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ESSI - Module Auto TS © Jean-Paul Stromboni (Avril 2000) Représentation d ’état des systèmes en temps

discret

1

Notion d ’état interne

Notion d ’état interne

Solution générale de l ’équation d ’état

Discrétisation de la forme de commande

Stabilité

Gouvernabilité (définition, critère direct)

Observabilité (définition et critère direct)

Forme de Commande

Passage RE donne FT

Retour d ’état

Observons le processus du premier ordre )()( tetsdt

dsRC

A partir de l ’instant t = 0, on applique l ’entrée e(t) connue, et on calcule la sortie s(t) qui en résulte soit :

1

1

)(

)(

RCppE

pS

t RCRCt dteeRC

sets0

// )(1

)0()(

Pour t > 0, on voit que s(t) dépend non seulement de e(t) mais encore de la valeur de la sortie à l ’instant t = 0, ou condition initiale s(0)

On dira que s(0) est l ’état du processus à l ’instant t = 0. On voit que pour un premier ordre, sortie et état sont confondus.

Etendre le résultat si l ’instant initial est t = t0 non nul :

Démontrer le résultat trouvé pour s(t) :

Simulation avec Matlab

Découplage des variables d ’état

Choix des valeurs propres

Asservissement

ou

t

t

RCRCtt dteeRC

tsetts0

0 )(1

)()( /0

/)(0

RCtehsthts

pERCpsRCpRCpS

pEpSsppSRC

/))(*()0()()(

)()1()0()1()(

)()())0()((11

RC

t

eRCp

RCLth

)1

()( 1avec

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discret

2

Illustration de la notion d ’état interne

Time (sec.)

Am

plitu

de

Initial Condition Results

0 1 2 3 4 5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Time (sec.)

Am

plit

ude

Initial Condition Results

0 5 10 15 20 25 30

-1

-0.5

0

0.5

1

)0()0( sortieétat )0()0( sortieétat

Les deux simulations ci-dessus illustrent l ’existence d ’un état interne dans le cas du retour à l ’équilibre 0 à entrée de commande nulle. Commenter :

Simulation gaucheordre1=tf(1,[1 1])ordre1=ss(ordre1)hold oninitial(1,ordre1)initial(2,ordre1)initial(0.5,ordre1)

Simulation droite :o2=ss(tf(1,[1 .2 1]))hold oninitial([0,1]’,o2,30)initial([1,1]’,o2,30)initial([-1,1]’,o2,30)

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discret

3

Forme de commande de la représentation d ’état

Mais il faut noter que tout changement de base dans l ’espace d ’état (ici Rn) conduit à une représentation d ’état différente du même processus

Trouver la forme de commande de Cobaye, avec un vecteur d ’état à préciser, Vérifier que la représentation d ’état n ’est pas unique

Plus généralement, pour un processus d ’ordre n, on se ramène à ce cas en constituant le vecteur d ’état avec la sortie s(t) et les n-1 premières dérivées :

On obtient alors la FORME DE COMMANDE de la représentation d ’état

)(

)()(

ts

tstX

)()(01)(

)()()(50

0)(

100

10)(

tCXtXts

tBetAXtetXtX

)(')(010)(

)(')()(5

0)(

100

10)(

tXCtXts

teBtAXtetXtX

Seconde représentation

Cette notion est généralisable à tout processus donné par n équations différentielles du premier degré, en regroupant les n sorties dans un vecteur d ’état interne.

L ’équation d ’état est une équation différentielle matricielle de degré un

)(51.02

2

tedt

ds

dt

sd

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discret

4

Solution générale de l ’équation d ’état

Pour résoudre l ’équation d ’état, on peut utiliser la transformée de Laplace comme dans le cas d ’une équation différentielle scalaire sans oublier qu ’elle est matricielle :

)()(

)()0()(

)(~][)0(][)(~

)(~)(~

)0()(~

)()()(

0

)(

11

tCXts

dBeeXetX

peBApIXApIpX

peBpXAXpXp

tBetAXtX

t tAAt

Adapter le résultat si on débute en t = t0 :)()(

)()()()()(0

00

tCXts

dBettXtttXt

t

est une exponentielle de matrice

On retrouve les deux termes

)(])[( 11 tApILe At

Calculer l ’exponentielle matricielle associée au processus Cobaye:

t

t

AtAt

e

eFe

p

pppLe10

102

1

010

11,

10

10

10

11

p

p

ppApI

ppApIp

pApI

0

110

10

1)(

10,100

1

21

2

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discret

5

Discrétisation de la forme de commande

Discrétiser Cobaye sous la forme de commande si T= 0.01 seconde

)1(52

15

)10(

50)10(

501

)(10

102

1 1

T

T

L

e

eTG

pp

ppp

BApI

On aboutit à une représentation d ’état en temps discret avec le vecteur d ’état :

