TD 2 structure interne de la terre

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Exercice 1 :

Vers l'an 200 avant Jésus- Christ, des voyageurs dirent à Eratosthène, géomètre de l'école d'Alexandrie, que

le premier jour de l'été, à Syène ( Prés de l'actuel Assouan, en haute Égypte ), rayons du soleil à midi étaient

verticaux : Ils pouvaient éclairer le fond d'un puits. Or ce même jour, le soleil n'était as au Zénith à

Alexandrie puisqu'un piquet de 1m de haut, planté verticalement avait une ombre de 12,3 cm.

Eratosthène savait également que les caravanes des chameaux partant de Syène, en parcourant 100 stades par

jour ( le stade équivaut à 160m ), mettaient 50 jours pour arriver à Alexandrie ( Ville située au nord de Syène

).

Enfin, il supposa que le soleil était assez éloigné pour que ses rayons lumineux frappent la surface terrestre

en faisceaux parallèles.

A partir de toutes ces informations, Eratosthène réussit à déterminer la valeur du rayon de la Terre

1- Faites un schéma illustrant les informations rapportées dans le texte, montrant l’arrivée des rayons solaires sur les deux

villes de Syène et d’Alexandrie.

2- A partir de ces données, calculer la circonférence et le rayon de la terre comme cela a été fait par Eratosthène.

Exercice2 :

Toutatis, ce petit astéroïde, identifié en 1989 par Christian Pollas, depuis l'observatoire du CERGA, a une trajectoire très

elliptique. Il y a quelques années, il est passe très près de la Terre, à 2.3 fois la distance Terre-Lune et, en 1989, il est passé à

quatre fois la distance Terre-Lune. Sa période orbitale est P = 3.98 ans. Tous les quatre ans, il passe à l'intérieur de l'orbite de la

Terre. Un jour, cet astéroïde serait susceptible d'entrer en collision avec notre Terre. Mais cette possibilité n'est pas pour un avenir

proche. Nous allons calculer quelle serait l'énergie de l'impact si un tel phénomène se produisait.

1. Calculez la masse de Toutatis en kg en sachant que son volume peut être assimilé à un parallélépipède de dimensions 4.6 x1.92

x 2.29 km. La masse volumique de l'astéroïde est approximativement deux fois celle de l'eau, soit ~ 2000 kg.m-3

.

2. Le demi-grand axe de l'orbite de Toutatis est a = 2.51 UA. Calculez la vitesse et l'énergie cinétique qu'aurait l'astéroïde au

moment de l'impact. Comparez l'énergie libérée par l'astéroïde par rapport à celle délivrée par l'explosion de la bombe atomique de

Nagasaki : ENag ~8.3 1013

Joules.

Rappel :

- L’énergie cinétique :

m la masse du corps et v sa vitesse.

- La Vitesse V d'un petit corps orbitant autour d'une masse M est donnée par :

où r est la distance entre le corps et la masse attractive et G la constante de gravitation universelle. On négligera

l'excentricité de l'orbite terrestre et on prendra pour l'unité astronomique la valeur aT =150 106 km.

3. Nous vous rappelons que l'échelle des magnitudes sismiques de Richter est donnée par une loi linéaire du logarithme de

l'énergie libérée :

m = k log10 E + C

Sachant que l'énergie d'un séisme de magnitude 7 est trente fois supérieure que celle d'un séisme de magnitude 6 et que celle d'un

séisme de magnitude 5 est environ l'énergie libérée par une bombe semblable à celle de Nagasaki.

- Trouvez la relation liant la magnitude sismique à l’Energie dans l'échelle de Richter.

- Calculez la magnitude sismique que provoquerait un impact de Toutatis avec la Terre.