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ÉCOLE NATIONALE DES SCIENCES GÉOGRAPHIQUES
Systèmes de référence et de
coordonnées
Fascicule 1 : L'ellipsoïde
Serge Botton
Novembre 2011
Système de référence et de coordonnées : l'ellipsoï de 2010 2 ENSG / DPTS
P L A N - Définitions d'un ellipsoïde géodésique, d'un méridien origine - Géométrie de l'ellipsoïde de révolution aplati:
. Paramétrages . Coordonnées géographiques . Arc d'ellipse . Courbures et lignes géodésiques
Système de référence et de coordonnées : l'ellipsoï de 2010 3 ENSG / DPTS
DÉFINITION DE L ' ELLIPSOÏDE DE RÉVOLUTION APLATI ( 1 / 2 )
Dans le plan affine muni du repère 1 2R ( ; , )O= u u , considérons le cercle C de centre O et de rayon a,
U1
M
a
bm
O u1
2u
U2
( )R21,UUm
R21,
Ua
bUM
La transformée de C par l'affinité de rapport a
b selon u2 est une
ellipse E de centre O et de grand axe selon u1.
Rotation de E autour de (O,u1)
� Ellipsoïde de révolution allongé Rotation de E autour de (O,u2)
� Ellipsoïde de révolution aplati
Système de référence et de coordonnées : l'ellipsoï de 2010 4 ENSG / DPTS
DÉFINITION DE L ' ELLIPSOÏDE DE
RÉVOLUTION APLATI ( 2 / 2 )
Rotation de E autour de (O,u1)
� Ellipsoïde de révolution allongé
Rotation de E autour de (O,u2)
� Ellipsoïde de révolution aplati
L'ellipsoïde de révolution aplati est la forme mathématique simple qui modélise le mieux la surface terrestre.
Système de référence et de coordonnées : l'ellipsoï de 2010 5 ENSG / DPTS
PARAMÉTRAGE DE L ' ELLIPSOÏDE
Utilisation des coordonnées
sphériques (a,λ,u): Les coordonnées d'un point
m quelconque de la sphère sont:
λλ
ua
ua
ua
m
sin
cossin
coscos
O
p
P
M
m
HA
b
a
i j
ku
λ
L'ellipsoïde étant le transformée de la sphère par l'affinité de rapport
ab selon k, les coordonnées d'un point M quelconque de l'ellipsoïde
sont:
λλ
ub
ua
ua
M
sin
cossin
coscos
Système de référence et de coordonnées : l'ellipsoï de 2010 6 ENSG / DPTS
QUELQUES DÉFINITIONS
• u: latitude paramétrique
• λ: longitude O
i j
k u
λ
équateur
méridien
parallèle
PN
M
• Axe de rotation: axe des pôles
• Intersection de l'axe des pôles avec l'ellipsoïde: pôles Nord et Sud
• Plan ( )j,i;O : plan équatorial
• Intersection du plan équatorial avec l'ellipsoïde: équateur
• Intersection du plan contenant l'axe des pôles avec l'ellipsoïde: courbe méridienne
� courbe le long de laquelle λ est constant � 1ère courbe-coordonnées
• Intersection d'un plan parallèle à l'équateur avec l'ellipsoïde: cercle parallèle
� courbe le long de laquelle u est constant � 2ème courbe-coordonnées
Système de référence et de coordonnées : l'ellipsoï de 2010 7 ENSG / DPTS
COORDONNÉES D ' UN POINT
DE L'ELLIPSE MÉRIDIENNE ET DE L'ELLIPSOÏDE
a
b
Z
r
m
M
Oi jk u
Coordonnées paramétriques d'un point M quelconque de l'ellipse méridienne:
==
ubZ
uarM
sin
cos
Équation cartésienne de l'ellipse méridienne:
12
2
2
2
=+b
Z
a
r
→ Équation cartésienne de l'ellipsoïde de révolution:
12
2
2
22
=++b
Z
a
YX
Système de référence et de coordonnées : l'ellipsoï de 2010 8 ENSG / DPTS
DÉTERMINATION DE L ' ELLIPSOÏDE (1/2)
Définition géométrique:
Définition à l'aide de deux paramètres géométriques:
• demi grand axe a et demi petit axe b
• a et aplatissement f (en anglais "flattening"):
a
baf
−=
• a et (première) excentricité e :
2
22
a
bae
−=
• a et deuxième excentricité e' :
2
22
'b
bae
−=
Système de référence et de coordonnées : l'ellipsoï de 2010 9 ENSG / DPTS
DÉTERMINATION DE L ' ELLIPSOÏDE (2/2)
Définition dynamique:
Un ellipsoïde de masse M crée un champ de gravité dont le potentiel U se développe en harmoniques sphériques sous la forme:
( )
θ
−= ∑∞+
=cosP1 22
1
2
nnn
n
Jr
a
r
GMU
où: • le terme r
GM correspond au cas d'une sphère homogène,
• les fonctions ( )θcosP2n sont les polynômes de Legendre de
degrés 2n,
• les coefficients J2n sont inconnus. Ils dépendent de la géophysique de la Terre. Ils s'expriment tous en fonction de J2.
