dX <+

Jg

On choisit alors * de sorte queen plus du lemme i.I., on air

~Z,j I~j X~ Xj If~jl 2 -v e-~ e dZ < +~176

i.e. on chOiait * ~ croissance assez rapide pour faire converger la s~rie

E X. lfj~l e e dX .

g,J ~j

Done d'apr~s le th~or~me de H~rmander, il existe une fonction g qui v~rifie

(2) ~g = f

(3) et flgl 2 e-~ e-v (l+Iz12) 2

d~ < +

(2) 4=> ~g = ~gj sur ~j pour tout j . Donc ~(g - gj) = 0 sur ~. ]

tout j .

pour

Soit

(4) I "fj = gJ - g I ; ~f.] = 0 et f.3 - fk = gj - gk = f~k

reste ~ montrer que f. est nulle sur X . J

D'apr~s (4) il suffit de montrer que gj et g sont nulles sur X .

gj = E ~% fzj est nulle sur X car fzj est nulle pour tout j et

que g est nulle sur X . D'aprgs (3) Igl 2 e -v@e~oc(~) Reste montrer

est non sommable en tbut point z de X .Donc g(z) = 0 pour tout z

s de J .

-V et e

de X .

31

Alors f est nulle sur X .

Ainsi on donne une d@monstration de HI( ~ , J) = 0 en utilisant le potentiel canoni-

que et les estimations L 2 g condition que la propri@t@ suivante soit v~rifi~e.

Pour tout ensemble analytique X de dimension pure p et pour toute fonction

analytique nulle sur X ;if] 2 -V e est localement sommable sur X .

/

DEFINITION.

On dit qu'une fonction f sur ~ est faiblement analytique sur X

point r~gulier de X , il existe un voisinage de ce point sur lequel f

que. Aux points singuliers la fonction est supposge seulement continue.

si pour tout

est analyti-

LEMME 1.2.

Soit X l'ensemble analytique de dimension pure p d6finie par

= . = z = O} . Alors au voisinage de tout point de X, e -V(z) X = {z c ~ n / Zp+l . . n

K est ~quivalente ~ avec K une constante strictement postive et k la co-

d(z,X) 2k

dimension de l'ensemble analytique X .

D~monstration.

Pour r assez petit, on prend le potentiel U au voisinage du point O

U(Z) = -2k ]

f

~P(x)/P!

~p X NB(O,r) (IZl_Xll2 + + 2 �9 .. IZp-Xpl + dE) p

x = (Xl,X2,...,Xp,O,...,O)

avec d 2 = Ia I [2 + [ z 2 ]2 .... + [Zn[2 = d(O,X)2

d(z,X) d6signe la distance du point z ~ l'ensemble analytique X .

On pose z' = (z|,...,Zp,O,...,O) E ~n . On suppose ]z] < r et r > r O O

Donc

B(z',r - ro) C B(O,r) C B(z',r + ro) on pose r I = r - ro, r 2 = r + r O

Donc

-2k f BP(x)/P!

U(z) @ ~p B(O,rl)AX* (]Xl] 2 + .,. + lxpl 2 + d2) p

et

-2k [ +[XP [2 U(z) ~--~p ([xll2 8P(x)/P!

B(O,r2) nX x + "'" + d2)p

32

2k I BP(x)/P! Soit l'int~grale Jr = - tOp (in]2 + d2)P

B(O,r) ~X ~ Alors

f r t 2p-1 d t I r 2t t 2p-2 d t Jr = - 2k k "

o (t2+d2)P o (t2+d2)P

On fair des intfigrations par parties successives , on trouve �9

(1.2.1.) Jr = Ip + Ip_l + ... + I l avec

k r2J -2 (1.2.2.) lj = j---Z- T ((r2+d2)j_l) pour p>j >~2

I 2 + d2 et I 1 = - k . 2~ dt k log r d 2

(t2+d 2)

(1.2.3.) I l = 2 k log d - k log(r 2 + d 2) .

Donc au voisinage de O

e -V(z) =

LEMME 1 .2 .1 .

K K

d 2k d(z/X) 2k avec K > 0 .

Soit X un ensemble analytique de dimension pure p

au voisinage de tout point r~gulier x de X, on a : o

V ~ > O , il existe (r >0, K|

K2 -V(z) Kl

[d(z,X)]2k(l+~ ) ~ e ~ [d(z,X)]2k/(l+2~2)p

- 2k [ ~P(x)/p! avec V(z) : ~p )B(x,r) ~X ~ ]z - xl 2p

dans ~n.(p+k=n). Alors

> O, K 2> O) telles que :

( 1 . 3 . 0 . )

D~monstration.

Soit x E X m ; x = O. o o

Pour r assez petit; X ~ B(O,2r) est le graphe d'une application h :

: B(O,2r) ~r > ck telle que h(O) = O et h'(O) = O.

On suppose de plus que h(x) # 0 au voisinage de O.

= .= z =O} To(X ) = {z eEn/zp+ 1 .. n

d~signe l'espace tangent ~ X en O.

Soit ~ la projection canonique

: ~n = ~p • ~k > ~p

(x,y) ~---->. X

33

et soit ~ l'application de ~P x{O}cGn dans Gn telle que r = (x,h(x)) .

Alors ~(B(O,2r) AG p x{O}) C XAB(O,2r + 6) et ~(B(O,2r) ~r DXAB(O,2r}.

On peut supposer que S = r , en effet pour x ~ r (r assez petit) h(x) ~ Kr 2

Soit alors pour Ix ] < r <~ , on a [h(x)[ < r

D'autre part, on a :

( 1 . 3 . 1 . ) U(z) = -2k I A(x) oP(x)

J V(z)

COp p! Ir - (x,h(x) iZp

B(O,r) O r o (X)

avec A(x) = ( E T j~(x))I/2 ; I = (il, ,ip) I

] 0 ; il existe r assez petit telle que

1 ~< A ( x ) x< 1 + E: ( 1 . 3 . 2 . )

I~ On d6montre l'in6galit~ de droite de

2k [ ~P(x)/p ! ( 1 . 3 . 3 . ) V(z) K - ~--

P i(IZl-Xl2 +[z2-h(x) I2)P

B(O,r) AT (X) O

avec z = (Zl,Z2) EGP x Ck

et r le rayon telle que (1.3.2.) soit v~rifi6e.

On prend z telle que [z[ <r et r > r . O O

Soit (Xo,h(Xo) le point de XAB(O,r) telle que

On fair le changement de variables y = x - z I dans

( I . 3 . 0 . ) d ' a p r ~ s ( 1 . 3 . 1 . ) e t ( 1 . 3 . 2 . ) , on a

]z - (Xo,h(Xo)) I = d(z,X) = d.

(1.3.3.) on aura :

2k I (1.3.4.) V(z) x< - ~--

P B(O,r-r o) ATo(X)

ear I z i< r ~ .

BP(y) /p!

( l y ] 2 +]z2 _ h (Y+Zl ) i2 )P

34

On applique tout simplement l'in6galit6 du triangle on aura :

Iz 2 - hiy + Zl)l(Iz 2 - h(Xo) ] + [h(Xo) - h(Zl) I + lh(Zl) - h(y + Zl) I.

Mais Iz 2 - h(Xo) I6 d

lh(Xo) - h(zl) I ~ ~ Ix ~ - Zll ~ Ea

lh(zl) - h(y zl) I 4 ely I .

Done Iz 2 - h(Y+Zl)I 2 <2(I + E)2d 2 + 2921yl 2

Alors d'apr6s (1.3.4.) et (1.3.5.)

~p(y)/p! V(z) $ - ~k I 2

P ((|+2g2)]y + 2(I+c)2d2) p B(O,r-ro)n To(X)

Done d'apr~s le lemme (1.2.) , il existe une constante K I> 0 telle que

KI e -V(Z)

d(z,x) 2k/(]+2E2)p "

Donc d'apr6s (1.3.1.), il existe une K >0 telle que

e_U(z) ~ K d(z,x)2k/(]+2[2) p

(1.3.5.)

C.Q.F.D.

2~ On dfimontre l'in6galit6 gauche de (I,3.0.), d'apr~s (1.3.2.) et (1.3.1.)

( - V(z) $ 2k(l+s I GP(x)/p!

Wp j ([z]_xl 2 + iz 2 _ h(x) i2)P

B(O,r) nT (X) o

On fair le m~me ehangement de variables que dans la premiere partie. On aura s

(1 .3 .5 . ) - V(z) ~ 2k(l§ t BP(x)/P! ~P ] (Ixl 2 + Iz2-h(X*Zl)12) p

B(O,r+ro) nTo(X ) Gar Iz] <r ~

LEMME 1.2.2.

Pour r et 6> O les deux constantes donn~es ci-dessus (on suppose g < ]/2),

on a : ~x@B(O,d)

(1.3.6.) Iz 2 - h(x + Zl) l $ d/2 .

38

D~monstration du lemme (1.3.1.)

On a ]z 2 - h(Zl) [ >d , ear (Zl,h(z])) est un point de X et

lh(z]) - h(x,z])[ ~ clxl ~ d/2 .

_ d d Done Iz2 h(x + z,) l ~ l z 2 - h ( z l ) l - ] h ( z 1 ) - h ( x + z,) l a d - ~ = ~ . On r e v i e n t

la dgmonstration du 2~ .

(1.3.7.) -V(z) , < - - 2 k ( l + g )

P

BP(x)/p! + - -

(Ixl 2 + ( d / 2 ) 2 ) p

B(O,a)F~o(X) (

S o i t V 1 2 k ( l + a ) ] g P ( x ) / p ! Up J ( x 2 + ( d / 2 ) 2 ) p

B(O,d) NT (X) o

d'apr~s le changement de variable x = dy .

C.Q.F.D.

2k(1+s I ~ P ( x ) / p ! % (Ixl 2 + Iz2-h(x+zl)I2) p

d< x[ <r+r ~

( 1 . 3 . 8 . ) VI(Z ) = C 1 > 0 avec

2k(1 + c)

P

Soit V2(z ) =

d<lx/<~+r ~

p u i s q u e fz 2 - h ( x + z i ) I >~ O

2k(1 + ~) On a : V2(z) ~< co

P

V2(z) ~ 2k( l + g)

C I ind~pendante de d .

BP(x)/p!

( [xl 2 + l : :2 -h(x+z l )12) p

I Bp(x)/p!

Ixr2p d<]x]r+r ~

I r + r o t 2p-1 d t

d t2P

= -2k(l + E) log d + 2k(l + E) log(r + ro) .

Done il existe K~ >0 telle que

+V2(z) K~ e

d(z,X) 2k(l+E) (I .3.9.)

Done d'apr~s (].3.7.) ; (1.3.8.) ; (1.3.9.) , il existe une constante K 3 0

-V(z) K3

e $ d(z,x)2k(l+e ) - K 2

Done il existe K 2 > 0 telle que e-U(z) 4 C.Q.F.D d(z,x)2k(l+g )

COROLLAIRE ].l.

Si f

sommab le sur

telle que

est une fonction analvtique nulle sur X , alors IfI2e -U est localement

X ~

86

D~monstration.

Puisque f est nulle sur X ; il existe une constante C > O telle que

f(z) ~ c d(z,X)

If]2 e-U(z~ CK2 ,

d(z,X)2(k-l) +2ke l

il suffit de prendre ~ assez petit telle que E < ~-~ , ainsi

sera localement sommable sur X ~ .

CK 2

d(z,X)2(k-l) +2kE

Autre formulation du lemme 1.2.1. Soit X un ensemble anlytique de dimension pure

Alors au voisinage de tout point r6gulier x , on a : o

Vg > O ; il existe (r >O, KI> O , K2> O ) telles que :

p dans gn . (p+k=n).

K2 K1 f e-U(z) ~ ]2k-~ avec U(z) = -2k BP(x)/p! . ld(z,X) l 2k+C Id(z,x) -~p ]z_xl2p

B(xo,r) ~ X*

et z assez voisin de x o

On s'int@resse maintenant aux points singuliers de X et g voir le comportement

de Ifl 2 e -V au voisinage de ces points.

Notons que la prop~i~t~ plus forte : d(z,X)2e -V localement sommable est fausse d~j~

pour une hypersurface.

Exem~le :

Darts ~2 , on consid~re la fonction f(z|,z2) d~finie

-| X I 0 est un point singulier de X = f (0).

X = X I U X 2 avec

X] = {(z I,z2) ar = O} 2.23

X 2 = {(Zl,Z2)~r /z2-z ! = O} .

Et on a d(z,X) = min (d(Z,Xl) , d(z,X2) ) et d(z,X]) = Iz]l .

On va montrer qu'il existe un ouvert dans la boule B(O,r),

petit telle que d(z,X) = d(Z,Xl) pour tout z dans cet ouvert.

2 3 P ~ = z].(z2-z I)

r positif assez

37

Supposons que d(z,X) < ]Zl[ avec [Zll < I/2 (I)

Ii er xE~ 2 telle que x~=x~ et IZl-XlJ<IZl (2)

[z2-x2[<[z l (3)

(l) et (2) nous donnent que Ix!l <2 Iz]I < i.

Comme ]x][3 = Ix212 , on en d6duit que Ix2[ = x113/2 <(2[Zl[) 3/2 < 21zl] �9

(car 2[ZlI<l et 3/2 > 1 ) d'o~ d'apr~s (3) IZml <3 [Zl] .

Par suite si ]z2[>3[Zl[ et [ZlI<l/2 , d(z,X) > ]Zll .

Soit V {(Zl,Z2) tq [z2[>B]Zl[}OB(O,r) .

I = ~ d(z,X) 2 e -V(z) d I (z)~ ~d(z,X) 2 e-V(Z)dl(z)

{

Alors ) ] B(O,r) V

Puisque X est une hypersurface , alors

ill 2 e-V (z) V(z) = log + ~ o3 ~ est harmonique, donc ~-~-~ Ifj

une constante positive.

f IZl 12 dX(z) V CB(O,r) . Donc I ~K V IZl]2 Iz2_z112 3 2

Comme I a + bt x~ lal + Ib[

tz2 I)3 IZl ] �9 l dX(z) ~K Alors I ~ K 2 3 2 V lz2 - Zll

Dans V ; ] + Iz21~ 3 < C avec C> O.

~onc I ~ C K. [ dk(z)

J V IZ214

int gro par _iz21/3 rapport ~

! 24 tdt = Jo

o~ K est

I dk(z) v Iz214(l+b2 ]/33)2 "

I d~(z2) Iz2 12 et = +~ Donc I = +~

Pour r6soudre le probl~me, on va distinguer 3 cas, suivant que p = O, p = n-!

ou O~p$ n-2 . Dans les 2 premiers cas la r6ponse est positive tandis que dans le 3e

cas, la r6ponse est en g6n6ral n~gative.

Ier cas : p = O.

Alors X est la r~union de points isol~s . Donc il n'y a pas de points singuliers et

la r~ponse est positive.

38

2e cas : p = n-l._

Rappelons que si X est une hypersurface l(Xo) est principal avec l(Xo)

et l'ensemble des fonctions holomorphes en 0 et nulle sur X --O

On en d6duit que si f est une fonetion holomorphe nulle sur X , Ill 2e-V

lement sommable sur X . En effet :

D'aprgs H.Skoda [7] ; V log Igl 2 + = avec : m est une fonction harmonique

-1 �9 X = g (0) et g engendre

l'id6al I(X ).

Donc si f~ I(~) , il existe une fonction h holomorphe telle que

Ifl2e LV = lhl2.e -~ qui est localement son~mable sur X .

est loca-

f = g.h

Consequences.

Si X

ho!omorphe sur

est u ne hypersurface Hq( ~, J) = 0 pour tout q ~I . Et toute fonction

X est la restriction d'une fonction holomor~he sur ~ .

3e cas : 0 <p $n-2.

Nous faisons un rappel de la d6monstration pour le lecteur des lemmes 1.3. , 1.4. qui

se trouve bien d6taill~ dans H.Skoda [8] , Proposition 7.1.et lemme 7.1.

avec

(2.] .)

- ~R do(t) O(R) (2.2.) ] o <IzJ+t> ~p (IzI+ ~)2p

On en dfduit

(z.3.) d~(t> ~ 20 0 (izl + ~)2p 0

-2p /O

LEMME 1.3.

Soit @ un courant positif ferm~ de dimension pure p . On suppose v@(O) > c

c > O. Alors l'intfigrale suivante

k P! IR do(t) 0 . -~ (izI+t)2 p ' , ~ 2kc log(l + )

- 4p.k P! o(R) ~P R 2p

D~monstration.

On intggre par partie l'intfigrale de 2-I . On trouve :

I R ~(t)dt + 2p

o (]z[+ t) 2p+I

o(t)dt t2P(t +]z])

1 ] O(t) dt t 2p (t+Izl) 2p t +--~I �9

39

En remarquant que (t + Izl) 2p - t2P ~<2p Iz[(t +Izl) 2p-I

On obtient :

I R do(t) I R a(t)dt 2 IR (2.4.) >,2p 4p Izl O (t +Iz[)2P 0 t2P( t +Izl) 0

Comme •(t)/t 2p est une fonction croiss@nte de t , on a

. p! O(t) (2.5.) P' (~(R) >~ >i e. ~P R 2p ~P t2P

Alors on a :

k p! d~ ~. 2 k e 0 ~P a 2p 0 P ,V p 0 (t +Izl) 2p t---~z-~- 4pk --- .Izl.

(7 (t)dt

t2P(t +Izl) 2

dt

On minore en sommant de 0 ~ +oo dans la derni~re intggrale , on aura :

I p ! O (R) (2.6.) k p! R do(t) >~ 2k c log (I + iRz~ - 4pk -- P zP 0 (t +Izl) 2p zP R 2p

LEMME 1.4.

Soit X un ensemble analytique de dimension p et si

trace assoei6e au courant @ = IX] Alors

V(z) = -2k I do(x)

-~P IxI<R [z - x] 2p

C.Q.F.D.

est la mesure

W(z) une fonction continue

i ~(z) = T d'd"log I z] 2

= i : Soient p ( z ) I I <a aP(z - x ) ^ @(x) e t • kp(Z)~p

Alors VS > O ~ r > 0 telle que pour tout r <r et presque tout z tel que o o

I zl < r, on ait :

R- 2r 2p ( R _---:~-- ) ~)(R - 2r),<P(z) <c(] + E) ,

~P

la deuxi~me in6galit~ ~tant vraie pour tout z tel que I zl < r , ainsi que

X(Z) -,< kc (I + e) .

D~monstration.

~(z)

(~P(z x) A G(x) . < R+r

40

(2.~.)~< do(x) ~< . o(R + 2r) . 2p

( R + r ) ~Y I _xi<R+ r (R+r)

Pour la majoration on utilise la formule classique suivante :

] [ ~P(z-x) A O(x) p! O(z,r) (2.9.) ~(z) + ----~ ) ~P.r2P

O0 .

Done on peut choisir R et r de fagon que , pour r <r , o

Done

2.10. V ( z ) < e ( l + s) ,~P

' I~-~I <R-r c~Piz - x ) A O ( x )

si ~)(z) = 0 on a d'apr~s (2.8.)

R + 2r)2P~(R+2r)<c(l+E ) R+r

f f[z ~P(z - x)AO(x) = P! | do-(x) = ~P~ (z, R-r) .

-x~<R-r (R-r)2P JlZ-xl <R-r

Donc il r~sulte que

~(z) >i p!(R-r) -2p I do(x)

Ixl< R-Er R - 2 r 2 . 1 1 . t J ( z ) >~TrP( ~ ) 2 p "~(R - 2 r ) , c e c l p o u r V ( z ) = 0 .

E t p u i s q u e 1 ' e n s e m b l e d e s z t e l l e q u e ~) (z) = 0 e a t d e m e s u r e d e L e b e s g u e n u l l e

a l o r s

R - 2 r l J ( z ) >~ j~p ( ~ ) 2 p x) (a - 2 r ) p p .

D'apr~s (2.9.~ :

X(z) = k~(Z)<k e (] + E), pour Izl <r p o

l \ THEOREME I . 2.

Soit X un ensemble analytique de ~n de dimension pure p ; on suppose

que ~x(O) = c , c >0, et soit f une fonction analytiqu e nulle en 0 telle que

~f(O) = m . Alors si mSk c - n , k = n - p) , Ifl 2 e -V n'est pas localement

sommable au voisinage de 0 .

D~monstration.

Comme f est nulle en 0 de multiplicit~ m on a un dgveloppement

41

de f(z) de la forme

f(z) = Pm(Z) + Pm+l(Z) + ...

On va distinguer deux cas :

, avec P.(z) un polynSme homog@ne de degr6 j. Pm#O. ]

Ier cas :

On suppose dans ce casque P ne depend que de z I . Alors IPm(Z) l=%[z]l m m

avec I > 0 .

On pose h(z) = ~ P.(z) . h est une fonction analytique nulle en 0 d'ordre j=m+l O

sup6rieur ~ m+i .Donc d'apr~s le lemme de Schwartz, il existe ~I > 0 telle que

lh(z) I<%llzl m+l pour Izl assez petit.

On considgre le domaine D d~fini par D = {z@~n /T > IZl]>Iz'l avec z = (Zl,Z')

z I E ~ et T > 0}

Sur D ]h (z)[ < ~l IZl ]m+l" 2m+1/2 [m im. 2m+1/2 et If(=)l>(xlh - x,l~, I~l) z I m ( X - & l l Z l l 2 m + l / 2 ) l j �9

~ c h o i s i s s a n t h i e n T > O, on a u r a I f ( z ) l ~ 2 1 ~ l m s u r D p o u r u n ~ 2 > O .

On va montrer maintenant que ]f]2 e-V n'est pas sommable au voisinage de 0

V(z) = 2k U(z) + H(z) avec H une fonetion plurisousharmonique continue. Doric

sur un voisinage born~ de0,e -H(z) est born~e. Au veisinage de 0 , U(z) est ~qui-

valente l

= _ ' _ L | d o ( ~ ) Ul(Z)

~]p I z - x l 2p " B(O,R)

Donc au vo i s inage de 0 , e -V(z) a le re@me comportement que e-2 k U](z)

I I 1 do(x) 1 do(t)

- UI(z) = ~7 B(O,R) Iz-xl 2p $ ~- p 0 (]zI+ t) 2p

Donc d'aprgs(2.;.), il existe %3 >0 telle que :

e-V(z) ~3

>" l~12kc A lo rs I = r f ( z ) l 2 e -V(z> d% ( z ) > z [ [ f ( z ) l 2 e - v ( z ) d l ( z ) o

J <r )D z

I>~ I ~2 X3'zl[2m %2X3-- ! dl(g) . D Izl 2kc d%(z)>t 2k e iz,~kc_2m

42

D IZl 12ke-2m Z112kc-2m I I~'; < i~,l z 1 <r 2

I aX(zl) [Zll2(n-l) 2.12. (n-I) !

n-1 iz l l< ~ lZl l 2kc-2m

Si m6kc - n l'int~grale 2.12. est divergente.

2e cas.

On ~crit Pm(Z) sous forme de stifle entigre au voisinage de O.

P m ( ~ ) = . ,Vn) I I j ' "

Soit T 1 = suplaul et T = max(~l,l) .

On peut toutefois supposer Pm(Z) = z? § ~ a z ~ Iul=m

V 1 <m

On consid~re le domaine D~ d~fini par D! = ~zcEn/ IziI>2N Iz'I avec N

bre de termes a non nuls dans la somme]~= m a z ~

~I <m m

z' ~' ~j l~iI ~3J I~lJ On a dans D t : lav zVl = lav z l j < T . ( ~ ) . Iz i < ~-~ . z { TM

Ivl~ ]$J~=m 2N I TM 2 Donc Vl<m vi<m iVm(~)l~ I~,

" 2 sur D 1 "

Le m~me calcul que celui fair dans le premier cas nous donne le r~sultat .

le nom

Exemple I.

On construit un ensemble analytique v~rifiant las propri~t~s du

th~or~me(2.].).

On consid~re l'ensemble analytique X d~fini par X ={(t p, tq,t s) E ~3 telle

que p+q = s et t E~ }

On suppose 2 gp <q et (p,q,s) trois entiers premiers entre eux deux ~ deux.

II est ais~ de montrer q~e X est un ensemble analytique irrgductible admettant

l'origine comme seul point singulier.

La dimension de X est I dans ~3 . On pose z = (x,y~z), alors f(z) = xy - z

est analytique dans ~3 et nulle sur X .

43

LEMME 1 . 5 .

.S__i ~X(0) d~signe le nombre de Lelong de

VX(0) = p>2 .

Rappelons la d~finition de >X(~) . Si Y

dimension pure p ; alors

~y(Z) = lim o(z,r) lim vol(YNB(z~r) , T

r+o T r 2p r+o T r 2p P P P

unit~ dans ~P .

X au point 0 alors

est un ensemble analytique de

7r p p ! le vo]ume de la boule

D6monstration du lenm~e 1.5.

( ~X(0) = lim ---7 ~(z) r*o ~r

X nB(0,r) En utilisant le param~trage

I = [ ~ = I [p21t'2(p-I) + q21t'2(q-l)

X ~B(O,r) B(O,r')

+ ]i s21t ] 2(p-l) ~ dt Ad[

avec [r 2 = r'2p + r'2q + r '2s] .(I) t

[r (p2 -] 2x2q-] 2 x2S-l ) I = 2 rr x 2p + q + s dx 2o r,2S

2~r (p2 r '2p 2 r '2q 2 -T~-p +q -Tf-q +s -yT-~ ) .

~X(0) = r~olim 2 ~ ( pr'2P2 r'2p~r'2q+ r '2q + +sr'2Sr '2s)

x r~elle

= p car p < q <s .

Donc ~x(O) = p , ce qui termine la dgmonstration du lemme 1.5.

Pour l'ensemble analytique X ci-dessus et f la fonction analytique

On a

J ]f]2 e-V(z) = + ~ V > O dl(z) r q

B(O,r)

En effet ~x(O) = p et vf(O) = l et kc - n = 2 • -3 = I .

f(z) = xy-z.

Donc d'apr~s le thgorgme 2.1. l'intggrale ci-dessus diverge.

La question se pose maintenant pour les ensembles dits "intersections compl~tes au

sens des idgaux".

44

/ DEFINITION.

Un ensemble analytique de dimension pure p est une intersection compl~te

au sens des idgaux s'il existe une fonction f de ~n dans ~n-p telle que

f-I (0) = X et l(X-o) = (fl ..... fk ) = f " k = n - p.

Exemp le 2.

On eonstruit un ensemble analytique ; intersection complgte au sens des

id~aux telle qu'il existe une fonction f nulle sur X et Ifi2e -V non localement

sommable en application du th~orgme 2.1.

L'exemple ! r~pond ~ la question mais le calcul fait pour faire la d~monstration

est long. On donne un autre exemple plus simple.

Soit X = {(tP,t2P,t q) , tee , q m l[p] , 2~<p<q} .

LEMME I. 6.

2 On pose fl(x'Y'Z) = x - y

f2(x,y,z) = x q - z p .

fl e t f2 s'annulent sur X et elles ensendrent I(X) .

Pour d~montrer le lemme on a besoin du th~or~me suivant qui est d~

H. Car tan.

t x THEOREME 1 .3.

Tout ideal de l'anneau des fonctions analyti~ues sur un ouvert d'holomor-

phie (ou un ouvert de Stein) est fermg.

Dgmonstration du lermne 1.6.

Soit f une fonction analytique s'annulant sur X . On ~crit f sous la

forme d'une s~rie enti~re

Z V f(x,y,z) = ~ a

Iv-I=o v v = ( V l ' v 2 ' v3 )

= Vl + ~2 + ~3 "

~I ~2 ~3 z ~ = x �9 y �9 Z

Alors siv 3 = s + tp avec (0 <s <p)

~I ~2 ~3 ~I + 2~2 ~3 (I) x .y .z = x .z (mod. fl )

wI + 2~2 + tq = x .z (mod.(fl, f2 ) ) .

45

m On note Qm(Z) = ) a Z v ; lim Qm(Z) : f(Z) .

t~ l =o m ~

D'apr~s (|) on d~duit

(2) Qm (Z) = Po,m(~ ) + P1,m (x)z + "'" + Pp-l,m (x) zp-I + A1,mfl + A2,mf2

~)I + 2~2 + tq avec P. m(X) i ~ a x

3 V =j,~3=J+tp

On note r = E(~) + I o~ E(q) est la partie enti~re de -q P P

On va montrer que la limite uniforme sur tout compact de P.j,m(X) quand

vers l'infini existe. II suffit de montrer ceci pour Ixl >I .

Pour Ixi >I : I i ~,=j,~3=tp+jlajlxl~l+2V2+tqv~ oo = ~ ~---]a lJxJ ~1+2~2+r~3

I~I =o

m tend

Conuner >~2 (q = I mod p).

Done I < ~ Ic~)l 1 < + oo car la somme la~)I IYl l~)I < +co pour

IYl >I . En particulier pour y = (xr,xr,xr). Done lim P.,m(X) = Pj(x) est une m..~+oo 3 p-I

fonction enti~re dans ~ . Et, d'apr~s (2) Qm(Z ) = ~7-- Pj,m(X)ZJ = Hm(Z ) appar- J =o - -~p

engendr~ par fl et f2 et H(Z) = lim Hm(Z ) = f(Z) . j(x).z j tient l'idgal 3=o

est une fonction entigre qui,d'apr~s le th6or~me de H.Cartan appartient ~ l'id~al

engendr~ par fl et f2 "

Remarque.

Un calcul direct mais long montre que la limite des Aj,m(Z )

existe uniform~ment sur tout compact et elle est analytique.

Aj (z)

On revient au probl~me pos~ : on veut montrer que si f est une fonction

analytique nulle sur X , alors elle appartient ~ l'id~al (fl,f2) .

f nulle sur X si et seulement si pour tout t6~ , f(tP,t2P,t q) -= 0 done

Pj (tP.tqJ) = O

Les degr~s des monomes apparaissant dans Po(tP), ..., Pj(tP)t qj, ..., Pp_l(tP)t q(p-l)

sent respectivement congrus modulo p ~ 0,],2 , p-I , car q =- l[p] .

Done Pj ~ O pour OSj ~<p-] . Et ainsi on montre que f appartient ~ l'id~al

If] ,f2 ) �9

48

Donc I(X) = (fl,f2). C.Q.F.D.

On d6duit de ce lemme que X est une intersection compl6te au sens des id6aux

et on a encore [fll 2 e -V n'est pas loealement sommable sur X (avec V le poten-

tiel associ6 ~ X indiqu6 au d6but de ce travail). Eu effet :

Vx(O) = P , ~f(O) : I et I~ 2p - 3

et d'apr~s le th@or~me 2.1 I i] 2 -V

f e n'est pas localement sommable.

REPL~RQUE 1.1.

La d6monstration du th6or6me 2.1. utilise la nullit6 de f en 0 et non pas

la nullit6 de f su__r X tout entier bien que le r6sultat ne soit significatif

que pour des fonctions nulles sur X .

PROPOSITION l,l.

Soit X un ensemble analytique de dimension pure p e t f une fonction analy-

tique s'annulant sur X de multiplicit6 au moins m sur X~B(O,r) pour r

assez petit. Si Vx(O ) = c , c # I. Alors si m~k(c-l) + ]

If] 2 e -V d I (z) < +~.

~(o,r)

Si c = ]; 0 est un point r~gulier et il suffit de prendre m = l

fonction analytique nulle sur X

i [fl 2 e -v d%(z) < + (0,r)

COROLLAIRE 1.2.

Pour route fonction analytique nulle sur X, lf[ 2k(c-I)+2. e -V

sommable au volsinage d'un point x telle ~ue ~x(X) = c .

Cod X = k, dim X = p.

D6monstration de la PrOposition I.I.

i.e. pour toute

est localement

D'aprgs 2.7., on a :

- V(z) = - U](z) + W(z) avec W(z) une fonction continue et

loglz-x1-2x(z) ~P(z-x) Ui(z) =,' I<R ~(z)

D'apr~s l'in6galit6 de convexit6 de l'exponentielle,Vz ~ X ;

e ~ xI<R

D'apr6s 2.6.~ 2.10., 2.11., il existe une constante I > 0 et

- - ^ @ ( x ) .

e > 0 telle

47

que :

e-gl(z) < %( d~(x) , 2p+2kc+28

Ix <R [ z - x

Si m > / k ( e - 1 ) + 1

If(z)[ ~< %1 ]z- x] 2k(c-I)+2 pour X 1 > 0 ,

de Taylor.

Al~ : I [f(z)[2 e-V(z) d%(z) x< %2 ~ f< d~ d % ( Z ) [ z <r , , Iz[<r [x I R z-x 2n-2+2~

Ce qui termine la d~monstration de la proposition 2.1.

ceci d'apr~s la formule

< + co pour %2 > O.

On pose la question suivante :

Probl~me.

Pour tout ensemble analytique X de dimension pure p ; (0< p < n-I) admet-

rant des points singuliers ( o (X) ~ ~) ; existe-t-il une fonction analytique nulle

sur X telle que Ifl 2 e -v n'est pas localement sommable sur X , c'est-~-dire

est-ce que les exemples precedents ne sont que des cas particuliers d'un ph~nomgne

g~n~ral ?

12~me partie I

On rappelle que l'objet de cette partie est l'~tude de la liaison entre la som-

mabilit~ de e "xp (si ~ est une fonction plurisousharmonique) et le comportement

de ~ sur les branches irr~ductibles de X = [x/~ (~) > O} (ensemble des points

de densit~ de ~ ) et leur codimension .

On rappelle qu'il convient de dire qu'une fonction ~ de ~n -+]ER est dire =presque

plurisousharmonique" s'il existe une fonction ~o plurisousharmonique telle que

~o m 0 et ~ + ~o est plurisousharmonique.

THEOR~ME 2.1. , H.SKODA [8]

Si 0 est un courant positif ferm~ de dimension pure p dans ~n (p+k=n) .

S i U d~signe le potentiel canOni~ue associ~ ~ 0 , on a :

I~ e -U est non sommable au voisinage de

2~ e -U

x s i ~2n o ~O(Xo ) "

est sormna~le au volsina~e de Xo si ~@(Xo) < 2k ".

48

COROLLAIRE 2.1.

Pour route fonction ~ plurisousharmonique dans ~n on a :

l~ Si ~ (Xo) <2, e ~ est sonnnable au voisinage de x - - o

2~ S i ~(Xo) ~2n , e -~ n'est pas sommable au voisinage de x ~ .

Pour la d~monstration du Corollaire, il suffit d'appliquer le th~or~me precedent au

courant u = ! d'd"~.(p = n - I).

ix THEOREME 2.2., Y.T.SIU [9]

Soit 0 un courant positif ferm~ de type (k,k) sur un ouvert ~ de ~n

~t soit Y une vari~t~ complexe sans sinsularitgs de codimension k ~ On suppose que

Y = {zECn/z I ... = z k = O} . On note c = infxEy~@(x ) . On suppose c > O, alors

@ - c [~ est un courant positif ferm~ et ~o(X) = c presque partout sur Y (par

rapport ~ la mesure ~ ass@cite au courant [Y] ).

LEMME 2.1.

Le thgor~me precedent s'~tend pour Y un ensemble analytique de dimension

pure p .

LEMME 2.2.

S i r est un eourant ferm~ d'ordre nul sur ~ et positif sur ~ \ Z o__~ Z

est ferm~ et H2p(Z) = 0 . Alors T est positif sur ~ .

Dgmonstration du lemme 2.2.

X . T est un courant localement plat car il est limite pour la masse des cou- ~\Z

rants normaux, tronqu~s de T ~ support darts ~ \ Z (y~\g d~signe la fonction ea-

ract~ristique de ~\ Z). Par suite Xz.T = T - X~\ g T est localement plat,

support dans Z . Le th~orgme de support nous donne que Xz.T = 0 i.e. T =X~z.T

qui est positif done T est positif.

TH~OREME (2.3.) de support.

S_~i T est un courant localement plat dans un ouvert ~ de ~n tel que l a

bidimension de T = (m,m) e t H2m (supp T) = 0 , alors T = O.

49

DEmonstration du Lemme 2.1.

On pose T = 6~- c[Y] ; T est un courant d'ordre nul ferm~ sur ~ positif sur

xa(Y) o~ o(Y) d~signe le lieu des points singuliers de Y .Donc positif

sur ~ d'apr~s le Lemme 2.2.

PROPOSITION 2.1.

Soit ~ une fonction plurisousharmonique dans ~n . On suppose que ~ = ~I

avec ~I et ~2 deux fonctions plurisousharmoniques v~rifiants :

a/ ~ r = 0 -t~ 2

b/ {t 61R ]e est sommable au voisinage de 0 est un ouvert}.

+~2

Alors on a l'~quivalence des deux propositions suivantes :

I~ e -~ sommable au voisinage de O .

-~2 2~ e som~nable au voisinage de O .

D~monstration.

I==~2

e

Pour

Donc

corm~e ~1 est localement major,e, il existe une constante

> C .

r assez petit on a +~ I e-~(z)d%(z)> cf e -~2(z)

B(O,r) B(O,r)

e -~2 est sommable au voisinage de O o

d~(z)

c > O telle que

2 ==~ I.

On va utiliser l'in~galit~ de HSlder et le Corollaire 2.1 . L'hypoth~se b/ affirme

-(I+E)~ 2 qu'il existe C> 0 telle que e est sommable au voisinage de 0 .

Solt p = I + ~ ; q = I + e �9

P q

D'apr~s l'in~galit~ de HSlder on a :

[ e-~(z)d~(z)< [ [ e-P~l(Z)dX(z)]I/P, lIB e-q~2(z) dX(z) ] I/q

;B(O,r) ;B(O,r) (O,r)

P~I est une fonction plurisousharmonique et _ ~i(O) = O . D'apr~s le Corollaire 2.1.

-P~I -~ e est sommable au voisinage de O . Donc e est sommable au voisinage de O .

C.Q .F.D.

50

PROPOSITION 2.2. (P.LELONG [3]).

C C G et M(Gp) = sup V(z); zE G . Alors G un domaine pseudo-convexe. Soit G O P

pour Iiyll<O, xeG20 , r < O posons Reg SUPx f(x) = lim sup f(x'), pour x'§ x

On a : ~(x) = lim I [ X(V,x,r) - M(Go)] r < d(X,Gp), bGp d~signe le bord log r

r~o de G

P

~(6,~) = lim 1 I 12~ " r-~o log~ [ V(6+ r~eZ~)d~ - M(Gp)] .

o a/ ~( 6 , ~) est d~finie pour 6 c G2 p ; ll~II < P , on a - v( 6

ment si ~(~ + u ~) = -

, ~) = -~ si et seule-

b/ -~(~,$) est limite croissante de fonctions plurisousharmoniques de (6 ,~ ) n~gatives.

c/ On a V( 6, ~) ~ M(6) et Reg Sups[- ~(6 , ~)] = -~ (6) et pour chaque x E G , l'en-

semble des ~ o~ ~ (~ , ~) est supgrieur g ~) est un cSne polaire Hans ~n .

COROLLAIRE 2.2.

Soit ~( 6, ~) = log (1612 + [~I 4) pour ( 6, ~) C [ • . Alors ~(0) = 2 .

D~monstration.

1 12~o @(r( 6, ~ ) . eiG)dQ = log( 6. 2[ I 2~

Done pour 6 # 0 ; v((O,0),(x,y)) = lim [2 r +0

et lim l~ +relyI4 �9 = 0 car x # 0 . log r

Done saul pour une seule direction (x = O)

v((O,O),(x,y)) = 2, done ~(O) = 2 .

PROPOSITION 2.3.

+ r2I~I 4) + log r 2

2 log r - N(G) + lim ( IxI2 + r21y12) log r r~O log r

Dans ~2 la fonction plurisousharmonique ~ ; ~ = log( IX~ 2 + lyl 4) v~rifie :

I~ ~ - 2 log Izl n'est pas une fonction plurisousharmonique

= 2~ pour toute fonction ~o plurisousharmonique telle que V~o 0 dans ~2

fonction ~'= ~ - 2 log Izl+ ~o n'est pas plurisousharmonique (i.e. n'est pas

"presque plurisousharmonique").

D~monstration.

La d~monstration repose essentiellement sur la proposition 2.1.

On suppose que la fonetion ~ est plurisousharmonique (avec ~o

telle que ~ o .= 0 , Done ~(0) = 0 (I)

la

une fonction psh

51

3 4+ 3 log Izl = 3 3 et ~ 2~P + 2 r (2)

3 log Izl vgrifie l'hypoth~se (b) de la proposition 2.1. car~ log Izl est sommable

au voisinage de O dans 6 2 si et senlement si ~ < 4 .

3 Donc d'apr~s (2), (I) et la proposition 2.1. exp(- ~- 3 log Izl) est sommable au

voisinage de O .

3 v (0) = O . Si r > 0 , elle est bornfie et la sommabilit6 de exp (- ~r ~ r )

o 3

au voisinage de O est ~quivalente g la sommabilit6 de exp(- ~ r au voisinage de

3 3 3 Si r ~ O exp(- ~r ~ r ) ~ exp(- ~ r . Mais exp(- ~ ) n'est pas sommable au

voisinage de O , en effet : pour z C E 2 ; z = (gpy) .

([x12+ly14)3/2 = 12 + ly14)g/RJ

B(O,r) ~B(O,r)C~ ~B(O,r'>C~

avec r '2 = r 2 - lyl 2 .

O.

I =

Le terme fB(O,r) (r 2 - ly[ 2 +ly14) I/2

pas pour r assez petit. Le terme

Par le changement He coordonn~es polaires

I I ~" J ~ r)C~ [ ! 2 21 4) i/2] �9 [ d (y) = 2~.IB(o Y (r 2_ Y + Y B(O,r) b

I dX(y) d%(y) 2~ 12 IYI2 B(O,r) (r2 -IY +IYl 4) I/2

2 2 4 y + y ne s'annule

2t dt (t 2 + Y 4)3/2

= 2~ IB(O,r )

d%(y) est fini car r

I dX(y)

B(O,r) Cr lyl 2 est infini. Done I = + ~.

Donc ~ n'est pas une fonction plurisousharmonique .

Remarques.

i~ On ale m~me r~sultat que dans la proposition 2.3. pour la fonction @ pluri-

sousharmonique suivante Hans ~n , ~(Zl ..... Zn ) = iZll2 + ... + [Zn_lI2 + iZni4 ,

- 2 log Izl n'est pas une fonction "presque plurisousharmonique et v (0) = 2 .

2~ L'hypoth~se b de la proposition 2.1. est v~rifi~e pour route fonction ~ pluri-

sousharmonique dans ~ .

En effet d'apr~s le corollaire 2.1. n = 1 ,

e est sommable au voisinage de O est ~quivalent ~ ~q~(O) <2 et l'app]ication

(x~ > ~ (x) est semi-continue sup~rieurement.

52

PROPOSITION 2.4.

Soit X l'ensemble analytique darts ~n d~fini par X = {z ~ cn/zl =... = z k = O}

(p+k = n) .

= log(Iz]l 2 + ... +IZk_112 + IZkl4). ~ est une fonction plurisousharmonique. Soit

Si U d~signe le potentiel canonique associ~ ~ X . Alors ~- 2U n'est pas une fonc-

tion "presque plurisousharmonique".

D~monstration.

La d~monstration est identique ~ celle de la proposition 2.3. Elle repose essentiel-

lement sur la proposition 2.1.

SiTo est une fonction plurisousharmonique dans ~n telle que ~o(0) = O ~

Si @ = ~- 2U + ~o est une fonction plurisousharmonique, alors ~(O) = O et

2k-l ~ + (2k-l)U = 2k-I 2k-!

1 . . . U(z) = ~ log (]Zl]2 + + ]Zk]2 ). U(z) v~rifie l'hypoth~se (b) de la proposition

2.1. et exp(-(2k-l)U) est sommable au voisinage de O ; d'aprgs le th~or~me 2.2.

2k-; 2k 1 ~) on aurait donc exp ( - --~) localement sommable. Mais exp ( - --~-- n'est

pas sommable au voisinage de O . En effet , par r~currence :

l ~ k = 2

z = I dk(z)

([zl[m+iz214)3/2... = +~ avec z = (zl,z 2 ..... z n) . B(O,r>

(Le m~e calcul fair dans la d~monstration de la proposition 2.3.).

2~ On supposa le r~sultat vrai pour k-| et on veut le d~montrer pour k

I = I d~(z) 12 4)k-|/2 B(O,r) (Iz112 + "'" + IZk-I + IZk]

= d%(z') 12 + 2 14)k-I/2 B(O,r) C~ n-I B(O,r') (]z I ... + [Zk_l] +[z k

avec z' = (z 2 ..... Zn) et r '2 = r 2 - (]z2 [2 + ... + ]Zn[2 ) .

I d%(z') ] d% (z'] ~)k- I-~/2 "2 2 4 k-3/2 Donc I = k-3/~ B(O,r) (]z212+...+ IZk B(O,r) (r-]Zk[ +IZkl ) J

2 i ~ i,~[ 4 [ d~(z') r Iz k + ne s'annule pas. Donc le terme suivant (]r2_[Zki2 +[Zk 14)k-3/2

)B(O,r)

53

est fini et le terme ! dl(z') (O,~(iz212 + ... +iZkl4)k_3/2 est infini (par r~currence).

Donc I = +

On d~duit de ce travail que si ~ est une fonction psh, et si X = {x/v (x) >O~est

un ensemble analytique de dimension pure p , alors ~ - cV n'est pas toujours "pres-

que psh", avec V le potentiel associ~ ~ X . De ce r~sultat n~gatif on pose trois

probl~mes qui sont li~s g cette question dans le but de bien savoir le comportement

de ~ et de ~ au voisinage des points singuliers de X

ler probl~me. Si ~ est une fonction psh . A-t-on ~ ~c~) v avec c = inf ~(x) xex

et V le potentiel associ~ ~ X , , X de dimension pure p .

2e probl~me. Si ~ est une fonction psh et X de dimension pure p , existe-t-il

un courant @ positif ferm~ de bidimension (p,p) telle que ~0 = ~)~

3e probl~me. Si @ est un eourant positif ferm6 de bidimension (p,p) , existe-t-il

un courant Oq positif ferm~ de bidimension (q,q) telle que ~0 = ~@ , pour tout q~ p . q

Ii est facile de voir que le probl~me 2 entralne le problgme | et 3.

On va montrer que le probl~me 2 est faux en donnant un exemple qui ne v~rifie pas le

probl~me I . Le prohl~me | est une condition n~cessaire pour le probl~me 2.

Le probl~me 3 reste alors ouvert.

Exemple. Dans ~3 on consid~re la courbe gauche

X = {z~ ~3 / z = (t2,t3,t 5) ; t 6_ ~ } .X est irr~ductible ; ~x(O) = 2 , et 0 est

le seul point singulier de X .

On consid~re le couran~ ~ = ~i-~-'d'd"2~ log (Ix 3 _ y212 + ixy _ z12 )

= |/2 log(Ix3-y 2 I 2 + Ixy - zl 2) �9

Remarque. X est intersection compl~te et

I f| = xy - z

x 3 2 engendrent l'id~al I(X) .

f2 Y

LEMME I.

LE~E 2.

~(x) = 1 sur X .

Soient f| ..... fm des fonctions analytiques sur C net ~ = I/2 log(Ifll2+...+ Ifml2).

54

Alors ~ (x) = inf vf.(x) .

J J

La demonstration du lemme est faite dans un article nouveau de P.Lelong [I01 .

Le lemme 2 entraine le lemme 1.

Donc on a

I = ~(0) < ~x(O) = 2.

Done le probl~me | n'est pas v~rifi& pour ~ = |/2 log Ixy - zl 2 + ~x3-y2~ 2" �9

Done de mgme pour le probl~me 2.

Conclusions.

]o/ Soit ~ ~ne fonction plurisousharmonique dans ~n telle que l'ensemble

des points de densit~ de ~ soit un ensemble analytique de dimension pure p ;

(p+k = n) .

On note X~ = {x /v (x) > O} .

II r~sulte du th6or6me de Y.T.SIU et du r6sultat de H.SKODA que si G est un

courant (k,k) positif ferm6 et W un potentiel plurisousharmonique associ~ g 0

( VW = W0 ) , si W' est un potentiel plurisousharmonique associ~ g X (VW' = WX

si c = inf V@(x) , alors x6 X

i) G - c IX] est un courant positif ferm6

ii) W - c W' est une fonction presque plurisousharmoniquc.

On vient de montrer que le r6sultat (ii) ne peut ~tre gdn6ralis6 (au cas o~

dim X < n-] et X pure) de la mani~re suivante . ~ - c W' n'est pas

"presque plurisousharmonlque en g6n6ral avec c = inf ~ (x) . x E X

2~ On consid~re une fonction ~ plurisousharmonique v~rifiant les hypotheses

de la premiere conclusion . Alors les propositions 2.3. et 2.4. montrent que m~me

si ~(Xo) <2k (avec codimension de X en x ~ est k ) k # I ; e -~ n'est pas

localement so,able.

3~ Le meilleur r~sultat possible entre la liaison de ~ en x et la som- o

mabilit~ de e -~ est =elui de H.SKODA g savoir le corollaire 2.1.

55

BIBLIOGRAPHIE

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New York, Van Nostrand Company, ]966.

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[3] LELONG (P.). - 8ur la structure des courants positifs ferm~s. Sgminaire P.Lelong,

]975-76, p. 136-|56.

[4] LELONG (P.). - Fonctions enti~res (n variables) et fonctions plurisousharmoniques

d'ordre fin] dans ~n . j. Analyse Math. Jgrusalem, t. 12, 1964, p. 365-407.

[5] LELONG (P.). - Fonctions plurisousharmoniques et formes diff~rentielles positives.

Paris, Londres, New York, Gordon and Breach, Dunod, 1968.

[6] SKODA (H.). - Croissanae des fonctions entigres s'annulant sur une hypersurface don-

n~e de ~n . S~minaire P.Lelong, 1970-71, p. 82-105.

[7] SKODA (H.). - Nouvelle m~thode pour l'~tude des potentiels associ~s aux ensembles

analytiques. S~minaire P.Lelong, ]972-73, p. 117, 141.

[8] SKODA (H.). - Sous-ensembles anaiytiques d'ordre fin] ou infini dans gn . Bull. Soc.

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[9] SIU (Y.T.). - Analycity of sets associated to Lelong number and the extent]on of

closed positive currents. Inv. Math. , t. 27, p. 53-156, ]974.

[i0] LELONG (P.). - Ensembles analytiques complexes d~finis comme ensembles de densit~

(g paraitre).

I ! RELATIONS ENTRE LES DIFFERENTES NOTIONS DE FIBRES ET DE COURANTS POSITIFS.

par ~-P. DEMAILLY

O. INTRODUCTION.

Nous nous proposons de g~n~raliser les r~sultats de l'article [2], consa-

cr~ ~ l'~tude des relations entre les notions de positivit~ de P.A. Griffiths

et de S. Nakano pour les fibrgs vectoriels. Etant donn~ une forme hermitienne

@ sur un produit tensoriel T ~ E , il y a trois mani~res naturelles de d~fi-

nir la positivit~ de e , calqu~es sur les d~finitions usuelles concernant les

courants positifs. Dans le cas o3 @ est la forme de courbure d'un fibr~ vec-

toriel holomorphe hermitien E au-dessus d'une vari~t~ analytique X , on re-

trouve les notions de positivit~ de P.A. GRIFFITHS [4] et de S. NAKANO [6]

relatives aux fibres, ainsi qu'une troisi~me notion de positivit~ plus restric-

tive, appel~e ici positivit~ forte. Notre objectif essentiel est la d~monstra-

tion du r~sultat suivant, contenu implicitement dans [2] : si le fibr~ E est

positif au sens de Griffiths, alors le fibrg E ~ d~t E est positif fortement

(donc aussi au sens de Nakano). Ce type de rgsultat est li~ ~troitement aux

calculs de courbure intervenant dans la th~orie des morphismes surjectifs de

fibres vectoriels semi-positifs de H. SKODA [8] (cf. aussi [I]). Nous montrons

dans le dernier paragraphe comment ces techniques peuvent s'appliquer aux formes

et aux courants pour ~tablir des relations entre positivit~ faible et forte.

57

|. FORMES HERMITIENNESPOSITIVES SUR UN PRODUIT TENSORIEL.

Soit e une forme hermitienne sur un produit tensoriel T �9 E d'espaoes

veetoriels complexes.

DEFINITION I. e sera dite

(I) semi-positive au sens de Griffiths, si pour tout vecteur d~composable

x E T ~ E , x = ~ �9 u , avec ~ E T , u C E , on a

~(x,x) ~ O ;

(2) semi-positive au sens de Nakano, si elle est semi-positive au sens

usuel sur T ~ E , c'est-~-dire si

e(x,x) > O pour tout x E T �9 E ;

(3) semi-positive fortement, si on peut gcrire

N e<x,x) = I Ixj(x)l 2

j=!

famille finie {~'}I~jSN__ de formes lingaires x~_ d~composables )our une

3ur T ~ E , xj = Sj ~ uj , avec j ~ T , uj e E .

On d~signera par >G ' >N ' >S les in~galit~s de semi-positivit~

de C-~-~_ffiths, de Nakano, et de semi-positivit~ forte. On dira que 8 est

strictement) positive, et on ~crira respectivement e >G 0 , e >N 0 , 8 >S 0

si toute petite perturbation de 8 est encore semi-positive dans le sens

considerS.

II est clair que 8 >S O entralne e >N O , et que e >N 0 entralne e >G 0 ,

mais les r~ciproques sont fausses en g~n~ral comme on le verra au w 2. Les trois

notions coincident toutefois si l'un des espaces E ou T est de dimension I.

On suppose maintenant que l'espace E est muni d'une forme hermitienne

d~finie positive ~ ; on d~signe par n la dimension de T , par r celle de E,

et on d~finit Tr E @ comme la forme hermitienne sur T telle que

r = e(~ �9 ej , ~' �9 ej) Tr E e ($,$') jXi=

58

pour route base orthonorm~e (ej)i$j~ r de E , et tout couple (~,$') 6 T 2 ,"

la forme Tr E @ est ind~pendante de la base orthonorm~e (ej) choisie, et

elle est semi-posltive d~s que @ ~G O. Les semi-positivit~s forte et de Griffiths

sont reli~es par le th~or~me suivant.

THEOR~ME I. - Si la forme hermitienne @ sur T ~ E est semi-positive au sens

de Griffiths, alors la forme

@ + Tr E O �9

est semi-positive fortement (donc aussi au sens de Nakano).

La d~monstration sera une consequence aisle du lemme suivant.

LEMME ]. - Soient q un entier > 3 , uj et v k , I < j,k< r

plexes. ~ d~crivant l'ensemble ~r des applications de

le groupe des racines q-i~mes de l'unit~, on pose

r r

u'= [ u~ ~-7~() v'= I v m ~(-q) = m=|

Alors pour tout couple (j,k) , ! < j,k < r , on a l'identit~

des nombres com-

{I,2 .... ,r} dans

-r q I u' v' ~<j) ~-~) = uj ~k si j ~ k

i u s s i j . S=I

D~monstration. Le coefficient de

est donn~ par

u s v m dans la quantit~

-r q [ u' v' ~(j) VFf)

cr 6"~"

qu'alors

-r q [ ~(j) ~(k) o(S) O(m) .

~eg:

Ce coefficient vaut I lorsque les paires {j,m} et {k,S} coincident (puis-

o(j) ~(k) ~-~( ) ~(m) = I pour chacun des qr ~l~ments o E~) .

Ii s'agit de montrer que

o(j) ~(k) o(S) ~(m) = 0 ~69 ~

lorsque les paires {j,m} , {k,S} sont distinctes.

59

Si {j,m} # {k,Z} , l'un des ~l~ments de l'une des paires n'appartient

pas ~ l'autre paire. Comme les quatre indices j,k,s jouent le m~me r$1e

(quitte ~ changer ~ventuellement ff en ~) , on peut supposer par exemple

que j n'appartient pas ~ {k,s .

Effectuons sur ~ la substitution O e-+ T , o5 T est d~fini par

2i~

�9 (j) = e q o(j) , r(s) = o(s) pour s # j .

On obtient

(~(j) (7(k) (~(s O(m) =

Comme q i> 3

2i~r

=e q ~ si j #m je0r

4 i~

= e q I

p a r h y p o t : h ~ s e , i l en r f i s u i t e b i e n

si j = m .

~(j) ~(k) if(Z) o(m) = 0 �9

D~monstration du th~or~me 1 .

Etant donn~ une base de T et une base orthonorm~e (ej) de E , on d~-

signe par (~%) , l < % < n , les coordonnges de ~ E T , par (uj) , I < j < r ,

celles de uE E , et par (x%j) celles de xE T ~ E .

Si les nombres complexes a%~jk sont les coefficients de e (avec

~jk = ~%kj ) ' on ales formules

0 ( ~ g) u , ~ �9 u) = ~ al~jk ~% ~ uj ~ , ,~ ,j ,k

8(x,x) = I al~jk x~j ~k ' ,~ ,j ,k

Tr E O � 9 (x,x) = [ a% . %,]j,j,k ~Jj ~k X~k '

avec 1 < . X , ~ < n , 1 < j,k< r

Par hypoth~se, 0(~ ~)u, ~ �9 u) est ~ 0 .

60

(~ d~crivant comme dans le lemme I l'ensemble ~ des applications de

{l,...,r} dans le groupe des racines q-i~mes de l'unit~, on pose

r

=

D'apr~s le lemme 1 , on a

-r q 6~ %,p,j,k ~(~ x~ ~(j)

= ~ a%Bjk x%j x k + ~ a%Bjj X%k x k %)P)j~k %)B)j,k

m

= O(x,x) + Tr E 0 ~(x,x) - ~ a%Bjj x%j xBj . %,p)J

On obtient donc

8 ( x , x ) + T r E 8 ~ ( x , x ) =

q-r ~ ~ a%Pjk x' E~ %,B,j,k %~ ~-~ ~(J) ~(--~) + %,p,j~ a%pjj x%j x j i> 0

d'apr~s l'hypoth~se de positivit~ de Griffiths de e . Ii nous reste ~ v~rifier

que le second membre est somme de carr~s de formes lin~aires d~composables

sur T ~) E . Par hypoth~se, la forme hermitienne de coefficients

( ~ a%pjk g(j) g(k))%,p est seml-positive sur r ,donc somme de carr~s de j)k

formes lin~aires ~)~ 6 T , I -<< ~) ~< n . De m~me la forme de coefficients

(a%%/jj)%,p est somme de carr6s de formes lin~aires ~j 6 T* , I < ~ < n, 1 < j ~< r.

Pour tout vecteur d~composable x = ~ ~D u E T ~) E , on peut ~crire, en r

notant e(~ = ~ ~(j) ej : j=l

@(x,x) + rr E @ ~)~(x)x) =

n -r * ]2 2 q l I I%~(~), l~(u,eo) l

g e ~ r V=l

r + ~ ~ Ig~j(g)] 2 l~(u,ej)] 2 ,

j=l ~)=I

61

de sorte que n

-r @ + Tr E @ ~ ~ = q ~ [ I ~ ~ (?,ea) l 2

e~ v=l

r n * 12 [ [ l~vj ~ ~(?,ej)

j=] v=l

La d~monstation est achev~e. Le corollaire qui suit est une g~n~ralisation

du lenmle fondamental (3,5) de H. SKODA [8], relatif au cas o~ -@ est la forme

de eourbure d'un sous-fibr~ E d'un fibr~ trivial.

COROLLAIRE ]. - Si la forme hermitienne 8 est semi-positive au sens de Griffiths

sur T �9 E , o3 dim T = n , dim E = r , alors

O <S Inf(n,r) . Tr E 0 ~ .

D~monstration. Montrons tout d'abord le

LEMME 2. - Tr E @ ~ ~ - O ~>G O .

En effet, tout vecteur d~composable x 6 T ~ E peut s'6crire

x = ~ ~D u o~ Ilull 2 = ~(u,u) = ] ; si l'on choisit une base orthonorm~e

(ej)l.<j.< r de E telle que e = u , il vient

O(x,x) = e(~ ~D e l,~ ~ el) ,

r

TrE@m ~(x,x) = j=l[ O(~ m ej,~ �9 ej) llull 2 ~> @(x,x) ,

grace ~ l'hypoth~se O ~>G O. Le lemme 2 est d~montr~. �9

D'apr~s le th~or~me 1, on a done

Tr E @ ~ ~ - 8 + TrE(Tr E @ ~ ~ - @)~ @ = r Tr E @ ~ ~ - @ ~>S O .

Ii nous reste ~ montrer qu'on a ~galement

8 ~<S n Tr E @ ~ ~ ,

ce qui est plus difficile.

Munissons T de la forme hermitienne semi-positive co = Tr E @ , que nous

supposons pour l'instant non d~g~n~r~e. Soit ; = 00 ~)~ - @ ~>G 0 la forme con-

sid~r~e dans le lemme 2. Les coefficients de ;, relativement ~ un couple de

62

bases orthonorm~es de T et E , sont donn~s en fonction des coefficients

~jk de O et des symboles de Kronecker ~%~ ' ~jk ' par

~jk = ~XD ~jk - a%~jk "

On applique le proc@d@ de sommation du lemme ;, mais cette fois par rapport

l'espace T (indices % et D). Si ~-" est l'ensemble des applications de

{|,...,n} dans le groupe des racines q-i~mes de l'unit@, et si | < ~,~ < n ,

! < j,k < r , il vient d'aprgs le lemme ! :

-n ~ ^ x' x' ~(~) ~(---~) q ~ a%~jk oj dk

(~ ~ % ,~,j ,k

= ~ a%~jk x%j X~k + ~ a%%jk x j x k %r %,~,j ,k

ce qui donne

a%~jk x%j x-~ - a%%jk x j x k + n Ix jl 2 %r ,k %,~,j ,k ~,j

n ~ Ix jl 2 - ~ a%~jk x%j ~x--~ j,~ %,~,j,k

-n =q X ~jk ~(~) ~(~) x' -- + ~ %,~,j,k aj X~k a%%jk x j x-~ . %#~ ,j ,k

Comme dans la d~monstration du th~or~me I, on voit donc que

e ~<S n~0 ~ = n Tr E O ~@

Lorsque

lemme 2 que e

par O , et n

ce qni entra~ne

est d~g~n~r~e, de noyau K , il est facile de voir grace au

induit une forme hermitienne O sur T/K ~ E . En rempla~ant 6

par N = dim T/K~ n , on obtient

| <S N . Tr E~ ~ ,

@ k S N . Tr E 8 ~ <S n . Tr E e ~

Nous allons voir maintenant comment ces notions se traduisent dans le

cadre des fibres vectoriels hermitiens.

63

/

2. FIBRES POSITIFS.

Si E est un fibr~ vectoriel holomorphe hermitien au dessus d'une vari~t~

analytique eomplexe X , on peut d~finir une connexion canonique D sur E ,

hermitienne et holomorphe (cf. A. DOUADY et J.L. VERDIER [3], P.A. GRIFFITHS [4]).

D envoie l'espaee Cp,q(X,E) des formes de type (p,q) ~ valeurs dans E ,

dans l'espace C ~p+l,q(X,E) ~ C ~p,q+!(X,E) ; la forme de courbure c(E) du fibr~ E

est alors d~finie par la propri~t~ suivante

D2u = c(E).u

pour toute section C ~ u de E , de sorte que i c(E) est une (1,I) forme

valeurs dans le fibr~ Herm (E,E) des endomorphismes hermitiens de E . On

identifiera i e(E) ~ la forme hermitienne 0 sur TX �9 E qui lui est cano-

niquement associ~e.

i DEFINITION 2. - Le fibr~ E est dit semi-positif (respectivement positif) au

sens de Griffiths, au sens de Nakano, ou au sens fort, s'il en est ainsi

pour la forme hermitienne e sur chaque fibre T X ~ E , z E X . Z

La forme de courbure c(E*) du fibr~ dual E* est donn~e par

c(E*) =- tc(E) ,

o~ to(E) ~ Herm (E*,E*) d~signe l'endomorphisme transpos~ de c(E). Le

lecteur en d~duira ais~ment la proposition suivante.

PROPOSITION |. Le fibr~ E est (semi-) positif au sens de Griffiths (resp. au

I sens fort) si et seulement si le fibr~ dual E* est (semi-) n~gatif au sens

de Griffiths (resp. au sens fort).

Le r~sultat analogue pour la positivit~ de Nakano n'est pas vrai (voir

l'exemple ci-dessous).

II est classique d'autre part (P.A. GRIFFITHS [4.]) qu'un fibr~ quotient

d'un fibr~ E >G O est encore positif au sens de Griffiths.De m~me un sous-fibr~ d'un

fibr~ E <G O est <G O . On peut v~rifier que cette deuxi~me propri~t~ subsiste

64

au sens de Nakano ; aucune par contre n'est vraie au sens fort en g~n~ral. Les

diverses notions sont reli~es gr$ce au th~or~me Iet au corollaire 1, qui im-

pliquent le

/ x THEOREME 2. - Soit

On d~signe par r

Alors les fibrgs

E un fibr~ hermitien (semi-) positif au sens de Grifflths.

le rang de E et par n la dimension de la vari~t~ X .

* Inf (n,r) E ~)d~t E , E ~ (d~t E)

sont fortement (semi-) positifs. En particulier, ils sent (semi-) positifs

au sens de Nakano, et les fibres

E* ~ (det E) -] , E ~ (d~t E) -Inf(n'r)

sont (semi-) n~gatifs au sens de Nakano.

D~monstration. II est bien connu que la courbure du fibr~ d~t E = A r E est

reli~e ~ !a eourbure de E par la formule

c(d~t E) = Tr E c(E) = - TrE, e(E*)

et que pour deux fibres vectoriels hermitiens E| et E 2 , on a

+ e(E l ~ E2) = c(E|) ~ IdE2 IdE; ~ e(E2).

Le th~orgme 2 se d~duit alors du th~or~me ]et de son corollaire en prenant

suecessivement @ = i c(E) , 0 = - i c(E*) = ire(E) .

Exemple. Soient V un espaee veetoriel hermitien de dimension n+1 , rP n = rP(V)

l'espaee projectif associ~, 0(-]) le sous-fibr~ lin~aire canonique du fibr~

trivial V sur ~P , Q = V/O(-|) le fibr~ quotient de rang n . On munit n

O(-1) et Q de leurs m~triques naturelles, induites par celle de V , et n

de sa m~trique kahl~rlenne usuelle. On a classiquement les isomorphismes m~triques

d~t Q = O(-I)* = 0(I)

T ~ -~ q ~ 0(I) =~ Q ~) d~t Q . n

65

Q est semi-positlf au sens de Griffiths, cone quotient du fibr~ trivial V.

On retrouve done d'apr~s le th~or~me 2 que le fibr~ tangent T ~ est semi- n

positif au sens de Nakano (ef. M. SCHNEIDER [7]), et m~me au sens fort.

