TD2 Principe fondamental de la statique - hyperstaticité Exercice 1 – Ouvre portail

On considère le mécanisme de l’ouvre-portail ci-dessous :

Un couple moteur s’exerce sur le bras 1 afin d’ouvrir ou fermer le moteur, et ainsi vaincre le couple résistant Cr dù aux frottements s’exerçant entre le portail et les gonds du pilier.

• Effectuer le graphe de liaison de l’ensemble.

• Déterminer le degré d’hyperstaticité h.

Afin de rendre le système isostatique, on va modifier les liaisons en A et/ou B.

• Pourquoi ne modifie-t-on pas les liaisons en O et C ?

• Proposer une modification des liaisons en A et B pour rendre ce système isostatique avec mobilité(s) interne(s) d’une part, et sans mobilité interne d’autre part.

• Proposer dans chaque cas à main levée une solution technique pour réaliser ces nouvelles liaisons.

Exercice 2 -Machine à drapper pour l’aéronautique L’utilisation des matériaux composites dans le domaine de l’aéronautique a été essentielle dans l’évolution des appareils notamment depuis les années 90 avec l’utilisation intensive et en série du carbone. Le système étudié est une machine à draper 5 axes Grande Vitesse (figure ci-contre) dédiée à la dépose de bande de carbone préimprégnées en résine epoxy.

Cette machine est utilisée pour la confection du caisson central de

l’Airbus A380 (pièce cubique de dimension : 8 m8 m2 m).

Vue du caisson central seul

Dans cette étude, on s’intéresse à la tête de dépose. Le rouleau de dépose est l'effecteur de cette machine à commande numérique. C'est un cylindre souple de diamètre de 30 mm et de largeur 160 mm. Il se déplace le long de la surface de l'outillage. Pour chaque épaisseur de carbone à déposer, le cycle de déplacement du rouleau est défini à l'avance par programme informatique.

Tête de dépose

Rouleau de dépose

Lors de la dépose de la bande de pré-imprégné sur l'outillage, le rouleau doit exercer un effort presseur pour plaquer la bande sur l'outillage. Cet effort est généré par un vérin pneumatique dont la pression est asservie. Objectif de l’étude statique : déterminer la pression d'équilibre dans le vérin en fonction de l’action mécanique de la bande sur le rouleau pour la position du mécanisme de tête donnée en page suivante. La valeur de cette pression est une donnée essentielle pour l’étude de l'asservissement. La modélisation de l'ensemble assurant le contact du rouleau sur l'outillage est donnée par le schéma cinématique de la page suivante.

1- Afin faciliter les différents calculs de résolution, tracer les figures d’orientation des repères R1(A,x1,y,z1) et

R2(D,x2,y,z2) par rapport à R.

2- Tracer le graphe des actions mécaniques sur la base d’un graphe de liaison pour l’ensemble de dépose. On

considérera l’action de l’air sur le corps de vérin 1 et sur la tige de vérin 2 comme une action extérieure. Préciser

le nombre d’inconnues statiques pour chaque liaison.

3- Déterminer le degré d’hyperstaticité du système étudié. Préciser les différentes mobilités cinématiques

introduites. Commenter le résultat.

4- L’action qui transite au travers de B est suivant la direction (DB). Justifier cette affirmation en appliquant le

principe de la statique à un système à préciser.

5- Justifier que )32( B

, l’action de liaison de 2 sur 3 en B, soit égale à l’action de la pression du fluide

)2air( F

dans le vérin. On pourra s’appuyer à nouveau sur un système isolé à préciser sans toutefois réaliser

de calculs. En déduire l’expression de )32( B

en fonction de p et S.

6- On considère le système S = {5 ; 4 ; 3} à isoler pour résoudre le problème (calcul de p en fonction de F). Justifier

ce choix par une analyse du nombre d’inconnues.

Consignes pour la résolution : - l’écriture de toutes les équations n’est pas systématique,

- conserver l’expression littérale des variables et données (dimensions, angles …),

- penser à simplifier votre modélisation à l’aide d’éventuel plan de symétrie pour les actions mécaniques.

7- A partir de la résolution de l’isolement précédent, déterminer l’expression littérale de la pression p dans le vérin

en fonction de F et des autres paramètres nécessaires de longueur et d’angle.

8- On considère la configuration où : = 20,5° et = 52,1°. Déterminer la valeur numérique de la pression p en

bars. Commenter le résultat obtenu.

Sous-ensembles cinématiques : 0 – l'unité de drapage considérée fixe par rapport au bâti « machine » de repère galiléen R(O,x,y,z). 1 – le corps du vérin 2 – la tige du vérin 3 – le bras 4 – le support du rouleau 5 – le rouleau

Données géométriques :

12

xL

AB

; 1xLAC

; 2xbDB

xaCE

; zcOA

; zdOD

Angle ( x

, 1x

) = ;

Angle ( x

, 2x

) = ;

Données numériques : L = 400 mm ; a = 35 mm ; c = 150 mm ; d = 675 mm. S = 706,8 mm2 section du vérin (sortie de tige)

Bande pré imprégné (notée « b »)

Hypothèses de l’étude : - Liaisons parfaites,

- Action mécanique de la bande sur le rouleau modélisée par le glisseur

zFbE

)5( avec F 100 N ,

- on note p la pression d’air appliquée sur S de 2,

- Actions dynamiques et actions de pesanteur négligées.

Exercice 3 – Etude d’un capteur de pesée de granulats Le capteur de pesée, visible sur la figure ci-contre, supporte une trémie de pesée et son contenu de granulats. L’action de pesanteur sur la trémie et son contenu est modélisée par le torseur suivant :

.

0pes trémie

G

P jT

Un des côtés du capteur est lié au bâti de la machine, son autre coté est accroché en un point K à la trémie. Lors de la chute des granulés, le centre de gravité de la masse des granulés occupe une position variable et inconnue.

Le torseur des actions mécaniques exercées par la trémie sur le capteur peut s’écrire :

.

.trémie capteur

kK

P jT

M k

.

Le capteur réel peut être modélisé par une structure 4 barres liées par 4 liaisons pivots élastiques (voir figure ci-contre).

Pour que la mesure donnée par le capteur soit indépendante de la position de G, le comportement du capteur ne doit pas dépendre du moment MK.

L’objectif de l’étude est de montrer que le comportement du capteur, grâce à sa structure 4 barres liées par 4 liaisons pivots élastiques, permet de s’affranchir de la valeur de MK.

Pour cela un modèle simplifié (voir figure ci-dessous) est considéré pour lequel seule la liaison pivot en A est une liaison pivot élastique, les liaisons en B, C, D étant parfaites.

Le torseur des efforts transmissibles de la liaison pivot élastique s’écrit : 1 4

.

.

A A

eAA

X i Y jT

C k

.

On souhaite vérifier qu’il existe une relation P=f(CeA) indépendante de MK.

1- Justifier le fait que cette étude puisse être réalisée en modélisation plane. Préciser le plan retenu.

2- Réaliser le graphe de liaison du modèle simplifié.

3- En réalisant les isolements qui conviennent et en justifiant votre démarche, retrouver la relation P=f(CeA).

où G est le centre de gravité de la trémie et de son contenu.

AB DC L et AD BC l

x

y

.2

lBK d i j

O