On a: mffmfJ21
2
3
1
3
1
3
2 22 +−−=
avec GM
bam
22Tω= , ωT étant la vitesse de rotation de la Terre
� La donnée de a et J2 définit donc parfaitement l'ellipsoïde.
Système de référence et de coordonnées : l'ellipsoï de 2010 10 ENSG / DPTS
EXEMPLES D ' ELLIPSOÏDES
Désignation
Définition
Paramètres
géométriques dérivés
Ellipsoïde des poids et mesures (1799)
a = 6375739,0 m f = 1/334,29
b ≈ 6356666,521 m
Clarke 1866
a = 6378206,4 m b = 6356583,8 m
Clarke 1880 IGN
a = 6378249,2 m b = 6356515,0 m
Hayford 1909 (International 1924)
a = 6378388,0 m f = 1/297
b ≈ 6356911,946 m
GRS 1980
a = 6378137,0 m J2 = 108263.10-8
b ≈ 6356752,314 m
etc.
En moyenne: a ≈ 6380000 m f ≈ 1/300 e2 ≈ 1/150
Système de référence et de coordonnées : l'ellipsoï de 2010 11 ENSG / DPTS
CONNAISSANCE DES PARAMÈTRES D'UN ELLIPSOÏDE EXEMPLE 1 : CLARKE 1880
"Geodesy"; A.R.Clarke; 1880:
a = 20 926 202 pieds b = 20 854 895 pieds b
a =
292,465
293,465 , soit
1
293,465f =
Pour la conversion des pieds en mètres:
"Comparisons of the standards of length"; A.R.Clarke; 1866:
→ "Clarke 1880 anglais":
a = 6378249,14533 m f = 1/293,495 soit b ≈ 6356514,870 m
→ "Clarke 1880 IGN":
a = 6378249,20 m b = 6356515,02 m
Utilisation d'un autre facteur de conversion:
→ "Clarke 1880 Palestine":
a = 6378300,789 m b = 6356566,435 m
"Clarke 1866":
a = 6378206,4 m b = 6356583,8 m
Système de référence et de coordonnées : l'ellipsoï de 2010 12 ENSG / DPTS
CONNAISSANCE DES PARAMÈTRES D'UN ELLIPSOÏDE EXEMPLE 2 : ELLIPSOÏDE D ' EVEREST
"Lambert numerical tables, India Zone IV"; (1943):
a = 6 974 310,6 yards = 20 922 931,8 pieds 1 yd = 3 ft
1
300,8017f =
Conversion en mètres:
- utilisation du facteur de conversion du "pied indien":
1 Ind ft = 0,304 798 41 m
→ a ≈ 6 377 276,345 m → b ≈ 6 356 075,413 m
(ellipsoïde "Everest 1830" utilisé au Bengladesh)
- utilisation du "pied du Survey of India":
1 ft S.o.I. = 0,304 799 6 m
→ a ≈ 6 377 301,243 m → b ≈ 6 356 100,228 m
- utilisation du "British imperial yard" (Weights and Measures Act, 1872):
=⇔=
m 73799304,0ft Imp 1
m 203990,914=yd Imp 1yd Imp
36113370,39
m 1
→ a ≈ 6 377 304,033 m → b ≈ 6 356 103,009 m
Utilisation du "International yard" (1959) et du "Survey foot":
36001 Int yd m
3937= , et
12001 Surv ft m 0,304800610 m