Etant donn~ une base orthonorm~e (eo,el,...,e n) de V , (el,...,e n)

d~finit une base orthonorm~e de la fibre Qz au dessus du point z = [e o]

de F n . Si l'on munit Tz ~n de la base orthonorm~e (~l,...,~n) correspon-

dante, d~duite de l'isomorphisme canonique T ~ -- Q ~D d~t Q , la forme de cour- n

bure @ = i c(Q) s'explicite en coordonn~es par les formules

n I 2

j=l

0(x,x) = h-7 l,<j ,k,<n xjk

n

TrQ@(~,~) = J~l 2 = I l~jl 2 ' ~ 2 I

n n

pour ~ j[=l ~j nj 6 Tz •n , u j=l[ uj ej �9 Qz '

x = I x. k nj ~ e k E T ~ ~ Qz " l~j,k~n ~ z n

La forme de courbure de T ~ s'~crit donc n

<(0 + TrQ 0 ~ IdQ) (x),x~= ~ Xjk Xk~ + Xjk xj-~ j,k

= 2 ! J xjjJ 2 + I J Xjk + Xkjj2 j<k

La forme TrQ 0 est d~finie positive, mais la forme 0 + TrQ 0 ~ IdQ

est seulement semi-positive au sens de Nakano si n > 2 . Ii n'existe done pas

de eonstante y N 0 , et en ce sens le r~sultat

du th~or~me ! est le meilleur possible. En ce qui concerne le corollaire I, le

lecteur pourra v~rlfier que l'in~galit~ Q* ~ (d~t Q)n > N 0 est optimale, mais

-| que dans eet exemple Q �9 (d~t Q) ~N O . Lorsque n > 2 , il appara~t qu'on a

Q >G 0 sans avoir Q >N 0 , et qu'on a Q*<N 0 (puisque Q* est un sous-fibr~

du fibr~ trivial V*) sans avoir Q* <S 0 (ce qui entralnerait Q >S 0 ! ) .

68

3. COURANTS POSITIFS.

Seules les propri~t~s ponetuelles des courants seront ~tudi~es dans ce pa-

ragraphe, de sorte qu'on se limitera ~ la consid6ration des formes diff~ren-

tielles. La premigre d~finition des formes et des courants positifs a ~t6 donn~e

par P. LELONG [5].

Soient T un espace vectoriel complexe de dimension n , F = HO~R(T,~)

le complexifi~ du ~-dual de T , A p'q F l'espace des formes de type (p,q)

sur T. Pour tout entier p, on pose

p(p-1) 2 = (~)P

P (-l) 2 = 2- pip

i DEFINITION 3. - Une forme ~ E A p'q F est dite

(|) positive, si elle peut s'6erire

N

j=l P

avec des ~l~ments ~.~ A p'~ F ; ]

(2) fortement positive, si on a une 6criture analogue av~c des formas ~. J

d~composables ;

(3) faiblement positive, si pour route forme BE A k'k F fortement positive,

o3 p+k = n , la (n,n)-forme a A B est positive.

Nous noterons PP (resp. SP p , WP p) le c$ne des (p,p)-formes positives

(resp. fortement, faiblement positives), et nous d6signerons par ~ (resp. >S' >W )

l'in~galit~ de positivit6 (resp. de positivit6 forte, faible).

On vgrifie ais~ment ~ partir de cette d6finition qu'on ales inclusions

SP p C PP C WP p ,

et que les ~l~ments de WP p sont reels.

Si l'on a choisi une (n,n)-forme T positive, non nulle, il y a une forme

bilin~aire naturelle

AP'P F x A k'k F +

(avee p+k = n) qui g ~ E A p'p F , ~ E A k'k F associe l'unique nombre complexe y

67

tel que

~AB=y. T.

WP p s'identifie alors par d~finition au c~ne dual

montrer d'autre part que

spp = (wpk)o

Enfin, si p = O,I , n-l , ou

composables, donc

(spk) ~ de SP k , et on peut

, pp = (pk)O .

n , toutes les formes de A p'~ F sont d~-

!

o~ la notation [ signifie que les sommes sont ~tendues ~ tousles multl-indlces

croissants J,K,M,N,P , avec ici IJl = IKl = P , IMI = r , Iwl = IPl = p-r .

On convient que les symboles eJ,K ' dzj , d~ K sont d~finis pour des multi-

ext~rieure par

a donc:

1 L r ~7 ~ = ep+r ~ ~J,K dZjM A dIKM '

J,K,M

1 A r ~I e = ep_ r I ~NM,PM dZN A dip ,

M,N,P

On suppose d~sormais que l'espace T est muni d'une mfitrique hermitienne,

repr~sent~e par la (l,l)-forme positive

n i

L0 = ~ ~ dz. A dz. .= 3 ! J 3

dans une base orthonorm~e (dzj)|~<j~< n du dual E de E . L'espace

F = Hom~(T,~) et l'ag~bre ext~rieure A F sont munis des m~triques usuelles

correspondantes. On d~signe classiquement par L l'op~rateur de multiplication

0J dans l'espace hilbertien A F , et par A son adjoint ; on

pour toutes formes ~,~ c h F .

On peut 6crire en coordonn6es, pour tout a 6 A p'p F ,

l' = SP J,K ~J,K dzj h dl K ,

Sp p = pP

Wp p = (spk)O = (pk)O = pp .

68

indices non n~cessairement croissants J,K , de sorte que leurs signes soient

altern~s en J,K .

On rappelle enfin que l'op~rateur * de Hodge-de Rham-Poincarg est d~fini

sur A F par la relation

n

Les propri~t~s des formes positives sont intimement li~es aux op~rateurs

L,A et * ; la proposition 2 ci-dessous est elassique, et de d~monstration aisle.

PROPOSITION 2. - Soit ~ E A p'p F une forme positive (resp. fortement, faible-

ment positive). Alors les formes

Lr~E A p+r'p+r F , Ar~ E A p-r'p-r F , * ~ E A n-p~n-p F

sont positives (respo fortement, faiblement positives).

Les m~thodes du w I conduisent d'autre part au r~sultat suivant.

PROPOSITION 3. - Soit ~ une (p,p)-forme faiblement positive sur l'espace

hilbertien (T,~). Alors la (p,p)-forme

-I P~ p-r (p-r) ! e r Ar~

p p!r! r=o

est fortement positive.

Nous aurons besoin des notations suivantes : ~ d~crivant l~ensemble

{l,2,...,n} dans le groupe des racines q-i~mes de l'unit~ des applications de

(q > 3) , on pose

n

~= ~ ~-7-~() d z ~ , ~,=l

et pour tout (~ = (~l,...,CSp) E~ -p , on pose

W~ = w~ A ... A w(~ = ~ O(L) dz L 1 q L

off la somme I est ~tendue ~ tousles multi-indices L

n~cessairement croissants, et off

o ( L ) = c r ] ( ~ l ) . . . o ( ; , ) I

P P

L = ( s . . . . ' s , n o n

69

LEMME 3. - Pour tout couple de multi-indices (J,K) tels que

on a l'~galit~

q-np ~ ~(J) ~(---K) W A W~ = ~ dz L A d z M o eg ~p L,M

off la soum~ ~ est ~tendue ~ tousles L,M tels que L,M

{Js,ms} = {ks,Zs} pour tout s , I < s < p .

[J l = IKI = p ,

Pour p = I , le lemme 3 se r~duit au lemme I , et on obtient aussitSt le

cas ggn~ral en observant que

o '~P o~ I ~ i ~ Op E ~ ""

D~monstration de la proposition 3. Ecrivons

(xj)

t

= gp ]J[~[K[=p c~J'K dzj Adz K

= -2- Y ~J,K dzj A d z K p:2 ijL=iKi= p

Dire que ~ E WP p ~quivaut par d~finition g dire que pour toute famille

d~composable, xj = x I x 2 ... x p , on a ] J2 Jp

J,K > o . J .K

Pour chaque ~l~ment ( ; E ~ p- I , l a ( 1 , 1 ) - f o r m e

i j,k,~j[=[K[=p_ 1 ~jJ,kK g(J) ~(K) dzj Adz k

est doric positive, ee qui entra~ne que la forme B(~) suivante appartient ~ SP p :

B(~) = P p ! 2 q n ( p - 1 ) G ~p-l j,k,~J[=]K[=p-]

D'aprgs le lemme 3, il vient

ajJ,kK ~(J) ~(K)dzjAWAdzkA% "

~(~) = !e_ p!2 j,k!IJI=jKr=ILI=IMI=P_ ! ~jJ,kK dZjL dZkM

la somme ~tant prise sur les J,K,L,M tels que

70

la somme ~tant prise sur les J,K,L,M tels que

{ J s , m s } = { k s , s p o u r t o u t s , 1 < s < p - l .

Si {Js,ms} = {ks,Es} , on a ou bien (Js,ks) = (s , ou bien

Js = ks # Es = ms ' les deux cas s'excluant mutuellement. On obtient donc

E p -1 ~(C~) = -2. ~ (Pr I ) p!2 ~ ~JN,KN dzjp A dZKp

r=~ [JI [ El =I P-r[

INI=IPI =r

o~ la somme est restreinte aux multi-indices N,P tels que n # Ps pour tout S

s ~ {l,...,r} . Le coefficient binomial (Pr I) appara~t parce qu'il faut choi-

sir r indices s E {l,...,p-l}

Pour tout multi-indice M de longueur

[M] E WP p-m de ~ par :

[M] = p-m p! 2

et eonsid~rons la forme

pour lesquels on aura Js = ks # ~s = ms

[M[ = m , d~finissons la "contraction"

[ji~[KI=p_ m ~ ~JM,KM dzj Adz K ,

p-I

Y(~) = EPpl2 r=o~ (p~l) [J[ I~ Ki=p_r ~JN,KN dzjp A d~Kp ,

]N[=IP I = r

dans laquelle la somm~tion est prise sans restriction sur les multi-lndices N

et P . Pour ehaque couple (N~P) , on peut ~crire N = N'M , P = P'M o~ les

multi-indices N' P' , ont la propri6t~ que n's ~ Ps' pour tout s; onobservera ~e

dans cette notation, M n'est pas n~cessairement constitu~ des m = IM[ derniers

indices de Net P , mais de m quelconques des r indices possibles. Si on

r~ordonne en ~crivant M ~ la fin, chaque couple (N'M,P'M) proviendra d'exac-

tement (~) couples (N,P) obtenus apr~s avoir "m~lang~" M ~ N' M ~ P'

r) = ( p ~ l ) p - m - I De l'~galit~ (p~l) (m ( r-m ) r~sulte alors

71

v(~) = _ e

p!2 o~rgp- 1 o~r

Pi' = l j _ (pm 1 ) p ! 2 m=o

(P['> r [ IJi=lKf=p-r

fN' i = i e ' I=r -m

IMI = m

(p-m- l ) r-ln o.< r-m~p-m- 1

~JN'M,KP'M dZjN'M A dZKp, M

de sorte que

• ijl[iKl=P_m_(r_m ) s ~JN'M,KP'M dZjN' A d~Kp , A ~m dZM A d~ M

IN' I=Ie' I=r-m

IMI = m

p~l (p~)) [MI[ ~ ~(~[M])A ~m dZM A dE M , m=o

y ( a ) E SP p . D ' a u t r e p a r t , on a

r!

1 L r A r ~' 2 ~ = gp ij I iKi=p_ r ~JN,KN dzjp A dZKp

iNl=IeI= r

P dzjp A dEKp ; (p_r)!2r!2 [ji]iK[=p_ r ~JN,KN

INI=IPI=r

on obtient donc l'~galit@ suivante, qui prouve la proposition 3 :

p - I 2 y(C0 = [ (pr l) (p-r)! L r

r=o P ! 2 Ar(~ "

On peut d~montrer de m~me un r@sultat analogue au corollaire I.

PROPOSITION 4. - Si est une (p,p)-forme faiblement positive (p > 2) , on a

l'in@galit@ forte

p-] ~<~S ~ [n(P-~ ) -(Pr 2)) (P-r)!2 Lr Ar~

r= l - p ! 2

D@monstration. Avec les notations de la proposition 3 , on pose

n ~J,K = j~l'= ~J'j,K'j - ~J,K si J = J'jp, K = K'kp et

= - ~J,K si j p # kp

jp = kp ,

~ n'est pas altern@ en Jet K (mais On prendra garde au fair que ~J,K

72

seulement par rapport aux p-I premiers indices de Jet K). II est clair que

l'expression

est > O pour toute famille

comme pr~e~der, r, ent que SP p

~J,K xj J,K

(xj) d~eomposable (of. lemme 2) ; il an r~sulte

contient la forme

p p,2qn(p-l) cr~;~p-I j,k!iJ]=[K]=p-I ~jJ,kK g(J)g(K) dz~W AdZkA %

= ep ~ ~ dZjL A dZkM p!2 ~jJ,kK

les sommations sur J,K,L~M ~tant prises pour

[JI = [K[ = ILl = [MI = p-I , {Js,ms} = {ks,~s} si

par consequent E

~(~) = - P ~ ~jJ~,kKm dz A HEkM m p!2 j ,k,s jL%

avee [J[ = [K I = ILl = [MI = p-2 , (Js,ms} = (ks,s

D~finissons la forme ~(~) E SP p par

s E { l , . . . , p - 1 } ;

s i S E { I . . . . , p - 2 } �9

i ~(c~) = ~(~) + ~ B((~[%]) A ~ dz m Adz

~m m

= ~(~) +-~t2 ~ ~jJs dZjLm A dZkM m p. j ,k,~m

E = - "~.t 2 I ~jJ~,kKm dZjLs A dZkM m

p j,k,~,m

E + dz.un h dEkM m

On v~rifie come dans la d~monstration de la proposition 3 qu'on a l'~galit~

p-2 (Pro2) [--m ~(~[M]) A em dZM A d~

IMI p-2 t2

=- [ (pr 2) (p-r). L r r r=o p!2 A

p-2 + n ~ (Pr 2) (P-r-l)!2 L r+l Ar+l~

r=o p!2

73

Comme le premier membre est une (p, p) - forme fortement positive, la proposi-

tion 4 est d~montr~e.

Nous pouvons maintenant ~noncer le r~sultat essentiel de ce paragraphe.

THEOREME 3. - Soit ~ une (p,p)-forme falblement positive (l < p < n). On a

les in~galit~s fortes

- C'(n,p) l_J_ LP-I AP-I cz ~ ~ ~ C(n,p) I Lp-I Ap-I p ! 2 p ! 2

o'~ les eonstantes positives C(n,p) , C'(n,p) sont d~finies par

C(n,l) = 1 , C'(n,l) = O ,

C ( n , 2 ) = n , C ' ( n , 2 ) = 1 ,

C(n,p) + C'(n,p) = . . ( n + l ) ! (n-p+2) X '

et la relation de r~currence

p-I C'(n,p) = ~ (Pr I) C(n-r,p-r) .

r-I

D~monstration. On raisonne par recurrence sur p , en utilisant les propositions

3 et 4. Lorsque p = 1 , on peut choisir

C(n,p) = I , C'(n,p) = O .

On observe que, pour tout entier r > I ,

Ar~ = . p! 2

(P-r)' 2 IMI~ r ~[M] ,

et que ~[M] ne fair intervenir que les variables dont les indices appartien-

nent au compl~mentaire CM de M . Si LCM et A~M d~signent les op~rateurs

Let A relatifs ~ ees variables, on obtient par hypoth~se de r~currence

~[M] <S C(n-r,p-r) l___J___ _p-r-! ^p-r-I ~[M] (p-r) !2 b~M "'ON

^p-r-I AP-r-I Comme ~M ~[M]= a[M] , il vient

~[M] <S C(n-r,p-r) 1 - - (P-r) !2 L~Mr 1

<S C(n-r,p-r) I LP-r-I (p-r)! 2

car la (l,l)-forme A p-r-I ~[M] est darts WP 1

A p - r - I ~ [ M ]

A p - r - I ~ [ M ] ,

1 = SP ; en appliquant l'op~ra-

74

teur L r qui conserve les in~galit~s fortes (proposition 2), on obtient

sommation sur M :

er Ar~ ~<S C(n-r,p-r) 2 LP-I AP-le

(p-r) ! Les propositions 3 et 4 montrent qu'on peut prendre

C(n,p) = p-I [

r=| [n(rPi~ ) - (Pr2)] C(n-r,p,r)

(car le terme entre crochets est toujours > O) et

C'(n,p) = p-!

(Pr I) C(n-r,p-r) . r=l

Grace ~ la relation (Pr ]) = (Pr2) + (Pri21) , on voit que

C(n,p) = p-I

i r=|

[(n+|) (Pri~) - (Pr|)] C(n-r)p-r)

= (n+l) (C'(n-l,p-l) + C(n-l,p-l)) - C'(n,p) .

aprgs

On en d~duit aussitSt

C(n,p) + C'(n,p) = (n+l)...(n-p+3) = (n+l)! , (n-p+2)i "

Nous avons maintenant besoin de la majoration suivante, dont la d~monstra-

= dzj A dzj , [Ji = P)" tion est immediate (se ramener au cas d'une forme ~ gp

LEMME 4. - Pour route forme ~ E Sp p et tout entier k < p , on a

I (p-k) ! L k 8 <s p!k! Ak~

En appliquant cette in~galit~ pour k = I ~ la forme 8 = AP-le6 WpI= Sp I,

! on obtient (la notation Tr ~ d~signant la scalaire p! APe) :

COROLLAIRE 2 - Si e E WP p �9 , on ales in~galit~s fortes

~P ~P - C'(n,p) Tr~ . ~<S ~ % C(n,p) Tr e . p--[

avec les constantes du th~or~me 3 , et

C(n,o) = I , C'(n,O) = o

75

Comme l'op~rateur * conserve la trace Tr ~ et la positivit~ forte, on

peut d'ailleurs remplacer dans le corollaire 2

C(n,p) par Inf(C(n,p),C(n,n-p)) ,

C'(n,p) par Inf(C'(n,p),C'(n,n-p)) .

Ces dernigres constantes ne sont malheureusement pas optimales.

Ainsi pour p = 2 :

PROPOSITION 5. Si a C WP 2 n ~o 2 - , alors e <S ~ " Tr ~ . -~

~2 ~ ~j~,km dzo A dz~ A d~ k Adz m, nous savons (voir D~monstration. Si ~ = -~ j,k,~,m J ]

la d~monstration de la proposition 3) que la forme

e 2 $(~) = ~ + -~ j,k!L~m ej%,kZ dz.j A dZm Adz k A dE m

est fortement positive. En utilisant le lemme 4 avec p = k = 2 , on trouve

2 60

~<S ~(~) <S rr(8(~)) . --~ ,

l n Tr avec Tr(~(~)) = Tr (~ + ~ ~ ~j~,j~ = ~ . . j #~#m#j

76

BIBL IOGRAPHIE

[l ] DEMAILLY (J.P.).

Scindage holomorphe d'un morphisme de fibres vectoriels semi-

positifs avec estimations L 2 , g paraTtre.

[2] DEMAILLY (J.P.) et SKODA (H.).

Relations entre les notions de positivit~s de P.A. GRIFFITHS

et de So NAKANO pour les fibrgs vectoriels, S~minaire

P. LELONG-H. SKODA. (Analyse), ]9gme annie, 1978-79, Lecture

Notes n ~ 822,1980,Springer-Verlag,Berlin,Heidelberg,New York.

[3] DOUADY (A.) et VERDIER (J.e.).

S~minaire de G~om~trie analytique, E.N.S., 1972-73, Diff~rents

aspects de la positivit~, Ast~risque 17, 1974, Soci~tg Math~-

matique de France.

[4] GRIFFITHS (P.A.).

Hermitian differential geometry, Chern classes and positive

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p. 185-251, 1969.

[5] LELONG (P.).

Integration of a differential form on an analytic complex

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1957.

[6] NAKANO (S.).

Vanishing theorems for weakly l-complete manifolds II, Publ.

RIMS, Kyoto University, p. 133-139, 1974.

[ 7 ] SCHNEIDER (M.).

Lefsehetz theorems and a vanishing theorem of Grauert-

Riemenschneider, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics,

vol. 30, Several Complex Variables, Amer, Math. Society

Providence, t. 2, p. 35-39, 1977.

[8] SKODA (H.).

Morphismes surjectifs de fibres vectoriels semi-positifs, Annales

scient, de l'Ecole Normale Sup~rleure, 4 e s~rie, t. ll,p.577-611,

1978.

SCINDAGE HOLOMORPHE D'UN MORPHISME DE FIBRES VECTORIELS SEMI-POSITIFS AVEC

ESTIMATIONS L 2

par J.-P.DEMAILLY

Table des mati~res.

O. Introduction et notations.

I. Rappel sur les diff~rentes notions de positivit~.

2. Estimations a priori et in~galit~s L 2.

3. Calcul de courbure.

4. Construction de r~tractions holomorphes.

5. Extension des fonctions holomorphes avec contrSle de la croissance.

O. Introduction et notations.

Le present travail r~tndie dans un cas particulier les techniques d~velopp~es par

H.SKODA [11] , [12] , [13] , [14] , [15] pour l'~tude des morphismes surjectifs de fi-

bres vectoriels holom~rphes semi-positifs. On consid~re une suite exacte

( 1 ) o - + s - - > E --$+Q - - . o

de fibres vectoriels holomorphes, de rangs respectifs s,p,q (avec s = p-q) , au-

dessus d'une vari~t~ analytique complexe X de dimension n . On dit qu'un morphisme

de Q dans E r~alise un seindage holomorphe de la suite exacte (I) si

g o h IdQ ,

de sorte qu'on a a]ors la d~composition

E S �9 h(Q) .

Plus g~n~ralement, ~tant donn~ un fibr~ lingaire M sur X , et une section f du

fibr~ Hom(Q, Q | M) , on recherche s'il existe une section h du fibr~ Hom(Q, E | M)

t~lle que

goh f.

Pour obtenir de tels r~sultats, nous serons amends ~ faire des hypotheses ae convexit~

sur la vari~t~ X , et de positivit~ sur les fibres E et M . Nous supposerons, comme

H.SKODA [13] , [14] , [15] , que X est une vari~t~ k~hl~rienne, munie d'une m~trique

78

de K~hler m non n~cessairement compl~te, et que X est faiblement pseudoconvexe ,

c'est-~-dire qu'il existe sur X une fonction de classe C 2 , plurisousharmonique

et exhaustive . Les variEtEs compactes, les vari~t~s de Stein, l'espace total d'un

fibre holomorphe semi-nEgatif an sens de Griffiths au-dessus d'une variEtE compacte ,

sont faiblement pseudoconvexes. On suppose de plus que les fibres E , M sont munis

de mEtriques hermitiennes, et que les fibres S , Q , Hom(Q, Q| , Hom(Q, E~M)

sont munis des m~triques naturelles d~duites de celles de E et M .

Les hypotheses de positivit~ sont les suivantes (voir le paragraphe I pour les d~fi-

nitions concernant la courbure et la positivit~) : le fibr~ E est semi-positif au

sens de Griffiths, et il existe un reel k>Inf(n,q) + inf(n,s) tel que l'une des

conditions (2) ou (3) soit r~alisEe :

(2) ic(M) - ik c(d~t Q) - ic(dEt E) + i Ricci(~) ~ 0 ;

(3) le rang

et on a

s de S est ~gal ~ I , ou bien E est semi-positif au sens de Nakano,

ic(M) ikc(d~t Q) + i Ricci(w) ~ 0 .

n On a alors un th~or~me d'existence avec estimations L 2 pr~cises (on a not~ dV = ~0

n!

l'~IEment de volume canonique sur X ).

THEOREME I. - Pour toute section globale f de Hom(Q, Q ~ M) telle que le second

membre de (5) soit fini, il existe une section globale h de

(4) g o h = f ,

(5) I ,hi2 dV ~ C I ,f,2 dV , X X

k- Inf(n,q) avee C =

k-Inf (n, s)-Inf (n, q) "

En pratique, le th~or~me I s'appliquera surtout au cas o~ la vari~tE X est de Stein,

car les conditions de positivitE et la convergence globale des intEgrales semblent '

supposer l'existence de fonctions d'exhaustion st;ictement plurisousharmoniques (du

moins lorsqu'on eherche ~ construire des scindages holomorphes).

La d~monstration repose sur l'inEgalit~ de Kodaira-Nakano, et sur le lien qui existe

entre les formes de courbure des fibres Q, S et l'obstruction au scindage holomorphe

Horn(Q, E | M) telle que

7g

de la suite exacte (|). Les calculs sont directement inspires de [14] , mais utili-

sent de plus une relation entre les notions de positivit~ de P.A.GRIFFITHS et de

S.NAKANO, r~cemment publi~e par l'auteur dans [3] en collaboration avec H.SKODA ,

et dans [2].

Etant donn~ une sous-vari~t~ X de dimension n de C p , le thEor~me I s'appli-

que en particulier g la suite exacte

0 --+ TX--~TCPIx---~NX ---~0

qui d~finit le fibre normal NX de X . Cette idEe , dEj~ utilis~e par C.A.BERENSTEIN

et B.A.TAYLOR [I] , nous permet de montrer l'existence d'un voisinage tubulaire U

se r~tractant holomorphiquement sur X , et d'estimer la taille de U ~. En appliquant

des techniques~nalo~ues ~ celles de B.JENNANE [9] �9 nous obtenons ~u derp~ier paragraphe

un th~or~me d?~xtension des fonctions holomorphes avec contrSle de la croissanre

Je tiens ~ remercier Monsieur Henri $KODA pour ses nombreuses suggestions, qui ont

permis d'am~liorer la r~daction initiale.

1. Rappel sur les diff~rentes notions de posit iyit~.

Si E est un fibr~ hermitien, on peut d~flnir une connexion canonique D sur E ,

hermitienne et holomorphe (cf. A.DOUADY et J.-L.VERDIER [4] , P.A.GRIFFITHS [5]) ,

qui envoie l'espace Ca,b(X,E ) des formes de type (a,b) g valeurs dans E , dans

Ca+I,b(X,E) @ Ca,b+1(X,E) �9

La forme de courbure c(E) du fibr~ E est alors d~finie par la propriEh~ suivante :

D2u = c(E).u

pour toute section C ~ u de E de sorte que ic(E) est une (1,1)-forme

valeurs dans le fibre Herm(E,E) des endomorphismes hermitiens de E ; on identifiera

toujours ic(E) ~ la forme hermitienne sur TX @ E qui lui est associ~e canoniquement.

i DEFINITION I. - Soit @ une forme hermitienne sur un produit tensoriel T ~ E

d'espaces vectoriels complexes T e t E de dimensions respectives n e t p . On di-

ra ~ue 0 est semi-~ositive

~cf. w 4, th~or~mes 4 et 5).

~(cf. corollaires 2,3,et 4 du th~or~me 6 ).

80

(6) au sens de GRIFFITHS~ si pour tout vecteur d~composable x = t @ e E T | E ,

on a @(x,x) ~ 0 ;

(7) au sens de NAKANO, si pour tout x ~ T @ E , on a @(x,x) g O .

Le fibr~ vectoriel hermitien E sur la vari~t~ X est dit semi-positif au sens de

GRIFFITHS (resp. au sens de NAKANO) si pour tout point z@ X , la forme hermitienne

ic(E) sur la fibre T X @ E est semi-positive dans ce sens. z z

Nous noterons >G la semi-positivit~ de GRIFFITHS, ~N celle de NAKANO. II est

clair que la semi-positivit~ de NAKANO entralne celle de GRIFFITHS. De plus, les deux

notions coincident si n = I ou si p = 1 , et sont reli~es en g~n~ral par le

th~or~me suivant.

TH~OR~ME 2 - Soit @ gG O une forme hermitienne sur T | E .

S i (ej)l$ j Sp est une base orthonorm~e quelconque de E (suppos~ hermitien) on.

d~finit Tr E @ par

P Tr E @(t,t) j=ll @(t | ej, t ~ e.)j

pour t E T . Alors on a

(8) @ + Tr E @ | I~ ~N 0 ,

(9) @ ~N Inf(n,p) TrE@ | Id E .

Soit E un fibre vectoriel hermitien sur

sens de GRIFFITHS. Alors

X , semi-positif (resp. positif) au

(10) E | d~t E ~N O (resp. E | d~t E >N O) ,

E ~d~t E ~ <N O (resp. E | d~t E <N O) ,

(||) E | (d~t E) -Inf(n'p) ~N 0 (resp. <N O) ,

E z| E) Inf(n'p) ~N O (resp. >N O) .

REMARqUE I. Les deux assertions de (10) (ou de (11)) ne sont pas ~quivalentes ear la

positivit~ de E ~quivaut ~ la n~gativit~ de E x seulement au sens de GRIFFITHS

(mais pas au sens de NAKANO en g~n~ral).

Les points (9) et (11) sont en fait une g~n~ralisation du lemme fondamental (3,5)

de [14] . Lorsque E est quotient d'un fibr~ trivial, la seconde assertion

84

de (11) est d'ailleurs consequence de ce lemme de [14] .

DEmonstration~ Nous renvoyons le lecteur ~ [2] , [3] pour une preuve de (8).

Preuve de (9) : montrons tout d'abord que

TrE @ | IdE - @ >~G O .

En effet 9 tout vecteur d~composable xET | E peut s'~crire x = t | e o3

[eli = 1 ; si l'on ehoisit une base orthonormEe (ej) I ~<j~~@(x,x) ,

grace g l'hypoth~se 0 >~G O . D'apr~s (8) on a donc

Tr E 0 | Id E - @ + TrE(Tr E @ | Id E - @)| E = p Tr E O | Id E - @ >~N O ,

ce qui d~montre (9) lorsque p~n. Lorsque n ~< p , il est ais~ de voir que

T~E = I ] T| . F~C~ , dim F = n

Appliquons le r~sultat d~j~ trouv~ ~ la restriction @F de ~) N T ~ F , pour tout

sous-espace F de dimension n de E . (9) se d~duit des inEgalit~s suivantes

OF ~<N n Tr F OF | IdF ~<N n TrE@ @ Id F ,

soit @ ~<N n TrEQ | Id E sur T| o

Preuve de (IO) et (II).

Ii est bien connu que la courbure du fibr~ dEt E = A p E est reli@e ~ celle de E

par la formule

(12) c~d~t E) = Tr E c(E) = - Tr E c(E m) ,

et que pour deux fibres vectoriels hermitiens E l et E 2 , on a

(13) c(E] | E2) = C(El) | IdE2 + IdEi| c(E 2) �9

(IO) et (II) se d~duisent alors de (8) et (9) en prenant @ = ic(E) ou • = -ic(E ~)

selon le cas.

82

2. Estimations a priori et in@galit@s L 2 .

On consid~re , avec les notations et hypotheses de l'introduction, la suite

exacte (I) :

0 ---~-S - - ~ E g ~ - q - - ~ 0 .

La connexion canonique D sur E se d~compose suivant le scindage orthogonal C =~ ,

E = S ~ Q , de la manigre suivante

(]4) D = ,

DQ

oN D S et PQ sont respectivement les connexions canoniques sur S et Q , et o~

co B E CI,o(X , Hom(S,Q)) .

Nous renvoyons ~ P.A.GRIFFITHS [5] pour is dgmonstration de (14), et g H.SKODA [14]

pour le d~tail des ealculs qui vont suivre. On a r

A B D~ ~

c (E) = D 2 =

2 \ D~ DQ - ~ ^~

d'o~ par d~finition

2 c(E) Is c(S) = D s =

(is) 2 c(E) j c(Q) = DQ = Q

+ ~^

+ ~^B • .

Soit K = A n T i X le fibrg eanonique de la vari~t~ X et M un fibr~ en droites

sur X . Par application ~ (I) du foncteur Hom(Q, ?|174 on obtient la suite

exacte

(16) O --+Hom(Q, S ~ K | M) ) Hom(Q, E ~ K ~ M) ---~Hom(Q,Q | K | M) > O ,

et la connexion DHom(Q, E| se dgcompose suivant le scindage orthogonal de

(16) , en DHom(Q, SOK@M) - ~ )

DHom(Q, EOK~M) =

B DHom(Q, Q| Posons R = Hom(Q, S| pour simplifier les notations.

PROBLEME. - Etant donn~ une section holomorphe f de Hom(Q, Q| chercher un

83

rel~vement h de f dans Hom(Q, E @ K | M) sous la forme

h = f + u ,

avec u E C (X, R @ K) = Cn,o(X , R) .

On aura bien par construction g o h = f , et h sera holomorphe si et seuiement si

f = 8~ f . . 11

(17) D R u - DHom(Q, E | K | M)

On r~sout cette ~quation par la m~thode d'HORMANDER [~ et [7] , ce qui, modulo l'in~-

galit~ de KODAIRA-NAKANO (cf. [4], expos~ III, th. 3) , n~cessite l'obtention d'une

estimation a priori du type suivant (avec une constante A ~ O)

(18) [(BXf[v)l 2 @ A(ic(R)A v Iv)

pour toute (n,l) forme v ~ valeurs dans R , de classe C ~ et ~ support compact.

Le produit scalaire ( [ ) est d~fini ~ partir du produit scalaire ponctuel < , >

des formes par la formule

(v [w) = [ <v, w>dV , ) X

pour deux formes v et w ~ valeurs dans R , de classe C ~ , et ~ support compact.

A d~signe d'autre part l'op~rateur de type (-I,-I), adjoint de l'op~rateur L de

multiplication ext~rieure par m , pour le produit sca]a~e ponctuel < , >

Nous nous servirons de la proposition suivante (cf. H.SKODA [1~ , lemme (3,1) ,

proposition 3.l. , et conclusion (4,17)).

PROPOSITION. - Sous l'hypoth~se (18), il existe une forme uECm(X, R @ K) v~rifiant

" 8 ~ f et: (17) : D R u = r

lul 2 dV ~ A ( 1 9 ) ) X

Le r e l ~ v e m e n t h = f + u d e f e a t d o n c t e l que

(20) I ,h,2 dV$ A + I If,2 dV . X X

car f et u sont orthogonaux.

Le th~or~me | sera d~montr~ si nous ~tablissons l'in~galit~ (18) et d~terminons la

constante A .

84

3. Calcul de courbure.

Nous aurons besoin des notations et r~sultats suivants .

Le produit int~rieur a A b de deux formes $ valeurs scalaires est d~fini en

tout point z de X par dualit$ :

< aJb , e > = ;

on fitend le produit int~rieur au cas o~ a, b sont des formes ~ valeurs dans des

fibres vectoriels E, F par bilin~arit~ (le r~sultat ~tant $ valeurs dans le fibr$ G

si on a un morphisme bilinSaire E • F --~G).

LEMME I. - (H.SKODA [14] , lemmes (3,3) et (3,4)).

Pour toute forme V6Cn,l(X, R) = CO,I(X , Hom(Q, S | K ~ M)) ~ support compact, toute

(l,l)-forme r~elle 0 SN 0 ~ valeurs dans Herm(R, R) , et route forme

6 CI,0(X , Horn(S, Q)), on a

(21) (o A v ] v ) ~ o

(22) (-iS x ^ S A ~ Iv) = IlSJvll 2.

D~monstration de (21). Soit

@ = i Z alHjk dz% ^ dz @ e ~. e e k ] %,D,j ,k

i Z dZlA. AdZnAdZ ~ e ej v = y vlj .. X,j

l'~criture canonique de 0 et de v relativement ~ une base orthonorm~e

de T x X , et ~ une base orthonorm~e {e.} de la fibre de ]

Av = Z ( -1) n-~' A %,j v)tj dZl ^ ' ' ' ^ d z x A ' ' ' A d z n | ,

OAv = i Z a~pjk vxj dZlA ...AdZnAdZp| k , )~,lJ,j ,k

< 8Av,v>= 2 n ~ a~ujk vxj v k >/ 0 , %,~,j ,k

d'apr~s i' hypoth~se de semi-positivit~ de NAKANO de 0 .

(dz l ) 14X~<n

R . On a en t o u t p o i n t

D~monstration de (22). Eerivons en tout point de X

8 = E BX~ j dz%| E. ~ ~D ~Z ~, , j , s ] '

i Z dz ^ . Adz Adz k ~ e] v = ~ X,J,m vxj 1 "" n

85

avec v%j eQ~ ~ M , |<%~n , ! ~ j < s , | ~ ~ < q , dans des bases orthonorm~es

(gj)l ~j ~s ' ( N~)|$ s q des fibres de S et Q . On v~rifie que

-iB ~^ B = i ~ B%~j ~Zk dz%Adz~ g~ | ~k ' %,~,j,k,s ]

de sorte que les coefficients de @ = -iBx^~@ Herm(S,S) sont donn~s par

a%~jk = ~ B%Zj B~%k �9

D'apr~s la premiere partie de la demonstration, on a

< -i~ x^ ~ A v,v >= <@ ~ IdQ~M A v,v >

= 2 n l,~, j,k,s BIZJ ~H~k<V~J ' v~k~

= 2n ~ I E B%~j vxjl 2 k,j

(22) r~sulte donc de l'in~galit~

B J v (-I) n i ,~, BkZ] = vlj dz I ̂ ... ^dz n | ~ . �9

Nous disposons maintenant des moyens techniques n~cessaires pour effectuer le calcul

de courbure.

Puisque R = Qx | S ~ M , on a d'apr~s la formule (~3)

(23) c(R) = c(Q x) | Id S| + c(S) | IdQX~ M + c(M) ~ IdQZ ~ S

Supposons le fibr~ E semi-positif au sens de GRIFFITHS.

Alors il en est de m~me pour le fibr~ Q . D'apr~s le th~or~me 2 (.11) on a

(24) ic(Q ~) + Inf(n,q) ic(d~t Q) @ IdQ~ ~N 0 .

Puisque -i~^~ ~G 0 (en fait on a m~me -i ~^~ ~N 0) , (9) et (15) entralnent succes-

sivement

(25) i(c(E) IS - c(S)) = -i~^~ ~N Inf(n,s)i Tr(-8Z^ B) ~Id S

= Inf(n,s) i TrBA~ x ~ Id S ,

(26) i(e(E) l S - c(S)) ~N Inf(n,s) i(c(dat Q) - Tr c(E)IQ) ~ Id S ,

d'o~ , apr~s substitution de (24) et (26) dans (23) :

ic(R) ~N i[r - (Inf(n,q) + Inf(n,s))c(d~t Q) + Inf(n,s).Tr c(E) l~IdR+iC(E)Is| M.

Si (hypoth~se (3)) S est de rang ] , ou si E ~N O , on a ic(E) Is ~N O ; de

86

fa~on g~n~rale, (8) implique

ic(E) Is + i Tr c(E) Is | Id S ~N O .

En substituant ~ nouveau dans (27) , il vient

ic(R) ~N i[c(M) - (Inf(n,q) + Inf(n,s)c(d~t Q) + Inf(n,s)Tr c(E) I Q - Tr c(E) Is ]~Id R .

Posons e = k - Inf(n,q) - Inf(n,s) > O ; comme Tr B^$ ~ = c(d~t Q) - Tr c(E) IQ

d'apr~s (15), on obtient

(28) ic(R) - ieTr ~ ^~x | Id R >N

i(c(M) - k c(d~t Q) + (k - Inf(n,q))Tr c(E) IQ - Tr c(E) Is)~Id R ;

le terme Tr c(E)[ S peut mgme ~tre omis sous l'hypoth~se (3) .

Remplagons M par M | K ~ = M @d~t TX ; compte tenu de ce que Ricci(~) = c(d~t TX)

et E ~G O, le premier membre de (28) est semi-positif sous les hypotheses (2) ou (3).

La propri~t~ (21) entraine done l'in~galitg suivante :

(29) (ic(R) Av]v)~ s Tr B ̂ B xAv I v) .

Pour obtenir l'estimation a priori (18) , il nous reste ~ majorer I(~ z f]v) I 2 en

fonction de (i Tr 8A B IAvlv ).

Pour obtenir (18), il nous reste g majorer ](B ~ f Iv)[ 2 en fonction de (i Tr 8^BZAvlv).

Par definition du produit int~rieur, et d'apr~s (22), on a

(30) I(8~flv) l 2 = l(f{B~v) I2~ ~fll 2 ~vll 2 = ~fll 2 (-iBX^BAvlv) ,

Une nouvelle application de (21) fournit ~ partir de (25) :

(31) (-iBx^ ~ Av]v) ~Inf(n,s) (i Tr 8^B x n v]v) ,

d'o~ en eombinant avec (29):

LEMME 2. - L'estimation (18) ](~Xf]v) I2~ A(i e(R) Avlv) est satisfaite ~ at on peut

choisir la eonstante A ~gale

] If[ 2 dV . Inf (n,s) k-lnf(n,q) - Inf(n,s) X

Le th~or~me I r~sulte maintenant de la proposition (cf. (20)) et du lemme 2.

REMARQUE 2. Les ealculs precedents montrent en fait que le th~or~me est vrai si l'on

suppose seulement

(32) i(c(M)-ke(d~t Q)+(k-lnf(n,q))Tr c(E) IQ-Tr c(E) Is+Ricci ~) ~ O ,

le terme Tr c(E) l S ~tant superflu si s = 1 , ou si E ~N O~

87

Mais nous avons pr~f~r~ ~noncer le th~or~me l avec des hypotheses g~om~triques

qui ne supposent pas une connaissanee approfondie de c(E).

REMARQUE 3. Lorsque la section f du fibre Hom(Q, Q ~ M) est de la forme

pour une section u de M , on va montrer que

I(B ~ flv)]2~ Inf(~,s)HfH 2 (i Tr ~^~ A v]v) ,

de sorte qu'on peut dans le lemme 2 prendre

Inf(~,s) f I I A = dV

k - Inf(n,q) - Inf(n,sf JX ,fj2 ,

et remplacer la constante C du th~or~me I par

Inf(~,s)

C' = I + k_. Inf(n,q) - Inf(n,s) "

Ecrivons en effet en chaque point z EX la section

f = IdQ@ u

v C C ~ (X,R) = C~(X, Hom(Q,S ~ K ~ M)) sous la forme n,l

un vecteur unitaire de la fibre K z @ M , et o3 w est une Z

dans Hom (Q,S) . On a Z

(33) <~f, v> = <u, e >

Dans une base orthonorm~e (dzj) de T~z X , les formes B et w n

= Z B dzj ft. E Horn (S,Q) , j=l J ' j z

1 n

w = 2 j=1% w.j dE.j , w.j C HOmz(Q,S ) .

Ii vient donc n

<~, w> = Z <~, wj> ,

n j=l l IBjl 2 Iv j]2 , avec v. = w. @ e . (34) I<8 z, w>l 2 ~< n j=1 J J

Si d'autre part, on a choisi la base (dzj)

orthogonaux (ce qui est toujours possible, car toute matrice

B = U D V , o3 D matrice "diagonale" r • n , U et V

et n • n) on obtient successivement :

^fl~ = Z Bj ~ dzj^dz k l~<j,k~<n k '

n J n ]2 i Tr ~ A B ~ = i Z fl ) dz.^dz. = i Z 18j dz. Adz.

j=l Tr(flj J J j=l J J '

de sorte que les ~igments

v = w | e , o3 e est

(0,1)-forme ~ valeurs

s'~crivent

Sj soient

r • n ~ B peut s'~crire

matrices unitaires r x

88

n IBJl 2 ]2 (35) = E I vj j=!

pour ~tablir l'~galit~ (35), on se reportera g la d~monstration de (2;). En combi-

nant (33), (34) et (35), on voit que

1<~" f, v>12~<n<iTrB^~ Av, v> lul 2

= n ifl2. q

Apr~s integration sur X , l'in~galit~ de Cauehy-Schwarz implique

nf 2 ~ I ( ~ flv)I2~< ~( Ifl dV). (i TrBA A vlv) ,

X et (30) , (31) montrent qu'on peut remplacer q par Inf(q,S) . �9

On va maintenant ~noncer les r~sultats du th~orgme I en fonction d'une m~trique

donn~e a priori sur Q , de mani~re ~ pouvoir traiter comme H.SKODA [14] le cas

o~ le morphisme g d~g~ngre.

Soit g~ le morphisme C ~176 , transpos~ de g

E et Q :

O ---~ Q $>E .

, pour les m~triques donn~es sur

Le morphisme g~(gg~)-] : Q--~E , est le scindage C ~ de la suite exacte (I)

qui envoie Q dans (Ker g)i= SO-; la m~trique quotient I I' sur Q est donc

donn~e en fonction de la m~trique initiale I I par

(36) [ul '2 = Ig~(gg~) -] ul 2 = <(gg~)-! u,u> , u@Q .

D~signons par c'(d~t Q) la forme de courbure de d~t Q relative ~ la m~trique

quotient sur Q . Ii rgsulte aussitSt de (36) que pour tout v @ d~t Q :

Ivl'2 = d~t(gg~) -1 Ivl 2 .

On a donc

c'(d~t Q) = c(d~t Q) + d'd" Log d~t(gg ~) .

Si l'on veut conserver telles quelles les hypotheses de positivit~ (2) et (3), on

est amen~ g multiplier la m~trique de M par le poids [d~t(gg~)] k , de sorte

que l'estimation (5) du thgor~me I devient

(37) I ]h]'2 (d~t gg~)-k dV,<C I IfI'2 (d~t gg~)-k dV . X X

Pour tout ~l~ment hEHom(Q, E) , la norme ]hl' est donn~e en fonetion de la

89

norme naturelle lhJ par

lhl '2 = lh o gl 2 = <h o gg*, h> ,

et d'apr~s (36), on a pour tout f@Hom(Q, Q) :

I fj,2 = <(ggm)-lo f oggX , f >

ggX) - ] r-ix = (d~t < gg o f = ggm, f > ,

o~ gg d~signe l'endomorphisme cotranspos~ de gg

L'estimation (37) s'~crit donc

( gg.)-k I ~. gg.)-k-! < hogg m, h>(d~t dV~<C < gg o f ogg m , f >(d~t dV . X X

Si maintenant g n'est surjectif qu'au dessus de X priv~ d'un ensemble analyti-

que Z ~ on suppose que Z est X-n~gligeable au sens suivant.

J DEFINITION 2. - Nous dirons qu'un ensemble Z c X est X-n~gligeable, s'il existe

un sous-ensemble ferm~ Y de X , eontenant Z , de mesure nulle, tel que l'ou-

vert X \Y soit faiblement pseudo convexe, et tel que toute fonction de carr~ som-

mable sur un ouvert U de X , holomorphe dans U \Y , se prolonge en une fonc-

tion holomorphe sur U .

Lorsque la vari~t~ X est de Stein ou projective, Z est toujours X-n~gligeable :

il suffit de prendre pour Y une hyDersurface quelconque de X contenant Z .

Si Z est X-n~gligeable, le th~or~me I s'applique ~ X \Y . Comme k ~ ! , la

finitude de l ' i n tgg ra l e

I <h o gg~, h> (d~t gg~)-k dV X \Y

entra~ne que h est loealement L 2 , donc que h se prolonge ~ X . D'o~ le

THEOREME 2. - Etant donn~ un morphisme g : E -+ Q , on suppose que l'ensemble

analytique Z = {z~XIg(Ez) @ Qz } es___~t X-n~gligeable ~, et que le fibr~ lin~aire M

v~rifie l'une des conditions de positivit~ (2), (3) ou (32) .

Alors, pour toute section f de Hom(Q, Q | M) telle que le second membre de (38)

soit fini, il existe une section h de Hom(Q, E | M) telle @ue g o h = f e__tt

(38) <h~,gg ~, h>(d~t gg~)-k dV.<C <gg f ogg~,f> (dgt gg~)-k-I dV , X\Z \ Z

k- Inf(n,q) avec C =

k - Inf(n,q) - Inf(n,s) "

On peut d~montrer que cette hypoth~se est superflue.

90

4. Construction de r~tractions holomorphes.

Soit X une sous-vari~t~ ferm~e de dimension n d'un ouvert pseudoconvexe

de ~P . On s'int~resse g la suite exacte

I g~NX >O O ~ T X ---~ T~ X

o~ NX est le fibr@ normal ~ X . Tous ces objets sont munis des m~triques indui-

tes par la m~trique de ~P . Avec les notations de l'introduction , on a

E = T~IX , S = TX , Q = NX , s = n , q = p - n .

De plus, d~t Q = d@t NX = (d~t TX) -I m~triquement, donc

c(d@t Q ) = - Ricci(X) .

Choisissons pour M un fibr@ trivial, dont la m~trique est donn@e par le poids e -~

de telle sorte que c(M) = d'd"

Comme le fibr~ E = T ~ IX est plat, les conditions (2) et (3) s'~crivent :

id'd"~ + i(k+l)Ricci(X) >i 0 ;

en appliquant le th@or~me I ~ f = IdQ , dont la norme e~ rant que section de

Hom(Q, Q @ M) vaut qe -~ , et compte-tenu de la remarque 3, on obtient le

t THEOREME 3. - Pour toute fonction ~ plurisousharmonique sur X , et tout r@el

k > Inf(2n,p) tels que

id'd"~ + i(k+|)Ricci(X) >i 0 ,

il existe une section h : NX ---~T~I X t elle que

g o h = IdNx ,

f n (39) lhl 2 e -~ dV ~< (p-n + k Inf(2n,p) dV . X X

C ~ REMARQUE 4. Le r~sultat a ~t~ d~montr~ seulement lorsque ~ est de classe ,

mais il est imm@diat de se d@barrasser de cette hypoth~se par un passage ~ la limite.

On notera que la condition de courbure ne peut ~tre v~rifi~e que si ~ est plurisous-

harmonique , car i Rieci(X) ~< 0 .

Si ~X : NX --~X est la projection du fibr@ NX , on d~finit une application

: NX --~ cP par

~(~) = ~x(r + h.~ , ~ e NX .

II est clair, d'apr~s le th~or~me des fonctions implicites, que o est un

91

isomorphisme d'un voisinage V de la section nulle dans NX , sur un voisinage V'

(41)

r : V' --->X (c'est-~-dire une appli-

r(z) = z pour tout z ~X) en posant

et V'

telle que pour tout zEX , il existe un

p(z) , darts lequel X est un

D(z, p(z)) est le produit des deux disques D'CTzX , D"C(TzX)J-de centre

et de rayon p(z) �9

X ND(z, p(z)) est le graphe d'une application holomorphe

u z : D ' > D" .

Si on pose Cp(Z) = sup ~(r , on obtient le r~sultat g~n~ral suivant , qui ~EXnD (%p(z))

ne fait intervenir que des donn~es g~om~triques de X .

THEOR~ME 4. - Soit ~ une fonction plurisousharmonique sur X telle que

id'd"~ + i( e+ I + Inf(2n,p))Ricci(X) ~0 (s > 0),

S e -~ dV < + X

@ une fonction v~rifiant les hypotheses (40) , (41) , e t h le scindage holomor-

phe du th~or~me 3.

Alors l'application o(z, ~) = z + h(z). ~, d~finie sur NX , est in~ective

sur un "voisinage" V de la section nulle dans NX de la forme

V = {(z, $) ENX ; l~I $ c I e-~P(Z) p (z)2n+l}

II existe une constante C 2>0

sur l'ouvert

U = {~ E C p ;

et une r~traction holomorphe r : U --~X

e-~0(z) (~zEX) I~ - zl<C 2 P (z)2n+1}

Les constantes CI >0 , C 2 >0 , sont le produit de constantes universelles (he d~-

pendant ~ue de la dimension p ) et de

I I -I [(l + ~)

de X dans ~ .

On construit donc une r~traction holomorphe

cation holomorphe r : V' -->X telle que

-I r = ~X o o

Ii ne nous reste plus qu'g pr~ciser V

On se donne une fonction p > 0 sur X

polydisque D(z, p(z)) de centre z , de rayon

graphe. De fa~on precise, on suppose :

(40)

92

D6monstration. Dans route la suite, on d6signera par ~. les constantes ne d~pen- 3

dant que de la dimension p , et on posera

1 I e"~ C = (i + ~) dV.

X On consid~re en tout point z6 X un syst~me de coordonn~es lin~aires (~I' ~ ~p)

... ~.~ tel que ~ 1 ' , ~ s o i t u n e b a s e o r t h o n o r m f i e d e TzX , e t ~ n + l ' ~ p

u n e b a s e o r t h o n o r m f i e d e (TzX) j - . L e s v e c t e u r s ~ 3 d ~ f i n i s s e n t un

rep~re local de NX au-dessus de X~Dz ; on note ~n+l .... ' ~p les coordonn6es

correspondantes dans les fibres de NX . La section h E Hom(NX, T~Ix ) est donc

d~finie dans XND par une matrice z

Hz(~ I ..... ~n ) = [hj k(~ l . . . . . Kn)] l ,<j.<p

n+ I ~k,<p

avec hjk(Z) = ~jk ' n+l ~<j,k.<p .

I Salt f~z le polydisque de centre z et de rayon ~ p(z) , contenu

Dans Az, lhl 2 est ~quivalent & une constante universelle prgs

IHl 2 = ~ lhjk I2 j,k

(hater que l'application u z de (41) a ses d6riv6es born&es dans

tire de (39) grace aux in~galit~s de Cauchy, que pour tout ~ E A z

IHz(~)[ ~<c~ I C I/2 el/2~O (z) p(z)-n

(42) ~H z c~2Ci / 2 I/2~p(Z) Sup I ~j(~)l "< e p(z) -n-I l~<jx<n

a/ Injectivit6 de (~ sur V C NX .

dans D(z, p(z)).

Az) , et on

De (42) il r~sulte en particulier pour ~ = z :

(43) C1/2 el/2~0(z)P(z)-n ~ ~3 '

et si (z, ~) appartient au "voisinage" V , on a

e-i/2~0(z) (44) Io(z, ~) - z I = Ih(z).$1 ~ ~4ClC I/2 p(z) n+l

Supposons ~(z, ~) = o(z', ~') pour deux points distincts (z, $ ),

ce qui ne peut se produire que si z # z' ; on a par exemple

e-l/2~p (z') )n+l -1 p(z' $ e /2~P(z)p(z)n+l

(z', ~') de V ,

93

(43) et (44) entra~nent donc

(45) Iz' - zI $2~4 CI CI/2 e-l/2~o(z) 0(z)n+l~ ~5 CI C 0(z) ,

et z' E ~z d~s que C 1C est assez petit .

On montre ais~ment ~ partir de (41) , (45) que

-I/2~0(z) n angle(TzX ; z'-z) $ ~6CIC |/2 e 0(z) ,

car les d~riv~es secondes de u z sont born~es par e7 O(z)-1

maintenant

dans A z . Ecrivons

o = ~(z', g') - o(z, ~) = z' - z + Hz(Z').~' - Hz(Z).~

= Z' - z + (Hz(Z'I) - H (z)). ~' + Hz(Z).(~' - ~) . Z

-~0 (z) 2n+1 D'apr~s (42) et l'in~galit~ [$'] ~ C I e O(z) , on obtient ,

si CIC est assez petit:

I(Hz(Z') Hz(Z)).~' ] ~ ~8CI C I12 -I/2~0(z) - e p(z) n. [z' - z[

$ e9Ci C lz' - z I < ]z' - z I ,

angle (z' - z ; z' - z + (Hz(Z') - H z(z)). ~') Sa|0CIC I/2 e -I/2%(z) p(z) n �9

D'autre part, comme le vecteur non nul H (z). (~' - ~) se projette sur le vecteur g

de coordonn~es ~' - ~ dans N z X , (42) implique

angle(T z X ; Hz(Z).( ~' - ~))~I~' - ~I. IHz(Z) �9 (~' - $)I -I

~11C_1/2 -1/2~p(Z) e O(z) n �9

Les trois ~valuations d'angle qui precedent sont contradictoires d~s que CIC

est assez petit; on a donc d~montr~ l'injectivit~ de ~ sur V .

b/ Existence de l'ouvert U .

Cormme nous n'avons fair aucune hypoth~se de r~gularit~ sur la fonction 0 ,

l'ensemble V n'est pas n~cessairement un v~ritable voisinage de la section nulle

dans NX .

Ii nous faut commencer par "r~gulariser" 0 �9

On remarque qu'il existe un~ constante ~12E]0,|[ telle que pour tout

I O(z)), X soit un graphe dans le polydisque D( ~'~12 O(z)) E A z = D(z,

(c'est-g-dire que les hypotheses (40) , (41) relatives g ~ , D( ~ , ~|20(z)) sont

v~rifi~es).

94

On peut donc remplacer P par la fonction

p'(r = ~ ~]2(p(z) - 2 I ~ - z]) , c e x .

p' est lipschitzienne de rapport 2 ~ 12 ' ~ moins que p' ~ + ~ , auquel eas

est le graphe d'une application ~n Ep __+~p-n , et l'ouvert U = convient !

Posons pour tout z~X et 0 < t ~ O'(z) :

~t(z) = Sup ~(~) . ~eX ND(z,t)

La plurisousharmonicit~ de ~ entralne que ~t(z) est continue par rapport

(t,z) dans le domaine 0 <t~ @'(z).

D'autre part, on a la majoration gvidente

-~t(z~ n t2 n I e-~ e " n--~- ~ dV ,

X

-~t (z) de sorte que l'expression e . t 2n+] , tc]0, p'(z)] , atteint son maximum en un

point t = ~(z) E ]0, p'(z)] , et que la fonction -~(z)

e ~(z) 2n+|

est continue sur X . Ii r~sulte du lemme de Schwarz que les conditions (40), (4])

(41) sont bien satisfaites pour les polydisques D(z, ~(z)) .

L'ensemble V associ~ ~ ~ comme dans l'~nonc~ du th. 4 est donc ouvert, et

l'application holomorphe o , qui est injective sur V , est un isomorphisme de V

sur l'ouvert ~(V) C ~P (on pourrait aussi de faqon plus ~l~mentaire utiliser le

thfior~me des fonctions implioites).

I L'in~galit~ ~vidente qui suit, valable pour I~ - zl <~ 0(z)

a]2 o'(O ~--f-p(z)

entralne par definition de

-~(~) ~(~)2n+I [~12 O(z) ] 2n+I (46) e (~)) . LT

~exp(-~l~p(z)

~|2 2n+l e-CO (z) O(z)2n+] ~( -7- )

a12 car D( ~, T p(z)) C D(z, p(z)) .

Fixons zEX ; d'apr~s (46) l'ensemble V contient l'adh~rence W de l'ouvert

1 W = {(~, ~)ENX ; [~ - zl<~ p(z ) et [~I < C 3 e-@e(z) P(z) 2n+l}

d~s que C 3 < al3 C l .

95

On va montrer que o(W) contient la boule de centre z et de rayon C 2 e-~P(Z)0(z)2n+l

lorsque C 2 C est assez petit, ce qui ach~vera la d~monstration. II est clair que

le rayon de la plus grande boule incluse dans o(W) est ~gal g la distance de z

au bord ~(W) = O(~W) de ~(W) .

Supposons qu'un point (~, ~) ~W soit tel que

e-~p (z) p(z)2n+l (47) 1~(~, r - z[ = 1~ - z + h(~).~[ = C 2

Alors d'apr~s (42), (43) :

I~ - zl r ~14 C3 cI/2 e-I/2 ~p(z) P(z)n+ 1 + C2 e-~p(z) p(z)2n+l

~15(C2 C3)CI/2 e-I/2~p (z) + p (z ) n+l .

On en d~duit comme dans la premiere partie :

C3)C1/2 - 1 / 2 ~p(Z) a n g l e (~ - z ; T X) ~ ~16(C2 + e O(z) n

-i/2 ~p(Z) P(z) n , angle (h(~).~ ; T~ X)~I~[.lh(~).~[-l> ~17 C

et lorsque (C 2 + c3)c est assez petit :

I angle (~ - z, -h(~). ~) ~ ~ I~I. lh(~)-~I -I ,

]~ - z + h ( O . r 1 8 8 1 6 2 . [ ] ~ - z l § I h ( ~ ) - r

! C _ l / 2 - 1 / 2 ~0(z)0(z)n

ce qui est vrai m~me si I~l = 0 .

Ii r~sulte alors de (47) : -~p(Z)

]~] ~ 8 C 2 e 0(z) 2n+l ,

_] C2 CI/2 -I/2~(z) 0(z)n+ ] $ a19 C2 C p(z) ;

lorsque C 2 C est assez petit, on volt que ( ~ , ~) ne peut appartenir ~ la

fronti~re ~W de W ,donc la distance de z ~ o(3 W) est bien minor~e

par C 2 e-~P(z)p(z) 2n+1 �9

Nous allons maintenant transcrire le th~or~me 4 sous une forme plus exploitable

dans la pratique. On suppose que la vari~t~ X est d~finie par des ~quations

F I = F 2 = ... = F N = O ,

telles que le rang du syst~me (dFj)1~j~ N soit ~gal ~ codim X = p - n en

tout point de X . Calculons la courbure de Ricci de X en un point z E X o~

98

les formes (dFj)j eJ sont ind~pendantes, Jo o

Si l'on consid~re dF. comme une section de J

section de d~t N~X = d~t TX ; par consequent

Ricci(X) = c(d~t TX) = -d'd" Log I /~

j 6 Jo ce qui entralne

i Ricci(X) + id'd" Log E I j ~EJ dFj 12 J

= id'd" Log

dFj 2

J //\ dF. jej J

o

D'autre part , par d6finition de la m~trique de AT ~ ~P

[ j C j dFj [2 = ~ [Aj,K ]2 ,

~F. off Aj K = d~t [---i ]j~j, kEK ,

, Dz k

J C{I,...,~ }, K C {I,..., p}

>,0 ,

c {I ..... N} , [Jo] = p - n .

NXX , A dF. d~finit une j e Jo J

On a donc

i Ricei(X) + id'd" Log E IAj,K 12 J,K

et on voit qu'on peut prendre pour poids

dFjl 2 ,

, on a

, IJl = IK I = p - n.

toute fonction

(48) ~ = 2~ Log g + ~I '

avec les notatian~

= E + ! + Inf(2n, p) , A 2 = ~ IAj,K 12 J,K

et o~ ~| est une fonction plurisousharmonique sur X telle que

e_~l A -2~ dV < + ~ �9 X

Nous pouvons maintenant montrer de fagon tr~s precise l'existence de r~tractions ho-

lomorphes, d~ja diseut~e par C.A.BERENSTEIN et B.A.TAYLOR [I] dans un cadre analogue.

THEOREME 5. - Soient 9], 92, X des fonctions plurisousharmoniques sur l'ouv~rt

pseudoconvexe ~ C ~P, telles que

I A-2~ ~ 1 (49) e dV < + ~ , s = e + 1 + Inf(2n , p) , X

N ~2 IFjI2) ]/2 $ e ,

(50) ]FI = ( j=l ~

97

(51) z E ~ e_!t I~ - z] <e -x(z) lmpliquent :

e~ , ql(~ ) <~l(Z ) + A , r + A, et X(~) < X(z) + A.

Alors il existe une r6traction holomorphe r : U ~X d6finie sur l'ouvert

U = {z ~ ~ ; [F(z) l<e- ~(z)} ,

oa , est la fonction plurisousharmonique

(52) @ = ~l + C2 ~2 + C3 X + C 4 log A + C 5 ,

avec C 2 = (2n+2)(p-n)-l, C 3 = (2n+2)(p-n)+2n, C 4 = 2(g-n-l) ,

et

f = I C 5 log( A -2E e ~I dV) + log ~ +~ (I+e+A) ,

X

> O une constante ne d~pendant que de N et p .

D~monstration. On d~signera par 8j les constantes du type

1 I A-2~ "~Pl C = (I + ~) e dV .

a/ Montrons que la fonction

-(p-n)~ 2 - (p-n+l)x (53) P = ~1 A e

v~rifie les hypothgses (40) , (41).

l+ g +A , et

D'apr~s (50), (51) et les in~galit~s de Cauehy, les d~riv~es premieres des

~2 (z)+x(z) sont major~es par 82 e sur la boule de centre z

~2(z)+2X(z) les d~riv~es secondes par 83 e

On a done IAI $ ~4 e(P-n)(~2+X) , ce qui permet de choisir ~l tel que

(54) p ~ e -X .

F. ]

| e-X (z) et de rayon ~

Fixons un point z 6X , que nous prendrons comme origine des coordonn~es pour

simplifier ; quitte g effectuer une transformation unitaire sur (FI,...jF N) ,

on peut supposer que les diff~rentielles dzFl,...,dzFp_n sont orthogonales,

et que d F = = dzF N = 0 . z p-n+1 "'"

On choisit un syst~me de coordonn~es (~l,...,~p) tel que

dzF1(~) = ai~i, ..., dzFp_n(~) = ap_n~p_ n

On a al0rs

~2 (z)+x (z) A(z) = [al[ ... lap_n[ , et lajl = IdzFjl ~B2 e

ce qui entralne -(p-n-1 ) (~ 2 (z)+X (z))

(55) lajl ~ 85 A(z) e

98

On peut ~crire

a~l(Fj(~)] - Fj(z)) = ~j + Gj(~) , l ~j4p-n , avee

IdGj (~)I ~6 A(z)-I exp((p-n-l)(~2(z)+ X(z)) + ~2 (z) + 2 X(z))I~I

l e-X (z) sur la boule I~I ~

l On an dgduitque l'a~plication G = (GI,...,Gp_n) est ~ lipschitzienne sur une cer-

taine boule de centre z et de rayon 87A(z ) exp(-(p-n) ~2(z) - (p-n+l)X(Z)) ;

l'assertion relative ~ P r~sulte alors du th~or~me des fonctions implicites.

Si ~7 est assez petit, on aura de plus dans cette boule

I A(z) (56) a(~) ~ ~

b/ D'apr~s (48), (51), (54), (56), on a e ~(~) ~ ~8 e~(z) pour I~ - z] <p(z), donc

e~p (z) ~ (z) 688e . Le th~or~me 4 implique que l'appl~ation o est injective sur

le voisinage

V = {(z, ~)ENX ; I~I<89 C-]e -~(z) p(z)2n+l}, -I -~(z) avec (cf. (43)) B9 C e p(z) 2n+l ~p(z) .

Pla~ons-nous en un point z E X . Pour tout point (~ , ~) E ~V , avec o

]~ .Zo]<~lo0(Zo) et [~I = ~9 C-le-~(~) 0(~) 2n+l , le raisonnement de a/ montre que

~F(u( ~, ~))~ Inf lajl x distance (o (~,~),X) . J

La partie b/ de la d~monstration du th~or~me 4 entralne dans les m~mes con-

ditions (~9 et BlO assez petits) :

distance(o(~,$),X) = inf I distance(~(~,~),z)

~xJ~-~ol~2~(~ o) inf <I l C-le-~(z)D(z)2n+!

~ex, J~-zo [~ (~o)BI 812C-1e -~(zo) O(Zo )2n+| ,

et eomme IZo - o(~,~)I <p(o (~, ~)) , on a d'apr~s (51), (53), (54) :

e-4(Zo) O(Zo)2n+l ~ ~13e-~(o(~,~)) p(q(~, ~))2n+!

On obtient donc au point o = o(~,~) E DO(V) :

IF(~)I~I4C-IA(q) exp(-(p-n-l)(~2(~) +X(~)))e-~(~)0(~)2n+l = e-~(~)0(~)2n+l

(ef. (48~,(52),(53),(55),56)).

99

II en r~sulte que llouvert V contient toutes les composantes connexes de U

qui rencontrent la sous-vari~t~ X . On d~finit la r~traction r par r= ~X o o -I

sur ces composantes, et r = point constant de X sur les autres composantes de U

REMARQUE 5. On a de plus par construction

Ir(O - ~i<e-X(~)

pour tout point ~ de l'une des composantes connexes de U rencontrant X .

REMARQUE 6. Dans les applications , on aura int~r~t ~ remplacer (49) par une con-

dition plus maniable. Si ~ est la rgunion des boules ouvert'es de centre zE X et

de rayon p(z) , on a

f A-2 -~1 e dV 4 fl15 X

4 ill6

i .~01 A -2~ e p-2 (p-n)

2 (p-n) [(p-n) ~2 + (p-n+ 1 )X] I~0 A-2 (E+P-n) e-~l e

compte-tenu de la d6finition (53) de 0 �9

gupposons maintenant que les conditions suivantes soient r6alis6es (avec des

fonctions plurisousharmoniques ~2' ~3' X ) :

-~3 (57) ~ ~ e ,

(58) IFI4e ~2 ,

(59) z �9 ~ et I~ - zl < e-X(Z) impliquent

E ~ , ~2(~ ) ~<~2(z) + A, ~3({)~<{3(z) + A, X(~) ~< X(z) + A .

