support de cours mécanique des fluides.pdf

INSTITUT SUPERIEUR DES ETUDES TECHNOLOGIQUES DE NABEUL

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DEPARTEMENT GENIE MECANIQUE

SUPPORT DE COURS

MECANIQUE DES FLUIDES

Elabor par

CHOUCHENE Mohamed

HMISSI Nizar

Niveau : Deuxime anne

Anne Universitaire: 2013 / 2014

AVANT-PROPOS

Dans ce document, on se propose de remplir les missions principales suivantes :

- Enseigner la science des mcaniques des fluides. - Donner les lments fonctionnels et technologiques permettant aux tudiants dtudier le

comportement des fluides.

En effet, ce cours adopte une prsentation en deux parties, la premire tant consacre la statique des fluides et la deuxime la dynamique des fluides.

La premire partie commence par une gnralit sur les fluides. Aprs une prsentation aux notions sur les pressions, on trouve une prsentation du principe fondamental de

lhydrostatique suivie dune prsentation de la dmarche de dtermination de laction exerce par un fluide ainsi que la dmarche de dtermination du centre de pousse. En dernier lieu, on

trouve la prsentation de la pousse dArchimde.

La deuxime partie est consacre ltude du comportement des fluides en mouvement. Aprs une prsentation des caractristiques dun coulement, on trouve une prsentation des thormes appliqus sur les fluides en mouvement. Cette prsentation permet aux tudiants de

bien saisir le phnomne des pertes de charges, didentifier les paramtres dterminer lors de ltude dune installation hydraulique et dappliquer ces thormes et ces notions sur des exemples rels.

Un recueil de travaux dirigs conclura le prsent cours.

Mcanique des fluides ISET Nabeul

A.U. :2013-2014 2

Table des matires

Liste des figures ........................................................................................................................... 4

CHAPITRE 1: Gnralits sur les fluides

1/- Dfinition dun fluide : .............................................................................................................. 5

2/- Proprits dun fluide : .............................................................................................................. 5

4-1/ La masse volumique : ................................................................................................. 5

4-2/ La densit d : .................................................................................................................. 6

4-3/ La viscosit : ........................................................................................................................ 6

CHAPITRE 2: Statique des fluides

1/- Notions sur les pressions : ......................................................................................................... 7

1-1/ Pression en un point dun milieu fluide : ............................................................................. 7

1-2/ les types de pression dun fluide : ........................................................................................ 7

2/- Equation gnrale de lhydrostatique : ...................................................................................... 8

3/- Thorme de Pascal : ............................................................................................................... 10

4/- Action de pression exerce sur une paroi plane : ..................................................................... 11

4-1/ Intensit de la force de pression : ....................................................................................... 12

b/ Cas dune paroi verticale : ................................................................................................. 13

4-2/ Position du point dapplication de la force de pression (Centre de pousse) : .................. 14

5/- Pousse dArchimde : ............................................................................................................ 16

5-1/ Histoire et lgende : ........................................................................................................... 16

5-2/ Enonc du thorme : ........................................................................................................ 17

5-3/ Pousse dArchimde : ...................................................................................................... 18

5-4/ Condition de stabilit: ........................................................................................................ 18

CHAPITRE 3: Cinmatique des fluides incomprssibles

1/- Description d'un coulement : ................................................................................................. 21

1-1/ Dfinitions : ....................................................................................................................... 21

1-2/Dbits : ................................................................................................................................ 22

a/ Dbit volumique : .............................................................................................................. 22

b/ Dbit massique : ................................................................................................................ 22

2/- Equation de conservation de la masse ou quation de continuit : .......................................... 23

2-1/ Conservation du dbit : ...................................................................................................... 23

2-2/ Expression du dbit en fonction de la vitesse v : ............................................................... 23

a/ Vitesse moyenne : ............................................................................................................. 23

CHAPITRE 4: Dynamique des fluides incomprssibles

1/- Thorme d'Euler ou des quantits de mouvement : ........................................................ 24


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1-1/ Principe : ............................................................................................................................ 24

1-2/ Application : ...................................................................................................................... 24

2/- Thorme de BERNOULLI : ................................................................................................... 24

2-1/ Thorme de Bernoulli pour un coulement permanent dun fluide parfait incompressible : ......................................................................................................................... 24

2-2/ Cas d'un coulement (1) (2) sans change de travail : .................................................. 26

2-3/ Cas d'un coulement (1)(2) avec change de travail: .................................................... 26

3/- Application du Thorme de Bernoulli : ................................................................................. 26

3-1/ Tube de Pitot : .................................................................................................................... 26

3-2/ Tube de Venturi : ............................................................................................................... 27

3-3/ Ecoulement d'un liquide contenu dans un rservoir - Thorme de Torricelli .................. 27

CHAPITRE 5: Ecoulements visqueux et pertes de charges

1/- Introduction : ............................................................................................................................ 29

2/- Les diffrents rgimes d'coulement, nombre de Reynolds : .................................................. 29

3/- Thorme de Bernoulli appliqu un fluide rel sans change dnergie : ............................ 30

4/- Les pertes de charges : ............................................................................................................. 31

4-1/ Pertes de charge systmatiques (linaires ou rgulires) : ................................................. 31

a/ Cas de l'coulement laminaire : Re < 2000 ................................................................... 31

b/ Cas de l'coulement turbulent : Re > 3000 ................................................................... 31

4-2/ Pertes de charge singulires : ............................................................................................. 32

4-3/ Pertes de charge totales : .................................................................................................... 33

5/- Thorme de Bernoulli gnralis : ......................................................................................... 33

6/- Notions sur les puissances : ..................................................................................................... 34

6-1/ Exemple dun groupe lectropompe : ................................................................................ 34

6-2/ Exemple dun groupe Turbine-alternateur : ....................................................................... 35

TRAVAUX DIRIGES N1 Statique des fluides ............................................................................. 37

Correction du Travaux Dirigs N1 ............................................................................................ 42

TRAVAUX DIRIGES N2 dynamique des fluides Incompressibles ........................................... 47


TRAVAUX DIRIGES N3 dynamique des fluides rels ............................................................... 51


BIBLIOGRAPHIE .......................................................................................................................... 60

WEBOGRAPHIE ............................................................................................................................ 60


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Liste des figures

Figure 1: Actions de contact entre deux volumes lmentaires ...................................................... 7 Figure 2: Equation gnrale de lhydrostatique .............................................................................. 8 Figure 3: Pression indpendante de la forme du rcipient .............................................................. 9

Figure 4: Baromtre de Torricelli, 1643 ...................................................................................... 9 Figure 5: Thorme de Pascal (1) ................................................................................................. 10 Figure 6: Thorme de Pascal (2) ................................................................................................. 10 Figure 7: Levier hydraulique ......................................................................................................... 11

Figure 8: Action de pression exerce sur une paroi plane ............................................................. 12 Figure 9: Cas dune paroi horizontale ........................................................................................... 13 Figure 10: Cas dune paroi verticale ............................................................................................. 13 Figure 11: Position du centre de pousse ...................................................................................... 14 Figure 12: Barrage tudier .......................................................................................................... 15

Figure 13: Variation de la position du solide dans un liquide en fonction ................................ 17 Figure 14: Pousse dArchimde .................................................................................................. 18 Figure 15: Condition de stabilit ................................................................................................... 18 Figure 16: Profils de vitesse .......................................................................................................... 21 Figure 17: Ligne, Tube et Filet de courant .................................................................................... 22

Figure 18: Thorme dEuler ........................................................................................................ 24 Figure 19: Fluide en coulement entre deux points (1) et (2) ....................................................... 25

Figure 20: Ecoulement avec change de travail ............................................................................ 26 Figure 21: Tube de Pitot ................................................................................................................ 26

Figure 22: Tube de Venturi ........................................................................................................... 27 Figure 23: Thorme de Torricelli ................................................................................................ 27

Figure 24: Exprience de Reynolds .............................................................................................. 29 Figure 25: Rgimes dcoulement ................................................................................................. 29 Figure 26: Passages entre les rgimes dcoulement .................................................................... 30 Figure 27: Modle dabaque pour la dtermination de k .............................................................. 32 Figure 28: Modle de tableau pour la dtermination de k ............................................................. 33 Figure 29: Groupe lectropompe ................................................................................................... 34

Figure 30: Groupe Turbine-alternateur ......................................................................................... 35


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La mcanique des fluides est la science qui sintresse aux comportements des fluides. On distingue :

- La statique des fluides : appele gnralement lhydrostatique , cest la filire de la mcanique des fluides qui sintresse aux comportements des fluides au repos.