3937= =
Système de référence et de coordonnées : l'ellipsoï de 2010 13 ENSG / DPTS
CONNAISSANCE DES PARAMÈTRES D'UN ELLIPSOÏDE EXEMPLE 3 : GRS80
A.G. de l'Association Internationale de Géodésie à Canberra en 1979:
Adoption de l'ellipsoïde "Geodetic Reference Surface 1980" (GRS80):
a = 6378137,0 m GM = 3986005 108 m3/s2 J2 = 108263 10-8 ωT = 7292115 10-11 rad/s
D'où: b ≈ 6356752,3141 m
Définition du "World Geodetic System 1984" (WGS84) par la Defense Mapping Agency (DMA, Etats-Unis):
Utilisation de GRS80, mais recalcul des paramètres géométriques:
b = 6356752,3142 m
Système de référence et de coordonnées : l'ellipsoï de 2010 14 ENSG / DPTS
VECTEURS TANGENTS À L'ELLIPSOÏDE
Soient pt vecteur tangent au cercle parallèle et mt vecteur tangent au méridien.
p
∂∂λ
= OMt
m u
∂∂
= OMt
O
M
ij
k
λ
u
tp
t m
λλ
ub
ua
ua
sin
cossin
coscos
OM donc
λλ−
0
coscos
cossin
p ua
ua
t et
λ−λ−
ub
ua
ua
cos
sinsin
sincos
mt
Système de référence et de coordonnées : l'ellipsoï de 2010 15 ENSG / DPTS
VECTEUR UNITAIRE NORMAL À L'ELLIPSOÏDE
Appelons n le vecteur unitaire normal à l'ellipsoïde. La latitude géographique ϕ est l'angle entre le plan équatorial et n.
On a uϕ >
( cf. page 18 )
O
M
n
ij
k
λ
ϕ
tp
t m
u
Système de référence et de coordonnées : l'ellipsoï de 2010 16 ENSG / DPTS
RELATION ENTRE LA LATITUDE PARAMÉTRIQUE u
ET LA LATITUDE GÉOGRAPHIQUE ϕϕϕϕ ( 1 / 3 )
O
M
n
ij
k
λ
ϕ
tp
t m
uλ
+=+=
ksinucosn
jsinicosu
ϕϕλλ
λ
λdonc les composantes de n sont
ϕϕλϕλ
sin
cossin
coscos
Système de référence et de coordonnées : l'ellipsoï de 2010 17 ENSG / DPTS
RELATION ENTRE LA LATITUDE PARAMÉTRIQUE u
ET LA LATITUDE GÉOGRAPHIQUE ϕϕϕϕ ( 2 / 3 )
La définition de n impose que n soit un vecteur unitaire orthogonal à pt et nt :
ainsi mp
mp
tt
ttn
∧∧
=
où
λλ
∧uua
uba
uba
cossin
cossin
coscos
2
2
2
mp tt
on aboutit à ubuaua 2222mp cossincos +=∧ tt
Siueubua
bw
222222 sin1
1
cossin ′+=
+= ,
alors w
uba cosmp =∧ tt
et
λλ
ub
wauw
uw
sin
cossin
coscos
n
Système de référence et de coordonnées : l'ellipsoï de 2010 18 ENSG / DPTS
RELATION ENTRE LA LATITUDE PARAMÉTRIQUE u
ET LA LATITUDE GÉOGRAPHIQUE ϕϕϕϕ ( 3 / 3 ) Transformation de u à ϕϕϕϕ:
uwcoscos =ϕ
uwb
asinsin =ϕ
uew
22 sin1
1
′+=
et ub
atantan =ϕ
Transformation de ϕϕϕϕ à u:
wu
ϕ= coscos
