Atelier N°1

2008-2009

Thème

Limites et continuité

Document Lycées

Programme officiel de Terminale S

(extrait du BO hors serie du 30 aout 2001)Contenus Modalites de mise en oeuvre CommentairesLimitesRappel de la definition de lalimite d’une suite. Extension ala limite finie ou infinie d’unefonction en +∞ ou −∞.

Notion de limite finie ou in-finie d’une fonction en un reel a.

Theoreme ”des gendarmes” pourles fonctions.

Limites de la somme, du produit,du quotient de deux suites ou dedeux fonctions ;limite de la composee de deuxfonctions, de la composee d’unesuite et d’une fonction.

Pour exprimer que f(x) tend versL quand x tend vers +∞, on diraque :”tout intervalle ouvert contenantL contient toutes les valeurs f(x) pourx assez grand.”On montrera qu’une suite croissantenon majoree tend vers l’infini. Onreverra a cette occasion la notiond’asymptote oblique, en se limitantaux fonctions se mettant sous la formeax+b+h(x), ou h tend vers 0 a l’infini.On montrera sur des exemples quel’etude sur calculatrice ou au tableurd’une suite ou d’une fonction permetde conjecturer des limites qui devrontensuite etre justifiees.

On demontrera ce theoreme lorsque lavariable tend vers l’infini. On etendrace theoreme au cas des limites infinies.

On completera les resultats enonces enclasse de premiere ; on se bornera a unejustification intuitive (calculatoire ougraphique).

Il s’agit de prolonger le tra-vail fait en premiere sur lessuites. L’expression ”pour x as-sez grand” est l’analogue pourles fonctions de l’expression ”apartir d’un certain rang” uti-lisee pour les suites. Pour leslimites en un reel a, aucunedefinition n’est exigee : onreprendra l’approche intuitiveadoptee en classe de premiere.Sur un exemple, on fera le lienentre limite en un reel a et a l’in-fini. On pourra parler de limite adroite ou a gauche a l’occasion decertains exemples. Ces proprietesseront appliquees comme reglesoperatoires.

ContinuiteContinuite en un point a. Conti-nuite d’une fonction sur un inter-valle.

Theoreme (dit des valeurs in-termediaires) : ”soient f unefonction definie et continue surun intervalle I et a et b deux reelsdans I. Pour tout reel k comprisentre f(a) et f(b), il existe unreel c compris entre a et b tel quef(c) = k”.

On definira la continuite de f enun point a par lima f = f(a) oulim0 f(a + h) = f(a)

On illustrera la notion de continuitesur un intervalle en parlant de tracesans lever le crayon. On presentera atitre de contre-exemple le cas de lafonction partie entiere.

Ce theoreme pourra etre admis oudemontre a l’aide de suites adjacentes.On demontrera le corollaire suivant :”si f est une fonction continue stricte-ment monotone sur [a ;b], alors, pourtout reel k compris entre f(a) et f(b),l’equation f(x) = k a une solutionunique dans [a ;b]”. On etendra cecorollaire au cas ou f est definie sur unintervalle ouvert ou semi-ouvert, borneou non, les limites de f aux bornes del’intervalle etant supposees connues.On pourra approcher la solution del’equation f(x) = k par dichotomieou balayage avec la calculatrice ou autableur.

Les fonctions rencontrees enterminale sont le plus souventcontinues sur leur intervalled’etude ; on indiquera clairementque les fonctions construites apartir des fonctions polynomes,trigonometriques, logarithmesou exponentielles sont continues.Demontrer qu’une fonction estcontinue en un point ou sur unintervalle n’est pas un objectifdu programme.

On conviendra, dans les ta-bleaux de variations, que lesfleches obliques traduisent lacontinuite et la stricte monoto-nie de la fonction sur l’intervalleconsidere. Dans la redaction dela solution a un probleme, unesimple reference au tableau devariations suffira pour justifierl’existence et l’unicite d’unesolution d’une equation du typef(x) = k.

