PCSI1 Lycée Michelet

ONDES STATIONNAIRES

Table des matièresI. Superposition de deux ondes progressives. Ondes stationnaires. 2

1. Quelques simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22. Observation expérimentale : corde de Melde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33. Condition d’obtention d’une onde stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

II. Expression mathématique d’une onde stationnaire 51. Superposition de deux ondes progressives sinusoïdales . . . . . . . . . . . . . . 52. Description de l’onde stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63. Conditions aux limites et modes propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74. Décomposition en mode propre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

III.Autres exemples d’ondes stationnaires 91. Ondes acoustique stationnaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92. Autres exemples d’ondes stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Les ondes progressives sont solutions d’une équation dite équation d’onde qui est une équationlinéaire : on peut donc additionner les signaux correspondant à deux ondes progressives.Remarque : pour des signaux de grande amplitude, la linéarité peut ne plus être vérifiée.Jusqu’à présent on s’est intéressé à des ondes se propageant en milieu "ouvert". Lorsqu’unmilieu est limité, les ondes atteignant les frontières du milieu vont donner naissance à desondes réfléchies qui vont se superposer aux ondes incidentes...On va donc considérer dans un premier temps le cas simple de la superposition de deux ondesprogressives 1D, se propageant dans des directions opposées.

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I. Superposition de deux ondes progressives. Ondes sta-tionnaires.

1. Quelques simulations

• réflexion d’une ondehttp://tatullisab.free.fr/laboratoire/7_Terminale%20S/2_Specialite/2-sons/Reflexion.swfOn observe tout d’abord la réflexion d’une perturbation (on sélectionne "signal"). Dans lesconditions de l’expérience la réflexion se fait avec inversion du signal : c’est le cas pour unecorde fixée à une de ses extrémités.

• superposition de deux signauxvoir feuille de calcul SageMath :http://nbviewer.jupyter.org/url/pcsi1.physique.pagesperso-orange.fr/sagemath/OP2.ipynbSur cette première feuille de calcul, on superpose (i.e on additionne) deux signaux de profilsinversés se propageant dans deux directions opposées (on peut imaginer une déformation surune corde). À un moment les deux signaux s’annulent avant de se séparer à nouveau.

• superposition de deux ondes sinusoïdales progressives, de même amplitude et de même pul-sation, se propageant dans des directions opposées.voir feuille de calcul SageMath :http://nbviewer.jupyter.org/url/pcsi1.physique.pagesperso-orange.fr/sagemath/OP3.ipynbSur cette seconde feuille de calcul, on superpose deux ondes progressives sinusoïdales de mêmeamplitude et de même pulsation qui se propagent à la même vitesse dans des directions oppo-sées :

y1(x, t) = A sin(ωt− kx)

y2(x, t) = A sin(ωt+ kx+ ϕ)

On n’observe plus de propagation : on parle alors d’onde stationnaire.Contrairement à une onde progressive sinusoïdale, l’amplitude des oscillations dépend dupoint où on se place : on constate alors que certains points restent toujours immobiles (onles appelle des nœuds de vibration), alors que d’autres oscillent avec une amplitude maxi-male (on les appelle des ventres de vibration). L’écart entre deux nœuds successifs (ouentre deux ventres successifs) correspond à une demi-longueur d’onde des ondesprogressives initiales.L’écart entre un nœud et un ventre successifs correspond à un quart de longueurd’onde des ondes progressives initiales.En retournant sur le site de la première simulation, mais en cliquant sur "sinusoïdal", onobserve la superposition du signal incident et du signal réfléchi, qui donne naissance à l’ondestationnaire, pour laquelle le point de fixation, situé au niveau de l’obstacle, correspond à unnœud de vibration.

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2. Observation expérimentale : corde de Melde

La corde de Melde est une corde tendue fixée à ses deux extrémités (typiquement une cordede guitare).Elle peut fonctionner

– en mode libre : on pince la corde et on la laisse ensuite vibrer. Compte tenu des frottementsavec l’air, la vibration s’atténue progressivement (exemple : corde de guitare, de piano...).

