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IfremerDirection de la Technologie Marine et des Systèmes d'InformationCellule Océano-MétéoMarc Prevosto
Décembre 2000 - TMSI/IDM/COM/00-039
Tâche 4: Approche statistique du roulis extrême
Amélioration de la prédiction duroulis à la résonanceet des efforts de courant pourles barges de production
Direction de la Technologie Marine et des Systèmes d'InformationCellule Océano-Météo
Marc Prevosto
Décembre 2000 - TMSI/IDM/COM/00-039
Tâche 4: Approche statistique du roulis extrême
Amélioration de la prédiction du roulis à la résonanceet des efforts de courant pour les barges de production
sommaire
1. Présentation générale 1
1.1. Introduction 11.2. Statistiques du comportement en roulis 11.3. Position du problème 2
2. Estimation des lois du roulis 4
3. Calcul de la densité de probabilité 5
3.1. Etat de l’art 53.2. Hypothèses contraignantes 6
3.2.1 Excitation non blanche 63.2.2 Amortissement non linéaire 6
4. Méthode quasi-statique 7
4.1. Système linéaire équivalent 74.2. Relation entre amplitude de l'entrée harmonique et enveloppe de la sortie 74.3. Transformation non linéaire 8
5. Linearize&Match (Duthoit 1987) 9
5.1. Système cubique équivalent 95.2. Suite de systèmes linéaires équivalents 95.3. Calcul des moments d’ordre supérieur 95.4. Calcul de la loi des angles de roulis et de sa dérivée 10
5.4.1 Maximum d'entropie 105.4.2 Loi jointe 11
6. Système non linéaire équivalent - Moyennage stochastique 14
6.1. Système non linéaire équivalent 146.2. Moyennage stochastique 14
7. Cas test 16
7.1. Modèle de roulis 167.2. Excitation 167.3. Intégration 177.4. Fonction de transfert 177.5. Loi de l’enveloppe - Loi des maxima 177.6. Système linéaire équivalent 177.7. Méthode système non linéaire équivalent - moyennage stochastique 187.8. Méthode quasi-statique 187.9. Méthode Linearize&Match 18
7.9.1 Hypothèse d’indépendance 187.9.2 Moments exacts 197.9.3 Linearize&Match 19
8. Conclusions 21
9. Références 27
10. Figures 31
1. Présentation générale
1.1. Introduction
Pour un support flottant et un site d’exploitation donnés, la détermination des statis-tiques de conditions extrêmes de roulis passe par le calcul des lois de distributiondes angles de roulis dans des conditions d’états de mer stationnaires. Hormis lestechniques basées sur de la linéarisation équivalente qui sur-estiment fortement lesprobabilités de grands angles de roulis, de nombreux travaux ont été entrepris pourprendre en compte de manière plus exacte les non linéarités d’amortissement oude raideur. La plupart de ces techniques sont basées sur des hypothèses d’amortis-sement faible ou de densité spectrale d’excitation à bande large. Cette dernièrehypothèse est en générale incompatible avec des spectres de chargement en merdu vent et encore moins en conditions de houle. D’autre part l’hypothèse d’amortis-sement faible ne s’applique pas à des supports flottant de type barge.
Deux techniques différentes ont été étudiées pour tenir compte de ces deux hypo-thèses restrictives sur l’amortissement et la largeur spectrale. Une premièreméthode appelée “Linearize&Match”, précédemment étudiée par J.L. Armand etChristophe Duthoit, a été adaptée à un amortissement non linéaire du type v|v|.Une deuxième méthode originale a fait aussi l’objet de développements en tenantcompte du comportement proche du quasi-statique du support flottant dans le casde spectres étroits de chargement.
Ces deux méthodes ont été testées sur un modèle de barge proposé dans le cadredu projet où le mouvement en roulis est modélisé par une équation différentielleordinaire. La robustesse à différentes formes spectrales du chargement a été étu-diée en faisant varier le coefficient de largeur de bande γ d’un spectre deJONSWAP.
1.2. Statistiques du comportement en roulis
Une nombreuse littérature existe sur différentes méthodes d’analyse du comporte-ment en roulis sur vagues irrégulières, que ce soit pour l’estimation des paramètresdu modèle (Kountzeris et al. 1990, Roberts et al. 1991, Roberts et al. 1992, Had-dara & Wu 1993, Roberts et al. 1994), l’analyse de la stabilité (Kaplan 1990) oul’analyse du comportement chaotique, dans le cas de raideur cubique, par desméthodes de bifurcation (Francescutto 1990, Francescutto 1991, Francescutto etal. 1991, Francescutto 1992) ou la prédiction des occurrences de groupes devagues qui induisent des mouvement extrêmes (Tikka & Paulling 1991). Lorsquel’intérêt est porté sur les statistiques de la réponse, soit elles sont limitées à l’ordredeux (variance, densité spectrale, fonction de covariance)(Flower 1978), soit elless’appuient sur des hypothèses restrictives de l’excitation, soit elles sont obtenuespar des méthodes de perturbation qui font face à des problèmes de convergence.En particulier, par une méthode de perturbation, (Flower 1976, Cardo et al. 1986)estiment la densité spectrale ou (Haddara & Nassar 1986) étudient la sensibilité dela variance de la réponse aux paramètres du modèle.
De nombreux travaux se sont dirigés vers la résolution des équations de Fokker-Planck pour obtenir la densité de probabilité de la réponse en roulis. Ils utilisent deshypothèses de bruit blanc gaussien dans la bande de résonance (hypothèse vala-
1
: roulis
2
ble si l’amortissement est faible et en situation de mer du vent), (Haddara 1983,Roberts & Dachuna 1983, Dunne & Wright 1985). Pour s’échapper de ces hypothè-ses Roberts (Roberts, Dachuna et al. 1983) propose une correction pour tenircompte de la forme du spectre d’excitation. Ces résultats sont validés par desessais en bassin (Roberts et al. 1985) et par des simulations (Roberts et al. 1986)qui restent cependant dans le cadre des hypothèses restrictives de départ. De soncoté Ellis (Ellis et al. 1988) résout Fokker-Planck avec une méthode de projectionsur fonctions propres.
Une méthode, appelée “Linearize&Match”, étudiée par Armand et Duthoit (Duthoit1987, Duthoit & Armand 1987, Armand & Duthoit 1990) permet de sortir des hypo-thèses trop restrictives de bruit blanc gaussien d’excitation ou de faible amortisse-ment. Elle est basée sur l’association de techniques de linéarisation équivalente etd’approximation de la fonction de transfert non linéaire du modèle par des noyauxde Volterra. Nous avons choisi d’adapter et de valider cette méthode sur un modèlede barge proposé dans le cadre du projet. Une deuxième méthode originale tenantcompte du comportement proche du quasi-statique du support flottant dans le casde spectres étroits de chargement lui a été comparée. La robustesse de ces deuxméthodes à différentes formes spectrales du chargement a été étudiée en faisantvarier le coefficient γ d’un spectre de JONSWAP.
1.3. Position du problème
Le modèle choisi dans cette étude pour représenter le mouvement en roulis(figure 1) d’un support flottant est un modèle découplé des autres degrés de liberté,sous forme d’une équation différentielle ordinaire (EQ 1). Seul le terme d’amortisse-ment est non linéaire en .
Figure 1. Mouvement en roulis
(EQ 1)
Le modèle de couple excitateur est un simple transfert linéaire appliqué à l'élé-vation de surface libre.
(EQ 2)
L’élévation de surface libre est un processus gaussien défini par sa densité spec-
θ· θ·
θ
Iθ·· t( ) Tθ· t( ) θ· t( ) Kθ t( )+ + C t( )=
C t( )
C t( ) hC t( ) η t( )⊗=
trale , qui prendra dans la suite des formes analytiques standard.
(EQ 3)
Le problème que l’on se pose est la recherche des lois de probabilité des maximad’angle de roulis à l’intérieur d’un état de mer, c’est à dire en condition d’excitationstationnaire, constant. On appelle maxima la valeur maximale entre deuxpassages croissant par zéro. Par analogie avec l’analyse des vagues, on parlerad’angle de crête . On cherchera de façon équivalente la fonction de répartition
ou la densité de probabilité
(EQ 4)
Les non linéarités étant impaires, il y a symétrie statistique entre les angles de rou-lis positifs et négatifs.
