Sur le nombre des valeurs propres négatives dʼun opérateur elliptique

Bull. Sci. math. 137 (2013) 434–456www.elsevier.com/locate/bulsci

Sur le nombre des valeurs propres négativesd’un opérateur elliptique

On the number of negative eigenvaluesof an elliptic operator

Mohammed El Aïdi

Departamento de Matemáticas, Universidad Nacional de Colombia, sede Bogotá, Avenida carrera 30, número 45-03,Edificio 404, Bogotá, D.C., Colombia

Reçu le 19 septembre 2012

Disponible sur Internet le 23 octobre 2012

Résumé

On donne une borne supérieur du nombre des valeurs propres négatives d’un opérateur elliptique perturbépar un potentiel réel positif, les conditions aux limites sont mêlées.© 2012 Elsevier Masson SAS. Tous droits réservés.

Abstract

We give an upper bound of the number of negative eigenvalues corresponding to an elliptic operatorperturbed by a potential, and where the boundary conditions are Robin.© 2012 Elsevier Masson SAS. Tous droits réservés.

MSC: primary 34B09, 34L15, 34L25, 34L05, 35J40, 35P15, 35R06, 35R15, 47A75; secondary 47A07, 47A40, 47A10,57R40, 58D10

Keywords: Negative eigenvalues; Generalized Poincaré inequality; Elliptic operator; Embedded injection; Courantminimax principle

Adresse e-mail : [email protected].

0007-4497/$ – see front matter © 2012 Elsevier Masson SAS. Tous droits réservés.http://dx.doi.org/10.1016/j.bulsci.2012.10.005

http://dx.doi.org/10.1016/j.bulsci.2012.10.005

http://www.elsevier.com/locate/bulsci

mailto:[email protected]

http://dx.doi.org/10.1016/j.bulsci.2012.10.005

M. El Aïdi / Bull. Sci. math. 137 (2013) 434–456 435

1. Introduction

L’importance de l’étude des valeurs propres. On considère l’opérateur différentiel L = L0 − V

défini dans L2(Ω) avec L0 est un opérateur symétrique définie positif elliptique d’ordre 2m,V est un potentiel réel défini dans Ω un ouvert de R

n. Étudier l’existence des valeurs propresnégatives associées à L lorsque n < 2m est un peu délicat, car pour certaine classe de potentielil se peut qu’il n’y ait pas de valeurs propres négatives, mais quand le potentiel est borné et tendvers zéro à l’infini alors le spectre contient au moins une valeur propre négative, en terme dephysique quantique ceci se traduit par le fait qu’il y a une résonance autour de la valeur proprenulle, pour plus de détail voir [8, Example 33, Chapter 4]. Selon la nature du potentiel, l’étudedu nombre des valeurs propres peut dépendre du nombre de résonances. On rappelle, que lesrésonances sont les pôles du prolongement méromorphe, dans une région du plan complexe,de la résolvante associée à L. L’étude des résonances associées à l’opérateur de Schrödingera été étudiée par les auteurs suivants (la liste n’est pas exhaustive) [1,2,13,14,16,17,22,23,27–30,32,26,36,41–43]. Une autre application liée au nombre de valeurs propres est la conjecturede Bethe–Sommerfeld qui date des années trente et qui stipule que le spectre d’un opérateurde Schrödinger à potentiel périodique est absolument continue et constitué d’une réunion finid’intervalles fermés disjoints, c.-à-d. un nombre fini de zone instable. La longueur de chaqueintervalle représente la différence de deux valeurs propres de natures instables, c.-à-d. la longueurde la zone instable, cette longueur porte le nom de trou (ou en anglais est appelé gap) spectral.La validité de cette conjecture dépend de la dimension de l’espace, du domaine d’étude et de laclasse de potential, pour plus détails voir [5,18,31,40]. Pour le cas de l’opérateur de Schrödingergénéralisé Hm,V := (−�)m − V , l’auteur M. Skriganov [37,38] a montré, via la décompositionde Floquet–Bloch, que la validité de cette conjecture est liée au calcul du nombre de valeurspropres négatives associées à Hm,V lorsque n < 2m. Les auteurs A. Sobolev et L. Parnovski [34]ont trouvé un nouveau résultat correspondant à la validité de cette conjecture avec un potentielpériodique par rapport à un réseau.

2. Rappels des précédents travaux et énoncé du résultat principal du présent papier

Les auteurs V. Kondratiev et Yu. Egorov ont étudié une borne supérieur du nombre N desvaleurs propres négatives de L avec les conditions aux bords de Dirichlet pour les cas n � 2m

ceci selon la parité de n ou bien n > 2m, voir [7]. Ils ont fourni des théorèmes qui généralisentle résultat correspondant à la borne de Lieb–Cwiekel–Rosenblum—en abrégé notée LCR—pourplus de détail voir [21], [33, Theorem XIII.12] et [35]. Les auteurs Solomyak, M. Birman etA. Laptev ont aussi donné une borne supérieur associée à N ceci pour le cas n < 2m et lorsqueL est défini dans un espace de Sobolev homogène [3] et [4]. Pour le cas n > 2m, les auteursYu. Egorov et M. El Aïdi ont étendu les travaux de [7], ceci en travaillant avec des conditionsaux limites mêlées. Précisemment, pour n > 2m, ils ont étudié le spectre négatif de L défini dansl’espace de Sobolev Hm

0 (Rn+)—le complété de C∞0 (Rn) restreint à R

n+, par rapport à la norme‖ · ‖Hm

0 (Rn+) défini plus bas, pour plus de détails voir [10].Ainsi le but de ce travail est de poursuivre le travail fait dans [10], c.-à-d. de déterminer

une borne supérieur de N ceci pour le cas n < 2m avec n est un entier naturel impair ou pair.Avant d’énoncer nôtre principal théorème, on a besoin de définir quelques outils mathématiquesnécessaires.

436 M. El Aïdi / Bull. Sci. math. 137 (2013) 434–456

Soit L0 un opérateur symétrique positif d’ordre 2m > n � 3 tel que :

L0(·) =∑

|α|�m|β|�m

Dα(aαβ(·)Dβ(·)),

où les aαβ sont des fonctions mesurables à valeurs réels (ou complèxes) définies dans Rn+ :=

{x = (xl)1�l�n t.q. xn > 0}, α = (αl)1�l�n ∈ Nn et |α| = α1 + · · · + αn, et Dα := ∂ |α|

∂xα .Dans la suite, on travaille avec le sous espace vectoriel Hm

0 (Rn+) de l’espace de HilbertHm(Rn+) := {u ∈ L2(Rn+) t.q. Dαu ∈ L2(Rn+)}. Les dérivées Dαu sont comprises au sens faible.

Hm0 (Rn+) est le complété de C∞

0 (Rn)|R

n+par rapport à la norme :

‖u‖Hm0 (Rn+) =

(∫R

n+

∣∣u(x)∣∣2 dx +

∫R

n+

∑|α|=m

∣∣Dαu(x)∣∣2 dx

)1/2

, (2.1)

C∞0 (Rn) := {u :Rn �→ C infiniment dérivable à support compact} et C∞

0 (Rn)|R

n+est C∞

0 (Rn)

restreint à Rn+.

Pour (u, v) ∈Hm0 (Rn+) ×Hm

0 (Rn+), on définit 〈L0u,v〉L2(Rn+) par :

〈L0u,v〉L2(Rn+) =∫R

n+

∑|α|�m|β|�m

Dα(aαβ(x)Dβu(x)

)v(x) dx,

avec · est la fonction conjuguée.En appliquant la formule de Green généralisée à l’opérateur L0, on obtient :

〈L0u,v〉L2(Rn+) =∫R

n+

∑|α|�mβ|�m

(−1)|α|aαβ(x)Dβu(x)Dαv(x) dx −∫

∂Rn+

m−1∑s=0

∂sv

∂xsn

Ls,m(u) dx′,

avec x = (x′, xn) ∈ Rn−1 × (R+ \ {0}) et

Ls,m :=∑

|α|�2m−1−s

bsαDα, bsα ∈ C∞(∂Rn+).