– en mode forcé : on entretient les oscillations en fournissant de l’énergie. Cela permet d’ob-server des oscillations entretenues, les pertes énergétiques liées au frottement avec l’air étantcompensées par l’apport d’énergie due au vibreur (exemple : corde de violon, l’énergie étantfournie par le frottement de l’archet sur la corde).

Expérience (réalisée en TP)Le dispositif expérimental que l’on va utiliser est constitué d’une corde tendue à l’aide d’unemasse accrochée à une de ses extrémités. De l’autre côté un vibreur fait osciller de point d’at-tache avec une amplitude très faible.

On met en marche le vibreur et on observe... en général pas grand chose au départ. Cependantsi on modifie la fréquence du vibreur, on constate que pour certaines fréquences une ondestationnaire apparaît : c’est le phénomène de résonance.L’amplitude des oscillations du vibreur étant très faible devant l’amplitude de vibration maxi-male de la corde à la résonance, on peut considérer que l’extrémité de la corde reliée au vibreurest fixe.On peut visualiser l’expérience sur le site :http://alain.lerille.free.fr/Medias/video/CordeMelde.mp4ainsi que l’animationhttp://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Ondes/ondes_stationnaires/melde.html

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Pour la fréquence la plus basse, notée f1, on observe :

pour f2 = 2f1

pour f3 = 3f1

etc...On constate que la corde n’entre en vibration que pour certaines fréquences dites fréquencespropres ou fréquences de résonance.On constate que ces fréquences sont des multiples de f1 dite fréquence du fondamental.Les différentes configurations associées sont appelées modes propres de vibration de la corde.

Utilisation du stroboscope (voir TP)Un stroboscope permet d’éclairer la corde grâce à des flashes très courts, émis avec une périodeTstrobo (et donc une fréquence fstrobo = 1/Tstrobo).Pour que la corde apparaisse fixe, il faut que la période du stroboscope soit un multiple de lapériode du signal : Tstrobo = nT , et donc que sa fréquence soit un sous multiple de la fréquencedu signal fstrobo = f

n. La fréquence maximale utilisable est donc f , puis ensuite, par ordre

décroissant f/2, f/3 etc... On se place en général à la fréquence maximale fstrobo = f .Supposons que l’on ait réglé le stroboscope à fstrobo = f . Si on souhaite décomposer le mouve-ment il suffit de décaler légèrement la fréquence du stroboscope. Ainsi Tstrobo = T + δt.Si δt < 0 (on a augmenté légèrement la fréquence), la corde n’a pas tout à fait rejoint laposition qu’elle occupait au flash précédent.Si δt > 0 (on a diminué légèrement la fréquence), la corde a dépassé la position qu’elle occupaitau flash précédent.

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3. Condition d’obtention d’une onde stationnaire

Prenons l’exemple de la corde de Melde : la corde est fixée à ses deux extrémités : ces deuxextrémités doivent donc coïncider avec des nœuds de vibration. Or deux nœuds de vibrationsont au moins distants d’une demi-longueur d’onde. L doit donc vérifier la condition, pour unmode donné :

L = nλn2

avec n ∈ N∗

on peut alors en déduire les fréquences possibles, puisque λn = cTn =c

fn:

L = nc

2fn

On aura donc vibration pour les fréquences f vérifiant :

fn = nc

2L= nf1 avec n ∈ N∗

avec f1 = c2L

fréquence du mode fondamental.

II. Expression mathématique d’une onde stationnaire

1. Superposition de deux ondes progressives sinusoïdales

Considérons le cas le plus général de la superposition de deux ondes progressives sinusoïdalesde même amplitude et de même pulsation, se propageant dans des directions opposées :

y(x, t) = y1(x, t) + y2(x, t)

= A sin(ωt− kx+ ϕ1) + A sin(ωt+ kx+ ϕ2)

