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Chapitre5‐Superpositiond'ondesprogressivesII:plusieursondes‐diffraction

TabledesmatièresChapitre 5 - Superposition d'ondes progressives II : plusieurs ondes - diffraction .................................. 1 

1  Principe ...................................................................................................................................................... 2 

1.1  Quelques expériences simples ............................................................................................................. 2 

1.2  Principe de Huygens-Fresnel .............................................................................................................. 7 

2  Approche heuristique ................................................................................................................................. 9 

2.1  Rappel : trous de Young ...................................................................................................................... 9 

2.2  Pupille rectangulaire .......................................................................................................................... 13 

2.3  Ouverture circulaire ........................................................................................................................... 22 

2.4  Réseau de diffraction ......................................................................................................................... 24 

3  Calcul exact pour une multiplicité simple ............................................................................................... 28 

3.1  Fente rectangulaire infinie ................................................................................................................. 28 

3.2  Réseau ................................................................................................................................................ 32 

4  Combinaison multiple de sources multiples ........................................................................................... 36 

5  Liens multimédias ................................................................................................................................... 36 

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1 Principe

L'étude des ondes lumineuses par l'optique géométrique, qui ne prend pas en compte leur nature ondulatoire, n'est plus valable lorsque les variations des propriétés des milieux traversés par ces ondes varient sur des échelles comparables à celle de leur longueur d'onde. Par exemple, lorsque des obstacles, aux contours bien définis, sont placés sur leur trajet, la limite entre la partie éclairée et la partie restant dans l'ombre en amont de cet objet n'est pas très nette. Ce type d'objets est génériquement appelé diffraction des ondes. Ils apparaissent naturellement aussi pour des ondes acoustiques.

La compréhension de ce phénomène se fonde sur le principe de Huygens-Fresnel et le phénomène d'interférences.

1.1 Quelques expériences simples

Diffraction par une fente

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Diffraction par une ouverture circulaire de diamètre 0,1 mm (anneaux d’Airy)

Diffraction par une ouverture carrée

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La caractérisation des structures cristallines par diffraction des rayons X (Bragg) : la courte longueur d’onde permet de

sonder de petites dimensions.

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Figure de diffraction d’un virus aux rayons X : Chaque point est une tache de diffraction. On peut « inverser » en partie la figure et remonter à la structure spatiale de l’objet diffractant.

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1.2 Principe de Huygens-Fresnel Revenons sur l’expérience des trous d’Young. Nous avons considéré que chacun des trous se comporte comme une onde sphérique. Le principe de Huygens-Fresnel est une généralisation de cette approche : on considère que chaque point d’une surface peut être considéré comme une source secondaire émettant une onde sphérique. Cela revient à dire que les vibrations qui se propagent à l’extérieur d’une surface fermée contenant la source sont identiques à celles qu’on obtiendrait en supprimant cette source et en la remplaçant par des sources convenablement réparties sur la surface 1. Historiquement :

Huygens (1678) : La lumière se propage de proche en proche. Chaque élément de surface atteint par elle se comporte comme une source secondaire qui émet des ondelettes sphériques dont l'amplitude est proportionnelle à cet élément

Fresnel (1818) : l'amplitude complexe de la vibration lumineuse en un point est la somme des amplitudes complexes des vibrations produites par toutes les sources secondaires.

La fonction d’onde de cette source secondaire est proportionnelle en ce point à : La fonction d’onde incidente La surface élémentaire dS entourant ce point

1 cf. Bruhat d’optique (éditions Masson)

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Illustration à partir de la construction d'Huygens de la modification des surfaces d'onde au passage par une ouverture

(http://res-nlp.univ-lemans.fr). Les ouvertures qui seront considérées ici sont appelées pupilles. Le principe de réalité impose que la taille de la pupille soit très supérieure à la longueur d’onde.

≪ En pratique on se placera toujours très loin de la pupille (on considérera qu’on est à l’infini). On dit alors qu’on est dans les conditions de Fraunhofer :

- L’onde incidente peut être considérée comme une onde plane - On fait l’observation à l’infini.

≫

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2 Approche heuristique2

2.1 Rappel : trous de Young

On se place dans la situation ou D tends vers l’infini : → ∞ Sur la figure ci-dessous on peut alors considérer que les angles 1 et 2 sont égaux. On appelle alors cet angle. Cela revient à dire que l’on peut assimiler les ondes issues de S1 et S2 à des ondes planes.

