C. R. Acad. Sci. Paris, t. 325, Skrie I, p. 1333-1336, 1997

Physique math~matique/Mafhematica/ Physics (Equations aux derivbes partielles/Parfia/ Differential Equations)

Solutions phriodiques du systjtme de Vlasov-Poisson avec conditions aux limites

Mihai BOSTAN et F&d&ic POUPAUD

M. B. : CERMICS-INRIA, projet CAIMAN, route des Lucioles. 2004, B.P. 93, 06902 Sophia-Antipolis cedex ;

E-mail : mhostan@sophia.inria.fr

F. P. : Lalwratoire J.-A.-Dirudonn6, UniversitG de Nice, part Valrose, 06108 Nice cedrx 2.

E-mail : I)oupau(l~gaston.uni~~.fr

RCsumC. Now montrons l’existence de solutions pkriodiques du syst&me de Vlasov-Poisson

en une dimension d’espace, sous certaines conditions reliant la norme des don&es entrantes, leur support et le potentiel appliquk.

Periodic solutions of the Vlasov-Poisson system with

boundary conditions

Abstract. We study here the 1D Vlasov-Poisson system with time periodic boundal?: conditions. We prove the existence ,for time periodic solutions. The crucial assumption is that the particles are injected with velocity large enough with respect to the electric jield, so thut every particle cross the domain in a $nite time.

1. Introduction

La modClisation de dispositifs tels que les tubes g dkcharge ou les diodes g vide soumises ?I un potentiel harmonique repose sur les Cquations de Vlasov-Maxwell ou de Vlasov-Poisson en rkgime pkriodique. Ces Cquations sont relativement bien comprises en ce qui concerne les probkmes de Cauchy dans l’espace tout entier : solutions classiques pour Vlasov-Poisson (voir [S] et [9]), solutions faibles pour Vlasov-Maxwell (voir [4]). Cependant, la simulation de dispositifs repose sur des problkmes aux limites. Des solutions faibles Vlasov-Poisson ont CtC obtenues dans [l] et dans [6] pour Vlasov-Maxwell. Signalons qu’il existe des difficult& g obtenir des solutions classiques pour Vlasov-Poisson avec conditions aux limites. Un rksultat est obtenu dans un cas particulier dans [7]. Ce qui est particulikement inGressant au niveau des applications est la modklisation des rkgimes permanents. Ces regimes permanents sont caract&ids par des solutions stationnaires ou pCriodiques. Le ca:j stationnaire a dkj2 Ct& CtudiC tout d’abord pour Vlasov-Poisson en une dimension d’espace dans 1.51, puis en dimension quelconque et pour Vlasov-Maxwell dans [lo]. Des rksultats dans le cas pkriodique semblent inexistants. D’autre part, ces rkgimes sont t&s difficilement atteints lors des

Note prksentke par Philippe G. CIARLET.

0764-4:!42/97/0325 I333 0 Acadkmie des Sciences/Elsevier, Paris 1333

M. Bostan et F. Poupaud

sirnulations numkiques. II parait done nkcessaire d’en avoir une meilleure comprkhension. Ce travail est un premier pas dans cette direction.

2. kquation de Vlasov. DCfinitions

On Ctudie les solutions T-pkriodiques du probkme de Vlasov suivant :

(1) i)tf+‘L ‘&.f+E(t.s:) .d,..f = 0: v(t,:c:v) E Wx]O,l[xR,

(2) f(t.o.T!) = cJ”(t.?J): V(f,v) E Rx]O, +x[,

(3) .f(h 1.v) = gl(t.~lf). v(t,Tr) E Rx] - x,O[.

Pour dkfinir les solutions faibles B ce probkme, on introduit l’espace des fonctions test :

(4) I/ = {y E C1(R x [O.l] x R):y(t.1.11) = o.V(t,?I) E Wx]O,+oc[,

y(t, 0,v) = o,v(t,T!) E Rx] - CG, O[. y(t + T: ., .) = y~(t, .; .)}

et on suppose que les donnkes vkrifient :

(5) I’ go E L:,,,.(Rx]o. +w[)> ‘U 91 E L;“,.(wx] - XIcj:O[),

E E L”(Iw x [0, I]). E, 90, !~l sont T-pkriodiques en temps.

On introduit les definitions suivantes :

DEFINITION 1. - Sous les hypotheses (5) on dit que .f E L:,,.(Rx]O, l[xR) est solution faible pkriodique du problkme de Vlasov (l), (2), (3) si et seulement si .f est T-pkriodique et vkrifie :

On n’a malheureusement pas unicitC de la solution faible pkriodique pour deux raisons. D’une part sous la seule hypothkse E E L” les caractkristiques de l’equation (1) ne sont pas dkfinies de man&e unique. D’autre part, msme dans le cas oti les caractCristiques sont dkfinies sans ambigu’ilk, la fonction f prend des valeurs arbitraires sur les caractkristiques qui ne rencontrent pas le bord du domaine. On doit done dtfinir une notion plus restrictive de solution. On fait les hypothkses supplkmentaires :

(7) E E C”(W x [O. 1]):3L > 0 tel que IE(~,JI:) - E(l,y)l < L. 1x - ylV’t E R,V’:c!y E [O, 11.