Sη ω( )
η t( ) hη t( ) b t( )⊗= avec b t( ) bruit blanc gaussien
et Hη ω( ) 2 Sη ω( )=
Sη ω( )
ΘCP ΘC θ<( ) fΘC
θ( )
P ΘC θ<( ) fΘCθ( )↔
3
4
2. Estimation des lois du roulis
Pour accéder à la fonction de répartition des maxima de roulis, on se base sur unehypothèse de bande étroite du processus de réponse. On verra plus loin que dansnotre cas cette hypothèse est valide.
Dans ce cas, on peut, soit considérer que la loi des maxima est égale à la loi del’enveloppe, soit exprimer la probabilité de dépassement des angles de crêtes d’unniveau comme le rapport entre le nombre moyen de dépassements croissant dece niveau et le nombre moyen de dépassements croissant du niveau 0.
(EQ 5)
représente l’espérence mathématique.
Connaissant la loi jointe de l’angle de roulis et de sa dérivée , la formule deRice, dans le cas stationnaire fournit le nombre moyen de dépassements croissantd’un niveau :
(EQ 6)
Si la loi jointe est difficilement accessible, une hypothèse supplémentaire peut êtreprise d’indépendance entre le roulis et sa dérivée. Cette hypothèse, vérifiée dans lecas d’un processus gaussien (système linéaire), ne l’est plus forcément dans lescas non linéaires. Cette hypothèse est utilisée dans les travaux d’Armand etDuthoit. Elle est en effet vérifiée dans le cas de systèmes dynamiques avec une rai-deur cubique et reste donc valide lorsque la non linéarité de raideur cubiquedomine. Dans notre cas de non linéarité d’amortissement en , cette hypothèsen’est plus valide comme on le verra par la suite.
Dans le cas d’une telle hypothèse d’indépendance, , le nom-bre moyen de dépassements peut s’exprimer :
(EQ 7)
et donc la loi des maxima s’exprime en fonction de la loi instantanée des angles :
(EQ 8)
Dans le cas où l’hypothèse d’indépendance n’est pas valide, la loi jointe peut êtreapprochée, soit par une perturbation polynomiale de la loi jointe sous hypothèsed’indépendance (Langley & McWilliam 1993, Monbet 1996, Monbet et al. 1996)
(EQ 9)
soit par une perturbation polynomiale de la loi jointe d’un vecteur gaussien(Edgeworth ou Gram-Charlier).
θθ
P ΘC θ>( ) P A θ>( )= avec θ t( ) A t( ) Ω t( )( )sin=
P ΘC θ>( ) fΘCθ( ) θd
θ
∞
∫IE Nθ( )
IE N0( )-----------------= =
IE
fΘΘ· θ θ·,( )
IE Nθ( ) θ· fΘΘΘΘΘΘΘΘ· θ θ·,( ) θ·d0
∞
∫=
θ· θ·
fΘΘ· θ θ·,( ) fΘ θ( )fΘ· θ·( )=
IE Nθ( ) fΘ θ( ) θ· fΘ· θ·( ) θ·d0
∞
∫=
P ΘC θ>( )IE Nθ( )
IE N0( )-----------------
fΘ θ( )
fΘ 0( )------------= =
fΘΘ· θ θ·,( ) fΘ
θ( )fΘ· θ·( )s θ θ·,( ) ou fΘ θ( )fΘ· θ·( ) g θ θ·,( )+=
3. Calcul de la densité de probabilité
3.1. Etat de l’art
Le calcul des densités marginales ou jointes de l’angle de roulis et de sa dérivéepeuvent être obtenues par différentes techniques. On ne décrira pas ici en détailces différentes méthodes de calcul, mais on incitera le lecteur à regarder avecbeaucoup d’intérêt (Monbet 1996, pp. 15-37) et (Duthoit 1987, pp. 9-37), dans les-quels des études comparatives sont menées.
Ces méthodes sont :
• Méthode de Monte Carlo, par intégration de l’équation différentielle (EQ 1) etestimation empirique des densités. L’inconvénient de cette méthode est le coûtprohibitif de l’intégration pour obtenir des estimateurs des densités de qualité suf-fisante. Cet inconvénient peut cependant être contourné par des techniquesadaptées d’ajustement (Monbet 1996). C’est cependant une méthode qui gardetout son intérêt si le modèle de représentation de la dynamique devient plus com-
plexe (couplage de d.d.l., système dynamique implicite ,...).
• La linéarisation équivalente permet d’évaluer les statistiques d’ordre 2 de laréponse du système sans plus d’informations sur le modèle de densité.
• Les méthodes de perturbation et celles basées sur les noyaux de Volterra ouWiener-Hermite, s’appuient sur une expression en série de la réponse (ou dutransfert). La complexité numérique augmente vite avec l’ordre de la série etdonc se pose pour de nombreuses non linéarités le problème de la convergencede l’approximation.
• L’équation de Fokker-Planck, est le système d’équations aux dérivés partiellesauquel obéit la loi jointe des d.d.l. d’un système différentiel d’ordre 1 avec uneentrée bruit blanc. C’est un problème aux limites dans un espace de dimensionégale au nombre de d.d.l.. Sa résolution devient très vite très complexe, sachantque pour modéliser une entrée non blanche on doit passer par une augmentationdes d.d.l..
Dans quelques cas, rares, de non linéarités, il existe une solution exacte àl’équation de Fokker-Planck. Sinon, un système non linéaire équivalent (pardes méthodes proches des systèmes linéaires équivalents) dont on connaît lasolution exacte peut permettre d’approcher les densités. Des méthodes pluscomplexes de moyennage stochastique, mais qui s’appuient sur des hypothè-ses d’enveloppe à évolution lente (faible amortissement) ont été beaucoup uti-lisées (travaux de Roberts). L’ultime solution est bien sûr de résoudrenumériquement l’équation de Fokker-Planck par des méthodes classiques(Eléments Finis), mais difficile à mettre en oeuvre dès que le nombre de d.d.l.dépasse trois.
• Comme alternative à ces différentes solutions deux autres méthodes, la méthodequasi-statique et la méthode Linearize&Match (Duthoit 1987), ont été étudiées etfont l’objet de la suite de cette étude
F θ·· θ· θ, t,,( ) 0=
5
6
3.2. Hypothèses contraignantes
Dans le cas qui nous intéresse du comportement en roulis d’une barge d’exploita-tion, un certain nombre de contraintes rendent difficile l’utilisation des différentestechniques que l’on vient de lister.
3.2.1 Excitation non blanche
Si les variations de sont très faibles dans la bande de réponse du système,l'excitation peut être considérée comme un bruit blanc. Ceci peut être dû, soit à unamortissement très faible, soit à une grande largeur de bande de l’excitation. Pourle système auquel on s’intéressera, on verra que pour des angles de roulis impor-tants, l’amortissement équivalent peut être important (~30%). De plus, l’excitationrencontrée par le support flottant peut aller de spectres relativement larges (mer duvent) à des spectres étroits (houle).
Dans le modèle présenté plus haut, l’excitation du système , comme filtré d’unbruit blanc, ne peut donc être représenté par un bruit blanc, même dans la bandepassante du système dynamique, l’amortissement équivalent pour des situationsd’angles forts ne pouvant être considéré comme faible. Le système de départ
(EQ 10)
peut être approché, en modélisant la fonction totale de transfert de l’excitation par un système résonnant d’ordre 2 (EQ 11). L’important est d’avoir
une bonne approximation de dans la bande passante du système dynamique.
(EQ 11)
Cette transformation permet de considérer un système dynamique avec une entréeblanche, mais par contre elle porte à quatre le nombre de d.d.l. du système différen-tiel d’ordre 1 équivalent.