wa
bu
ϕ= sinsin
ϕ−= 22 sin1 ew
ϕ= tantana
bu
Relation différentielle entre u et ϕϕϕϕ:
La différentiation de la relation ub
atantan =ϕ donne:
ϕϕ= 22 cos
d
cos
d
a
b
u
u
2cos
1tan'=
ainsi 2d
d
aw
bu =ϕ
Système de référence et de coordonnées : l'ellipsoï de 2010 19 ENSG / DPTS
MÉRIDIEN ORIGINE Méridien origine: Plan méridien passant par un lieu L donné servant d'origine à la mesure des longitudes λ'. Soient λ la longitude de M par rapport à Greenwich, λ0 la longitude de L par rapport à Greenwich, En valeurs algébriques, λ = λ' + λ0
X
Y
Z
h
λ
ϕ
0M
M
λ 'λ0
L
Longitude origine de Paris par rapport à Greenwich: 2°20'14,025" Est
Système de référence et de coordonnées : l'ellipsoï de 2010 20 ENSG / DPTS
COORDONNÉES GÉOGRAPHIQUES
- longitude λ: angle entre le plan méridien de M et un plan méridien origine choisi arbitrairement, habituel-lement compté positivement vers l'Est.
- latitude géographique ϕ: angle entre le plan équatorial et la normale à
l'ellipsoïde.
- hauteur par rapport à l'ellipsoïde h: abscisse de M sur la normale à l'ellipsoïde, comptée
positivement à l'extérieur de l'ellipsoïde.
X
Y
Z
h
λ
ϕ
0M
M
Système de référence et de coordonnées : l'ellipsoï de 2010 21 ENSG / DPTS
COORDONNÉES CARTÉSIENNES EN FONCTION DE λλλλ ET DE ϕϕϕϕ
Coordonnées d'un point M quelconque de l'ellipse méridienne:
( )
ϕ−=ϕ==
ϕ==
sin1sin
sin
coscos
22
w
ea
aw
bubZ
w
auar
M
a
b
Z
r
m
M
M*h
Oi jk ϕu
Coordonnées d'un point M quelconque de l'ellipsoïde:
( )
ϕ−=ϕλ=ϕλ=
sin1
cossin
coscos
2eNZ
NY
NX
M , avec w
aN =
Point quelconque M* quelconque de l'espace:
( )[ ]
ϕ+−=ϕλ+=ϕλ+=
∗
sin1
cossin)(
coscos)(
2 heNZ
hNY
hNX
M
Système de référence et de coordonnées : l'ellipsoï de 2010 22 ENSG / DPTS
TRANSFORMATION ENTRE COORDONNÉES CARTÉSIENNES ET GÉOGRAPHIQUES
Passage de (λ,ϕ,h) à (X,Y,Z):
( )[ ]
ϕ+−=ϕλ+=ϕλ+=
sin1
cossin)(
coscos)(
2 heNZ
hNY
hNX
avec ϕ−
=22 sin1 e
aN
Passage de (X,Y,Z) à (λ,ϕ,h), formule itérrative :
X
Yarctan=λ
ϕ et h sont obtenues comme limites des suites convergentes ( ) N∈nnϕ et ( ) N∈nn
h définies par:
−ϕ+=
+=ϕ
00
22
0
220
cos
arctan
NYX
h
YX
Z
et
−ϕ+=
+−
×+
=ϕ
−−
−
ii
i
ii
ii
NYX
h
hN
NeYX
Z
cos
1
1arctan
2211
1222
Dans les deux sens, les formules fournissent des résultats exacts
au niveau millimétrique.