On dkfinit alors les caractkistiques issues du bord du domaine A’“,‘(t; s, a), V”,l(t; Q:, 11) par :

@I dVO.1

dt = E(t.X”>l): t 2 s.

69 xys; s, II) = 0, vys; s, ‘11) = ‘~1, s E w, II E]O, +cc[:

(10) Xl(s: s, II) = 1: vys; s: 71) = T!, s E R, ‘U E] - 32. o[.

On note T’.~(s, 11) le temps maximal d’existence dans I’ouvert 10: I[ XR des caractkristiques XOJ ( . : s. ‘li).

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Solutions pbriodiques du systhme de Vlasov-Poisson avec conditions aux limites

DI?FINITION 2. - SOUS les hypotheses (.5), (7), la solution par caracteristiques, phiodique, minimale f E L,~,,(Rx]O, l[xiw) est la fonction definie par : V’11’, E CF(Rx]O, l[xR) :

oti Cz designe l’espace des fonctions continues a support compact. En utilisant le fait que X’.‘(g+T; t+T, U) = XO,‘(a; t! u), V”~‘(n+T; t+T, u) = VO%l(a; t, II), on

verifie aisement que la fonction definie implicitement dans la definition 2 est periodique. On remarque aussi que f est nulle sur les caracteristiques ne rencontrant pas le bord, d’ou le terme solution minimale. Ce type de solution a CtC tout d’abord introduit pour l’etude des solutions stationnaires (wir [2] et [IO]). Le lemme suivant permet de donner une majoration des temps de sortie des caracteristiques issues du bord.

LEMME 1. - Soir \iE]lm = sup (t s)tRxl,,,ll IE(t,x)I. Si 7f2 2 4 . llEllm, alors Y-~‘(.s: II) - s < 2/u pour 71 > 0 et G(s.71) - s _< 2//u/ pour u < 0.

3. Systkme de Vlasov-Poisson

Le probleme de Vlasov-Poisson est constitue des equations (I ), (2) (3) completees par :

(11) E(& :x) = -i),p(t: z); cp(6 0) = Pa(t), P(k 1) = 91(t).

. (12) -a&c& cc) = p(t, 2:) : = I

,f(k :c: 7,)&u. .R

Les donnees cpo, (~1 verifient :

(13) PO.1 E L”(R): cpo.1 est T-periodique.

Le point cl6 pour obtenir des solutions periodiques au systeme (I). (2) (3) (1 I) et (12) est cle borner les temps de sortie des trajectoires issues du bord avec des vitesses dans le support de yo,r. Cela permet d’obtenir des estimations sur la densite p. Des arguments classiques de point fixe permettent de conciure. Pour ce faire, on fait les hypotheses suivantes :

(14) “llpp(.qo) c R x [110.111]. supp(,q1) c R x [-9:1, --710].

On suppose ~0” > 4 ]/E/J, ; les temps de sortie etant born&. par le lemme I on en deduit que si II > vu, Il/‘(t; s,7:)j < 7: + 2 . lp$J 11 avec une borne identique pour 71~. Si f est la solution

minimale donnee par la definition 2, on montre alors aisement que :

(16) IISlIL=~Wx],,.l[xR) L M, supp(S) c Rx]O, l[x] - ?I,,,. ,U,,,[,

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avec u,,, = 71~ + 2 . llEll,/q. C e a 1 d onne immkdiatement une borne sur p et E :

(17) ~~P~~L==(K+I.I[) L 2 n/l. (711 + 2. IIElloo/~):

(18) II~IlLYRxIO.l[) I llw - pollI.-@, + 3 . IL!! . (1.h + 2 lIEllm/‘U1).

On en dCduit :

THBOREME. - Sous les hypotheses ( 13), (14), ( 15), avec les conditions suppkhentuires :

le systtme de Vlasov-Poisson (I), (2), (3), (11) et (12) udmet une solution pe’riodique (f! cp), 02 E = -a.,~ ve’rifie (7) et OG f est solution par caracte’ristiques, ptriodique, minimale du probldme de Vlasov. De plus, si les normes llVgo,l //3o sont suf$samment petites et duns la classe des fonctions ve’rijiant les proprie’tks ci-dessus, la solution est unique.

Remarque. - La condition (19) permet d’assurer que les particules sortent en temps fini du domaine. Nous renvoyons h [3] pour les dktails de dkmonstration. Signalons qu’il est possible d’adapter

ce type d’arguments dans le cas multidimensionnel. On perd alors le fait que f est solution par caracteristiques mais on obtient tout de m&me l’existence de solution faible (f: +P) oil f r&out le problbme de Vlasov au sens de la dkfinition 1 (voir [3]).

Note remise et acceptke le 21 octobre 1997.

RCfkences bibliographiques

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