Alors on peut choisir

~I = 2(p-n)[(P-n)~2 + (P-n+I)x] + 2(s ~a 3 + (p+g)eog(1 + Izl 2) ,

* = C~ ~2 + C~ ~3 + C~ X + C~ + (p+E)Log(l +Izi 2) ,

(p-n) (~2+X) avec s g �9 I + Inf(2n,p) , et (eoml~te-tenu de ce que IAI ..< B 4 e ) :

c~ = 2(~+p-n)(p-n) - I , c~ = 2(s ,

c�88 = 2(~+p-n+|)(p-n) + 2n, c~ = 2 Log I + ~(I +E+ A) .

Ces derni~res estimations pr~cisent et g~n~ralisent les r~sultats ant~rieurs de

C.A.BERENSTEIN et B.A.TAYLOR [I] . Ainsi, soit X une fonction plurisous-

I O0

harmonique sur ~ v~rifiant les conditions suivantes :

(60) X ~ 0 , et Log(l + Izl) = 0(X (z)) ;

(61) il existe une constante A telle que

z E ~ et I z - ~[ < exp(- X(z)) implique que

X(r ~ X(z) + A .

On d6finit l'alg~bre ~(~) cormne l'ensemble des fonctions holomorphes f sur

telles qu'il existe des constantes AI, A 2 ~0 telles que

(62) [f(z)I ~ A 1 exp(A 2 X(z)) .

L'hypothgse (61) est g~n6ralement exprim6e sous une forme un peu plus g6n6rale dans la

litt~rature (voir par exemple [8]), mais tousles poids usuels satisfont la condition

plus restrictive que nous avons donn6e X.

COROLLAIRE ]. - Soit X une sous-vari6t6 de dimension n de l'ouvert pseudoconvexe

C ~P , d~finie par les ~uations F; = F 2 = ... = F N = 0, avec

On suppose que la ~uantit~

[J] = IK[ = p-n ~Zk j E J, kEK

e s t n o n n u l l % e t v ~ r i f i e u n e m i n o r a t i o n du t y p e

A ~ e x p ( - A 1 X ( z ) - A 2) , p o u r t o u t z E X .

A l o r s i l e x i s t e d e s c o n s t a n t e s A3,A 4 > 0 e t u n e r ~ t r a e t i o n h o l o m o r p h e

d ~ f i n i e s u r l ' o u v e r t

F I , . . . , F N E AX(~ ) ,

/ 2

r : U--~X

U = {zE~ ; IF(z)I <exp(- A 3X (z) - A4)} .

5. Extension des fonctions holomorphes avec contrSle de la croissance.

On se replace tout d'abord dans la situation g~ngrale des paragraphes 0,1 et 2 :

X d~signe une vari~t~ kahl~rienne faiblement pseudoconvexe de dimension n , E, M des

des fibres hermitiens au-dessus de X , M ~tant de rang N . On considgre un sous-

-l ensemble analytique Y = F (O) de X , lieu des zgros d'une section holomorphe F

de M , et on pose

U = {z E X ; [F(z)[ <l}.

On peut d~montrer en outre que les classes d'alg~bres AX(~) correspondantes sont les meme s �9

101

On a dans ce cadre un th~orgme d'extension , qui g~ngralise le th~or~me de

B. JENNANE [9].

TH~OR~ME 6. - Soient ~ , q

sommable en aucun point de

deux r~els > 0 tels q ue ]F1-2q ne soit localement

Y (en g~n~ral q sera un entier >~ I , par exemple

q = SUD codim Y , ou q = Inf(n,N)) . zEY -z

On suppose Rue Y est X-n~gligeable (cf. w d~finition 2)X, et que la forme de cour-

bure de E satisfait ~ l'in~$alitg

(63) ic(E) >~N ( N + --q ) <ic(M).F,F> -i Ricci(X) I + [FI 2 IF12

Alors pour toute section g de E au-dessus de U , telle @up I- IgI2 dV < + oo

il existe une section G de E au-dessus de X~coSncidant avec g sur Y, et telle que

X (l +IF[2) q+• ~< C(q,n) U Igl 2 dV ,

avec C(q,N) 1 + (q+l)2 (q+;)2 = s~_ q>~l , = 1 + si O <q <I .

n 2q_l ~ --

D~monstration. On cherche l'extension G sous la forme

G = X(IFI2)g - u ,

o~ % est une fonction r~elle de elasse C ~ ~ support dans ]-oo, ][ , telle que

co

% = 1 au voisinage de O, et u EC (X,E) , u = 0 sur Y .

L'analyticit~ de G gquivaut

(64) D"u = v ,

avec v = D"(%([F]2)g) = %'(IFI 2) < F , D'F > g .

Comme toute solution de l'~quation (64) est de classe C ~ , il suffit d'imposer que

lul 2 [F1-2q soit localement sommable pour assurer l'annulation de u sur Y .

Soit Z une partie ferm~e de X contenant Y , telle que X\ Z satisfasse les

hypotheses de la d~finition 2. On r~sout l'gquation (64) dans X~ Z , aprgs avoir

multipli~ la m~trique de E par (l + ]FI2)-~[F] -2q

Pour cette nouvelle m~trique, la forme de courbure c'(E) du fibr~ E est donn~e par

[<D'F,D'F> + IFI 2 <D'F,D'F> - <D'F,F> ^ <F,D'F> <~(M)._F,__F>I

[IF[ 2 <D'F,D'F> - <D'F,F>^<F,D'F> - <c(M).F,F>] + q L ]FI 4 IF[ 2 J

Comme pour le th~or~me 2, cette hypoth~se est en fair superflue.

102

Soit K = d~t(T~X) le fibr~ canonique de X . Comme la (l,l)-forme

i(]FI 2 <D'F , D'F> - <D'F,F> ~ <F, D'F>) est ~ 0 , il rgsulte de l'hypoth~se

(63) que

�9 <D'F, D'F> ic'(K ~ | E) ~N ~.i @ (I +[FI2) 2 IdE"

m K~ La forme VECo,](X,E ) = Cn, I(X ' | E) v6rifie clairement les in6galit6s

]v12~1 '2. IFI 2 ID'FI 2 ]El 2

I/~ %'2 IFI 2 (1 + IF]2) 2 ]g]2 <ic,(KX@E) Av, v> ,

grace au lemme I, w 3, ligne (21). D'apr~s H.SKODA [13] , thgor~me 2 et remarques

cons~cutives (comparer aussi avec la proposition du w 2), il existe une solution

u @ C ~ (X\.Z, K ~ | E) = C~(X\ Z, E) de l'~quation (64) telle que n~o �9

I j X\ Z (I +IFI2)nlFI 2q dV$ I/n x'R.IFl 2 (I + IF]2) 2 Ig]? dV X\ Z (1 + IFi2)~IFI 2q

I I (X'(IFI2))2 (65) = ~ U IF12q-2 (I + IFI2)2-Dlgl 2 dV ;

comme la fonction (%'(IF12))2 (I + IF12) 2-~ est born~e, la dernigre int~grale du IFl2q -2

second membre est bien finie.

La section G = %([F]2)g - u est donc holomorphe dans X\Z et localement L 2 dans X ,

par consequent G se prolonge en une section holomorphe de E sur X (hypoth~se

de la d~finition 2) ; on voit que u est de classe C ~ dans X , et que u = 0 sur Y

d'aprgs (65). On obtient :

IX

IGI 2 ~ (I + i ) %2 ig12 + (l + I 2 (| + I/IF12) q - I IFI 2 )q lul '

IG[2 %2 Igl X lul 2

(I +IF]2) q (i +IFI2) q -IFI 2q IFI 2q '

iGI 2 dV I g 2 [~ %2 I X'2.(l +[FI2) 2 ] (I +]FIE) q+o # 12~ +[FIe) q + ~ 2q-2 " U (1 +IF I -IF] 2q IF l

On fait tendre convenablement % vers la fonction %o d~finie par

%o(t) = 1 - t q+I/2 pour 0 ~ t ~ I ,

= 0 pour t ~ I ;

le prolongement G de g va tendre vers une section enoore notre

103

telle que

[G[ 2 dV [$12 (I ]2q lFl2q-2 X (1 + I F [ 2 ) q+N ~ ~ + ! . u (I +]F]2)n +[F]2)q_]F n

[X~(]FI2)]2(I +IF]2) 2

avec IF] 2q-2 = (~)2 (I +[FI2) 2 $ (q+l) 2 dams U , et

(I +[F[2) q - [F[ 2q ~Inf(l , 2q-l) Hans U , car la fonction (I + x) q - x q est mo-

notone sur [0, I] . 2

On peut doric prendre C(q,N) = Sup(l l_J.__) + (q~l) . ' 2q 1

On remplace d~sormais X par un ouvert pseudoconvexe ~ de ~P , et on suppose que

E = ~ , M = ~N sont des fibres triviaux , dont les m~triques sont donn~es respec-

tivement par les poids e2q~ -W, e2~ (~ , ~ fonctions plurisousharmoniques de

classe C ~) . On a donc

Ricci(~) = O, c(E) = d'd"~ - 2q d'd"~ , c(M) = - 2d'd"$ @ Id M , de sorte que la

condition (63) est v~rifige.

COROLLAIRE 2. - Soient g une fonction holomorphe dams l'ouvert

= igor; iF(z)[<e -~(z)} ,

q u e f| ' ' lgl 2 e 2q~ ~ - ~ ~ + ~ , e t n un r ~ e l > 0 . telle ] ~U

Alors il existe une fonction holomorphe G qui coincide avec g

-I lytique X = F (0), et telle que

I 'G'2 e2q*-~~ dV I '2 (1 +IF12 e2~) q+~ ~ C(q,~) ulg e 2q~-~ dV .

sur l'ensemble and-

Par un passage ~ la'limite ~vident, le corollaire 1 s'gtend au cas o~ ~ est pluri-

sousharmomique quelconque, et ~ localement minorge.

Reprenons maintenant les notations et les hypotheses du th~or~me 5 : X est la sous-

ion am~liore aimsi les estimations de B.JENNANE ~] , gm~ce au choix de poids plus natu- rellement adapt~s au probl~me pos~. Ii peut paraltre surprenant que le corollaire | fasse intervenir un poids non plurisousharmonique 2q@ - ~, mais cette situation s'explique par le fait qu'on a "r~cup~r~ de la p~=risousharmonicit~" en jouant sur la n~gativit~ du fibr~ M . Lorsque F(z) = z = (z],...,z) , q = p , et ~ = constante, le corollaire I redonne le th~orgme d'HORMANDER-BOMBIERI p sous une forme optimale, utile pour la th~orie des hombres Cef. H,,SKODA [16] ) ,

104

vari~t~ lisse de l'ouvert ~Cg p d~finie par les ~quations F I = ... = F N = O ,

aF[--~Zk] 1 2 On pose n = dim X, A 2 = >--- ]d~t , F = (F 1 ..... FN) , IJI=[KI = p-n NEJ, kEN n

IFI 2 = II +...+ ,,IFNI2 ,FI ,2 , et on d~signe par dV x ~-T. IX l'~l~ment de volume

canonique de X ; on suppose que # est la fonction plurisousharmonique donn~e

par le th~or~me 5 ou la remarque 6, et que l'in~galit~ Ig - zl <e-X(z) entralne

de plus ~(~) 4 ~(z) + A ,

COROLLAIRE 3. - Pour toute fonction holomorphe g sur X = F-l(o) et tout rgel

N:> O, il existe une fonction holomorphe G dans ~ qui prolonse g , telle que

I iGi2 e-~ 2q~ dV (1~) Ig[ 2 A -2 e -~ dV X , (]FI 2 + e-2@) p-n+q4~ X

_O~ ~ est une constante ne d~pendant que de p e t N .

D~monstration. On choisit q = codim X = p-n ; si r : U --+X est la retraction du

th~or~me 5 , on ~tend g g U en posant ~ = g o r sur les composantes de U

qui rencontrent X , et ~ = O sur les autres composantes.

R~examinons maintenant les arguments utilisEs dans la demonstration du th~or~me 5,

en conservant les m@mes notations.

Les composantes connexes de U qui rencontrent X forment un voisinage tubulaire

J_ de X , dont la coupe suivant le plan normal (T X) constitue approximativement

z

-1 e- ~ un polydisqne de multirayon (;all-le - ~ ' ' ..... lap_nl ).

Un tel polydisque est contenu par construction dans la boule de centre z et de

rayon p(z) ~e -X(z) , et son volume est donne par :

~p-n fall-2 ... lap_nl-2 e-2(p-n)~ ~q A-2 e-2q~ .

On en d~duit visiblement d'apr~s la remarque 5 que

I ]~]2 e2q~ -~dV ~ I + A I [g]2 A-2 e -~dV , U X

et la conclusion r~su l t e du c o r o l l a i r e 2.

Le cor011aire 3 paralt pratiquement optimal, en dehors du fait que l'on souhaiterait

pouvoir prendre n = O .

On observera que les constantes C2,C3,C4,C 5 qui interviennent dans la d~finition

de ~ , et qui ne sont probablement pas les meilleures possibles, n'auront en g~n~ral

aucune importance dans les applications du corollaire 3, puisqu'on peut les "tuer"

en ehoisissant n assez petit, et qu'en pratique ~ sera ~ 0 .

105

F~MARQUE 7. Explicitons le corollaire 3 en termes plus familiers, sous les hypotheses

suivantes :

~2 - ~ 3 Ig] ~ eT , [F] ~e , A ~ e ,

dans lesquelles on suppose que

v~rifiant toutes l'analogue de

fonction 0 (cf. (40) , (41) et le th~or~me 5) la fonction -(p-n)~2-(P-n+l) X

0 = 6 4 Ae

On obtient alors, en posant ~ = z VX D(z, O(z)) et en rempla~ant ~ par 2~ :

I 1 [ A -2 e -2~ I 2Y + 2~3 - 2~ -2(p-n) .g2 dV X ~ 617 e p dV ; X

on choisit donc

=y+ (p-n+l)~3 + (P-n) E(p-n)~2 + (P-n+I)x]+ (P+q)L~ +Izl) '

ce qui donne

I [G]2 e-2~-2q* 1 2

(e2~2+e_2@)p_n+Q dV $ 618(I + ~) ,

I ~+q~ + PX (e ~2 e-~)P-n+q d'ofi IG] < B19(l + ~)= . +

COROLLAIRE 4. - Sous les hypoth&ses du corollaire 1 [ voir (60), (61), (62) ; X est

d~finie par FI,F2,...,F N e AX(~), et on suppose que A~exp(-Al~-A2~ , une fonc-

tion holomorphe g su___~r X se prolonge en une fonction GEAx(~ ) si et seulement si

g v~rifie la condition :

]g(z)[ ~ exp(ABX(Z ) + A4) , pour tout z@X .

Y~ ~2' ~3' X sont des fonctions plurisousharmoniques

(51) ;dans ces conditions, on peut choisir comme

106

B I BL IO GRAPH I E

[I] BERENSTEIN (C.A.) and TAYLOR (B.A.). - Interpolation problems in n with appli-

cations to harmonic analysis, g paraitre au Journal d'Analyse Math. de

JErusalem.

[2] DEMAILLY (J.-P.). - Relations entre les diffErentes notions de fibres et de cou-

rants positifs, g pa~altre.

[3] DEMAILLY (J.-P.) et SKODA (H.). - Relations entre les notions de positivitEs de

P.A.Griffiths et de S.Nakano pour les fibres vectoriels, S~minaire P.Lelong-

H.Skoda (Analyse), 19e annie, 1978-1979, Lecture Notes (~ paraltre).

[4] DOUADY (A.) et VERDIER (J.-L.). - S~minaire de GEomEtric analytique, E.N.S., 1972-

1973, DiffErents aspects de la positivitE, Ast~risque 17, 1974, SociEt~

MathEmatique de France.

[5] GRIFFITHS (P.A,). - Hermitian differential geometry, Chern classes and positive

vector bundles, Global analysis, Princeton University Press, p. 185-251,

1969.

[6] HORMANDER (L.). - L 2 estimates and existence theorems for the ~ operator, Acta Math.,

113, p. 89-152, 1965.

[7] HORMANDER (L.). - An introduction to Complex analysis in Several Variables, Prin-

ceton, Van Nostrand Company, 1966, 2e ~dition, 1973.

[8] HORMANDER (L.). - Generators for some rings of analytic functions, Bull. Amer. Math.

Soe. 73, p. 943-949, 1967.

[9] JENNANE (B.). - Extension d'une fonction dEfinie sur une sous-variEtE avec contrSle

de la croissance, S~minaire P.Lelong-H.Skoda (Analyse), 17e annEe, 1976-1977,

Lecture Notes n = 694, Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 1978.

[10] NAKANO (S.) - Vanishing theorems for weakly l-complete manifolds II, Publ. RIMS,

Kyoto University, vol. 10, p. 101, 1974.

[11] SKODA (H.). - Application des techniques L 2 g la th~orie des id~aux d'une alg~-

bre de fonctions holomorphes avec poids, Annales scient, de l'Ecole Normale

Sup~rieure, 5, p. 545-579, 1972.

[12] SKO~'A (H.). - Formulation hilbertienne du Nullstellensatz dans les alg~bres de fonc-

tions holomorphes, paru dans "l'Analyse harmonique dane le domaine eomplexe".

Lecture Notes in Mathematics, n ~ 336, Springer, Berlin,Heidelberg,New York,1973.

[13] SKODA (H.). - Morphismes surjectifs et fibres linEaires semi-positifs, S~minaire

P.Lelong-H.Skoda (Analyse), 17e annie, 1976-1977, Lecture Notes n ~ 694, Sprin-

ger, Berlin,Heidelberg,New York, 1978.

107

[14] SKODA (H.). - Morphismes surjectifs de fibres vectoriels semi-positifs, Ann. Scient.

de l'Ecole Normale Sup~rieure, 4e s~rie, t. 11, p. 577-611, 1978.

[15] SKODA (H.)o - Rel~vement des sections globales dans les fibres semi-positifs, S~mi-

naire P.Lelong-H.Skoda (Analyse), 19e annie, 1978-1979, Lecture Notes (~ paral-

tre).

[16~ SKODA (H.). - Estimations L 2 pour l'opgrateur ~ et applications arithm~tiques.

S~minaire P.Lelong (Analyse), 16e annie, 1975-1976, Lecture Notes n ~ 578,

Springer, Berlin-Heidelberg,New York, 1977.

INTEGRALES DE COURBURE ET POTENTIELS SUR LES HYPERSURFACES ANALYTIQUES DE ~n

par BERNARD GAVEAU

A Monsieur P.LELONG

Introduction. L'objet de ce travail est d'obtenir des conditions g~om~triques

n~cessaires satisfaites par l'int~grale de la courbure scalaire d'un diviseur d'une

fonction holomorphe ayant une certaine croissance. Dans [2] un tel r~sultat avait

~t~ obtenu pour le cas d'un diviseur de la boule de ~2 , et la d~monstration

donn~e peut en ~tre simplifi~e et g~n~ralis~e aux classes de Hardy de la boule.

Ce que nous faisons au w .

Nous donnons aussi une estim~e plus fine en utilisant la th~orie du potentiel

le long du diviseur m@me, appliqu~e~ une ~quation du type de Monge-Amp~re satisfaite

par la courbure (ou par le d~terminant de la courbure de Ricci) ; les r~sultats

obtenus concernent les diviseurs de fonctions holomorphes born~es ou de classe de

Hardy dans la boule unit~ de ~n ou les diviseurs de fonctions enti~res de type

exponentiel dans E n

I. Cas des ensembles analytiques dans C 2 : calculs pr~liminaires.

Soit f une fonetion holomorphe dans un domaine D C ~2 que nous sp~cifierons

ult~rieurement. CommenGons par calculer la courbure des surfaces de niveau de f

Soit V = f-l(~) . Nous supposerons V~ sans singularit~s.

Lemme l : la courbure K de V~ pour la m~trique euclidienne est d~finie par

(1) K = [Q(f) l 2 (iVfll2) -3

f2 2 f f f + f f2 et HVfH 2 IfzI2 + 1 2 o~ Q(f) = fzz w - zw z w ww z = Ifw

est le carr~ du gradient de f pour la m~trique euclidienne.

Preuve : supposons que nous utilisions z comme param~tre local le long de V~

ea restriction de la m~trique euclidienne ds ~ = [dzl 2 + Idwl 2 ~ Vest alors

109

Ifzl2+Ifw 12 id~12 ~ gldz[ 2 ds21v~ ifw 12

(Cela supposons qu'en soit sur des points oO z peut ~tre pris comme param~tre

local de V donc fw # 0 ).

Alors la courbure K est donn~e par le laplacien de log g le long de V~

| 3 2 K = -- log g .

g ~z~

Un calcul immgdiat (voir par exemple [ 1] ) donne l e r6sultat.

Nous avons alors en notant A le laplacien euclidien de

eiclidienne de V~

Lemme 2 : A(logllVfll 2) = K

V pour la m@trique

Preuve : plaw nous I~ o2 f # o : alors w

K = A log [fzI2+IfwI2 Ifwl 2 Alog IIvf~i 2 car Alog I l l 2 = 0

Corollaire : la courbure K satisfait la relation suivante

(2) &(log K) = -3K+2 I 6 o~ 6 d~signe l'ensemble des points ombilics

DiE 0 Oi

de V ie des points oO K s'annule.

2. Cas d'un diviseur de fonetion de la elasse de Hardy dans la boule.

Consid~rons maintenant la boule B(O,I) de centre 0 et rayon 1 de ~2

ensemble de (Zl,Z 2) avec iZl]~]z2 [ 2 O fix~ quelconque, d(z,3 B) la distance de zEB

~B . pour presque tout ~C~ , on a

(3) S d(z, B) 2+E K(z) dv(z)<+co V~

o~ K est la courbure euclidienne de V~ e t dv l'~l~ment d'aire euclidienne.

110

2)

de V AB(O,R)

satisfait

(4)

o2 C

si g~R)(zo, Z) est la fonction de Green euelidienne de la eomposante

contenant z , alors pour tout ~ 6 ~ , le potentiel de la courbure o ....

( ~'R'ez z ~ K(z) do(z) 4 C log (T~)I ~ NB(O,R)g~ ~ o ' j

es t une cons tan te absolue.

(R) l 3) de plus (5) Z g~ (Zo,Z i) 4 C log ~X~ o2 la somme porte sur les

points ombilicaux de V~

Preuve : I) notons PR(Z) la fonction R 2 - Izl 2 restreinte R V . Calculons

,_2+~ d'abord ~R on a

(5) .r R = (2+g) (PR)g (-PR+(I+E) 113~1[ 2)

o2 HaPRI2 est le carr~ de la longueur du gradient de PR (le long de l'ensemble

) ; aP R e s t done la p r o j e c t i o n o r thogona le de glz{ 2 ' ' ( ie du vec teur analytique V~

radial) sur l'ensemble analytique. Son cart6 de longueur est done ~ cos2@ oh 8

et l'angle entre la tangente ~ l'ensemble analytique et la normale ~ la sphgre de

centre 0 passant par le point consid6r6. Appliquons maintenant ~ V AB(O,R) la

formule de Green aux fonctions u = log llvfll 2 et v = PR2+E (on suppose V

~ sans singularit~s, done u est )

3v 3u (6) Alors f (u Av - vAu) d~ = f (u ~n - v ~n ) ds .

V nB(O,R) V NS(O,R)

av , Ici v est telle que v et ~-n s annulent sur VcnS(O,R) , done le 2 ~d membre

est nul. D'o2 compte-tenu du lemme 2

(7)

I _2+E VcnB(O,R)FR I log [[Vfn2AP~ +8 Kdo = V rB(O,R)

4(2+a) I _pl+S R V5~B(O,R)

+(2+a) (I+E) ] VCnB (o, R)

do

log IlVfl[ 2 do +

log + 01Vf~2)cos 2 @ do PR

111

Maintenant comme f est de la classe de Hardy

log +~Vf| 2 ~ C log +( 1 R-I=I 2)

De plus (R 2 - [z]2) e log +(~)I ~< C' eonstante ne d~pendant que de

t-l'l

Donc le second terme du second membre de (7) est contr@l~ par

C" J cos28 dq v~

et l'on sait que cette int~grale est finie si f est de la classe de N6vanlinna

(crit~re de Malliavin, voir [4] ) . Pour ~tudier le premier terme du second membre

l+e par I de (7), majorons-le en rempla~ant -log IIVf" 2 par log -IIVfI] 2 et +PR

et int~grant en

d~d~ ; log -ilVf[i 2 do ~ [iVf~ 2 log -ilVf~ 2 dv(z) r v~ B(O,I)

o~ dv(z) = d~d~ dff(z) es~ pr~eis~ment le volume euclidien. Comme x log-x est ilVfH 2

born~ et que la boule est de volume bornE, on conclut que l'int6grale dans le 1 ~r

terme du 2 n~ membre de (7) est born~e pour presque tout ~ ~

(8)

2) r~sulte de l'application de la formule de Green (6) avec

u = log ilvfli 2 , v = g~R)(zo,Z)~ : on a

-log HVfli2(Zo) ; (R)(z ,z) K(~) do (z) - f lognVfll 2 d~ = g ~ " o V ~B(O,R) V~NS(O,R)

o5 d~ est la mesure harmonique z ~ ; alors

(9) ~ log~]Vf~ 2 d~ ~ ~ log +iiVfll 2 d~ ~ C log | V ~S(O,R) (]-R 2)

car f est born~e. Par consequent (8) et (9) donnent la formule (4) attendue.

Remarque: initialement le th~or~me | avait 6t~ 6nonc~ pour des fonctions born~es: H.SKODA

m'a signal~ que l'estim~e logarithmique des d~riv~es se g~n6ralisait aux classes

de Hardy.

112

3. Diviseur des fonctions d'une classe de Hardy de la boule de ~2

Nous allons compl~ter le r6sultat obtenu dans [2] en le g~n~ralisant aux

classes de Hardy et en m~me temps mimplifier un peu sa d~monstration en utilisant

la th~orie de Paley-Littlewood non lin~aire d6velopp~e dans [ 1 ]

Soit B la boule de ~2

~f(~) = v~

~f ~tant finie ou non sur

mesure ~f(~) d~ d~ .

Th~Or~me 3 : soit p = 4q+2

Si f est dans la classe

, f holomorphe dans B ; posons

d3(z,$B) K(z) d~ (z)

; nous nous proposons d'~tudier les moments de la

(q entier) ou p = O ou p = +~ .

HP~2(B) , alors

5 I~] p ~f({) d~d~ < +~o

et particulier Wf(<) < +~ pp dans

D6monstration : on a dv(z) : d~d~ iiVffl2 d~(z)

o~ dv(z) d6signe le volume euclidien. Comme

K(z)|Vf| 2 = i ~ ~ i[V2fll2(z) (flvfir') ~

o~ n v2fii 2 d~signe la somme des d~riv6es secondes des carr6s de f, on a:

(Io) f I~I p ~f(~) d~d~ .< f d3(z,~B)[flPflv2fi[ 2 dv(z) B(O, I)

Introduisons alors pour f holomorphe dans

Littlewood de f d~finies par

(g2(f)(~)) 2 = ~l(l-r)3 ~V2fg2(ro) dr o I

et (gl,4 (f)((~))4 = Io(l_r)3 livfl]4(r(~)dr .

B , les deux fonctions de Paley-

113

o~ ~ �9 S(O,l) ro est le point de B(O,l) de coordonnfies polaires (r,o)

g2(f) est fonction de Paley-Littlewood lin~aire des d~riv~es 2 n~es ; on a

~g2(f)NL2(S (0, I)) "< Ilf~H2

gl,4(f) est fonction de Paley-Littlwood non linfiaire des d~rivfies premieres

de f , on a

ggl,4(f)gL4(S(O ' < C llf~ I)) H 4

(volr [ I ] pour les d6monstrations et on fait des r~sultats plus precis utilisant

la th~orie du potentiel de la n~trique de Bergmann).

Si p = 2q' (q' = 2q+l) , on a

'-I 3 ~ fq'+l = (q'+l) fq' 3 3 f + q'(q'+l)f q 3 f 3 f g. Z. Z. Z. Z . Z.

1 j 1 3 1 j

de sorte que

or

Ifl p ~vZf f12 6 C ( llV2(f q'+l) N 2 + Ifq'-ll 2 ~VfN 4 )

q ' + l q ' + I

q ' = 2q+l , f 2 e s t donc h o l o m o r o h e e t IIV(f 2 )t14 = [ f q ' - l l 2 4 flVfH

d'o~ q ' + l

i f ] p nV2f] 2 ~ C( RV2( fq '+ l )B 2 + flV(f 2 ) H4)

(12)

Le 2 n~ membre de (NO) se contr$1e par

q'+l

C (ng2(fq'+l)~2 2 )[I~ L2(S) + Ogl,4(f 4(S )

et done par les r~sultats rappel~s plus haut par

q'+l 4)

C (pfq'+l~2H 2 + gf 2 ~H 4

done est fini si f E H p+2

114

Remarque :dans [ I] , ces r~sultats de th6orie de Paley-Littlewood sont utilis~s

pour majorer les volumes des images de domaines admissibles par une application

holomorphe de la boule ~ valeur dans ~2

4. Diviseur des fonctions entigres de ~2

Soit f une fonction enti~re de type exponentiel. Posons

M(f,r) = sup If(z)] B(O,r)

log log M(f,r) Ord f = lim sup

r-->+~ log r

que nous supposerons donc fini. On a alors

= R 2 2 Proposition : on a pour tout ~ > Ord f , si PR -Izl

2 PR K do 4 ~R(~) + CR B ~(~,R)

V nB(O,R)

V nB(O,R)

et ~R(~) est une fonction telle que

~(~) d~d~ ~ c R 6

o~ C est une constante absolue.

Preuve : appliquons toujours la formule de Green (6) avec u = log~Vfn 2

on obtient toujours la formule (7) mais cette fois R--++ ~o : on a donc

2 et v = PR :

Soit

2 K dJ ~ 2 ~ -PR l~ do + 2~ log+nVfn 2 cos2@do PR V ~B(O,R) V ~B(O,R) V ~B(O,R)

~R(~) la I e~e int~grale : elle se majore en moyenne comme pr~c~demment

5d~d~ ~ -PRlOgIIVfn2do ~< ~ nVfIi 2 log-gVfn 2 P dv V r~B(O,R) B(O, R) R

115

et cette derni~re int~grale est major~e par CR 6. La seconde int~grale se majore

alors par

CR B ~(~,R)

en majorant le cos20 par ! et log+NVfU 2 par CR B

Th~or~me 2 : pour pres~ue tout ~ E ~ , on a ~ P~ VcAB(O,R)

K dd ~ CR sup(6'2B+2)

si R--++ ~o

D~monstration : d'apr~s [4] , l'aire euclidienne ~(S,R) = ~(~,R)R 2 o~ ~ est

l'aire projective. Comme cette dernigreest contrSl~e par R 8 ( voir [4] et

plus g~n~ralement [3] ) .

5. Cas des hypersurfaces de C 3 : calculs pr~liminaires.

Soit f(zl,z2,z 3) = ~ une hypersurface

locales (z|,z2) pour representer V~ . Soit

m~trique euclidienne sur V

Lemme 3 : on a

et

If z I 2

/i+ I 2 = I I f~31

gij

\If~312

H vfll 2 g = d~tgi~ = 12

Ifz 3

V de ~3. Utilisons les coordonn~es

g = det gij le d~terminant de la

fz ~z 2

I i----- V - I fz 3

I i 2

I+ fz212 I fz3

Preuve : calcul de routine.

~i~jg ~ig~j g Soit Rij = ~i~j log gi = g 2

g

C'est la courbure de Ricci de la m~trique induite.

116

Lemme 4 : on a 3

I j ( n v f l l 2 ) 2 k = l i j

B~=f~.f-f$.f i z~iz zlz~

n n

o~ (k,~,n)

permutation circulaire de (1,2,3)

P=e~ve;: on calcule ~.g= ~ . ( I[ Vfll 2 D- II v f l l 2

~ [ [2 )= ~ - - - - - - - fz3 Ifz [2

$.f l lv f l l 2 i z 3

f2 z 3 z 3

est

1 f 2-----~ [ fz3(3ifz 1

z 3 z 3

+ 3 . f f + 3 . f z I 1 z 2 z 2 1 z 3

{ ) - ~.f z 3 i z 3

lIVfll 2 ]

I [ f B~ +~ B! ] f2 ~ z I l z 2 l z 3 z 3

3.f ~.f f ~j 3ig =__l_[f2 J zl B~ - J z3 zl

~ ~2 z 3 z 3 z 3

B 2 + _ _ 1

3 . f J z 2

z 3

1 B . - - -

1

3 . f 3 z 3

~2

z 3

B! ] z 2 l

I B ] ~! + B 2 ~2 ] I 1 4[ i J i j fz 3

Alors

]'3"g 3"g~'g 1 2 (B2~2 I-I

- =If 3 i] g 12(IIVfi]2)2 [HVfJ i j + BiBj) -

_ (jfzl[2 B2~2 + ~ f B2~! + ~ f I-2 [fz2 2 i 3 z I z 2 ~ J z 2 z I BiBj + I BIB )]

117

[fz312 lfz2[2 B 2 ~2 2 1 -1 B 2 I

2)2 [ + Ifz" I Bi B.- f f B - (~Vf~ i 3 i 3 z I z 2 l j

B 1 B~ + Ifz312 (B~ B~ + B I B! )] - fz2fz ] i ] 3 i 3

Alors il apparalt

B~(f B~ - f 1 l l 2 (fz2B2 l B}) fz 2 i z 2 J zlB j) + f B.(f B.-f B.) = - f B.)(fz2B ~ - f z I x z L 3 z 2 3 3 z I 3 z I 1

B~ f B! = fzl) fzl - (8.f f - "8. f - (8.f f -8,f f ) fz 2 I z I I fz 2 I z I z 3 I z 3 i z 2 z 3 i z 3 z 2

OU

f z l ~ i f z 2 ) BP ~'f - = fz 3 x = fz3(fz 2 i z I

Pour continuer le calcul supposons que f s'~crive

- ~ + f ( z l , z 2 , z 3 ) = ~ (Z l ,Z 2) - z 3

Dans ee cas B! = -f 3 f i z 3 i z 2 = ~2i

B 2 i = ~ l i

B 3 i = ~ 1 ~ 2 i - ~ 2 ~ l i

(ici ~ij = ~i~j ~ ) ~i = ~i ~)

Alors on a

|

Rij (i+n9#~2) 2 ((~}~2i - ~2r162 ~2~lj ) + 92i ~2j

D~finissons la fonction det R,= sur V~ par l'~galit~ : �9 l j 2

(Rij dzZA d=3) ~ = (de t R i ] )dv ~

og dv~ e s t l e volume e u e l i d i e n de V~ c K3 .

+ ~ l i r

118

]~P~I - ~P1|~~ Lemme 5 : on a d~t R,-: =

13 (l+llV ~p !}2~4

D~monstration: par d~finition de dv~ = (I +llV~lL2)dZl^dZlAdz2Adz2 ,

on a

d6t R.=~R =(R]~ R2~ - RI~R2~) (I +~v~ll2) -] =- D �9 (] +l] v~[12) -~

Donc d'apr~s le len~ne 4

1 (1~i~2 ~2 ~ 12+ (i+~ V~o ~ 2)4[ I- II 1~2]i2+1~III~(1~22 - ~2 ~,21)2+i~2112+I~2212)-

- l(~i~o2l- ~02~01l)(~~176 ~02~~ + ~o21~-22 + ~Oll~1212 ]

1 (I+IIV~aH 2)4[ I~ ~~ ~~176 I i 12(1~2112 +I~2212) + J~~ ~~ 2 ~1212([~2112+1~ii [2)

+ I~2114+ 1~Oli]2[~02212 - ((~Ol~O21-~02~oii)(~I~O22- ~02~12)(~21 ~22 + ~ll~~ )

+ ~021~22 ~11~o12 + conjugu~ de ces 2 dernlers termes)]

I [ 2 2 [~21- ~o ] + (~o l ~2 ~ 1){(~o1~21- ~2~o11)(]~21[ 2 (]+iiV~oil2)4 II~~ ~~ I + 1~2212) -

- (q~I~~ - ~02 ~~ )(~21~022 + ~II ~12 )} +

+(~01~~ ~2~012){(~i~a22 - ~02~012)(i~02112 + l~Ol112) - (~oi~o21- ~~176176 + ~ii~12 )}]

119

I 2)4[l~o22 ~o + (,Pl~O 2 ~p2, p (~o22(_,,p26 p _ ~p2 2 ( I +II V~o II I - I I~22 [2 I - I I ) I I~22 12) )+'P21 (~P I OP21 - ~~ I~22) ) }+

+ (~P1~22 - ~2~P12){~a21~2(~ll~P22 - ~a~2) + ~a11~1(~11~22

t 2 2 ~P21- ~P 11~P 22 ~

=

(l+ll V~ll 2) 3

- ~12)}]

Le~e 6 : Le long de l'ensemble analytique V on a ~.~. log(lIVf~ 2) = RiTj lJ

De plus

~.~. log (d~t Ri~ ) = - 4Ri~ + 2Ti~ i j

o_~ (Ti~) est le eourant d'int6gration le long du diviseur ensemble des z~ros du

d~terminant de la courbure de Ricci.

~Vf~ 2 Preuve : comme g ifz312 , on a I~ o~ fz3 # 0

R.= = $.~. log g = ~.~. log HVf~ 2 13 13 i 3

Par ailleurs vu le lemme 5 , on a

.log d~t = ~i~jlog ] 2 ~i~j Rij I~21 - ~ii~22

- _45.~.Iog (1+IKV~"2) 3 i j

Le premier terme est exactement 2T.v d'apr~s le th~or~me de Poincar~ et lj

le 2 n~ terme est exactement -4 R.= d'apr~s la premiere formule. zj

Corollaire : en dehors des z~ros de d~t R.v 13

plurisurharmonique sur l'ensemble analytique

, log (d~t Ri~ ) est une fonction

V~ ~ De plus elle satisfait l'~quation

120

de Monge-Amp~re complexe

d~t ( ~i~j log (d~t Ri] ) ) = 16 d~t Ri~

Enfin ~ si A est le laplacien euclidien le long de_ V~ on a

A log HVflI2 = K

log(d~t Ri~) = - 4K + 2 d~

o._~ K est la courbure sealaire de V e t do l'aire euclidienne de l'ensemble

des zeros du d~terminant de la courbure de Ricci.

Evidemment ces r~sultats se g~n~ralisent darts Le cas d'une hypersurface de ~n .

6. Diviseur de fonction born~e dans la boule.

Le th~or~me analogue au th~or~me ! mais pour ~n est alors

-I Th~or~me I' : 1) s_~i K d~signe la courbure scalaire de V~= f ( ~ ) avee f

holomorphe born~e , pour tout E > 0 , pour presque tout ~ 6 ~ , on a

2)

(3)' ~ d(z,~B) 2+E K(z) do(z) <+~ . v~

Qn a de m~me pour tout ~ E

( R ) ~ z ' z ~ 1 (4)' ~ g~ ~ o j K(z) do(z) $ C log ~X ~- �9 VCB(O,R)

7. Cas d'une fonction enti~re de ~n

Le r~sultat analogue au th~or~me 2 ~nonce exaetement de la m~me faqon dans ~n.

Th~or~me 2' : soit f enti~re d'ordre fini Ord f et 8>Ord f .Pour presque

~6 ~ �9 On a

2Kdo~CR S PR v cm(o,m)

max(2n+2, 2~+2n-2) si R---~+

121

8. Remarques.

a) Le crit~re de la 2 n~e partie du th~or~me 1 ou I' fair intervenir la fonctlon

de Green de la m~trique euelidienne le long du diviseur m~me ; cette fonction est un

~tre intrins~quement li~ au diviseur (plong~ dans ~n) et le probl~me majeur est

d'en avoir des estim~es asymptotiques. Dans [3] , sont obtenues de telles estim~es

pour les vari~t~s alg~briques.

Signalons seulement le r~sultat suivant

Th~or~me 3 : si V est un diviseur de fonction holomorphe d~finie au volsinage de

la boule de ~2 , alors la fonction de Green de V nB(O,l) satisfait

C' d(z,~B) ~ g(Zo,Z) ~ C d(z,~B)

lorsque z > ~ B , o_~_~ C e t C' sont dens constantes ind~pendantes de z

b) Par ailleurs dans les th~or~mes ! ou !' ,nous avons encore qu'une version

statistique : pour presque tout ~ une certaine int~grale sur V est born~e.

Pour avoir une version indLviduelle (ie pour tout ~ ) , il faudrait d~montrer

que pour tout

d(z,~B) I+~ log- rIVf~ 2 dU <+ V~

(C'est en effet pour majorer cette int~grale que nous avons besoin d'int~grer en

E ~ ) . Une telle estim~e est vraisemblable, puisque f d(z,~B)d~ <+= d'apr~s V~

le crit~re de Malliavin [4] pour les diviseurs des fonctions de la elasse de

N~vanlinna.

122

R@f~rences

[ ] 1

[2]

[31

[4 ]

[51

B. GAVEAU : Valeurs fronti~res des fonctiens harmoniques ou holomorphes

Cas de la boule CR Acad Sci Paris , ~8_88~ 1979~ 403-406 et article d~taill~

Proc. Conf. Analytic functions, Pologne, 1982.

B, GAVEAU , p. HALLIAVIN : Courbure des surfaces de niveau d'une fonction

holomerphe born@e CR Acad Sci Paris 1981.

B. GAVEAU , J. VAUTHIER : R~partition des z@ros des fonctions de type expo-

nentiel sur une varlet@ alg~brique lisse CR Acad Sei Paris 283 1976

635 - 638

P. LELONG : Fonctions enti~res ( n variables) et fonctions plurisousharmoniques

d'ordre fini dans ~n J Analyse Jerusalem 1963365-407.

r. MALLIAVIN : Fonctions de Green d'un ouvert strictement pseudoconvexe et

classe de N~vanlinna CR Acad Sci Paris ]974.

Cet article est la version d~taill~e d'une Note aux Comptes Rendus de l'Aca-

d~mie des Sciences de Paris, Oetobre 1981.

Le 14 septembre 1981

Tour B@ryl

40 Avenue d'Italie

75013 Paris

Expos~ fait en Juin 1980.

i FONCTIONS HOLOMORPHES ET PARTICULE CHARGEE DANS UN CHAMP MAGNETIQUE UNIFORME

par

B.GAVEAU et G.LAVILLE

Introduction.

L'expos~ qui suit a pour but de comparer les Equations apparaissant dans

l'~tude d'une particule chargEe dans un champ magn~tique constant en mgcanique

quantique (~lectron de Landau) et les ~quatlons apparaissant dans l'~tude des

valeurs au bord de fonctions holomorphes. Pour rendre cette Etude plus lisible

par les math~maticiens ne connaissant pas le cSt~ physique de ce probl~me,nous

avons au d~but rappel~ bri~vement des calculs bien connus .

Le lien entre l'Electron de Landau et l'oscillateur harmonique ~ deux dimensions

est bien connu, son lien avec l'oscillateur g une seule dimension est EtudiE

dans ce qui suit. D'autre part, il apparalt ici une nouvelle sym~trie g ce pro-

blgme celle du groupe d'Heisenberg.

I. - Hamiltonien de la particule.

Consid~rons une particule de charge

magn~tique ~ constant .

-+ Soient ~ le potentiel vecteur : V • A = B ,

se de la particule . Le Lagrangien s'Ecrit :

(I) ~(r,r,t) ~ m q r. A(r,t) .

-+

Soit p l~impulsion, par d~finition :

�9 _+ +

= ( -~x I , ~ ~ ~i3 m r + q A(r,t)

d' oN 1 ' Hamiltonien

(2) ~(r,p,t) = p.r -~(r,r,t) = Tm p - m

q , de masse m plac~e dans un champ

r et r la position et la vites-

124

Quantifions cet Hamiltonien : P et R ~tant les observables d'impulsion et de

position : P = T~ ~ , ~ = (xl,x2,x3) , l'Hamiltonien total vaut :

+ 2 ! [ ~ - q A(R,t)] . (3) 2---~-

Prenons une base de R 3 telle que le champ B soit dirig~ suivant l'axe des

§ + § X 2 ~ x 1 + x 3 : B = Bo e3 , choisissons comme jauge A = - -2- Bo el + ~2- Bo e2 "

Remarquons que cette jauge respecte la sym~trie cylindrique. En s~parant le mou-

++ + vement dans le plan (el,e2) du mouvement dans la direction e 3 , l'Hamiltonien

plan s'~crit :

id -h2 [A - - - - - ~ 8 - ~_~__ ) 2 2 q Bo (4 ) H1 = 2-'~ _ (x2 -'~-xx 1 Xl b x 2 - (Xl + x 2 ) ( ~ ) 2 ] .

Remarquons que l'Hamiltonien total dans R 3 s'~crit P3/2m + HI' P3 ~tant l'im-

pulsion dans la direction e 3 .

2. - Transform~e de Fourier dans le groupe ~'Heisenberg.

Soit G H le greupe d'Heisenberg de degr~ I , c'est-~-dire G H = {(z,t) eC•

avec la lei de groupe

(z,t)(z',t') = (z+z', t+t' + 2 Im z [')

prenons pour base de son alg~bre de Lie les champs de vecteurs invariants

gauche :

X = ~-~x + 2y ~-{ ; Y = ~-~y - 2x ~- ; T = 3--{

avec z ~ x + iy. Introduisons le Laplacien incomplet

AK = X 2 + y2

3 2 3 2 !3 3 3 3 2 (5) + -- + 4 ~-{ ( y ~x - ~yy) + 4(x2 + y2) __

3x 2 3Y 2 x 3t 2 .

Sur le groupe G H , on peut envisager deux types de transform~e de Fourier :

a/ la transform~e de Fourier "totale" : les classes d'~quivalence des represen-

tations unitaires irr~ductibles peuvent s'indexer par %ER ; ~% ~tant une telle

representation , prenons fEL2(~) ,

~(x,y,t)f(~) = exp[i i (t + 4 ~y - 2xy)] f(~ - x)

(6) d~%(X) = --~ ; d ~X(Y) = 4i%~ ; d~l(r) = i%.

125

(7)

(8)

Soient ~ et Ph les observables de position et d'impulsion de l'oscillateur

harmonique quantique. Ii est bien connu que l'Hamiltonien de cet oscillateur est

2 h2 d2 H2 Ph I m ~02 + 1 m co 2 ~2

On s'aper~oit que

d~ % I ~ m 2 (X 2

d ~ %(i h X) = Ph

-i d~ (-$- Y) = X h

= 1 (p~ +16 %2 h2 + y2)[ ~m Y~)

4~ Prenons co = --

m

-h 2 L'Hamiltonien H 2 est le transform~ de l'op~rateur 2-7 (x2 + y2) .

Ce r~sultat , bien connu, est ~ l'origine du nom "groupe d'Heisenberg".

b/ la transform~e de Fourier partielle (cf. [3]) (x,y) ~tant fix~, effectuons

une transform~e de Fourier relativement ~ la variable t :

Notons ~Yla transform~e de Fourier partielle :

~/'(X) = ~x + 2 i Y T

~(Y) = ~ - 2 i x T

~(r) = i T.

D'apr~s (5), on a :

(9) ~(AK ) 22 82 8 _~81 _ 4(x 2 y21 T2 = -- + -- + 4 iT(y T~ x - x 8y

~x 2 ~y2 +

Comparons maintenant les formules (4) et (9) , elles se correspondent avec : - q B

T - ~ ; Xl = x ; x2 = y .

DIo~ :

h2 -q B (:I0) ~(- ~m AK) ( x,y, ---~ ) = H 1 .

Cette formule donne le lien entre l'Hamiltonien H I et le Laplacien incomplet

Mais d'apr~s (8)

(11) dnl [ 2~m 2 a]=H2 .

Les formules (I0) et (II) montrent imm~diatement le lien entre deux situations

126

(12)

physiques : l'oscillateur harmonique ~ une seule dimension et le mouvement de la

particule. Le lien entre ce dernier problgme et l'oscillateur ~ deux dimensions

est bien connu.

Utilisons la formule de Plancherel pour le groupe d'Heisenberg ; ~ gtant une fonction

r~gul i~re :

2"~ AK~~ ( x , y , t ) = t r [ ~ X ( x , y , t ) H 2 ~(~) ] I~1 d~ ~ (2~) 2

d ' a p r ~ s (10) nous ob tenons f l n a l e m e n t :

H 1 ~(x,y, ~ ) = -q Be` I(2~) 2 tr[ X(x,y,t)H 2 X(~)]eit q Bo/2h dt[Xld x

-~ -co

3. - Fonctions de Cauchy-Riemann et fonctions propres de l'Hamiltonien~

Consid~rons I'

Dans le cas a = I

(~ + iT)f = 0 sont les fonctions de Cauchy-Riemann

op~rateur A K + i ~ T sur le groupe G H , avec ~ r~el (cf. [I]).

les fonctions f : H--+~ qui satisfont ~ l'~quation

des fonctions de Cauchy-Riemann.

Pour le calcul effectif d'une base de fonctions propres de carr~ int~grable, la

m~thode classique (cf. [2] ) consiste ~ prendre l'Hamiltonien HI, et ~ effectuer

une s~paration des variables ce qui amine l'~quation hyperg~om~trique confluente.

22 + 22 + 4 i ~ x $~-/ ~t~K + isT) = -- -- T(y~-~ - _ 4~x2+y2 T 2 r ~ - T ~x 2 ~y2 ~y

-2m q B q B o -2m = _ _ o )

h2 HI + a 4h h2 (HI - ~ 8m

or, nous savons (cf. [I] ) que l'op~rateur A K + i a rest inversible si et

seulement si a # 4(2n + I) , nC~ .Dans le cas contraire, l'ensemble des fonc-

tions de carr~ int~grable sur G H et annulant A K + i 4(2n+l)T est de dimen-

sion infinie (fonctions de Cauchy-Riemann darts le cas n = 0).

Ii est bien connu que les valeurs propres de la particule charg&e sont q h B

o (2n + I) 2m , ce qui correspond aux valeurs trouv~es. Dans le cas du niveau

fondamental, les fonctions propres sont les transform~es de Fourier partielles

127

(13)

Une autre m~thode consiste g suivre les idges de [3] . Fartant de l'~galit~ (4)

mais ~crite sous forme complexe : en posant z = x I + ix2, (4) devient :

q h B ~ _h2 ~ q B ~ q B ~ _ _ _ o [)(2 ~ + -~-- z) .

HI 2~ 2m (2 0z 2h q h B

o Donc, les fonctions propres correspondant g la premiere valeur propre 2m

peuvent se calculer en cherchant f(z, Bo) telle que :

(14) Of q B z o f = O. ~ + 4~

qh B o f et l'~quation (14). Remarquons que nous avons ~quivalence entre H1f = 2~

Ceci peut se voir, par exemple en remarquant que par transform~e de Fourier

(A K + 4iT)~ = O ~quivaut g ~ fonction de Cauchy-Riemann.

L'~quation (14) poss~de les selut~ons ~videntes :

q Bo [2 4h ]z

(15) f(z, Bo) = k(z, Bo) e

o~ k(z, Bo) est une fonction holomorphe en la variable z

Les fonctions propres correspcndant aux autres valeurs propres s'obtiennent par la

m~thode classique (en introduisant les op~rateurs de creation et d'annihilation).

Remarque: si l'on ajoute un petentiel V >I O , l'~galit~ (13)

q h B ~ -h2 ~-z ~z (16) H i + V - 2m 2m (2 q2h" B~ ~-) (2 + ~ q B~ z) + V.

s'~crit

Soient ~I et ~ valeur et vecteur propres

(H 1 + V)~ = p

en utilisant (16) on trouve :

~2 I 0~ ~ Bo [2 I [2dzdz=~ I[~P]2 2--m ]2 ~ + 2--~ z~ dz dz + V ]~

d'o~ , par positivit~ :

q hB o<p

2m

q h B ~ f dz dz- 2---~ J I~[ 2 dz d~

nous avons donc la plus petite valeur propre possible pour tousles potentiels po-

sitifs (sous r~serve d'existence d'~tats li~s).

128

4. - Lien entre les valeurs propres de H] e t H 2.

Choisissons une fonction ~n ~ L2(GH ), normalis~e telle que

(17)

(18)

[A K + i 4(2n + I)T] ~n = O

avec n~-~. Supposons de plus que &K ~n et T~n

Par transform~e de Fourier totale :

h2 _ ~2 I( _ ~ AKin) ~m 4(2n+I) ~l(i r ~n) = O

_ h2 H 2 ~l(~n) = -~- 2(2n + ])~l(~n)

(comme I ~ m = 4--h ' on retrouve les valeurs propres de l'oscillateur

Effectuons une transform~e de Fourier partielle

~Y(~K ~n ) + i 4(2n + I) ~Y(T~n ) = O

d'apr~s (IO) :

Hl~Yn(X,y ' q Bo) = h2 - 4h ---~ 2(2n + I)T~Y(~n ) = (n +I/2) - -

appartiennent ~ L2(GH ).

(n + 1 / 2 ) h ~ ) .

q h B o ~(%).

Utilisons la formule de Plancherel en prenant une fonction @n E L 2 ainsi que ses

d~riv~es jusqu'~ l'ordre 2 (ceci afin d'assurer les convergences dans les int~-

grales qui suivent) :

SIR h2 [%] dl tr lIT1( ~n )~ (H2 + --m 2(2n + I) %) 7Tl(~n) ] (2~T)2

112 I -- = -- 2~ ~n(AK + i 4(2n + I)T) #n dc~

�9 JGH ~ 2 ~ 2 ( 1 9 ) 1 -- n . n

-~ [ ~Y(~n) ~( - ~ A K - �9 ~- 2(2n + 1)T)~(~n)da

= --!-]2~ 3 ~(~n ) (H I + ~-- 2(2n + I) T)~Y(~n)HO .

Soient E(1)n et En(2)(I) les valeurs propres de H] et H 2 l'~galit~ (;9) peut

encore s'~crire :

E(1)( ~n) ~(#n) do -- fir tr[~l (*n)X (H2-E(2) (I)~I (r I 1 [dl fiR3 ~Y( ~n ) H| ~(*n) do - n $3 2~

(2o) Si on utilise (12) on voit que :

E(1)n = ~ E(2)(1)n tr [~l(0n)~ I( On)] II]dl2~

sous r g s e r v e q u e ~ s o i t n o r m a l i s g e . n

129

L'int~r~t de la formule (20) est que si l'on ajoute un potentiel V(x|,x 2)

l'Hamiltonien HI, les calculs precedents restent valables ~ condition de

remplacer l'Hamiltonien de l'oscillateur par :

2 Ph + 1 2 X~ 2m ~ mw + d~%(V)

d~%(V) jouant le rSle de potentiel. La formule (20) relira encore les deux valeurs

propres.

5. - Remarque : Spin et champ ~lectrique.

Les considerations pr~c~dentes sent encore valables si la partieule poss~de

un spin et si l'on est en presence d'un champ ~lectrique constant. Dans ce cas,

la formule (3) donnant l'Hamiltonien doit ~tre remplac~e par l'Hamiltonien

1 ~(~, t)]2 + U(~, t) - q h (21) 2---m [~ - q q ~m ( ~x Bx + Oy B + y z Bz) "

Ce nouvel Hamiltonien agissant maintenant sur le produit tenseriel des ~tats de

spin et des ~tats de spin et des ~tats de position, ~x' ~y' ~z ~tant les matrices

de Pauli .

1 O 1 Comme B = B ~ e3, B x = B = O , Oz = ( O _ ) pour le spin, nous aurons seulement Y q h B ~ 1

consid~rer un terme 2m ( O ~I ) ce qui montre que l'on se ram~ne & deux

deux ~quations d~coupl~es, done on se ram~ne au cas sans spin, quitte a ajouter le q h B

terme * o 2m , nous prendrons donc, comme Hamiltonien (en prenant par exemple

le signe + )

q h B ~ (22) ] [~ ~(~, t)]2 + 2---m - q + q U(R, t) + 2m

U(~, t) repr~sentant le potentiel ~leetrique (potentiel scalaire). Supposons que

ce potentiel ne d~pende que de x I et x 2 les ~quations (IO) et (ll)

h2 q hB q hB o o

~(- ~ AK + q U +---~m ) = H I + q U + 2----~

h2 q h B ~ q h B o + q d ~(U). d~%(- ~m AK + q U + ~ ) = H 2 + 2m

deviendront

On trouve l'oscillateur harmonique avec un potentiel perturbateur du type

q ~B + q d ~%(U).

o 2m

130

q ~ B e(2) Si 1'on note ~(I) les valeurs propres de H I + q U + o et (l)

n 2m n

les valeurs propres de l'oscillateur perturb~ , le calcul effectu~ pr6c~demment

pourra se faire de m~me et l'on aura encore une formule analogue g (20)

(I) f~2)(i)tr[zl(~n)~ l({n) ] JlJd% ~n = 2~

BIBLIOGRAPHIE

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Heisenberg group. Comm. on pure and appl. Math., vol. 27, pp. 429-522, 1974.

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3] LAVILLE (G.). - Formule de representation int6grale dans le bord d'un domaine

de C n. C.R.Acad. Sc., Paris, t. 287, pp. 129-130, 1978.

[4] POGOSYAN (G.) and TER-ANTONY~N (V.) .-Lien entre les fonctions d'onde polaires et

cart6siennes d'une particule charg6e nonrelativiste dans un champ magn6ti-

que homog~ne. Teoreticheskaya i Matematiches Fizika, vol. 40, n ~ i,

pp. 140-143, Juillet 1979.

Universit6 Pierre et Marie Curie

L.A. au C.N.R.S., n ~ 213

4, Place Jussieu 75230-PARIS CEDEX 05

/ INTEGRALE DE DIRICHLET SUR UNE VARIETE COMPLEXE I

par Bernard GAVEAU et Julian ~AWRYNOWICZ

Introduction

En une variable complexe, l'int~grale de Dirichlet joue un rSle

fondamental dans la d~finition des mesures harmoniques, fonction de

Green, capacit~s etc., et dans la d~monstration des th~or~mes fonda-

mentaux, par exemple le th~or~me de Riemann. Ce rSle important est d@

au principe variationnel associg ~ l'int~grale de Dirichlet et au fait

que l'int~grale de Dirichlet est un invariant conforme.

En analyse complexe ~ plusieurs variables, l'int~grale de Dirichlet

peut ~tre d~finie lorsqu'on s'est donn~e une m~trique k~hl~rienne, mais

son d~faut fondamental est de ne plus ~tre un invariant biholomorphe.

Pour obtenir des invariants biholomorphes du type "potentiel", une

premiere approche ~tudi~e depuis plusieurs ann~es, est l'~quation de

Monge-Amp~re complexe (voir [ 7] , [3] , [22] , [30] et [ |4]) . Le laplacien

est alors remplac~ par l'~quation non lin~aire de Monge-Amp~re ; dans

l'interpr~tation "contrSle optimal" @tudi~e par le premier auteur [ I;] ,

l'~quation de Monge-Amp~re appara~t comme un m~lange de toutes les

theories du potentiel associ~es ~ toutes les m~triques k~hl~riennes

possibles et en cela, elle semble donc ~tre un substitut plausible

pour la th~orie du potentiel de plusieurs variables.

132

Nous avons propos~ dans [ 12] une autre possibilit~ , plus

strictement li~e au potentiel, pour d~finir une int~grale de Dirichlet

invariant biholomorphe, que nous allons d~tailler dans cet article.

D~crivons bri~vement l'id~e que nous utilisons.

Dans[ 5] , Beurling et Deny ont introduit la notion d'espace de

Dirichlet et de forme de Dirichlet g~n~rale , ~ partir desquelles ils

peuvent d~finir un balayage, une capacit~ et en g~n~ral toutes les

notions usuelles de th~orie du potentiel ; cette thgorie a ~t~ reprise

tr~s r~cemment par Fukushima [ IO] d'un point de rue d'analyse fonction-

nelle et de th~orie des processus de Markov abstraits, mais malheureu-

sement avec peu d'applications. Plus pr~cisement, dans notre contexte

chaque fonction plurisousharmonique G , dans un domaine D de C n,

on peut associer une int~grale de Dirichlet

I[ u,ddaG] = ~ du A dCu A(ddCG) n-I

D

Lorsque G est convenablement normalis~e, par exemple 0 ~ G ~ | partout,

alors la norme J|U~|D= (sup{l[ u,ddCG] : O $ G $ I}) I/2 est bien dgfiuie

sur les u ~ supports compacts de classe C l et donc, par definition,

est un invariant biholomorphe. Par rapport ~ cette norme, nous dgveloppons

une thSo'rie du balayage qui conduit en particulier ~ une nouvelle d~fi-

nition de la capacit~ ; cette capacit~ est le supremum des capacit~s

dgfinie par les int~grales de Dirichlet l[.u,ddCG] et de plus, pour

chaque compact K est associg une fonction G"extr~male", comme il

r~sulte du th~or~me de yon Neumann de th~orie de jeux [25] appliqu~

dans notre contexte (tout au moins en deux variables complexes). Ce

rgsultat, le calcul d'Okada [ 26],joints ~ la th~orie de Fukushima per-

mettent de montrer l'existence d'un point-selle d'une certaine fonc-

tionnelle ce qui donne ainsi une d~finition satisfaisante du balayage

sur un compact.

133

Nous donnons quelques applications, en particulier ~ une th~orie

non lin~aire des particules ~l~mentaires dQe au second auteur et

L. Wojtc~ak [ 23] , [ 24]

Cette approche est donc assez diff~rente de celle de l'~quation de

Monge-Amp~re complexe. L'article pr~sente ici la premiere partie d'un

travail en cours d'~laboration, en particulier concernant des g~n~ra-

lisations ~ sn , une d~finition de mesure harmonique et l'allure

au bord des fonctions de plusieurs variables.

t . P r o p r i ~ t ~ s de l a n o r m e Ilull[ ( D , q ) P

Soit D un domaine de ~n et G une fonction de la classe P2(D)

2 des fonctions C (D)-plurisousharmoniques avec O ~ G ~ l partout. Con-

sid~rons D comme la vari~t~ k~hl~rienne munie de la mesure d9 et de

la distance g~od~sique ds 2 associ~es ~ sa m~trique g :

( 1 ) gj~ = Glj~ ~ (~2/~zj~k)G .

Alors

(2)

Si

p>11

(3)

C~ avec O~ G~ I partout et Ce(D) la classe des fonctions

support compact. Nous avons besoin de

LEMME I. Pour UECc(D) et l~p~2 on a

d~) = d~t g d~)eucl , ds 2 = gj~dzj~ d-~ k ,

gj-~ dzj~d~ k -(I/2i) ddCG -: ~G

u est une fonction de la classe cl(D),g : D---9]R + est continue et

, on pose

[|uPl (D,q) = (sup f q|VuU p d~) |/p P G6P2 (D) D ds2

Notons aussi P (D) la classe des fonctions plurisousharmoniques o

C~(D)

134

(4) llump(D,q) < +co ,

J

(5) IMu|P(D, q) = [I| u~l (D,q)] p= sup ~ qnvunP 2 p

G6Po(D)D ds d~

$i de plus n=p=2, on peut remplacer aussi le supremum par le supremum

sur la classe P2(D) des fonctions plurisousharmoniques dans D , com-

prises entre O et | et pas n~cessairement continues.

Preuve . Les relations (4) et (5) r~sultent d'une rggularisation de

G et du lemme suivant (Chern, Levine et Nirenberg [8] ) : Soit A(O;r)

un polydisque ouvert de rayon r=(r.) et de centre O dans cn et 3

soit G:A(O;r) )(O; 1) une fonction plurisousharmonique de classe

C2(~(O;r)) Alors, pour chaque ~=(~j) . O<r.<r. j=| n, il ' j J ' ,...,

existe une constante A , ind~pendante de G et d~pendante seulement

de r et ~ , telle que pour tous les indices j],..o ,JL,k|,kL~ ...,k s

l~jl<...<j~n , l~kl<...<kg4n , on a l'estimation

IG. - C.-

{J lkl "'" [Jiks

n

[ {I ............... + Z [ Glkl2 }d~eucl<A k=[

A(O;z) GjJLkl...G[jL~ s

Dans ~2 , (ddCG) n-l = ddCG donne un courant d~fini au sens de

de Rham et il n'y a pas de prob[~me de d~finition.

Remarque I. Pour p=2 on a

(6) [|ulI2(D, q) = [ sup [ qdu A deu A (ddCG) n-I

G6P2(D) D

On note ~l (D,q) l'espace de u@CI(D) avec llu~[ (D,q)<+~ . P P

On a

LEMME 2. ~l(D,q) avec la norme (3) est complet. P

135

Preuve. Soit (ui) une suite de Cauchy pour II M[ (D,q) ; si nous P

prenons pour G(z) =lzl 2 , on volt que (u n) est suite de Cauchy pour

la norme usuelle de Sobolev dans ~n , donc elle converge vers u .

Extrayons de (Un) une suite (Vk) , Vk= unk k=l,2, telle que

8 Vk-Vk_l~Ip(D,q ) ~< 2 -k

On a alors

U-Vk= E ( V n + l - V n ) , d'o~ [ lU-Vkll lp(D,q) ~ n=k n=k

2 -n = 2 - k + l

et, par consequent, Un----~u au sens de l'espace de Sobolev.

On notera ~l (D q) l'adh~rence des uEC:(D) dans ~l(D,q) o,p " P

A cause des lemmes I et 2, ~I (D,q) est complet lorsqu'on le consid&re o,p

avec la norme d~finie par P2(D) ou Po(D)

La norme (3) est un invariant biholomorphe :

THEOREME I. Si f :D ) ~[D] est biholomorphe, o~ f[D] c Kn

et uE~ 1 (f[ D] ,q) ,alors -- o~p

uof E ~I o , p

et

Preuve. Pour

(D,q o f)

iluofnlp(D,qof ) = i~U~Ip(f[D] ,q)

GEP2(f[D] ) on ~crit, d'apr~s (2) et (1),

[ ( q o f ) l v ( u o f ) n p d,0 2 D ds I

. - 7P = [(qol)[ gjk(uof)lj(uof)[]~] dx;

D 1 r -s

= ~(qof )[gjk(ulrO f )(ui~O f ) f [j f~ ]2pd~ "

D

136

Soit h = ( f - I ) ~ g de sorte que

g3k h r~ o f = f ~j f jk

Alors h 33(Gof -I) = car g = ~G et on obtient

[(qof )~V(uo f )11 p 2du ds

D

= [ ( q o f ) [ (h r ~ o f ) ( u r O f ) ( u l ~ o f ) ] D I

1 yp = [ q[ hr-~u ~] dV f [D] I rUl '

I yP

d~

o~ dV est le volume de la m~trique h

-I Mais eonsid~rons qo f , alors elle est dens P2(D) car I est

holomorphe, d'oO

I luos II ( D , q o f ) .< IlluMI ( f [ D ] , q ) P P

et par biholomorphlsme on a la r~ciproque.

