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Departement d’Electricite, Electronique et Informatique(Institut Montefiore)
Notes du cours ELEC 047
SYSTEMES ELECTRIQUES DE PUISSANCE II(aspects dynamiques)
T. VAN CUTSEM
directeur de recherches FNRSprofesseur adjoint ULg
mars 2002
Preambule
Il existe dans les reseaux electriques une vaste gamme de phenomenes dynamiques, qui doiventetre pris en compte pour assurer son fonctionnement correct.
La figure ci-dessous propose une classification fondee sur la nature des phenomenes ainsi quesur les plages temporelles dans lesquelles ils se manifestent.
1 periode a 50 Hz
a court termedynamiquea long terme
dynamique
phenomenes thermodynamiques
restauration de la charge
(s)101 102 10410310−1 110−3 10−210−410−510−610−7
phenomenes de propagation
transitoires electromagnetiques
transitoires electromecaniques
1 min 1 h
Les phenomenes les plus rapides sont ceux de propagation. Ils se produisent principalementsur les lignes de transport et correspondent a la propagation des ondes electromagnetiques suitea des coups de foudre ou des operations de coupure (disjoncteurs). La gamme de temps de cesphenomenes s’etend de la microseconde a la milliseconde.
Les transitoires electromagnetiques prennent place dans les enroulements des generateurs etdes moteurs et dans les dispositifs electroniques de puissance. Ils resultent de perturbations(p.ex. court-circuit), d’operations de coupure ou de commutations (thyristors, etc. . . ). Ilss’etendent typiquement de quelques millisecondes a quelques dixiemes de seconde. Nousavons etudie de tels transitoires au chapitre 11. Dans un intervalle de temps de cet ordre,il est legitime de considerer que les vitesses de rotation des machines n’ont pas le temps de
1
changer.
Les transitoires electromecaniques sont precisement dus aux mouvements des masses tour-nantes des generateurs et moteurs, ainsi qu’a la reponse des regulateurs de tension et de vitesse,suite a une perturbation et au fonctionnement des protections. La gamme de temps de cesphenomenes s’etend typiquement de quelques centiemes de seconde a une dizaine de secon-des.
Les phenomenes de restauration de la charge s’etendent de quelques diziemes de seconde aquelques dizaines de minutes. Ils correspondent a la tendance des charges a recouvrer la puis-sance qu’elles consommaient avant perturbation. Il s’agit soit d’un comportement intrinsequede la charge, soit de l’effet d’une regulation.
La dynamique la plus lente est celle des phenomenes thermodynamiques qui se developpentdans les chaudieres des centrales thermiques, suite a une perturbation de l’equilibre production-consommation de puissance. Ils peuvent aller de quelques dizaines de secondes a quelquesdizaines de minutes.
On parle egalement:
• de dynamique a court terme pour designer les phenomenes qui se manifestent sur uneperiode allant du dixieme a la dizaine de secondes, incluant les transitoires electromeca-niques et les phenomenes de restauration de la charge les plus rapides;
• de dynamique a long terme pour designer les phenomenes de restauration de la chargeau-dela de la dizaine de secondes ainsi que les phenomenes thermodynamiques.
C’est precisement aux dynamiques a court et a long terme que nous nous interesserons dans cecours, laissant de cote les phenomenes de propagation et les transitoires electromagnetiques.
Ce cours se presente comme la continuation directe du cours ELEC 029 “Systemes electriquesde puissance -I” auquel il se refere, par exemple au niveau de la numerotation des chapitres etdes formules.
2
Table des matieres
1 Puissances en regime sinusoıdal 4
1.1 Transfert de puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Regime sinusoıdal: phaseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Puissances instantanee, active, reactive, fluctuante et apparente . . . . . . . . . 6
1.4 Puissance complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 Expressions relatives aux dipoles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6 Facteur de puissance et compensation des charges . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Systemes triphases equilibres 14
2.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Tensions de ligne (ou composees) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Connexions en etoile et en triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4 Analyse par phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.5 Puissances en regime triphase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.6 Transit de puissance et chute de tension dans une liaison . . . . . . . . . . . . 24
2.7 Production d’un champ tournant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4 Le systeme “per unit” 40
4.1 Passage en per unit d’un circuit monophase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.2 Mise en per unit de deux circuits monophases magnetiquement couples . . . . 42
4.3 Mise en per unit d’un systeme triphase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3
4.4 Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3 La ligne de transport 30
3.1 Relations entre tensions et courants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2 Quelques proprietes liees a l’impedance caracteristique . . . . . . . . . . . . . 33
3.3 Schema equivalent d’une ligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.4 Limite thermique d’une ligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.5 Ordres de grandeur des parametres de lignes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.6 Cables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5 Le transformateur de puissance 47
5.1 Transformateur monophase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.2 Transformateur triphase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.3 Valeurs nominales, systeme per unit et ordres de grandeur . . . . . . . . . . . . 61
5.4 Autotransformateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.5 Ajustement du nombre de spires d’un transformateur . . . . . . . . . . . . . . 65
5.6 Transformateurs de reglage en phase ou en quadrature . . . . . . . . . . . . . . 67
6 La machine synchrone 69
6.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.2 Les deux types de machines synchrones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.3 Modelisation au moyen de circuits magnetiquement couples . . . . . . . . . . 73
6.4 Transformation et equations de Park . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.5 Energie, puissance et couple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.6 La machine synchrone en regime etabli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.7 Valeurs nominales, systeme per unit et ordres de grandeur . . . . . . . . . . . . 89
6.8 Courbes de capacite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.9 Regulation de tension des machines synchrones . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4
6.10 Compensateurs synchrones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7 Le calcul de repartition de charge (ou “load flow”) 100
8 Comportement et modelisation des charges 101
8.1 Charges individuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
8.2 Charges vues des departs de distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
8.3 Charges vues du reseau de transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
9 Regulation de la frequence 110
9.1 Objectifs et niveaux de regulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
9.2 Regulateurs de vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
9.3 Regulation primaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
9.4 Regulation secondaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
10 Analyse de la securite statique 122
11 Transitoires electromagnetiques dans la machine synchrone 123
11.1 Constantes de temps et inductances caracteristiques . . . . . . . . . . . . . . . 123
11.2 Court-circuit d’un generateur fonctionnant a vide . . . . . . . . . . . . . . . . 127
11.3 Schema equivalent simplifie d’une machine synchrone . . . . . . . . . . . . . 137
12 Analyse des defauts equilibres 140
12.1 Phenomenes lies aux defauts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
12.2 Calcul des courants de defaut equilibres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
12.3 Puissance de court-circuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
13 Dynamique de la machine synchrone (complements) 9
13.1 Systeme per unit pour modele detaille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
13.2 Schemas equivalents dynamiques de la machine . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5
13.3 Equation du mouvement rotorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
14 Modelisation d’un systeme de puissance sous l’approximation quasi-sinusoıdale 16
14.1 L’approximation quasi-sinusoıdale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
14.2 Equations du reseau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
14.3 Structure generale du modele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
14.4 Modele classique de la machine synchrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
15 Turbines et regulateurs de vitesse 25
15.1 Turbines a vapeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
15.2 Regulateurs de vitesse de turbines a vapeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
15.3 Turbines hydrauliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
15.4 Regulateurs de vitesse de turbines hydrauliques . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
16 Regulateurs de tension 43
16.1 Caracteristique VQ d’un reseau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
16.2 Description des principaux systemes d’excitation . . . . . . . . . . . . . . . . 44
16.3 Caracteristique VQ d’un generateur synchrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
17 Machine asynchrone 53
17.1 Principe de fonctionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
17.2 Modelisation au moyen de circuits couples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
17.3 Transformation, equations et matrice d’inductance de Park . . . . . . . . . . . 55
17.4 Energie, puissance et couple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
17.5 Equation du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
17.6 Modele sous l’approximation quasi-sinusoıdale . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
17.7 Modele negligeant le regime subtransitoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
17.8 Comportements du moteur asynchrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6
17.9 Caracteristiques statiques du moteur asynchrone . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
18 Compensateurs statiques de puissance reactive 67
18.1 TSC: principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
18.2 TCR: principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
18.3 Modelisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
18.4 Caracteristique QV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
18.5 Regulation de tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
19 Compensation serie 75
19.1 Compensation fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
19.2 Compensation variable : le TSSC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
19.3 Compensation variable : le TCSC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
20 Stabilite des systemes electriques de puissance: definitions 84
20.1 Description et classification des instabilites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
20.2 Notions de la theorie des systemes: bref rappel . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
21 Stabilite angulaire aux petites perturbations 93
21.1 Analyse statique du systeme machine - reseau infini . . . . . . . . . . . . . . . 93
21.2 Augmentation de la puissance maximale transmissible par la compensation shunt101
21.3 Analyse dynamique du systeme machine - reseau infini . . . . . . . . . . . . . 105
21.4 Amelioration de la stabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
21.5 Obtention et analyse de la matrice jacobienne d’un grand systeme . . . . . . . 126
21.6 Analyse modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
21.7 Design d’une regulation par la methode des residus . . . . . . . . . . . . . . . 134
21.8 Appendice 1 : etablissement du modele (21.32) . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
21.9 Appendice 2. Fonctions de transfert de filtres (rappel) . . . . . . . . . . . . . . 139
7
22 Stabilite transitoire angulaire 141
22.1 Etude du systeme machine - reseau infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
22.2 Amelioration de la stabilite transitoire angulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
22.3 Influence du type de defaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
22.4 Stabilite transitoire des systemes multi-machines . . . . . . . . . . . . . . . . 158
23 Stabilite de tension 161
23.1 Analyse du systeme machine - charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
23.2 Augmentation de la puissance transmissible au moyen de la compensation shunt 168
8
Chapitre 13
Dynamique de la machine synchrone(complements)
13.1 Systeme per unit pour modele detaille
Le lecteur se reportera au chapitre 4 pour une description du systeme per unit en general et a lasection 6.7 pour une premiere application a la machine synchrone. Dans cette derniere section,nous nous sommes toutefois limites au stator de la machine, pour lequel la procedure ne differeguere de celle utilisee dans les reseaux de transport.
Dans les chapitres qui suivent nous nous interessons egalement au comportement dynamiquedes enroulements rotoriques. Ce traitement requiert le choix d’un systeme per unit pour cesderniers.
13.1.1 Rappels
Les developpements mentionnes plus haut ont montre qu’il etait necessaire de choisir de choisirtrois grandeurs de base dans chaque circuit, typiquement le temps, la puissance et la tension.Ils ont egalement mis en evidence qu’il fallait choisir le meme temps et la meme puissance debase dans toutes les parties du systeme. A ce stade, le choix de la tension de base est libre. Austator (triphase), nous prenons la valeur nominale de la tension phase-neutre (efficace), commedans le reseau de transport. Dans chaque enroulement de Park, nous choisissons une tension√
3 fois plus elevee, pour des raisons de confort expliquees a la section 6.7.2.
Ces divers choix sont recapitules dans le tableau ci-apres, qui indique egalement les basesd’autres grandeurs, deduites des trois premieres par les relations fondamentales de l’Electricite.fN est la frequence nominale du systeme.
9
pour les 3 pour chaque pour chaquegrandeur enroulements enroulement enroulement
statoriques de Park rotorique, p. ex. f
temps tB =1
ωN=
1
2πfN
puissance SB = puissance nominale triphasee
tension VB = tension nominale√
3VB VfB : voir ci-apres :phase-neutre (val. efficace) systeme reciproque
courant IB =SB3VB
√3IB
SBVfB
impedance ZB =3V 2B
SB
3V 2B
SB
V 2fB
SB
flux VBtB√
3VBtB VfBtB
Reste a choisir la tension de base de chaque enroulement rotorique.
13.1.2 Systeme per unit reciproque
Lorsque l’on utilise le modele detaille de Park, il est d’usage d’adopter le systeme per unitreciproque, qui a ete defini a la section 4.2.2, dans le contexte general de deux bobines couplees.
Appliquee aux enroulements d et f de la machine synchrone, la formule (4.9) s’ecrit:
IfB =√
3IBLdd − L�
Ldf(13.1)
ou L� est l’inductance de fuite de l’enroulement d et L�f celle de l’enroulement f .
En pratique, l’inductance synchrone Ldd et l’inductance de fuite L� se mesurent aisement,tandis que l’inductance mutuelle Ldf s’obtient simplement en appliquant une tension vf al’enroulement d’excitation et en mesurant la tension Eq recueillie a vide au stator:
Ldf =
√3EqRfωN vf
(13.2)
Une substitution de ces valeurs et de IB dans (13.1) fournit directement IfB . On en deduit latension de base:
VfB =SBIfB
La meme demarche s’applique en principe aux enroulements d1, q1 et q2 de la machine. Toute-fois, la difference reside dans le fait qu’on ne peut materiellement acceder a ces circuits comme
10
on accede a l’enroulement d’excitation. Ceci empeche d’obtenir Ldd1, Lqq1 et Lqq2 par des re-lations analogues a (13.2). Il en resulte que l’on ne peut determiner la tension ou le courant debase dans ces enroulements; on peut supposer qu’il existe un systeme reciproque mais on nepeut en determiner les bases. En consequence, on peut calculer les courants et tensions dansces enroulements en per unit mais on ne peut revenir aux unites physiques (V et A) ! Ceci neprete pas a consequence dans la mesure ou l’on ne doit rien connecter aux enroulements d1,q1 et q2, contrairement a l’enroulement f qui est alimente par le systeme d’excitation de lamachine.
Remarque. Alors que le systeme per unit reciproque est utilise avec le modele de Park de lamachine synchrone, le regulateur de tension et l’excitatrice (qui commandent la tension vf ) sontgeneralement modelises dans leur base propre. Par exemple, un systeme fort repandu consistea prendre pour VfB (resp. IfB) la tension (resp. le courant) d’excitation qui donne, a vide,une tension statorique egale a VB. Un changement de base s’impose donc entre l’enroulementd’excitation et le regulateur de tension (voir travaux pratiques).
13.1.3 Grandeurs et relations mecaniques
Les valeurs de base relatives a la vitesse mecanique et aux couples sont presentees dans letableau ci-apres.
vitesse mecanique ωmB =ωNp
p: nombre de paires de poles
couple TB =SBωmB
=pSBωN
Moyennant ces choix, la relation:
Te = p(ψdiq − ψqid)
devient en per unit:
Tepu =TeTB
=p(ψdiq − ψqid)
(pSB/ωN)
=ψdiq − ψqid
(√
3VB/ωN)√
3IB= ψdpuiqpu − ψqpuidpu (13.3)
On voit donc qu’en per unit, l’expression du couple est la meme quel que soit le nombre depoles de la machine.
11
13.2 Schemas equivalents dynamiques de la machine
Conformement a une propriete demontree a la section 4.2.2, dans le systeme reciproque, lesmatrices d’inductances de Park deviennent simplement:
Ld =
L� + Md Md Md
Md L�f + Md MdMd Md L�d1 + Md
Lq =
L� + Mq Mq Mq
Mq L�q1 + Mq MqMq Mq L�q2 + Mq
(13.4)ou l’on a pose, pour simplifier les ecritures:
Ldfpu = Md Lqq1 pu = Mq
On considere la meme inductance de fuite L� dans les deux axes.
Dans ces conditions, le lecteur etablira aisement que les schemas de la figure 13.1 sont equiva-lents aux equations de Park. On notera que chaque schema fait intervenir la f.e.m. de rotation,proportionnelle au flux dans l’autre axe.
s ld(s)
s lq(s)
Raθ ψd
vf
iq + iq1 + iq2
L�iq
vd
id
θ ψq Ra L�
id + if + id1
Md
Rd1
L�d1
id1
Rf
if
L�f
L�q2
iq2
Rq2
iq1
Rq1
L�q1
Mqvq
Figure 13.1: schemas equivalents dynamiques de la machine synchrone
Le lecteur etablira egalement que, dans le schema direct, lorsque vf = 0, l’impedance operation-nelle du circuit a droite du pointille est sld(s), ou ld(s) est l’inductance operationnelle definie
12
par (11.5). Un resultat analogue s’applique a l’axe en quadrature.
Dans ces schemas, les inductances Md et Mq sont sujettes a la saturation. Les autres induc-tances etant du type ”inductances de fuite”, on considere qu’elles correspondent principalementa des lignes de champ dans l’air et ne sont donc pas sujettes a la saturation.
13.3 Equation du mouvement rotorique
Derniere etape de la modelisation de la machine synchrone, nous nous interessons a present aumouvement du rotor sous l’effet d’un desequilibre des couples mecanique et electromagnetique.Cette partie du modele est evidemment essentielle pour l’analyse des transitoires electromeca-niques (voir preambule).
13.3.1 Equation du mouvement
Notons:
θm la position angulaire du rotor, a savoir l’angle entre un repere solidaire du rotor et un autresolidaire du stator
θ l’angle electrique correspondant, lie a θm par: θ = p θm
ωm la vitesse mecanique: ωm = θm
δ l’ecart entre l’angle electrique θ et une reference synchrone, c’est-a-dire un vecteur tournanta la pulsation nominale ωN .On a donc:
δ = θ − ωN t (13.5)
δ est appele simplement angle rotorique
L’equation fondamentale de la mecanique s’ecrit:
Id2
dt2θm = Tm − Te (13.6)
ou I est le moment d’inertie de toutes les masses tournantes, Tm le couple “mecanique” fournipar la turbine et Te le couple electromagnetique developpe par le generateur. Dans cette rela-tion, on a neglige le couple d’amortissement d’origine mecanique (frottements).
Le developpement ci-apres consiste a mettre (13.6) en valeurs unitaires et a faire apparaıtrel’angle δ. On a:
d2
dt2θm =
1
p
d2
dt2θ =
1
p
d2
dt2δ
13
d’ou:I
p
d2
dt2δ = Tm − Te (13.7)
Cette derniere equation est convertie en per unit, en la divisant par le couple de base TB , ce quidonne successivement:
IωmBpSB
d2
dt2δ = Tmpu − Tepu
⇔ Iω2mB
p ωmBSB
d2
dt2δ = Tmpu − Tepu
⇔ 2
ωN
12Iω2mB
SB
d2
dt2δ = Tmpu − Tepu (13.8)
En posant
H =12Iω2mB
SB
l’equation du mouvement, en per unit, s’ecrit donc:
2H
ωN
d2
dt2δ = Tm − Te (13.9)
ou l’on a omis l’indice pu pour alleger les ecritures.
13.3.2 Caracteristiques d’inertie
Le parametre H est parfois appele energie specifique: c’est le rapport de l’energie cinetiquenominale a la puissance apparente nominale de la machine. Il a la dimension d’un temps. C’estune grandeur representative de l’inertie des machines, permettant des comparaisons aisees. Letableau ci-dessous donne des ordres de grandeur.
H (s)unite thermique unite hydrauliquep = 1 : 2 − 4 s 1.5 − 3 sp = 2 : 3 − 7 s
La caracteristique d’inertie est parfois donnee sous la forme du temps de lancer tl, definicomme le temps necessaire pour atteindre la vitesse de rotation nominale ωmB lorsque l’onapplique au rotor, initialement au repos, le couple nominal:
TN =PNωmB
=SB cosφN
ωmB
Dans ces conditions on a:
ωm =SB cos φNIωmB
t
14
d’ou:
tl =Iω2mB
SB cosφN=
2H
cosφN(13.10)
Les donnees se referent parfois au couple de base TB plutot qu’au couple nominal: le cosφNdisparaıt alors dans (13.10).
Remarque. Dans l’equation (13.9), Te est le couple electromagnetique total. Or, dans certainsmodeles simplifies, on est amene a negliger les enroulements d’amortissement. Pour com-penser la composante du couple ainsi perdue, on introduit parfois un terme d’amortissementdans l’equation du mouvement, qui devient:
2H
ωN
d2
dt2δ +
D
ωN
d
dtδ = Tm − Te (13.11)
15
Chapitre 14
Modelisation d’un systeme de puissancesous l’approximation quasi-sinusoıdale
14.1 L’approximation quasi-sinusoıdale
14.1.1 Hypotheses simplificatrices
Pour l’analyse des dynamiques a court et long terme de grands reseaux, on adopte generalementles deux hypotheses simplificatrices suivantes:
1. F.e.m. de transformation negligees dans les equations de Park.
Au chapitre 11, dans l’exemple du court-circuit de la machine synchrone, nous avonsmontre que cette simplification conduisait a negliger la composante alternative de pulsa-tion 2ωN et la composante continue du courant de defaut. Nous avons vu que l’amplitudede la premiere etait tres faible. Quant a la seconde, comparee a la duree des phenomenesqui nous interessent ici, on peut considerer qu’elle s’amortit tres rapidement.
Le fait de negliger ou non les f.e.m. de transformation est ce qui differencie l’etude destransitoires electromagnetiques de celle des transitoires electromecaniques.
2. Vitesses rotoriques egales a la vitesse nominale dans les equations de Park.
Durant les transitoires electromecaniques, le deplacement angulaire du rotor autour dumouvement uniforme correspondant au synchronisme se fait a une vitesse relativementfaible devant la pulsation ωN .
Exemples.
• Une oscillation de l’angle electrique θ de 90 degres peut etre consideree commeimportante. La periode d’une telle oscillation est de l’ordre de la seconde. Dans un
16
systeme a 50 Hz, l’angle electrique total vaut donc:
θ = θo + 2π50t +π
2sin 2πt
et la vitesse angulaire correspondante:
θ = 100π + π2 cos 2πt � 314 + 10 cos 2πt
Cette derniere varie donc entre 304 et 324 rad/s. A l’instant ou son amplitude estmaximale, cette vitesse ne s’ecarte de la valeur nominale que de 10/314 = 3 %.
• Apres action du reglage primaire, la frequence s’installe a une valeur f qui differede la frequence nominale fN . La vitesse angulaire correspondante est θ = 2πf .Dans un grand reseau interconnecte, on peut considerer qu’un ecart final de 0,1 Hzest deja eleve. Ceci correspond a un ecart de 0, 1/50 = 0, 2 % par rapport a lavitesse nominale. Dans un systeme isole on peut observer un ecart plus important.Cependant, meme un ecart de frequence d’1 Hz ne correspond qu’a 2 % de lavitesse nominale.
Dans la plupart des cas, il est donc acceptable de remplacer θ par ωN dans les equationsde Park.
Les equations de Park simplifiees en supposant dψP/dt � 0 et θ � ωN ont ete developees a lasection 11.3. Nous reprenons ici les principales relations obtenues:
vP = −RP iP − ωNPψP (14.1)
ψP = LPP iP + LPrir (14.2)
ψr = LTPriP + Lrrir (14.3)
vr = Rrir +d
dtψr (14.4)
et, par combinaison des trois premieres relations:
vP = −(RP + ωNPL′′P )iP − ωNPLPrL
−1rr ψr (14.5)
En decomposant cette relation matricielle et en laissant de cote l’enroulement o, nous avonsobtenu:
vd = −Raid −X′′q iq + e
′′d (14.6)
vq = −Raiq + X′′d id + e
′′q (14.7)
avec:
[e′′d
e′′q
]= −ωNPLPrL
−1rr ψr (14.8)
17
14.1.2 L’approximation quasi-sinusoıdale
Il est interessant de comparer les relations (14.6, 14.7) avec celles qui caracterisent le regimeetabli1:
vd = −Raid −Xqiq
vq = −Raiq + Xdid + Eq
Eq = ωNLdf if
Certes, les relations (14.6, 14.7) different par la presence des reactances subtransitoires plutotque synchrones et par l’existence d’une f.e.m. dans l’axe direct. Cependant, au-dela de cesdifferences, il est remarquable de constater que les deux modeles ont la meme structure. Ceciconduit a assimiler la dynamique de la machine a une succession de regimes sinusoıdaux,les amplitudes et les phases des differentes grandeurs alternatives variant dans le temps. End’autres termes, on suppose que tensions et courants evoluent dans le temps selon:
v(t) =√
2 V (t) cos (ωN t + φ(t))
i(t) =√
2 I(t) cos (ωN t + ψ(t))
La resolution (numerique) des equations differentielles et algebriques du modele permet dedeterminer les evolutions temporelles V (t), φ(t), I(t) et ψ(t).
C’est l’approximation quasi-sinusoıdale. Elle suppose implicitement que V (t), φ(t), I(t), ψ(t),etc. . . varient “assez lentement” par rapport a la frequence nominale fN . De ce point de vue, iln’est pas acceptable d’incorporer dans le modele des phenomenes dont la constante de tempsest inferieure a 1/fN ; le gain en precision serait illusoire au vu de l’approximation consentieau depart.
14.1.3 Phaseurs dynamiques
Definissons les grandeurs complexes suivantes:
V (t) = V (t) ejφ(t) (14.9)
I(t) = I(t) ejψ(t) (14.10)
On a evidemment:
v(t) =√
2 re(V (t) ejωN t
)i(t) =
√2 re
(I(t) ejωN t
)
Dans le plan complexe, au nombre V (t) ejωN t on peut associer un vecteur tournant partant del’origine et aboutissant au nombre complexe en question. Par extension du procede utilise en
1pour rappel, le coefficient√
3 des relations 6.32 et 6.38 disparaıt apres conversion en per unit
18
regime sinusoıdal etabli, on peut construire un phaseur relatif a v(t), i(t), etc. . . en portant surun diagramme les vecteurs V (t), I(t), etc. . .
Un tel diagramme est considere a la figure 14.1. Comme celle-ci le suggere, le phaseur differed’un instant a l’autre. L’axe x de cette figure represente une reference synchrone, c’est-a-direun vecteur tournant a la vitesse angulaire ωN .
On designe souvent ce type de diagramme sous le vocable de phaseur dynamique.
xφ(t2)
V (t2)
V (t1)
φ(t1)
y
Figure 14.1: phaseur dynamique
14.2 Equations du reseau
L’approximation quasi-sinusoıdale conduit a modeliser le reseau non pas par les equationsdifferentielles relatives aux inductances et aux capacites presentes dans les schemas equivalentsde ses composants, mais bien par les equations algebriques qui caracterisent ces schemas enregime sinusoıdal.
Par coherence avec l’approximation adoptee aux stators des machines, nous considerons quele reseau fonctionne a la frequence nominale fN . Toutes ses impedances sont calculees a cettefrequence.
14.2.1 Methode des noeuds
Conformement a la methode des noeuds, le reseau est caracterise par:
I = YV (14.11)
ou Y la matrice d’admittance du reseau2, I est le vecteur des courants injectes aux noeuds etV le vecteur des tensions aux noeuds. Les composantes de ces deux vecteurs sont des nombrescomplexes du type (14.9, 14.10), tous rapportes a la reference synchrone.
2la maniere de determiner cette matrice a ete rappelee a la section 12.2.3. Toutefois, ici, la matrice Y neconcerne pas les machines ni les charges, prises en compte au niveau des injections de courant
19
Decomposons la tension et le courant relatifs au i-eme noeud (i = 1, . . . , N) en parties reelleset imaginaires, qui sont les projections des vecteurs correspondants sur les axes x et y de lafigure 14.1:
Ii = ixi + j iyi Vi = vxi + j vyi
Groupons ces composantes dans les vecteurs suivants:
vx =
vx1...
vxN
vy =
vy1...
vyN
ix =
ix1...
ixN
iy =
iy1...
iyN
Par ailleurs, decomposons Y en:Y = G + j B
ou G (resp. B) est la matrice de conductance (resp. susceptance) aux noeuds. La relation(14.11) devient:
ix + jiy = (G + j B) (vx + jvy)
En decomposant en parties reelle et imaginaire et en regroupant sous forme matricielle, onobtient: [
ixiy
]=
[G −BB G
] [vxvy
](14.12)
equivalente a (14.11) mais ne faisant intervenir que des nombres reels.
Dans les deux sections qui suivent, nous etablissons l’expression des courants ix et iy pour unecharge statique et pour une machine synchrone, respectivement. Le procede s’applique auxautres composants que nous etudierons dans le reste de ce cours.
14.2.2 Incorporation d’une charge statique
Considerons une charge statique caracterisee par une consommation de puissance active P (V )et de puissance reactive Q(V ), fonctions de la tension V a ses bornes (cf figure 14.2), elle-meme liee aux projections vx et vy par:
V =√v2x + v2
y
Compte tenu du fait que tous les courants sont comptes positivement quand ils entrent dans lereseau, on a:
Ii = − S�
V �=
−P (V ) + j Q(V )
vx − j vy
dont on tire les expressions des courants a introduire dans (14.12):
ix = −vx P (V ) + vyQ(V )
v2x + v2
y
iy =vxQ(V ) − vy P (V )
v2x + v2
y
20
V
S = P (V ) + jQ(V )I
Figure 14.2: courant injecte par une charge statique
Exercice. Que deviennent ces expressions dans le cas d’une charge se comportant a admittanceconstante ?
14.2.3 Incorporation d’une machine synchrone
Le cas de la machine synchrone pose un probleme de reference angulaire. En effet, lesequations de Park se referent a un systeme d’axes tournant avec le rotor de la machine, c’est-a-dire a une reference locale. C’est ce qui fait leur simplicite mais il convient a present derapporter toutes les machines a la reference synchrone utilisee pour ecrire les equations (14.12).
Comme on l’a fait a la section 6.6 (cf fig. 6.7), il est possible de representer sur un memediagramme les vecteurs tournants relatifs aux grandeurs electriques et les axes d et q de lamachine. Un phaseur dynamique ainsi complete est represente a la figure 14.3.
V
x
y
q
d
vx
vy
vqvd δ
Figure 14.3: changement de referentiel dans la machine synchrone
A la section 13.3, nous avons defini l’angle rotorique δ comme l’ecart angulaire entre un reperesolidaire du rotor et une reference synchrone. Dans la suite de ce cours, nous prendrons l’axe qcomme reference solidaire du rotor. Dans le phaseur dynamique de la figure 14.3, la referencesynchrone etant materialisee par l’axe x, δ est donc l’angle entre l’axe q et l’axe x. En regimeetabli, c’est donc aussi la phase de la f.e.m. Eq. En regime dynamique, δ varie dans le tempscomme les autres angles de ce diagramme.
21
On peut ecrire, pour la tension complexe V , par exemple:
vx + j vy = ejδ(vq + j vd) = (cos δ + j sin δ) (vq + j vd)
En decomposant en parties reelle et imaginaire et en regroupant sous forme matricielle, onobtient: (
vxvy
)=
( − sin δ cos δcos δ sin δ
)︸ ︷︷ ︸
T(δ)
(vdvq
)(14.13)
Cette relation s’applique a tous les vecteurs tournants. Par exemple, pour le courant, on a:(ixiy
)= T(δ)
(idiq
)(14.14)
On peut interpreter T comme une matrice de changement de repere (par rotation). Notons aupassage que T−1 = TT = T.
Considerons a present les relations (14.6, 14.7), qui s’ecrivent sous forme matricielle:(vdvq
)= −
(Ra X ′′
q
−X ′′d Ra
)(idiq
)+
(e′′de′′q
)
et dont on tire les courants id et iq:
(idiq
)= −
(Ra X ′′
q
−X ′′d Ra
)−1 (vdvq
)+
(Ra X ′′
q
−X ′′d Ra
)−1 (e′′de′′q
)
En introduisant cette relation dans (14.14) et en tenant compte de (14.13), on obtient l’expressiondes courants ix et iy:
(ixiy
)= −T
(Ra X ′′
q
−X ′′d Ra
)−1
T−1
(vxvy
)+ T
(Ra X ′′
q
−X ′′d Ra
)−1 (e′′de′′q
)(14.15)
a introduire dans (14.12). On peut revenir aux flux rotoriques en utilisant la relation (14.8).
Cas particulier. Dans le cas ou X ′′d = X ′′
q = X ′′, l’expression (14.15) se simplifie car:
T
(Ra X ′′
−X ′′ Ra
)−1
T−1 =
(Ra X ′′
−X ′′ Ra
)−1
=1
R2a + X ′′2
(Ra −X ′′
X ′′ Ra
)(14.16)
expression independante de l’angle δ.
Exercice. Dans le cas ou X ′′d = X ′′
q = X ′′, etablir les relations (14.15, 14.16) a partir duschema equivalent de la figure 11.4.
22
14.3 Structure generale du modele
Sous l’approximation quasi-sinusoıdale, le modele d’un systeme de puissance se presente sousla forme algebro-differentielle:
x = f(x,y) (14.17)
0 = g(x,y) (14.18)
La relation (14.18) est la forme compacte de l’equation (14.12), dans laquelle le vecteur y est :
y =
[vxvy
]
La relation (14.17) reprend les equations d’etat des machines et de leurs regulateurs. x regroupeles variables d’etat correspondantes. Dans le cas de la machine synchrone, les flux rotoriquesψr sont des variables d’etat toutes indiquees3.
x intervient dans (14.18) car les courants ix, iy injectes par une machine font intervenir lesvariables d’etat de la machine en plus des tensions terminales vx, vy.
Ceci s’applique aux autres composants de reseau que nous traiterons dans la suite de ce cours.
14.4 Modele classique de la machine synchrone
Le modele classique de la machine est un modele tres simplifie, que l’on utilise dans certainsdeveloppements analytiques ou raisonnements qualitatifs, telle l’analyse de la stabilite transi-toire angulaire.
La seule dynamique prise en compte dans le modele classique est celle du mouvement ro-torique. La partie electrique est simplifiee comme suit:
1. enroulements amortisseurs d1 et q1 negliges
2. flux constants dans les enroulements f et q2; cette hypothese limite l’usage du modele aune periode de l’ordre de la seconde apres perturbation
3. memes caracteristiques transitoires dans les deux axes: X ′d = X ′
q = X ′
4. vitesse rotorique ωm proche de sa valeur nominale ωmB
5. resistance statorique negligee.
3l’etablissement des equations d’etat de la machine sera considere dans les Travaux pratiques
23
La machine est donc decrite par:
vd = −X ′iq + e′d (14.19)
vq = X ′id + e′q (14.20)
que l’on peut combiner en:E ′ = V + jX ′I
relation a laquelle correspond le schema equivalent de la figure 14.4.
X ′
E ′ = E ′ � δ V
I
Figure 14.4: schema equivalent d’une machine synchrone dans le modele classique
Dans les relations (14.19, 14.20), les f.e.m. e′d et e′q sont constantes en vertu de la simplificationn◦ 2 ci-dessus. Ces deux grandeurs etant les projections de E ′ sur les axes d et q de la machine,il en resulte que E ′ est fixe par rapport a ces axes. La phase δ de cette f.e.m. est donc l’ecartangulaire entre un repere solidaire du rotor et la reference synchrone, tout comme l’angle δde la figure 14.3, dont il differe cependant par une constante. On peut donc utiliser δ dansl’equation du mouvement rotorique, ce qui donne:
2H
ωN
d2
dt2δ = Tm − Te (14.21)
Dans le modele classique, l’usage est d’ecrirer cette equation en termes de puissances, cesdernieres etant plus aisement exprimees en fonction des grandeurs du reseau. Sous l’hypothesen◦ 4, on peut muliplier le membre de droite de (14.21) par ωm/ωmB .Tmωm/ωmB represente la puissance mecanique Pm fournie par la turbine, en per unit.Teωm/ωmB represente la puissance transmise sous forme de couple electromagnetique, en perunit. Sous l’approximation quasi-sinusoıdale, en regime equilibre et compte tenu de la simpli-fication n◦ 5 ci-dessus, c’est aussi la puissance active P fournie par la machine au reseau.
L’equation du mouvement prend donc la forme:
2H
ωN
d2
dt2δ = Pm − P (14.22)
24
Chapitre 15
Turbines et regulateurs de vitesse
Ce chapitre a un double but:
• etablir les caracteristiques dynamiques des turbines a prendre en compte au niveau descouples mecaniques Tm appliques aux rotors des generateurs synchrones
• prendre en compte l’action des regulateurs de vitesse, dont le role a ete decrit au chapitre 9.
15.1 Turbines a vapeur
15.1.1 Description
Les turbines a vapeur utilisees dans les centrales thermiques (charbon, gaz, petrole, nucleaire)sont constituees d’un certain nombre de roues, successivement fixes et mobiles, portant lesailettes le long desquelles la vapeur se deplace. Au fur et a mesure que la vapeur progresse axi-alement dans la turbine, sa pression diminue et la taille des ailettes augmente. Ces differentesroues sont groupees en etages, ou corps.
Les turbines a un seul etage sont generalement utilisees dans des centrales de faible puissance.Les grandes turbines, quant a elles, comportent typiquement trois etages, voire davantage, etchaque etage communique son couple a un meme arbre1.
La division de la turbine en etages permet de resurchauffer la vapeur entre les etages, cequi donne un meilleur rendement au cycle thermique. Une disposition courante est celleschematisee a la figure 15.1. La turbine comporte trois etages, respectivement a haute (HP),moyenne (MP) et basse pression (BP), et un etage de resurchauffe entre la haute et la moyennepression.
1on parle alors de disposition en tandem
25
VAP
chaudiere resurchauffeur
SR
HP MP BPgenerateur
VR
SI
vitesse
RV condenseur
Figure 15.1: turbine a vapeur a 3 etages
En quittant la chaudiere, la vapeur passe par la vanne d’arret principale (VAP) puis par lessoupapes de reglage (SR) (aussi appelees soupapes haute pression), pour entrer dans l’etagehaute pression. Apres une expansion partielle, qui fournit typiquement 30 % du couple meca-nique total de la turbine, la vapeur est redirigee vers la chaudiere pour y etre resurchauffeedans un echangeur de chaleur. Elle passe alors par la vanne de resurchauffe (VR) puis par lessoupapes d’interception (SI) (aussi appelees soupapes moderatrices) pour atteindre l’etage amoyenne pression ou typiquement une fraction de 40 % du couple est developpee. Enfin, enquittant cet etage, la vapeur est dirigee vers le corps a basse pression ou elle fournit la fractionrestante du couple, avant d’etre acheminee vers le condenseur qui termine le cycle thermique.
Notons qu’il existe d’autres configurations, par exemple: pas d’etage MP et plusieurs etagesBP (unites nucleaires), double resurchauffe (l’etage HP etant divise en deux avec resurchauffeintermediaire), unites a deux arbres distincts, etc. . .
Le role du regulateur de vitesse (RV) est de mesurer la vitesse de rotation de la turbine etd’ajuster en consequence l’admission de vapeur. Il sert egalement a ajuster le niveau de puis-sance selon la consigne recue.
Le regulateur agit sur les vannes et soupapes comme decrit ci-apres.
En fonctionnement normal, il modifie l’admission de vapeur dans la turbine en agissant seule-ment sur les soupapes de reglage; les autres vannes et soupapes sont entierement ouvertes.
Lors d’une perturbation severe (conduisant a un desequilibre entre couples electromagnetiqueet mecanique), la vitesse de la turbine peut augmenter rapidement, ce qui risque de la deteriorergravement. Le role du regulateur est alors d’empecher que la vitesse atteigne plus de 110 %de sa valeur nominale, environ. Pour ce faire, le regulateur agit sur les soupages de reglage
26
lorsque la vitesse atteint environ 105 %, pour diminuer la fraction haute pression du couple.Il doit egalement agir sur les soupapes d’interception, car il y a dans l’etage de resurchauffeun volume important de vapeur, qui continue a produire un couple important (70 % du total)pendant un temps assez long (de l’ordre de 5 s).
En plus de surveiller la vitesse, les regulateurs sont souvent dotes d’une logique de fermeturerapide des soupapes de reglage et d’interception, afin de maintenir la stabilite de la machinesuite a une perturbation importante. Cette technique est connue sous le nom de fast valving(“vannage rapide”). Sa logique repose sur la mesure de l’acceleration du rotor, de la puissanceelectrique fournie, etc. . .
Enfin, le dernier rempart de protection contre la survitesse est constitue par la fermeture totaledes vannes d’arret principale et de resurchauffe, au cas ou les autres mesures n’auraient pas eteefficaces. Il y a alors arret de l’unite de production.
15.1.2 Modelisation
La figure 15.2 donne un schema bloc-diagramme simple relatif a la turbine representee a lafigure 15.1.
Dans l’etablissement de tels modeles, l’usage est de traiter des grandeurs sans dimension, c’est-a-dire des valeurs en per unit. La normalisation est effectuee en divisant chaque grandeur parla valeur qu’elle a lorsque la puissance mecanique de la turbine est egale a sa valeur nominalePN . On notera toutefois que les constantes de temps restent en secondes pour des raisons defacilite.
dHPpc
Tm
fHP
11 + sTBP
11 + sTR
11 + sTHP
zSIzSR
fBPfMP
dMP
π πdBP
+
+
+
+
Figure 15.2: schema bloc-diagramme de la turbine de la fig. 15.1
On considere que le couple mecanique developpe par chaque etage de la turbine est propor-tionnel au debit de vapeur (masse par unite de temps) a la sortie de cet etage. Par ailleurs, le
27
debit de vapeur a l’entree de l’etage HP de la turbine est proportionnel a la section de passagezSR de la vapeur dans les soupapes de reglage et a la pression de la vapeur pc a la sortie de lachaudiere.
Lorsque le debit de vapeur a l’entree de l’etage HP change, le debit a la sortie, dHP change avecune certaine constante de temps THP (de l’ordre de 0.1 a 0.4 s). On obtient une telle fonctionde transfert en exprimant que le debit a la sortie de l’etage est proportionnel a la pression quiregne dans celui-ci et que le taux de variation de cette pression est proportionnel a la differenceentre les debits d’entree et de sortie.
fHP represente la fraction du couple developee dans l’etage HP (de l’ordre de 0.3).
La constante de temps TR correspond au passage de la vapeur dans le resurchauffeur. Elle estelevee (de 4 a 11 s) a cause du trajet que la vapeur doit effectuer dans les tubes du resurchauf-feur.
zSI represente la section de passage dans les soupapes d’interception. Comme mentionneprecedemment, en fonctionnement normal, on a zSI = 1.
fMP et fBP representent les fractions du couple developpees respectivement dans les etages amoyenne et basse pression (fMP � 0.4, fBP � 0.3). On a evidemment fHP +fMP +fBP = 1.
TBP est une constante de temps analogue a THP (de l’ordre de 0.3 a 0.5 s).
15.1.3 Interaction turbine - chaudiere
Pour des perturbations suffisamment faibles ou pour des etudes sur un intervalle de temps del’ordre d’une dizaine de secondes, on peut considerer que la pression pc de la vapeur a la sortiede la chaudiere est constante et egale a sa valeur nominale, soit simplement pc = 1 pu. Pourde grandes perturbations, cependant, une variation du debit de vapeur dHP induit une variationen sens oppose de la pression de vapeur pc = 1. L’etablissement de la relation entre ces deuxgrandeurs requiert de modeliser la chaudiere (un exemple typique de dynamique a long terme),qui sort du cadre de ce cours. Nous nous contenterons de decrire brievement trois modes deregulation de l’ensemble turbine-chaudiere.
