PCSI 2019–2020, Lycee Lalande, Bourg–en–Bresse Alexandre Alles

TD 05 (Chap. 04) – Optique geometrique

I Questions de cours

II Applications directes du cours

App1 Mise en jambes

1.

2. i2 = i02, n1 sin i4 = n2 sin i06, i12 = i012, n3 sin i

014 = n2 sin i12, i

04 = i4 et i08 = i8.

App2 Taille d’un miroir

Miroir de 90cm place a 90cm du sol.

App3 Dispersion de la lumiere blanche

1.

na sin(ia) = nv sin(iv) or nv(�) : i�a = arcsin

✓nv(�)na

sin(iv)

◆. Donc �i = iva � ira = 2.57°.

2. Reflexion totale si ia = 90° , sin ia = 1 , i�l = arcsin(na/n�v ) donc irl = 38.83° et ivl = 37.98°.

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App4 Incidence de Brewster

Refraction n1 sin iB = n sin ir, reflexion i0r = �iB .

On cherche iB tel que ir + ⇡/2 � i0r = ⇡, alors n1 sin iB = n sin(⇡/2 + i0r) = n sin(⇡/2 � iB) = n cos(iB) ce qui conduit a iB =

arctan(n1/n) = arctan(1/n).

App5 Prisme a reflexion total1. Dans un tel montage, le rayon lumineux passe de l’air au verre sans etre devie puis subit une reflexion totale d’incidence 45°.

nv sin iv = na sin ia, on a iv = 45° et a la limite de la reflexion totale sin ia = 1 donc l’indice de refraction du verre doit etre superieur a

une valeur limite nlv = 1, 41.

2.

Exprimons ir en fonction des autres angles :

na sin ir = nv sin i4

or i4 = ⇡/4 � i3 et i3 = ⇡/4 � i2 ce qui conduit a na sin ir = nv sin i2 = na sin i ou encore sin ir = sin i. Le rayon incident et emergent

ne sont pas paralleles mais sont inclines du meme angle par rapport a leur dioptre respectif.

App6 Flotteur

nl sin il = na sin ia = na a la limite de la reflexion totale donc sin il = 1/nl.

Or sin il =rp

h2 + r2donc apres calcul h = r

qn2l � 1.

App7 Champ d’un miroir

App8 Refraction par une bulle

App9 Cone de refraction et reflexion totale

III Exercices

Ex1 Cristal de glace hexagonal1. Rayon non devie car i1 = 0.

2. Angles d’un hexagone regulier : 120°.

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i2 = 60° donc d’apres la seconde loi de Snell–Descartes ig = arcsin(sin(i2)/ng) = 30°.

3. ng sin i(0g) = na sin(i3) , i3 = arcsin(ng sin(i

0g)) = 60°.

4. Faisceau d’incidence perpendiculaire a la face (1) ressort dans un cone de 120°.

Ex2 Fibre optique1. il tel qu’il y a reflexion totale verifie nc sin il = ng sin(⇡/2) = ng donc il = arcsin(ng/nc). Il faut donc avoir un angle i < il pour

avoir reflexion totale.

2. i < il , �i > �il , ⇡/2� i > ⇡/2� il , ✓ > ✓l. Or la fonction sin etant monotone croissante sur l’intervalle [0,⇡/2] on a que

sin ✓ > sin ✓l, en appliquant la seconde loi de Snell–Descartes, on trouve comment condition de reflexion totale dans la fibre :

sin↵ > sin↵l , ↵ > ↵l = arcsin

✓nc

nasin

✓⇡2� arcsin

ng

nc

◆◆

3. ON = na sin↵l = nc sin ✓l = nc sin(⇡/2� arcsin(ng/nc)) = nc cos(arcsin(ng/nc)) = nc

s

1�n2g

n2c=q

n2c � n2

g.

Ex3 Mesure d’un indice par refractrometrie1. i � il ) � �l : pas reflexion totale, il y a de nombreuses reflexions internes.

2. N sin�l = n sin(⇡/2) = n et na sin il = N sin i0 or i0 = ⇡/2� �l.

Donc n = N sin�l = N sin(⇡/2� i0) = N cos i0 = N cos⇣arcsin

⇣na

Nsin il

⌘⌘= N

r1� n2

a

N2sin2 il =

pN2 � n2

a sin2 il.

3. Reflexion totale ssi n < N , or sin2 il 2 [0; 1] et donc n 2 [p

N2 � 1;N ].

Ex4 Diedre

1.

2. i0 = �i3 = �(⇡/2 + i2) = �(⇡/2� i).

D = i� i2 + i3 � i0 = 2i� 2i0 = 2i/⇡ � 2i = ⇡.