Système de référence et de coordonnées : l'ellipsoï de 2010 23 ENSG / DPTS
TRANSFORMATION ENTRE COORDONNÉES CARTÉSIENNES ET GÉOGRAPHIQUES
Passage de (X,Y,Z) à (λ,ϕ,h), formule directe :
21 1f e= − − 2 2 2R X Y Z= + + Y
arctgX
λ =
( )2
2 21
Z e aarctg f
RX Yµ
= ⋅ − +
+
( )( )
2 3
2 2 2 3
1 sin
1 cos
Z f e aarctg
f X Y e a
µϕ
µ
− + =
− + −
[ ]2 2 2 2cos sin 1 sinh X Y Z a eϕ ϕ ϕ = + ⋅ + − −
Les deux processus fournissent un résultat numérique identique.
Système de référence et de coordonnées : l'ellipsoï de 2010 24 ENSG / DPTS
LONGUEUR D ' UN ARC D ' ELLIPSE Arc de méridien infiniment petit:
( ) ϕ−=ϕρ=β d1
dd 3
2
w
ea
avec ϕ−= 22 sin1 ew
M
O
k ϕ
ϕd
uλ
... et donc la longueur d'un arc de méridien entre l'équateur et un point
quelconque M de latitude ϕ est égale à ( )
∫∫ϕϕ
ϕ−=β=β0
3
2
0d
1d
w
ea .
Pratiquement, β peut s'écrire comme un développement en série
des fonctions ( ) N∈nnϕsin .
Une étude de convergence montre que, pour atteindre le mm d'exactitude, il est nécessaire d'utiliser le terme sin8ϕ :
( )ϕ+ϕ+ϕ+ϕ+ϕ=β 8sin6sin4sin2sin 43210 bbbbba
with 86420 16384
175
256
5
64
3
4
11 eeeeb −−−−=
86421 4096
105
1024
45
32
3
8
3eeeeb −−−−=
8642 16384
525
1024
45
256
15eeeb ++=
863 12288
175
3072
35eeb −−=
84 131072
315eb =
Système de référence et de coordonnées : l'ellipsoï de 2010 25 ENSG / DPTS
COURBURES D 'UNE SURFACE Soient une surface Σ et M un de ses points,
γ une courbe quelconque de Σ passant par M dans la direction de T,
Sn la section normale à Σ en M dans la direction de T,
Rn
nSM
γΣ
nT
Sn est l'intersection de Σ avec le plan normal ( )n,T;M .
Rayon de courbure normale:
Parmi toutes les courbes γ dans la direction de T, Sn est celle qui admet le plus grand rayon de courbure en M; son rayon de courbure est le rayon de courbure normale Rn .
Rayon de courbure principal:
On démontre qu'il existe 2 directions particulières 1T et 2T selon lesquelles Rn est extremum.
1T et 2T sont les directions principales de Σ en M.
( )11 TnRR = et ( )22 TnRR = sont les rayons de courbures principaux .
MΣ
n
Dans une direction T quelconque: ( )2n1 T RRR ≤≤
Sur un ellipsoïde de révolution aplati:
• 1T est la direction du méridien,
• 2T est la direction du parallèle.
Système de référence et de coordonnées : l'ellipsoï de 2010 26 ENSG / DPTS
RAYONS DE COURBURE PRINCIPAUX
DE L ' ELLIPSOÏDE Rayons de courbure pricipaux:
• dans la direction du méridien:
( )3
2
(mér)1
d
d
w
eaR
−=ρ=ϕβ=n
• dans la direction du parallèle:
w
aNR ==(paral)n avec
( ) 21
22 sin1−
ϕ−= ew
N est appelé grande normale.
O
M
ij
k
Tm
AzpT
T
Sphère de courbure totale: ρ= NRT
Sphère de courbure moyenne:
ρ+= 11
2
11
M NR
Courbure d'une section normale d'azimut Az: (formule d'Euler):
L'azimut Az est l'angle entre le Nord et une direction considérée,
N
AzAz
R
22 sincos1 +ρ
=
méridien
parallèle
direction
Az
Système de référence et de coordonnées : l'ellipsoï de 2010 27 ENSG / DPTS
COORDONNÉES SYMÉTRIQUES D ' UNE SURFACE
Soit ds une longueur élémen-
taire sur la surface Σ munie du paramétrage ( )vu, .