9.0,01.0 1.010 eesT T

n

nn s

sX

C ’est un cas particulier de la solution générale de l ’équation d ’état, où l ’entrée e(t) est constante par morceaux. Si par exemple entre 0 et T, e(t) = e0 constante, on pose :

p

epe 0)(~

p

epe n)(~

Pour résoudre entre T et 2T, X1 devient la condition initiale, et l ’entréedevient e1, d ’où X2, etc ... On fera donc en général :

neTntnTe ))1((

T

T

AT

e

eFe

10

10

010

11

On résout alors l ’équation d ’état entre 0 et T avec l ’entrée e0 et la condition initiale X0, on prélève le résultat à l ’instant T soit X1=X(T) qui donne s1=s(T)

nnn

nnnnn

XCXnTss

eXGeFXX

01)(

5.0

0

9.00

01.011

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discret

6

Représentation d ’état et fonction de transfert en z

Cas multivariable, on aboutit à une « matrice de transfert »

On calcule la fonction de transfert en transformant l ’équation d ’état à conditions initiales nulles :

)(~][)(~)(~][)(

~0)0(),(~)0()(

~)(

)(~)(~

))0()(~

(

1

1

zeGFzICzs

zeGFzIzX

XzeGzXzXFzI

zeGzXFXzXz

Cas monovariable (une entrée, une sortie),on aboutit à une fonction de transfert:

GFzICze

zszT 1][

)(~)(~

)(

Calculer la fonction de transfert de COBAYE discrétisé à partir de la représentation d ’état obtenue précédemment

Représentation d ’état et fonction de transfert sont deux représentations équivalentes

)9.0)(1(

005.0)(

10

01.09.0

)9.0)(1(

1)(

9.00

01.01

1

1

zzGFzIC

z

z

zzFzI

z

zFzI

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discret

7

Pôles et valeurs propres d ’un processus Stabilité EBSB

Les pôles de la fonction de transfert sont les valeurs propres de la matrice d ’état. Ce sont les racines du polynôme caractéristique :

Cobaye est-il stable au sens EBSB ?

Conséquence: un système en temps discret est stable au sens EBSB si et seulement si ses valeurs propres sont de module strictement inférieur à un, c ’est à dire se trouvent toutes à l ’intérieur du cercle unité strictement.

)9.0)(1(,9.00

01.01

zzFzIF

Non, puisqu ’on trouve une valeur propre de module unité

Comparer les valeurs propres et les pôles de COBAYE discrétisé.

L ’ordre n du processus, degré du dénominateur de la fonction de transfert et du polynôme caractéristique, donne les dimensions de la matrice d ’état (n,n)

Quel est le polynôme caractéristique de COBAYE discrétisé ?

Ils sont identiques, 9.0,1 21 zz

)(zPFzI

En effet, )()()( 1 zTGFzIadjFzI

CGFzIC

est donc égal au dénominateur de )(zT)(zPFzI

9.09.1)( 2 zzzP

Polynôme caractéristique

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discret

8

Définition de la gouvernabilité (et critère direct)

A quelle condition puis-je amener un processus discret de l’état X0 jusqu’à l ’état XN en N périodes d ’échantillonnage en utilisant son entrée ?

TNNNN

N eeeetGGFGFavecXFX

GeFGeXFGeFXXX

GeFXXX

11021

0

1002

1121

0010

......

...

Dans le cas particulier où N est l ’ordre du processus, et si est carrée, inversible égale de rang N, la solution est :

matrice de gouvernabilité vecteur de commande

)( 01 XFXE N

N

Si le rang de est égal à l ’ordre du processus, il existe une solution E à ce problème, le processus est alors « entièrement gouvernable ».

Cobaye est il entièrement gouvernable ? Calculer la succession des commandes permettant de rejoindre un état final Xf=[1,0] ’ depuis l’état X0=[0,0] ’ ?

5.045.0

0005.0GFG est de rang 2, donc Cobaye est entièrement gouvernable

fXGFGE 1)( Pour rejoindre Xf quelconque en 2T depuis 0, appliquer :

RESULTAT

PROBLEME

Mise enéquation

Ici

2180

0200

005.045.0

05.0

0025.0

11GFG

1

01

180

200

e

eXGFGE f

et

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discret

9

Observabilité (définition et critère direct)

Si on peut en observant seulement la sortie d ’un processus en reconstituerl ’état en un temps fini, le processus sera dit « entièrement observable ».

