C. R. Acad. Sci. Paris, t. 324, S&ie I, p. 187-190, 1997 kquations aux d&i&es partielies/Partia/ Differential Fquations

SW un problhme inverse pour les hquations de Maxwell dans un r&eau doublement phiodique

Habib AMMARI et Leila KALLEL

$entre de Mathkmatiques Appliqukes, CNRS? URA 756,

Erole Polytwhniqur. 91128 Palaiseau CEDEX, France.

R&urn& Nous considerons une onde Clectromagnetique incidente plane dans un reseau doublement periodique de W”. Now demontrons que la mesure de la composante tangentielle du champ tlectrique sur une section Clementaire donnee determine d’une mar&e unique la permittivite Clectrique du reseau.

On uniqueness in inverse scattering problem for grutings

Abstract. Consider an electromagnetic plane wave incident on a doubly periodic structure in (w”. We prove that the knowledge of the tangential component of the electric jeld on an elementary section determines the electric permittivity qf the grating.

Introduction et problhme direct

Nous considerons un reseau periodique de conducteurs parfaits pionges darts un milieu dielectrique dont les coefficients sont periodiques. Nous notons par 0’ le milieu conducteur, ad le milieu dielectrique, R = R2x ] 0, 00 [\@: et R” le milieu exterieur. Notons aussi (et, e2, es) une base orthonormee de R” telle que les ouverts !A”, CP, 0 et 0’ soient invariants par les transformations : II: H :c,J = 2 + jr&et + jadaea, pour tout .J E 22, oti d = (dr, da) est la periode du rtseau. Nous posons x = (z’? x3), nous supposons qu’il existe ho > 0 tel que 1 x3 1 > ha implique que le point z est dans le milieu extCrieur W. Les ouverts Cl”, Rd, R et R” sont dans le demi espace (2s > 0). Notons 06 (resp. 0;. Rg, 00) l’intersection de W (resp. R”, R’, R) avec la cellule Clementaire ]-d1/2, d1/2 [ x ]-d2/2: d2/2 [ x ] 0, +x [. D ans le milieu dielectrique SZd la permittivite Clectrique E est supposee L”, periodique en la variable 2’ de periode d, et la permeabilite magnetique est supposee Cgale a 1. Le coefficient E verifie Re E(X) > ~0 > 0 et Jm E (2~) > 0. La permittivite Clectrique E est supposke Cgale A 1 dans le milieu extkrieur. Le problkme de diffraction des Cquations de Maxwell par une telle structure s’tcrit

(1)

i

r&r& E - k* EE = 0, clans R, n A E = 0 sur r’ = dR’ U {x3 = 0)) E - E’” satisfait une condition de radiation sortante,

Note pr&ent& par Jacques-Louis LIONS.

0764-4442/97/03240187 0 Acadtmie des Sciences/Elsevier. Paris 187

H. Ammari et 1. Kallel

oti 11 est la normale sortante au milieu conducteur, et E’” est une onde incidente plane donnee par

le vecteur d’onde (K, k3) etant tel que (K, k3) . (K, ks) = k2 et EF Ctant un vecteur constant verifiant EF . (K. k3) = 0, de telle sorte que div Ei” = 0. Soient If’,& la section &lementaire donnee

par Ph =] - c11/2: d1/2 [ x ] - c&/2, d2/2 [ x{~ = IAL) pour h > ho, et Rob = f10 n (0 < x3 < h]. Pour s reel, nous introduisons Ies espaces de Sobolev quasi-periodiques suivants

et

‘I’H& (rot, r , , , ) = {x ‘fJ,,J dK+h-i”x’; C(1+IX+KJj”)s((~.,/2+I!K+KJ)A7~5/2) <$oo}> .IEB JEZ

oh u = CJEZ ,(LJ (j(~-+KJb~’ est tel que YL es = 0 et K.1 = (2~jl/dl, 2~jz/&). NOUS definissons

Ies espaces quasi-periodiques HK (rot, ! $2” h) et zp (rot, Ro) comme dans [4]. Dans toute la suite, , nous supposons que A: est a partie imaginaire non nulle. D’apres [l], nous savons que sous cette demiere hypothese le probleme de diffraction (1) admet une unique solution dans I’espace de Frtchet

quasi-periodique PF (rot, 00).

Un rQultat d’unicitd pour le problkme inverse

Le probleme inverse de la determination de la permittivite electrique E, pour les equations de Maxwell dans le cas d’un objet dielectrique borne, a &tC etudie par plusieurs auteurs parmi lesquels nous citons Colton-Pdivbinta 131, Sun-Uhlmann 161 et Ola-Paivarinta-Somersalo [5]. Le probleme de la determination du bord conducteur I” a CtC ttudie par le premier auteur de cette Note dans [2]. Dans cette Note. nous demontrons que la mesure de la composante tangentielle du champ Clectrique sur la section Clementaire I‘/, pour une seule onde incidente determine d’une man&e unique la permittivite Clectrique pour les equations de Maxwell dans un reseau doublement periodique. Notre

approche est differente de celle de [3], ]5] et [6]. Soit Ej l’unique solution dans gr (rot, Q,) des equations de Maxwell :