- La dynamique des fluides : appele gnralement lhydrodynamique , cest la filire de la mcanique des fluides qui sintresse aux comportements des fluides en mouvement.

1/- Dfinition dun fluide :

Un fluide est un corps dont les molcules ont peu d'adhsion et peuvent glisser librement

les unes sur les autres (liquides) ou se dplacer indpendamment les unes des autres (gaz). Les

fluides n'ont pas de forme propre ( la diffrence des solides) donc ils se dforment facilement.

Quand vous introduisez un fluide dans un rcipient, ce dernier en pouse les formes.

Gnralement les fluides sont rpartis en deux groupes :

- Les liquides : Corps peu compressibles et dont la masse volumique est importante (eau, huile,). Les liquides occupent des volumes bien dfinis et prsentent des surfaces libres.

Les gaz : corps trs compressibles et mme extensibles (dioxyde de carbone, Air,). Les gaz se dilatent jusqu occuper toutes les parties du rcipient qui le contient.

Pour les liquides on distingue deux classes :

- Les fluides parfaits : un fluide parfait est un fluide dont les molcules glissent les unes sur les

autres sans aucun frottement.

- Les fluides rels : un fluide rel est un fluide dont les molcules glissent les unes sur les autres

sans avec frottement.

2/- Proprits dun fluide :

4-1/ La masse volumique : La masse volumique est le rapport entre la masse m dune matire et son volume v.

gnralement elle est exprime en kg/m3.

Pour les liquides la masse volumique varie trs peu avec la pression, mais plus sensiblement

avec la temprature. Les liquides sont appels des fluides incompressibles.

Contrairement celle des liquides, la masse volumique des gaz varie avec la pression et la

temprature. Les liquides sont appels des fluides compressibles.


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4-2/ La densit d : La masse volumique est le rapport entre la masse dune matire et son volume.

Gnralement elle est exprime en kg/m3.

La densit dun corps est le rapport entre la masse volumique de ce corps et la masse volumique dun corps de rfrence. Les deux masses volumiques tant dtermines dans les mmes conditions de temprature et de pression.

- Pour les liquides, cette dfinition se traduit par la relation suivante :

.

- Pour les gaz, cette dfinition se traduit par la relation suivante :

.

NB : T=20C et pression atmosphrique (p= 1.013 bar) on :

et

4-3/ La viscosit : On appelle viscosit la proprit qui traduit la rsistance dun fluide lcoulement. Elle

caractrise les frottements internes ou intermolculaires lintrieur du fluide. Plus la fluidit augmente (vitesse dcoulement du fluide) plus la viscosit diminue et inversement.

On distingue deux types de viscosits, savoir :

- La viscosit cinmatique : Exprime en m2/s, Stocks (St) ou centiStocks (cSt).

Avec: 1 Stokes (St) = 100 CSt = 10-4

m

2/s.

- La viscosit dynamique : Exprime en Pascal seconde (Pa.s), Poise (Po) ou centiPoise (cPo).

Avec: 1 Po= 0,1 Pa.s et 1000 cP = 1 Pa.s.

* Relation entre la viscosit cinmatique et la viscosit dynamique :

on a : avec en Pa.s, en kg/m3 et en m2/s

NB : T=20C et pression atmosphrique (p= 1.013 bar) on a:

et


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1/- Notions sur les pressions :

1-1/ Pression en un point dun milieu fluide : Soit deux volumes lmentaires en contact dV1 et dV2, et dS llment de surface qui les

spare. la normale dS au point M.

Figure 1: Actions de contact entre deux volumes lmentaires

Laction de dV1 sur dV2 est exprime par :

O :

- : est la composante tangentielle dS due la viscosit du fluide lorsquil y a mouvement relatif (glissement de dV2 par rapport dV1).

Or le fluide est au repos do :

- : est la composante normale dS dite la force de pression.

On pose

O : exprime en N, dS exprime en m2

p est la pression au point M exprime en Pa

Remarque : La pression P au point M dans un fluide, ne dpend pas de lorientation de la surface dS.

1-2/ les types de pression dun fluide : Il existe trois types de pression dun fluide savoir:

a/- La pression atmosphrique patm : cest la pression de lair, elle dpend de laltitude.

Au niveau de la mer : patm = 1 atm 1,013 bar = 1.013 105 Pa


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b/- La pression absolue pab : comme son nom lindique cette pression est toujour positive, la rfrence pour cette pression est 0. Dans le vide pab = 0 bar.

c/- La pression effective peff : appele aussi pression manomtrique, elle peut tre ngative,

positive ou nulle , la rfrence pour cette pression est patm. Dans le vide peff = 0 bar.

On peut dgager la relation suivante entre les diffrentes formes de pression : pab = peff + patm

2/- Equation gnrale de lhydrostatique : Etudiant lquilibre dune partie de fluide en forme de cylindre vertical de masse dm, de

section droite trs petite S et dune hauteur z (figure 2).

Figure 2: Equation gnrale de lhydrostatique

Le cylindre est soumis laction de son poids et laction des forces de pression du milieu fluide extrieur.

- Poids: P = dm.g or m = .dV donc P = .dV.g (avec dV = z . S)

- Forces de pression:

- Face suprieure : Fsup = p . S

- Face infrieure : Finf = (p+p) . S o p est la variation de pression entre la face suprieure et la face infrieure.

- Face latrale : Flat = 0 (les forces de pression laxe du cylindre sopposent et sannulent).

A lquilibre :

On projette lquation sur laxe OZ : P + Fsup - Finf =0

.z.S.g + p.s (p+p).S=0

.z.S.g p.S=0

.z.g p =0

p = .z.g


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Do on peut dduire lquation gnrale de lhydrostatique entre deux points A et B du milieu

fluide : pA pB = .g.(zA zB)

O : pA et pB sont respectivement les pressions du fluide aux points A et B.

zA et zB sont respectivement les coordonnes sur laxe z des points A et B.

* Remarque :

La pression dans un uide homogne ne dpend que de la dirence de lhauteur et de la masse volumique ; elle est notamment indpendante de la taille ou de la forme du rcipient recueillant

le uide (figure3). Cela a des consquences importantes :

Pour une altitude donne la pression est la mme ;

La surface libre dun uide est plane (sauf si la tension de surface joue un rle).

Figure 3: Pression indpendante de la forme du rcipient

* Application : Mesure de la pression atmosphrique (Baromtre de Torricelli, ~ 1643)

Soit un rcipient contenant du mercure de masse volumique Hg = 13600 kg/m3. On plonge dans

le rcipient un tube vertical, le niveau de la surface du mercure lintrieur du tube se stabilise une hauteur h = 0.76 m. Sachant que le vide rgne dans la partie suprieure du tube, dterminer

la pression la surface du mercure contenu dans le rcipient.

Figure 4: Baromtre de Torricelli, 1643


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* Correction :

Soient : - A un point appartenant la surface du mercure contenu dans le rcipient.

- B un point appartenant au mercure contenu dans le tube et situ sur le mme plan

horizontal passant par le point A. pA = pB.

- C un point appartenant la surface du mercure contenu dans le tube.

En appliquant lquation gnrale de lhydrostatique entre les points B et C, on trouve :

pB pC = .g.(zB zC) pB = pC + .g.(zB zC)

Avec : (zB zC) = h, pB = pA et pC = 0

Do on trouve : pA = .g.h

AN : pA = 13600 * 9.81 * 0.76 = 101396.16 Pa = 1.013 bar patm.

3/- Thorme de Pascal : Soit un liquide incompressible de masse volumique () en quilibre et soient deux points

A et B appartenant ce liquide (figure 4).

