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A.P. « La construction du nombre au cycle 2 » C. Baderot CPC généraliste MONTARGIS OUEST 16/03/2012 Page 1
Synthè sè dè l’animation « La construction du nombrè au cyclè 2 » année scolaire 2011 – 2012 Animation Pédagogique du 16 mars 2012
Plan de l’animation
1. Brève introduction sur la numération – tour de table
2. Aspects didactiques de la numération
2.a Des références institutionnelles sur la numération
2.b Quelques réflexions préalables
2.c Quelques bases didactiques et les « incontournables » de la numération
la numération en tant que système
des connaissances sur le nombre
les problèmes propres à la numération
3. Des exemples de démarches :
La démarche (points forts) d’ERMEL : démarche
La démarche (points forts) de Stella Baruk : démarche – vidéo
Echanges
4. Des exemples de supports
5. Bibliographie - sitographie
1. Introduction :
« Certaines compétences, maîtrisées en début de la scolarité élémentaire, apparaissent structurer les
apprentissages de l’élève et s’avèrent, en outre, très prédictives de la réussite ultérieure.
Parmi ces compétences essentielles, les activités numériques et le calcul mental occupent une place
centrale.
En mathématiques notamment, l’enseignant doit essayer de maîtriser certains points didactiques et propres
à la spécificité des mathématiques (notion de preuve…)
« Montre-moi ce que tu fais faire, je te dirais ce qu’ils vont apprendre. »
Trois « domaines » sont prioritaires au cycle 2 :
- Le langage d’évocation
- La compréhension des textes
- L’apprentissage numérique et l’accès au nombre - Le principe de la numération décimale est à construite au CP.
- En GS, le principe de cardinalité doit être construit. (Le dernier nombre dit dans une énumération donne
le cardinal, sans nécessité de tout recompter…) il faut vérifier que l’élève sait le faire seul.
Des paradoxes à affronter
Oserais-je exposer ici la plus grande, la plus importante, la plus utile règle de toute l'éducation ?
Ce n'est pas de gagner du temps, c'est d'en perdre.
Jean-Jacques Rousseau, Emile ou de l'éducation
2. Aspects didactiques de la numération 2.a Des Références institutionnelles
Les programmes nationaux
Les repères pour progression
Un support très riche « Le nombre au cycle 2 » EDUSCOL, téléchargeable en version PDF
Le livret personnel de compétences
Les grilles de référence pour l’évaluation des compétences du Palier 1
Une Progression départementale pour le cycle 2
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La numération dans les I.O. du 19 juin 2008
Programme PS – MS – GS : • « L’école maternelle constitue une période décisive dans l’acquisition de la suite des nombres et de
son utilisation dans les procédures de quantification. Les enfants y découvrent et comprennent les
fonctions du nombre… (quantité et position) »
• « … les mots-nombres… »
« A la fin de la maternelle, les problèmes constituent une première entrée dans l’univers du calcul mais
c’est le CP qui installera le symbolisme (signes des opérations, signe « égal ») et les techniques.
• « Les enfants établissent une première correspondance entre la désignation orale et l’écriture
chiffrée. »
• « Les nombres sont utilisés dans des situations où ils ont un sens… jeux, activités de la classe,
problèmes … de comparaison, d’augmentation, de réunion, de distribution, de partage. »
Programme CP – CE1 :
• « La connaissance et la compréhension des nombres, de leur écriture chiffrée (numération décimale)
et le calcul sur de petites quantités constituent les objectifs prioritaires du CP et CE1 »
Un support très riche
Le document «le nombre au cycle 2 – Scéren » d’août 2010 téléchargeable gratuitement en PDF sur
http://media.eduscol.education.fr/file/ecole/00/3/Le_nombre_au_cycle_2_153003.pdf
Ce document dont la rédaction était coordonnée par l’Inspection Générale, est un corpus d’articles qui
se propose d’aider les enseignants dans la mise en œuvre des programmes de mathématiques au cycle 2.
Ces articles sont issus de la recherche et de professionnels reconnus de la communauté mathématique.
Ils apportent des éléments didactiques et des propositions concrètes de mise en œuvre (exemples,
progressions…).
Sa lecture et les réflexions qu’il suscite ont pour vocation d’aider les enseignants dans leur
enseignement des mathématiques au cycle 2.
Le socle Commun & le Livret Personnel de Compétences (LPC)
Les grilles de références pour l’évaluation et la validation du palier 1 du socle.
