Term S Maths Repères - Livre Du Professeur [2011]

livre du professeur

Nouveau programme STermmathsrepres

STermmathsrepresNouveau programmeFabienne Bruneauprofesseur lExternat des Enfants Nantais de Nantes (44)

Maxime Cocault professeur au lyce Chateaubriand de Rennes (35)

Boris Hanouch professeur au lyce Condorcet de Limay (78)

Frdric Lavanciermatre de Confrences luniversit de Nantes (44)

Agns Choquer-Raoult professeur au lyce Lopold-Sdar-Senghor de Magnanville (78)

Frdric Ferrprofesseur au lyce Jean-Mac de Lanester (56)

Thierry Joffrdo professeur dtach au Rectorat de Rennes auprs du dpartement de dveloppement des usages des TICE (35)

Herv Mauxionprofesseur au lyce Henri-Avril de Lamballe (22)

David Simonprofesseur au lyce Notre-Dame-de-Toutes-Aides de Nantes (44)

livre du professeur

Hachettelivre,2011 Repres1re,Livreduprofesseur 3

Sommaire

Fonctions

Chapitre 1 Suitesetlimites 4

Chapitre 2 Fonctions:limite,continuit,calculsdedrives-Trigonomtrie 22

Chapitre 3 Fonctionexponentielle-Fonctionlogarithmenprien 45

Chapitre 4 Intgration 64

Gomtrie

Chapitre 5 Nombrescomplexes 88

Chapitre 6 Gomtriedanslespace 107

Probabilit et statistiques

Chapitre 7 Probabilitsconditionnellesetloiscontinues 122

Chapitre 8 Loinormaleetestimation 137

ENSEIGNEMENT DE SPCIALIT

Chapitre 1 Arithmtique 151

Chapitre 2 Calculmatricieletapplications 172

Couvertureetmaquetteintrieure:Nicolas PirouxCompositionetschmas:APS-Chromostyle

1Suites et limites

Hachettelivre,2012 RepresTermS,Livreduprofesseur 4

Contenus Capacits attendues

SuitesRaisonnementparrcurrence.

Limitefinieouinfiniedunesuite.

Limitesetcomparaison.

Oprationssurleslimites.

Comportementlinfinidelasuite ( )qn ,qtantunnombrerel.

Suitemajore,minore,borne.

Savoirmenerunraisonnementparrcurrence.

Danslecasdunelimiteinfinie,tantdonnsunesuitecroissante ( )un etunnombrerelA,dterminerlaidedunalgorithmeunrangpartirduquelun estsuprieurA.

Dmontrerquesi ( )un et ( )vn sontdeuxsuitestellesque:.un estinfrieurougalvn partirduncertainrang;un tendvers+3 quandntendvers+3 ;

alorsvn tendvers+3 quandntendvers+3 .

tudierlalimitedunesomme,dunproduitoudunquotientdedeuxsuites.

Dmontrerquelasuite ( )qn ,avecq 12 ,apourlimite+3 .

Dterminerlalimiteventuelledunesuitegomtrique.

Utiliserlethormedeconvergencedessuitescroissantesmajores.

Programme officiel

1. Abonnements Paris Maths A. Point de vue ditorial1. A A 0,8 600n n 1 +#= ;Letauxderabonnementestde80%doncchaqueanne20%desabonnsarrtentmais600nouveauxarrivent.Avecletableur,A 3000n = pourn 43= .

2. CestunedroitedontlespointssedensifientavecncroissantversA 3000n = .

3. On conjecture donc que 3 000 est un nombre dabonnsstable.

4. Oui.

B. Point de vue mathmatique1. Cf.A.1.: , aa 0 8 6001n n +=+ .

2. ab 3000n n= ;, , ( ) ,a a bb 0 8 3000 600 0 8 3000 0 8 n n n1 n += = =+ .

bnestgomtriquederaison0,8.

3.n

0,8b a b54

nn

0 0= = ( ) ; 3000 5000b a 0 0= = ;n

5000b54

n = ( ) ;do n000 50003a 54

n += ( ) .bnestgomtriquederaison0,8.

4.1+n n

3000 50003000 5000a a54

54 1n n +=+ ( ) ( )

01 .1 5000 =( ) ( )n n5000 54

54

51

54

= ( )an estdcroissante(strictement).