Le mode de commande le plus naturel est celui ou “la chaudiere suit la turbine” (en anglais:“boiler follow mode”), comme symbolise a la figure 15.3. Le regulateur de vitesse comparela vitesse de rotation a sa valeur nominale et corrige les ecarts en ajustant la position zSR dessoupapes de reglage. Il repercute de la meme facon une variation de la consigne de production,entraınant un ecart entre puissances actives demandee et produite. Au niveau de la chaudiere,d’autres regulateurs se chargent de maintenir constantes les caracteristiques (pression, debit) dela vapeur en agissant sur les bruleurs, avec les constantes de temps beaucoup plus importantesinherentes a ce processus thermique. Ce schema de regulation permet une reponse rapide de laturbine et une bonne regulation de la vitesse, en mettant a profit la reserve de vapeur disponibledans la chaudiere.
28
−+
debits
consigneproduction
vitesse
positionSR
RV
pression, temper. vapeur
turbine gen.
puissance active
combust./ air/ eau
regul.
Figure 15.3: regulation “boiler follow mode”
Dans la regulation qui precede, la variation rapide du debit de vapeur dans la turbine se fait audetriment de variations de pression dans la chaudiere. Dans certaines unites, on ne desire passoumettre la chaudiere a ces variations et on l’utilise un schema de regulation ou “la turbine suitla chaudiere” (en anglais: “turbine follow mode”), comme represente a la figure 15.4. Ici lessoupapes de reglage servent a maintenir constante la pression de vapeur. L’unite de productionne peut donc pas participer a la regulation de la frequence du reseau. De meme, une variation dela production s’obtient en agissant sur les bruleurs de la chaudiere et les montees en puissancesont donc tres lentes (de l’ordre d’1 ou 2 minutes).
+ −
regul.
combust./ air/ eaudebits
pression, temper. vapeur
position
RV
puissance active
gen.turbine
SR
productionconsigne
Figure 15.4: regulation “turbine follow mode”
29
Un compromis entre les deux modes de regulation ci-dessus est fourni par la regulation coor-donnee (ou integree) de la turbine et de la chaudiere, symbolisee a la figure 15.5. D’une part,les variations de pression creees par des variations de vitesse ou de consigne de production sontcontrecarrees en agissant anticipativement sur les bruleurs de la chaudiere (p.ex. en augmen-tant le flux de chaleur des que les soupapes s’ouvrent). D’autre part, les variations de positiondes soupapes sont limitees lorsque l’ecart de la pression a sa consigne depasse un certain seuil.
régul.
régul.
−+
debits
RV
consigne
comb./ air/ eau
pression vapeur
puissance active
turbine
vitesse
positionSR
production
gen.
Figure 15.5: regulation coordonnee (ou integree)
15.2 Regulateurs de vitesse de turbines a vapeur
15.2.1 Rappel
Le lecteur se reportera au chapitre 9 pour une description du fonctionnement du regulateur devitesse. Le schema de principe d’un regulateur mecanique-hydraulique est reproduit a la figure15.6 pour des raisons de facilite.
15.2.2 Schemas bloc-diagramme
La figure 15.7 montre un schema bloc-diagramme simplifie relatif au regulateur de la figure15.6.
L’entree θm est la vitesse angulaire de rotation de la turbine. La sortie zSR est la section depassage de la vapeur dans les soupapes de reglage, variable qui apparaıt a l’entree du schema-bloc de la figure 15.2.
30
vanne pilote
reglagesoupapes de
turbine
generateur
θ
servomoteur
F
pression
A B
E
DC
IHG
vapeur
huile sous
Figure 15.6: schema de principe d’un regulateur de vitesse mecanique-hydraulique
0
1
−
−
+
−
− +
zmaxSR
1
szSR
zminSR
K
z◦SR
σ
1
ωN
ωN
pθm
Figure 15.7: schema bloc-diagramme d’un regulateur de vitesse (unite thermique)
Le reste du schema fait intervenir des vitesses electriques; c’est pourquoi l’entree est multiplieepar le nombre de paires de poles p. ωN est la vitesse de rotation nominale, c’est-a-dire la vitessede synchronisme, mais egalement la base pour la mise en per unit des vitesses.
Le servomoteur agit comme un integrateur dote de deux limiteurs: un sur la vitesse de variation(avec des limites distinctes dans le sens de l’ouverture et de la fermeture) et un sur la position(0 et 1 en per unit, la seconde limite pouvant etre abaissee si on desire limiter la puissancedelivree par la turbine).
31
La figure fait apparaıtre la retroaction introduite par les leviers DEIHCB de la figure 15.6 ainsique la consigne zoSR d’ouverture des soupapes, correspondant a l’ajustement du point G.
Quelques manipulations permettent de passer du schema de la figure 15.7 a celui de la figure15.8, plus utilise en pratique. L’entree de ce diagramme est la vitesse rotorique δ qui intervientdans l’equation du mouvement du rotor (13.9). Tsm est relie aux parametres de la figure 15.7par:
Tsm =1
Kσ
+
−
− 1Tsm
δ
z◦SR
x
zmaxSR 1
zminSR 0
zSR1
s
1
σωN
Figure 15.8: schema bloc-diagramme d’un regulateur de vitesse (unite thermique)
En supposant que les limites ne sont pas atteintes, on obtient la fonction de transfert:
∆zSR∆x
= − 1
1 + sTsm
Tsm apparaıt donc comme une constante de temps relative au servomoteur (de l’ordre dequelques dixiemes de secondes).
La figure 15.9 est une version un peu plus detaillee du schema de la figure 15.8.
La constante de temps Tr (de l’ordre du dizieme de seconde) correspond a un relai de vitesse,amplificateur supplementaire utilise dans les grandes turbines pour permettre la manoeuvre dela vanne pilote du servomoteur.
Le bloc 2 represente la relation non lineaire entre la position de la vanne et la section de passagede la vapeur. Cette non-linearite est compensee en placant en amont un dispositif (came oucircuit electrique synthetisant cette fonction) ayant la caracteristique inverse, correspondant aubloc 1.
Enfin, la partie inferieure du schema correspond a la commande des soupapes d’interceptionen cas de survitesse. La sortie zSI est la section de passage de la vapeur, variable qui apparaıtdans le schema bloc de la figure 15.2. Le parametre σ
′et la consigne zoSI sont choisis de facon
a ce que zSI = 1 tant que la vitesse de rotation de la turbine ne depasse pas une certaine valeur.
Exemple. En partant de la valeur typique (cf chapitre 9):
σ = 0.04
32
1
+
−+
−
−
−
+
0
1
0
yz◦SI
σ
σ′
zmaxSR
δ
z◦SR
1
1 + sTr
1
Tsm
1
s
zminSR
zminSI
zSR
zSI1
s
zmaxSI
1
T ′sm
211
σωN
Figure 15.9: schema bloc-diagramme d’un regulateur de vitesse (unite thermique)
et en prenant:σ
′= 0.02 zoSI = 3
on obtient, en negligeant l’effet de Tr :
y = zoSI −1
σ′δ
ωN= 3 − 50
δ
ωN
Ainsi, tant que δ/ωN est inferieur a 4 %, y est superieur a 1 et zSI reste “cale” a son maximum.Au dela de ce seuil de survitesse, les soupapes d’interception commencent a se fermer. Le seuilde 4 % est choisi de maniere a ce que la vitesse du rotor, qui continue a augmenter par inertie,n’atteigne pas le maximum permis (de l’ordre de 10 %).
Comme mentionne au chapitre 9, a l’heure actuelle, les regulateurs de vitesse sont plutotelectro-hydrauliques. Le schema de la figure 15.9 s’applique egalement a ce type de regulateur,a condition de supprimer le bloc relatif au relai de vitesse et de le remplacer eventuellementpar une fonction de transfert du type:
1 + sT1
1 + sT2
dont le role est d’ameliorer la reponse du systeme.
15.2.3 Caracteristique statique de l’ensemble turbine-regulateur
Rappelons que la caracteristique statique d’une turbine (et de son regulateur de vitesse) est larelation, en regime etabli, entre la puissance mecanique fournie par la turbine et la frequencedu reseau (cf chapitre 9).
33
En regime etabli, on tire de la figure 15.2, en supposant pc = 1 pu (v. supra):
Tm = zSR (15.1)
et de la figure 15.9, en negligeant les limites et les non-linearites:
zSR = zoSR − δ
σ ωN= zoSR −
f − fNσ fN
(15.2)
ou fN est la frequence nominale du reseau.
Nous supposerons dans ce qui suit que la frequence reste tres proche de sa valeur nominale.Dans ces conditions, la puissance mecanique fournie par la turbine vaut:
Pm = Tmθm � Tm en per unit (15.3)
En introduisant (15.1,15.2) dans cette relation, on obtient simplement:
Pm = zoSR − f − fNσ fN
en per unit
Dans cette relation, on peut interpreter la variable adimensionnelle zoSR comme une consignede puissance en per unit.
On retrouve donc bien la caracteristique lineaire (idealisee) de la figure 9.2
34
15.3 Turbines hydrauliques
15.3.1 Description
Considerons une installation hydroelectrique caracterisee par une hauteur de chute Hs. L’energie(potentielle) contenue dans un m3 du reservoir superieur vaut:
Epot = ρgHs
ou ρ est la masse specifique de l’eau et g l’acceleration de la pesanteur. La puissance totalecedee par l’eau vaut donc:
P = ρgHsQ (15.4)
ou Q est le debit d’eau (m3/s). La puissance mecanique fournie par la turbine est inferieure acette valeur, etant donne la presence inevitable de pertes.
Les turbines hydrauliques se classent en deux grandes categories.
1. La turbine Pelton est une turbine a action ou a impulsion. Dans celle-ci l’energie potentielleEpot de l’eau est entierement convertie en energie cinetique avant d’etre communiquee au rotorde la turbine. L’eau sort en effet de tuyeres sous forme de jets a l’air libre. Ces jets frappent lerotor tangentiellement, dans des receptacles appeles augets. Ces turbines s’utilisent quand lahauteur de chute Hs est importante (300 m ou plus)
Figure 15.10: turbine Pelton
2. Les turbines Francis, Kaplan et bulbes sont des turbines a reaction. Dans ces machines, unefraction de l’energie potentielle Epot se retrouve sous forme de pression a l’entree de la turbine.Energies cinetique et de pression sont converties en energie mecanique en passant dans le rotorde la turbine. L’ensemble est noye dans l’eau.
Pour produire des puissances importantes, les turbines a reaction requierent un grand debitd’eau. Les vitesses de rotation sont plus faibles.
La turbine Francis est utilisee en presence d’une hauteur de chute allant jusqu’a 360 m. L’axede rotation est vertical. L’eau arrive a l’horizontale dans le rotor (tangentiellement a ce dernier)
35
et en ressort verticalement (parallelement a l’axe de rotation). Elle est distribuee sur toute laperipherie du rotor par l’intermediaire de la bache spirale et du distributeur qui lui commu-nique une vitesse suffisante.
Figure 15.11: turbine Francis (vue d’ensemble et detail du rotor)
La turbine Kaplan s’utilise en presence d’une faible hauteur de chute, ne depassant pas 45 m.Elle a egalement un axe vertical mais l’eau se deplace parallelement a celui-ci. Cette turbineest surtout utilisee dans les centrales au fil de l’eau. Les pales du rotor peuvent etre orientables,l’angle etant ajuste en fonction du debit de maniere a maximiser le rendement de la machine.
Figure 15.12: turbines Kaplan (a gauche) et bulbe (a droite)
La turbine bulbe est aussi utilisee dans les centrales au fil de l’eau. Son axe de rotation est
36
horizontal, c’est-a-dire parallele au courant.
Mentionnons au passage les centrales de pompage ou a accumulation. Du point de vueeconomique, l’idee est d’accumuler l’eau dans un bassin superieur par pompage la nuit, lorsquele cout incremental du kWh est plus faible, et de fournir de la puissance pendant les heures depointe de la journee, lorsque ce cout est plus eleve. Du point de vue technique, lorsque le parcde production comporte une grande majorite d’unites nucleaires que l’on desire faire fonction-ner a puissance constante, l’utilite des centrales de pompage est de combler les creux nocturneset de supprimer les pics diurnes de la courbe de demande journaliere. De plus, les centrales depompage pouvant etre demarrees rapidement, elles constituent une reserve rapidement mobil-isable en mode d’urgence (par turbinage ou par arret du pompage).
Le rendement en pompage et en turbinage est de l’ordre de 85 %, soit un rendement de l’ordrede 72 % pour le cycle complet. Les deux modes de fonctionnement sont assures soit par unepompe et une turbine distincte, soit par une seule machine reversible.
15.3.2 Modelisation
Le modele simple developpe ci-apres, typique des etudes de dynamique des reseaux, convientaussi bien aux turbines Pelton qu’aux turbines Francis.
Considerons une turbine ideale caracterisee par une hauteur de chute Hs et une conduite delongueur L et de section A (cf figure 15.13). Nous considerons l’eau comme incompressible etnous negligeons la propagation des ondes de surpresssion dans celle-ci.
L
Hs
Q
A
Figure 15.13: principales caracteristiques d’une turbine hydraulique
Chaque m3 d’eau qui passe dans la turbine lui cede une energie E (J/m3). On definit la hauteurmanometrique (en m) comme le rapport:
H =E
ρg
37
La puissance totale cedee par l’eau vaut donc:
P = EQ = ρgHQ (15.5)
En regime etabli, en egalant les expressions (15.4) et (15.5), on trouve simplement que H =Hs : la hauteur manometrique coıncide avec la hauteur de chute. En regime dynamique cepen-dant, ces deux valeurs different.
La puissance mecanique Pm fournie par la turbine est inferieure a P parce que la turbine est lesiege de pertes. On tient compte du rendement non unitaire en posant:
Pm = ρgH(Q−Qv) (15.6)
ou Qv est le debit d’eau quand la turbine ne fournit pas de puissance mecanique.
La turbine est caracterisee par deux autres relations.
La premiere relie le debit Q a la hauteur H et a la section z de passage de l’eau (0 ≤ z ≤ A)dans la vanne d’admission de la turbine, on a:
Q = kQz√H (15.7)
La seconde decrit comment le debit Q varie dynamiquement. La masse d’eau ρLA contenuedans la conduite subit une acceleration dv/dt telle que:
ρLAdv
dt= ρgA(Hs −H)
ce qui donne pour le debit Q = Av :
dQ
dt=
gA
L(Hs −H) (15.8)
Les relations ci-dessus sont mises en valeurs unitaires comme suit. La base de chaque grandeurest la valeur qu’elle a au point de fonctionnement nominal, a savoir:
• puissance Pm egale a la puissance nominale PN de la turbine
• hauteur manometrique H egale a la hauteur de chute Hs
• vanne ouverte au maximum2 : z = A
• debit d’eau egal a QN
• vitesse de l’eau egale a vN = QN/A.
2on adapte aisement les expressions au cas ou l’ouverture maximale procure une puissance superieure a P N
38
En ce point de fonctionnement on a donc:
PN = ρgHs(QN −Qv) (15.9)
QN = kQA√Hs (15.10)
En divisant (15.6) par (15.9), on obtient:
Pm pu =H
Hs
QNQN −Qv
Q−QvQN
soit
Pm pu = KPHpu (Qpu −Qv pu) avec KP =1
1 −Qv pu(15.11)
En divisant (15.7) par (15.10), on trouve de meme:
Qpu = zpu√Hpu (15.12)
Enfin, on transforme (15.8) comme suit:
d Qpud t
=g AHsL QN
Hs −H
Hsou encore:
d Qpud t
=1
Tw(1 −Hpu) (15.13)
ou le parametre
Tw =L vNg Hs
(15.14)
est appele temps de demarrage de l’eau au point de fonctionnement nominal. Il represente letemps mis par l’eau a atteindre sa vitesse nominale sous l’effet d’une hauteur manometriqueHs, en partant du repos. Il vaut de 0.5 a 4 s selon les caracteristiques de l’installation.
Pour des raisons de simplicite, nous omettons le symbole pu dans les developpements quisuivent.
La figure 15.14 donne le schema bloc-diagramme du modele non lineaire de la turbine, corre-spondant aux relations (15.11, 15.12, 15.13).
15.3.3 Reponse d’une turbine hydraulique a de petites perturbations
Considerons une turbine fonctionnant initialement en un point caracterise par zo, Ho = 1 et Qo
et etudions son comportement vis-a-vis d’une petite variation de la section de passage de l’eauz. Une linearisation des relations (15.11, 15.12, 15.13) donne:
∆Q =√Ho∆z +
zo
2√Ho
∆H
sTw ∆Q = −∆H
∆Pm = KPHo∆Q + KP (Qo −Qv)∆H
39
/X/ X−
+
+
−
Tmz
Hs = 1
Q
H
QvωmωmB
Kp
Q
z
1
sTw
Pm
Figure 15.14: schema bloc diagramme (non lineaire) d’une turbine hydraulique
En eliminant ∆Q et ∆H de ces relations, on obtient, tous calculs effectues, la fonction detransfert:
∆Pm = KP (Ho)3/21 − (Qo−Qv)
zo√Ho T
′ws
1 + sT′w
2
∆z (15.15)
ou:
T′w = Tw
zo√Ho
est le temps de demarrage de l’eau au point de fonctionnement considere. Si on neglige Qv, lafonction de transfert (15.15) devient simplement:
∆Pm = KP (Ho)3/2 1 − sT′w
1 + sT′w
2
∆z
Les systemes dont la fonction de transfert ont, comme ci-dessus, un zero dans le demi-plande droite, sont dit non minimum de phase. Une propriete generale de ces systemes est dereagir initialement dans le sens oppose a leur evolution finale. Ainsi, la figure 15.15 montrel’evolution de ∆Pm pour une sollication en echelon d’amplitude ∆Z. On verifie aisement que∆Pm vaut initialement:
limt→0
∆Pm(t) = lims→∞ sKP (Ho)3/2
1 − (Qo−Qv)
zo√Ho sT
′w
1 + sT′w
2
∆Z
s= −2KPH
o (Qo −Qv)
zo∆Z
qui est bien negative.
Ce comportement initial s’explique comme suit. Supposons une augmentation brusque del’admission ∆z, comme a la figure 15.15. A cause de l’inertie de l’eau, la vitesse v et doncdebit Q ne peuvent changer dans les tout premiers temps. Il en resulte une diminution brusquede la hauteur manometrique H , comme le montre l’equation (15.12). Cette diminution induit ason tour une diminution de la puissance mecanique Pm, comme le montre l’equation (15.11).Au bout d’un certain temps, le debit atteint une valeur plus elevee, tandis que H revient a savaleur initiale, ce qui conduit a une augmentation de Pm.
40
t
∆Pm(0)
∆Pm(∞)
∆z
∆Pm
t
Figure 15.15: reponse d’une turbine hydraulique a de petites perturbations
15.4 Regulateurs de vitesse de turbines hydrauliques
La figure 15.16 donne un schema bloc-diagramme simplifie, relatif a un regulateur de vitesse deturbine hydraulique. Par rapport a une turbine a vapeur, une turbine hydraulique requiert uneforce plus importante pour manoeuvrer les vannes d’admission (pression de l’eau, forces defriction). On y arrive en utilisant un servomoteur supplementaire, appelle servomoteur pilote.Il y correspond la constante de temps Tp (de l’ordre de 0.05 s). Une valeur typique pour Kest 5.
−−
−
−+
δ
sδTr1 + sTr
σ
1s
zmin
zmax 1
0zo
zK
11 + sTp
1ωN
Figure 15.16: schema bloc-diagramme d’un regulateur de vitesse (4eme version)
A cause du comportement non minimum de phase de la turbine hydraulique et avec les valeursusuelles de σ (p.ex. 0.04), l’ensemble turbine-regulateur est instable lorsque la centrale fonc-tionne en mode isole ou fait partie d’un reseau avec une grande proportion de centrales hy-drauliques.
41
Pour eviter cette instabilite, on pourrait augmenter le statisme σ (c’est-a-dire diminuer le gainde la regulation de vitesse) mais dans ces conditions l’unite ne participerait plus a la regulationde frequence (cf section 9.3) ce qui n’est pas souhaitable pour une unite hydraulique.
Ce probleme est generalement resolu en dotant le regulateur d’une boucle de compensation (cffigure 15.16) qui a pour effet d’augmenter temporairement le statisme de la machine. En effet,dans les tout premiers instants, tout se passe comme si le statisme valait :
lims→∞ σ +
sδTr1 + sTr
= σ + δ
En choisissant δ � 0.2− 1.0, le statisme temporaire vaut donc 0.24− 1.04 soit nettement plusque le statisme permanent. En regime permanent, on retrouve bien ce dernier puisque :
lims→0
σ +sδTr
1 + sTr= σ
La constante de temps Tr (“reset time”) caracterise le temps mis a revenir au statisme perma-nent (Tr � 2.5 − 25s). Dans certains regulateurs de vitesse, on trouve plutot une fonction detransfert:
K1 + sTr
1 + s(δ/σ)Tr
dans la branche directe du schema-bloc de la figure 15.16.
42
Chapitre 16
Regulateurs de tension
Nous avons decrit la regulation de tension des machines synchrones a la section 6.9. Cechapitre fournit quelques complements a ce sujet.
Au prealable, il etablit la caracteristique qui lie la tension a la puissance reactive injectee en unjeu de barres d’un reseau, notion utilisee dans ce chapitre et dans le suivant.
16.1 Caracteristique VQ d’un reseau
En regime etabli, vu d’un de ses jeux de barres, un reseau peut etre represente, dans une certaineplage de variation, par un schema equivalent de Thevenin (cf figure 16.1.a). Nous supposeronsle jeu de barres situe dans le reseau THT, auquel cas on peut considerer que l’impedance deThevenin est principalement inductive (cf figure 16.1.a).
a. b.
Eth/Xth
perturbation
Eth
V
Q
Xth
Eth V
Q
Figure 16.1: schema equivalent de Thevenin et caracteristiques VQ d’un reseau
Rappelons que, vue d’un acces d’un circuit, la f.e.m. de Thevenin est la tension apparaissanta vide a cet acces. Dans le cas qui nous occupe, c’est donc la tension relevee au jeu de barres
43
considere lorsqu’aucune puissance n’y est produite ni consommee.
Considerons a present l’injection d’une puissance reactive Q en ce jeu de barres. En l’absencede transit de puissance active, l’equation de transit de puissance reactive dans la reactance Xths’ecrit:
Q =V 2 − V Eth
Xth(16.1)
La caracteristique VQ du reseau en un noeud donne est la relation existant, en regime etabli,entre la tension V et la puissance reactive Q injectee en ce noeud, toute autre chose restantconstante.
Sous les hypotheses adoptees plus haut, l’equation (16.1) nous indique que la relation entre Vet Q est quadratique. Cependant, pour des variations de tension suffisamment faibles autour deEth, cette relation peut etre approximee par une droite. Le coefficient angulaire de celle-ci estdonne par:
∂Q
∂V
)V=Eth
=2V − Eth
Xth
)V=Eth
=EthXth
Si l’on suppose que la tension a vide etait egale a la tension nominale, le coefficient angulairevaut, en per unit, 1/Xth (cf figure 16.1.b).
Soulignons que ce resultat n’est valable que pour des variations limitees de la tension. Lorsde variations plus importantes, la caracteristique est non lineaire non seulement a cause de larelation (16.1) mais egalement a cause du passage en limite reactive de generateurs, qui modifieles parametres de Thevenin. Nous reviendrons sur ce point dans un chapitre ulterieur.
Suite a un incident du type perte de branche ou perte de generateur, on observe en general(mais des exceptions sont toutefois possibles) que:
• Eth diminue, pour autant que la tension au noeud considere tombe sous l’effet de laperturbation
• Xth augmente dans la mesure ou le reseau comporte une branche en moins.
Sous l’effet d’une telle perturbation, la caracteristique VQ du reseau se modifie donc commerepresente a la figure 16.1.b.
16.2 Description des principaux systemes d’excitation
On rencontre une tres grande variete de systemes d’excitation, selon le constructeur, l’age del’equipement ou le type de reseau. Cette section decrit brievement les principaux systemesd’excitation utilises.
44
Un systeme d’excitation doit fournir la puissance requise par l’enroulement d’excitation dugenerateur et doit pouvoir faire varier rapidement la tension d’excitation en cas de perturbationsur le reseau.
Les systemes d’excitation peuvent etre classes en deux grandes categories:
• machines tournantes tirant la puissance d’excitation de la puissance mecanique fourniepar la turbine. L’excitatrice est le plus souvent entraınee par l’arbre commun a la turbineet au generateur. On peut distinguer:
– les machines a courant continu
– les machines a courant alternatif dotees de redresseurs
• systemes “statiques” dans lesquels la puissance d’excitation est fournie par le reseau etun redresseur a thyristors.
16.2.1 Excitation par generatrice a courant continu
Assez naturellement, les premiers dispositifs d’excitation ont fait appel aux machines a courantcontinu (v. figure 16.2). Les variations de vf sont obtenues en modifiant la tension de l’inducteurde la generatrice. La constante de temps de celle-ci doit generalement etre compensee. Lageneratrice peut etre a excitation shunt ou independante. Dans le dernier cas, elle doit etre ali-mentee par une “excitatrice pilote”. Cette derniere peut etre une machine a aimant permanent.
redr. + filtre
tateurcommu−
bagues
régulateur
A COURANT CONTINUGENERATRICE
TP
ALTERNATEUR PRINCIPAL
Figure 16.2: excitation par generatrice a courant continu
Avec l’augmentation de la taille des unites de production, ce systeme a ete progressivementabandonne. En effet, outre les problemes d’entretien, les commutateurs a balais ne s’accom-
45
modent ni des vitesses de defilement elevees sous les balais ni des courants d’excitation impor-tants. Ils ont fait place a l’electronique de puissance.
16.2.2 Excitation par alternateur et diodes
Dans ce cas et dans les deux suivants, l’excitatrice est un alternateur dont la sortie est re-dressee, au moyen d’un double pont triphase, pour fournir le courant continu if . On peutalimenter l’excitatrice par une excitatrice pilote; dans la configuration de la figure 16.3, elleest auto-excitee, au travers de thyristors. En modifiant l’angle d’allumage de ceux-ci, leregulateur change la tension d’excitation, donc la tension de sortie de l’excitatrice, donc vf .En pratique, les diodes de redressement n’introduisent pas de delai. De meme, le controle del’angle d’allumage peut etre considere comme instantanne. Toutefois la constante de temps del’excitatrice s’interpose dans l’ensemble.
On notera que la presence des diodes de redressement empeche le courant rotorique if et latension d’excitation vf de changer de signe, durant des transitoires importants.
régulateur
TP
ALTERNATEUR PRINCIPAL
redr. + filtre
EXCITATRICEALTERNATEUR −
Figure 16.3: excitation par alternateur et diodes
16.2.3 Excitation par alternateur et thyristors
Dans ce systeme (figure 16.4), on redresse la tension fournie par un alternateur au moyen dethyristors. On fait donc varier vf en reglant l’angle d’allumage de ces thyristors. L’excitatriceest auto-excitee et equipee d’un regulateur destine a maintenir la tension a ses bornes con-stantes, independamment du courant delivre au pont redresseur. Le temps de reponse des
46
thyristors est tres court. En revanche, pour ne pas introduire un delai au niveau de l’alternateur-excitatrice, celui-ci doit fonctionner en permanence a la tension maximale correspondant auplafond d’excitation, d’ou necessite de surdimensionner cette machine.
Notons que l’utilisation de thyristors permet de changer le signe de la tension vf en vue dedesexciter rapidement le generateur.
ALTERNATEUR PRINCIPAL
régulateurrégul. auxil.
EXCITATRICE
ALTERNATEUR
redr. + filtre
TP
Figure 16.4: excitation par alternateur et thyristors
16.2.4 Excitation par diodes tournantes
Le systeme de la figure 16.5, tres repandu, est caracterise par l’absence de tout contact glissant:il ne comporte ni bagues ni balais1. Pour ce faire, l’excitatrice est un alternateur inverse ayantdes enroulements triphases au rotor et un enroulement d’excitation au stator. Le pont redresseura diodes tourne avec l’arbre de la machine, d’ou le nom du dispositif. Ce systeme fonctionnea une frequence plus elevee que celle du reseau (p.ex. 250 Hz). Pour modifier la tension vf ,le regulateur modifie la tension d’excitation de l’alternateur inverse. Cette tension est fourniepar un alternateur auxiliaire a aimant permanent suivi d’un pont a thyristors. La constante detemps de l’alternateur inverse s’insere dans la regulation. Pour le compenser, de meme quepour surveiller le courant d’excitation if du generateur, on n’a pas acces au circuit d’excitationde ce dernier. On pallie cet inconvenient en utilisant a sa place le courant d’excitation del’alternateur inverse.
1c’est la raison pour laquelle ce systeme est appele “brushless” en anglais
47
d’excit.
redr. + filtre
ALTERNATEUR PRINCIPAL
TP
NS
ALTERNATEURINVERSE (BRUSHLESS)
régulateur
ALTERNATEURAUXILIAIRE
courant
Figure 16.5: excitation par diodes tournantes
16.2.5 Excitation par transformateur de soutirage et thyristors
Ce systeme (cf figure 16.6) soutire la puissance d’excitation d’un transformateur connecte aujeu de barres de la machine ou a un jeu de barres auxiliaire. Un redresseur a thyristors faitvarier la tension vf . Le temps de reponse est donc tres court.
régulateur
ALTERNATEUR PRINCIPAL
redr. + filtre
TP
Figure 16.6: excitation par transformateur de soutirage et thyristors
48
Un inconvenient reside dans le fait qu’en cas de court-circuit proche de la machine, la tensiond’alimentation du regulateur tombe, au moment ou l’on en a precisement besoin pour contre-carrer l’effet du court-circuit. En fait, ceci ne pose de probleme que dans le cas ou le defautn’est pas elimine rapidement (disjoncteurs moins rapides). On y remedie en surdimensionnantle transformateur de soutirage et en ajoutant des circuits de compensation utilisant p.ex. lecourant de sortie de l’alternateur principal.
16.3 Caracteristique VQ d’un generateur synchrone
La caracteristique VQ d’un generateur decrit la relation existant, en regime etabli, entre latension a ses bornes et la puissance reactive qu’il produit. L’intersection de cette caracteristiqueet de celle du reseau, etablie a la section 16.1, definit le point de fonctionnement de la machine.
Nous supposons constante la puissance mecanique produite par la turbine.
16.3.1 Caracteristique sous controle du regulateur de tension
La figure 16.7 montre les courbes V Q d’un turbo-alternateur d’une puissance apparente nomi-nale de 1200 MVA, dont la turbine a une puissance nominale de 1020 MW. Elles ont ete etabliesen tenant compte de la saturation et en supposant une production reactive nulle lorsque V = 1pu. Elles se rapportent a deux valeurs de la production de puissance active P ainsi qu’a deuxvaleurs du gain statique en boucle ouverte G (cf section 6.9.2).
0.988 0.99 0.992 0.994 0.996 0.998 1 1.002 1.004−200
−100
0
100
200
300
400
500
600
700
Q (Mvar)
P=
1020M
W
P=
765M
W
G = 70 pu/pu
P= 765 MW
P= 1020 MW
V (pu)
G = 200 pu/pu
Figure 16.7: caracteristiques VQ sous controle du regulateur de tension
Les courbes montrent une legere chute de la tension au fur et a mesure que la puissance reactiveproduite augmente. Il s’agit de l’erreur statique mentionnee a la section 6.9.2. La chute detension est evidemment plus prononcee pour des gains G faibles. La pente de la caracteristiqueV Q n’est que faiblement influencee par la puissance active produite.
49
Comme on le verra ulterieurement, pour des generateurs de grande puissance et/ou eloignes dureste du systeme, un maintien de la tension aux bornes est important pour la stabilite. Le gainG de ces generateurs est donc relativement eleve et l’on peut considerer les tensions a leursbornes comme constantes. Dans les systemes moins limites par la stabilite, on rencontre desgains G moins eleves. C’est aussi le cas dans certains regulateurs de tension plus anciens.
On peut tenir compte de la pente de la caracteristique VQ en representant la machine par leschema equivalent de la figure 16.8. Ce dernier se refere a un point de fonctionnement (Vo, Po,Qo). La puissance reactive fournie vaut:
Q = Qo +V
XmQ(Vo − V )
ou le second terme represente la puissance produite par la partie inferieure du schema. Celle-ciest nulle au point de fonctionnement pris comme reference.
La reactance equivalente XmQ est ajustee pour retrouver la pente moyenne de la caracteristiqueVQ de la figure 16.7. (Vo, Qo) et (V1, Q1) etant deux points releves sur la courbe en question,on a:
XmQ =V1(Vo − V1)
Q1 −Qo
P = 0
Vo XmQ
Po, Qo
V
Figure 16.8: schema equivalent d’une machine sous controle du regulateur de tension
Remarques.1. Rappelons que dans certains cas (assez rares), on utilise un regulateur du type proportionnel-integral (ou proportionnel-integral-derivatif). Celui-ci est exempt d’erreur statique, ce qui re-vient formellement a XmQ = 0.2. Au chapitre 12 nous avons etabli une relation simple entre la reactance de Thevenin et lapuissance de court-circuit. Cette relation ne s’applique pas a la reactance de Thevenin con-sideree plus haut dans ce chapitre (cf section 16.1), etant donne que nous nous interessons iciau regime etabli et non a la periode subtransitoire qui convient a l’analyse des courts-circuits.Plus precisement, pour l’analyse d’un court-circuit, chaque machine doit etre representee parsa reactance subtransitoire X ′′ (v. p. ex. figure 12.2.d) tandis que pour l’etude de la regulationde tension en regime etabli, chaque generateur est caracterisee par sa reactance XmQ.
50
16.3.2 Caracteristique en limite de courant rotorique ou statorique
Pour la meme machine que precedemment, les caracteristiques VQ en limite de courant ro-torique, sont donnees en trait plein a la figure 16.9, pour trois niveaux de puissance active. Onvoit qu’en limite de courant rotorique, la production reactive du generateur varie quelque peuavec la tension.
Les courbes correspondant au courant statorique nominal IN sont representees en trait pointillelong. Elles correspondent a la relation:
S = V IN =√P 2 + Q2 ⇒ Q =
√(V IN )2 − P 2
La courbe en pointille court correspond au fonctionnement sous controle du regulateur de ten-sion.
Enfin, la figure montre les caracteristiques VQ du reseau dans trois configurations differentes.
0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.10
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
régulateur de sous contrôle
C’
1
2
3
stator 1020 MW
rotor 510 MW
510 MW
765 MW765 MW
1020 MW
C
B
A
tension
Q (Mvar)
V (pu)
Figure 16.9: caracteristiques VQ du generateur et du reseau
51
16.3.3 Comportements du generateur
Considerons d’abord le cas d’une production de 765 MW et supposons que la caracteristique dereseau soit la courbe numerotee 1. Le point de fonctionnement du systeme est A, a l’intersectiondes caracteristiques du reseau et du generateur.
Une premiere perturbation fait passer la caracteristique du reseau de la courbe 1 a la courbe 2.Le nouveau point de fonctionnement du systeme est B. En ce point, le generateur est toujourssous controle du regulateur de tension. La tension reste tres proche de sa valeur avant incidenttandis que la production de puissance reactive augmente en reaction a la perturbation.
Une seconde perturbation fait passer la caracteristique du reseau de la courbe 2 a la courbe 3.Le point de fonctionnement se deplace de B en C. Toutefois, en ce point, le courant rotoriqueest superieur a la limite permise. Sous l’action du limiteur, la caracteristique du generateur semodifie et le point de fonctionnement qui en resulte est C’. La machine n’est plus controlee entension.
Dans le cas d’une production de 1020 MW, la seconde perturbation entraıne le depassementde la limite statorique, plus contraignante que la limite rotorique. Si le courant statorique estramene a la valeur maximale permise (par l’operateur ou par un dispositif limiteur), la chutede tension est plus severe que dans le premier cas.
Dans les situations extremes ou la tension du generateur passe en limite decroıt fortement, lesauxiliaires de la centrale (p.ex. les moteurs des pompes) risquant de ne plus etre alimentescorrectement, une protection de sous-tension declenche le generateur. La perte correspondantedes productions active et reactive risque d’aggraver la situation. Une telle protection ne doitdonc pas etre reglee a un niveau de tension trop eleve sous peine de declencher la machine dansune situation d’urgence ou l’on en a precisement besoin pour soutenir le reseau.
52
Chapitre 17
Machine asynchrone
La machine asynchrone est tres utilisee, principalement en tant que moteur, dans les installa-tions industrielles. Elle est egalement utilisee en tant que generateur pour des productions depetites quantite d’energie, par exemple dans les eoliennes. Dans les deux cas, l’interet de cettemachine est sa simplicite, donc son cout de fabrication relativement faible.
Ce chapitre est consacre a la modelisation de la machine asynchrone. Les developpements sontsuccincts car analogues a ceux de la machine synchrone, etablis au chapitre 6.
17.1 Principe de fonctionnement
Rappelons brievement le principe de fonctionnement d’une machine asynchrone en regimeetabli. La constitution et le role du stator sont les memes que dans une machine synchrone.Le rotor, quant a lui, tourne a une vitesse ωm differente de la vitesse ωN/p du champ tournantstatorique, la difference etant caracterisee par le glissement:
g =
ωN
p− ωmωN
p
=ωN − θ
ωN(17.1)
ou p est le nombre de paires de poles et θ la vitesse electrique de rotation.
Les circuits rotoriques, que l’on peut assimiler a des circuits triphases, sont le siege de courantsinduits, alternatifs, de pulsation g ωN . Ces courants creent un champ tournant a la vitesseg ωN/p par rapport au rotor, c’est-a-dire a la vitesse (g ωN/p) + ωm = ωN/p par rapportau stator. Les deux champs sont donc fixes l’un par rapport a l’autre et leur interaction est al’origine du couple electromagnetique, constant en regime etabli.
Les machines asynchrones se classent en deux categories:
• moteurs a rotor en cage (d’ecureuil): le circuit rotorique est constitue de barres (en Al
53
ou Cu) nues, court-circuitees en leurs extremites par des anneaux pour permettre unecirculation aisee du courant. Les moteurs a cage d’ecureuil sont de construction simple,de maintenance aisee et fiables;
• moteurs a rotor bobine: le rotor porte des enroulements isoles, generalement triphases.Ces enroulements sont accessibles via des bagues et des balais. Les moteurs a rotorbobines se rencontrent dans des applications ou il faut controler le courant et/ou le couplede demarrage, ou encore la vitesse de rotation. Leur construction et leur maintenancesont plus couteuses que les moteurs a cage d’ecureuil.
Les moteurs de la premiere categorie peuvent etre dotes d’une double cage. L’une sert princi-palement a obtenir un couple electromagnetique suffisant au demarrage, l’autre sert en regimeetabli comme indique ci-dessus. La theorie qui suit ne considere qu’une seule cage, pour sim-plifier.
Avec les moteurs de la seconde categorie, on peut augmenter le couple electromagnetique dedemarrage en inserant des resistances dans les circuits rotoriques.
17.2 Modelisation au moyen de circuits couples
Le stator de la machine asynchrone est identique a celui de la machine synchrone. Le rotor, parcontre, ne possede pas d’enroulement d’excitation et presente une totale symetrie de revolution.C’est pourquoi, plutot que des enroulements disposes selon deux axes privilegies, nous con-siderons au rotor trois enroulements equivalents notes respectivement A,B et C, decales de120 degres les uns par rapport aux autres, comme indique a la figure 17.1.a). Les enroulementsrotoriques sont tous en court-circuit.
dr et ds
b.a.
a a
b
b
c
c
A
AB
B
C
C
axe de la phase a axe de la
phase A
qr
qr
dr
dr
qs
ds
qs
ds
q
daxe desenroulements
Figure 17.1: modelisation de la machine asynchrone avant et apres transformation de Park
54
Nous adoptons la convention moteur pour orienter tensions et courants au stator. Au rotor,les enroulements etant court-circuites, l’orientation importe peu: nous adoptons arbitrairementcelle du moteur egalement.
Les equations statoriques et rotoriques s’ecrivent respectivement:
va = Rsia +dψadt
vb = Rsib +dψbdt
vc = Rsic +dψcdt
vA = RriA +dψAdt
vB = RriB +dψBdt
vC = RriC +dψCdt
ou Rs (resp. Rr) est la resistance d’une phase statorique (resp. rotorique).
17.3 Transformation, equations et matrice d’inductance dePark
Nous allons utiliser une transformation du type de celle de Park en vue d’obtenir, pour lesenroulements equivalents qui en resulteront, une matrice d’inductance independante de la po-sition du rotor.
Dans le cas de la machine synchrone, la transformation de Park remplace les enroulementsstatoriques par deux enroulements perpendiculaires d et q tournant avec le rotor. Les f.e.m. derotation font intervenir la vitesse relative θ − 0 = θ.
Dans le cas de la machine asynchrone, un referentiel solidaire du rotor ne se justifie plus; ilest plus interessant de choisir un referentiel tournant a la vitesse ωN correspondant au synchro-nisme.
Toutefois, de maniere a ce que les enroulements equivalents soient tous fixes les uns par rapportaux autres, il est necessaire de transformer egalement les enroulements du rotor.
La situation est donc la suivante (cf figure 17.1.b):
enroulements transformes en vitesse relativeau stator: a, b, c ds, qs, os ωNau rotor: A,B,C dr, qr, or ωN − θ
Comme pour la machine synchrone, nous prenons l’axe q en retard sur l’axe d.
Les equations de Park de la machine asynchrone peuvent etre obtenues en partant de celles dela machine synchrone et en ajustant celles-ci pour tenir compte des specificites reprises dans letableau ci-dessus. On obtient:
vds = Rsids + ωNψqs +dψdsdt
(17.2)
55
vqs = Rsiqs − ωNψds +dψqsdt
(17.3)
vos = Rsios +dψosdt
(17.4)
0 = Rridr + (ωN − θ)ψqr +dψdrdt
(17.5)
0 = Rriqr − (ωN − θ)ψdr +dψqrdt
(17.6)
0 = Rrior +dψordt
(17.7)
(17.8)
Compte tenu du fait que le rotor est lisse et qu’il n’y a pas de couplage magnetique entre lesaxes d, q et o, la matrice d’inductance de Park relative aux six enroulements equivalents sepresente sous la forme:
ψdsψqsψosψdrψqrψor
=
Lss LsrLss Lsr
LosLsr Lrr
Lsr LrrLor
idsiqsiosidriqrior
17.4 Energie, puissance et couple
La puissance instantanee entrant dans le stator vaut:
pT (t) = vaia + vbib + vcic = vdsids + vqsiqs + vosios
c’est-a-dire, apres substitution des relations (17.2 a 17.4):
pT (t) = (Rsi2ds+Rsi
2qs+Rsi
2os)+(ids
dψdsdt
+iqsdψqsdt
+iosdψosdt
)+ωN(ψqsids−ψdsiqs) (17.9)
Le premier terme du membre de droite represente les pertes Joule statoriques pJs et le deuxiemele taux de variation de l’energie magnetique dans les enroulements statoriques. Le dernierrepresente donc la puissance ps→r transferee du stator au rotor:
ps→r = ωN(ψqsids − ψdsiqs) (17.10)
Le bilan de puissance du rotor s’ecrit quant a lui:
ps→r = Pm + pJr +dWmrdt
+dWcdt
(17.11)
56
ou Pm est la puissance mecanique fournie a la charge entraınee, pJr les pertes Joule rotoriques,Wmr l’energie magnetique dans les enroulements rotoriques et Wc l’energie cinetique desmasses tournantes.