2.Exemples

Nous avons besoin de

I(B,I) , o3 B COROLLAIRE I. Pour uE~ 2 est la boule unite de {2 ,

il existe une constante C telle que pour tout _~ convexe croissante

valeurs dens [-| ;O] , si on pose P(z) =I z] 2-I , on a :

(7) [(~' oP)IVu| 2 eucld~eucl+~(~"oP)13b u 1 2 ~ Id~ .~< C euck eUct D

o.__~ ( 3 b U ) e u c l = ~2ul l - g l U [ 2

Preuve. Soit G = ~ o P . Alors

(8) -4|Vul 2 dv = ~P ^ au ^ ~u eucl eucl

137

(9)_4[I~b ul 2 euc ld~euc l= -4 (z2E2u I lUl~-ZlZ2U I lUl~-Z2ZlU [2ul l+z lz - lu [2u l~)dgeuc l =

=(EldZl+~2dz2)^(Zld~l+Z2dE2)^(u[ ldZl+Ul 2dz2)^ (u ]~ dZl+U[~ dz2)=

~ PA-3PA3 uA3 u

Par consequen[ on a

-4[ (~'~176 eucl d~) eucl ]

=[ (~ 'oP)3~P+(~"oP)3PA~P]^3 u^~u

=3[ (~'oP)SP ]A3u~u = 3g(r

-~G^3u~u = -4!Vun 2

d~ ds 2

o~ ds 2 est d~termin~ par le (2). D'oO le r~sultat par le lemme I .

Exemple I (de fonctions dans ~(D,l) si D est la boule unit~

B de ~2). Prenons dans le (7) ~ telle que ~'(s)>~Cl/IS I , oO CI> O.

Alors, pour une boule quelconque B(O;r) de ~2 ,o3 O-- r < i , on obtient

pour - 1 < s < 0 : 1

Cl0) 0< ,u(~)(l+~) d~.<c2ls I ,oa ~u(~) = ~ Idul 2 d~ ,

s C

I

o3 C~= B(O;(I+~) 2 et d~

En effet, la premiere int~grale dans le

I o f ~'(r2-|)~ (r2-1)r 2n-I dr = f ~'(~)~ (~)(I+~)

u ii o -I

est l'aire euclidienne de C~

(7) s'exprlme par

I n-~

d~ .

'[38

Mais ~' crolt et est ~ 0 , d'o6

I !

f ( ~ ' ~ vu| 2 i n-[ o n~- eucldVeuel ~ ~' (~) ~u(~)(l+~) d~'(s)[~u(~)(l+~) d~.

B s s

Par le corollaire I et l'estimation O'(s)~ Cl/[S I , oD Cl> 0

obtient l

s n-~ c >/ ( c l / I s I) f Vu(r dr

o

�9 on

c'est-~-dire (IO).

La condition (I0) n'est pas catastrophique, car [~u(g)I est

int~grable pour r voisin de 0 . La deuxi~me int~grale dans le (7)

est au eontraire catastrophique. En effet, prenons ~ de sorte que

~' (S) % 0 si S ~S et ~'(s) = ]/s si s +s O , o~ e>O . -- O O O

On aura alors une condition ~"(s) ~ I/SoE si s o ~$ ~So+~ , d'o~

s +E b

( ' 1) O< ~ ~ ( ~ ) ( ' - ~ ) n - l d ~ <C31Solg,oG ~u(~) = f N~b u~2 d~ C s

o~ ~b u = z2ui1-zlui2 . Cela indique que nsbUn2 tend au sens de L2(S 3)

vers 0 (o~ S 3 d~signe la sphere 3-dimensionaellede ~4 ) , parce que

~(So) $ C41 Sol , o~ C4> 0 , pour So-----)O

! Exemple 2 (de fonctions dans ~2(D,I) si D est le polydlsque

unit~ A de ~2) . Pour u6~(A,I) ii existe une constante C 5 telle

que si F r est une fonction de la classe C~(~) , valant I pour

l , F r 1 Izl~r et O pour I z[>r+~(l-r) , 0 < r< I avec (z)=Fr(z)Fr(z 2)

pour z = (zl,z 2) , et si ~(O;r) est le polydisque de centre 0 et

de rayon r ,on a

139

2 ('2) 'Uu[' 2 ~C s I/u //2 + lim sup Z [

r----~l- j,k=l ~2 A(O;2 ) [ Fr" 121 FT~I 2dz dE

IJ

oO fluff est la norme de Sobolev d'ordre 2 . D

En effet, on ~tudie la forme (8), c'est-~-dire

(g2-~u ilUl T g2]ul 1 u i ~-g l ~Ul 2u i]+g l]Ul ~u i~)^dz l^dZ l^dZ2Ad~2

Evidemment, par (I) et -].<G 40 , on a

[ g2~u i lU[~ dzd~< ~(F r)2g2~lu[ i [ 2 b(O: 2) A

dzdE

.g22 GI 2, . g2~. r, I)2d~d~ .< [ ~ _ - ~ + l - - - 6 - j 2 ) ( F r l ~ l ~ l ) 2 d~d~ .< J " ~ ( F lUll A &

= [ ~I GI2 ~--~z2 (Frlu I 1[)2 dzd~ - A}-~-~ [J-Gl2(Frlul~z2 G I [)2]dzd~ A

.<JIG 3 r )2 G 12-~2 (F tull[ dzd~

I 3 2--G F r F~- u I 12dzdE = f ~ GI2(Fr)2 ~--~2[u~tlmdzd~ + ~ G 12 12 1 " A A

Mais 2ab ~ E 2 2 E-2b 2 a + pour a,b,~@R ,g # O , d'oO la deuxi~me int~grale

se contrSle par

2 I Cl Frul ] 2 A

dzd~- + ~[ Fr[zul l ] 2 E

dzd~

La premiere int~grale se contrSle par

2 I G F r ] 2 dzd~ + ~ r 2 D ~[-~- 12 Ull 2~ 2 ~ IFrUl~[2 dzdE +~2 [ IF u~]~[ dzd~ A 2q A

140

pour e ~ , N # O . Ainsi on obtient

g2~ GI2 2 )2 [ [ ~ + (l_e2_ ~2) i ~ ] (F rIull ] dzdE A

I ~ iFr ul ,2 ~D_Ti Fru,]:,2 1 r <--~ 1 2 I dzd: + I dzd: +---i-JIF u i21dzdu 2n A

pour 6 ~ , N # 0 . Ainsi on obtient

. g2~ GI2 2 l_--:-~+ (1-s 2- n 2) I'--~"- ] (F~ lu I A

il) 2 dzd~

Prenons

.< i~ r 12 a~a: +_~IFr~i::12 dza:+_/--T~lF r 2 ~---~ IFl2Ull 2n A 2n A Ul]21 dzdg

2 2 s + T] ..< 1 . Alors

] r { g21 (FrlUlll)2 dzdE < ~ ~ I iI 2 dzd~ § //f(O;r) A(Oir) -G s E\ A(O;r) Fl2Ul n

Co~e 2gT2 ~ gl] + g22 , on obtient l'estim~e avec d~riv~es mixtes, d'o~

le r~sultat (|2)

3. Une variation de m~trique kahl~rienne dans l'int~grale de Dirichlet

Pour la capacit~ (3) on a :

THEOREME 2. Si G est une fonction stationnaire de (3), elle satisfait l'~quation

diff~rentielle

I 1 ~2 (13) ~ [ g ( ~u ~u )2P (grs)2P-l(gjI~ rg 1 rk "- -~Zr ~s g - ~pg g3S) d~t g] = 0

Pour n = ! , p # 2 e t D = A(O; I) soit G(z) )~(Zo) e t

141

l q (z) [ Uz(Z) 1 P(Gz~)-2P ) ~(z o)

y6~rv

pour z---)z ~ e 3 A(O; I) . Puis soit h %0 e_~t h@ les prolongements harmoniques

dee %0 e__tt ~ , respectivment, tandis que G~ le potentiel de Green correspondant

)2/p la fonction (lu z I p /h~ dans A(O;I) Alors G = h + G~

Preuve : On a d~ 2 = gj~ dz. ~ dE k oh = 3 , gj[~ GIj k 3zj 3~- k et

(14) |Vu | 2 2 = ~j~ ~u 3u , d%v = d~t ~ d~ e u c l ' 3zj 3~ k

~r~ ~ = ~[ o~ g g~ m et ~ =[ g~ ]

Kronecker ) . Alors, par le (3),

(cf. (I) et (2) ; 6 d~slgne la fonction 6 de

(15) ~lulr~ (D,g) = ~sup ; F(z,E,~,~:~" )dVeucl , G E P2(D) D

o3

%Jjk 3 u 3u ~,~,~,~:~,,) ~ g( g ~- 3~ k o.j

l

)~P d~t

Si G est une fonction stationnaire de (15) et

FG=F~'( z , z , G", G','G%' ) 1 " - " "~=G(z) ,'~' =G' (z ) , '~"=G"(z)

on a

3 3 3 2 32 ~----~---- F

_F G_- ~-~k_FGlk_ - 3~ k' _FGI ~ + ~FG~j k + 2 ~_FGIjk_ + 3Ej3Ek_GIj k

Mais

_Fo " ~ o, a-~k_Fc I k = o,

d ' o ~

3 2 F =0

32 ~2 ~FG, = O, ~_F_G,jk= O, ~_FG,jk : 0 ,

= 0

142

c'est-~-dire 1 1

32 ~u ~u3~ - grg)~ p (16) azj~k{ q ( Dz r ) 2p [ ( d~t g ] } = O

s Glj~

On calcule :

(grm)Gij ~ g I ~ + grm(g~ N)Glj~ = O et (gL~)G[ j~ = ~j~ ~Fn1~ '

d'o~

(gr~)G I = (gr~)Gl3 k ~E (gr~)Gij k 2~=_~. ~ r~ ~ ~ r~ s rk "- jk ~ = g~ ~ g 3 ~ ~ g =-~ g =-g gJS

e t 1 1 _ . - I 1

- - - "- , jk r~ I r-kgjw p-I [(grS)2-Pd6t~ I , rN,2P-lgrkgjSd~g + (grs)2Pgjkd6tg = tg g -~pg d~tg. GIj~=-~Pkg )

Par (16) on d~duit (13)

Pour n = I et p # 2 on obtient

2 1 I 3u 3u )~P ~2G .-2 -p

~z~ [g ( ~-fz ~ (~7~f) ] = 0

d'oO I I

3u 3u 32G g (-~z ~-z )~p (~)-2P = h~

c'est-g-dire GzE = (iUz Ip / h )2/p dans A (O,l) d'o~ G = h + G~ ' ~ �9

4. Autres espaces de Dirichlet invariants biholomorphes

On a an fait montr~ un peu mieux que dans les sections Iet 2 . Par (]4) ,

(17) duAdCu~ddCG = RVuU2~G d9 ,

(cf. (8) , o~ d9 est la mesure associ~e ~ la distance g~od~sique ds 2 correspondante

~G (d~termin~e par le (2)) o Alors on d~duit :

143

Remarque 2 . L'estim~e (12) est valable pour GZ O et on peut remplacerlDuRI (D,g) par P

2 d r ] I / p ( 1 8 ) I l u l l ( G , q ) = [ s u p ~ q g V u n _ 3 ~ l o g ( _ G ) P G6P'(D) D

o5 P'(D) d~note la classe de fonctions C2(D)-plurisousharmoniq ues

avee -I~ G~ O partout.

Dans le supremum (3), on peut prendre une famille de m~triques

~G avec G plurisousharmoniques de la classe C ] sur la fermeture

de D strietement pseudoconvexe, et telle que G(z) ~0 dans D avec

la C|-norme ~ I En utilisant le th~or~me de Fefferman [9] (p.2) on

pent montrer faeilememt la proposition suivante :

PROPOSITION I. Si [ : D-----#D' est une bijection biholomorphe

entre deux domaines strictement pseudoconvexes D e t D' d_~e C n ,

l'applieation u~--guoF est une bijeetion blcontinue.

En ee eas part|culler on v@rifie que la norme est estim6e pour

la boule unite B de ~2 par la norme de Sobolev d'ordre 2 . Ici on

n'a donc ,plus une condition aussi rig|de pour la valeur fronti~re ; ceile-

ci n'est pas n~cessairement constante comme dans le cas de ~I(B).

5. Cas d'un domaine strictement pseudoconvexe de E2-1a norme |u| (D,q) P

Soit D o un domaine strictement pseudoconvexe de E 2 w fronti~re

de classe C 2, Q(Do) la famille des fonctlons G plurisousharmoniques

darts D avee O ~ G ~1 partout et lim sup G(z) = 1 z--qSD ~

C o ~ e D e s t s t r i c t e m e n t p s e u d o c o n v e x e ~ f r o n t i ~ r e C 2 , i l e x i s t e du moins o

une fonction plurisousharmonique de classe C2(D ) dans Q(D O) . D~flnissons o

dans ce cas une Ilorl~e

(17) lu|p(Do,q~ = ( sup f q ~Vu i p dv )]/P C ~ q(Do) D O ds 2

144

II est clair que lulp(Do,q) est plus grande que la nome de Sobolev usuelle. Nous

~lo,p(Do,q) C ~ noterons le compl~t~ de c (Do) pour cette norme. D'apr~s le raison-

nement du lemme 2 , il s'identifie ~ un espace de fonctions sur

cet espace que nous travaillerons d~sormais.

6. Une capacit~ associ~e

Soit D o un domaine strictement pseudoconvexe de

C 2 , C l un compact de D o , et D = Do\ C I ; on pose

D . C'est avec o

~2 ~ fronti~re de classe

(19) CAPp(D,q) = inf { I ul pp (Do,q) : uE C ~176 (Do) , u] C l >. I }.

On pourrait aussi d~finir

(20) CAP'p(D,q) = sup inf { ~ q | Vul p dv ; u E ,qe I (Do,q), u I C I G E Q(Do) Do ds 2 o,p

>~I}.

d~finie sur XxY ; alors ddCG -----~I [ u,ddCG] est lin~aire continue sur Y pour

(21) l[u, ddCG ] = ~ q du^dCu~ddCG

D o

DanS le second cas cela signifie que pour chaque G E Q(Do) on d~finit une "norme" de

Dirichlet (Cf [5] et [ 10]) associ~e au courant positif ddCG (Cf la remarque 1), qu'on

calcule la capacit~ pour cette norme, qu'on calcule ensuite le supremum des capacit~s.

THEOREME 3. On a CAP~(D,q) = CAP2(D,q ) pour chaque D et q, et le supremum

dans CAP~(D, q) est atteint pour un G d__e_e Q(Do) .

! Preuve : Apriori, on a CAP 2 (D,q)~<CAP2(D,q) . L'in~galit~ oppos~e r~sulte du

th~or~me fondamental de yon Neum,~nn [ 25] sur la th~orie des jeux, ou, plus pr~cis~ment,

Î d'une variante de ce th~or~me. Notons X la famille des fonctions u E ~o,2(D,q)

avec u~; sur C I ; alors X est un convexe. Notons Y la famille des courants

ddCG pour G E Q(D) , alors Y est un convexe compact pour la topologie faible. Soit

145

tout u 6 X fix~ . De plus, u~--~l[ u,ddCG ] est convexe, or toute fonctionnelle

convexe sur un espace de Banach est faiblement semi continue inf~rieurement. Alors

le th~or~me de yon Neumann dit que le jeu (X,Y,I) a une valeur, ce qui signifie

pr~cis~ment le r~sultat du th&or&me (Cf la remarque I) .

Exemple 3 (d'une boule quelconque B(O;ro) dans la boule unit~ B = B(O;l) de

E2 ) . Soit D o = B et C 1 la fermeture de B(O;r o) . D'apr~s (20) , on pose

u(z) = U( [z[ 2) et G(z) = P( ]z[ 2 ) pour z 6 B et on calcule

I

CAP~(D,I) = sup{inf{ ~ U'2(r)P'(r)r2dr : U(r) > ] pour

O

r < r } : O ~< P(r) .P( ] z ] 2) plurisousharmonique dans B} ,

do~ U(r) = 1 pour 0 <r <r et O

d--[r2 P'(r)U'] = 0 or U(r) [ ; ds -1 ds dr , = .] pour r < r < 1 r s2p'(s) r s2p'(s) o O

Mais

1 1 d__Er = ~ 1 dr ~P(1) 6P(Zo) ! d [r2p,~(r ) P"+~P' 2 P' 2 + + -~r - - ] 6Pdr

r r r r P'2(1) r2p'2(ro ) O O O

or

I/p2(1) = O ou I/P'2(1) # O , ~P(|) = 0 , 6P(ro) = 0

et

d 1 ~-r [--x----] = 0 , c'est-&-dire G" + r Ic' = O t

rLe,

-! d'oO P(r) = c+c' logr pour ro.<r~< I . Ici c = 1 at c' = 1 /log r ~

7. Propri~t~sde la capacit~ associ~e- une g~n~ralisation du Lemme de Schwarz

146

Une modification 6vidente du thgor~me 1 donne

i �9 THEOREME 4 . S i f : Do--)f [ D o ] e s t h o l o m o r p h e , o 3 Do e s t un d o m a i n e

strictement pseudoconvexe de ~2 5 fronti~re ~ classe~ C 2 F [ D O ] C 52 et

u E ~,1 ( f [ Do ] , q ) , alors o,p

u of E ~1 (Do,qO f) o,p

et

(22) ~uo Wp(Do,qOf ) > UURp (f [Do] ,q)

et de plus, pour tout compact C 1 de Do , si on pose D = DoXC 1 , on a

CAP ( f [ D] , q ) ..< CAP (D, q o f ) , P P

(23)

CAP' (f[ D],q) ,< CAP'(D,qof ) P P

S__~i f est biholomorphe, on a ~galit~ dans les in6galit~s (22) et (23).

De th~or~me 3 on d~duit facilement (C [ 30] ) :

PROPOSITION 2. Pour chaque ensemble E 2 - polaire C I = DoN D de D o

(24) CAP~(D, q) = CAP2(D, q) = O

Remarque 3. La propri~t6 r~ciproque semble @tre vraie, mais nous n'avons pas de

demonstration rigoureuse.

Th6or~me 5. La fonctionnelle (u,g) t )I [u,dd c G ], d6finie par (21), o3 q=const,

admet un point-selle (Uo,Go) dans l'ensemble des (u,G) de ~l 2(Do,q) • o)

avec u I C I ~ I . De plus, le u ~ est unique et est la solution plurisousharmonlque

de l'6quation de Monge-Amp~re complexe

(25) ddCu ^ddCu = O

dans D = D x C 1 , valant 1 sur C 1 et O sur C = 52\ D �9 -- - - o o

o

; on eut rendre

147

G = | - u (potentiel capacitaire extr~mal) . o o

Preuveo L'existence de G O a d~j~ ~t@ d@montr@e dan~ le th~or~me 3. Le calcul

d'Okada 126] montre alors que la norme de Dirichlet, d~finie par le courant ddCG , o

d~finit un espace de Dirichlet au sens de [5] et [ I~ . On peut donc appliquer la

th@orie du balayage et obtenir ainsi Uo(Cf [41 et [6] ) . Pour d~montrer le dernier

point du th~or~me, appelons u G le potentiel caDacitaire de la m~trique associ~e au

courant positif ddCG . D'apr~s une procedure standazd d'approximation nous nous

bornons au cas de C! ~ fronti~re de classe C 2 . On a par d~finition, pour toute

Î u de ~,2 (Do'q) avec u]C 1 = I ,

(26) ~ dUG^dCuo^ddCG ~ ~ du^dCuAddCG

D o D o

Posons I G [u ] = f du AdCu^ddC(G-l) ; on a D

or

d' o~

IG[ u] = f d [duAdCuAddC(G-1)] + ~ du^ddCuAdC(G-1) D D

du^ddCu ^dC(G-|) = - ~ dCuAddCuA d(C-l) =~d[(dCuAddCu)(G-l)]-~(ddCuAddCu)(G-;)

D D D D

IG[ u l = f du^ dCuAdC(G-l) + ~ (dCuAddCu)(G-l) - ~ (ddCu~ ddCu)(G-l)

~D ~D D

Dans (26) , prenons u = v ,oh v est la solution plurisurharmonique de (25) valant

1 sur C 1 et O sur C O . Alors, comme v est constante sur 3C 1 et ~Co , on

a d v [ 3D = O ; d e p l u s G [ 3C ~ = 1 , d ' o f i

IG[ v ] = - ~ (G-l)dCv^ddCv

3C I

Consid~rons maintenant l_v Iv[ pour .la m~me raison

148

l_v [V] = - ~ (-v) dCv^ddCv

Par ailleurs, nous avons

(27) I G Iv] - I -v Iv] = - ~ [ (G-])+~dC(-v)^ ddC(-v)

~C I

Or G - I ~ - v (propri~t~ de la solution de i'~quation de Menge-Amp~re complexe)

et ddC(-~ ~0 et il est clair, puisque v est constante sur ~C] , que dC(-v)

ne contribue ~ l'int~grale que par la d~riv~e normale externe ~ ~D ; or -v I $C 1 =

et -I ~ v I D ~ 0 ,donc cette deriv~e normale est ~ 0 . Par suite, dans (27),

I G [ v] - l_v[v] ~< 0

et d'apr~s (26) nous avons

f dv^dCv^ddC(] -v) = ; dvAdCv^ddC(l -v) D D o o

Or 1 - v est dans Q(Do) et comme v satisfait l'~quation de Monge-Amp~re

complexe ddCv A ddC(l - v) = 0 , ce qui signifie que v est le potentiel Ul_ v. D'o~

dv~dCv ^ ddC(l - v) = sup [ du G~dcuGaddcG

D O GEQ(D o) D O

= sup inf{ f duAdCuAddCG

Ge Q(do) D O ; u e ~l,2(Do,q) , u)C 1 ~ I} = CAP~(D,q)

Donc le couple

I pour q = const.

8. Les analogues pour variation du potentiel St des courants

Soit I~ une vari~t~ complexe de dimension complexe n

domaine de ~n ) muni d'une m~trique hermltienne h et d'un

(Uo,Go) = (v,l- v) r~allse bien un point-selle de la fonctionnelle

(~ventuellement, un

Cl-champ de tenseurs

149

H de type (I,I) , en particulier H = J (la structure complexe de IMI ). Puis

soit D un condensateur de ~I : un condensateur (D,Co,C|) de I~ est d~fini

par une partition de N! en deux ferm~ Co,C I et en un ouvert D ; pour simplifier,

nous ~crirons D au lieu de (D,Co,CI) . Soit g : I ~ - - ' - - ~ une fonction continue

(la fonction de non-homogeneitY) et p un nombre reel ~ I . Nous allons consid~rer

la classe Adm D des fonctions C2-plurisousharmoniques u sur c~D (la fermeture

de D) satisfaisant les conditions O <u(z) < I pour z~ D , ul3C ~ = 0 et ul3Cl=l

Soit [ 18] :

(28) Capp(D,q) = %inf I I q~V~ ]P-~ d~tHd~^dC~u a(ddC~)n-I I . uE AdmD D ds

Soit ensuite F une classe d'homologie de D , dont les coefficients sont rfiels

et dim F = r . Nous allons consid~rer tousles courants de T au sens de de Rham et

un recouvrement localement fini ~= {U. : j @ I} de M . La classe des fonctions J

plurisousharmoniques C 2 sur U. n D J

et satisfaisant les conditions :

(i) l'oscillation de la fonction u_ dans U.n D J ]

(ii) du.] = du k dans U.jn U k n D # ~ ,

~tant notre par adm(D,~) . Soit [ 19] :

(29) ~app(D,g,F,~) = ~ sup Ti~fFIT [ g ,~p--2Nvu, 2 U E adm(D,~) dS

, d~finies dans chaque ~l~ment du recouvrement

est plus petit que I ,

d~t H D r ~ u]l ,

o~ I I

= IdCu/~ (ddCu) ~r-~- pour r impair,

Dru I c c ~ r-I

L du^d um(dd u) pour r pair .

150

que

(3o)

Si

Les seminormes (28) et (29) sont invariantes biholomorphiques (voir le thEor~me

6 ci-dessous). Pour l'Etude d'un analogue complexe du principe de Diricblet (Cf [ 27]

et [28] une procedure naturelle est de prendre dans (29) pour F la classe

(2n-l)-dimensionnelle d'homologie des hypersurfaces de niveau {zEc% D : u(z) = const} .

(Par analogie, pour un principe convenable du type de Thomson (Cf [27] et [ 18] on

doit prendre dans le (29) pour F la classe l-dimensionnelle orthogonale d'homologie).

On peut espErer l'identitE des deux capacitEs (29) et (28) si nous supposons des

conditions convenables, en particulier si nous prenons dans le (29) pour fonctions

admissibles seulement les fonctions u dEfinies globalement et si elles v6rifient

O < u(z) < 1 pour zED ; nous notons uCadmD et Capp(D,q,r) au lieu de

~app(D,q, r,~[)

Cette idEe et les deux definitions s'appliquent pour H = J (la structure complexe

de ~ ) , p = 2 et q = const de Chern, LEvine et Nirenberg [ 8] , mais la rEponse

positive est connue seulement dans certains cas particuliers. Alors pour que la fonc-

tionnel!e minimisEe air la valeur minimale pour u = u , il faut et il suffit

u satisfasse

(ddCu) n = O (l'Equation de Monge-Ampgre complexe) o

(ddCu) n = 4nn! det[ (~2/~z.~Ek)U] (�89 n dz l~d~ I A...Adz n^d~ , ] n

l'Equation (30) est l'analogue complexe de

22 (31) d6t [ ~ x ~ u = 0 (i 'Equation de Monge-Amp~re r~eIle).

L'Equation (31) est un cas particulier des Equations de Monge-Amp~re complexes g~n6-

ralisEes

(32) ddC(Fu) ~ (ddCu) n-I = 0 , FEC2(c~ D)

ou

(33) d(GdCu) ~ (ddCu) n-I = O , G CC l(c~D)

151

qui sont les analogues de (30) pour la capacit6 g~n6rale (28),o~

(34) dC(Fu) GdCu , G q UVu [IP-~ = = d6t H . ds

Dans le cas g6n6ral il faut remplacer la fonction u par un syst~me de fonctions

qui satisfont la condition (ii).

Les 6quations (32) et (33) sont les analogues d'6quation (13) pour les capaclt~s

(28) et (29) . Pour n = 1 on obtient de (32) et (33) :

d(qlJVuIP-~ d6t H deu ) = 0 ds z

d 'o f i

1 d i v [ q ( q t l ) ~p - I fl g r a d u H p - 2 H 11- g rad u ] = 0

e u c l

C e t t e 6 q u a t i o n c o n d u i t en p r i n c i p e ~ des a p p l i c a t i o n s quasi , c o n f o r m e s [ 21]

152

APPENDICE : APPLICATION A UNE THEORIE NON LINEAIRE DE

PARTICULES ELEMENTAIRES

par J.LAWRYNOWICZ

9. Quelques propri6t6s locales et globales de l'gquation de Monge-Amp~re complexe

g~n~ralis~e.

Etant donn~ un domaine born~ D de ~n , une fonction f ~ O sur D et

une fonction ~ sur ~D , on cherche une fonction u plurisousharmonique dans

D satisfaisant

(ddcu)n = [n dans D , u = ~ sur ~D

Lorsque f = O ce probl~me est le probl~me introduit par Bremermann [ 17 ] ;

dans le cas g6ngral ce probl~me a gt6 trait~ par Bedford et Taylor [ 3 ] . Pour

cela, on donne un sens ~ (ddCu) n pour toute fonction u plurisousharmonique

continue sur D , ceci est une mesure ~ O (Cf aussi le lemme l) . Pour traiter

le probl~me de Monge-Amp~re complexe, Bedford et Taylor g6n@ralisent la m~thode

des enveloppes sup6rieures de Bremermann de la fa~on suivante : ils introduisent

la classe ~,~) des fonctions v plurisousharmoniques sur D , telles que

lira sup v (z) ~ ~(Zo) pour z6~D , ~(v) E (det [~:~j~ ])I/n ~ f z---~z 6~D

0

153

o5 Cj~ dVeucl + vj~ = djd~u avec vj~ 6trang~re. ~ dv et ~j~ EL~oc ' et ils

d~montrent le th~or~me suivant : Si ~(~,~) n'est pas vide, si f C L](D) et

si w = sup~(f ,r est eontinu , alors w est solution au sens g@n6ralis~ du pro-

bl~me de Monge-Amp~re, i.e. r = f sat D et w = ~ sur ~D

Pour ~tudier l'gquation de Monge-Amp~re complexe g6n@ralis6e (voir [ I ] et I2] )

nous avons besoin du

LEMME 4. Soit Tun faisceau de groupes ab@liens sur un espace topologique X

et soit ~= {U. : j EA } un recouvrement quelconque de X . Alors l'application 3

cauonlque

r : H ~ (~t,~)--~H ~ (X,T) o

des groupes de cohomologie est un isomorphisme et l'application

H I r I : (~,~) ~ H (x,~)

est injeetive.

Preuve. La premiere partie de ce lemme est justifi~e en principe par la d~finition

du faisceau, par l'hypoth~se on conclut, que

0__~Ho(~,qr)~ cO(~,T) 6 , cI(~,~)

est une suite exaete. Ici cJ(%[,~) d~signe le groupe des cha~nes d'ordre j sur

~ valeurs dans ~ , j = O , I et ~ est l'op~rateur cobord.

Pour d~montrer la deuxi~me partie il suffit de prouver la proposition suivante :

Soit ~c ~ un raffinement du recouvrement ~, ~= {Vji j 6 I} et soit r : I--~A

la fonetlon de ra~finement : V.C Ensuite, soit ~ ZI(~,~) un coeycle 3 Ur(j) "

d'ordre un sur ~ . Supposons que si r f 6 BI(~,~ y) est un cobord, alors aussi

f est un eobord, i.e. fEB I (~,~)

Pour a,b, c 6 A on a

/ab +fbc + fca = 0 sur Van V b nV c

D'apr~s la supposition,

= V.n V k ; g j e P ( v j ~Y ) J r ( j ) r ( k ) gk-g j sur 3

154

Ainsi, pour chaque aCA ,

far(k)- far(j) = gk-gj

i.e.,

SUr U a n Vj ~ V k

~a = gj- far(j) = gk- far(k)

est un ~l~ment bien d@fini de 1'ensemble de sections

En effet,

lab = ~b-~a sur Uar~ U b

F(Ua,~) . Nous affirmons que

est un recou-

l~ (non n@cessairement munie d'une m~tr~que hermitienne h)

~b I UanUb~Ur(j) = far(j)- [br(j)

= ~r(j)- gj - [fbr(j)- gj] = ~b- ~a sur Ub~U b mUj

Car ce r~sultat est valable pour chaque V. et comme ~= {V. ; j El} 3 3

vrement de X , nous devons obtenir

~ b = ~ b - ~ a s u r U a ~ U b

e t l e lemme e n r ~ s u l t e a u s s l t S t .

On a done

Th~or~me 7. Supposons

(al) F pluriharmonique sur

(b l) l'~quation (32)est r@sol~le localement dans ~= {U. : j61} , J

(c I) les solutions u.j __de (32) satisfont duj = d1~ dans Uj~U k # ~ ,

(d I) HI(I~,[ ) = O (par exemple, c'est valable pour F~ slmplement connexe).

Alors il existe une solution globale de (32) sur g~

off e. sont constantes. -- 3

, ~gale localement fi uj - cj ,

Ainsi les ~l~ments Cjk engendrent le groupe de cohomologie HI(%L,K ) et l'appli-

cation canonique H](~, ~ ) ~ HI( ~ ) est injective par le lemme 4. Par le

constantes et Cjk+Ckl+Clj = O .

Preuve . De (b]) et (el)on d~duit que uj-cj = Cjk dans UjnU k , o~ Cjk sont les

155

m~me lemme l'application H](~,~ ) )HI(M,~ ) est un isomorphisme, alors d'apr~s

(dl) il existe des constantes cj,jEl , telles que

uj-u k = cj-Ck, i.e.u.-c3 J = Uk-Ck dans U.o3 Uk

Cela d~finit une fonction globale u de la classe C 2 sur la vari~t~ ~I enti~re

et cette fonction est ~gale localement ~ u.-c. . Alors 3 3

(35) (ddCu) n-l= (ddCuj) n-I dans U. J

et

(36) ddC(Fu) = ddC(Fuj) - c.ddCF dans U. 3 3

(al) , F est plurisousharmonique sur Ibl , on peut ~crire (36) sous la forme

ddC(Fu) = ddC(Fuj) dans Uj ,

Car, par

d'o~, par (39) , on obtient la relation

ddC(Fu) ^ (ddCu) n-I = ddC(Fuj) ^ (ddCuj) n-I

D'apr~s (51) et l'hypoth~se en (c|) que les u. J

U. , cela ach~ve la preuve du th~or~me 7 . 3

On a aussi les r~sultats suivants.

PROPOSITION 3. Supposons :

(a 2)

(b 2 )

(c 2) ~ d~signe le faisceau de ger

sur M (par exemple, c'est valable pour M de Stein).

Alors il existe une solution globale de ~(Fu) = G~u ,

avec la solution locale donn~e.

Th~or~me 8. Supposons :

! (a3) G : g~--~ est une fonction C quelconque o~

!

G = q[h(dCu,dCu)] ~p-I d~t H m qHVuRp- 22 d~t H ds

dans U.. 3

sont des solutions de (32) dans

u d~finie globalement et ne s'annulant pas sur W~ ,

G satisfait la condition d'int~grabilit~ ~G A~u = O sur M ,

H|( N, ~) = 0 , o~ ermes de fonctions holomorphes

G r~el, sur M , compatible

156

(b3) l'~quation (33)est r~soluble localement dans ~= (uj : j El} ,

(c3) les solutions u.3 de (33) satisfont du.] = du k dans U.] nU k # 0 ,

(c 4) HI( M , ~) = 0 .

Alors il existe une solution ~lobale de (33) sur

THEOREME 9. Supposons :

(a4) D pOss~de un bord cl-r~gulier pa r morceaux et sa fermeture compacte,

(b4) n ~ 2 , p = 2 e__~t q appartient ~ la classe C I,

(c 4) u appartient ~ Adm D et satisfait (33), __~ G = q d~t H,

(d 4) d(Gdeu) = fddeu ,o__~ I appartient ~ C I e__tt [~ -(n-l)-IG

Alors l'infimum en (28) est atteint pour u en question.

P r e u v e . P o s o n s

(37) ~[~= ~ Gdu ~dCu^(ddCu) n-I ,

D

o~ u EAdm D et C = q d~t H .D'apr~s (28), on a

(38) Capp(m,q) = inf l~[u] [ uEAdm D

Nous ealeulerons (dk/dtk)~ [u+th ] , u+hEAdm D , 0~t~l , k = 1,2, o~ les

d~rlv~es en t = 0 et 1 sont les d~riv~es ~ droite ou ~ gauche. Le probl~me est

bien pos~, car Adm D est convexe et t~--~ [ u+th] est un polyn~me du degr~ n+l .

Notons u t = u+th . On a done

H , c o m p a t i b l e a v e c {u . : j E I } . ]

d•][ d e ^ ( d d e u t ) n - l + d u t ^ d e h ^ ( d d C u t ) n - l + ( n - l ) d u t d e h ^ r (n) ] , u t ] = S g [ d h ^ u~ ^ t D

o~ ~ t ( I ) = 0 , ~ t ( n ) = ( d d C u t ) n - 2 p o u r n > 1 e t de p l u s

dh ^ deh ^ ( d d e u t ) n - 1 = du t ^ dCh ~ ( d d e u t ) n - 1

d ' o ~ , p a r (b 4) , ( a4 ) e t l e t h ~ o r ~ m e de S t o k e s ,

~t~[ c ut]= ~D{G [ 2hdCut AddCut+(n -1)dut^d u t^ dCh+(n -l)hdcut^ ddCut ]^(ddeu) n-2}

(n+1) ; c c n-1 - hd(Gd u t ) ^ ( d d u t )

D

157

Comme h et du t sont nulles sur ~Co et ~C 1 , on obtient

d (39) - ~ ~{U t]= - (n+l) S hd(C~dCu t) ^ (ddCut)n-I D

Respec tivement,

d 2 [u t] (n+l)[ h(GdCh) ddCut+(n-l)ddCh~d(GdCut)]A(ddCut )n-2 ~t2 ~ =- D ^

- (n+l) f hdCh~ [Gddeut+(n-t)d(GdCut)] ^ (ddCut)n-2 3D

+ (n+l) f dh^dChA[GddCut+(n-l)d(GdCut)] ^ (ddCut)n-2 D

o~ la premiere int~grale ~ droite est nulleo Alors 2

(40) _--~[ut] =(n+l)fdh^dCh^[GddCut+(n-l)d(Gdeut)]^(ddeut )n-2 dt D

A son tour (d4) implique l'~galit~ de l'expression en les parentheses carries ~ drolte

de (40) et de [G+(n-l)f]ddCu , et l'estimation G+ (n+|) F30 partout. D'autre t

part, comme u t 6 Adm D , elle est plurisousharmonique C 2 , ainsi pour route fonctlon

h : D---)~ de la classe C 1 on a

dh ̂ dCh^ (ddCut)n-! ~0

partout. Par consequent, (d2/dt 2) 2[u t] )O , d'oO, par (38),(39) et (c4), l'inflmum

en (28) est atteint pour u en question.

Remarque 4. Le th~or~me 9 est aussi valable pour n=l. Raisonnons par analogie et

voyons que la condition (d4) est superflue.

THEOREME lO.Supposons :

(as) D poss~de un bord C|-r~gulier par moreeaux et sa fermeture eompacte,

(b5) n)2 , p=2 e_~t q appartient ~ l a ' classe C 2 ,

(c5) l'infimum en (28) est atteint pour une fonction admissible__ u , ]

(d5) d(GdCu) =f ddCu , o~ ~ = q d~t H , fest continu et f)O

158

Alors u satisfait (33) .

Remarque 5. Le th~or~me IO est aussi valable pour n=l ; alors la condition (d 5)

est superflue.

IO. L'influence de la nonhomog6n~it~ (des milieux physiques)

Les analogues du lemme l, du th~or~me let du corollaire I sont suivants (voir [ 16]

[ 17] e t [ 19]).

LEMME 3. Si q appartient ~ la classe C I et pour chaque uEAdm D il existe une

cl-solution F e_t D )6 de (34), alors

0 4 Capp(D, q,P) g C a p p ( D , q , F , ~ ) < +~ .

THEOREME 6. Soit I : H---#H ' une application biholomorphe, f �9 l'homomorphisme

induit sur les classes d'homologie et q : M~-~E une fonction continue, oil ~ '

uue vari~t~ hermitienne munie :

(i) de la m~trique h' donn~e, en coordonn~es locales, par les relations

= ~,o -1 . m o ~ I ) h ,s (h j~ o/-l)(i:j �9 )(} :~

ou, de mani~re fiquivalente, par

-I -I j--I k h ' = (h.~3 o f )J" s / s : :~ ,

-I)i oa u:j = (uoz .oz 3

dans la varietY,

(ii) du champ de tenseurs

locales, par les relations

H's m = (~ ~

Alors

e t z = (zj) est une coordonn~e application biholomorphe

H' du type (I,|) donn~e convenablement, en coordonn~es

~of - l ) f - I k )U: :m

est

Cappq [Dl,q, i F) = Capp(D,qos , F),

Capp$ [D] , q, f F,/ [UI)= Capp(D,qof, F,~).

COROLLAIRE 2. Soit M compacte de dimension complexe un, F-la classe d'homologie

de D ,dont les coefficients sont r6els, reprfisent6e par une courbe de Jordan~ que

s~pare C et C I , I ~< p~< 3 O --

1 5 9

_

)] 2p 1 I hll ~(~) = q [h(~ ,@ H I e_~t h(~ ,~) = ~i@i

pour toutes les formes diff~rentielles cl-d~rivables d'ordre un. Puis, pour ehaque

fonction r : ~---)C de elasse C I , soit ~ une forme cl-d~rivable d'ordre un

sur D ) qui pour chaque y 6 F poss~de la propri~t~

e_~t ~

~ r~(~ )~ ̂ ~c = ~ r~(~ )~ ,o~ ~c = -i(~ dz-~idz) D y

est une forme quelconque cl-dgrivable d'ordre un sur D .Si

[I/r~(~)]{h[r~(V)],~) + h(~,d[ r~(P)] ) } ~ 0 ,

alors pour un certain cl-champ de tenseurs H du type (I,I) sur ~ il existe des

constantes positives C et C(a) O<a~l ind~pendantes de D (C et C 1 inelus) - - ) ) o - -

et d~pendantes seulement de M (h inclus), pet q , telle que

I

[ I/C(a)][Capp(D,l q l)]a ~ Capp(D,q,P,~)~c[cap%(D,~)]2 , O<a<l

P %

o_~ p = 2/(p-l) e t ~ = l q[ 2/(p-I)

Une certaine interpretation physique est ~tudi~e ci-dessous ; c'est une th@orie non

lin~alre des particules ~l~mentaires.

|1.Une interpretation physique : la structure des particules ~l~mentaires

Nous d~crivons la structure d'une particule @l~mentaire dans un cadre de g~om~trie

diff~rentielle. Au module suppos~ la particule est situ~e dans l'espace d'observation

consid~r~e co~a~e une vari~t~ pseudoriemannienne ~riemannienne H ou , plus Dr~-

cis~ment, comme une fibration ~M , o3 M est l'espaee de fibre [ 23] . Les pro-

pri~t~s de l'espace d'observation sont d~termin~es par l'existence de la particule

consid~r~e et les propri~t~s de sa sym~trie. D'autre part, nous pouvons parler de la

d~formation de l'espace d'observation introduite par la particule d~crite de la faGon

analogue comme dans le cas du champ gravitationnel quand l'existenee de la masse

change la forme de courbure de l'espace.

Les propri~t~s quantiques de la particule ~l~mentaire sont exprim~es ~ l'aide de

l'@quation ondulatoire d~crite dans l'espace propre consid~r~e comme une vari~t~

ou, plus pr~cis~ment, comme une fibration ~ , r[ emannienne o3 est

160

l'espaee de fibre. D'autre part, nous devrons considErer deux espaces He et H n

Ici l'espace ~ est associ~ ~ son champ ~lectromagn~tique extErieur, tandis que e

l'espaee N est associE ~ son champ nuclEaire, bans le cadre de la th~orie pr~sent~e n

les valenrs de la charge Electrique,du moment magn~tique,de la charge nuelOaire,dumem~t

nucl~aire et de la masse sont les param~tres determinables par la forme de courbure

des espaces propres dans lesquels l'Oquation ondulatoire a la m@me forme, ind~pen-

dant du choix de l'espace de particule. L'image de la particule dans l'espace d'ob-

servation est a!ors une image de la particule dans le champ de forces ext~rieures,

o~ la nature de ces forces nous semble ~tre analogue au cas classique des forces

de Corlolis.

Soit IR l'espace de base de ~M et aussi de ~I(N = Ne ou Nn) , M# resp.

# la fibre typique de ~M respo~l . Consid~rons les espaces de Hilbert

~I (~ resp. H (~Gq) correspondant ~ l'Equation ondulatoire dans les espaces

H resp. ~ . Nous supposons l'application invertible l~#x ]R 9 (x',t')--)(x,t)6N #x I~ ,

qui conduit ~ la transformation

(41) V(x,t) = exp{(i/11) ~(x,t)}

de H (~ dans FI (~ et ~ la transformation de

l'application ~'(x',t') d~terminEe dans H (~

et

~(x,t) d~termin~e dans H(~q~

o~

.2 exp{(i/~)~(x,t)} = I +~ ~'(x',t') + 1------[~'(x' t')]2+...

2 !h2

I est l'op~rateur unite dans H (~N) .Physiquement, le choix de la fonetion

exp est d~termin~e par l'unitarit~ d'application (41).

L'application V(x,t) nous permet de transformer l'~quation ondulaire

(42) H I t > = i~(~/~t) i t >

valable pour l'espace • dans l'~quation

(43) H(V i t >) = iJ1(~/~t)(vit >)

valable pour l'espace ~ , o~

-I (44) H = V[ H - (~/ ~t)~] V

161

La plus petite valeur propre de H doit ~tre ~gale ~ l'~nergie au repos.

Ensuite, nous pouvons ~tablir une relation entre la forme de courbure ~2 d'une fibra-

tion principale sur une vari~t~ presque complexe (en particulier , complexe) L ,

d~riv~e de N et N , et l'espace-temps courb~ ~ par les applications e n

v e : ~ e---~M et v n : ~ n--~M , de classe C2[ 24] . Ces applications sont induites

par V et V respectivement. La forme ~2 est d~finie par les champs de mesons e n

M et de baryons B , c'est-~-dire ~2 = M+iB

Ainsi nous avons l'interpr~tation suivante de la procedure propos~e :

avant

la r~-

action

nucl~-

alre

la rg- f action

apr~s f la r~-

action L

M (une varlet@ pseu- ~e(Une vari~t~ rie-

doriemannienne non-

riemannienne-l'es-

pace d'observation

d'un syst~me des

particules ~l~-

mentaires )

mannienne-l'espace

du syst~me des par-

ticules ~l~men-

taires associ~

son champ ~lectro-

magn~tique ext~rleur)

F(une application

quasi conforme

hyperbolique )

U(une application

quasi conforme

(elliptiqne))

M' e

~,en particu- N (une vari~t~ ric- h

liar ,~eX Nn

(le produit

Cart~sien

des vari@t~

complexifie)

(une appli-

cation biho-

lomorphe)

~',en parti-

culier,N~•

mannienne-l'espace

du syst~me des par-

ticules ~l~mentaires

associ~ ~ son champ

nucl~aire )

V(une application

quasi conforme

!(ell~ptique))

N' n

162

Le domaine de biholomorphie de : correspond aux dimensions du syst~me; l'inva-

riance biholomorphe des capacitEs (19), (20) et (29), et la th~orie de l'~quation de

Monge-Amp~re complexe offrent un outil de recherche [20] .

Dans l'espace d'observation H l'Equation ondulatoire (37) peut &tre Ecrite sous

la forme de l'Equation quantique dans l'espace avec la mEtrique arbltralre g qui

correspond ~ l'application V .Dans le cas d'~lectron ou de proton l'Equatlon (37)

est donn~e par l'Equation de Dirac gcrite sous la forme covariante g6m6rale (cf [28]

et [29] ) :

{yk [ (3 /3 X k)+ Fk ] + ( m c / ~ ) } ~ = O ,

o~ m e s t l a mas se an repos de l a p a r t i c u I e , yk s o n t I e s m a t r i c e s de Dirac qu i s a -

t i s f o n t l e s r ~ g l e s de c o m m u t a t i v i t g

y j yk+yk y j = 2g jk

e t F k s o n t I e s c o n n e c t i o n s s p i n o r i e i l e s ( i . e . l e s symbo les g E n E r a l l s E s de C h r i s t o f f e l )

dEtermin~es par

F k =

avec

�88 YJ(Yjlk- {~k }7s - ~I-:Fr(YTJY'3z j,k )Y

y = ~-4ejks

o~ Cjks d~signe le tenseur compl~tement antisymEtrique de L evi-Civita.

Quand nous considErons le mouvement de la particule dans l'espace -temps de Minkowski,

nous pouvons voir que l'Equation gEnEralisEe de Dirac a des termes additionnels deter-

mines par le m~trique g jouant le rSle du potentiel effectif dans lequel le mouvement

de la particule considErEe est discutE [24] . En effet, nous obtenons que l'Energie

propre de la particule peut ~tre corrigEe par l'existence elle-m@me dams l'espace et son

influence sur la deformation de cet espace.

Enfin, nous voudrons ajouter un rEsultat tr~s intEressant obtenu sur la base de

l'Equation gEnEralisEe de Dirac, c'est-~-dire, on peut montrer [15] , que cette Equation

est Equivalente ~ l'@quation non lin~aire proposEe par Heisenberg [ 13] dams sa thEorie

des particules EIEmentaires. Du point de vue physique ce rEsultat t~moigne que les pro-

pri@t~s non linEaires de la mati~re peuvent ~tre remplacEes par une description du mou-

vement dans l'espace munie de la mEtrique choisie de mani~re convenable.

163

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Bernard GAVEAU

Universit~ Pierre

et Marie Curie

4, Place Jussieu

France-75230 Paris Cedex 05

Julian ~AWRYNOWICZ

Institut Math~matique

Acad~mie Polonaise des Sciences

Branche de ~od~, 86, rue Klhnsklego

PL-90-OI2 ~$d~ (Pologne)

CALCUL DU NOMBRE DENSITE w(x,f) ET LEMME DE SCHWARZ POUR LES FONCTIONS

PLURISOUSHARMONIQUES DANS UN ESPACE VECTORIEL TOPOLOGIQUE

par Pierre L E L O N G

- Dans l'article "Stabilit~ du nombre de Lelong par restriction ~ une sous-vari~t~"

(cf. ce volume, partie II), C. Kiselman pose le probl~me suivant. Soit f une

fonetion plurisousharmonique d~finie dans un espace de Ballaeh E au veisinage

d'un point x. Soit r > 0 le rayon de la plus grande boule B(x,=) de centre x , o

de rayon r , dans laquelle il existe pour f une majoration finie. On note

M(x,r,f) cette majoration dans B(x,r) et l'on pose

(I) ~'(x,f) = lim (log r) -I M(x,r,f) , O <r ,inf (1,r o) .

r=o

La limite existe d'apr~s la convexit~ du graphe de la fonction log r ---> M(x,r,f).

A-t-on alors l'~galit~

(2) V'(x,f) = V(x,f)

o~ ~ (x,f) est la densit~ de f en x , telle qu'elle a ~t~ d@finie dans [4,a] ?

Je rappellerai d'abord cette d~finition en compl~tant [ 4,a] ; je donnerai

ensuite un 8nonc~ qui est valable dans un espace topologique E . II entralne

l'~galit~ (2) quand E est un espace de Banach. L'int~rgt du probl~me est @vident :

(2) fournit en effet un lemme de Schwarz. L'~tude montrera de plus que, en fait,

v(x,f) et ~'(x,f) sont dgtermings en un point x par la restriction de f ~ un

cSne de droites issues de x , d~s que ce cSne est d'int~rieur non vide. Si on

suppose que E est un espace de Fr~chet , il suffit mgme que ce cSne soit non

pluripolaire. Ii appara~t ainsi que le nombre ~(x,f) qui est d~fini en dimension

finie ~ partir d'une int@gration est obtenu en dimension infinie comme extremum

pour y vmriable sur un ensemble auquel on demande seulement de n'~tre pas "trop

petit".

168

n 2 -Dans le cas E = C , la d~finition de ~(x,f) est eiassique sous l'une des

f o r m e s s u i v a n t e s ( ~ q u i v a l e n t e s ) : a ) ~ ( x , f ) e s t l e hombre de L e l o n g d u c o u r a n t

2! i ~f -b) 0 = dd c f =

la mesure positive 21-~- ~f

boules B(x,r), r % 0 -e)

(3) ~(x,f) = lira

r=o

o~ %(x,r,f) est la moyenne de f sur la sphere

qu'on a :

1 -I (4) - ~(x,f) = lim (log r) %(x,r,f)

r=o

plus directement : ~(x,f) est la densitE en x de

caleulEe en dimension rEelle (2n- 2) sur le filtre des

~(x,f) est la valeur commune des limites, (O < r < I):

%(x,r,f) = lim (log r) -I %(x,r,f) 3 log r r = o

S(x,r). Pour la suite on notera

ce qui montre : si A est une majoration de f , on a ~(x,y,f-A) = v(x,y,f)

et -~(x,y,f-A) s'obtient par (4) comme limite pour r ~ 0 d'une suite crois-

sante de fonctions plurisou~harmoniques negatives obtenues en rempla~ant f

par f - A .

3 - Si Dim E n'est plus fini, aucune des 3 definitions prEcEdentes ne s'applique

directement. Ceci m'a conduit dans [4,a] ~ proc~der ~ partir des nombres

~(x,y,f) dEfinis par

i) -] (5) -~ (x,y,f) = lim (log s , O < r < 1 r r=o

i f2~ iOy) o~ ~(x,y,r,f) = ~ f(x + re dO

o

pour (x,y) @ ExE .

/ DEFINITION | (cf. [4,a] ). Soit f(x) une fonction plurisousharmonique d~finie

a uu yoisinase de x dans un espace v e>toriel topologique >omple>e E . On

appelle nombre densitfi de f en x le nombre

(6) ~(x,f) = inf ~(x,y,f) y E E

o~ ~(x,y,f) est d~fini par (5).

169

La d~finition est justifi~e par les propri@tgs de V(x,y,f) et l'~nonc~

suivant qui complgte [4,a] . Dans la suite E est toujours un espace vectoriel

topologique sur ~ .

PROPOSITION ] - Soit Gun domaine dans E qu'on supposera de majoration flnie

f(x) < A pour une fonction plurisousharmonique f . So~t ~ ~ Get U],U 2 deux voi-

sinages disqu@s de O tels que x + y demeure dans G pour xE~ +U], y~ U2.

Alors :

1o) Le nombre n@gatif - ~(x,y,f) est d@fini par (5) gour x e ~ + UI, y eE .

Ii est localement la limite d'une suite de fonctions plurisousharmoniques r~ga~es

croissantes. On a ~(x,%y,f) = ~(x,y,f) pour tout ~r O, % E ~ .

2 ~ La r@gularis~e inf~rieure ~,(x,y,f) = lim. inf.~(x,y',f) est ind@pendante y'* y

de y eta la valeur v(x,f) d@finie par (6).

3 ~ ) L'ensemble (variable avec x) d@fini par :

(7) gx = [ y C E ; v(x,y,f) > v(x,f) ]

est un cane de sommet O ( gx est vide si et seulement si l'on a

f(x) # - ~) ~ventuellement r@duit ~ 0 ,dans E . Ou bien on a gx = E,

ou bien gx est un cSne pluripolaire darts E . On a

(8) ~(x,f) = inf W(x,y,f) yCw

pour tout ouvert ~ non vide dans E . Si E est un espace de Fr~chet,

f ou si e est continu et E est un es~ace de Baire, (8) est v~rifi~

dgs que m est non pluripolaire dans E ; gx est alors pluripolaire,

4 ~ Pour tout xEG, tout voisina~e dis~u~ W de l'origine tel qu'on air

x + WCG, on a la majoration pour tout yeW, tout r, 0 ~r <i :

(9) Z(x,y,r,f) ~ V(x,f) log r + A .

D@monstration. Soit D o le disque unite compact ]u I ~ I de ~ . Le disque

= + est compact darts E et s est d~fini et major@ par A Dx,y x DoY

170

pour D CG , O~r < i . II est classique que %(x,y,r,f) est une fonction x,y

plurisousharmonique de (x,y) pour D CG et l'on a pour 0 <r < i : x,y

I-1 (10) -V(x,y,r,f) = -~(x,y,r,f-A) = Jim (log ~) %(x,y,r,f-A)

r=o

qui donne -~(x,y,r,f) comme limite croissante pour r ~ 0 d'une suite de fonc-

tions plurisousharmoniques croissantes pour x E ~ + UI, yEU 2 . Soit m> 1 un

entier; en rempla~ant U 2 par m U 2 et faisant varier r dans ]O !] on m

voit que le disque D demeure dans G pour x C ~+ U I , y E m U 2 et (5) x,ry

d~finit encore ~(x,y,f) pour de tels (x, y) . Finalement, comme U 2 est

absorbant, ~(x,y,f) est d~fini loealement comme limite d'une suite croissante (IO)

de fonctions plurisousharmoniques de (x,y) negatives et ceci pour x~G , y~E .

De plus, pour % # O, % @C, on a ~(x, %y,l%l-lr,f) = ~(x,y,r,f) ce qui conduit

dans (IO)

(ii) v(x,~y,f) ~ v(x,y,f) pour tout ~ # O, % E

et ~tablit I~ Si l'on a f(x) ~ - ~ , on a ~(x,y,f) = 0 pour tout y CE .

Si l'on a f(x) = -~, on a v(x,O,f) = +~. On a aussi ~(x,y,f) = +

T si y appartient au cSne polaire gx =[ y~E ; f(Dxy ) = - ~] ; ces cas except~s

-~(x,y,f) a une valeur finie, n~gative.

La propri~t~ 2 ~ r~sulte d'une proprigt~ classique : la r~gularis~e sup~rieure

en y (donc ~ x constant) de -v(x,y,f) obten~comme enveloppe sup~rieure n~ga-

tive d'une famille de fonctions plurisousharmoniques dans E est une fonction pluri-

sousharmonique de y @E . Comme elle est major~e sur E , elle est ind~pendante

de y . Si on la note -~ (x,f) , on a

(12) - ~ (x,f) ~ - v (x,y,f) pour tout y E E

(13) -~(x,f) = sup [-v (x,y,f)] . y E w

La derni~re ~galit~ est vraie pour tout ouvert ~ non vide d'apr~s

-V(x,f) = lim sup[ -v(x,y,f) ] . Le rapprochement de (12) et (13) ~tablit 2~ y' § y

La valeur -v(x,f) ~tant finie~ si l'on a f(x) = - ~ , on a OC gx et gx

n'est pas vide. D'apr~s V(x,%y) = v(x,y) pour % # O, gx est un eSne de sommet 0 .

171

Ceci pos~, si il existe un point Yo 6 E o~ l'on a -~(X,Yo,f) = -u(x,f) ,

il existe une suite r ~ 0 telle que les fonctions n

!)-i Z(x,y,rn,f ) + v(x,f) $0 Vn(Y ) = (log ~-- n

convergent vers z~ro. Quitte ~ extraire une sous-suite, on peut supposer qu'on a

ElVn(Yo)l < ~ . Alors S(y) = EVn (y) d~finit pour y 6 U 2 une fonction plurisous-

harmonique nggative et l'on a

[ gx n U2IC[yEE , S(y) .... ]

o~ S est plurisousharmanique dans U2 ' gx r6pond ~ la d~finition queen a donn6e

dans [4,b] pour un c@ne polaire ; (8) r6sulte de (13) . Enfin l'existence de

Yo 6 E est acquise si E est de Fr6chet d'apr~s un 6nonc~ de G.COEURE (cf. [ 2],

p. 382) ;dans le second cas elle r~sulte du fait qu'on a v(x,y,f) > v(x,f) sur

un ensemble maigre pour y (cf. [ 4,h ] ) .

La propri6t6 (9) est 6vidente si l'on a f(Dxy) = -~. Sinon la convexit6 du

graphe log r § %(x,y,r,f-A) entralne

(14) %(x,y,r,f) - A~(x,y,f)log r ~ v(x,f)log r

pour 0 <r < I , et pour y ~ W o~ W est voisinage disqu~ de l'origine tel que

l'on ait f(x + W) < A. L'~nonc~ est ainsi ~tabli. II entra%ne :

COROLLAIRE i - Si E est un espace de Fr~chet ou si f est continu et E est un

espace de Baire~ il existe en chaque point x et pour tout entier p un sous-espace

p (e_n ?articulier une droite co~lexe) pour lequel la restriction L de dimension

f l L v ~ r i f i e :

x)(x,f IL ) = ~(x,f> .

On a alors :

THEOREME I - Soit G un damaine d'un espace vectoriel topologique eomplexe E et

f ( x ) u n e f o n c t i o n p l u r i s o u s h a r m o n i q u e da r t s G ~ S o i t x E G e c0 W un v o i s i n a g e

disqufi de l'origine tel que x + W appartienne ~ un ensemble de majoration

finie A de f dans G . On pose

(15) Mw(x,r,f ) = sup f(x+x') pour x' @ rW , 0 <r < 1

et

(16) V~(x,f) = lim (log r) -I Mw(x,r,f ) . r=o

172

Alors on a

(17) V~(x,f) = V(x,f) .

En particulier V~(x,f) ne d6pend pas du voisinage W de l'origine ehoisi.

D6monstration. On peut donner une d@monstration simple de (i7) en remarquant que

si l'on a f(Dxy ) # - ~ , la fonction ~(u) = f(x+uy) , y # O , y 6 W est sous-

harmonique de u dans le disque lul < 1 . si l'on pose

m(x,y,r,f) = sup f(x + uy) pour lul sr , 0 < r < ]

on a d'apr~s un r6sultat 6tabli par V.AVANISSIAN (cf. [ i, th6or~me 1]) dans C n :

(18) v'(x,y,f) = lim (log r) -I m(x,y,r,f) = V(x,y,f) .

D'autre part si l'on a f(Dxy) = -~ , on a darts (18) 6galit6 avee valeur +~ . On

a done V'(x,y,f) = V(x,y,f) pour x fix6 et tout y . On a aussi d'apr~s la

cQnvexit6 du graphe log r § m(x,y,r,f - A) :

m(x,y,r,f-A) ~ ~'(x,y,f)log r pour O < r < 1 , yCW

Mw(x,r,f) = sup m(x,y,r,f)$[inf W(x,y,f)]log r + A

yeW yew

et

(19) Mw(x,r,f) $ V(x,f) log r + A , O < r < 1 .

D'o~, en utilisant (16) et remarquant qu'on a log r < O :

v~(x,f) ~v(x,f) .

L'in6galit6 en sens contraire est 6vidente d'apr~s Z(x,y,r,f) ~m(x,y,r,f) .

L'6none~ est ainsi 6tabli. Ii entra~ne divers corollaires ;

COROLLAIRE 2 - Pour une fonetion plurisousharmonique f d6finie sur un ouvert

d'un espace de Banach l'~galit6 (2) est vgrifi6e en tout point.

4 - De ee qui pr6c~de r6sulte un "lemme de Schwarz" qui est d@j~ donn6 par (19), mais

on a un r6sultat plus precis en utilisant le 3 ~ ) de la proposition 1. On voit d'abord

qu'on peut remplacer W par tout ensemble disqu6 et absorbant dans E , mais il

suffit d'apr~s (8) que W soit disqu6 et absorbe un ouvert non vide ~ c E .

COROLLAIRE 3 - Soit f(x) une fonction plurisousharmonique d6finie sur un espace

veetoriel topologique complexe E au voisinage d'un point x ,dans x + U ,

o~ U est un voisinage ouvert disqu6 de l'origine . Soit ~ un ouvert non

173

vide de E . Alors si x + U est un domaine de majoration de f, on a en posant

ll~llr : s~p ~(~+ ~') pour ~' e ~ U : X t

R (2o~ [If}It ~ [Ifll R - ~(x,f) log~ , O<r<R< i

o~_u l'on peut prendree

(21) V(x,f) = inf ~(x,y~f) = inf ~'(x,y,f) y6 ~ y~

V e t ~' ~tant d~finis par (5) e~t (18) respectivement, et on peut prendre pou_r_r

tout ouvert non vide, et plus pr~cis~ment, si E est de Fr~chet, tout ensemble

tel que le cSne eomplexe de sommet 0 par ~ soit non pluripolaire dens E .

Ii en est encore ainsi si e f est continu et E est suppos~ seulement espaee de

Baire.

COROLLAIRE 4 - Si E est un espace de Banaeh, on a (20) si B(x,R) est une boule de

ma~oration pour la fonction plurisousharmonique f , en notant IIf[i r l_e su~ de

f dans B(x,r) ; ~(x,f) est dgfini par (21), c'est-g-dire est le minimum de

V(x,y,f) pour y parcourant un eSne queleonque de sommet O non pluri~o!aire dans E.

Ce type de lemme de Schwarz majore done f soit g partir d'une majoration au voisl-

nage de x sur un c3ne non pluripolaire de l'espace tangent T , soit, co~e dans le x

lemme de Schwarz classique, ~ partir d'une majoration des masses du laplacien

Auf(X + uy), u6C, pour f restreint ~ des droites issues de x ~ condition q~'elles

forment dens T un cSne non pluripolaire. x

5 - On va montrer que la difference m(x,y,r,f) - %(x,y,r,f) demeure born~e pour r ~ 0

hors d'un ensemble yE~ pluripolaire dans E si E est un e~paee de Frgehet.

LE~i~ - Soit ~(u) une fonction sousharmonique de u , pour lul <i , u ~ ~ . E n 2g

p o s a n t ,~( r ) = _~12rr ~ ( r e l O ) d 8 , m ( r ) = s u p , ~ ( r e i 0 ) , on a p o u r 0 < r < R < l : 1o 0 --

(22) o ~ ~ ( r ) - ~ ( r ) ~ ~(R) l og 2 + ~ ( r )

1 o__~ ~(r) tend vers 0 avec r e t ~(R) est la masse ~- &~ port~e par le

disque lu I <R<[

En effet ~ partir de l'expression de~(u) pour lul = r <R<I ,

~(u) = HR(u)+ I d~(a)log [R--(u-a~)] = H~(u)+ I riD(a) log lu - a[ R 2 - au I laj~<R

174

HR(U) , ~(u) sont harmoniques pour lu{ <R , on a pour l ul = r < R , o~

enposa~t I~I = t fr IR

%(r) = ~(0) + d~(t)log r + d;(t)log t O [ R ~r

re(r) ~< HI(O ) + ~(r) + | d~(t)log(r + t) ~o fr f.

D'oa O .<re(r) - %(r) ~< d~(t)log r ; t + d~(g) log r t t + g(r)

o r

et (22) qui ~tablit le lemme~

Revenons g la situation du th~orgme i. Appliquons le lemme g ~(u) = f(x+uy)

' C gx le cSne pluripolaire des y 6 E pour y E W . Soit comme plus haut gx

v pour lesquelson a ~(9) = f(x+uy) -= - co . Pour Y ~ gx ' ~(u) est une fonction

sousharmonique de u pour ]u]<l et le compact lul ~< R , (R<l), situg sur le

l disque Dxy porte une mesure positive ~ A~ de masse ~(y,R) finie. Le lemme

entralne alors , pour O < r <R < i :

O ~<m(x,y,r,f) - %(x,y,r,f) .i< C~(y,R) + e(r)

o~ l'on peut prendre C = log 2 et o~ lim g(r) = O �9 r=o

On en dgduit aisgment en se ramenant au cas o~ l'on a D(O) = O .

/ " ' dans E THEOREME 2 - Pour tout y n'appartenant pas au cSne pluripolaire gx -

f ormfi des droites complexes issues de x sur lesquelles f est identique

g _co, la difference m(x,y,r,f) - Z(x,y,r,f) est positive et tend vers z~ro

pour r -> O .

6 - Le th4orgme i permet de montrer que ~(x,f) est fonction semi-continue de x

dans certains espaces. En dimension finie la propri6tfi rdsulte du fait que le

moyenne l(x,r,f) est fonction continue de x ; (3) d~finit alors ~(x,f)

comme limite d~croissante de fonctions continues. On montrera :

/ THEOR~ME 3 -Dans un espace vectoriel complexe E muni d'une topolo$ie locale-

ment convexe, le nombre densit~ ~)(x,f) est une fonction semi-continue sup~-

rieurement de x .

Soit en effe~ p (x) une semi-norme continue sur E et B boule uni~.