3.2.2 Amortissement non linéaire
L’amortissement non linéaire est de la forme . Dans de nombreux cas uneexpression polynomiale des non linéarités est préférable. On préférera donc tra-vailler avec un système non linéaire équivalent du type linéaire plus cubique
(EQ 12)
Les coefficients et sont donnés par (voir appendice 1)
(EQ 13)
Sη ω( )
C t( )
Iθ·· t( ) Tθ· t( ) θ· t( ) Kθ t( )+ + C t( )=
hC t( ) hη t( )⊗C t( )
Iθ·· t( ) Tθ· t( ) θ· t( ) Kθ t( ) C t( )–+ + 0=
C··
t( ) 2ξηωηC·
t( ) ωη2 C t( )+ + b t( )=
θθθθ· t( ) θθθθ· t( )
Iθ·· t( ) αθ· t( ) Ξθ· t( )3
Kθ t( )+ + + C t( )=
α β
α T2IE θ· 2( )
π--------------------=
Ξ T2
9πIE θ· 2( )-----------------------=
4. Méthode quasi-statique
Une première méthode étudiée a utilisé le fait que, dans de nombreuses configura-tions de spectres d’excitation, la réponse du système peut être apparentée à uneréponse quasi-statique. La démarche suivie pour obtenir la loi des maxima de roulisconsiste en plusieurs étapes.
4.1. Système linéaire équivalent
On considère tout d’abord le système équivalent au système EQ 1
(EQ 14)
avec défini par
(EQ 15)
Le calcul de s’obtient soit par méthode itérative
(EQ 16)
avec
(EQ 17)
et la densité spectrale du couple excitateur;
soit en utilisant le système équivalent au système EQ 11 (voir appendice 2)
(EQ 18)
Le système considéré étant linéaire avec une entrée processus gaussien, laréponse est donc un processus gaussien et la loi des maxima peut êtreapproximée par une loi de Rayleigh de paramètre .
4.2. Relation entre amplitude de l'entrée harmonique et enveloppe de la sortie
Lorsque l’on met en entrée du système linéaire équivalent et du système nonlinéaire un couple harmonique d’amplitude et de fréquence égale à la fréquencepic du spectre d’entrée, on obtient pour le système linéaire
(EQ 19)
et pour le système non linéaire
(EQ 20)
On obtient ainsi, pour chaque amplitude de l’excitation, une amplitude de l’enve-
Iθ·· t( ) αθ· t( ) Kθ t( )+ + C t( )=
α
α T 8π---IE θ·
2( )=
IE θ·2
( )
IE θ·2
( ) ω2 H ω( ) 2SCC ω( ) ωd∞–
∞∫=
H ω( ) 1
Iω2– iωT 8π---IE θ·
2( ) K+ +
----------------------------------------------------------------=
SCC ω( )
Iθ·· t( ) αθ· t( ) Kθ t( ) C t( )–+ + 0=
C··
t( ) 2ξηωηC·
t( ) ωη2 C t( )+ + b t( )=
ΘClin
σ IE θ2( )=
a
C t( ) a ωt( )sin= θ t( )→ αa ωt ϕ+( )sin=
C t( ) a ωt( )sin= θ t( )→ A a( ) Ω t( )sin=
a
7
8
loppe en régime stationnaire, pour le système linéaire, pour le système nonlinéaire étudié.
peut être obtenu par simulation, le régime stationnaire étant atteint rapidement.
4.3. Transformation non linéaire
La méthode consiste à appliquer à la variable aléatoire angle de crête en linéaire, la transformation non linéaire ainsi obtenue
(EQ 21)
ce qui fournit la loi des angles de crête en nonlinéaire :
(EQ 22)
αa A a( )
A a( )
ΘClin
g: x Axα---( )→ ΘC
nonlin⇒ g ΘClin( )=
P ΘCnonlin θ>( ) 1
2---
g1– θ( )σ
---------------
2
– exp=
5. Linearize&Match (Duthoit 1987)
La méthode Linearize&Match telle qu’utilisée dans les travaux de Armand etDuthoit, calcule dans une première étape les moments de l’angle de roulis, puis parune méthode de maximum d’entropie optimise une densité qui est ensuite utiliséegrâce à des hypothèses d’indépendance et de bande étroite (Duthoit & Armand1987) pour calculer la loi des maxima.
5.1. Système cubique équivalent
Le système non linéaire de départ doit tout d’abord être mis sous forme d’un sys-tème non linéaire équivalent qui permette un développement en série de Volterra. Ilsera ici approximé par un système avec un amortissement linéaire plus cubique. Lesystème
(EQ 23)
est remplacé par
(EQ 24)
avec les coefficients et donnés EQ 13.
5.2. Suite de systèmes linéaires équivalents
On considère dans une deuxième étape une suite de systèmes linéaires “équiva-lents”
(EQ 25)
dont les coefficients sont calculés de façon à ce que les moments d’ordre de laréponse approximent au mieux les moments d’ordre du système EQ 24.
(EQ 26)
Pour égale 1, égale 3 et le système EQ 25 est le classique système linéaireéquivalent. Les moments d’ordre impair sont tous nuls, étant donnée la non linéaritéconsidérée.
5.3. Calcul des moments d’ordre supérieur
L’identification des se fait au travers d’une procédure qui est décrite en détaildans (Duthoit 1987) et que nous ne détaillerons pas ici. Cette procédure utilise ledéveloppement en série de Volterra de la fonction de transfert non linéaire d’unefaçon telle que le problème de sa non convergence ne soit pas rédhibitoire.
Une fois les calculés, une procédure itérative est utilisée comme précédemment
(EQ 27)
Iθ·· t( ) Tθ· t( ) θ· t( ) Kθ t( )+ + C t( )=
Iθ·· t( ) αθ· t( ) Ξθ· t( )3
Kθ t( )+ + + C t( )=
α Ξ
Iθ·· i t( ) α βiΞIE θ· i2
t( )( )+( )θ· i t( ) Kθi t( )+ + C t( )=
βi 2iθi t( ) 2i
IE θi t( )2i( ) IE θ t( )2i( )≅
i β1
IE θ t( )2i( )
βi
βi
IE θ· i2
( ) ω2Hi ω( ) 2
SCC ω( ) ωd∞–
∞∫=
9
10
avec
(EQ 28)
qui permet de calculer les . Ceci permet ensuite de calculer les defaçon simple par
(EQ 29)
Les moments supérieurs sont ensuite classiquement obtenus, considérant que,comme sorties de systèmes linéaires à entrée processus gaussien, les et sontgaussiens et donc
(EQ 30)
On utilisera par la suite cette même relation pour calculer les moments de , lors-que l’on travaillera sans l’hypothèse d’indépendance entre et .
5.4. Calcul de la loi des angles de roulis et de sa dérivée
Une fois les moments d’ordre supérieurs calculés, les lois marginales de et sont obtenues à partir d’une méthode de maximum d’entropie
5.4.1 Maximum d'entropie
On cherche à maximiser, par rapport à la densité , l’entropie du système don-née par
(EQ 31)
avec un certain nombre de contraintes sur les moments , dont les valeursont été estimées précédemment. Les N contraintes sur sont donc de la
forme
(EQ 32)
avec , pour que soit bien une densité de probabilité.
En introduisant les multiplicateurs de Lagrange pour résoudre ce problème deminimisation avec contraintes, on obtient une densité de la forme :
(EQ 33)
Cette même procédure est appliquée, si besoin est, à .
Hi ω( ) 1
Iω2– iω α βiΞIE θ·2
( )+( ) K+ +-----------------------------------------------------------------------------=
IE θ· i2
( ) IE θi2( )
IE θi2
( ) Hi ω( ) 2SCC ω( ) ωd
∞–
∞∫=
θi θ· i
E θ2i( ) IE θi2i( ) 2k 1–( )
k 1=
i∏
IE θi2( )
i 2i( )!
2ii!
------------IE θi2( ) i= = =
θ· i
θi θ· i
θi θ· i
fΘ θ( )
S fΘ( ) fΘ θ( ) fΘ θ( )( )log θd∞–
∞
∫–=
IE θk( )mk fΘ θ( )
fΘ θ( )θk θd∞–
∞
∫ mk=
m0 1= fΘ θ( )
λ k
p θ( ) λ kθk
k 0=
N∑–
exp=
θ· i
5.4.2 Loi jointe
Si l’indépendance est vérifiée dans le cas d’une raideur cubique avec excitationblanche (Caughey 1971), pour la non linéarité qui nous intéresse ici, cette hypo-thèse d’indépendance entre et n’est pas valide. Dans ce cas, les momentscroisés peuvent être calculés à partir de propriétés des processus stationnaires etdu type de non linéarité considéré.
