Table des matièresvivre.les.maths.pagesperso-orange.fr/cariboost_files/Fonctions_usuelles.pdf · PCSI(2013-2014) Les fonctions usuelles Lycée Baimbridge 4- Exponentielle de base

PCSI(2013-2014) Les fonctions usuelles Lycée Baimbridge

Table des matièresI- Les fonctions logarithmes,exponentielles, et puissances..................................................................2

1- La fonction logarithme népérien.................................................................................................22- La fonction exponentielle............................................................................................................33- Logarithme de base a...................................................................................................................64- Exponentielle de base a...............................................................................................................85- Les fonctions puissances.............................................................................................................96- Comparaison des fonctions........................................................................................................12

II- Les fonctions circulaires................................................................................................................131- Sinus, cosinus et tangente..........................................................................................................13

a- La fonction sinus ..................................................................................................................13b- Fonction cosinus...................................................................................................................13c- La fonction tangente..............................................................................................................14d- Formules trigonométriques...................................................................................................15

2- Les fonctions circulaires réciproques........................................................................................17a- La fonction Arc sinus............................................................................................................17b- la fonction Arc cosinus.........................................................................................................19c- La fonction Arc tangente.......................................................................................................21

III- Les fonctions hyperboliques........................................................................................................231- Cosinus et sinus hyperboliques.................................................................................................232- Tangente hyperbolique (Hors programme)................................................................................253- Trigonométrie hyperbolique (*)................................................................................................26

IV- Tableaux récapitulatifs..................................................................................................................271- Logarithmes, exponentielles et puissances................................................................................272- Fonctions circulaires et réciproques..........................................................................................283- Fonctions hyperboliques............................................................................................................28

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I- Les fonctions logarithmes,exponentielles, et puissances

Plan d'étude pour les différentes fonctions :

Définition, propriétés, dérivée et sens de variation, limites.

1- La fonction logarithme népérien

Les logarithmes ont été inventés par l'écossais John Neper (1550-1617). (Napier francisé en Neper)Ils permettaient de transformer les multiplications sur les grands nombres, surtout en astronomie, en addition.

Définition :

La fonction logarithme népérien, notée ln , est l'unique primitive sur ℝ+∗ de la fonction inverse

qui s'annule en 1. Elle est définie sur ℝ+∗ par : ln( x)=∫1

x dtt

On a ln(1)=0 .On note e l'antécédent de 1 , c'est-à-dire que : ln(e)=1 e≃2,718

Théorème : La fonction logarithme vérifie :

∀(x , y)∈(ℝ+∗ )2 , ln( xy)=ln( x)+ ln( y)

∀(x , y)∈(ℝ+∗ )2 , ln( x

y)= ln(x)�ln( y)

Démonstration :

On considère la fonction f (x)=ln (xy)�ln(x)� ln(y) avec y fixé.On montre que sa dérivée est nulle. La fonction f est donc constante et f (1)=0 , donc

f (x)=0 quelque soit y>0 .

En particulier :

∀ x∈ℝ+∗ , ln(1

x)=�ln (x) ; ∀ x∈ℝ+∗ et n∈ℤ , ln (xn)=n ln(x)

∀ x∈ℝ+∗ , ln(√x)=

12

ln(x) ; ∀ x∈ℝ+∗ et n∈ℤ , ln(x

1n)=1

nln(x)

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La fonction logarithme népérien est dérivable sur ℝ+∗ et :

∀x∈ℝ+∗ , ln '(x )=

1x

Propriété : La fonction logarithme népérien est strictement croissante de ]0 ,+∞ [ sur ℝ .

Limites aux bornes de l'ensemble de définition.

On a : limx →+∞

ln (x)=+∞ et limx →0

ln(x)=�∞

Démonstration : on utilise ln(2n)=n ln (2) pour la limite en +∞ . Puis : ln ( x)=�ln(1x)

C'est une bijection de ]0,+∞ [ sur ℝ .

Propriété :

La fonction logarithme népérien est un isomorphisme du groupe (ℝ+∗ ,×) sur le groupe (ℝ,+ ) .

2- La fonction exponentielle

Définition

La fonction logarithme népérien réalise une bijection continue de ]0,+∞ [ sur ℝ .Elle admet donc une fonction réciproque de ℝ sur ]0,+∞ [ , appelée exponentielle, notée exp.