175

On pose

M (x,r,f) = sup f(x + uy) pour lul < r et p~(y) ~ | ~ u,y

La fonction log r + M (x,r,f) est continue pour 0 <r < R < i si l'on

choisit R E [0,|[ et p~ tels que W = x + RB soit un ensemble de majoration

de f . On a alors les in@galit@s @videntes pour 0 < q < r , p~(x-x') < n ,

et 0 < r < R:

(23) M (x, r -q , f) ~Ms(x',r,f) SMs(x , r + q , f) �9

Utilisant la continuit~ de M s par rapport ~ r pour x fix@, on choisit n

tel que les deux extremes dans (23) different de moins de s >0 donn@ ;

M (x,r,f) ~tant situ~ dans leur intervalle , on a alors :

IM(x,r,f) - M (x',r,f) I <g pour p~(x - x') <

ce qui gtablit la continuit@ de M (x,r,f) en x �9 Si A est une majoration de f

darts W = x + RB , on a d'apr~s le th@orgme |

~(x,f) lim (log r) -| Ms(x,r,f - A) ; O<r<R<l . r=o

Ainsi ~(x,f) est encore localement la limite d'une suite d@croissante de fonc-

tions continues de x , ce qui @tablit l'~nonc@. Remarquons d'autre part que

la r@union pour c >0 des ensembles N(c,f) = [xEG ; v(x,f) ~ c]

est gvidemment contenue dans l'ensemble pluripolaire des -= de f �9

On notera alors la cons&quence suivante de l'@nonc~ pr@e@dent :

COROLLAIRE 5 - Darts un espace vectoriel topologique complexe E muni d'une

topologie localement convexe, les ensembles de densit@

N(c,f) = Ix E G ; ~(x,f) ~ c , c > O]

d'une fonction plurisousharmonique f d@finie dans un domaine G C E sont

des ensembles ferm@s localement pluripolaires.

Remarque. On canjecture que les ensembles N(c,f) sont comme en dimension finie

des sous-ensembles analytiques complexes , au moins dans les espaces de Fr@chet

base avec propri@t~ d'approximation. L'int@r~t d'un tel @nonc@ sera toutefois

limit@ si on ne poss~de aucune information sur la codimension de l'ensemble N(c,f) .

176

B I B L I OG RAP H I E

I] AVANISSIAN (V.). - Fonctions plurisousharmoniques et fonctions doublement

sousharmoniques. Ann. E.N.S., t. 78, 1961, p. IO1-161.

/ [2] COEURE (G.). - Fonctions plurisousharmoniques sur lea espaces vectoriels topo-

logiques. Ann. Inst. Fourier, 1970, p. 361-432.

[3] KISELMAN (Ch.). - Stabilit~ du nombre de Lelong par restriction g une sous-

vari~t~ - Ce volume.

[4] LELONG (P.). - a/ Plurisubharmonie functions in topological vector spaces. Polar

sets and problems of measure. Lecture Notes, n ~ 364, 1973, p. 58-69.

- b/ Fonctions plurisousharmoniques et ensembles polaires sur une

alg~bre de fonctions holomorphes. Lecture Notes, n ~ i16, 1969, p. 1-20.

Boundary Regularity for the

Cauohy - Riemann Complex

R. Michael RANGE

It is classical that on pseudoconvex domains DC~ n one

can solve the ~ - equation, i.e., given f(C~,q(D), lS q~n,

with ~f=0 there is uEC ~ , 0,q_l(D) with

~u : f.

It is of great interest to estimate a solution u in

terms of f in suitable norms. Two methods have been

studied to obtain solution operators which can be estimated:

A) The L2Theory. Here u E Kf is the Kohn solution, i.e.,

the unique solution which is perpendicular to ker ~ with

respect to a given metric, for example the Euclidean

metric on ~n. The key problem is to establish subelliptie

estimates; this leads to estimates of Kf in Sobolev norms.

The fundamental results in this approach are due to

Kohn ([9], and the references given there).

B) Explicit Intesral Solution Operators. The

classical example is the Cauchy transform in ~,

178

i i f(~)d<Ad6 f(LI(D), Tf(z)= 2~i ~-z

D which satisfies a/a~ (Tf)=f on D. This method was

generalized to higher dimensions about i0 years ago; it

leads to sup-norm and H31der estimates.

In part I of this note we give a brief survey of some

of the key results regarding B)~ in part II we discuss some

recent new results in this area.

I. Holder Estimates

We will always assume that D has a smooth boundary.

To keep matters simple, we consider only the follQwing

type of estimate.

Definition. There is a H~ider estimate of order

~<i for ~ on Dcc~ n, if, given f~C~,q(D)nLo,q(D) with ~:0,

there is a solution u=Sf of Zu=f, such that ! , !

l u ( z ) - u ( z ) IS c o n s t . I l f l lL~l~-z I ~, f o r z , z (D.

A Holder estimate of positive order expresses a

smoothing property of the solution operator under considera-

tion. This is analogous to a subelliptic estimate in the

L 2 theory.

In T ! the situation is optimal; there is a H61der

estimate for any @<i; a "good" solution is given by the

179

Cauchy transform Tf.

n

In ~ ,n~2, the situation is quite complicated; in

general, one does not even have bounded solutions for w

f bounded, as is shown by a recent example of Sibony [19].

The complex geometry of the boundary of the domain plays a

major role, as is illustrated by the following

Example (cf. [16]). For m(~, let

Bm={(z,w)({2:[zI2+lwl2m<l}.

Then there is no H~ider estimate for [ or B m of order ~>i/2m.

In 1969, Henkin [4] and Ramirez [14] found generalizations

of the Cauchy kernel for strictly pseudoconvex domains.

Grauert/Lieb [2] and Henkin [5] then used these kernels to con-

struct integral solution operators for [ on such domains.

Since then, these operators have been investigated by

numerous authors and successfully applied to many problems

in complex analysis (for example, see [17] for a biblio-

graphy until 1973). Regarding HSlder estimates, the

following results have been obtained.

180

i) For D strictly pseudoconvex, there is a H~Ider

estimate of order ~ on D:

a) for q=l, with

~=0 (i.e, sup-norm estimate), Grauert/Lieb [2]

and Henkin [5]

~<i/2, Kerzman [8]

~=I/2, Henkin/Romanov [6];

b) for q>l, with

~<i/2, Lieb [ii]

~=i/2, Range/Siu [17].

The order ~=I/2 is best possible in this case (see the

example above, m=l).

2) for D Euclidean convex, with real analytic

boundary, there is a Holder estimate

a) of some order ~>0, if Dcc{2 for B m, one ob-

tains the sharp estimate with e=i/2m

(Range [15, 16]) ;

b) for D=B (ml .... m n)={z(~n Elzil2mi~}

mi(^v, with any order ~<I/2M,

where M=max {mi}(Range [16]).

2a) is false if one does not assume ZD real analytic

(see [16]).

181

The proofs involve detailed estimations of the

integral solution operators. For convex domains there

always exist integral solution operators, which are con-

tructed in a canonical way from a defining function for D.

However, the estimates are much more delicate if the Levi-

form degenerates. This is the main difficulty in attempt-

ing to generalize 2a) to arbitrary dimensions. The proof

of 2b) involves techniques which could be applied to other

domains, but, so far, have not yet yielded the general

convex ease.

For arbitrary pseudoconvex domains with real analytic

boundary, nothing seems to be known regarding H~ider

estimates. No reasonable integral solution operator for

appears to be known in this generality~ the main difficulty

is intimately connected with the fact that such domains are

not necessarily locally biholomorphic equivalent to a con-

vex domain (cf. the Kohn/Nirenberg example [i0]). However,

Kohn [9] proved subelliptic estimates in this case, and

thus it is reasonable to expect Holder estimates as well.

182

II Estimates for Derivatives

Once one has a solution operator T 9 for ~ which

satisfies H~ider estimates, it is natural to consider the

corresponding estimates for derivatives, i.e., if

f~C0kq(D) for some k, 0~k~, and ~f=0, is then

(*) ITqflck+~ ~ Ckl f lck ? This would be rather trivial if T would be defined by

q

convolution integral, as then differentiation commutes

with Tq. However, the principal terms of the known in-

tegral solution operators for ~ are more complicated, and

it is far from obvious how to exploit the regularity of f to

prove regularity of T f. q

Si~ [20] proved (*) (with ~=i/2) for the Henkin solu-

tion operator on (0,i) forms on strictly pseudoconvex

domains. However, his proof makes essential use of q=l.

Greiner/Stein [3] obtain (*) for the Kohn solution

operator, but also for q=l only.

Recently, the following result was proved by Lieb/

Range [13].

Theorem I. Let DeC{ n be strictly pseudoconvex. For

Isq~n, there exist linear integral operators

183

* 0 0 Tq :C0,q(D)~C0,q_I(D)

such that

i) if ~f=0, then ~(Tq f)=f;

ii) for k:0,1,2,..., if fEC~,q(D) with w then

ITq*flck+m/2~Cklflck

Moreover, T is (more than) pseudolocal: q

If V is open, f~C~,q(B)NC0kq(VNB) and ~f=0, then

*f~c0k+I/2(VN~ ) Tq , q - 1 "

Idea of proof. Tq is obtained by modifying the

boundary integral of the Henkin operator T (as given in q

[17] for arbitrary q) as follows.

We fix a suitable neighborhood D ~ of D. By using the

linear extension operator E of Seeley [18], the given form

f is extended to EfEck(D~ such that Ef has compact

support in D ~ , and

-<C k If I zf Ick(no) Ick(n) Via Stokes I Theorem and other general formulas for the

kernels, one decomposes T f into integral operators de- q

fined over D~ and DO:

Tqf:Hq(Ef)+Sq(~Ef)+Bq(Ef),

184

where B is the Bochner-Martinelli transform. One then notes q

that M (Ef) is ~-elosed, hence T f=T f-M (Ef) is a solution q q q q

operator for ~.

For the estimations one uses an inductive procedure

and integration by parts in order to express derivatives

of Sq(~Ef) as a sum of integrals which can then be estimated

by making use of the fact that one integrates over D~ and

that ~Ef vanishes to a certain order on ~D.

By modifying the local kernels in the q-convex,resp.

q-concave case (cf. [i],[7], [12]) as outlined above, and by

passing to global via the bumping technique and interior

elliptic estimates, one obtains

Theorem 2.([13]) Let X be a complex manifold and let

Dcc X be a smoothly bounded domain which satisfies the

HSrmander condition Z(q), i.e., at every p~$D the Levi

form of SD has at least n-q positive or at least q+l

negative eigmnvalues. Then there is a linear operator

T * for which the conclusions of Theorem 1 hold for q

~-exaet (0,q)-forms f on D.

185

REFERENCES

[ i]

[ 2]

[ 3]

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regulzer o6 ll6quation ~=f n'admet pas de solution born6e pour f born6e. (1980 preprint)

Y. T. Siu. The i-problem with uniform bounds on derivatives. Math. Ann. 207, 163-176 (1974)

R. Michael Range Department of Mathematics SUNY at Albany Albany, N. u 12222

ALLOCUTION PRONONCEE

PAR

MONSIEUR LE PROFESSEUR GERARD COEURE

DE LIUNIVERSITE DE LILLE I

EN LIHONNEUR DU

PROFESSEUR PIERRE LELONG

COLLOQUE DE WIMEREUX

LE 12 MAI 1981

Monsieur le Professeur LELONG, c'est au nom de vos ~l~ves

et des math~maticiens qui ont eu l'honneur de travailler en gtroite

collaboration avec vous que j'ai le plaisir de prgsenter devant ce

colloque votre oeuvre math~matique.

Dans un M~moire d~sormais c~l~bre aux Annales de I'E.N.S.,

vous introduisiez en 1945 la notion de fonction p.s.h, et vous y

dgveloppiez leurs principales propri~t~s ~ la suite de plusieurs

notes ~ l'Acad~mie. Ii n'est gu~re, aujourd'hui, de probl~mes

sur les fonction analytiques de plusieurs variables complexes qui

ne les utilisent. Les idles les plus f~condes sont souvent les plus

simples ; c'est en remarquant que de nombreuses propri~t~s des

fonctions analytiques intervenaient par celles du Log. de

leur module que vous avez ouvert une voie de recherche dont la

richesse est attest~e par la place que prenaient ces fonctions p.s.h.

dans les travaux qui sont exposes par les ~minents math~maticiens

de ce colloque. Vous avez d~jg ~crit plus de 70 M~moires ou Notes

sur les propri~t~s de ces fonctions et de nouveaux articles sont

en cours d'~laboration. A partir des travaux d'Oka, connus tardi-

vement en France du fait de la guerre, vous avez montr~ que les

188

domaines d'holomorphie ~taient convexes par rapport aux fonctions p.s.h.

Vous avez achev~ l'~tude des propri~t~s g~om~triques de ces domaines

en montrant leur ~quivalence.

C'est ~ cette m~me gpoque que sous l'influence de Henri Cartan,

l'~tude des ensembles analytiques s'est d~velopp~e ; d~s ]950, vous vous

attachiez ~ l'~tude de leurs propri~t~s m~triques. Kodaira s'~taitinteress~

aux ensembles d~finis par une seule ~quation. En d~veloppant une th~orie

de l'int~gration de formes diff~rentielles convenables sur les ensembles

analytiques vous r~ussissez g d~finir une "aire" de ces ensembles. Les

tr~s beaux r~sultats que vous obtenez dans cette voie continuent ~ ins-

pirer nombre de travaux r~cents. Ainsi ceux de Thie et King montrent

qu'un ensemble analytique est le support d'un courant positif ferm~ pour

lequel une densit~ que vous aviez introduite dgs 1956 et qui est souvent

utilis~e de nos jours, sous le nom de Nombre de Lelong, est un entier

naturel. Ce nombre permet d'apporter sur les ensembles analytiques des

renseignement quantitatifs qui ~chappaient aux m~thodes h~rit~es de la

th~orie des faisceaux. A la suite des travaux de Bombieri le nombre de

Lelong a des applications importantes ~ la th~orie des nombres.

Au cours de ces travaux, vous avez introduit et ~tudi~ d'autres

objets math~matiques qui viennent encore r&cemment de b~n~ficier de d~-

veloppements importants. Je pense aux ensembles polaires et n~gligeables.

Vous aviez remarqu~ depuis le d~but de vos recherches que la notion

de capacitY, si utile ~ l'~tude des fonctions holomorphes d'une variable,

~tait inadapt~e pour plusleurs variables. L'utilisation des ensembles

polaires est d~sormais indispensable pour "mesurer" les singularit~s

analytiques. E. Borel avait remarqu~ que la s~rie de Taylor avait,en

g~n~ral pour somme~une fonction admettant le cercle de convergence comme

coupure. En utilisant les fonctions p.S.h, sur des espaces de dimension

infinie, vous montrez que les fonctions holomorphes d'un domaine d'holo-

morphie, qui se prolongent en dehors, forment un ensemble polaire et n~-

gligeable. Tous vos travaux sur ces "petits" ensembles montrent l'intime

relation entre la n~gligeabilit~ et la polaritY. Les travaux r~cents

de Bedford .et Taylor ont confirm~ la profondeur de vos vues. Je devrais

parler aussi de vos recherches sur les fonctions enti~res qu i ont

beaucoup inspir~ les travaux de Kiselman et de notre regrett~ coll~gue

Martineau.

189

Les confgrences qui vont se tenir durant ce colloque

montreront, mieux que je ne saurais le faire, l'apport de votre oeuvre

math~matique ~ l'Analyse complexe.

Permettez-moi, Monsieur le Professeur , de conclure

ce trop bref apergu de vos travaux en remerciant, en mon nomet en

celui de mon coll~gue Ho Skoda avec qui j'ai partag~ l'~laboration

de ce colloque, tous ceux qui ont contribu~ g son organisation. Je

pense, tout d'abord, ~ Monsieur le Professeur Richard, ~irecteur du

Centre de Biologie Maritime de Wimereux, qui, ~ travers l'Universit~

de Lille I, a bien voulu mettre ~ notre disposition ses installations.

II m'est agr~able de remercier Messieurs les Maires de Wimereux et

de Boulogne qui, par leur presence g cette r~ception, ont montr~

leur int~r~t pour le d~veloppement des activit~s scientifiques dans

la r~gion Nord - Pas de Calais.

Je ne voudrais pas terminer sans remercier les diff~rents

dgpartements de Math~matiques presents ~ ce colloque qui par leur

contribution financi~re nous ont permis d'inviter les ~minents mathg-

maticiens ~trangers que nous avons le plaisir d'accueillir en cette

r~gion belle mais trop m~connue de notre pays.

!

G~rard COEURE

/ REPONSE DE Pierre LELONG

Chers Coll~gues et amis, mon eher CoeurE,

Je veux tout d'abord remercier ceux qui comme vous, Non cher CoeurE et vous

aussi mon cher Skoda ont pris la peine d'organiser ce Colloque qui nous rEunit dans cette

belle station du bord de mer. Mes remerciements vont aussi ~ tous ceux qui ont rendu pos-

sible cette reunion de travail en mon honneur, et tout particuli~rement aux UniversitEs

qui ont contribuE ~ sa rEalisation, telles Paris VI, Lille, Strasbourg. Enfin je remer-

cie les nombreux math@matieiens qui sont venus participer ~ ce Colloque. A vrai dire rien

ne pouvait me faire plus de plaisir que de voir certains de mes travaux inspirer un nombre

croissant de reeherches dont beaucoup sont profondes et dont la variEtE est remarquable.

Vous avez, mon chef Coeur@, soulign@ tr~s justement l'intEr~t que j'ai pris au

d@veloppement de l'Analyse complexe. Le mot ne s'employait gu~re quand j'ai passe ma th~se

en ~942 et I'on parlait plutSt de thEorie des fonctions . Ce sont les propriEtEs -je dirais

m@me les particularitEs- de la structure complexe qui ont EtE au centre de mes prEoccupa-

tions au d@but. Ce que j'ai fait dans d'autres parties des math~matiques, par exemple

l'@tude de diffErents types de quasi-snalyticitE pour les classes de fonctions de n varia-

bles r~elles, Etait souvent inspire par le dEslr de verifier que l'Analyse complexe que je

cherchais ~ d@velopper Etait bien l'instrument que d'autres branches des math~matiques uti-

liseraient. De m~me, ma th~se apparalt aujourd'hui comme le debut d'une mEthode,qui utili-

sant la th@orie des potentiels plans, se llmitait ~ n = 2 , faute d'avoir encore ~ sa dis-

position la notion et les propri~t~s des fonctions plurisousharmoniques que je n'ai don-

n@es que plus tard et r~dig~es ~ mon arriv~e ~ votre UniversitE de Lille.

Aujourd'hui du chemin a ~t~ parcouru : la gEom~trie analytique complexe,en

partieulier celle des ensembles analytiques que vous venez d'Evoquer, mon cher Coeur~,

participe ~ la fois de la g~om~trie alg~brique et d'une certaine g@om~trie diff~rentielle

qu'on peut dire g~n~ralisEe au point de vue des op~rateurs. A l'heure o~ j'obtenais des

rEsultats, c'est la premiere 8irection qui Etait chez nous en vogue, avec des Enonc~s

qui assurent l'existence des solutions, ou, N d~faut, fournissent les groupes d'obstruc-

tion. L'autre vole que j'ai suivie et peut-~tre, comme vous l'avez rappel@, quelque peu

inaugurEe, nous donne des mEthodes plus constructives. De ce fait elle se trouve r~pondre

aux besoins de certaines recherches actuelles en mati~re d'analyse plus fine et elle

191

s'adapte bien aux probl~mes ~ croissance devenus fondamentaux dans beaucoup d'applica-

tions. De ce fait aussi, je dois dire, son extension ~ la dimension infinie pose des

probl&mes tout ~ fait nouveaux que vous connaissez bien, mon cher Coeurg, puisque vous

y avez apport~ vous-m~me une contribution remarqu@e.

D'o~ est venu mon int~r~t pour l'Analyse complexe ? Tr~s t$t, je crois, et

peut @tre d~jg au lye@e, le corps ~ m'avait paru tr~s diff@rent de R (ou de R 2 si

vous prgf~rez) : les ~tres de la structure C n b@n@ficient en particulier d'une orien-

tation. Ce fair est tr~s ~l~mentaire, mais il est fondamental. Je crois que sa percep-

tion, plus ou moins consciente ~ l'&poque, m'a guid~ vers ces notions que vous avez

rappel@es et qui maintenant prennent place dans l'Analyse complexe . Je dois avouer que

cette place ne leur a ~t~ reconnue que peu ~ peu, tellement grand ~tait le prestige d'une

"th~orie des fonctions" ax@e plutSt sur la dimension un et les d@veloppements analyti-

ques. Je dois dire, par contre, qu'aujourd'hui, apr~s avoir ~cout~ vos expos@s, je me

smns comme assi~g~ par ces notions ob la positivit~ de certaines formes joue un si grand

rSle.

De tout cela je me garderai de tirer vanitY. Le math~maticien par force, est,

plus que tout autre, un altruiste dans sa recherche. Au contraire de l'oeuvre litt~raire

qui, si elle est de qualitY, s'individualise avec la dur~e, l'oeuvre du math@maticien s'y

dissout. Si elle semble difficile et compliqu~e (ce qui parfois initialement peut lui don-

ner de grands m~rites), si, surtout, elle continue g le paraltre, elle est rejet@e et fi-

gurera peut ~tre au rang des exercices. Quand, au eontraire, elle demeure, c'est qu'assi-

mil~e g travers !es s~minaires et les cours que nous multiplions ~ cet effet, elle finit

par paraltre simple, puis classique, enfin triviale ; le progrgs la saisit pour l'englo-

ber dans des v~rit@s plus g~n~rales et de ce fait plus int@ressantes. En math@matiques

l'indispensable processus d'assimilatien est un processus de trivialisation. Nous ne de-

vons oublier ni cette ~volution ni la modestie qu'elle conseille. J'oserai dire aussi

qu'en presence d'une certaine diversification des notions math@matiques, le sen-

timent de eette Evolution inexorable peut conduire le math~maticien g s'attacher aux

notions les plus simples pour les approfondir. Ce sont parfois celles qui demeurent le

plus longtemps utiles. En organisant ce Colloque, cher Coll~gues et amis, vous m'avez

convaincu que je n'ai pas oeuvr~ inutilement et je vous en remercie.

Pierre L E L 0 N G

SUR LES FONCTIONS HARMONIQUES D'ORDRE QUELCONQUE ET LEUR PROLONGEMENT

ANALYTIQUE DANS ~N

V A V A N I S S I A N (Strasbourg)

TABLE DES MATIERES

Chapitre i : Fonctions harmoniques dOordre infini.

w i.i. - Analyticit~ li~e ~ l'op~rateur laplacien it~r~ ....... �9 ..... .....

w i.2. - Harmonicit~ dtordre infini .o.o..o.....o....o...................

w lo3. - Distributions d~finissant des fonctions harmoniques dVordre

infini o.....o....~176176176176176176176

w 1.4. - Analyticit~ li~e au sign, de laplacien it~r~ .... �9 ....... o.....o.

w 1.5. - Applications ...................................................

14

23

29

Chapitre 2 : Cellule dtharmonicit~.

w 2.1. - Propri~t~s g~n~rales - Chemins de P. Lelong ..o.....o........,.o

w 2o2, - Exemples des cellules d'harmonicit~s ooo.o.,,o,,o.,,..o.,o,,.o,o r

w 2,3. - Boule de Lie et sa fronti~re de Bergman - Silov �9 Le tube

dVElie Caftan .....................oo.......o.......o.o......o.o

w 2.4. - Prolongement analytique des fonctions harmoniques d'ordre

quelconque ,,~176176176176

34

42

52

61

Chapitre 3 : Applications.

w 3.1. - Fonctions harmoniques (dlordre quelconque) arithm~tiques .......

Bibliographie oo.......................o.................o..o...o........

76

84

193

INTRODUCTION

La complexiFication des Fonctions harmoniques (resp. harmoniques

d'ordre in_~ini) darts un ouvert [~ de ~N , a ~t~ abord~ tout d'abord par

N. ARONZAJN [3] et puis par P. LELONG notamment dans [19]. Son int~r~t d~passe

le cadre primitivement fix~, c'est-~-dire d'obtention des in~galit~s (pour ces

classes de Fonctions) en utilisant la technique de l'analyse complexe ou celle

des fonctions plurisous harmoniques [17],[6] ; elle peut soulever des questions

en analyse harmonique, tout particuli~rement dans l'~tude des domaines born~s

sym~triques homog~nes, domaines de Siegel, ere [13] [16] [22] [23] �9

Cette complexiFication li~e au prolongement analytique permet aussi d'~tudier

les fonctions harmoniques d'ordre quelconque qui sont arithm~tiques (i.e,

h(~_N) c Z ) et cela en utilisant les propri~t~s des s enti~res

arithm~tiques darts C N obtenues ces derni~res armies. Dans tout cela la

notion de la cellule d'harmonicit~ introduite par N. ARONZAJN - P. LELONG

[3] [18] [19] est Fondamentale~

Ce travail comprend 3 chapitres.

194

Le chapitre I contient une @tude des fonctions (ou distributions)

N harmoniques d'ordre inFini dane un ouvert ~ de B et des propri@t@s

m d'analyticit@ li@es ~ l'op@rateur laplacien it@r@ A . Certains r@sultats

de ce chapitre sont susceptibles d'etre g@nTralis@s A des espaces Riemanniens

sym@triques de rang I ; ou bien dane N , l'op@rateur laplacien peut ~tre

remplac@ per des op@rateurs elliptiques et leurs it@r@s (volt per ex. [8] [9]).

Le chapitre 2 est consacr@ A la dTtermination de la cellule d'harmo-

nicit@ des domaines tels que : cube, poly@dre convexe, demi-espace, boule

et plus g@n@ralement des convexes de RN ; on met en @vidence que la cellule

d'harmonicit@ de la boule unit@ de RN (i.e. la boule de Lie dane C N ) , celle

demi-espace {x E RNIxN > o] et le tube d'Eli~ Cartan {z : x + iy 6 cNI du

/ 2 2 YN >~Yl +'''+ YN-I ] sont analytiquement isomorphes . On retrouve par

v une dTmonstration directe et @l@mentaire la fronti~re de Bergman-Silov de la

boule de Lie. On montre que si u est une fonction harmonique d'ordre ins

dane un ouvert @toil@ Q (resp. convexe) de A N , u se prolonge

dane la cellule d'harmonicit@ de Q

Le chapitre 3 utilise le proc@d@ de complexis et lee r@sultats

de [5],[I],[2] pour obtenir des @nonc@s concernant lee s harmoniques

(d'ordre quelconque) arithm@tiques. Par exemple : soit h harmonique arithm@-

tique dens tout ~N , v@ris lh(x)l~ Ae Bllxll : si B < ILog(~ + i ~23)I =

0,7588... alors h est un polynome. Ou bien, soit s 6 C~(B N) v@riFiant

IAmF(x)I ~ A(2m)! m -~m exp(Bllxll ) (A = cte ; B > o)

( 9 est harmonique d'ordre inFini). Dane cheque cas suivant, s est un

p olyn~me :

a -

b -

c -

d -

195

si ~ > 2 , B < Log 2 et s c I .

si ~ > 2 , B < 1 et D~s s I~ pour tout

2 s i ,~ = 2 , B < L o g I � 8 9 - ~ = 0 , 2 2 4 . . . e t

~ �9

~(~) ~ z .

2 si ~ = 2 , B +-- < 1 et D~s " 6 ~ pour tout ~ 6 ~ �9

e

Ce travail a ~t~ expos4 en Mai 1981, au colloque d'analyse c~mplexe

de Wimereux, en l'honneur du Pros P. Lelong.

Janvier 1981

CHAPITRE 1

FONCTIONS HARMONIQUES D'ORDRE INFINI.

1 . 1 , ANALYTICIT~ LI~E A L'OP~R&TEUR LAPLACIEN ITER~E.

Darts la classe C~(Q) des s ind6finiment d&rivables s : Q - R

(~ ouvert, non vide de R N) les s analytiques sont caract@ris&es

habituellement par l'@nonc@ suivant :

1.1.1. Une s s 6 C~(G) est analytique dans Q si et seulement si &

tout compact K c ~ correspond un hombre Nf(K) ~ G tel que ~our tout 5 6 ~N

(1) Ip%(x)l M )IsI§ x6 K

Rappelons que s : Q ~ ~ e s t dite analytique si en t o u t point a 6 Q il existe

une s~rie ml~It~ple Z Cs(x-a) 5 convergente dans un voisinage U a de a et

de somme ~gale & s �9 D'apr&s la th~orie de s sommables la s~rie

converge alors uniForm@ment sur tout compact de U a et on a s 6 C~(O) ,

C~ = ~.w DSs �9 Pour que s E C~(Q) soit analytiqu~, il s et il surf it

clue dans le d~veloppement de Taylor de s en tout p sint a 6 ~ :

s : ~ I D~F(a)(x_a)5+ ~ 1-DSs 5! 5!

151 151 : k ~ [ a , x ] , l e r e s t e

1- D~s ~

tendevers z~ro dams un voisinage de a lorsque k ~ ~ . Crest le cas notamment

si (I) est v~rifi~e. En eFs dans un voisinage compact K de a , on a lors

197

I~I < kNM(K) [M(K) Ix-al] k o~ Ix-al = Max Ixi-ail

Le second membre tend vers z~ro dans l'ouvert U a = IX I I x-al <~} c K @̂ La r~ciproque se d~montre en appliquant l'in~galit~ de Cauchy ~ la fonction s

complexis de s d~finie ci-dessous dans la r~union ~ des polycercles maximaux

u a = (z ecNI I~-al < r a} , pour a 6 ~ .

1.1.2. LEMME. L'espace R N ~tant consid~r~ comme un sOus-espace ferm~ de C N ,

tout couple (s o_~ s est analytique dans l'ouvert ~ c R N , correspond

C N ^ un ou~ert ~C dans lequel f se prolonge en f hol~morphe. On a :

A

l~monstration, soit Sa(X ) = E C (x-a) ~ la s~rie convergente dans

IX I Ix-al < ra] et de somme ~gale & s . Si U a = [z6 cNI Iz-al < ra] ,

= C et sa somme est une s la s~rie Sa(Z ) ~ (z-a) ~ converge dans U a

A holomorphe. Soient U = U U et U n U b /~ ; on a a6 n a a = Ua,b Sa(X) = Sb(X)

dans Ua, b puisque celui-ci est connexe. Si Ua, b / ~ pour tout

c 6 Ua, b n RN~ ~ , D~Sa(C) = D~s = D~Sb(C) et la s A(z) d~Finie

par A(z)IU = Sa(Z ) r6pond & l'exigence du lemme grace au principe du prolongement a

analytique. Cela 6tant, revenons & 1.7.1. Si K est un compact de f~ , soit

U c RN un voisinage de K d'adh6rence U compacte darts [~ et

M O = s~p (z) l < ~ (on peut supposer U c f~ compact) . D'apr6s les in6galit~s

de cauUhy, on a pOur z = x 6 K :

A 8 @tant la distance de K au compl@mentaire de U . D'o~ (I) avec M(K)

convenable.

A Remarquer que si ~ est connexe, ~ l'est aussi ; ~ est la r~union des polycercles

maximaux U a de rayon ~gaux contenus dans le domaine d'holomorphie de f et centr~s

em deq points a E~.

198

1.1.3. Dans i'@nonc@ 1.1.1. l'hypoth~se de majoration concerne toutes les

d@riv@es de s . On va raffiner cette condition en s intervenir l'op~rateur

laplacien it@r4 : soient

A = +...+

A ~ = I , A m = A(g m-l) m = 1,2 .....

Si s 6 C~(~) , pour tout compact K c ~ on pose :

(2) ~ ( ~ , ~ ) = sup IAmf(• x 6 K

et on associe ~ (s la s~rie

m = 0,1,2, ....

Mm(P'K) m (3 ) z - - ~ ( z ~ c)

m=o (2m)!

Soit ~f(K) le rayon de convergence de la s@rie (3) :

-'t - -

Rf(K) = l i m sup Nm(f ' I ( m

1 . 1 . 4 . THEOREME. Une s F 6 C~(~) est analytique darts Q si et seulement

si pour tout compact K c ~ , Rs est non nul. Darts ce cas a ~ tout Ouvert

~o d'adh~rence compacte dans ~ correspond un intervalle Ouvert I~c R cen- o

tr~ en 0 et une s harmoni~ue Ho(x,t) d@finie sur ~o X Io tels que o o

H%(x,O) = f(~)

~a ( x , t ) = M(~, - t ) ; (~ , t ) e noX in . o o

s i ~(X) est ind@pendant de K , il existe un intervalle Ouvert I c R centr@

e__n_n O et une 9onction harmonique H(x,t) v@rifiant ces m~mes conditions dans

~XI.

199

D@monstration. Supposons f analytique. On a :

Si X 6 K , d'apr@s

~m~(x) = z m: a! D2~f(x)

12o~1+1 ". ~: M#m+l ( I ( ) 1(2u): I = M#m+l(K)(2m) �9 (1) , ID2Ots I~;MI(K)(2Ot) ! !

MI(K ) ~tant une constante et (2~)! = (2~i)! ... (~N)!

I(2=)!I = (2% +...+ 2=N)~

m! M~I I+1 D'o~ ~uplA"~(x)l '< M2m+l(K)(2m)! Z Oe! - Nm (K)(2m)! x e K 1 I ~ l = m

(4) Mm(f,K) ~ Mm(K)(2m)! (M(K) convenable) m = 0,1,2 ....

et la s6rie (3) a un rayon de convergence non nul.

La z~ciproque r@su]te du lerame suivant :

1.1.5. LEMME. Soient s 6 C~(~) e__~t M = suplAmf(x) 1 < ~ m = O,1 .....

M Si la s~rie Z _~m zm a un rayon de eonver@ence R non nul~ la s s

m =o [2m)!

est analytique darts ~ . Pr~cis@ment~ il existe une s harmonique H(x,t)

darts E = ~ X [tlltl < / R } telle que

H ( ~ , t ) = H ( x , - t ) ~ f ( x ) = H(• ; (x e n)

D@monstration. Introduisons les s :

t2n (5) H ( x , t ) = f ( x ) + Z ( -1 ) n A n s ( • 6 E

n = I (2n)~

On a

s t2 n C ~ (6) H (x,t)=f(x) + Z (-I) n Anf(x) 6 (a • R)

n= 1 (2n) !

itl 2n IH(xt) Hs(X,t) l~ Z ~ M ~ti<~

n= s+1 (2n)! n

si s ~ ~ , le second membre tend uniform@ment vers z@ro pOur Itl ~ r <4~

200

d'o~ la continuit@ de H(x,t) dans E . Consid@rons dans RN+l(x,t) l'op@rateur

laplacien A 82 = 3t 2 + A x . La s H(x,t) @rant localement int&grable

darts E elle d4s une distribution H 6 ~'(E) . Les calculs &tant s

au sens des distributions, on a :

t2n ~ H ( x , t ) = 7 s + Z 7 [ ( - 1 ) n Anf]

n = 1 ( 2 n ) ! x

t2n-2 t2n An+ls = A f + ~ (-I) n [ Ans +

n = 1 ( 2 n - 2 ) ~ ~ ( 2 n ) !

s + ~ ( -1 ) n t 2n-2 = Ans + ~ (-1) n-1 t 2n-2 Ans

n=1 (2n2)! ~ n=2 (2n2)!

(-I) n t2n-2 ~ n-1 t2n-2 Anf + ~ (-I) - - Ans = 0 .

n= 2 (2n-2)! x n= 2 (2n-2)! x

Ainsi H(x,t) @rant continu sur E , repr~sente en outre une distribution

harmonique. Elle est donc une s harmonique au sens usuel darts E et

on a s = H(x,t) It=o (x E O) . Le th@or@me 1.1.4. an r@sulte.

1.1.6. DEFINITION. Une s s : ~ -- R est dite polyharmonique d'ordre p ,

ou p- harmonique~ si s 6 C~P(O) et APs = O de/as ~ .

Soit s p-harmoniaue ; la s@rie (3) correspondante conver@e pour tout z,

elle est alors analytique darts ~ . Pr@cis@ment, on a :

1.1.7. COROLLAIRE. S__!i s es___!t p-harmonique darts ~ , il existe une s

harmonique H(x,t) dans O X R telle que s = H(x,O) . De ~lus, la s

H est pour x 6 O Fix@, un ~ol~nSme en t 2 et de de@r@ ~ 2p -2 e n t .

La s H est d~s par (5) �9

201

w 1o2~ HAI~MONICIT~ D'ORDRE INFINI

1.2.1. Une classe int@ressante des s s 6 CR(O)

les s pour lesquelles la s~rie (3) de 1.1.4.

plan complexe quel que soit le compact K c ~ :

est constitute par

conver�e dans tout le

1.2.2. Exemple. Soit s une s analytique r@elle qui est la restriction

A cN A R N d'une s analytique complexe s darts tout . Pour une telle

s on a, si a : (a I .... ,aN) 6 R Net M(a,r) = Maxlf(z I ..... ZN) l, z-a Igr

l'in~galit~ de Cauchy :

IAm~(a) l=-I A: ~(a)t~(2m). ' ~ . ( a , r ) r -2m

Si a parcourt un compact K c R N , sup M(a,r) = M(K,r) < ~ et a6K

1

(?) ~im [sup] ~ L m ~ m ~ (2m)! r 2

r @tant arbitraire, le premier membre de (7) est nul, d'od la convergence

de la s@rie (3) quel que soit le compact K c R .N .

Evidemment les s harmoniques et les s harmoniques d'ordre

quelconque (1.1.6) da~s ~ poss6dent cette propri@t@.

1.2.3. DEFINITION. Une s s 6 CR(O) est dite harmonique d'ordre infini

si la s~rie (3) converge dang tout le plan complexe quel que soit le compact

K C ~ (leur classe est not@e ~(~)) .

Le th@or~me 1.1.4. implique :

1.2.4. COROLLAIRE. line s harmonique d'ordre infini dans ~ est une

Fonction analytique. Pr4cis@ment, il existe une s harmonique H(x,t)

dals a X R telle que f(x) = H(x,t) l t = o e_~t H(x,t) = H(x,-t) .

fonction H .e.st 8.o~e par ~ s~rie.(5) .

202

R N

En efs la s6rie (5) de 1.1.5. converge uniform&mement sur tout compact

KI (X ) • K2(t ) c O X R e t r e p r 6 s e n t e une s hammonique H ( x , t ) v 6 r i f i a n t

l'@nonc@.

Remarque. Une s analytique r6elle (m%me sur R N) n'appartient pas

en g6n6ral ~ Z (R N) .

[~(2m)<0) I = (2m)!

( .]2m+1 - .2m+1 f(2m) (xl) .xl- < - (x1+i) =i

(2m) ! (x~+1) 2m+I m

L Vk+V (-1)~ k = o -

2 .2m+1 x1+1)

et la condition d'harmonicit@ d'ordre ins n'est pas v6ris

Exemple 2. La s s - I est analytique dams

I-(xi+... x~) = ~N \ [xlx1+...+ XN = I] , mais elle n'est pas de la classe Z (Q) �9

En es163 :

203

Si K = {0] la s6rie

~ =

1-(xi+...+ XN)2m+l

(3) ne converge pas dans tousle plan complexe :

1.2.5. PROPOSITION. La classe ~ (~) des s harmoniques d'ordre inFini

dans Q est stable par d@rivation.

La d@monstration r6sulte imm@diatement du lemme suivant :

1.2.6. LEMME. Soit s 6 C~(Q) . A tout compact K c ~ et ~ tout voisinase

C~vert Qo(K) d__~e [ d'adh@rence compacte dans Q correspondent deux constantes

positives finies A e t B ne d@pendant pas de s (mais de K et de []o)

telles que :

(8)

n = O,1,2,.oo

M~ t a~ a~. A~f 1~ A s~p I ~ f l ~ B s~p! ~ + l f l K i ~

o o

1 ~ i ~ N (A~ = s .

D@monstration. II suffit d'@tablir (8) dans le cas n = O .

Ecartons le cas N = I o~ (8) est une cons@quence imm@diate du d6veloppement

de Taylor. pour une grande analogie entre le cas du plan et de l'espace, plagons-

nou~ dams R N (N~ 3) �9

o o Soit K ~ c ~ ~ un compact d'int6rieur Ko non vide 6gal ~ K si K / ~ ~gal

o A un voisinage de K si K : ~ . Soit ~(x) E C~(R N) A support compact contenu

dams % , ~(x) = I sur K O et O ~ ~(x) ~ I partOut. Si la boule B(Xo,P)

de centre x ~ et de rayon p a son adh@rence dans K ~ , de la s de Gmeen :

~D(UAv_vAu)d { = ~D( u ~v ~U ~- - v~-) d~ e e

appliqu@e au domaine D = ~o \ B(Xo,P) et aux fonctions

avec h ( ~ )

204

1 1

(N-2)~N(I) II~11 ~-e

on obtient en faisant tendre p vers z6ro :

f(x) - ~%s ~[~(~)h(~-~)~ - ~%~(~)~(~-~)~(~)d~ (~ E ~) "

D'o~

(9) ~-T- . = 1

(x (K) .

On remarquera que la premi@re int@grale (9) se calcule sur

1

donc est s et que la seconde int6grale est major6e par

Done

% iix_~iiN-1

avec

A(K,n o) x~ ~ ~ A~E~(Oh(x-~)l d~

I ~ i~N nokK ~

~ ~ ~ % llx-~II ~-~

1.2.7. Particuiarit~ remarquable dans le cas N = I �9

La s~rie de Mac-Laurin d'une s s ~o(]a,b[) en un point de l'intervalle

]a,b[ CR conver~e pour t o u t x 6 R .

205

Pr@cis~ment, un @l~ment de ~(]a,b[) est la restriction & R d'une fonction

enti~re dans C .

D~monstration. Supposons f harmonique d'ordre infini dans un voisinage

Consid~rons la s~rie de Mac-Laurin de s :

s m

m=o m!

Pour tout compact K c V et tout r > 0 , il existe une constante M(K,s)

telle que

supl ~ M(K,e) r K

m = O,1,2,...

Or 9' ds = ~ est aussi harmonique d'ordre infini darts V (1.2.5) donc

sup d 2m ~ . s MI(K,r162

x6K

il en r@sulte que :

I m! I ~ M2(r r (E[x] = partie e n t i [ r e de x ) (M 2

D' oG

1 I #~m)(ol I I lira sup m Log = Log ~ = Log r m-~ m!

= cte) .

r > 0 ~tant arbitraire, R = ~ �9

A ~ (m)( La s s = Z s O) z m

m! m=o

A est enti~re avec f'~R = s @

V de 0 .

s %

1.2.8. THEOREME.

a) Soit s 6 ~ (~) . Pour tOute boule

n, la moyenne k(f,x,R) de f su___~r ~B(x,R)

B(x,R) d'adh~rence compacte darts

s'~crit :

(1o) x ( ~ , ~ , ~ ) = f(x) + { a m m=1

R 2~ F ~ ( ~ )

avec

206

~(s = ! s I

x ( ~ , x , ~ ) = s + f ( ~ - ~ ) 2

si N ~ 2

si N= 1

a m

r({) N 22~' -F( m+ ~) 2mm! N(N+2)...(N+2m-2)

POur R s la s@rie s sans (10) conver$e absolument en tout point x ,

et unis en x sur tout compact K c Q si on fixe R < 6(K) = distance

de K au compl~mentaire de Q .

b) S i s est a n a l y t i q u e , on a l a repr@sentat ion (10) avec convergence

absolue pour R ~ R(x) sus163 petit. De plus~ pour tout compact K c O

il existe PK > 0 tel que la conver@ence soit uniforme en x su___rr K si on

s R < PK "

c) Pour s , p-harmonique~ tousles termes de la s~rie (10) ~ partir

m ~ p disparaissent.

D@monstration.

1.2.9. D&veloppement de Pizetti : soit s 6 c~P(f%) . On a pour toute boule

B(x,R) d'adh@rence compacte dams Q le d@veloppement :

p-1 (11) k (s = s Z amR2mAms163 off ~ E B--~,R) .

m=1

D~monstration.

1.2.10. LEMME. Si s 6 c~PEB(o,R)]

alors il existe ~ 6 B(0,R) tel que

e t k ( f , O , R ) = s = A s . . . . . A P - I s = O

A P s = O .

~ e s 1 6 3 :

So i t s E C R2 [B(O,R)] et X(s = s = O

Si k ( t ) = k ( f , O , t ) t 6 [O,R] , on a X( t ) # C I [o ,R ] et

donc il existe t o 6 ]O,R[ tel que

de Green :

x ( o ) = ~ ( ~ ) = o

X'(to) = 0 . D'autre part, d'apr@s la s

207

0 = k'(to) = ~-"~(mN--" ~ llal I

o

= Is [ WN--~ 111a11=1 ~(ta)d~(a)]t=e o

t O

6ta~t continue, il existe n@cessairement un point ~ 6 B(O,R) tel que AE

AE(~) = o .

SOit s 6 CR 4 [B(O-~,R)] avec X(F,O,R) = s = tW(0) = 0 . D'apr@s le r6su l ta t

pr6c@dent, il existe t16 ]O,R[ tel que JB(o,tl)AE(x)dx = 0 . D'o~

t I

= o

1141 = t

Donc, i l ex is te R 1 > 0 te l que J As = 0 . Posons X1(s ) = X(~s 114 =

po~ t ~ [o,R 1] ~ on~ Xl(O) = O , Xl(R 1) = O p~i~q~e ~ (O) =O Xl(R 1) = 0 .

La s de Green montre que

~B(0, t l )A2s = 0

D'o~ l'existenee de { 6 B(O,R) tel que A2s = 0 . On aeh@ve la d@monstration

par r6currence.

D&monstration de 1.2.9. Sans restreindre de la g@n&ralit@, supposons x = 0 .

Soient s 6 c~P[B--~,R)] at h la s harmonique darts B(O,R)

~gale & s sur 8B(O,R) . Posons :

p-1 g(x) = s + Z %(R 2~- ilxl]2k)nks +b(R 2p- llxll 2p)

k = l

o~ b = b(R) est une constante et

-I Akr2k= 2 k. % = AkllxlI2< k~ (N+2k-2). . . (N+2) N .

k = 1,..., p-1 .

208

On a ~ " "A'"llxll 2k am+kllxll2(k-m)" " s i m ~ k %

D~ autre part

X[~,O,R] = X [~ ,o ,R] - X [%O,R] + p-1

k = l %~ER 2~- l lx l l2~,o,~] A ~ ( o )

+b x(~ 2p- 11~llPP,o,R) = o

et pour 1 ~ m ~ p- 1 :

~%(0) = Ams - %(Amllxl l 2~) (o) Ams = o

choisissons b de sorte que

p-1 9"(0) = d O ) - X(s + E %R2kAZ~'(O) +bR2P= 0 .

k = l

(Remarquer que X(f,0,R) = h(0)). Alors g v@ris les hypoth@ses du lemme 1.2.10 �9

i1 ex i~ t~ { ~ B(o,~) t e l que APg(~) = o c~l~ i~p l iq~e : AP~({) - b a -1 = 0 P

d'os b = a &Ps s o i t en remplagant dams (13) : P

P - 1 X(.s = s + E akR2kAks +a R2PAP.s

k=1 P

D'o~ le d@veloppement (11) .

D&monstration de 1.2.8.

pour &tablir (10) darts le cas a) consid@rons un R-voisinage compact

de K �9 Pour tout r > 0 il existe une constante M(KI,e) telle que

et

Or,

bmz(x ) l ~ ~ ( ~ i , ~ ) ~2m(pm)~ (x E [1 ) m = 0,I,2,...

SUp 1am1 IAms lR 2m F(N)(2m)'e2mR2m x6K ~ 22ram! F(m+N)

~ # 4 e m (m - -

m N

r(m+ ~)N ~ F(m)m ~ ~ 2 ~ ( m - 1 ) m 4 j . e - (m- l )

M(~ I ,e )

209

(2m) ! = 1 N ~ N-1

22%!r(m* ~) m -7

+ eN(m ) ( l i m 8n(m ) = 0 , 81(m) = 0 ) m - ~ c o

D~s (11) le reste a R2P~s est major@ pour t~te boule B(x,R) c ~, x 6 K P

~ar

I + eN(~))(r N-I (12) F(N) M(KI ' r % p T

1 l'expression qui tende vers z@ro, quand p ~ ~ si on choisit r < ~ �9

Dans le cas b) on a IAms l ~ M(K,e)(0K+e )m(2m)! (x 6 K) ~K > 0

dans l'expression analogue ~ (12) , (s2R2)P est remplac@e par

et,

<~ [(PK+ 6)2R2]P d'oN l'obligation du choix R ~+r

dans les boules B(x,R) (x 6 K) pour obtenir la convergence unis sur K .

Remarque. L'exemple qui suit le corollaire 1.2.4. montre que pour les s

analytiques la convergence de la s@rie s dans (107, n'est pas assur@e

pour route boule s contenue dans le domaine de d4f~niti~

~nt~i~ement aux s harmonlques ~'ordre inFini.

w 1.3. DISTRIBUTIONS DEFINISSANT FONCT{0NS HARMONIQUES D'ORDRE INFINI [7]

1.3.1. Dans ce paragraphe, nous @tudions les distributions qui v@ris

une condition rappelant celle s dans 1.2.3. On montrera que ces distri-

butions sOnt en r@alit@ fonctions harmoniques d'ordre inFini.

Nous rappelons tout d'abord quelques @nonc@s bien connus de la th&orie des

distributions . pour tout Ouvert ~ de R N , on note ~) l'espace

des s ind@finiment d@rivables & valeurs r@elles ou complexes et

support compact dans ~ . Pour toute partie K de R N ' /~K d@signe la partie

210

de ~ = /<R N) constitu6e par les s dont !e support est contenu dans K .

La topologie de ~K 6rant d@s par un syst6me s (Np) index6e

par ~.N des semi-normes d@finies par

P x E K! 3xP

~(~) sera muni de la topologie de la limite inductive des ~K o~ K parcourt

une suite croissante de partiemcompact~de Q dont les int6rieurs ~ recouvrent

. Ltespace des distributions sur Q muni de sa topologie usuelle est not6

~t(~) ou ~' s'il n'y a pas de confusion possible . Une distribution est dite

s ind6s d~rivable (resp. analytique) dans ~ s'il existe une

fonction s au sens usuel, ind6s d6rivable (resp. analytique) dans

telle que la distribution d6s par s sOit 6gale A T (< T,~ > = J' s

pour tout ~ 6 ~ (~)) . Une telle Fonction est ~videmment unique. On identis

alors T et s .Dans la suite, il sera commode d'utiliser une autre base de

voisinages pour la topologie de ~K celle-ci sera d@s en es par la

s de semi-normes ~i > IIAm~IIL z (m 6 ~) . On s usage des 6nonc6s

suivants fort connus en th6orie de distribution .

- Une distribution dont routes les d@riv@es successives sOnt des mesures

est une s ind6finiment d6rivable au sens usuel.

- Les distributions T v6ris APT = 0 sont des s ind6s

d6rivables (pr6cis6ment sont p-harmoniques) .

N Pm@cisons que les s d@s sur Q c R ~ valeurs complexes sont dites

ind6s d@rivables (resp. analytiques) si leurs parties r@elles et complexes

le sont.

1.3.2. DEFINITION. Soient Q un Ouvert non vide de R N et ~ = (~m) m6 ~ u____ee

suite de nombres r6els strictement positis Une distribution T 6 ~'(~) est

dite de la classe A(~,~,~) si la s6rie

211

(13) Z < AmT 's176 > m z (~c c) O/

m=o m

a pOur tOut m 6 2)(Q) un rayon de convergence R(m) avec

On remars ~ue A(C~,~,Q)

p=i~(m)>o

est stable par d@rivatign

1.3.3. DEFINITION. Une distribution T 6 /~'(~) est dite harmonique d'ordre

infini z si la s@rie

oo m < ~T,%0 > m (14) E (2m)! z (z E C)

m = O

converge darts tout le plan complexe quel que soit q0 6 /~Q)

p ,

1.3.4. ~EORE~.

I) Une distri~tion T 6 A(~,p,Q) est une s ind@s

d@rivable darts Q . De plus :

2) S i = =((2m)!)m 6 ~ , T suppos@e r@elle, est une s ~alytique

dans ~.

3) S__!i = = ((2m)!) m 6~ e__t_t @ = ~ , T suppos6e r~elle, est une

s h~moniq~e d'ordre ins

La d~monstration de 1.3.4. sera la cons@quence des ~nonc6s qui vont

suiv~e.

1.3.5. Pour tout @l~ment ~p 6 J9 on pose :

X

, 1

II~IIL~ = [ J I~(~)12~3 ~

;~mN Amqo = (A~ = q0)

bm ~m x I - . . x N

mE ~r

212

Pour m 6 ~ ' Om note la forme sesquilin~aire sur ~ X ~ d~finie par

m m (s I > J" A %OI.A %o2dx

Remarquons que la s

II = Am(%O) IIL~ i

[J IAm~12dx] 2 (m 6 ~)

est une famille de semi-normes continue sur ~ et que la s de leurs carr&s

(Qm(~))m 6 ~ est une s de formes quadratiques positives continues sur ~ .

N 1.3.6. LEMME. Si darts R le cube

contient le compact K

I)

{ x ~ RNI I x j I < ~, J = 1 . . . . . N }

alors pour tout s E /~K N

IMIL~ < a211%oIl~

on a :

2)

3)

et pour t o u t

4)

5)

mEl~ :

N J

L

(I~j<N)

IIAmq~ 2~ aNIIA~+I~HL2 IIA2m%Ol}L2~ (2~)2m(N-1)}lAm~}} 2

L

D6monstration. Les in6galit6s 1)

moyenne. Pour 6tablir 3) soit m

orthonormale d'616ments de ~K pour

x l > ht(x ) d~s sur R N

ht(x) = 10

alors pour tout %O 6 ~K on a

et 2) r~sultent de la formule de la

un entier ~ 0 , consid~rons une s

Qm+1 , et pour t 6 R N fix~,la s

telle que

I si x I ~ t1,...,x N ~ t N

ailleurs

213

on en d@duit l'in@~alit@

L'in@galit&

Pour &tablir

{p(t) = j" Al{p(x) h t (x )dx

3) par application de l'in@galit~ de Schwartz.

4) ~sulte ~e I ) et 3) ( i l ~uf2it ae ~a v~i~• pour ~ = o)

5) d6signons par [~ la transformation de Fourier. On a :

~x 2n. 8x 2ml 8x 2n 8 2m I "" N I "'" XN

N

3=1

m

= (2~) 4 ("-~Vl~a%12~v= (2~)~("-~)~1^%12dy

1.3.7.

= (2~) 4~ (" -~ ) II A% I122

- boules.

Les in@galit@s 2) et 3) montrent que toute semi-norme de la famille

(Np)n6 ~ est major@e par une semi-norme de la forme ~ ~ IIA%IIL2 La s de ces semi-normes engendre donc la topologie usuelle de ~K "

L'in~galit& 4) montre que pour route s s (mi,ai) (mi6 ~, a i 6 R+)

il existe un couple (m,a) 6 ~X R* tel que +

m.

Cela montre que l'ensemble des A- boules

6

cor~titue une base de voisinage de l'origine darts ~ . Les in@galit@s 4) et

pe~ettent alors d'utiliser con~ne base les A - bo~les d'indice pair, puis les

5)

A-boules

D'o~

{~ ~ ~KI I1^%11 2 ~ ~} L m E ~ l , a > O .

214

1.3.8. PROPOSITION. Pour tout voisina@e V de l'ori@ine dams ~91<

9~

un couple (Po,C) ' Po 6 IN, c 6 R+ _tel que

L

il ~xiste

1.3.9. LEMME. Soit T une distribution de la classe A(~,p,~) d@finition 1.3.)

alors pour tout a > ! la suite ((~m mm)-lAmT) m 6 , est bornTe dans ~'(~) .

Pour tout ouvert ~ dtadh@rence compacte darts Q , il existe un couple o

(Po,a) 6 ~ X ~: tel que :

(15) m Po

I < AmT,q ~ > I ~ ae~m~ II A %011L2

~uels que soient ~ 6 /~<) et m 6

D@monstration. Pour tout m 6 ~, consid@rons l'application

m

RO. m(%0) = E (ffpO'P)-ll < APT,~ > I p=o

R : ~<n) --.4 ~ O'~m +

La suite R ,m~$) converge en croissant vers une limite RC(~) en vertu de (13)

La suite ((~m ~m)-I < gmT'~ >)me ~ a alors tous ses termes majorTs par R=(~)

cela prouve que la suite forme un ensemble born@ darts ~'(~) et qu'il existe

un hombre M et un voisinage V de 0 darts /~Q) tels que

I < AmT,~ I ~ =m ~mM

pOur tout [p 6 V , m 6 ~ . Appliquons la proposition 1.3.8.

la trace de V sur ~5o) : iI ~xiste un couple (Po,a') ~ ~•

(~0 6 ~9% et IIAP~ 2 ~ a')

tel que

Par homogTneit@, on obtient (15) avec a = ~ M .

215

I 1.3.10. COROLLAIRE. Soient T 6 A(~,p,Q) , ~ > ~ e_~t K

Ii existe un voisinage V de l'origine d~s R N et un couple

tels que

m Po 1(6mT*~)(x)l ~ a~mG llg ~llL2

pour tout ~ E /~V) , x 6 K , m 6 17.

un compact de O .

(po,~) ~ ~ x R+

D@monstration. On choisit un voisinage V d'as compacte de l'origine darts

R N tel que ~ = K \ V soit un ouvert d'adh@rence compacte dans Q . Soient o

x E K et ~ 6 ~ supp~ c V ; la fonction t ~ > ~(x-t) a son support

dans ~o " L'in@galit~ (15) s'@crit

(16) ICAmT * ~)(x)l ~ I<#Tt ,~Cx-t ) >1 ~ ~%~IIAP~

m Po m L 2

D'o~ le r6sultat.

1.3.!I. LEMNE. Toute distribution T 6 A(~,p,Q) est une s (au sens

usuel) ind@s d@rivable.

1 D6monstration. Soient ~ > ~ , % un ouvert d'adh@rence compacte dans Q .

Soit ~ le sOus-espace de L2(R N) engendr6 alg@briquement par les AP~ o~

parcourt ~(%) et Po ~tant d@gini dans la proposition 1.3.8. �9

L'in@galit@ (15) appliqu@e ~ n = Po montre que T est une s lin~aire

continue sur ~ pour la topologie induite par celle de L2(R N) . Elle peut

A donc se prolonger en une s lin@aire T continue sur L2(~ N) . D'apr@s

A les propri@t~s de cet espace, T est d@s par une s s 6 L2(R N) ;

pOur tout ~ 6 ~(Qo) on a alors (chaque terme en indice pr@eise la dualit~

d@s la s sesquilin@aire utilis6e) :

216

< AP~ >~,,~ Po < T,A ~ >~,,~

Po = < T,A ~ >~,,~

A Po

= < T,A ~ >L2(RN),(L2(RN)

Po Po Po

d'o~ AP~163 = 0 dans ~ au sens des distributions. Cela implique que o

T-s est une s et que T est une fonction localement int~grable dans

~o " La stabilit@ de A(~,p,~) par d6rivation montre qu'il enest de m@me

pOl;r toutes les d~riv@es de T . On en d6duit que T est darts ~o une s

ind@finiment d6rivable au sens usuel (1.3.1.) ; d'o~ le r~sultat en consid6rant

une suite croissante d'ouverts d'adh@rence compacte et de r6union ~ .

1.3.12. PROPOSITION. Soi___~t T 6 A(~,p,Q) pour toute partie compacte K de

et tout q >~ , il existe un nombre c = c(K,~) et un entier k = k(K,a)

mositifs tels ~ue :

(17) l(AmT)(x)l ~ c ~m(~m+ ~m+kO "k)

pour tout x 6 K , m 6 ~.

D@monstration. Soient V un voisinage de l'origine d'adh@rence compacte dans

R N et (Po,a) po E ~ , a 6 R I tels qu'on puisse appliquer aux donn6es de

l'@nonc6 l'in6galit6 (16) . Soient de plus k un entier > Po ' ~ 6 ~(V)

@gale ~ I sur un voisinage de l'origine de ~ et E k la solution @l@mentaire

de l'op~rateur &k , un argument @l~mentaire de prolongement montre que ~ E k

qui a son support dans V est assez r@guli@re pour quton puisse la substituer

~ darts l'in~galit@ (16) ; comme par ailleurs la dis163 (Ak(~ Ek ) _ 6)

est une s ~ ind@s d~rivable ~ support compact contenu dans V

laquelle on peut appliquer l'in@�alit6 (16) on obtien/

217

I (AmT)(x) l = I(nmT * 6 ) (x ) I = I ( F T ~ Am(W Sk ) ) ( x ) - (AmT * C)(x)

r m+k Pc. ~ m APo , aL%.~a A w s~)[IL2* ~ r L2 ]

P o m+k sup(IIA (Y gk)}IL2' IIAP~ 21 a(Gm~m+ ~m+kq

D@monstration du th@or@me 1.3.4. La pattie 1 , c'est le lemme

Si ~ = ((2m)! , pour entier k et G > ~ Fix@s, on a m 6 �9 P

1

lim sup [ I +-~--- < m ~ ~ m

1.3.8.

Donc, d'apr~s la proposition 1.3.12. , pour tout compact

fix@, on peut trouver une constante M(K,~ 1 > 0 telle que

KCfi et ~ > _ 1 P

(18) I (# 'T ) (x ) l~ f (~ : ,~ ) (2m) ! (m C :~) (~ ~ I<)

d'oO l'analycit@ de T (~. 1.1.4.) �9

La propri6t@ 3 r@sulte du s que ~ = e peut @tre choisi arbitrairement

petit, auquel eas, la co~tante M(K,~) de (18) sera de la forme MI(K,~)e

ce q~i implique l'harmonicit@ d'ordre infini de T (1.2.3.1 �9

1.3.13. COROLLAIRE. Une fonction 9 6 CR(Q) est harmonique r d'ordre i~ini,

si et seulement si pour tout compact K c fl la s@rie

(19) ~ KIAmF dx zm I

m: o (2m)!

converge dans tout le plan complexe.

218

D@monstration. Si s 6 M (~) , la condition est @vi@ente; r~ciproquement si

la s@rie (19) converge pOur tout z 6 C , quel que soit e > 0 , il existe

M(K,s) constante > 0 telle que

J'lAmf(x) ld.x~ M(K,6) em(2m)! K

alors la distribution T = s v@ris :

K = supp

Mi(K,e ) constante > 0 @

Cela implique que s E A(~,%O) (~ = (2m)!) m E

une s harmonique d'ordre ins

m = 0,I,...

IA m s ~(~)1~ ~ Ml(~,e)em(2m)!

, et par cons@quent' f est

f / !

1.4. ANALYTICITE LIE'E AU SIGNE DE LAPLACIEN ITERE.

Darts CR(~ ) certains sOus-ensembles caract@ris@s par la

condition que leur laplacien it~r@, conservent un signe constant dams leur

domaine de d~finition , s des classes particuli@res de s analytiques.

Dans le cas

on connalt par exemple :

Soit F 6 C R (]a,b[)

N = 1 les premiers r@sultats dans cette voie sont dus & J. Bernstein

n ~ =: (1)nf(2n)(x) ~ 0

a) si pour tout

analyt ique.

b) si pour tout

analyt ique.

x E ]a,b[ s es__it

Ces @nonc@s se g@n~ralisent & plusieurs variables avec une diff@rence

essentielle darts les d@monstrations suivant qu'on consid@rele cas a) ou le

cas b) .

219

1 . 4 . 1 . THEOREME [ 4 ] Si E 6 C~(~) v@riEie

AmE(x) ~ 0 m = 0 , 1 , 2 . . . . ( x 6 D)

alors s es t analytique dans Q .

1.4,2. THEOREME.Soit E 6 C ~) v~riEia~qt

( -1)mAms ~ 0 m = 0 , 1 , 3 . . . . (x s n)

a - La s s est une s harmonique d'ordre ins dans ~ (donc

analytique) .

b - Si ~ = ~N s est une constante.

1.4.3. TH o ME [25] R" + S o i t dans (N ~ 3) f E C R R N)

( E ( x ) = p a r t i e en t i@re de x) .

S_!i (-I)?APE(x) ~ 0 p = 0,1 ..... E[~] + 1

alors f est une constante.

Le r~sultat est inexact en @@n@ral si la s d@pend au plus de deux

variables ou bien si le domaine de d@s de s n'est pas R N tout entier.

D6monstration de 1.4.1. Consid6rons le d6veloppement (111 �9 Tousles termes

sont positis donc:

amAms 2m ~ k [ s , B ~ , R ) C

Si x d@crit un compact I( c Q et si R ~ R O

de (] est Fix@, la fonction x~ > k [s

sup Ams ~ sup k [s • --

x6K x6K

sup xEK

d'o~

(2o)

< distance de K au compl~mentaire

@tant continue, on a :

a R 2m a ~m m m

I I

m em(~,R) I < l

R2 . a ]m [(2m)' m

220

Or % ( 2 m ) ' N F (~) x 1 (m - ~ ) �9 N-1

f ~ m 2

l e p r e m i e r membre de (20 ) e s t a l o r s m a j o r ~ p a r une c o n s t a n t e M(K,R) q u e l que

soit m . D'o~ l'analyticit6 de f (Th. 1.1.4.) �9

D@monstration de 1.4.2. La premiere as est un r@sultat de P. Lelong [ 2~.

Si N ~ 2 soit ~ un domaine de Green d'adh@rence compacte dans ~ (si

N = 1 , Q = ]a,b[ C ~ ),

Consid6rons la s de Green :

= 1~ {~.s ) _ ~ ;. As (21) s

" " n

( ( N - 2 b N ( 7 ) ~i N ~ 3 C N

I 2w si N = 2 �9 Si N = I ,

b (21 ' ) s = A x + B - � 8 9 ~ s G ( x , t ) d t

&

Dams (21) , la premi@re int@grale not6e Ho(X ) est la fonction harmo-

w nique qui coYncide avec f sur $ ~ ; dams (21') la fonction afs Ax+ B

est 6gale & s pour x = aet A s six = b . La s de Green G

de ]a,b[ est repr6sent@e dans la s ci-dessOus :

a f f i n e en t t e l l e que :

, b ( x , a ) = ,ba(X,b) = 0

est fonction

On a

G~(~, t ) = b-a

2, ( b - t ) (x -a ) a < x g t ~ b b - a

M

~ba(x,t) G ~ ( x , t ) /

N

221

Avec ces considerations, la d@monstration ci-dessOus est valable pour

PlaGons-nous dans le cas N > I �9

Posons :

Gn(X'Y) = ~n* Gn-1(x't) G(t,y)dT(t) (n ~ 2)

N = I �9

G2(x,y ) = ~ G(x,t) G(t,y) dT(y)

Si K est un compact de G d'int~rieur non vide, on a, d'apr~s les propri~t~s

de la s de Green :

(22) i~ G(.,y) = ~(K) > 0 . x,y 6 K

donc n-1

%(x,y) ~ y~(K) [Mes ~ (x,y ~ ~)

(Mes K = mesure de Lebesgue de K ) .

Soient Ho,HI,...,Hn,... respectivement les fonctions harmoniques darts

qui coincident avec s , ~F,...,Ans , sur ~ ~ .

Appliquons (21) ~ A s = CNI ) :

(23) AF(x) = HI(X)-C ~o.A2f(y) G(x,y) d~(y)

s = Ho(X ) - C ~[~.H I (y) G(x,y)dT(y) + (-1)2c2~[~jO.A2f(y)G(y,t)G(x,y)d~(t)d~(y)

Donc, apr~s n-it@rations :

n-1 (24) f ( • = Ho(~) + ~:

p = 2 (-I)P-lcp-I~ Hp-I(Y)Gp-I(x'y)dT(Y)

+ (-1)n cn 7f~. Anf(Y)Gn (X'y)dT(y) (x 6 f~*)

L'hypoth~se (-1)nAns ~ 0 implique que tousles termes de (24) sOnt ~ 0 .

