S U R L ' U S A G E D E L A N O T A T I O N ~ I M A G I N A I R E ~ E N P H Y S I Q U E

L E PROBL]~ , ,ME D E S O N D E S D E S U R F A C E

par Julien LOEB Ing6nieur en chef des T616eommunications {e. d.) *

SOMMAmE. - - La reprgsentation de [aits physiques au moyen de la notation imaginaire n'est oaIable que si cUe tntro- duit une [onction de trans/ert, /onction analytique gt eoefticients r6els, du symbols de Laplace p = oj.

Dans lear recherche d'une expression simplifide des ondes de sur/ace en acoustique sismique (ondes planes s'attdnuant comme e-ez) , Lord tlayleigh et ses continuateurs n'ont pas satis/ait ~t cette exigence. E n comparant leurs rdsultats acec ceux qu'obtenait plus tard L. Cagniard d'une [afon tout d [ait rigoureuse, on s'aper~oit que les deux techniques coneordent dans le calcul de la r de l'onde de sur/ace, mais dicergent pro[ondgment dans le calcul de l'attdnuation en [onction de la pro[ondeur z. Les rdsMtats expdrimentaux dg/5 connus sont par[aitement

compatibles avecla tMorie de L. Cagniard, et incompatibles avecla loi d'attdnuation en e -az de Bayleigh.

PLAN. �9 1. Introduction. �9 2. L'affaiblissement des ondes acoustiques dans les solides. �9 3. L'onde de Bayleigh [2]. �9 4. Calcul de S. �9 5. La tl, d, se de L. Cagniard [4]. �9 6. Amplitude de l'onde de sur/ace. �9 7. Conclusion.

�9 Bibliographie (4 r@).

1. I N T R O D U C T I O N .

I1 peut paraRre 6tonnant, en I964, de remettre en question toute une classe de proc6d6s de calcul dont l'616gance et la puissance ont permis d'6difier la technique que nous connaissons. Cependant, nous avons pu voir dans la li t t6rature - - parfois sous la plume de physiciens faisant autorit6 - - des d6velop- pements math6matiques que nous voudrions ana- lyser de plus pr~s. En effet, ils rev6tent une appa- fence formelle qui s'inscrit bien dans nos habitudes, mais lorsque l 'on cherehe h les ramener au domaine r6el, on abouti t h des difficult& math6inatiques certaines. La contrepartie exp6rimentale des th6o- ries ainsi exprim6es t radui t la plupart du temps les ineonv6nients de leur hardiesse originelle.

La notion de fonction de transfert est une tra- duction math6matique des 6quations diff6rentielles ou aux d6riv6es partielles du domains r6el ; ells met en ieu une grandeur e d'entr6e ,~ qui figure au second membre, ou un systgme de conditions aux limites, et une grandeur de , sortie ,,, qui est la fonetion inconnue. Le calcul symbolique permet de passer du comportement fr6quentiel 5 la solution g6n6rale. Les syst~mes physiques sont ainsi earact6ris6s par une fonction de r qui, par les techniques connues (st no tamment par la t ransformation de Mellin-Fou- rier), permettent de repasser du formalisms imagi- naire au r6sultat eherch6 dans le domaine r6el

Fondamentalement , et eela ressort trgs net tement des m6thodes utilis6es, la fonetion de transfert est une [onction analytique de p = o~].

Par exemple, tous les syst~mes h constantes localis~es sont d6finis par une fonction alg6brique, rapport de deux polynSmes en p. Des milieux con- tinus, tels que le c~ble r6sistif, d6finis par une 6quation aux d6riv6es partielles du type parabo-

lique, sont repr6sentables par des fonctions du genre e-~/N, etc.

Le symbols p n ' intervient que dans une expression dont tous les coefficients ont une signification physique, et sont par consdquent rdeIs.