(2) r<t r(;t E,i - k’ E,~E,, = 0: dam f&j:

rr A E = 0 sur I?;, E,; - Ei” satisfait une condition de radiation sortante,

pour j = 1: 2. Nous avons le resultat d’unicite suivant :

TH&XL?ME 1. - Si El A 71. = E2 A a duns TH1;1’2(di~, I’,), ntors Ed = L‘~,

Nous commencons tout d’abord par demontrer le lemme suivant :

LEMME I. - Soit E = El - ,Ep. Le chump E ve’r$ie n A ro’t E = 0 sur I’t,. Soit Rx l’operateur pseudo-differentiel qui a c,,,, UJ ei(K+‘iJ),z’ dam TH~1’2(div, r,,) associe

- C,,,, & (k2 /L.J - ((K + K,J) . ~LJ)(K + K,J))C(~+~,~),” dans THil”(div, I’,). Nous avons (voir [ 11) la relation suivante qui traduit la condition de radiation a l’infini

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Sur un probkme inverse pour les equations de Maxwell

Si El A ~1 = E2 A n sur rh,, nous avow alors 71 A r&E = 0 sur l?h. Maintenant, nous vkrifions que le champ quasi-ptriodique E = El - E2 satisfait les kquations

suivantes dans la cellule tlkmentaire tronquke Ro, ,!,

r& r;t E - k? E = 9;

(4)

i -

clans Ro, 1,: UAE=O surI’;i, 71 A E = 0 sur I?!,> 7/, A rotE = 0 sur I?,, ,

oti le second membre CJ est donnC par

(3 .q = X:* (~1 - ~2) Ez + k2 (~1 - l)(El - E2) E (L2 (&,J)“.

Nous introduisions les deux problkmes

(6)

{

rcYt rGt 52 - k:* &2 = y. dans GO. ,, . (6)’ 71. A f2 = 0 slll’ r;;,

7~ A rc&E2 = 0 sur rh. Nous avons le lemme suivant :

LEMME 2. - Les deuxproblPmes (6) et (6’) udmettent chacun une unique solution duns HK (r&, &, h ). NOUS considCrons 91 et ~2 dans Hi7 (Ro, h), uniques solutions de

(7)

(7)’

et nous posons 1~~

(8)

(8)’

=

1

i

1 Ap2 = - div ,y

k:* dans a(), ,, :

p* = 0 sllr r;;. i)np2 = 0 sur r,, :

&,, - Vpj. Les champs ~1 et %12 vCrifient

i

r& r;;t ‘7~~ - k2 11,~ = fl dans !I,, h; 71. A 711 = 0 siir r;;, 71. A ‘Ul = 0 sur rh.

r&r& u2 - k:* u,~ = f2 7~ A u2 = 0 71, A r& up = 0

daus 00, t,, sur r;;, sur rh ,

oh fj =k2 (VP,) + $g) E (J~~(OC,.~))~. N ous avons div .fi = 0: d’oti div ~1~ = 0. D’autre part,

k2 112 . 71/r,< = divr-,$ (GA 7~2 A 71,) - k2& ‘p2 Jr!, + 9 . 7)) )ri, = 0.

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H. Ammari et L. Kallel

Les deux espaces {(I, E Hlc (rot,. 12”. jl). div’tr. = 0 dans f&j. h. ‘1~ A 7~ = 0 sur I’; U l?h }, et { 71. E HIi (rot,. fly. ,? ). tliv II = 0 dans bIo, h. II, A n = 0 sur II’;, TL . n = 0 sur rh} s’injectent d’une manikre compacte dans (L’ (&, t,)),’ ($ [7] sous l’hypothkse restrictive du c6ne pour IT;;). En utilisant une formulation variationnelle de type point selle, nous obtenons par l’alternative de Fredholm l’existence et I’unicitC d’une solution A chacun des problkmes (8) et (8)‘. Ce qui termine la dtk~onstration du iemme.

II est clair que les trois champs &I, & et E sont tgaux. Nous allons dkmontrer qu’ils sont nuls. Nous considkrons pour cela les deux noyaux quasi-pkriodiques & et !& definis par

oh la masse de Dirac quasi-pkriodique At< est dkfinie par

Nous avow le lemme suivant :

LEMME 3. - Le noj’au g1 (.I.. ;I/) est impair en Ia variable :c 3 - h et le nqau G2 (2;. ;y) est pair en la L’crriahlr 2‘:~ - Ii.

Enfin, la reprksentation intkgrale de f,, conduit, en utilisant le lemme 3, au rksultat suivant :

L~hlw 4. - h’ous ~w011s II = ,ZL’ = IS = El - F;? = 0 dans Ito, h.

De l’cxpression (5) de g, nous dkduisons alors que ~1 = ~~ dans Q1,,, (& ne s’annule pas sur un ouvert d’intkkur non vide de 51 (). I, pour ne pas contredire la relation (3)). Ce qui termine la d6monstration dc notre thkorkme d’unicitk.

Note remise le X awil 199h. accept& le 14 octobre 1096.

Rkfdrences bibliographiques

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