D'o~

222

I(_1)nc n ~' Ans (x,y)dT(y)l ~ s (x E [~)

~ ~IAns IGn(X,y)d~(y) ~ r (x E ~)

D'apr@s (227 on a :

-(n-l) IAns l dT(y)~ c~ax l s l ~-n[ MesK]

K K

s (1.2.4)es~

Finalement sur tout compact K c ~ : n

~KIA (Y) Id'(Y) lim = 0 n-o (2~)!

o'est-&-dire s 6 ~ (Q) (1.2.3.7. Si Q = R N , la s H(x,t) associ~e

harmom_ique ~ 0 dans tout RN+I donc constante. Par suite

s = H(X,O) et~

D~monstration de 1.4.3.

Reprenons f~-repr@sentation (24) oO

centre 0 et de rayon R . Si x E B(O,R) ,

~* est la boule B(O,R) de

E[- l (25) s = Ho(X) + Z (-I)P-lcp-1S Hp 1(Y)Gp I(x,y)dT(Y)

p=2 B(o,~) -

s[~] +I (x,y)dT(y)

1.4.4. LEMME.

B(O,R) on a :

Si G(x,y) = GR(x,y) est ia s de Green de la boule

inf GR(x,y) > A (A = cte)

IIYll ~ R R N-2 2 N~ 3

2

223

D@monst ra t ion . En e s GR(x,y) pour x s darts B(O,~) e s t su rha rmon ique

darts B(O,R) , d o n c , pour x fix@ darts B(O,~) ,

ins R

GR(x,y) = ins R GR(x,y) I]yll =~

Or G(x,y) = EIl~ll 2- 211xllllyl} co~ e + Ilyl123

N 1 - - - - 2

2 2 N

- [R 2- 211xillMl~o~e + llxll I(Y[{ ]1--~ R 2

un calcul @l@mentaire montre l'existence d'une constante A > O telle que

inf in~ $ (x,y) -I R R m A

IlXll K ~ flY11: ~ - RN_~-- ~

Dans le d6veloppement (25) , tousles termes sont m 0 quel que soit R ,donc :

( -1 )# - IcP-17B(0 ,R)Hp_I (y )G~_I (X ,y )dT(y ) ~ s

# = 2 . . . . . E[~] , x E B(0,R)

Or, d'apr6s le lemme 1.4o4o et (22) :

A ~p-1 B ( o , ~ ) ] p - & BR2p ins G R ( x , y ) �9 .R-~_2 . [Mes -2-N x,ye ~(o,~) p-1

En particulier 2(E[N]+I )-N

R N x , y 6 B(0,~) ~.[~] + 7

D'ap~'as (26)

(B = cte)

~(o,~) 4tarot une constante num6rique > O .

Comme ( -1) p-1 Hp_I(Y) est hammonique ~ 0 et que l ' i n t & g r a l e c i -dessus est &

un s num@rique pros, sa moyenne spatiale, il r6sulte que

224

R R2p-2(-I)P-IH (0) ~ f(x) (8 = cte > O, x 6 B(O, ~ )).

p-1

Cela est impossible si

done (-I) p-1 H(x) qui est harmonique > O p-1

est identiquement nulle. D'o~

Hp_1(O ) / 0 . D'o% Hp_1(O ) = 0 ;

darts B(O,~) , nulle A l'ori�ine ,

N Hp- 1 : 0 p = 2 . . . . . E[~]

De m~me d'~pr~s (25) et (27) :

(28) BTR ~ (-1) ~(y) d~(y) ~ s < ~), s(o,~)

(BI> 0 constante num@rique) .

Comme 2 ( E [ ~ ] + 1) - N ~ 0 l ' i n t @ g r a l e ( 2 8 ) e s t n ~ c e s s a i r e m e n t

nulle, sinon pOur R assez grand, l'in69alit@ (28) est en d@s Finalement

s = Ho(X ) dans (2~) ; Ho(X ) 6rant harmonique > 0 dans B(O,R) est

n~cessairement la restriction A B(O,R) d'une fonction harmonique > 0 darts

tout R N done est une constante

1.4.5. Contre-exemple. La s f(x) = sinx I +...+ sinx N v@rifie les

hypoth6ses du th@or@me 1.4.3. dans ~ = {x I 0 < x i < ~ , i = 1 ..... N] sans

@tre constante. La fonction v@ris la condition du th6or&me sans ~tre cOnstante.

w 1.5. APPLICATIONS.

* [< 1.5.1. Soient ~ 6 R et s 6 C ~) telle que

(29) (~ + =)s = 0

La s s d@s une distribution sur et on a Ams = (_~)ms m = 0,1 ....

on en d6duit que s est une distribution harmonique d'ordre inFini et s

une s harmonique d'ordre ins (Th. 9.3.4.) �9 D'apr@s 1.2.8. la

moyenne k(f,x,R) s'@crit :

225

s 2m (30) x ( s = ( ~ .) s

m=0 4mm, F(m+ ~)

= ~ ( R ) s ( B ( ~ , ~ ) c a )

R@ciproquement, si s continue v6ris (30) pOur rOute

est de ia e!asse C~(n) et v~ris (29) .

En e s ~o i t e r (~ ) ~ o , e r e C~(Q) , % ( ~ ) = er ( l l~ t l ) ,

j. = 1 , ona: e r

B(x,R) c Q , alors elle

supp O r = B---(-~,r)

r r

(31) (s = NWN(1) ~ k ( f , x , t ) @ r ( t ) t N - l d t = NWN(1) [ O O

Le premier membre de (31) est de la classe C~(Q) donc s 6 C~(Q) .

D'autre part

et

~ ( t ) 8 r ( t ) t N - l ~ ] f ( x )

R 2 R 2 - - ~(~)

Af (x ) l im 2N X(s163 l im (2N ~ (R)- I = = ) 2 (x ) = - ~ f ( x ) . R~o R 2 R~o R 2

d'o~

(A + ~)s = 0 .

Remarque. Ii existe une relation intime entre

1.5.2.

(32)

oQ les

relation

J (R) et la s de Bessel

Soit u 6 c2k(Q) , u/ O , v@rifiant la relation :

Aku = Gk-1Ak-lu+Gk-2 Ak-2u +''" +~o u (50 / 0 , k ~ I)

comme une distribution, la ~k sont des constantes. Consid~rant u

(32) implique

JN " -- -1 2

226

A m+k O~k_iAm+k-1 u c~k_2Aum+k-2+ ... + e~ o u = 4- ~m

pOur tOut m 6 ~ . La m@thode de r6solution des suites r6currentes appliqu6e

la suite s = A'h qui v@ris : m

(33) s = ~k-lfm+k-1 + ~k-2s + "'" + aos

permet d'exprimer Am pour tout m 6 ~ comme une combinaison lin@aire des

s163 . Soient X1,...,% p les valeurs propres de la matrice :

IO 1 0 1 o o o e 0

i o 1 "eo . aao. ' �9

o

do ~I "" ~k I

et rl,...,r p leur multiplicit& (r1+ ... + rp = k) . L'ensemble des suites

qui v6ris (33) @tant un .space vector,el (sur C) de dimension k,s m

s'exprime comm. une comb,ha,son lind.ire de suites du type (x~m q) 1 ~ i ~ p

m.

s = E ai,qXilm q I ~ i ~ p

0 ~ q ~ ri-1

par la connaissance de s163

il en r6sulte que

s m

o~ les k constantes a. l~q

0 ~ q ~ ri-1

sOnt d@termin@es

et sOnt s lin6aires de celles-ci :

Am*ku = Pk-1 (m)Ak-lu * Pk-2 (m) Ak-2u* ' ' ' * Po (m)u

o4 Pk_j(m) pOur tout 1 ~ j ~ k estune combinaison lin6aire des X~m qz .

D'apr@s le th~or@me 1.3.4. , u .st une s harmonique d'ordre ins

dans ~ si ell..st ~ valeurs r~elles. D'od

9k . 1.5.3. PROPOSITION. Une s u E C~ (Q) , v6rifiant une relation de la

s (32) estune s harmonique d'ordre ins dans ~ .

227

1.5.4.

(34)

En t a n t que distribution

le cas partioulier u E CR(O),ua = u(x,y,z),n c R 3 . Cons id~rons

A2u+Au+u = 0 .

(34) implique pour tout p 6 ~ :

A3Pu = u

A 3p+I u = Au

A 3p+2 u = - Au-u

ces relations montrent que u est une s harmonique d'ordre infini dans

n (Th. ~.3.4.) .

Nous aliens montrer que u(x,y,z) ~hanse de si~ne A l'ext@rieur d.e

route sphere de R 3 .

D'apr6s 1.2.8. ,

R2m (35) X(u,x,R) =

m= o (2m+I)! - - ~m(x o) (B-U~ c n)

le E s dans (35) s'6crit :

= ( E R6P )u+( r - - ) A u

m=o p=o (6p+I)[ p=o (6p+3)!

ou

R6p+4 + ( Z - - ) (-Au-u)

p= o (6p+5)!

R6P R6P +4 (36) X(u,x,R) = Z [ - - 4 u(• +

p=o (6p+I)! (6p+5)!

R6P + 2 R6p+4 ( Z [ - - - - ] ) Au(x) p=o (6p+3)! (6p+5)!

Ecrivons (36) SOUS la Forme :

228

(37) RX (u,x,R) = A(R)u(x) +B(R) A u(x)

on v~ris que les s@ries A(R) et B(R) sont solutions de l'@quation dis163

6 tielle y - y = 0 et on d~duit alors leur expression :

A(R) ~chR Z&R = 3 ~ sin 2

B(R) = ch ~ sin-- R - sh ~ cos 2

3 Supposons O=R . Ecrivons (36) pour R > O et au point x = x

O

R

(38) Rx (U,Xo,~) = e 2 [~(x o) sin /3 R- �89 cos ~ R 3 +h(R) 2

avec /3 au (x o) ~(Xo) = ~ U ( X o ) + 6

lira / %

h<~) = 0

Ecartons le cas ~(Xo) = 0 et supposons U(Xo) / O . La relation

R

(39) RX (U,Xo,~) = e 2 k(Xo) sin (~ R+8) +h(R)

(38) s'6crit :

consid@rons les suites suivantes :

2nTT-- 20 R n -

/3

R' = (4n+1)~ -2e n /3

R" = ( 4 n - 1 ) ~ - 2 e n /3 R

n = 1,2 . . . . Pour (Rn) n ~ l l a s k(xo)e2 s in ( 2 ~ R+@) change de

signe. Pour les deux autres, le second membre de (39) tend respectivament

vers + ~ et - ~ si n -- ~ .

Donc, quel que soit R ~ , la s l(U,Xo,R ) , pOur R > R o et par cons@quent

u(x) , llxll > R O ,ne peuvent garder un signe constant. (re&me raisonnement darts

le cas ~u(x o) / 0 .

229

CHAPITRE 2

CELLULE D'HARMONICITE

J

w 2.1. DEFINITIONS ET PROPRIETES GENERALES _ CHEMINS DE P. LELONG

2.1.1. L'espace euclidien RN est congondu avec le sous-espace

[z : (z I ..... ZN) = x + iy 6 cNIy: o} . NOUS @crivons aussi cN(z) : BN(x)+i~N(y)

Dans tout le chapitre le cas N = 1

supposera donc N z 2 . On note :

O : z~O(z) = 2

de dimension r~elle est sans int@r~t. On

2 + ,.. + Z N

<z,a> = z I a I + ... + z N a N (z,a E C N)

A COS(x,a) : ~ (xia 6 ~N, llxll llall # 0) .

Les normes llzll ou llxll sont d~duites du produit <z,a> .

Si p(~N) est l'ensemble des parties de R N , l'app!ication T : cN-~ P(R N) ~ ~(~)

est d~s par :

T(z) = [t E RNIQ(z-t ) = 0} .

Le cSne isotrope (darts C N) de sommet t 6 }~N est

r ( t ) = {z E CNIO(z- t ) : O] .

On a :

(I) r(x+iy) = T(Z) = {t 6 RNlllt-~l = IlYll et <t-x,~r~ = O] .

230

Pour N ~ 3 , l'image d'un point z 6 C N par T , est la sphere (N-2)

dimentionnelle S N-2 de centre x = Rez et de rayon II~I (Y = Imz) con- z

tenue dans l'hyperplan ~ d'~quation <t-x,y> = 0 (t ~tant la variable).

Si N = 2 , la sphere S ~ est r&duite ~ deux points de ~2 (identifi~ ~ C) z

Zl + iz2 ' ~I + i~2 ces points sont sym@triques par rapport au point z = x

et sont situ~s sur la droite d'&quation

Yltl + Y2t2 - xlY I - x2Y 2 = <t-x,/> = 0 .

(Fi~. i)

N)3 N-2 b -/..

~i + is 2

m-x.iyEC N

- {~,b)

On remarque les propri~t@s suivantes :

2) T(z) = T(~) (z 6 C N) .

six 6 ~ T(x) = {x] = s N-2 sphere de eentre X =

3) Si N ~ 3 , l'ensemble T(z) est connexe.

4) Pour t 6 ~N , F(t) n R N= [t] (F(t) = [ t ]

x et de rayon nul.

si N= I)

5) Pour z E cN

sont ~quivalentes.

6) Pour tout

231

et t E BN les deux propri~t~s z E F(t)

r@el non nul, on a : T(x+iy) : x + ~T(i X) �9

e t t E T(~)

2.1.2. CHEMINS DE P. LELONG

Soient A une partie non vide de R N C N C N , aE , zE �9

Un chemin de P. Lelong ou bri~vement un LA-chemin d'origine z et d'extr~mit@

a , est une application ~ : [0,1] ~ C N continue telle que pour tout 5 E [0,1] ,

la sph@re T[~(5)] est contenue dans A.

z

A a

Autrement dit un LA-chemln joignant le point z au point a E C N est un

chemin Continu dont l'image par T de ses points est une s continue de

sph@res S N-2 c A �9 II est @vident que si on peut joindre le point z , au

point b , et puis le point b au point a respectivement par des LA-chemins

, et ~t , alors il existe un LA-Chemin joignant z au point a .

De m~ne, d'apr~s la propri@t@ 2) de 2.1.1. tout chemin continu

dans A est un LA-chemin , la s S N-2 de sph@res correspondante @rant

constitu@e par les points de l'image de ~ .

232

2.1.3. PROPOSITION.

Soit A un ouvert connexe de RN(N ~ 2) �9 L'ima@e par T d'un

LA-Chemin ~ d'ori~ine z 6 C N et d'extr~mit~ a E A est un compact connexe

de A .

2.1.4. PROPOSITION.

Soit A un sous-ensemble de

A(A) = U r ( t ) t65A

est ferm~ dans C N et on a :

A(A) N RN= BA

(Si N = 1 , A(A) = 3A) �9

RN tel que SA # ~5 �9 L'ensemble

D6~nonstration de 2.1.3. : Soient

: I = [0,1] -~ C ~ T(7) u T[~(~)] cA

1. L'ensemble T(W) est ferm4 dans A .

En effet, soit t = lim t k , t k o k-~o

(Tkm) at un point T E I m61~ o

Q et y ~tant continues on a

E T[~(Tk) ] . II existe une suite extraite

tels que ~o = lim ~k . Les applications m-~ m

0 = lim Q[t k -~(Tk )] = O[to~(~o)] m -~r176 M m

d ' o ~ t o E T[~(~o) ] et la conclusion,

2. L'ensemble T(y) est borne.

233

Soient t' , t" (T(~) . II existe T' , T# tels que

t' ~ T[~(~')] , t n ~ T[~(T#)] . On a :

l f t ' - t n l / { t / t ' - z ' / / + / l Z ' - Z ~ / l + l / Z " - t n / / , Z ' = # ( T I ) , Z " = ~ ( ~ ' )

or I I~ ' -~"I I ~ 2 Ma41zll = z ~ et

llt'-~'ll 2 = llt'-(x'+• 2 = llt'-x'll2+lly'll 2 = ~lly'll ~ 2M 2

de m@me l ! z / / - t ' l l 2 ~ 224 2 .

D 'oQ l l t ' - - t / / l l ~ 2 (1+~2)M .

3. L'ensemble T(~) est connexe.

Supposons tout d'abord N ~ 3 Si T(~) = F 1U F 2 avec F 1N F 2 = r ,

F r r , F. Fern@ j = 1 ,2 posons I . = [~ 6 I I T [ y ( T ) ] N F j r r j = 1 , 2 . J J ' j '

On a I ~ r et I = 11U 12 �9 Or pour ~ E ! l'ensemble T[Y(~o) ] est j o

eonnexe d ' o ~ T [ Y ( ~ o ) ] C F 1 ou T[W(~o) ] ~ F 2 . Doric, 1 1 N 1 2 = r e t comme

d'autre part IiJ 12 sont s cela est en contradiction avec la connexit@

de I . Si N = 2 , s o i e n t ~j : I -- C ( j = 1 , 2 ) ~ : ( y t , Y 2 ) , F 1 = (~1 + i Y 2 ) ( I )

F2 = ( q l + i q 2 ) ( I ) ( v o i r 2 . 1 . 1 ) . Les ensemb les F 1 e t F 2 s o n t c o n n e x e s , avec

une intersection contenant le point a (doric non vide), il en r6sulte la

connexit6 de leur r@union.

D@monstration de 2.1.4 : La deuxi6me @~alit@ r@sulte de la propri6t~ 4 7 .

Montrons l'~alit~ A(A) =A-~7 �9 Soit z(~),~ = 1,2 ..... une suite de points

de A(A) de limite Zo , avec Z(k ) 6 F(t(k)) , t(k ) ( 8A . Soit

M = s~pll~(~)l I < ~ . On a q~els que soient k,~ ~ ~ :

t t < t z + z z + z t < t z + II (k)- (~)II II (k)- (k)ll II (~)- (~)II II (~)- (~)II II (k)- (~)II

234

2 . 2 2 2 2 2 II t(k )-z (k)l I =II t (k)-(X(k) +iF(k) )II =II t (k) -X(k)ll +llY(k)ll =211Y(k)ll ~?_M .

D'O~ llt(k)-t(~)ll 2 ~ 2(I+/2)M , L'ensemble ~A &tant ferm~ et la suite (t(k))

)) convergente. Soit t sa limite. born@e, il existe une suite extraite (t(k m o

Alors Q(zo-to) = m~mlim Q[Z(km)-t(km) ] = 0 c'est-A-dire z O E l~(to) �9 D'o~ le

r@sultat.

2.1.5. Soient D un ouvert connexe non vide de

c onnexe contenant D de

C ~ \ A ( D ) : C N \ U r( t ) ~BD

(on pose X(~R N) = C N) et

w(D) = {z~ cN1 i le• a~ D etun

N ~D ~ B(D) = composante

LD-chemin joignant z au

point a} �9

D'apr~s 2.1.4., ~(D) est un domaine ainsi que W(D) .

2.1.6; PROPOSITION.

Soit D un ouvert connexe non vide de N ~D # r

a) On a

~(D)=w(D)=D,~(D)n N:D,~Dc~(D) cA(D)

b) Si D est @toil@ au point a ~ E D , alors ~(D) est @toil@ au

m~me point et

en particulier si D est convexe, ~(D) l'est aussi.

235

o) si N = 2 , ~(D) = {~ = (~l,Z~) ~ e~1~(~) = {~1+iz~,~l+i~j~] .

2 . 1 . 7 .

de D .

DEFINITION.

Le domaine ~4(D) d6s ci-dessus est appel@ la cellule d'harmonicit6

D6monstration de 2.1.6.

a) L'ensemble W(D) est ouvert, connexe par arcs (donc connexe), c'est

donc un domaine. On a W(D) n A(D) = r . En es si z E W(D) n A(D), il

existe t s ~D tel qua t 6 T(z) et T(z) n ~D = ~ en contradiction avec

T(z) C D ; d'o~ W(D) C~(D) . Pour @tablir l'inclusion inverse, il sus163 de

montrer qua pour tout z s ~(D) , a ~ D , il existe un ~-chemin joignant z

au poin t a �9 Soit % : [0,13 ~Z(D) un chemin continu darts Z(D) , ~(0) = z ,

~(I) = a �9 (~ ~iste p~s~e ~(D)~ D). On va ~tabli~ q~e T[~] c D .

D'apr6s 2.1.3., T(~) est un compact connexe de Z(D) et T[~] n ~D = r ,

T[7 ] Q O = r . Si T[~] ~ D , @crivons

T[~] = [T[~] Q D] U [T[~] Q (R~)]

O~ T [ ~ ~ ( R ~ ) # r �9 C e t a e s t en c o n t r a d i c t i o n avec l a connexSt@ de T [ 7 ] .

D'o~ Z(D) C W(D) et s Z(D) = W(D) . Les inclusions DD C~Z(D) c A(D)

se v6ris ais~nent.

b) L'ensemble D @tant 6toil~ au point a , il est connexe par arcs. O

II sus alors de montrer qua la propri@t~ (z 6 cN, T(z)C~ )) implique : il

existe un ~-chemin joignant z & un point a de D . Soit ~ : I = [0,1] ~ C N

? ( T ) = Ta O + ( 1 - ~ ) z ; y e s t c o n t i n u ? ( 0 ) = z , ~ ( 1 ) = a O e t d 'ap r@s l a

propri#t~ 6) de 2.1.1. :

T[~(~)] = ~a ~ + (1~)T(z) ~D (~ ~ Z)

236

que

Ainsi ~ est un ~-chemin joignant z au point a ~ . On v~rifie

W(D) est @toil~ au point a o

Si

continus ~1 et V2 de I -~ D tels que

~2(0) = z1+iz2,~2(1) = a �9 L'application

~ ( t ) : [ ~ l ( t ) + ~ 2

c) So i t z = (Z l ,Z2) tel que T(z) = [Z l+Z2 ,Z l+ i z2 } c D

a 6 D est un point arbitrairement s consid~rons les deux chemins

~I(0) = z1+iz2,~1(1 ) = a ;

: I -- C 2 d@finie par

~1(~) -~2-~-~ ' 2i }

est un chemin continu dans C 2 avec ~(0) = z , d(1) = a , et pour tout

on ~ T [ ~ ( ~ ) ] = { ~ 1 ( ~ ) , ~ 2 ( ~ ) ] C D do~c [~ E C 2 I T ( ~ ) ~ D } ~ w(D) ,

d'o~ le r~sultat.

2.1.8. COROLLAIRE.

Soient D Iet D 2 deux domaines de B N , 5D I ~ r , 5D 2 # r .

a) S_~i D 1 n D 2 = @ a lo rs ~(D1) n ~(D2) =

b) S i D 1 c D 2 a lo rs ~(D1) c ~ ( D 2 )

2.1.9. PROPOSITION.

(D) une 9amille s croissante de domaines de R N Soient

e t D = U D . Alors la s des cellules (~(D))~)E J est filtrante ~6J v

croissante et on a :

(2) ~(D) = u

D@monstration : La premi&re aFFirmation r&sulte de 2.1.8- Pour @tablir

237

l'&galit~ ~), soient z 6 ~(D) , a 6 D . II existe un

joignant z au point a �9 L'ensembie

K = U T[V(T)] c D ogTgl

~-chemin ~ : [0,1] -- C N

est compact (2.1.3.) et il existe v 6 J tel que K ~ D c'est-g-dire o

o

z E B(D o ) �9 D'o~ B(D) C U L' ~6J Z(D ) �9 inclusion inverse @tant 6vidente.

2.1.10. Si U est une matrice r~elle, orthogonale d'ordre Net D un domaine

de ~N ~D ~ ~ on a ~(UD) U~(D)

En ef~et, pour tout z 6 C ~ , T(Uz) = ~r(Q et l'image pa~ U d'un

%---chemin d ' o r i g i n e z e t d ' e x t r @ m i t ~ a 6 D e s t u n L u D - c h e m i n d ' o r i g i n e Uz

e t d ' e x t r ~ m i t ~ Ua .

w 2.2. EXEMPLES DE CELLULE$ D'HARMONICITE.

2 . 2 . 1 .

on a :

Cellule d'harmonicit~ d'un domaine convexe quelconque.

Soit 6 D (a) la fonction support d'un domaine convexe

6 D (a) = sup{<a,b>]b E D]

D = {X 6 RNl<x,a> <6 D (a) pour tout a # O}

et d'apr@s 2.1.6. b) :

Z(D) = {z = x + iylT(z ) C D] = {Zlx+T(iy ) C D] .

D de R N :

La condition x + ~ 6 D (~ E T(iy)) @quivaut

(3) <x+~,a> <6D(a ) pour tout a # 0 .

238

Mais 6D(a ) 6 t a n t p o s i t i v e m e n t homogane, i l s u s que ( ] ) s o i t v@rif i@e

p o u r t o u t a,!lall = 1 �9 Doric,

( 4 ) Z(D) = [ z = x + i y sup [ Max ( < x + ~ , a > - 6 D ( a ) ) ] < 0 ] ] .

2.2.2. Cellule d'harmonicit6 d'une boule

Soit B = B(O,R) c RN la boule de centre

La fonetion support de B est 8D(a ) = Rllall . On a

et

0 et de rayon R > 0 .

Ma~ (<x + ~ ,~> - 8 B G ) ) = l lx + ~_I1 - R llall =I

~ [ B ( O , R ) ] = {= = x + i y e CNI s,~p l lx+~l l - R < o ]

C~iculona sup 11•162 = 11• + llyll 2 + 2 H~• <~ ,~> ~ e T ( i y ) ~ 6 T ( i y )

2,2.3. LEMME

Pour tout z x + iy C C N =

M(z) Max 2 1- m(z ) = M in [ < ~ ' ~ ' ~ E T ( i y ) ] = :h[ l lxl l2.11y!l 2 - < x , y > ]2 =

:~ 1!• llyll lS~-n(x ,Y) l = ~:~ 1414-11 z ~ 112 j = l

D~nonstration : Rappelons (2.1.1.) que ~ 6 T(iy) @quivaut ~ II~II 2 = llyll 2

<~,y> = 0 . Cherchons lea extrema de la Fonction

Lo(~) = ~ixI +...+ ~ x~

et

sOUS lea conditions

( 5 )

239

L I ( ~ ) = II~II 2 - l l y l l 2 = 0

L2(~)_ = <E,y> = 0

utilisons la m@thode des multiplicateurs de Lagrange : soit

L(~) = (Lo+~LI+PL2)([) (~,8 constantes).

Les conditions extrema libres sont :

~ L _ = o ( j = 1 . . . . . N) . B~j xj+2~j+Syj

SuppOsons tout d'abord x et y lin6airement ind6pendants sur R ; les points

E dormant les extrema sont de la s : ~ = ax + by (a,b 6 ~) , les cons-

tantes aet b ~tant d~termin@es par les conditions (5) �9 On trouve

D'oO 2 2 2

<ax + by, x> = e ~ - 6 ~

Ma_~ E, = 2 ~- Min Z>,~T(iy)] e[ll• ] 2 �9

Si x et y sont lin@airement d@pendants, pour tout ~ (T(iy) on a

<E,x> = 0 . D'o~ le lemme.

IIen r~sulte que

1_ ~ [ B ( 0 , R)'] = [z = x + i y E s + L:h/llxll211yll2"-<x,/'2'2) 2< R]

!

= { z ~ c ~ , . , , ~ . 2 1 r l l ~ + _ t z l l 4 - 11 z j = l

240

On n o t e r a que ~ [ B ( O , R ) ] e s t un domaine @qu i l i b r@ ( i . e . s i ~ 6 C , 1~I < 1 ,

on a ~ Z [ B ( O , R ) 3 c ~ [ B ( O , R ) ] ) .

Darts le paragraphe suivant nous reviendrons sur cette cellule qui a s l'objet

des @tudes en analyse harmonique [13~ [16] [22] [23~ .

Remarque. Dans le cas N = 2 on peut retrouver directement la cellule d'harmo-

nicit@ du disque B(R) : [(x I,x2) 6 R21x~ + x~ < R 2] �9 En es163 d'apr@s 2.1.6. c)

~(B(R)) = {z = (~I,Z2) ~ C21 I~I + i~21 < R'!~I + i~21 < R]

Remarque. Si D est born@, Z(D) l'est aussi. En es163 D est contenu dans

une boule, le corolla~re 2.1.8. s'applique.

2 . 2 . 4 . Cellule d'harmonicit@ d'un cube~ d'un demi-espace~ d'un tube.

Soit

D = Ix : (x I ..... XN) la j < xj < bj j = I .... ,N} .

Le cube D @tant @toil@ par rapport ~ son centre, d'apr&s 2.1.6. :

~(D) = {z 6 cNIT(z) C D] .

Soit z = x + iy �9 On a T(z) = x + T(iy) . La condition T(z) C D @quivaut & :

pour tout ~ = (~I ..... ~N ) 6 T(iy) , aj <xj + ~j < bj j = I ..... N .

Iien r@sulte que T(z) c D &quivaut ~ :

xj + Max(~jl ~ 6 T(iy)] < b.j ( 6 ) j = i . . . . .

xj + min(~jl ~ 6 T(iy)) > aj

Or la m@thode des multiplicateurs de Lagrange montre que

241

Max Ma 2 2 2 Mi~Egj lg e T ( i y ) ] = M i S g j l g l + . . . + g N = ltYll ,.ELY 1 +'''+ gNYN = 0]

1_ = *( Z y~)2

kCj

des in@galit@s (6) on d~duit :

~(D) = [z = x+iy 6 cNIaj.

I 1 2 2

< x . - ( E yk2) ~ < x . + ( E yk) < b j , j = l . . . . . N'} 3 k~j 3 k~j

2.2.5. En particulier si D = {x = (x I ..... xN)11xjl<a j''" j = 1 ..... N] , on a

! 2 a

g ( D ) : { z : x + i y ~ c N I I x j l + ( Z Y ) < a . j = 1 . . . . . ~ �9 ~j k a

On retrouve un r6sultat s dans [15] �9

2.2.6. Pour le demi-espace [I N = [x E RNIx N> O] on a :

! 2 2

~([IN) = { z = x+iy 6 cN[~ - ( Z Yk) > O] . ~N

et pour le tube

D = ]al,b1[x...x]aN_1,bN_1[ X P,(x N) ,

Si

~(D) = {z = x + iy e c~laj <x. - (• J ~j

! i_ 2 2 2 2

yk) < x.+( Z Yk ) <bj,j = 1 ..... N-I] J kCj

D : ]a,b[ • ~N-l(x 2 ..... x~) , o= a :

~(D)= {z=x+iy~CNla<x I

1 I 2 2 2 2

( ~ yk) ~Xl+( ~lYk)~ <b] .

2.2.7.

Le domaine

soit

On a

et

or

Finalement

242

Cellule d'harmonicit@ d'un poly@dre convexe.

D = {x E ~I i i aqX1+o..+aNX N = <al,~><~ 1 1 { i ~ p] �9

D 6tant 6toi16 par rapport A un de ces points on a :

]~(D) = [z E cNIT(z) C D] = {z : x+iylx+T(iy ) E D]

un point de T(iy) .

2 2 = (*) (~ E T(iy)) ~ (~I+...+~N llyll 2 , <~,y> = 0)

(<a i , x+%> i (x+~Dy)~ <a I ~i~p)

(*) ~ (<ai,x~ + Max<ai,%> <a i 1{i{p )

~ET(iy)

Max <ai,~> = ~llaill211yll 2 - <ai,y> 2 �9

]~(D) = [z = x+iy E CNI<ai,~ + ~llaill211yll2-<a,y>2<~ i]

l<igp �9

2.2.8. Le domaine constitu@ par la dis163 de deux boules concentriques

n'@tant pas @toil6 par rapport ~ un de ses points, on ne peut utiliser pour la

d@termination de sa cellule, la partie b) de la proposition 2.1.6. Nous

proc6dons conm~e dsns [14] .

2.2.9. Cellule d'harmonicit~ de la dis163 de deux boules centr~es en 0 [14].

S oi t

B(~I~ 2) = {x E ~NI~ I <llxll < Rj

243

Si z x+iy6 C N = ~ p osolls

2 L~(z) = L~(x y) = [llzll �9 Lzll

j=1

/:: 2 2 2 1 = [llxll 2 + l/ylt 2 ~1/4/ IM1 ~x~ ~

on remarquera que L+(z) ~ llzll , L_(z) k lllxll-llyl!l (voir aussi 2.3.1., 2.3.9) �9

Remarquer que L~(eiez) L~(z) (8 E R) �9

2 .2 . t 0 . LEMME.

Pour tout z E C n , la cond i t i on T(z) C B(R1,R2)

R I < L_(Z) ~ L+(z) < R 2 .

~uivaut

D~nonstration. Comme dans 2.2.2, la condition T(z) c B(R1,R2) @quivaut &

R12 41X!!2+llyl12 + 2min<~,x>~ET(iy) <llxl12+llYl12 + 2Max<~,X> <R~ .

D'o~ le lemme d'apr@s 2.2.3.

2.2.11. LEMME.

S_~i T(z) C B(R1,R2) , i l existe un point a 6 B(R1,R2) et un

LB(Ri,R2)-chemin 7 joi@nant z ~ a �9

D~nonstration.

Soient z = x + iy 6 C N et T(z) c B(RI,R2) . Distin~uons plusieurs

a=x et %'

2) Siy # 0 , x = 0 , l'inclusion T(iy) C B(RI,R2) implique

cas :

I) Si y = 0 , on a T(z) = [x] ~ B(R1,R2) ; on choisit

l'application constante : %'(7) = x , 7 6 [0, I] .

244

3) Si x,y

2.2.3. montre que

d'o& y E B(R1) �9 On choisit a = yet ~ : T~y+i41-T2y (~6[0,1]) �9

sont dis163 de z~ro, et x = Os162 (~ E B) , le lemme

2 <(1+ 2)llyl12<R~ . Le LB(RI R2)-chemin : R1

~1 : ~ ~ ( ' ~ ) ~ + S[1-(1.<)21t~%1 y

permet de joindre le point

(On remarquera que Lzh[~I (T)] = (I + ~2)IIyI12 ) .

D'autre part, il existe (d'apr&s le cas 2)) un point

~(R1,R2) -chemin ~{2 joignant le point b au point

4) Soit U ( z ) = U T(x+i~y) ~ ~[0,13

= ~,1(o) a~ p o i n t b = ~ ,1(1) = i J l , ~ 2 y ~ 0 .

aE (R 1,R 2) e t u n

a �9 D'o~ le r&sultat.

Si U(z) C B(R 1,R2) , on a T(x) = [x] C B(R 1,R2)

~{ : T ~ x + i~y (T 6 [0,13) �9

et on choisit a = x ,

5) Supposons x et y lin~airement ind@pendants et

Consid~rons le chemin continu

U(~)CB(R 1,R 2) �9

(~ ~ ~) �9

On a %,(0) = x + i y = z ; ~f(1) = ~y + i y �9

D'apr@s le cas 3 , il existe un point a 6 B(R1,R2) et un ~(R1,R2)-chemin

joignant le point ~V + iy au point a �9 II suFs donc de montrer que pour une

certaine valeur de ~ , ~{ est un LB1,B2-chemin joignant z at/ point ~y + iy .

D'apr&s le lemme 2.2.10., cela revient & v@ris que pour tout T E [O,1] :

R I < L_[~(~)] ~ ~+[~(~)] < R 2 .

Ona :

245

L~2[~(T)] = I IX+T(~y-x)I I2+I lyl l 2 :k LA/ l lx+,r(#y-x)!1211yl l2~x+'r(#y-x), / - >2

IIX+T(~y-X)II 2 = llXl12+ T211~y-Xll 2 + 2"r <X,~y-X>

= ttxll 2 + ~211yll~ + 1141 ~ - ~ < x , ~ > ] + ~ <~,~> - ~1 t4 t ~

= (1-~)~11xt1% ~ 2 1 1 y l l 2 - ~ ( ~ - 1 ) < x , ~ >

<x+~(~y-x),~> = <x,y> + "r <~y-x,~> .

Choisissons

avec

<xrY> . Alors t~l qu~ <~y x,y> = o ~oit ~ = IlYll 2

% ( 0 = L ~ ( ~ ) ] = t 2 M ( x , y ) ~ 2 t M ( x , y ) + ~ ltyll 2

llyt/2 Ilyll 2 +

M2 = llxl1211yl12 _ <~,y>2 t 1< ~ [o,1]

Remarquons que s est une s croissante de t E [0,1] et par consequent

2 s ~ s = L~(z) < R 2 pour t ou t t C [ 0 , 1 ] (Lemme 2 . 2 . 3 ) � 9

2 Reste & v@ris l'in~galit& F_(t) > Rl,t E [0,1] �9 Consid@rons la s

2 2 2 (6 6 [ 0 , 1 ] ) ~(~) = i2(x+io6r)_ - R 1 = ~21/y// - 2~M + l/xll 2 R 1 �9

L'hypoth~se

~(%) ~ 0

trin~me

U(z) ~B (R1 ,R2 ) imp l i que l'existence d ' u n 6 ~ E [ 0 , 1 ] t e l que

Lemme 2.2.10) et comme d'autre part ~(1) > 0 , on en d~duit que le

~2//yll 2 - 2~M + 11412 - ~1

a deux racines r@elles et que la plus grande des racines est < I .Donc,

= M 2 - l lyt12(tl. l l 2 - ~ ) = R~l/ytl 2 - < x , ~ 2 ~ o

et llyll 2

- - I avec la valeur minimale ~gale & <x'~>2 2 = est minimum pour t o M l}yl12 RI

2 Ce qui ach&ve la d'apr&s (7)). IIen r~sulte que sur [0,1~ , on a s (t) > R I .

d@monstration du lemme 2.2.11.

D'o~ :

La cellule d'harmonlcit@ de B(R1,R2) = {x ~ ~NIR I < llxll < R2} est le

domaine circulaire :

~(B~1,~2) = {~ e c~IR1 < L ( z ) ~ ~+(~) < ~2~ "

En particulier

La cellule d'harmonicit~ de E = [z E cNIIIzH>R~ est

OU

Z(E) = [z = x+iy 6 cNI]Ix}~ 2 + llyll2-211xllllylll Sin(x,y)]>R 2]

~(E) = {z ~ c~I[llzH 2 $11414 lls z2112]�89

2 . 2 . 1 2 . Remarque. La s de 2.2.1. et la propri@t~

6 (a) = 6 (a) (a) DI+D 2 D I + 8D2

de la s support d'un ouvert convexe de R N peuvent dans certains cas

nous s la cellule d'harmonicit~ de la somme d'un ouvert convexe et d'une

boule.

2.2.1 3. Remarque. Si ~I

~(~1 • ~2 ) # ~4(Wl) X #(W 2) @toi l@ d e R N on a

247

et ~2 sont deux domaines de ~N , en g@n@ral

(exemple:le tube 2.2.6.7 mais si �9 est un ouvert

Sn eZ~et, on v ~ r i ~ i e que si (~ ,o ) e # (~ ) X [0} aon~ si T(~) c ~ , aZors

T [ ( ~ , o ) ] c ~ x R .

w 2.3. BOULE DE LIE ET SA FRONTI~RE DE BERGMAN - SILOV. LE TUBE D'ELIE CARTAN.

2.3.1. Dans [113, Elie Caftan avait d~termin@ tousles domaines born@s homog@nes

sym~triques de C N . Un domaine D c C N est dit homog6ne si le groupe de l'auto-

morphisme Au(D) agit transitivement sur D (i.e. pour tout a,b 6 D , il

existe q 6 Au(D) tel que ~a = b ). Le domaine D est dit sym~trique par

2 Id) rapport au point a E D , s'il existe ~ E Au(D) involuti9 (i.e. ~ =

laissant le point a invariant. Le domaine D est dit sym~trique s'il l'est

en tous ses points (pour qu'un domaine homog&ne soit sym@trique, il sufs qu'il

le soit en un de ses points). Elie Cartan a montr& qu'il existe six types de domaines

born6s homog@nes sym~triques (irr&ductibles). A part les deux types particuliers

correspondant aux cas N = 16 , N = 27 , il reste 4 types dont les trois

premiers sont des domaines bien connus (& un hom&omorphisme analytique complexe

pr@s) : boules, polydisques, etc... Le quatri&me est un domaine de type nouveau :

c'est l'ensemble des points ~ = (~I,...,~N) 6 C N v@ris les deux in~galit@s

suivantes :

(8 )

2 2 R 2 IC l + " ' " + C~l <

2 2 2 2~2(~1 ... R4 ICI + "'" + ~NI - ~I + + CN ~N ) + > o

248

il est ais~ de voir [ 13] que l'ensemble des in~galit@s (8) ~quivaut A

l'unique in~galit~

(9) Ji 2 2 2< 2

on reconnaZt la cellule d'harmonicit~ de la boule B(O,R) C R N (2.2.2.). I

_ 2 2 L ' a p p l i c a t i o n ~ ~ L (~ ) : (11~tl 2 + j l lc l l 4 l q + . . . + c N I 2 ) ~ d ~ i m e u n e n o = e

sur C N appel~e la norme de Lie. Pour cette raison le domaine (9) i.e.

Z[B(O,R)] , est appel6 la boule de Lie( de centre 0

BL(O,R)) dens C N (disque de Lie si N = 1) .

Si nous identifions le vecteur ~ = (~I ..... ~N ) E C N

et de rayon R notre

avec la matrice colonne

= et ~i on.ore t~: (~I "'" ~N) ' ~= (~I "'" ~N) keN/

= t~ , la boule ur/t~ de Lie dens C N est d@finie par

* * 2 2 ~L(O,1) = {~ ~ cNI~ ~+~(~ ~) -it~.~I < I}

2.3.2. Dens [11] Elie Cartanmontre que la boule unit@ de Lie est analyti-

quement hom@omorphe au tube de C N :

2 2 (10) [z = x + iy E cNIyN > 1 + "'" + YN-1 ]

Nous appelons le domaine (10) le tube d'Elie Cartan.

I %

2.3.3. THEOREME.

La boule unit~ de Lier le tube d'Elie Cartan et la cellule d'harmo-

nieit~ de d~mi espece {x ~ RHI~ > O} = ~N sont identi~ue~ (~ ~n ho~omor-

phisme analytique complexe pros).

249

En es la transformation Cayley g@n~ralis@ de

r,J

cN(o ~ c~(z) z

2i z k

~k Z

2 (zN+i) ~N = i

Z

k = I,...,N-I

- 2i ~k Z k k = 1,...,N-1

W

ZN= -i + W

2 ( z N + i ) 2 = _ 4 W -1 Z = z~ 2 + ,,, + ZN_ I -

2 2 2 D(~I...~N ) N+I z-N w = ~ l + ' ' " +~N-~ + ( ~ N - i ) , - - 2 ~ ( - i ) D(~ 1 . . . ~ )

d@s un hom@omorphisme analytique complexe entre la boule unit@ de Lie et

le tube d'Elie Cartan (voir par exemple [22]). La cellule d'harmonicit~ de

demi-espace II N est d'apr@s 2.2.6. le domaine :

$2 2 ]~(I~N) = {z = x + iy E cNIxN > YI+O,O+YN_I ]

qui est hom@omorphe (analytique complexe) au tube d'Elie Cartan par l'hom@omor-

phi sine

: (z 1 . . . . . z N) ~ (z 1 . . . . . ZN_ 1, i z N)

D'o~ le th~or~ne 2.3.3.

250

C N D Boule unit@ de Lie

Pr

R ND boule B(0,1)

Transs de Cayley

inversion

Tube d'Elie Cartan c C N

:4 (~N) c c N

~N c R N

Pr : cN~RN z = x + iy~ x

f : cN ~ cN (z l . . . . . ZN ) ~ (z l . . . . . Z N - l ' i z N )

2.3.4. Le r6sultat 2.3.3. et le s qu'une inversion convenable transs le

demi espace ~N & B(0,1) nous sugg@rent une question et u_ne conjecture :

A. Quelles relations doivent exister entre deux domaines born@s de R N

pour que leurs cellules d'harmonicit@s dans C N soient analytie~uement hom@o-

morphes ?

B. Soient D Iet D 2 deux domaines de C N identis & R 2N .

Si D Iet D 2 # C N sont analytiquement hom@omorphes leur cellule

d'harmonicit~ sont analytiqu~nent hom@omorphes dans C 2N (?)

La conjecture B a une d@monstration dans C �9 On a en effet :

2.3.5. THEOREME [14]

Soient D 1 , D 2 # C deux domaines du plan complexe, s = u + iV un

hom@omorphisme analytique de D I -* D 2 . Alors ]~(DI) et g(D2) sont analyti-

quement hom@omorphes. L'application holomor~he ~ : ~(D I) -* C 2 d4flnie par :

251

7 = ~12~& f ( z l + i z 2 ) _ s (Zl + i z 2 ) ] J

r ~ a l i s e cet hom@omorphismeo

2.3.6. COROLLAIRE.

La cellule d'harmonicit~ de tout domaine D c C , simplement connexe,

~D a~.ant au moins deux points distincts.est analytiquement hom@omorphe au disque

unit~ de Lie de C �9

D@monstration de 2.3.5. D'apr@s 2.1.6. c) les s ~ , ~ sont bien

d@finies dams Z(D1) , y sont holomorphes,et T [ 7 ( z ) ] C f I T ( z ) ] s i

~ ~(D~) . Do=~, 7(~(D1)) c ~ ( D 2 ) .

Soit w = (w 1,w2) 6 ]~(D2) alors [w I + iw2, w I + iw2] c D 2 et il existe

~1 ' ~2 6 D 1 tels que w I + iw 2 = s ) ' Wl + iw2 = 9(~2) " Soient

~( = ~ ( ~ 1 - ~ 2 ) , ~ ( z1 ,~2) ~ c 2 T(~) D~ Zl = 2 ~1 + ~ 2 ) ' z2 = .. On a = [ ~ I ' ~ 2 ~ c ,

doric z E ~[(D1)

D I D 2

et w 7(~)c~(~(DI)) c est~dir~ ~(D2) cT(~(DI)) .Do~

~(~(DI)) = ~(D 2)

252

2-I et ~ est une application de ~(DI) sur Z(D2) �9 Si g = : D 2 -~ D I ,

on d@s ~ d'une mani@re analogue. Les applications ~ , ~ sont holo-

morphesevee 7o~=i%2,~oZ=i%1 . Ilenr@s~Iteque 7o~=i%(~i )

70 ~ = i%(D2 ) �9 Finelement (~)-I = ~ et ~ est un hom@omorphisme analy-

ti~ue de ~(D~) -- ~(D~) .

Le corollaire 2.3.6. r@sulte du s qua D est hom@omorphe au disque unit@.

v 2.3.7. Fronti@re de Bar,Than - Silov de la boule de Lie Z(R) = BL(O,R) .

La plus petite pattie s de B ~(R) telle qua route s

holomorphe dens Z(R) et continue sur Z(R) attaint son maximu3n en module

v (Fronti@re de Ber~an-Silov de ~(R)) est i'ens~ble

i~ RN

( ~ = {~ ~ c ~ l ~ + ~ ( C O C I t ~ I 2 = R2])

D@monstration :

Get @nonc@ qui figure d@jA dens [13] pent @tre 6tabli en utilisant

les r6sultats de [16] (th. 3.~. La d@monstration qui va suivre est directe

et n'utilise qua des consid@rations @16mentaires. II sus en efs de montrer :

a) Quel qua soit b 6 8 R il existe une s holomorphe dens

et continue sur ~(R) qui attaint son maximum en module dens Z(R) ,

au point unique b .

b) Si a 6 ~Z(R) \ ~R ' alors a n'appartient pas ~ la fronti@re

de B e r g m a n - S i l o v .

v v Sans restreindre de la g~n@ralit@ on supposera R = 1 ' ~ = ~I ' g = B(4) o

253

Pour &tablir a) remarquons que le groupe orthogonal SO(N) agit transitivement

RN s ~ l a sphere I/xll = 1 d e , et c o m m e u n p o i n t d e 8 e s t d e l a s i e i e ex(llxll=1) , le g r o u p e d e s matrices de la 9 o r m e ek @ E ~ , k 6 S0(N) agit

v ie transitivement sum 8 . Donc, tout point b E ~ est de la s : b = e k a

O q

avec a ~ = (1,0 ..... 0) 6 8 , k 6 S0(N) , @ 6 ~ �9 La s 9(~1 ..... ~N)=~I + I

prend sa valeur maximale en module au seul point a et la s O

C ~ F(eiSk-l~) (~ 6 ~) au seul point b ~

D6monstration de

LEMME 1.

b ) .

Soient U = {z E C]

1 -z l+z z - - ( ~ 2

}z] < I] et h : C -* C N d@s par

-- -- 0 ~ O) = ~ . Alors

En es * 1-z 1-z l+z (l+z~

= �89 + 1~12)

( l~z) 2 (l+z~ 2_ t~.~ = - -- + " 4 " - z

et

alors

l z ] < 1 i m p l i q u e C*C < 1 , It~~ = Iz 1 < 1 , com~e

C~ ~(~g)2 ' t . 2 + -~ C C] = 1

ee 1 z] < I , Dor ic

254

De re@me,

V ~n = h(~u) = {h(z) I I z l = l } = {c l~*c = 1 , I t c . C l = l ~ c

LEMME 2. u

Si a 6 ~#\~ il existe une matrice de la forme ie

telle que e ka 6 ~ �9

En efs posons

--%1

I I U = t .a . ~ un a lul<l et a i i

b' + ib" 6 ~ (b',b"ER N)

ie e t~kE SO(N) , e E I~

D'o~

2a'a= I+ l~l ~

b' = �89 ) = �88

S- 1 u+u-2

1 - ( u - u b"= ~l(~a-~a) = �88 ~!

( 1 1 )

4Ilb'll 2 = 1 + 2 ~ e ~ + 1~12

41tb"! l 2 = 1 - 2 . e ~ + I ~ I ~

 = �89 Im u

De re@me, si a = a' + ia" (a',a # 6 p N) on trouve :

lla'll 2 = ta,.a' = 1(ta+ta)(a+a ) = ~(u+u+lu I 2+I)

02)

255

< l a ' t l 2 = 1 + 2 ~ e u + 1 ,4 2

4 t l a " l l 2 = 1 - 2 P,,e u + l u l 2

<a i ~ atl> t i a 11 I = �9 =2Imu a

Finalement

( 1 3 )

lla'll : l!b'll

lla'll = llb"ll

<a',an> = <bl,bn> = �89 Im u : 1 im(ta.a)

En consid@rant dans (13), eiBa au lieu de a (pour un @ tel que

.ei@a soit r@el) on peut supposer que a',a n d'une part, bt,b n d'autre tie e a

part sont orthogonaux. II existe a]ors k E SO(N) telle que ka' b'

kan=b n .

Alors ei@k = a ~eiBka E ~ �9 D'ofi le lemme 2.

Pour achever la d~monstration de b) , supposons qu'il existe une

9onction non constante s , holomorphe dans ~ , continue sur ~ et qui

atteint son maximum en module au point a 6 $~\~ �9 Soient @,k tels que

T~= e i @k ~ = a 6 ~ (Lemme 2) consid@rons la s ~ F(~) 9(e-i@k-1~)

qui est holomorphe dans ~ et atteint son maximum en module au point

-i ek-1 e ~ = a c'est & dire au point ~ = ~o 6 O �9 La s compos~e F o h

est holomorphe dans U continue sur U et atteint son maximum en module au

point u ~ 6 U tel que h(Uo) = ~]o cela est en contradiction avec le principe

de maximum. D'ofi le th@or@me 2.3.6.

v

2.3.8. Remarque. La d~3nonstration ci-dessus montre que 8 R est aussi la

Fronti~re de Bergman-Silov de ~ (R) relative & la classe constitute par les

s F holomorphes dans ~(I~) continue sur B(R) avec FIR N harmo-

nique. En efs les Fonctions ~I + 1 et F(e-i@k-1~) s dans la

256

d~monstration ci-dessus sont de cette classe.

2.3.9.

i.e.

on &

d'o~

et G R

Remarque. On notera que si L(r est la norme de Lie dans cN(2.3.1)

= Z 2 12 L2(c) !Ir +#IIr ~j ) 2

(11c1!~-1~r ~ 4 z Ic j l~ lckl 2 j<:k

L2(r ~ 1/r + ~:: lr 2 j < k -

= [$ e eNIIIr i r162 < s ~ BL(0,R) j .<k

H R [~ c~i ~ l:ji<R? = C G R j=l

Dans le cas N = 2 , H R = G R , si N ~ 3 , H R C G R H R # G R

R

v 2.3.10. L'expression de la fronti@re de Bergman-Silov montre que si s est une

s anti@re dans C N , homog~ne d'ordre m (i.e. s = Js pour

tout ~ e ~ ] born~e en module par M sur la sphere r@elle Ix E ~Nlllxll=1 ] ,

alors on a :

1~(~)1 ~ [l/~l12-/l1412-1z~j2127~ M (~ ~ c N)

w 2.4. PROLONGEMENT ANALYTIOUE DES FONCTIONS HARMONIQUES D'ORDRE QUELCONQUE.

Soit s une s analytique r@elle dana un ouvert conmexe O 6 R N �9

D'apr~s 1.1.2. il existe un ouvert connexe ~ C C N , ~ A Iq N = O et une s

holomorphe ~ dana ~ dont la restriction ~ ~ est @gale & s . Le domaine

257

d6pend en 96n6ral de f , mais dans certains cas il peut @tre invariant par

rapport ~ une classe de fonctions analytiques r6elles dans Q . C'est le cas

notamment si on consid@re la classe constitu@e par les fonctions harmoniques

dans ~ .Dans ce chapitre on se propose d'@tudier si l'ouvert connexe ~ de R N

6tant donn6, il existe un ouvert connexe ~ de C N , ~ N R N = Q , tel que toute

fonction harmonique dans Q , soit la restriction ~ Q d'une fonction holomorphe

dans Q . Pr@cis6ment on veut savoir s'il existe un plus grand domaine de C N

poss6dant cette propri6t@. Si on se restreint uniquement aux domaines de C N ,

le probl6me ci-dessus n'a une r@ponse positive que darts des cas particuliers de

. (Par exemple, si ~ est une boule de RN) �9 Par contre comme cette 6tude

est li6e au prolongement analytique, pour obtenir un 6nonc6 g6n6ral, il s

consid6rer des domaines au dessus de C N (surface de Riemann non rami~i6e au

dessus de C N) . Nous rappelons bri6vement quelques notions concernant ces

domaines.

2 . 4 . 1 . Rappel

a) prolon[ement analytique

Un domaine au dessus de C N , ou surface de Riemann non ramifi@e au dessus de

C N est un couple (X,9) compos6 d'un espaee topologique s@par6 connexe T

et d'une application ~ de X dans un ouvert de C N qui est un hom6omorphisme

local (i.e. chaque point a E X a un voisinage V tel que ~IV est un hom~o- a a

morphisme de V sur ~Va) . a

Si X' est un sous -espace topologique de X , le couple (X',9) est appel6

un sous-domaine de (Z,9) �9 me domaine (X,9) au dessus de C N , est dit uni-

valent (Schlicht), si 9 est nn hom%omorphisme globale. Un domaine Q de C N

est identifi6 an domaine (O, id ) au dessus de C N , o~ idQ est l'injection

naturelle (identit@) de flu C N . Plus g@n6ralement soit Q un ouvert connexe

non vide de C N , s'il existe un domaine (X,~) au dessus de C N et un hom6o-

258

morphisme j de Q sur un ouvert de X tel que ~ o j = id , le domaine Q

sere identi~i@ au sous-domaine (jQ,~) de (X ~) .

o = (jo,~) c (x,~)

b) Fonction holomorphe sur un domaine (X,9) au dessus de C N �9

Une fonction continue f : X -- C est dire holomorphe au point x 6 X s'il

existe un voisinage V de x tel que ~IV est un hom@omorphisme de V x x

x , )-I qui est d@finie sur sur son image ~(Vx) et st, la Fonction f o (~IV

x ~(Vx) est holomorphe au point z = ~(x) . La Fonetion s est dite ho!omorphe

sur un sous domaine de (X,~) si ellle l'est en tout point de ce sous-domaine.

Si s est holomorphe dans un domaine ~ de C N , elle sere holomorphe dens le

domaine (Q, id ) au dessus de C N .

c) Application holomorphe. Soient (X,~),(X',~') deux domaines

au dessus de C N ~ X I une application continue h : X est dire holomorphe,

si pour tout ouvert V t c X' et g' holomorphe dens (V',~ t) la s

g = g' o h est holomorphe dens (h-1(V'),~). Si h est de plus un hom~omor-

phisme de X sur X ~ l'application r@ciproque h -I , est n~cessairement holo-

morphe et h est un isomorphisme analytique. Les deux domaines (X,~) et

(X',~') sont alors isomorphes (~) et peuvent @tre identifies. On remarquera

que l'application id x : X ~ X est holomorphe sur (X,~) .

d) Th6or~ne fondamental du Frolon@ement analytique.

Consid~rons un ouvert connexe Q de C N et une fonction holomorphe f dens ~ .

259

Le th6or6me fondamental du proiongement analytique exprime qu'il existe un

domaine ~s = (Xs au dessus de C Net une fonction holomorphe g sur (Xs

poss@dant les propri@t6s suivantes :

( i ) Le doma i ne O s ' i d e n t i F i e au sous-domaine ( jO,%) de (Xs

p a r u n hom@omorphisme j : ~ ~ jO ~ Xs .

(ii) On a g o j = s dans ~ .

(iii) pour tout [(X',~'),j',g'] poss@dant les propri@t@s (i) et (ii),

il existe une application holomorphe et une seule h : X t ~ Xs telle que les

diagrammes suivants soient commutatis :

X o h X s h . .~ Xs �9 Xs

o\/o f~ C N

(i)

La condition (ii) exprime que 9 se prolonge en une s holomorphe

g sur (Xs ; g est n@cessairement unique en vertu du principe du prolonge-

ment analytique darts ~ . La propri6t@ (iii) implique l'unicit@ de (Xs a

un isomorphisme analytique pros, c'est-A-dire si {(Xf,~),j] {(X1,~1),J1]

v@ris (i),(ii),(iii), ils sont n@cessairement isomorphes. En effet, il

existe h : X I -- Xs et k : Xf - X I holomorphes uniques, telles que

h o jl = j i} o h = i} I

k o j = j I }i o k = ~

L'application Z = h o k , X ~ X v@ris

~ o j = hok o j = h o jl = j

~ o ~= ~ oh ok= ~ I ok= ~

260

cela montre qua les diagrammes suivants sont commutatis :

hok hok XF .% Xs X s XF

,% X ~ 0 C N

mais l'application identit& id x : Xs -- Xf est aussi holomorphe sur (Xf,{)

etles de,ix derniers diagrammes restent commutatis si on substitut h o k par

id x . L'hypoth@se de l'unicit@ de (iii) implique h o k = idxs De m~me k o h =

id c'est & dire k = h -I et h est un isomorphisme analytique. D'o& X I

(X,{) ~ (XI,{1) .

e) La commutativit@ des diagrammes (I) montre en outre qua si gl est

un prolongement holomorphe de s sur (XI,{I) on a g o h = gl " Ainsi parmi

les domaines au dessus de C N v@ris (i),(ii) ~s est le plus grand (an sans

de (iii)) ; ~s est appel@ le domaine d'holemor~hie de s construit au dessus

de s �9

2 . 4 . 2 . Existence des domaines d'holomorphies au dessus de s �9

Appelons @l@ment analytique, un couple constitu@ par un point z ~ E C N

et une s~rie ~ an(Z-zo)n convergente dans un polydisque centr@ au point z O

Un @16ment analytique, est engendr~ par un antra, si la s~rie d~s le

premier @16ment, s'obtient, & partir de la s@rie du second @lAment, par le proc@d4

du prolongement analytique (dans C N) , le long d'une suite s de polydisques.

Si s est holomorphe dans un ouvert connexe ~ c C N , l'@IAment analytique de

s au point z ~ 6 Q est le couple (s Zo) o~ fZo est la s~rie de Taylor

de s au point z �9 O

261

Le domaine (Xf,~) au deasus de C N est alora d~fini comme suit :

Les points de Xs sont des ~l~ments analytiques. Un @l~ment analytique appartient

Xs si et seulement ai, il est engendr@ par un @l~nent (s 'Zo) de s ~ E n )- o

Deux points (s et (s de Xs aont donc dill@rents si et seulement si,

leur projection z,z t sur C N sont dis163 ou bien, ai z = z j , lea s@ries

s163 different par un terme au moins. Evidemment pour tout z O 6 Q on a

(s 'Zo) 6 Xs . La topologie de Xs eat d@Finie par la donn~e en chaque point o

m = (s E Xs

Notons

Une base V de m

points ((s

centr@ au point

d'un syst~ne fondamental de voisinage ~ de ce point. m

((fa)b,b) l'~l~nent analytique (s engendr~ par (fa, a ) �9

(i.e. un @l@mlent de ~m) est conatitu@ par l'ensemble des

iorsque on fait varier b dana un polydisque c(a,r) de C N ,

a , et dans lequel la s@rie s converge uniform@ment. a

S~ie de puissance

(fa)b=fb

f a

" c(~,b)

a b

cN

La topologie ainsi d@finie est s~par~e et Xs muni de cette topologie est connexe.

L'hom~omorphisme locale ~ : Xs ~ C N est d@finie par (fa, a) ~ a �9 La 9onction

holomorphe g sur (XF,~) qui prolonge f eat d@s par

g[(s = s

L'hom@omorphisme j : z ~ (fz,Z) de ~ ~ j~ c Xs permet l'identis de

avec son image j~ . Si z ~ 6 ~ on a

(g o j)(~o ) = g[(f ,Zo) 7 = ~z (~o) = f(Zo) o o

et g prolonge bien s .

262

2.4.3. Points accessibles. Soit f une s holomorphe dens um~ ouvert

connexe non vide Q c C N . Disons qu'u~ point z C C N est f-accessible si

quel que soit l'@l~nent analytique (fa, a) (a 6 Q) , il existe tun chemin dans

C N d'origine a et d'extr~nit~ z le long duquel cet @l~nent se prolonge analy-

tiquement de a & z . L'ensemble des points s est manifestement un

domaine d'holomorphie de C N qui contient Q .

Le th@or~ne de la monodromie affirme que si (s peut @tre prolong@

analytique~nent le long de tout chemin (d'origine a et d'extr~mit~ z ) d'un

domaine simplement connexe ~f , il existe une s holomorphe ~ dens ~f

dont la restriction & ~ est @gale & s .

Dens ce cas, les d~naines au dessus de C N , (Xs et (~f, id)

isomorphes. Les deux diagrammes (I) sont ici de la s ci-dessous :

sont

t ~ h:z ~ (s t = ~s h : z ~ (fz,z) Xf Xs163 Xs Xs

on notera que ~s

~f : (xf,~) ~ (Zf,i~) ~f

~s simplement connexe

est univalent.

2.4.4. THEOREME.

Soient

d'harmonicit@ de

unouvert connexe de

dams C N �9

R N,~n~ __et ~(n) lacenule

a - S_~i s est une s harmonique darts

phie ~9 au dessus de C N , contient un sous-domaine

, son domaine d'holomor-

(Xs tel ~e

2 6 3

~(xs = ~( : ) .

b - S i N = 2p ~ 4 , ou bien si O est @toil~ par rapport & un de see

points~ toute s harmonique dane O a un prolon@ement holomorphe sur

~(~) (i.e. (Xs = (~(~),i%(~)) . En particulier r o u t e s h a r m o n i q u e

dane un ouvert convexe ~ de ~ N , est la restriction & ~ d'une s holo-

morphe sur ~(0) �9

c - Dane tous lee cas T il existe un ouvert connexe ~ D O d__ee C N tel

que route s harmonique dane ~ a un prolon@ement holomorphe dane ~ �9

En particulier~ toute s harmonique dane la boule B(a,R) C R N , a un

prolon@ement holomorphe dane la boule B(a,~) de C N .

D@monstration. Nous proc~dons comme dane [19] .

Soient (Km)n~ 1 une suite d'exhaustive de compacts avec

o , D = D

m m ~' m = l

?D m continument dis163 par morceaux

et E(x) =

I I t 2 2~N-2

(2-N)wN(I) kxl +...+XN)-- ~-

1 2 2 LON(X I. + x2~. si N = 2

si Nm 3

le noyau de la th~orie du potentiel neutonien dane RN(~N(1) = l'aire de la N

sph@reunit@ dens ~N 2w~/Fk~)) = f �9 A partir de la repr@sentation :

s si x 6 D (14) Im(s [s %E(x-t), E(x-t)~]d~N(t) = m

t6?D ?next 0 si x ~ D m m

o~ s est harmonique dane ~ , on peut montrer que l'@l@nent analytique (s 'ao) o

(a ~ E ~) se prolonge analytiquement & tout point z ~ 6 ]~(Dm) le long de tout

264

chemin polygonal 7m dans Z(Dm) , d'origine a ~ et d'extrTmit@ z ~

a) En effet, on recouvre l'image de 7m par un nombre fini de domaines

6i, m simplement connexe dans Z(Dm) et sur chaque 5i. m de proche en proche

(~ partir de %) on precise les branches de E(z-t) ~E(Z-Q (z C C N) , ' ~nex t

holomorphes et born@es, quel que soit t C ~D m

Consid@rons alors la s Im(f,z ) de (14) o~ on a substituer A la variable

�9 La fonction I (f,z) est de la forme : r@elle x la varibale z ~ 6i, m m

j~I( l (z, t)d~l( t) + IK2(z,t)d!~2(t)

et repr@sente une fonction holomorphe dans 8i, m . Finalement Im(s ) permet

d'obtenir un @l@ment analytique (Fz 'Zo) prolongement analytique de (F a ,ao) o o

le long des 8i, m . Si maintenant z 6 Z(~) et ~,~(0) = ao,~(1 ) = z , est un

chemin polygonal dont l'image ~(I) comporte un hombre s de c$t@s (doric compact)

dans ~(~) , ona~ra ~(1) c~(Dm) pour m ~ m ~ (2.1.87 et on peut trO~er ~n

@l@ment analytique (fz, Z) prolongeant (s 'ao) le long de 7(I) . o

Ainsi tousles points de Z(~) sont s Le domaine d'holomorphie

~ f de f c o n s t r u i t au d e s s u s de C N (w 2 . 4 . e ) ) c o n t i e n t done u n s o u s - d o m a i n e

(x,~) avec ~xf = ~(~) .

^

b) Dans le cas N : 2p ~ 4 , si z ~ Z(Dm) , la s s )

est holomorphe, Zminm = fln m , m ~ I , et pour m ~ Z , L : ~ZIZ(Dm) " La

9onction s dont la restriction A chaque Z(Dm) est @gale A Zm est une s

holo~orphe darts ~(~) a~e~ ~I~ = 2 .

265

Si 0 e s t @toi l@ en un p o i n t ( r e s p . c o n v e x e ) , ~ (G ) e s t @toi l@ ( 2 . 1 . 6 )

au m@me point (resp. convexe) doom simplement connexe. II est ais@ de voir que

dans ce cas le th6or@me de la monodromie s'applique. D'o9 l'existence d'une

s holomorphe dans Z(Q) dont la restriction ~ ~ est @gale A ~ �9

c) En particulier si Q est la boule B(a,R) , il existe une s

holomorphe dans la boule de Lie ~[B(a,R)] : [{ e cNIL(r < R} (o~ L est

la norme de me (2.3.~.) d~ns C N) dolt l~ restriction ~ B(~,R) est S �9

Par cons6quent si Q est un domaine quelconque de R N (5~ ~ r le domaine :

o~ r = distance de a ~ 5Q , r@pond A notre exigence. a

Le dernier point r@sulte du s que la cellule d'harmonicit@ de la boule

contient la boule B(a,L) c 6 N o

72

~(a,~)

2,4.5. Remarque importante. P. Lelong d6montre dans [18] , qu'il existe une

s harmonique h dans ~ dont le domaine d'holomorphie ~h = (Xh'%) "

Dans le cas particulier d'une boule voir [26].

