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ExercicesMcanique : Thormes du moment cintique

Ce Quil Faut Retenir

Moment cintique :L0(M/R) = OM mv (M/R)

Moment dune force :M0(f ) = OM f

Thorme du moment cintique pour un point : Dans un rfrentiel galilen, le moment ci-ntique dun point matriel par rapport un point O fixe, soumis une rsultante de forces

f ,

vrifie la relation cause/eet :dLO(M)

dt=MO(f )

Thorme du moment cintique pour un systme de points S :

dLo(S)dt

=MExt0

Thorme du moment cintique pour un solide en rotation autour dun axe fixe :

Iddt

=MExt

avec I =

imir2i le moment dinertie de S par rapport .

Mouvement force centrale :1. Il y a conservation du moment cintique par rapport au centre de force.2. Le mouvement est plan ! En coordonnes polaires, la conservation du moment cintique se

traduit parr2 = C

3. Laire balaye par le vecteurOM par unit de temps est constante et gale C2 .

1

EXERCICES Thormes du moment cintique

1. Sphre entre deux plans *Une sphre de masse m = 4 kg sappuie entre deux cloisons, lune verticale, lautre incli-ne dun angle = 60 par rapport lhorizontal. On suppose les forces de frottementngligeables.

Calculez les ractions des cloisons sur la sphre.

2. quilibre sur une poutre *Une poutre de masse M = 100 kg et de longueur l = 5 m, repose sur deux supports A etB distants de d = 3 m. Un individu de masse m = 75 kg se dplace le long de la poutre enpartant de lextrmit A.

(a) Calculez la distance maximale laquelle peut sloigner lindividu tout en conservantlquilibre de la poutre.

(b) Exprimez la raction du support A sur la poutre en fonction de x.

3. Mouvement orbital de la Terre *La Terre dcrit une ellipse autour du Soleil, dont le foyer se trouve au centre du Soleil. Quandla Terre est son aphlie (point de son orbite le plus loign du Soleil) sa distance au Soleilvaut rmax = 1, 52.1011 m et sa vitesse orbitale vmin = 2, 93.104 m/s.Sachant qu son prihlie (point de son orbite le plus proche du Soleil) la Terre se trouve la distance rmin = 1, 47.1011 m, trouvez sa vitesse orbitale au prihlie ?

4. Le pendule simple **Considrons un pendule simple oscillant dans un plan vertical dun rfrentiel terrestre ga-lilen. On repre la position du point matriel laide de langle (t) (voir figure).

J. Roussel - ENSCR - Nov. 2010 2


x

u2

u1

M

g

z

O

T

P

l

(a) Calculez le moment des forces par rapport laxe () passant par O et perpendiculaireau plan doscillation.

(b) Exprimez le moment cintique L(M) du point matriel.(c) laide du thorme du moment cintique, trouvez lquation direntielle que vrifie

(t).(d) Que devient lquation direntielle si lon modlise les frottements par une force or-

thoradiale f = ?(e) Comment faut-il choisir les caractristiques du pendule, si lon veut que les oscillations

durent le plus longtemps possible ?

5. Le Toboggan **Un enfant - que lon assimilera un point matriel M de masse m = 40 kg - glisse sur untoboggan dcrivant une trajectoire circulaire de rayon r = 2, 5m. Lenfant, initialement enA, se laisse glisser (vitesse initiale nulle) et atteint le point B avec une vitesse v.On supposera le rfrentiel terrestre galilen et les frottements ngligeables.

A g!!"#$

!

r=2,5 m

B

(a) laide du thorme du moment cintique, tablissez lquation direntielle vrifiepar (t).

(b) partir de cette quation, exprimez la vitesse en fonction de . Calculez v en B.

6. Modle de Bohr **Le premier modle quantique de latome est d Niels Bohr. Le modle de Bohr repr-sente latome dhydrogne constitu par un proton ponctuel de charge e = 1, 6.1019 C et demasse mp = 1, 67.1027 kg autour duquel gravite, en orbite circulaire, un lectron de chargee et de masse me. On note O le centre de lorbite, r son rayon et v la vitesse orbitale.



(a) Montrez que le moment cintique orbitaleLO de llectron se conserve. Exprimez LO

en fonction de v, r et me.(b) laide de la relation fondamentale de la dynamique, reliez la vitesse v et la distance

r.(c) Dans le modle de Bohr, on postule la quantification du moment cintique orbitale :

LO = n

o n est un entier positif et = h2 = 1, 055.1034 J.s. En dduire que le rayon est

quantifi :rn = n

2r1

o r1 est lorbite de Bohr que lon calculera.

7. Exprience de Cavendish ***En 1798 le physicien Henri Cavendish ralise une exprience lui permettant de peser laTerre et dobtenir la valeur de la constante de gravitation G. Aux extrmits dune tige debois de longueur l = 2m et de masse ngligeable, il fixe deux boules de platine de massem = 730 g puis en suspendant le tout un fil de torsion, il ralise un pendule de torsion 1.On rappelle quun fil de torsion produit un couple de rappel, qui soppose la torsion,proportionnel langle de torsion : Le moment du couple par rapport laxe du fil vaut

= Co C dsigne la constante de torsion.

(a) Cavendish cherche dabord mesurer la constante de torsion en faisant osciller le pen-dule de torsion. Montrez laide du thorme du moment cintique que langle detorsion vrifie lquation dun oscillateur de pulsation propre :

0 =

2C/ml2

1. Le pendule de torsion a t utilis dans de nombreux appareils. Coulomb et Cavendish sen sont servis dansleurs expriences clbres. On sen sert encore dans certains sismographes par exemple.



(b) Cavendish, mesure la priode T des oscillations. Il trouve T = 7mn. En dduire laconstante de torsion.

(c) Il place ensuite la distance r = 22, 5 cm des deux masses, deux grosses boules de plombde masse M = 158 kg, comme lindique la figure. Montrez que la position dquilibre estdvie dun angle (la dviation tant trs faible on considrera que r reste constant).

(d) Cavendish trouve G = 6, 75.1011N.m2.kg2. Calculez la dviation angulaire corres-pondante. Commentez.

.

8. Force centrale **Sur un plan horizontal, perc dun trou O, un point matriel se dplace sans frottements,attach un fil passant par le trou. On exerce sur lautre extrmit du fil une tension T (t)telle que : OM = l(t) = a bt. De plus, on impose initialement une vitesse angulaire 0 .(a) En appliquant le thorme du moment cintique, trouver lquation paramtrique de la

trajectoire.(b) Donner lexpression de la tension en fonction de l(t).(c) Calculer de 2 faons, le travail fourni par loprateur exerant la tension, entre linstant

initial et linstant t.



Rponses

1. la raction de gauche vaut mg3 67, 9 N lautre vaut 2mg 80N.

2. (a) xmax = Mm (d l2 ) + d = 3, 67 m (b) RA = 898, 3 245x.3. vmax = vmin rmaxrmin = 3, 03.10

4m.s1.

4.M = mgl sin (b) L = ml2 (c) + gl sin = 0 (d) + ml + gl sin = 0

5. (a) = gr cos (c) v =2gr (sin sin 0) ; vB = 6, 36m.s1.

6. (a) Thorme du moment cintique (b) v2 = e2

40me1r (c) r1 = 0, 53

7. (a) L = 2mL2 TMC + 0 = 0 (b) C = 327.106N.M.rad1 (c) = GmMlr2C (d) = 0, 05 .

8. (a) (t) = a0b

aabt 1

(b) T = ma

420l3 (c) W =

12ma

420(1l2 1a2 ).


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