On suppose que pour tout u ∈Hm0 (Rn+)∫

Rn+

∑|α|�m|β|�m

(−1)|α|aαβ(x)Dβu(x)Dαu(x) dx � a0

∫R

n+

∑|α|=m

∣∣Dαu(x)∣∣2 dx (2.2)

où a0 est une constante numérique strictement positive.On remarque que l’espace Hm

0 (Rn+) est plus large que Hm0 (Rn+)—le complété de C∞

0 (Rn+).Dans l’espace Hm

0 (Rn+), on voit bien ce qui se passe avec les fonctions qui s’intersectent avec lafrontière ∂Rn+, c.-à-d. l’hyperplan {x = (xl)1�l�n ∈ R

n+ t.q. xn = 0}.Soit u ∈ Hm

0 (Rn+) \ {0} une fonction propre de L associée à la valeur propre λ. Dans la suiteon travaille avec le sytème suivant :

(∗∗)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩Lu(x) = λu(x) pour xn > 0,

L0,m

(u(x))− W

(x′)u(x) = 0 pour xn = 0,

∂u = ∂2u

2= · · · = ∂m−1u

m−1= 0 pour xn = 0.

∂xn ∂xn ∂xn


Ci-dessous le théorème principal du présent article.

Théorème 2.1. Soit n < 2m, q > 1, q1 > 1, 0 � W ∈ Lq(Rn−1), 0 � V ∈ Lq1(Rn+) avecV (x) = 0, W(x′) = 0 si |x′| > R pour un R > 0. Alors le nombre N des valeurs propres né-gatives du système (∗∗) vérifie l’estimation suivante :

N � C1(n,m)

( ∫R

n+

[V (x)

]q1 |x|2mq1−n dx + 1

)

+ C2(n,m)

∫∂Rn+

[W(x′)]q |x|(2m−1)q−n+1 dx′ + cnkn,m.

kn,m = #{α ∈ Nn tel que |α| < m − n/2}, cn est une constante positive qui dépend de n,

C1(n,m) et C2(n,m) sont des constantes qui dépendent de n et de m. Par hypothèse, les poten-tiels V et W sont à support compact. Vu que q > 1 et q1 > 1, grâce à un argument de densité, onpeut juste prendre les potentiels des fonctions régulières à support compact.

La démonstration de ce théorème suit le plan suivant : dans la troisième section, on rappellequelques lemmes cruciaux pour la démonstration du théorème 2.1, dans la quatrième section ondémontre le lemme suivant :

Lemme 2.2. Soit u ∈ Hm0 (Rn+)

( ∫∂Rn+

∣∣u(x)∣∣2p|x|−n+1+p(n−2m) dx

)1/p

� Cn,m,p

∫R

n+

∑|α|=m

∣∣Dαu(x)∣∣2 dx, (2.3)

où p > 1, n < 2m et Cn,m,p est une constante qui dépend de n, m, p, en plus

Dξu(x0) = 0 quand |ξ | < m − n/2, x0 ∈Rn+. (2.4)

Pour démontrer ce lemme on a besoin de la décomposition tensorielle, à un isomorphismeprès, de l’espace d’Hilbert L2(Rn+) ∼= L2(Rn+, rdr) ⊗ L2(Sn−1+ ) avec S

n−1+ := {ω = (ωl)1�l�n ∈Sn−1 t.q. ωn > 0}, puis on utilise le théorème d’injection de Sobolev entre L2(∂Sn−1) et l’es-pace de Sobolev Hm

0 (Sn−1+ ). Ensuite, en tenant compte des hypothèses (2.4) on applique unautre théorème d’injection celui-ci entre le complété de C∞

0 (Rn+) (par rapport à la seminorme‖ · ‖Lm(Rn+) définie dans la démonstration) noté Lm(Rn+) et l’espace C∞

0 (Rn)|R

n+. Puis on mon-

trera, grâce à des conditions supplémentaires portées sur u, que l’inégalité (2.3) reste vraie pouru ∈ C∞(Q+) avec Q+ est un cube de R

n+. La cinquième section est réservée à la démonstrationdu théorème 2.1, et pour ce faire, on utilise un recouvrement uniforme du support de W par descubes et sur chaque cube on applique l’inégalité (2.3), enfin on applique le principe de minimax-courant, aussi connu par le lemme de Glazman, ceci pour déterminer un sous espace vectoriel deHm

0 (Rn+), où l’opérateur L est de signe positif, de codimension supérieur à N . Enfin, la sixièmeet septième est destinée à l’étude d’une majoration du nombre N lorsque n est un entier naturelpair.


3. Rappel des lemmes cruciaux pour la démonstration du théorème 2.1

Ci-dessous des résultats extraits du livre de Yu. Egorov et V. Kondratiev. Ainsi le lemmesuivant est localisé dans la [8, p. 278] :

Lemme 3.1. Soient u ∈ C∞0 (Rn) ; (r,ω) ∈R+ × S

n−1 =Rn ; et (φj )j∈N un système complet de

fonctions sphériques orthonormal dans L2(Sn−1) et

u(x) =∞∑

j=0

Rj (r)φj (ω).

Alors on a :∫Rn

(−�)mu(x)u(x) dx =∞∑

j=0

∫R

Lj (Dt)Tj (t)Tj (t) dt

avec r = exp(t), Dt = d/dt , Tj (t) = Rj (r)rn−2m/2.

Lj est un opérateur différentiel positif d’ordre 2m à coefficients constants de polynôme ca-ractéristique

Lj(iλ) =m−1∏l=0

[λ2 +

(k − m + n

2+ 2l

)2]

=m−1∑l=0

c(j)l λ2l . (3.1)

La valeur de k = k(j) dans la formule provient de la relation μj = −k(k + n − 2), où μj estla j -ième valeur propre de l’opérateur Laplace–Beltrami Lω restreint à la sphère unité, et defonction propre associée −φj , c

(j)l sont les coefficients du polynôme, i est le nombre complèxe

qui vérifie i2 = −1.

Idem, le lemme qui suit est démontré dans [8, p. 281].

Lemme 3.2. Soit p � 1, Lj l’opérateur différentiel positif défini dans le lemme 3.1. Si k(j) �m + 1 − n/2 ou n est impair alors l’inégalité :(∫

R

∣∣u(t)∣∣2p

dt

)1/p

� bpk(j)1−1/p−2m

∫R

Lj (Dt )u(t)u(t) dt (3.2)

est vraie pour toute fonction u ∈ C∞0 (R). bp est une constante qui dépend de p.

Un extrait de la preuve. Le coefficient principal de Lj est égale à (−1)m. Par conséquent on ala minoration suivante :∫

R

Lj (Dt )u(t)u(t) dt �∫R

((−1)mD2m

t + a0j

)u(t)u(t) dt, (3.3)

avec a0j =∏m−1

l=0 (k(j) − m + n/2 + 2l)2. Si j est très grand alors a0j ≈ [k(j)]2m, le symbole ≈

signifie équivalence entre deux nombres.


Précisemment, si n est impair alors on a a0j � d0[k(j)]2m et d0 > 1. Maintenant si n est pair

et k(j) �m + 1 − n/2 alors, aussi, on a a0j � d0[k(j)]2m.

D’après [6] on a l’inégalité suivante :(∫R

∣∣u(t)∣∣2p

dt

)1/p

� bp

(∫R

∣∣u(m)(t)∣∣2 + d0

∣∣u(t)∣∣2 dt

), (3.4)

vraie pour tout u ∈ C∞0 (R), p � 1 et bp est une constante qui dépend de p. Par conséquent, à par-

tir de cette dernière inégalité, on effectue le changement de variable t1 = k(j)t , avec k(j) �= 0,pour tout j ∈ N, on a :(∫

R

∣∣u1(t)∣∣2p

dt

)1/p

� bpk(j)−2m−1/p+1∫R

(∣∣u(m)1 (t)

∣∣2 + a0j

∣∣u1(t)∣∣2)dt

(d’aprés (3.3)

)� bpk(j)−2m−1/p+1

∫R

Lj (Dt)u1(t)u1(t) dt, (3.5)

d’où le lemme 3.2. �Le lemme suivant connu par le lemme de Rozenblyum nous permet d’obtenir un recouvrement

uniforme, la démonstration de ce lemme figure dans [8, p. 294].

Lemme 3.3. Soient Q un cube de Rn et f une fonction positive mesurable définie dans Q telle

que∫Q

f (x)dx = 1. Alors pour tout ε > 0, le cube Q peut-être recouvert par une réunion finie

de cubes (Qj )1�j�M et chacun de ces cubes vérifie∫Qj

f (x) dx � 2nε, avec M � 4nε−1.

