TD Limites et Continuité

Terminale S TD - Maths

TD - LIMITES et CONTINUITÉ

I Exercices d’application

Exercice I.1. ⋆ 75 min

Déterminer les limites suivantes :

a) limx→+∞

(√x2 + 2− x

)

b) limx→+1

x2 − 1

x2 − 3x+ 2c) lim

x→−∞

x2 − 1

2x2 + 5d) lim

x→0

cos 3x− cosx

x2

e) limx→+∞

(

x3 + 5− sin x)

f) limx→−∞

(

x3 + 5− sin x)

g) limx→0

x+ cosx

3− sin xh) lim

x→+∞

x2E(x)

i) limx→0

(

x2 sin1

x

)

j) limx→+∞

sin x

1 +√x

k) limx→+∞

3− cosx

x2l) lim

x→+∞

x− sin x

2x+ sin x

m) limx→+∞

cos

(

2

x

)

n) limx→+∞

√

3x+ 2

x− 6o) lim

x→−∞

sinx− 1

x3 + 5p) lim

x→+∞

sinπx2

2x2 + 1

q) limx→3+

x2 − x− 2

x− 3r) lim

x→−∞

√x2 + 3

x+ 1s) lim

x→−∞

1− cosx

xt) lim

x→+1

x− 1√x− 1


Soit f la fonction définie sur ]2; +∞[ par f(x) =x2 − 5x+ 7

x− 2.

1. Calculer les limites de la fonction f aux bornes de son ensemble de définition.

2. En déduire l’existence d’une asymptote à la courbe représentative Cf de la fonction f .

3. Déterminer les réels a, b et c tels que, pour tout x ∈ ]2;∞[ ,

f(x) = ax+ b+c

x− 2.

4. En déduire que la courbe Cf admet une asymptote ∆ au voisinage de +∞.

5. Étudier la position relative de la courbe Cf et de la droite ∆.

Exercice I.3. ⋆ 10 minMontrer que l’équation x3 − 3x+ 1 = 0 admet une unique solution dans [0; 1].En donner un encadrement à 10−1 près.


On considère la fonction f définie sur [0; π] par f(0) = 2 et, pour tout t ∈ [0; π] :

f(t) =t− t2

2π

sint

2

.

1. Montrer que la fonction f est continue sur [0; π].

2. En déduire l’existence d’un réel M tel que, pour tout t ∈ [0; π], 0 6 f(t) 6 M.

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II Exercices d’entraînement

Exercice II.1. ⋆ ⋆ 10 min

Montrer que l’équation tanx = x+ 1 admet au moins une solution dans[

0;π

2

[

.

Exercice II.2. ⋆ ⋆ 20 min

Soit la fonction f définie par : f(x) =√9x2 + 6x+ 5.

1. Justifier que la fonction f est bien définie sur R.

2. Déterminer les limites de f en +∞ et en −∞.

3. Démontrer que les droites D et D ’ d’équations respectives y = 3x+1 et y = −3x− 1 sontasymptotes à la courbe représentative Cf de la fonction f .

4. Étudier la position relative de Cf et de D .

Exercice II.3. ⋆ ⋆ ⋆ 40 min

Pour tout k ∈ N⋆

, on définit la fonction fk sur R par : fk(x) =xk

√x2 + 1

.

1. Montrer que, pour tout k > 1, fk est croissante sur [0; +∞[ .

2. En déduire selon la parité de k le sens de variation de la fonction fk.

3. Déterminer limx→+∞

fk(x).

4. On suppose que k = 1. Montrer que la courbe représentative de la fonction f1 admet uneasymptote au voisinage de +∞.

5. Montrer que, si k = 2, la droite d’équation y = x est asymptote à la courbe représentativede la fonction f2. Étudier la position relative de la courbe C2 et de la droite ∆.

6. Montrer que, si k est impair et différent de 1, l’équation fk(x) = 1 admet une uniquesolution dans R.

Exercice II.4. ⋆ ⋆ ⋆ 45 min

On considère la fonction f définie sur R\{2} par : f(x) =x3 − 13x− 12

(x− 2)2.

1. Étudier la limite de f en 2.Préciser l’équation d’une asymptote à la courbe représentative de f .

2. Factoriser f(x), puis étudier le signe de f(x) sur R\{2}.

3. Montrer que pour tout x ∈ R\{2} : f(x) = x+ 4− x+ 28

(x− 2)2.

4. En déduire une deuxième asymptote à la courbe représentative de f .

5. Montrer que pour tout x ∈ R\{2} : f ′(x) =g(x)

(x− 2)3, où g(x) = x3 − 6x2 + 13x+ 50.

Montrer que g(x) s’annule une et une seule fois sur R et donner une valeur approchée decette unique racine à 10−2 près.En déduire les variations de f sur R\{2}.

6. Représenter f dans un repère orthogonal (O;~i,~j).(Unités graphiques : 1 cm en abscisse et 0,2 cm en ordonnée).




III Exercices d’approfondissement

Exercice III.1. ⋆ ⋆ ⋆ 40 min

1. On suppose connu le théorème des valeurs intermédiaires : soit f une fonction définie etcontinue sur un intervalle I de R avec a et b deux réels appartenant à I (tels que a < b).Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c compris entre a etb tel que f(c) = k.Démontrer que si f est une fonction continue et strictement croissante sur un intervalle[a; b] alors, quel que soit le réel k appartenant à [f(a); f(b)], l’équation f(x) = k admetune unique solution dans [a; b].

2. Soit f la fonction définie sur [2; +∞[ par f(x) = x2√x− 2.

a. Étudier la continuité de f sur [2; +∞[ .

b. Montrer que f est strictement croissante sur [2; +∞[ .

c. Montrer que l’équation√x− 2 =

6

x2admet une unique solution α dans [2; +∞[ .

d. Donner un encadrement de α à 10−1 près.

Exercice III.2. ⋆ ⋆ ⋆ 45 min

Un lapin désire traverser une route de 4 mètres de largeur. Un camion, occupant toute la route,arrive à sa rencontre à la vitesse de 60 km/h. Le lapin décide au dernier moment de traverser,alors que le camion n’est plus qu’à 7 mètres de lui. Son démarrage est foudroyant et on supposequ’il effectue la traversée en ligne droite au maximum de ses possibilités, c’est-à-dire à 30 km/h !L’avant du camion est représenté par le segment [CC’] sur le schéma ci-dessous.Le lapin part du point A en direction de D.Cette direction est repérée par l’angle θ = B̂AD avec 0 6 θ <

π

2(en radians).

4 m

C′ A

C B D

θ7 mCamion

1. Déterminer les distances AD et CD en fonction de θ et les temps t1 et t2 mis par le lapinet le camion pour parcourir respectivement les distances AD et CD.

2. On pose f(θ) =7

2+ 2 tan θ − 4

cos θ. Montrer que le lapin aura traversé la route avant le

passage du camion si et seulement si f(θ) > 0.

3. Conclure.

Exercice III.3. ⋆ ⋆⋆ ⋆ 15 minOn considère une fonction f continue sur R, ne s’annulant jamais sur R et vérifiant, pour tousréels x et y : f(x+ y) + f(x− y) = 2f(x)f(y).Étudier le signe de f sur R.



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