De plus, la t ransformation inverse de Mellin- Fourier

l h(t) = ) ~ fee evt F(p) dp

off c est un contour queleonque laissant h gauche toutes les singularit6s de F, n'a de sens que si F(p) est analytique.

Bien entendu, il ne peut &re question dans tout ceei que de syst~mes lin6aires.

2. L ' A F F A I B L I S S E M E N T D E S O N D E S A C O U S T I Q U E S

D A N S LES S O L I D E S .

Les mesures qui oat pu 6tre faites en r6gime sinusoidal de pulsation ~ s 'expriment par la relation tr~s simple

(1) U = U o e - ~

o5 U d6signe l 'ampli tude de l 'une des composantes de l 'onde acoustique, U o une constants et z la coordonn6e selon laquelle se fait la propagation en ondes planes. La relation ! (i) est d'origine empi- rique ; on a fait les mesures ~ un certain nombre de fr6quences comprises dans un spectre 6troit, et les r6sultats ont pu gtre approximativement group,s de cette fa~on.

Pour utiliser la relation (1) et pour r6pondre h la question pratique (qui se pose en prospection sis- rnique) de la propagation des impulsions, l'ing6nieur habitu6 aux techniques de t616communications va tenter de fairs la construction suivante.

* A la Compagnie G6n6rale de G6ophysiquc.

- - 147 - -

A la cote z = 0 on a une grandeur physique (l'une des composantes du tenseur des tensions par exemple) dent on connalt la loi temporelle :

(2) u = Uo (t).

On cherche la loi temporelle de la mgme grandeur la cote z. On utilise le passage par la r6ponse en

r6gime sinuso~'dal. Dans l'6quation (t) U va devenir U(z) e l % Uo sera Uo el~t, et la fonction de transfert du milieu interpos6 sera e - ~ .

Notre ing6nieur des t616communications n'ira pas loin dans cette vole, car l'expression

(3) F(p) = e -~'" = el ,~ '

n'est pas une [onction analytique en p ~t coefficients rdeIs. I1 pourra cependant insister et faire le raison- nement suivant.

La loi (l) ne traduit que les propri6t6s relatives l'amplitude ; elle constitue peut-gtre la moiti6

d'une loi lin6aire, qu'il faut compl6ter par une phase, si bien que le milieu mat6riel serait d6fini par une fonction du type :

(4) F({o]) = e - = " ' + l ~ {~~

On salt calculer le d6phasage le plus petit qui soit compatible (tou/ours darts le domain~ lingaire) avec une loi d'amplitude donn6e ; il est donn6 par la relation de Bayard-Bode :

CO o s a(co) - - a(Co0) (5} ({~176 = - do},

o5 a(o) est le gain logarithmique. Ici (5) donnerait, h partir de (t) :

o 0 ~ f ~ do (6) = J o +

L'int6grale dans (6) diverge, On ne peut trouver aueune loi de phase compatible avec (l).

On doit conelure de cela que, ou bicn la loi (I) cesse d'gtre vraie en dehors de l'intervalle de fr6- quences o~ lea mesures ant 6t6 faites, ou que 16 processus n'est pus lin6aire.

L'auteur de cet article a pu montrer [l] qu'un processus non lin6aire de dissipation de l'6nergie,

savoir uu effet d'hyst6r6sis m6canique, pouvait rendre compte de (i) et aussi de la faible dispersion eonstat6e.

3 . L ' O N D E D E R A Y L E I G H [ 2 ] .

L'6tude des tremblements de terre avait fait apparaltre des vitesses de propagation des 6bran- lements, diff6rentes de celles qu'on pouvait calculer

partir des propri6t6s 6Iastiques du milieu (coeffi- cients de Lain6 et densit6s). De plus, les att6nua- tions, h partir du foyer, sent mains 61ev6es que l'att6nuation, de nature simplement g6om6trique, r6sultant de la r6partition de l'6nergie sur la surface d'une sphere dent le rayon crolt proportionnel- lement au temps.