Figure 5: Thorme de Pascal (1)

En appliquant lquation gnrale de lhydrostatique entre A et B on trouve :

pB = pA + .g. h

On exerce une force sur la surface, et on provoque une surpression p (figure 5).

Figure 6: Thorme de Pascal (2)


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Lquation gnrale de lhydrostatique entre A et B devient :

p'B = p'A + .g. h

avec : p'A = pA + p p'B = pA + p + .g. h

or on a : pA + .g. h = pB p'B = pB + p

Do on peut tirer le thorme de Pascal: Pour tout fluide incompressible en quilibre, la variation de la pression en un point se transmet intgralement en tout point du fluide.

* Application : Levier hydraulique

Dans la figure 6, les surfaces des cylindres A et B sont respectivement de 40 et 4000 cm et B a

une masse de 4000 kg. Le rcipient et les conduits sont remplis de liquide de densit 0,75.

Dterminer la valeur de la force F qui assurera lquilibre, sachant que le poids du cylindre A est ngligeable. On donne h = 0.3 m.

Figure 7: Levier hydraulique

* Correction :

On a : pB = pA + l.g. h

Avec :

,

(le poids du cylindre A est ngligeable),

Lquation devient :

(

)

AN : on trouve pour g = 9.81 m/s2 : F = 383.571 N.

4/- Action de pression exerce sur une paroi plane : Soient une paroi dS dun rcipient contenant un liquide, et un point M appartenant cette

paroi.

- La pression au point M du ct du liquide est p1(M) = patm + .g.h.

- Laction de pression quexerce le liquide sur llment de surface dS est n . dS . ) M ( pFd 1 1

.

Cette action est toujours perpendiculaire dS.


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- Laction de pression quexerce lair sur llment de surface dS est n . dS . ) M ( p - Fd atm 2

.

Figure 8: Action de pression exerce sur une paroi plane

A lquilibre de la surface dS : la rsultante des actions de pression lmentaire est

n . dS . ) M ( patm - n . dS . ) M ( p FdFdFd 1 2 1

n . dS . patm) - p( Fd 1

. Or p1 patm = .g.h

Do on trouve: n . ds .h . g . Fd

4-1/ Intensit de la force de pression :

La force de pression F

est dtermine par la relation suivante :

S n . ds .h . g . F

Fd

- Dans le repre R ) w , v , u , (O

on a : les coordonnes du point M sont (uM , vM , 0)

dS = du.dv et h = u M . sin

do S M n . ds u sin . g . F

Par dfinition le centre de gravit est dfini par :

dSvS.v

dSuS.u .dSOM OG . S

MG

MG

.

Donc on peut crire GG .G u . sin hor n . Su . sin . g . F

O hG est la profondeur du centre de gravit de la paroi par rapport la surface libre.

Do on aura la relation suivante : n . Sh . g . F .G

a/ Cas dune paroi horizontale :


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Soit un rservoir ouvert l'air libre de surface de base S contenant une hauteur h de

liquide de masse volumique .

Figure 9: Cas dune paroi horizontale

On a :

Or la surface S est horizontale donc la pression est uniforme sur toute la surface, do on peut

crire que :

b/ Cas dune paroi verticale : Maintenant on vas dterminer la force qui sexerce sur une paroi verticale du rservoir

trait au niveau de la paragraphe 4-1. La section de cette paroi est Sv de longeur L(figure 10).

Figure 10: Cas dune paroi verticale

Soit M un point quelconque appartenant Sv

On a :

Avec : n . ds . h . g . Fd M M

et hM = zM

Or dSv = L.dz

[

]


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4-2/ Position du point dapplication de la force de pression (Centre de pousse) : Soit C de coordonnes (uC, vC, 0) le point dapplication de la rsultante des forces de pression. On dsire dterminer la position de ce point.

Figure 11: Position du centre de pousse

On a :

( )

Or ( ) et ( )

Calcul de ( ) : | |

|

Calcul de ( ) : | |

|

Puisque ( )

{

* Dtermination de uc :

Daprs lquation (2) on a :

Or on a et

Donc on peut crire

Or daprs la figure 11 on a : hG = uG sin et hM = uM sin


A.U. :2013-2014 15

Le terme reprsente le moment quadratique de la surface S

, daprs Huygens on a :

Donc on peut crire

A partir de cette relation on peut dduire la profondeur du centre de pousse par rapport la

surface libre du liquide :

* Dtermination de vc :

Daprs lquation (1) on a :

On peut crire

Or , daprs Huygens on a :

Donc on peut crire

* Si la paroi est verticale :

* Si la paroi est horizontale : et

* Application :

Soit un barrage contenant de leau (figure 12), calculer les coordonnes du centre de pousse et le point dapplication de la rsultante des efforts de pression exerce par leau.

Figure 12: Barrage tudier


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* Correction :

La surface de contact entre le barrage et leau est verticale donc sin = 1, do on peut crire :

h hS.

h GG

GVC

I

u uS.

u GG

GVC

I

v h . S

v GG

GUVC

I

La surface de contact entre le barrage et leau est rectangulaire, de longueur L et largeur l, donc

son moment quadratique est :

La hauteur correspondant au centre de gravit G est : 2L h G

La hauteur correspondant au centre de pousse C est : 2

L

6

L

2

L

2

Ll.L.

12

l.L

h

3

C 3L 2 h C

6

L

2

L -

3

L 2 h-h u GC C

Laxe est un plan de symtrie de la surface de contact, donc vC = vG , or G concide avec

lorigine du repre do vC = vG = 0.

5/- Pousse dArchimde :

5-1/ Histoire et lgende : Archimde est un savant grec qui vcut Syracuse (Sicile) de 287 av. J.-C. 212 av. J.-

C. Il est connu pour ses multiples travaux scientifiques, thoriques ou pratiques, que ce soit

en mathmatique ou en physique. Parmi ces derniers, son Trait des corps flottants jette les bases

de ce qui sera plus tard la science nomme hydrostatique. C'est notamment dans cet ouvrage qu'il

tudie avec rigueur l'immersion d'un corps, solide ou fluide, dans un fluide de densit infrieure,

gale ou suprieure. Le thorme qui portera plus tard le nom du savant y est ainsi nonc (ce

thorme fut ensuite dmontr au XVIe sicle).

le roi Hiron II de Syracuse (306-214) aurait demand son jeune ami et conseiller scientifique

Archimde (g seulement de 22 ans) de vrifier si une couronne d'or, qu'il s'tait fait

confectionner comme offrande Zeus, tait totalement en or ou si l'artisan y avait mis de

l'argent. La vrification avait bien sr pour contrainte de ne pas dtriorer la couronne. La forme

de celle-ci tait en outre trop complexe pour effectuer un calcul du volume de l'ornement.

Archimde aurait trouv le moyen de vrifier si la couronne tait vraiment en or, alors qu'il tait

au bain public, en observant comment des objets y flottaient. Il serait alors sorti dans la rue en

s'criant le clbre Eurka (j'ai trouv).


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Ce qua constat Archimde au bain public est que, pour un mme volume donn, les corps n'ont pas le mme poids apparent, c'est--dire une masse par unit de volume diffrente. On parle de

nos jours de masse volumique. L'argent (masse volumique 10 500 kgm-3

) tant moins dense que

l'or (masse volumique 19 300 kgm-3

), il a donc une masse volumique plus faible : pour obtenir

un poids voulu il faudra une plus grande quantit d'argent que d'or. De l, Archimde a dduit

que si l'artisan a cach de l'argent dans la couronne du roi, la couronne est plus grande que si,

pour le mme poids, elle avait t faite exclusivement d'or, alors elle a une masse volumique plus

faible qu'une couronne de mme taille seulement en or.

Pour rpondre la question du roi Hiron, Archimde a donc pu comparer les volumes d'eau

dplacs par la couronne et une quantit d'or de poids identique. Si les deux dplacent le mme

volume d'eau, leur masse volumique est alors gale et on peut en conclure que les deux sont

composs du mme mtal. Pour raliser l'exprience, on peut imaginer plonger la masse d'or

dans un rcipient rempli ras-bord (et muni d'un bec verseur pour mieux observer la chose). Une

certaine quantit d'eau dbordera alors du rcipient (on peut la recueillir pour la mesurer).

