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TD4Premier principe de la thermodynamique 2012

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Cp-Cv = nR et Cp/Cv = ; (=1,4 pour un gaz parfait diatomique, dpend de la temprature) ; (=5/3

pour un gaz parfait monoatomique, indpendant de la temprature)

Constante des gaz parfaits : R= 8,31 J.K-1

.mol-1

Exercice 1.

On effectue de 3 manires diffrentes une compression qui amne un mlange air - essence de

l'tat 1 l'tat 2 avec :

tat 1 : P1 = 1 bar et V1 = 3 litres

tat 2 : P2 = 3 bars et V2 = 1 litres

La premire volution est isochore puis isobare, la deuxime est isobare puis isochore, la

troisime est isotherme (P.V = Cte)

1. Sachant que l'on a U = CV.T pour ce gaz (10), calculez U (variation d'nergie interne

entre les tats 1 et 2).

2. Calculez les travaux dans les 3 cas. Dduisez-en les chaleurs changes : sont-elles reuesou vacues ?

Solution :

1.

2.

Exercice 2.

On ralise la compression isotherme d'une mole de gaz parfait contenu dans un cylindre de

section S. On suppose que le poids du piston est ngligeable devant les autres forces

intervenant dans le problme. La temprature To est maintenue constante par un thermostat.

P1et P2sont les pressions initiale et finale. P1est la pression atmosphrique.

1. Comment raliser une compression isotherme ?

2. Reprsenter graphiquement cette transformation en coordonnes (V, P).

3. Calculer le travail fourni W1 une mole de gaz partait.

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On ralise maintenant cette compression brutalement; en posant sur le piston de section S une

masse M calcule de telle sorte que la pression finale l'quilibre soit P2 la temprature To.

4. Discuter ce qui se passe.

5. Calculer le travail fourni W2 une mole de gaz partait.

6. Reprsenter le travail fourni dans ces deux situations en traant y = W1 /P1V1et y = W2/P2V2 en fonction de x = P2 / P1. On vrifiera que le travail fourni au gaz dans la

transformation brutale, dcrite ici, est toujours suprieur au travail fourni lors de la

compression isotherme quasi statique.

On effectue l'exprience en deux tapes successives: compression brutale de P1 2P1puis de

2Pl P2, avec Pl< 2P1< P2.

7. Comparer avec les situations antrieures. Conclure.

Solution :

1.

Ralisation dune compression isotherme de la pression P1 la pression P2.

Une transformation isotherme est une transformation quasi statique et mcaniquement

rversible au cours de laquelle la temprature du systme est constante et gale celle du

milieu extrieur. Une transformation est quasi statique lorsquelle amne le systme dun tat

dquilibreinitial un tat dquilibre final en le faisant passer par une succession continue

dtats dquilibre. Une transformation est dite mcaniquement rversible si elle est quasi

statique et si en outre chaque instant de lvolution il y a quilibre mcanique entre le

systme considr et lextrieur avec lequel il est en contact.Sil y avait un quilibre parfait

entre le systme et le milieu extrieur il ne pourrait pas se produire de transformation : pour

que celle-ci puisse exister il est donc ncessaire quil existeun trs faible dsquilibre tel quesi on le supprime, lvolution progresse alors dans le senscontraire en repassant exactement

par les mmes tats intermdiaires mcaniques. Lexercice tudie une compression isotherme

dun gaz parfait de la pressionP1 la pression P2 : chaque tape de lvolution, le travail

mcanique fourni par lextrieur ausystme doit tre intgralement chang par chaleur par le

systme avec lextrieur (les paroisdu systme sont ncessairement diathermanes). Pour que

cet change soit complet cela impose de procder trs lentement : on peut, par exemple,

dposer trs progressivement un un des grains de sable sur le piston de telle manire ce

que la pression extrieure (et donc celle du systme) passe de faon quasi continue de la

pression P1 la pression P2.

2. Reprsentation graphique

Au cours dune transformation isotherme la temprature To dun gaz parfait, lquation

dtat permet dcrire que :

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3. Travail fourni.