Ceci a conduit Lord lqayleigh et ses continuateurs

J. LOEB [ANNALI~S DES TI~LI~COMMUNICATION$

(Love [3, w 214, en particuller]) h repr6sentcr l'onde acoustique dans le solide par les potentiels

I scalaire ~0 = ~ elo{t-=ls}+~,, (7) vecteur d?~ = ~? e l ~ { t - = / 8 } + 0 , .

I1 s'agit d'une onde plane dent les d6plaeements sent contenus dans le plan zx. Le potentiel vecteur est r6duit a s a seule composante +~. Les inconnues du probl6me sen t :

- - l a vitesse S le long de la surface. C'est une quantit6 essentiellement r6elle et positive,

les coefficients d'att6nuation e et ~ qui mul- tiplient z (direction positive vers le has). Dans l'id6e de nos auteurs, e ct ~ sent des quantit6s r~elles n@ati~,es.

Avee ces donn6cs on aurait eu r6eIIement une onde 6vanescente, localis6e au voisinage imm6diat de la surface.

Nous allons voir tout de suite ~ quelles difficult6s cette repr6sentation va nous con&ire. Les donn6es du probl~me sent, bien entendu, les deux c616rit6s :

~1, c616rit6 des andes de compression, ~2~, c616rit6 des andes transversales. Les fonctions potentielles figurant dans (7)

ob6issent aux 6quations de Helmholtz :

(8)

b27 b27 t b27 + = (1 1) d'ofi ~2= ~2 ~ - - ~ ,

d'ofl ~ = ~ ( ~ t )

La repr6sentation (7), pour d6crire les andes 6vanescentes, exige done que :

(9) S < ~2 2 < ~21

Nous aurons h indiquer les v6rifications th6oriques et exp6rimeutales de ~9).

Mais auparavant, remarquons les expressions de et ~ tir6es de (8)

V/l 1 = - - ~ S 2 f2~

(lO)

Nous retombons ainsi sur la difficult6 essentielle notre avis, rencontr6e au w 2 : que les expressions

(7) ne sent pas des [onctlons analytiques en p = r Une observation, quelquefois rencontr6e duns la

litt6rature, nous semble peu compatible avec la conception qu'on dolt se faire d'un ph6nom6ne physique : on 6crit que cc l'onde de Rayleigh est une onde plane dent l'angle d'incidence est imaginaire }). C'est lh un abus manifeste de l'emploi des imagi- naires,

4. CAL~'O'/~ DE ~.

l~puisons cependant le contenu des 6quations (7), en 6crivant les conditions h la surface (z =-0), e'est-h-dire l'annulation des deux composantes du tenseur des tensions :

(li) T ~ = 0 T ~ = 0 .

- - i 4 8 - -

t. 19, n ~ 7-8, 1961]

Tous ealculs faits, cela donne

. ~ (o~ 2r

C'est 1~ un syst~me homog&ne en q) et +~ qui n'a de solution que si le d6terminant est nul. On obtient ainsi l '6quation en S :

t On volt que les termes en ~ disparaissent lors de

l'616vation au earr6. Comme S n e figure que par S ~', (13) est une 6quation du 3e degr6, connue sous le nora de ~t cublque de Rayleigh ~. Cette 6quation a une racine r6elle satisfaisant aux in6galit6s (9).

L ' U S A G E DE LA N O T A T I O N (( I M A G I N A I R E 9 E N P H Y S I Q U E 3/4

correspondent h des fronts d 'onde se d6pla~ant sur la surface h des vitesses diff6rentes de ~21 et D~.

Les int6grales d6finies (14) se calculent habi- tuellement en 6tendant le domaine d'int6gration l 'axe r6el tout entier en introduisant la fonction de Hankel Hmo ) (X?). Aux grandes distances, les champs sont repr6sent6s, h un facteur pros qui n'a pas de r61e ici, par l 'exponentielle elXo provenant des formules asymptot iques.