Ensuite, on retire l'or et on le remplace par la couronne tudier. Si la couronne est bien

totalement en or, alors l'eau ne dbordera pas. En revanche, si sa densit est plus faible et donc

son volume plus important pour la mme masse, de l'eau supplmentaire dbordera.

5-2/ Enonc du thorme : Tout corps plong dans un fluide au repos, entirement mouill par celui-ci ou traversant

sa surface libre, subit une force verticale, dirige de bas en haut et oppose au poids du volume

de fluide dplac ; cette force est appele pousse d'Archimde.

- Si le solide et le fluide sont homognes alors G et C sont confondus.

- Si le solide et le liquide sont htrognes alors G et C sont distincts.

Pour assurer lquilibre du corps immerg, il faut que le centre de pousse et le centre de gravit soient aligns.

* Remarques :

1- Si la masse volumique du solide est infrieure celle du liquide (sL): le solide est immerg et il touche le fond du contenant du liquide.

Figure 13: Variation de la position du solide dans un liquide en fonction

On cherche dterminer la rsultante des forces de pression qui sexercent sur un solide en quilibre dans un liquide.


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5-3/ Pousse dArchimde :

Figure 14: Pousse dArchimde

Le volume fictif de fluide reste en quilibre sous laction de son poids et de lensemble des forces de pression exerces sur sa surface extrieure par le fluide environnant.

Lapplication du principe fondamental de la statique montre que la rsultante des forces de

pression (ou pousse dArchimde ) est gale et oppose au poids .

Avec :

Vi : volume de fluide dplac (m3)

g = 9,81 m. s-2

FA : pousse dArchimde (N)

masse volumique du fluide (kg.m-3)

5-4/ Condition de stabilit: Dans le cas dun solide partiellement immerg ou dun solide compltement immerg

mais non homogne, le centre de pousse A est distincts du centre de gravit G du solide, ce qui

influe sur la stabilit du solide.

Figure 15: Condition de stabilit

Le point M, situ lintersection de la verticale passant par le point A et de laxe de symtrie du solides, est appel mtacentre et dm est la distance mtacentrique.


A.U. :2013-2014 19

Si M est situ au-dessus de G, il y a toujours stabilit ; le solide tend revenir dans sa position

dquilibre aprs un cart. Il y a instabilit dans le cas contraire, lorsque M est au-dessous de G.

* Application :

Un corps cylindrique de diamtre d = 50 mm, de hauteur h = 0,4 m et de masse

ngligeable est rempli dhuile jusqu la moiti de sa hauteur. La masse volumique de lhuile est

huile = 900 kg/m3

.

Lensemble (corps cylindrique + huile) est immerg dans leau.

1) Isoler lensemble (corps cylindrique + huile) et faire linventaire des forces qui lui sont appliques.

2) Donner lquation dquilibre statique de cet ensemble. En projetant cette quation sur laxe

z

, exprim h en fonction de h, huile et eau . Calculer h.

3) En remplaant le volume dhuile par le mme volume deau dans ce corps cylindrique,

calculer dans ce cas la nouvelle valeur de h.

* Correction :

1/-

On a : - hP

: Le poids de lhuile.


A.U. :2013-2014 20

- AF

: La pousse de leau (pousse dArchimde).

2/- On a : 0

Ah FP

Projection sur laxe z

: 0 Ah FP

Avec : gdh

gVgmP hhhhh .4

..

2....

2

gd

hgVgmF eaudeaueaudeauA .4

......

2'

En remplacent chaque terme par sa relation on trouve : 0.4

..

2..

4

...

22' g

dhg

dh heau

02

.. ' h

h heau do on trouve : eau

h hh

.2

.'

A.N. : mh 18,0'

3/-

On a : 0'

Aeau FP

Projection sur laxe z

: 0' eauA PF

Avec : gdh

gVeaugmP eauheaueaueau .4

..

2....

2

gd

hgVgmF eaudeaueaudeauA .4

......

2''''

En remplacent chaque terme par sa relation on trouve : 0.4

..

2..

4

...

22' g

dhg

dh eaueau

02

' h

h do on trouve : 2

' hh

A.N. : mh 2,0'


A.U. :2013-2014 21

1/- Description d'un coulement :

1-1/ Dfinitions : Lcoulement dun fluide peut tre permanent ou non permanent, uniforme ou non

uniforme, laminaire ou turbulent.

- Ecoulement permanent : un coulement est dit permanent si la vitesse des particules de fluide qui se succdent en un mme point, et quel que soit ce point, reste la mme

(constante) au cours du temps.

- Ecoulement uniforme : un coulement est dit uniforme si la vitesse des particules de fluide est la mme en tout point de lcoulement (mme direction, mme intensit et mme sens en chaque point).

- Fluide parfait ou idal : un fluide parfait est un fluide dont la viscosit est suppose nulle. Il ny a pas de contraintes de cisaillement dues au frottement interne entre molcules et frottement contre les parois. Il ny a pas de rotation des particules de fluide autour de leur centre de masse (elles sont dites irrotationnelles). Il ne supporte que des forces de pression et les coulements puissent tre reprsents par des lignes de courant.

Figure 16: Profils de vitesse

- Lignes de courant : les lignes de courant sont des lignes imaginaires de lcoulement

indiquant la direction du mouvement du fluide. Cest la courbe suivant laquelle se

dplace un lment de fluide. Une ligne de courant est tangente en chaque point aux

vecteurs vitesses des particules.

- Tube de courant : Cest lensemble form partir dun faisceau de lignes (sorte de

canalisation).il ny a pas dcoulement de fluide latralement ou transversalement au

tube. Lcoulement seffectue par les sections dentre (S1) et de sortie (S2).

- Filet de courant : Cest un tube de courant s'appuyant sur un petit lment de surface

S.

La section de base S du tube ainsi dfinie est suffisamment petite pour que la vitesse du fluide

soit la mme en tous ses points (rpartition uniforme).


A.U. :2013-2014 22

Figure 17: Ligne, Tube et Filet de courant

- Lignes dmission : un instant donn, cest la courbe gomtrique dcrite par les

particules de fluide qui passent en un point choisi de lcoulement

En coulement permanent, les lignes de courant, les trajectoires et les lignes dmission sont identiques ou confondues.

* Remarque : En coulement permanent, les lignes de courant, les trajectoires et les lignes

dmission sont identiques ou confondues.

1-2/Dbits :

Le dbit est le quotient de la quantit de fluide qui traverse une section droite de la conduite par

la dure de cet coulement. On distingue deux types de dbit savoir :

a/ Dbit volumique :

Soit V le volume de fluide qui a travers une section droite de la conduite pendant le temps t,

par dfinition le dbit-volume est :

avec qv en m

3.s

-1.

b/ Dbit massique :

Soit m la masse de fluide qui a travers une section droite de la conduite pendant le temps t,

par dfinition le dbit-masse est :

avec qm en kg.s

-1.

* Relation entre qm et qV :

La masse volumique est donne par la relation :

On multiplie le numrateur et le dnominateur par t on trouve

Do


A.U. :2013-2014 23

2/- Equation de conservation de la masse ou quation de continuit :

2-1/ Conservation du dbit : Considrons un tube de courant entre deux sections S1 et S2. Pendant l'intervalle de temps

t, infiniment petit, la masse m1 de fluide ayant travers la section S1 est la mme que la

masse m2 ayant travers la section S2.

2m1m qq

En rgime stationnaire, le dbit-masse est le mme travers toutes les sections droites d'un

mme tube de courant.

Dans le cas d'un coulement isovolume ( = Cte) : 2v1v qq

2-2/ Expression du dbit en fonction de la vitesse v : Le dbit volumique est aussi la quantit de liquide occupant un volume cylindrique de

base S et de longueur gale x, correspondant la longueur du trajet effectu pendant l'unit de

temps, par une particule de fluide traversant S.

