Stage PAF Ruptures et continuités Pratiques algorithmiques en Chine ancienne A. Bréard 1 Les nombres en Chine ancienne : représentation et algorithmes

1Stage PAF

Ruptures et continuités Pratiques algorithmiques en Chine ancienne

A. Bréard

Les nombres en Chine ancienne : représentation et algorithmes

2Stage PAF


A. Bréard

La tradition mathématique en Chine ancienne

La forme algorithmique

Calculs avec baguettes

Multiplication - division

Extraction de la racine carrée

Calculs avec l’abaque: ruptures et continuités

Les nombres en Chine ancienne : représentation et algorithmes

3Stage PAF


A. Bréard

Qin

Han

Three Kingdoms

Jin

Northern & SouthernDynasties

SuiTang

Song

Ming

Qing

5 Dynasties

Sui

Yuan

221206

420

220

265

1644

1911

581618

907

960

1279

1368

Gnomon of Zhou (Zhoubi)Nine Chapters on Mathematical Procedures

263: Liu Hui’s commentary to the Nine Chapters

Zu Chongzhi 355/113)

Ten Books of Mathematical Classics

Jia Xian

Mei Wending, Ming Antu

Yang Hui

Li YeQin Jiushao

Guo Shoujing

Zhu Shijie

Ruan YuanQian-Jia-School: Dai Zhen, Wang Lai, Li Rui, Jiao Xun

Li Shanlan

Xu Guangqi, Li Zhizao

2nd introduction of Western mathematics

Movable-type printing

1st introduction of Western mathematics

Wang Xiaotong

1st Unification of Chinese Empire

B.C.A.D.

Woodblock printing

Matteo RicciCheng Dawei

4Stage PAF


A. Bréard

« Jadis il y eut Baoxi, qui, tout d’abord, traça les huit trigrammes pour se mettre en communication avec les capacités de clairvoyance et d’illumination, pour classer les situations de tous les existants, puis créa la procédure de la table de multiplication pour qu’elle soit en concordance avec les mutations des six lignes [les hexagrammes du Yi Jing易經 ].

Les origines légendaires


Cela arriva jusqu’à Huangdi, qui les métamorphosa [en oeuvrant au niveau de l’insondable, en agrandit [l’extension] en les allongeant], et qui, alors, instaura la structure du calendrier, accorda les tubes musicaux, et en fit usage pour étudier la source de la voie (dao 道 ). Par la suite, les qi [fluide énergétique] subtils et infimes des deux yi [la ligne pleine et la ligne brisée] et des quatre xiang [configurations] purent être pris comme modèles. » (Préface de Liu Hui aux Neuf chapitres sur les procédures mathématiques, 263)

5Stage PAF


A. Bréard

Découvert en 1983 dans un tombe d’un prince des Han

(env. 2ème siècle av. J.C);

Problèmes et procédures mathématiques sur 190 planches en bambou ;

Le plus ancien document des mathématiques en Chine préservé aujourd’hui.

Un livre sur les mathématiques (Suan shu shu 算數書 )


6Stage PAF


A. Bréard


Les algorithmes comme liste d’opérations Algorithmes (procédures) := une suite finie d’opérations dénués

d’ambiguïté, à exécuter dans l’ordre dans lequel elles se présentent, parfois interrompues par des décisions à prendre, laquelle part de valeurs données et produit des valeurs cherchées.

C’est la forme canonique des mathématiques en Chine sous laquelle on délivre les connaissances mathématiques jusqu’au XIXe siècle.

Les modes de description des algorithmes varient grandement d’un problème à l’autre. Les procédures reprennent à l’énoncé auquel ils font suite ou: les éléments de situation ; les valeurs numériques; Les noms des données. Rien. Ils sont abstraites.

Exigence de généralité.

7Stage PAF


A. Bréard


Préliminaires: Calculs avec baguettes

Représentation (ambivalente ?) des nombres par un système

décimale & positionnelle ; Position vide correspond au zéro. Alternance de baguettes horizontales et verticales d’une position

à l’autre;

…

8Stage PAF


A. Bréard

Manuscrit de Dunhuang (Licheng suanjing 立成算經 ), dynastie Tang

9Stage PAF


A. Bréard


Exercices:=367

=2678

=432

=6437

=23607 =72290

=12650 =10301

10Stage PAF


A. Bréard

Exemple de multiplication

Effectuons le produit de 23 par 57

On place dans un premier temps 23 et 57 sur la surface à calculer dans les lignes du dessus .

Puis on décale 23 vers la gauche jusqu’à ce que le chiffre des unités soit sous le chiffre de rang le plus élevé de 57.