Pourtout n! ,n5000 05

4 2( ) donca 300nH .5. a. Si 300an = ,alors 3000 0,8 600 2400 600a 1n + +#= =+ ,donca 3000n 1 =+ .

Sia 3000n 1 =+ ,alors0,8 600 00a 30n + = ,

donc,

.a0 82400 3000n = = CQFD.

b.n

3000a54 5000n + #= ( ) , donc 5000 02 )

n( )3000a 54

n2 ( ,donca 3000n! ,; n! .

Dcouverte (p.8-9)


STermLivre du professeur

Chap. 1 Suites et limites


6. La phrase est vraie, cest la dfinition de la limite et

lima 3000n =+3; 0

41 11 1( donc n 0= )0005lim 5

4#

+3 ( ) .7. Lenombredabonnsdevraitdiminuerjusqu3000aucoursdes431reannespuisstagner3000.

2. Dmontrer Pour tout

Pourtoutentiernatureln,2 1

uu u n

1n n

0

1 +=

=+) .

1. u 10 = ; 1 2 0 1 0u 1 + #= = ; 0 2 1 1 1u 2 + #= = et

1 2 2 1 4u 3 + #= = .

2. a. B2 2 A2 1+ #= .

3. Soit n! ,onposeP ( ) : ( 1) n u n n2

= .a. IlsemblequeP(n)soitvraie,pourtout n! .b. Soit n! , tel que P(n) est vraie (n est fixe) dans

( 1) 2 1 (( ) )u n n n n 1 1 n 12 2 2+ += = =+ .

DoP(n)esthrditaire.c. Onseraittentdedireoui!...MaisNON!4. b. Onpeutdifficilement.c. Mmetravailjustement!

5. a. Leproblmersidedanslefaitquepourdeuxtermesini-tiauxdiffrents,onauradeuxgnrationsdiffrentesalorsqueladfinitionparrcurrenceestlamme.b. Quelonaitu0.c. Ladonnedutermeinitialetdelaproprit!

1. 17. Corrigs dans le manuel.

1. Commenons par les premiers termes18. et 19. Corrigs dans le manuel.

20.

n

(2 ; 4)

(un = (- 2)n)n 0

(4 ; 8)

n

(un = - 2n + 3)n 0

n

(un = n2 - 2n + 1)n 0

n

(un = )n 0

nn 1

23/24/35/4

1

21. Corrig dans le manuel.

22. ( )un estcroissante,appartientlin-tervalle ;1 56 @ ; 5lim un =3

.( )vn nest pas monotone, est borne

,lim v 0 5n =3.


2. Dmontrer par rcurrence24. et 25. Corrigs dans le manuel.

26. a. P (0) : 0 0 0n n 3 = = doncdivisiblepar3.

Hrdit: k! telque3 k n n3# = P(n+1): ( 1) ( 1)n n3+ +

n n n n3 3 1 1 3 2+ + +=

n n n n3 33 2+ +=

( )k n n3 3 2+ +#=

3 )(n n k2 + +#=

doncdivisiblepar3.

b. P (0) : 04 1 3 0 0 # = divisiblepar9.

Hrdit:P(n)estsupposevraie,donc 4 1 3 9k n k n #; =! . P(n+1): n4 1 3 3 1n + 4 (4 12 9) n n4 n +#=

( )n n4 4 1 3 9n +#=

4 (9 ) 9 9 (4 )k n k n+ +# #= =

doncdivisiblepar9.

c. P (0) : 7 3 4 7 4 11n5 + +# = = divisiblepar11.

Hrdit:SupposonsP(n)vraie: 7 3 4 11k kn5 +# #; =! .

P(n+1): 7 3 4 3 7 3 45( 1)n n5 5+ +# # #=+

343 7 3 4 968 968n5 + +# #= ( )343 7 3 4 968n5 +#= k343 11 11 88# # #= 11(343 88)k #=doncdivisiblepar11.

Exercices (p.28)

Hachettelivre,2012 RepresTermS,Livreduprofesseur




27. 1. P(n): 3 4 1k k n#; =! .P(n+1):4 1 4(4 1 3) 1n n +=+

4 3 3 3(4 1)k k+ +# #= =divisiblepar3doncP ( ) P ( 1)n n +& .

2. Q(n): 3 4 1k k n +#; =! .Q(n+1):4 1 4(4 1) 3 n n1 + +=+

( ) ( )k k4 3 3 3 4 1 = =divisiblepar3.