Il existe aussi un autre type de recouvrement uniforme, ceci lorsque le cube Q est dyadiqued’ordre l ∈ Z, c.-à-d. que l’arête et la distance entre deux sommets valent 2l , avec l ∈ Z, ce typede recouvrement est dû à C. Fefferman [12] et utilisé par les auteurs R. Kerman et T. Sawyer [20],ceci pour montrer que le nombre des valeurs propres négatives de l’opérateur de Schrödinger,avec condition au bord de Dirichlet, est majoré à une constante multiplicative près, par le nombrede cubes dyadiques minimaux, ce résultat a été étendu à l’opérateur de Schrödinger généralisépar M. El Aïdi [11].

4. Lemme permettant la démonstration du théorème 2.1

Lemme 4.1. Soit u ∈ Hm0 (Rn+)( ∫

∂Rn+

∣∣u(x′,0)∣∣2p∣∣x′∣∣−n+1+p(n−2m)

dx′)1/p

� Cn,m,p

∫R

n+

∑|α|=m

∣∣Dαu(x)∣∣2 dx,

où p > 1, n < 2m et Dξu(x0) = 0 quand |ξ | < m − n/2, x0 ∈ Rn+ et Cn,m,p est une constante

qui dépend de n,m, et de p.

Démonstration. Premièrement, on utilise une fonction auxiliaire f définie via u comme suitu(x) = f (x)|x|m−n/2 ainsi l’inégalité du lemme 4.1 :


( ∫∂Rn+

∣∣u(x′,0)∣∣2p∣∣x′∣∣−n+1+p(n−2m)

dx′)1/p

� Cn,m,p

∫R

n+

∑|α|=m


devient( ∫∂Rn+

∣∣f (x′,0)∣∣2p∣∣x′∣∣−n+1

dx′)1/p

� Cn,m,p

∫R

n+

∑|α|=m

∣∣Dα(f (x)|x|m−n/2)∣∣2 dx.

Deuxièment, on passe en coordonnées sphériques (r,ω) ∈ R+ × Sn−1+ , avec S

n−1+ := {ω =(ωl)1�l�n ∈ S

n−1 t.q. ωn > 0}, et ∂Sn−1+ sa frontière, on note ω = (ω′,ωn) ∈ Sn−1+ . Puis, on

utilise le fait que l’espace de Hilbert L2(Rn+, dx) est isomorphe au produit tensoriel d’es-paces de Hilbert L2(Sn−1+ , dω) ⊗ L2(R+, rn−1 dr). Par conséquent, on a la décompositionf (x) = f1(r)f2(ω) avec f1 ∈ L2(R+, rn−1 dr) et f2 ∈ L2(Sn−1+ , dω). Vu que le spectre duLaplacien restreint à la sphère unité est discrèt ainsi la famille des fonctions propres (φj )j∈N,associées aux valeurs propres du spectre, constitue une base orthonormal de L2(Sn−1+ ), c.-à-d. 〈φj ,φl〉L2(Sn−1+ )

= ∫S

n−1+φj (ω)φl(ω)dω = δjl (la fonction de Kronecker) avec (j, l) ∈ N

2

ainsi f2(ω) =∑∞j=0〈f2, φj 〉L2(Sn−1+ )

.φj (ω), cette série est bien définie, ceci est dû grâce à l’in-

égalité de Bessel. D’où, pour t ∈ R on pose r = exp(t) et la fonction v(t,ω) = f (exp(t),ω)

s’écrit comme une série de fonctions en t et en ω, c.-à-d. v(t,ω) =∑∞j=0 Tj (t)φj (ω), le terme

Tj (t)φj (ω) représente la projection orthogonal de la fonction v sur le sous espace propre Pj cor-respondant à j (j + n − 2), valeur propre associée à l’opérateur −Lω = −�|

Sn−1+

et de fonction

propre unitaire φj . L’auteur S.G. Mikhlin a montré dans son livre [25], voir aussi [9, §9, Chap-

ter 2], que la dimension la multiplicité de −μj = j (j + n − 2) est égal à (2j+n−2)(j+n−3)!j !(n−2)! . Par

conséquent lorsque j � 1 on a : dimPj � (2j+n−2)(j+n−3)!j !(n−2)! � jn−2

n−2 . Soit (φ(j)l )1�l�dimPj

unebase orthonormal du sous espace vectoriel Pj , ainsi on exprime φj ∈ Pj dans cette base ortho-

normal et on obtient |φj (ω)|2 =∑dimPj

l=1 |〈φj ,φ(j)l 〉

L2(Sn−1+ )|2 �∑dimPj

l=1 1. Ainsi, on a |φj (ω)| �jn/2−1√

n−2. Pour j = 0, on a dimP0 � (n−2)(n−3)!

(n−2)! = 1. Par conséquent, on a |φ0(ω)| � dimP0 = 1.

Maintenant, on utilise le théorème d’injection entre l’espace de Sobolev H20(S

n−1+ ) et l’espacede Lebesgue L2(∂Sn−1+ ), c.-à-d.

‖u‖L2(∂Sn−1+ )

� C1n‖u‖H20(S

n−1+ ),

avec C1n est une constante qui dépend de n et H20(S

n−1+ ) est le complété de C∞0 (Sn−1)|

Sn−1+

par

rapport à la norme :

‖φ‖H20(S

n−1+ )=( ∫S

n−1+

∣∣∇ωφ(ω)∣∣2 dω +

∫S

n−1+

∣∣φ(ω)∣∣2 dω

)1/2

.

Par conséquent pour chaque j � 1 on obtient :∫∂Sn−1

∣∣φj

(ω′,0

)∣∣2 dω′ � C1n

( ∫S

n−1

∣∣∇ωφj (ω)∣∣2 dω +

∫S

n−1

∣∣φj (ω)∣∣2 dω

)
+ + +


= C1n

(−∫

Sn−1+

Lωφj (ω)φj (ω)dω + 1

)

= C1n

(j (j + n − 2)

∫S

n−1+

∣∣φj (ω)∣∣2 dω + 1

)

� 2C1n

(j2 + 1

).

En utilisant les bornes supérieurs, établies précédemment, correspondantes aux fonctions(φj )j�1, et le fait que 1/p + 1/q = 1, on obtient :( ∫

∂Sn−1+

∣∣φj

(ω′,0

)∣∣2pdω′)1/p

�(

maxω′∈∂Sn−1+

∣∣φj

(ω′,0

)∣∣2p−2 ·∫

∂Sn−1+

∣∣φj

(ω′,0

)∣∣2 dω′)1/p

� 1

(n − 2)1/q(2C1n)

1/pjn−2q(j2 + 1

)1/p

� 21/p

(n − 2)1/qC

1/p

1n (j + 1)(n−2)/q+2/p.

Lorsque j = 0, on a μ0 = 0, ainsi on a∫∂Sn−1+

|φ0(ω′,0)|2p dω′ � C1n.

Dans la démonstration du lemme 3.2, les auteurs ont utilisés le changement de variable k(j)t ,ainsi pour nôtre cas le lemme reste vrai lorsqu’on applique le changement de variable (k(j)+1)t

à la fonction Tj ceci pour chaque j ∈ N, c.-à-d.(∫R

∣∣Tj (t)∣∣2p

dt

)1/p

� bp

(k(j) + 1

)1−1/p−2m∫R

Lj (Dt )Tj (t)Tj (t) dt.

D’après la relation j (j + n − 2) = k(j)(k(j) + n − 2) on a bien k(j) � j ceci pour toutj ∈ N. Par conséquent, en utilisant les résultats précédents et l’inégalité de Minkowski, on a pouru ∈ C∞

0 (Rn)|R

n+:( ∫

∂Rn+

∣∣f (x′,0)∣∣2p∣∣x′∣∣−n+1

dx′)1/p

=(∫R+

∫∂Sn−1+

∣∣f1(r)f2(ω′,0

)∣∣2pr−1 dr dω′

)1/p

=(∫

R

∫∂Sn−1+

∣∣v(t,ω′,0)∣∣2p

dt dω′)1/p

�( ∞∑

j=0

(∫R

∫∂Sn−1+

∣∣Tj (t)φj

(ω′,0

)∣∣2pdt dω′

)1/2p)2

� K2n

( ∞∑j=0

(j + 1)(n−2)/2q+1/p

(∫ ∣∣Tj (t) dt∣∣2p

dt

)1/2p)2

R


�K2nbp

( ∞∑j=0

(j + 1)(n−1)/2q+1/p−m

(∫R

LjTj (t)Tj (t) dt

)1/2)2

�K3nbp

∞∑j=0

(j + 1)(n−1)/q+2/p−2m∞∑

j=0

∫R

LjTj (t)Tj (t) dt

�Kn,p

∫R

n+

∑|γ |=m

∣∣Dγ f (x)∣∣2 dx

= Kn,p

∫R

n+

∑|γ |=m

∣∣Dγ(u(x)|x|n/2−m

)∣∣2 dx

= Kn,p

∫R

n+

∑α�γ|γ |=m

γ !α!(γ − α)!