= A [sin(ωt− kx+ ϕ1) + sin(ωt+ kx+ ϕ2)]

en utilisant la relation trigonométrique : sin p+ sin q = 2 sin p+q2

cos p−q2

on obtient

y(x, t) = 2A sin

(ωt+

ϕ1 + ϕ2

2

)cos

(−kx+

ϕ1 − ϕ2

2

)= 2A sin

(ωt+

ϕ1 + ϕ2

2

)cos

(kx+

ϕ2 − ϕ1

2

)

si on pose ϕ1+ϕ2

2= ϕ , ϕ2−ϕ1

2= φ et 2A = y0 on obtient

y(x, t) = y0 sin(ωt+ ϕ) cos(kx+ φ)

que l’on peut également exprimer sous la forme :

y(x, t) = y0 sin(ωt+ ϕ) sin(kx+ ψ)

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avec ψ = φ+ π2.

Lorsqu’on observe le résultat, on constate que la fonction y(x, t) obtenue s’exprime comme unproduit d’une fonction de x par une fonction de t (en l’occurrence ici des fonctions sinusoïdales).De manière générale quand une fonction s’exprime sous la forme y(x, t) = f(x) g(t), ondit que c’est une fonction à variables séparées. Ce n’est plus une expression de la formey(x, t) = f(x± ct).On n’observe plus de propagation. Cela correspond bien à une onde stationnaire.

Retenir :

L’expression générale de la superposition de deux ondes progressives sinusoïdales de mêmeamplitude et de même pulsation se propageant dans des directions opposées s’écrit :

y(x, t) = y0 sin(ωt+ ϕ) sin(kx+ ψ) avec k =ω

c

Remarque : Les expressions suivantes sont équivalentes :

y(x, t) = y0 sin(ωt+ ϕ) cos(kx+ φ)y(x, t) = y0 cos(ωt+ Ψ) cos(kx+ φ)y(x, t) = y0 cos(ωt+ Ψ) sin(kx+ ψ)

avec φ = ψ − π2et Ψ = ϕ− π

2.

2. Description de l’onde stationnaire

Considérons l’onde stationnaire

y(x, t) = y0 sin(ωt+ ϕ) sin(kx+ ψ) avec k =ω

cOn peut écrire

y(x, t) = A (x) sin(ωt+ ϕ) avec A (x) = y0 sin(kx+ ψ).

L’amplitude des oscillations dépend du point où on se place : elle est maximale au niveaudes ventres de vibration et nulle au niveau des nœuds de vibration. En un point d’abscisse xdonnée, l’amplitude des oscillations vaudra :

A(x) = |A (x)| = |y0 sin(kx+ ψ)|• nœuds de vibration : A(x) = 0 pour sin(kx+ ψ) = 0 soit pour x = xn,p tel que

kxn,p + ψ = pπ avec p ∈ Z

xn,p = pπ

k− ψ

kavec p ∈ Z

xn,p = p�πλ

2�π− ψ

kavec p ∈ Z

xn,p = pλ

2− ψ

kavec p ∈ Z

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La distance entre deux nœuds consécutifs est égale à une demi-longueur d’onde (xn,p+1 −xn,p = λ

2).

• ventres de vibration : A(x) = Amax = |y0| pour sin(kx+ ψ) = ±1 soit pour x = xv,p tel que

kxv,p + ψ =π

2+ pπ avec p ∈ Z

xv,p =π

2k+ p

π

k− ψ

kavec p ∈ Z

xv,p =�π

2

λ

2�π+ p

�πλ

2�π− ψ

kavec p ∈ Z

xv,p =λ

4+ p

λ

2− ψ

kavec p ∈ Z

La distance entre deux ventres consécutifs est égale à une demi-longueur d’onde (xv,p+1−xv,p =λ2).

La distance entre un nœud et un ventre consécutifs est égale à un quart de longueur d’onde(xv,p − xn,p = λ

4).

Enfin, les points situés entre deux nœuds successifs vibrent en phase alors que les points situésde part et d’autres d’un même nœud vibrent en opposition de phase.