ΣM
ds
OMv
∂∂
uOM∂∂
L'expression de ds peut se mettre sous la forme:
222 ddd2dd vGvuFuEs ++= avec
∂∂=
∂∂⋅
∂∂=
∂∂=
2
2
vG
vuF
uE
OM
OMOM
OM
- Si 0=F , le paramétrage ( )vu, est dit orthogonal. Les courbes-coordonnées (courbes à u ou à v constant) se coupent alors angles droits.
- Si
==
0F
GE , le paramétrage est dit symétrique. Dans ce cas,
l'élément de longueur ds peut s'écrire:
( )222 ddd vuEs +=
Système de référence et de coordonnées : l'ellipsoï de 2010 28 ENSG / DPTS
COORDONNÉES SYMÉTRIQUES DE L'ELLIPSOÏDE
22222222 ddddd λ+ϕρ=λ+β= rrs
→ les coordonnées géographiques sont orthogonales non symétriques
mér.
paral.m
dβ
r dλ
Une fonction ( )ϕL telle que ( )L,λ soit un paramétrage
symétrique peut être définie comme suit :
2222 dd Lr=ϕρ avec ( )
−=ρ
ϕ=ϕ=
3
21
coscos
w
eaw
aNr
donc ( ) ϕϕϕ−
−=ϕϕ
−= dcossin1
1d
cos
1d 22
2
2
2
Le
e
w
e
L s'intégre en: ϕ−ϕ+−
ϕ+π=sin1
sin1ln
224tanlnL
e
ee
L est la latitude isométrique
Système de référence et de coordonnées : l'ellipsoï de 2010 29 ENSG / DPTS
LIGNES GÉODÉSIQUES DE L ' ELLIPSOÏDE Définition:
Soit une surface Σ quelconque, une ligne géodésique GΓ est une courbe telle que, en tout point, son vecteur unitaire de normale principale N soit égal au vecteur normal à Σ n.
Σ
ΓG
A
B
N = n
Propriété géométrique fondamentale:
Parmi toutes les courbes γ tracées sur Σ entre A et B, la ligne géodésique est le chemin le plus court.
En navigation, la ligne géodésique entre 2 points est appelée l'orthodromie.
Relations caractéristiques:
- relation de Clairaut:
r désignant le rayon du parallèle,
sinr Az est constant sur une géodésique - relation de Laplace: λϕ= dsind Az
Système de référence et de coordonnées : l'ellipsoï de 2010 30 ENSG / DPTS
PROBLÉMATIQUE DU CALCUL DES LIGNES
GÉODÉSIQUES SUR L ' ELLIPSOÏDE
O
ij
k
Az2
1M
M2
1Az
Problème direct:
Connaissant ( )111 ,ϕλM 1Az et s∆ , calcul de ( )222 ,ϕλM et 2Az . Problème inverse:
Connaissant ( )111 ,ϕλM et ( )222 ,ϕλM , calcul de 1Az , s∆ et 2Az . Méthodes:
• méthode générale (calcul des grandes géodésiques),
• méthode approximatives (géodésiques courtes),
• utilisation d'une surface intermédiaire (plan conforme).
Système de référence et de coordonnées : l'ellipsoï de 2010 31 ENSG / DPTS
CALCUL APPROCHÉ DES LIGNES GÉODÉSIQUES
Principe: Modéliser la ligne géodésique entre M1 et M2 par son cercle osculateur
1GC en M1.
� Problème de trigonométrie plane.
Applicabilité: Exact jusqu'à quelques dizaines de km au niveau millimétrique.
