Symtrie par rapport une droite(symtrie axiale) I) Figures symtriques axes de symtrie: Dfinition : Deux figures sont symtriques par rapport une droite (d) si ces deux figures se superposent par pliage le long de cette droite. (d)

les figures F 1 et F 2 sont symtriques par rapport la droite (d)

F1

F2

Dfinition : Une droite est un axe de symtrie dune figure F si la figure symtrique de F par rapport la droite est la figure F elle mme. (d1)

(d3)

(d2)

F1

F2 F 1 a deux axes de symtrie : d1 et d2 d3 est laxe de symtrie de F 2

II) Points Symtriques :

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Dfinition : Le symtrique dun point M par rapport une droite d est le point M tel que la droite d est la mdiatrice du segment [MM] M (d)

(d) est la mdiatrice de [MM]

B B M

M est le symtrique de M par rapport la droite (d) B appartient la droite (d). Son symtrique B par rapport (d) est lui mme

Tracer le symtrique dun point : Traons le symtrique M de M par rapport (d) mthode 1 avec lquerre et le compas :

M M M (d) O (d) O

(d)

O M

-

Je trace la perpendiculaire (d) passant par M. Elle coupe (d) en O. Sur cette perpendiculaire, je place M tel que OM = OM M est le symtrique de M par rapport (d)

2

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mthode 2 avec le compas :

M V

M (d) V

(d)

M

(d) V

U U

U

M

-

Je place deux points U et V sur (d). Je trace un arc de cercle de centre U passant par M. Je trace un arc de cercle de centre V passant par M. Les deux arcs de cercle se coupent alors en M .On considre la symtrie par rapport la droite (d) -les symtriques de points aligns

III) Proprits de la symtrie axiale :

(d1)

sont alignsA, F, G, E sont aligns et A, F, G, E sont aligns

(d)

-le symtrique dun segment est un

segment de mme longueurBC = BC -la symtrique dune droite est une

droite(d1) a pour symtrique (d2) -le symtrique dun cercle de

centre E est un cercle de mme rayon dont le centre est le symtrique de E (d2)-les mesures dangles symtriques sont gales EDC = CDE -les aires de figures symtriques sont gales laire du polygone ABCDE est gale laire de ABCDE

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IV) la bissectrice et la mdiatrice sont deux axes de symtrie :

(d)

Proprit : la mdiatrice dun segment est un axe de symtrie de ce segment

N

M

Proprit : Si un point appartient la mdiatrice dun segment alors il est la mme distance des extrmits du segment. (d) A appartient la mdiatrice de [MN] Donc AM = AN A N

M On peut dire que A est quidistant de M et N

Proprit : Si un point est la mme distance des extrmits dun segment alors il appartient la mdiatrice du segment. A Dans le triangle ABC, AB=AC Donc A appartient la mdiatrice de [BC] C

B

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Proprit : la bissectrice dun angle est l axe de symtrie de cet angle

x

y O (d)En ralit, il faut prolonger la bissectrice ! L axe de symtrie est une droite !

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