∣∣Dαu(x)∣∣2∣∣Dγ−α

(|x|n/2−m)∣∣2 dx

� cn,p

∫R

n+

∑|α|�m

∣∣Dαu(x)∣∣2 dx.

Avec K2n et K3n sont des constantes qui dépendent de n. Kn,p et cn,p sont des constantes quidépendent de n et de p. Le passage à la cinquième inégalité est dû fait que la série géométrique∑

j�0(j + 1)(n−1)/q+2/p−2m est convergente, car la relation q > 1 > n−32m−3 est équivalente à

(n−1)/q +2/p−2m < −1, après on a appliqué le lemme 3.1 et la formule de Green généraliséeà la fonction f ∈ C∞

0 (Rn)|R

n+. Précisemment, on a

∞∑j=0

∫R

Lj (Dt )Tj (t)Tj (t) dt =∫R

n+

(−�)mf (x)f (x) dx

� c

∫R

n+

∑|γ |=m

∣∣Dγ f (x)∣∣2 dx. (4.1)

c est une constante positive qui dépend de n et de m. Il reste à montrer l’inégalité suivante :∫R

n+

∑0�|α|�m

∣∣Dαu(x)∣∣2 dx � K(n,m)

∫R

n+

∑|α|=m

∣∣Dαu(x)∣∣2 dx, (4.2)

avec K(n,m) est une constante qui dépend de n et de m.Pour cela, on utilise une condition suffisante pour la réalisation du théorème d’injection entre

Lm(Rn+) et C∞0 (Rn)|

Rn+

, où Lm(Rn+) est le complété de C∞0 (Rn)|

Rn+

par rapport à la seminorme :

‖u‖Lm(Rn+) =(∫R

n

∣∣∇mu(x)∣∣2 dx

)1/2

=(∫R

n

∑|α|=m

∣∣Dαu(x)∣∣2)1/2

.

+ +


Soit x0 ∈Rn+, nous considérons la distribution d’ordre au plus égal à m, T ∈ H−m

0 (Rn+)—le dualde l’espace de Sobolev Hm

0 (Rn+)—ainsi T est une forme linéaire continue dans Hm0 (Rn+), et on

définit T comme une combinaison linéaire de distributions de Dirac par

T :=∑

|ξ |�E(m−n/2)

CξDξδx0 , pour ξ ∈ N

n,

avec Dξδx0 est la distribution de Dirac d’ordre ξ chargée en x0, les Cξ sont des constantesqui dépendent de ξ , et E(m − n/2) est la partie entière de m − n/2, on rappelle que n estun entier naturel impair. D’après la définition de T et grâce aux hypothèses (2.4), on a bien〈Dξδx0 , u〉L2(Rn+) = Dξu(x0) = 0 pour |ξ | < m − n/2, c.-à-d. que le support de u est dansR

n+\{x0}. Par conséquent, on a 〈T ,u〉L2(Rn+) = 0 et donc le support de T est égal au compact {x0}.En plus, par définition de T , et par un choix adéquat de Cξ , on a 〈(x − x0)

ζ ,ψ − T 〉L2(Rn+) = 0lorsque |ζ | < m − n/2, avec ζ ∈ Nn et ψ ∈ C∞

0 (Rn). D’où, Lm(Rn+) est bien injecté dansC∞

0 (Rn)|R

n+, avec K(n,m) comme constante de cette injection, ceci est dû le fait que les hy-

pothèses du [24, §15.2.1, Lemma 3], appliquées à T , sont bien vérifiées. Précisemment, et pournôtre situation, on utilise le [24, Theorem 15.2.4]. D’où pour chaque Dαu ∈ C∞

0 (Rn)|R

n+avec

|α| � m − 1 vérifiant Dξu(x0) = 0 pour |ξ | < m − n/2, on a :( ∫∂Rn+

∣∣u(x′,0)∣∣2p∣∣x′∣∣−n+1+p(n−2m)

dx′)1/p

� cn,p

∫R

n+

∑0�|α|�m


� Cn,m,p

∫R

n+

∑|α|=m

∣∣Dαu(x)∣∣2 dx. �

Le corollaire ci-dessous nous donne la version du lemme 4.1 appliqué à des fonctions infini-ment dérivables dans un cube de R

n+.

Corollaire 4.2. Soit Q(ρ) un cube dans Rn, d’arête ρ, tel que ses arêtes soient parallèles auxaxes de coordonnées de R

n et Q0(ρ) = Q(ρ) ∩ ∂Rn+ cube défini dans Rn−1 et d’arête ρ > 0, onnote Q+(ρ) := Q(ρ) ∩ R

n+. Alors il existe une constante C dépendant de p, n, telle que pourtoute fonction u ∈ C∞(Q+(ρ)) satisfaisant :∫

Q+(ρ)

Dαu(x)dx = 0 pour |α| � m − 1, (4.3)

on ait[ ∫Q0(ρ)

∣∣u(x′,0)∣∣2p∣∣x′∣∣−n+1+p(n−2m)

dx′]1/p

� C

∫Q+(ρ)

∑|α|=m


avec n < 2m, p > 1, et Dξu(x0) = 0 lorsque |ξ | < m − n/2, et ceci quand x0 ∈ Q+(2ρ), avecξ ∈ N

n, avec Q(ρ) := {x = (xl)1�l�n ∈ Rn t.q. |xl | < ρ/2}, ici | · | est la métrique euclidienne

définie dans R.


Démonstration. La démonstration découle du lemme 4.1 et de l’inégalité de Poincaré générali-sée [8, Chapter 2, Theorem 63]. Les constantes qui figureront dans la démonstration c0n, c1n etc2n dépendent de n et les constantes (cjn)3�j�5 dépendent de n et de p. Nous posons

J(u,Q0(ρ)

) := [ ∫Q0(ρ)

∣∣u(x′,0)∣∣2p∣∣x′∣∣−n+1+p(n−2m)

dx′]1/p

,

nous prolongeons u comme fonction continue dans Q+(2ρ) cube d’arête 2ρ, ceci en définissantu1 comme u1(x) = u(x/2) pour x ∈ Q+(2ρ), par conséquent on a∫

Q+(2ρ)

∑|α|�m

ρ2m−2|α|∣∣Dαu1(x)∣∣2 dx

= 2n

∫Q+(ρ)

∑|α|�m

ρ2m−2|α|2−2|α|∣∣Dαu(x)∣∣2 dx

� c0n

∫Q+(ρ)

∑|α|�m

ρ2m−2|α|∣∣Dαu(x)∣∣2 dx. (4.4)

Pour appliquer le lemme 4.1, on a besoin d’une fonction régulière à support compact, pour celaon considère la fonction h ∈ C∞

0 (Q+(2ρ)) définie par :⎧⎪⎨⎪⎩h(x) = 1, pour x ∈ Q+(ρ),∣∣Dαh(x)

∣∣� Cαρ−|α|, pour |α| � m, pour x ∈ Q+(2ρ) \ Q+(ρ),

h(x) = 0, pour x ∈ Rn+ \ Q+(2ρ),

Cα est une constante supérieur à un et qui dépend de α. Par exemple on peut prendre h(x) = 2 −ρ−1|x| pour tout x ∈ Q+(2ρ)\Q+(ρ) et |x| est la norme euclidienne de x vérifiant ρ � |x| � 2ρ.On utilise l’inégalité (4.4), la formule de Leibniz et la définition de h, ceci pour obtenir∫

Q+(2ρ)

∑|α|�m

ρ2m−2|α|∣∣Dα(h(x)u1(x)

)∣∣2 dx

=∫

Q+(2ρ)

∑|α|�m

ρ2m−2|α|∣∣∣∣∑β�α

α!β!(α − β)!D

βh(x).Dα−βu1(x)

∣∣∣∣2 dx

� c1n

∫Q+(2ρ)

∑|α|�m

ρ2m−2|α|∣∣Dαu1(x)∣∣2 dx

� c1nc0n

∫Q+(ρ)

∑|α|�m

ρ2m−2|α|∣∣Dαu(x)∣∣2 dx.

