UNIVERSITE DE CAEN

UFR des Sciences

Examen Partiel :

Date : 18/11/2009

Master Mathematiques et Applications,

Ingenierie Mathematiques et Mecanique (M1)

Dynamique des Fluides Reels

Examen partiel- Duree : 3 heurs

Documents et calculatrices non autorises. Eteindre tout appareil de phone mobile.Chaque candidat doit, en debut depreuve, porter son nom dans le coin de la copie quil

cachera par collage apres avoir ete pointe. Il devra en outre, porter son numero de

place sur chacune de ses copies, intercalaires ou pieces annexees.

Exercice 1

On considere un chariot sur lequel est monte un reservoir deau (de diametre D) munie dune

tuyere dejection a travers duquel un jet de section constante est ejecte au milieu ambiant et devie

par un deflecteur comme illustre ci-dessous. Le chariot est maintenu en place par un cable comme

schematise sur la figure.

Cable

D

d

Deflecteur

h

g

Vjx

y

(1) Determiner le debit du jet.

(2) Calculer la forceF exercee par le jet sur le deflecteur.

(3) En admettant quil ny a pas de frottement entre le sol et le chariot, determiner la tension

dans le cable.

(4) Qust passe-t-il si > 12 ? Que faut-il faire alors pour maintenir le chariot en place ?

Exercice 2

Un systeme de tapis roulants est concu pour transferer un produit chimique liquide dun

reservoir vers un autre destine a une application industrielle. Le mouvement de tapis entrane alors

un ecoulement unidirectionnel, laminaire et permanent sous la forme dun film liquide depaisseur

h comme illustre dans la figure.

1

2

U

h

x

y

Tapis

roulant

g

Reservoir

de produit chimique

Lair ambiant, au repos

patm = constante

(1) Quel est le systeme dequations et conditions aux limites qui represente lecoulement du

film ? Justifiez votre reponse.

(2) Determiner la distribution de vitesse.

(3) Determiner la repartition de contrainte de cisaillement, yx, dans la direction x.

(4) Calculer le decharge ainsi obtenu par unite de largeur de tapis, Q, en fonction de U , h,

g, et .

Exercice 3

Ecoulement stratifie de deux liquides visqueux

Deux liquides newtoniens non miscibles et

visqueux secoulent entre deux plaques planes

paralleles, horizontales de longueur L et de

largeur d, separees par une distance 2h, petite

par rapport aux autres dimensions des plaques

(h L, et h d). Les deux masses L

2h

U

Liquide 1

Liquide 2x

y

volumiques et les viscosite de chacun des liquides sont denotees respectivement 1, 1 pour liquide

1 et 2, 2 pour liquide 2. Le liquide 1 , plus dense (1 > 2) est place au-dessous du liquide 2, et

chacun occupe la moitie de lespace entre les deux plaques. Lecoulement est stationnaire et est

produit uniquement par le mouvement de la plaque superieure a la vitesse U , la plaque inferieure

reste immobile.

On se place suffisamment loin des bords lateraux des plaques pour que lecoulement puisse

etre considere comme etabli et unidirectionnel : v = ux .

3

(1) Ecrire les equations du mouvement dans chaque liquide.

(2) Ecrire les conditions aux limites a linterface.

(3) Calculer le champ de vitesse dans chacun des fluides. Quobtient-on quand 1 = 2. ?

(4) Les configurations decoulement montrees sur les figures ci-dessous (a), (b), (c) sont-elles

toutes possibles ? A quelles valeurs relatives des parametres correspondent-elles ?

(b)(a) (c)

Exercice 4

Dans plusieurs processus industriels un courant de liquide est passe sur un film des spheres

solides au fond dun tube comme illustre a la figure. On peut observer lors de lecoulement dun

fluide incompressible le long dun tube qua une certaine vitesse critique les particules se mettent

en mouvement le long du tube. On desire detudier la valeur de cette vitesse critique Vc. On admet

que Vc est une fonction du diametre du tube D, du diametre du particule Dp, la masse volumique

du liquide , la viscosite dynamique du liquide , la densite de particules p et lacceleration de

la pesanteur g.

V

(1) En utilisant ,D et g comme grandeurs fondamentales, determiner les parametres sans

dimensions de ce probleme.

(2) Repeter la question (1) en utilisant ,D et en tant que grandeurs fondamentales.

(3) Dans une experience au laboratoire on utilise le meme liquide et particules que pour

le prototype mais en reduisant les dimensions geometriques au moitie. Si les mesures

au laboratoire indiquent une vitesse critique de 1 m/s, calculer la vitesse critique du

prototype pour les deux cas (1) et (2). Que passe-t-il ?

(4) Revenons aux principes de similitudes et les parametres sans dimensions du probleme.

Quels sont ces principes et comment doit-on les appliquer pour resoudre ce probleme de

similitude ? Calculer la vitesse critique du prototype pour obtenir une vitesse critique

de 1 m/s pour la maquette. Quelles sont dans ce cas les proprietes du liquide a utiliser

au laboratoire ?

4

Exercice 5

Question du cours

On considere lecoulement visqueux laminaire et incompressible sur une plaque plane semi-infinie.

On denote dans ce qui suit par L une longueur caracteristique le long de la plaque, lepaisseur

de la couche limite, Ue la vitesse du courant libre suffisamment loin de la plaque, la masse

volumique du fluide et la viscosite dynamique.

Ue

L

x

y

V = ux + vy

Ue

(1) Donner les definitions de grandeurs suivantes :

(a) Lepaisseur de deplacement, 1.

(b) Lepaisseur de la quantite de mouvement, 2.

(c) Lepaisseur de lenergie, 3.

(2) En commencant par les equations de continuite et Navier-Stokes bi-dimensionnelles,

u

x+

v

y= 0,

(

uu

x+ v

u

y

)

= p

x+

(

2u

x2+

2u

y2

)

,

(

uv

x+ v

v

y

)

= p

y+

(

2v

x2+

2v

y2

)

estimer les ordrer de grandeurs de chaque terme et les utiliser pour simplifier ce systeme

dequations afin de determiner les equations de la couche limite de Prandtl.