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Extraits de cours

Limites

Definition 1 Soit f une fonction f a pour limite +∞ en +∞ si tout intervalle ouvert ]M ; +∞[contient tous les f(x) pour x suffisamment grand (c’est a dire pour les x plus grands qu’une valeur A).

Les valeurs de f(x) finissent par depasser n’importe quel nombre M .

Definition 2 Soit f une fonction f a pour limite +∞ en a si tout intervalle ouvert ]M ; +∞[contient tous les f(x) pour x suffisamment proche de a (x ∈ ]a− α; a + α[).

Interpretation graphique : La droite d’equation x = a est une asymptote verticale a la courbe.

Exemple : limx7→0+

1x2

= +∞

Theoreme 1 Soient f , g et h trois fonctions definies sur I =]b; +∞[, et l un reel.Si, pour tout x dans I on a : g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) et si g et h ont la meme limite l en +∞,

alors limx7→+∞

f(x) existe et vaut l.

Preuve : Soit un intervalle ouvert centre en l. Puisque g tend vers l en +∞, il existe un reel A a partirduquel tous les g(x) seront dans cet intervalle. De meme il existe un reel B a partir duquel tous les h(x)seront dans cet intervalle.Donc des que x depasse max(A,B), et puisque g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)on peut en deduire que les f(x) sont dans l’intervalle ouvert centre en l.

continuite

f est une fonction et I un intervalle inclus dans Df .

Definition 3 Soit a ∈ I, on dit que f est continue en a si f a une limite en a (et cette limite vautalors forcement f(a)).

limx7→a

f(x) = f(a)

Theoreme 2Si f est derivable en a alors f est continue en a.

Preuve : Si f est derivable en a alors son taux d’accroissement en a, T (x) =f(x)− f(a)

x− aa pour limite f ′(a)

en a.Pour x 6= a, T (x)(x− a) = f(x)− f(a) et donc f(x) = f(a) + T (x)(x− a).Or lim

x7→aT (x) = f ′(a) et lim

x7→a(x− a) = 0 donc lim

x7→af(x) = f(a) ce qui prouve la continuite.

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Extrait d’un Devoir surveille

Partie BSoit g la fonction definie sur R∗+ par :

g(x) = x + 1 + ln x

1. Etudier les variations de g et calculer ses limites en 0 et en +∞.

2. Montrer que l’equation g(x) = 0 admet une solution unique α.Prouver que 0, 2 < α < 0, 3.

3. En deduire le signe de g sur R∗+.

Partie COn considere la fonction f definie sur R+ par :

f(0) = 0

f(x) =x ln x

x + 1si x > 0

On souhaite retrouver les renseignements visibles sur la courbes de f . Cette courbe est fournie en annexe etsera completee par tous les renseignements graphiques que vous jugerez necessaires.

1. Montrer que f est continue en 0.

2. Calculer la limite de f en +∞.

3. Montrer que f(α) = −α.

4. Calculer la derivee de f et etudier son signe.En deduire le tableau de variations de f .

5. Determiner une equation de la tangente a la courbe au point d’abscisse 1. Ce resultat est-il compatibleavec le graphique ?

6. Determiner la limite en +∞ de f(x)− ln x. Que peut-on en deduire au sujet des courbes de f et de ln ?

Exercices

• Determiner si elle existe : limx→0x6=0

x sin1x

• On sait que pour tout x > 1 on a :3x + cosx

x≤ f(x) ≤ 3x + 7

x− 1. Quelle est la limite de f en +∞ ?

• Calculer : limx→−∞

√−x + 1x2 + 1

• Determiner si elle existe : limx→−∞

2x + sin x

x− 1

• Calculer limx→2x>2

x2 + 3x− 10x2 − 9x + 14

• On considere la fonction f definie sur R \ {4} par : f(x) =2x2 − 7x− 3

x− 4

1. Determiner a, b et c tels que f(x) = ax + b +c

x− 42. En deduire une asymptote oblique a la courbe en +∞ et −∞3. Etudier la position relative de la courbe et de son asymptote.