1M
M2αs
ϕ1
λ1
M1
M2
RG1α
s
(dans le plan osculateur en M1)
n
Az1
t G1
t G1
n
1GR est fourni par la formule d'Euler:
1
12
1
12
G
cossin1
1ρ
+= Az
N
Az
R
On a 1GR
s=α et
+=−α+α=
ϕλ ttt
ntMM
11G
GGG21
cossin
)1(cossin
1
111
AzAz
RR ,
d'où, si ( )222 LLL ,, ZYX représente les coordonnées de M2 dans le
repère local en M1 ( )ntt ,,;1L1
R ϕλ= M :
−ααα
=
1
1
1
2
2
2
G
G1
G1
L
L
L
)1(cos
cossin
sinsin
R
RAz
RAz
Z
Y
X
Système de référence et de coordonnées : l'ellipsoï de 2010 32 ENSG / DPTS
CALCUL APPROCHÉ DES LIGNES GÉODÉSIQUES (suite 1)
Passage entre le repère local 1
LR et le repère géocentrique TR :
( )
λ
ϕ−π
π=
+++
ϕ
λ
k
j
i
Rn
t
t
���� ����� ��
13123 R2
R2
R avec
ππ−
ππ
=
π+
100
02
cos2
sin
02
sin2
cos
2R3
ϕ−π
ϕ−π
ϕ−π−
ϕ−π
=
ϕ−π+
11
11
12
2cos0
2sin
0102
sin02
cos
2R
et ( )
λλ−λλ
=λ+
100
0cossin
0sincos
R 11
11
13
On en déduit:
ϕ−−ϕλ−ϕλ−
ϕλϕλϕϕλϕ−λϕ−
λλ−=
12
12
1112
1112
11111
11111
11
L
L
L
sin)1(
cossin
coscos
sinsincoscoscos
cossinsincossin
0cossin
2
2
2
eNz
Ny
Nx
Z
Y
X
et
ϕϕλϕλϕ−λλϕλϕ−λ−
+
ϕ−ϕλϕλ
=
2
2
2
L
L
L
11
11111
11111
12
1
111
111
2
2
2
sincos0
sincossinsincos
coscoscossinsin
sin)1(
cossin
coscos
Z
Y
X
eN
N
N
z
y
x
où (x2,y2,z2) sont les coordonnées de M2 dans TR .
Système de référence et de coordonnées : l'ellipsoï de 2010 33 ENSG / DPTS
CALCUL APPROCHÉ DES LIGNES GÉODÉSIQUES (suite 2: formulaire)
Problème direct: ( ) ( )2221 ,,, ϕλ→AzsAz
−ααα
=
1
1
1
2
2
2
G
G1
G1
L
L
L
)1(cos
cossin
sinsin
R
RAz
RAz
Z
Y
X
avec
ρ+=
=α
1
12
1
12
G
cossin1
1
1
Az
N
Az
R
R
s
G ,
+
ϕ−ϕλϕλ
=
−
2
2
2
L
L
L1
12
1
111
111
2
2
2
sin)1(
cossin
coscos
Z
Y
X
eN
N
N
z
y
x
R ,
puis (x2,y2,z2) fournit (λ2,ϕ2) par itération (cf. page 22).
Problème inverse: ( ) ( )2122 ,,, AzsAz→ϕλ (λ2,ϕ2) fournit (x2,y2,z2),
ϕ−−ϕλ−ϕλ−
=
12
12
1112
1112
L
L
L
sin)1(
cossin
coscos
2
2
2
eNz
Ny
Nx
Z
Y
X
R ,
ϕϕ=
α=
+=α
ρ+=
=
.
sincos
cossin
sin
cossin1
tan
puis
122
112
G
2G
2L
2L2
1
12
1
12
G
L
L1
1
1
22
1
2
2
AzN
NAz
RsR
YX
Az
N
Az
R
Y
XAz
Système de référence et de coordonnées : l'ellipsoï de 2010 34 ENSG / DPTS
BIBLIOGRAPHIE - J.-J. Levallois; "Géodésie générale"; tome 2 ("Géodésie classique bidimensionnelle"); éd. Eyrolles; 1970.
- H. Duquenne; "Cours de géodésie bidimensionnelle"; publication IGN; 1987.
J.-Ph. Dufour; "Cours d'introduction à la géodésie"; éd ENSG; Marne la Vallée; 1999.
- "Geodetic glossary"; édité par le National Geodetic Survey, Rockville (États-Unis); 1986.