Il en rsulte la relation importante : S.vqv

a/ Vitesse moyenne :

En gnral la vitesse v n'est pas constante sur la section S d'un tube de courant ; on dit qu'il existe un profil de vitesse ( cause des forces de frottement) (figure 16).

Dans une section droite S de la canalisation, on appelle vitesse moyenne vm la vitesse telle que :

S

qv Vmoy

La vitesse moyenne vm apparat comme la vitesse uniforme travers la section S qui assure le mme dbit que la rpartition relle des vitesses.

Si l'coulement est isovolume, cette vitesse moyenne est inversement proportionnelle l'aire de

la section droite.

qv = v1moy.S1 = v2moy.S2 = Cte

C'est l'quation de continuit.

1

2

2

1

S

S

v

v ; La vitesse moyenne est d'autant plus grande que la section est faible.


A.U. :2013-2014 24

1/- Thorme d'Euler ou des quantits de mouvement :

1-1/ Principe : Ce thorme tablit une relation entre les lments cinmatiques d'un fluide et les efforts

qui lui sont appliqus. La somme vectorielle des forces appliques un tronon de fluide en

coulement permanent est gale au produit du dbit massique par la diffrence vectorielle des

vitesses du fluide en aval et en amont de ce tronon.

Figure 18: Thorme dEuler

O :

: La somme vectorielle des forces extrieures appliques un tronon de fluide isol (N).

qm : Le dbit massique du fluide (kg/s).

: La vitesse vectorielle du fluide l'aval (m/s).

: La vitesse vectorielle du fluide l'amont (m/s).

1-2/ Application : Dans la pratique on trouve plusieurs applications du thorme de dEuler notamment les jets

pour entrainer les turbines et la propulsion des fuses.

2/- Thorme de BERNOULLI :

2-1/ Thorme de Bernoulli pour un coulement permanent dun fluide parfait incompressible :

Un fluide parfait est un fluide dont l'coulement se fait sans frottement.

On considre un coulement permanent isovolume dun fluide parfait, entre les sections S1 et S2,

entre lesquelles il ny a aucune machine hydraulique (pas de pompe, ni de turbine).


A.U. :2013-2014 25

CteHg

Pz

2g

v2

Figure 19: Fluide en coulement entre deux points (1) et (2)

Soit m la masse et V le volume du fluide qui passe travers la section S1 entre les instants t et

t+t. Pendant ce temps la mme masse et le mme volume de fluide passe travers la section S2. Tout se passe comme si ce fluide tait pass de la position (1) la position (2).

En appliquant le thorme de lnergie cintique ce fluide entre les instants t et t+t (la variation dnergie cintique est gale la somme des travaux des forces extrieures : poids et forces pressantes), on obtient :

Ctepgz2

v2

p : Pression statique.

gz : Pression de pesanteur.

2

v2

: Pression cintique.

Tous les termes exprims en pascal.

En divisant tous les termes de la relation prcdente par le produit g, on crit tous les termes dans la dimension d'une hauteur (pressions exprimes en mtres de colonne de fluide).

Avec :

H est la Hauteur totale, g

P

est la Hauteur de Pression, z est la cote,

2g

v2 est la Hauteur cintique,

g

Pz

est la Hauteur pizomtrique.


A.U. :2013-2014 26

2-2/ Cas d'un coulement (1) (2) sans change de travail : Lorsque, dans un coulement dun fluide parfait, il n'y a aucune machine (ni pompe ni

turbine) entre les points (1) et (2) d'une mme ligne de courant, la relation de Bernoulli peut

scrire sous l'une des deux formes suivantes :

0pp)zz(gvv2

11212

21

22

Ou 0)(2

1 1212

2

1

2

2

g

ppzzvv

g

2-3/ Cas d'un coulement (1)(2) avec change de travail: Lorsque le fluide traverse une machine hydraulique, il change de lnergie avec cette

machine sous forme de travail W pendant une dure t.

La puissance P change est : t

WP

Avec : P en watt (W) ; W en joule (J) ; t en seconde (s).

Figure 20: Ecoulement avec change de travail

Si p > 0 : lnergie est reue par le fluide (exemple : pompe) ;

Si p< 0 : lnergie est fournie par le fluide (exemple : turbine).

Si le dbit-volume est qv, la relation de Bernoulli scrit alors :

v

1212

2

1

2

2q

Ppp)zg(zvv

2

1

3/- Application du Thorme de Bernoulli :

3-1/ Tube de Pitot : On considre un liquide en coulement permanent dans une canalisation et deux tubes

plongeant dans le liquide, l'un dbouchant en A face au courant, et l'autre en B le long des lignes

de courant, les deux extrmits tant la mme hauteur.

Figure 21: Tube de Pitot


A.U. :2013-2014 27

Au point B, le liquide a la mme vitesse v que dans la canalisation et la pression est la mme que

celle du liquide pB = p.

En A, point d'arrt, la vitesse est nulle et la pression est pA.

D'aprs le thorme de Bernoulli,

AB pvp 2

2

1 soit hgv

2

2

1

En mesurant la dnivellation h du liquide dans les deux tubes, on peut en dduire la vitesse v

d'coulement du fluide.

3-2/ Tube de Venturi : Une conduite de section principale SA subit un tranglement en B o sa section est SB. La

vitesse du fluide augmente dans ltranglement, donc sa pression y diminue : vB > vA pB < pA

Figure 22: Tube de Venturi

Le thorme de Bernoulli s'crit ici :

222

2

1

2

1

2

1CCBBAA vpvpvp

D'aprs l'quation de continuit, vAABB qSvSv et AB vv donc BA pp

22

22

11

2

1q.kq).

SS.(pp

AB

BA

La diffrence de pression aux bornes des extrmits du tube de Venturi est proportionnelle au

carr du dbit.

3-3/ Ecoulement d'un liquide contenu dans un rservoir - Thorme de Torricelli Considrons un rservoir muni d'un petit orifice sa base, de section S et une ligne de

courant partant de la surface au point (1) et arrivant l'orifice au point (2). En appliquant le

thorme de Bernoulli entre les points (1) et (2)

Figure 23: Thorme de Torricelli


A.U. :2013-2014 28

22

2

211

2

1

22pzg

vpzg

v

Or p1 = p2 = pression atmosphrique, z1-z2 = h et v1


A.U. :2013-2014 29

1/- Introduction : Un fluide rel, en mouvement, subit des pertes d'nergie dues aux frottements sur les

parois de la canalisation (pertes de charges systmatiques) ou sur les "accidents" de parcours

(pertes de charge singulires). Ces pertes dpendent de la forme, des dimensions et de la rugosit

de la canalisation, de la vitesse d'coulement et de la viscosit du liquide mais non pas de la

valeur absolue de la pression qui rgne dans le liquide.

2/- Les diffrents rgimes d'coulement, nombre de Reynolds : Les expriences ralises par Reynolds (1883) lors de l'coulement d'un liquide dans une

conduite cylindrique rectiligne dans laquelle arrive galement un filet de liquide color, ont

montr l'existence de trois rgimes d'coulement : laminaire, transitoire et turbulent.

Figure 24: Exprience de Reynolds

Figure 25: Rgimes dcoulement

En utilisant des divers fluides (viscosit diffrente), et en faisant varier le dbit et le diamtre de

la canalisation, Reynolds a montr que le paramtre qui permettait de dterminer si l'coulement

est laminaire ou turbulent est un nombre sans dimension appel nombre de Reynolds et donn

par :

.v.DRe ou

D v.Re

Avec :

* = masse volumique du fluide ;

* v = vitesse moyenne ;

* D = diamtre de la conduite


A.U. :2013-2014 30

= viscosit dynamique du fluide,

= viscosit cinmatique

L'exprience montre que :

- Si Re < 2000 : le rgime est LAMINAIRE - Si 2000 < Re < 3000 : le rgime est intermdiaire (appel aussi transitoire) - Si Re > 3000 : le rgime est TURBULENT

Ces valeurs doivent tre considres comme des ordres de grandeur, le passage d'un type

d'coulement un autre se fait progressivement.