• Calculer limx→0x6=0

sin x

x

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Sujets de Bac

• Asie, juin 2008

A - Restitution organisee de connaissances

On suppose connu le resultat suivant : limx→+∞

ex

x= +∞.

Demontrer que : limx→+∞

xe−x = 0.

B - Etude d’une fonctionOn considere la fonction f definie sur R par : f(x) = (x + 1)e−x On note (C) sa representation graphiquedans un repere orthonorme (O;~i,~j) du plan. On prendra 4 cm pour unite graphique.

1. Cette question demande le developpement d’une certaine demarche comportant plusieurs etapes. La clartedu plan d’etude, la rigueur des raisonnements ainsi que la qualite de la redaction seront prises en compteclans la notation.Etudier les variations de la fonction f et les limites aux bornes de son ensemble de definition. Resumerces elements dans un tableau de variations le plus complet possible.

2. Tracer la courbe (C). On fera apparaıtre les resultats obtenus precedemment.

• Amerique du Sud, novembre 2008Dans cet exercice, on demande aux candidats d’etablir, en suivant la demarche proposee, deux resultats decours.

On rappelle que la fonction ln est definie et derivable sur ]0 ; +∞[, positive sur [1 ; +∞[, et verifie :

ln 1 = 0Pour tous reels strictement positifs x et y, ln(xy) = ln x + ln y

Pour tout reel strictement positifx, [ln(x)]′ =1x

ln(2) ≈ 0, 69 a 10−2 pres

1. On considere la fonction f definie sur ]0 ; +∞[ par : f(x) =√

x− ln x

(a) Etudier les variations de f et en deduire que f admet un minimum sur ]0 ; +∞[.

(b) En deduire le signe de f puis que, pour tout x > 1, 0 <ln x

x<

√x

x.

(c) En deduire que limx→+∞

ln x

x= 0.

2. Soit n un entier naturel non nul.

On considere la fonction fn definie sur ]0 ; +∞[ par : fn(x) =ln x

x1n

En utilisant la question 1., determiner, si elle existe, la limite en +∞ de la fonction fn.

• Amerique du Sud, novembre 2006 Question 1Pour tout entier naturel n non nul, on considere la fonction fn definie sur ]0 ; +∞[ par : fn(x) = ln x+

x

n−1

1. Determiner les limites de fn en 0 et en +∞ puis etudier le sens de variations de fn.

2. Montrer que l’equation fn(x) = 0 admet une unique solution dans ]0 ; +∞[. On note αn cette solution.Montrer qu’elle appartient a l’intervalle [1 ; e].

• Nouvelle Caledonie, decembre 2007 Partie A : question de cours

1. Soit f une fonction reelle definie sur [a ; +∞[. Completer la phrase suivante :« On dit que f admet une limite finie ` en +∞ si . . . »

2. Demontrer le theoreme « des gendarmes » : soient f, g et h trois fonctions definies sur [a ; +∞[ et ` unnombre reel. Si g et h ont pour limite commune ` quand x tend vers +∞, et si pour tout x assez grandg(x) 6 f(x) 6 h(x), alors la limite de f quand x tend vers +∞ est egale a `.

Extraits de copies

Atelier N°2

2008-2009

Thème

Equations différentielleset primitives

Document Lycées

Extrait du programme Certaines propriétés sont considérées comme règles opératoires (par exemple, si deux fonctions admettent une limite en un point, la limite de leur somme est la somme de leurs limites). Dire qu’une propriété est utilisée comme règle opératoire signifie qu’on n’est pas tenu d’en justifier l’usage dans une démonstration ou dans un calcul.

L’étude des suites et fonctions sera motivée par la résolution de problèmes : elle n’est pas une fin en soi. Ces problèmes pourront être d’origine mathématique, physique, biologique, économique ou autre et amèneront à des recherches d’extrema, des comparaisons de fonctions, des résolutions graphiques d’équations ou d’inéquations, etc.