3. Conditions aux limites et modes propres

Retrouvons à présent la quantification des fréquences. L’onde stationnaire de la forme

y(x, t) = y0 sin(ωt+ ϕ) sin(kx+ ψ) avec k =ω

c

doit vérifier les conditions aux limites spatiales suivantes :aux points de fixations (x = 0 et x = L) la vibration est nulle, la fonction y(x, t) doit doncvérifier :

∀t y(0, t) = 0 (CL1)∀t y(L, t) = 0 (CL2)

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soit, en exprimant (CL1) :∀t y(0, t) = y0 sin(ωt+ ϕ) sin(ψ) = 0 d’où sin(ψ) = 0, ψ = 0 ou π

on choisit ψ = 0 (choisir ψ = π reviendrait à inverser le signe de y0).

en exprimant (CL2) :∀t y(L, t) = y0 sin(ωt+ ϕ) sin(kL) = 0 d’où sin(kL) = 0

on en déduit kL = nπ avec n ∈ N∗ d’où k = nπ

L= kn

ce qui permet de retrouver la condition vérifiée par L : 2πλn

= n πL

L = nλn2

ainsi que les fréquences et pulsations associées : fn = nc

2L= nf1

ωn = 2πfn = nπc

L

avec f1 =c

2Lfréquence du mode fondamental.

On aura donc, pour le mode n donné :

yn(x, t) = y0n sin(nπc

Lt+ ϕn

)sin(nπ

Lx)

avec n ∈ N∗

qui correspond à la forme mathématique du mode n.

Remarques : La limitation spatiale de l’onde entraîne une quantification des fréquences :seul un nombre discret de fréquences peuvent exister.Les valeurs des fréquences propres dépendent directement de la nature desconditions aux limites imposées à la cordes.

4. Décomposition en mode propre

Quand on pince une corde, on a peu de chance d’exciter un unique mode. En réalité la vi-bration de la corde résulte de la superposition des différents modes. On peut, sous certainesconditions, éviter d’exciter certains modes suivant l’endroit où on pince la corde.Le signal s’exprimera donc de manière générale sous la forme

y(x, t) =∞∑n=1

yn(x, t) =∞∑n=1

y0n sin(nπc

Lt+ ϕn

)sin(nπ

Lx)

Les valeurs des amplitudes y0n et des phases initiales ϕn peuvent se déduire des conditionsinitiales en position et en vitesse de la corde, grâce à l’analyse de Fourier, mais cela dépasse lecadre du programme de première année 1.Les différentes valeurs des y0n indiquent comment se répartissent les différentes harmoniquesdans le spectre. L’importance relative des différentes harmoniques est lié au timbre.Le spectre est en fait plus complexe : il dépend du temps.

1. à titre indicatif on pourra consulter la feuille de calcul sage : http://nbviewer.jupyter.org/url/pcsi1.physique.pagesperso-orange.fr/sagemath/Spectre_d_une_corde_de_Melde.ipynb

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III. Autres exemples d’ondes stationnaires

1. Ondes acoustique stationnaires.

Pour obtenir des ondes acoustiques 1D on peut utiliser un tuyau. Ce dernier étant de longueurL finie, les ondes acoustiques devront s’établir en milieu limité.La plupart des instruments à vent sont constitués d’un tuyau cylindrique avec des extrémitésouvertes ou fermées.Lorsque l’extrémité du tuyau est ouverte, la pression imposée est la pression atmosphériqueP0, la surpression sera donc nulle.Par contre la vitesse de déplacement des "particules fluides" a une amplitude maximale.

L’extrémité d’un tuyau ouvert correspond à un nœud de surpression.

Lorsque l’extrémité du tuyau est fermée, le mouvement des particules fluides est nul (on adonc un nœud en pour la vitesse de déplacement des particules fluides) et on admettra quel’amplitude de la surpression est maximale.

L’extrémité d’un tuyau fermé correspond à un ventre de surpression.

Application :

Un instrument de musique se modélise par une cavité delongueur `, fermée à une extrémité et ouverte à l’autre.La vitesse du son dans l’air est c = 340 m.s−1.1) Quelle doit être la longueur du tuyau pour que la plusfaible fréquence d’une onde stationnaire soit f1 = 440 Hz(La4).2) Quelle fréquence f2 immédiatement supérieure peutexister ?3) Donner l’expression générale de toutes les fréquencespossibles des ondes stationnaires pouvant s’établir danscet instrument.