Les propriétés des processus stationnaires donnent
(EQ 34)
La non linéarité impaire considérée fournie
(EQ 35)
et par fermeture gaussienne
(EQ 36)
ainsi que
(EQ 37)
Un exemple de moments croisés normalisés empiriques est donné dans le tableau1. Ils correspondent à la simulation , (voir plus loin, chapitre “Castest”).
Un moment croisé est défini par :
(EQ 38)
Tableau 1. Moments croisés normalisés
normalisé
l ( )
0 1 2 3 4 5 6
k ( )
0 1.00 0.00 1.00 0.00 2.02 0.00 5.43
1 0.00 -0.01 0.00 -0.09 0.00 -0.36 0.01
2 1.00 -0.00 0.69 -0.00 1.15 0.00 2.71
3 0.00 -0.02 0.00 -0.13 0.00 -0.47 0.01
4 2.06 -0.00 1.16 -0.00 1.66 0.00 3.55
5 0.00 -0.05 0.00 -0.28 0.01 -0.91 0.01
6 5.66 0.00 2.75 -0.00 3.53 0.01 6.90
θi θ· i
k 0≥∀ , IE θkθ·( ) 0=
θ· θ·
k l, 0 k l impair+,>∀ , IE θkθ· l( ) 0=
k 0 k impair,>∀ , l 0 l impair,>∀ , IE θkθ· l
( )
IE θ2( )k 2/ IE θ· 2( )l 2/--------------------------------------------- 1«
k l, 0>∀ , IE θ2kθ· 2l( )
IE θ2( ) k IE θ· 2( ) l-------------------------------------
2k( )!
2kk!
-------------2l( )!2
ll!
------------≅
γ 10= Tp Tr=
IE θkθ· l( )
IE θ2( )k 2/ IE θ· 2( )l 2/---------------------------------------------
IE θkθ· l( )θ·
θ
11
12
Ces valeurs peuvent être comparées à celles du cas linéaire gaussien dont lesmoments croisés normalisés prennent les valeurs données dans le tableau 2.
Tableau 2. Moments croisés normalisés, cas gaussien
Dans le cas indépendant, les moments calculés à partir des moments marginaux dutableau 1,
(EQ 39)
prendraient les valeurs données dans le tableau 3.
Tableau 3. Moments croisés normalisés, cas indépendant
normalisé
l ( )
0 1 2 3 4 5 6
k ( )
0 1.00 0.00 1.00 0.00 3.00 0.00 15.00
1 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
2 1.00 0.00 1.00 0.00 3.00 0.00 15.00
3 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
4 3.00 0.00 3.00 0.00 9.00 0.00 45.00
5 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
6 15.00 0.00 15.00 0.00 45.00 0.00 225.00
normalisé
l ( )
0 1 2 3 4 5 6
k ( )
0 1.00 0.00 1.00 0.00 2.02 0.00 5.43
1 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
2 1.00 0.00 1.00 0.00 2.02 0.00 5.43
3 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
4 2.06 0.00 2.06 0.00 4.16 0.00 11.16
5 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
6 5.66 0.00 5.66 0.00 11.44 0.00 30.73
IE θkθ· l( )
θ·
θ
IE θkθ· l( )
IE θ2( )k 2/ IE θ· 2( )l 2/
---------------------------------------------IE θk( ) IE θ· l( )
IE θ2( )k 2/ IE θ· 2( )l 2/
---------------------------------------------=
IE θkθ· l( )θ·
θ
On remarque (tableau 1) que la propriété due à la non linéarité impaire (EQ 35) estbien vérifiée et que le premier terme croisé qui s’éloigne de façon non négligeablede l’hypothèse d’indépendance est .
Ce terme sera approximé par le système linéaire équivalent (EQ 25) pour i égale 2,système utilisé pour estimer au mieux les moments d’ordre 4
(EQ 40)
La loi jointe sera alors calculée sous la forme
(EQ 41)
avec qui sera obtenu par une méthode de projection sur une base de polynô-mes décrite dans (Monbet 1996, pp. 66-71).
IE θ2θ· 2( )
IE θ2θ· 2( ) IE θ2 t( )2θ· 2 t( )2
( ) IE θ2 t( )2( ) IE θ· 2 t( )2
( )= =
fΘΘ· θ θ·,( ) fΘ
θ( )fΘ· θ·( )s θ θ·,( )=
s θ θ·,( )
13
14
6. Système non linéaire équivalent - Moyennage stochastique
On donne ici les lois jointes et lois de l’enveloppe obtenues par deux méthodesclassiques, le système non linéaire équivalent et le moyennage stochastique. Cesrésultats suppose une excitation bruit blanc.
6.1. Système non linéaire équivalent
Considérant le système,
(EQ 42)
les lois obtenues (voir par exemple (Roberts and Spanos 1971, pp. 316-317)) sont
(EQ 43)
et pour l’enveloppe
(EQ 44)
6.2. Moyennage stochastique
Par la méthode de moyennage stochastique (voir (Lin and Cai 1995)), dans le casstationnaire, les lois d’un système vibratoire à amortissement faible soumis à desexcitations à bande large de la forme
(EQ 45)
sont obtenus par
(EQ 46)
et
(EQ 47)
avec
(EQ 48)
Pour le système étudié
(EQ 49)
θ·· t( ) 2ξωθ· t( ) θ· t( ) ω2θ t( )+ + b t( )=
fΘΘ· θ θ·,( ) 3
2πωΓ 23---( )
----------------------16ξω4
9π2S0
---------------- 2 3⁄
16ξω9π2
S0
--------------– ω2θ2 θ·2
+( )3 2⁄
exp=
fA a( ) 3
Γ 23---( )
----------16ξω4
9π2S0
---------------- 2 3⁄
a16ξω4
9π2S0
----------------– a3
exp=
θ·· t( ) h θ t( ) θ· t( ),( ) ω2θ t( )+ + b t( )=
fA a( ) Ca2ωπS0--------– F ζ( ) ζd
0
a
∫
exp=
fΘΘ· θ θ·,( ) 1
2πωa θ θ·,( )---------------------------- fA a θ θ·,( )( ) 1
2πωa--------------fA
1ω---- ω2θ2 θ·
2+( )
1 2⁄( )= =
F ζ( ) 12π------– h ζ φcos ζω φsin–,( ) φ ζdsin
0
2π
∫=
h θ θ·,( ) 2ξωθ· θ·=
ce qui donne après intégration
(EQ 50)
et donc
(EQ 51)
Après calcul de la constante C de normalisation (EQ 46), on retrouve exactementles mêmes lois que celles données par la méthode du système non linéaire équiva-lent (EQ 43 & 44).
F ζ( ) 83π------ξω3ζ=
F ζ( ) ζd0
a
∫8
9π------ξω3a3=
15
16
7. Cas test
7.1. Modèle de roulis
Le modèle utilisé pour application numérique est un modèle de FPSO dont les coef-ficients sont donnés ci-dessous, avec une période de résonance à 11.3 secon-des.
(EQ 52)
(EQ 53)
7.2. Excitation
Le couple excitateur a été généré par un transfert direct avec un processus d’éléva-tion de surface libre
(EQ 54)
avec bruit blanc gaussien ou processus gaussien suivant un modèle de den-sité spectrale de JONSWAP de paramètres, largeur de bande , période pic
et hauteur significative donnés ci-dessous. Trois périodes pic ont été utiliséesavec des coefficients différents pour obtenir des niveaux de non linéarité équiva-lents. Bien qu’une valeur de de 10 mètres avec un de 10000, voulant modéli-ser de la houle, ne soit pas réaliste, ces valeurs ont été utilisées pour tester lesméthodes avec des niveaux de non linéarité maximum, sachant qu’à des niveauxplus faibles, ces méthodes ne pourront que mieux se comporter.
(EQ 55)
Dans le cas bruit blanc gaussien, l’écart-type de était de 3.109.
Dans le cas où égale 10 et égale la fréquence de résonance , l’amortisse-ment linéaire équivalent donné par l’équation 15 est de 30% avec un écart-type del’angle de roulis de 7.2 degrés. On voit ici la valeur forte de l’amortissement pourdes mouvements importants du support flottant qui nous oblige à ne pas utiliser deméthodes basées sur des hypothèses de bruit blanc ou d’enveloppe à variationslentes.