Ex5 Coin de cube

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IV Problemes

Pb1 Zone d’ombre et profondeur du noyau terrestre

1. � = c/f ⇡ 6000m, R1 et R2 � � : approximation de ”l’optique”

geometrique.

2. n1 = 1/v1 = 1.7⇥ 10�4 sm�1 et n2 = 1/v2 relies parsin i1v1

=sin i2v2

.

3. sin↵ = R2/R1et ✓ + 2↵ = ⇡ donc ✓ = ⇡ � 2 arcsin(R2/R1).

4. A partir du resultat de la question precedente on peut ecrire R2 = R1 sin((⇡�✓)/2) ⇡ 2900 km et donc pnoyau = R1�R2 ⇡ 3500 km.

5. On repart de la 2nd loi de Snell–Descartes obtenue question 2, le rayon incident est tangent au noyau i1 = ⇡/2 donc sin i2 = v2/v1.

Un rayon penetre dans le noyau et ressort de l’autre cote avec comme angle d’incidence i2 et donc i01 = arcsin((v1/v2)(v2/v1)) = ⇡/2.

✓2 = (⇡ � (↵+ ⇡/2))+(⇡�2i2)+(⇡ � ⇡/2� arcsin(R2/R1)) = 2⇡�↵�2i2�arcsin(R2/R1) = 2⇡�2 arcsin(R2/R1)�2 arcsin(v2/v1) =

✓1 + ⇡ � 2 arcsin(v2/v1).

6. et 7. Du resultat precedent on peut obtenir v2 = v1 sin((⇡ + ✓1 � ✓2)/2) ⇡ 5.93 km s�1.

Pb2 Application des lois de Descartes : la lame a faces paralleles1. Rayon reflechi 2 plan d’incidence et n1 sin i1 = n2 sin i2

2. Geometriquement on obtient a = tan i0 = tan i. De plus :

xB = d+ e

yB = d tan i+ e tan r

Ceci conduit a

b = e(tan r � tan i)

3. a(i = 0�) = b(i = 0�) = 0, a(i = 45�) = 1 et b(i = 45�) = �0, 47cm.

4. On repart des expressions precedentes,

da = d tan i =di

cos2 i; db = e

✓dt

cos2 r� di

cos2 i

◆

On fait de meme avec les lois de Descartes : cos i di = n cos r dt, ce qui conduit a

db = e

✓cos i

n cos3 r� 1

cos2 i

◆di

5.

da(0) = di(0) = 0, 349 ; db(0) = �0, 0116cm

da(45) = 0, 0698 ; db(45) = �0, 0458cm

6. On peut ecrire la relation ax00 + b = (a+ da)x0

0 + (b+ db), ce qui conduit a :

x00 = � db

da= �e

✓cos i

n cos3 r� 1

cos2i

◆cos2 i = e

1� 1

n

✓cos icos r

◆3!

On trouve ensuite la seconde coordonnee grace a :

y00 = ax0

0 + b

7. x00(0) = 0, 333cm ; y0

0(0) = 0cm et x00(45) = 0, 656cm ; y0

0(45) = 0, 191cm

Pb3 Observation d’un thermometre

Pb4 Milieux stratifies

Pb5 Fibre optique par saut d’indice

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TD 06 (Chap. 05) – Lentilles

I Questions de cours

II Entraınement a la construction d’images

III Applications directes du cours

App1 Objet virtuel et lentille convergente1. Virtuel, rayons convergents vers l’objet mais rencontrent le systeme optique avant de se croiser.

2.

3. Image reelle : justification graphique ou relation de conjugaison.

4. Image droite.

App2 Conditions de Gauss1. Rayons paraxiaux + coupent dioptres a proximite de leurs sommets.

2. Aplanetisme, stigmatisme approche.

App3 Constructions

App4 Retour sur le montage 4f 0

1. FAFA0 = �f 02, objet tel que FA = �f 0 donc FA0 = f 0 i.e. OA0 = OF 0 + F 0A0 = 2f 0.

2. Si FA diminue (en valeur absolu) alors FA0 doit augmenter (en valeur absolue) donc l’image s’eloigne de la lentille.

3. Meme raisonnement et l’image se rapproche.

App5 Construction d’images resultant de l’association de deux lentilles

App6 Image du Soleil par une lentille

App7 Retroprojecteur

IV Exercices

Ex1 Microscope1.

A1 est necessairement confondu avec F2, ainsi il su�t d’appliquer la relation de

conjugaison pour la premiere lentille :1

O1F2

� 1

O1A=

1f 01

) O1A =O1F2f

01

O1F2 + f 01

=

O1F1 + F1A donc F1A =(f 0

1 +�)f 01

��+ f 0

1 = �(f 01)

2/�.