∀y∈ℝet x∈ℝ+∗ , y=ln(x)⇔x=exp(y)

∀x∈ℝ , exp(x)∈ℝ+∗

ln(1)=0⇒exp(0)=1 et ln(e)=1⇒exp(1)=e On note exp(x)=ex .

∀(a,b)∈ℝ2 , exp(a+b)=exp(a)×exp(b)

Démonstration

On pose : a= ln(x ) et b= ln(y) . et on a :

exp(a+b)=exp( ln(x)+ ln(y))=exp( ln(xy))=xy=exp(a)exp(b)

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Corollaire : exp(�a)=1

exp(a) et exp(na)=(exp(a))n

Démonstration

exp(a�a)=exp(a)exp(�a)⇒exp(0)=exp(a)exp(�a)⇒1=exp(a)exp(�a)⇒exp(�a)=1

exp(a)

On retrouve le fait que l'exponentielle d'un réel est toujours non nul.

Théorème

La fonction exponentielle est un isomorphisme du groupe (ℝ,+ ) sur le groupe (ℝ+∗ ,×) .

Propriété : la fonction exponentielle est continue.Elle est même dérivable et exp'(x)=exp(x) .

Démonstration : On applique la relation : (f�1) '=

1

f '∘f �1 , avec f =ln .

exp '(x)=1

ln '(exp(x))=

11

exp(x)

=exp(x)

Elle est strictement croissante et limx →�∞

exp(x)=0 et limx →+∞

exp(x )=+∞ .

(On peut poser : x=ln(y))

Démonstration : elle est strictement croissante et continue et son image est ℝ+∗ .

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3- Logarithme de base a

Définition : Soit a un réel strictement positif différent de 1 :

∀x∈ℝ+∗ , loga(x)=

ln(x)ln(a)

Remarque : log2 est utilisé en informatique, et log10 est le logarithme décimal utilisé en physique (décibel) et en chimie (PH=�log10[H+]) .L'échelle de Richter pour les séismes est une échelle logarithmique.

Cas particuliers : Dans le cas a=e , on retrouve le logarithme népérien.

Problème : Soit n un entier strictement positif, quel est le nombre de chiffres nécessaires pour écrire n en base 10 ?

Propriétés : les même que la fonction logarithme népérien :

∀(x , y)∈(ℝ+∗ )2 , loga( xy)= loga( x)+ loga( y)

∀(x , y)∈(ℝ+∗ )2 , loga( x

y)= loga( x)� loga( y)

loga(xn)=n loga(x)

Et : logbx=logb(a) loga(x )

Car : logbx=ln(x)ln(b)

=ln(a)ln(b)

×ln (x)ln (b)

= logb(a) loga(x)

loga '(x )=1

x ln(a)

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Si a>1 , la fonction loga est strictement croissante, et si 0<a<1 alors la fonction est strictement décroissante.

Si a>1 alors limx →0

loga x=�∞ et limx →+∞

loga x=+∞ . (cas du logarithme décimal)

Si a<1 alors limx →0

logax=+∞ et limx →+∞

logax=�∞ .

Symétrie des courbes par rapport à l'axe des abscisses.

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4- Exponentielle de base a

Définition

loga est une bijection de ℝ+∗ sur ℝ . a est un réel positif strictement supérieur à 1.

La fonction exponentielle de base a est la fonction réciproque de la fonction logarithme de base a. expa est une bijection de ℝ sur ℝ+

∗ .

∀x∈ℝety>0 , x= loga(y )⇔y=expa(x) expa(x)=exp(x ln (a))=ax

Propriétés

ax+y=ax ay et a�x=

1

ax

On a les même propriétés que pour la fonction exponentielle.

expa'(x)=ln (a)expa(x)

Sens de variations.

Propriété :

Si a>1 , la fonction expa est strictement croissante, si 0<a<1 alors expa est strictement décroissante.

Si a>1 alors limx →�∞

ax=0 et limx →+∞

ax=+∞ .

Si 0<a<1 alors limx →�∞

ax=+∞ et limx →+∞

ax=0 .

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5- Les fonctions puissances

Définition

Soit α∈ℝ . On appelle fonction puissance d'exposant α la fonction de ℝ+∗ qui à x associe :

xα=eα ln(x )

Remarque : pour les valeurs entière on retrouve la notion de puissance déjà connues.

1α=1etx0=1

Cas particuliers : α=0 , on a la fonction constante qui vaut 1, et pour α=1 c'est l'identité.