Pour qu ’un processus soit entièrement observable, le rang de la matrice d ’observabilité O ci-contre doit être égal à l’ordre du processus.

1

...NCF

CF

C

O

Cobaye discrétisé est-il entièrement observable ?

01.01

01

CF

CO est inversible, donc de rang deux,

Cobaye est entièrement observable

Observabilité et gouvernabilité sont deux propriétés duales: un calcul simplifié où l’entrée de commande est nulle mène au critère direct d’observabilité suivant :

Comment calculer l ’état de Cobaye à partir des sorties si l ’entrée est nulle ?

RESULTAT

PROBLEME

Mise enéquation

01

1

011

00

...

XCFs

CFXCXs

CXs

NN

0

1

1

0

...OX

s

s

s

S

N

Que devient le critère direct d ’observabilité si O est carrée ?

Il faut que O soit inversible dans ce cas

1

0110 s

sOSOXOn fera:

Par exemple, s0=1, s1=0 donne ?

1

1

0

1,

100100

01 10

1 OXO

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discret

10

Découplage de l ’équation d ’état

Les informations sur la stabilité, la gouvernabilité et l ’observabilité se déduisent de l ’analyse détaillée des couplages des variables d ’état. Si on opère un changement de base dans l ’espace d ’état qui diagonalise la matrice d ’état, la matrice de changement de base P est constituée de vecteurs propres de F : X ’ étant le nouveau vecteur d ’état, c ’est X = P *X ’et X ’= inv(P) *X. La représentation d’état dans cette base est :

nnn

nnnnn

XCCPXs

eBXBePFPXPX

'''

'''' 111

Stabilité = composantes de la diagonale de module inférieur à un.gouvernabilité = matrice de commande sans ligne nulleobservabilité = matrice d ’observation sans colonne nulle

Pour l ’exemple suivant, discuter stabilité, gouvernabilité et observabilité sur les équations scalaires correspondantes : nn

nnn

Xs

eXX

11

2

1.

5.0

05.11

avec

n

nn b

aX

La forme est découplée d ’origine:les deux valeurs propres sont :La matrice de commande n ’a pas de ligne nulle : gouvernabilitéLa matrice d ’observation pas de colonne nulle: observabilité

5.0

5.1

2

1

z

z Instablestable

nnn

nnn

nnn

bas

ebb

eaa

25.0

1.05.1

1

1La première équation est divergente, la deuxième converge, e agit sur a et b,a et b interviennent dans s

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discret

11

Il y a donc autant de représentations d ’état d ’un processus que de changements de base dans l ’espace d ’état. Cependant, il y a une seule fonction de transfert. Dans une base de vecteurs propres, les informations de stabilité, de gouvernabilité et d ’observabilité apparaissent en clair dans la représentation d ’état :

Nzzz ,...,, 21 1111 vzvFquetelv

s ’opère avec la matrice adjointe de F :Dans le cas où les valeurs propres sont simples (uniques), le calcul des vecteurs propres

)( 1 FIzadj

nnnnN XPXPXXvvvP 121 ','...

Découpler Cobaye discrétisé et discuter stabilité, observabilité et gouvernabilité :

se lit danspour 1z

Puis, on constitue la matrice de changement de base en juxtaposant les vecteurs propres

Calcul des vecteurs propres

10

01.09.0)(

z

zFzIadj

)(

10

1.01

10

1.01

1

1.0

1.00

01.00)(

0

1

00

01.01.0)(

1

121

22

11

IPPvérifier

PvvP

vFIzadj

vFIzadj

nn

nnn

Xs

eXX

CPCGPB

'1.01

5.0

05.0'

9.00

01'

1.01',5.0

05.0'

1

1

nnn

nnn

nnn

yxs

eyy

exx

1.0

5.09.0

05.0

1

1

> gouvernabilité, observabilité, et stabilité

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discret

12

Asservissement et représentation d ’état

)( nnn scke

Sous forme matricielle, on pose : nnn XkKXks 0

nn

nBFnBFnnn

nnnn

CXs

eGXFGkcXGKFX

GkcGKXFXX

)(1

1

Appliquer à l ’asservissement de Cobaye discrétisé :

kG

kFkGK BFBF 5.0

0

9.02/

01.01,0

2

00

Etude du lieu des pôles ou valeurs propres de l ’asservissement :