L’extrémité fermée correspond à un ventre de pression,l’extrémité ouverte à un nœud. On a, pour le mode fon-damental :

` =λ14

=c

4f1= 19, 3 cm

avec f1 =c

4`

Pour le deuxième mode : ` =λ24

+λ22

=3λ24

=3c

4f2

on on déduit f2 =3c

4`= 3f1.

Le deuxième mode correspond à l’harmonique de rang 3.

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de manière générale, on écrira pour la fréquence fn du mode n :

` =λn4

+ (n− 1)λn2

= (2n− 1)λn4

= (2n− 1)c

4fnavec n ∈ N∗

d’où fn = (2n− 1)c

4l= (2n− 1)f1 avec n ∈ N∗

ainsi f2 = 3f1, f3 = 5f1 etc...Les fréquences propres correspondent seulement aux fréquences multiples impaires de la fré-quence fondamentale f1 : le spectre du son produit par ce tuyau ne comportera donc pasd’harmoniques paires.

On peut vérifier facilement qu’un tuyau ouvert à ses deux extrémités est l’équivalent acoustiquede la corde de Melde (L = nλn

2) : les fréquences possibles seront donc de la forme fn = nπc

L=

nf1.Idem pour un tuyau fermé à ses deux extrémités (L = nλn

2).

De manière générale on pourra rechercher l’expression de la supression p = P − P0 sous laforme

p(x, t) = y0 sin(ωt+ ϕ) sin(kx+ ψ) avec k =ω

c

les conditions aux limites spatiales permettent de retrouver les fréquences possibles ainsi quel’expression de ψ.

2. Autres exemples d’ondes stationnaires

1D : cavité laserVous avez vu en terminale qu’une cavité laser est constituée de deux miroirs (dont un semi-réfléchissant laissant passer une petite partie de la lumière produite) distants d’une longueurL = nλ

2.

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2D : Onde de marée forcée par la Lune.Point amphidromiques : point où l’amplitude de marée est toujours nulle.

Système amphidromique du terme M2 (composante principale lunaire semi-diurne de la marée)en mer du Nord. Les lignes bleu clair illustrent des endroits de même phase de marée ; les pointsamphidromiques sont indiqués par 1, 2 et 3.

Carte des océans illustrant l’amplitude du terme M2 de la marée. Les lignes blanches sont deslignes cotidales (égale phase de marée) qui diffèrent d’une heure l’une de l’autre. Les pointsamphidromiques sont situés à la jonction de plusieurs lignes cotidales.

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Vibration d’une timbale : lorsqu’on force la vibration de la surface, il apparaît pour desfréquences données, des lignes nodales (ou la vibration est nulle).

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3D : modes propres des ondes sismiques solaires :

Les ondes acoustiques solaires sont aussi dénommées ondes P. Elles sont de fréquences beaucoupplus basses que les fréquences acoustiques audibles (fréquences centrées autour de 3 mHz,période de 5 min). Ce sont les mouvements convectifs de surface qui génèrent des ondes. Lemouvement de vibration de l’étoile est alors une superposition de modes propres 3D. Leuranalyse nous renseigne sur la structure interne du soleil.Remarque : ce sont ces oscillations de la photosphère que l’on détecte.

pour plus d’information, on pourra consulter le site :http://irfu.cea.fr/Sap/Phocea/Vie_des_labos/Ast/ast_visu.php?id_ast=994

Ondes stationnaires dans un four micro-ondes.

À gauche, cliché à la caméra infra-rouge pour détecter les zones de chauffage maximum. Àdroite, onde stationnaire dans une cavité parallélépipédique (coupe longitudinale).pour plus d’information consulter l’article "Vitesse de la lumière et four micro-ondes" de Jean-Michel COURTY et Édouard KIERLIK, paru dans le magazine Pour la science, Juin 2011.

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