2.4.6. Remarque. Soit h une s harmonique dans la boule

et continue sur son adherence. Le noyau du poisson

r2-//• ( ll, all,=r) Pr ( x , a ) - ~N (1) r!lx-~/I N

B ( o , r ) de R N

qui e s t harmonique dans

d'harmonicit@ de

donn%e par :

B(o,r) a un prolon[ement holomorphe dans l a cellule

B ( o , r ) ( e t e n particulier dans la b o u l e B(O, ~ 2 ) de cN)

2 2 2 p r ( Z , a ) = 1 r - ( z 1 + . o . + ZN)

t ~2 - -2 N / ~ �9 N(1) rELzl-%; +...+(zN-~ N) ;

266

o~ la branche du d~nominateur a ~t~ choixi par la condition qu'elle coincide

avec llx-all N si z = x 6 ~N �9 La s

(15) ~(Z) = ~[llall=rPr(z,a) h(a) dWN(a )

est alors holomorphe dans la cellule d'harmonicit~ de B(o,r) , (eten particulier

darts la boule de s centr@e en 0 et de rayon T2 ) et qui coincide avec h

darts B(o,r) .

La representation (157 permet de majorer l~(z)l connaissant une majoration de

t~(x) I �9

2.4.7o Exemples d'applications

PROPOSITION [21] .

~(,) Soient h(x) une Fonction harmonigue dans la boule B(O,R) C~ N

son prolon@ement holomorphe dans la boule B(O,~2) d__~e C N .

Posons m(r) = Max lh(x) l (x 6 ~N) ll~ll=r

R M(r ' ) = Max 1~(z)l z E C N , r ' <T22 </--2 II zll =r '

et

alors on a

(16) N N

-- - I 0 _ 2 r , ~ ) - ~ re(r) , ( r ' ) ~ 3.2 2 r

En es consid@rons la repr@sentation (157 dans

% = r~ k ll~Ibr

~(r-r' cos~)2-r'2sin2~

S ( o , r ) C R N on a si

267

r avec IlXlt = llZl! COS ~0 = r ' COS <p , tlzll = r ' <~-~

D' o~ 2

r ~2 ' ' ']Z[zk-r~k )21~ T - r

et 3r , r R

1Pr(~,~)l ~ . ( 1 5 ( � 8 9 ( l~t~r ? ~ < y ~ 5

Do.~, V(z) I~ N-I

3r.2 2

It2 2r'25{ 1 Iih(a) l~N(a)

%0 ) 1141=r

N-1 N 3.2 2 M(r) ~ r

(r2_2r '2)N

Fi hal eme.t

N -1 - -~ 2 r,2 2 r R

M(r ' ) ~ 3.2 (1- 2 25 re(r) ( r ' < • < y ~ ) r

2.4. 8. COROLLAIRE [12]

S o i e n t h harmonique darts B(O,R) a R N e_~t

(175 h(x) = Z a x n "I xNnN) ~ n ( X = X l " ' "

la s@rie de Taylor de h au point 0 .

on a M N+l "I 2 2

(18) lanl ~ k(N) (~-~) (N+Inl) m~_~

pour tout n 6 ~ et r < R ; m(r 5 = Max Ih(x)l , II •

N

~(N) 3c2~2

r ! r t

B(o,r' 5 C B(o,~2) c C N . D'apr@s les in~galit~s de Cauchy appliqu~es & q~(z 5 et

268

en tenant compte de (16) on obtient :

N N

7 -1 2r~)- 7 m(r).r'-I nl l~nl ~ 3.2 (1- r

N

la fonction g(r') = (I - ) r' a un maximum dans r

p o i n t • 2

r ' = [ Inl ] r

2(N+I nl)

(~'~o,~-~)

]o, z~22[

D'o9 l'in~galit~ (18) . Le coefficient de m~ dans (18) est un

O(~lnl.lnl ~/2) ( In l '~ ) .

au

2.4.9o COROLLAIRE.

(i.e.

S_~i h est harmonique dans tout R N et de type ex?onentiel

D%~(o) b(x) l~eBll~l/) ~e~ coefficients de Tazlors ~n = n, v6riFient

N Inl a n = O((Z2eB) Inl Inl ~ ) (Inl-~)

En e f f e t , ins eBr~ - l n l = (eB)InIlnl-lnl

r>o

L'estimation 2.4. 9- peut @tre raffin6e; on a en efFet,

2.4. lo. LEto, S [ 2] .

alors

Si h est une fonction harmonique darts tout R N v6rifiant

k[lhl,o,r ] = O(e Br) B > o , r -~oo

Dh(o) Is ~-~ Inl) (19) an = n! = 0 ( n[ ~ B

IIen r~sulte :

269

2.4.1]. PROPOSITION.

Soit h tune s harmonique darts tout ~N de type exponentiel :

lh(x)I ~ A~ BII• . Alors pour tout ~ > o il ~t~ u~ ~o~t~t~ C(~) > o

telle que le prolon@ement holomorphe ~ de h darts C N v@rifie :

(S~) ( Iz l l+ . . -+ I~N1)

, z n (= E c N) Sn~ff~t , ~i h (~)= S a n x n on~ ~ ( z ) = S %

OA a n v~riFie (19). Donc, si B' = B+e et C est tune constante convenable,

or

3

l~(z)l< C 1 Z Z-'~ slnll=ln

3

o NG(bl J,lnl In1,1 1 n ~ Z [ g Inl

rr~o ln l=m B ( l n l ) ' n,

3 co N-~ B m B,m inl! z m (~) V (S n! Izl n)

m=o I nl =m

m N 2 (~T) m - ~ tan t born@, i l e x i s t e ~me cons tan te c2(r ) t e l l e que

I~(~)I~ %(~) m = 0

B tm )m ~7 (Iz11+'"+I~I :

s ' ( I Z l i * . . . * l ~NI) c2(~ ) e

2.4.12~ Cas des s harmoniques d'ordre ins

TiOga.

S_~i u est ttne Ponction harmonique d'ordre inPini dans un ouvert @toil6

270

Q (respo convexe) de ~N , il existe une s ~ holomorphe dans la

cellule d'hamonicit6 ~(Q) c C N dont la restriction ~ ~ est 6$ale & u .

D6monstration :

Soit H(x,t) (x,t) 6 ~ X R la s harmonique telle que

H(x,t)It= O = u(x) (1.2.4.). II existe d'apr&s 2.4.4. une s holomorphe

~(~C) ~ s ~(~• c c ~+I telle q~e

2(~c)lnx~ : H(xt)

D'ap r~s 2 . 2 . 1 3 , ~(OX~) D ~(O) X [0 ] . Done,

e t ~ ( z , o ) es t ho lomorphe de z E ~ ( 0 ) �9

En particulier :

2.4.13 , COROLLAIRE.

Toute s harmonique d'ordre infini dans la boule B(0,R) C ~N

est la restriction ~ B(0, R) d'une s holomorphe dans la boule de Lie

BL(O,R) = {z 6 cNIL(z) < R] (2.3.1).

271

CHAPITRE 3

APPLICATIONS

ARITHMETIOUES. w 3.1. FONCTIONS HARMONIQUES (D'ORDRE QUEIJ3OI',TQ~)

Les d@veloppements r~cents des s enti&res de type exponentiel et

arithm~tiques de plusieurs variables complexes, permettent d'obtenir des r~sultats

analogues pour les s harmoniques d'ordre quelconque et cela grace au proc~d~

de complexification de ces s Nous utilisons ici comme th@or~mes de bases

les 6nonces d~montr@s dans [5] �9

Une s enti~re s z 6 C N

d'ordre quelconque) est dire arithm@tique si

On a :

(resp. une s harmonique h

~ ( ~ ) ~ z (resp. h ( g ) ~ Z) .

3.1.1. (PROPOSITION 3.3.1. [5]).

Soit

s i

f une s enti~re dans s v~riFiant :

(1 ) l s I . . . . . ZN) 1 ~ M e ~ ( ~ l l h l + . . . + ~ N l Z N l )

0 ~ ~ j < Log 2 (1 ~ j { N) N = c t e > 0 , a l o r s s se d~ve lo2pe s e l o n

(2) ~ ( , ) = ~ ~ ( f ) . . .

d@veloppement uniForm&ment conver@ente sur tout compact de C N , o_~&

272

<,~i )= ~0(~J-1)'"(=J-vJ+1)

vj! (1 ~ j ~ N)

�9 11 -i~I~(B)

I~;j~N

Pour tout max Gj < ~ < Log 2 , il existe une constante M m 0 telle que j

I%(~)i ~ M~(~-I) l~],

3.1.2. La proposition (3.1.1 1 montre que si s est de plus arithm@tique, Av(F) I f

est un entier, dont la valeur absolue est < ! d%s que M (ed-1) Ivl < I , doric

(s = 0 & partir d'un certain v , et s 2 est un polynome ; si o

~(Iv N) = o a l o r s ~ = o .

3.1.3. (COROLLAIRE 3.2.9. [57)

Soit s enti&re aritbn6tique v6ris (I)

-< l og + i )I = 0,7588... a - Si ~J

est de la Eorme :

z I z N

( 3 ) e = z pkl ..... k (~1 . . . . . ~N ) el,k1 "'" CN, k N (somme finie)

avec C k E {I,2] pour tout j,kj et les Pk polynomes. O' j

273

b - Si ~j < Log2 , Cj,~= 1 pour tout j, --et s est ~ polynome.

On a alors l'analogue du th~or~me 3.1.1. avec les m@mes notations :

�9 %

3.1.4. THEOREME.

Soit h une s harmonique dans tout

(4) I h(~)1 ~ Ae Bllxll (~ c ~)

R N v@ris :

Si B < Log 2 , alors s se d@veloppe selon

C: 1) h(x)= ~ a (~ ) ..

,,eN ~ 1

o% la convergence est unis sur tout compact de R N �9

En particulier :

3.1.5. COROLLAIRE.

Soit h harmonique dans tout R N et v@ris (4) avec B < Log 2 .

S__!i h est arithm~ti~ue alors h est un polynome.

S_~i h est nulle sur le r@seau ~_N alors h = o (i.e. le r@seau ~.N

est un ensemble d'unicit~ pour la classe de s harmoniques dans R N

v@ris (4) avec B < Log 2) .

Le th~or~ne 3.1.4. est la cons@quence de 3.1.2. et de la proposition

2 . 4 . 1 1 .

3.1.6. Remarque.

On peut am~liorer darts 3.1.5. la constante Log 2 . En es163 :

274

3.1 "7" THEOREME.

Soi t h

v@ris

une s harmonique arithm6tique dans tout R N e_~t

Ih( .) l ~ AJI14/

S~i B < a O : ILog( 3 + i ~23)1 = 0 , 7 5 8 8 . . . a l o r s h es t u.n polynome .

D~nonstration.

Remarquer que a > Log 2 = O,693.... II existe une s enti@re o

~(z) v6ris

I~(~) I ~ A' ~B' ( Ih l+ . . .+ lz~ l )

avec B < B t < a ~ et dont la restriction & R N est ~gale &

L'@nonc@ 3.1.3. s'applique, h(z) est de la s :

h ( 2 . 4 . n . ) .

z I z N

~(z) = Zk P k l ' ' ' ' ' k N ( Z 1 . . . . . ZN) e l , k 1 . . . CN, kN (somme s

avec Cj,kj E {1 ,2 } pour tout j,k . D'o~

~1,klX1+'''+ ~N, kN xN

h(x ) = Z Pk(X) 2 ( ~ j , k . ~ { 0 , 1 } ) k J

= Z Pk(X) e "q~k'x> k % = (h, h . . . . . ~ , ,~) ,~,k~ [o,Log2})

or la derni@re somme est une exponentielle polynome ; celle-ci est harmonique

si et seulement si, c'est un polynome harmonique. En efFet

275

<Bk' x> [ ~ 2] Ah(x) = Z e &Pk(X) + 2 ~] ~ Pk(X) B j , k .+ Pk(~)11~kll

k J O

le crochet est tun polynome, et <Bk,X> - <B~,x> non constante, en remarquant

qu'une s analytique dans C N et nulle sur R N est identiquement nulle,

le th&or~ne de E. Borel [10] (qui est aussi valable dans C N [24 ]) montre

que Ah m 0 dans R N implique

+ IIB II o .

N@cessairement llSkll 2 = 0 , Bj,kj= 0 pour tout j,k et J

harmoni que.

h est un polynome

Soi t m ~ N . Posons

1~i~m]

3.1.8. c o ~ o L u u ~ 11].

Soit h une s harmoni~ue dans tout

lh (~ ) l ~ A~ Bllxll

R N v~ris

sl h(~)c~, B<Log 2 , ile~ste=polzno~e e(x I ..... ~)

tel que

h(x I . . . . . xm, 0 . . . . . O) = P(x I . . . . . Xm) (m ~< N)

dans

Si m < N la constante Log 2 est la meilleure possible.

En efs la complexiFi~e ~ de h v~rifie (2.4.11)

276

I~(z 1 ..... z.)l <- A'e B ' ( Iz l l+ ' ' '+ lz I ' j )

B < Bt<Log 2 , A' = cte, et la fonction (z I .... 'Zm) ~IZm+ I ..... z N = 0

est arithm@~ique on conclut par 3.1.2. Contrairement au cas m = N (3.1.~.),

x I +i x N l'exemple h(Xl,...,XN) = ~e 2 m = 1 , montre que la constante Log 2

de l'@nonc~ est la meilleure possible.

3.1.9. THEOREME.

Soit s 6 C=(R N) v~ris

I,',me(x)l-< A (~ ) ! Jllxl/ (x 6 R N , A = cte)

a) S i ~ > 2 , B < Log 2 e_!t s N) c Z , a l o r s s est un polz-n,ome.

b) Si == 2 , B<~og[�89 2 ( { ) __ -~ = 0 , 2 2 4 . . . et f c Z ,

alors f est un pol~ome.

D@nonstration.

a. La fonction

la s

s est harmonique d'ordre ins darts

H(.,t) = ~ ( - 1 p ~ t m

m=o

qui est har~onique darts RN+I(x,t) = RN(x) X RN(t)

si =1 t+1 : { ( x , t ) 6 R N + l l t : o , x 6 ~N]

(5 ) H(~IN+I ) = .s C Z

On a

(1.2.4).

R N . Consid~rons

277

D'autre part,

t 2m ( 6 ) IE(• ~ Ae Bllx/I ~ - AeBI lx l l (~ ( t 2)

m=o m GIll

Or la s enti&re dans le plan complexe :

nl { (~ ) = ~ z m=o m {~1

est d'ordre P = ~ et de type ~ = ~ en vertu des @galit@s bien connues e

reliant l'ordre et le type d'une s enti@re & ses coefficients de Taylor.

Donc, pour tout 6 > o , il existe une constante AI(6 ) tels que

I

en particulier 2

I ~ ( t S I ~ A 1 e (~ ~ + ~ ) l t l ; ( t ~ O)

2 > 2 , alors -- < 1 et il existe une constante A2(e) telle que Si

et d'apr@s (6) :

(7)

I~ ( t2) l ~ A 2 ~ l t l ( r e ~)

[2

Les conditions du corollaire 3.1.8. sont v@ris si 6 est choisi de mani~re

que B +~ < Lo~ 2 .Donc H(~,o) = f(x) est~poly~ne.

( )ltl b. Dan~ le~a~ ~ = 2 , l ~ ( t S I ~ A l e

e t 2

(1~+ e + r (8) l ~ (x , t ) l ~ A 4 e

278

2 les conditions Si e est choisi de mani~re que ~ + r < �89 ~ ,

d'application du th~or~ne 2 de [I] (i.e. si h harmonique dans R N v~ris

lh(x) l~Ae Bllxll, B < �89 et s C s ' ~m = [x 6 BN, xIEZ , 1~i~m , x I = o

m < i ~ ~ alors h(x I ..... Xm,O ..... O) est un polynome) sont v6ris et

H(x,o) = s est un polynome.

Un th@or~ne r&cent de D.H. Armitage [2] as163 que si une s harmonique

h dans tout ~N v~ris (9) k [ l h l , o , r ~ = O(e Gr) O g ~ < 1 , r ~ , et

Dgh(o) E ~ pour tout ~ E ~T , alors h est un polynome. Ce r@sultat

conduit &

3 . 1 . 1 0 . PROPOSITION.

Soit s 6 C~(R N) v~ris :

, x6 , A = cte , ~> o mC~ n

a. S_~i ~ > 2 , 0 < B < I , e_tt D~s E ~N , alors s est un

p olynome.

2 < 1 , et D%;s 6 I%[ pour tout ~) 6 ~N , alors b. S_! ~= 2 , B + e

s est tun polyncme.

En es la s H(x,t) v&riFie (9) darts les deux cas en

vertu des in~galit~s (7) et (8) .

Comme D~H(0, O) = D~s E l~ , H(x,t) est un polync~ne en x,t

par consequent f(x) = H(x,O) lest aussi.

et

279

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7, rue Ran4 Descartes, 67084 Strasbourg C4dex

I / * DEVELOPPEMENTS ASYMPTOTIQUES DES FONCTIONS OBTENUES PAR INTEGRATION SUR LES FIBRES

par D. B A R L E T

Le but de cet expos~ est de presenter quelques resultats

sur le probl~me suivant :

Soit X un espace analytique complexe reduit et irreductible

de dimension n+1 Soit f : X ~ ~ une fonction holo-

morphe sur X , non constante . Pour chaque s ~ f(X) = D ,

f-1(s) est une hypersurface de X , et nous noterons par

X s le cycle de X sous-jacent (voir [k,o] )

Pour ~ forme diYferentielle C ~0 ~ support f-propre

de type (n,n) sur X , la fonction F@ : O >

d~finie par

F~ (s) = /~ T A

S

est continue sur D (voir [~&] ) . Comme le montre

l'exemple qui va suivre , cette fonction continue n'est

pas , en g~n~ral , diff~rentiable ~

Exemple :

prend n = o , X = ~(t,z)~ ~2 / z 2 = t ~ , f : X r On

donn~e par f(t,z) = t et ~ (t,z) = z~ . On trouve

alors FT(t) = 2~tl

Probl&me :

D~crire les singularit~s possibles des fonctions continues

de la forme FT et les relier & la geom~trie de f

I Le th~or&me d'existence des d~veloppements asymptotiques

Commen~ons par donner l'~nonc~ du th@or~me fondamental :

Theor~me

Soit O :IsE~ / ~s~ 1 7 , et soit X un espace analytique

complexe r~duit et irreductible de dimension n+1 . Soit

f : X ~ D une application holomorphe surJective ,

et notons par X s le cycle f-S(s) Soit ~ un compact

de X I1 existe des rationnels r I ..... r k dans [o,2[

tels que pour toute forme diff~rentielle ~ C ~ de type (n,n)

sur X et & support dans K , la fonction F~ admette ,

quand s > o , un d~veloppement asymptotique de la forme :

n

r=r I ..... r k j=o (m ~IN 2 ' "

Conf@rence falte au Colloque de Wimereux en l'honneur du Professeur P.LELONG.

283

ob T r'j est un courant de type (1,1) sur X m,m w

Ce th4or~me est assez proche de son analogue r@el d4montr4

par Maire dans sa th~se ( voir [~] et ES~ ) . Sa d@mons-

tration (comme dans le cas r@el) utilise de mani~re essentielle

la resolution des singularit@s pour se ramene~ au ca~ oh X

un polydisque de gn+1 et o~ f[z) = zoO.., znn avec est

ao,...,a n entiers positifs non tous nuls .Dans ce cas nous

prouvons le th@or~me par des calculs el@mentaires d'int4grales (~).

Ces calculs sont assez explicites pour permettre de d@crire

compl~tement les fonctions de la forme F~ au voisinage de o

dans cette situation particuli~re , grace h la

Proposition I

Soit X un polydisque ouvert de centre o darts ~n+1 ,

et soit K un voisinage compact de o darts X . Soient

ao# o , al,...,a n des entiers positifs , et soit f : X~ r

donn4e par f(z) = z:~ z~ n

Si l'entier c>o est r4p4t4 exactement j-fois dans la suite

(1,ao,a I ..... a n ) , pour tout he[o,j-1~ (j~1) il existe

une forme C ~ de type (n,n) et ~ support darts K ~h,c

v4rifiant : F~h,c(S ) = Isl 2/c (Loglsl) h pour Isl assez petit.

compl4t4e par le lemme suivant :

Lemme I

Dans la situation du th4or~me , si f-1(o) nK r ~ , il

existe une forme ~ C~ de type (n,n) sur X st ~ support

dans K telle que F (s) ~ I pour s assez voisln de o .

En particulier , si ~ est une fonction C ~sur D , pour

f* = (~).~ on aura F~ ~ # au volsinage de o

Apr~s ce th@orbme de d4veloppement asymptotique, deux

questions viennent ~ l'esprit :

I) Donner une interpretation des rationnels intervenant

darts ce d@veloppement .

2) D~crire les courants T r'j m,m'

(~) voir D~veloppement asymptotique des fonctions obtenues par integration sur les fibres I'I preprint de l'Institut E. Cartan , Nancy, janvier 81 [g~3S

284

Pour ce qui est de la premiere question , il apparait

dans la demonstration du th4or~me I que ces rationnels

(ex~pt~ o ) sont de la forme 2/c oh c est la multi-

plicit@ d'une composante irr4ductible du diviseur ~ crol-

sements normaux obtenu apr&s d4singularisation de X et

de f-1(o) . La proposition suivante , qui ne fait que

reprendre dans ce cadre un calcul d4sormais classique ,

montre que les valeurs possibles de r , en supposant X .

lisse , sont de la forme -2~o-2q o~ qgIN , et

est racine du polyn6me de Berstein-Sato de f (voir ~J ).

Proposition 2

Soit X un ouvert connexe de r contenant o , et

soit f : X �9 > r une application holomorphe non

constante v~rlflant f(o) = o . Supposons que l'on alt

sur X un op~rateur diff~rentlel holomorphe dependant

polynomlalement de P(z,~ z ,~ ) ~ coefficients holo-

morphes , et un polyn6me bE ~ j b ~ o , v~rifiant :

p(Z,~z ,~ ).f~+1 = b(~).f % sur X

(ceci est en fait une identite en ~ sur le rev~tement

universel de X- Alor si o . il O' O

existe ~o racine de b telle que ~o + ro/2 e -IN (*) .

De plus la somme des ordres des racines de b v~rifiant

la relation (*) est au moins ~gale ~ (Jo+I)/2

Je ne resiste pas au plalsir d'esquisser cette d~monstration :

Comme les valeurs pr~cises de m ~ et m'o n'interviennent

pas dans la conclusion , nous pouvons supposer (mo~m ~)

minimal pour l'ordre lexicographique tel que Tro'J~ # o mo,m o

Soit ~ une forme dlff~rentielle C~176 type (n,n) et

support dans K telle que Tro'J@(~ ) = I mo,m o

Pour Re(~)> o soit C(,~) le courant de type (n,n)

sur X et d~pendant holomorphiquement de ~ , defini par

pour ~ forme diff@rentielle C ~176 de type (1,1) sur X .

Pour ~ fix~e la fonction holomorphe ~C(~),~> admet un

285

prolongement meromorphe ~ ~ tout entier :

en effet l'6quation P(z ~-- ~ ) f x+ l = b ( A ) . f ~

'% Z '

donne , en remplaQant k par ~ et en conjuguant :

~ , ~ ~ \ ) T ~+~ ~ ( X ) . 7 x k ,~-"Z , �9 =

_ ~ % ~ P-(-~'X p ~ a oh ~(z,~-~ , ) = ~- Ca, q~a si on a pos@

~ ( z , ~ , ~ ~ ) = ~ c ).~P ~a . - a,p(Z ~z a et ~[A) = b(~)

On aura donc, puisque P et ~ sont respectivement

holomorphe et antiholomorphe : f%+I ~+I 2A P.~ = b ( l ) ~ ( ~ ) ~fl

ce qui donne l'4galit@ :

I:d 2(>,+~ ) [-~.Q (- ,~,, s )]

si Q et Q sont les adjoints de P et

Ceci permet de prolonger analytiquement <C(A), ~ ~

l'ouvert Re(A)> -2 quitte ~ avoir des p61es aux z4ros

de b(k) ~(~) . En iterant ce proc4d4 (classique) on obtient

un prolongement meromorphe de C(~) ~ @ tout entier dont

les p61es eventuels sont contenus dans les translat@s par

des entiers n4gatifs des zeros de b(~) ~(~) contenus

dans la bande Re(h)< o (*)

Prenons maintenant ~ = fm~ ~m ~ dr^ dT ; on aura alors :

m ~ m = o o par

sn utilisant le d@veloppement asymptotique de F~ en s=o

.s~ m' Ir~Log sl)J ~sl N) ~- ~r,j W) is ( + O( m~m I F~(S) = m+m'+r$ N ~=o

avec ~ mo+m~+r ~ , et en multipliant les deux membres

de cette @galit@ par une fonction C ~~ h support compact

(*) en fait pour le choix de ~ que nous allons faire on ne peut avoir de slngularit@s que pour Re(A)~ -I

286

radiale et valant identiquement I au voisinage du support

de F~ (qui est compact) , on obtient :

n fCC <C(~) ,~> = +m~+r- ~ T r ' J , (~ ) ~I 2~+r+1 sm+m; ~m'+mo m ~ N j=o m,m

(Logls I )J r (S) ds/~d8 + GN(%) ,

o~ G N est analytique pour 2Re(~) +N+I>-I

Comme ~ est radiale , le calcul en coordonn4es polaires donne

l'existence d'un pSle en Ao = -ro/2 - m o - m'o -I d'ordre

4gal & Jo+1 tles rationnels intervenant dans le develop-

pement asymptotique etant dans ~,2[ , il ne peut y avoir

superposition de pSles correspondant & des valeurs diff4rentes

de r ) . Ceci ach~ve notre esquisse de demonstration .

II serait 4videmment tr&s int4ressant de savoir si chaque

z@ro du polynSme de Berstein-Sato de f contribue effecti-

vement au developpement asymptotique du theor~me I (cette

question contient le fait que les zeros du polynSme de

Bernstein-Sato de f sont des rationnels n4gatifs !)

Venons en ~ la question 2) en commensant par quelques remarques :

Si a et b sont des entiers , on a

fa Tb Tr,J = Tr, J m,m' m-a,m'-b

4galite entre courants sur X qui resulte imm4diatement

de l'Identit4 . Ffa ~b

On a d Tr'~ m~ i = 0 = d ~ implique F~ =

De plus , il est clair que

a-b = S S F~

pour tousles r,j,m,m' puisque

o d'apr~s la formule de Stokes

T o,o est le courant o,o [Xo] d'integration sur le cycle X O . On en d4duit que T~:~,

s'obtient en divisant le courant X ~ par fm ~m' et

en conservant la relation de fermeture (*)

Ces courants T ~176 sont donc de support IXol exactement m,m i et s'interpr~tent comme des derivees normales le long de ~Xol.

Plus generalement , si k est la multiplicite d'une comp 0-

sante, irr4ductible de X dans le cycle X ~ , les courants

T~'~, pour j=o et r.k6 2~ peuvent s'interpreter comme i

(*) L'existence d'une telle division avec conservation de la condition de fermeture ne semble pas 4vidente ~ priori .

287

des "d4riv4es normales multiformes" le long des composantes

irr~ductibles de X o ayant k comme multiplicit4 dans le

cycle X o (ou bien un multiple de k ! ) ; pour un peu plus

de precision sur ces termes voir ~5 ~] et [E %~

Le th4or~me qui suit pr4cise le support des autres courants ,

dans le cas oG ~Xo~ n'a pas de composante irr4ductible contenue

dans le lieu singulier de X

Th4or~me 2

On se place dans la situation du th4or~me I , et on pose

X ~ = ~ ki.C i oG CI,...,C I sont des sous-ensembles

analytiques irr4ductibles de X . On suppose qu'aucun C i

n'est contenu dans le lieu singulier de X , note S(X) .

Soit Y la reunion de ~Xol ~ S(X) et du lieu singulier

de I Xol . Alors on a

Supp T r'j ~ Y m,m'

d~s que r.ki~ZIN pour chaque i , ou d~s que j ~ o

Remarque :

Dans le cas oG (Xs)ss D est une famille (analytique)

un param~tre de cycles d'une vari4t4 analytique llsse Z

donn4e , les r4sultats pr4c4dents s'appliquent , mais on

doit prendre pour X le graphe de la famille (c'est

dire la r4union dans D~ Z des Is ~[Xsl ) . On peut alors

caract4riser en terme de d4formation infinlt4simale d'ordre

de la famille en s = o le fair que X o n'ait pas de com-

posante irr4ductible contenue dans S(X) , et pr4ciser

l'ensemble S(X)~IXol en terme de symbole de la d~formation

infinitesimale d'ordre I ( voir [~]w et[~.~)

288

Consid@rons , toujours dans la situation du th@or~me I ,

un compac t K de X fix@ . P o s o n s : %

%K = (F~ , pour ~CK~X) de type (n,n~

A l o r s ~ '~K e s t un module s u r ~ ( D ) p a r m u l t i p l i c a t i o n

des fonctions , puisque si ~d C~ on a :

~.F~ = F f . ( ~ ) . T

N o t o n s p a r ~o K l e s o u s - e n s e m b l e des F~ a d m e t t a n t un d@veloppement asymptotique nul en o , et par I~

l'id4al de C~D) form@ des fonctions plates en o (c'est

dire ayant une s6rie de Taylor nulle en s = o ) . Alors

on a I~ P g K C- ~ : : 'K

ce qui montre que le module des developpements asymptotiques

~K qui est, par d@finition, le quotient ~K / ~

est un C~D)/I~~ C[[s,-6]~- module

Avec ees notations , le th@or~me I admet le corollaire

imm@diat suivant :

Corollaire :

Le e [ [ s , ~ ] ~ - m o d u l e est de type fini

des d@veloppements asymptotiques

~K est un ~n effet , le th@or~me I nous assure que

sous-module du module libre de type fini :

r,j

Comme l'anneau ~[[s,~ est noeth@rien , le corollaire

s'en d4dui$ .

Pour "remonter" des d@veloppements asymptotiques aux

fonctions obtenues par int@gration sur les fibres , nous

utiliserons le r@sultat suivant quj r@sultera du lemme I

et de l'4tude de la derivabilit4 terme ~ terme des d4velop-

-pements asymptotiques qui sera faite plus loin :

Lemme 2 o

Darts la situation du th6or~me I , si ~ ~ f-1(o) # r ,

il existe ~ { ~K(X) de type In,n) telle que :

289

~C,o

~K C I ~~ F~o

sn effet , en choisissant ~o comme dans le lemme I ,

si F~ ~ , et si l'on sait que cette hypoth~se implique

que F~ est C ~ au voisinage de o on aura :

F T = Ff.(FT) ~ au voisinage de s = o

Mais il n'est pas @vident que F~ E L~ ~ implique que K

F~ soit C ~ au voisinage de s = o

Remarquons que le lemme 2 joint au corollaire pr4c@dent ,f~.w

donne la finitude des germes en o d'41@ments de ~K

comme module sur l'anneau des germes de fonctions C ~

en s = o

Comme application de la finitude du module des d@velop-

-pements asymptotiques , on obtient le r@sultat suivant :

Proposition 5

Dans la situation du th@or~me I , pour K compact fix@

de X , il existe un entier k tel que pour tout N~IN

et toute forme diff@rentielle ~& C~(X) de type (n,n)

et v@ri fis/qt T~I ~,(~) : O pour m+m'+r~ N+k

il existe des formes diff@rentielles T a,b et

duns C~K (X) de type (n,n) v@rifiant :

= ~_ fa Tb a+b% N ~ a,b +

avec F~ ~ o au voisinage de s = o

La d@monstration consiste ~ appliquer le lemme d'Artin-

Rees pour computer les deux filtrations naturelles de ~K

la filtration q~l-adique oh 4~d = (s,s) est l'id@al

maximal de ~C[s,~]] , et la filtration par les sous-modules

~K = [ F~g~K/ T~:~,(~) = o pour m+m'+r~V }

On "remonte" ensuite ~ ~ en utilisant le lemme 2 K

290

CommenQons l'@tude de la dSrivabilit@ terme ~ terme des

d@veloppements asymptotiques par une remarque ; il suffit

de traiter le cas oh X est non singulier , en utilisant

l'existence d'une d@singularisation . De plus , un argument

simple de partition de l'unit@ montre que le probl~me est

local sur la d@singularis@e . Nous supposerons doric dans

la suite que X est un polydisque ouvert de centre o

darts @n+1 .Comme les valeurs critiques d'une fonction

holomorphe f : X ~ g sont isol@es , on peut supposer

(quitte ~ localiser encore ) que df # o si o<(f[< E ;

ceci montre que, dans la situation du th@or~me I , pour k

compact donn@ , il existe g > o tel que les fonctions de

la forme F~ pour supp~ C K soient C ~ sur le disque

point@ o<is(< E

On a alors le r@sultat facile suivant :

Proposition 4 ~a+b

Darts la situation du th@or~me I si q sa~ F~ admet

quand s---~o un d@veloppement asymptotique de la forme

ar,J s m ~m' is {r(Log is I )J avec les restrictions m,m'

suivantes : r et j prennent un nombre fini de valeurs

dans ~o,2~ et IN respectivement , et (m,m')s ~2 avec

m~ -p et m'~ -p oh p est un entier donn@ , alors ce

d@veloppement asymptotique s'obtient en d@rivant terme

terme le d@veloppement asymptotique de F T donn@ par le

th@or&me I

La preuve est imm@diate en int@grant terme ~ terme le

d@veloppement asymptotique donn@ darts l'hypoth&se et en (*) utilisant l'unioite du d@veloppement asymptotique de F~

~ous en arrivons maintenant au r@sultat cl@ de la deri-

vation des dSveloppements asymptotiques donn@s par le

theor~me I :

(*) L'int@gration terme ~ terme ne pose gu~re de probl~me contrairement h la d@rivation terme h terme '

291

Th@or&me 3

Dans la situation du th@or&me I , il existe un entler l~/ I

tel que l'on ait :

S ~s K K

(et aussi -~l ~__ ~ g2 ~ puisque la situation est ~ K K

auto-con jugu@e ).

Donnons la d@monstration dans le cas (auquel on se ram~ne

comme ci-dessus) oG X est un ouvert de ~n+1 , o~ K

est un polydlsque compact de X , et oG df = o impllque

f = o . Soit ~ le falsceau coh@rent sur X quotient ~rln de L'~ n+Ix par le sous-faisceau ~ X ~df des formes holo-

morphes de degr@ n+1 qui s'@crive localement ~^ df

Comme on a k~_ n+1 X = A df d&s que df ~ o , on aura :

o I ol

D'apr~s le Nullstellensatz il existe l~IN tel que fl

annule ~ au voisinage de K Ceci signifle en partl-

culler qu'il existe une forme holomorphe de degr@ n

au voisinage de K v@rifiant fl dZo^ ...^dzn = ~^df (*)

oo

Pour ~ ~ CK(X) de type (n,n) , on peut @crire

d'~ = ~,~dz ~ .... ̂ dz n

avec T~ C~K(X) de type (o,n) ; on aura alors :

fl d'~ = ~ /~ df

avec ~ 6 C~K(X) de type (n,n)

Mais d'F~ au sens des distributions , qui coincide

~--F ds pour o<Isl<~ (pulsque F~ est C ~~ avec ~ s ~ "

sur ce disque point@ ), se calcule de la mani~re suivante :

puisque F~ = f.(~) (darts le sens que la fonction continue

F~ repr@sente la distribution image directe de ~ par f ),

on a : s I d,Fh ~ = f.( fl d'~ )

(*) on remarquera que l'existence d'une telle @crlture globale au voisinage de K utilise le th@or~me B de Caftan !

292

et donc pour tout ~ ~ Le~(D) de type (o,1) :

<s I d'F~ ,@> = ~x fld'@ ^ f*(~))

= Ix "X ̂ df ̂ f*(~)

= f~ F~.~ds ~ ~ p a r F u b i n i

On a donc l'@galit@ au sens des distributions :

sI~F~ = F~ d'oh le r@su!tat

Corollaire I

Le d@veloppement asymptotique donn@ par le th@or&me I

est ind@finiment d@rivable terme ~ terme en s et

Corollaire 2

Si F~ a un d@veloppement asymptotlque nul en o ,

alors F~ est C ~ au voislnage de s = o (et plate

en s = o !)

293

B I B L I O G R A P H I E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

[B.O]

[B.1]

[B.2]

[B.3]

[J ]

[M]

Espace ana ly t ique r ~ d u i t . . . Lecture Notes 482 p. 1-163

Convexit6 de l 'espace des cycles Bu l l . Soc. Math.

France 1978.

D~formation d 'o rd re 1 . . . Revue de l ' I n s t i t u t Eo Cartan

n ~ 1, 1981.

D6veloppement asymptotiques des f o n c t i o n s . . . I

P r~pr in t Nancy 1981,

B. JORK : Rings of d i f f e r e n t i a l operators - North Holland 1979

JEANQUARTIER : Note au CRAS (1973)

MAIRE : th~se Gen~ve 1974.

I. Introduction

Tne0perator (dde) n on Complex Spaces

w E r i c Bedfo rd

D e d i c a t e d t o P. Le long

Let X be a complex space, which we will assume to be reduced, para-

compact, and of pure dimension n; and let P(X) be the plurisubharmonic

(p.s.h.) functions on X. A reduced complex space is a Hausdorff space

that is locally given as a complex variety in an open subset of complex

Euclidean space, and a function on X is p.s.h, if it is locally the

restriction of a p.s.h, function in the ambient space. By a theorem of

Fornaess and Narasimhan [9] a function ~ is a p.s.h, if it is uppersemi-

continuous (u.s.e.) and if ~(f) is subharmonie on the unit disk A c

for all holomorphic mappings f: A > X.

Here we wish to study P(X) n L=(X,!oe) in the tradition of Lelong

[13,1hi: we consider nonnegative currents on the singular space X. Our

method is to work with the operator

(dde)n: P(X) n L'(X.loc) ~ ~,n(X)

where Mn,n(X) denotes the Radon measures on X. For ~ @ P(X) s L'(X,loc)

(ddC~) n is defined in the usual way on Reg(X) (see [4]), and it is given

the extension "by zero" to X, i.e. by definition

(I) I (ddC,)n = ; (ddC,) n

E E nReg(X)

For E c ~open c X we set

(2) C(E,~) = sup {I (ddcv)n: v G P(~), 0 < v < i}

E

t Sloan Fellgw.

295

(Note that the definition (i) spares us the problem of defining B and d c

on si~ (x).)

In this paper we show that the methods and ideas of [1,2,5] may be

extended to singular spaces. Our main attention is given to the Comparison

Theorem of [hi; we show that it holds in complex spaces and glve some

applications.

In the first application we discuss the equivalence of locally and

globally pluripolar sets. This is an old conjecture of Lelong and a deep

fact about p.s.h, functions. This equivalence was first shown for E n by

Josefson [12], and the extension to Stein manifolds and spaces (which is

in fact trivial, assuming the result in En) has been noted by several

authors (see [1,2,7,17]).

We recall that the original proof of Josefson [12] and its refinement

by E1 Mir [7 ] both involve a careful study of p.s.h, fkmctions of the form

c log If I. On more general spaces, where this result still holds, the

Hartogs functions (i.e. the family generated by upper and lower envelopes

of c log Ifl) do not span P(X). The equivalence result obtained below

(Theorem 5.3) works in a more general context: by an example of Grauert

[2~], Theorem 5,3 applies to certain complex maifolds which possess no

nonconstant holomorphic functions.

Section 6 gives a simple application of Josefson's Theorem to show that

the polynomial hulls of certain suhmanifolds of En are small,

296

Our second application of the Comparison Theorem is based on the fact

(Theorem h.h) that @ ~ PIX) n L=(X,Ioc) is a free upper envelope of p.s.h.

functions off of supp (dder n. With this we give a version of the classic

Evans' Law, which says that the discontinuities of a subharmonic function

lie in supp Ar (The analogous statement is false in the p.s.h, case since

there is no local regularity for (ddC)n: e.g. if ~ = $(Zl,...,Zn_ I) is

independent of Zn, then (ddC$) n = 0.) The p.s.h, version of Evans' Law

says roughly that if ~ ~ P(X) n L~(X,loc) is continuous on supp (ddC@) n and

o__n ~X, then ~ @ C(Reg (X)). We do not know what happens on Sing (X).

297

2. Smoothing: Example of Formaess

A frequent situation in trying to establish "the results of [1,2,4,5]

has been that the theorems are essentially trivial when the functions

involved are p.s.h, and class C 2. The difficulty is to consider a sequence

of smooth, p.s.h, functions decreasing to a given one, and then to pass to

the limit. In a Stein manifold, such global smoothings are possible. We

present here an example of J.E. Fornaess to show that global smoothings

are not always possible on domains in ~2

Let us consider the domain

n

where

n=l

n = o n ((z,w): Ill =l, lw ~I <e -e }

It follows that ~ is a connected open set containing the disks

D n ={Izl < 2, w = ~} which "converge" to the split disk n

D, = {Ill < 2, Ill #l,w=0} . o

If we set

2 -n i ~(w) : ~ ~o--yTl~ lw-~l ,

n=2

i then @(w) is subharmonic on ~ and 4(0) =-~ . Further, the 0

n

sufficiently small that the function defined by

are chosen

298

~(z.w) = ~_~ (~(w),-1)

k

is p.s,h, on ~.

We note that the behavior of #JDn|

for n = 1,2,3,.., and

for I z l < i

= is "discontinuous", i . e . ~ID n l - I

D for z i

o for i < Izl < 2

From this apparent violation of the maximtun principle we conclude that there

exists no sequence {$j} c p(~) n C(~) decreasing pointwise to @ . The

reason for this is that if ~ ~ P(2) n C(~), then the maximum principle holds

on $1D n , and thus taking the limit as n > ~, we have

(3) ~(0,0) ! sup ~(z,0). I~I = 312

Thus (3) also holds for any pointwise decreasing sequence in C(~) n P(~).

Let us note that if there is a bounded, continuous, strongly p.s.h.

function on a complex space ~, then by a theorem of Richberg [14], every

@ ~ C(~) n P(~) is the uniform limit of a sequence in C~(~) n P(~).

We note also that there are always semiglobal smoothings

(i.e. {~j} c C~(~ ') n P(fl') for ~' e = fl) on any open subset ~ of a Stein

manifold. The question seems to be open, however, whether there exist

semiglobal smoothings on more general complex spaces. Since a semiglobal

smoothing was used to obtain the Comparison Theorem of [4], we will need here

to use slightly different smoothings and slightly different arguments.

299

A form of smoothing that will be adequate for our purposes is as

follows. Let ~ ~ P(X) be given, and let {Uj} be an open covering of X

such that for each J there is an open set Uj c nj, Uj is a subvariety of

and there exists ~ with ~jlU j

partition of unity subordinate to {Uj}. Now by convolution with a usual

radial smoothing kernel T on nj, we have a smoothing @~ = TE*$j, which

is p.s.h, in a neighborhood of supp Xj for e > 0 small.

Finally, our smoothing is obtained as the sum

s (4) ~g = ~xj ~j .

It is easily seen that ~m decreases monotonically to @. In general, however,

~c ~ P(X), but @E is sufficiently close to being p.s.h, that we will be

able to discuss (ddC@~) n.

300

3. Inte6ration at the Singalar Set

By definition, Sing (X) has zero capacity.

outer capacity zero.

Now we show that it has

Lemma 3.1. If X is a complex space and if G c X ~s an open subset, then

c ((Sing X) n ~,~) = O.

w Proof: Since C (E,Q) is countably subadditive in E and monotone decreasing

in ~, it is sufficient to show that

C ((Sing X) n ~j,~j) = 0

for an open cover {~j} of ~. Let us choose ~j small enough that it may be

realized as a variety in A n x nj , where ~n = {(Zl ..... Zn ) ~ ~n: [Zll ..... IZnl < i}

is the unit polydisk. Further, we may assume that ~j is a l-sheeted branched

cover of A n . Let z: 9. == > A n denote projection. O

It is sufficient to find open sets 0k, Sing (X) c O k c A n, such that

(5) l~ C(~-l(0k),~j) = O.

Now for @ ~ P(~j), we consider

~(z) : ! _l(z) ,(p) P

for z ~ ~n\~(Sing X). Since ~ is bounded above, so is ~, and thus

~ P(An). Further, if 0 < ~ < i, then 0 < ~ < I.

For z 0 e A n\w(Sing X), there exists e > 0 and holomorphic functions

r : {IZ-Zo[< e}--> nj ,

301

! ~ ~ ~ l, which are local inverses of 7.

holomorphic mappings

S~nee dd c is invariant under

1 (ddC~)n Z I = (dd~ (z))) n

-!{I~_=oi<~} ~:l{ll-Zo1<~}

I (dd~ ~ ~(r )))n = I (ddC~)n {[Z-Zoi<~} ~:I {I~-~ol<~}

r )n _ f ] (dd% < (dace) n

~-l(0k) Ok

Thus it follows that

which yields C(w-l(0k),~j) ~ I n C(0k,An) for any open O k c A n. Now

~(Sing (X)) is a subvariety of A n , and so by [1,2] we may find open sets

Sing X c O k c A n with C(0k,A n) -- > 0, Thus (5) holds, which completes

the proof.

From Lemma 3,1 we conclude several things. First, the definition (i)

in fact defines (ddC$) n as a Radon measure on X. Second, all the local

analysis of [5] extends over Sing X. For instance, ~ ~ P(X) is quasi

continuous, and all the "obvious" algebraic identities hold.

Let us define Ak(x) to be the linear span of all of the k-forms on

Reg X which are representable by integration and which are obtained as

wedge products of

a) smooth forms 8 on X

b) duj, dCuj, or ddCuj ,

where uj ~ P(X) n L~(X,loc).

302

We say that a sequence {fj} of Borel functions on X converges

~uasi uniformly to f if the fj are uniformly bounded , f. - > f a.e, J

and for ~ > 0, there is an open 0 c X such that C(0,X) < E and f. > f J

uniformly on X\0 ,

Another consequence of [5] is that if {fj} converges quasi uniformly

to f, and if {nj} c A2n(x) is a sequence such that the forms e~ in a) d

converge uniformly and the p.s,h, functions uj in b) converge monotonically

a.e., then

fjnj ~> fq

where the convergence is in the weak sense of measures on X.

Let us recall the method of smoothing of Section 2, equation (~).

We note that

ddC@ E

and thus (ddC@E) k S A2k(x).

+ E c dd C E, d~jAd Xj + Xj @j)

By our remark above, we see that the smoothings

(dde~) k converge weakly to (ddC~) k as E > 0.

Len~na 3.2 (Stokes' Theorem). If n ~ A2n-l(x) has compact support, then

I dn = 0. X

Proof: We may assume that n is a wedge product of terms of the form a) and

b). As in Section 2, we may take a smoothing u~ of uj and denote the

corresponding smooth form by c. By the remarks on smoothing,

303

f f lim dn e = dn

e'+Ox X

Now the Lemma follows since

Idn E = 0 I

X

i.e. Stokes' Theorem holds for smooth foms on analytic spaces (see Bungart

[6] and Herrera [ii]).

304

4. Comparison Theorem

Lemma h.l Let X ~ Cl~) be a monotone decreasing function such that x(t) = i

for t < a and x(t) = 0 for t > b. Let h @ CI(x) and 0 ~ A2n-l(x) be

g~ven, and assume that either h-l(-~,b] c c X o r_r e has compact su~ort.

-I x'(t)dt J d8 =

(6) {h<t}

I x(h) dO = ]dx(h)ê

= J• dhÔ t

Proof : I f we show t h a t the f i r s t e q u a l i t y h o l d s , then the second fo l lows

by Lemma 3.2 and the third is immediate.

The first equality, however, is clear if h is a simple function, i.e.

N

h = [ cj IS. J=l O

where {SI,...,SN} is a Borel partition of X. For in this case we may

~rrite the measure de as

d0 = uj

where ~j is the restriction of d8 to Sj. Thus it suffices to show that

-I x'(t)dt I ~j = i x(h)~j �9

{h< t }

But this is seen because both sides may he computed directly to he

•

Then

305

Lemma h.2 Let u,v e P(X) n L=(X,loc and 8 ~ A2n-I(x) be given.

an~d {u-v < b} c c X, then

fb r (7) ]a dt ] d8 = d(u-v)A8

{u-v<t } { a<u-v<h }

Ifa<b

Proof: First we show that (6) holds with h = u-v.

by e' = se where p e Co(X). If we set h = u E - v 6, where uZ

smoothings as in (4) of Section 2, then by Lemma 4.I,

(8) -I x'(t)dt I dS' =-;]('(h) dh~8'

{h<t }

Letting first s ~ 0 and then 6 ~ 0, we see that the LHS of (8) holds with

h = u-v.

To see this, we replace 8

6 , v are

To evaluate the convergence of the right hand side we first use the fact

that u e ~u and v e ~ v quasi uniformly to conclude that

x'(h)dh^8' converges.

Now we may choose p ~ C~(X) such that {p = i} ~{u-v < b) osupp X'(u-v).

Thus (8) holds with 8' replaced again by 8. Finally, we may choose a

sequence Xj with 0 ~ X~ ~ -2 such that

it t (a,hl

jlim+ .x~(t) = I O if t ~ (a,b)

Both sides of (8) will then converge, as J > ~, to the equality (7).

306

Theorem 2.3 (Comparison). Let u,v g P(X) n L~(X,loc) be given such that

{u <_v} c c X. Then

(9) I (ddcu)n >_ i ( ddev)n.

{u<v} {u<v}

Proof: Let us set

(io) e = dC(u-v)n[(ddcu)n'l

+ (ddcu)n-2^ddCv+...+(ddcv)n-l].

Now by Lemma 4.2, for a 0

and thus the right hand integral above is > 0.

dense subset {tl,t2,...} c (-=,0), we have

t dB > 0 .

{u-v<tj}

If t~ ~ ~ O, then u{U-V < tj} = {u-v < 0}. Thus ~ [ de

{u-v<0}

de = (ddCu) n - (ddCv) n, we have the desired result.

Thus it follows that for a

O. Since

307

Theorem h.~ (Envelopes). Suppose that ~ c c X and that there exists

~ P(s n L~(s such that

i (ddCr n �9 0

for all open 0 c ~. Then for each @ ~ P(s n L~(~,loc),

(12)

Proof:

~(z) = sup {vtz): v ~ P(a),

v ~ ~ on supp (dde~) n

and lira sup (v(~)-~(~)) < 0) .

It suffices to show that each element v of the family above satisfies

v<~on~. J

In particular, it suffices to show that for E > 0,

We may assume that ~ < 0. If ~ # ~ , then we may choose 6 > 0 small enough

that

~' = { ~ + E < v+6r # ~ .

On the other hand, ~' c m c c ~ and so by the comparison theorem

t )n I -- i (ddC(r > (ddC(v+6r n > 6 n (dder n.

Since ~' o (supp ddC~) n) = ~, the left hand integral vanishes. But ~' is

essentially open (by quasicontinuity) and so the right hand integral is

strictly positive. By this contradiction, we see that ~ = ~.

308

Remark: We cannot simply drop the assumption of r in Theorem 4.4.

Otherwise, we can set X = ~ x M, where M is any compact Riemann surface.

If ~ = {Izl < l} x M, then a subharmonie function ~ G P(~) depends on z

alone and always satisfies (ddCo) 2 = O. But ~ is only given as the

envelope in (12) if A~ = 0, i.e. ~ is harmonic.

309

5. Globally Pluripolar Sets

As our first application of the Comparison Theorem, we will give a

generalization of Josefson's Theorem. As usual, we work with the extremal

functions

u(E,2,z) = sup {v(z)" v g P(2), v < 0, v < 01 on E} v < 0, v < -i on E)--

N

u(E,~,z)* = lim sup u(E,~,~). ~ ~ z

Since there will be a large overlap with the arguments of Theorem 1.5

of [I], we only sketch the details where they are different.

In this Section, we let ~ g P(X) be an exhaustion function, i.e.

{4 < c} c c X for all c ciR. We will also use the notation

n(c) : {9 < c} .

For any ll @~' we may choose

12 > sup {r z ~ n(~1)}

and thus n(~l ) = ~ n(~2 ).

Lemma 5.1. I_~f K c ~(ll) is compact, then

(13) I(ddCu(K,a(kl))*) n : C(K,~(k 1

K

)).

Proof: We let v g P(~(ll)), -i < v < O, be given. For 0 < e < i

the functions

V ! = I max {(l-~)v,c(r on n(l I)

c(~-l I) on ~(12)kQ(l I)

310

U' =

I max u(K,n(kl)) ,c(r I) on s )

c(~-k l) on s I)

are uppersemicontinuous on X and thus u',v' g P(X). Since

{U ~ < V t } C

that

~(~i) c r ~(~2) , we may apply the Comparison Theorem to deduce

i (ddeu,)n > ! (ddCv')n

{u'<v'} { '<v'}

Furthermore, by [1,2], F = {u' > -i} n K is a locally pluripolar set, and

I (ddCw) n = 0 F

thus

for w ~ P n Lloc~

u' = u(K,~(~l))

Taking c > 0 sufficiently large, we have

and v' = (l-E)v in a neighborhood of K. Thus we have

I (ddeu')n = I (ddCu(K'~(~l))*)n

{u' < v'} {u' <v'}

= J (ddCu(K'0(kl))*)n =

KkF

](ddCu(K,O(Xl))') n >__ ] (ddCv')n"

K {u' <v']

Now for any 6 > O, we may choose an open set 0 c s with

C(0,~(~i)) < 6 and such that u' and v' are continuous on s

0 u {u' < v'} ~ K and so

Thus

311

(ddCv , )n >-- I

{ ' <v' ) K

,I K

(ddev,) n _ (l-c) n C(0,~(II))

(ddCv) n _ 6(I-E) n.

Since 6 > 0 may be taken arbitrarily small, > holds in (13). Now w

the inequality ~ in (13) is obvious, so (13) holds. This completes the

proof,

Now if 0 c c ~(Ii) is an open set, and if K I

with uKj = 0 we have

lim u(Kj,~)* = u(0,~) = u(0,~)*

c K2c.,. are compacts

Thus it follows that

r

c(0,n) = ~ (ddCu(0,n)) n J

~0 Repeating the proof of Proposition 6,5 of [5], we have

* I(ddeu(E,n(ll))*)n c (E,~(~I)) =

for arbitrary E c c ~(Ii).

W

Lemma 5.2. I_~f E c c ~(Ii) , and if u(E,n(ll)) < O, then either

c (E,~(~I)) > O, or

(dde~) n = 0 for all

(~l) g P(~(12)) n L=(~(12)).

Proof: Without loss of generality we may assume that ~ - ~i ~ -i on E.

It follows, then, that

holds on ~(kl

and thus

312

o > u(E,~(~l)) Ar x 1

Sinc e @ is uppersemicontinuous, @ - h I ~ 0 on Z~(II) , .

~,, =

belongs to P(~(12)).

I max {u(E,~(kl)) ,r I) on ~(11)

r - ~l on ~(~2)~n(~l)

Let us suppose that there exists r e P(~(k2 )) n L~(O(12 )) such that

(ddCr n > 0 .

(~i)

Th~s for some s > O~

(i~) I (ddc~)n > O.

n~ll-e)

Now we may choose a > 0 such that

o > r : ar - s/2

holds for z e ~(12),

By simple inequalities

(15) n(~l-~) c {~, < r ~ ~(~i),

and by the choice of 12,

a(kl) c c a(X2),

Now we may apply the Comparison Theorem to obtain

> -E

313

I (ddC~')n A I (ddC$')n

{~'<~'} {~'<,'}

Since ~' = u(E,~(~I)) on ~(~I ), (14) and (15) yield

J (ddCu(E'n(~l))*)n~! (ddC$') > 0 .

{,' < ,'} (xl-e)

The Lemma now follows frc~n Lemma 5.1.

Theorem 5.3. Let X be a complex space, If there is a p.s.ho exhaustion

function on X, and if

(16) there exists ~ ~ P(X) n L|

with 0<~ (ddC$) n ! J X

then for ever~r locally plurIpolar subset E of X, there exists p ~ P~)

such that E c {p = -~} .

Proof: The proof follows the lines of Theorem 1.5 of [I]. That is, we

may assume that E = uEj, and that Ej is strictly pluripolar in a small

, = 0. Since we may choose ~j to be Stein, ~t domain mj i.e. u(Ej,mj)*

J follows C (Ej,mj) = 0.

Now by (16), we may choose 10 large enough that

f (ddC~) n > O.

(x o) Since C (Ej,~(~j)) = 0 for any ~(~j) = ~j, it follows by Lemma 5.2 that

u(Ej,n(~j))* = o

if ~j A Xo"

314

Thus we may take

p = ~ Pj

where pj = ~max {hj,~ - kj} on ~(kj)

- kj on X~(kj)

hj e P(s hj < u(Ej,s and hj is sufficiently small in LI(s

Remark i, We note that if the equivalence of locally- and globally-pluri-

polar sets holds on a space X, then it holds on any open subspace Y c X.

Thus the assumption of a p.s.h, exhaustion in Theorem 5.3 is not natural. .

It is only there because we do not yet understand C (E.~) when ~ is not

pseudoconvex.

Remark 2. The assumption (16) is in principle the same as assuming that the

elements of P(X) o L~(X,loc) are not functionally dependent. If (16) does not

hold, then

(17) dr = 0

holds for all r176162 g P(X) o L~(X,Ioc), Indeed, for r162 n we may

consider

r Cn $ = e + , . . + e

By Section 3,

Cn c c )n (ddC~) n = (er162162162 +...+e (dd Cn+dCnAd Cn )

Sn C n (er162162 dr Cn )

_ n: e r162 e > ndr d r ^ . . .^dCna dCCn.

Thus if (16) does not hold, then (17) holds.

315

6. Polar Manifolds and Polynomial Hulls

An interesting question that arises from Josefson's Theorem is to know

how far a given polar set is from being "complete". That is, if

E c ~n is polar, we may consider the new polar set

* ~n: E = {z ~ p(z) = - for all

P ~ p(~n) such that Pl = -~) " E

Although E may be characterized in other ways (see [10S), the relation

between E and E is not clear. A nontrivial example has been given by

Sadullaev [18], who showed that a smoothly bounded complex disk

E= {(z,w) ~2 w= f(z), Lz r < I}

can satisfy E = E.

If K is compact, then the polynomial K coincides with the hull with

, respect to p(~n). Thus K c K c K , Although local and global polynomial

convexity are not the same, the relationship with polar sets will give

a method which sometimes showed that global hulls are small.

Let M be a C 1 submanifold of ~n For p ~ M, we let H M denote the P

largest E-linear subspaee of T M c En. M is said to be CR if H M has P P

constant dimension, and M is generating at p if there is no g-linear

subspace L with

M c L E n. Tp ~

We remark that if a smooth manifold is generating at any point then

it is not pluripolar. We are interested in the converse.

316

Theorem 6.1. If M r E n i s a real anal~tic submanifold which is nowhere

~eneratin~ then M is pluripolar.

Proof: By Josefson's Theorem, it suffices to show that M is a union of

locally pluripolar subsets. First we may stratify M = M0u...uM k into a

union of semianalytic subsets with the property that Mj c ~j, where ~j

is a real analytic CR manifold which is nowhere generating.

Let us write M = ~j and work locally near 0 ~ M. We may rotate

coordinates so that ~m x {0} c zn is the smallest C-linear subspace of ~n

containing ToM. If ~(Zl,...,z n) = (Zl,...,Zm) , then ~IM: M >~M is a

CR diffeomorphism near zero. Thus

f = -l:z (M) ~ M

is also a CR mapping. By a theorem of Tomassini [21] f extends to a holo-

morphic mapping F(z) = (z I ..... zm,Fm+l(Z ) ..... Fn(Z)) in a neighborhood

U of w(M) in E m. It follows now that

M c {(Zl,...,Zn) ~ ~n:

~(z) e U, zj = Fj(~(z)) for m+l ~ J < n) .

Thus M is pluripolar, which completes the proof.

Corollar~ 6.2. I_~fM c ~n is a real analytic subset that is nowhere ~eneratin~,

then M is a polar subset of ~n In particular, M has no interior.

If M is allowed to be generating, then M may he locally polynomially

A n "ft. convex but M may contain an open set, e,g, (~A) =

317

7. Evans' Law

We have tried to present some parallels between the operator (ddC) n

and the Laplaclan A. Evans' Law, which says that the discontinuities of

a function ~ lle inside the support of A~, does not generalize exactly.

For instance, by an example at the end of Section 3 of [i], the function

u(K,~) is not necessarily continuous on ~kK.

Let us assume that X is a Stein space, and that ~ c c X is an open

subset. It follows, then, that there is a finite number of holomorphlc

vector fields ZI,... ,% on X such that for each p G ~ n Reg(X)

{Zl(p),...,Zm(p)} spans TpX. (See, for instance, Fischer [ 8 ]. ) We may

assume that the Zj all vanish on Sing X. Thus any integral curve of Re Zj

which starts in Beg (X) will remain in Reg (X). This gives us a mapping

p > T s zj(p) obtained by starting at p and following the integral curve

of Re Zj for time s, Isl <__ s(p). If ~ c c X, then for Isl <_ s(~)

T s : ~ > T s (~) c X Zj zj

is a biholomorphlc mapping.

Given a function on ~ c c X, we may define the modulus

m(f,Z,6) = sup {If(p)-f(T; P)I: P s ~, 0 <_ Isl < 6 < s(~) ,

s z= ;aj zj, [lajl 2_<1, and~z p~. We will say that m(f,Z,f) is a modulus of continuity if lim ~(f,Z,6) = O.

318

An alternative would be to take a Stein neighborhood ~'.

c c ~' c c X and imbed ~' properly into EN We could give ~ the imbedded

metric, and thus obtain another modulus of continuity ~(f,6). It follows,

then, that

~(f,z.~) <_ ~ ~(f,C~)

Conversely, if lim m(f,Z,6) = 0 then f is for some constant C �9 O.

continuous on Reg X, but we cannot conclude anything about the behavior

of f on Sing X.

Theorem 7.1. Let X be Stei____~n, ~ c c X, and f g C(~) be given. If

g P(~) n L| ~ ~ f, and ~(p) = f(p) for p s supp (ddC#) n and

for p in a neishborhood of ~D, then m(#,Z) ~ m(f,Z). In particular,

g C(Reg (~)). If~ in addition, f g Cl'~(~), for some 0 < a ~ l, then

g cl'~(Reg (~)).

Proof: By Theorem 4.h, ~ is given as an upper envelope, which may as well

be ~rritten

@(z) = sup {v(z): v g P(~), v I f}

12 by the hypotheses on f. For Z = ~ aj Zj, with ~laj s we consider

,s(p) = ,(T~p) .

Repeating now the proof of Theorem 6.2 of [4], making the appropriate

modifications, as in Theorem 3 of [3], we see that

l,(p)-,s(p) I s

This gives the desired continuity result.

319

For the other conclusions, we recall that if f ~ C l'e, then

Ifs-2f+f_sl ! C Isl l+a

(see Stein [20]). Now we repeat the proof of Theorem 3 of [3], applied

to ~s' instead of translates, to see that ~ g cl'a(Reg ~). This completes

the proof.

We point out that for n = l, a sharper result has been obtained by

Lewy [15]. For other results on the continuity of envelopes of p.s.h.

functions, see [19,22,23],

We will say that ~ ~ P(~) is continuous at 3~ if there is a continuous

function f ~ C(S~) such that

f(z) =

holds for z g ~ .

Theorem 7.2 (Evans' Law).

lim sup ~(~) ~ z

Let ~ = {r < 0}, where r g C2(~) and r is

strongly p.s.h. Let @ e P(~) n L~(~,loc) be continuous on the set

~ u supp (dace) n.

Then @ e C(~ n Reg X).

Proof: By the continuity of ~ at ~ u supp (ddC~) n and the uppersemicon-

tinuity of ~ on ~, there is a continuous function f g C(~) with f ~

and such that f = ~ on B~ u supp (dace) n.

Thus by Theorem 4,4 @ is given as the envelope of the p.s.h, functions

dominated by f. The proof now follows by repeating Lemma 1 of Walsh [22]~

with translates replaced by ~(T~p).

320

The method of looking at upper envelopes yields a procedure for

smoothing solutions of the Dirichlet problem,

Theorem 7.3. Let X be a Stein manifold~ and let ~ = {$ < O) c c X where

$ e C2(~) is strongl~ p.s.h. If g e C(~) and v e P(~) is the solution

to

(ddCv) n = 0 on

v = g on ~

then there exists a sequence {vj} of functions which are p.s.h., C l'l, and

satisf~ (ddCvj) n = 0 in a nei6hborhood of ~, and which converge uniformly

to v on ~.

Proof: We may approximate g uniformly by a smooth function and add C$ ,

so without loss of generality we may assume that g ~ C2(X) and is strongly

1 p.s.h, in a neighborhood of ~. Next we consider domains ~j = {$ < ~)

with boundary values gj = glB~j , and the corresponding Dirichlet

solutions ~j converge uniformly to v on ~.

Now we let

1 2 Gj = g + Cj (~ -~)

B__} 1 ~(z) < . be defined on the region Aj = {z: ~< 2J

large enough that Gj >__ I~I on {$ = ~). We define

We may choose Cj

321

3__} _ vj(z) = sup {w(z): w ~ P {r ~ 2J , w �9 Gj on Aj} .

Since the function which is equal to g on {r �9 ~) and Gj on

1 ~} L} {7 �9 ~ < 2J is p.s.h., we see that vj = Oj in a neighborhood of {r = 2J '

i i Clearly vj !vj on {r �9 7}, and so Gj > vj near {r = ~}. Thus we may

apply Theorem 7~ and conclude that vj @ CI'I, Also, (ddCvj) n = 0 in a

neighborhood of ~. Finally, it is clear that {vj} converges uniformly

to v on ~, which gives the desired approximation.

Similar arguments yield the following.

Corollary 7.~. Let R0 c c ~I c c X, R = ~i\~0, le_~_t X be a Stein manifold

and let ~0' RI be strongly pseudoconvex with smooth boundary. The solution

u ~ P(n) n c(~) of

(ddCu) n = 0 on

u = o on 8~c, a = 0,i

may be approximated unlforml~ on ~b~ C I'I solutions of (ddC) n = 0 in a

neighborhood of ~.

322

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Princeton University Princeton, New Jersey 0854~

STABILIT~ DU NOMBRE DE LELONG PAR RESTRICTION A UNE SOUS-VARIE~T~

Christer O. Kiselman

Etude d~di~e ~ Pierre Lelong ~ l'occasion de sa promotion au grade de docteur honoris causa le 5 juin 1981.

Rssumo. La nombro de Lelong estas mezurilo por maskoncentra~oj ~e kurentoj aperantaj en la kompleksa analitiko, do anka~ por plursubhar- monaj funkcioj, kaj pli~eneraligas tiel la klasikan koncepton de obleco. E1 ~iaj ecoj menciindas la stabileco je malplivastigo al rektaj linioj: se f estas plursubharmona, fIL kaj f havas la saman nombron de Lelong en la origino por ~iu kompleksa rekto L entenanta la nulpunkton escepte se L apartenas al malgranda (loke polusa) aro en la projektiva spaco. La celo de tiu ~i noto estas pli~eneraligo de tiu stabileco: L estas ansta- ta~igita per parametrigita analitika subaro X . La teoremo 4.1 montras ke por holomorfaj mapoj h , la nombro de Lelong de f o h kaj de f estas la sama krom por h en polusa aro. La analitika aro X do estas la bildo de h; tia parametrigo permesas senperan difinon kaj de la nombro de Lelong de fi X kaj de la esceptara karaktero.