Prenons le cas de la loi de commande suivantepour l ’asservissement de COBAYE :

On en déduit alors que la loi de commande modifie l’équation d ’état :

Calculer le polynôme caractéristique du système bouclé :

2/01.09.09.12 kzzFzI BF

)(20 éinstabilitk

)(10 doubleracinek

Cercle unité

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discret

13

Retour d ’état

Supposons le vecteur d ’état de COBAYE entièrement connu et mesuré pour ses deux composantes

)( 211 kkKavecKXcke nnn

L ’équation d ’état est modifiée comme précédemment, mais les paramètres du retour d ’état permettent de fixer sans restriction les valeurs propres du système bouclé.

Appliquer ce retour d ’état au cas de Cobaye et placer les valeurs propres en 0. Quel est alors le gain statique du système bouclé ?

1222

1211

005.05.09.0)5.09.1(

5.0

0

5.09.05.0

01.01

kkkzzGKF

ck

Xkk

X nnn

Pour deux valeur propres nulles, il suffit que le polynôme caractéristique soit

nTn

n

dt

dss

nTss

)(

La loi de commande suivante dite « retour d ’état » permet de fixer àvolonté les valeurs propres de la matrice d ’état du système bouclé : GKF

2z

D ’où le retour d ’état 2008.321 kkK

Note 1 : la réalisation du retour d ’état implique en pratique la connaissance du vecteur d ’état (on devra construire un filtre observateur si l ’état est partiellement inconnu)

Note 2 : en régime permanent de l ’équation d ’état, Xn=Xn+1. Sous la forme de commande,toutes les dérivées de s sont nulles en plus, d ’où les équations à écrire:

es

CXs

GekXGKFI

1)(

Avec ce retour d ’état le gain statique est unitaire11001000

1001001

1

n

nnnn

nnnn

nn

c

scss

csss

ss

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discret

14

Choix des valeurs propres ou pôles

Pour déterminer les pôles / valeurs propres d ’un système en temps discret, on utilise les propriétés démontrées pour les pôles et valeurs propres continus sachant que :

Tpez Discret < | > Continu

Calculer les valeurs propres d ’un processus continu assurant l ’amortissement et le temps de réponse à 5% : stm r 3.0/3,2/2 0

Quel est donc le retour d ’état K imposant ces pôles à l ’asservissement de Cobaye ?

(Excepté pour le cas particulier de la réponse pile ou valeur propre z = 0)

14.011

07.011

07.007.0101.0

)07.0cos(2

1

ezzetezz

eeez ip

8681.0

8588.1

11

11

zz

zz

)1(07.72

2)1(101 iip

Avec T= 0.01s, quels sont les valeurs propres qui assurent le même comportement ?

• Un pôle réel

• 2 pôles complexes conjugués

10,0 r

aTrr zezap

TmiTm eemim2

00 1200 1

Tmumenteule Tm 20 1arg,mod 0

)0823.0868.1(21 kkK8681.08588.12 zzPoly car:

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discret

15

Exemple de simulation avec Matlab

clc echo oncobaye=tf(50,[1 10 0])T=0.01% en temps continu rect=ss(cobaye)% Matlab choisit une base dans l'EEA=[0 1; 0 -10]B=[0;50]C=[1 0]marect=ss(A,B,C,0)

%discrétisation marectd=c2d(marect,T)%stabilitédamp(marectd)eig(marectd)%GouvernabilitéGouv=ctrb(marectd)Gou=[get(marectd,'b') ... get(marectd,'a')*get(marectd,'b')]

% ObservabilitéObs=obsv(marectd) % commande conventionnellerlocus(marectd)zgrid(sqrt(2)/2,10)zoom onk=rlocfind(marectd)%fonction de transfertftz=tf(marectd)% calcul d'un retour d'étatAd=get(marectd,'a')Bd=get(marectd,'b')

%choix des pôlespolc=5*sqrt(2)*[-1-i,-1+i]polz=exp(T*polc)%calcul du retourK=acker(Ad,Bd,polz)%construction du système boucléretour=ss(Ad-Bd*K,Bd*K(1),C,0,T)step(retour)%comparer avec le bouclage pour k=10retour10=ss(Ad-Bd*[10,0],10*Bd,C,0,T)step(retour10,'r',retour,'b')

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discret

16

Comparaison de la commande proportion-nelle pour k=10 et du retour d ’état

Time (sec.)

Am

plitu

de

Step Response

0 0.5 1 1.5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

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