Tr
Iθ·· t( ) Tθ· t( ) θ· t( ) Kθ t( )+ + C t( )=
I 5.35e10=
B 60= , L 250= , Cd 0.1= , ρ 1000=
T 0.5ρCdB4L= TI---→ 3.03=
KKI---- 0.31= Tr 11.3=→ →
C t( ) α cη t( )=
η t( )Sη ω( ) γ
Tp Hsα c
Hs γ
Hs 10=
γ 1= , 10 , 10000
α c 5.108= pour Tp Tr 11.3= =
α c 8.108= pour Tp 10=
α c 5.108
= pour Tp 16.66=
η t( ) C t( )
γ Tp Tr
7.3. Intégration
Afin de comparer les résultats obtenus par différentes méthodes à une référence“exacte”, dans chaque configuration de l’excitation, de longues simulations de laréponse du système ont été effectuées afin de permettre d’utiliser des estimationsempiriques aussi bonnes que possible.
L’équation différentielle a été intégrée par un schéma de Runge-Kutta explicite (4/5), utilisant une paire de Dormand-Prince. C’est un schéma à un pas, bien adaptépour des systèmes peu raides (Dormand and Prince 1980).
Le pas de temps est de 1 seconde et la durée de simulation de 108000 secondes(30 heures), correspondant donc environ à 10000 oscillations en roulis.
7.4. Fonction de transfert
On considère une fonction de transfert équivalente comme étant donnée par laréponse du système dans le cas entrée bruit blanc (figure 2, cas bruit blanc, courberouge) et l’on calcule les densités spectrales de l’excitation et de la réponse en rou-lis. Le module de la fonction de transfert et les densités spectrales sont superposés(figures 2 & 3), toutes les courbes étant normalisées pour avoir leur maximum à 1.
On observe que dans le cas d’un spectre excitateur très étroit (houle, égale10000), les propriétés statistiques d’ordre deux de la réponse sont identiques à cel-les de l’excitation. On est dans une configuration quasi-statique. Par contre, lorsquel’on élargit le spectre d’entrée (mer du vent, égale 1), l’effet de la dynamique dusystème est fortement visible. On peut voir aussi que même dans ce cas de largebande de l’entrée, la variation de l’énergie de l’excitation est importante dans labande passante du transfert.
Ces remarques restent identiques lorsque l’on décale la fréquence pic de l’excita-tion vers les plus hautes ou plus basses fréquences (figure 3).
7.5. Loi de l’enveloppe - Loi des maxima
Nous avons vu précédemment (EQ 5) que l’on pouvait, sous des hypothèses debande étroite du processus de réponse, considérer que la loi des maxima étaitégale à la loi de l’enveloppe ou à la fréquence de dépassement du niveau consi-déré
(EQ 56)
On peut voir figure 4 que ceci est vérifié pour tous les cas où un spectre JONSWAPa été utilisé en entrée. Dans le cas d’une excitation bruit blanc, l’amortissementconséquent du système étudié ne permet pas de conserver l’hypothèse bandeétroite pour le calcul de la loi des maxima.
7.6. Système linéaire équivalent
Le système linéaire équivalent permet d’estimer la variance de la réponse. L’entréeétant un processus gaussien, la loi de l’enveloppe est une loi de Rayleigh dont leparamètre est donné par la variance de la réponse. Hormis dans le cas bruit blanc,
γ
γ
P ΘC θ>( ) P A θ>( )IE Nθ( )
IE N0( )-----------------= =
17
18
la loi supposée des maxima ainsi obtenue est très différente de la loi vraie desmaxima (figure 5). La sur-estimation des probabilités pour les grands angles de rou-lis est forte pour tous les cas typiques de spectres de vagues.
7.7. Méthode système non linéaire équivalent - moyennage stochastique
Comme on a pu le voir, les deux méthodes, système non linéaire équivalent etmoyennage stochastique donnent des résultats identiques. Ces résultats suppo-sent une excitation bruit blanc et fournissent la loi de l’enveloppe. On peut voir(figure 5) que, à part dans le cas bruit blanc où la queue de la distribution est bienestimée, ces méthodes, appliquées telles quelles, sur-estiment énormément lesprobabilités pour les grands angles de roulis et ceci d’autant plus que la densitéspectrale de l’excitation est variable dans la bande passante du système dynami-que.
7.8. Méthode quasi-statique
Si l’on trace les enveloppes du roulis du système non linéaire et du système linéaireéquivalent (figure 6), on observe une grande similitude entre leurs évolutions tem-porelles. Ceci est dû à l’amortissement important pour les grands angles de roulis.Comme cela a été expliqué, c’est sur ce comportement quasi-statique qu’est fon-dée la méthode.
Comme on pouvait s’y attendre, les lois de roulis obtenues (figure 7) sont d’autantmeilleures que les spectres d’excitation sont étroits. Cette méthode est mise à mal(figure 8) lorsque la fréquence pic du spectre (fp = 0.060Hz) est positionnée plusbasse que la fréquence de résonance du système (fr = 0.088Hz). La méthode four-nit dans tous les autres cas de spectres de vagues de bien meilleures distributionsque celles obtenues par une méthode de linéarisation équivalente.
7.9. Méthode Linearize&Match
7.9.1 Hypothèse d’indépendance
Le nombre moyen de dépassements croissant d’un niveau , utilisé pour cal-culer la loi des maxima (EQ 5), a été calculé de trois manières différentes à partirdes simulations de 30 heures :
1- l’estimateur empirique, que l’on considérera comme la référence
(EQ 57)
avec le pas de temps (ici 1 seconde), le nombre de pas de temps (ici 108000)et la fonction indicatrice.
2- calcul à partir des lois marginales et estimées sur les simulations(hypothèse d’indépendance)
IE Nθ( )
IE Nθ( ) 1N∆t---------- 1] ∞– θ, ]x]θ ∞, [ Θ tk( ),Θ tk ∆t+( )( )
k 1=
N∑=
∆t N1DxD'
fΘ
θ( ) fΘ· θ·( )
(EQ 58)
3- Calcul à partir de l’hypothèse d’indépendance corrigée en tenant compte dumoment croisé estimé sur les simulations (Monbet 1996, pp. 66-71)
(EQ 59)
Le tracé de ces trois estimateurs (figure 9), montre l’effet de la prise en compte dela dépendance sur la valeur de et sur les valeurs de pour de grandsangles. Particulièrement pour les élevés, où l’on voit clairement que la correctionde l’indépendance améliore très fortement la qualité de l’estimateur.
7.9.2 Moments exacts
Si l’on utilise dans la procédure de calcul des lois de probabilités les moments“exacts” estimés à partir des simulations. C’est à dire qu’en fait, on n’utilise pas laméthode Linearize&Match, mais uniquement la phase terminale d’estimation deslois par maximum d’entropie (paragraphe 5.4).
On utilise ainsi les moments empiriques
(EQ 60)
dans le cas d’hypothèse d’indépendance, auxquels s’ajoutent
(EQ 61)
dans le cas de la correction de l’hypothèse d’indépendance (EQ 59).
On peut voir (figure 10) que la queue de la loi des maxima est bien estimée lorsquel’on utilise une correction de l’hypothèse d’indépendance. Par contre, l’hypothèsed’indépendance sur-estime les probabilités pour les grands angles. Ceci est con-firmé si l’on regarde plus en détail les queues de distribution, en traçant en échelleWeibull la fonction de répartition (figure 11).
7.9.3 Linearize&Match
Les moments sont maintenant estimés à partir de la méthode Linearize&Match,puis les lois par maximum d’entropie. Pour les cas, , en comparaison desrésultats avec moments “exacts”, les lois correspondant à l’hypothèse d’indépen-dance semblent mieux estimées que celles avec correction (figures 12 & 13). En faitceci est dû à une mauvaise estimation des moments (variance estimée plus faibleque la vraie valeur) par la méthode Linearize&Match (voir tableau 4), ce qui com-pense l’erreur due à l’hypothèse d’indépendance.
