TD Dérivation et Primitives

Terminale S TD - Maths

TD - DRIVES et PRIMITIVES

I Exercices dapplication

Exercice I.1. 20 minDterminer la drive de la fonction f aprs avoir dtermin son ensemble de drivabilit.

1) x 7 1x2 3x 2) x 7 sin x

x3) x 7 2x 1

x2 + 14) x 7 x2 cos x

5) x 7 tan xx

6) x 7 sin2 x

x7) x 7 sin x cosx 8) x 7 2x2x

Exercice I.2. 20 minDterminer une quation de la tangente la courbe reprsentative Cf des fonctions suivantesau point dabscisse a.

1) f1 : x 7 cos2 x a = 4

2) f2 : x 7 2x+1 + x2 a = 0

3) f3 : x 7 2x+ sin xx 1 a = 2 4) f4 : x 7

4

x 1 a = 3

Exercice I.3. 15 min

1. Soit f la fonction dfinie sur R par : f(x) = 1 +1

1 + x2.

tudier le sens de variation de f sur R.

2. tudier les variations de g : x 7 sin2 x sin x 2 sur lintervalle[2;

2

].

Exercice I.4. 15 minSoit f la fonction dfinie par f(x) = x3 3x 1.tudier les variations de f et montrer que lquation f(x) = 0 admet 3 solutions.

Exercice I.5. 20 minDterminer une primitive F pour chacune des fonctions f , sur lintervalle indiqu :

1) f1(x) = x3 5x2 + 8x+ 3 I1 = R 2) f2(x) = 8

x+

5

x2 3

2x7I2 = ]0;+[

3) f3(x) = x(4x2 + 3)2 I3 = R 4) f4(x) = x2

(x3 8)3 I4 = ]2;+[

5) f5(x) =x+ 1

(x2 + 2x+ 2)3I5 = R 6) f6(x) = cos

4 x sin x I6 = R

Exercice I.6. 10 minOn considre la fonction f dfinie sur R par f(x) = 1 sin 3x+ 4 sin 2x+ 4 sinx.Dterminer la primitive F de f telle que F () = .

2014 1 http ://exos2math.free.fr/


II Exercices dentranement

Exercice II.1. 30 min

On considre la fonction f dfinie sur R par : f(x) =1

2x4 + x3 6x2 6x+ 6.

1. Dterminer f (x) puis f (x).

2. tudier le signe de f (x) et en dduire les varations de f . Montrer que lquation f (x) = 0admet trois solutions. Donner un encadrement 0, 1 prs de ces solutions.

3. En dduire les variations de f .

Exercice II.2. 30 minSoit la fonction f dfinie par : f(x) =

x+

2 x.

1. Dterminer lensemble de dfinition de f .

2. Montrer que la courbe reprsentant f admet un axe de symtrie.

3. La fonction f est-elle drivable en 2 ?

4. tudier les variations de f .

5. Reprsenter f dans un repre orthogonal.

Exercice II.3. 20 minSoit f la fonction dfinie sur R par : f(x) =

x

1 + |x| .1. Dmontrer que f est borne sur R.

2. tudier la parit de f .

3. tudier la drivabilit de f en 0.

4. Dmontrer que f dfinit une bijection de R sur ] 1; 1[.

Exercice II.4. 5 minMontrer que, pour tout n N :

0 6

1

0

xn ex dx 6 1 1e.

Exercice II.5. 20 min

La fonction reprsente est :

x 7 x4 x3 7x2 + x+ 6.On suppose que les units graphiques sont,6 cm sur laxe des abscisses et 2 cm surlaxe des ordonnes.Calculer laire du domaine color en cm2.

5

5

10

1 2 312 x

y



III Exercices dapprofondissement

Exercice III.1. 45 minDans le plan P rapport un repre orthonormal (O;~i,~j), on considre le point A de coordon-nes (1; 0), le point A de coordonnes (1; 0), le cercle () de centre O et de rayon 1.

1. Par tout point H du segment [AA], distinct de A et de A, on mne la perpendiculaire() la droite (AA). La droite () coupe le cercle () en M et en M . On pose OH = x.Calculer en fonction de x laire du triangle AMM .

2. Soit f la fonction dfinie sur [1 ; 1] par : f(x) = (1 x)1 x2.a. Tracer la courbe reprsentative, Cf , de la fonction f laide dune calculatrice gra-

phique. Que peut-on conjecturer sur la drivabilit de f en 1 et 1 ?b. tudier la drivabilit de la fonction f en 1 et 1 et en donner une interprtation

graphique.

c. Dterminer f(0) et dresser le tableau des variations de f .

3. Montrer que le triangle AMM daire maximale est quilatral.

4. Justifier que lquation f(x) = 1 admet exactement deux solutions et avec < .Dterminer et donner une valeur de 101 prs.

Exercice III.2. 30 min

1. Rsoudre dans ] ; ], lquation : cos 3x = 2/2.2. Exprimer cos 3x en fonction de cosx.

3. En posant t = cosx, trouver la valeur exacte de lune des solutions de lquation :

(E) : 8t3 6t+2 = 0.

4. Aprs avoir factoris lquation (E), dterminer toutes les solutions de (E).

5. En dduire la valeur exacte de cos (11/12).

Exercice III.3. 45 min

On considre la fonction f dfinie sur R par : f(x) =1

1 + x2.

1. La fonction f admet-elle des primitives sur R ? (Ne pas chercher les calculer).

2. On note F la primitive de f qui sannule en 0.tudier la parit de F , puis les variations de F .

3. Montrer que, pour tout x R+, F (x) + F(1

x

)= 2F (1).

4. En dduire que limx+

F (x) = 2F (1).

5. On considre la fonction : x 7 tan x, dfinie sur]2;

2

[.

Montrer que pour tout x ]2;

2

[:(F )(x) = x.

6. En dduire la valeur de F (1).


Exercices d'applicationExercices d'entranementExercices d'approfondissement

Documents

TD Dérivation et Primitives