L’inégalité de Poincaré généralisée nous donne :∫+

∑|α|�m

ρ2m−2|α|∣∣Dαu(x)∣∣2 dx � c2n

∫+

∑|α|=m


Q (ρ) Q (ρ)


qui est vraie si∫Q+(ρ)

Dαu(x)dx = 0, |α| � m − 1.

Vu que hu1 ∈ C∞0 (Q+(2ρ)), et vu que Dξ(hu1)(x0) = 0 pour |ξ | < m − n/2, alors par applica-

tion du lemme 4.1 on a

J(hu1,Q0(2ρ)

)� c3n

∫Q+(2ρ)

∑|α|=m

∣∣Dα(h(x)u1(x)

)∣∣2 dx.

Ainsi la synthèse des inégalités précédentes nous donne

J(u,Q0(ρ)

)� J(hu1,Q0(2ρ)

)� c3n

∫Q+(2ρ)

∑|α|=m

∣∣Dα(h(x)u1(x)

)∣∣2 dx

� c3n

∫Q+(2ρ)

∑|α|�m

ρ2m−2|α|∣∣Dα(h(x)u1(x)

)∣∣2 dx

� c4n

∫Q+(2ρ)

∑|α|�m

ρ2m−2|α|∣∣Dα(u1(x)

)∣∣2 dx

� c5n

∫Q+(ρ)

∑|α|�m

ρ2m−2|α|∣∣Dα(u(x))∣∣2 dx

� C

∫Q+(ρ)

∑|α|=m

∣∣Dαu(x)∣∣2 dx. �

5. Démonstration du théorème 2.1

On applique la formule de Green généralisée au système (∗∗) pour u ∈Hm0 (Rn+)\{0} fonction

propre associé à la valeur propre λ de l’opérateur L :

〈L0u,u〉L2(Rn+)

=∫R

n+

∑|α|�m|β|�m

(−1)|α|aαβ(x)Dβu(x)Dαu(x) dx

−∫

∂Rn+

u(x′,0)L0,m

(u(x′,0))

dx′ −∫

∂Rn+

m−1∑s=1

∂su(x′,0)

∂xsn

Ls,m

(u(x′,0))

dx′

=∫R

n+

∑|α|�m|β|�m

(−1)|α|aαβ(x)Dβu(x)Dαu(x) dx −∫

∂Rn+

W(x′)∣∣u(x′,0

)∣∣2 dx′

= λ

∫R

n

∣∣u(x)∣∣2 dx +

∫R

n

V (x)∣∣u(x)

∣∣2 dx.

+ +


Par conséquent la dernière égalité nous donne :

λ = S∫R

n+ |u(x)|2 dx,

avec

S =∫R

n+

∑|α|�m|β|�m

(−1)|α|aαβ(x)Dβu(x)Dαu(x) dx

−∫R

n+

V (x)∣∣u(x)

∣∣2 dx −∫

∂Rn+

W(x′)∣∣u(x′,0

)∣∣2 dx′.

Par application du lemme de Glazman, énoncé dans [15, Chapter 1, Theorems 12, 12 bis], voiraussi [39, §28, Lemma 28.1], qui dit que le nombre des valeurs propres négatives N de l’opé-rateur L vérifie N = minLL⊂Hm

0 (Rn+) codimLL = minLL⊂Hm0 (Rn+) dimL ⊥

L , le minimum est prissur tout les sous-espaces vectoriels du domaine de définition de la forme quadratique associée àl’unique opérateur auto-adjoint à savoir L. Par définition on a

LL := {u ∈ Hm0

(R

n+) \ {0} t.q. 〈Lu,u〉L2(Rn+) � 0

},

ici on travaille dans un sous-espace admissible, et grâce à l’hypothèse (2.2) on a

LL ⊂ L :={u ∈Hm

0

(R

n+) \ {0} t.q. a0

∫R

n+

∑|α|=m


�∫R

n+

V (x)∣∣u(x)

∣∣2 dx +∫

∂Rn+

W(x′)∣∣u(x′,0

)∣∣2 dx′}.

D’où L ⊥ ⊂ L ⊥L , par conséquent on a :

N = minLL⊂Hm

0 (Rn+)dimL ⊥

L � minL ⊂Hm

0 (Rn+)dimL ⊥.

Ainsi pour déterminer L on utilise la décomposition : L = L1 ∩ L2, avec

L1 :={u ∈ Hm

0

(R

n+) \ {0} t.q. a0/2

∫R

n+

∑|α|=m

∣∣Dαu(x)∣∣2 dx �

∫R

n+

V (x)∣∣u(x)

∣∣2 dx

}et

L2 :={u ∈ Hm

0

(R

n+) \ {0} t.q. a0/2

∫R

n+

∑|α|=m

∣∣Dαu(x)∣∣2 dx �

∫∂Rn+

W(x′)∣∣u(x′,0

)∣∣2 dx′}.

Donc L ⊥ = L ⊥1 + L ⊥

2 d’où N � N1 + N2 avec N1 = codimL1 et N2 = codimL2. Ici, évi-demment on a utilisé implicitement et grâce aux hypothèses faites sur les potentiels V et W , quela forme quadratique Q̃1 définie dans C∞

0 (Rn)|R

n+par

Q̃1(u(x)) := a0/2

∫R

n

∑|α|=m

∣∣Dαu(x)∣∣2 dx −

∫R

n

V (x)∣∣u(x)

∣∣2 dx

+ +


est associée a un unique opérateur auto-adjoint A1, idem la forme quadratique

Q̃2(u(x)) := a0/2

∫R

n+

∑|α|=m

∣∣Dαu(x)∣∣2 dx −

∫∂Rn+

W(x′)∣∣u(x′,0

)∣∣2 dx′

est a associée à un unique opérateur auto-adjoint A2, alors on peut associé à Q̃1 + Q̃2, définiedans C∞

0 (Rn)|Rn+ , un opérateur auto-adjoint à savoir A1 +A2. En ce qui concerne ces résultatson peut consulter, par exemple, les ouvrages de T. Kato [19] ou de M. Reed and B. Simon [33].Grâce à l’hypothèse de l’ellipticité (2.2), on voit que N1 coïncide avec le nombre des valeurspropres de l’opérateur L = L0 − V défini dans Hm

0 (Rn+) ceci lorsque les conditions au bordsont de Dirichlet. Ainsi Yu. Egorov et V. Kondratiev ont démontré dans [7] que N1 admet lamajoration suivante (ici l’ouvert Ω =R

n+) :

N1 � C1(n,m)

( ∫R

n+

[V (x)

]q1 |x|2mq1−n dx + 1

), q1 > 1,

avec cnm est une constante qui dépend de n et de m.Pour déterminer N2 on considère Q un cube dans R

n−1 contenant le support de W . Onrecouvre le cube Q par une réunion finie de cubes Qj de R

n−1 (définis au corollaire 4.2,d’arêtes ρj ) :

Q =M⋃

j=1

Qj .

Par conséquent on a :∫Q

W(x′)∣∣u(x′,0

)∣∣2 dx′ �M∑

j=1

∫Qj

W(x′)∣∣u(x′,0

)∣∣2 dx′.

En appliquant l’inégalité de Hölder avec des exposants conjugués p > 1, q > 1 on obtient :∫Qj

W(x′)∣∣u(x′,0

)∣∣2 dx′

=∫Qj

W(x′)|x|s/p∣∣u(x′,0

)∣∣2|x|−s/p dx′

�(∫

Qj

[W(x′)]q ∣∣x′∣∣s(q−1)

dx′)1/q(∫

Qj

∣∣u(x′,0)∣∣2p∣∣x′∣∣−s

dx′)1/p

, (5.1)

où s = n − 1 − p(n − 2m). Pour chaque cube Qj , on applique l’inégalité du corollaire 4.2 :(∫Qj

∣∣u(x′,0)∣∣2p∣∣x′∣∣(n−2m)p+1−n

dx′)1/p

� C0(n)

∫Q+

j

∑|α|=m

∣∣Dαu(x)∣∣2 dx, (5.2)

tel que pour j ∈ N∩ [1,M] on a :

∫Q+
j

Dαu(x) dx = 0; 0 � |α| �m − 1, (5.3)

et

Dξu(x0j ) = 0; pour x0j ∈ Q+j , et pour |ξ | < m − n/2. (5.4)

On remarquera que la constante C0(n) de l’inégalité (5.2) ne dépend pas de ρj . Maintenant onapplique le lemme de Rozenblyum, énoncé dans la deuxième section du présent article, ceci enprenant

f(x) = I−1[W (x′)]q |x|s(q−1), I =∫Q

[W(x′)]q ∣∣x′∣∣s(q−1)

dx′,

I est finie à cause de l’hypothèse faite sur le potentiel W .Ainsi donc en utilisant successivement les inégalités (5.3) et (5.4), puis le lemme de Rozen-

blyum, avec M � 4nε−1 et bien sûr tout en tenant des hypothèses faites sur les cubes Q+j pour

j ∈N∩ [1,M], on a :∫Q

W(x′)∣∣u(x′,0

)∣∣2 dx′ �(2nIε

)1/qC0(n)

M∑j=1

∫Q+

j


�(2nIε

)1/qC1(n)

∫Q+


On choisit ε de telle façon qu’on a :(2nIε

)1/qC1(n) = a0/2.

