TD2 – Informatique – PSI

TD : Révisions 2 : Simulation numérique 1

I. Loi entrée – sortie du Clever On s’intéresse au mouvement de la cabine du véhicule à trois roues Clever

dont la cabine s’incline à l’image d’une moto pour prendre un virage.

Pour piloter le mécanisme, il est nécessaire de connaître l’angle de la

cabine en fonction de l’élongation des vérins. L’étude géométrique

permet d’obtenir facilement l’élongation en fonction de l’angle :

𝜆1(𝛼) = √(𝐿 ∗ cos(𝛼 − 130°) + 𝑎)2 + (𝐿 ∗ sin(𝛼 − 130°) − 𝑏)2

Avec 𝛼 ∈ [−50°, 50°], 𝑎 = 0,14 m, 𝑏 = 0,0046 m et 𝐿 = 0,49 m.

L’objectif est de déterminer l’angle 𝜶 pour une valeur d’élongation 𝝀𝟏

donnée (on choisit 0.4 m).

Toutes les valeurs devront être données et renvoyées en degré.

1. Approche graphique

Q1. Définir la fonction l1(alpha).

Q2. Tracer 𝜆1 en fonction de 𝛼 sur le domaine d’étude considéré.

Q3. Donner un ordre de grandeur de l’angle 𝛼 pour un allongement

de 𝜆1 = 0,4 m.

Q4. Définir une fonction f1(alpha) permettant de résumer le

problème. Cette fonction sera celle qui devra être utilisée

comme argument pour les méthodes de dichotomie, Newton et

Sécante.

2. Étude de différents algorithmes de résolution

Dans cette partie, vous devez implanter différents algorithmes de résolution. Ces algorithmes sont des algorithmes itératifs

qu’il convient d’arrêter lorsque l’on atteint un critère. Le critère d’arrêt retenu sera |𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1| < 1 × 10−8 sauf indication

contraire.

On définit aussi un ordre de convergence par la formule : 𝑜𝑟𝑑𝑟𝑒(𝑖) =𝑙𝑜𝑔(|𝑥𝑖−𝑥𝑖−1|)

𝑙𝑜𝑔(|𝑥𝑖−1−𝑥𝑖−2|), avec 𝑖 le numéro de l’itération.

Plus l’ordre de l’algorithme est élevé, plus il converge rapidement vers la solution.

a. Méthode par dichotomie

La méthode par dichotomie permet d’approcher la solution par réduction successive de l’intervalle de recherche. Cette

méthode est adaptée pour les fonctions monotones dont on recherche le zéro.

Q5. Ecrire une fonction dichotomie(f,a,b,e) pour résoudre l’équation de la forme 𝑓(𝑥) = 0 par la méthode de

la dichotomie et tester cette fonction sur le problème posé.

Q6. Modifier votre fonction pour renvoyer le nombre d’itérations ainsi que la solution quand la convergence est

atteinte.

Q7. Modifier votre fonction pour que celui-ci renvoie la liste contenant les solutions successives obtenues à chaque

itération. On supposera que la solution potentielle à chaque itération est 𝑎 + 𝑏

2.

Q8. Ecrire une fonction ordre(lx) qui renvoie la liste contenant l’ordre de convergence en fonction des itérations.

lx est considéré être une liste contenant les solutions successives. En déduire l’ordre de convergence de la

méthode par dichotomie (dernière valeur de la liste).s

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b. Méthode de Newton

Le principe de la méthode de Newton est de chercher le zéro d’une fonction en prenant comme nouvelle approximation

l’abscisse du point d’intersection de la tangente à la fonction au point d’approximation précédente.

Cette méthode a un ordre de convergence théorique de 2, quand on est capable de déterminer précisément la dérivée. Si

la dérivée n’est pas connue, on peut en donner une approximation. Ici, on peut calculer cette dérivée : 𝜆1′ (𝛼) =

−𝑎𝐿 sin(𝛼−130°)−𝑏𝐿 cos(𝛼−130°)

√(𝐿 cos(𝛼−130°)+𝑎)2+(𝐿 sin(𝛼−130°)−𝑏)2.

Q9. Ecrire une fonction newton(f,df,xini,e,maxiter) qui renvoie la solution, le nombre d’itérations et la liste

des approximations 𝑥𝑘 successives en prenant la dérivée exacte.

Q10. Ecrire une fonction newton2(f,xini,e,maxiter,h) qui renvoie la solution, le nombre d’itérations et la liste

des approximations 𝑥𝑘 successives en prenant la dérivée approchée pour ℎ = 0,1.

Q11. Comparer la convergence de cet algorithme pour différentes valeurs de ℎ par pas de 10 : (10−2, 10−3, 10−4. . . ) et

déterminer une valeur qui semble optimale.

Q12. Déterminer l’évolution de l’ordre de convergence en fonction des itérations et en déduire l’ordre de convergence

pour différentes valeurs de ℎ. Comparer à la valeur théorique qui est de 2.

