SÉQUENCE N°7 : LES TRIANGLES

I – INÉGALITÉ TRIANGULAIRE

Propriété

Dans un triangle non aplati, la longueur du plus grand côté est inférieure à la somme des deux autres côtés.

Autre formulation

Pour savoir si un triangle est constructible avec trois longueurs données, il faut que la somme des plus petits longueurs

soit supérieure à la plus grande.

Conséquence

Pour tous points A, B et C du plan et AC le côté le plus grand, si AC < AB + BC, alors on peut construire le triangle

ABC.

EXEMPLES

1) Le triangle ABC est-il constructible si AB = 7 cm ; BC = 3 cm et AC = 6 cm?

Le plus grand côté est AB et AC + BC = 6 + 3 = 9 donc 7 < 9 donc AB < AC + BC donc oui le

triangle est constructible.

2) Le triangle DEF est-il constructible si ED = 9 cm ; EF = 2 cm et DF = 6 cm ?

Le plus grand côté est ED qui mesure 9 cm et EF + DF = 2 + 6 = 8 or 9 est plus grand que 8

donc ED > EF + DF, donc le triangle DEF n’est pas constructible.

3) Cas particulier

Le triangle EDF est-il constructible si ED = 9 cm ; DF = 6 cm et EF = 3 cm ?

ED est le plus grand côté et DF + EF = 6 + 3 = 9. On a alors que ED = EF + DF. On dit que le

triangle est aplati donc il est constructible.

Propriété

Si le point B appartient au segment [AC] alors AC = AB + BC. Ce qui signifie que les points A, B

et C sont alignés.

II – PROPRIÉTÉ DES ANGLES D’UN TRIANGLE

Propriété

La somme des mesures des angles d’un triangle est égale à 180°.

Remarque

Cette propriété est très importante car on va s’en servir dans les exercices de construction.

III – CONSTRUCTION DE TRIANGLES

Nous allons voir trois méthodes de construction de triangles.

Pour construire un triangle, il faut connaitre :

• Soit la longueur des trois côtés

• Soit la longueur de deux côtés et la mesure de l’angle comprise entre ces deux côtés

• Soit la longueur d’un côté et la mesure des deux angles adjacents.

Quelle que soit la méthode, une figure à main levée et codée facilite la construction.

MÉTHODE N°1

Construire le triangle ABC tel que AB = 5 cm ; BC = 3 cm et AC = 4 cm.

MÉTHODE N°2

Construire le triangle EDF tel que DF = 5 cm ; ED = 4 cm et 𝐸𝐷𝐹 = 45°.

MÉTHODE N°3

Construire un triangle MON tel que MO = 7 cm ; 𝑀𝑂𝑁 = 60° 𝑒𝑡 𝑂𝑀𝑁 = 40°.

Remarque: Dans le cas où parmi les deux angles connus, il y a celui dont on ne connait pas le

sommet, on utilise la propriété de la somme des mesures des angles d’un triangle pour trouver le

troisième angle.

IV – DROITES REMARQUABLES D’UN TRIANGLE

1) Médiatrices

Définition

La médiatrice d’un segment est une droite coupant perpendiculairement le segment en son milieu.

Exemple

Propriétés

• Chaque point situé sur la médiatrice d’un segment est équidistant des extrémités de ce segment.

• Si un point est équidistant des extrémités d’un segment alors il appartient à la médiatrice.

Remarques

• Le mot « équidistant » signifie « à égale distance ».

• Dans un triangle, il y a trois côtés donc il y a trois médiatrices dans un triangle.

Exemple

Le point C de la figure précédente appartient à la médiatrice du segment [AB]. Il est donc

équidistant des points A et B et on peut écrire CA = CB.

Propriété

Les trois médiatrices d’un triangle se coupent en un même point: on dit qu’elles sont concourantes.

Le point de concours des médiatrices (ici noté M) est le centre du cercle passant par les sommets

du triangle ABC. Ce cercle est appelé cercle circonscrit au triangle ABC.

2) Hauteurs

Définition

Une hauteur d’un triangle est une droite perpendiculaire à un côté et passant par le sommet

opposé à ce segment.

Remarque

Dans un triangle il y a trois côtés donc il y aura trois hauteurs.

La droite (BO) s’appelle la hauteur issue du sommet B et H est le pied de

la hauteur (BO).

Propriété

Les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes en un point: on l’appelle l’orthocentre du

triangle.