Une bonne maîtrise des fonctions classiques (dérivées, extrema, comportements asymptotiques, courbes représentatives) est nécessaire ; elle doit permettre une certaine aisance dans les problèmes qui les mettent en jeu. La notion de continuité est introduite et permet de disposer du langage nécessaire pour énoncer les théorèmes de façon satisfaisante. L’étude théorique de la continuité des fonctions classiques est exclue.

Exemple de démonstration

L'existence et l'unicité de la fonction exponentielleTh : Il existe une seule et unique fonction f, dérivable sur ℝ telle que f'=f et f (0)=1.

Preuve (Terracher TS):L'existence : On désigne par S(t) l'aire du domaine défini par

1xt et 0 y1t .

On interprète S t −S t 0 en terme d'aire, on encadre cette aire par celle de rectangles de hauteur respective t et t 0 .

On en déduit 1t

S t −S t 0t−t0

1t0

et donc que S est dérivable et que S ' t = 1t .

On vérifie ensuite que la fonction inverse de S vérifie nos conditions ce qui prouve l'existence de l'exponentielle.

L'unicité repose sur le théorème admis : « Si g'=0 Alors g est constante ».

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Exemples d'exercices

Exemple 1

Résolution de l’équation différentielle (1) : xxeyy =− 2'1. Résoudre l’équation différentielle (2) : 02' =− yy , où y désigne une fonction dérivable sur IR.2. Soient soit u la fonction définie sur IR par xexxu )1()( +−= .

a) Montrer que u est solution de l’équation (1).b) Montrer que v est une solution de (1) si, et seulement si, v – u est solution de (2).c) En déduire l’ensemble des solutions de (1).

3. Déterminer la solution de l’équation (1) qui s’annule en 0.

Exemple 2

Calculer l’intégrale : 12

21

1I e dt tt

−= ∫ , puis, à l’aide d’une intégration par parties :

12

31

1J e dt tt

−= ∫

Exemple 3

On se propose de calculer I = 2

1[ln( 1) ln( )]x x x dx+ −∫

1) Calculer J = dxxx∫ +

2

1 1 ( On pourra chercher deux réels a et b tels que xbax

x++=+ 11 )

2) Calculer I en utilisant une intégration par parties.

Exemple 4

Soit In=∫0

1

xn e1− x dx

1) Montrer que , pour tout x de [0,1], xnxn e1−x e x n

2) Exprimer, en fonction de l'entier n, J n=∫0

1

xn dx

3) En déduire que 1

1 1nI e

nn+≤ ≤

+. Que vaut lim nx

I→ + ∞ ?

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Sujets de BAC

France 2007:

France 2006

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Amérique du Sud 2008

Thème

Géométrie

Atelier N°3

2008-2009

Document Lycées

Géométrie en terminale S

Programme officiel.

Enseignement obligatoire :

CONTENUS MODALITÉS DE MISE EN OEUVRE COMMENTAIRESProduit scalaire dans l’espaceRappels sur le produit scalaire dans le plan.Définition du produit scalaire de deux vecteurs dans l’espace. Propriétés, expression en repère orthonormal.

Expression en repère orthonormal de la distance d’un point à une droite dans le plan. Plan orthogonal à un vecteur passant par un point. Equation cartésienne en repère orthonormal. Expression de la distance à un plan.Inéquation définissant un demi-espace.

On généralisera aux vecteurs de l’espace la définition du produit scalaire donnée dans le plan; à cette occasion, on présentera la projection orthogonale sur une droite ou sur un plan.

Droites et plans dans l’espaceCaractérisation barycentrique d’une droite, d’un plan, d’un segment, d’un triangle. Représentation paramétrique d’une droite de l’espace. Intersection de deux plans, d’une droite et d’un plan, de trois plans. Discussion géométrique; discussion algébrique

On reprendra les problèmes d’alignement et de concours déjà abordés en classe de première.

On fera clairement apparaître que les problèmes géométriques considérés ici sont aussi l’étude des systèmes d’équations linéaires, que l’on résoudra algébriquement.On traitera aussi quelques situationsnumériques (issues de l’analyse, desituations économiques ou autres)s’y ramenant.

Les élèves doivent aussi savoir qu’une droite de l’espace peut être représentée par un système de deux équations linéaires.