Dans les cas des périodes pic décalées, la méthode Linearize&Match estime defaçon bien meilleure les moments (tableau 5) et l’on se retrouve donc bien sûr avecdes résultats proches de ceux obtenus avec les moments exacts (figures 14 & 15).On remarquera ici (tableau 5) la qualité de l’estimation des moments marginaux et
IE Nθ( ) θ· fΘΘ· θ θ·,( ) θ·d0
∞
∫ fΘ
θ( ) θ· fΘ· θ·( ) θ·d0
∞
∫= =
IE θ2θ· 2( )
IE Nθ( ) θ· fΘΘ· θ θ·,( ) θ·d0
∞
∫ θ· fΘ
θ( )fΘ· θ·( )s θ θ·,( ) θ·d0
∞
∫ fΘ
θ( ) θ· fΘ· θ·( )s θ θ·,( ) θ·d0
∞
∫= = =
IE N0( ) IE Nθ( )γ
IE θ2( ) IE θ4( ) IE θ6( ), ,
IE θ· 2( ) IE θ·
4( ) IE θ·
6( ) IE θ2θ· 2
( ), , ,
Tp Tr=
19
20
croisés par la méthode Linearize&Match.
Dans tous les cas, le gain par rapport à une méthode de linéarisation équivalenteest énorme. Pour une probabilité de dépassement de 10-2, la sur-estimation par laméthode de linéarisation équivalente peut aller jusqu’à 6 degrés de roulis faisantpasser la valeur d’angle de 15 à 21 degrés (figure 13, ). A cette mêmeprobabilité de dépassement de 10-2, l’écart entre les résultats de l’hypothèse corri-gée ou non d’indépendance ne dépasse pas 1.2 degrés.
Tableau 4. Comparaison des moments, , . Moments “exacts” (noir),
moments Linearize&Match (blanc). Les moments autres que en degré2
et en degré2/s2 sont normalisés (voir paragraphe 5.4.2)
Tableau 5. Comparaison des moments, , . Moments “exacts”
(noir), moments Linearize&Match (blanc) Les moments autres que en
degré2 et en degré2/s2 sont normalisés (voir paragraphe 5.4.2)
normalisé
l ( )
0 2 4 6
k ( )
0 16.53 14.65 2.02 2.16 5.43 6.14
2 52.37 45.96 0.69 0.72
4 2.06 2.14
6 5.66 6.18
normalisé
l ( )
0 2 4 6
k ( )
0 9.83 9.29 2.28 2.43 7.22 8.01
2 55.13 53.21 0.81 0.81
4 2.44 2.45
6 8.51 8.74
γ 10000=
γ 10= Tp Tr=
IE θ2( )
IE θ· 2( )
IE θkθ· l( )θ·
θ
γ 10= Tp 16.66s=
IE θ2( )
IE θ· 2( )
IE θkθ· l( )
θ·
θ
8. Conclusions
Deux méthodes ont été étudiées, la méthode quasi-statique et la méthode Linea-rize&Match. Cette dernière proposée par Armand et Duthoit, a été légèrement com-plétée pour tenir compte de la dépendance entre le roulis et sa dérivée. Ces deuxméthodes ont été analysées sur un cas test de comportement en roulis d’un FPSO.
Quel que soit la méthode, le gain par rapport à une méthode de linéarisation équi-valente communément utilisée dans les ingénieries est très important, la méthodede linéarisation équivalente (modèle Rayleigh) ayant une forte tendance à sur-esti-mer les angles de roulis. Dans certains cas cette méthode donne, pour une probabi-lité de dépassement de 10-2, des angles de 6 degrés supérieurs à la valeur vraie.
Bien que l’estimation des moments par la méthode Linearize&Match ne soit pastoujours très bonne, les résultats sont proches des valeurs vraies (<1 degré, pourune probabilité de dépassement de 10-2). Dans les cas de bonne estimation desmoments, la prise en compte de la dépendance entre le roulis et sa dérivée amé-liore les résultats.
La méthode “Linearize&Match” est plus robuste à la forme spectrale que laméthode quasi-statique surtout adaptée à des spectres de type houle plutôt quemer du vent.
21
22
Appendice 1. : Coefficients du système non linéaire équivalent
L’élaboration du système non linéaire équivalent se fait, comme pour le systèmelinéaire équivalent, par minimisation de la variance de l’écart entre les deux termesd’amortissement puis par l’utilisation d’une fermeture gaussienne.
Soit le système de départ :
(EQ 62)
et le système équivalent recherché :
(EQ 63)
On cherche à minimiser par rapport à et
, avec (EQ 64)
Ce qui donne le système linéaire suivant :
(EQ 65)
Qui s’écrit
(EQ 66)
C’est ici que l’on utilise la fermeture gaussienne qui consiste à exprimer lesmoments supérieurs à 2 en fonction du moment d’ordre 2, , sous une hypo-thèse gaussienne. C’est à dire :
(EQ 67)
Ce qui permet d’écrire le système EQ 66 sous la forme :
(EQ 68)
Iθ·· t( ) Tθ· t( ) θ· t( ) Kθ t( )+ + C t( )=
Iθ·· t( ) αθ· t( ) βθ· t( )3
Kθ t( )+ + + C t( )=
α β
IE ε2( ) ε Tθ· t( ) θ· t( ) αθ· t( ) βθ· t( )3
+( )–=
IE θ·– Tθ· θ· αθ· βθ·3
+( )–( )( ) 0=
IE θ·3
– Tθ· θ· αθ· βθ·3
+( )–( )( ) 0=
αIE θ·2
( ) βIE θ·4
( )+ TIE θ·2
θ·( )=
αIE θ·4
( ) βIE θ·6
( )+ TIE θ·4
θ·( )=
IE θ·2
( )
IE θ·4
( ) 3IE θ·2
( )2
=
IE θ·6
( ) 15IE θ·2
( )3
=
IE θ·2
θ·( ) 4
2π----------IE θ·
2( )
3 2/=
IE θ·4
θ·( ) 16
2π----------IE θ·
2( )
5 2/=
α 3IE θ·2
( ) β+ T 4
2π----------IE θ·
2( )
1 2/=
α 5IE θ·2
( ) β+ T 16
3 2π--------------IE θ·
2( )
1 2/=
dont la solution est :
(EQ 69)α T
2IE θ· 2( )π
--------------------=
β T2
9πIE θ· 2( )-----------------------=
23
24
Appendice 2. : Moments d’ordre 2 du système linéaire équivalent
Le système linéaire équivalent
(EQ 70)
avec bruit blanc gaussien, peut s’écrire
(EQ 71)
ou
(EQ 72)
Les moments d’ordre deux s’obtiennent par résolution de l’équation de Ricatti
(EQ 73)
avec
(EQ 74)
et étant des processus gaussiens.
Ce qui fournit
(EQ 75)
Par ailleurs
Iθ·· t( ) αθ· t( ) Kθ t( ) C t( )–+ + 0=
C··
t( ) 2ξηωηC·
t( ) ωη2 C t( )+ + b t( )=
b t( )
θ·· t( ) 2ξωθ· t( ) ω2θ t( ) 1I---C t( )–+ + 0=
C··
t( ) 2ξηωηC·
t( ) ωη2 C t( )+ + b t( )=
θ t( )
θ· t( )
C t( )
C·
t( )
· 0 1 0 0
ω2– 2ξω– 1I--- 0
0 0 0 1
0 0 ωη2– 2ξηωη–
θ t( )
θ· t( )
C t( )
C·
t( ) 0
0
0
b t( )
+=
Z·
t( )⇔ FZ t( ) G t( )+=
FIE ZZT
( ) IE ZZT
( ) FT IE GG
T( )+ + 0=
IE θθ·( ) 0=
IE CC·
( ) 0=
θ C
IE θ2( ) IE C
2( )
ξω3 4ξωξηωη ξω ξηωη+( ) ξηωη3+ +( )
T------------------------------------------------------------------------------------------------=
IE θ·2
( ) IE C2( )ξω ξηωη+( )
T-------------------------------=
E C2( ) 1
4---IE B2( )
ξηωη3
-----------------=
T I2ξω3 ω4 ωη4 4ξωξηωη ω2 ωη
2+( ) 2ω2ωη2 2ξ2 2ξη
2 1–+( ) ωη4+ + + +( )=
(EQ 76)
donne
(EQ 77)
Après avoir substitué dans l’équation régissant (EQ 75), une méthode dupoint fixe permet de calculer puis .