On tudie le systme constitu du cylindre, du piston sans masse et du gaz parfait.

Le travail lmentaire scrit :

4.Caractristiques de la transformation.

Il y a maintenant une descente brusque du piston. La transformation nest plus

mcaniquement rversible car la pression du gaz nest pas dfinie au cours de lvolution.

Cette compression est non reprsentable par une courbe dans le diagramme P, V : seuls lespoints correspondant ltat initial et ltat final peuvent y figurs. Cependant la pression

extrieure P2= P1 + (M . g/ S) et la temprature extrieure sont considres comme

constantes.

Le gaz subit une volution monobare la pression P2 et monotherme la temprature To.

5. Travail.

Le travail lmentaire scrit :

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6. Reprsentations graphiques.

On peut remarquer que : 'y y . Le travail fourni lors de la compression isotherme qui est

mcaniquement rversible est plus faible que celui fourni lors de la compression brutale qui

nest pas mcaniquement rversible

7. Compressions en deux tapes.

On calcule le travail total fourni au systme lors dune nouvelle compression effectue de

manire brutale mais cette fois en deux tapes successives.Pour la premire tape :

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On peut remarquer quoprer en deux tapes successives permetde se rapprocher de la courbe

y, cest--dire dune transformation mcaniquement rversible

Exercice 3.

Une mole dun gaz parfait est contenue dans un cylindre vertical comportant un piston

mobile, de masse ngligeable en contact avec une atmosphre extrieure pression

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constantePo= 1,0 bar et la temprature To= 300 K. Constante des gaz parfaits :R= 8,31

J.K-1.mol-1

1. On ralise la compression isotherme de ce gaz parfait. La temprature To du gaz est

maintenue constante grce latmosphre. On noteP1= 2,0 bars la pression finale.

Dterminer le travail Wdes forces de pression lors de cette volution.

On ralise maintenant cette compression brutalement, en posant sur le piston de section Sune

masseMcalcule de telle sorte que la pression finale lquilibre thermodynamique soitP1

la temprature To.

2. Dterminer le travail Wdes forces de pression lors de cette volution.

3. Reprsenter le travail fourni dans ces deux situations en traanty = W/(nRTo)

et y= W/(nRTo) en fonction dex = P1/Po. On vrifiera que le travail fourni au gaz dans la

transformation brutale, dcrite ici, est toujours suprieur au travail fourni dans la compression

isotherme.

4. Quelle est la chaleur change avec lair dans les deux cas.

Solution :

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Exercice 4.

Un cylindre de sectionsest ferm par un piston de masse ngligeable et coulissant sans

frottement. Il contient un gaz parfait caractris par les trois variables d'tatP, h, T.

L'extrieur est l'atmosphre la temprature Toet la pressionPo.

Au dpart le piston est en quilibre, et les paramtres initiaux du gaz parfait sont T= Toet h =

ho.

Un oprateur applique brusquement au piston une force dirige vers le bastelle que la pression totale exerce sur le piston soitP1 et soit constante

lors de la transformation. La transformation est rapide et ne permet pas

d'changes de chaleur entre gaz parfait et milieu extrieur.

Exprimer la hauteur, note hfdans l'tat final o l'quilibre mcanique

est ralis.

On donne : Gaz parfait monoatomique : = 5/3.

Solution :

On considre le systme form de lassociation du cylindre, du piston de poids ngligeabledevant les autres mises en jeu et du gaz que lon suppose parfait.

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Dans les tats initial et final, il y a quilibre mcanique :

Etat initial : tat (0)

Etat final : tat (1)

On applique le premier principe ce systme :

Or Q =0 car les parois sont athermanes, la transformation est donc adiabatique.

Comme le gaz est suppos parfait et que la transformation est monobare on a lgalit

suivante :

En regroupant les termes on obtient :

Exercice 5.