Figure 26: Passages entre les rgimes dcoulement

3/- Thorme de Bernoulli appliqu un fluide rel sans change dnergie : Lors de lcoulement d'un fluide rel entre deux points (1) et (2), il peut y avoir des pertes

de charge.

Dans le cas dune installation ne comportant pas de machine hydraulique (pompe ou turbine) entre les points (1) et (2), la relation de Bernoulli scrit sous la forme :

1212122122 ppp)zz(gvv2

1

O : p12 reprsente lensemble des pertes de charge entre (1) et (2) exprime en Pa.

Il existe deux types de pertes de charge savoir :

- Les pertes de charges systmatiques (appeles aussi linaires ou rgulires). - Les pertes de charges singulires.


A.U. :2013-2014 31

4/- Les pertes de charges :

4-1/ Pertes de charge systmatiques (linaires ou rgulires) : Les pertes de charge rgulires (chute de pression p = p1 - p2) rsultent du frottement exerc entre le fluide et la surface intrieure de la canalisation. Elles sont proportionnelles la

longueur L de la conduite et au carr de la vitesse moyenne V du fluide, inversement

proportionnelle au diamtre d et fonction de la rugosit moyenne R de la canalisation.

Entre deux points spars par une longueur L, dans un tuyau de diamtre D apparat une perte de

pression p. Exprime sous les deux formes suivantes :

D

L

2

vp

2 ou

D

L

g2

vh

2

Diffrence de pression (Pa) Perte de charge exprime en mtre

de de colonne de fluide (mCF)

est un coefficient sans dimension appel coefficient de perte de charge linaire. Le calcul des pertes de charge linaires repose entirement sur la dtermination de ce coefficient. La valeur de

dpend du rgime dcoulement.

a/ Cas de l'coulement laminaire : Re < 2000

Dans ce cas on peut montrer que le coefficient est uniquement fonction du nombre de

Reynolds Re ; l'tat de la surface n'intervient pas et donc ne dpend pas de de la rugosit R (not aussi k), ni de la nature de la tuyauterie.

64

Re avec

v.DRe

Il est alors immdiat de voir que est proportionnel la vitesse v et donc au dbit q, ainsi qu' la

viscosit cinmatique

b/ Cas de l'coulement turbulent : Re > 3000

Les phnomnes d'coulement sont beaucoup plus complexes et la dtermination du

coefficient de perte de charge rsulte de mesures exprimentales. C'est ce qui explique la

diversit des formules anciennes qui ont t proposes pour sa dtermination.

En rgime turbulent l'tat de la surface devient sensible et son influence est d'autant plus grande

que le nombre de Reynolds Re est grand. Tous les travaux ont montr l'influence de la rugosit et

on s'est attach par la suite chercher la variation du coefficient en fonction du nombre de Reynolds Re et de la rugosit k du tuyau.

La formule de Colebrook est actuellement considre comme celle qui traduit le mieux les

phnomnes d'coulement en rgime turbulent. Elle est prsente sous la forme suivante :

12

3 7

2 51

log(

,

,

Re)

k

D

L'utilisation directe de cette formule demanderait, du fait de sa forme implicite, un calcul par

approximations successives ; on emploie aussi en pratique des reprsentations graphiques

(abaques).


A.U. :2013-2014 32

Pour simplifier la relation prcdente, on peut chercher savoir si l'coulement est

hydrauliquement lisse ou rugueux pour valuer la prdominance des deux termes entre

parenthses dans la relation de Colebrook.

* Remarque :

On fait souvent appel des formules empiriques plus simples valables pour des cas particuliers

et dans un certain domaine du nombre de Reynolds, par exemple :

- Formule de Blasius : (pour des tuyaux lisses et Re < 105)

25,0 25.0 Re . 316,0Re.100 4-2/ Pertes de charge singulires : Les pertes de charges singulires rsultent de la prsence de coudes, raccords, branchements,

robinets, etc. Tous ces lments (singularits), installs le long des canalisations, constituent des

obstacles qui freinent le passage du fluide et amnent des pertes de charge.

Les pertes de charge singulires sont proportionnelles au carr de la vitesse, elles sont exprimes

sous les deux formes suivantes :

2

vKp

2 ou

g2

vKh

2

Diffrence de Pression (Pa) Perte de charge exprime (mCF)

O K est appel coefficient de perte de charge singulire (sans dimension).

Le coefficient k est dtermin empiriquement partir des abaques ou des tableaux.

Figure 27: Modle dabaque pour la dtermination de k


A.U. :2013-2014 33

Figure 28: Modle de tableau pour la dtermination de k

4-3/ Pertes de charge totales : Lors dun coulement dans une conduite hydraulique, les pertes de charge totales sont laddition de deux types de pertes de charge (rgulires et singulires)

Avec :

v

2

1 Kr P 2r : pertes de charge par frottement ; o

D

.L Kr

v 21 Ks Ps 2 : pertes de charge singulires ;

5/- Thorme de Bernoulli gnralis : Lors d'un coulement d'un fluide rel entre deux points (1) et (2) il peut y avoir des

changes d'nergie entre ce fluide et le milieu extrieur :

- Par travail travers une machine, pompe ou turbine ; la puissance change tant P (voir Thorme de Bernoulli)

- Par pertes de charge dues aux frottements du fluide sur les parois ou les accidents de

parcours ; la diffrence de pression tant p

P P P srT


A.U. :2013-2014 34

Le thorme de Bernoulli s'crit alors sous la forme gnrale :

12T

v

1212

2

1

2

2 pq

Ppp)zz(gvv

2

1

Avec :

- P : somme des puissances changes entre le fluide et le milieu extrieur, travers une machine, entre (1) et (2) :

- P >0 : si le fluide reoit de l'nergie de la machine (pompe).

- P


A.U. :2013-2014 35

* Remarque :

Si la transmission du mouvement entre le moteur lectrique et la pompe se faisait par un organe

de transmission de puissance mcanique, il y aurait un rendement de transmission introduire.

6-2/ Exemple dun groupe Turbine-alternateur :

Figure 30: Groupe Turbine-alternateur

Leau alimente la turbine avec la puissance hydraulique Ph que celle-ci absorbe mais comme elle

a un rendementT, elle restitue sur larbre de transmission la puissance P telle que : P = T . Ph

Cette puissance de transmission est absorbe par lalternateur : compte tenu de son rendement

a, il restitue la puissance Pe telle que : Pe = P .a

Finalement : Pe = Ph . T . a

G = T . a : Rendement du groupe Turbine-alternateur.

On remarque que Ph > P > Pe : La puissance de dpart est donc toujours la puissance la plus

leve, elle ne fait ensuite que diminuer.


A.U. :2013-2014 36


A.U. :2013-2014 37

TRAVAUX DIRIGES N1 Statique des fluides

* Exercice 1:

* Exercice 2:

* Exercice 3:

Leau monte jusquau niveau E dans la canalisation fix au rservoir ABCD comme

indique la figure ci-dessous. En ngligeant le poids du rservoir et des conduites :

En ngligeant le poids du cylindre A,

dterminer la force F qui assurera lquilibre.

On donne :

- Les surfaces des cylindres A et B sont

respectivement de 40 et 4000 cm2.

- Le cylindre B a une masse de 4000 kg.

- Le rcipient et les conduites sont remplis

dhuile de densit d = 0,75.

Les rcipients A et B contiennent de

leau aux pressions respectives de 2,80 et 1,40 bar.

Calculer la dnivellation h du mercure du manomtre diffrentielle.

On donne :

x + y = 2 m.

La densit du mercure est d = 13,57

Mercure


A.U. :2013-2014 38

1/ Donner lintensit et la position de la force de pression agissante sur la surface AB qui a 2.5 m

de largeur.

2/ Dterminer la force totale de pression qui sexerce sur la face infrieure BC du rservoir.

3/ Dterminer la force totale de pression qui sexerce sur la face suprieure AD du rservoir.

4/ Calculer le poids total de leau dans le rservoir.

