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Soit une soufflerie dont le schma de principe est donn par la
figure suivante : Une turtine aspire de l'air ambiant et le refoule
dans un cylindre de section constante S. Cet air passe travers un
lment chauffant constitu d'un fil rsistif command par une tension u
travers un amplificateur de puissance thyristors. On dispose de 2
points de mesure de la temprature, le premier e est situ au
voisinage de l'lment chauffant et le second S est au bout du
cylindre, la distance d du premier. On admet que le cylindre est
bien isol et qu'il n'y a pas d'change de chaleur entre le corps du
cylindre et le milieu extrieur. Les tempratures sont mesures l'aide
de sondes rsistives, l'tage d'adaptation/amplification permet de
livrer en sortie une tension continue image de la temprature de la
sonde.(sommateur inverseur) La temprature de fonctionnement est
gale 50C, et elle doit pouvoir varier de 25 75C. Dans toute la
suite du problme, les variables utilises e , S , C prennent des
valeurs qui correspondent des variations relatives autour du point
de fonctionnement moyen 50C. dans ces conditions, elles varient
entre 25C et +25C. La consigne est labore partir d'un potentiomtre
linaire, aliment entre +15 et 15V, et gradu directement en cart de
temprature. On donne : d = 1m , S = 0,1 m , Q = 0,1 m3/h
Partie 1 : Etude des diffrents organes du systme Sot la rponse
indicielle e (t) une entre de tension u = 3V.
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1.1 Donner la fonction de transfert )p(U)p(e
1.2 - Calculer )t(S en fonction de )t(e et dduire la fonction de
transfert )p(U)p(S
On admettra que )t(e se retrouve au 2me point aprs un retard li
au dbit d'air et la distance d.
1.3 - La figure suivante reprsente la caractristique statique de
la sonde de temprature fonctionnant avec son tage
d'adaption/amplification. donner la loi )(fV SS =
Partie 2 : Etude de la rgulation 2.1 - Faire le schma
fonctionnel de l'ensemble aprs avoir crit l'quation du potentiomtre
de consigne.. 2.2 Le transformer pour obtenir un schma retour
unitaire. 2.3 Donner les tracs de Bode du systme en boucle ouverte
pour la valeur RR1 = 2.4 En dduire la condition de stabilit.
2.5 - Calculer la valeur RRk 1= pour laquelle l'asservissement
prsente une marge de gain de 6dB.
2.6 Dterminer pour ce k la marge de phase ainsi que l'erreur
statique de position
Partie 3 : Amlioration de l'asservissement. On ajoute une
seconde boucle de raction comme l'indique le schma suivant : 3.1 -
Donner le schma de ralisation le plus simple possible permettant
d'obtenir cette seconde boucle. 3.2 Calculer la valeur de qui
permet de raliser une erreur statique de position nulle. 3.3 Tracer
pour la valeur de , les lieux de Bode de la fonction de transfert
en boucle ouverte pour la valeur
RR1 = 3.4 En dduire la condition de stabilit. 3.5 Dterminer k
pour laquelle l'asservissement prsente une marge de gain de 6dB 3.6
Calculer pour ce k la marge de phase ainsi que l'erreur statique de
position.
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Corrig
Partie 1 1.1 Il s'agit de la courbe d'un systme du 1er ordre. La
tangente l'origine passe par t = 5s et u = 5V
Le gain statique est 5 / 3 et la constante de temps est 5s. On
vrifie que pour 5 x 0,95 = 4,75V on a 15s.
