Lycée BERTHOLLET. Spéciale PC Année 2010 - 2011.

TD n° 35 :

Thème : Ondes mécaniques à une dimen-sion (cordes, élasticité, …)

Donné le : 31 / 03 / 2011.

Planche MS 604 : Réflexion / transmission sur une discontinuité de corde. Une corde très longue est composée de deux tronçons

de masses linéiques 1 ( 0)x et 2 ( 0)µ x , le module

de la tension étant T uniforme ; le nœud en x = 0 est sans masse. Du côté x < 0 arrive un ébranlement (onde inci-

dente) de la forme 1 1( , ) ( / )y x t f t x v .

1°) Donner les expressions générales de l’onde réfléchie

( , )ry x t et de l’onde transmise ( , )ty x t . 2°) Exprimer, en exploitant les conditions aux limites, deux relations satisfaites par ces ondes en x = 0. 3°) En déduire l’expression des coefficients de réflexion et de transmission r et t en fonction du rapport

2 1/µ µ . À 1 fixée, donner les valeurs limites de r

et t lorsque ou 0 . Planche MS 605 : Influence de la raideur d’une corde sur la fréquence de ses vibrations. Une corde, de masse linéique µ, de longueur L, fixée à ses extrémités, soumise à une tension T0 vibre dans le

mode propre d’indice n suivant la loi :

( , ) cos( )sinnx

y x t A t nL

, avec n entier.

Aux hautes fréquences, il faut tenir compte de la raideur de la corde. Dans le bilan des forces qui s’exercent sur un élément de corde longueur dx au repos, cela revient à rajou-

ter une force supplémentaire dR qui tend à s’opposer à la

courbure de la corde, et dont la projection sur l’axe (Oy)

s’écrit 3

3ydR dxx

, où est une constante dépen-

dant du matériau constituant la corde et l’angle que fait l’élément de corde avec l’horizontale :

1°) Établir la relation : y

x, où y(x,t) représente le

déplacement vertical d’un point de la corde d’abscisse x.

2°) Exprimer le rapport y

y

dR

dFdu module de dRy

au module de la composante sur (Oy) de la résultante de la force de tension qui s’exerce sur l’élément de corde de lon-gueur dx.

3°) En appliquant la relation fondamentale de la dyna-mique à un élément de corde de longueur dx au repos, monter que le déplacement y(x,t) vérifie l’équation aux dé-

rivées partielles : 2 2 4

02 2 4

y y yT

t x x

En déduire l’expression de la pulsation n de la vibra-

tion de la corde en fonction de 0 /c T µ , L, n et du

rapport (cf 1°)).

4°) Calculer la correction relative de la pulsation associée au mode n, introduite par la prise en compte des effets de la

raideur (on supposera 1 ). A.N. pour n = 1, 2 et 10.

Données : L = 0,5 m: T0 = 387 N ; = 10-2

N/m2.

Planche MS 607 : Ondes le long d’un ressort. On considère un ressort à spires jointives de longueur à vide L, de masse linéique µ et de raideur k. L’une de ses ex-trémité est fixée au point O de l’axe (Ox) et on exerce sur

l’autre une force de traction xF k Le , où L est

l’allongement total du ressort.

F

x O

µ, L

On note, à l’instant t, ( , )x t l’écart à la position

d’équilibre (ressort au repos) d’un point M du ressort d’abscisse x. Globalement le ressort s’allonge d’une lon-

gueur L , mais l’élongation locale d’une tranche de lon-gueur dx se propage de proche en proche, depuis l’extrémité en x = L, donnant lieu à une onde longitudinale

de longueur d’onde . 1°) a) À quelle condition sur le ressort peut-il être

considéré comme un milieu continu ? b) On suppose que dans le domaine des petites défor-mations élastiques l’allongement relatif du ressort est proportionnel la force de traction appliquée à son ex-trémité droite, et on note K le coefficient de proportionna-lité supposé uniforme le long du ressort. Donner la relation entre k et K. En déduire la raideur,

notée tranchek ,d’un élément de ressort de longueur dx. c) Donner dans ces conditions l’expression de la force

( , )F x t qu’exerce la partie à droite de M sur celle située à sa

gauche en fonction de K et de l’allongement relatif de la tranche de longueur dx. d) En déduire l’équation aux dérivées partielles régissant

les variations de ( , )x t . Donner l’expression de la vitesse

de propagation de l’onde de déformation longitudinale le long du ressort en fonction de K et µ, puis proposer un ordre de grandeur pour un ressort du type de ceux em-ployés en TP 2°) L’extrémité du ressort en x = L est à présent fixée à une masse ponctuelle M pouvant glisse sans frottement sur l’axe (Ox). On cherche des solutions de l’équation de pro-pagation correspondant au régime libre de vibration du res-

sort sous la forme ( , ) ( )exp( )x t A x i t : discuter de la

pertinence de ce type de solution. a) Montrer par une analyse graphique que la pulsation ne peut prendre qu’un ensemble discret de valeurs ; à chacune de ces valeurs, on associe un mode propre de vibration. b) Examiner le cas limite pour lequel la masse M est très supérieure à celle du ressort. Dans ce cas déterminer la rela-

tion entre la longueur L et la longueur d’onde n dans le

mode vibratoire d’ordre n. c) Examiner le cas limite où 0µ : quel résultat clas-

sique retrouve-t-on ?

x

y

O x