A partir des relations (17.5 a 17.7), on obtient successivement:
vdridr + vqriqrvorior = 0
(Rri2dr + Rri
2qr) + Rri
2or + (idr
dψdrdt
+ iqrdψqrdt
+ iordψordt
) + (ωN − θ)(ψqridr − ψdriqr) = 0
pJr +dWmrdt
+ (ωN − θ)(ψqridr − ψdriqr) = 0 (17.12)
D’autre part, on a:
Pm +dWcdt
=θ
pTe (17.13)
qui est la puissance transmise sous forme de couple electromagnetique Te.
Remplacant ps→r par (17.10) et introduisant (17.12) et (17.13) dans (17.11), on trouve:
θ
pTe = (ωN − θ)(ψqridr − ψdriqr) + ωN(ψqsids − ψdsiqs)
On a par ailleurs:
ψqsids − ψdsiqs = (Lssiqs + Lsriqr)ids − (Lssids + Lsridr)iqs = Lsr(iqrids − idriqs)
et
ψqridr − ψdriqr = (Lrriqr + Lsriqs)idr − (Lrridr + Lsrids)iqr = Lsr(iqsidr − idsiqr)
= −(ψqsids − ψdsiqs)
On en deduit donc les trois expressions suivantes du couple:
Te = p(ψqsids − ψdsiqs) = p(ψdriqr − ψqridr) = pLsr(iqrids − idriqs) (17.14)
Comme on l’a montre dans le cas de la machine synchrone, apres passage en per unit, le facteurp disparaıt. On a par exemple:
Tepu = ψqspuidspu − ψdspuiqspu
Pour finir, notons que les relations (17.11, 17.12, 17.13, 17.14) fournissent une expression plussimple de la puissance passant du stator au rotor:
ps→r =ωNTep
(17.15)
dans laquelle p disparaıt lorsque l’on passe en valeurs unitaires.
Exercice. Comparer les expressions (17.14) avec celles obtenues pour la machine synchrone.Commenter.
57
17.5 Equation du mouvement
Avec les memes notations que pour la machine synchrone, l’equation du mouvement s’ecrit:
Id2θmdt2
= Te − Tm
ou Te, Tm > 0 pour un moteur. Transformons cette relation pour faire intervenir le glissement,donne par (17.1). Etant donne que:
d2
dt2θm =
d
dtωm =
d
dt(ωmB − g ωmB) = −ωmB
dg
dt
on obtient:
IωmBdg
dt= Tm − Te
Cette equation se met en per unit en divisant par le couple de base TB = SB/ωmB :
I ω2mB
SB
dg
dt= Tmpu − Tepu
ou encore:
2Hdg
dt= Tmpu − Tepu (17.16)
ou l’on a pose, comme pour la machine synchrone:
H =12Iω2mB
SB
Dans la relation ci-dessus, Te est donne par (17.14) tandis que Tm est une fonction de la vitesseωm, donc du glissement g. Cette fonction depend du type de charge entraınee par le moteur oude la caracteristique de l’eolienne. La relation quadratique:
Tm = To + T1(1 − g) + T2(1 − g)2
est tres utilisee.
17.6 Modele sous l’approximation quasi-sinuso ıdale
17.6.1 F.e.m. derriere reactance subtransitoire
Une premiere approximation, longuement commentee dans les chapitres precedents, consistea negliger les termes en dψ/dt au stator. Les equations (17.2, 17.3) deviennent:
vds = Rsids + ωNψqs
= Rsids + ωNLssiqs + ωNLsriqr = Rsids + Xsiqs + Xsriqr (17.17)
vqs = Rsiqs − ωNψds
= Rsiqs − ωNLssids − ωNLsridr = Rsiqs −Xsids −Xsridr (17.18)
58
ou l’on a pose Xs = ωNLss (reactance statorique, a la pulsation ωN ) et Xsr = ωNLsr.
Introduisons a present les f.e.m. proportionnelles aux flux rotoriques:
e′′ds = ωN
LsrLrr
ψqr
e′′qs = −ωN
LsrLrr
ψdr
Les relations (17.17, 17.18) peuvent etre transformees en:
vds = Rsids + X′′s iqs + e
′′ds (17.19)
vqs = Rsiqs −X′′s ids + e
′′qs (17.20)
avec
X′′s = ωNL
′′s = ωN
(Lss − L2
sr
Lrr
)(17.21)
Les enroulements rotoriques d’une machine asynchrone etant semblables aux amortisseursd’une machine synchrone, les f.e.m. e
′′ds, e
′′qs et la reactance X
′′s sont du type subtransitoire,
d’ou l’utilisation du symbole′′.
Les equations (17.19) et (17.20) font intervenir la meme reactance X′′s et peuvent donc etre
combinees en une equation complexe:
V = Rs I + jX′′s I + E
′′
a laquelle correspondent le phaseur et le schema equivalent de la figure 17.2. On notera lasimilitude avec la machine synchrone.
RsI
jX ′′s I
V
E′′
I
d
q
I
V
Rs X′′s
E′′
Figure 17.2: phaseur et schema equivalent d’une machine asynchrone
Les f.e.m. e′′ds, e
′′qs et E ′′ ne restent constantes que durant une courte periode subtransitoire.
59
17.6.2 Dynamique des flux rotoriques
La dynamique des flux rotoriques s’etablit comme suit:
d
dtψdr = −Rridr − (ωN − θ) ψqr = −Rr
ψdr − LsridsLrr
− (ωN − θ) ψqr
= − 1
T ′′r
ψdr +LsrT ′′r
ids − gωN ψqr (17.22)
d
dtψqr = −Rriqr + (ωN − θ) ψdr = −Rr
ψqr − LsriqsLrr
+ (ωN − θ) ψdr
= − 1
T ′′r
ψqr +LsrT ′′r
iqs + gωN ψdr (17.23)
relations dans lesquelles T ′′r =
LrrRr
est une constante de temps rotorique, de type subtransitoire.
17.6.3 Bilan de puissance
Sous l’hypothese dψ/dt � 0, la dynamique de la machine peut etre approximee par une suc-cession de regimes sinusoıdaux, triphases equilibres, et le bilan de puissance statorique (17.9)se simplifie en:
P = pJs + ps→r (17.24)
ou P est la puissance active consommee par la machine.
Le bilan de puissance rotorique (17.12) devient simplement:
pJr = g ωNTep
En comparant cette derniere relation a (17.15), on voit qu’une fraction g de la puissancetransferee du stator au rotor est dissipee en pertes Joule; le reste est transmis sous forme decouple. Pour avoir un bon rendement, il faut donc fonctionner avec un glissement faible.
17.7 Modele negligeant le regime subtransitoire
17.7.1 Schema equivalent
La dynamique de ψdr et ψqr etant tres rapide, une seconde approximation consiste a la supposerinfiniment rapide. Ceci revient a poser dψdr/dt = dψqr/dt = 0 dans (17.5,17.6), ce qui donne:
0 = Rridr + gωNψqr = Rridr + gXrriqr + gXsriqs
0 = Rriqr − gωNψdr = Rridr − gXrridr − gXsrids
60
Ces deux equations peuvent etre regroupees en une equation complexe:
0 =RrgIr + jXrrIr + jXsrI (17.25)
De meme, au stator, les equations (17.17, 17.18) peuvent etre regroupees en:
V = RsI + jXsI + jXsrIr (17.26)
Notons que Ir correspond a un vecteur tournant a la vitesse ωN , comme le courant statoriqueI : le courant rotorique est “rapporte au stator”.
On etablit aisement que le schema equivalent de la figure 17.3.a correspond bien aux equations(17.25,17.26). Ce schema equivalent est aussi celui du moteur en regime etabli, ce qui estnormal puisque l’on a suppose les transitoires electriques infiniment rapides. Notons toutefoisque dans ce schema, g varie dans le temps conformement a l’equation du mouvement rotorique.
ba
LsrVe
Xe
Rr
gRr
g
Lrr − LsrLss − LsrRsI
V
Figure 17.3: schema equivalent de la machine synchrone (regime subtransitoire neglige)
Moyennant l’utilisation d’un systeme per unit adequat, les reactances apparaissant dans ceschema sont des reactances de fuite et magnetisante, respectivement. Le tableau ci-apres donneles ordres de grandeur des parametres du schema.
Rs 0.001 - 0.08 pu Rr 0.005 - 0.03 puXs� = Xs −Xsr 0.01 - 0.12 pu Xr� = Xrr −Xsr 0.01 - 0.10 puXsr 2.5 - 4 pu
17.7.2 Expression du couple en fonction du glissement
Le schema equivalent de la figure 17.3.a permet d’obtenir aisement l’expression du couple Teen fonction du glissement g. Pour simplifier, nous negligeons la resistance statorique Rs.
61
Le moteur etant alimente a la tension V , nous remplacons la partie a gauche du pointille dansla figure 17.3.a par un schema equivalent de Thevenin, ce qui fournit le schema de la figure17.3.b, dans lequel:
Ve =XsrXss
V Xe = Xrr − X2sr
Xss
On en deduit:
P =Rrg
V 2e
X2e + (Rr
g)2
=g Rr V
2e
g2X2e + R2
r
(17.27)
Par ailleurs, les pertes Joule statoriques etant negligees, les relations (17.15, 17.24) fournissent:
P = ps→r =ωNTep
(17.28)
En egalant (17.27) et (17.28), on trouve l’expression recherchee:
Te =p
ωN
g Rr V2e
g2X2e + R2
r
(17.29)
La fonction Te(g) est representee a la figure 17.4. Le couple maximal Temax vaut V 2e /2 Xe en
p.u.; il se produit pour g = Rr/Xe.
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5
ATe/Temax
generateur freinmoteur
Tm/Temax
g
C
B
Figure 17.4: couple electromagnetique en fonction du glissement
La figure mentionne egalement les intervalles de valeurs de g ou la machine fonctionne respec-tivement en moteur, en generateur et en frein.
17.8 Comportements du moteur asynchrone
Pour simplifier, nous supposons dans ce qui suit que le couple mecanique Tm est constant etles pertes statoriques negligeables.
62
17.8.1 Points de fonctionnement et stabilite
La condition d’equilibre du moteur est Tm = Te. Les points A et B de la figure 17.4 sont doncdes points d’equilibre.
Le raisonnement intuitif suivant montre que A (resp. B) est un point d’equilibre stable (resp.instable). Le moteur fonctionnant en A (resp. B), si l’on suppose qu’une perturbation aug-mente le glissement g, le couple electromagnetique devient superieur (resp. inferieur) au cou-ple mecanique; le moteur accelere (resp. decelere), le glissement diminue (resp. augmente)et le moteur retourne vers (resp. s’eloigne davantage de) son point de fonctionnement. Laconclusion est identique si l’on suppose une diminution initiale du glissement g.
Une demonstration rigoureuse consiste a lineariser l’equation du mouvement (17.16):
2Hd
dt∆g =
(∂Tm∂g
− ∂Te∂g
)∆g
et un point de fonctionnement est stable si et seulement si
∂Te∂g
>∂Tm∂g
condition satisfaite au point A mais pas au point B.
Si l’on augmente progressivement le couple mecanique Tm les points d’equilibre stable etinstable tendent l’un vers l’autre, puis disparaissent lorsque Te atteint la valeur Temax, au-delade laquelle le moteur decroche.
17.8.2 Reponse a une variation de tension
Considerons la reponse d’un moteur alimente a la frequence nominale ωN et sujet a une baissede tension, comme represente a la figure 17.5.a.
A l’issue d’une courte periode de transitoires electromagnetiques et de regime subtransitoire,le moteur se comporte comme l’indique le schema equivalent de la figure 17.3.a. Dans les pre-miers instants, par inertie mecanique, le glissement du moteur ne peut changer et la resistanceRr/g conserve sa valeur avant perturbation. Le moteur se comporte donc comme une charge aadmittance constante.
La courbe du couple Te en fonction du glissement g se modifie comme indique a la figure17.5.b. Suite a la chute de tension, le couple Te devient inferieur au couple Tm, le moteurdecelere, le glissement passe de sa valeur gA avant perturbation a sa nouvelle valeur d’equilibregA′ . La puissance active consommee etant proportionnelle au couple Te (en per unit, tous deuxont la meme valeur), l’evolution de P en fonction du temps est celle montree a la figure 17.5.a.
Comme on le voit, le moteur asynchrone est une charge qui, suite a une perturbation sur lereseau tend a restaurer la puissance active qu’elle consommait avant perturbation. Cette restau-ration prend de l’ordre d’une seconde.
63
t
ba
A
Te
A’
Tm
ggA′gA
P
V
g
t
t
Figure 17.5: comportement du moteur asynchrone
17.9 Caracteristiques statiques du moteur asynchrone
Dans les etudes de dynamique a long terme ou dans les calculs de point de fonctionnementapres perturbation, on caracterise les charges par les puissances active et reactive qu’ellesconsomment en regime etabli, en fonction de la tension et de la frequence. Etablissons cescaracteristiques dans le cas du moteur asynchrone.
Rr
g
P, Q
V
Lsr
L I
Figure 17.6: schema equivalent simplifie du moteur asynchrone
Nous utiliserons le schema equivalent simplifie de la figure 17.6. Ce dernier est obtenu a partirde la figure 17.3.a en negligeant Rs, en deplacant la branche magnetisante (dont l’inductanceLsr est relativement elevee) a l’entree du schema et en regroupant les deux inductances de fuiteen une seule inductance L. Toutes les expressions sont en per unit dans la base du moteur.
Le couple electromagnetique est donne par:
Te =Rrω
g V 2
g2(ωL)2 + R2r
expression obtenue en considerant dans (17.14) une pulsation variable ω au lieu de la pulsation
64
nominale ωN . En considerant qu’aux points d’equilibre on a Te = Tm, on a:
Tm =Rrω
g V 2
g2(ωL)2 + R2r
(17.30)
soit une equation du second degre en g dont les solutions sont:
g = RrV 2 ± (V 4 − 4ω4L2T 2
m)1/2
2ω3L2Tm(17.31)
On garde la plus petite des deux solutions, qui correspond au point d’equilibre stable A de lafigure 17.4.
La puissance active consommee vaut, en vertu de (17.15) et (17.24):
P = ωTe = ωTm
Elle est donc directement proportionnelle a la frequence et independante de la tension. Dansune machine reelle, les pertes Joule statoriques introduisent une legere dependance vis-a-visde cette derniere.
La puissance reactive consommee se decompose comme suit:
Q = ωLI2︸ ︷︷ ︸Q1
+V 2
ωLsr︸ ︷︷ ︸Q2
Q2 est une fonction quadratique de V . Exprimons Q1 en fonction de V et ω seulement. On a:
Q1 = ωLV 2
R2r
g2+ ω2L2
= ωLg2V 2
R2r + g2ω2L2
soit, en vertu de (17.30):
Q1 =ω2LTmg
Rr
puis en remplacant g par son expression (17.31):
Q1 =V 2 − (V 4 − 4ω4L2T 2
m)1/2
2ωL
Exemple numerique. On considere un moteur caracterise par Lsr = 3 pu et L = 0.25 pu.
La figure 17.7 montre la variation de Q1, Q2 et Q avec ω, pour V = 1 pu et pour deux valeursdu couple Tm. On voit qu’autour de ω = 1 pu, on peut avoir une sensibilite a la frequencepositive ou negative, suivant l’etat de charge du moteur.
La figure 17.8 montre la variation de Q1, Q2 et Q avec V , pour ω = 1 pu et pour les memesvaleurs du couple Tm. Comme on le voit, le moteur ne peut fonctionner en dessous d’une
65
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.96 0.98 1 1.02 1.040.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.96 0.98 1 1.02 1.04
ω
Q1
Q2
Q1 + Q2
Tm = 0.50 pu Tm = 0.85 pu
Q1
Q2
Q1 + Q2
ω
Figure 17.7: Moteur asynchrone: puissance reactive en fonction de la frequence
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.10
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1
Tm = 0.85 pu
Q1 + Q2
Q2
Q1
V V
Tm = 0.50 pu
Q1 + Q2
Q1 Q2
Figure 17.8: Moteur asynchrone: puissance reactive en fonction de la tension
certaine tension. Cette derniere est atteinte lorsque le couple maximal Temax = V 2/(2 ω L)devient egal a Tm. Il y alors decrochage du moteur sur tension basse. Avant d’atteindre cepoint, la consommation reactive augmente tres fortement.
Du point de vue de la tenue en tension d’un reseau, le moteur asynchrone est une chargeexigente : la consommation active ne decroıt pas lorsque la tension baisse tandis que pour destensions basses (suite p.ex. a un incident grave) la consommation reactive finit par augmenter.
66
Chapitre 18
Compensateurs statiques de puissancereactive
Les compensateurs statiques de puissance reactive (en abrege compensateurs statiques; enanglais, Static Var Compensators (SVC)) sont des dispositifs rapides d’injection de puissancereactive faisant appel a l’electronique de puissance.
On les rencontre d’abord comme elements de compensation dynamique des charges, ou ilsservent :
• a equilibrer des charges presentant un desequilibre entre phases
• a stabiliser la tension aux bornes d’une charge fluctuant rapidement (fours a arc, laminoirs,etc. . . ). Ces fluctuations d’une frequence entre 2 et 10 Hz constituent le phenomenede “flicker de tension” (“papillottement” des lampes a incandescence) et perturbent lesteleviseurs et certains appareils electroniques.
Dans ce cours, c’est aux applications reseau que nous nous interessons. Dans ce contexte, lescompensateurs statiques constituent la premiere generation de dispositifs FACTS1, apparus a lafin des annees 70. Leur role premier est de maintenir quasi constantes les tensions en certainsnoeuds. Cette regulation de tension de meme que les signaux additionnels eventuellementpresents peuvent significativement ameliorer la stabilite d’un reseau.
18.1 TSC: principe
Le premier type de compensateur statique est le Thyristor Switched Capacitor (TSC) dont leschema de principe est donne a la figure 18.1.
1Flexible Alternating Current Transmission Systems
67
Le TSC est constitue d’un certain nombre de condensateurs shunt en parallele, chacun doted’un interrupteur bidirectionnel a thyristors. Lorsque la tension au jeu de barres HT diminue(resp. augmente), le nombre de condensateurs mis en service augmente (resp. diminue). Lavariation est donc typiquement par paliers. La logique de controle comporte une bande mortedans laquelle il n’y a pas de reaction du dispositif.
commande
+
−
V o
VMV
V
Q
Figure 18.1: schema de principe d’un TSC
La commutation des condensateurs est susceptible de creer des transitoires importants. Ceux-cisont minimises en placant en serie avec le condensateur une petite inductance (non representeea la figure 18.1) et surtout en amorcant les thyristors a l’instant approprie, a savoir l’instant ou latension a leurs bornes est minimale (idealement zero). La technique est representee a la figure18.2. Celui des deux thyristors correctement oriente est amorce a l’instant t1 ou la tension Vau jeu de barres est maximale et de meme signe que celle presente aux bornes du condensateur.L’extinction se fait a un instant t2 ou le courant s’annulle. Le condensateur reste charge a latension de crete, positive ou negative selon le cas. La commutation d’un condensateur se faitdonc a des multiples entiers de la demi-periode.
t
courant dans le condensateur
tension aux bornes du condensateur
tension au jeu de barres
t1 t2 t
t
Figure 18.2: commutation dans un TSC
68
18.2 TCR: principe
Le second type de compensateur statique est le Thyristor Controlled Reactor (TCR) dont leschema de principe est donne a la figure 18.3.
commande
QVMV
V o
V
−
+
Figure 18.3: schema de principe d’un TCR
Dans un TCR, on retarde l’instant d’allumage des thyristors places en serie avec l’inductance,comme represente a la figure 18.4. Dans cette figure, α est l’angle de retard a l’allumagemesure par rapport au zero de tension, tandis que σ est l’angle de conduction. Ce dernier peutvarier de 180 a 0 degres.
v
σα
ωN t
i
Figure 18.4: retard a l’allumage dans un TCR
Pour differentes valeurs de σ, on obtient les ondes de courant montrees a la figure 18.5. Undeveloppement en serie de Fourier de ce signal periodique montre que l’amplitude de la fon-damentale (50 Hz) vaut:
Ifond =V
ωNL
σ − sin σ
π(18.1)
ou σ est exprime en radians. Quand on fait varier σ de π a 0, Ifond varie de V/ωNL a zero,ce qui revient a considerer que l’on a une inductance variant entre L et l’infini. Le TCR secomporte donc comme une inductance continument variable.
69
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04−3000
−2000
−1000
0
1000
2000
3000
courant pour sigma =
180°
135°
90°
45°
tension
Figure 18.5: ondes de tension et de courant dans un TCR pour differentes valeurs de σ
Ceci permet de faire varier l’absorption de puissance reactive. Pour obtenir un dispositifpouvant produire de la puissance reactive, on place un condensateur fixe en parallele avecl’inductance variable. La production reactive de l’ensemble est maximale quand les thyristorsne conduisent pas; elle est minimale lorsqu’ils conduisent en permanence. En general, la plagede variation va de l’absorption a la production.
Contrairement au TSC, le TCR permet un reglage continu de la susceptance mais il genere desharmoniques, qui doivent etre filtres. L’onde de courant etant symetrique dans le temps, elle necontient que des harmoniques d’ordre impair. Ceux-ci peuvent etre filtres comme suit:
• pour obtenir un systeme triphase, trois TCR monophases sont montes en triangle, con-formement au schema de la figure 18.6(a). Dans ce montage, les trois phases etantequilibrees, les harmoniques de rang 3, 6, 9, etc . . . circulent dans le triangle et lescourants de ligne en sont exempts. A titre indicatif, la figure 18.7 montre l’evolution descourants dans deux branches du triangle et dans la ligne incidente a ces deux branches.Les autres harmoniques (de rang 5, 7, 11, etc. . . ) sont elimines au moyen de filtres (quirepresentent une partie importante de l’investissement).
• on peut eliminer les harmoniques de rang 5 et 7 en utilisant deux systemes triphases dememe puissance, connectes aux enroulements secondaires d’un transformateur a troisenroulements, l’un etant monte en triangle et l’autre en etoile (cf figure 18.6(b)). Graceau dephasage de 30 degres entre tensions secondaires, les courants de ligne au primairesont exempts des harmoniques 5 et 7; les autres harmoniques sont elimines avec desfiltres plus simples.
70
Figure 18.6: montages des TCR pour eliminer les principaux harmoniques
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04−2500
−2000
−1500
−1000
−500
0
500
1000
1500
2000
2500
t (s)
cour
ants
(A
)
courant iac
courant ia = iba−iac
courant iba
ia
ib
ic icb
ibaiac
Figure 18.7: ondes de courant dans un TCR
Mentionnons que l’on peut combiner au sein d’un meme compensateur le TCR, le TSC, descapacites commutables par disjoncteurs et des capacites fixes.
71
18.3 Modelisation
Un schema bloc-diagramme simplifie de TCR est donne a la figure 18.8.
−+
B
V
VMT
IMTπ
1 + sT1
1 + sT2
BC
++
BL
regulateur de tension BLmin
BLmax
K
1 + sTpVc
autre signal
Figure 18.8: schema bloc-diagramme simplifie de TCR
La constante de temps de mesure de la tension V a ete negligee. K vaut de 25 a 100 pu dansla base en Mvar du compensateur. Tp est la constante de temps du regulateur de tension (0.05 -0.1 s). L’unite de commande des thyristors, qui implemente la relation 18.1, est supposee idealeet n’apparaıt pas dans le schema.La fonction de transfert (1 + sT1)/(1 + T2) est une compen-sation a avance/retard de phase. Les limites BLmin et BLmax correspondent aux conditions deconduction extremes des thyristors :
BLmin = − 1
ωNLet BLmax = 0
BC est la susceptance du condensateur en parallele.
18.4 Caracteristique QV
La caracteristique statique QV vue du jeu de barres controle par le compensateur statique est lacourbe en trait plein de la figure 18.9. La plage de fonctionnement normal est la partie a faiblepente, ou la tension est controlee. Cette partie peut etre assimilee a un segment de droite, car Vreste proche de Vc dans cette plage de fonctionnement. Sa pente est l’inverse de la constante Kdu schema de la figure 18.8. Les autres parties correspondent respectivement a B = Bmax > 0,B = Bmin < 0 et a une limitation du courant. Bmin correspond a la susceptance BLmin + BCderriere la reactance de fuite du transformateur elevateur. Bmax correspond a la susceptanceBLmax + BC derriere cette meme reactance.
72
−0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
B = Bmax
Q
inductif capacitif
V
B = Bmin
I = Imax
Figure 18.9: caracteristique QV d’un compensateur (Bmin=-0.3 pu, Bmax=1 pu, K=50, Vc=1 pu)
18.5 Regulation de tension
−0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Q
V
1
3
2
Figure 18.10: principe de la regulation de tension par un compensateur statique
La figure 18.10 superpose la caracteristique du compensateur a celle du reseau vu du jeu debarres THT2, dans trois configurations differentes. Lors du passage de la caracteristique 1 a lacaracteristique 2, le compensateur maintient la tension (presque) constante en produisant plusde puissance reactive. Si une perturbation plus importante conduit a la caracteristique 3, lecompensateur entre en limite et se comporte alors comme un simple condensateur.
A cette regulation primaire de la tension peut se superposer un reglage “secondaire” destine aramener la production reactive du compensateur dans une plage determinee, en agissant sur saconsigne de tension. L’objectif est de laisser une reserve de reactif sur le compensateur pourfaire face aux incidents.
2il s’agit en fait de la caracteristique etablie a la section 16.1 mais dont les axes ont ete permutes
73
Par rapport aux compensateurs synchrones, les compensateurs statiques presentent une plusgrande vitesse de reponse, ne contribuent pas aux courants de court-circuit et sont d’un en-tretien plus aise. Par contre, par construction, ils ne presentent pas de f.e.m. interne, ce quidiminue leur capacite a soutenir la tension en regime tres perturbe.
Notons toutefois qu’il s’agit de dispositifs relativement couteux, dont l’usage se justifie dansles cas ou l’on a besoin d’une grande rapidite d’action. Dans les autres cas, il convient de voirsi des condensateurs ou inductances shunts enclenches mecaniquement ne conviennent pas.
74
Chapitre 19
Compensation serie
On peut dire que la difficulte de transporter l’energie electrique sur de longues distancesprovient en partie de l’impedance serie du reseau de transport dans laquelle la puissance doittransiter.
La compensation serie s’applique aux longues lignes de transport a THT. Elle a pour but dereduire leur impedance serie. Elle consiste a connecter en serie dans chaque phase un banc decondensateurs, dont la reactance negative compense celle de la ligne avec laquelle il est placeen serie
La reduction de l’impedance contribue a la stabilite du reseau. On peut l’ameliorer davantageen modulant dynamiquement l’impedance serie negative.
19.1 Compensation fixe
Il n’est pas concevable de compenser entierement la ligne car l’impedance de celle-ci devenantnulle1, le courant de ligne serait extremement sensible a toute variation de tension aux nœudsd’extremite. En pratique on compense de 20 a 70 % de la reactance.
Les condensateurs serie peuvent etre places a differents endroits de la ligne (milieu, tiers, postesd’extremite, . . . ). La figure 19.1 montre par exemple le profil de tension le long d’une ligneavec et sans compensation en son centre. On voit que la compensation reduit la chute detension.
En fonctionnement normal la tension aux bornes du condensateur n’est que de quelques pour-cents de la tension nominale. Par contre, en cas de court-circuit proche, le courant qui traversele condensateur peut etre tres important. Ce dernier est alors soumis a une tension qui pourrait,dans les cas extremes, avoisiner la tension nominale du reseau. Il ne serait pas economique de
1on aurait alors resonance serie a la frequence nominale
75
sans compensation
avec compensationV
P,Q
Figure 19.1: profil de tension le long d’une ligne avec et sans compensation
dimensionner le condensateur pour faire face a de telles surtensions, si l’on considere qu’entoute premiere approximation, le cout d’un condensateur augmente comme le carre de latension qu’il peut supporter. C’est pourquoi on l’equipe d’un dispositif de contournement-reinsertion, dont le principe est explique ci-apres.
Dans le dispositif simple de la figure 19.2.a l’eclateur E est regle pour s’amorcer lorsque latension aux bornes du condensateur atteint 3 a 4 fois la tension maximale admissible en per-manence. Le circuit d’amortissement A limite le courant de decharge. Sur detection d’uncourant dans la branche de l’eclateur, le disjoncteur D se ferme, deviant donc le courant dedefaut. Quand le courant dans la ligne retourne a une valeur normale et apres le delai req-uis par la desionisation de l’eclateur (de l’ordre de 0.2 a 0.4 s), D s’ouvre, reinserant donc lecondensateur.
Pour obtenir une reinsertion plus rapide du condensateur, on peut utiliser un disjoncteur plusrapide (p.ex. coupure en 0.08 s), place comme montre a la figure 19.2.b. Dans cette configu-ration, le courant de defaut est devie par l’eclateur E, une fois ce dernier amorce. Initialementferme, le disjoncteur D s’ouvre des que le courant dans la ligne retourne a une valeur nor-male. Dans ce montage, il ne faut pas attendre la desionisation de l’eclateur pour reinserer lecondensateur. E’ et D’ ne servent que de protection de reserve en cas de defaillance.
Dans la configuration plus moderne de la figure 19.2.c on utilise un varistor a oxyde metallique.Il s’agit d’une resistance non lineaire dont la caracteristique V − I est montree a la figure 19.2.Le varistor a un comportement plus fiable qu’un intervalle d’air et reinsere le condensateursans delai. Ici encore, E’ et D’ ne servent que de protection de reserve en cas de defaillance.
Les inconvenients possibles de la compensation serie sont:
• des protections de reseau plus complexes;
• le risque de resonance subsynchrone. La mise en serie du condensateur avec l’inductancede la ligne forme un circuit resonant serie. Pour les taux usuels de compensation, ce cir-cuit a une frequence naturelle inferieure a 50 Hz, dite subsynchrone. Usuellement les
76
D’
AAE
D
b.
A
V
I
E’
D’
c.a.
ED
E’
Figure 19.2: configurations de contournement-reinsertion d’un condensateur serie
courants correspondants s’amortissent rapidement. Par contre une situation dangereuseest celle ou un arbre d’alternateur situe a proximite a une frequence d’oscillation torsion-nelle proche. Ce phenomene est appelle resonance subsynchrone. Son analyse requiertune representation des transitoires electromagnetiques dans le reseau et dans les ma-chines synchrones.
19.2 Compensation variable : le TSSC
Il peut etre interessant de disposer d’une compensation variable, soit pour diriger le flux depuissance d’une ligne du reseau vers une autre, soit pour ameliorer la dynamique du systeme,en modulant dynamiquement la reactance serie.
On peut obtenir une compensation serie variable au moyen d’un Thyristor Switched SeriesCompensator (TSSC) ou d’un Thyristor Controlled Series Compensator (TCSC).
Un TSSC utilise des interrupteurs a thyristors en parallele sur differents “segments” de conden-sateurs serie, comme montre a la figure 19.3. Les thyristors fonctionnent en “tout ou rien” pourmettre rapidement des condensateurs en ou hors service. Le reglage est evidemment discretpar nature.
Le reste de ce chapitre est consacre au TCSC, qui permet une variation plus fine de l’impedance
77
C CC
Figure 19.3: schema de principe d’un TSSC
serie.
19.3 Compensation variable : le TCSC
19.3.1 Principe
Un TCSC se compose, dans chaque phase, d’une self commandee par thyristor en parallele avecun condensateur serie, comme represente a la figure 19.4. En retardant plus ou moins l’angled’allumage des thyristors, on modifie la reactance equivalente de l’ensemble a la frequencenominale, comme montre ci-apres.
Cip
i�
vc
L
Figure 19.4: schema de principe d’un TCSC
Soient:
X� = ωNL Xc = − 1
ωNC
les reactances respectives de la self et du condensateur. Lorsque les thyristors conduisentcompletement, la self et le condensateur sont en parallele et l’impedance equivalente de l’en-semble vaut, a la pulsation ω :
Ze =jωL
1 − ω2LC
78
Le circuit est en resonance lorsque:
ω = ωr =1√LC
= ωN
√|Xc|X�
(19.1)
et se comporte alors comme un circuit ouvert. En pratique, les valeurs de L et C sont choisiesde telle sorte que:
2 ≤ λ =ωrωN
≤ 4 (19.2)
Mode blocage
Dans ce mode de fonctionnement, aucune impulsion n’est envoyee sur la gachette des thyris-tors, qui ne conduisent donc pas. Le TCSC fonctionne comme un condensateur serie fixe,
d’impedance−j
ωN C.
Mode contournement
Les thyristors conduisent en permanence. L’impedance de la self et du condensateur en paral-lele vaut:
Ze =jωNL
1 − ω2NLC
=jωNL
1 − ω2N
ω2r
=jωNL
1 − 1λ2
En vertu de (19.2), cette impedance est inductive.
Le courant Ic dans le condensateur est relie au courant de phase Ip (voir figure 19.4) par:
Ic =jωNC
jωNC + 1jωL
Ip =−ω2
NLC
1 − ω2NLC
Ip =− 1λ2
1 − 1λ2
Ip =1
1 − λ2Ip
En vertu de (19.2) l’amplitude du courant dans le condensateur est nettement plus faible quel’amplitude du courant de phase. Le mode contournement est donc utilise pour proteger lecondensateur contre les courants importants pouvant le deteriorer.
Mode “capacitive boost”
Dans ce mode, une impulsion est envoyee sur le thyristor polarise correctement un peu avantque la tension aux bornes du condensateur ne change de signe, comme dans un TCR (cf figure18.4). La charge presente aux bornes du condensateur au moment ou les thyristors sont amorcesdonne lieu a un courant dans la self. Ce courant s’ajoute au courant de phase et augmente latension aux bornes du condensateur (d’ou le nom du mode de fonctionnement).
Le courant dans la self est montre a la figure 19.5 pour differentes valeurs de l’angle de conduc-tion σ defini a la figure 18.4. Cette figure ainsi que les suivantes sont etablies en supposant que
79
le courant de phase est sinusoıdal et d’amplitude constante2. Dans le cas considere ici, σ passede zero a la valeur indiquee au cours de la premiere demi-alternance du courant de phase Ip.Pour des valeurs elevees de σ, le courant met un temps non negligeable a atteindre un regimepermanent. La figure 19.6 est un agrandissement de la precedente, relative au regime etabli.
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4−8000
−6000
−4000
−2000
0
2000
4000
6000
8000
t (s)
cour
ant (
A)
courant iL dans la self pour sigma = 55 °
45 °
30 °
courant de phase iP
Figure 19.5: courant dans la self d’un TCSC pour differentes valeurs de σ
0.35 0.352 0.354 0.356 0.358 0.36 0.362 0.364 0.366 0.368 0.37−8000
−6000
−4000
−2000
0
2000
4000
6000
8000
t (s)
cour
ant (
A)
courant de phase iP
courant iL dans la selfpour sigma = 55 °
45 °
30 °
0 °
Figure 19.6: courant dans la self d’un TCSC pour differentes valeurs de σ (agrandissement)
2ce qui est legitime pour un dispositif serie. Dans le cas du TCR (dispositif shunt), nous avons considere quela tension etait sinusoıdale et d’amplitude constante
80
L’evolution de la tension aux bornes du condensateur, obtenue dans les memes conditions, estmontree aux figures 19.7 et 19.8. On voit qu’au fur et a mesure que σ augmente, l’amplitudede cette tension augmente mais egalement la distorsion par rapport a une sinusoıde parfaite. Letaux d’harmoniques reste cependant raisonnable et ne necessite pas de filtrage.
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8x 10
4
t (s)
tens
ion
(V)
tension vC du condensateur pour sigma= 55 °
45 °
30 °
0 °
courant de phase iP
Figure 19.7: tension aux bornes d’un TCSC pour differentes valeurs de σ
0.35 0.352 0.354 0.356 0.358 0.36 0.362 0.364 0.366 0.368 0.37−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8x 10
4
t (s)
tens
ion
(V)
tension vC aux bornes du condensateur pour sigma = 55 °
45 °
30 °
0 °
courant de phase iP
Figure 19.8: tension aux bornes d’un TCSC pour differentes valeurs de σ (agrandissement)
81
Comme le montrent les figures 19.7 et 19.8, la fondamentale de l’onde de tension est en retardde π/2 sur l’onde (supposee sinusoıdale) de courant. On a donc:
Vcf = jXappIp avec Xapp ≤ 0 (19.3)
ou l’indice f se rapporte a la fondamentale et Xapp est la reactance apparente du TCSC.
Le TCSC apparaıt donc comme une capacite serie variable. On definit le boost factor Kbcomme le rapport entre la reactance apparente et la reactance en mode blocage:
Kb =XappXc
(19.4)
La figure 19.9 montre l’allure de la fonction Kb(σ). Celle-ci presente une asymptote verticalepour σ = π/λ, valeur pour laquelle le systeme est en resonance 3. Le fonctionnement n’est paspossible dans un certain intervalle autour de cette valeur.
Kb
Kmaxb
1
π/λ
π
σ
inductive boost
0
zone non utilisee
capacitiveboost
Figure 19.9: boost factor Kb en fonction de l’angle de conduction σ
Mode “inductive boost”
Si la valeur de σ se situe au dela de cet intervalle, la reactance apparente est inductive (Xapp >0, Kb < 0). Toutefois, dans cette plage de fonctionnement, l’onde de tension est fortementdistordue (harmoniques) et les pointes de courant dans les thyristors sont elevees. Un TCSCne fonctionne donc pas de maniere prolongee dans ces conditions.
3a la frequence nominale du systeme fN , le retardement de l’allumage des thyristors equivaut a une augmen-tation de l’inductance L. En vertu de (19.1), la frequence de resonance du dispositif diminue. Partant de λf N
lorsque σ = π, cette frequence de resonance devient egale a fN lorsque σ = π/λ
82
19.3.2 Limites de fonctionnement admissible
La figure 19.10 montre les limites de fonctionnement admissible du TCSC en mode capaci-tive boost, dans le plan (Ip, Kb). La limite inferieure correspond au mode bloque. La limitesuperieure correspond a la valeur maximale permise pour Kb, sous peine de resonance (cf fig-ure 19.9). Entre les deux, pour un courant de phase Ip trop important, la tension aux bornes ducondensateur peut devenir inacceptable. A la limite, on a:
Vc = V maxc ⇔ XappIp = V maxc ⇔ KbXc Ip = V maxc
ce qui correspond donc a une hyperbole. Les trois branches d’hyperbole de la figure 19.10correspondent respectivement a la tension pouvant etre suportee indefiniment, a celle pouvantetre toleree pendant au plus 30 minutes et a celle provoquant l’amorcage instantane du varistorplace en parallele sur le condensateur (cf figure 19.4), en cas de court-circuit proche.
Si une diminution de Kb ne suffit pas, le dispositif peut passer en mode contournement.
Kmaxb
acceptable pendant au plus 30 minutesacceptable en permanence
Ip
Kb
σ = 0
zone de
admissiblefonctionnement
protection contre resonance
protection par varistor
1
Figure 19.10: limites de fonctionnement admissible d’un TCSC
19.3.3 Commande
Le TCSC est dote d’un regulateur qui commande l’allumage des thyristors en fonction de lavaleur desiree de Xapp, c’est-a-dire de Kb.
La commande la plus simple est celle en boucle ouverte, qui consiste a ajuster σ selon la ca-racteristique de la figure 19.9. Le courant de phase est utilise pour synchroniser les impulsionsenvoyees aux thyristors. Dans cette configuration, la reactance apparente se modifie avec uneconstante de temps de l’ordre de quelques dixiemes de seconde, comme le suggerent les figures19.5 et 19.7.
Pour ameliorer la rapidite du dispositif, une utilise plutot une commande en boucle fermeedans laquelle la tension aux bornes du condensateur est mesuree et utilisee comme signalde retroaction par le regulateur. Ceci technique permet aussi de se maintenir a distance del’asymptote de la figure 19.9.
83
Chapitre 20
Stabilite des systemes electriques depuissance: definitions
20.1 Description et classification des instabilites
La stabilite d’un systeme de puissance est la propriete qui lui permet de resterdans un etat d’equilibre, pour des conditions de fonctionnement normales, et deretrouver un etat d’equilibre acceptable, suite a une perturbation.
Pour comprendre les mecanismes d’instabilite et mettre au point les remedes adequats, il estessentiel d’avoir a l’esprit une classification des differents types d’instabilite.
La figure 20.1 propose une telle classification, mettant en evidence la nature physique del’instabilite, la plage de temps des phenomenes et l’amplitude des perturbations. Cette classi-fication va nous servir de fil conducteur tout au long de cette section.
20.1.1 Stabilite angulaire (ou des angles rotoriques)
Etant donne que les systemes de puissance recourrent principalement aux machines synchronespour la generation de puissance electrique, un aspect important est le fonctionnement de cesgenerateurs au synchronisme.
La stabilite angulaire (ou stabilite des angles rotoriques) concerne la capacite d’unensemble de machines synchrones interconnectees de conserver le synchronismedans des conditions de fonctionnement normales ou apres avoir ete soumis a uneperturbation.
L’instabilite angulaire se manifeste sous forme d’un ecart croissant entre les angles rotoriques:
84
de tensionde tensionangulaire
stabilité dela fréquence
capacité de maintenirla fréquence proche de
sa valeur nominale
angles rotoriquesstabilité des
capacité de maintenir
générateursle synchronisme entre
mécanique et
électromagnétique
équilibre entre couples
stabilité de
capacité de maintenirles tensions proches deleurs valeurs nominales
tension
capacité de fonctionneret de rester à l’équilibre
STABILITE
stabilitétransitoire(angulaire)
stabilité stabilité
aux petites perturbations
stabilité
perturbationsaux grandes
petitesperturbations
grandesperturbations
court terme(env. 10 s après perturb.)
court longterme
moteurs asynchronesliaisons à
courant continu
régleurs en chargelimiteurs d’excitationch. thermostatiques
termetermecourt et long
au niveau de chaque rotor
équilibre globalentre puissances actives
générée et
consommée
capacité du systèmeproduction − transport
de fournir la puissance
demandées par les charges
aux ptes perturb.
Figure 20.1: vue d’ensemble de la stabilite des reseaux de puissance
• soit d’une machine et du reste du systeme
• soit d’un groupe de machines et du reste du systeme.
Si rien d’autre ne se produit avant, une machine qui a perdu le synchronisme sera declencheepar une protection de survitesse ou par une protection de perte de synchronisme, ce qui met endanger l’equilibre production/consommation du systeme. C’est d’autant plus grave si l’insta-bilite se manifeste au niveau d’un groupes de machines se separant du reste du reseau. Parailleurs, une machine qui perd le synchronisme cause des oscillations (du module) de la tensionen certains noeuds du reseau. Ces creux de tension constituent une perturbation tres grave pourles consommateurs connectes aux noeuds en question.
85
La stabilite angulaire depend de la capacite de maintenir ou restaurer l’equilibre entre les cou-ples mecanique et electromagnetique agissant sur le rotor de chaque machine.