Puis on multiplie 2 et 3 successivement par 5 et l’on ajoute les résultats à la ligne du milieu, juste là-dessus du chiffre que l’on a multiplié.

On enlève 5, on décale 23 d’un cran vers la droite.


11Stage PAF


A. Bréard

Exemple de multiplication (cont.)

Effectuons le produit de 23 par 57:

Et l’on recommence: on multiplie 2 et 3 par 7;

On ajoute les produits successifs à la ligne du milieu; on élimine 7.

Aspects algorithmiques:

Itération pour chaque puissance de 10;

On s’intéresse aux changements sur la surface de calcul;

Chaque étape rédigée en opposition par rapport à la division.


12Stage PAF


A. Bréard

Exemple de division Effectuons la division de 1311 par 23

On place dans un premier temps 1311 dans la ligne du milieu et 23 dans la ligne du dessous .

Puis on décale 23 vers la gauche jusqu’à ce que les chiffres de gauche des deux nombres soient l’un au-dessus de l’autre.

Si 23 peut diviser le nombre qui est au-dessus de lui, on prend le quotient qui convient; sinon (comme c’est le cas dans notre exemple), on décale 23 d’un cran vers la droite et l’on cherche à nouveau le quotient qui convient.

Ici, le premier chiffre du quotient est 5; il est placé dans la colonne des dizaines au-dessus du dividende.


13Stage PAF


A. Bréard


Exemple de division (cont.) Effectuons la division de 1311 par 23 :

23 est multiplié chiffre à chiffre par 5 et les produits successifs sont retranchés du dividende.

Puis on décale 23 d’un cran vers la droite.

On cherche le chiffre suivant du quotient; on trouve 7 dans le cas présent; on le met à droite de 5, dans la colonne des unités au-dessus du dividende.

Le produit de 23 par 7 est retranché du dividende; il n’y a pas de reste. L’opération est terminée.

Et l’on est revenu au point de départ de la multiplication.

14Stage PAF


A. Bréard

27 x 63 position des unités

2 x 6 = 12 2 x 3 = 6 7 x 6 = 42 7 x 3 = 21

1701

15Stage PAF


A. Bréard

Classique mathématique de Zhang Qiujian (張邱建算經 , env. 400)

“Avec cinquante-huit et une de deux parts on divise six mille cinq cent quatre-vingt-sept, deux de trois parts et trois de quatre parts. On demande combien on obtient ? La réponse est : cent douze et quatre cent trente-sept de sept cent deux parts.La procédure dit : Placer six mille cinq cent quatre-vingt-sept en haut. En outre, placer trois parts en bas à droite, ses deux à gauche. En outre, placer quatre parts en dessous des trois, ses trois à gauche. Multiplier mutuellement ceci. On obtient un dénominateur de douze, un numérateur de dix-sept. Avec le dénominateur diviser le numérateur donne un, reste cinq. Un rajouté à la position en haut donne six mille cinq cent quatre-vingt-huit. Avec le dénominateur douze multiplier ceci, intégrer le numérateur 5, donne soixante-dix-neuf mille soixante et un. En outre, multiplier ceci avec deux, le dénominateur du nombre qui divise, donne cent cinquante-huit mille cent vingt-deux. En outre, placer le nombre qui divise cinquante-huit en dessous. Celui-ci multiplié avec deux, et le numérateur un intégré donne cent dix-sept. En outre, multiplier ceci avec douze, le dénominateur du nombre qui multiplie, on obtient mille quatre cent quatre comme diviseur. Avec ceci diviser le dividende, on obtient cent douze. Le diviseur et le reste, tous les deux en faire la moitié, on obtient quatre cent trente-sept de sept cent deux parts.


16Stage PAF


A. Bréard

Les Neuf chapitres sur les procédures mathématiques

(Jiu zhang suan shu 九章算術 )

Extraction de la racine carrée

17Stage PAF


A. Bréard

B C1 C2 C B2 F1 D2

E2

B1 D1

E1 G1

A D A1 A2

[a] Placer le nombre 459,684 sur la ligne (4) de la surface à calculs:ligne (5)-résultats

4 5 9 6 8 4 ligne (4)ligne (3)ligne (2)ligne (1)

Géométriquement : placer l’aire ABCD

18Stage PAF


A. Bréard

[c]Déplacer la baguette (1) vers la gauche en sautant 1 position tant que les positions ne soient pas vides sur la ligne (4); déplacer chaque fois d’une position le marqueur (*) dans la ligne (5).