Expérience des fentes de Young avec D très grand.

2 méthode de résolution d'un problème qui ne passe pas par l'analyse détaillée du problème mais par son appartenance ou adhérence à une classe de problèmes donnés déjà identifiés

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Expérience des fentes de Young avec D infini.

On peut écrire que la différence de marche : . sin avec . tan Et comme D >> x, est très petit et on peut faire un D.L. à l’ordre de 1 :

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sin tan

D’où

.

Et on avait vu que : 2. 1 .. .

.

4. . . ..

Lorsqu’on est à l’infini, on peut considérer comme la seule coordonnée pertinente et comme . sin , on considère l’expression suivante de l’intensité :

2. 1 k. . sin

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m=-4 m=-3 m=-2 m=-1 m=0 m=1 m=2 m=3 m=4

Représentation de I en fonction de .

Nous allons maintenant utiliser ce résultat dans le cas de plusieurs sources.

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2.2 Pupille rectangulaire

3 Commençons par regarder la diffraction dans une direction 3 http://www.chimix.com

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Dans le cas de deux trous (fentes d’Young) on obtient des franges perpendiculaires aux fentes. Les variations sont suivant l’alignement des trous. On peut raisonnablement penser qu’il en est de même si il y a plusieurs sources alignées. Commençons par étudier la répartition suivante : N équidistantes sources réparties sur une distance a. chaque source est séparée de sa voisine d’une distance .

On met 8 points sur une distance a et on veut calculer les différentes différences de marche.

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Longueur 1 sin Dans le cas où sin , on a alors :

0 … Et les différences de marches : Entre 5 et 1 : 4 0

Entre 6 et 2 : 5 1

Entre 7 et 3 : 6 2

Entre 8 et 4 : 7 3

En résumé, entre chaque paire de rayons convenablement choisis,

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Chacune de ces paires fait une interférence destructive Dans la direction telle que sin , l’intensité est donc nulle.

4 2

4 4

4 24 0

On recommence pour un angle plus grand : sin 2

0 … Et les différences de marches : Entre 3 et 1 : 2 0

Entre 4 et 2 : 3 1

Entre 7 et 5 : 6 4

Entre 8 et 6 : 7 5 A nouveau, pour chacune de ces paires (convenablement choisis) fait une interférence destructive (I = 0). Dans la direction telle que sin 2, l’intensité est donc nulle. On peut faire le même calcul pour tous les multiples de :

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sin . ⇒ é Cas où m =0, tous les rayons sont en phase, on a donc un maximum.

Entre chacun de ces minima il y a bien évidemment un maxima. Lorsque augmente, l’intensité de ces maxima baisse l’un par rapport à l’autre par ce qu’il y a de moins en moins de rayons en phase (ce qui n’est pas très facile à voir sans calcul).

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On observe donc plusieurs taches de diffraction. La tache centrale est toujours deux fois plus large que les autres. C’est aussi la plus brillante.

On peut également en déduire que la variation est dans le sens de l’étalement des sources. Que se passe-t ’il quand la largeur de la pupille varie ?

Si augmente, la figure se rétrécie

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Si devient infinie, il n’y a plus d’intensité que pour 0. (on retrouve la propagation rectiligne lorsqu’il n’y a plus d’obstacle).

Si diminue, la figure s’étale Si tends vers zéro, la figure s’étale à l’infini. L’intensité est uniforme dans toutes les directions.

Conséquence très importante pour une pupille rectangulaire : deux dimensions double alignement de points.

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Si suivant la direction x on allonge infiniment la pupille, la diffraction suivant x va disparaitre (on retrouve le cas d’une fente infiniment longue). On est ramené à un problème à une dimension

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2.3 Ouverture circulaire

Anneaux d’Airy produit par une ouverture circulaire de diamètre 1,0 mm.

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On obtient une tache centrale large et brillante entourée d’une succession d‘anneaux alternativement sombres et brillants. Les anneaux brillants sont beaucoup moins lumineux que la tache centrale. On appelle R le rayon de la pupille circulaire. L’angle correspondant au premier anneau sombre (celui qui entoure la tache centrale brillante) est donné par :

sin , .

