8/6/2019 TD quations diffrentielles (Correction)

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Term. S TD - Maths. 2010-2011

TD CORRIG - QUATIONS DIFFRENTIELLES

Exercice 1.

1. x R , g (x) = 25

sin x +15

cos x. Donc x R :

g (x) + 2 g(x) = 25 sin x + 15 cos x + 2 25 cos x + 15 sin x = cos x

2. (f g) est solution de (E) si, et seulement si,

x R , (f g) (x) + 2( f g)(x) = 0 f (x) + 2 f (x) = g (x) + 2 g(x)

Or daprs la question 1., g est solution de (E). On a donc x R , g (x) + 2 g(x) = cos x.Il en rsulte que (f g) est solution de (E) si, et seulement si, x R , f (x) + 2 f (x) = cos x, cest dire si, et seulement si, f est solution de (E).

3. Les solutions de y + 2 y = 0 , sont les fonctions : x k e2 x , o k R . Daprs la question 2., f

est solution de (E) si, et seulement si, (f g) est solution de (E), cest dire si, et seulement si,k R , x R , f (x) g(x) = k e2 x . Les solutions de lquation (E) sont donc les fonctions :

x k e2 x +25

cos x +15

sin x avec k R

Exercice 2.

1. Lensemble des solutions de cette quation diffrentielle est lensemble des fonctions dnies par N (t) = C e t , o C R . Il vient N (0) = C e0 = C = N 0 et pour tout t R + : N (t) = N 0 e t .

2. Si, aprs un temps T, le nombre datomes a t divis par deux on peut crire N (T ) = N 0 / 2. On a

donc : N (T ) = N 0 e T =N 02 do e

T =12 ou encore e

T = 2 .

3. eT = 2 quivaut T = ln 2 , do T =ln 2

. Si = 6 , 66 10 5 , on obtient T 10407, 6 jours. Cela donne une priode pour ce corps radioactif denviron 28,5 annes.

Exercice 3.

1. Lquation V (t) = 1

RC V (t) a pour solutions les fonctions :

t k et

RC , o k R

2. Comme V (0) = 20 , on a k = 20 . La fonction V est dnie sur [0 ;+ [ par V (t) = 20 e t

RC .3. a. Si R = 1000 et C = 10 4 F , alors RC = 10 1 s. Do V (t) = 20 e 10 t .

b. V (t) 0, 02 20 e 10 t 0, 02 e 10 t 0, 001 10t ln 0, 001.

Comme ln 0, 001 = ln10 3 = 3ln10, on a : V (t) 0, 02 t310

ln10.

4. La fonction V est dnie sur [0 ; + [ par V (t) = 20 e 10 t . Pour tout t 0, V (t) = 200e10 t . Or C = 10 4 F do i(t) = 10 4 ( 200e10 t ) = 0, 02 e 10 t .

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Exercice 4.

1. a. Les solutions de lquation diffrentielle y 2y = 0 est lensemble sont les fonctions x C e2 x ,o C R .

b. La fonction u est solution de lquation diffrentielle y 2y = x ex si, et seulement si, pour tout x R :

u (x) 2u(x) = x ex (ax + b + a) ex 2 (ax + b) ex = x ex ( ax + a b) ex = x ex

Il faut et il suffit que : a = 1a b = 0

a = 1b = 1 Ainsi u est solution de lquation diff-

rentielle y 2y = x ex si, et seulement si, : x R u(x) = ( x 1) ex .c. u + v est une solution de lquation y 2y = x ex quivaut :

(u + v) 2(u + v) = x ex u + v 2u 2v = x ex

v 2v = 0 v est solution de y

2y = 0d. Lensemble des solutions de y 2y = x ex est lensemble des fonctions : x C e2 x +( x 1) ex .e. f (0) = C 1 = 0 C = 1 . Donc x R f (x) = e 2 x (x + 1) e x .

2. a. e2 x (x + 1) e x = e 2 x 1 xex

1ex

x +

+ et e2 x (x + 1) e x = e 2 x x ex ex x 0.

b. f est le produit dune fonction affine et de la fonction exponentielle, toutes deux drivables sur R ,donc f est drivable sur R . x R , f (x) = 2 e 2 x ex (x + 1) e x = e x (2 ex x 2) = e x k(x).

c. k est la somme dune fonction affine et de la fonction x 2 ex , toutes deux drivables sur R ,donc k est drivable sur R . x R , k (x) = 2 e x 1 alors,k (x) 0 2 ex 1 0 ex 12 .Or la fonction ln est strictement croissante sur R

+ , on a : ex 1

2 x ln 2. De mme

k (x) 0 x ln 2. Par consquent, k est dcroissante sur ] ; ln2] et croissante sur [ ln 2 ; + [.

d. On a : 2 < ln 2 < 1. k( 2) = 2 e 2 ( 2) 2 = 2 e 2 > 0. k( ln 2) = 2 e ln 2 ( ln2) 2 = ln 2 1 < 0. k(1) = 2 e 1 (1) 2 = 2 e 3 > 0.La fonction k est continue (puisquelle est drivable), dcroissante et change de signe sur ] ; ln2], donc elle sannule une et une seule fois sur cet intervalle. Un encadrement de cette racine 0, 01 prs est : 1, 60 < < 1, 59.De mme, la fonction k est continue , croissante et change de signe sur [ ln 2 ; + [ , donc elle sannule une et une seule fois sur cet intervalle. Cette deuxime racine est vidente, il sagit de 0.

e. x R , ex > 0. Le signe de f (x) est celui de k(x). Daprs ce qui prcde,

k(x) 0 si x ] ; ] [0 ; + [et k(x) 0 si x [ ; 0]

Par consquent, f est croissante sur ] ; ], dcroissante sur [ ; 0] et croissante sur [0 ; + [.

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