* ligne (5)-résultats4 5 9 6 8 4 ligne (4)

ligne (3)ligne (2)

1 ligne (1)

[b] Placer 1 dans la position des unités de ligne (1); placer un marqueur (*) dans la position des unités de la ligne (5)


ligne (3)ligne (2)

1 ligne (1)

19Stage PAF


A. Bréard

B C1 C2 C B2 F1 D2

E2

B1 D1

E1 G1

A D A1 A2

Géométriquement : trouver le maximum de n tel que AB1= a·10n soit plus petit ou égal à AB; dans notre cas: n = 2.


ligne (3)ligne (2)

1 ligne (1)

20Stage PAF


A. Bréard

[d] Trouver pour la position * de la ligne (5) un nouveau (premier) chiffre du résultat (a), le multiplier avec (1) et placer ceci dans (2)

6 ligne (5)-résultats4 5 9 6 8 4 ligne (4)

ligne (3)6 ligne (2)1 ligne (1)

[e] multiplier ce nouveau chiffre (6) par la ligne (2): 6·6 = 36 et placer le résultat dans la ligne (3)

6 ligne (5)-résultats4 5 9 6 8 4 ligne (4)3 6 ligne (3)

6 ligne (2)1 ligne (1)

21Stage PAF


A. Bréard

Géométriquement: trouver le maximum de a tel que AB1 = a·102 soitplus petit ou égal à AB.

B C1 C2 C B2 F1 D2

E2

B1 D1

E1 G1

A D A1 A2

22Stage PAF


A. Bréard

Géométriquement: enlever l’aire AB1E1A1 de l’aire du carré ABCD. B C1 C2 C B2 F1 D2

E2

B1 D1

E1 G1

A D A1 A2

[f] soustraire (3) de la ligne (4) et effacer les données sur la ligne (3)

6 ligne (5)-résultats9 9 6 8 4 ligne (4)

ligne (3)6 ligne (2)1 ligne (1)

23Stage PAF


A. Bréard

Géométriquement: calculer B1E1+ A1E1

B C1 C2 C B2 F1 D2

E2

B1 D1

E1 G1

A D A1 A2

[g] rajouter le nouveau chiffre (a = 6) à la ligne (2) 6 ligne (5)-résultats

9 9 6 8 4 ligne (4)ligne (3)

1 2 ligne (2)1 ligne (1)

24Stage PAF


A. Bréard

[h] décaler les unités en (1) de deux positions vers la droite, jusqu’à ce qu’il y ait un/des élément(s) non-zéro sur la ligne (4) au-dessus de la nouvelle position de l’unité ou à sa gauche; déplacer le nombre sur la ligne (2) et le marqueur sur la ligne (5) d’autant de positions que de nombre de sauts de l’unité sur la ligné (1).

6 * ligne (5)-résultats9 9 6 8 4 ligne (4)

ligne (3)1 2 ligne (2)

1 ligne (1)

25Stage PAF


A. Bréard

B C1 C2 C B2 F1 D2

E2

B1 D1

E1 G1

A D A1 A2

Géométriquement : trouver un m tel que B1B2 = b ·10m soit moins que B1B; Dans notre cas m = 1.

26Stage PAF


A. Bréard

[i] répéter l’étape [d] pour le chiffre qu’on vient de trouver (b=7):

6 7 ligne (5)-résultats9 9 6 8 4 ligne(4)

ligne (3)1 2 7 ligne (2)

1 ligne (1)

27Stage PAF


A. Bréard

Géométriquement : B1B2 est égal au nouveau nombre (b=7) multipliépar 10m =10; l’addition de ce chiffre à la ligne (2) est effectuée pour trouver la longueur du rectangle composé des rectangles B1B2F1E1 etA1A2G1E1, et le carré E1F1E2G1.

B C1 C2 C B2 F1 D2

E2

B1 D1

E1 G1

A D A1 A2

28Stage PAF


A. Bréard

[j] répéter l’étape [e] pour le nouveau chiffre (b=7):6 7 ligne (5)-résultats

9 9 6 8 4 ligne (4)8 8 9 ligne (3)1 2 7 ligne (2)

1 ligne (1)

Géométriquement : trouver l’aire du rectangle composé de rectangles B1B2F1E1 et A1A2G1E1, et le carré E1F1E2G1.