Alors :p51
3/5)p(U)p(e
+=
1.2 Si l'on appelle v la vitesse de l'air , on peut crire d = v
mais comme le dbit d'air est Q = S v
on peut dduire que s11,01x1,0
QSd
===
d'o p
e
SeS e)p(
)p()1t()t( =
=
1.3 la caractristique est linaire, on peut alors crire que SSS
6,02515V ==
Partie 2
2.1 L'examen de la figure permet d'crire CCC 6,02515V ==
L'amplificateur oprationnel tant un sommateur-inverseur, on crit
)VV(RRU SC1 +=
2.2
2.3 La FTBO est p1 ep51
)R/R()p(F +
= on remplace alors p par j 20 log F(j )G =
d'o )25log(1 10- k log20G += Attention l'argument du produit de
2 nombres complexes ! Ici arg [F] = - arcTan( 5 ) 1*
avec =1s car ( 1) ( )pf t e F p ce qui fait que 1*p pe e =
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2.4 Pour un dphasage de -180, on lit -18,6dB 0dB (-18,6)dB k =
8,5 2.5 On translate la courbe de 12,6 dB ( k = 4,27 ) pour une
marge de gain de 6dB 2.6 Avec cette nouvelle valeur, on lit : [ G =
0 dB = 0,83 rd/s ] arg F(0,83) = -124 la marge de phase est alors
de 180-124 = 56 le gain tant de 12,6 dB ( k = 4,27 ) Par calcul, on
cherche la pulsation pour G = 0dB c'est--dire
20log 0 1 25 0,83 /1 25
k k rd s
= = + =+
d'o =-1,3343-0,83=-2,1643 =-124
L'erreur statique est 0
lim ( ) lim ( )t p
t p p
= . Comme le systme est retour unitaire et qu'on envoie un
chelon
en entre, on a 0 0
1 (1 5 ) 1 0,189 19%1 1 5 1
p
pp p
p eLim LimFTBO p ke k
+= = =
+ + + +
-
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Partie 3 3.1 3.2 Pour la boucle interne, la FT s'crit :
1 5
1 511 5
kkpFT k k p
p
+= = +
+
et en combinant, on obtient la FTBO ( )1 5
pkeF pk p
= +
Comme pour la question 2.6 , on a 0
lim ( ) lim ( )t p
t p p
= et 0
11p
LimFTBO +
Il s'agit de trouver 0
1
1(1 ) 5
pp ke
k p
Lim
+ +
0kep5)k1(p5)k1(
p0p
Lim =
++
+=
( 1 k ) = 0 1k
=
On utilise une sonde de temprature et un
adaptateur/amplificateur identique au prcdent e . la sortie de la
sonde est convertie en une tension 1SV qui passe travers d'un tage
de l'AO ( type inverseur, de gain ) puis amene une entre
supplmentaire ajoute au sommateur/inverseur.
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3.3 Si 11kRR1 === d'o p5e)p(F
p
= en remplaant p par j , on a : ( )5
jeF jj
=
1( )5 5
jeF jj
= = G = - 20 log [5] et arg F(j) = -/2 - 1*
Remarque : Un intgrateur (1/p) est caractris par une dphasage
constant de -90 et pour le gain une pente de -2OdB/decade autour de
1rd/s. Pour le cas qui nous proccupe, voici le tableau de quelques
valeurs, sachant que G = -20 log5 20 log = -14 20 log en rd/s 0,01
0,02 0,1 0,2 1 2G en dB 26 20 6 0 -14 -20 en -90,57 -91,15 -95,73
-101,46 -147,3 -204,6 3.4 On cherche la valeur de la pulsation pour
arg F(j) = - 180 = /2= 1,57 d'o G = -20 log 5 20 log + 20 log 2 =
-14 9,94 + 6 = -17,94 dB k = 7,888 3.5 Pour une marge de gain de 6
dB 17,94 6 = 11,94 dB k = 3,95 3.6 Pour k = 3,95 on cherche la
pulsation pour un gain de 0dB G = 20 log3,95 - 20 log5 20 log =
11,94 - 14 20 log = 0 log = -0,103 = 0, 789 rd/s arg F(j) = -90 -
180* / = -135 la marge de phase est 180 - arg F(j) soit 45.
Comme ( )5
pkeF pp
= , l'erreur statique est0 0
1 5 1 0,25351
5
p pp p
pke p ke k
p
Lim Lim
= = = + +
soit 25%