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Mise en parallèle items, connaissances et compétences liées au dénombrement
LPC PROGRAMMES PROGRESSIONS CP PROGRESSIONS CE1
NOMBRES ET
CALCUL -Écrire, nommer,
comparer, ranger les
nombres entiers naturels
inférieurs à 1000
-Résoudre des problèmes
de dénombrement
1 - Nombres et calcul Les élèves apprennent la
numération décimale
inférieure à 1 000.
Ils dénombrent des
collections, connaissent la
suite des nombres,
comparent et rangent. […]
Les problèmes de
groupements et de partage
permettent une première
approche de la division
pour des nombres inférieurs
à 100.
- Connaître (savoir écrire et
nommer) les nombres
entiers naturels inférieurs à
100.
- Comparer, ranger,
encadrer ces nombres.
- Écrire une suite de
nombres dans l’ordre
croissant ou décroissant.
-Connaître (savoir écrire et
nommer) les nombres
entiers naturels inférieurs à
1000.
-Repérer et placer ces
nombres sur une droite
graduée, les comparer, les
ranger, les encadrer.
- Approcher la division de
deux nombres entiers à
partir d’un problème de
partage ou de groupements.
Une progression possible pour le palier 1 : Voir Lien
2.b Quelques réflexions
Une mauvaise construction du système de numération est la cause d’une grande partie des difficultés des
élèves au cycle 3… au collège…
Les difficultés sont souvent masquées (plus ou moins consciemment) dans les évaluations
En cycle 1 et 2 : construire le système de numération (et différencier) et lui donner du sens au travers du
calcul
En cycle 3 : étendre le système de numération (remédier et différencier)
Au collège : continuer à étendre le système de numération et remédier
2.c Quelques bases didactiques et les « incontournables de la numération »
Le nombre comme « Outil »
Importance de la prise de conscience du fait que les nombres doivent permettre de résoudre certains
problèmes : mémorisation de la quantité, mémoire du rang, anticipation d’un résultat
Le nombre comme « Objet »
Par la construction progressive de la suite orale et de la suite écrite
Par la construction progressive des premières connaissances relatives à la numération décimale
Premières connaissances sur la comparaison des nombres
Premières relations additives et multiplicatives entre les nombres d’usage courant
Les enjeux de la numération
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Quelques bases et problèmes inhérents à la numération Au niveau de la démarche : D’une manière générale, il faut essayer lors d’un nouvel apprentissage de :
- bien clarifier l’apprentissage en disant aux élèves ce qu’on va apprendre, apprendre à faire…
- faire en sorte que la nouvelle connaissance intervienne pour répondre à un problème pour lequel les
connaissances précédentes ne suffisent pas (classe des centaines, les décimaux…) ou pour enrichir des
connaissances précédentes (on sait que 14 < 17 car on connaît la comptine numérique à on le saura aussi car
on pourra dire que 14, c’est 17 – 3).
ce problème doit devenir celui des élèves, celui auquel ils souhaiteront se mesurer.
- Veiller à ce qu’il n’y ait pas une MODELISATION qui s’installe. Certes on réinvestit des connaissances,
mais si les deux points précédents sont bien travaillés, on réduira chez l’élève l’effet de réponse à
l’attente SUPPOSEE du maître (exemple, il faut faire une addition … car hier on en a fait, en ce
moment, c’est ce qu’on fait…)
- « La manipulation elle-même ne constitue pas l’activité mathématique. C’est l’activité intellectuelle
que doit faire l’élève lorsque le matériel n’est plus là qui compte. C’est le passage à l’écriture chiffrée
qui est le but recherché. »
- Il faut se méfier de l’illusion de la seule réponse donnée. Il faut prendre le temps de contrôler le
COMMENT le résultat a été atteint au risque de se voir confronter à l’illusion de la réussite.
faire en sorte que la nouvelle connaissance intervienne pour répondre à un problème pour lequel les
connaissances précédentes ne suffisent pas (classe des centaines, les décimaux…) ou pour enrichir des
connaissances précédentes (on sait que 14 < 17 car on connaît la comptine numérique à on le saura aussi car
on pourra dire que 14, c’est 17 – 3).
ce problème doit devenir celui des élèves, celui auquel ils souhaiteront se mesurer à voir BARUK et le
langage
D. Barataud P. Lestievent
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Au niveau des connaissances, on distingue celles qui sont immédiatement disponibles et celles qu’il faut
réactiver/réorganiser. Entre les deux la coupure n’est jamais vraiment nette et elles interviennent souvent en
complémentarité.
des connaissances « déclaratives » portant sur des connaissances, règles acquises, « apprises » et si
possibles immédiatement disponibles :
Exemples : - avoir des automatismes tels 4 + 4 = 8…10 = 6 + 4…
- savoir décrire un nombre : 34, 3 est le chiffre des dizaines…
des connaissances « procédurales » servant à manipuler, à activer les connaissances déclaratives.