B C1 C2 C B2 F1 D2

E2

B1 D1

E1 G1

A D A1 A2

29Stage PAF


A. Bréard

[k] répéter l’étape [f]:6 7 ligne (5)-résultats

1 7 8 4 ligne (4)ligne (3)

1 2 7 ligne (2)1 ligne (1)

Géométriquement : enlever les rectangles B1B2F1E1, A1A2G1E1, et le carré E1F1E2G1 de la figure B1BCDA1E1

B C1 C2 C B2 F1 D2

E2

B1 D1

E1 G1

A D A1 A2

30Stage PAF


A. Bréard

[l] répéter l’étape [g]:6 7 ligne (5)-résultats

1 7 8 4 ligne (4)ligne (3)

1 3 4 ligne (2)1 ligne (1)

Géométriquement : calculer B2E2+ A2E2

B C1 C2 C B2 F1 D2

E2

B1 D1

E1 G1

A D A1 A2

31Stage PAF


A. Bréard

[m] répéter l’étape [h]:

6 7 * ligne (5)-résultats1 7 8 4 ligne (4)

ligne (3)1 3 4 ligne (2)

1 ligne (1)

[n] répéter l’étape [i] pour le nouveau chiffre (c=8):

6 7 8 ligne (5)-résultats1 7 8 4 ligne (4)

ligne (3)1 3 4 8 ligne (2)

1 ligne (1)

32Stage PAF


A. Bréard

Géométriquement: l’addition de ce chiffre à la ligne (2) est effectué pour trouver la longueur du rectangle composé de rectangles B2BC2E2, A2DD2E2, et le carré E2C2CD2.

B C1 C2 C B2 F1 D2

E2

B1 D1

E1 G1

A D A1 A2

33Stage PAF


A. Bréard

[o] répéter l’étape [j] pour le nouveau chiffre (c=8):6 7 8 ligne (5)-résultats

1 7 8 4 ligne (4)1 7 8 4 ligne (3)

1 3 4 8 ligne (2)1 ligne (1)

Géométriquement : trouver l’aire du rectangle composé desrectangles B2BC2E2, A2D2D2E2, et le carré E2C2CD2.

B C1 C2 C B2 F1 D2

E2

B1 D1

E1 G1

A D A1 A2

34Stage PAF


A. Bréard

[p] répéter l’étape [k] pour le nouveau chiffre (c = 8):6 7 8 ligne (5)-résultats

ligne (4)ligne (3)

1 3 4 8 ligne (2)1 ligne (1)

Géométriquement : enlever les rectangles BB2E2C2, A2E2D2D, et Le carré E2C2CD2 de la figure B2BCDA2E2

B C1 C2 C B2 F1 D2

E2

B1 D1

E1 G1

A D A1 A2

35Stage PAF


A. Bréard

La ligne (4) est vide, donc la procédure a abouti. La valeur qu’on trouve sur la ligne (5) est la valeur exacte deLa racine carré.

36Stage PAF


A. Bréard

Neuf chapitres sur les procédures mathématiques Chap. 9, n°19

Supposons qu’on ait une ville carrée ...

37Stage PAF


A. Bréard

Au centre de chaque côté de laquelle s’ouvre une porte

38Stage PAF


A. Bréard

À 20 bu à l’extérieur de la porte nord, il y a un arbre,

N

S

WE 20

et si, après avoir fait 14 bu,à l’extérieur de la porte sud,on tourne et qu’on marche 1775 bu versl’ouest, on voit cet arbre.

141775

On demande combien faitle côté de la ville carrée.

39Stage PAF


A. Bréard

20

141775

A

B

C

D E

F

G

HM

J

K

L

2AB·DE =« le dividende »

CD+AB =« le diviseur rejoint »

« On divise par extractionde la racine carrée, ce quidonne le côté de la ville.»

40Stage PAF


A. Bréard

20

141775

A

B

C

D E

F

G

HM

J

K

L

Commentaire de Liu Hui (263):

Les rectangles ADJMet ABGH sont de lamême surface.

Aire de ABGH =AB·DE

Considère PJMQ:

P

Q

aire de PJMQ = 2 x aire de ADJM =2 · AB·DE

41Stage PAF


A. Bréard

x

y

x·y = le dividende

y - x = le diviseur rejoint

Données ici :x·y = 2 ·1775 ·20,et y-x = 14+20 = 34

42Stage PAF


A. Bréard

a

a

a

a+34

b

b

b

b

43Stage PAF


A. Bréard

*7 1

3 41

*7 1

3 41

44Stage PAF


A. Bréard

*7 1

3 41

7 1

1

2

24 6 8

3 4

45Stage PAF


A. Bréard

22 4 2

2 3 41

2 *2 4 2

4 3 41

4

46Stage PAF


A. Bréard

2 52 4 2

4 3 418

2 4 2

Réponse : 250 bu.

47Stage PAF


A. Bréard

sdf

Calculs avec l’abaque: ruptures et continuités

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