Suivant l’amplitude de la perturbation, on parle de stabilite angulaire “aux petites perturba-tions” ou de “stabilite transitoire”.
Stabilite angulaire aux petites perturbations
Pour qu’il y ait stabilite, il faut evidemment d’abord que le systeme ait un point d’equilibre.Nous montrerons par exemple que si l’on tente de transporter une puissance superieure a unecertaine limite, le systeme peut perdre son point d’equilibre.
Il faut ensuite que ce point d’equilibre soit stable vis-a-vis des petites perturbations qui sonttoujours presentes dans des conditions de fonctionnement normales: modification de la charge,manoeuvre d’equipements, ajustement de consignes, etc. . .
La stabilite angulaire aux petites perturbations (en anglais: small-disturbance an-gular stability) concerne la capacite du systeme a maintenir le synchronisme enpresence de petites perturbations. Celles-ci sont considerees comme suffisammentfaibles pour pouvoir lineariser les equations du systeme lors de son analyse.
On parle aussi de stabilite angulaire aux petits signaux (en anglais: small-signal angular sta-bility)
La stabilite aux petites perturbations depend du point d’equilibre ou le systeme fonctionne ainsique de ses caracteristiques dynamiques. Elle ne depend pas de la perturbation qui est arbitraireet infinitesimale.
Le couple electromagnetique Te joue un grand role dans la stabilite angulaire. Ses variationslors d’une petite perturbation de la position du rotor peuvent etre decomposees en deux parties:
∆Te = Ks∆δ + Ka∆ω
ou:
• Ks∆δ est la composante de la variation de couple en phase avec les variations d’anglerotorique; on parle de couple synchronisant. Un manque de couple synchronisant conduita une instabilite aperiodique;
• Ka∆ω est la composante de la variation de couple en phase avec les variations de vitesserotorique; on parle de couple d’amortissement. Un manque de couple d’amortissementconduit a une instabilite oscillatoire.
86
Dans les systemes de puissance modernes (dotes de regulateurs de tension), les problemesd’instabilite aux petites perturbations sont quasiment toujours des problemes de couple d’amor-tissement insuffisant, se traduisant par des oscillations mal amorties, voire des oscillationscroissantes.
Stabilite transitoire (angulaire)
La stabilite transitoire (angulaire) (en anglais: transient (angle) stability) con-cerne la capacite de maintenir le synchronisme suite a une perturbation severe. Lareponse du systeme comporte de grandes variations des angles rotoriques et estinfluencee par la relation non lineaire entre couples et angles.
La perturbation severe que l’on etudie generalement est le court-circuit. Dans ce cas, lasequence d’evenements est typiquement: (i) apparition d’un court-circuit sur une ligne (p.ex.suite a un coup de foudre); (ii) ouverture des disjoncteurs aux extremites de la ligne (pourproteger les equipements et interrompre l’alimentation de l’arc); (iii) s’il existe et s’il reussit,reenclenchement automatique de la ligne (apres un delai necessaire au retablissement des pro-prietes isolantes du milieu ambiant). Dans le cas d’un defaut permanent (p.ex. contact d’unobjet avec la ligne), il y a aura alors reenclenchement sur defaut, suivi d’une autre ouverturedes disjoncteurs.
La stabilite transitoire depend non seulement des caracteristiques dynamiques du systeme et deson point de fonctionnement mais egalement de la perturbation: un reseau peut etre stable vis-a-vis d’une perturbation et instable vis-a-vis d’une autre. Pour les raisons mentionnees ci-dessus,la configuration post-incident du systeme peut etre differente de celle avant perturbation.
L’instabilite transitoire se manifeste sous la forme d’une “derive” aperiodique de certains an-gles rotoriques. L’intervalle de temps considere est de l’ordre de 10 secondes. C’est typique-ment un probleme de dynamique a court terme.
Si cette instabilite se manifeste directement apres le court-circuit (pour fixer les idees, dans lapremiere seconde qui suit son elimination) on parle d’instabilite de la premiere oscillation (enanglais: first swing instability). Ce cas est represente a la figure 20.2.b). Toutefois, l’instabilitepeut aussi se manifester apres la premiere oscillation rotorique (cf figure 20.2.c), a cause dela superposition des effets de plusieurs modes d’oscillation excites par la perturbation ou del’installation du systeme en un point d’equilibre oscillatoirement mal amorti, voire instable.
87
t
t t
b cδ1
δ2
δ2
δ1
elimination du court-circuitapparition du court-circuit
δ2
δ1
a
instabilite de la premiere oscillation instabilite lors d’une oscillation ulterieure
systeme stable
Figure 20.2: stabilite angulaire
20.1.2 Stabilite de frequence
Suite a une perturbation severe, s’il y a stabilite des angles rotoriques, les ecarts entre ceux-ciretournent a une valeur constante. Les vitesses electriques de toutes les machines synchronesinterconnectees sont alors egales et definissent la frequence du systeme.
La stabilite de frequence concerne la capacite du systeme a maintenir sa frequenceproche de la valeur nominale, suite a un incident severe ayant ou non conduit a unmorcellement du systeme.
Nous avons montre au chapitre 9 que la tenue de la frequence est etroitement liee a l’equilibreglobal entre puissances actives produites et consommees. En fonctionnement normal (cf. figure20.3.a), suite a une perturbation de cet equilibre, la frequence peut s’installer a une valeur(legerement) differente. L’erreur de frequence est normalement ramenee a zero par le reglagesecondaire frequence-puissance.
88
t t
δ2
δ1 δ2
δ1
systeme stable systeme instable en frequence
a b
Figure 20.3: stabilite de frequence
Dans les grands ensembles interconnectes, la frequence est regulee avec precision et une in-stabilite de frequence ne peut survenir que suite a la separation du reseau en sous-reseaux dis-joints. Un scenario typique est le suivant. Suite a un incident severe et a l’action de protections(p.ex. declenchement de plusieurs lignes de transport), un sous-reseau se retrouve detache dureste du systeme. A l’interieur de celui-ci, les generateurs gardent le synchronisme entre euxmais la reserve tournante est nettement insuffisante pour faire face a la charge connectee a cesous-reseau. La frequence decroıt alors rapidement (cf figure 20.3.b). Il s’agit d’une instabilitea court terme.
L’instabilite de frequence peut egalement se manifester a long terme, lorsqu’elle provient d’unemauvaise reponse en puissance des centrales ou d’une mauvaise coordination entre regulationset protections.
Une action d’urgence contre la chute de frequence est le delestage de charge. A l’heure actuelle,celui-ci est effectue par des protections qui coupent des “blocs” de consommation lorsque lafrequence passe par divers seuils de frequence predefinis. Le taux de variation de la frequencepeut aussi entrer en ligne de compte.
20.1.3 Stabilite de tension
Suite a une perturbation, certaines charges ont une propension a restaurer la puissance qu’ellesconsommaient avant cette perturbation. C’est le cas:
• a court terme, pour la puissance active consommee par les moteurs asynchrones, commenous l’avons vu au chapitre 17;
• a long terme, pour les charges dont la tension est controlee par un regleur en chargeautomatique, comme nous l’avons vu au chapitre 9. C’est aussi le cas pour le chauffageelectrique commande par thermostat.
89
Or, il existe une puissance maximale transmissible entre les centres de production et ceux deconsommation. Cette puissance maximale delivrable aux charges depend des caracteristiquesdu reseau (distances electriques) mais egalement de celles des generateurs (capacite de soutenirla tension grace a une reserve de puissance reactive suffisante)
Par consequent, si la puissance que les charges tendent a restaurer devient superieure a cettepuissance maximale transmissible, le mecanisme de restauration des charges va faire baisserprogressivement, et en vain, la tension du reseau jusqu’a des valeurs inacceptables.
La stabilite de tension concerne la capacite d’un systeme de puissance a maintenirdes tensions acceptables a tous ses noeuds, dans des conditions de fonctionnementnormales ou suite a une perturbation. L’instabilite de tension resulte de l’incapacitedu systeme production-transport a fournir la puissance requise par les charges. Ellese manifeste generalement sous forme d’une decroissance monotone de la tension.
L’instabilite de tension est complexe en ce sens qu’elle peut intervenir sur differentes echellesde temps. Elle est du type a court terme quand la restauration de puissance par les charges seproduit a l’echelle de la seconde (p.ex. moteurs asynchrones). Elle est du type a long termequand cette restauration se produit a l’echelle de la minute (p.ex. regleurs en charge). C’estegalement dans cette gamme de temps qu’intervient le passage en limite de courant rotorique(voire statorique) des machines synchrones.
Comme en stabilite angulaire on peut distinguer le cas des petites et des grandes perturbations.
Stabilite de tension vis-a-vis de petites perturbations
Pour qu’il y ait stabilite, il faut evidemment d’abord que le systeme ait un point de fonction-nement. Ici encore nous montrerons que si l’on tente de transporter une puissance superieure aune certaine limite, le systeme peut perdre son point d’equilibre.
Il faut ensuite que le point de fonctionnement soit stable vis-a-vis des petites perturbations quisont toujours presentes dans les conditions de fonctionnement normales.
Stabilite de tension vis-a-vis de grandes perturbations
Les grandes perturbations qui mettent en danger la stabilite de tension a long terme sont surtoutdes pertes d’equipements de transport ou de production. En stabilite de tension court terme onest egalement amene a etudier l’impact de courts-circuits.
90
20.2 Notions de la theorie des systemes: bref rappel
Considerons un systeme autonome decrit par le systeme d’equations differentielles non lineaires:
x = f(x,u) (20.1)
ou x est un vecteur d’etat et u un vecteur de commande. Un point d’equilibre x0 est un pointtel que
f(x0,u) = 0
Un tel point n’est generalement pas unique. Dans ce qui suit, nous etudions la stabilite de l’und’entre eux.
Rappelons la definition de la stabilite au sens de Liapunov:
un point d’equilibre est stable si, pour tout ε > 0, il existe un δ(ε) > 0 tel que:
‖ x(t0) − x0 ‖≤ δ ⇒ ‖ x(t) − x0 ‖≤ ε
pour tout t > t0.
En pratique on s’interesse souvent a la stabilite asymptotique:
un point d’equilibre est asymptotiquement stable s’il est stable et si:
limt→∞ ‖ x(t) − x0 ‖= 0
Dans les systemes non lineaires la stabilite a generalement un caractere local en ce sens queseules les trajectoires issues d’un certain domaine D entourant x0 resteront au voisinage outendront vers le point d’equilibre. D est le domaine d’attraction du point x0. Son etenduecaracterise le degre de stabilite du point d’equilibre. Dans le cas ou D coıncide avec toutl’espace d’etat, la stabilite est dite globale; c’est le cas des systemes lineaires.
La premiere methode de Lyapunov etablit la stabilite d’un point d’equilibre en analysant lecomportement du systeme (20.1) linearise autour de ce point. On ecrit:
x = f(x0 + ∆x) � f(x0) + fx)x=x0 ∆x = fx)x=x0 ∆x (20.2)
ou fx est la matrice jacobienne definie par:
(fx)ij =∂fi∂xj
i, j = 1, . . . , n
La stabilite du point d’equilibre x0 s’etudie au depart des valeurs propres de lamatrice jacobienne evaluee au point x0 :
91
- si les parties reelles de toutes les valeurs propres sont negatives, le pointd’equilibre x0 est asymptotiquement stable;
- si certaines des valeurs propres ont une partie reelle positive, le point d’equilibrex0 est instable;
- si les valeurs propres sont a partie reelle negative, a l’exception de certainessituees sur l’axe imaginaire, le cas est douteux: la stabilite de x0 depend destermes d’ordre superieur du developpement de Taylor ci-dessus; selon le cas,le point sera stable ou instable.
La premiere methode de Liapunov repose sur une linearisation du systeme, dont la validite estlimitee a un certain voisinage du point d’equilibre. On parle de stabilite locale ou en petit.Cette methode ne donne pas d’indication sur l’etendue du domaine d’attraction D, c’est-a-diresur la stabilite en grand.
La seconde methode ou methode directe de Liapunov fournit des indications sur celui-ci. Elles’enonce comme suit:
Le point d’equilibre x0 est stable s’il existe dans un certain voisinage V de cedernier une fonction de Liapunov, c’est-a-dire une fonction scalaire V (x) telleque:
• V (x0) = 0
• V (x) > 0 pour tout x dans V• d
dtV (x) ≤ 0 dans V .
En effet, si une fonction V satisfait aux deux premieres conditions, il existe une constante Ktelle que les surfaces V (x) = C avec 0 < C < K sont fermees et entourent le point x0. Latroisieme condition exprime que les trajectoires du systeme soit restent sur ces surfaces, soitles coupent en entrant a l’interieur d’elles, d’ou la stabilite du point d’equilibre.
Par la seconde methode de Liapunov, outre la stabilite d’un point d’equilibre, on determineune partie de son domaine d’attraction en ce sens que V est inclus dans D. Notons toutefoisqu’il ne s’agit que d’une condition suffisante de stabilite: D peut-etre plus etendu que V . Parailleurs, il faut pouvoir construire une telle fonction.
92
Chapitre 21
Stabilite angulaire aux petitesperturbations
Ce chapitre, consacre a la stabilite angulaire aux petites perturbations, commence par l’etude dusysteme machine - reseau infini. L’interet de cette etude est de mettre en evidence, de manieresimple, des proprietes applicables aux systemes multimachines, d’illustrer les techniques delinearisation et d’introduire le principe des signaux stabilisateurs injectes dans les regulateursde tension.
Comme on l’a dit au chapitre 20, pour etre stable, il faut d’abord que le systeme ait un pointd’equilibre. Dans cet ordre d’idees, nous nous interessons d’abord, a la section 21.1, aux con-ditions sous lesquelles le systeme cesse d’avoir un tel point d’equilibre. A la section 21.2,nous montrons comment la compensation shunt peut elargir le domaine des points de fonction-nement et augmenter la puissance maximale transmissible.
A la section 21.3, nous analysons en detail le comportement dynamique du systeme et montronsen particulier comment il est susceptible de limiter davantage la stabilite. La section 21.4 estconsacree aux moyens d’ameliorer la stabilite.
Les sections 21.5 et 21.6 sont consacrees a l’analyse des grands systemes tandis que la sec-tion 21.7 presente une methode generale de synthese d’un regulateur destinee a stabiliser unmode indesirable.
21.1 Analyse statique du systeme machine - reseau infini
21.1.1 Modelisation
Considerons (cf figure 21.1.a) une machine synchrone connectee par une ligne de transport a unreseau dont la tension et la frequence sont rigoureusement constants. La reactance Xe provient
93
de la mise en serie de la reactance de fuite du transformateur elevateur, de la reactance de laligne et de la reactance de Thevenin du reseau (dans le cas ou ce dernier n’a pas une puissancede court-circuit infinie). La tension derriere cette reactance est constante en module et enfrequence. Nous prenons le vecteur tournant qui la represente comme reference des phases. Entoute generalite, nous considerons une machine a poles saillants. Par contre, nous negligeonsla resistance statorique de cette derniere, comme nous avons neglige la resistance des elementsde transport.
∞∞Xe X Xe
V � θ V∞� 0 Eq � δ V � θ V∞� 0
a b
Figure 21.1: systeme machine - reseau infini
La puissance active fournie par la machine en regime etabli est donnee par (6.47):
P =EqV
Xdsinϕ +
V 2
2(
1
Xq− 1
Xd) sin 2ϕ (21.1)
ou ϕ est le dephasage entre la fem a vide Eq et la tension V .
Une expression plus utile de la puissance s’obtient en imaginant que la reactance Xe est incor-poree a la machine et que celle-ci est connectee au jeu de barres infini. On obtient directement:
P =EqV∞
Xd + Xesin δ +
V 2∞2
(1
Xq + Xe− 1
Xd + Xe) sin 2δ (21.2)
ou δ est le dephasage entre la fem Eq et la tension V∞ :
δ = ϕ + θ
Dans le cas ou d’une machine a rotor lisse, Xd = Xq = X et cette expression devient simple-ment:
P =EqV∞X + Xe
sin δ (21.3)
21.1.2 Fonctionnement a excitation constante
Considerons d’abord le cas ou la machine fonctionne a excitation constante. Eq est donc con-stant, tandis que V peut varier.
94
Stabilite du point de fonctionnement (raisonnement intuitif)
Eq et V∞ etant fixes, l’equation (21.2) definit une fonction P (δ), qui est montree a la figure21.2. La courbe en pointille correspond au premier terme de (21.2).
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
S I
C
Pm
π
P
δ
Figure 21.2: relation δ - P a excit. constante (Xd = 1.1,Xq = 0.7,Xe = 0.3, Eq = V∞ = 1 pu)
En regime etabli on a P = Pm, ou Pm est la puissance active fournie par la turbine. Cetteegalite est satisfaite aux points de fonctionnement S et I. Pour analyser la stabilite de tels pointsde fonctionnement, il conviendra de determiner les valeurs propres de la matrice jacobienne,evaluee en ces points. Dans cette section consacree aux aspects statiques, nous nous contentonsdu raisonnement simple suivant. Au point S, si l’on imagine par la pensee qu’une perturbationaugmente (diminue) legerement l’angle rotorique δ, la puissance electrique devient superieure(inferieure) a la puissance mecanique; la machine decelere (accelere) donc et tend a revenir asa position dequilibre. Le point d’equilibre S est donc stable. En repetant l’experience au pointI, on constate que la machine s’eloigne davantage du point dont la perturbation l’a ecartee: cepoint d’equilibre est instable. La condition de stabilite s’ecrit donc: ∂P/∂δ ≥ 0.
Puissance active maximale a Eq et V∞ fixes
Si l’on augmente progressivement Pm, les deux points d’equilibre tendent l’un vers l’autre,fusionnent au point C, puis disparaissent. La limite de stabilite est atteinte quand l’horizontaleP = Pm devient tangente a la courbe P (δ). Dans la terminologie des systemes non lineaires,ce point ou l’equilibre est perdu est appelle point de bifurcation.
Dans le cas d’une machine a rotor lisse, Xd = Xq = X et la machine peut etre representee parle schema equivalent de la figure 21.1.b. La relation (21.3) montre que l’angle δ maximal estπ/2 et la puissance maximale EqV∞/(X + Xe).
95
Dans le cas d’une machine a poles saillants, l’angle δ maximum est inferieur a π/2 mais lapuissance maximale transmissible est plus elevee, comme l’indique la figure 21.2.
Puissances reactives maximales a P fixe
Considerons a present que P est fixe, egal a la puissance mecanique Pm, et que l’on agit surEq ou V∞. Les expressions (21.2) ou (21.3) montrent que P (δ) decroıt avec Eq et avec V∞. Lalimite de stabilite est atteinte quand la courbe P (δ) devient tangente a l’horizontale P = Pm.Ceci peut se faire de deux manieres:
• en diminuant V∞, a Eq constant. La fem de la machine etant de plus en plus elevee parrapport a la tension du reseau, la production de puissance reactive augmente. Il existedonc une puissance reactive maximale transmissible de la machine vers le reseau. Cettevaleur augmente quand P diminue;
• en diminuant Eq , a V∞ constant. La fem de la machine etant de plus en plus faible parrapport a la tension du reseau, la production de puissance reactive diminue. Il existedonc une puissance reactive transmissible du reseau vers la machine. Cette valeur aug-mente quand P diminue. Pour P suffisamment faible, le regime limite correspond a uneabsorption de puissance reactive par la machine.
Dans les deux cas, si l’on depasse la limite de puissance reactive, la machine perdra le syn-chronisme par rapport au reseau.
Region de stabilite dans le plan (Q,P ), a V fixe
Une autre maniere d’apprehender les limites de fonctionnement du systeme consiste a deter-miner le domaine des points de fonctionnement stables, dans le plan (Q,P ) a tension V fixee.Cette facon de presenter les limites correspond aux courbes de capacite (cf section 6.8).
Insistons sur le fait qu’en l’absence de regulateur de tension, V est libre de varier suite a uneperturbation. En fait, “a tension V fixee” signifie simplement que tous les points de fonction-nement consideres sont caracterises par une meme tension terminale V .
Nous considerons pour simplifier le cas d’une machine a rotor lisse: Xd = Xq = X .
Le systeme est caracterise par le phaseur de la figure 21.3, ou I est le courant debite par lamachine et IP (resp. IQ) le courant actif (resp. reactif) correspondant. On tire aisement decette figure:
Eq cos(δ − θ) = V + XIQ (21.4)
Eq sin(δ − θ) = XIP (21.5)
V∞ cos θ = V −XeIQ (21.6)
V∞ sin θ = XeIP (21.7)
96
θXeIP
δ
V∞I
VXeIQ XIQ
XIPjXI
Eq
jXeI
Figure 21.3: phaseur relatif au systeme de la figure 21.1.b
La limite de stabilite est atteinte quand δ = π/2 puisque Xd = Xq. En remplacant dans (21.4,21.5), on obtient:
Eq sin θ = V + XIQ (21.8)
Eq cos θ = XIP (21.9)
Combinant (21.6) et (21.7) d’une part, (21.8) et (21.9) d’autre part, on obtient:
V 2∞ = (V −XeIQ)2 + X2
e I2P
E2q = (V + XIQ)2 + X2I2
P
⇒ (V∞Eq
)2 =(V −XeIQ)2 + X2
e I2P
(V + XIQ)2 + X2I2P
(21.10)
alors que par (21.7) et (21.8), on trouve:
(V∞Eq
)2 =X2e I
2P
(V + XIQ)2(21.11)
Egalant (21.10) et (21.11) et simplifiant le resultat, on obtient l’equation du lieu recherche:
(V + XIQ)(V −XeIQ) = XeXI2P
ou encore:
(V + XQ
V)(V −Xe
Q
V) = XeX(
P
V)2 (21.12)
A V fixe, cette equation est celle d’un cercle ayant l’axe Q pour diametre. Il est representea la figure 21.4. Le fonctionnement n’est possible qu’a l’interieur de ce cercle. Cette limitede fonctionnement en l’absence de regulateur de tension est parfois appelee limite de stabilitenaturelle.
Le domaine de stabilite d’une machine a poles saillants est donne a la figure 21.5. Le lieu dela figure precedente est localement deforme.
97
PV fixe
A B
stable
Xd = Xq = X
V 2
Xe−V 2
X
Q
Figure 21.4: domaine de stabilite d’une machine a rotor lisse
V fixe
stable
P
Q
V 2
Xe−V 2
Xd−V 2
Xq
Figure 21.5: domaine de stabilite d’une machine a poles saillants
On notera que la limite de stabilite depend du reseau auquel la machine est connectee, parl’intermediaire de la reactance Xe. Plus Xe est petite, moins la stabilite est contraignante enregime sur-excite (fourniture de puissance reactive). Comparativement, la limite se modifiemoins avec Xe en regime sous-excite (absorption de puissance reactive).
Exercice. Tracer les phaseurs correspondant aux points de fonctionnement A et B de la figure21.4. Montrer qu’au point A, la f.e.m. Eq est faible et la tension V∞ est elevee, tandis qu’aupoint B c’est l’inverse.
98
21.1.3 Fonctionnement sous controle du regulateur de tension
Considerons a present le cas ou la machine est sous le controle d’un regulateur de tension;nous supposons pour simplifier que ce dernier maintient la tension terminale a une valeur Vrigoureusement constante. Nous considerons, toujours pour simplifier, le cas d’une machine arotor lisse.
On a conjointement:
P =V V∞Xe
sin θ (21.13)
P =EqV
Xsinϕ (21.14)
Les limites de fonctionnement sont donc atteintes lorsque:
P =V V∞Xe
⇔ θ =π
2(21.15)
ou lorsque:
P =EqV
X⇔ ϕ =
π
2(21.16)
Il importe toutefois de noter que, le regulateur asservissant Eq au respect de la consigne detension, cette f.e.m. est en fait une fonction de V , V∞ et δ.
La figure 21.6 montre le schema equivalent du systeme et le phaseur correspondant. IP et IQsont les courants actif et reactif sortant de la machine.
A’
C’
0
M
C
DB
E
A
jXeI
V � θEq � δ V∞� 0
∞XeX
ϕ
V∞
Eq
VXeIQ XIQ
XeIP
XIP
δ
jXI
θ
Figure 21.6: phaseur relatif a la machine synchrone sous controle du regulateur de tension
99
Puissance active maximale a V et V∞ fixes
Dans le phaseur de la figure 21.6, le segment CD vaut XIP = XP/V tandis que le segmentEA vaut XeIP = XeP/V . La tension V etant fixee, ces deux segments sont une image de lapuissance active P . De meme, les segments BD et EB sont une image de la puissance reactiveQ produite par la machine.
La tension V∞ etant fixee, lorsque la puissance P augmente, le point A se deplace sur le cercle(en pointille) de centre O et de rayon OA , en direction du point M. La puissance maximaleest atteinte en ce dernier point, ce qui correspond a la condition (21.15). Au fur et a mesureque A se rapproche de M, la fem Eq augmente mais la figure montre qu’il n’y a pas de dangerd’atteindre ϕ = π/2. La condition (21.16) n’est donc jamais satisfaite.
Il en resulte qu’en presence du regulateur de tension, le dephasage angulaire δ entre Eq et V∞peut depasser π/2, valeur maximale que l’on pouvait tolerer a excitation constante. En fait,l’angle maximal de π/2 est a present atteint entre V et V∞, c’est-a-dire entre les deux noeudsdont la tension est constante.
L’evolution de la puissance P avec l’angle δ est montree en trait plein a la figure 21.7. Danscette figure, chaque courbe en pointille correspond a la relation (21.3), c’est-a-dire a la puis-sance que la machine fournirait si elle fonctionnait a excitation constante, pour la valeurcourante de Eq. Le point de fonctionnement A est stable, alors qu’a excitation constante ilserait instable.
Comme on le voit, la puissance maximale transmissible de la machine au reseau est nettementsuperieure a celle que l’on peut atteindre a excitation constante. Cette propriete est importantepour les centrales modernes de forte puissance; certaines ne pourraient pas fonctionner sansregulateur de tension.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
P
δ
π
PA
Pmax
AV constant
Eq constant
OB
Figure 21.7: relation δ - P sous regulation de tens. (Xd = Xq = 1.1,Xe = 0.3, V = V∞ = 1 pu)
Comme mentionne plus haut, au fur et a mesure que P augmente, la fem Eq augmente. Ce
100
faisant, il se peut que le courant rotorique atteigne la valeur maximale permise, auquel cas lamachine passe a excitation constante. A la figure 21.7, si l’on suppose, par exemple, que lacourbe en pointille la plus elevee correspond a cette limite rotorique, la courbe P (δ) totale estconstituee des segments 0A et AB et la limite de puissance transmissible est PA < Pmax.
Puissances reactives maximales a P fixe
P et V etant fixes, les points A et C se deplacent sur des paralleles au vecteur V . On peutatteindre une limite de fonctionnement de deux manieres:
• en diminuant V∞ : la production reactive de la machine augmente au fur et a mesure. Lalimite est atteinte lorsque la condition (21.15) est satisfaite; le point A est lors en A’ (cf
fig. 21.6). La production de puissance reactive maximale vaut Qmax =V 2
Xe
• en augmentant V∞ : la production reactive de la machine diminue au fur et a mesure. Eqdecroıt jusqu’a ce que la condition (21.16) soit satisfaite; le point C est alors en C’. La
production de puissance reactive minimale (en fait une absorption) vaut Qmin = −V 2
X,
expression independante de la reactance exterieure Xe !
Ce resultat est a comparer avec celui de la fig. 21.4 (relative au comportement a excitationconstante).
21.2 Augmentation de la puissance maximale transmissiblepar la compensation shunt
21.2.1 Compensation shunt fixe
Considerons le systeme machine- reseau infini de la figure 21.8.a ou nous supposons la machinerepresentee simplement par une f.e.m. d’amplitude E constante et ou Xe est la reactance totaleentre cette f.e.m. et le reseau infini. Pour simplifier les calculs nous prenons E = V∞.
La figure 21.8.b est desormais bien connue. La valeur maximale de l’angle δ est π/2 et lapuissance maximale transmissible est E2/Xe.
Considerons le point situe a mi-distance electrique entre la f.e.m. et le reseau infini (fig. 21.9.a).La figure 21.9.b montre l’evolution de la tension en ce point en fonction du transit P . Onvoit que cette tension baisse sensiblement lorsque l’on s’approche de la limite de stabilite(δ = π/2), a laquelle correspond une tension tres basse (� 0.7 E). La partie en pointillecorrespond aux points d’equilibre instables. A la limite, pour δ = π, la tension au point milieu
101
E2
X ′e
E2
Xe
Xe
ba
S IPm
π0
= E � 0
V∞� 0
P
δ
E � δ
∞
Figure 21.8: systeme simple non compense
est nulle. Cette figure suggere qu’une injection de puissance reactive en un point intermediairede la liaison peut ameliorer la puissance maximale transmissible.
E2
Xe
Xe/2Xe/2
E � δ Vm E � 0
0
E
E√2
a b
Vm
P
∞
Figure 21.9: tension au milieu du systeme de la fig. 21.8 en fonction du transfert de puissance
Considerons donc l’effet d’une compensation shunt fixe, de susceptance B = ωNC, commerepresente a la figure 21.10.a. Pour simplifier, nous la placons au point milieu considere plushaut (dans le cas de deux troncons inegaux, le systeme est limite par le troncon le plus long).
Une transfiguration de ce noeud milieu fournit le schema de la figure 21.10.b dont on deduitaisement:
P (δ) =E2
X ′e
sin δ =E2
Xe(1 − BXe
4)
sin δ (21.17)
Il en resulte que la limite de stabilite est toujours atteinte pour δ = π/2 mais que la puissancemaximale transmissible augmente, comme le montre la figure 21.8.b.
102
Xe/2Xe/2 X ′e = Xe − BX2
e
4
ba
E � 0
B = ωNC
E � δ
∞
Figure 21.10: systeme de la fig. 21.8 avec compensation shunt en son milieu
Le transport de puissances importantes sur de grandes distances peut requerir un volume impor-tant de compensation shunt. Une telle compensation ne peut etre installee en permanence, souspeine de surtensions. En fait, la compensation doit etre diminuee lorsque le transit diminueet inversement. Si pour des variations lentes du transit on peut concevoir de connecter etdeconnecter la compensation au moyen de disjoncteurs, en revanche, ces derniers ne peuventfaire face a des transitoires rapides. Le recours a un systeme asservi rapide s’impose alors. Lecompensateur statique peut remplir cette fonction.
21.2.2 Compensateur statique
Remplacons donc, dans le systeme de la figure 21.10 la susceptance fixe par un compensateurstatique, comme represente a la figure 21.11.
SVCE � δ
∞Xe/2Xe/2
E � 0
Figure 21.11: systeme de la fig. 21.8 equipe d’un compensateur statique en son milieu
Supposons d’abord que le compensateur est ideal: gain K infini, temps de reponse nul etlimites Bmin et Bmax infinies.
Ce compensateur ideal maintient la tension Vm constante; supposons celle-ci egale a E poursimplifier. Pour des raisons de symetrie, la phase de la tension au milieu est egale a δ/2. On adonc:
P =E E
Xe/2sin
δ
2=
2E2
Xesin
δ
2(21.18)
Par ailleurs, en considerant que le compensateur n’est rien d’autre qu’une susceptance vari-able, la relation (21.17) s’applique toujours mais a present B varie avec δ. Cette dependance
103
s’obtient en egalant les relations (21.17) et (21.18). On trouve:
E2
Xe(1 − BXe
4)
sin δ =2E2
Xesin
δ
2⇐⇒ B =
4
Xe(1 − cos
δ
2) (21.19)
A la figure 21.12, les demi-sinusoıdes du type OAD ou OBD correspondent a la relation(21.17), pour differentes valeurs de B, tandis que le quart de sinusoıde OABC correspond a larelation (21.18). Pour un transit PmB , le point de fonctionnement est B. Ce point corresponda δ > π/2 mais est stable. Pour s’en convaincre intuitivement, on peut imaginer une petiteperturbation portant l’angle δ de δB a δB′ ; la tension aux bornes du compensateur diminue (cffigure 21.9.b) puis est tres rapidement retablie par le compensateur, qui augmente sa suscep-tance B. Ceci conduit le systeme au point de fonctionnement B”. En ce point, la puissanceelectrique etant plus grande que la puissance mecanique PmB , il y a retour de l’angle vers lepoint d’equilibre B et l’on peut conclure a la stabilite de ce dernier.
B = 0
PmB
δ
P
B′
B′′
B
δB′δB
C′
0 π
D
C
B
A
B = Bmax
Figure 21.12: caracteristique δ − P du systeme de la figure 21.11
En presence d’un compensateur ideal, la puissance maximale transmissible et l’angle limitesont donc doubles de ceux du systeme non compense.
Dans un compensateur reel, la susceptance B ne peut depasser Bmax. La caracteristique P (δ)reelle se termine donc, comme indique a la figure 21.12, par le troncon CD de la sinusoıde cor-respondant a B = Bmax. Ce troncon est le lieu des points d’equilibre instables. La puissancemaximale transmissible et l’angle limite correspondent donc au point C.
Le gain d’un compensateur reel n’est pas infini et la tension qu’il controle n’est donc pasrigoureusement constante. Qualitativement, la caracteristique δ − P devient la courbe OC’ (cffig. 21.12), a laquelle correspond une puissance maximale un peu plus faible.
104
21.3 Analyse dynamique du systeme machine - reseau infini
21.3.1 Modelisation
Considerons a nouveau une machine connectee a un reseau infini par une reactance Xe (cffigure 21.13).
V � θ1 V∞� 0
Xe = ωNLe
∞1 2
Figure 21.13: systeme machine - reseau infini
Au rotor de la machine, seul le circuit d’excitation est pris en compte. Au stator, la resistanceest negligee. On suppose constant le couple mecanique fourni par la turbine. Quant auregulateur de tension, il est simplement represente par un gain G et une constante de temps T ,comme indique a la figure 21.14.
−G
1 + sT
vf
V
Vc +
Figure 21.14: modele elemenataire du regulateur de tension
Les parametres de la machine intervenant dans le modele sont donc essentiellement:
H,Xd, Xq, X′d, T
′d0, G, T.
Notons que le modele ne fera pas intervenir de reactance X′q car il n’y a pas d’enroulement
dans l’axe en quadrature.
21.3.2 Mise en equations
En neligeant la resistance statorique Ra et en ne considerant que l’enroulement d’excitation f ,les equations de Park (14.6, 14.7, 6.2, 6.20) de la machine s’ecrivent:
vd = −Xqiq (21.20)
105
vq = X′did + ωN
LdfLff
ψf (21.21)
d
dtψf = vf −Rf if (21.22)
ψf = Lff if + Ldf id (21.23)
En tirant if de (21.23) et en l’introduisant dans (21.22), on obtient:
d
dtψf = vf − Rf
Lffψf +
RfLfdLff
id (21.24)
Les equations du mouvement rotorique s’ecrivent:
d
dtδ = ω (21.25)
2H
ωN
d
dtω = Tm − Te (21.26)
ou Tm est le couple electromagnetique, suppose constant, et Te le couple electromagnetique.Ce dernier est relie a la puissance active P produite par la machine par:
Te =P
ωN + δ=
vdid + vqiq
ωN + δ
et considerant que la vitesse de la machine reste proche de celle du synchronisme:
Te � P
ωN=
vdid + vqiqωN
(21.27)
Enfin, le regulateur de tension est decrit par:
d
dtvf = −vf
T+
G(Vc − V )
T(21.28)
ou V est le module de la tension aux bornes de la machine, relie a vd et vq par:
V =√v2d + v2
q (21.29)
La figure 21.15 montre differents vecteurs tournants. Nous prenons la tension V∞ commereference des phases. L’angle rotorique δ est l’angle entre l’axe en quadrature de la machine etcette reference synchrone.
Les equations du reseau s’obtiennent en projetant l’equation complexe:
V � θ1 = V∞� 0 + jXeI
sur les axes d et q de la machine, ce qui donne:
vd = −V∞ sin δ + Xeiq (21.30)
vq = V∞ cos δ −Xeid (21.31)
106
V∞
vd
vq
δ θ1
qV
ϕ
d
Figure 21.15: vecteurs tournants et reference angulaire
Les equations (21.24, 21.25, 21.26, 21.28) constituent un ensemble de 4 equations differentiellesdu premier ordre faisant intervenir les 4 variables d’etat reprises dans le vecteur
x = [δ, ω, ψf , vf ]T
Ces equations differentielles font intervenir 6 variables algebriques: id, iq, vd, vq, Te et V . Cesdernieres sont “equilibrees” par les 6 relations algebriques (21.20, 21.21, 21.27, 21.29, 21.30et 21.31).
En eliminant ces variables algebriques, le modele du systeme peut se mettre sous la formecanonique:
x = f(x) (21.32)
Les operations permettant d’aboutir a ce modele sont detaillees dans l’appendice 1 de cechapitre. On obtient le resultat suivant:
d
dtδ = ω (21.33)
d
dtω =
ωN2H
(Tm − Te)
= −ωN2H
[kV∞ψf sin δ
ωNT′do(Xe + X
′d)
+(X
′d −Xq)V
2∞
2ωN(Xe + Xq)(Xe + X′d)
sin 2δ
]+
ωN2H
Tm (21.34)
d
dtψf = vf − Rf if
= vf − 1
T′do
Xe + XdXe + X
′d
ψf +V∞k
Xd −X′d
Xe + X′d
cos δ (21.35)
d
dtvf = −vf
T− G
TV +
G
TVc
= −vfT
− G
T
[X2qV
2∞ sin2 δ
(Xe + Xq)2+
(V∞X′d cos δ + kXeψf/T
′do)
2
(Xe + X′d)
2
]1/2
+G
TVc (21.36)
107
21.3.3 Linearisation du modele autour d’un point d’equilibre
Dans les equations d’etat du systeme, il y a trois grandeurs non lineaires: le couple electroma-gnetique Te, le courant d’excitation if et la tension terminale V . Ces grandeurs sont fonctionsdes variables d’etat δ et ψf :
Te = fTe(δ, ψf ) if = fif (δ, ψf ) V = fV (δ, ψf )
comme indique dans (21.34, 21.35 et 21.36). Une linearisation des fonctions fTe , fif et fVfournit:
∆Te = K1∆δ + K2∆ψf (21.37)
∆(Rf if) = K3∆δ + K4∆ψf (21.38)
∆V = K5∆δ + K6∆ψf (21.39)
ou chaque coefficient Ki represente la sensibilite d’une grandeur a une des deux variablesd’etat, l’autre etant maintenue constante.
En un point de fonctionnement (δo, ψof), les expressions analytiques des coefficients K1 a K6
sont les suivantes:
K1 =kV∞ψof
ωNT′do(X
′d + Xe)
cos δo +(X
′d −Xq)V
2∞
2ωN(Xe + Xq)(Xe + X′d)
cos 2δo (21.40)
K2 =kV∞
ωNT′do(X
′d + Xe)
sin δo (21.41)
K3 =V∞(Xd −X
′d)
k(Xe + X′d)
sin δo (21.42)
K4 =Xe + Xd
T′do(Xe + X
′d)
(21.43)
K5 =X2qV
2∞ sin 2δo
2V o(Xe + Xq)2− (V∞X
′d cos δo + kXeψ
of/T
′do)
V o(Xe + X′d)
2V∞X
′d sin δo (21.44)
K6 =(V∞X
′d cos δo + kXeψ
of/T
′do)Xe
V o(Xe + X′d)
2(21.45)
Les equations du systeme linearise s’obtiennent aisement en introduisant (21.37, 21.38, 21.39)dans les equations d’etat (21.34 a 21.36). On trouve:
d
dt∆δ = ∆ω (21.46)
d
dt∆ω =
ωN2H
(∆Tm −K1∆δ −K2∆ψf ) (21.47)
d
dt∆ψf = ∆vf −K3∆δ −K4∆ψf (21.48)
d
dt∆vf =
1
T(−∆vf + G∆Vc −GK5∆δ −GK6∆ψf ) (21.49)
108
On en deduit aisement la matrice jacobienne du systeme non lineaire (c’est-a-dire la matriced’etat du systeme linearise):
A =
0 1 0 0
−K1ωN2H
0 −K2ωN2H
0
−K3 0 −K4 1
−GK5
T0 −GK6
T− 1
T
(21.50)
Notons toutefois que les coefficients Ki, a l’exception de K4, dependent du point de fonc-tionnement. Comme on le verra plus loin, le comportement du systeme linearise peut varierfortement avec le point de fonctionnement autour duquel on linearise.
21.3.4 Schema bloc-diagramme et discussion
On peut verifier la stabilite du systeme au depart des valeurs propres de la matrice jacobienneA. Toutefois, on peut en apprendre plus sur le comportement du systeme en raisonnant a partirdu schema bloc-diagramme de la figure 21.16, que l’on obtient aisement a partir des equations(21.46 a 21.49).
+
II I
11 + sK4
G
1 + sT
12HωN
s2
∆Te
∆Tm
∆ψf∆vf+
-
+
+-
+ ∆δ
K1
K3
K2
K5
K6+
∆V
∆Vc
+
-
III
Figure 21.16: schema bloc-diagramme du systeme linearise
Ce schema bloc-diagramme se compose de trois parties:
• partie I seule: elle correspond a ∆ψf = 0. Les variations ∆Te du couple electromagne-tique sont calculees en supposant le flux dans l’enroulement d’excitation constant. Lameme approximation est a la base du modele “classique” introduit a la section 14.4, saufque le modele considere ici n’a pas d’enroulement dans l’axe en quadrature;
109
• parties I et II: ce modele intermediaire correspond a ∆vf = 0, c’est-a-dire a une machinefonctionnant a tension d’excitation constante (le courant et le flux dans l’enroulementd’excitation pouvant varier);
• modele complet: les variations du couple electromagnetique sont calculees en tenantcompte de l’effet du regulateur de tension; on peut dire qu’il s’agit d’un modele a con-signe de tension constante.
L’equation 21.24 montre que le flux dans l’enroulement d’excitation evolue sous l’effet, d’unepart, de la tension d’excitation vf et d’autre part de la reaction d’induit, c’est-a-dire le champmagnetique produit par le courant statorique.Question: pourquoi seulement id (et non pas iq) intervient-il dans la reaction d’induit ?On voit que K3∆δ represente la variation de la reaction d’induit lorsque la position angulairedu rotor devie legerement par rapport au mouvement uniforme.
Lorsque la machine fonctionne au synchronisme et a tension d’excitation constante, on a ∆δ =0 et ∆vf = 0. Dans ces conditions, le schema de la figure 21.16 montre que la constante detemps des variations du flux dans l’enroulement d’excitation est
1
K4
= T′d0
Xe + X′d
Xe + Xd
Comme X′d est inferieur a Xd, cette constante de temps est inferieure a T
′d0. Considerons les
deux cas particuliers suivants:
• machine fonctionnant a vide: il correspond a Xe → ∞ et la constante de temps de lamachine est T ′
d0;
• machine court-circuitee a ses bornes: correspond a Xe = 0 et V∞ = 0 (mais cette tensionn’intervient pas) et la constante de temps vaut:
T′d0
X′d
Xd= T
′d0
L′d
Ld= T
′d
Ces deux resultats confirment ceux obtenus au chapitre 11. Pour un regime en charge quel-conque, la constante de temps en question est comprise entre T
′d et T
′d0.