Soient α et β des réels et x et y des réels strictement positifs :

(xy)α=xαyα ; xα+β=xαxβ ; (xα)β=xαβ

∀x>0etα∈ℝ , ln (xα)=α ln (x)

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La fonction puissance est dérivable sur ℝ+∗ et :

(xα) '=α xα�1

Sens de variations : Si α>0 alors xα est strictement croissante et si α<0 alors xα est strictement décroissante.

Si α>0 alors limx →+∞

xα=+∞ et limx →0

xα=0 .

Si α<0 alors limx →+∞

xα=0 et limx →0

xα=+∞

Pour α strictement positif on peut prolonger la fonction puissance par continuité en 0.Dans ce cas, elle n'est dérivable en 0 que si α≥1 . Sinon on a une tangente verticale.

Rappel : limite de polynômes et de fractions rationnelles.Cas particulier: racines nièmes . Si n est impair la fonction est définie sur ℝ .

Application importante :

Dérivée d'une fonction du type u(x)v(x ) avec u>0 . f (x)=u(x )v (x)=ev (x ) ln(u(x))

D'après le théorème des fonctions composées. Avec g(x )=v(x) ln (u(x))

f '(x )=g'(x)eg(x )=g '(x )f (x) et g '(x)=v '(x )ln (u(x))+v(x)u '(x)u(x)

.

Remarque : il faut retenir la méthode, plus que le résultat final.

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6- Comparaison des fonctions

Propriété : ∀x∈ℝ+∗ , ln(x)≤x�1 (concavité de la fonction logarithme népérien).

Corollaire : ∀x∈ℝ+∗ , ln (x)<x

Démonstration : on peut considérer la fonction : f (x)=x�1�ln(x)

On en déduit que : ∀α>0 , ln(xα)<xα⇒α ln(x)<xα⇒ ln(x)<xα

α

Soit β>0 . On a : 0<ln(x )

xβ <xα�β

α on choisit 0<α<β et on obtient :

∀β>0, limx →+∞

ln(x)

xβ =0

On dit qu'au voisinage de +∞ la fonction logarithme est négligeable devant les fonctions puissances et on note ln(x)=∘ (xβ) .

∀α>0 et∀β>0 , limx→+∞

(ln x)α

xβ =0

Démonstration : (ln x)α

xβ =( ln(x)

xβα )

α

et on utilise le résultat précédent.

Le changement de variable x=1X

, donne :

∀α>0∀β>0 , limx→0

xβ∣ln x∣α=0

On a aussi :

∀α>0∀β>0 , limx→+∞

eα x

xβ =+∞ et ∀α>0∀β>0 , limx→�∞

∣x∣βeαx=0

On dit qu'au voisinage de +∞ les fonctions puissances sont négligeables devant les fonctions exponentielles on note xβ=∘(eαx) .

On a aussi en utilisant la définition de la dérivée :

limx →0

ln (1+x)x

=1 ; limx →0

ex�1x

=1 . ( ln (1+x)∼0

x et ex�1∼0 x )

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II- Les fonctions circulaires

1- Sinus, cosinus et tangente

a- La fonction sinus

Elle est définie sur ℝ ,elle est impaire, périodique de période 2×π .

Elle est dérivable sur ℝ , et : sin '(x)=cos(x )=sin(x+π2 )

b- Fonction cosinus

Elle est définie sur ℝ ,elle est paire, périodique de période 2×π :

Elle est dérivable sur ℝ , et : cos'(x )=�sin(x)=cos(x+π2)

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c- La fonction tangente

Elle est définie sur ℝ∖{π2+k×π , k∈ℤ} par tan(x)=sin( x)cos( x)

,elle est impaire, périodique de

période π :

tan '(x )=1

cos2(x)

=1+tan2(x)

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d- Formules trigonométriques.

∀ x∈ℝ ,cos2( x)+sin2( x)=1 ∀ x∈ℝ ,∣cos(x)∣⩽1 ∀ x∈ℝ ,∣sin( x)∣⩽1

cos(�x)=cos( x) sin(�x)=�sin( x) tan(�x)=� tan(x)

cos(x+2π )=cos(x) sin( x+2π )=sin( x) tan(x+2π)= tan( x)

cos(x+π )=�cos( x) sin( x+π )=�sin( x) tan(x+π )= tan(x)

cos(x+π

2)=�sin(x) sin(x+π

2)=cos( x) tan(x+π

2)=�cotan(x)

cos(π2�x)=sin( x) sin(π2�x)=cos( x) tan(π2�x)=cotan( x)

cos(a+b)=cos(a)cos(b)�sin(a)sin(b)

cos(a�b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)

sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)

sin(a�b)=sin(a)cos(b)�cos(a)sin(b)

tan(a+b)=tan(a)+tan(b)