2. Gc = ↵m/↵ avec ↵ angle sous lequel on voit l’objet net a l’oeil nu au punctum proximum : tan↵ = AB/dpp avec dpp = 25 cm.

Tandis que tan↵m = A0B0/f 02 et d’apres le theoreme de Thales (Astuce classique en optique geomtrique !) A0B0/AB = f 0

1/F1A.

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Donc Gc = ↵m/↵ =A0B0

f 02

dppAB

= �occulaireGobjetctif ce qui peut egalement s’ecrire Gc =f 01

f 02

dppF1A

=�dppf 01f

02

.

Remarque : Pour la definition du grossissement de l’objectif, voir l’exercice sur la loupe.

Ex2 Retroprojecteur

1. ↵ = 45�

2. Relation de conjugaison avec OA0 = OE = 2.1m, ainsi OA =OA0f 0

OA0 + f 0' �28 cm.

�t = A0B0/AB = OA0/OA ' �7, 5.3. On veut �t = �10 donc OA0 = �10OA. Reinjecter cette egalite dans la relation de conjugaison conduit aOA = �11f 0/10 ' �27.5 cm et donc ME = 2, 75� 0, 1 = 2.65m.

Ex3 Loupe

1. tan↵0 = ABf et tan↵ = ABdm, or aux petits angles tan↵ ⇠ ↵ et tan↵0 ⇠ ↵0. Donc

G =dmf 0

2. f 0 = 0, 25/G et V = G/0, 25.

3. Latitude de mise au point � telle que l’image se deplace de l’infini (accommodation minimale) a 25 cm de l’oeil place au foyer

image F 0 (accommodation maximale). On cherche donc OA2 tel que F 0A0 = �25 cm.

La relation de conjugaison conduit a OA2 =OA0f 0

OA0 + f 0=

(f 0 +OA0)f 0

�F 0A0' �2.64 cm.

� = OA�OA2 = �0.36 cm

Ex4 Microscope bis

Ex5 Lunette de Galilee

V Problemes

Pb1 Approche documentaire : lunette de Galilee1. Plan–concave : divergente, plan–convexe : convergente.

2.a AL1�!

A1L2�!

A0 = +1, il faut A1 = F2 or si l’objet est a l’infini A1 = F 01, un systeme est donc afocal si F 0

1 = F2.

2.b

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�t =A0B0

AB=

O2F 0

O1F 01

=f2f 01

2.c

G =↵0

↵⇠ A0B0/O2F2

A0B0/O1F 01

=f 01

f2=

1�t

2.d G = 30 alors f 01 = 30f2 = �30f 0

2 or O1O2 = O1F 01 + F2O2 = f 0

1 + f 02 = 50 cm, systeme de deux equations a deux inconnues...

f 01 ' 52 cm ; f 0

2 ' �1.7 cm

3.a ↵0 = G↵ et tan↵ = h/d = 0.68⇥ 10�3 rad donc ↵0 = 2.0⇥ 10�2 rad.

3.b 30 fois plus grand... donc 30 fois plus proche, dap = d/30 = 83m.

Pb2 Resolution de probleme : Estimation de la largeur d’un pont

h1

H=

f 0

D1;h2

H=

f 0

D2

Donc

D2 �D1 = Hf 0✓

1h1

� 1h2

◆

Soit h1 la hauteur mesuree sur la photo, hp la hauteur de la photo et hc la hauteur du capteur

h1 = h1hc

hp' 7.4mm ; h2 = h2

hc

hp' 2.7mm

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De plus H = 4.3m (cf photo) donc

D = D2 �D1 ' 35m

Sur la pont 2⇥ 2 voies + terre–plein + 2 voies d’acces ... L ' D/6 ' 6m

Pb3 Extrait de probleme : Utilisation d’une lunette pour observer Saturne2. L1 objectif convergent, L2 oculaire divergent.

3. e = O1O2 = O1F 01 + F 0

1O2 = O1F 01 �O2F2 = f 0

1 + f 02 = 0.80m.

4.a

4.b Faisceau parallele, A1B1 objet virtuel pour L2.

4.c G =↵0

↵⇠ �A1B1

f2

f 01

A1B1

' �5.

5.a ↵ ⇠ R/D ' 5⇥ 10�5 rad pas visible a l’oeil nu

↵0 = �5↵ = 25⇥ 10�5 rad visible a la lunette.

5.b Position de L3 pas importante. On a (P) dans le plan focal image de L3 donc O3P = f 03 = 1/V3 = 0.02m.

5.c

d ' ↵0f 03 = 5⇥ 10�6 m et npix = d/dpix = 5.

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