Enseignement de spécialité :

Sections planes de surfacesSections de cônes et cylindres illimités d’axes (Oz) par des plans parallèles aux plans de coordonnées.

Surfaces d’équation z=x2+y2 ou z=xy coupées par des plans parallèles de coordonnées.

L’objectif est de montrer qu’une fonction de deux variables peut être représentée par une surface et que des études de coupes par des plans permettent leur étude à l’aide des outils déjà vus pour les fonctionsd’une variable.Pour les sections de cônes, on pourra faire le lien avec les hyperboles d’équations xy=k.

On visualisera sur écran les surfacesaux plans étudiées. On entraînera à la reconnaissance des surfaces à partir de coupes parallèles à un plan, et on associera les visions géométrique et analytique.

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Exemples de TD : (Extrait de Math’x pour les 3 premiers)

TD 1 : Barycentre : constructions et lieux.

Objectif : Utiliser l’homogénéité et l’associativité du barycentre, l’appartenance à un plan, à une droite, à un segment.

On considère un cube ABCDA’B’C’D’, I est le centre de la face A’B’C’D’ et m un réel.Soit Gm le barycentre des points pondérés (B’ ; m), (C’ ; 4m), (D’ ; m) et (B ; 6 – 6m).

1) a. Justifier l’existence de Gm pour tout réel m.b. Représenter la figure et placer les points G0 , G1, G0,5 et G2.

2) Montrer que Gm appartient au plan (BA’C’).

3) a. Montrer que pour tout réel m non nul, Gm est le barycentre des points B et G1.b. Déterminer l’ensemble de points Gm quand m décrit IR .c. Quel ensemble doit décrire m pour que Gm décrive le segment [BG1] ?

TD2 : Intersections de droites et plans de l’espace.

Objectif : Etudier l’intersection de deux droites, d’une droite et d’un plan par l’utilisation des représentations géométriques.

ABCDEFGH est un cube d’arête égale à 1. On note I et J les milieux respectifs des segments [AB] et [CG].On prend pour repère orthonormal de l’espace le repère

1) a. Reproduire la figure et la compléter au fur et à mesure.b. Donner les sommets des huit sommets du cube et des points I et J.c. Ecrire une représentation paramétrique des droites (BH) et (IJ).d. Etudier l’intersection de ces deux droites.

2) Soit L le point d’intersection du plan (FIJ) et de la droite (BH).a. Justifier l’existence de réels λ et µ tels que :

Montrer que les coordonnées (x, y, z) du point L sont :

b. En utilisant les questions 1c et 2a, déterminer les coordonnées du point L.

3) a. Ecrire une représentation graphique de la droite (FL).b. Déterminer les coordonnées du point P, intersection des droites (IJ) et (FL).c. Montrer que P est le centre de gravité du triangle ABJ.

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TD3 : Produit scalaire et maximum.

Objectif : Optimiser la mesure d’un angle.

ABCDEFGH est un cube d’arête a. M un point de la diagonale [HB].On souhaite déterminer la position du point M pour que l’angle CMA ˆ soit maximum.

1) A l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique, réaliser la figure puis émettre une conjecture.

2) a. Montrer que MA = MC.

b. On pose CMAx ˆ= . Montrer que )cos(12

2

xMAa −= .

3) a. Déterminer les variations de la fonction )cos(1 xx −→ sur ];0[ π .b. En déduire que x est maximal lorsque MA est minimale. Que représente alors le point M sur la droite (HB) pour le point A ?

c. Montrer que x est maximal pour 3

2 22 aMA =

d. En déduire la valeur maximale de CMA ˆ .

TD4 : Enseignement de spécialité (Collection Indice)

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Exercice type-bac.

Juin 2007 – Liban

Pour chacune des 5 propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie.Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.

L’espace est muni d’un repère orthonormal ),,;( kjiO

.

On considère la droite (d) dont un système d’équations paramétriques est :

−=

=

−=

235

12

2

tz

y

tx

( ∈t IR )

On note A le point de coordonnées (2 ; -1 ; 1), B le point de coordonnées (4 ; -2 ; 2) et C le point de (d) d’abscisse 1.