1� tan(a) tan(b)

tan(a�b)=tan(a)�tan(b)

1+ tan(a) tan(b)

cos(2x)=cos2(x )�sin2(x)=2cos2(x )�1=1�2sin2(x)

sin(2x)=2sin(x)cos(x)

tan(2x)=2tan(x)

1�tan2(x)

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cos(x )=

1�tan2(x2)

1+tan2(x2)

, sin(x)=

2tan(x2)

1+ tan2(x2)

et tan(x)=

2tan(x2)

1� tan2( x2)

cos(a)cos(b)=12(cos(a+b)+cos(a�b))

sin(a)sin(b)=�12(cos(a+b)�cos(a�b))

sin(a)cos(b)=12(sin(a+b)+sin(a�b))

cos(p)+cos(q)=2cos( p+q2 )cos(p�q

2 )cos(p)�cos(q)=�2sin( p+q

2 )sin( p�q2 )

sin(p)+sin(q)=2sin(p+q2 )cos( p�q

2 )sin(p)�sin(q)=2sin(p�q

2 )cos( p+q2 )

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2- Les fonctions circulaires réciproques

Il faut utiliser le cercle trigonométrique.

a- La fonction Arc sinusDéfinition

La fonction sinus est continue et strictement croissante sur l'intervalle[�π2 ,π

2 ] .

Sa restriction à cet intervalle définit donc une bijection de l'intervalle [�π2 ,π

2 ] sur [�1,1] dont

la réciproque est la fonction Arc sinus notée Arcsin.

Remarques : la fonction Arc sinus est une bijection strictement croissante et continue de [�1,1]

sur [�π2 ,π

2 ] . Elle est impaire.

x �1 0 12

1

√2√32

1

arcsin(x)�

π2

0 π6

π4

π3

π2

Attention !!! la fonction sinus est définie sur ℝ , mais sa réciproque Arc sinus est définie uniquement sur l'intervalle[�1,1] .

Propriété : pour x∈[�1,1] ; arcsin(x) est l'unique réel de [�π2 ,π

2 ] dont le sinus vaut x .

∀ x∈[�1,1] , sin(arcsin( x))=x

∀ x∈[�1,1] , cos(arcsin(x))=√1�x2 car arcsin( x)∈[�π2 ,π

2 ] et le cosinus est positif

sur [�π2 ,π

2 ]∀α∈[�π2 ,

π

2 ], arcsin(sin(α))=α

Remarque importante : Cette relation n'est pas vraie quelque soit la valeur de α.arcsin(sin(2π))=arcsin(0)=0

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Théorème

La fonction Arc sinus est dérivable sur ]�1,1[ avec : ∀ x∈]�1,1[ , arcsin' (x)=

1

√1�x2

Démonstration : On applique la proposition du chapitre I, avec f (x)=sin(x) et f �1(x )=arcsin(x) .

∀ x∈]�1,1[ , arcsin' (x)=1

cos(arcsin(x))=

1

√1�sin2(arcsin(x))

Car cos(arcsin(x))>0 pour �1<x<1 car �π2<arcsin(x)<

π2

et sur cet intervalle le cosinus est

strictement positif.

Aux points d'abscisse �1 et 1 on a des tangentes verticales.

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b- la fonction Arc cosinus

Définition

La fonction cosinus est continue et strictement décroissante sur l'intervalle [0,π ] .Sa restriction à cet intervalle définit donc une bijection de l'intervalle [0,π ] sur l'intervalle [�1,1] dont la réciproque est la fonction Arc cosinus notée Arccos.

Remarques : la fonction Arc cosinus est une bijection strictement décroissante et continue de [�1,1] sur [0,π ] .

x �1 0 12

1

√2√32

1

arccos( x) π π2

π3

π4

π6

0

Attention !!! la fonction cosinus est définie sur ℝ , mais sa réciproque Arc cosinus est définie uniquement sur l'intervalle [�1,1] .

Propriété : pour x∈[�1,1] , arccos(x) est l'unique réel de [0,π ] dont le cosinus vaut x .