L' interpr6tation physique de S dans (t3) et (16) est donc blen la c616rit6 d'une onde de surface. La repr6sentation intuitive de Lord Bayleigh abouti t bien h la pr6vislon de la c6lgritd de l 'onde de surface. On retrouve le mgme r6sultat darts des dispositifs plus compliqu6s (un liquide au contact d 'un solide par exemple).

6. A M P L I T U D E D E L ' O N D E D E S U B F A C E .

5. LA THI~.SE DE L. O A G N I A R D [4].

Dans cet ouvrage, l 'auteur 6ri te solgneusement d' introduire une description des ph6nombnes qui ne corresponde pas h une situation physique r6ali- sable.

Pla~ons dans le milieu solide une source ponc- tuelle S, dont l 'effet sera de cr6er un champ primaire que nous n 'avons pas besoin de pr6ciser davantage dans la question qui nous occupe ici.

Le champ secondalre est d6fini par les potentlels

(14)

X=fo 0

(po~ entiel scalaire),

?(X) Lilp 3o (Xp)] e~/~ +rq ~;

(potentiel vecteur), (composante sur l'azimut 0).

L'application des conditions ( l i ) donne le sys- t~me lin6aire :

I + 2x n, /fix) + + tx) = z . (15) f x/X- + pz[Q~ f(X) - (V + p2[2~) ?0~) = Z2,

Z 1 et Z 2 sont des termes provenant du champ primaire que nous n 'avons pas h pr6ciser.

Une fois (15) r6solu, on obtient darts (14) X et Y0, d 'oh le champ secondalre sous forme d 'une int6grale d6finie, ]onction analytique en p.

Les solutions qu 'on en tire sont classiques, et la t ransformation de Mellin-Fourler qui leur est appli- cable donne les fronts d 'onde connus, dont les c616rit6s sont D i et D~ h grande distance. En plus, il y a une onde li6e aux pSles de f(X) et ~(X). On la t rouve en annulant le d6termlnant de (15). C'est, en posant

- - p~ to (16) ),~" - S 9, ou X = ~,

l '6quation (13). C'est un fait g6n6ral : les z6ros du d6termlnant

II n'en est malheureusement pas de mgme en ce

qui concerne la loi de l'amplitude ene -am. Dans [4] pp. 182-t83, oa peut llre en effet : pour

des profondeurs z assez grandes par rapport ~ h, les amplitudes d6croissent proportlonnellement ~ z 3/2. Aux petites profondeurs, cette loi ne s 'applique p a s ; on notera par exemple que ccpour z = h (profondeur de la source) les composantes verticales (du champ) sont du m~me ordre de grandeur que pour z ---- 0, tandis que les composantes horlzontales sont notablement plus petites que pour z = 0 ~. ~L 'exp6r ience r6ecmment faite(*) (fig. 1) avait pour but de v6rifier, au moins quali tat ivement, la loi e n e -a~

S /4

FIG. 1. - - E x p 6 r i e n c e i n f i r m a n t l a

E

loi e n e --as.

Une source d'ultra-sons S (h i06 Hz) est plac6e sur la surface d 'une pitce d'acier. Le champ de l 'onde de surface est re~u en E, et on compare sa valeur avant et aprts qu 'on ait pratiqu6 une encoche en t rai t de scie en H, dont la profondeur est de quelques centim~tres (5 pour fixer les id6es) ; cette encoche couperait le chemin des ondes de surface.

Dans (i0) ~ ou ~ sont de l'ordre de r163 ou ~1~2,. Avec r = 2~ t06 s -x ~)~ = 5 000 m s -1 ~ ou [3 sont de l 'ordre de I 000 m - I .