* Exercice 4:

Soit le barrage de la figure ci-dessous comporte deux portes dvacuation deau AB et

CD, comme lindique la figure. Connaissant que la porte en AB forme une surface rectangulaire

de largeur 3 m et la porte en CD forme une surface plane triangulaire de base 4m.

1/ Calculer la rsultante des efforts de pression 1R

applique par leau sur la surface AB.

2/ Donner le centre de pousse de la rsultante de pression 1R

; Zc1.

3/ Calculer la rsultante des efforts de pression 2R

applique par leau sur la surface CD.

4/ Donner le centre de pousse de la rsultante de pression 2R

; Zc2.

5/ Calculer les deux composantes 2z 2x Ret

R .

6/ Comparer 2x 1 R

R que peut-on dire ?

2A = 0.10m

y

z

6 m2m

3.7

m

D

C

E

B

O

A


A.U. :2013-2014 39

On donne 36

. 3hbIGy dun triangle rectangle, eau = 1000 Kg/m

3

* Exercice 5:

On dsire dterminer la masse volumique 2 dun liquide L2. Pour cela versons dans un

bain de leau qui sera mis en contact avec une paroi verticale de largeur b = 100cm et de hauteur

h = 2m. La surface libre du liquide L2 est situe une distance a = 700mm par rapport la

surface libre de leau.

1/ a- Dterminer la rsultante des forces de pression 1R

exerce par leau sur la paroi verticale.

b- Dterminer la position ZC1 du centre de pousse de cette rsultante.

2/ a- Dterminer la rsultante des forces de pression 2R

exerce par le liquide L2 sur la paroi

verticale en fonction de 2.

C

D Q

z

x

45

3m

6m6m

4m

D

C

B

A

21 OO


A.U. :2013-2014 40

b- Dterminer la position ZC2 du centre de pousse de cette rsultante.

3/ Dterminer la force F

exerce par lair sur la partie non mouille de la paroi verticale.

4/ En effectuant lquilibre de la paroi verticale, dduire la masse volumique 2 du liquide L2.

* Exercice 6:

La figure suivante reprsente un petit barrage dlimitant deux milieux liquides de masses

volumtriques diffrentes et dont les niveaux sont dcals de 0,5 m. On considre une porte de

section carr incline dun angle de par rapport lhorizontale ayant une ct de 2m.

On donne 2=850 Kg/m3, 1= 10

3 Kg/m

3, = 75. On prend g=10 m/s2.

1) Calculer la force de pression exerce par le liquide 1 sur la surface carre.

2) Prciser la position du centre de pousse Cp1 sur laxe z

et sur laxe 1z

.

3) Calculer la force de pression exerce par le liquide 2 sur la surface carre

4) Prciser la position du centre de pousse Cp2 sur laxe z

et sur laxe 1z

.

5) Sachant que larticulation est au point A, dterminer en appliquant le PFS leffort F

quil

faut appliquer en B pour quilibrer la porte. Indiquer le sens de leffort F

.


A.U. :2013-2014 41

* Exercice 7:

Un tronc darbre de forme cylindrique de (diamtre D = 50 cm, longueur L = 4.5 m) est immerg dans un bassin deau, comme le montre la figure 1.

1/ Si lquilibre le tronc est moiti immerg, calculer la masse volumique t du tronc. On

donne la masse volumique de leau eau = 1000 Kg/m3.

2/ Si le tronc est creus de diamtre intrieur d = 40 cm, calculer la force F1 quil faut applique pour que celui-ci reste moiti immerg, comme le montre la figure 2.

3/ Calculer F2 pour que le tronc soit totalement immerg.


A.U. :2013-2014 42

Correction du Travaux Dirige s N1 * Exercice 1:

En appliquant lquation de lhydrostatique entre les points A et C on trouve :

ACeauAC ZZgpp ..

xhgpp eauAC ..

En appliquant lquation de lhydrostatique entre les points C et D on trouve :

CDmercureCD ZZgpp ..

hgdpp eauCD ..

hgdxhgpp eaueauAD ....

dghxgpp eaueauAD 1...

En appliquant lquation de lhydrostatique entre les points D et B on trouve :

DBeauDB ZZgpp ..

ygpp eauDB ..

ygdghxgpp eaueaueauAB ..1...

dghyxgpp eaueauAB 1...

dg

yxgpph

eau

eauAB

1..

.

AN : mh 1,272 .

* Exercice 2:

On a : pN = pM + l.g. h

Avec :

,

(le poids du cylindre A est ngligeable),

Lquation devient :

(

)

AN : on trouve pour g = 9.81 m/s2 : F = 377.685 N.

* Exercice 3:

1/- Dtermination de lintensit de la force de pression agissante sur la surface AB :

On a F = .g.hG.S avec hG = 4,7m et S = (AB) x l = 5 m2

Do F = 235 KN.


A.U. :2013-2014 43

- Dtermination de la position de la force de pression :

On a GG

Gy

C ZSZ

IZ

. avec

12

).( 3ABlIGy

Do ZC = 4,77 m.

2/- Dtermination de la force totale de pression qui sexerce sur la face infrieure BC du rservoir :

On a F1 = .g.hG1.S1 avec hG1 = 5,7m et S1 = (BC) x l = 15 m2

Do F1 = 855 KN.

3/- Dtermination de la force totale de pression qui sexerce sur la face suprieure AD du rservoir :

On a F2 = .g.hG2.S2 avec hG2 = 3,7m et S2 = S1-A = 14,9 m2

Do F2 = 551,3 KN.

4/- Dtermination du poids total de leau dans le rservoir :

On a P = .g.VT avec VT = l x S1 + A x (DE)

Do P = 303,7 KN.

* Exercice 4:

1/- Dtermination de la rsultante des efforts de pression 1R

:

On a xShgR ABG

... 11 avec 2

11

ABAOhG et SAB = AB x l

Do R1 = 840 KN.

2/- Dtermination du centre de pousse de la rsultante de pression 1R

:

On a 11

1.

G

ABG

Gx

C ZSZ

IZ avec

12

).( 3ABlIGx et

211

ABAOZG et SAB = AB x l

Do ZC1 = 7,42 m.

3/- Dtermination de la rsultante des efforts de pression 2R

:

On a xShgR CDG

... 22 avec )45sin(.3

22

CDhh CG et SCD = (CD x DQ)/2.

Do R2 = 699,41 KN.


A.U. :2013-2014 44

4/- Dtermination du centre de pousse de la rsultante de pression 2R

:

On a 22

2

2.

G

CDG

G

C ZSZ

IZ avec

36

. 3hbIGx et )45sin(.

3

22

CDZZ CG et SCD = (CD x

DQ)/2.

Do ZC2 = 6,17 m.

5/- Dtermination des deux composantes 2x R

et 2zR

:

On a 2x R

= 2zR

= 2R

x sin (45)

Do R2x = R2z = 494,55 KN.

* Exercice 6:

1/- Dtermination de lintensit de la force de pression exerce par le liquide 1 sur la surface carre :

nShgF G

111

avec : 2aS

sin21

ABOAhG

Do :

sin

2sin211

aOAagF

AN : KNF 219,121

.

2/- Dtermination de la position du centre de pousse Cp1 sur laxe z

:

On a

1

1

2

1

sin

1 G

G

Gy

CpCp hSh

IhZ

avec :12

4aIGy

sin21

ABOAhG o

sin

2OA

2aS

AN : m07,3Z1Cp .


A.U. :2013-2014 45

- Dtermination de la position du centre de pousse Cp1 sur laxe 1z

:

sin

ZZ 1

Cp

1Cp1

AN : m179,3Z1Cp .

3/- Dtermination de lintensit de la force de pression exerce par le liquide 2 sur la surface carre :

nShgF2G22

avec : 2aS

5,0sin22

ABOAhG

Do :

5,0sin

2sin222

aOAagF

AN : KNF 841,832

.

4/- Dtermination de la position du centre de pousse Cp2 sur laxe 1z

:

On a 1G1

1G1

Gy

1Cp1Z

S.Z

IZ

avec : 12

aI

4

Gy

2

ABOAZ

1G1 o

sin

2OA

2aS

AN : m17,3Z1Cp1 .