∀ x∈[�1,1] , cos(arccos(x))=x

∀ x∈[�1,1] , sin(arccos( x))=√1�x2

∀α∈[0,π ] , arccos(cos(α))=α

Remarque importante : Cette relation n'est pas vraie quelque soit la valeur de α. arcos(cos(2π))=arccos(1)=0

Théorème

La fonction Arc cosinus est dérivable sur ]�1,1[ avec : ∀ x∈]�1,1[ , arccos' ( x)=�

1

√1�x2

Démonstration : ∀ x∈]�1,1[ , arccos' ( x)=1

�sin(arccos( x))=�

1

√1�cos2(arccos(x))=�

1

√1�x2

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Aux points d'abscisse �1 et 1 on a des tangentes verticales.

Propriété : ∀x∈[�1,1] , arcsin(x )+arcos(x)=π

2

Démonstration

On montre que la dérivée est nulle sur l'intervalle ouvert est l'égalité est vraie aux bornes de l'intervalle.

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c- La fonction Arc tangente

Définition

La fonction tangente est continue et strictement croissante sur l'intervalle]�π2 ,π

2[ .

Sa restriction à cet intervalle définit donc une bijection de l'intervalle ]�π2 ,π

2[ sur ℝ dont la

réciproque est la fonction Arc tangente notée Arctan.

Remarque: la fonction Arc tangente est une bijection strictement croissante et continue de ℝ

sur ]�π2 ,π

2[ . Elle est impaire.

x 0 1

√31 √3

arctan(x) 0 π6

π4

π3

Attention : la fonction tangente est définie sur , ℝ∖{π2+k×π , k∈ℤ} mais sa réciproque Arc

tangente est définie sur ℝ .

Propriété : pour x∈ℝ ; arctan(x) est l'unique réel de ]�π2 ,π

2[ dont la tangente vaut x .

∀ x∈ℝ , tan(arctan(x))=x

∀α∈]�π2 ,π

2[ , arctan( tan(α ))=α

Remarque importante : Cette relation n'est pas vraie quelque soit la valeur de α.

arctan(tan(2π))=arctan(0)=0

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Théorème

La fonction Arc tangente est dérivable sur ℝ avec :∀ x∈ℝ , arctan' ( x)=

1

1+x2

Démonstration :

∀ x∈ℝ ,arctan' ( x)=1

1+tan2(arctan(x))=

1

1+x2

Propriété : ∀x∈ℝ∗∖{π2+k×π , k∈ℤ} , arctan(x )+arctan( 1x)=signe(x)×

π

2

On a deux asymptotes horizontales d'équation y=�π2 et y=π

2 .

La fonction Arctan est un bon exemple de fonction strictement croissante sur ℝ qui est bornée.

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III- Les fonctions hyperboliques

1- Cosinus et sinus hyperboliques

Définition : les fonction cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique sont définies sur ℝ par :

ch(x)=ex+e�x

2 et sh(x )=

ex�e�x

2

Propriété : ch est une fonction paire et sh une fonction impaire

Propriété : ch et sh sont dérivables sur ℝ avec : ch'(x )=sh(x ) sh'(x)=ch(x )

On peut remarquer qu'elles sont solutions de l'équation différentielle : y ' '=y .

∀x∈ℝ ,ch(x )⩾0⇒shcroissante

x �∞ 0 +∞

sh(x) +∞

�∞

sh( x) � 0 +

ch(x) +∞ +∞

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0

1


Propriété : ∀x∈ℝ , ch(x)+sh(x)=ex ∀x∈ℝ , ch(x)�sh(x)=e�x

Remarque : ch est la partie paire de la fonction exponentielle et sh la partie impaire.De façon plus générale, toute fonction s'écrit de manière unique comme la somme d'une fonction

paire et d'une fonction impaire. f (x)=f (x )+f (�x)

2+

f (x)�f (�x )2

∀x∈ℝ , ch2(x)�sh2(x)=1 (∀x∈ℝ ,cos2( x)+sin2(x)=1)

Interprétation géométrique : les fonction hyperboliques permettent le paramétrage de l'hyperbole d'équation : x2�y2=1 . (ach(t),b sh(t)) pour une branche et (-ach(t),b sh(t)) pour l'autre)

L'hyperbole d'équation x2

a�

y2

b=1 a comme foyer F(c,0) , directrice la droite D d'équation

x=a2

c avec : c2=a2+b2 . et comme excentricité e=

ca

. (on peut aussi choisir F' et D' symétriques

de F et D par rapport à l'axe des ordonnées.)