α T 8π---IE θ·
2( )=
ξ 1ω----
TI---
2π---IE θ·
2( )=
ξ IE θ·2
( )IE θ·
2( ) ξ
25
26
9. Références
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29
30
10. Figures
31
00.
050.
10.
150.
20
0.1
Fré
quen
ce (
Hz)
00.
050.
10.
150.
20
0.1
Fré
quen
ce (
Hz)
32
Figure 2. Transferts ordre 2, Tp = Tr
00.
050.
10.
150.
20
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.91
Fré
quen
ce (
Hz)
Spectre normalisé
Jons
wap
, γ
= 1
Rou
lis
Cou
ple
exc.
E
q. T
rans
fert
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.91
Spectre normalisé
Jons
wap
, γ
= 1
0
Rou
lis
Cou
ple
exc.
E
q. T
rans
fert
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.91
Spectre normalisé
Jons
wap
, γ
= 1
0000
Rou
lis
Cou
ple
exc.
E
q. T
rans
fert
00.
050.
10.
150.
20
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.91
Fré
quen
ce (
Hz)
Spectre normalisé
Bru
it bl
anc
Rou
lis
Cou
ple
exc.
E
q. T
rans
fert
0.91
Jons
wap
, γ
= 1
0 , T
p = 1
0.00
s
Rou
lis
Cou
ple
exc.
0.
91
Jons
wap
, γ
= 1
, T p =
10.
00s
Rou
lis
Cou
ple
exc.
Figure 3. Transferts ordre 2, Tp ≠≠≠≠ Tr
00.
050.
10.
150.
20
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
Fré
quen
ce (
Hz)
Spectre normalisé
Eq.
Tra
nsfe
rt
00.
050.
10.
150.
20
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.91
Fré
quen
ce (
Hz)
Spectre normalisé
Jons
wap
, γ
= 1
, T p =
16.
66s
Rou
lis
Cou
ple
exc.
E
q. T
rans
fert
00.
050.
10.
150.
20
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.91
Fré
quen
ce (
Hz)
Spectre normalisé
Jons
wap
, γ
= 1
0 , T
p = 1
6.66
s
Rou
lis
Cou
ple
exc.
E
q. T
rans
fert
00.
050.
10.
150.
20
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
Fré
quen
ce (
Hz)
Spectre normalisé
Eq.
Tra
nsfe
rt
33
05
1015
2025
0
Rou
lis (
°)0
510
1520
250
Rou
lis (
°)
34
Figure 4. Maxima - Enveloppe - Dépassements
05
1015
2025
0
0.02
0.04
0.06
0.080.1
0.12
Rou
lis (
°)
Densité
Jons
wap
, γ
= 1
Max
ima
E
nvel
oppe
N
ombr
e de
dép
asse
men
ts
0.02
0.04
0.06
0.080.1
0.12
0.14
Densité
Jons
wap
, γ
= 1
0
Max
ima
E
nvel
oppe
N
ombr
e de
dép
asse
men
ts
0.02
0.04
0.06
0.080.1
0.12
0.14
Densité
Jons
wap
, γ
= 1
0000
Max
ima
E
nvel
oppe
N
ombr
e de
dép
asse
men
ts
05
1015
2025
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
Rou
lis (
°)
Densité
Bru
it bl
anc
Max
ima
E
nvel
oppe
N
ombr
e de
dép
asse
men
ts
0.1
0.12
Jons
wap
, γ
= 1
Max
ima
Ray
leig
h
0.
08
0.09
Bru
it bl
anc Max
ima
Ray
leig
h
Figure 5. Méthode moyennage stochastique05
1015
2025
−0.
020
0.02
0.04
0.06
0.08
Rou
lis (
°)
Densité
Non
lin. e
q.=
Moy
en. s
toch
.
05
1015
2025
−0.
020
0.02
0.04
0.06
0.080.1
0.12
Rou
lis (
°)
Densité
Jons
wap
, γ
= 1
0
Max
ima
Ray
leig
h
N
onlin
. eq.
=M
oyen
. sto
ch.
05
1015
2025
−0.
020
0.02
0.04
0.06
0.080.1
0.12
0.14
Rou
lis (
°)
Densité
Jons
wap
, γ
= 1
0000
Max
ima
Ray
leig
h
N
onlin
. eq.
=M
oyen
. sto
ch.
05
1015
2025
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
Rou
lis (
°)
Densité
Non
lin. e
q.=
Moy
en. s
toch
.
35
36
Figure 6. Enveloppes linéaire - non linéaire
1000 1200 1400 1600 1800 20000
5
10
15
20
25
Rou
lis (
°)
Temps (s)
Jonswap , γ = 10
Enveloppe .|.| Enveloppe lin. eq.
1000 1200 1400 1600 1800 20000
2
4
6
8
10
12
14
16
18
Rou
lis (
°)
Temps (s)
Jonswap , γ = 10000
Enveloppe .|.| Enveloppe lin. eq.
0.14
0.16
Jons
wap
, γ
= 1
Max
ima
Ray
leig
h
T
rans
f. Q
uasi
−st
at.
0.12
0.14
Bru
it bl
anc
Max
ima
Ray
leig
h
Figure 7. Méthode Quasi-statique, Tp = Tr
05
1015
2025
−0.
020
0.02
0.04
0.06
0.080.1
0.12
Rou
lis (
°)
Densité
05
1015
2025
−0.
020
0.02
0.04
0.06
0.080.1
0.12
0.14
Rou
lis (
°)
Densité
Jons
wap
, γ
= 1
0
Max
ima
Ray
leig
h
T
rans
f. Q
uasi
−st
at.
05
1015
2025
−0.
020
0.02
0.04
0.06
0.080.1
0.12
0.14
Rou
lis (
°)
Densité
Jons
wap
, γ
= 1
0000
Max
ima
Ray
leig
h
T
rans
f. Q
uasi
−st
at.
05
1015
2025
0
0.02
0.04
0.06
0.080.1
Rou
lis (
°)
Densité
Tra
nsf.
Qua
si−
stat
.
37
05
1015
2025
−0.
02
Rou
lis (
°)0
510
1520
25−
0.010
Rou
lis (
°)
38
Figure 8. Méthode Quasi-statique, Tp ≠≠≠≠ Tr
05
1015
2025
−0.
020
0.02
0.04
0.06
0.080.1
0.12
0.14
Rou
lis (
°)
Densité
Jons
wap
, γ
= 1
0 , T
p = 1
0.00
s
Max
ima
Ray
leig
h
T
rans
f. Q
uasi
−st
at.
0
0.02
0.04
0.06
0.080.1
Densité
Jons
wap
, γ
= 1
, T p =
16.
66s
Max
ima
Ray
leig
h
T
rans
f. Q
uasi
−st
at.
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
Densité
Jons
wap
, γ
= 1
0 , T
p = 1
6.66
s
Max
ima
Ray
leig
h
T
rans
f. Q
uasi
−st
at.
05
1015
2025
−0.
020
0.02
0.04
0.06
0.080.1
0.12
0.14
Rou
lis (
°)
Densité
Jons
wap
, γ
= 1
, T p =
10.
00s
Max
ima
Ray
leig
h
T
rans
f. Q
uasi
−st
at.
0.090.1
Jons
wap
, γ
= 1
Em
piriq
ue
In
dépe
ndan
t
In
dépe
ndan
t cor
rigé
0.08
0.09
Bru
it bl
anc
Em
piriq
ue
In
dépe
ndan
t
In
dépe
ndan
t cor
rigé
Figure 9. Hypothèse d’indépendance
05
1015
2025
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
Rou
lis (
°)
Fréquence de dépassement
05
1015
2025
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
Rou
lis (
°)
Fréquence de dépassement
Jons
wap
, γ
= 1
0
Em
piriq
ue
In
dépe
ndan
t
In
dépe
ndan
t cor
rigé
05
1015
2025
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
Rou
lis (
°)
Fréquence de dépassement
Jons
wap
, γ
= 1
0000
Em
piriq
ue
In
dépe
ndan
t
In
dépe
ndan
t cor
rigé
05
1015
2025
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
Rou
lis (
°)
Fréquence de dépassement
39
05
1015
2025
−0.