Soit

ε−1 = C2(n)I,

avec C1(n),C2(n) sont des constantes qui dépendent de n.Déterminons explicitement ceux que signifie la relation (5.3), c.-à-d. pour u ∈ C∞(Q+

j (ρj ))

on a ∫Q+

j (ρ)

Dαu(x)dx = 0, 0 � |α| � m − 1, pour j ∈ [1,M] ∩N,

vu que hu1 ∈ C∞0 (Q+

j (2ρj )), pour h ∈ C∞0 (Q+(2ρj )) définie dans la preuve du corollaire 4.2,

par exemple de nouveau on prend h(x) = 2−ρ−1j |x|, et lorsqu’on fait des calculs sur ses dérivées

et en utilisant un argument de récurrence sur γ = (γl)1�l�n ∈ Nn, ces dernières prennent la

forme suivante Dγ h(x) =∑η(2)−η(1)�γ c(η(1),η(2))xη(1) |x|−|η(2)| avec c(η(1),η(2)) est une constante

qui dépend de η(1), η(2), et bien sûr de ρj (η(1) = (η(1)l ), η(2) = (η

(2)l ))1�l�n ∈ N

2n, la variable

x = (xl)1�l�n tel que xη(1) := xη

(1)1

1 xη

(1)2

2 · · ·xη(1)n

n et u1(x) = u(x/2), alors pour tout α ∈ Nn tel

que |α| � m − 1, on a∫Q+

j (2ρj )Dα(hu1)(x) dx = 0, car grâce à la formule de Leibniz et le fait

que |Dγ h(x)| � Cγ ρ−|γ | on a
j

∣∣∣∣ ∫Q+
j (2ρj )

Dα(hu1)(x) dx

∣∣∣∣� cnα

∑|α|�m−1

ρ|α|−mj

∣∣∣∣ ∫Q+

j (ρj )

Dαu(x)dx

∣∣∣∣= 0,

cnα est une constante non nulle et qui dépend de α et de n.On applique la formule de Green successivement à tout les α = (αl)1�l�n ∈ Nn avec |α| �

m − 1 et pour chaque j ∈ [0,M] ∩N :

0 =∫

Q+j (2ρj )

Dα(h.u1)(x) dx

=∫

Q+j (2ρj )

∑β�α

α!β!(α − β)!D

βh(x).Dα−βu1(x) dx

= (−1)|α|∫

Q+j (2ρj )

∑β�α

(−1)−|β| α!β!(α − β)!

(Dβ(α−β)h(x)

).u1(x) dx

=∫

Q+j (2ρj )

∑ι(2)−ι(1)�β

β�α

d(ι(1),ι(2))xι(1) |x|−|ι(2)|.u1(x) dx

= 2n

∫Q+

j (ρj )

∑ι(2)−ι(1)�β

β�α

2|ι(1)|−|ι(2)|d(ι(1),ι(2))yι(1) |y|−|ι(2)|.u(y) dy

= ⟨f (j)α , u

⟩L2(Q+

j (ρj )).

Avec d(ι(1),ι(2)) est une constante qui dépend de (ι(1), ι(2)) ∈ N2n, et par définition α! :=

α1α2 · · ·αn, ainsi dire que u vérifie les conditions (5.3) revient à dire que

u ∈⋂

α∈Nn, |α|�m−11�j�M

{f (j)

α

}⊥ =( ∑

α∈Nn, |α|�m−11�j�M

{f (j)

α

})⊥,

les (f(j)α )1�j�M sont des fonctions définies ci-dessus, c.-à-d. elles sont de la forme suivante∑

ι(2)−ι(1)�β, |β|�|α|�m−1 p(ι(1), ι(2))yι(1) |y|−|ι(2)|, avec y = (yl)1�l�n ∈ Q+j (ρj ), et p(ι(1), ι(2))

sont des fonctions en ι(1), ι(2).Les relations (5.4), signifient que u ∈⋂ξ∈Nn, |ξ |<m−n/2{Dξδx0j

}⊥ où δx0jest la fonction de

Dirac chargée en x0jpour tout j ∈ [1,M] ∩N. Ainsi dans chaque cube Q+

j on a :

u ∈( ∑

α∈Nn, |α|�m−11�j�M

{f (j)

α

})⊥∩( ∑

ξ∈Nn

|ξ |<m−n/2

{Dξδx0j

})⊥

où

u ∈( ∑

α∈Nn, |α|�m−1

{f (j)

α

}+∑ξ∈Nn

{Dξδx0j

})⊥.

1�j�M |ξ |<m−n/2


Par application du lemme de Zorn, que chaque espace vectoriel admet une base, le nombre desconditions portées sur les u ∈Hm

0 (Rn+) qui vérifient 〈Lu,u〉L2(Rn+) � 0, est majoré par :

#{α ∈ N

n, |α| �m − 1}4nε−1 + cnknm � C2(n,m)I + cnknm,

avec knm = #{ξ ∈Nn, tel que |ξ | < m − n/2}, et cn est une constante qui dépend de n.

Soit λl(L) la l-ième valeur propre négative de L, nous avons

N2 = #{l ∈N, t.q.: λl(L) < 0

}� codim

{u ∈Hm

0

(R

n+), t.q.: 〈Lu,u〉L2(Rn+) � 0

}c.-à-d.

N2 � C2(n,m)

∫∂Rn+

[W(x′)]q ∣∣x′∣∣s(q−1)

dx′ + cnknm.

Finalement, pour q > 1 et q1 > 1, 3 � n < 2m, et n est un entier naturel impair, le nombre N devaleurs propres négatives du système (∗∗) est majoré par :

N � C1(n,m)

(∫R

n+

[V (x)

]q1 |x|2mq1−n dx + 1

)

+ C2(n,m)

∫∂Rn+

[W(x′)]q ∣∣x′∣∣(2m−1)q−n+1

dx′ + cnknm.

On observe que le théorème 2.1 s’applique bien pour les sous espaces de Rn de la forme

Π(k)+ := {x = (xl)1�l�n ∈R

n t.q. xk > 0} où k ∈ {1,2, . . . , n}.

6. Le cas où n est un entier pair

En ce qui concerne la borne supérieur de N correspondant au système (∗∗) pour n� 2m avecn un entier naturel pair, on a le théorème suivant

Théorème 6.1. Soit n � 2m, q > 1, q1 > 1, 0 � W ∈ Lq(Rn−1), 0 � V ∈ Lq1(Rn+) avecV (x) = 0, W(x′) = 0 si |x′| > R pour un R > 0. Alors le nombre de valeurs propres négativesdu système (∗∗) vérifie l’estimation suivante :

N � A1(n,m)

( ∫R

n+

[V (x)

]q1 |x|2mq1−n(1 + ∣∣ln |x|∣∣)2mq1−1

dx + 1

)

+ A2(n,m)

∫∂Rn+

[W(x′)]q ∣∣x′∣∣(2m−1)q−n+1(1 + ∣∣ln∣∣x′∣∣∣∣)2mq−1

dx′ + cnkn,m,

A1(n,m) et A2(n,m) sont des constantes qui dépendent de n, m, knm = #{ξ ∈ Nn, tel que |ξ | �

m − n/2}, et cn est une constante qui dépend de n.