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2- Tangente hyperbolique (Hors programme)

Définition : la fonction tangente hyperbolique, notée th ou tanh est définie sur ℝ par :

th (x )=sh(x)ch(x)

Propriété : la fonction th est impaire

Propriété : elle est dérivable sur ℝ avec th '(x)=1

ch2(x)=1� th2(x)

Démonstration : th '(x)=sh '(x)ch(x)�ch '(x)sh(x )

ch2(x)=

ch2(x)�sh2(x)

ch2(x)=

1ch2(x)

=1�th2(x)

Propriété : th est strictement croissante sur ℝ et lim x→+∞ th(x)=1 et lim x→�∞ th(x)=�1

Démonstration : sa dérivée est strictement positive.

Pour les limites on utilise l'égalité : th (x )=ex�e�x

ex+e�x =e2x�1e2x+1

=1�e�2x

1+e�2x

On a deux asymptotes horizontales d'équation y=�1 et y=1 .

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3- Trigonométrie hyperbolique (*)

ch(a+b)=ch(a)ch(b)+sh(a)sh(b) ch(a�b)=ch(a)ch(b)�sh(a)sh(b)

sh(a+b)=sh(a)ch(b)+ch(a)sh(b) sh(a�b)=sh(a)ch(b)�ch(a)sh(b)

th (a+b)=th(a)+th(b)

1+th(a) th(b)th (a�b)=

th(a)� th(b)1�th(a) th(b)

ch(2a)=ch2(a)+sh2(a)=2ch2(a)�1=2sh2(a)+1

sh(2a)=2sh(a)ch(a)

th (2a)=2th(a)

1+ th2(a)

ch(a)=

1+th2(a2)

1�th2(a2)

sh(a)=

2th(a2)

1�th2(a2)

th (a)=2th(a

2)1+th2(a

2)Application : Paramétrage rationnelle de l'hyperbole. En posant t=th( t

2)]�1,1[ donne une branche et ]1,+∞ [ donne une autre branche de l'hyperbole.

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IV- Tableaux récapitulatifs.

1- Logarithmes, exponentielles et puissances

Fonctions E F Dérivée Limites

ln ℝ+∗ ℝ 1

xSur ℝ+

∗ limx →0

ln(x)=�∞

limx →+∞

ln (x)=+∞

loga ℝ+∗ ℝ 1

ln(a) xSur ℝ+

∗ Si a>1 limx →0

logax=�∞

limx →+∞

logax=+∞

Si a<1limx →0

loga x=+∞

limx →+∞

logax=�∞

exp ℝ ℝ+∗ exp lim

x →�∞exp(x)=0

limx →+∞

exp(x )=+∞

expa ℝ ℝ+∗ expa Si a>1

limx →�∞

ax=0

limx →+∞

ax=+∞

Si a<1lim

x →�∞ax=+∞

limx →+∞

ax=0

xα ℝ+∗ ℝ+

∗ α xα�1 Si α>0 alorslimx →0

xα=0 et

limx →+∞

xα=+∞

Si α<0 alors limx →0

xα=+∞

limx →+∞

xα=0

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2- Fonctions circulaires et réciproques.


sin ℝ [�1,1] cos(x) Pas de limites en l'infini.

cos ℝ [�1,1] �sin(x) Pas de limites en l'infini.

tanℝ∖{π2+k π}

k∈ℤ

ℝ 1

cos2( x)=1+ tan2( x)

limx→�π

2+

tan( x)=�∞

limx→�π

2�

tan( x)=+∞

Arcsin [�1,1] [�π2 ,π

2 ] 1

√1�x2, sur]�1,1[

Arccos [�1,1] [0,π ]�

1

√1�x2, sur ]�1,1[

Arctan ℝ ]�π2 ,π

2[ 1

1+x2

limx→�∞

arctan( x)=�π2

limx→+∞

arctan( x)=+π2

3- Fonctions hyperboliques


sh ℝ ℝ ch(x) limx→�∞

sh( x)=�∞

limx→+∞

sh(x)=+∞

ch ℝ [1,+∞[ sh( x) limx→�∞

ch(x)=+∞

limx→+∞

ch(x)=+∞

th ℝ ]�1,1[ 1

ch2( x)=1�th2( x)

limx→�∞

th(x)=�1

limx→+∞

th(x)=1

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Table des matièresvivre.les.maths.pagesperso-orange.fr/cariboost_files/Fonctions_usuelles.pdf · PCSI(2013-2014) Les fonctions usuelles Lycée Baimbridge 4- Exponentielle de base