Exemples :
- pour calculer une somme, je décompose en unités, dizaines et les associe ainsi…
- pour calculer 60 + 50, je calcule 50 + 50 + 10 ou 6 + 5 (dizaines)… il est ici moins coûteux de reconstruire un
calcul simple que de mettre en mémoire 60 + 50.
Les connaissances déclaratives sont certes utiles et indispensables mais non suffisantes pour entrer dans les
mathématiques (résolution de problèmes) Exemples : calculer un ordre de grandeur (arrondir à la dizaine la plus proche, encadrer entre deux dizaines…)
Qu’est-ce qu’un nombre ? Que met en jeu ce concept ?
un nombre est un élément d’un ensemble de nombres ex. : N ensemble des entiers naturels 0 ; 1 ; 2 …
Z ensemble des entiers relatifs - 2 ; - 1 ; 0 ; + 1 ; + 2
D ensemble des décimaux
un nombre n’est pas une quantité, c’est une idée de quantité : ex. : un lapin à quatre pattes (4 est un nombre de…qui répond à la question COMBIEN DE… ?)
voir le Jeu MYSTERO
un nombre n’est pas un numéro ex. : Ribéry porte le numéro 7. (on peut se repérer par rapport aux numéros, distinguer une relation
d’ordre mais cela n’aurait pas de sens de les additionner ou les multiplier)
Il est important de savoir distinguer les numéros (bus, maison, maillot…) des nombres (nombre et
nombre de…) Le nombre est le seul mot de la langue française à avoir deux écritures :
- en mots (il vaut mieux dire en mots qu’en lettres car à l’oral ce sont des mots qu’on entend)
- en chiffres (on utilise alors 10 chiffres)
Un nombre ne possède qu’une seule écriture chiffrée. (9 ; 15)
Les écritures comportant des signes d’opération (4 + 5 ; 8 X 7) ne sont pas des nombres mais des
expressions numériques dont le résultat est un nombre. Il est essentiel de distinguer Chiffre & Nombre :Un nombre peut avoir soit un soit plusieurs chiffres
Les nombres de 1 à 9 doivent être parfaitement connus : On distinguera dénombrer c’est à dire compter
et montrer, dire combien il y a sans devoir compter
(appui sur la main, les constellations, des groupements connus… ne pas oublier de proposer diverses
représentations)
La « monstration » avec les doigts est d’ailleurs utilisée dans les fichiers « Mes premières
mathématiques » Stella Baruk MAGNARD - « Cap maths » HATIER - « Maths + » SED – « Pour
comprendre les mathématiques » HACHETTE …
On évitera de parler d’unités, de dizaines…(au début de l’apprentissage)
on préférera dire : « c’est un 3 qui vaut trois, c’est un 3 qui vaut trente »
En mathématiques, l’élève construit des représentations par rapport à ce qu’il croit comprendre de la
situation, sur des similitudes approximatives et donnent des réponses mécaniques souvent adaptées à court
terme mais peu à long terme.
Le problème du langage : Le langage mathématique est un langage uniquement écrit.
Cas du PROBLEME du LANGAGE MATHEMATIQUE et duLANGAGE COURANT : le mot RESTE qui
concerne la soustraction, le mot PLUS pour l’addition…
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Exemple de problème possible à donner :
Marc est né le 25-10-1999. Alexandre lui dit « Je suis né le 14-03-1998 et je suis plus jeune que toi, car 98 est plus petit que
99. » Qu’en penses-tu ? Explique ta réponse.
L’importance du calcul et du calcul mental pour travailler sur les propriétés des nombres :
Il est important de construire un apprentissage régulier (15’ quotidienne) et structuré
(programmations dans le document d’accompagnement « mathématiques école primaire »)
On peut considérer qu’il existe des incontournables tels que :
• les doubles
• les compléments à 10
• tables d’addition
Autres problèmes en mathématiques :
• le passage par des quadrillages pour le travail sur la multiplication qui représentent de manière
trop abstraite pour certains élèves la multiplication…
• dans les techniques opératoires, il faut veiller à proposer des nombres ayant un nombre de chiffres
différents et contenant des 0 afin de mettre en jeu des retenues… • il faut veiller à n’imposer aucune stratégie et notamment les schématisations…
• en géométrie, le fait de ne dessiner que des « bons » carrés, triangles et rectangles, droits sur leur
base.
Qu’est-ce que savoir compter? Dénombrement, comptage dénombrement
Une définition
Dénombre = Dé nombrer = extraire le nombre de….