Notons que sous l’effet des retroactions qui apparaissent a la figure 21.16, la constante detemps en question se modifie. Il est d’ailleurs frequent de voir apparaıtre, en boucle fermee,une oscillation entre le regulateur de tension et l’enroulement d’excitation (voir exemple de lasection 21.3.8).
110
21.3.5 Comportement a flux d’excitation constant
Nous allons d’abord considerer le comportant de la machine en supposant le flux d’excitationconstant (“gele”). Posant ∆ψf = 0, on tire aisement de la figure 21.16:(
2H
ωNs2 + K1
)∆δ = ∆Tm (21.51)
Cette equation est celle d’un oscillateur non amorti. Le rotor oscille sous l’effet de son inertieet d’un couple K1∆δ en phase avec le deplacement angulaire ∆δ. Ce type de couple est appelecouple synchronisant. On peut etablir une analogie avec un systeme masse-ressort. K1 seraitla raideur du ressort. Plus K1 est eleve, plus la force de rappel entre la machine et le reseauinfini est elevee.
Un autre type de couple est le couple d’amortissement, proportionnel a la vitesse ∆ω =s∆δ. Si l’on suppose le flux constant, comme dans cette section, il n’y a pas de coupled’amortissement; toutefois, dans une machine reelle, ce couple existe et provient:
• en partie de l’enroulement d’excitation, comme on le verra a la section suivante;
• principalement des amortisseurs, que nous negligeons dans cette etude analytique
mais nous allons voir qu’il peut etre diminue par le regulateur de tension. Notons qu’il existeegalement un couple d’amortissement d’origine mecanique (frottements, etc. . . ) mais il esttres faible par rapport aux couples Tm et Te.
La frequence des oscillations rotoriques (non amorties) s’obtient a partir des zeros de l’expres-sion entre parentheses dans (21.51):
s1,2 = ±j
√K1ωN2H
soit une frequence d’oscillation egale a
fo =1
2π
√K1ωN2H
(21.52)
Cette frequence augmente avec K1 : la machine oscille plus rapidement lorsque la raideurdu ressort, c’est-a-dire la force de rappel augmente. Elle diminue quand H diminue: la ma-chine oscillerait plus rapidement si l’on diminuait son inertie. En pratique, les frequencesd’oscillations rotoriques s’etendent de 0.1 a 2 Hz, avec plus typiquement des valeurs prochesde 1 Hz. On observe egalement que fo varie relativement peu lorsque l’on prend en comptel’effet des amortissements et des differents regulateurs.
Le systeme perd la stabilite lorsque K1 devient nul; il possede alors une double valeur proprenulle. Si K1 devenait negatif le systeme aurait deux valeurs propres reelles, l’une positive,l’autre negative.
111
La condition de stabilite s’ecrit donc:
K1 > 0 ⇔ ∂Te∂δ
)ψf constant
> 0 (21.53)
En vertu de (21.27) cette condition s’ecrit egalement:
∂P
∂δ
)ψf constant
> 0 (21.54)
21.3.6 Comportement a tension d’excitation constante
Nous supposons a present ∆vf = 0. Le schema bloc-diagramme du systeme est celui desparties I et II de la figure 21.16. Il comporte une boucle de retroaction, correspondant a lareaction d’induit. On etablit aisement:(
2H
ωNs2 + K1 − K2K3
K4
1
1 + s 1K4
)∆δ = ∆Tm (21.55)
Les zeros de l’expression entre parentheses constituent les poles du systeme en boucle fermee.Une maniere elegante d’analyser la stabilite du systeme, sans calculer explicitement ces poles,est de determiner le lieu d’Evans, c’est-a-dire le lieu decrit par les poles du systeme en bouclefermee, lorsque le gain de boucle varie.
Remarque. Un precaution s’impose dans l’interpretation du lieu d’Evans. Lorsque le point de fonc-tionnement du systeme est modifie, les valeurs de K1,K2 et K3 changent et cette modification peut etreinterpretee comme une modification du gain de boucle du systeme. Toutefois certains poles en boucleouverte dependent eux aussi du point de fonctionnement et se modifient donc en meme temps que legain de boucle. Ceci ne pose pas de probleme dans la mesure ou nous allons limiter l’utilisation du lieud’Evans a une comparaison, pour un point de fonctionnement donne, des poles en boucle ouverte et enboucle fermee, afin de mettre en evidence l’effet des retroactions.
Determinons le signe du gain de boucle. Tenant compte du passage par les entrees − de deuxsommateurs, celui-ci vaut:
K2ωN2H
K3
Son signe est donc celui de:
K2K3 =V 2∞ sin2 δo(Xd −X
′d)
ωNT′do(X
′d + Xe)2
expression toujours positive. On est donc en presence d’une retroaction positive.
Le lieu d’Evans est represente a la figure 21.17. Les poles en boucle ouverte sont −K4 et s1,2,les deux poles complexes conjugues du modele a flux constant (on suppose K1 > 0). Comme
112
il y a 3 poles et pas de zeros, il y a trois branches partant vers l’infini. Comme la retroaction estpositive, un point de l’axe reel fait partir du lieu des poles s’il est a droite d’un nombre impairde poles (ou de zeros), une asymptote est a un angle de 180 + (180/3) = 240o et les anglesentre asymptotes sont de 360/3 = 120o.
s2
−K4
T ′d0
s1
Figure 21.17: lieu des poles a tension d’excitation constante
On en tire les conclusions suivantes:
• pour un point de fonctionnement donne, la retroaction K3∆δ deplace vers la gaucheles poles complexes conjugues correspondant au modele a flux constant. En d’autrestermes, la reaction d’induit introduit un couple d’amortissement, qui vient s’ajouter aucouple synchronisant;
• Pour T′d0 = 0 et pour T
′d0 → ∞, les poles en boucle fermee restent sur l’axe imaginaire
et il n’y a donc pas d’amortissement. Il doit donc exister une valeur de T′d0 qui maximise
le couple d’amortissement procure par l’enroulement d’excitation. Toutefois ce derniern’est pas concu dans le but d’optimiser ce couple; c’est plutot le role des amortisseurs;
• la seule maniere de perdre la stabilite est par apparition d’un pole a l’origine. La matricejacobienne A est alors singuliere. L’instabilite est du type aperiodique.
Recherchons la condition de stabilite du systeme. En ecrivant que l’expression entre paren-theses dans (21.55) a un zero en s = 0, on trouve la condition de perte de stabilite:
K1 − K2K3
K4
= 0 (21.56)
La partie stable du lieu d’Evans correspond aux valeurs faibles du gain de boucle et celui-ciest proportionnel a K2K3. Donc la stabilite est perdue quand K2K3 augmente au point que
113
le membre de gauche de (21.56) s’annulle. Comme on suppose K1 > 0 et comme K4 > 0,K2K3 > 0, le systeme est stable tant que:
K1 − K2K3
K4> 0
Montrons a present que:
K1 − K2K3
K4> 0 ⇔ ∂Te
∂δ
)vf constant
> 0 (21.57)
Cette relation peut s’etablir par substitution des expressions des coefficients K1 a K4 dans lemembre de gauche et calcul de la derivee partielle du membre de droite. Une demonstrationplus directe s’obtient a partir des relations (21.37, 21.38):
∆Te = K1∆δ + K2∆ψf (21.58)
∆(Rf if) = K3∆δ + K4∆ψf (21.59)
Si l’on considere une variation d’un point de fonctionnement a un autre (regime etabli dans lesdeux cas), la tension d’excitation etant constante, il en est de meme du courant d’excitation.En posant ∆(Rf if) = 0 dans (21.59), cette relation fournit:
∆ψf = −K3
K4∆δ
et en substituant dans (21.58), on trouve:
∆Te = (K1 − K2K3
K4) ∆δ
ce qui demontre la relation recherchee.
En vertu de (21.27) la condition de stabilite s’ecrit egalement:
∂P
∂δ
)vf constant
> 0 (21.60)
Notons l’analogie entre les relations (21.53) et (21.57) (resp. entre (21.54) et (21.60)) maissoulignons que les deux derivees ne sont pas calculees dans les memes conditions !
Poursuivons le raisonnement en termes de puissance active. Pour evaluer la condition (21.60),nous devons considerer la puissance active P en regime etabli. Lorsque la machine fonctionnea tension vf constante, le courant if est constant en regime etabli, et donc egalement la f.e.m.Eq, proportionnelle a ce courant. Une expression plus utile de la puissance P est donc donneepar (21.2):
P =EqV∞
Xd + Xesin δ +
V 2∞2
(1
Xq + Xe− 1
Xd + Xe) sin 2δ (21.61)
114
A la section 21.1.2, nous avons etabli la condition de stabilite (21.60) par un raisonnementintuitif. Nous avons ensuite deduit de (21.60) et (21.61) des limites de puissance transmissi-ble entre la machine et le reseau. Les developpements qui precedent montrent que, lorque lamachine fonctionne a excitation constante, ce raisonnement intuitif etait correct et complet etque les limites de stabilite etablies au depart des equations (algebriques) du systeme en regimeetabli sont exactes meme lorsque l’on considere la dynamique de la machine.
Au point de fonctionnement extreme correspondant au maximum de puissance, les equationsalgebriques cessent d’avoir une solution. Ce point correspond a l’arrivee d’un pole en s = 0.La matrice jacobienne correspondante1 est donc singuliere.
21.3.7 Comportement avec regulateur de tension infiniment rapide
L’incorporation du regulateur de tension ajoute un pole au systeme. Pour mettre en evidencedes comportements importants tout en conservant un systeme simple a trois poles, nous allonsetudier le cas limite ou le regulateur de tension a une constante de temps T nulle (adaptationinstantanee de la tension d’excitation aux variations de la tension terminale). Cette approxima-tion est raisonnable pour des systemes d’excitation modernes rapides (p.ex. a thyristors).
Lorsque T = 0, le schema-bloc de la figure 21.16 se transforme en celui de la figure 21.18.
∆ψf
K5 +K3
G
G
s + K4 + GK6
12HωN
s2 + K1
+
-K2
∆δ
∆Vc
+
-
∆Tm
Figure 21.18: schema bloc-diagramme du systeme avec regulateur de tension infiniment rapide
Le gain de boucle de ce systeme vaut:
(K3 + GK5)K2ωN2H
Placons-nous dans le cas d’un fonctionnement en generateur. Les relations (21.41, 21.42)montrent qu’on a alors K2 > 0 et K3 > 0. En revanche, on ne peut rien affirmer quant ausigne de K5. On observe generalement une valeur negative pour des regimes de forte chargedu generateur. Nous discutons ci-apres les deux cas.
1matrice (21.50) limitee a ses trois premieres lignes et colonnes
115
Cas ou K5 est positif
Quand K5 est positif, le gain de boucle est positif et l’on est, comme precedemment, enpresence d’une retroaction positive. Le lieu d’Evans conserve donc l’allure representee a lafigure 21.17. Par rapport a la situation a excitation constante:
• les poles complexes conjugues en boucle ouverte sont inchanges; ce sont toujours ceuxdu modele a flux constant. Lorsque les boucles de retroaction sont fermees, ces poles sedeplacent vers la gauche; les oscillations rotoriques s’amortissent;
• par contre, le pole reel en boucle ouverte vaut:
−(K4 + GK6) � −K4 puisque K6 > 0 et G > 0
Ce pole est donc beaucoup plus negatif que dans le cas a excitation constante. L’instabi-lite aperiodique, correspondant a l’arrivee de ce pole en s = 0, est donc plus difficile aatteindre. Une augmentation du gain G renforce cet effet.
En d’autres termes, quand K5 est positif, le comportement dynamique de la machine estameliore par le regulateur de tension: d’une part, la limite d’instabilite aperiodique est re-poussee et, d’autre part, le regulateur procure un couple d’amortissement.
En exprimant que le systeme de la figure 21.18 possede une pole a l’origine, on obtient lacondition de perte de stabilite:
1 − K2
K1
K3 + GK5
K4 + GK6
= 0
ou encore:
K1 −K2K3 + GK5
K4 + GK6= 0
Comme dans le cas a excitation constante, nous allons etablir que:
K1 −K2K3 + GK5
K4 + GK6=
∂Te∂δ
)Vc constant
En effet, en regime etabli on a:
vf = Rf if = G(Vc − V ) d’ou ∆(Rf if ) = −G∆V
Introduisant cette relation dans (21.38), on obtient:
−G∆V = K3∆δ + K4∆ψf
et en remplacant ∆V par sa valeur tiree de (21.39), cette relation devient:
∆ψf = −K3 + GK5
K4 + GK6
∆δ
116
En substituant dans (21.37), on trouve:
∆Te = (K1 −K2K3 + GK5
K4 + GK6) ∆δ
ce qui demontre la relation recherchee.
En vertu de (21.27) la condition de stabilite s’ecrit egalement:
∂P
∂δ
)Vc constant
> 0 (21.62)
L’analogie avec les relations (21.53) et (21.57) est remarquable.
Quand K5 est positif, comme dans le cas a excitation constante, les limites de stabilite etabliesa la section 21.1.3 au depart des equations (algebriques) du systeme en regime permanent sontexactes lorsque l’on considere la dynamique de la machine et du regulateur.
En particulier, dans cette section, nous avons etabli que la presence du regulateur de tensionaugmente la puissance maximale transmissible de la machine au reseau. Ceci est confirmepar le fait que le pole reel negatif est situe beaucoup a gauche dans le cas avec regulateur detension.
Toutefois, la condition ci-dessus n’est plus suffisante pour assurer la stabilite du systeme, etantdonne qu’une valeur negative de K5 peut conduire a une instabilite oscillatoire, comme montreci-apres.
Cas ou K5 est negatif
Quand K5 est negatif, pour des valeurs de |K5| et/ou G suffisamment elevees, le gain de boucledans la figure 21.18, et donc la retroaction, peuvent devenir negatifs. Le lieu d’Evans corre-spondant est alors celui de la figure 21.19. Comme on le voit, une instabilite peut apparaıtresous forme d’oscillations d’amplitude croissante. Dans ce cas, l’instabilite aperodique ne poseaucun probleme mais en revanche le regulateur degrade l’amortissement au point de pouvoirdestabiliser le systeme ! On parle souvent d’amortissement negatif.
Un raisonnement analogue montre egalement que quand K5 est negatif, une augmentation de Grepousse la limite d’instabilite aperiodique mais peut destabiliser le systeme par amortissementnegatif.
21.3.8 Exemple numerique recapitulatif
Considerons un systeme machine - reseau infini caracterise par: Xd = Xq = 2.1 pu, X′d = 0.4
pu, T′do = 7 s, H = 3.5 s, Xe = 0.35 pu, V∞ = 1 pu, ou les valeurs en per unit se referent a la
base de la machine.
117
−K4 + GeK6
T ′d0
s1
s2
Figure 21.19: lieu des poles avec regulateur de tension infiniment rapide et K5 < 0
En ce qui concerne le regulateur de tension et le point de fonctionnement du systeme, nousconsiderons les variantes indiquees dans la table ci-apres.
gain G 50 ou 200 pu/puconstante de temps T 0. ou 0.1 spoint de “faible” charge: P = 0.6 pu, V = 1.03 pu ⇒ Q = 0.15 pufonctionnement “forte” charge: P = 0.95 pu, V = 1.05 pu ⇒ Q = 0.30 puconstante de temps T
′′qo 0.02 ou 0.1 s
Nous considerons egalement des variantes dans lesquelles le modele comporte un enroulementamortisseur dans l’axe en quadrature, caracterise par X
′′q = 0.15 pu et T
′′qo tel qu’indique dans
la table ci-dessus.
La table ci-dessous reprend les valeurs propres du systeme divers cas de figure. Nous invi-tons le lecteur a verifier, dans la mesure du possible, la conformite de ces resultats avec lesdeveloppements theoriques qui precedent.
118
charge T′′qo (s) T (s) G valeurs propres
faible pas d’amort. ψf constant ±j 6.836forte pas d’amort. ψf constant ±j 7.985faible pas d’amort. vf constante −0.145 ± j 6.831 − 0.194forte pas d’amort. vf constante −0.169 ± j 7.286 − 0.156faible 0.02 vf constante −0.195 ± j 6.832 − 0.194 − 213.7forte 0.02 vf constante −0.191 ± j 7.286 − 0.156 − 213.8faible 0.1 vf constante −0.392 ± j 6.864 − 0.193 − 47.22forte 0.1 vf constante −0.276 ± j 7.301 − 0.156 − 47.49faible pas d’amort. 0. 50. −0.190 ± j 6.764 − 2.566forte pas d’amort. 0. 50. +0.094 ± j 7.329 − 2.877faible pas d’amort. 0.1 50. −0.224 ± j 6.805 − 5.012 ± j 0.436forte pas d’amort. 0.1 50. +0.063 ± j 7.156 − 5.304 ± j 1.418faible 0.1 0.1 50. −0.423 ± j 6.944 − 47.21 − 6.140 − 3.987forte 0.1 0.1 50. −0.011 ± j 7.239 − 5.341 ± j 1.026 − 47.48forte 0.1 0.1 200. +0.492 ± j 7.778 − 5.836 ± j 7.996 − 47.46
119
21.4 Amelioration de la stabilite
21.4.1 Moyens d’action
La stabilite angulaire aux petites perturbations peut etre amelioree en faisant varier dynamique-ment une grandeur electrique, de maniere a:
• physiquement: augmenter le couple d’amortissement agissant sur le rotor des machinessynchrones
• mathematiquement: dans le plan complexe, deplacer vers la gauche les valeurs proprescomplexes conjuguees correspondant a une oscillation instable ou mal amortie.
Parmi les grandeurs que l’on peut moduler dynamiquement, citons:
• le signal injecte a l’entree du regulateur de tension par un stabilisateur2, qui agit autravers de ce regulateur sur le couple electromagnetique de maniere a renforcer sa com-posante d’amortissement;
• la susceptance shunt d’un compensateur statique (cf section 8), en plus de la regulationde tension;
• la reactance serie d’un TCSC (cf Section 19.3), en plus de la compensation fixe;
• la puissance transitant dans un lien haute tension a courant continu (HVDC).
Les stabilisateurs sont tres repandus; cette technique est relativement peu couteuse dans lamesure ou il suffit d’ajouter un circuit electronique au regulateur de tension present dansn’importe quelle centrale moderne.
Dans les trois derniers cas, on profite plutot de l’installation d’un compensateur ou d’un lien acourant continu dont l’investissement se justifie par ailleurs.
21.4.2 Stabilisateurs
Principe
La figure 21.20 montre l’adjonction d’un stabilisateur au systeme machine - reseau infini con-sidere precedemment dans ce chapitre. Ce circuit utilise en entree le signal d’ecart de vitesse,passe au travers d’une fonction de transfert R(s) et injecte au point d’entree du regulateur detension. Le signe + du signal de retroaction est arbitraire.
2en anglais, Power System Stabilizer (PSS)
120
12HωN
s
+
-
+
+-
+ ∆δ
K1
K3
K2
K5
K6
+
∆V
++
∆ω1s
∆ψf ∆Te
∆Tm
11 + sK4
R(s)
∆Vc
-
+
∆vfG
1 + sT
Figure 21.20: schema bloc-diagramme du systeme apres adjonction d’un stabilisateur
Les signaux utilises en pratique sont les variations de vitesse ∆ω, de frequence au jeu de barres,de puissance electrique ∆P ou de puissance acceleratrice ∆Pm − ∆P .
Nous exposons ci-apres une methode simple de synthese de la fonction de transfert R(s).
Synthese du stabilisateur pour agir sur l’amortissement
Le schema bloc-diagramme de la figure 21.20 peut se transformer en celui de la figure 21.21.
F (s) est la fonction de transfert entre ∆δ et ∆Te, en l’absence de stabilisateur. En d’autrestermes, on a:
2H
ωNs2∆δ = ∆Tm − F (s)∆δ (21.63)
F (s)∆δ est la variation du couple electromagnetique. On pourrait identifier la fonction F (s)par des transformations successives de la figure 21.16, mais ce n’est pas necessaire pour leraisonnement qui suit.
La figure 21.21 montre que H(s) est la fonction de transfert entre ∆Vc et ∆Te, lorsque l’onimpose ∆δ = 0. Cette derniere condition peut etre realisee en affectant une tres grande valeurau coefficient d’inertie H .
Le choix de la fonction R(s) repose sur l’observation suivante: on peut assimiler le mouvementdu rotor a celui d’un oscillateur, dont l’amortissement et la pulsation sont donnes par les valeurspropres complexes conjuguees dominantes du systeme. Ces dernieres sont souvent appeleesvaleurs propres mecaniques. Le role du stabilisateur est d’ameliorer l’amortissement de cesoscillations.
Soit ωo la pulsation de ces oscillations. En premiere (et bonne) approximation, on peut prendre
121
H(s)
R(s)
12HωN
s2
∆Tm
∆Te
entree regulateur de tension
∆Vc
s
∆δ−
+
+
+
+
+
F (s)
Figure 21.21: vue synthetique du schema de la figure 21.20
ωo = 2πfo, avec fo fournie par (21.52). En remplacant s par j ωo, le couple electromagnetiquevaut:
F (j ωo)∆δ = |F | ej φF ∆δ = |F | cosφF∆δ +|F | sinφF
ωojωo∆δ
Le premier terme, proportionnel a l’ecart angulaire ∆δ, represente le couple synchronisanttandis que le second terme, proportionnel a la vitesse angulaire jωo∆δ represente le coupled’amortissement.
Definissons de meme:
R(j ωo) = |R| ej φR = |R| (cosφR + j sinφR)
H(j ωo) = |H| ej φH = |H| (cosφH + j sinφH)
Dans le cas ou l’on utilise le signal de vitesse (cf figures 21.20 et 21.21), la contribution dustabilisateur au couple est:
|R||H| ej (φR+φH)jωo∆δ = −|R||H| sin(φR + φH)ωo∆δ + |R||H| cos(φR + φH) j ωo∆δ
On en deduit qu’en prenant:
−π
2≤ φR + φH ≤ π
2le stabilisateur apporte un couple d’amortissement. Cet apport est maximal quand
φR + φH = 0 ⇔ φR = −φH (21.64)
Par ailleurs, il importe de ne pas deteriorer le couple synchronisant. Pour ce faire, il faut que:
−π ≤ φR + φH ≤ 0
On voit donc qu’on a interet a prendre φR le plus proche possible de −φH sans toutefoisdepasser cette valeur.
122
En pratique, φH < 0 et R(s) doit apporter une avance de phase φR > 0. Pour ce faire, on peutchoisir un compensateur du type
K1s + a
s + b
avec a > b. Des formules utiles pour le choix de a et b sont rappelees dans l’appendice 2 de cechapitre. Le choix de K1 est discute a la section suivante.
Autres facteurs influencant la synthese d’un stabilisateur
D’autres considerations entrent en ligne de compte dans la synthese des stabilisateurs:
• en regime etabli, le stabilisateur ne doit pas introduire d’erreur statique dans la regulationde la tension. De meme, lors d’une variation de charge normale de la machine (variationprogressive de Tm dans notre modele), il ne doit pas intervenir. Pour ce faire, on placeen cascade avec R(s) un filtre “passe-haut”3 dont la fonction de transfert est
R2(s) =K2s
s + c(21.65)
Ce filtre ne doit pas modifier l’avance de phase fournie par R(s) aux environs de lapulsation ωo. Pour ce faire, il faut prendre c suffisamment petit (voir appendice 2);
• le stabilisateur ne doit pas exciter les oscillations torsionnelles de l’arbre du groupe deproduction (sous peine de fatigue mecanique de ce dernier). Les risques sont les plusimportants lorsque l’on utilise les variations de vitesse comme signal d’entree du sta-bilisateur. Ils sont deja attenues lorsque l’on utilise les variations de frequence au jeude barres. Les frequences torsionnelles les plus basses sont superieures a celles des os-cillations rotoriques a amortir (10 . . . 15 Hz). Il faut donc egalement ajoindre un filtre“passe-bas” R3(s) a la fonction de transfert R(s)R2(s);
• la sortie du stabilisateur doit etre ecretee pour eviter un fonctionnement genant lors detransitoires importants;
• quoique concu pour amortir des oscillations de faible amplitude, le stabilisateur doitse comporter correctement lors de grandes perturbations (stabilite transitoire). Cecinecessite la simulation de defauts;
• le stabilisateur doit reagir correctement dans toute la gamme de points de fonctionnementpossibles du systeme. Il doit donc etre concu en se placant au point de fonctionnementle plus contraignant.
Apres avoir choisi les coefficients a, b et c ci-dessus (et ceux de R3(s) le cas echeant), onajuste le gain global K = K1K2 du stabilisateur. Ceci se fait en suivant l’evolution des valeurs
3appele “washout” en anglais
123
propres du systeme en boucle fermee, pour des valeurs croissantes de K. Ce procede permetde verifier qu’en ameliorant la partie reelle des valeurs propres mecaniques on ne deteriore pascelle d’autres valeurs propres, en particulier celles correspondant a une oscillation electriqueentre le circuit d’excitation et le regulateur de tension, qui pourrait devenir dominantes.
21.4.3 Exemple d’amelioration de la stabilite au moyen d’un compensa-teur statique
L’exemple ci-apres illustre l’amelioration par un compensateur statique:
• de la stabilite aperiodique, via le controle de la tension, et
• de la stabilite oscillatoire, par une commande dynamique de la susceptance shunt. Cettecommande utilise comme signal d’entree la frequence mesuree au jeu de barres ou estconnecte le compensateur. On pourrait utiliser egalement le transit de puissance activedans les branches adjacentes.
Le systeme est represente a la figure 21.22 avec les schemas bloc-diagrammes du regulateur detension (simplifie) et du compensateur statique. La machine est representee par un modele dePark a trois enroulements rotoriques. Au point de fonctionnement considere, seule la capacitefixe B produit de la puissance reactive, tandis que le compensateur sert a stabiliser le systeme.Le signal auxilaire injecte dans le sommateur du compensateur statique utilise la frequence enper unit θ/ωN , ou θ est la phase de la tension au jeu de barres intermediaire. Le filtre passe-haut3s/(1 + 3s) supprime toute influence sur la tension en regime etabli.
Le tableau ci-apres donne les valeurs propres du systeme pour differentes configurations.
1 2 3 4 5sans AVR AVR AVR AVRsans SVC SVC SVC SVC
sans signal aux. sans signal aux. avec signal aux.-35.50 -38.20 -419.80 -419.80 -410.00-2.81 -13.06 -35.50 -38.17 -37.17-0.399 ± j 4.33 -4.71 ± j 1.39 -3.74 -13.26 -14.440.196 0.883 ± j 4.50 -0.982 ± j 0.13 -5.61 -5.204 ± j 1.00
-0.184 ± j 5.03 -3.62 -2.6370.002 -0.958 ± j 0.17 -0.950 ± j 0.19
0.493 ± j 5.08 -0.602 ± j 4.87-0.345
• Cas 1: les cinq valeurs propres sont liees aux cinq variables d’etat de la machine.Le point d’equilibre est aperiodiquement instable (manque de couple synchronisant).L’angle rotorique au point de fonctionnement est de 1040 alors qu’en l’absence de regula-teur de tension et de compensateur, l’angle limite pour la stabilite est de 900.
124
∞
Q = 0SVC
θ
ωN148
3 s
1 + 3 s
1 + 0.14 s
1 + 0.28 s
X = 0.5
1.� 0
X = 0.5
0.989 � 24.9
B = 0.333 X = 0.3
1.� 49.8
VC
+ V
+
+
VC
50
1 + 0.05 s
Bsvc800
1 + 0.05 s
(1 + s
1 + 5 s
)2
P = 0.833
V
vf
machine:T
′d0 =8.50 s Xd = 2.72 pu
T′′d0 =0.03 s Xq = 2.60 pu
T′′q0 =0.90 s X
′d = 0.36 pu
H = 3.84 s X′′d = X
′′q = 0.26 pu
Figure 21.22: description du systeme de l’exemple
• Cas 2: le regulateur de tension augmente le couple synchronisant mais deteriore notable-ment le couple d’amortissement.
• Cas 3 (a comparer au cas 1): cette configuration peu realiste est destinee a montrerl’amelioration de la stabilite aperiodique procuree par le controle de la tension au noeudmilieu.
• Cas 4 (a comparer au cas 2): la regulation de la tension par le compensateur apporte dejaune certaine stabilisation des valeurs propres instables.
• Cas 5: l’adjonction du signal auxiliaire dans le compensateur stabilise le systeme enamortissant notablement les oscillations.
125
21.5 Obtention et analyse de la matrice jacobienne d’un grandsysteme
21.5.1 Structure algebro-differentielle du modele
Nous avons montre a la section 14.3 que le modele utilise pour l’analyse de la stabilite d’unsysteme de puissance se presente sous la forme differentielle-algebrique:
x = f(x,y) (21.66)
0 = g(x,y) (21.67)
Rappelons que les equations differentielles (21.66) proviennent des machines et de leurs regula-teurs, des charges, des compensateurs statiques, des liens a courant continu, etc. . . Le vecteur xregroupe les vecteurs d’etat individuels de ces composants. Les equations algebriques (21.67),quant a elles, sont relatives au reseau de transport. Le vecteur y regroupe les projections surdeux axes orthogonaux des vecteurs tournants representant les tensions aux noeuds.
Considerons la matrice jacobienne gy de g par rapport a y, c’est-a-dire la matrice des deriveespartielles definie par:
[gy]ij =∂gi∂yj
i, j = 1, . . . , 2N
Le theoreme des fonctions implicites nous apprend qu’en un point (x,y) ou gy est reguliere, ilexiste localement une fonctionϕ unique et differentiable, telle que:
y = ϕ(x) (21.68)
En remplacant y par (21.68) dans (21.66), on obtient le modele differentiel “pur”:
x = f(x,ϕ(x)) = F(x) (21.69)
x est donc le veritable vecteur d’etat du systeme (21.66, 21.67).
Meme si l’on sait qu’il existe une fonction ϕ conduisant au systeme (21.69), il n’est genera-lement pas possible en pratique d’en etablir l’expression, a cause des non-linearites presentesdans (21.67). Il faut donc traiter le systeme (21.66, 21.67).
La matrice jacobienne de ce systeme s’evalue comme suit. En designant par ∆ des perturba-tions infinitesimales (sans modification des commandes u, non explicitees dans les fonctions fet g), les equations ci-dessus donnent:
∆x = fx ∆x + fy ∆y (21.70)
0 = gx ∆x + gy ∆y (21.71)
expressions dans lesquelles les matrices jacobiennes sont evaluees au point de fonctionnement(x0,y0) considere.
126
Supposant que la matrice gy est reguliere, la relation (21.71) donne:
∆y = −gy−1gx ∆x (21.72)
et une substitution dans (21.70) fournit:
∆x = Jdyn ∆x (21.73)
avec Jdyn = fx − fygy−1gx (21.74)
Jdyn est la matrice d’etat du systeme (21.66, 21.67) linearise. On voit qu’elle s’obtient par“reduction” de la matrice jacobienne complete.
Dans les logiciels d’analyse de la stabilite aux petites perturbations, on exploite le fait que lesmatrices jacobiennes intervenant dans (21.70, 21.71) sont tres creuses. Ainsi, lors du calculde la matrice Jdyn, on evite de calculer explicitement l’inverse de gy, l’inverse d’une matricecreuse etant generalement une matrice pleine. De plus, Jdyn n’est pas creuse, meme si ellecontient un grand nombre de termes numeriquement negligeables.
Voici un exemple d’application de cette remarque. Les methodes de calcul de valeurs etvecteurs propres requierent de resoudre iterativement des systemes lineaires du type:[
Jdyn − λI]u = b
ou λ est l’estimee d’une valeur propre. Plutot que ce systeme, on preferera resoudre:[fx − λI fy
gx gy
] [uv
]=
[b0
]
dont la taille est plus grande mais dont la matrice est creuse.
Revenons finalement sur le cas ou gy est singuliere. Un point (x,y) ou ceci se produit est ap-pele singularite. En un tel point, l’evolution dynamique du systeme n’est plus definie. En effet,pour une petite variation de x, la variation de y devient infiniment grande, comme le montre larelation (21.72). On peut en conlure que le modele mathematique du systeme physique cessed’etre valable en une singularite. Ceci provient generalement d’une simplification du modele:par exemple, l’omission d’une dynamique consideree comme infiniment rapide (ce qui conduita des equations algebriques plutot que differentielles).
21.5.2 Choix d’un vecteur d’etat
Les equations dynamiques d’un reseau font apparaıtre les phases des tensions et les anglesrotoriques sous forme de differences (cf p.ex. les equations des transits de puissance dans lesbranches du reseau) ou sous forme de derivees (cf p.ex. equation du mouvement rotorique). Sil’on ajoute une meme constante arbitraire a tous les angles, l’etat electrique du systeme resteinchange.
127
Si l’on considere dans le vecteur d’etat x les angles rotoriques “absolus”4 δi, on constate quela matrice jacobienne Jdyn possede une valeur propre nulle. Ceci ne traduit pas le passageen instabilite du systeme mais seulement l’indetermination des angles que nous venons dementionner. Notons qu’en pratique, suite a des arrondis numeriques, cette valeur propre peutetre seulement proche de zero.
On peut supprimer cette valeur propre nulle en traitant des angles relatifs. Ainsi, pour un reseaua n machines, en prenant la n-eme comme reference, on considerera les angles rotoriquesrelatifs:
δin = δi − δn i = 1, . . . , n− 1 (21.75)
soit donc n − 1 variables d’etat angulaires. On peut aussi rapporter les angles a un “centred’inertie” du systeme.
En principe, une telle indetermination n’existe pas au niveau des vitesses rotoriques δi. Eneffet, ajouter une constante arbitraire a toutes les vitesses perturbe l’etat electrique du systemeau niveau des regulateurs de vitesse ou, le cas echeant, des termes d’amortissement presentsdans les equations du mouvement.
Cependant, si l’on est amene a considerer un modele simplifie dans lequel n’intervient au-cune vitesse δi (regulateurs de vitesse non representes, pas de terme d’amortissement dansles equations de mouvement rotorique), il faut s’attendre a voir apparaıtre une seconde valeurpropre nulle, en vertu du meme raisonnement que pour les angles.
Notons pour terminer que dans le cas ou le systeme comporte un jeu de barres infini, l’usagedes angles δi et des vitesses δi ne conduit pas a des valeurs propres nulles. En effet, en presenced’un jeu de barres infini, il n’est pas possible d’ajouter une constante arbitraire a ces variablessans perturber l’etat electrique du systeme.
4ce terme est impropre dans la mesure ou l’angle rotorique est deja la difference entre l’angle electrique et lemouvement uniforme correspondant aux synchronisme
128
21.6 Analyse modale
Les reseaux electriques sont des systemes de grande taille, comportant de nombreuses variablesd’etat. Les valeurs propres (ou modes) du systeme traduisent les interactions dynamiques entreses nombreux composants. Lorsqu’une instabilite ou un mode mal amorti prend naissance, lasimulation temporelle peut en reveler la presence mais il est tres malaise, voire impossible,d’en comprendre la cause a partir de la seule inspection des evolutions temporelles. Il estinteressant d’identifier le mecanisme de l’instabilite, c’est-a-dire en pratique:
• les variables d’etat qui participent le plus au mode indesirable
• les composants du systeme sur lesquels une action serait la plus efficace pour stabiliserle mode en question.
Nous montrons ci-apres comment l’information contenue dans les vecteurs propres peut etreutilisee a cet effet.
Signalons que la theorie qui suit est generale et s’applique a l’analyse de la stabilite aux petitesperturbations d’autres modeles que celui de la stabilite angulaire. On peut utiliser par exemplecette technique pour l’analyse de la stabilite de tension aux petites perturbations.
21.6.1 Decomposition modale de la reponse d’un systeme lineaire
Considerons le systeme lineaire decrit par:
x = Ax avec x(0) = xo (21.76)
Montrons d’abord que sa solution x(t) peut se metre sous la forme:
x(t) =∑i
(wTi xo)eλitvi (21.77)
ou vi (resp. wi) est le vecteur propre a droite (resp. a gauche) relative a la i-eme valeurpropre λi (i = 1, . . . , n) de la matrice A. Nous supposons que toutes les valeurs propres sontdistinctes.
Rappelons que vi et wi sont definis par:
Avi = λivi
wTi A = λiwTi ou encore ATwi = λiwi
ou tous les vecteurs sont des vecteurs-colonnes. Formons les matrices:
V =[
v1 . . . vn]
W =
wT1
. . .wTn
129
Le vecteur propre vi (resp. wi) est orthogonal aux vecteurs propres wj (resp. vj) relatifs autresvaleurs propres:
vTi wj = 0 ∀i �= j
et l’on peut toujours normaliser les vecteurs propres de telle facon que:
vTi wi = 1 ∀i
de sorte que l’on peut ecrire:V−1 = W W−1 = V
Les matrices V et W diagonalisent A :
V−1AV = WAV = diag(λi) = Λ
Considerons a present le changement de variables:
x� = Wx avec x�(0) = x�o = Wxo
La dynamique de x� est donnee par:
x� = Wx = WAx = WAVx� = Λx�
systeme dont la solution triviale est:
x�i = eλitx�0i
ou, sous forme matricielle:x� = eΛtx�o
Il en resulte que:
x = Vx� = VeΛtWxo
Or on a:
Wxo =
wT1 xo
. . .wTnxo
eΛtWxo =
eλ1twT1 xo
. . .eλntwTnxo
d’ou la relation (21.77). CQFD.
130
21.6.2 Mode shape
Soit λo le mode du systeme que l’on desire analyser. Considerons la condition initiale partic-uliere:
xo = avo
ou vo est le vecteur propre a droite relatif a λo. La relation (21.77) donne:
x(t) = a(wTo vo)eλotvo = aeλotvo = xoe
λot
Le systeme evolue donc dans la direction de sa condition initiale et la reponse dynamique necontient que le mode en question. L’amplitude relative des termes de vo indique donc quellesvariables d’etat participent le plus au mode λo.
Notons toutefois que les composantes de vo se rapportent a des variables de natures differentes.Il semble assez malaise de comparer l’importance relative de flux, d’angles, de positions devannes, etc. . . En pratique, on se limite donc a la comparaison des composantes de vo relativesa des variables d’etat de meme nature, typiquement les angles rotoriques. On designe sous lenom de mode shape le diagramme dans le plan complexe des composantes de vo relatives auxdifferents angles rotoriques.
Ainsi, par exemple, un dephasage de 180 (resp. 90) degres entre les composantes [vo]i et [vo]jindique que les angles rotoriques correspondants oscillent en opposition de phase (resp. enquadrature).
21.6.3 Application: modes d’oscillation des grands reseaux
A partir de l’analyse des modes shapes, on peut classer les modes d’oscillation des grandsreseaux grosso modo en trois categories:
1. les modes locaux : il s’agit d’oscillations rotoriques impliquant un petit nombre degenerateurs. Citons principalement:
• l’oscillation du rotor d’un generateur vis-a-vis du reste du systeme. La situation estsimilaire a celle d’une machine vis-a-vis d’un reseau infini;
• l’oscillation en opposition des rotors de deux machines proches, p.ex. situees dansune meme centrale.
La frequence des modes locaux se situe typiquement entre 0.5 et 2 Hz;
2. les modes globaux ou interregionaux5: il sont associes a l’oscillation des rotors desgenerateurs d’une region par rapport a ceux d’une autre region, faiblement couplee ala premiere (p.ex. peu de lignes d’interconnexion). Par rapport aux modes locaux, lesmodes globaux ont des frequences d’oscillation plus basses, typiquement de 0.1 a 0.5 Hzet les “mecanismes” en jeu sont beaucoup plus complexes;
5en anglais: interarea modes
131
3. les modes relatifs a une regulation: ils sont associes au mauvais reglage d’un regulateurde tension ou de vitesse, d’un compensateur statique, etc. . .
21.6.4 Facteurs de participation
Considerons a present la condition initiale particuliere qui consiste a n’exciter que la k-emevariable d’etat:
xo = aek
ou ek est un vecteur unite. La formule (21.77) donne:
x(t) = a∑i
(wTi ek)eλitvi = a
∑i
(wi)k eλitvi
et la k-eme variable d’etat evolue selon :
xk(t) = a∑i
(wi)k eλit(vi)k = a
∑i
[(wi)k(vi)k]︸ ︷︷ ︸Pki
eλit
L’expression Pki est appelee facteur de participation du i-eme mode a l’evolution de la k-emevariable d’etat. Les matrices V et W etant l’inverse l’une de l’autre, la formule ci-dessusmontre que cette grandeur est sans dimension.
Les coefficients de participation peuvent etre regroupes dans une matrice de participation Ptelle que:
[P]ij = Pij
La j-eme colonne de la matrice P indique comment la j-eme valeur propre participe a l’evolutiondes diverses variables d’etat tandis que la i-eme ligne indique comment les differentes valeurspropres participent a l’evolution de la i-eme variable d’etat. Si une oscillation instable ou malamortie correspond a une valeur propre λo, les termes de plus grande amplitude de la colonnerelative a cette valeur propre indiquent quelles variables d’etat sont le plus impliquees dans lemode indesirable.
Avec les vecteurs propres normalises comme indique plus haut, on montre aisement que lasomme des termes d’une colonne (resp. d’une ligne) de P vaut 1. On peut egalement nor-maliser la j-eme colonne (resp. la i-eme ligne) de P en divisant ses termes par maxi |Pij|(resp. maxj |Pij|).
21.6.5 Sensibilite d’une valeur propre a un parametre
En vue de stabiliser une valeur propre λo, il peut etre interessant de calculer sa sensibilite a unparametre p. Cette sensibilite est reliee a la notion de facteur de participation, comme indiqueci-apres.
132
Determinons d’abord la sensibilite de λo au terme Aij de la matrice d’etat A. Partant de:
Avo = λovo
on a:∂A
∂Aijvo + A
∂vo∂Aij
=∂λo∂Aij
vo + λo∂vo∂Aij
(21.78)
ou:∂A
∂Aij= eie
Tj
Premultipliant (21.78) par wTo , il reste:
wTo eieTj vo =
∂λo∂Aij
wTo vo =∂λo∂Aij
soit:∂λo∂Aij
= (wo)i(vo)j (21.79)
On voit que le facteur de participation Pij s’interprete aussi comme la sensibilite de la j-emevaleur propre au terme diagonal Aii.
