F1_A_be 1

Telekommunikation, Vt-05Signaler

F1_A

F1_A_be 2

SIGNALER och SIGNALBESKRIVNING Nya begrepp att kunna:

• Deterministisk

• Stokastisk

• Medelvärde

• Varians

• PDF

• CDF

• Periodisk

• Icke-periodisk

• Transient

• Digital

• Analog

F1_A_be 3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.5

0

0.5

1

1.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.5

0

0.5

1

1.5

Analog Amplitud-diskretTids-kontinuerlig

Amplitud-kontinuerligTids-diskret

Amplitud-diskretTids-diskret Digital

F1_A_be 4

Exempel på digital signal:

0.16 0.17 0.18 0.19 0.2 0.21 0.22 0.23-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Time [sek]0.504 0.506 0.508 0.51 0.512 0.514 0.516

-6.8

-6.6

-6.4

-6.2

-6

-5.8

-5.6

-5.4

-5.2

-5

-4.8

x 10-3

Time [sek]

Inspelat ljud = sampel ( mätpunkt )

Samplingsfrekvens 8192 Hz

F1_A_be 5

•STOKASTISKA SIGNALER( random signals )

•DETERMINISTISKA SIGNALER

Medel(x) = 0.1161

Varians(x) = 0.7697

Variansen skrivs ofta 2

Amplitud(x) = 1.5Frekvens(x) = 2x(t)=1.5*sin(2π*2*t)

F1_A_be 6

>> x=rand(1,1000);plot(x,'k')>> hist(x)>> var(x) = 0.0833>> mean(x) = 0.5001

>> help rand

RAND Uniformly distributed random numbers.

F1_A_be 7

RANDN Normally distributed random numbers.

RANDN(N) is an N-by-N matrix with random entries, chosen from

a normal distribution with mean zero, variance one and standard

deviation one.

>> x=rand(1,1000);plot(x,'k')

>> var(x)

0.9994

>> mean(x)

0.0464

>> hist(x)

F1_A_be 8

Fyrkantvåg:

( square wave )

•Stokastisk/Deterministisk ?

•Frekvens ?

•Amplitud ?

•Histogram ?

F1_A_be 9

Bit-tid

Slumpmässigdigitalsignal.

x=rand(1,20)>0.5;stairs( x>0.5,'k');hist(x);

F1_A_be 10

•Stokastisk/Deterministisk ?

•Frekvens ?

•Amplitud ?

•Histogram

F1_A_be 11

Amplitudegenskaper för analoga signaler

• En sinusformad signal med periodtiden T och frekvensen f kan beskrivas genom sin amplitud A

• Man kan enkelt beräkna DC-nivå och effektivvärde (RMS) för varje periodisk funktion

T

RMS

T

DC

dttuT

u

dttuT

u

tfAtu

0

2

0

)(1

)(1

)2sin()(

F1_A_be 12

%sin_plot.m

A=1;

f=2;

t=0:0.01:1;

u=A*sin(2*pi*f*t);

plot(t,u,'k');

xlabel('t [s]');

ylabel('u(t)');

A

uRMS

uDC

F1_A_be 13

Effekt i Sinus-signal

Enligt el-läran: ][2

WattR

UP RMS

SINUS där R = belastning i ohm ( )

Effekt i Brus-signal

RPU brusRMS

2

Vid signalberäkningar sätter man ofta R = 1 och får alltså

2BrusP

F1_A_be 14

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-15

-10

-5

0

5

10

15

Brus-effekt = 4 [W]

Sinus-effekt = ][5.122

52

W

(Signal + Brus ) - effekt i W ?

Signal/Brus-förhållande i dB ?

F1_A_be 15

Digitala signaler

För digitala signalerman man t.ex angemedelvärde ochstandardavvikelse

1

0

2

1

0

)][()1(

1

][1

N

nstdav

N

nmedel

xmedelnxN

x

nxN

x

x=[1 4 6 8];

N=length(x);

xmedel=(1/N)*sum(x)

temp=sum( (x-xmedel).^2);

xstdav=sqrt( (1/(N-1)*temp))

F1_A_be 16

3 signalanalys-tekniker

• Frekvensanalys – används för att beskriva vilka frekvenser som bygger upp signalen

• Korrelation – används för att jämföra signaler

• Beräkning av täthetsfunktion och sannolikhetsfunktion

F1_A_be 17

Amplitudtäthetsfunktion

Probability Density Function (PDF)

y+dyy

dt1

dt2

T

dtdtdq

T

...21lim

Sannolikheten att signalen har enAmplitud i intervallet y till y+dy:

F1_A_be 18

Sannolikheten beror av dy, varför vi inför:

dy

dqyp )(

b

a

dyypbyaP )()(

0

?)( dyyp

Amplitudtäthetsfunktionen:

Vidare sannolikheten att signalens amplitud ligger i intervallet a till b:

?)(

dyyp

F1_A_be 19

Några viktiga samband:

En signals medelvärde ( mean, expected value ) och dess

effektivvärde eller standardavvikelse =

)(

][)()(

)(

2222

rdeeffektivväy

yEyEdyyyypy

yEdyyypy

yeff

ymedeleff

medel

F1_A_be 20

Exempel: Bestäm täthetsfunktionen för en sinussignal.