Il existe plusieurs moyens principaux de dénombrer
le dénombrement par comptage de un en un.
Le calcul .. .
La quantification : le « subitizing »…
Le subitizing = c’et la capacité de l’être humain de voir automatiquement jusqu’à 3 ou plus ; (apport des
neuro-sciences)
Si on fait la présentation d’une constellation à l’aide d’un carton flash aux élèves : pas nécessaire de
compter
Idem pour les constellations du dé reconnues comme un symbole ou les monstrations.
L’énumération
L’ « énumération » : c’est être capable de pointer une et une seule fois tous les éléments de la collection.
Deux exemples de situations permettant de travailler l’énumération :
Les boites d’allumettes – les boites à jetons
Consigne de la situation problème : Demander à l’élève de mettre une allumette par boîte ou un jeton par case
Mettre un jeton par case
Mettre une allumette par case
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Les variables sur lesquelles jouer :
Les objets :
déplaçables ou non
marquables ou non
organisés (ligne/colonne, chemins..)
La collection (nécessaire au-delà de la capacité de comptage)
Juste ce qu’il faut ou plus que nécessaire
La comptine numérique :
- La connaître
- Savoir la segmenter
Des exemples de comptines aux pages 30 et 31 :
Répétitives sans segmentation : J'ai fait une pirouette, [undeuxtroisquatrecinqsixsept], J'ai déchiré mes
chaussettes, [undeuxtroisquatrecinqsixsept]…
Segmentation par 3 : [undeuxtrois] nous irons au bois…
Segmentation par 2 : [undeux] v’la les œufs…
Segmentation par 1 : [un] nez, [deux] nez, [trois] nez …
Cumulative : [un] elle a un œil brun [undeux], elle a des plumes bleues…
Anti-Cumulative : [undeuxtroisquatrecinqsixsept] J'ai des trous à mes chaussettes
[undeuxtroisquatrecinqsix] J'ai mangé l'écrevisse...
A l’envers : dans la forêt du dolmen vert, il y a [dix] ours qui marchent à l’envers, [neuf] petits daims
plein de lumière [...] et [zéro] sorcière.
Segmentation par dix : qui compte jusqu'à dix ? c’est Alice, qui compte jusqu’à vingt ? c’est Germain….
Les difficultés d’apprentissage de la comptine
Les principes de GELLMAN : des propositions pour analyser les difficultés des élèves.
Par exemple, le travail de la synchronisation peut être fait à l’aide d’un tambourin (chaque frapper
correspond à un nombre)
L’élève doit connaître la chaîne orale : c'est-à-dire la suite des mots-nombres.
L’élève doit synchroniser le pointage des éléments de la collection avec la récitation des
mots-nombres.
Il doit également faire abstraction de certaines propriétés des objets de la collection, c'est-à-
dire compter une grosse bille comme une petite, une bille bleue comme une rouge...
L’élève doit comprendre que le dernier mot nombre prononcé correspond au cardinal de
la collection
L’élève doit se rendre compte que l’ordre de pointage est indifférent et qu’il conduit
toujours à désigner la même quantité..
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Le sens du nombre : A quoi sert le nombre ? Il sert à :
Mémoriser une quantité et un rang
Comparer
Anticiper
Des points clés : des exemples
La place du matériel dans les apprentissages Aucun matériel n’est optimal. Il convient de mixer leur utilisation et jouer sur leur complémentarité ainsi que :
Les contraintes
Les possibilités
Le lien avec les techniques de calcul
Le lien avec la comparaison
Des exemples d’outils :
Le château des nombres pour
retrouver comment sont faits/s’écrivent
les nombres
(on cache des cases à retrouver…)
Comparer des collections pour susciter
des groupements de grandes quantités
La monnaie pour travailler sur la
valeur et la quantité
Des bouliers, des abaques, des
plaques/cubes… pour travailler sur
les échanges
Les fourmillions (ERMEL) pour
travailler sur de grandes quantités et
donner du sens aux écrits.
Le matériel MULTI BASES
Intérêt : voir les groupements
Limite : pas de distinction valeur-quantité
Les COMPTEURS à bandes ou à roues (à associer à multibases)
Intérêt : on voit qu’on « avance »
Limite : le statut du 0
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5 types de situations de référence (situations incontournables).
Elles sont reprises aux différents niveaux de la scolarité en adaptant le domaine numérique.