1. Introduction

Le nombre de Lelong sert ~ mesurer la concentration de masse des

courants qui apparaissent en analyse complexe : c'est une g~n~ralisation

de la notion de multiplicitY. Le nombre de Lelong ~f(x) d'une fonction

i D ~ f ou la plurisousharmonique f est le nombre de Lelong du courant

i densit~ de la mesure ~-~ A f . II a des propri~t~s remarquables, dont une

propri~t~ de stabilit~ que voici : si f est plurisousharmonique dans un

ouvert ~ de ~n , la restriction fI L ale m~me nombre de Lelong que f

au point x E ~ pour toute droite complexe passant par x sauf quand L

appartient ~ une partie localement polaire dans l'espace projectif, voir

[7, proposition 15]. Gr$ce ~ ce r~sultat, Lelong a pu donner [7, proposition

14, b] une d~finition tr~s convenable du nombre de Lelong Wf(x) d'une

325

fonction plurisousharmonique f d~finie sur un espace E de dimension

infinie : on pose simplement

~f(x) = inf ~fiL(X) L

o~ L est une droite passant par x , et on sait que la borne inf~rieure

est atteinte sous certaines hypotheses sur E .

De fa~on analogue, si f est plurisousharmonique au voisinage de

O E cn et L est un sous-espace vectoriel de dimension m avec

i < m < n , alors ~flL(O) = ~f(O) sauf quand L appartient ~ un sous-

ensemble exceptionnel dans la grassmannienne Gm(r n) de tousles sous-

espaces de dimension m. Pour ce r~sultat, voir [3, th~or~me 4.1]. Or,

pourquoi exiger que L soit un sous-espace lin~aire de cn ? Eviden~nent

on doit chercher un ~nonc~ qui est invariant par applications biholomorphes :

on doit montrer que

~fix(O) = ~f(O)

pour tout sous-espace analytique X de cn contenant l'origine, sauf

quand X appartient ~ un petit ensemble exceptionnel. Voil~ le but de la

pr~sente note dont le r~sultat principal est le th~or~me 4.1. Pour donner

un sens ~!~mentaire N l'~quation ~fix(O) = ~f(O) on supposera que X est

param~tris~ par m param~tres complexes et alors il est in~n~diat de d~finir

~fi X aussi bien que le caract~re de l'ensemble exceptionnel~ Comme l'espace

de toutes les sous-vari~t~s analytiques est de dimension infinie, il faut

pr~alablement ~tudier les fonctions plurisousharmoniques sur de tels espaces ;

c'est ce que nous ferons au paragraphe 3. Dans le paragraphe 2 nous r~sume-

rons les d~finitions principales dont nous aurons besoin et nous verrons que

le nombre de Lelong peut ~tre d~fini ~ l'aide du maximum de la fonction sur

des boules.

326

2. Le nombre de Lelong

Soit ~ une mesure de Borel positive dans ~m et notons x +rB

la boule fermge dans ~m de centre x et de rayon r . La masse port~e

par cette boule sera notre ~(x+rB) et on pourrait appeler densit~

moyenne k-dimensionnelle le quotient

0k(x,r ) _ ~(x +rB) , xE~ m, r > O,

%k(rB N~ k )

oh %k est la mesure de Lebesgue dans ~k (on suppose que O < k < m

et que m > I) . Si la limite

0k(X) = lim 8k(x,r) , xEIR m, r~O

existe, elle adroit d'etre nomm~e la densit~ k-dimensionnelle de ~ en x.

Par exemple, si ~ provient d'une fonction convexe g ,

$2g ~2g

= Ag = 7-7 +...+ ~x I ~x 2 '

m

on obtient (en ne trichant que tr~s peu)

~g _ $~ rm-i D ( x + r B ) = SAg = S ~r ~r S 1 x+rB x+rS S m-I

oh ~(x,r) est la valeur moyenne de g sur la sphere x +rS de rayon r

et centre x , et

Im_l(rBN~m-l) = rm-I Sm_ll .

B

Donc

a~ 0m_l(x,r) = Cm ~r (x,r) , x61R m, r > O ,

et la densit~ (m-l)-dimensionnelle existe comme ~ est fonction convexe

croissante de r > O pour x fix~. (La dgriv~e ~/~r dolt Stre inter-

pr~t~e comme d@riv~e g droite.) Cette densit~ correspond au nombre de

327

Lelong, mais elle n'admet aucune stabilit~ par restriction.

Si ~ provient d'une fonction plurisousharmonique non identiquement

- ~ dans un voisinage de x E ~n o~ n = m/2 , plus pr~cisement si

1 = ~-~ Ag,

on aura

I _ ~g r2n-I ~(x+rB) - 2-~ ~--r f i

s2n-i

et

%2n_2(rBnCn-l) = r2n-2 ~ I .

B2n-2

Or, cette fois c'est u(x,y) = ~(x,e y) qui est fonction convexe croissante

de y et il vient, avec r = e y , dy/dr = i/r :

~u e2n_2(x,eY) = ~ (x,y)

et la densit~ ponctuelle est

~2n -i 1 2~ / 1

B2n-2

~u ~y (x,y) ,

~u u(x,y) ~g(X) = e2n_2(x) = lim O2n_2(x,eY) = lim ~y (x,y)= lim

Y y~-~o y~-=o y~-~

Le nombre de Lelong de g est par definition cette densit~ (2n-2)-

i dimensionnelle de D = ~-~ g. (Les astuces pour cachet le facteur 27

varient un peu dans la litt~rature, cf. [2, 6, 9].) Si g est -~ iden-

tiquement la m~me formule servira : on posera ~(x) = +~ .

Tout cela est bien classique [4, 5, 6] et nous n'avons ~voqu~ ces

definitions que pour la raison suivante : dans plusieurs calculs il est

plus pratique d'utiliser, au lieu de la valeur moyenne u(x,y) sur la

sphere x + e y S, le maximum de la fonction g . II apparalt alors que le

maximum peut servir aussi bien que la valeur moyenne pour d~finir le nombre

de Lelong, ~ savoir :

328

~cf. AVANISSIAN [ I0]). - Soit g plurisousharmonique

dans un ouvert ~ de ~n et posons pour (x,y) ~ ~ x IR tel s q u e

x + eYB C ~ :

u(x,y) = valeur moyenne de g sur x+eYS = f g/! S i ,

x+eYS x+eYS

et

v(x,y) = sup g. x+eYS

Alors

(x) = lim u(x,y)/y = lim v(x,y)/y , x s ~ . g y~ -~ y~ -~

D~monstration. - On a toujours u < v . D'autre part, pour montrer

une in~galit~ dans l'autre sens, on pourra supposer pour simplifier que

g ~ O dans ~ . Etant donn~es deux boules, l'une contenue dans l'autre :

x' + r'B c- x" +r"B c ~ ,

on a une in~galit~ dans le sens inverse

, r ''2n r ,2n S g < f g M g <_ M g

x"+r"B x ' +r ' B x"+r"B x ' +r ' B

o~ M d~signe "valeur moyenne". Cela donne

r ''2ng(x'') < r ''2n M g < r '2n M g < r '2n M

x"+r"B x'+r'B x'+r'S

et, en faisant varier x" dans la boule x +rB = x+eYB ,

r' 2n )e2n(y,-y" ) v(x,y) ~ u(x',y')(r-~) = u(x',y'

o~ y' = log r' , y" = log r". Ici les seules conditions sont que

Ix ~ -x[ + r + r' ~ r" et que la boule x +r"B soit eontenue dans ~ .

Si on choisit x' = x et r" = r+r' on obtient

r + _ • 2n 1 v(x,y) < u(x,y')( ) = u(x,y')

(i + eY-Y') 2n "

329

Donc, si y, y' < 0 ,

u(x,y) > v(x,y) > u(x,x') .y' . (l+ey-y')-2n "

y -- y -- y, Y

Ii convient maintenant de choisir par exemple y' = y + ~ de fa~on

que y-y' = - -v~y ~-~ et y'/y ~ I quand y ~-~ ~ Cela montre bien

la proposition.

J'ignore si v donne aussi le hombre de Lelong dans le cas d'un

espace de Banach.

3. Le principe de minimum et la transformation de Legendre

A la base de notre d~monstration se trouve le r~sultat sulvant.

Th~or~me 3.1 (Le principe de minimum). - Soient E un espace

vectoriel complexe et F un espace vectoriel r~el et notons Fr son

complexifi~. Soient ~ un ouvert pseudoconvexe dans E • Fr e t u

plurisousharmonique darts ~ et supposons que, si (x,y) E ~ et si y

et y' ont m~me partie r~elle, alors (x,y') E ~ et u(x,y) = u(x,y') .

Supposons aussi que ~x = {y E F~ ; (x,y) C ~} est connexe pour tout

x E E . Alors

v(x) = inf u(x,y) , x E w , y E

X

est plurisousharmonique dans w , l'ensemble des x C E tel s que ~x

soit non vide.

Pour la d~monstration de ce th~or~me, voir [I].

Si f : ~ [-=,+~] est une fonction num~rique d~finie sur l'axe

r~el on d~flnit sa transform~e de Legendre ~ : ~ [-~,+~] par

~(N) = sup (Yn-f(Y)) , N C~. yE~

330

On a toujours f < f et l'~galit~ a lieu si et seulement si f est

eonvexe, semicontinue inf~rieurement et admet la valeur -~ seulement

si elle est la constante -~ . Si f aces trois propri~t~s on a donc

f(y) = f(y) = sup (yq-~(n)), y E]R, EIR

formule qui repr~sente f comme l'enveloppe sup~rieure d'une famille de

fonctions affines, ~ savoir ses tangents. Si on sait seulement que f est

convexe ~ valeurs dans ]-~,+~] on a f = f dans l'int~rieur et dans

l'ext~rieur de l'intervalle I oO f est finie, mais pas forc~ment dans

$I . Nous renvoyons g Rockafellar [8] pour la th~orie des fonctions con-

vexes.

Soit maintenant f convexe et croissante sur JR, R valeurs dans

] -~,+~ ]. Ii existe donc un intervalle ]-~,a] ou ]-~,a[ o3 f est

finie, et on pourrait appeler nombre de Lelong de f la quantit~

~f = lim f'(t) = lim f(t)/t . t ~ -~ t ~-~o

II est facile d'exprimer cette pente ~ l'infini g l'aide de la transform~e

de Legendre :

Lemme 3.2. - Soit f : ~ ] -~,+=] convexe~ croissante et non iden-

tiquement +~. Alors ~f est l'extrgmit~ gauche de l'intervalle de fini-

tude de ~ ; en particulier ~(~) = +~ s i ~ < ~f . Si~ en plus, f cro~t

plus vite que toute fonction lin~aire, alors ~(~) < +~ pour tout q > ~f .

Soient maintenant E, F, ~ et u comme dans le th~orgme 3.1, mais

supposons pour simplifier que F =IR, d'o~ F~ = ~ . On peut d~finir la

transform~e de Legendre partielle u de u par

u(X,N) = sup (yq-u(x,y)) , (x,q) E E xlR. yEIR

331

Alors, comme u(x,.) est convexe, on a

u(x,y) = u(x,y) = sup (Re yN-u(x,N)), (x,y) 6

hEIR

et le principe de minimum nous garantit que dans cette representation de

u comme enveloppe de fonctions affines en y chaque terme est aussi une

fonction plurisousharmonique des variables (x,y) E ~. En particulier,

si u(x,y) est croissante en y, on a

(3.1) lim u(x,y) _ inf(N; -~(x,N) > -~ ) Y

et si u(x,y) = +~ pour y assez grand on a aussi

(3.2) lim u(x,y) Y

sup(n; -~(x,N) =-~ ) .

Le fait que x~-, -~(x,N) est plurisousharmonique nous fournira des ren-

seignements sur le nombre de Lelong dans le paragraphe suivant.

4. Le r~6~ltat principal

Th@or~me 4.1. - Soient ~ un ouvert de {m contenant l'origine,

m > 1 , et E l'espace de Fr6chet de toutes les applications holomorphes

h de ~ dans {n , n > 1 , telles que h(O) = 0 . $i f est plurisous-

harmonique au voisinage de l'origine de cn , alors ~f oh (0) = ~f(O)

pour toute h 6 E sauf si h appartient ~ un sous-ensemble polaire de E .

D6monstration. - On va mesurer la croissance de

et celle de

de fagon que

h6 E

p(h,y) = sup loglh(z) I , (h,y) C E x ]z I <_e Rey

f par

u(t) = sup f(z) t 611< <_e t ' , Izl

par

332

f(z) ~ u(logiz I) , z 6 cn ,

et

(4.1) f(h(z)) < u(p(h, log]z])) , (h,z) C E x ~m

(On convient de poser u(t) = +~ si f n'est pas d~finie dans toute la

boule [z] ~ e t et de fa;on analogue pour p(h,y).) Sans restreindre la

g~n~ralit~ nous pourrons supposer que w contient la boule unit~ ferm~e

de ~m , c'est-~-dire que p(h,O) < +~ pour toute h E E , et que f est

d~finie et n~gative dans la boule unite ferm~e de ~n , c'est-~-dire que

u(O) < 0 < +~ . Soient

~0 = {(h,y) E E • r ; Rey< O}

et

= {(h,y) C ~0 ; p(h,y) < O} .

L'hypoth~se d~jN faite que p(h,O) < +~ nous montre que p< +~ et par

consequent plurisousharmonique dans le domaine convexe ~0 " Donc ~ est

pseudoconvexe. Pour ~tudier le comportement de f oh nous d~finissons

v(h,y) = sup f(h(z)) = sup f(h(zeY)) si (h,y) E ~ , IzI ~e Re Y Izl ~I

v(h,y) = +co si (h,y) 6 E • ~ "-~,

Vu (4.1) il s'en suit que v < u o p dans ~ . Le fait que route h E E

s'annule ~ l'origine entraine que

(4.2) p(h,y) < y + p(h,O) , (h,y) E ~0' yClR.

Si y < 0 et t = p(h,y) < y + p(h,O) < O , en d'autre termes si

(h,y) E ~ et y E ~, on peut donc minorer v/y comme suit:

(4.3) v(h,y) > u(p(h,y)) = u(t) t> u(t) (l+P(h,O)) . y -- y t y-- t y

333

Gr$ce ~ la proposition 2.1 les nombres de Lelong de

donn~s, respectivement, par

et

f et f o h sont

~f(O) = lim u(t)/t

~)f oh(O) = lim v(h,y)/y . y-~ -oo

En faisant tendre y vers -oo dans (4.3) on obtient le r~sultat

attendu :

~f oh(O) >__ 9f(O) , h 6 E .

Comme v est plurisousharmonique dans le domaine pseudoconvexe

et comme

{y E ~ ; (h,y) E ~}

est un demi-plan, donc connexe, on peut appliquer le principe de minimum

(voir le th~or~me 3.1) et affirmer que h~ -~(h,N) est plurisousharmo-

nique dans E pour tout n E]R, o~

~(h,N) = sup (yN-v(h,y)) , (h,N) E E• yE~

est la transform~e de Legendre partielle de v. Doric

E(N) = {h E E ; -~(h,q) = -=o }

est soit polaire soit 6gal ~ E tout entier. D'autre part on sait que

Vf oh(O) > q ~ -~(h,q) =-~ ~ ~f oh (O) -- > n

(voir le lemme 3.2 et (3.1), (3.2); on note que v(h,y) = +~ si

D'o~, en posant ~ = ~f(O) ,

{h E E ;~f oh(O) # ~} = {h E E ;~f oh(O) > ~} = U E(~+I/j) . i

Par un r~sultat bien connu en dimension finie (cf. [7]), il existe une

y>O).

334

application lin~aire

-~(ho, ~ +i/j) >-~

tels que

h O E E telle que ~f oho(O) = Vf(O) . Donc

e t , p a r c o n s e q u e n t , i l e x i s t e d e s n o m b r e s ~. > 0

Ecj(-~(ho, c~ + i/j)) >-co

Nous allons poser

(4.4) w(h) = -E E.v(h,~ +i/j) . ]

Nous savons donc que w(h O) >-~ et nous allons assujettir les nombres

g. ~ encore une condition, N formuler, pour que w soit bien d@finie J

et plurisousharmonique.

En transformant l'in~galitg v < u op on obtient, vu (4.2), si

(h,y) E ~ et y s

-v(h,n) <__ u(p(h,y)) - yn <__ u(y +p(h,O)) -y• .

Ici on peut choisir, ~tant dorm, s h E E et DE ~, n'importe quel y < O

satisfaisant ~ p(h,y) < O. Prenons

y = -p(h,O) - ~ < O si p(h,O) > O

et

y = -6 si p(h,O) < O.

D'o~

(4.5) -~(h,n) < u(O) + n p(h,O) + (h,n) E E x~

et

w(h) = -Zc.v(h,~+i/j) < u(O) I~. +Ec.(~+i/j)p(h,O) + . 3 -- J J

On voit finalement qu'il suffit de supposer c. > O et Z E. < +~ pour J J

pouvoir conclure que w est bien d~finie par (4.4) et admet la majora-

tion

w(h) ~ A O + A I p(h,O) +

335

avec des constantes A 0 et A 1 . On note que h ~ exp p(h,O) est une

seminorme continue sur E et que w est donc localement bornge sup~-

rieurement ; la representation

q w(h) = lim E go(-~(h,~ +I/j) -u(O) - (~+ i/j)p(h,O) +)

q~+=o j=l j

oo

g~ + (~ +I/j)p(h,O) +) j=l j

nous donne w comme limite d'une suite dgcroissante de fonctions semi-

continues sup~rieurement, donc elle m~me semicontinue supgrieurement.

Cela dit, il est clair que

vu que w(h O) >-~ . Done

4.1 est d~montr~.

w est plnrisousharmonique et nous avons d~j~

U E(~ + I/j) est polaire dans E : le th~or~me i

Je ne sais pas si une rgunion dgnombrable d'ensembles polaires dans

un espace de Fr~chet est polaire. Dans le cas trait~ ici la conclusion

d~pend des majorations trgs particuli&res (4.5) pour les fonctions d~-

finissant les ensembles E(~ +I/j) o

Etant donn~eune partie P de E on peut se demander s'il existe f

plurisousharmonique au voisinage de l'origine telle que ~f h(O) > Vf(O) O

si h E P . Si m > n > 1 il est clair que l'ensemble des h E E telle

que ~f oh(O) > vf(O) est contenu dans l'ensemble alg~brique o~ le rang

de h'(O) est inf~rieur g n . Si 1 < m < n on note le r~sultat parti-

culier suivant. Soit E 0 = L(~m,~ n) le sous-espace de E form~ des appli-

cations lin~aires, et soit P une partie de E O telle que l'ensemble des

droites contenues dans l'image d'une h E P soit localement polaire dans

l'espace projectif de dimension n-i . Alors il existe f plurisousharmo-

nique dans ~n telle que ~f oh (O) = +~ > ~f(O) = 1 pour toute h E P ,

et par suite g telle que ~g oh(O) = b > Vg(O) = a , a et b > a ~ O

~tant donn~s. Cela est une consequence du th~or~me 4.4 de [3].

336

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Christer O. Kiselman Universit~ d'Uppsala D~partement de Math~matiques Thunbergsv~gen 3 S-752 38 Uppsala, Suede

CAPACITY, TCHEBYCHEFF CONSTANT, AND

TRANSFINITE HYPERDIAMETER ON

COb~LEX PROJECTIVE SPACE

By

Robert E. Molzon and Bernard Shiffman*

Introduction

In studying the growth of the hyperplane sections of an analytic

variety in cn , one uses the currents

~ log tz.wl

of integration over the hyperplanes dual to the points W of ~n-i

This expression suggests the kernel on F n-I :

log IzIIwl j z'wf

In a joint work with N. Sibony [6] , we used this kernel to define the

capacity C(E) (for compact subsets E~ pn-l) , which allowed us to

extend a result of L. Gruman [41 on average growth estimates for hyperplane

sections of affine analytic varieties, H. Alexander [2] then obtained the

inequalities

c oCE) ~ exp(-I/C(E)) ~ p(E)

* Research partially supported by a National Science Foundation grant.

338

for compact E ~ n-I , where o~E) is the generalized Tchebycheff

constant for E (see Definition I) and c is a positive constant

depending only on n , The capacity and Tchebycheff constant on ~n-I

reduce to the classical elliptic capacity and elliptic TJchebyeheff

constant [7, pp.90-92] respectively, when n = 2 .

In this work we define the transfinite hyloerdiameter TCE) and the

energy capacity C[E) Cfor compact E c~ n-l] , which reduce to the elliptic

transfinite diameter and elliptic capacity when n = 2 . Although the

classical identity

expC-I/CCE)) = pCE) = -c(E)

does not generalize to the case n > 2 , we are able to prove in this paper

the identity T(E) = exp[-I/C[E)) (Theorem 3) and the inequality

P(E) n-I < T(E) (Theorem 2) for general n . Thus CCE] < /n-I]CCE) .

The question whether there is an upper bound for 6C~9 in terms of CCE)

remains unsolved.

339

I. Notation and definitions,

We let Z = (Zl, .... Zn) denote a point in either

For Z = [z I .... ,z n) , W = [w I ..... Wn) , we let

Izl = C[z1[2 * , . . + Jznl2) �89 ,

~n or ~n-I

Z,W = ZlW 1 + .,. + ZnW n ,

For a k-vector X ~ hk~ n , we let IX I denote the inner-product norm of

X induced from the above Euclidean norm. For a compact subset E of ~n-I

we let ~E) denote the set of positive Borel measures ~ on E with

~(E) = 1 , and we call these measures probabilit Y measures.

We first recall the definition from [6] of capacity in pn-I :

DEFINITION I. For V e ~C~ n-l) the potential function u on ~n-I

is g~ven by

[1.1) u [Z~ = I log I ~ drOP)

for Z ~ F n-I . The capacity CCE] of a compact subset E of ~n-I

is defined by

C1.2) C[E)-I = inf sup u v(Z)

u~CE) ze~n-I

The capacity CCE) of Definition 1 is related by Alexander's inequality to

the Tchebycheff constant pIE) . [See Definition 2 and Theorem 1 below.)

We do not work directly with C[E) in this paper; instead we use another

capacity C[E) Csee Definition 4). Some conditions for the positlvity of

C(E) are given in [6, Theorem 2.1] and [2, Theorem 3.5],

340

For k a positive integer and E a compact set in pn-i �9 put

k Iz'A~l \l/k (l.~) rkC~) = {AI . . . . . ins Ak}~'n-i /sup ~Iz~E j=l T~FF~j ,)

Exactly as in the classical def in i t ion of the Tchebycheff constant (see

[7, pp.72-75]), one obtains the following resul t :

LE~dA i. If E c ~n-I is compact, then lira rk[E) exists and equals

inf r kCE) . k

Thus we can state the following definition:

DEFINITION 2. The Tchebycheff constant pIE) of a compact set E d pn-i

is given by

pCE) = lira rkCE) ,

(We could let E be an arbitrary subset of pn-i in Definition 2, but

then piE) = piE) ,)

This definition of the Tchebycheff constant was first given by

N, Sibony [unpublished). H, Alexander [2] recently obtained the following

result establishing the equivalence of pCE) and CCE) :

THEOREM I [Alexander]. Let E be a compact subset of F n-I , Then

[exp an) p~) < expC-I/CCE)) < p~E) ,

where a n is the average value of loglzll on the unit sphere in {n

[The Tchebycheff constant p CE) is denoted by ~-capCE) in [2] .)

For AI,...,A n ~ pn-i , we write

IA 1 ^ . . . ^ Ant (1.4) r 1 . . . . . A n) = IAll . . , [An[ e [0,11 .

341

For E [ I F n-I

(1 .S)

�9 we l e t dk(E ) denote the supremum o f the p roduc t

< k r . . . . . Ain ) l/(kn) I _< il < -.. < in _

over a l l { A I , . . . , ~ } ~ E , f o r k ~ n .

DEFINITION S. For a compact s e t E C ~n-1

h ~ p e r d i a m e t e r ~(E) of E by

, we define the transfinite

TCE) = lira dkCE] . k ~

Definition 5 (which coincides with the transfinite diameter in the

Riemann sphere if n = 2 ) is a special case of a general definition given

by F. Leja [5].

LEMMA 2 (Leja), For E C pn-I

~(E) <_ dk_l(E) , for k > n .

Proof (based on the proof in [5]}: Since dkCE ) = dk[E) , assume E is

compact. Choose AI, .... ~ E so that dk(E) equals the product [l.S).

Then

(1,6) dk(E)~) = E ,.. E r j#{i I ..... i n} r I ",Ain) je{i I ..... i n} .... Ain)

for 1 ~ j ~ k , The first product in (I,6) is ~ dk_l[E)[kn I) . By

multiplying the resulting inequalities for j = l,..,,k , we obtain

k-1 . (k. dk(E)(kn )k < d k _ l ( E ) ( n )Kdk(E) n )n ,

which yields Lemma 2.

342

In the classical potential theory of one complex variable, the

reciprocal of the capacity can be given as the infimum of an "energy"

integral. We now give a definition of an energy integral for measures on

~n-I and define a new capacity in terms of this integral. We shall

then show that this capacity is given by the transfinite hyperdiameter

CTheorem ~ .

Given a positive Borel measure

the energy integral ~[~) given by

C l . 7 )

Fnl on , we associate with

f log I ~C~) = J c~n-l)n ~ d~n

where n denotes the product measure V x ... x ~ .

DEFINITION 4. Suppose E is a compact subset of pn-I . We define the

energy patential ~[E) of E by

and the energy capacity

Note that if E

C CE) by

~:CE~ = l / ,d~ CE) .

t h e n i t i s e a s y t o s e e t h a t CCE) = 0 .

t h a t C(E) = 0 i f and o n l y i f

is contained in a countable union of projective hyperplanes,

We shall show in the next section

CE) = o .

343

2. Main Results�9

In this section, we explore the relationships between the Tchebycheff

constant, transfinite hyperdiameter, and the energy capacity. We begin with

linear algebra lemma.

LE~4A 3. For X I, ... , X n6 Cn �9 we have

�9 XnlnCn-2 ), . , , . , , n �9 Ix 1 ^ . . A Ixll IXnl< = 'lX n-1 " j l j n" i

(Here ^ means d e l e t i o n . )

Proof: Consider the n x n matrix

We may assume by homogeneity of the inequality that det A = 1 and hence

[X 1 A . . . A Xn[ = [ d e t A[ = 1 . C o n s i d e r t h e i s o m e t r y (Hodge * - o p e r a t o r )

�9 : A n - l ~ n -~ ~n

given by

* ( e I ]% . . . h e% ^ � 9 A en) = ( -1 ) j e j

w h e r e { e l , � 9 , e n} i s t h e s t a n d a r d b a s i s f o r ~n ,

inverse of A is then [Y'I" tA-I =

Yn

The t r a n s p o s e

344

where

(2.1)

Since

Yj = ( - 1 ) j * (X 1 A . . . A X.3 A , . . A X n) �9

t(tA-l)-I = A , we conclude that

( 2 . 2 ) Xj = ( - 1 ) j * (Y1 ~ " ' " A ~j A . . . A Yn )

Thus , by ( 2 . 2 ) ]xj] ~ n IYi[ and

[Xll . . . [Xnl ~ IY1 In-1 , . . ]yn In-1 []

I f E i s a compac t s u b s e t o f ~1 , t h e n p(E) = T(E) ( s e e [7 ,

Theorem I I I . 5 1 ] ) . Fo r E i n a h i g h e r d i m e n s i o n a l p r o j e c t i v e s p a c e , we h a v e

t h e f o l l o w i n g i n e q u a l i t y f o r t h e T c h e b y c h e f f c o n s t a n t and t r a n s f i n i t e

h y p e r d i a m e t e r :

THOEREM 2. For E a compac t s u b s e t o f F n - 1 , we h a v e

0(E) n - 1 < ~(E)

Proof: We write d k = ~(E) , r k = rk(E) . Fix k f n and choose

AI,...,Ak6 E such that

1 11 .,* (2.3) ~) log d k = ~ log ~ (Aal, " Aan )

where I' denotes sun~aation over distinct a i . Fix a I ; then

[' (Aal, Aa 2' , [' (2.4) log r ... A c ) = sup a2...a n n Z.tfE a2...an

l o g r (Z, Aa2,..., Aan)

where [' denotes summation over a2,..., a n

a2...a n

distinct from each other

and f rom a 1 . L e t

345

: * CA 2A �9 A A ] Ba2"''an ~n

(where * is as in the proof of Lemma 3), Then

C2.S) [Z �9 Ba2,.,C~n[

lo~0 (~, % . . . . . %~_- ~o~ ~ - ~ v ~ - ~ t

] Z " Ba2". . a [ lAa2 A , . , AAan[ = n + Iog [A 2 [ [A [ log IZlIBa...%I " ' " n

By definition,

(2.6) [Z " B .,, I

' a2 an k-I sup log IZlIB 2. l ~ Cn-1)!Cn-1)l~ rE~ " z~-~ ~2...~n "'an l~)

Hence by (2.4), (2.5), and (2,6),

~ ! �9 , * (2.~) log0 % - , ~a ) "- Cn-1)"~:bl~ r-~- b a 2 . . . a n n

]Ae2 A .., A A a I ! n

log I " " [A a I a 2 " ' ' a n ]Aa2 n

Summing (2.7) over 1 < a I < k and recalling C2,3)�9 we obtain

c28) Q~ log ~ ~ a I a2,-.= n

log ~ , A n ) >_ ~) log �9 ... r.k_l. CA(:* I a [n_l )

IAa2 /~ �9149 /~ Aa I

k-n+In ~ < ~ < log IA=21 ,., [A a i n

az """ an n

346

By Lemma 3

n [A= 1 ^ ^ ~ A , ^ A ~'" a. "" a

n(n-2) log r (Aal ..... A a ) < On-l) ~ log ~ n

n - ~=1 IAall ... ]~ . l . . - IA~ I j n

and t h e r e f o r e

(2.9) = ~ log ~ CAc~l, ~) log ~ el < . . . < an

( n - i ) ( k - n + l ) <- non-2)

a 2 < ,.. < a n

. . . . A ) n

IAa2 A . . . A Aanl

log iA 2 [ . . iAa l n

Combining inequalities C2,8) and (2,9), we obtain

( 2 . 1 0 ) n - 2 log log rc _l 1-) § log

I f d k > 0 , we c o n c l u d e from (2 .10) t h a t

(2.11) (n-l] log r~__ll) <_ log d k .

If ~ = 0 , then (2.11) is valid with E replaced by a larger sets E )

with ~(E') > O . Letting E' ~ E , we then conclude that r k-1. = 0 ,

verifying (2.11) for the case d k = 0 . The conclusion of the theorem then

follows by letting k ~ ~ in (2.11), []

We note in Section 3 that the exponent n - 1 in Theorem 2 is sharp

and that the reverse inequality does not hold, Theorem 2 tells us that if

T(E) = 0 , then p[E)= 0 ; the converse is unkown. Theorem 1 of H. Alexander

implies that p(E) = 0 if and only if C(E) = 0 . The following result

similarly implies that ~(E) vanishes if and only if C(E) vanishes,

347

THEOREM 3. For E a compact subset of ~n-I , we have

exp[ -1 /~ : (E) ) = x(E) .

Proof: We must show that ~6E) = - log x[E) , The inequality

(2o12) ~[E) > - log x6E)

is elementary and is verified as follows: Let p e~(E) and let

k > n be arbitrary, Then

~ log dk(E~ = s~p ( {XI, .... X k}~ E ~i < "'" < ~n

> I ~ log ~ (X i ..... X n ) d~kCxl ..... ~)

log ~ (xl . . . . . Xn} )

and t h u s

(~) > - log dk(E) .

Letting k § + ~ and then taking the infimum over

o b t a i n (2.12).

Thus we must show that ~(E) < - log T(E)

> 0 , we let

)~ 6O~(e} , we

For A ~ ~n-I and

(2.13) BCA,~) = {Z ~ ~n-1 : lZ Â]/(IZIIA[)~ ~}

denote the ~-ball about A . Let X denote the invariant probability

measure on ~n-I . (Thus X is given by ( -f/T 8 3 log [ZI) n-I .)

For k > I , let ~k ~ ~+ be determined by

348

(2.14) kCBCA,~k) ) = I/k ,

Then

2n-2 (2.15) k " ~k § I as k-~ + ~ ,

since XCBCA,~)) ~ ~2n-2 for C small.

Let D 5e an arbitrary open set containing

{K } is a sequence of compact sets decreasing to

K~+ I C K and E = ~K , then ~(K )/~CE) .

by choosing ~ ~ GOCK ) such that ~(K ) = ~[B 9) ; passing to a

subsequence so that ~ § ~0 e dSCE) ' it then follows that ~ CE) _ < ~0 ] =

lim ~.(~u) .) .Thus it suffices to show that

E . Note that if

H , that is

(This fact is verified

(~(D--'J < - log 'TCE} .

Let k > n be fixed. Assume k is sufficiently large so that

~k < dist(E,BD) . As in the proof of Theorem 2, choose A 1 .... , Ak C H

such that (2.3) is satisfied. Let Uj = BCAj,~ k] for j = I, ... , k ;

hence XCUj] = I/k and U U.C] D . Let

k C2.16) , : ( X x-u )x e e>C~-) ,

j= l j

w h e r e X S d e n o t e s t h e c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n o f S . Then

(2.1~) (~c,) = I I ~ l . , , ~ n a l ' " a n

w h e r e

_-_f (2:18) l~l'"~ U x ... • U

a I ot n

l o g r ~X n .

349

Let ~ = - log r > 0 . We claim that

(2.19) I v Cx I . . . . . x n) dxCX l) U.

J

<_ k -1 v (Aj, X 2 ..... X n) * oCk "I)

w h e r e o ( k -1 ) d e p e n d s o n l y on k and n . To p r o v e [ 2 . 1 9 ) , assume

W i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y t h a t A. = (1) 0 . . . . , 0) , and w r i t e J

X 1 = ( i , z2 , . . . , Zn) . For X 1 ~ Uj , we h a v e

(2.20) 1 l o g ]XI[ <_- ~ - l o g C1-6k2 ] < 0 ( ~ k 2 ) < oC1) .

Since

(X 1 . . . . . Xn) = l o g IXl[ + . , . + l o g IXn] - l o g IX 1 A , . , A X n l ,

(2,19) then follows from 62.20) and the plurisubharmonicity in

(z 2 . . . . . Z n) Of l o g ]X 1 A . . . A Xnl

By i t e r a t i n g ( 2 . 1 9 ) , one e a s i l y o b t a i n s t h e e s t i m a t e

t = . I V dl n < k-n[~CAal ..... A e ) + o(I)] ( 2 . 2 1 }

Ial'"an U x...xU - n i

al an

We n e e d one more estimate:

( 2 . 2 2 ) I = 0 ( k - n l o g k) ( d e p e n d i n g o n l y on k and n) . a l . . . a n

(We s h a l l u s e ( 2 . 2 2 ) when t h e a . a r e n o t a l l d i s t i n c t ; i n t h i s c a s e ) t h e J

Sight hafid side of (2,21) is § | ,) To prove (2.223, we consider

A~ 6 U (to be specified below) and let j a.

]

U! = B(A~ 26 k l D u j �9 a. 3

350

for j = I ..... n . We may assume k is so large that the U! are J

all in D . Then by the proof of C2.21),

< f Y d~ n C2.23) Ia l..à - n U.~ x ... x U'

i n

n

<_. [ ]I XCUj] I [~CA~ . . . . . Ar~) + oC1)] . j--1

S i n c e XCUj) = 0 (k -1 ) , t o c o m p l e t e t h e p r o o f o f C2 .22) , we must c h o o s e t h e

Aj such t h a t

(2.24) CAi . . . . . A~) =OC log k) ,

We may assume without loss of generality that

A = ( I , O, . . . , O) a I

and

A J

= (a~, a~ o, o) J

w i t h [Aaj l = I f o r 2 < j ~ n . Le t A{ = Aal and

A! = J

I if IA I >ok/3 A j i -

(a] . . . . ,a~ -1J , % / 5 , 0 , ... ,0) if la~lj <%/3

fo r 2 _< j < n . Hence 1 <_ tAj[ _< (1 + ~ / 9 ) �89 . Since

I A ^ A~l �9 3 < IA ^ Ajl 2

. < ~ k ' ]A I I A j l - j J

351

we have

and thus

A!~U j a. J

as desired. Purthermore

IA{ A - , . n A~I > [~k/3} n-1

[2.2s) ~(Ai . . . . . ~] <_ (n-I] log C1/8 k) + 00) ,

The estimate (2.24) then follows from (2,15) and C2.25].

We now complete the proof of the theorem, We write ~ to denote

summation over al, ,., , a n all distinct and g" to denote summation

,, , Then by (2,21) and C2,22), over the remaining al, . a n

~(~) = Z ' I + Z " I

~l..,~n al..,an

�9 k: <_ k-nZ'~CA 1 ..... A n ) + ~ ~ [k -n) + pn[k) 0 (k-nlog k)

where

Pn(k) = k n - k(k-l) ... (k-n+l) = 0(k n-l) .

By (2.3)

kl Z'~(Aal . . . . . Aan ) = ~ log (1/d k)

and thus (noting that k -n �9 k!/[k-n}! < I)

(2.26) ~(~) ~ - log dk[E) + oC!] ,

Letting k + in [2.26), we obtain

~[]3) < ~ ) < - log "r(E) , []

352

3. Remarks

We now show that the inequality in Theorem 2 cannot be replaced by

an equality. First, we observe that the exponent n - I in Theorem 2

is sharp since one easily checks that

P(B(A,t)~ ~ t , ~CBCA,t)) ~ t n-I

as t ~ 0 , where BCA,t) is given by C2.13) Cand A ~ ~n-i is

arbitrary). The following example shows that the reverse inequality is

false.

EXAMPLE. Let 0 < e < 1 be arbitrary, We shall give a compact subset

E of ~2 with

{3.1) pCE} < ~ ,

s ~{E) > c~

where c is a positive constant (independent of c ). Let

E o = {(l,a,b) G p2 : 1 < a < 2 , 0 < b < e 2} .

p2 ~2 We let o : + be the transposition given by

~(z I, z 2, z 3) = (z I, z 3, z 2)

We t h e n l e t

E = E 0 U ~CEo) ,

To verify C3.i) we let B 1 = CO, i) 0} , B 2 = CO, O, 1) , Then

353

o(E) < r 2 ( E ) < s u p ( { Z ' B I l I Z ' B 2 [ ) �89

- - ZEE ZI21B1 [ IB21 ~p ( lz2zsl ) '

( I ' z 2 " z s ) e E o l+lz212+jz3l 2 < c .

We now v e r i f y ( 3 . 2 ) :

unit i n t e r v a l [0,1]

Let m > 3 be fixed. Choose tl,..., t m

so that the product

in t h e

p== .n' I t i - t j l 1j

i s maximal, where ~ ' deno tes t h e p roduc t over d i s t i n c t i n d i c e s between

1 and m . R e c a l l t h a t

I/re(m-l) (3 .3) Pm § ~ > 0

where 6 i s t he t r a n s f i n i t e d i ame te r of [0,1] (see [ 7 ] ) .

Let

A i = (I, l+ti, ti2s2) , Am+ i = ~(A i) ,

for 1 < i < m . Then

(3.43

IA i~ Aj ^ Akl = E21t j- t i l l tk- t i l l tk- t j l ,

IA i ^ Aj ^ Am+kl = I ( l + t k + e 2 t j t i ) ( t j - t i ) + e 2 ( 1 - t k 2 c 2 ) ( t j 2 - t i 2 ) l

Itj-ti )

f o r 1 - 6-S/20rlZr26)l/2mC2m-1) f.2m-2}

Combining [3.5) with [3.6) and letting m + = , we obtain (3.2} with

c = ( ~ / 6 } 3 / 2 .

An open question is whether we have an inequality of the form

c 2 [s,7} ~) < czpCE]

for some positive constants Cl, c 2 depending only on n , If [5,7)

were true, then by Theorems I, 2, and 3, the vanishing of any one of the

quantities C[E) , C[E] , pCE) , T(E) would imply the vanishing of all

of them. In order to explore this question, one could attempt to compare

CCE) and C[E) using analytical methods, Along these lines, we define

the energ.y potential v of a positive Borel measure ~ on pn-i by

[3.8) v [Z) = {~n_l]n_l~[X 1 ..... Xn_ I, Z)d~n-l[x I ..... Xn_ I) ,

where we write T = - log ~ as before, We then have

[3.9) $[B] = [~n-I vBdv '

justifying the name '~otential", Continuing the analogy with the classical

case, we say that B 6 ~E) is an equilibrium measure for a compact

355

E C ~n-I if g C P ) = ~CE) ; i.e. [recalling Definition 4) if ~(p) is

minimal for B 6 ~0i) . In the classical case, if B is the equili-

brium measure for E C ~i , then v < ~[E) on all of ~I , with

equality holding almost everywhere on E [see [3] or [7, Ch. III]).

We do not know if this is true in ~n-I �9 However, following the method

of the classical proof, we obtain the following partial result:

PROPOSITION i. Suppose p is an equilibrium measure for a compact

set E c ~n-I . If ~[B) is finite, then v = ~[B)_ B-almost

everywhere on E ,

Proof: We first show that v > ~(~) u-almost everywhere. Suppose on -

the contrary that v < ~[~) on a set with positive p measure. Then P

there exists e > 0 and a compact set E 1 ~ E with u Cs > 0 and

O.109 v <z) ~CtCB) - 2~ , for Ze~l "

By [3.9), there exists a point A in the support of p such that

_ we have vp[A) > ~[~) , By the lower semicontinuity of vp ,

vp > ~f~) - E on a neighborhood N A of A . [Thus N A N E 1 = ~ .)

Since A 6 Supp p , u CN A) > 0 , Let K = p OqA)/V(E I) and let o be

t h e m e a s u r e o n E given by

( 3 . 1 1 ) o = KBIE 1 - !~[N A ,

Then ~[E) = 0 , We consider the measures

IJ t = U + t ~ g ( ~ C E ) f o r 0 < t < l ,

Then

[S, 12)

356

n

~Bt~ = fEn~d~ In = ~[BI + k=l

tk ~) fEnPd [9kx ~n-k) ,

Each integral in the above sum is convergent since ~0~) is assumed

Zin~teand [~[ ~ [r. l)v and thus, [k• n-k[ < [K+ 1)~ n, Thus

recalling [$,8),

0 , i 3 ) ~CgtI = LCBI + tnfEBd~ + 0[t 2) �9

Now

v d~ - f V dB < K[~I - 2e]VCR I) - [~6P)~ - e]vCN A]

= - e~[NA) < 0 ,

Hence by C3,13), ~Cut) < ~C/~] for t sufficiently small, contradicting

the assumption that ~ is an equilibrium measure.

F~nally, we show that v < ~[U] p-almost everywhere. If not, there

exists e > 0 and E 2 C_ E with B[E2) > 0 and v _

> ~[u~ u-almost everywhere, we have E 2 . Since we already know that ~ _

E 2 E-E 2

= ~0~) + ~[E 23 > ~OJ) ,

a contradiction. []

357

References

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University of Kentucky, Lexington, Kentucky

The Johns Hopkins University, Baltimore, Maryland

SEVERAL COMPLEX VARIABLES IN NATHE~,~TICAL PHYSICS

V.S.Vladimirov(Moscow, Steklov Institute of

Mathematics).

Last 20-25 years the theory of analytic functions of seve-

ral complex variables had many applications in Mathematical

physics, especially in quantum field theory. On the other hand

the quantum field theory found oneself as a source of many

nontrivial problems in the theory of analytic functions and

essentially influenced its development. This situation reminds

somewh~ one of 40-50 years ago when rapid development of the

hydro-aerodynamics and the theory of elasticity stimulated a

progress of the theory of analytic functions of one complex

variable .

In q~utum field theory (as in many other branches of Mathe-

matical phys ics ) the phys i ca l q u a n t i t i e s a r i s e as boundary values of

some classes of analytic functions holomorphic in some "primi-

tive" domains defined by axioms. The probleme is to construct

the envelop~ of holomorphy for "primitive" domains and the

corresponding integral representations which would evaluate

values of holomorphic function by means of its values on the

"essential" part of the boundary. By such a way it is possible

in principle to obtaine so-called (manydimensional) dispersion

relations between quantities observed in experiments. Realimation

of this programme in the frame of some system of axioms would

give firstly a possibility to verify experimentaly the consistency

of the system of axioms considered and secondly would lead to an

359

analytical approach wich would capable to predict results of

experiments.

In this talk I do not have a possibility to expose suffici-

ently completely th~s line of problems.l only expose here briefly

several main results from the theory of holomorphic functions of

several complex variables which serve as a mathematical tool in

many problems of mathematical physics. I keep in mind the follo-

wing four problems.

I. The "edge of the wedge" theorem by Bogoliubov;

2. The " C - convex hull" theorem (or the "double cone"

theorem) ; �9 gt

3. The "finite covarlance theorem;

4.Holomorphic functions with positive real part in tube

domains over proper cones.

We denote points of 6n=~[~ ~ ~y ~=~§163 (9) is the space of functions holomorphic in a

domain ~ with the topology of uniform convergence on each

compact subset of ~ ; ~/~) is the envelope of holomorphy of

a domain ~j C) C i are cones in~with the vertex at O ;

~ C = ~ g the tube over a cone g ; pro ~= 0/9~_~ ~-x

( ~-i is the unit spere); CI~C means that/5~IC~ C w

C~-~/~;~,J)~O, /~6 C/ ~S the conjugate cone for

the cone C . If int ~ ~ the cone g called proper one.

I. The "Edge o f the wedge"_ theorem by BogoliuboV_.

In 1956 N.N.Bogoliubov discovered and proved a remarkable

theorem called now as Bogoliubov's"edge of the wedge" theorem ~TJ �9

360

It was firstly reported by N.N.Bogoliubov at the International

conference at Seattle U.S.A. in September 1956. This theorem

gives a peculiar generalization of the principle of analytical

continuation of holomorphic functions.

The Bogoliubov "edge of the wedge" theorem is as follows

(the local variant). Let ~ be a connected open cone in~j~s

O and let be an open set i n . Let functions ~ /~J be

holomorphic in wedgeshaped domains

respectively and let their boundary values ~V~ (-%'/) at the common "edge" ~=~ •--O of the domains ~ exist (as

distributions from ~/F~J) and coincide in ~. Then there

is exist a single function/(~J holomorphic in a domain~,C/~?- c/~

where ~ is some (complex) neighborhood of ~ , and//~j is equal

to ~ (~ in ~ respectively.

For case ~=~ this theorem is classical one and it follows

immediately from the Cauchy formula (the distributional boun-

dary values can be overcome without difficulty). For /~>~ it

seemed at first that such theorem can not be true at all becau-

se the domains ~ and ~_ are in contact only along the ~- di-

mensional set ~ in the ~A-dimentional space . But the

wedgeshaped structure of the domains ~, and ~_ contacting

along the "edge" ~ is here the decisive argument.

Now there are about ten proofs of the "edge of the wedge"

theorem and its varions generalizations and sharpenings; there

361

are surveys and books devoted to this problem (see El - 15] ,

f39- 43] ,~65- 677 ,L73- 767 ). Most important generalizations

were established for any number of cones (for holomorphic cecy-

cles) and for more general boundary values (up to hyperfunctions)

see: Martineau L8,9J , Beurling ~IJ , Morimoto ~10J ,Bros and

Lagolnitzer ~4J , Epstein ~51) Zarinov ~65-67J, ~76] Pinehuk

~73J, Henkin p53 We formulate here one of such generalizations of the Bogo-

liubov's theorem according to Martineau fS] . Let functions

i~j~ ~=~j,,)~/ , be holomorphic in domains

respectively where ~.j ~= ~j,... q 'kr , are mulually d sjoint

(connected open) cones in~ ~ . Let furthe~ their boundary values

# V f ~ o C ~ exist in~i#~) and satisfy the relation

Then there e x i s t f u n c t i o n s

phic in domains

respectively wich satisfy relations

l~d.;/v" iv

# 1 I p o s s e s= d",,-_- f r om FI~) and

" "d

, y+=s/c.,<,r jy l<R7

362

v

Recently Zarinov ~653 etablished rather general analogy

o f t h e B o g o l i u b o v ' s " e d g e o f t h e wedge" t h e o r e m : t h e f o l l o w i n g

sequence of vector spaces

is e~ct .Here ~/~ ~ ] / ~ j ) ~ = ~ .... , / consists of

all skew- symmetric elements of direct product of spaces

1<k~... 3 ~p<-/V

fO,<.O= <2fm; o c " J hyperfunotions in ~ which singular spectrum L'68J

the operator o p is defined by the formula P

is the space of

is contained

Similar theorem is valid for distributions ~-7~ 7 as well

for Fourier -hyperfunctions and for Fourier -ultrahyperfuncti- V

ons (see Zarinov [66 - 6~ ).

The e=aotness in term ~ { ~ j " f ~ / ~ ) iS the contents of the

"edge of the wedge" theorem for hyperfunctions Z-lOl (similarly -

- for distributions fS] ).

Remark. The problem of the existence of boundary values of

holomorphic functions has been investigated by many authors:

363

Fatou [52.] ~ , F.Rieszb~/~, K~the L s~]~,Sato f55] (hyperfunctions), Vladimirov ~7], ~ b97 , Tillmann ~5~(~,

Tillmann 157]) Luszczki and Zielezny ~587(~p), Beurling [11~ ,

Komatsu r59~ (ultradistributions), Martinean [82 ) Stein L34~ ,

Sato, Kawai, Kashiwara L687 ,Henkin, Cirka L757. 2. The ~ - convex hull" theorem. Domains of the Dyson type

%C*uFc-CJ ~ arising in the "edge of the wedge" theorem are not

domains of holomorphy. The problem is to construct the envelope

of holomorphy

( the global version of the "edge of the wedge" theorem). For

the eones~---~/--*=f~/;_+~/o>/~§247 7 in~ ~ (future and

past light comes respectively) the global "edge of the wedge"

theorem has been solved for some special domains ~ by Bogo-

liubov f17, Bremermann , Oehme and Taylor ~2 7, Jost and

Lehman f3J , Dyson L39/ , 8ros, Messia and Stora ~403 , Bros,

Itzykson and Pham E41] , Sensor L42] ,Vladimirov L7J , ~6~ )

Vladimrov and ~arinov L43J <for ~bitraryC~ ) .

For arbitrary cones ~ and domains ~ the envelope of

holomorphy (I) has not been yet constructed, Nevertheless

it is possible to point out some real points in (1) which are

from the points of ~ , namely the following " C- different

convex hull" theorem is valid:

c/; 0c ~ ~(T C- C

364

Here C/ ~ is the convex hullOf ~ with respect to C-like

curves where C = ~+uC_ ( C- li~e curve is defined similar to

a time-like curve when C= ~§ V-= ~ is the light cone).

From the "~dge of the wedge" and the " ~-convex hull"

theorems we get following quasianalyticity property of distribu-

tions important for applications [TJ : if a tempered distribution

vanishes in ~ and its Fourier transform vanishes outside

Ccj~c J§ ~ where k is a co.act, then f v~s~es in~ v C

(see also Zarinov L67J for Fourier-hyperfunctions).

The " ~ -convex hull" theorem was first established in 1960

by Vladimirov [16] . Another proof of this theprem was given one

year later by Botchers i17j for the light cone ~(and called

there as the "double cone" theorem; see also Araki C18J ) . Ot-

hers its generalizations and sharpenings especially for the most

general boundary values are in papers by Beurling L11~ (ultra-

distributions) and Morimoto [19J, ~I0] (hyperfunctions).

The theorems "edge of the wedge" and " ~ - convex hull"

have numerous applications in quantum field theory and in par-

tial differential equations (see books by Bogoliubov, Medvedev

~d Pol~ov D J Bogoliubov ~o~ov a~d ~odorov F201

Streater and Wightman ~21~ , Jost ~22] and Vladimirov ~7~ ) �9

365

3. The "finite covariance" theorem. Let and V ]/

be the future and past cones in ~ resp. The corresponding

T--*= tube domains T Y-~ in are called future and past

tubes; the domains -'." in C *~ are called

~/ - points future and past tubes.

In 1958 Bogoliubov and Vladimirov L23J Btablished the

following theorem which is analogous to Liouville's theorem for

holomorphic functions (one-- point "finite covariance" theorem).

Let a function/{~)>~=(~ ~>~j~3J , be holomorphic in

the Dyson domain

(here JCk,-,Q'o2--/X/% / a t / k ~ k ~ - { . . ~ ~,. , is Lorentz square) and it is tempered in the domains ~ (in other words, /{~ is in

~ the Laplace transform of tempered distributions with --+

support in the cones ~-- respectively). Then i/~ is holo-

morphic in ~ except the "cut" ~ ) ~ O and it can

be represented in the form

>'-%',,; § where g are polynomials and k/3-J are holomorphic in ~ -

plane with the cut: ?~j~O and they are tempered in the

upper and lower halp-planes.

This theorem has been generalized by Bros, Epstein and

Glaser ~2 W and by Bogoliubov and Vladimirov f25~ for the

case of /~/-point ( A/*~ particles) functions under the additio-

nal assumption that the /V-point extended tube

iV N A e (c)

366

is a domain of holomorphy; here---Zr ~ is the proper complex

Lorenz group. (Up to now there is not yet a satisfactory proof

that for~4/23 ~/ is a domain of holomorphy: it has been proved

only that the envelope of holomorphy of the Dyson domain

~§ - ~ (Streater 1377); here ~ is ~ (/~ contains %/

the Jost set which is the real section of the domain %/ (geo-

metrical description of J~ has been done by aost L63J).

The boundary of ~- / has been investigated by K~llen and

wigh=~ 226-283, aost fag;, Fronsdal (3O7, ~ohara~ [317, ~l- let i327, Zavyalov ~d Trushin L337. It was found out that

~g9\[.~ ~_~/~ F~O 7 and c ~ / consists o f four pieoies of

some analutacal hypersurfaces. For ~/2~ on ~ / except the

just mentioned simplest analytical hypersurfaces some new sur-

faces appear which have more complicate structurej so

- called DUEUD surfaces.. (for /VZ~ new surfaces do not appear

at all).

rr-~- / Without assumption that d N is a domain of holomorphy Bo-

goliubov and Vladimirov s proved that each A/-point tempe-

red in ~A/~ functionr Z/~)) ,..j ~)) holomorphic in ~ / satis-

fies the following homogeneous system of partial differential

equations

for some entire ~ =~(/) ~O . Here 4' is the infinitesimal

operator for complex Lorentz rotations in the plane /~j ~; :

, = Z ~ o r J ' - - 1 -~ ~=-~4/ j "

367

If "~N i is a domain of holomorphy then general solutions of

the systems (2) for all entirep=~j, in the class of func-

tions which are holomorphic in ~r end tempered in ~ a~e gi-

ven by the formula:

where ~ are polynomials end ~p are holomorphic in~ i , tem-

pered in~ -+ and /+ ~)- invariant functions. It follows from

results by Hepp ~35-36J. The description of ~. ~e)- invariant

functions holomorphic in ~% is contained in the paper by Hall

Wi tmen s The ~'finite covariance" and " ~ - convex hull" theorems

indicate on a close connection between the axioms of I~rentz co-

variance s spectrality and locality in quantum field theory.

X~. H_ol~orphic functions with positive real part. Many prob-

lems in Mathematical physics are reduced to one of description of

holomorphic functions with positive real part in a tube dom~J~

over a (convex) proper cone C (class / /§ ~7 -C ) ),>

For D--~ (the upper halp-plane) this problem was solved

by means of the known Herglotz-Nevanlinna representation:

where a mesure~ ~O i numbers: ~O and ~ is real

--C<o

368

A pr ior i estimate ~6~]: i f : U ~ ( T C ) then for any

cone g:~ C there exists a number ~C~ such that

/p_.=:j/_~ i~, rc ) i + I ~ I ~ ~ 7-c" (~) I<~t "

From e s t i m a t e ( 4 ) i ~ ~ o n o w s i49.7 t h e e x i s t e n c e o f s,-/:-~J i. 5 : and//~) is the Laplace-transform, :--ZL~J , of ~ (un ique)

spectral function:=f-t~lY with support in the cone

C ~-- T i : C : i ( / "~ ) (here ~ is the Fourier .$ra~sformip -x

is its inverse), Moreover R~vf] is a nonnegative tempered mes~re

/~ in ~ satisfying the estimate :69~

~/~Dg+e~) takes i ts boundary value ~ in the following

precise sense:

Here ~oej ~)

/~s~ + < ~.~ l "~ T c

where ~ ) is the Ca_u_c~_ kernal for 7 c

Ic<:'+'*>: ; 7 c =~ i : , j / ( ~ . 3 > , ,

where 6 ~ is the Lebesq~e mesure on the unit sphere /~1=.i' .

The Schwarz kernal d(~ ~ with respect to the point

is the Poisson kernel for the tube domain m C . "

369

~ - - - z + g ~ T C is defined by the formula

o~ the oond•177 ~h~O~[~J~o l

A cone ~ is called ~ if Y J ~ ] i s the Laplace-

transform of a tempered distribution from di~/~ ) ~ in particu-

lar ~ ~ ( 9 , -~t~T C if C is a regular cone. (For

=~j 3 all proper cones are regular ones; for ~ @ it

is not so; these results has been proved by D~uilov.)

~x~pJ.e I . C:~ ' , " -~ / -~ , '~ ~ o~ ,.., ~ >O,.i is t~e po-

sit ive octant , ~ + ~ J ~ -

�9 *,- ~ . . . ~ , ,

~(~J~.~... ~,, ~ ( ~ #)=-~-W~:I "c'' I~~ I ~

,e -..Z _ ~+___ Z

is the futu-

then for 8.1.]. ~ ~ T C ~ y e C o

370

The smoothness of the spectral function: from estimate (7)

it follows that

(8)

where G/.

and ~(/~J. is the set of (measurable) functions U-

~(~J U* hi) ~ : ~ ~- ~ ~ "- c :' .

For a regular cone C we introduce distributions

--~< o ~ i from d/(/--) by the formula ~49]

is the characteristic function of the cone r-l= ...(...,,~ for which

2=<:~j-_ / Z- ~< :.

They have properties: ~ : : : , ~<=~ , ~ ' r ~ . (For the cone/-=[o; ~) , ~ = ~ , is the kernal of

the operator of fractional integration C~ >0) and differentia-

tion {o~< O) )o From (8) it follows: if a cone C i~eg~lar then

d<-~- h - .~.. ( 9 )

R: =~C.----77-7:, v/ r -~ :~J

bg]'

371

does not depend on ~o ; it is a nonnegative concave function

homogeneous of degree I in the cone ~ an@

.~ .9,, G C . ( 1 o )

By means of the results just stated the following main Theo-

rem was peoved.

Ma'In TheoreAn ~69]. If r ~ ~C-'J where ~ is a proper

(cenvex) cone,~ = ~ eYf an__~d A ~f~ ~2 is the growth in-

dicator. Then the following assertions are e~val~_~t."

(i) The Poisson integral

is pluriharmonic function in ~ C ;

(ii) The function ~_~/~) can be represented bj[ the P_ ois__~

son formula

for sore2 ~ ~ C * i

(iii) For al____ 1 2 ~ ~g the function /[~) ~g~be repre-

sented by the Schwartz formula

=/• i ~ 7 -C

wher_ee ~ is a real number (on the condition that C is~a

re~lar cone).

best linear minoranta of the indicator ~ ~/~i~' ~} in the

372

cone C ,~6~)+~- l~jl~ o ~Z~ ~ "

Coronary. If fE % (re) ~d i~ the Poisson inte~l

(11) is a pluriharmonic function in 7 "C then there is exists the

best linear minoranta~ of the indicator ~ / ~ J )

in the cone C .

Exa!~le ~ ~(/~ E-~ ~jJ ---~ '

The proof of t~-~e~lheorem uses i in particular i the following

~eness Theorem. ~ i ~ ~+ ~J ~ ~= ~ ~--

Remark. For ~ = E > C= ~o~ c~j the main Theorem follows

from Herglotz-Nevanlinna representation (3) for ~ ~ g .

As_~ptotic behaviour (tauberian theorem). We say that a dis-

trib~tion ~J from ~ z has a quas~asymptotics at

of an order o~ if there existJ~ ~/#~ ~ 0 such that

~-~ ---~ ~._~ ~ in ~/

Theorem (Drojjinov [7~). Let J E ~i(/~/ and/C~J=/,~3

has a bounded argument in T C . In order that ~ has a quasi-

asymptotics at oo of an order c~ it is necessary:

(i) for any ~ G 7 -C there is exist

~ "--J -#- O

( i i ) there are ex is t numbers ~ , J~ and ~ such that

o<p_< ~ ~ ~ ~ 7 C

373

where ~C { '~) is the distance from U,~6"C to ~C it is sufficient: there is exist a solid cone C/C

that

~ " f :<+ /̀<'</o~; = A cD~) , z/~ c : /9 --> ~- 0

In addition

A<,'~j = L. /3<>: 1 .

Corollar_y.. If / i r ~ } is holomOrphic in

a bounded argument in a neighbourhood of O

lid cone C/c C there is exist

f "--) "q--O

then there is exist an "augular" limit

such

T c , fr-~/, ~s and if in some so-

.X~i,, iCf ~-j= [(~-9 , ..~ ~ T C. ~"J §

The question arises of when the Poisson integral (.11) is a

pluriharmonic function in T C . This quastion has been studied

for two extreme cases: the cones C = ~+~ ~ T ~ ) 7" -- ) and

C=~ + V + T = ~ + i �9

The cone ~ tn thSs case the condition (I} o~ them~nTheo~

rem ho lds f o r any Cd n /~§ C T c ) , so the o t h e r a s s e r t i o n s

(ii)-(iii) of the main Theorem hold ([62],~9J), Therefore the

best linear minoranta ~Qj~ of the indicator ~ {~ I j#)

in ~+~ exists and the numbers ~c/ are defined by the

formulas

374

= ) J=~ .... j

whoro 7 O, d: ~..... "_/

(-I~-)

are the basis (unit) vectors in ~.

The assertions (i)-(iii) are supplemented by the following:

I) in order that the mesure /~ be the real part of the boundary

value of some function i of the class ,J"/§ {T"yl , it is

necessary and sufficient that

4. ~ /~,-<' ~' +~ ) / 7 " = (15)

here o~= {~m~,,. j ~ , c~ d ~---0~ are integer; o~__dP iff

c~j~O , , J ' = _ { _ ~ . , . , ~ �9

2) In order that the function f belongs to //+ ~ ~), it is necessary and sufficient that its spectral function

has the following properties

where ~ 5 /~ and

with a support in ~§

(in Bochner-Schwartz s~nse) where

~) is a continous function in ~h_

satisfying the growth condition

375

addition ~ F f s ? . , . 7 : t~ r ~/,~ a~< <~d a~ defined by the Eqs (q4); /~('r 0 u. or(~ ") _~_ ED .

Corolla~z " . From representation (f16) it follows that the

main singularities in the spectral function ~/~ ,

(~,~)~h)--m<=...A" >u %,~.~h.l.,, ~h,.)...~ ~ o ) ,

are determined by numbers ~. , i.e. the contribution from

points at infinity of the space ~a ; here is the Heavisi-

de function.

Remark. For h=~ the conditions (15) are absent and asser-

tion 1) follows from representation (3); for ~ it was proved

by Vladimirov C623; for n=i the assertion 2) was proved by Ko-

ni~ ~d Zem~i~ f~oJ, for ~ - by Vladimirov (~WT, se~

also L~9~ ).

The cone V + . In this case the assertions (i)-(iii) of

the main ~heorem ~old precisely ,or t~oso /E H+ C~+J ~or w~ch

t h e indicator t~ ( i~ i ,~J ,,as t~,e propertio=

Ad~kTJ-41j)+(~,~), Ao:y)~o, Tc Y+, ~ ~ v*

.~,, /,;o?,<yj~-jd~- = o . /~// ~i-O 167=~<

(17)

If it is the case then the assertions (i)-(iii) are supple-

mented by the following: in order that the mesure /u be the real

p~ of the ~/ for some /~ i~ ~-? , i~ is nooossa~

376

and sufficient that

/ ~ 0 ~ J/6~s+i) I ~ < ~ ~

(18)

where 1 ' ~ ~/'X) ,/~=0}_{:._r ~j '=Oj~{~,,. ) - J ' - - < & . , ~ Y )

~ o sphe=ioal f u n c t i o . s on the ~ o ~ p (J~'~.~ ~ d - ~ ' - * . k ' ~ }

i s the = e p ~ s e n t a t i o n of R ~ in ~//~.) , def ined by tho f o = ~ l ~ s

r ) 09)

The corresponding complex mapping ~* ~/C~# maps ~ be-

holomorphically onto generalized "unit circle" ~ ~-~R/,' ~/~ <~y,

We compactify the space ~9 by adding points at infinity

which an image by the mapping (q9) is a O-dimensional mauifold

We shall demote this compactification of ~9 by ~9 . The set

of points at infinity is topologically equivalent to the 3-

dimensional Klein bottle one equator of which is contracted to a

point. For details see Uhlmann [72] , Penrose [71] (so also [61] ) ,

The ~ct ions

377

"V~, '~j' =A~ d [Xr , r~:o,~:L>... ,~d=o,~., .... ., (ao)

are rational and continuous on ~ and form a complete orthogo-

man system in the Hilbert space of (mesurable) functions p~)

in ~ ~ wi~h norm

lllil'~=_ / S j a f J ir-~;t ~ ~,~. ~' "U/C~-,<-ijV*

For#/=q~j,.. ~/~ are extended holomorphically and boundedly to the domain ~-~ i when /#=-Rjj-Rj-dj , - to the domain ~-.

Keeping in m~nd some applications in Mathematical physics we

write out the explicit form of the Poisson formula (12) and Schwa-

rtz formula (q3) (for ~~ ):

I ~-FJ J/f~_~.,O.~17 + /~ ,~ ] . ,

The results have applications in the theory of linear sys-

tams of convolution equations (see [~J+ - 51J )

378

(here ~ is a real ~x ~/ -matrix with components % .

from O~) / ( ' ~J ) which are passive with respect to o_ (convex

closed solid) proper cone ~ :

Theorem.A matrix ~c~j defines a passive operator

with respect to a cone /- ' iff its impedance ~ (the Lapla-

ce transform of ~ ) is a positive-real matix-function in the

tube domain ~C where C=~/~(that is ~[~ is holomorphic,

: Z C- T c ) .

Remark. For /~=~ th i s theorem was proved by Zemenian [g@]

and for n~>2 - by Vla~imircv /'@7~.

For the system (21) the following problems can be treated

by means of the just described techniques: extension of singula-

rities, many-a~mensional dispersion relations, existence o2 inver-

se operators (admitances), a generalized Cauchy problem, assympto-

tic behaviors and so on. Many Equations of Mathematical p~ysics

are passive with respect to some cone ~ (mainly it is cone ~ # )

including equations of Dirac, Maxwell, magnetic ~4ydrodynamlcs,

elastisity, acoustics, electrical~ network,....

379

4

.

6

I0

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