Proposition 1.« La droite (d) est parallèle à l’axe );( jO

»

Proposition 2.« Le plan (P) d’équation x + 3z – 5 = 0 est le plan passant par A et orthogonal à (d) »

Proposition 3.

« La mesure de l’angle géométrique CAB ˆ est de 3π

radians. »

Soit G le barycentre des points pondérés (A ; -1), (B ; 1) et (C ; 1).Proposition 4.« Les segments [AG]et [BC) ont le même milieu. »

Proposition 5.

« La sphère de centre C et passant par B coupe le plan (P) d’équation x + 3z – 5 = 0 .»

Thème

Les TICE et l ’usagede la calculatrice

Atelier N°4

2008-2009

Document Lycées

TICE & Mathématiques

Objectifs, Logiciels & thèthèmes

ParPar

Agnés Lenfant & Mustapha Rachidi

1Février 2009

Contenu

Tice : quels objectifs ?Tice : quels objectifs ? Comment s'intègre les Tice en classe ?Q l l i i l ?Quels logiciels ?Eléments pour le montage d’une séquence Tice

22

Terminologie

TICE = Technologies de l'Information et de la Communication pour l'Éducation.

Il s’agit d’actions visant à introduire les nouvelles technologies dans l'enseignement (TICE=TIC+Education)(TICE=TIC+Education).

33

Quels Objectifs? Extrait du texte de l'IG de mathématiquesmathématiques

L'objectif de l'enseignement desL objectif de l enseignement des mathématiques est de développer conjointement et progressivement les capacités d'expérimentation et de raisonnement, d'imagination et d'analyse critique. ….Par ses spécificités, l'outil i f ti lèt l àinformatique complète les moyens à la disposition des enseignants et des élèves pour mettre en œuvre ces différents aspects d'une véritabledifférents aspects d une véritable activité mathématique……

Extrait du texte de l'IGM : "Les technologies de l'information et de la communication dansl information et de la communication dans l'enseignement des mathématiques au collège et au lycée"

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Quels objectifs? Un outil pédagogique

La pratique de l’enseignant lorsLa pratique de l enseignant lors des séquences de cours (visualisation de propriétés, explications, …)Familiariser l’élève avec une autre façon de travailler les mathématiques : visualisation de propriétés conjecturede propriétés, conjecture, preuve.Familiariser l’élève avec le travail en autonomie Faire acquérir aux élèves des techniques de travail avec des logiciels

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Les Tice en classe

En salle de cours avec un vidéo j tprojecteur:

Aborder les notions difficiles du coursFamiliariser les élèves avec un logiciel

En salle informatique :En salle informatique : Approfondir des propriétés du cours;Découvrir de nouvelles propriétés;Conjecturer des résultats.

Devoirs maison avec une partie utilisant un logiciel;

èThèmes de travail en groupe sur des problèmes ouverts avec utilisation d’un logiciel.

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Phases proposées

Phase 1 – Modélisation du problème posé Phase 2 –Expérimentation : Mise en place avec un logiciel adapté.Phase 3 – Formulation d’une conjecture.Phase 4 – Approfondissement de la validité de la conjecturePhase 5 – Validation de la conjecture par uneconjecture par une démonstration.

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Quels logiciels?Tableurs

OpenOffice (libre)ExcelStar Office

Pour traiterPour traiterEtude des données statistique Etude des fonctionsSimulation & ProbabilitéEtc…

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Quels logiciels? Logiciels de géométrie dynamiquegéométrie dynamique

Geogebra (libre)Geoplan (libre)Geospce (libre)

Pour traiterGéométrieGéométrieGéométrie dans l’espaceEtudes de fonctionsEtc…

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Quelques sites utiles

Le site académiquehttp://www.ac-reims.fr/

(prise en charge de l’élève puis discipline)Eduscolhttp://eduscol.education.fr/Educnethtt // d t d ti f /http://educnet.education.fr/

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