La démonstration de ce théorème est basée sur le lemme suivant


Lemme 6.2. Soit u ∈Hm0 (Rn+) (ou simplement C∞

0 (Rn)|R

n+) telle que

Dξu(x0) = 0 quand |ξ |� m − n/2, x0 ∈ Rn+, ξ = (ξl)1�ξl�n ∈N

n, (6.1)

et pour x = (r,ω) ∈ Rn+ :∫

Sn−1+

∂lu(r,ω)

∂rl

∣∣∣r=1

φj (ω)dω = 0,

avec

(l, j) ∈ {0,1, . . . ,m − 1} × {0,1, . . . ,m − n/2},où chaque φj est une fonction propre associée à l’opérateur −�|

Sn−1+

qui correspondant à la

valeur propre −μj vérifiant |μj | � (m − n/2)(m + n/2 − 2). Alors( ∫∂Rn+

∣∣u(x′)∣∣2p∣∣x′∣∣−n+1+p(n−2m)(1 + ∣∣ln∣∣x′∣∣∣∣)p−1−2mpdx′)1/p

� Cn,m,p

∫R

n+

∑|α|=m


où p > 1, n� 2m, n est un entier naturel pair, et Cn,m,p est une constante qui dépend de n, m, p.

La démonstration de ce lemme est basée de nouveau sur lemme 3.2 et sur le lemme suivant [7].

Lemme 6.3. Soient p > 1 et y ∈ C∞0 (R) avec y(l)(0) = 0 ceci pour l ∈N∩ [0,m − 1]. Alors(∫

R

∣∣y(t)∣∣2p|t |p−1−2mp dt

)1/p

� bp

∫R

∣∣y(2m)(t)∣∣dt,

la constante bp est la même que celle du lemme 3.2.

Démonstration du lemme 6.2. On suit les téchniques utilisées pour la démonstration dulemme 4.1. Par conséquent de nouveau, en utilisant successivement la fonction auxiliaire f dé-finie par u(x) = f (x)|x|m−n/2, le changement de variable x = (r = exp(t),ω) ∈ R+ × S

n−1+ , etv(t,ω) = f (exp(t),ω) le membre de gauche de l’inégalité du lemme 6.2 :( ∫

∂Rn+

∣∣u(x′,0)∣∣2p∣∣x′∣∣−n+1+p(n−2m)(1 + ∣∣ln∣∣x′∣∣∣∣)p−1−2mp

dx′)1/p

,

devient( ∫∂Rn+

∣∣v(t,ω′,0)∣∣2p(

1 + |t |)p−1−2mpdt dω′

)1/p

.

On considère la fonction v(t,ω) =∑∞j=0 Tj (t)φj (ω) et on rappelle les majorations de φj , éta-

blies dans la section précédente, c.-à-d. pour j � 1, et pour 1/p + 1/q = 1 on a :


( ∫∂Sn−1+

∣∣φj

(ω′,0

)∣∣2pdω′)1/p

� 21/p

(n − 2)1/qC

1/p

1n j (n−2)/q+2/p. (6.2)

Et pour j = 0 on a∫∂Sn−1+

∣∣φ0(ω′,0

)∣∣2pdω′ � C1n. (6.3)

Maintenant, vu qu’on travaille avec n pair, alors on a applique le lemme 3.2 à la fonction Tj pourchaque j � m − n/2 + 1 :(∫

R

∣∣Tj (t)∣∣2p

dt

)1/p

� bp

[k(j)]1−1/p−2m

∫R

Lj (Dt)Tj (t)Tj (t) dt.

Ceci bien sûr lorsque k(j) � m − n/2 + 1, voir l’énoncé du lemme 3.2.Par conséquent, pour u ∈ C∞

0 (Rn)|R

n+et grâce à l’inégalité de Minkowski on a :(∫

R

∫∂Sn−1+

∣∣v(t,ω′,0)∣∣2p(1 + |t |)p−1−2mp

dt dω′)1/p

�( ∞∑

j=0

(∫R

∫∂Sn−1+

∣∣Tj (t)φj

(ω′,0

)∣∣2p(1 + |t |)p−1−2mpdt dω′

)1/2p)2

� 2

(m−n/2∑j=0

(∫R

∫∂Sn−1+

∣∣Tj (t)φj

(ω′,0

)∣∣2p(1 + |t |)p−1−2mpdt dω′

)1/2p)2

+ 2

( +∞∑j=m−n/2+1

(∫R

∫∂Sn−1+

∣∣Tj (t)φj

(ω′,0

)∣∣2p(1 + |t |)p−1−2mp

dt dω′)1/2p

)2

.

On montre que chacune des deux sommes précédentes est majorée par∫R

n+∑

|α|=m |Dαu(x)|2 dx.En ce qui concerne la première somme on utilise le lemme 6.3 avec la fonction Tj ceci pourchaque j , car pour u(exp(t),ω) =∑∞

k=0 Tk(t) exp(t (m − n/2)).φk(ω), et vu que la famille(φl)l∈N est orthonormal dans L2(Sn−1+ ) alors l’hypothèse du lemme 6.2 devient∫

Sn−1+

∂lu(r,ω)

∂rl

∣∣∣r=1

φj (ω)dω =∫

Sn−1+

∞∑k=0

T(l)k (0)φk(ω)φj (ω)dω

=∞∑

k=0

T(l)k (0)

∫S

n−1+

φk(ω)φj (ω)dω

= T(l)j (0)

= 0,

avec (l, j) ∈ {0,1, . . . ,m − 1} × {0,1, . . . ,m − n/2}.


Pour j ∈ {1, . . . ,m − n/2} on a( ∫∂Sn−1+

∣∣φj

(ω′,0

)∣∣2pdω′)1/p

� 21/p

(n − 2)1/qC

1/p

2n j (n−2)/q+2/p � Kn,m,p,

Kn,m,p est une constante qui dépend de n et de p.Et pour j = 0, on a∫

∂Sn−1+

∣∣φ0(ω′,0

)∣∣2pdω′ � C1n.

Par conséquent, on applique le lemme 6.3 aux fonctions Tj ceci lorsque j ∈N∩ [0,m − n/2] eton obtient(

m−n/2∑j=0

(∫R

∫∂Sn−1+

∣∣Tj (t)φj

(ω′,0

)∣∣2p(1 + |t |)p−1−2mpdt dω′

)1/2p)2

� 2Kn,m,p

(m−n/2∑j=0

∫R

∣∣Tj (t)∣∣2p|t |p−1−2mp dt

)1/p

� An,m,p

m−n/2∑j=0

∫R

∣∣T (2m)j (t)

∣∣dt

� An,m,p

∞∑j=0

∫R

Lj (Dt )Tj (t)Tj (t) dt

� An,m,p

∫R

n+

∑|α|=m


An,m,p est une constante qui dépend de n,m,p. En ce qui concerne le passage à la dernièreinégalité, comme dans le cas où n < 2m avec n un entier impair, on a utilisé les hypothèses(6.1) et l’inégalité (4.2). Pour l’autre somme, on utilise de nouveau le lemme 3.2, les inégalités(6.2)–(6.3), et les hypothèses (6.1). Ainsi, comme dans le cas où n est un entier naturel impair,on a ( ∞∑

j=m+1−n/2

(∫R

∫∂Sn−1+

∣∣Tj (t)φj

(ω′,0

)∣∣2p(1 + |t |)p−1−2mpdt dω′

)1/2p)2

�( ∞∑

j=m+1−n/2

(∫R

∫∂Sn−1+

∣∣Tj (t)φj

(ω′,0

)∣∣2pdt dω′

)1/2p)2

�∫R

n+

∑|α|=m


Il reste à rassembler les bornes supérieurs des deux sommes et on a démontré le lemme 6.2. �


Ci-dessous, la version du lemme 6.2 pour les fonctions infiniment dérivables dans un cubede R

n+.

Corollaire 6.4. Soient Q(ρ) un cube dans Rn d’arête ρ et Q0(ρ) = Q(ρ) ∩ ∂Rn+. On note

Q+(ρ) := Q(ρ) ∩Rn+. Si u ∈ C∞(Q+(ρ)) satisfait∫

Sn−1+

∂l(h.u)(r,ω)

∂rl

∣∣∣r=1

φj (ω)dω = 0, (6.4)

avec (l, j) ∈ {0,1, . . . ,m− 1}× {0,1, . . . ,m− n2 } et h ∈ C∞

0 (Q+(2ρ)) (définie dans la démons-tration) et si u vérifie∫

Q+(ρ)

Dαu(x)dx = 0 pour |α| � m − 1, (6.5)

Dξu(x0) = 0 lorsque |ξ | � m − n/2, pour x0 ∈ Q+(2ρ). (6.6)

Alors il existe une constante C qui dépend de p, n, tel que[ ∫Q0(ρ)

∣∣u(x′,0)∣∣2p∣∣x′∣∣−n+1+p(n−2m)(

1 + ∣∣ln∣∣x′∣∣∣∣)p−1−2mpdx′]1/p

� C

∫Q+(ρ)

∑|α|=m


avec n� 2m, p > 1, n est un entier pair.