Un camarade (je ne dirai pas qui) initialise son algorithme avec la valeur 200 et obtient un résultat aberrant !

Q13. Tester votre algorithme avec une valeur aberrante et expliquer ce qu’il se passe.

c. Méthode de la sécante (méthode HP)

Cette méthode est une variante de la méthode de Newton dans laquelle la dérivée est approximée par la pente de la droite

passant par les deux points d’abscisses 𝑥𝑘−1 et 𝑥𝑘−2 calculés précédemment.

𝑥𝑘+2 = 𝑥𝑘+1 −𝑓(𝑥𝑘+1)

𝑓(𝑥𝑘+1) − 𝑓(𝑥𝑘)(𝑥𝑘+1 − 𝑥𝑘)

Q14. Ecrire une fonction secante(f,xini1,xini2,e,maxiter) qui renvoie la solution, le nombre d’itérations

et la liste des approximations 𝑥𝑘 successives.

Q15. Déterminer l’évolution de l’ordre de convergence en fonction des itérations et en déduire l’ordre de convergence.

Comparer à la valeur théorique qui est le nombre d’or 1+√5

2.

3. Utilisation de bibliothèques Numpy/Scipy

Un certain nombre d’algorithmes existent pour résoudre une équation, la plupart d’entre eux sont déjà implantées dans le

module Scipy. Nous allons utiliser la méthode de Newton pour déterminer une solution de référence. Cette méthode

permet de résoudre une équation mise sous la forme 𝑓(𝑥) = 0.

Pour utiliser la fonction de résolution avec l’algorithme de Newton, il faut taper les commandes :

import scipy.optimize as opt

opt.newton(f,5) # la valeur initiale choisie est 5

Q16. Déterminer numériquement l’angle 𝛼 pour un allongement 𝜆1 = 0.4 m. Comparer la valeur obtenue en fonction de

la valeur initiale.

4. Conclusion

Q17. Comparer les différentes méthodes mises en œuvre en termes de nombres d’itérations pour converger, l’ordre de

convergence. Tracer l’évolution de l’erreur en fonction du nombre d’itérations.

II. Résolution de 𝒙. 𝒆𝒙 = 𝟏 On s’intéresse à la résolution de l’équation (E) : 𝑥. 𝑒𝑥 = 1 sur l’intervalle [0 ; 1]. On définit la fonction 𝑔(𝑥) = 𝑥. 𝑒𝑥.

Reprendre les fonctions précédentes pour résoudre cette équation.

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III. Application : tir à la pétanque On considère dans cette application l’étude de trajectoire d’une boule de pétanque. On considère ici un tir tendu à 30°

comme défini sur la figure ci‐dessous.

Les frottements de l’air sont

pris en compte et génèrent

une force de frottement

proportionnelle au carré de

la vitesse :

𝐹 =1

2𝜌 𝑐 𝑆 𝑉2

Cette force est alors

fonction du coefficient de

traînée c, de la masse

volumique de l’air ρ que l’on

prendra égale à 1,2 kg/𝑚3

(conditions à 22°C et 1013 hPa) et de la surface projetée de la boule S.

Dans la suite, on notera 𝑘 =1

2𝜌 𝑐 𝑆.

Le principe fondamental de la dynamique appliqué à la boule de pétanque donne : 𝑀 �⃗� = 𝑀 �⃗� − �⃗�.

Après résolution, on peut en déduire les deux systèmes d’équations horaires pour la position sur chaque axe :

𝑥(𝑡) =𝑀

𝑘ln (

𝑘. 𝑉0 cos(𝛼) 𝑡 + 𝑀

𝑀)

𝑦(𝑡) = ℎ +𝑀

𝑘ln (cos (√

𝑔𝑘

𝑀. 𝑡 − arctan (√

𝑘

𝑀𝑔. 𝑉0 sin(𝛼)))) −

𝑀

2𝑘ln (

𝑀𝑔

𝑘(𝑉0 sin 𝛼)2 + 𝑀𝑔)

Si on néglige les forces de frottements de l’air sur la boule, on aboutit aux équations simplifiées suivantes :

𝑥(𝑡) = 𝑉0 cos(𝛼) 𝑡

𝑦(𝑡) = ℎ −1

2𝑔𝑡2 + 𝑉0 sin(𝛼) 𝑡

Q1. A partir des données numériques données, déterminer en utilisant la méthode de Newton (fonction newton2) la

position x0 du point d’impact sur le sol dans le cas où on néglige la force de frottement de l’air sur la boule.

Q2. Comparer cette valeur dans le cas où les forces de frottement de l’air ne sont plus négligées.

Q3. Tracer les trajectoires de la boule dans le plan (x,y), pour chaque modélisation (sans et avec prise en compte des

forces de frottements de l’air).

Q4. Reprendre cette étude en considérant une balle de tennis (on considère qu’elle a le même diamètre d = 70mm ; sa

masse vaut par contre M = 56g).

Bibliographie Support TP : A. Caignot et D. Prevost.