Finalement, la sensibilite de λo a un parametre p s’obtient comme suit:
∂λo∂p
=∑i
∑j
∂λo∂Aij
∂Aij∂p
=∑i
∑j
(wo)i(vo)j∂Aij∂p
=∑i
(wo)i(∂A
∂pvo)i = wTo
∂A
∂pvo (21.80)
21.6.6 Localisation optimale d’un stabilisateur au moyen des facteurs departicipation
Le mouvement du rotor de la i-eme machine est decrit par:
2HiωN
ωi + Di ωi = Tmi − Tei
ou Di est un coefficient d’amortissement introduit pour les besoins de l’analyse. Cette equationpeut se mettre sous la forme:
ωi = −DiωN2Hi
ωi +ωN2Hi
(Tmi − Tei)
Supposons que ωi soit la @-eme variable d’etat du systeme. Le terme diagonal (@, @) de lamatrice jacobienne vaut:
A�� = −DiωN2Hi
133
La formule (21.80) fournit la sensibilite du mode λo a l’amortissement Di :
∂λo∂Di
= (wo)�(vo)�∂A��∂Di
= − ωN2Hi
P�o
Ce resultat permet de tirer les conclusions suivantes:
• ajouter de l’amortissement sur la i-eme machine deplacera le pole λo dans la directiondonnee par la phase de −P�o
• le mode sera d’autant plus stabilise que P�o est proche d’un nombre reel positif
• par contre, si re(P�o) est negatif, l’amortissement a un effet negatif sur le mode λo !
• nous avons vu que le role d’un stabilisateur est d’ameliorer l’amortissement des oscil-lations rotoriques. Si l’on desire stabiliser le mode λo au moyen d’un stabilisateur, lamachine la plus indiquee est celle pour laquelle le rapport re(P�o/Hi) est le plus eleve.
21.7 Design d’une regulation par la methode des residus
21.7.1 Commandabilite et observabilite d’un mode
Considerons un regulateur observant une grandeur y et agissant sur une commande u (cf fig.21.23).
Remarque. Le developpement des telecommunications (p.ex. mesures de phase) permetd’envisager l’utilisation de mesures en provenance de differents points eloignes du reseau.Neanmoins, pour des raisons de fiabilite, la preference sera toujours donnee a un regulateurpouvant utiliser des mesures y disponibles dans le poste ou il se situe.
régulateur
systèmes
K G(s)
yu
+
F (s)λj
Figure 21.23: ensemble systeme-regulateur et fragment du lieu des poles
134
Le systeme, linearise autour d’un point d’equilibre, est decrit par:
x = Ax + bu
y = cTx + du
En utilisant le changement de variables de la section 21.6.1:
x� = Wx
et en remplacant x par W−1x� dans les equations ci-dessus on obtient:
W−1x� = AW−1x� + bu
y = cTW−1x� + du
et donc:
x� = WAW−1x� + Wbu = Λx� + Wbu
y = cTVx� + du
ou Λ = diag(λi) est la matrice diagonale des valeurs propres du systeme, que nous supposonstoutes distinctes.
On en deduit que:
• le i-eme mode est commandable via u ssi (Wb)i �= 0 ⇔ wTi b �= 0
• le i-eme mode est observable via y ssi (cTV)i �= 0 ⇔ cTvi �= 0
21.7.2 Fonction de transfert et residus
Soit F (s) la fonction de transfert entre l’entree u et la sortie y (cf fig. 21.23). On peut aisementrelier F (s) aux grandeurs ci-dessus:
F (s) = cTV (sI − Λ)−1 Wb + d
=[
cTv1 . . . cTvn]diag
(1
s− λi
)wT1 b
...wTnb
+ d
=∑i
cTviwTi b
s− λi+ d
=∑i
Ris− λi
+ d (21.81)
Ri est le residu relatif au i-eme mode. On voit d’un residu faible indique que le mode est soitpeu observable, soit peu commandable par le regulateur.
135
Mathematiquement, un residu est faible lorsqu’un zero de la fonction de transfert F (s) estproche du pole considere. En effet, en vertu de (21.81) on a:
Ri = lims→λi
(s− λi)F (s)
et en mettant F (s) sous forme d’une fraction rationnelle:
Ri = lims→λi
(s− λi)
∏mk=1(s− zk)∏nj=1(s− λj)
= lims→λi
∏mk=1(s− zk)∏nj �=i(s− λj)
Cette expression est d’autant plus faible d’un zero zi est proche de λi.
21.7.3 Synthese d’un regulateur a partir des residus
Considerons finalement le systeme de la figure 21.23 en boucle fermee. Notre objectif est dechoisir K et G(s) de maniere a stabiliser un mode indesirable λj .
La fonction de transfert en boucle fermee est:
F (s)
1 −KF (s)G(s)
Soit s un pole du systeme en boucle fermee. s satisfait la relation:
1 −KF (s)G(s) = 0
soit, en remplacant F (s) par son expression (21.81):
1 −K
[∑i
Ris− λi
+ d
]G(s) = 0
et en distinguant le mode a stabiliser λj des autres modes:
1 −K∑i�=j
Ris− λi
G(s) −KRj
s− λjG(s) −KdG(s) = 0 (21.82)
Dans le lieu des poles en boucle fermee (ou lieu d’Evans) il existe une branche partant de λj(puisque ce dernier figure parmi les poles du systeme en boucle ouverte). Considerons un poles situe sur cette branche. Lorsque K decroıt et s’approche de zero, s tend vers λj, tandis queles deuxieme et quatrieme termes de (21.82) s’annulent. Il reste donc:
1 − Rj G(λj) limK→0
K
s− λj= 0
soit encore:
limK→0
s− λjK
= Rj G(λj)
136
Le membre de gauche de cette relation est un nombre complexe auquel correspond, dans leplan complewe, un vecteur tangent, en λj, a la branche du lieu d’Evans emanent de λj. Or,pour que la stabilisation soit maximale, il faut precisement que cette branche quitte λj sous unangle de 180 degres. En d’autres termes, on doit avoir:
Rj G(λj) = reel negatif
Pour atteindre cet objectif, il faut choisir G(s) de telle sorte que:
� G(λj) = ± 180o − � Rj (21.83)
Notons toutefois que ce resultat n’est valable que pour de petites variations de K : au fur et amesure que K augmente, la branche du lieu d’Evans peut s’incurver et repartir vers le demi-plan complexe de droite. Par ailleurs, au fur et a mesure que K augmente, les autres modes (enparticulier des modes initialement acceptables) peuvent se deplacer vers la droite. C’est le casen particulier si des zeros de F (s) sont situes dans un voisinage indesirable de l’axe imaginaire,voire dans le demi-plan de droite.
En pratique, apres avoir choisi G(s) de maniere a satisfaire (21.83), on augmentera donc pro-gressivement K en surveillant le mouvement de tous les poles et en choisissant la valeur quiprocure le meilleur compromis.
21.8 Appendice 1 : etablissement du modele (21.32)
Considerant que
L′d = Ld −
L2fd
Lff=⇒ Lfd
Lff=
Ld − L′d
Lfd=
Xd −X′d
ωNLfd
et queLffRf
= T′do
l’equation (21.24) se met sous la forme :
d
dtψf = vf − 1
T′do
ψf +1
k(Xd −X
′d)id (21.84)
ou on a pose
k =ωNLfdRf
coefficient qui vaut simplement 1 quand on prend comme tension (resp. courant) de base del’enroulement d’excitation, la tension (resp. le courant) qui donne a vide, au stator, une tensiond’1 per unit.
137
De la meme facon, l’equation (21.21) peut etre reecrite sous la forme :
vq = X′did +
k
T′do
ψf (21.85)
On tire de (21.20) et (21.85):
iq = − vdXq
(21.86)
id =vq − kψf/T
′do
X′d
(21.87)
qui, introduites dans (21.30, 21.31), donnent:
vd = − XqV∞Xe + Xq
sin δ (21.88)
vq =X
′dV∞
Xe + X′d
cos δ +kXe
(Xe + X′d)T
′do
ψf (21.89)
tandis qu’en revenant a (21.86, 21.87), on trouve:
iq = − V∞Xe + Xq
sin δ (21.90)
id =V∞
Xe + X′d
cos δ − k
(Xe + X′d)X
′d
ψf (21.91)
En introduisant l’expression (21.90) dans (21.84) on trouve:
d
dtψf = vf − 1
T′do
Xe + XdXe + X
′d
ψf +V∞k
Xd −X′d
Xe + X′d
cos δ (21.92)
On obtient directement l’expression de V par:
V =√v2d + v2
q =
[X2qV
2∞ sin2 δ
(Xe + Xq)2+
(V∞X′d cos δ + kXeψf/T
′do)
2
(Xe + X′d)
2
]1/2
En ce qui concerne le couple electromagnetique, on a:
Te =1
ωN(vdid + vqiq) = (X
′d −Xq)idiq +
k
T′do
ψf iq
En remplacant id et iq par leurs expressions (21.90) et (21.91), cette expression devient:
Te =kV∞
ωNT′do(Xe + X
′d)ψf sin δ +
1
2
(X′d −Xq)V
2∞
ωN(Xe + Xq)(Xe + X′d)
sin 2δ
138
21.9 Appendice 2. Fonctions de transfert de filtres (rappel)
21.9.1 Filtre a avance-retard de phase
Un filtre a avance-retard de phase est realise par la fonction de transfert:
G(s) =1 + sατ
1 + sτ
ou α > 1 (resp. α < 1) dans le cas du filtre a avance (resp. retard) de phase.
Le diagramme de Bode (approxime par ses asymtotes pour l’amplitude), du filtre a avance dephase est donne a la figure 21.24.
ωm� G◦
φm
1ατ
ωm1τ
ω
ω1τ
1ατ
20 db / decade
20 log10 α
|G|db
Figure 21.24: diagramme de Bode de la fonction de transfert avance/retard
La pulsation ωm, pour laquelle la phase est maximale, est reliee aux parametres α et τ par:
ωm =1
τ√α
Cette avance maximale vaut:
φm = arcsinα− 1
α + 1
d’ou on tire:
α =1 + sin φm1 − sinφm
139
21.9.2 Filtre passe-haut
Un filtre passe-bas est realise par la fonction de transfert
G(s) =s
s + c
dont le diagramme de Bode (approxime par les asymptotes), est donne a la figure 21.25.
ω
|G|db
0 c ω
20 db/decade
� G◦
0 c 10c
45◦/ decade
Figure 21.25: diagramme de Bode du filtre passe-bas
Comme on le voit, ce filtre empeche les basses frequences de passer. La phase est nulle et legain unitaire pour une pulsation superieure a 10 c.
140
Chapitre 22
Stabilite transitoire angulaire
Ce chapitre est consacre a la stabilite angulaire vis-a-vis de grandes perturbations. Il est centresur l’etude du systeme machine synchrone - reseau infini, avec modele classique. Une foisencore, ce systeme simple admet un traitement analytique complet, est riche en enseignementset constitue une excellente introduction a l’analyse de systemes plus complexes.
22.1 Etude du systeme machine - reseau infini
22.1.1 Modelisation
Nous considerons un systeme compose d’une machine, d’un reseau, de charges et d’un jeu debarres infini (cf figure 22.1.a).
Zeq
∞X ′
E′ � δ Eeq � 0E′ � δ
a b
Figure 22.1: systeme machine - reseau infini
Nous allons nous interesser a la stabilite de la premiere oscillation (cf section 20.1.1), c’est-a-dire au comportement dans l’intervalle de temps d’une ou deux secondes qui suit une per-
141
turbation. Dans ces conditions, nous avons vu a la section 14.4 que la machine pouvait etreraisonnablement bien representee par le modele “classique”, cad une f.e.m. d’amplitude con-stante E
′derriere reactance transitoire X
′(= X
′d = X
′q). Dans un premier temps, nous sup-
poserons la puissance mecanique Pm constante.
Nous representons les charges par des impedances constantes.
Dans ces conditions, on peut remplacer le reseau, les charges et le jeu de barres infini par unschema equivalent de Thevenin aux bornes de la machine. Une mise en serie de la reactanceX
′avec l’impedance de Thevenin fournit finalement le schema de la figure 22.1.b.
Nous prenons la f.e.m. de Thevenin comme reference des phases et nous notons δ la phase dela fem E
′par rapport a cette reference. Nous avons montre que δ est une image de la position
du rotor par rapport a une reference synchrone et que le mouvement du rotor peut etre decritpar (cf section 14.4):
Md2δ
dt2= Pm − P (22.1)
dans laquelle on a pose M = 2H/ωN .
Definissons:
Yeq =1
Zeq= Geq + j Beq = Yeq e
jη
En pratique, on a:
− π
2≤ η ≤ 0
La puissance electrique fournie par la machine vaut:
P = re (E ′I∗) = re [E′ejδY ∗eq(E
′e−jδ −Eeq)] = GeqE′2 − YeqE
′Eeq cos (δ − η) (22.2)
22.1.2 Points d’equilibre et configurations du reseau
La fonction P (δ) est representee a la figure 22.2. Cette courbe est semblable a celle de la figure21.2, sauf qu’ici c’est la reactance transitoire et non la reactance synchrone de la machine quiintervient dans l’expression de P (δ).
Le point de fonctionnement stable du systeme correspond a l’angle δo.
Dans ce chapitre, nous considerons l’effet d’une perturbation importante, typiquement uncourt-circuit. Dans ce contexte, nous considerons trois configurations successives du reseau:
• la configuration “avant defaut”, designee par le symbole v;
• la configuration “pendant defaut”, designee par le symbole d;
• la configuration “apres defaut”, designee par le symbole p et caracterisee typiquement parle retrait d’une ligne du reseau, suite a l’ouverture de ses protections lors de l’eliminationdu defaut.
142
δ
ν = η + arccosGeq E
′
Yeq Eeq
δ0
Pm
ν
P (0)
P (δ)
P (0) = Geq E′ (E
′ − Eeq)
Figure 22.2: courbe δ − P
La sequence ci-dessus est la plus typique mais on pourrait egalement considerer:
• une sequence plus simple: p.ex. defaut “fugitif”, elimine naturellement. Les configura-tions p et v sont alors identiques;
• une sequence plus complexe: p.ex. scenario avec reenclenchement automatique, qui encas de succes, ramene le systeme dans sa configuration avant defaut.
Notons que les developpements qui suivent s’appliquent a un nombre quelconque de configu-rations.
A chaque configuration est associe un schema equivalent de Thevenin et donc une fonctionP (δ) differente. Par hypothese, Pm et E ′ demeurent constants dans les differentes configura-tions.
Nous supposerons que le systeme possede:
• un point d’equilibre stable avant defaut (δov, ωov = 0);
• un point d’equilibre stable apres defaut (δop, ωop = 0).
S’il n’avait pas de point d’equilibre stable apres defaut, les developpements qui suivent seraientsans objet: il y aurait de toute facon instabilite.
La figure 22.3 reprend les courbes P (δ) dans les trois configurations successives. La positionrelative des courbes est realiste dans la mesure ou la situation pendant defaut correspond a unecapacite de transmission de puissance considerablement reduite, voire nulle, et la configurationfinale est deforcee par rapport a la configuration initiale suite a la perte d’un equipement detransport.
143
Adec
Aacc
P
Pm = P (0−)
P (0+)
δov δeδop δδip
Figure 22.3: critere des aires
Nous supposons que le defaut survient en t = 0. Nous designons par te le temps d’eliminationdu defaut, c’est-a-dire le temps apres lequel le systeme passe de la configuration d a la config-uration p. Nous notons δe la valeur de l’angle δ au temps te.
22.1.3 Le critere des aires
Dans ce qui suit, nous allons analyser la stabilite du systeme par une approche “energetique”.
A cet effet, multiplions (22.1) par δ :
M δ δ = [Pm − P (δ)] δ
et integrons par rapport au temps, ce qui donne successivement:
1
2Mδ2 −
∫ t0
[Pm − P (δ)] δ dt = C
1
2Mδ2 +
∫ δδ0v
[P (u) − Pm]du = C
ou C est une constante. Dans la seconde equation, le premier terme du membre de gauchepeut s’interpreter comme une energie cinetique Vc(t) et le second terme comme une energiepotentielle Vp(t). L’equation traduit la conservation de l’energie pour ce systeme non dissipatif(on a neglige tout amortissement).
L’energie potentielle est definie a une constante pres et il est plus utile pour ce qui suit deconsiderer qu’elle est nulle en δ0
p plutot qu’en δ0v , ce qui conduit a:
1
2Mδ2 +
∫ δδ0p
[P (u) − Pm]du = C +∫ δ0vδ0p
[P (u) − Pm]du︸ ︷︷ ︸C′
(22.3)
144
Les figures 22.4.a et b montrent la puissance electrique et l’energie potentielle en fonction deδ, tandis que la figure 22.4.c montre des trajectoires du systeme dans l’espace de phase (δ, δ).On notera que ces trois figures sont relatives a la configuration finale (p) du systeme.
C’
D’
A C
δip
D
c
δ
δ0v δ0
p
B
b
δ0p δip
δ
a
δ
δipδ0p
Pm
P (δ)
δ
Vp(δ)
Figure 22.4: puissance electrique, energie potentielle et espace de phase
A la figure 22.4.c, le point A correspond a la configuration avant defaut, tandis que le tronconAB est la trajectoire du systeme pendant le defaut. Le point B correspond au temps te d’elimina-tion du defaut.
145
Si te n’est pas trop eleve, la trajectoire pour t > te est une courbe fermee, passant par B, lelong de laquelle:
∀t > te : Vc(t) + Vp(t) = Vc(te) + Vp(te) = C′
(22.4)
Aux points C et C’, l’energie potentielle est maximale et l’energie cinetique nulle. En D et D’,c’est l’inverse.
Pour des temps te croissants, la constante C′
intervenant dans (22.4) augmente et les courbessatisfaisant a cette equation “s’emboıtent” progressivement jusqu’a passer par le point d’equili-bre instable (δip, 0), a partir duquel elles ne sont plus fermees.
Le probleme de la stabilite transitoire est de savoir si, dans l’espace de phase, le point represen-tatif du systeme a l’instant ou l’on entre dans la configuration finale, se situe dans le do-maine d’attraction du point d’equilibre correspondant. La figure 22.4.c montre que le domained’attraction en question est l’interieur de la trajectoire limite passant par le point d’equilibreinstable (δip, 0). Il en resulte que le systeme est stable si et seulement si l’energie totale qu’ila en t = te est inferieure a celle correspondant au point d’equilibre instable, c’est-a-dire si etseulement si:
1
2Mδ2
e +∫ δeδ0p
[P (u) − Pm]du <∫ δipδ0p
[P (u) − Pm]du (22.5)
Pour une energie superieure, la trajectoire s’eloignerait indefiniment du point d’equilibre et lamachine perdrait le synchronisme.
En fait, pour analyser la stabilite, il n’est pas necessaire de passer par l’espace d’etat, ni memepar l’energie potentielle Vp. En effet, en evaluant (22.3) en t = 0 et t = te respectivement, ontrouve: ∫ δ0v
δ0p
[P (u) − Pm]du =1
2Mδ2
e +∫ δeδ0p
[P (u) − Pm]du = C′
et substituant dans (22.5), on obtient:
∫ δ0vδ0p
[P (u) − Pm]du <∫ δipδ0p
[P (u) − Pm]du
soit: ∫ δ0vδip
[P (u) − Pm]du < 0
ou encore: ∫ δipδ0v
[Pm − P (u)]du < 0 (22.6)
qui s’ecrit simplement:Aacc < Adec
ou Aacc est l’aire “acceleratrice”, correspondant a la partie de la courbe P (δ) sous l’horizon-tale P = Pm (cf. fig. 22.3)
Adec est l’aire “deceleratrice”, correspondant a la partie de cette courbe au-dessus del’horizontale P = Pm.
146
La relation ci-dessus est usuellement designee sous le nom de critere des aires. L’egalite desaires acceleratrice et deceleratrice correspond a la limite de stabilite du systeme vis-a-vis de laperturbation consideree.
22.1.4 Temps critique d’elimination d’un defaut
Le temps critique d’elimination d’un defaut est le temps maximum tc pendant lequel le defautpeut durer sans compromettre la capacite du systeme a retourner a l’equilibre.
Designons par δc l’angle rotorique a l’instant tc (“angle critique”). Cet angle peut etre determinecomme suit a partir du critere des aires. En considerant le cas limite de l’egalite dans (22.6) eten decomposant l’intervalle de variation, on peut ecrire:
∫ δcδov
[Pm − P (δ)] dδ +∫ δipδc
[Pm − P (δ)] dδ = 0 (22.7)
Remplacant P par les expressions du type (22.2) adaptees a chaque configuration, la relation(22.7) fournit une equation non lineaire en δc. La resolution par voie numerique (iterationsfonctionnelles, Newton, etc. . . ) est aisee.
δc etant connu, il reste a determiner le temps tc ou δ atteint cette valeur. Ceci requiert d’integrerl’equation du mouvement. Sauf dans des cas simples (p.ex. P = 0), il n’existe pas de solu-tion analytique explicite aux equations (22.1, 22.2). Il faudra donc recourir a l’integrationnumerique pour determiner l’instant tc tel que δ(tc) = δc.
L’integration numerique de (22.1, 22.2) ne pose pas de probleme particulier. Diverses methodesnumeriques conviennent, par exemple la methode explicite que voici:
δn+1 = δn + ωn∆t +1
2
Pm − P (δn)
M∆t2 (n = 0, 1, 2, . . .)
ωn+1 = ωn +Pm − P (δn)
M∆t
ou ∆t est le pas d’integration. Les conditions initiales imposent δo = δo et ωo = 0.
Lors d’un changement de configuration du reseau, la fonction P change de maniere discontinuemais les variables d’etat δ et ω restent continues. Supposant que le changement de configura-tion coıncide avec l’instant d’integration tn, on utilise la nouvelle fonction P pour passer de tna tn+1. Si necessaire, il y a lieu d’effectuer un pas tn− tn−1 plus petit pour aboutir exactementa l’instant du changement de configuration specifie.
Exemple numerique. On considere l’equation du mouvement
δ = 54.795 − 64.11 sin δ avec δo = 0.3159 rad
On recherche le temps tc ou δ atteint la valeur δc = 0.698 rad (resp. δc = 2.409 rad). Le tableauci-apres montre l’influence du pas de temps ∆t dans les deux cas.
147
Si l’on considere que le temps tc doit etre connu avec une precision de 0.01 s, on voit que pourδc = 0.698, un pas ∆t de 0.01 s suffit puisqu’une diminution de ce dernier n’apporte plus demodification significative. Pour δc = 2.409, un pas ∆t de 0.001 s suffit. Le tableau indique lenombre de pas, considerant que l’integration est arretee des que la valeur δc est depassee, lavaleur de tc etant determinee par interpolation sur les deux derniers points calcules.
∆t δc = 0.698 nbre de pas δc = 2.409 nbre de pas0.1 tc = 0.144 2 tc = 0.451 5
0.01 0.156 16 0.584 590.001 0.157 158 0.605 606
0.0005 0.157 315 0.607 1214
22.1.5 Indice de robustesse vis-a-vis d’une perturbation
Il existe differentes facons de caracteriser la robustesse d’un reseau vis-a-vis d’une perturba-tion. Le temps critique d’elimination du defaut est une maniere de proceder.
Le critere des aires suggere egalement l’indice:
η =Adec − Aacc
Aacc(22.8)
η fournit une marge (normalisee) a l’instabilite. La figure 22.5.a montre qualitativement l’evolu-tion de η avec le temps te d’elimination du defaut (dicte par le fonctionnement des protections).
η
sursur
te = τ
te
b
PmPmaxm
dangereux
η
a
tc
dangereux
Figure 22.5: evolution de l’indice η avec le temps d’elimination et la puissance mecanique
En pratique, on prefere souvent determiner la marge a l’instabilite en recherchant la valeurmaximale d’un parametre relatif au point de fonctionnement pre-incident, par exemple la pro-duction de puissance d’un site, le transfert de puissance dans un “corridor” de lignes de trans-port, etc. . . A titre illustratif, la figure 22.5.b considere l’evolution de η avec la production Pm,pour un temps d’elimination te fixe (conforme aux caracteristiques des protections).
148
22.1.6 Extensions du critere des aires
Prise en compte d’un amortissement
En presence d’amortissement, dans les cas stables, la stabilite devient asymptotique.
En theorie, le critere d’egalite des aires donne des resultats pessimistes en termes d’anglecritique δc ou de temps critique tc. En effet, en presence d’amortissement, on peut admettre unangle critique δc et un temps critique tc plus grands.
En pratique, l’amortissement contribue relativement peu a la stabilite de la premiere oscillation.Il concerne essentiellement les oscillations ulterieures et requiert evidemment un modele plusprecis que le modele classique.
Systeme bi-machine
Un systeme incluant deux machines d’inerties finies peut etre etudie via un systeme machine-reseau infini equivalent. En effet, partant de
M1δ1 = Pm1 − P1(δ1 − δ2)
M2δ2 = Pm2 − P2(δ1 − δ2)
on etablit aisement:
δ1 − δ2 =Pm1
M1− Pm2
M2−(P1(δ1 − δ2)
M1− P2(δ1 − δ2)
M2
)(22.9)
Posant:
M12 =M1M2
M1 + M2
δ12 = δ1 − δ2
Pm12 =Pm1M2 − Pm2M1
M1 + M2
P12 =P1(δ12)M2 − P2(δ12)M1
M1 + M2
l’equation (22.9) s’ecrit:M12 δ12 = Pm12 − P12(δ12) (22.10)
Cette equation est bien celle d’un systeme machine-reseau infini. Elle s’applique a une machinefictive d’inertie M12 et de puissance mecanique Pm12. La fonction P12(δ12) a toujours l’allurerepresentee a la figure 22.2.
Si M1 = M2 = M/2, on a M12 = M/2 : deux machines de meme inertie se comportent l’unevis-a-vis de l’autre comme une machine d’inertie moitie moindre vis-a-vis d’un reseau infini.
149
22.2 Amelioration de la stabilite transitoire angulaire
Le critere des aires permet de tirer bon nombre d’enseignements quant a la maniere d’ameliorerla stabilite transitoire angulaire d’un reseau.
22.2.1 Reenclenchement automatique des lignes
La figure 22.6 montre le benefice du reenclenchement de la ligne touchee par un court-circuit,apres elimination de ce dernier. Le systeme est ramene a sa configuration initiale. Ceci procurel’aire deceleratrice supplementaire FGHI. Il en resulte par exemple un angle critique δc (voirfigure) et un temps critique d’elimination du defaut tc plus eleves.
En pratique le delai minimum de reenclenchement est dicte par le recouvrement des proprietesisolantes de l’air. On peut citer un ordre de grandeur de 0.5 seconde.
F
D
C
I
P
A H
G
E
B
δc δip δ
Figure 22.6: influence du reenclenchement automatique sur la stabilite transitoire
22.2.2 Reinsertion rapide des condensateurs serie
Dans les systemes ou l’on utilise cette forme de compensation, la reinsertion rapide des con-densateurs serie, shuntes pour eviter un endommagement par les courants de defaut, a fonda-mentalement le meme effet que le reenclenchement des lignes evoque precedemment.
150
22.2.3 Fast valving
Dans la majeure partie des cas, l’apparition d’un court-circuit au voisinage d’une machine apour effet de faire tomber brusquement le couple electromagnetique de celle-ci et de creer undesequilibre entre couples mecanique et electromagnetique qui accelere le rotor. Le principedu fast valving est de diminuer tres rapidement le couple mecanique fourni par la turbine, demaniere a limiter cette acceleration.
Le principe est illustre a la figure 22.7. Apres apparition du court-circuit, l’angle rotorique δcroıt tandis que sous l’effet du fast valving, la puissance mecanique Pm decroıt. Si l’on portePm en fonction de δ, en eliminant le temps, on obtient la courbe decroissante indiquee sur lafigure.
P
Pm
GD
E
A
B
C HF
δ
δipδHδc
Figure 22.7: effet du fast valving (1)
La figure 22.7 correspond a la limite d’egalite des aires acceleratrice et deceleratrice; δc estl’angle critique. Par rapport au cas ou Pm est constant, on observe:- une legere diminution de l’aire acceleratrice (ABCD): en pratique, le delai d’action du fastvalving ne permet quasiment pas d’agir pendant la duree du court-circuit;- une augmentation notable de l’aire deceleratrice (DEF): c’est surtout dans la configurationapres defaut que l’on recueille les avantages de la technique.
Un inconvenient du fast valving est l’apparition d’une oscillation rotorique en retour. Sup-posons a la figure 22.7 que le defaut ait ete elimine en un temps tel que l’angle rotorique atteintla valeur maximale δH (inferieure a δip correspondant au point d’equilibre instable F). La figure22.8 explique le mouvement en retour de la machine. Les points G et H de la figure 22.7 ontete reportes. Si l’on suppose que la puissance mecanique continue a decroıtre selon la courbeen trait continu, le mouvement en retour du rotor s’arretera en δJ , ou l’aire deceleratrice GHIaura ete compensee par l’aire acceleratrice IJK. Cette excursion rotorique s’accompagne d’une
151
absorption de puissance par le generateur. La courbe en pointille montre que si l’on pouvaitreaugmenter rapidement la puissance mecanique Pm, l’aire deceleratrice et donc le mouvementen retour du rotor seraient moindres.
Cette oscillation en retour peut conduire dans certains cas a une instabilite lors d’une oscil-lation ulterieure. C’est le cas notamment lorsque la puissance mecanique est restauree a savaleur initiale alors que le systeme se trouve en un point tel que J a la figure 22.8, ou l’energieacceleratrice est importante. La presence dans le regulateur de tension d’un stabilisateur permetd’amortir ces oscillations.
Mentionnons que dans certains cas, la puissance mecanique Pm n’est pas ramenee a sa valeurinitiale car on craint que la configuration apres defaut soit a ce point deforcee qu’il n’y ait pasde point d’equilibre pour une telle valeur de Pm.
I
Pm
δJ
J
P
δ
G
H
K
Figure 22.8: effet du fast valving (2)
La figure 22.7 montre que la diminution de la puissance mecanique doit etre assez rapidepour que l’aire deceleratrice soit suffisamment augmentee. Ceci requiert d’agir en moins d’unedemi-seconde. Un temps de reponse aussi court n’est pas possible avec une turbine hydrauliquea cause de l’inertie de l’eau et de la force requise pour manoeuvrer les vannes d’admission. Lefast valving se pratique donc essentiellement sur les turbines a vapeur.
Le temps d’action du fast valving se situe entre 0.1 et 0.4 seconde. Ce delai comporte: (i) letemps requis pour prendre la decision de fermer les soupapes, avec une selectivite correcte (pasde declenchement intempestif du dispositif); (ii) le temps de fermeture proprement dit.
Il est a remarquer que la regulation de vitesse usuelle ne permet pas d’atteindre l’objectifrecherche. En effet, a cause de l’inertie du rotor, le temps mis par la vitesse a atteindre un
152
seuil significatif est trop long vis-a-vis du delai requis pour diminuer la puissance mecanique1.Les signaux utilises pour le fast valving sont l’acceleration rotorique, le taux de variation dela puissance electrique ou la difference entre la puissance electrique et une pression de vapeur,image de la puissance mecanique. Le fast valving se presente donc comme une commande enboucle ouverte, par tout ou rien; les seuils d’action sont choisis au terme d’etudes se fondantsur de nombreuses simulations temporelles. Ces dernieres doivent couvrir toutes les conditionsde fonctionnement possibles de la centrale et du reseau.
La fermeture des vannes se fait en vidant les servo-moteurs de l’huile sous pression qu’ilscontiennent (la regulation de vitesse normale est “court-circuitee” par cette action). La vitessede fermeture est nettement superieure a ce qu’on admet en fonctionnement normal. Comptetenu de l’important volume de vapeur accumule dans le resurchauffeur (cf chapitre 15.1), ilimporte de fermer les soupapes d’interception. Pour eviter de solliciter mecaniquement lesservo-moteurs, les soupapes doivent rester fermees pendant un temps minimum (de l’ordre dequelques dixiemes de seconde), meme si le signal qui a declenche le fast valving retombe avantce delai.
On distingue le fast valving temporaire, ou la puissance mecanique revient a sa valeur ini-tiale, du fast vaving soutenu, ou elle reste a un niveau inferieur. Meme dans le second cas, leprocede offre l’avantage de conserver la machine synchronisee sur le reseau alors qu’en casde declenchement par perte de synchronisme la procedure de remise en service peut etre treslongue.
Le fast valving temporaire est generalement realise en fermant completement les soupapesd’interception pendant un court instant puis en les rouvrant, comme represente a la figure22.9.a, qui montre l’evolution de la variable zSI definie a la figure 15.2.
Dans le cas du fast valving soutenu, la fermeture rapide des soupapes d’interception est suivieplus lentement par une fermeture partielle mais definitive des soupapes de reglage, commerepresente a la figure 22.9.b (variable zSR). Apres un court laps de temps, les soupapesd’interception sont re-ouvertes.
b
zSR
Pm
zSI
tt
Pm
zSI
a
Figure 22.9: puissance mecanique et position des vannes durant le fast valving
1il ne faut donc pas confondre le fast valving avec une protection de survitesse
153
Le temps de reouverture est tres variable d’une installation a l’autre et peut aller d’1 a 10secondes, voire davantage. La vitesse de reouverture est souvent limitee dans le but de nepas solliciter la turbine. Cette limitation conduit toutefois a une oscillation rotorique en retourimportante, comme mentionne plus haut.
22.2.4 Rejet de production
Le rejet de production est une technique qui consiste a declencher un ou plusieurs generateursde maniere a conserver le synchronisme sur les generateurs restants. Elle s’applique particu-lierement aux centrales hydrauliques qui comportent un nombre assez important de machines.Elles peut aussi s’appliquer aux centrales thermiques. Dans ce cas, le groupe declenche n’estpas arrete mais continue a fonctionner (a puissance reduite) en alimentant ses auxiliaires. Cecipermet sa remise en service dans des delais plus courts.
Considerons le systeme de la figure 22.10.a. Pour simplifier, on suppose que les deux machinessont identiques et produisent la meme puissance. Elles peuvent donc etre supposees coherentesc’est-a-dire que lors d’une perturbation dans le reseau, elles oscillent parfaitement en phase.Ceci conduit au schema equivalent de la figure 22.10.b.
U∞� 0
a b
Pm
Pm
E′ � δ X ′
X ′∞
Xe
E′ � δ
Figure 22.10: systeme illustrant le rejet de production
Si M est l’inertie, X′
la reactance transitoire et Pm la puissance mecanique d’une machine,l’ensemble se comporte comme une machine equivalente d’inertie 2M , de reactance transitoireX
′/2 et de puissance mecanique 2Pm.
La figure 22.11.a est relative a cette machine equivalente. Dans le scenario considere, lesysteme est instable vis-a-vis de la perturbation, avec une aire acceleratrice ABCD superieurea l’aire deceleratrice DEF. Les deux generateurs perdent le synchronisme. Notons que l’aireABCD represente l’energie cedee a la machine equivalente; chaque machine en recoit la moitie.
Supposons, toujours pour simplifer, qu’a l’instant d’elimination du defaut, on declenche unedes deux machines. La figure 22.11.b est relative a la machine restante. Par rapport a la situa-tion a deux machines de la figure 22.11.a, la caracteristique P (δ) apres defaut a un maximumplus faible car la reactance entre la f.e.m. E
′et le jeu de barres infini est Xe + X
′au lieu de
154
2Pm
P
ba
δ
JGPm
P
H
K
δδmaxδe
E
F
C
B
A
δe
DI
Figure 22.11: effet du rejet de production sur la stabilite transitoire
Xe + 0.5X′. Cependant la puissance mecanique n’est plus que Pm au lieu de 2Pm et l’aire
acceleratrice a compenser est la moitie de l’aire ABCD, pour la raison deja exposee. Cette aireetant compensee par l’aire deceleratrice GHIJ, la machine restante garde le synchronisme, avecl’aire IJK comme marge de securite.
L’inconvenient du rejet de production est evidemment la creation d’un deficit de production,devant etre compense via la regulation de frequence.
Le rejet de production peut impliquer une ou plusieurs machines dans une centrale. Le nom-bre de generateurs a declencher depend des conditions pre-incident, du type de defaut, desa localisation et du temps d’elimination. La logique de commande doit integrer ces diversfacteurs avec comme objectif de sauvegarder la stabilite en declenchant le moins possible degenerateurs. Elle se fonde sur des grandeurs mesurees pendant incident.
Generalement, l’automate de rejet de production peut etre desarme (p.ex. depuis un centrede conduite) de maniere a eviter un declenchement inutile lorsque des conditions de fonction-nement plus favorables permettent d’ecarter le risque d’instabilite.
22.2.5 Fonctionnement en regime surexcite
Si une machine produit davantage de puissance reactive dans la configuration pre-incident, saf.e.m. E ′ est plus grande pendant le defaut, ce qui agit favorablement sur les aires acceleratriceet deceleratrice.
155
22.2.6 Rapidite d’elimination des defauts
Pour des raisons evidentes, un temps d’elimination du defaut plus court est favorable a la sta-bilite transitoire. Les equipements actuels permettent une ouverture de ligne avec un delai del’ordre de 5 alternances (0.1 sec. en 50 Hz), compte depuis l’apparition du defaut. Dans cer-taines etudes, on est amene a envisager des scenarios dans lesquels les protections n’agiraientpas aussi rapidement ou le defaut serait elimine par des protections de reserve (temporisees).
22.2.7 Utilisation de compensateurs statiques
Revenons au systeme de la figure 21.11. La figure 22.12 montre le diagramme des aires avecet sans compensateur statique. Comme on le voit, les courbes P (δ) avant, pendant et apresdefaut sont plus hautes en presence du compensateur. Pour la meme puissance avant defautet la meme duree de defaut, l’aire deceleratrice disponible est plus grande, laissant une margede stabilite qui n’existait pas sans compensateur. Il est clair que la capacite de production ducompensateur influence directement cette marge de stabilite.
P1
Pmax
δ1 δc
3
2
3
2
180δmaxδ10
P1
2Pmax
D
1
A2
A1
1
A2
0 90 δmax 180
A1
Figure 22.12: effet d’un compensateur statique sur la stabilite transitoire
22.2.8 Freinage dynamique
Le freinage dynamique consiste a augmenter artificiellement la puissance electrique delivreepar la machine (et donc l’aire deceleratrice), principalement dans la configuration apres defaut.Ceci est realise en enclenchant, pendant un temps relativement court, une charge resistive depuissance suffisante, au voisinage de la machine. Le critere d’enclenchement peut etre simple-ment la chute de la puissance electrique et/ou celle de la tension. Les caracteristiques de cettecharge et l’instant de declenchement sont calcules selon les conditions locales.
156
22.2.9 Effet du regulateur de tension
Les regulateurs de tension disponibles actuellement permettent d’augmenter ou de diminu-er rapidement l’excitation de la machine. L’augmentation rapide de la tension d’excitationdans les tout premiers instants a pour effet d’augmenter la f.e.m. E
′et permet a la machine
de delivrer davantage de puissance electrique pendant le defaut. On remarque souvent unediminution de l’amplitude de la premiere oscillation rotorique. Les stabilisateurs incorporesaux regulateurs de tension contribuent egalement a l’amortissement des oscillations de grandeamplitude.
22.3 Influence du type de defaut
Un raisonnement en composantes symetriques montre que, toutes autres choses egales, lesdifferents types de defauts se classent comme suit par ordre de gravite croissante:
1) phase terre (77 %)2) phase-phase3) phase-phase-terre
}(17 %) + evolutifs ou multiples (4 %)
4) triphase 2 %
Les proportions entre parentheses (statistiques d’exploitation en Belgique) montrent que lesdefauts les plus graves sont les plus rares. La tenue a un court-circuit triphase est cependantun critere de planification et/ou d’exploitation tres utilise, le raisonnement etant qu’un systemequi peut subir un court-circuit triphase pourra certainement subir des defauts moins importantsmais multiples.
En ce qui concerne les ouvertures de phases, on a evidemment par ordre de gravite croissantel’ouverture d’une, de deux puis de trois phases.
Ces considerations montrent l’interet du declenchement/reenclenchement monophase plutotque triphase. Ce dernier consiste a doter chaque phase d’un disjoncteur mecaniquement inde-pendant de celui des autres phases et a cabler les protections comme suit:
• en cas de defaut phase-terre (pour rappel, le plus frequent), la phase fautive est identifieeet est seule ouverte. Le fait que les deux autres phases restent en service est benefiquepour la stabilite.
• Pour les autres types de defauts, les trois phases sont ouvertes. Toutefois, dans ce cas,le mauvais fonctionnement d’un des trois disjoncteurs n’affecte pas les deux autres etle defaut triphase est alors transforme en defaut monophase, qui est moins grave et seratraite par les protections de reserve.
• Il existe des systemes plus evolues, ou les phases s’ouvrent en fonction de chaque typede defaut.
157
Aux niveaux de tensions superieurs, les disjoncteurs des trois phases sont souvent separes, pourdes raisons d’isolation. On dote alors chaque phase d’un relai propre, operant comme indiqueci-dessus. Ce dispositif est plus couteux mais generalement justifie a ces niveaux de tension.
22.4 Stabilite transitoire des systemes multi-machines
22.4.1 Mecanismes d’instabilite
Les reseaux modernes sont relativement developpes, de sorte qu’un court-circuit pres d’unemachine affecte egalement l’equilibre des couples dans les machines avoisinantes. Il en resultesouvent des “modes d’instabilite” impliquant plusieurs machines. Ces modes d’instabilite peu-vent obeir a des mecanismes complexes, comme le montre l’exemple ci-apres.
La figure 22.13 montre le schema unifilaire d’un reseau didactique se composant de trois sous-systemes connectes via le noeud 2. La capacite de la machine 5 etant tres elevee, on peutconsiderer le jeu de barres 5 comme un jeu de barres infini. La figure 22.14 montre l’evolutiondes angles rotoriques des quatre autres machines, la machine 5 etant prise comme reference.Les figures a a d se rapportent aux quatre emplacements de court-circuit notes a a d sur lafigure 22.13. Les defauts sont elimines par ouverture de la ligne touchee, sans reenclenchementulterieur. Les temps d’elimination sont differents d’un cas a l’autre.
Figure 22.13: systeme didactique
On observe les modes d’instabilite suivants:
• court-circuit en a: le generateur 1, le plus proche du defaut, perd directement le syn-chronisme par rappport aux autres machines. On assiste a une instabilite de la premiereoscillation;
• court-circuit en b: le generateur 2, le plus proche du defaut, aurait pu garder le synchro-nisme s’il etait connecte a un jeu de barres infini. Cependant les oscillations des autres
158
Figure 22.14: evolutions des angles rotoriques du systeme de la figure 22.13
generateurs augmentent la difference angulaire entre ceux-ci et le generateur 2, de sorteque ce dernier perd finalement le synchronisme. On assiste a une instabilite de la secondeoscillation;
• court-circuit en c: les generateurs 2 et 3, plus faiblement connectes au reste du reseau,perdent directement le synchronisme. N’etant pas declenchees par une protection, cesmachines instables finissent par entraıner avec elles le generateur 1;
• court-circuit en d: les generateurs les plus proches du defaut subissent une variationimportante de leur angle rotorique mais gardent le synchronisme, tandis que le generateur2 decroche. L’explication tient dans le fait qu’apres elimination du defaut, les chargesles plus importantes, situees au voisinage des generateurs 1, 3, 4 et 5, augmentent lapuissance electrique fournie par ces generateurs. Ce n’est pas le cas pour le generateur2, relativement eloigne desdites charges.
Dans le premier cas, le comportement du systeme peut etre assimile a celui d’une machinevis-a-vis d’un reseau infini, tandis que dans les trois autres cas, les interactions entre machinesjouent un role important.