1. Les situations d’échange pour travailler l’écriture chiffrée du nombre Exemple de situation de référence : « Jeu du banquier » ERMEL CP
2. Les situations de groupements Exemple de situation de référence : « Les Fourmillions » ERMEL CP
3. Les situations amenant à repenser les groupements par rapport aux échanges Exemple de situation de référence : « Jeu des timbres » ERMEL CP
4. Les situations abordant le point de vue algorithmique dans les deux systèmes de numération Exemple des compteurs (chiffres et mots), des calculatrices, des abaques… le « jeu du château »
« les jeux de portrait »…
Quelques remarques sur l’aspect algorithmique
Mettre en évidence la manière dont fonctionne l’écriture des nombres, c’est :
en observant les régularités de la suite écrite ,
sans forcément donner du sens, dans un premier temps, à la signification de chacun des
chiffres (en terme de groupements),
Prendre conscience qu’avec DIX symboles , on peut construire la suite écrite aussi loin que l’on veut
« Les premières situations doivent d’emblée se situer dans un domaine relativement étendu. »
« On acceptera donc de travailler avec des nombres que l’enfant ne sait pas encore lire. »
Des exemples :
Les tableaux de nombres (support à des jeux de portrait)
La CALCULATRICE
Intérêt : pour poser des problèmes sur les nombres, de calcul
Exemple : écrire 534 puis 544 sans utiliser la touche « efface »
Les BANDES NUMERIQUES et PISTES
Intérêt : pour travailler l’aspect ordinal
Elles peuvent être mises dans n’importe quel sens. (sauf
droite-gauche) et sont à varier.
Le ROULEAU des NOMBRES
Intérêt : pour travailler le calcul mental On colle la partie grisée
Les ABAQUES et les BOULIERS
Intérêt : pour aborder les additions
Le TABLEAU des NOMBRES
Les SPIRALES
Intérêt : pour travailler le calcul mental
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Les jeux de portrait pour mobiliser les connaissances sur les nombres, gérer des informations positives et négatives…comprendre la structuration de la suite des nombres…
835 118 708 538 234
- Est-ce qu’il se termine par un 8? OUI
- Est-ce que le chiffre du milieu est 3? OUI
- Si tu trouves le nombre, écris-les:……….
- Sinon, pose d’autres questions:…………..
425 113 703 523 224
- Est-ce qu’il se termine par un 3? OUI
- Est-ce que le chiffre des dizaines est 2? OUI
- Si tu trouves, donne le nombre: ……
- Sinon, pose d’autres questions: ………..
5. Les situations d’exploration des règles de la numération orale et de mise en relation avec la
numération de position (chiffrée) « Il s’agit de travailler avec les élèves sur ce qui distingue les deux systèmes de numération.
Certaines activités sont indispensables à des apprentissages futurs. Elles mettent en jeu des
connaissances qui ne sont pas toujours reconnues comme des savoirs à enseigner par l’institution
scolaire. »
… C’est le cas de l’apprentissage de la numération écrite avec des mots – appelée par certains «
numération orale » – et du passage de la numération de position chiffrée à la numération orale.
Ces deux systèmes fonctionnent différemment. L’enfant de CP doit apprendre en même temps les deux
systèmes et acquérir des automatismes. »
Exemples de la « dictée de nombres » mais aussi la comparaison de compteurs de chiffres et de mots,
puis au CE1 des questions de type « combien de chiffres et combien de mots dans 775, dans mille… »
Cela correspond à la démarche de Stella Baruk
3. Des exemples de démarches : La démarche (points forts) d’ERMEL : voir document joint
La démarche (points forts) de Stella Baruk : voir document joint et « Mes premières mathématiques
avec Némo et Mila » CP, éditions MAGNARD
4. Des exemples de supports
Des jeux :
Cartes classiques (sans les têtes) jeu de bataille
Cartes fabriquées (avec ou sans constellations)
De l’oie
De dés jeu de bataille avec un ou deux dés
Des jeux
« Mystéro » éditions Chenelière
« A la découverte des nombres » éditions Averdobe
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Un logiciel : « Moi je sais compter » éditions CLUB POM (paramétrable et contrôlable)
Des jeux de plateaux
Des jeux de mémory, loto…
Le Jeu ZATRE (éditions Amigo)
Le jeu Halli Galli (éditions Gigamic)
Le jeu LOBO …
« CALCUL MENTAL et STRATEGIE » éditions SCEREN (3 jeux dans une boite : Décadex / Magix 34 /
Multiplay : sommes pour faire 10 – 34, tables de x)
5. Bibliographie - sitographie
http://eduscol.education.fr/.../enseigner-les-mathematiques-ecole.html
http://stepfan.free.fr/dos/ElemMaths.htm
http://pernoux.pagesperso-orange.fr
http://jean-luc.bregeon.pagesperso-orange.fr