Démonstration. La démonstration est la même que celle du corollaire 4.2. �7. Démonstration du théorème 6.1

Ici, on suit les mêmes techniques utilisées pour la démonstration du théorème 2.1, et pourappliquer le lemme de Glazman on considère le sous espace vectoriel M := {u ∈ Hm

0 (Rn+) quivérifie (6.4)}. Donc le nombre des valeurs propres négatives associées au système (∗∗) est auplus égal à la codimension de N = {u ∈ M t.q. 〈Lu,u〉L2(Rn+) � 0}. Puis on obtient nôtre théo-rème 6.1.

Références

[1] A.A. Arsen’ev, Singular Potentials and Resonances, Moscow University Press, 1974 (in Russian).[2] J. Avron, Bender–Wu formulas for the Zeeman effect in hydrogen, Ann. Phys. 131 (1981) 73–94.[3] M.Sh. Birman, M.Z. Solomyak, Estimates for the number of negative eigenvalues of the Schrödinger operator and

its generalisations, in: Adv. Sov. Math., vol. 7, Amer. Math. Soc., 1991, pp. 1–55.[4] M.Sh. Birman, A. Laptev, M.Z. Solomyak, The negative discrete spectrum of the operator (−�)m −αV in L2(Rd )

for d even and 2m� d , Ark. Mat. 35 (1997) 87–126.[5] B.E.J. Dahlberg, E. Trubowitz, A remark on two dimensional periodic potentials, Comment. Math. Helv. 57 (1982)

130–134.[6] Yu.V. Egorov, V.A. Kondratiev, On an estimate of the number of points in the negative spectrum of a Schrödinger

operator, Mat. Sb. 134 (176) (1987) 556–570; English translation: Math. USSR Sb. 62 (1989).


[7] Yu.V. Egorov, V.A. Kondratiev, Estimates of the negative spectrum of an elliptic operator, in: Spectral Theory ofOperators, Novgorod, 1989, in: Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, vol. 150, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1992,pp. 111–140.

[8] Yu. Egorov, V. Kondratiev, On Spectral Theory of Elliptic Operators, Oper. Theory Adv. Appl., vol. 89, BirkhäuserVerlag, Basel, 1996.

[9] Yu.V. Egorov, M.A. Shubin, Partial Differential Equations I, Encyclopaedia Math. Sci., Springer-Verlag, 1992.[10] Yu.V. Egorov, M. El Aïdi, Spectre négatif d’un opérateur elliptique avec des conditions au bords de Robin, Publ.

Mat. 45 (2001) 125–148.[11] M. El Aïdi, Borne supérieur de la somme des valeurs propres négatives de l’opérateur de Schrödinger généralisé,

Ann. Math. Blaise Pascal 19 (1) (2012) 197–211.[12] C.L. Fefferman, The uncertainty principle, Bull. Amer. Math. Soc. (1983) 129–206.[13] R. Froese, Asymptotic distribution of resonances in one dimension, J. Differential Equations 137 (1997) 251–272.[14] R. Froese, Upper bounds for the resonance counting function in odd dimension, Canad. J. Math. 50 (1998) 538–546.[15] I.M. Glazman, Direct Methods of Qualitative Spectral Analysis of Singular Differential Operators, Gosudarstv.

Izdat. Fiz.-Mat. Lit., Moscow, 1963 (in Russian); English translation: Daniel Davey and Co., New York, 1966.[16] E. Harell, B. Simon, The mathematical theory of resonances which have exponentially small widths, Duke

Math. J. 47 (1980) 845–902.[17] B. Helffer, J. Sjöstrand, Résonances en limite semi-classique, Mém. Soc. Math. Fr. (N.S.) (1986) 24–25.[18] Yu.E. Karpeshina, Perturbation Theory for the Schrödinger Operator with a Periodic Potential, Lecture Notes in

Math., vol. 1663, Springer-Verlag, Berlin, 1997.[19] T. Kato, Perturbation Theory for Linear Operators, Springer-Verlag, 1966.[20] R. Kerman, T. Sawyer, The trace inequality and eigenvalue estimates for Shrödinger operators, Ann. Inst. Fourier

(Grenoble) 36 (4) (1986) 207–228.[21] E. Lieb, Bounds on the eigenvalues of the Laplace and Schrödinger operator, Bull. Amer. Math. Soc. 82 (1976)

751–753.[22] A. Martin, Résonance dans l’approximation de Born Oppenheimer I, J. Differential Equations (1991) 204–234.[23] A. Martin, Résonance dans l’approximation de Born Oppenheimer II, Comm. Math. Phys. 135 (1991) 517–530.[24] V.G. Maz’ya, Sobolev Space with Applications to Elliptic Partial Differential Equations, second augmented ed.,

Grundlehren Math. Wiss., vol. 342, 2011.[25] S.G. Mikhlin, Linear Partial Differential Equations, Vyshaya Shkola, Moscow, 1977 (in Russian).[26] S. Nakamura, On an example of phase space tunneling, Ann. Inst. H. Poincaré Sect. A 63 (2) (1995) 211–229.[27] S. Nakamura, P. Stefanov, M. Zworski, Resonance expansions of propagators in the presence of potential barriers,

J. Funct. Anal. 205 (2003) 180–205.[28] L. Nedelec, Résonance semi-classiques pour l’opérateur de Schrödinger matriciel en dimension deux, Ann. Inst.

H. Poincaré Phys. Theor. 65 (2) (1996) 129–162.[29] L. Nedelec, Sur les résonnances de l’opérateur de Dirichlet dans un tube, Comm. Partial Differential Equa-

tions 22 (1–2) (1997) 143–163.[30] A. Sà-Barreto, M. Zworski, Existence of resonances in potential scattering, Comm. Pure Appl. Math. 49 (1996)

1271–1280.[31] V.N. Popov, M. Skriganov, A remark on the spectral structure of the two dimensional Schrödinger operator with a

periodic potential, Zap. Nauchn. Sem. LOMI AN SSSR 109 (1981) 131–133 (in Russian).[32] B. Simon, Resonances in N -body quantum systems with dilation analytic potentials and the foundations of time-

dependent perturbation theory, Ann. of Math. 97 (1973) 247–274.[33] B. Simon, M. Reed, Methods of Modern Mathematical Physics IV: Analysis of Operators, Academic Press, 1978.[34] L. Parnovski, A. Sobolev, On the Bethe–Sommerfeld conjecture for the polyharmonic operator, Duke

Math. J. 107 (2) (2001) 209–238.[35] G.V. Rozenblyum, Distribution of the discrete spectrum of singular differential operators, Dokl. Akad. Nauk

USSR 202 (5) (1972) 1012–1015.[36] A. Shapere, F. Wilczek, Geometric Phases in Physics, World Scientific, 1989.[37] M. Skriganov, Finiteness of the number of gaps in the spectrum of the mutlidimensional polyharmonic operator

with a periodic potential, Mat. Sb. 113 (155) (1980) 131–145; English translation: Math. USSR Sb. 41 (1982).[38] M. Skriganov, Geometrical and arithmetical methods in the spectral theory of the multidimensional periodic opera-

tors, Proc. Steklov Inst. Math. 171 (1984).[39] M. Shubin, Pseudodifferential Operators and Spectral Theory, second ed., Springer-Verlag, 2001.[40] O.A. Veliev, Asymptotic formulas for the eigenvalues of a periodic Schrödinger operator and the Bethe–Sommerfeld

conjecture, Funktsional. Anal. i Prilozhen. 21 (1987) 1–15 (in Russian); English translation: Funct. Anal. Appl. 21(1987) 87–99.


[41] D. Yafaev, Resonant scattering on a negative potential, J. Sov. Math. 35 (1986) 549–559.[42] D. Yafaev, On resonant scattering for time-periodic perturbations, in: Journées “EDP”, Saint-Jean-de-Monts, France,

1990.[43] M. Zworski, Resonances in physics and geometry, Notices Amer. Math. Soc. 46 (1999) 319–328.

Documents

Sur le nombre des valeurs propres négatives dʼun opérateur elliptique