~z est alnsi de l 'ordre de 50. L 'ampli tude aurait di), si la formule de Lord Raylelgh avait 6t6 exacte, gtre divlsSe par un nombre de l 'ordre de e 5~

(*) Par la Soci6t6 de Prospection l~lectrique,

- - 1 4 9

4/4 J . L O E B [ANNALES DES T]~L]~COMMUNICATION$

c 'es t dire que la r6cep t ion au ra i t c o m p l ~ t e m e n t d isparu . Les r~sul ta ts e x p 6 r i m e n t a u x sont bien loin d ' i nd ique r une pe r t e aussi grande.

E n s ' 6 c a r t a n t de ce t te r~gle, Lo rd R a y l e i g h a pu p r6vo i r la c616rit6 des ondes de surface, mais non leur loi d ' a t t 6 n u a t i o n en fonc t ion de la p ro fondeur .

7 . C O N C L U S I O N .

I1 ne f au t u t i l i ser qu ' h bon eseient la n o t a t i o n imag ina i r e q u a n d on v e u t repr6sen te r un ph6no- m~ne phys ique , en pa r t i cu l i e r si l ' on veu t t i re r du c o m p o r t e m e n t d ' u n sys t~me en r6gime s inusoidal la loi de la t r a n s m i s s i o n de s ignaux que lconques ( impuls ions pa r exemple) . La r~gle est de n ' a d m e t t r e , c o m m e formules d o r m a n t la r6ponse en r6gime s inusoidal , que celles qui c o m p o r t e n t une [onction analytlque de la va r i ab l e p = ~j .

B I B L I O G R A P H I E

[1] LOEB (J.). L 'a t t6nuat ion des ondes sismiques dans les solides. Geophysical Prospecting, vol. IX, n ~ 3, (1961), pp. 370-38t.

[2] RAWmGU (Lord), Proc. Lond. Math, vol. 17, (t887). [3] LOVE (A. E. H.). A treat ise on the mathemat ica l

theory of elasticity. (Trait6 sur la th~orie mathd- matiques de l'61asticit&) Cambridge, (1892).

[4] CAamAI~D (L.). R6flexion et rdfraction des ondes sismiques progressives. Gauthier-Villars, Paris, (19.29).

COMPTES R E N D U S DE LIVRES

T r a i t 6 d e T 6 1 6 v i s i o n *

de P. STROOBANTS

Cet ouvrage veut ~tre - - et r6usslt en effet h gtre - - une r somme ~) de la t~l~vision.

C'est lc d~veloppement d 'un cours profess~ sous le patronage des Ateliers de Constructions ]~lectrlques de Charleroi, en t enan t compte des ~tudes effectu~es par eette soci~t4.

L'ing6nieur non sp~clalls6 dans cette branche, le technicien qui veut se perfectlonner, y t rouveront une excellente revue de tous ses aspects, c'est-h-dire en fait d 'une bonne partie de l'61ectronique et des radiocom- mun'cat ions.

Chacun des chapitres comporte d 'abord un exposd en langage simple, abondamment illustr6 (sch6mas, eourbes, trfis nombreuses photographies) ; puis, dans la mesure ndcessaire, les ca]culs et formules (jusqu'au niveau des imaginaires, des transform~es de Fourier et Lap]ace) ; ct g~n@alement, des exemples, des annexes compl6mentaires et une bibliographie 6tendue. Chaque lecteur peut donc ais6ment t rouver ce qui convient ses d4sirs.

Tous]es sujets @ant abord6s, leur ~num@atlon serait : r i te fastidieuse. Indiquons seulement le plan de l 'en- semble.

Le premier volume d~bute par un expos6 g~n~ral propri6t~s de l'ceil, prineipes d 'analyse de l ' image, de sa transmission et de sa reconstitution. Ensuite sont exa- minds Ies tubes cathodiques, les m6thodes de ddviation du faisceau, le balayage et ]a synchronisation. Enfin, l 'amplif icat 'on des slgnaux obtenus et les difficult~s qu'elle soul6ve : fid~litd en ampl i tude et en phase.