- Dtermination de la position du centre de pousse Cp1 sur laxe z

:

sinZZ1Cp11Cp

AN : m06,3Z1Cp .


A.U. :2013-2014 46

* Exercice 7:

1/- Bilan des actions extrieures :

Le solide est soumis son propre poids : P et la pousse dArchimde : PA

A lquilibre : P + PA = 0 P P A ;

La pousse dArchimde : g v g m P eaueaueauA

Avec (1) 4D l

21

2V V

2t

eau

Le poids du tronc : g v g m P ttt

Avec ) 2 ( 4D l V

2

t

En galisant entre (1) et (2) on aura : mKg/ 500 2

3eau

t .

2/- A lquilibre : P + PA + F1 = 0 (3) 0 P - F P A1

La pousse dArchimde : g v g m P eaueaueauA ;

Avec ) d - D ( 4 l

21

2V V 22teau

Le poids du tronc : ) d - D( 4 l g v g m P 2

2tttt g ;

Compte tenu de lquation (3) :

) 2

( ) d - D ( 4 g l P - P F t

eau22A 1 ; or 0 F

2

1eau

t

3/- an O 0 P - F P A2 ;

. N 1560 ) ( ) d - D ( 4 g l P - P F teau22A 2


A.U. :2013-2014 47

TRAVAUX DIRIGES N2 dynamique des fluides Incompressibles

* Exercice 1:

Un tage est aliment en eau laide dune pompe entrane par un moteur lectrique Voir figure .La pompe puise de leau dun rservoir de grande dimension et ouvert lair libre et le refoule lair libre .Le dbit assur est 1 l /s .Le diamtre de la conduite daspiration est da = 32 mm et celui du refoulement est dr = 18 mm .On donne en plus :ha = 5 , hr = 15 m , le

rendement de la pompe p = 0.6 et celui du moteur p = 0.85 .Calculer :

1/ Lnergie par unit de volume fournie par la pompe leau ;

2/ La puissance lectrique consomme ;

3/ Les pressions absolues et effectives lentre et la sortie de la pompe.

* Exercice 2:

On considre la vidange dun grand rservoir ouvert lair libre et contenant de leau. La conduite de vidange a un diamtre D = 40 mm et elle est termine par une tuyre (rtrcissement

progressif) tel que le diamtre de sortie soit d = 25 mm voir figure .

On donne hE = 3 m et hS = 5 m

En supposant que leau comme tant un fluide parfait, calculer :

1/ Le dbit de vidange ;

2/ La pression en E et la pression lentre de la tuyre en B ;

3/ La pression en E lorsque la tuyre est bouche.


A.U. :2013-2014 48

Correction du Travaux Dirige s N2

* Exercice 1:

1/- On applique le thorme de Bernoulli lentre et la sortie de la pompe :

v

Fluideeses2e

2s

qP p p )z (z g v v

21

Calculons alors les vitesses l'entre et la sortie :

On a : d

qv 4 v 2

;

d

qv 4 v 2s

= 3,93 m/s ;

d

qv 4 v 2e

= 1,24 m/s ;

do v

Fluideatat

3223

q

P p p ) (-5) (15 10 10 1.24 93,3 10

2

1 ;

Lnergie par unit de volume fournie par la pompe leau est alors :

vFluide

v

Fluideq * 206953,4 P Pa 206953,4 E

q

P

Pfluide = 206,9 w

2/- Le rendement sur la pompe est : w344,85 6,0

206,9

P P

P

P

p

hhp

Le rendement sur larbre de transmission est : h

mPP

La puissance lectrique consomme est alors : w405,7 85,0

344,85

P P

m

h

3/- On applique le thorme de Bernoulli entre les points ( 3 ) et ( 4 ) :

0 p p )z (z g v v 21

343423

24

La vitesse v4 tant juste la sortie de la conduite donc v4 = v3 et z4 z3 = hr .

Do p3 = p4 + . g . hr .

Et p3 = psabs = 105 + 10

4 * 15 = 2,5 10

5 Pa

psabs = 2,5 bar


A.U. :2013-2014 49

ps effe = 1,5 bar

*On applique le thorme de Bernoulli entre les points ( 1 ) et ( 2 ) :

0 p p )z (z g v v 21

121221

22

Or v1 = 0 (vitesse nulle la surface du liquide)

21122122 p p )z (z g v v 21

et p2 = peabs

peabs = 105 0,5 .103 .1.242 +104.(-5) = 0,49 bar

peeffe = 0.49 1 = - 0,51 bar

* Exercice 2:

1/- On applique le thorme de Bernoulli entre les points A ( point de la surface du liquide ) et le

point S .

S S

2S

AA

2A p zg

2v

p zg 2v

Or vA 0 et pA = pS = patm .

h . g . 2 v 2v

p )z -z ( g s2S

A SA

AN : la sortie on a : vs = 10 m / s.

Le dbit volumique est alors qv = V.S = 4,9 l /s .

2/- La pression au point E :

v

S

S . v v qvqv4D.

4d.

. S

B

SSBBS 2

2

s / m 3,9 D2

d . v v :A.N

2S

B

On applique le thorme de Bernoulli entre le point E te le point A on aura :

A) EA

2E

E p z - z( g 2v

- p

pE = 1,224 bar

On applique le thorme de Bernoulli entre E et B, on aura :


A.U. :2013-2014 50

EBEB p ) z - z( g p

pB = 1,424 bar

3/- Lorsque la tuyre est bouche :

bar 1,3 p h g p' AEE


A.U. :2013-2014 51

TRAVAUX DIRIGES N3 dynamique des fluides re els

* Exercice 1:

Du ptrole qui coule travers un coude horizontal 90. P1=2 bars, la pression chute S2 de

1,2m de ptrole (masse volumique 872 kg.m-3

). Le dbit est de 0,86 m3.s

-1, le diamtre du coude

de 0,5m et le poids de fluide sera nglig.

1/ Calculer la pression P2 la sortie du coude

2/ En appliquant le thorme dEuler, dterminer la rsultante des actions exerces par un coulement de ptrole

* Exercice 2:

Une station dalimentation dun chteau deau utilise une pompe immerge de puissance P dterminer.

Cette pompe refoule leau dans une conduite verticale de hauteur h = z2-z1 = 40m et de diamtre d = 120mm.

La vitesse dcoulement dans la conduite est : v2 = v1 = 5m/s. Les pressions deau (absolues) mesures avec un manomtre aux points 0, 1 et 2 sont :

p0 = 105 Pa, p1 = 5,4 10

5 Pa, p2 = 1,2 10

5 Pa

On donne la viscosit cinmatique de leau : = 10-6 m2/s. On nglige les pertes de charge singulires et on donne g = 10 m/s

2.


A.U. :2013-2014 52

1/ Calculer le dbit volumique et le dbit massique de la pompe.

2/ Calculer le nombre de Reynolds dans la conduite et en dduire la nature de lcoulement.

3/ Calculer la perte de charge linaire J12 entre les sections extrmes 1 et 2 de la conduite.

On donne : 12121221221

2

1JzzgppVV

4/ Calculer le coefficient r de perte de charge linaire dans la conduite.

5/ Calculer le travail W chang entre la pompe et la masse de 1 Kg deau qui la traverse. On nglige les pertes de charge singulires au niveau de la pompe.

On donne : vq

PW

6/ Calculer la puissance mcanique Pm fournie la pompe sachant que le rendement de celle ci

est = 0,85.

* Exercice 3 :

Dans une station dalimentation dun chteau deau on utilise un groupe lectropompe de puissance hydraulique Ph dterminer. La pompe aspire leau du point G et le refoule laire libre au point O.

On admet que les conduites daspiration et de refoulement possdent le mme diamtre d = 120 mm. La vitesse dcoulement dans ces conduites est V = 0,5m/s. La pression de leau (absolues)

mesure avec un manomtre au point G est : pG = 1,5 105 Pa.

Afin de relier les diffrentes conduites on a utilise 4 coudes 90 de rayon de courbure R0 = 100

mm.

0

z


A.U. :2013-2014

Documents

support de cours mécanique des fluides.pdf