8/3/2019 TD2_AN_non corrig_Mr Mondher Frikha_isecs

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Analyse Numrique

TD 2

Exercice 1

On considre le nombre x = 26 + 2-16 + 2-19

1. Ecrire x en notation binaire puis mettre ce nombre sous la forme (1.b1b2bn) x 2s.2. On utilise le standard IEEE 754 pour la reprsentation de x sous sa forme flottante simple

prcision. Donner dans ce cas les valeurs des nombres x+ (: nombre flottant immdiatementsuprieur x) et x- (: nombre flottant immdiatement infrieur x).

3. Donner la reprsentation flottante fl(x) de x arrondi au plus proche.4. Quelle est la prcision de la machine ?5. Vrifier que lerreur relative entre x et fl(x) est infrieure celle de la prcision de la machine.

Exercice 2

On considre la squence suivantek

k=x ; k=1, 2, ; et tant des rels vrifiant > 0 et < 1.

1. Trouver la condition sous laquelle lim kk

x+

= 0

2. Supposons que la condition ci-dessous indique est satisfaite, trouver dans ce cas lordre deconvergence de cette squence.

Exercice 3

La racine cubique a1/3 est lunique racine relle strictement positive de lquation x3 a = 0 ; (a>0).

1. Dfinir litration de Newton pour rsoudre cette quation.2. Soit a = 2 et x0 = 1.Calculer les deux premires itrations x1 et x2 utilisant la mthode de

Newton.

3. Dfinir lordre de convergence pour une itration convergente puis montrer que la mthode deNewton possde un ordre de convergence quadratique.

Exercice 4

On considre lalgorithme de point fixe xk+1 =1111

3333(xk + 2) comme une mthode pour chercher les

racines de x2 3x + 2.

1. Cette itration est elle convergente au voisinage de x=2 ? et de x=1 ?2. Faites les itrations pour vrifiez la convergence en x=2.

Exercice 5

1. tudiez si le polynme P(x) = x4 + 4x3 - 10x2 - 5 x + 2 est divisible par le binme B(x) = x 2et ce en utilisant le schma de Horner.

2. Comparer le nombre doprations quon doit effectuer pour calculer la valeur de P() ( tantun rel quelconque non nul) soit directement partir de P(x) ou par schma de Horner. Dduirelutilit dun tel algorithme.

Institut Suprieur dElectronique

et de Communication de Sfax Anne Universitaire 2010-2011

Mastre pro. Info. Industrielle

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Exercice 6

La vitesse dun missile est donne en fonction du temps par le tableau ci-dessous :

Temps t (s) 0 10 15 20 22.5 30

Vitesse v(t) (m/s) 0 227.04 362.78 517.35 602.97 901.67

1. Dterminer la vitesse en t = 16 s utilisant linterpolation polynmiale de Lagrange de1er ordre.

2. Dterminer la vitesse en t = 16 s utilisant linterpolation polynmiale de Lagrange de2me ordre.

3. Quelle est lerreur absolue relative de lapproximation polynmiale de 1er ordre par rapport celle de linterpolation quadratique.

4. Dterminer la vitesse en t = 16 s utilisant la mthode dinterpolation de Newton diffrencesdivises dordre 3.

5. Trouver la distance couverte par le missile entre t = 11s et t = 16s.6. Utilisant lexpression de la vitesse v(t), trouver lacclration du missile en t = 16s.

Exercice 7

Soit le support numrique :

x 0 1 2 3

F(x) -3 -1.5 3 7.5

1. Quel est le degr du polynme dinterpolation passant par ces points ?2. Calculez lexpression littrale (P(x)=) du polynme dinterpolation dtermin par la mthode

de Lagrange.3. On se propose de dterminer la racine de fonction F(x) dans lintervalle [0, 3]. En utilisant la

mthode de Newton et l'expression trouve la question 2, faite trois itrations en prenantcomme point de dpart x0 = 2. Les calculs de la valeur du polynme et de sa drive serontmens l'aide la mthode d'Horner. Les calculs seront mens avec 5 dcimales.

Exercice 8

On considre les valeurs dune fonction f(x) connue aux points xi rsumes au tableau suivant :

xi 1 -2 0 3 -1 7

f(xi) -2 -56 -2 4 -16 376

1. Construire la table de diffrences divises dordre 4 pour expliciter le polynme P(x) interpolantla fonction f(x) aux nuds xi par la mthode de Newton.

2. Sachant que la valeur thorique de fen x=3.75 est f(3.75)=23.8, calculer la valeur de lerreurdinterpolation au point x.