Un rcipient de volume Vo, ferm par une vanne, dont les parois ainsi que la vanne sont

suppos athermanes, est initialement vide. Il est plac dans l'air ambiant (assimilable un gaz

parfait) temprature To et la pression Po. On ouvre la vanne, l'air pntre trs rapidementdans le rcipient, on referme la vanne lorsque l'quilibre de pression est ralis. L'air dans le

rcipient se retrouve dans un tat d'quilibre la temprature T1

1. Calculer T1.

2. Calculer la variation d'nergie interne U de l'air entr dans le rcipient.

Donnes: Po = 105 Pa, Vo = 2,0 L, To = 300 K et = 1,4.

Solution :

1. Dtermination de la temprature.On tudie le systme ferm constitu du rcipient et de la partie de lair de volume Vo qui

linstant initial se trouve dans latmosphre et qui par la suite rentre dans ce rcipient de

volume V1.

Comme la transformation est rapide et que le rcipient possde des parois athermanes on peut

la considrer comme adiabatique. Le premier principe scrit alors :

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Exercice 6.

Un tube cylindrique de verre calorifug a un diamtre D 3cm, une hauteur H 1,1 m et

contient une masse M 1 kg de mercure (masse volumique 13600 kg.m-3, chaleur

massique C 138 J.kg-1) la temprature T1. Le tube tant vertical, on le retourne 50 fois et

on constate que la temprature du mercure s'est leve de T.

1. Calculez le travail dvelopp par la masse M de mercure (on donne l'acclration due lapesanteur g 9,81 m.s-2).

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2. Calculez alors la variation d'nergie interne du mercure.

3. Calculez la variation de temprature T sachant que toute le travail a servi chauffer le

mercure.

Solution :

1.

2.

3.

Exercice 7.

Une turbine vapeur entrane un alternateur. La vapeur d'eau sous pression entrane les pals

de la turbine qui se met tourner et entrane dans sa rotation le rotor de l'alternateur.

L'installation est la suivante :

Le cycle dcrit par M = 1 kg d'eau est le suivant : Le gnrateur de vapeur (parois

indformables) fournit Qm1 2800 kJ / kg de chaleur l'eau qui se transforme alors en

vapeur sous pression. Une valve de sortie du gnrateur de vapeur s'ouvre, la vapeur entrane

alors une turbine calorifuge, fournissant ainsi un travail l'extrieur (la turbine). Cette

vapeur, une fois son travail fourni, est rcupre dans un condenseur (11) (parois

indformables) qui la transforme nouveau en eau grce au refroidissement qui s'y opre.

Cette vapeur liqufie (eau liquide) a cd l'extrieur (air ambiant) une quantit de chaleur

de 1200 kJ/kg. L'eau a donc finalement dcrit un cycle de transformations.

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1. A l'aide du premier principe, calculez la variation d'nergie interne massique (U2- U1)/M

et (U4- U3)/M.

2. Sachant que l'eau dcrit un cycle, dduisez- en la variation d'nergie interne massique (U3-

U2)/M et le travail massique W23/M qui est fourni la turbine.

3. La turbine entranant l'alternateur possde dans ce cas un dbit massique qm = 4 kg.s-1.

Calculez la puissance P dveloppe par la turbine (rappel : les watts sont des J.s -1).

Solution :

1.

2.

3.

Exercice 8.

Une mole de gaz parfait une temprature initiale de 298K se dtend dune pression de 5

atmosphres une pression de 1 atmosphre. Dans chacun des cas suivants :

1. dtente isotherme et rversible

2. dtente isotherme et irrversible

3. dtente adiabatique et rversible

4. dtente adiabatique et irrversible

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Calculer :

a) la temprature finale du gaz

b) la variation de lnergie interne du gaz

c) le travail effectu par le gaz

d) la quantit de chaleur mise en jeu

e) la variation denthalpie du gaz

On donne : Cv = 3R/2 et Cp = 5R/2

Remarque : Pour les cas des transformations adiabatiques rversibles et irrversibles (cas

3 et 4), on tablira les relations servant aux calculs.

Solution :

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