Ce premier tome d~crit e n s u i t e - - a s s e z rapide- m e n t - - l a chalne d'6mission : tubes et cam@as de prises de rue, mat6riel de reportage, tdl6cindma, g~n6- ration des slgnaux d 'analyse ; allusion aux (r conver- tisseurs de s tandard) ) ; principes de la transmission sur l 'gne, sur c~b]e ou dans l 'espace, et par faisceaux hertziens, principes de fonct ionnement des stations, relais passifs ou actifs, etc... Le second volume reprend ce dernier point de vue pour pr6ciser les conditions de propagat ion dans l 'espace et sur lignes : pour ces der- nitres, les ~quatlons, formules habituelles.., sont donn6es avee des exemples d ' adap ta t ion de~ feeders au moyen du (( d iagramme de Smith )).

Un long chapitre est consacr6 aux antennes simples et h leurs propri~t6s : rayonnement , r6sistance, puis- sance, polarisation, bande de fr6quences ; puis aux combinaisons et groupements d'a@iens dirig~s ; puis l ' instal!ation des antennes de rdception, no tamment pour desservir en commun plusieurs usagers.

La plus grande partie de ce volume est, bien entendu, r6serv6e h l '6tude des r d c e p t e u r s : - - A m p l i f i c a t i o n V H F et U H F (y compris le MAVAR param6trique) ; s61eeteurs de canaux ; discussion sur le bruit. Change- ment de fr6quence - - Amplification (r moyenne fr6- quence ~) avec analyse d6taill6e de ses difficult6s ; rela- tions entre l 'ampli tude, la phase et le r6gime transi- to i re ; correction des distorsions. S61ectivit6 r6elle obtenue. Ddtection.

Le r6cepteur se divise ensuite en trois pa r t i es : la , chalne image)) avec son amplification, les probl6mes du (c gamma )~ et de la composante continue, Ies r6glages manuels et automatiques de gain et de contraste, le tube-6cran (et autres proc6d6s) ; puis ta ~ chMne son )), tantSt en modulation d 'ampli tude, tantSt en modulation de fr6quence, avec le choix de l '6tage de sortie et le trai- t ement du syst6me (( interporteuses ~, ; enfin les dispo- sitifs de balayage, de synchronisation et d 'alimentation.

La revue se termine par les syst6mes mult istandard, les circuits sp6ciaux antiparasites, stabilisateurs, l 'ac- cord automat ique.

Tout ceci 6tait trait6 dans le cas de la radio-diffusion ; mais il existe aussi une tdl6vision utilitaire, dont plu- sieurs 6quipements et de nombreuses applications sont d~crits.

Au d6but de son ouvrage (p. X), l ' au teur avait annonc4 qu'il renon~ait $ parler des semi-conducteurs ; il s 'est ravis6 (p. 50t), et il a bien fait, de sorte qu'il a consacr6 le dernier chapitre aux t616viseurs transisto- ris~s.

L 'dvolut ion rapide d 'un pareil suiet ne manquera pas d ' imposer h l 'auteur et h son ~quipe l 'obligation de reprendre blentSt le monumental travail qu'ils viennent d 'achever : souhaitons qu'ils puissent inclure, dans la prochaine 6dition, un ehapitre sur la t~l~vision en cou- leur, et un index alphab~tlque facilitant la recherche occasionnel!e d 'un point de d~tail.

P. DAVID

* Avec la collaboration de divers coauteurs. Ed. tech. ACEC, Charleroi. Tome I (t960) ; I vol. reli6 16 X 25 ; xv + 506 p., 676 fig., bibl. (667 r 6 f . ) . - - P r i x : 39 F . - - Tome 2 (1963) ; 1 vol. reli6 t6 X 25, xvz -k t 007 p., nombr. fig., bibl. (nombr. r6f.). - - Prix : 690 FB. - - Ouvrages re~us en service de presse ; annonc6s dans le Bulletin signal~tique des t~l~communications (avril 1961 et avri11966) sous ]es cotes L.6 052 et L 7 t80.

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