2

2

1

11)(

)(2

1

1

2

)arcsin(2

)2

sin(

yyp

dyypT

dtdq

dyy

Tdt

yT

ttT

y

dy

dt

T

dt

F1_A_be 21

Ex: Sannolikheten att sinuskurvans värde < -0.5:

3

1...)arcsin(

1

1

11)()5.0(

5.0

1

5.0

12

5.0

1

y

dyy

dyypyP

21

11)(

yyp

F1_A_be 22

Amplitudsannolikhetsfunktion( Cumulative Distribution Function, (CDF) )

y=-1:0.01:1;cdf=(1/pi)*(asin(y)-asin(-1));

dy

cdfdpdf

dttpdfycdfy

)(

)()(

F1_A_be 23

Hur ser PDF och CDF ut för kast med symmetriskt myntresp. symmetrisk tärning ?

F1_A_be 24

Den mest berömda Amplitudtäthetsfunktion: Gauss-fördelningen ellerNormalfördelning

2

2

2

)(

2

1)(

my

eyppdf

m = medelvärde

σ = standardavvikelse

m = 0σ = 1

m = 1.5σ = 0.5

F1_A_be 25

m = 0σ = 1

”Svans”Hur stor är sannolikheten att Signalens amplitud > 2 σ?Sannolikheten blir = svansens yta som beräknas:I MATLAB0.5*erfc(2/sqrt(2)) = 0.0228

Alternativt kan Q(x)-funktionen som finns i formelsamlingen användas:Q(2)=0.0275

F1_A_be 26

Motsvarande CDF:

dtemycdfmty2

2

2

)(

2

1),,(

m = 0σ = 1

y

F1_A_be 27

KORRELATION

• Korrelation kan användas för att hitta en signal y[n] i en annan signal x[n]

1

0

][][)(N

kxy jkykxjR

• Korrelationen är ett mått på likheten mellan x och y vid tidpunkten j

F1_A_be 28

Exempel:

Ett känt mönster x: 0 1 0sökes i signalen y: 0 0.2 1.25 0.12 0 0

Korrelationen = ”Kors”-korrelationen blir:

Tolkning:

x verkar finnas i y med en offset på 1.

F1_A_be 29

%F22%Cross-correlation%Look for pattern in datax=[ 0 0.2 1.25 0.12 0 0 0];%Datay=[ 0 1 0 ];%PatternLx=length(x);Ly=length(y);M=max(Lx,Ly);L=2*M-1;%Correlation lengthL2=round(L/2);Rxy=xcorr(x,y); %Cross-correlation functionj=-L2+1:L2-1;%Offsetstem(j,Rxy,'filled','k');

MATLAB-program som genererar figuren ovan.

F1_A_be 30

En sinusfunktion med frekvens 5 Hz korreleradmed sig själv ( ”Auto-korrelation” ):

%F23%Auto-correlationdt=0.001;t=0:dt:1;x=sin(2*pi*5*t);%Data 5 HzLx=length(x);Ly=length(y);M=max(Lx,Ly);L=2*M-1;%Correlation lengthL2=round(L/2);Rxy=xcorr(x,x);j=-L2+1:L2-1;%Offsetplot(j*dt,Rxy,'k');

F1_A_be 31

Gaussiskt brus korrelerat med sig själv

F1_A_be 32

Ex: sinus i brus

Signal

Var finns Signalen i bruset ?

F1_A_be 33

Korrelation mellan Signal och Signal i brus

F1_A_be 34

%F25%Search for signal%in noisedt=0.01;t1=0:dt:1;x1=sin(2*pi*2*t1);%Signal 2 Hz%figure(1)plot(t1,x1,'k');%m1=randn(1,1001);%Gaussian Noisem1(201:301)=m1(201:301)+x1;%Insert Signalt=0:dt:10;figure(2)plot(t,m1,'k');%Lx=length(m1);Ly=length(y);M=max(Lx,Ly);L=2*M-1;%Correlation lengthL2=round(L/2);Rxy=xcorr(m1,y);j=-L2+1:L2-1;%Offsetfigure(3)plot(j*dt,Rxy,'k');

F1_A_be 35

Några MATLAB-övningar

1. Beräkna medelvärde och standardavvikelse (=effektivvärde) för dessa periodiska signaler, alla med amplitud 1

xmedel =

0.6358

xstdav =

0.3088

xmedel =

0.3179

xstdav =

0.3858

xmedel =

0.5005

xstdav =

0.2892

Användbara funktioner: sin och sawtooth

F1_A_be 36

2. Beräkna sannolikheten att en normalfördelad signal har en amplitud >+2 om

a. Medelvärdet = 0 och standardavvikelse = 0.5 (3.1671e-005)

b. Medelvärdet = 1 och standardavvikelse = 2 (0.3084)

3.

Generera ett bitmönsterpå t.ex 10 bitar med 10sampel/bit.(Nivåer –1 och +1 )

Addera gaussiskt( normalfördelat brus)med effektivvärdet 1 :

F1_A_be 37

Den brusiga signalenkan se ut så här:

a. Beskriv någon metodatt avkoda denna signal, dvs återskapa bit-

mönstret.

b. Beräkna sannolikhetenför bitfel (”BER” ) somfunktion av signal/brus-

kvoten i dB. Räkna påt.ex 1000 bitar