159
22.4.2 Methodes d’analyse
Le critere des aires ne s’applique malheureusement pas aux systemes multi-machines, du moinspas tel quel. Ceci vaut pour le modele classique et a fortiori pour des modeles plus raffines.
Comme mentionne au chapitre 20, la stabilite transitoire s’analyse generalement par integrationnumerique du modele algebro-differentiel du systeme.
La notion de temps critique d’elimination d’un defaut s’applique evidemment aux systemesmulti-machines. Sa determination se fait par recherche binaire, jusqu’a cerner un intervalle[te1 te2] ou pour le temps d’elimination te1, le systeme est stable et pour te2 il est instable, avecte2 − te1 inferieur a une tolerance fixee. A chaque interation, on divise l’intervalle en deuxparties egales.
La notion de temps critique va de pair avec celle de groupe critique, a savoir l’ensemble desmachines qui perdent le synchronisme pour un temps d’elimination du defaut juste superieur autemps critique. Le groupe critique caracterise rigoureusement le mode d’instabilite du systeme.
Le concept energetique que nous avons utilise pour etablir le critere des aires, tres proche dela seconde methode de Liapunov, a inspire de nombreux travaux en vue de developper desmethodes “directes” d’analyse de la stabilite transitoire des systemes multi-machines (sou-vent limitees, malheureusement, au seul modele classique). Comme le critere des aires, cesmethodes visent a determiner le temps critique d’elimination d’un defaut sans effectuer dessimulations repetitives par essai et erreur. Elles sont surtout susceptibles de fournir, pour untemps d’elimination du defaut donne, une marge de stabilite, du type de l’indice η.
Le critere des aires a egalement inspire la methode SIME (Single Machine Infinite bus Equiv-alent), developee a l’Universite de Liege. Il s’agit d’une methode d’analyse du comportementdu systeme destinee a etre couplee a un programme de simulation temporelle. Elle part du pos-tulat que, lors d’une instabilite, un groupe de machines critiques se separe du reste du systeme.La methode traite ce groupe et le reste du systeme comme deux machines equivalentes et ap-plique le critere des aires a l’equivalent bi-machine ainsi obtenu, d’ou une grande efficacite.Le groupe critique n’etant pas connu a priori, il est identifie a chaque pas de temps en testantdifferents groupes de machines critiques et en retenant celui qui conduit au plus petit tempscritique d’elimination. Les differentes combinaisons testees reposent sur les valeurs relativesdes angles rotoriques a l’instant considere. Ce classement ainsi que les parametres du systemebi-machine equivalent sont mis a jour a chaque pas de temps de simulation. Cette methodeouvre la voie a deux types d’applications:
• preventives: analyse de la securite en temps reel (capacite a faire face a des incidents,modification du point de fonctionnement en cas d’insecurite)
• correctives: prise de decision en mode d’urgence (p.ex. nombre de groupes a rejeter pourstabiliser le systeme).
160
Chapitre 23
Stabilite de tension
23.1 Analyse du systeme machine - charge
Considerons le systeme simple de la figure 23.1.a, dans lequel nous supposons la machinesynchrone dotee d’un regulateur de tension infiniment precis, maintenant la tension a ses bornesa la valeur Vg, et d’un regulateur de vitesse isochrone, maintenant la frequence a sa valeurnominale.
1
r
V � θVg � 0
Xe
a b
Figure 23.1: systeme machine synchrone - charge
Les equations de load flow s’ecrivent, avec les notations definies a la fig. 23.1.a:
P = −Vg V
Xesin θ (23.1)
Q = −V 2
Xe+
Vg V
Xecos θ (23.2)
161
23.1.1 Puissances maximales transmissibles
Determinons pour quelles valeurs de P et Q les equations (23.1,23.2) admettent une solution(V, θ). En eliminant θ des equations en question on trouve:
(V 2)2
+ (2QXe − V 2g )V 2 + X2
e (P2 + Q2) = 0 (23.3)
soit une equation du second degre en V 2. La condition pour avoir au moins une solution est:
(2QXe − V 2g )2 − 4X2
e (P2 + Q2) ≥ 0
que l’on peut encore mettre sous la forme:
−(P XeV 2g
)2
− QXeV 2g
+ 0.25 ≥ 0 (23.4)
A l’egalite, cette relation definit une parabole dans le plan (P,Q), comme represente a la figure23.2. Tous les points “a l’interieur” de cette parabole satisfont a l’inegalite et conduisent donca deux solutions (V, θ). A l’exterieur, il n’y a pas de solution et sur la parabole, il y en a uneseule. Ce lieu est symetrique par rapport a l’axe des P mais cette symetrie disparaıt des quel’on considere une resistance en serie avec la reactance Xe.
−0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8−0.4
−0.3
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0 solution
2 solutions
PXe
V 2g
QXe
V 2g
φ
Figure 23.2: domaine d’existence d’une solution aux equations de load flow
Chaque point de cette parabole correspond a une puissance maximale, pour un facteur de puis-sance donne; ce dernier est caracterise par l’angle φ tel que:
Q
P= tg φ
En remplacant Q par P tg φ dans l’expression de la parabole, on obtient:
P 2 +V 2g
Xetg φ P − V 4
g
4X2e
= 0
162
En resolvant cette equation par rapport a P et en retenant la solution positive correspondant aune consommation, on trouve la charge maximale en fonction de φ :
Pmax =cosφ
1 + sinφ
V 2g
2Xe(23.5)
Qmax =sin φ
1 + sinφ
V 2g
2Xe(23.6)
a laquelle il correspond la tension critique:
VmaxP =Vg√
2√
1 + sin φ(23.7)
Notons les trois points particuliers:
sous P = 0 : Qmax =V 2g
4Xesous Q = 0 : Pmax = ± V 2
g
2Xe(23.8)
expressions dans lesquelles V 2g /Xe serait la puissance de court-circuit en regime permanent,
au jeu de barres de la charge.
On notera la difference fondamentale entre puissances active et reactive: il est theoriquementpossible de consommer n’importe quelle puissance active a condition de fournir assez de puis-sance reactive au noeud charge, alors que la charge reactive ne peut pas exceder V 2
g /4Xe. Cettedifference provient de la nature inductive du reseau de transport. Notons toutefois que plus laconsommation active augmente, plus il faut injecter de puissance reactive et plus la tension dela charge est elevee (tenue dielectrique des composants !).
23.1.2 Relations tension - puissance
Supposant la condition (23.4) satisfaite, les deux solutions de (23.3) sont:
V =
√√√√V 2g
2−QXe ±
√V 4g
4−X2
eP2 −XeQV 2
g (23.9)
Dans l’espace (P,Q, V ), cette equation definit une surface montree a la figure 23.3. La partiesuperieure (resp. inferieure) de cette surface correspond a la solution avec le signe + (resp. −)dans (23.9). L”’equateur” de cette surface, le long duquel les deux solutions coıncident, cor-respond aux points a maximum de puissance; la projection de cette courbe limite sur le plan(P,Q) est la parabole de la figure 23.2. Les “meridiens” montres a la figure 23.3 sont les inter-sections entre la surface et des plans verticaux correspondant a divers facteurs de puissance.
Une projection de ces meridiens sur le plan (P, V ) fournit les courbes de la tension aux bornesde la charge en fonction de la puissance active consommee, pour differentes valeurs de tg φ.Ces “courbes PV”, montrees a la figure 23.4, sont tres utilisees pour expliquer et quantifier la
163
0
0.2
0.4
0.6
0.8
−0.4−0.3
−0.2−0.1
00.1
0.20.3
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
QXe
V 2g
tg φ =
−0.41 tg φ =
−0.201.
∞
0.0.20
VVg
0.41
PXe
V 2g
Figure 23.3: tension aux bornes de la charge en fonction des puissances consommees
stabilite de tension. Notons que l’on pourrait egalement: (i) projeter les meridiens sur le plan(Q, V ) et ainsi obtenir des courbes QV; (ii) considerer la puissance apparente S =
√P 2 + Q2
en abscisse et ainsi obtenir des courbes SV; (iii) obtenir des courbes PV a Q (plutot que tgφ)fixe; (iv) ou des courbes QV a P fixe.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.80
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
PXe
V 2g
VVg
tg φ = −0.20
0.200.41
1.502.41
∞ 5.03
0.67
tg φ = −0.41
0.00
1.00
Figure 23.4: courbes “PV”
164
Ces courbes inspirent les remarques suivantes:
• pour une puissance consommee inferieure au maximum, il y a deux solutions: une atension plus elevee et courant plus bas, l’autre a tension plus basse et courant plus eleve.Le fonctionnement normal correspond a la premiere solution, pour laquelle la charge aune tension proche de celle du generateur. La stabilite des deux points de fonctionnementest discutee a la section suivante;
• plus la charge est compensee (tgφ decroissant), plus la puissance active maximale aug-mente. Cependant, ce maximum est atteint sous une tension de plus en plus elevee.Cette situation est dangereuse dans la mesure ou il est possible d’atteindre le maximumde puissance transmissible a des tensions proches de la normale;
• lorsque la charge est surcompensee (tgφ negatifs), sur une partie de la courbe PV superieure,la tension augmente lorsque la charge croıt ! L’explication est que plus cette chargesurcompensee consomme d’actif, plus elle produit de reactif. Aux puissances faibles,l’augmentation de tension due a l’injection de reactif l’emporte sur la chute de tensiondue a la consommation d’actif.
23.1.3 Stabilite du point de fonctionnement
Lors de l’etude du systeme machine synchrone - reseau infini, nous avons considere la stabilitedu mouvement rotorique, un probleme typique de dynamique a court terme. Dans le systememachine synchrone - charge, nous nous interessons a la dynamique a long terme de la charge,plus particulierement a la stabilite d’un regleur en charge.
Considerons donc, comme represente a la figure 23.1.b, une charge exponentielle alimentee viaun transformateur avec regleur en charge. Pour simplifier, nous supposons le transformateurideal1. Dans ces conditions, la puissance entrant dans ce dernier vaut:
P = P0
(V2
V20
)α= P0
(V
r V20
)α(23.10)
Q = Q0
(V2
V20
)β= Q0
(V
r V20
)β(23.11)
Ces relations constituent la caracteristique a court terme de la charge, vue du jeu de barres hautetension de la charge. En fait, il existe une caracteristique pour chaque valeur de r. Quelquescaracteristiques (23.10) sont representees en pointille a la figure 23.5 (α > 1).
Nous negligeons la bande morte du regleur en charge et nous prenons comme tension dereference V20 la consigne de tension du regleur en charge. Des lors, en regime etabli, on aV2 = V20 et donc P = P0, Q = Q0. Comme mentionne au chapitre 3, la caracteristique a longterme de la charge est une puissance constante. Il y correspond les verticales en pointille de lafigure 23.5.
1ou nous incluons sa reactance de fuite a la charge
165
Toujours pour simplifier, nous supposerons la charge caracterisee par des exposants α et βegaux. Il en resulte que:
Q
P=
Q0
P0= tg φ
La caracteristique du reseau relative a cette valeur de tgφ est la courbe en trait plein de la figure23.5. Il s’agit d’une caracteristique a court et long terme du generateur (dont la dynamique,supposee stable, n’est pas consideree ici).
SC
I
r ↑
r ↑
V
P
caract. long terme de la charge
caract. court termede la charge
Figure 23.5: analyse intuitive de la stabilite de deux points de fonctionnement
Pour une puissance consommee P0, il existe deux points d’equilibre a long terme, notes S et Ia la figure 23.5. La stabilite de ces points d’equilibre peut etre analysee intuitivement commesuit. Supposons que l’on augmente legerement le rapport r, comme represente a la figure 23.5(on aboutit aux memes conclusions en considerant une diminution de r):
• au point S, cet accroissement de r conduit a une diminution de la puissance consommee.La fonction P (V2) etant monotonement croissante, on en deduit que la tension secon-daire V2 a egalement diminue. Le regleur en charge va donc reagir en diminuant r et lesysteme va revenir au point d’equilibre S, qui est donc stable;
• au point I, l’accroissement de r conduit a une augmentation de la puissance consommee,ce qui indique que la tension secondaire V2 a augmente. Le regleur en charge va doncreagir en augmentant r et le systeme va s’ecarter davantage du point d’equilibre I, quiest donc instable.
La branche superieure (resp. inferieure) de la courbe PV est donc stable (resp. instable) vis-a-vis du comportement du regleur en charge. Au fur et a mesure que la demande P0 augmente,les deux points d’equilibre tendent l’un vers l’autre, fusionnent au point C, puis disparaissent.C est un point de bifurcation. On l’appelle souvent point critique.
Notons que point critique et maximum de puissance coıncident car la caracteristique a longterme de la charge est une puissance constante. Pour d’autres caracteristiques de charge, il se
166
pourrait qu’une partie de la branche inferieure (resp. superieure) de la courbe PV soit stable(resp. instable).
23.1.4 Effet des limites reactives de generateurs
Il est evident qu’au fur et a mesure que la charge augmente, le generateur doit fournir de plus enplus de puissance reactive. Lorsque celui-ci atteint sa limite rotorique ou statorique, la formede la courbe PV change radicalement.
Nous illustrerons ceci sur l’exemple un peu plus elabore de la figure 23.6. Dans ce systeme, laligne AB est beaucoup plus longue que la ligne locale BL. Dans les limites de ses capacites,le generateur G soutient la tension pres de la charge. Initialement, la consommation active dela charge est couverte par G; partant de ce point, on considere une augmentation de la chargea facteur de puissance constant dont la partie active est couverte par le generateur G∞ (cadacheminee le long de ABL).
P, Q
V
PG
VG
B LA
G∞
G
Figure 23.6: systeme a 4 noeuds
Les courbes PV correspondantes sont donnees a la figure 23.7. La courbe en trait plein a eteobtenue en considerant G sous controle de son regulateur de tension; dans cette configuration,G et G∞ soutiennent la tension mais chaque Mvar demande par la charge est fourni en majeurepartie par G, plus proche. Les courbes en pointille correspondent au generateur G en limite decourant rotorique; dans cette configuration, G ne peut pratiquement plus fournir de puissancereactive et celle-ci doit etre fournie par G∞, via la liaison ABL, plus longue.
Les quatre courbes correspondent a la meme puissance de turbine mais a quatre valeurs decosφN , donc a quatre valeurs de la puissance apparente du generateur G. Sur les courbes decapacites, le point de fonctionnement nominal correspond a l’intersection du cercle statoriqueavec l’horizontale de la turbine; c’est le point R de la figure 6.9. Dans l’exemple considere ici,on a suppose que la courbe de limite rotorique passe egalement par ce point, comme c’est lecas a la figure 6.9. Un cosφN plus eleve correspond a une reserve reactive moindre.
Ces courbes inspirent les commentaires suivants:
• la puissance maximale transmissible est significativement diminuee par le passage en li-mite du generateur situe pres de la charge. Ainsi, dans les reseaux aux lignes moderement
167
0 200 400 600 800 1000 1200 14000.55
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
0.95
1
1.05
G sous contr. du regul. de tension
P (MW)
V (pu)
rotoriquede courant
G en limitecos φN = 0.95
cos φN = 0.90
cos φN = 0.85
cos φN = 0.80
Figure 23.7: courbes PV compte tenu des limites de production reactive limitee
courtes que l’on connaıt en Europe, le passage en limite de generateurs est le principalfacteur pouvant amener un reseau a fonctionner pres du maximum de puissance;
• dans de nombreux cas, les limites reactives des generateurs amenent le point de maxi-mum de puissance transmissible a une tension plus elevee;
• une limite de production reactive affecte la puissance active maximale transmissible.Aux regimes extremes consideres ici, le decouplage electrique ne s’applique plus;
• il est necessaire de maintenir des reserves de puissance reactive suffisantes pres des cen-tres de consommation. Le cosφN de telles unites doit etre suffisamment petit. No-tons qu’a puissance active egale, le surcout d’une puissance apparente plus grande estgeneralement modere.
23.2 Augmentation de la puissance transmissible au moyende la compensation shunt
23.2.1 Effet d’une compensation shunt enclenchable
Le systeme de la figure 23.8 est une variante de celui de la figure 23.1, dans laquelle onconsidere l’effet combine des capacites de ligne et d’une compensation shunt eventuellementajustable.
Le schema equivalent de Thevenin vu de la charge a les parametres suivants:
Eth =1
1 − (Bc + Bl)XeVg
168
+-
Xe
ligne compensation
BlBl Bc
P,Q
V
Vg
Figure 23.8: systeme machine - charge avec capacites de ligne et compensation shunt
Xth =1
1 − (Bc + Bl)XeX
En remplacant Vg par Eth et X par Xth dans (23.5, 23.7), on trouve l’expression de la puissancemaximale transmissible (sous le facteur de puissance cos φ):
Pmax =cosφ
1 + sinφ
E2th
2Xth=
1
1 − (Bc + Bl)Xe
cosφ
1 + sin φ
V 2g
2X(23.12)
et de la tension critique correspondante:
VmaxP =Eth√
2√
1 + sinφ=
1
1 − (Bc + Bl)Xe
Vg√2√
1 + sin φ(23.13)
qui augmentent donc toutes deux dans la proportion 1/1−(Bc+Bl)Xe sous l’effet des capacitesshunt.
La figure 23.9 montre une situation ou, au fur et a mesure que la consommation augmente,davantage de compensation est mise en service de maniere a maintenir la tension dans leslimites correspondant aux horizontales en pointille (Bl = 0). La courbe PV qui en resulte esttracee en trait plein.
Cette figure illustre le risque, deja mentionne, d’amener le point de puissance transmissiblemaximale a une tension proche de la normale, lorsque le volume de compensation augmentefortement.
Exercice. Si la compensation shunt est ajustee de maniere a maintenir la tension de la chargea la valeur Vo, quelle est la puissance maximale consommable sous un facteur de puissancedonne ?
23.2.2 Effet d’un compensateur statique
Un compensateur statique est un moyen efficace de controler la tension pres des centres deconsommation et d’augmenter la puissance maximale transmissible a ces derniers.
169
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
XeBc = 0.10XeBc = 0.05
XeBc = 0
V
Vg
PXe
V 2g
Figure 23.9: courbes PV en presence d’une compensation shunt (Bl = 0)
Avec un TSC en parallele sur la charge, la caracteristique PV du systeme machine - charge estproche de celle de la figure 23.9, les petites discontinuites correspondant a la mise en servicesuccessive des condensateurs. Avec le reglage continu d’un TCR, la caracteristique PV est lacourbe en trait plein de la figure 23.10.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.70
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
AC
B
1 2
PA PC
PXe
V 2g
V
Vg
Figure 23.10: courbes PV en presence d’un compensateur statique
Supposons par exemple que le systeme fonctionne initialement au point A (courbe PV No 1)et que la consommation passe de PA a PC . Sans reaction de la part du compensateur, le nou-veau point de fonctionnement serait B. Cependant, la chute de tension qui en resulte va etrecontrecarree par une augmentation de la susceptance du compensateur. Conformement a lafigure 23.9, la nouvelle caracteristique est la courbe PV No 2 et C est le nouveau point de fonc-tionnement du systeme. Les points comme A, C, etc . . . se situent sur une droite legerementinclinee. Enfin, les deux courbes PV en trait plein correspondent aux limites de reglage ducompensateur.
170
Voltage Instability: Phenomena,Countermeasures, and Analysis Methods
THIERRY VAN CUTSEM, MEMBER, IEEE
Invited Paper
A power system may be subject to (rotor) angle, frequencyor voltage instability. Voltage instability takes on the form of adramatic drop of transmission system voltages, which may leadto system disruption. During the past two decades it has becomea major threat for the operation of many systems and, in theprevailing open access environment, it is a factor leading to limitpower transfers. The objective of this paper is to describe voltageinstability phenomena, to enumerate preventive and curativecountermeasures, and to present in a unified and coherent wayvarious computer analysis methods used or proposed.
Keywords—Bifurcations, load dynamics, nonlinear systems,power systems, security analysis, stability.
I. INTRODUCTION
The transfer of power through a transmission networkis accompanied by voltage drops between the generationand consumption points. In normal operating conditions,these drops are in the order of a few percents of the nominalvoltage. One of the tasks of power system planners andoperators is to check that under heavy stress conditionsand/or following credible events, all bus voltages remainwithin acceptable bounds.
In some circumstances, however, in the seconds or min-utes following a disturbance, voltages may experience large,progressive falls, which are so pronounced that the systemintegrity is endangered and power cannot be delivered cor-rectly to customers. This catastrophe is referred to as voltageinstability and its calamitous result as voltage collapse. Thisinstability stems from the attempt of load dynamics to restorepower consumption beyond the amount that can be providedby the combined transmission and generation system.
In an increasing number of systems, voltage instability isrecognized as a major threat for system operation, at leastas important as thermal overload and angle instability prob-
Manuscript received June 3, 1999; revised August 3, 1999.The author is with University of Liège, Institut Montefiore, B-4000 Liège,
Belgium (e-mail: [email protected]).Publisher Item Identifier S 0018-9219(00)00837-9.
lems, known for a longer time. Several factors have con-tributed to this situation. It is well known that the buildingof new transmission and generation facilities is more andmore difficult, often delayed and sometimes impossible. Thebuilding of larger, remote power plants has decreased thenumber of voltage controlled points and increased the elec-trical distance between generation and load (although thismight be partially compensated by the emergence of inde-pendent power productions closer to loads). The heavy useof shunt compensation to support the voltage profile allowslarger power transfers but brings the instability point closer tonormal values. Also, voltage instability is often triggered bythe tripping of transmission or generation equipments, whoseprobability of occurrence is relatively large (compared forinstance to the three-phase short-circuit considered in anglestability studies). Last but not least, the transmission openaccess environment has created an economical incentive tooperate power systems closer to their limits. More than ever,it becomes essential to determine these operating limits, inparticular with respect to voltage instability.
Theobjectiveof thispaper is togiveadescriptionof thephe-nomena which contribute to voltage instability, to enumeratecountermeasures, and to present in a (hopefully) unified andcoherentwaythecomputeranalysismethodsusedorproposed.
The incidents experienced throughout the world and thethreat of other blackouts have prompted significant researchefforts among the power engineering community. The refer-ences given in this paper make up only a sample of the vastliterature devoted to the subject. As “entry points” to this lit-erature, let us point out:
1) early publications dealing with the subject [1]–[16];2) a series of four seminars [17]–[20], which provided a
forum for the presentation of research advances in thevoltage stability area;
3) the reports of several CIGRE Task Forces [14],[21]–[24] and IEEE Working Groups [25]–[27] of-fering a compilation of techniques for analyzing andcounteracting voltage instability;
0018–9219/00$10.00 © 2000 IEEE
208 PROCEEDINGS OF THE IEEE, VOL. 88, NO. 2, FEBRUARY 2000
Fig. 1. Two-bus system.
4) more recently, one chapter of a textbook [28] and twomonographs [29], [30] devoted to the subject.
More details on the material presented in this paper can befound in [30]. More exhaustive bibliographies are availablein the above reports and books, as well as in [31].
II. V OLTAGE INSTABILITY PHENOMENA
A. Maximum Load Power
One of the primary causes of power system instability isthe transmission of (large amounts of) power over long elec-trical distances. In voltage stability, attention is paid to powertransfers between generation and load centers.
Let us first recall some fundamentals of the power transferbetween a generator and a load. We use the simple modelof Fig. 1, in which we consider for simplicity a purely re-active transmission impedance and we assume that thesynchronous generator behaves as a constant voltage sourceof magnitude (more realistic models will be discussed inthe sequel).
Under balanced three-phase, steady-state sinusoidal con-ditions, system operation is described by the power flow orload flow equations [4], [28], [32]
(1)
(2)
where (respectively ) is the active (respectively reactive)power consumed by the load,the load bus voltage magni-tude, and the phase angle difference between the load andthe generator buses (see Fig. 1). Solving (1), (2) with respectto yields
(3)
Fig. 2 shows how the terminal voltagechanges with theload powers (dimensionless variables are used in thefigure). In “normal” conditions, the operating point lies onthe upper part of the surface (corresponding to the solutionwith the plus sign in (3)), with close to . Permanent op-eration on the lower surface, characterized by a lower voltageand higher current, is unacceptable.
The figure also confirms the existence of a maximum loadpower, well-known from circuit theory [33]. More precisely,the figure shows a set of maximum load power points, located
Fig. 2. Load voltage versus active and reactive powers [30].
on the “equator” of the surface (where the two solutions in(3) coalesce, i.e., the inner square root vanishes). The projec-tion of this limit curve onto the plane is the parabolashown in Fig. 2. In the load power space, this parabolabounds the region where operation is feasible.
B. Nose Curves
In many reasonings (and industry practice) it is commonto consider the curves which relate voltage to (active or reac-tive) power. Such curves, referred to as (or ) curvesor nose curves are shown in Fig. 3, for our simple system.The curves depend on howvaries with ; in Fig. 3, a con-stant power factor, i.e., , has been assumed foreach curve. This also corresponds to the solid lines in Fig. 2.Similarly, one may consider curves under constant, or
curves under either constant power factor or constant.Simply stated, voltage instability results from the attempt
to operate beyond maximum load power. This may resultfrom a severe load increase or, more realistically, from a largedisturbance that increases and/or decreases to the ex-tent that the predisturbance load demand can no longer besatisfied. The latter scenario is illustrated in the next section,which offers a deeper look into a typical voltage instabilitymechanism, relating the latter to maximum load power aswell as system theoretic concepts.
C. Long-Term Voltage Instability Illustrated on a SimpleSystem
The following example, taken from [30], uses the simplesystem shown in Fig. 4(a). Bus 3 represents a distributionfeeder. The power consumed at this bus may correspond to alarge number of individual loads fed through medium voltage(MV) distribution lines, shunt capacitors, etc. We representthis aggregate load by the exponential model (widely used inlarge-scale stability studies)
(4)
where is a reference voltage and (resp. ) is the active(resp. reactive) power consumed under this voltage.
VAN CUTSEM: VOLTAGE INSTABILITY 209
Fig. 3. The “nose” curves [30].
Bus 3 receives its power from the transmission systemthrough a transformer equipped with an automatic load tapchanger (LTC). The objective of this device is to adjust theturn ratio of the transformer (in discrete steps) so as to keepthe distribution voltage within some deadband ,in spite of voltage fluctuations on the transmission system1
[21], [28], [29], [34], [35].Most of the load power is provided by a remote system
(bus 1) through a rather long transmission. The remainingis supplied locally by the generator at bus 2. This generatoris equipped with an automatic voltage regulator (AVR), inorder to keep the voltage at bus 2 (almost) constant, and anoverexcitation limiter (OEL2), whose role is to prevent therotor (or field) current from exceeding a specified thermallimit, in case the AVR imposes a sustained overexcitation[21], [28], [29], [36], [37].
We show and discuss hereafter two unstable responses ob-tained by simulating the tripping (at s) of one circuitbetween buses 1 and 4.
Case 1: The system evolution, shown in Fig. 4(b)–(d),starts with electromechanical oscillations corresponding toswings of the generator rotor. These transients die out soon,indicating that the short-term dynamics of the synchronousgenerator3 are stable. Thus a short-term equilibrium isreached after about 10 seconds, withsettling down closeto 0.96 per unit.
The system response over the next minutes is a typicalexample of long-term dynamics, driven by the LTC and OEL.
The operation of the LTC starts after an initial delay of 20 sand continues at a rate of one tap change each 10 s. Thesechanges further reduce the transmission-level voltage.
The operation of the OEL can be seen from Fig. 4(c),showing the evolution of the generator field current. Afterthe disturbance, this current jumps to 3 pu, which exceedsthe limit, indicated by the dotted line. The OEL has an in-
1We assume here for simplicity that the reference voltageV and the LTCvoltage setpoint are equal.
2The abbreviation OXL is also used.3Also referred to as “transient” dynamics. The term “transient” refers to
either the time period of a few seconds after a disturbance (like in “transienttime constant”) or to large-disturbance analysis [like in “transient (angle)stability”]. As in [30], we use “short-term” to refer to the time period unam-biguously.
verse-time characteristic, tolerating smaller overloads to lastlonger. Due to this delay, the OEL becomes active at s.Before this time, the AVR controls the voltage at bus 2 andmakes the field current further increase, in response to thefirst tap changes. This corresponds to a larger and larger re-active power drawn from the generator. After s, eachattempt to increase the field current is corrected by the OEL.With its field current kept (almost) constant, the machine be-haves as a constant emf behind saturated synchronous reac-tance. The voltage at bus 2 is no longer controlled, anddrops dramatically.
This drop goes on until reaches the unacceptably lowvalue of 0.75 pu. At this point, the LTC has reached its limitand the voltage decline stops, since no other dynamic mech-anism is involved.
The evolution of the distribution voltage and trans-former ratio are shown in Fig. 4(d). Before the generatorlimitation, each tap movement produces the intended effectof rising , bringing it back towards its deadband; on theother hand, after the limitation, the tap changes have negli-gible, then reverse effects [38]–[40].
A deeper look at the instability mechanism is provided bythe curves of Fig. 4(e), showing voltage as a func-tion of the power transmitted to the load. All curves aredrawn considering the short-term dynamics at equilibrium.The solid lines are the network curves, similar to thoseshown in Fig. 3. On the other hand, through (4), the loadpower depends on , which in turn depends on and .The relationship between and , for a given , is theshort-term load characteristics, shown with dotted lines inFig. 4(e).
The system operates initially at point A. The disturbancecauses the network characteristic to shrink from the right-most to the middle curve. After the electromechanical oscil-lations, has not changed yet and the system operates at theshort-term equilibrium point A′. Subsequent LTC operationbrings the short-term equilibria to point B. At this point, thegenerator field current gets limited. Note the further decreasein maximum load power which results from the limitation ofthe generator reactive power. The system jumps to point B′.From there on, the LTC keeps on decreasing the tap until itfinally hits its limit at point D.
The vertical dashed line in Fig. 4(e) is the long-term char-acteristic of the load. Due to the LTC action, a long-termequilibrium is such that (ignoring the deadband
), which means . In other words, the LTC makesthe load behave as constant power in the long term.
The nature of the instability is revealed by observing thatthis long-term load characteristic does not intersect the finalnetwork curve. The maximum power that the final con-figuration can deliver is lower than what the LTC tends to re-store. The system becomes unstable by loosing its long-termequilibrium.
Case 2: The system initial conditions are modified by in-creasing the local generator active production.
The response of the transmission voltageto the samedisturbance is plotted in Fig. 5(a). In this case the gener-ator field current gets limited at about s. As the
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Fig. 4. Example system and simulation of Case 1 (all quantities in per unit) [30].
Fig. 5. Simulation of Case 2 (all quantities in per unit or radian) [50].
LTC keeps on reducing the ratio, the generator eventuallylooses synchronism, as is evident from the rotor angle plotin Fig. 5(b). The subsequent pole-slips are responsible forthe voltage oscillations in Fig. 5(a). The likely outcome isthe tripping of the generator by an out-of-step relay and ablackout of the load area caused by the tripping of the over-loaded lines.
The curves are shown in Fig. 5(c). As in the first case,the short-term equilibrium point follows the path AA′ (cir-cuit tripping), A′B (LTC operation), BB′ (generator limita-tion). Again, there is no long-term equilibrium with the gen-erator limited. However, a major difference with respect tothe previous case occurs whenreaches the value 0.82: theshort-term load characteristics does no longer intersect thenetwork curve, indicating that the system also loosesshort-term equilibrium, which corresponds to the above men-tioned loss of synchronism.
D. Load Power Restoration
The previous example has shown a typical situation wherethe driving force of instability is the unsuccessful attemptof the LTC to restore the load voltage to its setpoint value
and thereby the load power to its predisturbance level. Theinternal variable of this process if the transformer ratio.
We mention hereafter two other well-identified load powerrestoration mechanisms.
1) Induction Motors [15], [28], [29], [41] –[43]:Induction motors are present in many industrial and commer-cial loads. When subject to a step drop in voltage, the motoractive power first decreases as the square of the voltage
(constant impedance behavior), then recovers close to itspredisturbance value in the time frame of a second. The in-ternal variable of this process is the rotor slip. In fact, a motorwith constant mechanical torque and negligible stator lossesrestores to constant active power. Taking into account theselosses and more realistic torque behaviors, there is a smallsteady-state dependence ofwith respect to . The steady-state dependence of the reactive poweris a little morecomplex. first decreases somewhat quadratically with,reaches a minimum, and then increases up to the point wherethe motor stalls due to low voltage. In large three-phase in-dustrial motors, the stalling voltage can be as low as 0.7 puwhile in smaller appliances (or heavily loaded motors) it ishigher.
VAN CUTSEM: VOLTAGE INSTABILITY 211
Load restoration by induction motors may play a signifi-cant role in systems having a summer peak load, with a largeamount of air conditioning [29], [44], [45].
2) Thermostatic Loads [13], [28], [29], [46],[47]: Another category of self-restoring load is theelectrical heating controlled by thermostat.
A thermostat switches the heating resistor according toan on–off cycle, such that the energy produced over a cyclekeeps the temperature within a deadband under the givenweather condition. Following a decrease in voltage, the re-sistor power decreases as the square of the voltage. Over thenext minutes, however, the on–off cycle changes progres-sively since the resistor has to stay on longer in order to pro-duce the same energy. Considering the behavior of a largenumber of such devices over a small time interval, this in-crease in the on time appears as a recovery of the power toits predisturbance value. However, for a large enough voltagedrop, the aggregate load power does not recover to its pre-disturbance value, owing to the fact that the heaters stay onpermanently, thus giving a mere impedance load character-istic in the steady state. Also, it has been observed that thecontrol cycle of the (older) bimetallic thermostat is itself in-fluenced by the voltage, making load power restoration fasterthan what could be expected from thermal inertia [47].
Clearly, load self-restoration by thermostats is significantwhen analyzing the winter peak load of systems with a largeamount of electrical heating. It is of concern mainly whenthe faster acting LTC’s do not restore voltage, e.g., becausethey reach their limit.
E. Generic Models of Aggregate Loads
The load seen by a bulk power delivery transformer is anaggregate of many individual loads, fed through distributionlines and MV/LV transformers, compensated by switched ca-pacitors, etc. The problem of modeling such an aggregateload is not easy to address. Indeed, while typical data canbe obtained for every individual equipment [48], the realproblem is to determine the composition of the load. Thelatter varies from one bus to another but also with the season,the time of the day, etc.
Although a detailed discussion of load modeling is out ofscope of this paper, let us mention an approach proposed inthe recent years [47], [49], [50]–[52].
The response of aggregate loads to step decreases involtage4 has been measured by several companies. The timeevolution of power, over several minutes, recorded on thelow voltage side of bulk power delivery transformers, issketched in Fig. 6. The partial recovery originates from ther-mostatically controlled loads, downstream (nonmodeled)LTC’s, voltage regulators, and voltage controlled capacitors,or even the consumers reaction to the reduced suppliedpower.
The exponential-type recovery shown in Fig. 6 may becaptured by generic models, for instance
(5)
Fig. 6. Load power response to a voltage drop.
Table 1Multitime-Scale Power System Model
where is an internal state variable, obeying
with
(6)In some sense, the load obeys an exponential model whichchanges from the transient to the steady-state expo-nent. These exponents can be determined from the initial andfinal power drops (see Fig. 6) through
while can be obtained from a least-square fit of the timeresponse (dotted line in Fig. 6). Similar relationships hold forthe reactive power.
F. Time-Scale Decomposition Perspective
Table 1 enumerates the components, phenomena, con-trollers, and protecting devices which play a role in voltagestability, classified according to the time scale of the corre-sponding dynamics.
In stability studies, an instantaneous response is assumedfor the network, according to the quasi-sinusoidal (or fun-damental-frequency) assumption [32]. The network is thusdescribed by the algebraic equations (7) derived from theKirchhoff's current law at each bus, and involving the vector
of bus voltages magnitudes and phase angles.
4Obtained, for instance, by changing the transformer tap or by trippingone of two parallel transformers.
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The short-term dynamics (8) last typically for several sec-onds following a disturbance.
The long-term components, acting typically over severalminutes, may be represented either through discrete-timeequations (9) (e.g., shunt compensation switching, LTCoperation, the decision to switch the field current in anOEL, the changes in setpoints transmitted by the digitalsecondary voltage and frequency controllers) or throughcontinuous-time equations (10) [e.g., the PID laws of thesecontrollers, aggregate load models of the type (5), (6)].
There is a time decoupling between the short andlong-term dynamics, which allows categorization of insta-bilities as explained hereafter [30], [53].
When a disturbance occurs in the system, the short-termdynamics are excited first. In this time frame the long-termvariables and do not respond yet and can be consideredas constant parameters in (8).
The short-term time scale is the time frame of angle insta-bility, i.e., the loss of synchronism between generators. It isalso the time frame of short-term voltage instability, which islinked to fast load recovery by induction motors and possiblyHDVC systems.
In this time period, it may be difficult (and perhaps of aca-demic interest only) to distinguish between angle and voltageinstabilities. There are however some cases of “pure” voltageinstability. Consider for instance the system of Fig. 1 wherethe load now consists of an induction motor.
1) Following a line outage, the maximum load power de-creases as shown in Fig. 4(e). If it becomes smallerthan the power the motor tends to restore, the latterstalls and the load voltage collapses. The system loosesits short-term equilibrium;
2) A short-circuit near the motor causes the latter to de-celerate. If the fault is not cleared fast enough, themotor is unable to reaccelerate and again, the loadvoltage collapses [44]. In this case, the long-lastingfault makes the system escape from the region of at-traction of its postdisturbance equilibrium.
Letusassumethatthesystemhassurvivedtheshort-termpe-riod following thedisturbance.Fromthereon it isdrivenby thelong-term dynamics (9), (10). Long-term voltage instabilityis associated with this slower dynamics. A typical examplehas been discussed in Section II-C, where the very cause ofinstabilitywasthesystemloosingits long-termequilibrium.
The long-term evolution of and can be seen aschanges of parameters imposed to the fast subsystem of (7)and (8). In many practical cases, the short-term dynamicsrespond in a stable way to these parameter changes. As longas this holds true, the analysis is considerably simplifiedby adopting the quasi-steady-state (QSS) approximationof long-term dynamics, which consists of replacing theshort-term dynamic equation (8) by the correspondingequilibrium equation [30], [53]
(11)
This approximation is valid along the whole system trajec-tory in Case 1 of Section II-C. However, it is possible that
Table 2Countermeasures Against Voltage Instability
large changes in and eventually induce an instabilityof the short-term dynamics. In Case 2 of the same example,this takes on the form of the field current limited generatorloosing synchronism. Motor stalling or oscillatory angle in-stability due to OEL’s bypassing power system stabilizers(PSS) are other cases of induced short-term instability.
Obviously a real system evolution can be made more com-plex by, e.g., the action of protections that trip overloadedlines or limited generators operating at low voltages.
III. COUNTERMEASURES
Often prompted by emergency or blackout situations, anumber of countermeasures have been adopted by powercompanies [23], [24]. Table 2 lists the most significant ones.
A. System Reinforcement
In the many cases where environmental, political, andother considerations leave little room for new transmissionlines or power plants near populated load centers, othersolutions must be sought.
The series compensation of transmission lines is a veryeffective way of decreasing transmission impedances andhence limiting the voltage drop over long distances [10].However, these advantages must be balanced against con-siderations such as cost, more complex protections, andthe possibility of a long-lasting bypass of the capacitors orsubsynchronous resonance.
Shunt compensation has been the traditional way of pro-viding the reactive power needed to maintain a good voltageprofile. Capacitor banks are located near loads to improve thepower factor and in the subtransmission systems to compen-sate for reactive losses. Excessive shunt compensation, how-ever, has the drawback of bringing the maximum load powerpoint closer to normal operating values, as can be seen fromFig. 3 for decreasing .
VAN CUTSEM: VOLTAGE INSTABILITY 213
B. Devices and Controllers
Some devices and controllers contribute to maintainingtransmission system voltages around their nominal values,after “normal” disturbances. Depending on their number,size, location, etc., they can also contribute to voltagestability.
Shunt compensation can be switched automatically, e.g.,in response to low voltages. The speed of action is essentialto counteract short-term voltage instability [27]; to this pur-pose, the more expensive but fast-responding SVC may be re-quired [15]. For long-term instability, mechanically switchedelements are often sufficient. In extra high voltage (EHV)systems, the shunt reactors used to prevent overvoltages maybe tripped to counteract voltage instability [54].
The main control of transmission voltages is exerted by theAVR’s installed on synchronous generators. A tighter controlof the grid voltage near a power plant can be obtained byline-drop compensation, aimed at (partially) compensatingthe voltage drop in the step-up transformer impedance. Also,the on-load control of the step-up transformer ratio allows awider range of network voltage variations. It can be easilyseen from the simple example of Section II-A that a highersource voltage allows a higher power to be transmitted to theload.
On the other hand, the thermal constraints on field and ar-mature currents impose hard limits on the voltage regulationcapability of generators. These limits are usually presentedto operators in the form of capability curves, which must becarefully checked against the real limiter settings. Althoughoperating rules vary widely from one system to another, re-active reserves must be monitored and maintained (e.g., [55],[56]). Beside voltage profile aspects, the switching of shuntcompensation by operators is also aimed at maintaining “dy-namic” reactive power reserves, i.e., reserves on the fast-re-sponding generators, synchronous condensers and SVC’s.
Voltage control by AVR’s is local by nature. As a conse-quence, after a disturbance, voltages at nongenerator busesmay become unacceptable. Moreover, the required reactivepower will be produced by the generators electrically closerto the disturbance and hence the reserves left may be un-evenly distributed. The situation must be corrected by ad-justing the AVR voltage setpoints. In many countries thisis performed manually from a control center. A dedicatedclosed-loop control, referred to as secondary voltage con-trol, has been implemented in France and Italy and planned inother European countries [57]–[60]. The objective is to con-trol generators within zones, or regions, such that voltagesat selected “pilot points” are kept close to setpoints, whilemaking the reactive power production of each generator pro-portional to its reactive capability. The response time is in theorder of 1 min, which is also the time frame of LTC opera-tion.
This control provides some additional load power margin.In response to a load increase exceeding system capability,it tends to keep the voltage profile flat over a longer time in-terval, but it results in a sharper final decrease because allreactive reserves tend to be exhausted at the same time. Inci-
dentally, it also makes network voltage a poorer indicator ofan insecure situation.
To the author's knowledge, secondary voltage control hasnot been devised to face emergency situations, where a faster(and also coordinated) “boosting” of generator voltages isneeded. The latter, if performed over a large enough area,could preserve generator reactive reserves by reducing net-work reactive losses and increasing the production of shuntcompensation.
C. Operational Planning
Preventive evaluation of voltage security is mandatory inoperational planning and is felt more and more as a necessityin the real-time environment of control centers. Computermethodsusedtothispurposearedescribedinthenextsection.
In operational planning an important decision is the com-mitment of thermal units for security purposes. Deregulationis significantly changing the context in which such decisionsare taken. For given transactions between the transmissionsystem operator and the generation companies, security mar-gins have to be checked, the congestions have to be identi-fied, and the contracts adjusted accordingly. (For more de-tails on market issues, please refer to the other papers in thisissue.)