La tache centrale porte souvent le nom de tache d’Airy. Son importance est grande dans la théorie de la formation des images et c’est en elle qu’est concentrée presque toute la lumière.

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2.4 Réseau de diffraction

http://physique-eea.ujf-grenoble.fr/intra/Organisation/CESIRE/OPT/photos.php

Pour faire la synthèse des différents phénomènes étudiés dans ce cours, l'analyse d'un réseau de diffraction est un bon exemple. Ce dispositif, qui met en jeu à la fois les interférences et la diffraction, permet de séparer les différentes longueurs d'ondes composant une onde lumineuse de manière beaucoup plus efficace qu'un prisme. On considère maintenant une distribution de source ponctuelle en nombre N très grand. On appelle pas du réseau la distance entre deux fentes consécutives (noté par la suite)

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On cherche quand est-ce que tous les rayons dans une direction peuvent donner un maximum d’intensité. Il faut que la différence de marche entre deux rayons successifs soit un multiple entier de la longueur d’onde Maximum pour

. Or . sin D’où :

. sin . Il y a y a donc des directions de maxima d’intensité.

Ne pas confondre avec le résultat . sin . obtenu pour les minimums d’intensité d’une fente !

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Si les sources ponctuelles sont maintenant de largeur a << b, on peut considérer les effets de diffraction et d’interférence :

Répartition d’intensité par un réseau b = 8a.

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Diffraction par 1 fente et par deux fentes [http://physique-eea.ujf-grenoble.fr]

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3 Calcul exact pour une multiplicité simple On fera la distinction entre 2 cas :

Fente rectangulaire infinie : infinité de sources ponctuelles sur une distance finie, la distance entre deux sources tend vers zéro

Réseau de diffraction : infinité de sources séparées par une distance finie.

3.1 Fente rectangulaire infinie Considérons N fentes cohérentes entre elles réparties sur une distance finie a. On a donc une distance a/n entre deux fentes consécutives.

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On cherche le carré de son amplitude pour déterminer l’intensité du rayonnement dans la direction . Pour cela on exprime la fonction d’onde complexe :

, , , , ⋯ , On peut exprimer chaque terme de la somme ci-dessus à partir de et de la différence de marche correspondante. On notera la quantité sin :

, , sin

, , 2sin 2

…

, , 1

sin 1 Soit :

, , 1 ⋯ On pose

, , 1 ⋯ On peut démontrer que :

1 ⋯ 11

D’où

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, ,1

1

Et on en déduit une première expression de l’intensité :

1

1

Où représente l’intensité d’une des sources. On fait tendre N vers l’infini : 1 sin D’où :

1

sin

sin 1 1

sin 1 1

2sin 1 cos sin

2sin 1 cos sin

2sin 2sin

sin2

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2

ka sin θ sinsin2

On pose et On a alors :

sin

A quoi ressemble cette fonction qui représente l’intensité ?

Si → 0, alors → 0, et → 1 est maximum 0 (i.e. au centre de la figure de diffraction) et vaut 0 La fonction s’annule pour sin 0, soit pour des valeurs de u telle que avec

0, soit :

sin2

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3.2 Réseau On a toujours :

1

1

On fait tendre N vers l’infini mais avec fini (c’est le pas de réseau) On remplace a par Nb dans l’expression précédente :

1

1

Or,

1 4 sin sin2

Et

1 4 sin sin2

D’où

sin sin

2sin sin

2

On pose On a alors :

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sinsin

sera nulle si ⇒ π

où p est un nombre entier mais il ne peut pas être égal à mN car alors π et

lim→

sinsin

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On peut introduire

1 sinsin

Les maximums sont pour π Soit pour π, d’où

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sin 2π

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.0

0.4

0.8

I/I0

Theta (radian)

10 traits/mm 100 traits/mm

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4 Combinaison multiple de sources multiples On admettra le résultat suivant : La figure de diffraction de N ouvertures toutes identiques est le produit de la figure de diffraction d’une ouverture par la figure d’interférence de N points situés au centre respectif de chaque ouverture. 5 Liens multimédias

http://www.ostralo.net/3_animations/animations_phys_ondes.htm http://www.uel.education.fr/consultation/reference/physique/diffraction/index.htm http://gilemon.free.fr/site-rapport/rapportfiltrage.htm