020
Rou
lis (
°)0
510
1520
25−
0.05
Rou
lis (
°)
40
Figure 10. Moments exacts, Tp = Tr
05
1015
2025
−0.
020
0.02
0.04
0.06
0.080.1
0.12
0.14
Rou
lis (
°)
Densité
Jons
wap
, γ
= 1 M
axim
a
Ray
leig
h
Mom
ents
exa
cts
+ in
dpt
Mom
ents
exa
cts
0.02
0.04
0.06
0.080.1
0.12
0.14
0.16
Densité
Jons
wap
, γ
= 1
0
Max
ima
R
ayle
igh
M
omen
ts e
xact
s +
indp
tM
omen
ts e
xact
s
0
0.050.1
0.150.2
Densité
Jons
wap
, γ
= 1
0000
Max
ima
R
ayle
igh
M
omen
ts e
xact
s +
indp
tM
omen
ts e
xact
s
05
1015
2025
−0.
010
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
Rou
lis (
°)
Densité
Bru
it bl
anc M
axim
a
Ray
leig
h
Mom
ents
exa
cts
+ in
dpt
Mom
ents
exa
cts
0.99
9
0.99
99B
ruit
blan
c
Max
ima
R
ayle
igh
M
omen
ts e
xact
s +
indp
t0.
999
0.99
99Jo
nsw
ap ,
γ =
1
Max
ima
R
ayle
igh
M
omen
ts e
xact
s +
indp
t
Figure 11. Moments exacts, Tp = Tr, queue de distribution1012
1416
1820
2224
2628
0.50
0.75
0.90
0.96
0.99
Rou
lis (
°)
Probabilité en tracé Weibull
Mom
ents
exa
cts
1012
1416
1820
2224
0.50
0.75
0.90
0.96
0.99
Rou
lis (
°)
Probabilité en tracé Weibull
Mom
ents
exa
cts
1012
1416
1820
2224
260.
50
0.75
0.90
0.96
0.99
0.99
9
0.99
99
Rou
lis (
°)
Probabilité en tracé Weibull
Jons
wap
, γ
= 1
0
Max
ima
R
ayle
igh
M
omen
ts e
xact
s +
indp
tM
omen
ts e
xact
s
1012
1416
1820
2224
260.
50
0.75
0.90
0.96
0.99
0.99
9
0.99
99
Rou
lis (
°)
Probabilité en tracé Weibull
Jons
wap
, γ
= 1
0000
Max
ima
R
ayle
igh
M
omen
ts e
xact
s +
indp
tM
omen
ts e
xact
s
41
05
1015
2025
−0.
020
Rou
lis (
°)0
510
1520
25−
0.020
Rou
lis (
°)
42
Figure 12. Linearize&Match, Tp = Tr
05
1015
2025
−0.
020
0.02
0.04
0.06
0.080.1
0.12
0.14
Rou
lis (
°)
Densité
Jons
wap
, γ
= 1 Max
ima
Ray
leig
h
Line
ariz
e&M
atch
+ in
dpt
Line
ariz
e&M
atch
0.02
0.04
0.06
0.080.1
0.12
0.14
0.16
Densité
Jons
wap
, γ
= 1
0
Max
ima
Ray
leig
h
Line
ariz
e&M
atch
+ in
dpt
Line
ariz
e&M
atch
0.02
0.04
0.06
0.080.1
0.12
0.14
0.16
0.18
Densité
Jons
wap
, γ
= 1
0000
Max
ima
Ray
leig
h
Line
ariz
e&M
atch
+ in
dpt
Line
ariz
e&M
atch
05
1015
2025
−0.
010
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
Rou
lis (
°)
Densité
Bru
it bl
anc M
axim
a
R
ayle
igh
Li
near
ize&
Mat
ch +
indp
tLi
near
ize&
Mat
ch
0.99
9
0.99
99B
ruit
blan
c
Max
ima
Ray
leig
h
Line
ariz
e&M
atch
+ in
dpt
0.99
9
0.99
99Jo
nsw
ap ,
γ =
1
Max
ima
Ray
leig
h
Line
ariz
e&M
atch
+ in
dpt
Figure 13. Linearize&Match, Tp = Tr, queue de distribution
1012
1416
1820
2224
260.
50
0.75
0.90
0.96
0.99
0.99
9
0.99
99
Rou
lis (
°)
Probabilité en tracé Weibull
Jons
wap
, γ
= 1
0
Max
ima
Ray
leig
h
Line
ariz
e&M
atch
+ in
dpt
Line
ariz
e&M
atch
1012
1416
1820
2224
2628
0.50
0.75
0.90
0.96
0.99
Rou
lis (
°)
Probabilité en tracé Weibull
Line
ariz
e&M
atch
1012
1416
1820
2224
0.50
0.75
0.90
0.96
0.99
Rou
lis (
°)
Probabilité en tracé Weibull
Line
ariz
e&M
atch
1012
1416
1820
2224
260.
50
0.75
0.90
0.96
0.99
0.99
9
0.99
99
Rou
lis (
°)
Probabilité en tracé Weibull
Jons
wap
, γ
= 1
0000
Max
ima
Ray
leig
h
Line
ariz
e&M
atch
+ in
dpt
Line
ariz
e&M
atch
43
05
1015
2025
−0.
02
Rou
lis (
°)0
510
1520
25−
0.010
Rou
lis (
°)
44
Figure 14. Linearize&Match, Tp ≠≠≠≠ Tr
05
1015
2025
−0.
020
0.02
0.04
0.06
0.080.1
0.12
0.14
Rou
lis (
°)
Densité
Jons
wap
, γ
= 1
0 , T
p = 1
0.00
s
Max
ima
Ray
leig
h
Line
ariz
e&M
atch
+ in
dpt
Line
ariz
e&M
atch
0
0.02
0.04
0.06
0.080.1
Densité
Jons
wap
, γ
= 1
, T p =
16.
66s
Max
ima
Ray
leig
h
Line
ariz
e&M
atch
+ in
dpt
Line
ariz
e&M
atch
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
Densité
Jons
wap
, γ
= 1
0 , T
p = 1
6.66
s
Max
ima
Ray
leig
h
Line
ariz
e&M
atch
+ in
dpt
Line
ariz
e&M
atch
05
1015
2025
−0.
020
0.02
0.04
0.06
0.080.1
0.12
Rou
lis (
°)
Densité
Jons
wap
, γ
= 1
, T p =
10.
00s
Max
ima
Ray
leig
h
Line
ariz
e&M
atch
+ in
dpt
Line
ariz
e&M
atch
0.99
9
0.99
99
Jons
wap
, γ
= 1
0 , T
p = 1
0.00
s
Max
ima
Ray
leig
h
Line
ariz
e&M
atch
+ in
dpt
0.99
9
0.99
99
Jons
wap
, γ
= 1
, T p =
10.
00s
Max
ima
Ray
leig
h
Line
ariz
e&M
atch
+ in
dpt
Figure 15. Linearize&Match, Tp ≠≠≠≠ Tr, queue de distribution
1012
1416
1820
2224
2628
0.50
0.75
0.90
0.96
0.99
Rou
lis (
°)
Probabilité en tracé Weibull
Line
ariz
e&M
atch
1012
1416
1820
2224
260.
50
0.75
0.90
0.96
0.99
0.99
9
0.99
99
Rou
lis (
°)
Probabilité en tracé Weibull
Jons
wap
, γ
= 1
, T p =
16.
66s
Max
ima
Ray
leig
h
Line
ariz
e&M
atch
+ in
dpt
Line
ariz
e&M
atch
1012
1416
1820
2224
2628
0.50
0.75
0.90
0.96
0.99
0.99
9
0.99
99
Rou
lis (
°)
Probabilité en tracé Weibull
Jons
wap
, γ
= 1
0 , T
p = 1
6.66
s
Max
ima
Ray
leig
h
Line
ariz
e&M
atch
+ in
dpt
Line
ariz
e&M
atch
1012
1416
1820
2224
2628
0.50
0.75
0.90
0.96
0.99
Rou
lis (
°)
Probabilité en tracé Weibull
Line
ariz
e&M
atch
45
46