D. Real Time
Congestions due to voltage security may also appear inreal-time operation. In this context, candidate preventivecontrol may consist of rescheduling generation (shiftingactive power production, for instance, from cheap plantslocated far from a load center to closer but more expensiveunits) and/or starting up fast units (gas turbines, hydropowerplant). In some cases, it may be decided to preventivelyshed load (in accordance with interruptible load contracts)if the system is still stable but security margins are deemedinsufficient.
E. System Protection Schemes
The transmission open access and maximum profit envi-ronment will lead to operate power systems closer to theirlimits. In this context, the likely prevailing attitude will be tomaintain the security margins needed to face the most cred-ible contingencies and to rely on system protection schemes5
(SPS’s) to contain more severe disturbances. By SPS wemean automatic, curative actions aimed at avoiding or con-taining instability. SPS's are cost effective solutions consid-ering that preventive security has a price and severe distur-bances have low probabilities of occurrence.
AlthoughanSPSmayintegrateandcoordinateseveral typesof actions previously discussed, action on load is the ultimatecountermeasure.Thiscanbeimplementedindirectly throughamodifiedcontrolofLTC’sordirectlyas loadshedding.
The example of Section II-C has emphasized the role ofLTC’s in long-term voltage instability. Emergency control ofLTC’s can be achieved by LTC blocking, by bringing back
5Also referred to as special protection schemes.
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the taps to predetermined positions, or by reducing LTC set-points (a 5% voltage drop is a typical figure). In the lattercase, the sensitivity of load to voltage is exploited; from theviewpoint of customer voltage quality, although the distribu-tion voltage remains low, it is on the average less sensitive totransmission system transients [27].
Many power systems have several LTC levels in cascade,for instance between successively EHV transmission, HVsubtransmission, and MV distribution levels. The emergencyactions have to be coordinated because the action on one LTClevel affects the downstream voltages. One principle is tokeep voltages low at the distribution level (to decrease theload power) and maintain normal (or even higher) voltagesat subtransmission level (to keep low reactive power lossesand get the most out of shunt compensation).
LTC emergency control slows down the system degra-dation but is counteracted by other load power restorationmechanisms.6 Also, it can be complex to implement due tothe large number of distribution transformers to control.
Shedding a proper amount of load, at a proper place, withina proper time is the ultimate way of stopping voltage insta-bility [45], [61]–[63].
Short-term voltage instability due to induction motors re-quires fast load shedding, i.e., response times as fast as 1.5 s.This is fast enough to prevent the stalling of large inductionmotors. Selective load shedding consists in tripping induc-tion motor load, prone to short-term instability, in order tosave the system. Thermal protection (set to tolerate the highstarting current) cannot be relied upon to disconnect a motor;undervoltage protection is needed. Large industrial motorsare equipped with such a protection but not the small motorsused, e.g., in air conditioning, which may remain connectedafter stalling, drawing a large current and depressing volt-ages.
Let us quote a few aspects of load shedding7 againstlong-term instability, some of which being illustrated by thesimple example of Section II-C [51], [64]–[69].
1) The primary objective is to restore a long-term equilib-rium. With reference to Figs. 4(e) and 5(c), when somepart of the load is shed, the long-term load character-istic (the vertical dashed line) is shifted to the left. Fora large enough shift, the load and the postdisturbancenetwork characteristics cross again, defining the newlong-term operating point of the system.
2) As shown in Case 2, this action must take place beforethe system reaches a point where the short-term dy-namics become unstable, i.e., where a true “collapse”or “system disruption” occurs.
3) Furthermore, load shedding must take place fastenough so that the restored long-term equilibriumis attracting (otherwise the system will not recoverto this point but rather keep on plunging). It can beshown that, beyond some point in time, the longer onewaits, the more one has to shed to save the system(and the higher the voltage jumps).
6For a fast restoring load it can be even useless, if not detrimental [29].7Some of these remarks apply to other countermeasures as well.
4) Another requirement may be to avoid a cascade ofevents such as overcurrent tripping of lines or under-voltage tripping of field-limited generators.
5) The location of the (active and reactive) load sheddingmatters when dealing with voltage instability. Someanalytical methods can identify the most appropriateload buses, as outlined in Section IV-D. The fartherthe shedding from this location, the more one has toshed to save the system. This is significantly differentfrom underfrequency load shedding, which only aimsat maintaining a global active power balance.
All these aspects must be taken into account whendevising load shedding SPS's. The latter usually rely onlow transmission voltages at major load buses, possiblycombined with low reactive reserves on nearby generators.Several “blocks” of different magnitude can be shed, suchas for underfrequency. Considering the grave consequencesof load shedding, the smallest amount compatible with allthe above requirements must be shed, which depends on thedisturbance. The voltage thresholds must be set low enoughto avoid undue action but high enough to meet the speedrequirements 2) and 3) above. In voltage stability limitedsystems, severe disturbances may require to shed load a fewseconds after the initiating disturbance, which invalidates awidespread belief that long-term voltage instability leavesmore time to act. Even milder instability scenarios leavelittle time for an operator to react.
HVDC modulation can be also used to counteract shortand long-term voltage instability, especially when the HVDClink exports active power from a weak ac area. The fast con-trol of the dc power flow may help reducing both the activeand reactive power required from the ac system [70].
IV. A NALYSIS METHODS
This section gives an overview of methods to analyzevoltage instability scenarios and correspondingly assesssystem security. These methods are used at the variousdecision stages from planning to real-time. We have dividedthem into four categories, corresponding to the next foursections, respectively.
A. Contingency Analysis
Contingency analysis aims at analyzing the systemresponse to large disturbances that may lead to instabilityand collapse. The system is considered secure if it canwithstand each of a set of credible incidents, referred to ascontingencies.
1) Criteria: Although criteria differ from one system toanother, the following principles are widely accepted.
For long-termvoltagestabilityanalysis, thecrediblecontin-gencies are outages of transmission and generation facilities;the sequence of events leading to such outages does not reallymatter.Awell-knowncriterionisthe securityaccordingto which a system must be able to withstand any single trans-missionorgenerationoutage.Multiplecontingenciesmayalsobeconsidered;a typicalexample is thebus-bar fault clearedbytripping all equipments connected to the bar of concern. For
VAN CUTSEM: VOLTAGE INSTABILITY 215
short-term voltage stability, the system response to short-cir-cuits is investigatedinadditiontooutages.
As already mentioned, postcontingency controls may con-tribute to stabilize the system. However, a common practiceis to assess the system ability to survive the credible contin-gencies with the sole help of postcontingency controls that donot prevent load power restoration. For instance, shunt com-pensation switching or secondary voltage control will be con-sidered, but not LTC blocking, LTC voltage reduction, norload shedding, which impact on customers. Operator actionsare not considered either, being deemed too slow.
Complementary to this, the adequacy of stronger controlsis checked against more severe (i.e., less probable) distur-bances, e.g., when designing SPS's.
2) Static Versus Time-Domain Methods:The exampleof Section II-C has emphasized that the main cause oflong-term voltage instability is the loss of a long-termequilibrium. Basically, static methods focus on the existenceof such an equilibrium; they rely on algebraic equations,derived from the equilibrium conditions of the dynamicmodel (7)–(10), which we will write in compact form as
(12)
where is a vector of state variables anda vector of param-eters. A detailed derivation and discussion is given in [30].
Static methods can be used in a rather wide range ofsystems and problems. Expectedly, they also have limita-tions. For instance, they cannot account for postcontingencycontrols that depend on the system time evolution. Generallyspeaking, time-domain methods are computationally moredemanding but offer a higher modeling accuracy as wellas the possibility to study more involved instability mech-anisms, for instance when an equilibrium exists but is notattracting. Better interpretability of results (e.g., with respectto the sequence of events), possibility to obtain informationon remedial actions, educational aspects, etc., are among theother advantages.
Voltage security is one aspect of dynamic security. It isoften referred to as a separate class of problems because, for along time, dynamic security has been assimilated to transient(angle) stability only. Furthermore, the fact that static toolsare often used to speed up computations should not lead toassimilating voltage security to static security in a confusionof means and ends.
3) On the Use of Load Flow Equations:Most often, thepower system model at equilibrium (12) is approximated bythe standard load flow equations. This approach is very pop-ular because load flow programs are widely available andalso used in static security analysis. Some limitations of thismodel are noteworthy.
1) Loads are represented as constant power. This is justi-fied for a load controlled by an LTC, ignoring the dead-band of the latter. However, if the LTC hits a limit orin the absence of an LTC device, the long-term voltagedependence of the load should be taken into account.For instance, with the generic model (5), (6), an expo-nential model with exponent should be considered.
Fig. 7. VQ characteristics of a generator [30].
2) Generators are represented through either constantvoltage or constant reactive power. Fig. 7 shows thevoltage-reactive power characteristics of a generatorat three levels of active power generation. Under AVRcontrol, there is a voltage droop due to the use of aproportional controller (especially when the gain islow) [71]. Under field—and even more under arma-ture—current limit, the reactive power varies withvoltage. More importantly, the reactive power limitmust be updated with the active power.
3) Instead of being left to the slack bus, any active powerimbalance must be shared by generators according togovernor, load frequency control, etc., effects.
Voltage-dependent loads and slightly more elaborate gen-erator models can be incorporated to load flow calculations[9], [72]; an alternative is to consider QSS simulation is de-scribed later on in this section.
We discuss hereafter two static and two time-domainmethods which can be used for contingency analysis.
4) Postcontingency Load Flow:For long-term voltagestability analysis, the simplest approach consists in com-puting the postcontingency long-term equilibrium. Inunstable cases with no such equilibrium, any numericalmethod (usually the Newton algorithm) trying to solve theseequations will diverge; this divergence can be used as anindication of instability.
Beside the already quoted limitations of static methods,this approach suffers from two drawbacks: 1) the divergencemay result from purely numerical problems that do not (di-rectly) relate to a physical instability; this is particularly truein load flow calculations where controls have to be adjustedand/or many generators switch under reactive power limit;2) in truly unstable cases, we are left without information re-garding the nature and location of the problem.
5) Modified Load Flows:Several modifications to thestandard Newton method have been proposed to deal withcases of difficult convergence and/or absence of solution[65], [66], [73], [74]. In one of them, the sum of squaredmismatches is checked over successive iterations; whenis found to increase, a scaling factor is applied to theNewton correction. The value of is chosen to minimizealong the direction of the correction vector. The iterationsare stopped when either: 1) all mismatches are negligible,
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i.e., the equations have been solved, or 2)becomesnegligible, indicating that no further decrease incan beobtained. In the latter case, the largest mismatches point outthe troubled area. The handling of generator reactive limitsmay be delicate in this method.
6) Multitime-Scale Simulation:Short-term voltagestability simulation requires the numerical integration ofthe differential-algebraic model (7), (8). Basically, this isthe model used in transient (angle) stability studies, withproper account for load behavior. The numerical integrationmethods are the same [75].
Long-term voltage stability simulation requires the simu-lation of a whole model (7)–(10). This model is stiff, i.e., thedynamics of some part of the process are very fast comparedto the interval over which the whole process is studied (com-pare for instance a damper time constant of a few hundredthsof a second with the tap changing taking place over a fewminutes). A number of approaches are in use for simulationof this stiff model [28], [76]–[80].
1) Compute the whole system response with the smalltime step size needed for accurate simulation of theshort-term dynamics. This approach is simple since itmerely requires to add the long-term models to a stan-dard transient stability program. It is, however, a bruteforce approach resulting in large computing times andhuge amounts of output points;
2) Increase the step size after the short-term dynamicshave died out in order to subsequently filter out the fasttransients that are not significant. A provision may bemade to switch back to smaller step size upon detectionof a fast instability. A criterion is to observe the rate ofchange of the fast variables.
3) Have the step size automatically adjusted to the systembehavior, i.e., shorter when the fast dynamics are ex-cited, longer when only slow transients are present.
In the last two approaches, the increase in step size re-quires a numerically stable integration method, otherwise nu-merical noise will grow up (even if, in the exact response, thefast transients have completely vanished). Implicit methodshave much better numerical stability. A popular implicit in-tegration formula is the trapezoidal rule; the latter, applied to(7), (8), takes on the form
An iterative predictor-corrector scheme is needed to solvethese nonlinear equations. This scheme must also accom-modate the increase in step size, without degradation of theconvergence. Simultaneous integration using the Newtonmethod appears as the most appropriate.
In the third approach, the step size can be controlled so asto:
1) keep the number of Newton iterations in betweenbounds [75];
2) maintain a constant integration accuracy; awell-known technique consists in estimating the
local truncation error and adjusting the step sizein order to keep this error estimate close to sometolerance [81].
In long-term voltage stability simulation of large systems,the numerous discrete-type devices (see Table 1) give riseto frequent discrete transitions. The latter are an obstacle tolarge increases in step size, because the transition times haveto be identified with some reasonable accuracy, and too largetime steps would eventually require some time consuminginterpolation. Also, with a constant-accuracy control of inte-gration, the fast dynamics induced by the above transitionsmay cause the step size to decrease very often. In practice,it can hardly be increased beyond several tenths of a second(which, however, yields a substantial gain). The above dis-continuities can be avoided by using a continuous-time ap-proximation of the LTC model or a generic model of the type(5), (6) to represent LTC-controlled loads.
In spite of computer power increase and algorithmicdevelopments, multitime-scale simulation remains heavyin terms of computing times, data maintenance, and outputprocessing.
7) QSS Long-Term Simulation:To speed up long-termvoltage stability calculations, we have mentioned the useof larger time step sizes, which filter out the short-termtransients. The next degree of approximation consists insimulating the long-term dynamics with the short-termdynamics replaced by their equilibrium equations. Thisyields the QSS approximation of the long-term dynamics,already mentioned in Section II-F. The idea is rather old[6], but in the recent years it has been developed either asone mode of operation of a dynamic simulation package[64], [76] or as a separate time-domain simulation program[82]–[84]. It also generalizes the empirical “step-by-stepload flow” technique described in [26].
Formally, in the QSS model, (11) stems from the detailedshort-term model (8) set to equilibrium; in practice, however,a reduced set of the above equations, involving a reducedstate vector , is sufficient. For instance, three equations aresufficient to represent a synchronous generator, taking intoaccount saturation, AVR, and speed droop effects [30].
Fig. 8 shows the output of a QSS time simulation8 andgives a detailed view of the sequence of computed points.Each dot represents a short-term equilibrium point, i.e., a so-lution of (7) and (11) with and fixed at their currentvalues. The time step sizeis in the order of 1–10 s in prac-tice. The transitions from A to A′, B to B′, etc. come from thediscrete dynamics (9) of LTC’s, OEL’s, etc. The short-termdynamics being neglected, there is no point in identifyingvery accurately the time of each transition; rather, the variousdiscrete devices are checked “synchronously” at multiples ofthe time step and switched once their internal delays areoverstepped. The transitions from A′ to B, B′ to C, etc., cor-respond to the differential equations (10) and/or smooth vari-ations of parameters with time (e.g., during load increase).
8The curve shows the unstable evolution of a 550-bus system [84], causedby a line outage att = 2 s, followed by several shunt reactor trippings.
VAN CUTSEM: VOLTAGE INSTABILITY 217
Fig. 8. Principle and example of QSS time evolution.
Points A′, B′, etc., are obtained by solving (7) and (11) withrespectto and usingtheNewtonmethod,withaJacobianup-datedand factorizedasrarelyaspossible,e.g.,afterequipmenttrippings or OEL activation but not after tap changing or shuntcompensationswitching(unlessotherwizerequired).
If there is no differential equation (10), the system evolu-tion is a mere succession of short-term equilibria , and henceall points A, A′, B, B′, etc. are computed as indicated above.To deal with differential equations, an explicit integrationscheme is sufficient since the time step sizeis small com-pared to the time constants of (10). Moreover, a single-stepintegration method, with a partitioned solution scheme is bestsuited to the numerous discrete transitions.
QSS long-term simulation offers an interesting compro-mise between the efficiency of static methods and the ad-vantages of time-domain methods. It is accurate enough forsecurity analysis and adequate for real-time applications. Onthe other hand, as it focuses on long-term dynamics.
1) For severe disturbances, there is a risk of overlookingshort-term instability. To handle these situations, aninteresting solution is to couple the detailed short-termand the QSS long-term simulation, the former to checkthe system ability to survive the short-term period, thelatter to check the long-term evolution.
2) QSS simulation cannot reproduce the final systemcollapse in cases where the short-term dynamicsbecome unstable due to long-term instability. Forinstance, in the case of Fig. 5, QSS simulation stopswhen the voltage reaches 0.77 pu upon detection ofa loss of short-term equilibrium. For voltage securityassessment purposes, what happens to the systembeyond this point is of limited interest, the scenariobeing clearly identified has long-term unstable.
B. Loadability Limit Determination
While contingency analysis focuses on a particularoperating point, it may be also desirable to determine howfar a system can move away from this operating point andstill remain in a stable state. This type of analysis involveslarge but smooth deviations of parameters, which we referto as the system stress. The latter corresponds typically toload increases and/or generation reschedulings (e.g. withinthe context of a transaction) which stress the system byincreasing power transfer over (relatively) long distancesand/or by drawing on reactive power reserves.
Table 3Various Models Considered in Bifurcation Analysis
A case of practical interest is when the stress is distributedover a set of buses, according to participation factors. Thisleads to parameter changes of the type
(13)
where is a scaling factor and a “direction” of systemstress. A loadability limit corresponds to the maximum valueof such that the system remains stable.
The determination of loadability limits has promptedmuch interest for bifurcation analysis of power systems(let us quote nonexhaustively [85]–[91]). We briefly recallbelow some fundamentals of this analysis.
1) Voltage Instability and Bifurcations:The small-dis-turbance analysis of a power system relies on the differen-tial-algebraic (DA) model
(14)
(15)
The correspondence between this and the previously dis-cussed models is summarized in Table 3 [53].
Equations (14) and (15) are linearized into
(16)
where denotes the Jacobian matrix ofwith respect to, etc. Assuming that is nonsingular and eliminating
yields
(17)
with
(18)
Generally speaking, a bifurcation occurs when the quali-tative structure of the system (i.e., the number of equilibria,their stability, etc.) changes for a small variation of the pa-rameters. In the single-parameter family of DA problems,there are three generic bifurcations:
1) the saddle-node bifurcation (SNB), where two equi-libria coalesce and then disappear; at this point the Ja-cobian has a zero eigenvalue, i.e., is singular;9
2) the (Poincaré-Andronov-)Hopf bifurcation, wherethere is emergence of oscillatory instability; at this
9We only mention necessary conditions for bifurcations.
218 PROCEEDINGS OF THE IEEE, VOL. 88, NO. 2, FEBRUARY 2000
Fig. 9. Two pictures of a loadability limit.
point, two complex conjugate eigenvalues of crossthe imaginary axis;
3) the singularity-induced bifurcation, typical of DA sys-tems, where is singular.
Since voltage stability relates to loss of equilibrium, theSNB points are primarily of interest. At such points, issingular; using Schur's formula, it is easily to shown that the“unreduced” Jacobian (see (16)) is also singular. Note thatin , both and (resp. and ) are handled in the sameway. Thus, in general, if a system is described at equilibriumby equations of the type (12), the Jacobianis singular atan SNB point.
This singularity condition, monitored through the deter-minant, the smallest singular value, or the eigenvalue closestto the origin has been extensively used in the literature [8],[25], [26], [85], [92], [93]–[97].
When (12) is approximated by a load flow model, it can beeasily shown (using again Schur's formula) that the reducedJacobian of reactive power injections with respect tobus voltage magnitudes (under constant active power) is sin-gular together with . The matrix is at the heart of theapproach proposed in [79] and [98], in which modal decom-position provides an algebraic interpretation of the eigen-vectors relative to the (near) zero as well as other dominanteigenvalues.
At equilibrium, the sensitivities of a quantity withrespect to parametersare given by
(19)
where (resp. ) is the gradient of with respectto (resp. ) and the Jacobian of with respect to .Hence, the sensitivities tend to infinity as an SNB point is ap-proached. Applications of this property have been consideredin many papers, e.g., [8], [9], [97], [99]. Taking forthe total
Fig. 10. Effect onPV curves of a generator reactive limit.
reactive power generation and forthe (vector of) bus reac-tive loads [83], [100]–[102] yields sensitivities which coverthe whole system and merely require a factorization of thesparse matrix and a single substitution.
2) Loadability Limits: Loadability limits can be picturedin the space of parameters, as shown in Fig. 9(a). isthe bifurcation surface, characterized by . Whenloads behave as constant power in the steady state, a conve-nient parameter space is the bus power space. For the simplesystem of Fig. 1, the surface in the power space isthe parabola shown in Fig. 2.
Starting from an initial operating point O and stressing thesystem along direction, the loadability limit is reached atpoint L. Tracing a component of as a function of yieldsFig. 9(b), of which the traditional or curves are par-ticular cases. This figure illustrates that the number of solu-tions of (12) may change with . Only the upper branch ofoperating points (from O to L) is generally of interest.
3) Effect of Generator Limits:As already shown in Sec-tion II-C, the generator reactive power limits introduce non-linearities which significantly reduce the loadability limit ofa system.
This is illustrated with curves in Fig. 10(a). As thesystem is stressed with the generator under AVR control, thevoltage decreases along the OA path. At the breaking point A,the generator reaches its limit. With the generator under OELcontrol, the voltage evolves along the AC path. Assuming aconstantpowerload,theloadabilitylimitisatpointC,wherethenetworkandloadcharacteristicsaretangentandissingular.
The switching of a generator from AVR to OEL controlcan be formulated through inequality constraints. Now, inthe presence of such inequalities, a loadability limit may bereached at a point where the Jacobianis nonsingular [30],[103]. For instance, in Fig. 10(b), no further stress is pos-sible beyond point A; indeed, along path AB (assuming AVRcontrol) the generator would be overloaded, while along pathAC (assuming OEL control) the AVR would regain control.
VAN CUTSEM: VOLTAGE INSTABILITY 219
Hence, the loadability limit is at point A, where the networkand load characteristics are not tangent andis nonsin-gular.
Linear-type indexes such as eigenvalues, singular values,and sensitivities undergo discontinuities when generatorsswitch under limit. In the many cases where instabilityis precipitated by these switchings, linear indexes haverather poor anticipation capabilities. Linear analysis is moreuseful when carried out at the loadability limit providedby a nonlinear method, where it can provide an instabilitydiagnosis (e.g., through eigenvector analysis, as explainedin Section IV-D).
We now concentrate on four methods to obtain loadabilitylimits.
4) Continuation methods [26], [99], [104]–[108]:Themost natural way to determine a loadability limit is by com-puting the “solution path” of (12), (13) for varying (seeFig. 9(b)). In practice, only a small part of the lower solutionbranch is sought, the objective being to ascertain (e.g., visu-ally) that the SNB point has been crossed.
Denoting by the dimension of both and , (12), (13) isseen as a set ofequations in the variables and . Asolution point is thus obtained by fixing one variable, calledthe “continuation parameter”. We restrict our description tothe simple “local parametrization technique,” which workssatisfactorily in most cases.
1) Far enough from the SNB point,is used as the “con-tinuation parameter,” solving (12) and (13) repeatedlyfor increasing values of . As the SNB point is ap-proached, may become ill-conditioned and beyondthis point, (12) and (13) have no solution.
2) Therefore, once the Newton iterations diverge, thecontinuation parameter is changed fromto onevoltage magnitude (e.g., the lowest or the fastestdecreasing) and (12) and (13) are solved forandthe other components of repeatedly fordecreasing values of the fixed voltage. The crossingof the loadability limit is indicated by a decrease in.
Generator limits are enforced as one progresses along thepath. A predictor-corrector scheme can be used to speed upcalculations. The secant predictor (or first-order extrapola-tion) does not require any extra computation. Step-lengthcontrol has been also proposed to decrease the number ofpoints on the low-curvature parts of the solution path.
5) Time Simulation Coupled with Senstivity Anal-ysis: Time simulation coupled with sensitivity analysis canalso be used to determine loadability limits [64], [83].
The time response of the system to a ramp increase inisevaluated. The rate of increase of the stress must be as highas possible to save computing time but low enough so thatthe system can be considered to pass from one equilibriumto another.
Using a model which includes load power restoration,the SNB point is crossed without numerical difficulty. Thiscrossing is characterized by one real eigenvalue ofgoingfrom negative to positive and sensitivities of the type (19)change sign through infinity. The latter can be computed
at regular time intervals. QSS time simulation, stopped assoon as the sensitivities change sign, can be used to speedup calculations.
6) Curves [14], [109]: A curve expresses therelationship between the reactive power at a given bus andthe voltage at that bus. It can be produced with a standardload flow program by adding at the bus of concern a fictitiousgenerator with zero active power and recording its reactiveproduction as its voltage is varied. This technique isa particular continuation method, providing the loadabilitylimit with respect to a single bus reactive load increase.
Fig. 11 shows curves corresponding to a stable and anunstable situation, respectively.
In curve 1, point O is the system operating point, solutionof (12), with the fictitious generator producing nothing. As itsvoltage is decreased, the generator consumes more and morereactive power, while after crossing the loadability limit L,the opposite happens. is the reactive margin with respectto instability (by loss of equilibrium). Some planning criteriarequire the individual margins relative to various buses tobe above some threshold [56].
The fictitious generator, if properly located, may also helpconvergence in difficult cases. Assume, for instance, thatconvergence problems are met when seeking the solutionpoint O, while with the fictitious generator holding its voltageat—say—one per unit, the solution O' is easily found. Point Ocan be reached by progressively decreasing the voltage of thegeneratoruntil the latterproducesnopower.
Finally, curve 2 in Fig. 11 illustrates an unstable situation,with no system equilibrium. is the margin to operability.The curve can be used to determine the minimum shuntcompensation needed to restore an operating point.
It must be emphasized that by varying the reactive powerat a single bus, the system is driven to instability in a some-what artificial way, very different from that imposed by a realpower transfer.
7) Optimization Methods [72], [110]–[113]:Loadabilitylimits can be computed as corresponding to the maximumvalue of such that (12) and (13) have a solution. Hence, thefollowing optimization problem has to be solved:
(20)
subject to (21)
The limit is computed directly, without determining the so-lution path between the base case and limit points. The opti-mization method is thus expected to be computationally moreefficient than the continuation method. On the other hand,the latter is more attractive when the effect of controls actingalong the solution path must be incorporated, or when it is ofinterest to obtain the solution path explicitly.
Defining the Lagrangian relative to (20) and (21), andsetting to zero its derivatives with respect to and La-grange multipliers , we obtain the first-order optimalityconditions:
(22)
(23)
(24)
220 PROCEEDINGS OF THE IEEE, VOL. 88, NO. 2, FEBRUARY 2000
Fig. 11. VQ curves.
Note that (22) expresses that is singular, the vector ofLagrange multipliers being the left eigenvector of the zeroeigenvalue. [94] used a formulation quite close to the aboveequations.
The nonlinear equations (22)–(24) can be efficiently solvedby the Newton method. The corresponding Jacobian matrix isabouttwiceaslargeas ,but(beingtheHessianof) it issym-metric. It isalsoverysparseandcanbestoredandmanipulatedin blocked form. With proper initialization of the methodconvergesquicklyandreliably to theoptimum.
The key point, however, is the handling of inequality con-straints, mainly those relative to generator reactive powerlimits. As in any constrained optimization, the problem isto identify with reasonable effort which contraints are ac-tive at the solution. In the continuation method, generatorsare switched under limit along the solution path; in the opti-mization approach, this sequence of switchings is not knowna priori. Reference [72] describes a procedure converging ina few steps to the set of limited generators, the correspondingequations (22)–(24) being solved at each step. As an alterna-tive, the interior point method has been successfully appliedto this problem. This approach, based on penalty “barrier”functions, can handle various types of inequalities. It requiresto solve a sparse system of much greater size than (22)–(24);again, the use of efficient sparsity techniques is essential topreserve the computational advantages over the simpler con-tinuation method.
Insomeapplications the loadability limit canbeobtained asthesolutionofanoptimalpower flowwithamore“traditional”objective than (20). For instance the maximal power transferfrom one area to another can be obtained as the solution of aneconomicdispatchproblemwith fictitiouscheap(resp.expen-sive) production costs assigned to generators in the sending(resp. receiving) area. As another example, reactive powermargins to stability can be computed, in unstable cases, byminimizingthetotalshuntreactivepoweradditions[114].
C. Determination of Security Limits
It is desirable to combine the stress and contingencyanalyses to eventually determine security limits. The lattercorrespond to the maximum stress that the system canaccept, taking into account contingencies.
There are basically two types of security limits. Given adirection of system stress and a list of contingencies:
1) postcontingency loadability limits (PCLL’s) indicatehow far the system can be stressed after the occurrenceof each contingency;
2) secure operation limits (SOL’s) indicate how far thesystem can be stressed prior to any contingency, suchthat it will remain stable after the contingencies [115],[116].
A PCLL provides a measure of the security margin leftafter a contingency. This notion is linked to the permanentcharacter of contingencies (namely equipment outages). Itcan be computed by applying one of the methods describedin Section IV-B to the postcontingency configuration of thesystem.
An SOL is easier to interpret insofar as it refers toprecontingency parameters that operators can either observe(e.g., load increase) or control (e.g., generation reschedulingwithin the context of a transaction). Also, there is a clearseparation between:
1) the precontingency configuration where operatorsand/or controllers react to the system stress, e.g., byswitching shunt compensation, by adjusting generatorvoltages or transformer tap positions (on manualcontrol), or through secondary voltage control; inpractice, a load flow (or an optimal power flow) pro-gram is used to generate the precontingency operatingpoints;
2) the postcontingency configuration, where only au-tomatic controls are assumed to react; the systemresponse to the contingency and these controls isanalyzed by one of the methods described in Sec-tion IV-A.
For both types of limits, contingency filtering (orscreening) is a key point for the success of real-time VSA.The objective is to quickly identify a group of contin-gencies containing the one(s) with the smallest securitylimit(s). Some methods have been proposed to avoid thehuge computational effort of determining PCLL’s for allcontingencies (e.g., [55], [74], [117], [118]). The proceduresfor computing SOL’s seem better suited to incorporatecontingency filtering, as explained hereafter.
In the remainder of this section we describe one implemen-tation of a combined SOL determination and contingency fil-tering procedure [116], [119].
Binary search10 is a simple and robust method to deter-mine the SOL with respect to one contingency. It consistsof building an interval of stress such that corre-sponds to a stable postcontingency evolution,to an un-stable one, and is smaller than a specified tolerance
. The search starts with set to , the maximum stressof interest and to a (possibly negative) lower bound ofthe sought limit. At each step, the interval is divided in twoequal parts; if the midpoint is found stable (resp. unstable) itis taken as the new lower (resp. upper) bound. The procedure
10Also referred to as dichotomic search or bisection method.
VAN CUTSEM: VOLTAGE INSTABILITY 221
Fig. 12. Principle of the binary search of an SOL.
is illustrated in Fig. 12, with the arrows showing the sequenceof calculations.
When the objective is to determine the SOL with respectto the most severe of a set of contingencies, it would be awaste of time to repeat the procedure of Fig. 12 for eachcontingency. It is more efficient to perform a “simultaneous”binary search (SBS) as outlined in Fig. 13. At a given step ofthe binary search, the various contingencies stemming fromthe previous step are simulated. If at least one of them isunstable, the stable ones can be discarded since their limitsare higher than the current stress level; the search proceedswith the unstable ones only. As an interesting by-product,this procedure provides a lower bound of the security limitrelative to each contingency; the smaller the limit, the moreaccurate this bound. It can be parallelized by distributing thecontingency analyses over several computers.
One can also specify a level of stress below which all limitsare calculated with the accuracy and above which onlylower bounds are provided. Indeed, it may be of interest toknow others than the smallest limit, especially when the lattercorresponds to a severe contingency with a low probabilityof occurrence, or a contingency for which instability does notaffect a large part of the system.
For real-time and even operational planning applications,the contingency analysis methods compatible with the speedrequirement appear to be the post-contingency load flow(possibly modified) [120] and the QSS time simulation[119].
We have already quoted the advantages of the latterin terms of accuracy, speed, and possibility of obtaininginformation in unstable cases. QSS time simulations them-selves can be shortened by monitoring the total unrestoredload power, i.e., the difference between the total loadpower at time and its value at long-term equilibrium.Simply stated, in a stable case, goes back to zero in thepostcontingency period,11 while in an unstable case, it goesthrough a maximum and then decreases. The simulationcan be stopped once it is clear that this maximum has beencrossed.
When a large set of contingencies has to be processedby an SBS, a prefiltering (or screening) is essential. To thispurpose, one may resort to a simplified postcontingencyload flow, performed at maximum system stress; the contin-gencies for which convergence takes place can be discardedsince they will be even more harmless at the smaller stresslevels to be tested in the SBS. Further speed up can be
11Assuming that LTC’s do not reach their limits.
Fig. 13. Principle of the simultaneous binary search.
obtained by: 1) stopping the load flow iterations as soonas divergence can be predicted (monitoring, e.g., the sum
of squared mismatches) or 2) ignoring controls in thissimplified computation. However, those controls with anegative impact on voltage stability (such as the switchingof reactive power limited generators) must be taken intoaccount. As for any contingency screening, a compromizemust be found between simplicity, the overhead of too manyfalse alarms and the risk of missing a harmful contingency.
Attention has been also paid to decreasing the numberof simulations required to determine the SOL relative to acontingency, by extrapolating stability or instability indicesobtained from time-domain simulations [119], [121]. Thisspeed-up is more critical when multitime-scale simulationis used for contingency analysis. When dealing with severalcontingencies, this technique should be combined with SBS.
D. Preventive and Corrective Control
It is desirable to determine the best control actions to cor-rect a weak situation. Preventive controls deal with actionsto be taken in a precontingency situation in order to increasethe security margin with respect to one (or several) “lim-iting” contingency(or contingencies). Corrective controls, onthe other hand, deal with actions taken in a given postdistur-bance configuration in order to restore system stability.
1) Preventive Control Identification Based on Eigen-vector: As long as instability is linked to SNB, theidentification of the most effective controls to correct a weaksituation may rely on eigenvector information. The theo-retical basis for using the (left) eigenvector is summarizedhereafter [122].
Assume that the system described at equilibrium by (12)is stressed according to (13) up to reaching a loadability limitcorresponding to the maximum value of the parameter .It can be shown that the sensitivity of the margin withrespect to a vector of parametersis given by [123]
with (25)
where (resp. ) is the Jacobian of with respect to(resp. ) and is the left eigenvector corresponding to thezero eigenvalue of . An interesting particular case is whenthe parameter space is the bus power space andis the vectorof initial bus injections . The above formula becomes
(26)
With reference to Fig. 9(a), it can be easily shown thatisthe normal vector to bifurcation surfaceat the SNB point
222 PROCEEDINGS OF THE IEEE, VOL. 88, NO. 2, FEBRUARY 2000
L. Once point L and vector are known, it is possible to buildthe tangent hyperplane, which approximates linearly the
surface12 in the neighborhood of L.In preventive mode, the sensitivities (25) allow one to de-
termine the change in margin induced by a given change inparameters or conversely, to find the amount of parametervariation required to increase the margin by a given amount.In particular, (26) can be used to determine suitable locationswhere generation should be increased or load decreased.
Incidentally, the above properties have inspired researchwork on the determination of the closest bifurcation point inthe parameter space [in Fig. 9(a), the point ofclosest to theoperating point O] [124] or the optimization of the marginwith respect to parameters [125]. Note that the pure criterionof minimum Euclidian distance in the bus power space maylead to unrealistic load increase patterns.
Among the loadability limit determination methods de-scribed in Section IV-B, the optimization approach automat-ically provides in the form of Lagrange multipliers, as canbe seen from (22). In other approacheshas to be com-puted separetely. This computation is not demanding as faras one focuses on the zero eigenvalue only, in practice on thedominant real eigenvalue. Iterative methods based on the Si-multaneous Iterations algorithm [28], [98] can converge tothe eigenvalue closest to an estimate(zero or a small pos-itive number in our case) while avoiding convergence prob-lems due to the presence of several other eigenvalues closeto . At each iteration, a linear system with the sparse matrix
is solved.2) Corrective Control Identification from Eigen-
vector: Coming back again to Fig. 9(a), assume now thatthe system operates initially at the long-term equilibrium O′,which is inside the predisturbance bifurcation surface.In an unstable case, a severe disturbance causes this surfaceto shrink from to , so that point O′ is left outside thenew feasible region. As already mentioned, the objectiveof corrective actions such as load shedding is to restore anequilibrium, i.e., to move O′ inside the new feasible region.If one point of can be obtained, the tangent hyperplane ap-proximation allows to identify the most effective correctivecontrols as corresponding to the shortest distance betweenO′ and .
In static approaches, one can obtain one point ofusing amodified load flow [65], [66] or a continuation method [126].When using (QSS) time simulation, this point can be identi-fied along the unstable system trajectory, through a change insign of sensitivities, as explained in Section IV-B [64], [69],[83].
A minimum distance in the Euclidian sense may be used todetermine the optimal corrective control [65], [66]. In prac-tice, one corrective control may involve several parameterchanges (e.g., both the active and reactive powers are de-creased when shedding load); it is thus appropriate to con-sider directions of parameter changes, such asor inFig. 9(a). In this example, is more efficient than since
12Equation (26) can be obtained from simple geometrical considerationsusingH:
the distance between O′ and measured along is smallerthan the one measured along. These distances are used in[64], [69], and [83], to rank control actions on bus injections.In the case of load shedding, for instance, loads are shed byincreasing order of these distances (taking into account theinterruptible part of each) up to restoring stability.
Let us emphasize that the tangent hyperplane is a linearapproximation of the highly complex bifurcation surface.On one hand, this surface has some curvature; on the otherhand, it is made up of several parts corresponding to differentgenerators under reactive limit. While the left eigenvectorcan point out adequate controls (for instance rank buses ac-cording to the efficiency of load shedding), an accurate deter-mination of the amount of corrective action requires to eval-uate the effect of this action with a nonlinear method. When atime-domain simulation method is used to this purpose, thetiming aspect of the corrective action can be also checked[69], [127].
3) Preventive Control Based on Optimal Power Flow:InSection IV-B we presented optimization methods as one wayof computing loadability limits. The optimization problem,defined by (20) and (21), had a single degree of freedom.Optimization methods also allow to incorporate adjustablecontrols and compute the larger loadability limit which canbe achieved with these additional degrees of freedom [128],[129]. For instance, generator powers or voltages may be letfree to vary within specified ranges.
4) Corrective Control Based on Optimal Power Flow:Asrecalled above, the primary objective of corrective control isto bring back point O′ into the feasible region of operation,in some optimal manner. This problem, often referred to assolvability restoration, can be formulated as an optimizationproblem: minimize the amount of corrective actions, subjectto the system equilibrium equations (12) and the inequalitiescorresponding to—at least—generator reactive power limits.For instance, in order to determine the minimal load shed-ding, the objective function can be taken as , where
is the load active power and the (unknown) fractionof the load shed at the-th bus (the same fraction appliesto the reactive load). Upper bounds can be specified on,e.g., to obey load interruptibility contracts. The interior pointmethod has been successfully applied to this particular op-timal power flow problem [128], [129].
This approach identifies the most appropriate controls anddetermines their optimal variations in a single step. It alsooffers the possibility of incorporating operating constraintsin addition to generator reactive limits. On the other hand,it relies on a load flow model and should be complementedwith a verification of the control timing aspect.
V. PERSPECTIVES
Over the past decade, significant progress has been madein the understanding of voltage instability mechanisms, theimplementation of countermeasures, and the developmentof computer methods. This paper has described (nonex-haustively) some of the current practices as well as somepromising approaches.
VAN CUTSEM: VOLTAGE INSTABILITY 223
By way of conclusion, we would like to mention sometopics which, in our opinion, deserve particular attention.
1) Load behavior is at the heart of voltage instability. Asfar as loads restore to constant power due to LTC action,their short-term behavior has a rather limited impact;however, this is no longer true when the problem is todesignacontrollerorasystemprotectionschemeaimedat acting quickly after a disturbance or during the loadrecoveryphase.Similarly, security limitswhich involvea regional load increase are somewhat affected by theuncertaintyontheparticipationof individual loads.Thisleads to operate the system with some security marginfrom the computed limit (typically a few percents ofthe latter). More work will certainly be done in the areaof load model identification from field measurements.Nevertheless, the aggregate loads seen from bulkpowerdelivery transformers are likely to remain the mostuncertain power system components. Statistical eval-uations of the impact of this uncertainty are needed, forboth preventive security analysis and corrective controldesign.
2) The next challenge is the development and implemen-tation of a true VSA in the real-time environment ofcontrol centers. To the author's knowledge there are fewenergy management systems including this function.Let us quote more specifically: the efficient determina-tion of security regions (e.g., in the context of multipletransactions), the handling of multiple contingencies inpreventive security enhancement, the real-time mod-eling of external and lower voltage-level systems, thedevelopmentof indexes tomeasure theseverityof insta-bility(e.g.,withrespecttotheextentoftheaffectedarea),a more refined evaluation of reactive power reservestakingcontingencies intoaccount,etc.
3) Complementary to preventive security analysis, thereis a need for methods allowing a better and more au-tomatic design of system protection schemes, in par-ticular undervoltage load shedding. Closed-loop con-trol is needed to face system modeling uncertainties.Methods are needed to optimize the protection param-eters over a large set of scenarios. Beside the tradi-tional protection scheme gathering local information,can we think of a protection based on the real-time,system-wide model available in the control center?The long-term nature of phenomena together with acontrol of LTC’s to slow down the system degradationmight leave time to a computer to identify the problemand trigger corrective actions.
4) While proven methods are available to speed up theanalysis of long-term voltage stability, the counterpartinshort-termvoltagestability isnotsomuchdeveloped.Attentionshouldbealsopaidtosituationswhereahigherstress or a higher disturbance severity makes the insta-bilitychangefromthelong-termtotheshort-termtype.
5) Very promising results have been obtained in the fieldof Automatic Learning methods [130]–[132], aimed atextracting from large statistical data bases of scenariosa higher-level information on the system behavior.
ACKNOWLEDGMENT
The author would like to thank C. Vournas of the NationalTechnical University of Athens, Greece, whose valuable dis-cussions benefited this paper.
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Thierry Van Cutsem (Member, IEEE) was bornin Charleroi, Belgium, in 1956. He graduated inelectrical and mechanical engineering from theUniversity of Liège in 1979, and he obtained theAgrégé de l'Enseignement Supérieur (Ph.D.) de-gree in 1984 from the same institution.
Since 1980 he has been with the FNRS(Belgian National Fund for Scientific Research),where is now Research Director. He is alsolecturer at the University of Liège, Belgium. Hisresearch interests are in power system dynamics,
control, and stability, numerical simulation, and security analysis. He hasdeveloped a software for voltage stability and security analysis whichis used by several power companies. He is co-author of the monographVoltage Stability of Electric Power Systems(Kluwer, 1998)
Dr. Van Cutsem is a member of several IEEE and CIGRE working groups.
VAN CUTSEM: VOLTAGE INSTABILITY 227