3. P(0):4 1 00 = divisiblepar3.Ayant montr lhrdit en 1, on peutconclureparrcurrencequeP(n)estvraiepourtout n! .

4. Q(0):4 1 20 + = ;Q(1):5;Q(2):17;Q(3):65;Q(4):257.Qsemblefaussepourtout n! .

5. a. Soient a et b deux entiers multi-plesde3. Pardfinition a et b ! tels que 3 a a= et 3 b b= donc

( ), a b a b3 = a b ! donca b estdivisiblepar3.b. SupposonsQnvraie.P(n)estvraiedoncP ( ) Q( )n n estdivisiblepar3.P ( ) Q( ) 4 1 4 1n n 2 n n= = quiestnondivisiblepar3contradiction.


29. Posons ( )vn ;; n! , alorsv 30 = etv u 5n n=

( )u u v52 3 5

52 5

52 n n n+= = = .

( )vn estunesuitegomtriquederaison52

donc; n! :n

v v52

n 0#= ( ) ;; n! ,5+ .

n nv 5 3+ = ( )u v 5 5

252

n n 0+= = ( )31. Corrig dans le manuel.

32.P(0): .u411 3

43 0

411 3 2 0 0# = = =

Hrdit : suposons P(n) vraie, et mon-tronsP(n+1).Pardfinition:u u n3 1n n1 + +=+

33 n n411

43

21 u + += ( )

n n4113

4 23 19 1n + += +

n4113

4 25 n 1= +

321 1n

411

4 213

2 n 1 + + += + .

P(n+1)estvraie.


34. 1. B2 2 A2 1+ +#= .

3. Conjecture:u nn2

= ,; n! .P(0): u0 02 0= = .

P ( ) P ( )?n n 1+& :2 1 2 1 ( 1) .u u n n n n1n n

2 2+ + + + += = =+

35. ( )un constante en 4+ ; n! ,u 4n = .P(0)estvraieetP(1)aussi.SupposonsP(n)etP(n+1)vraie,etmon-

tronsP(n+1):u u u25

232n n n1=+ +

4 4 4.25

23# #= =


37. 1. = =2

21 5

41 5 2 5

23 5+ + + +( )

12

1 51+

++z= = .

2. P(2):u u 1n 1 1 = = et 1u un 2 0= = donc on a bien (daprs 1.)

u u2 2 1 2 2 +#zz = ;P(2)estvraie.SupposonsP(n)vraie( n! etn 2H ):

u u1 1 2n n

n n2

+#z z z z z= =+

( )u u u1 2 1n n n

u

n

+ +z=6 7 844 44

car 12 +z z= u u u u( ) ( )n n n n1 1 1 1 2 + +z z= = + + ;P(n+1)estvraie.


39. 2. Pour n suffisamment grand, onconjectureque !n 3nH .

3. P(7) : 3 21877 = ; !7 5040= ;21875040H ; donc !7 37H ; P(7) est

vraie.

Montronsquepourtout:

\ 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6n! " , ,P ( ) P ( 1)n n +& .

P(n) tant vraie, !n 3nH or n 7 3H H ,donc( 1) 3n + H ,do( 1) ! 3 3n n n+ # #H( )n 1 3 1n+ H + doncP(n+1)estvraie.

40. P(1): ( )a b a b i ii

1 1

0

1 1

=

/( )a b a b a b a b 0 0 1 1= = = ;

P(1)estvraie.P ( ) P ( 1) :n n a b aa bb n n n n1 1+& =+ +

(a a )n b ab bb n n n

=+

( ) ( )a a b a b a b b n ii

ni n1

0

1

+==

/( ) ( )a b a b a b a b n n i

i

n0 1

0

1

+==

/( ) ( )a b a b a b a b a b

0

1

0

n n i i

i

nn i i

i

n0

+= =

= =

( )/ /

( )a b a b ( )( 1)

n i i i

i

n1

0

1

=+

+

=

/ ;P(n+1)estvraie.


42. P(0) : Iu0! donc on peut dfinir( )u f u1 0= .

P ( ) P ( 1)n n +& :onsupposeP(n)vraie:Iun! donc ( )f un estdfiniedonc u 1n +

estdfinie.Onamontrque :; n! un estbiendfinidonc ( )un estdfinie.P(0): Iu0! pardfinitiondoncP(0)estvraie.P ( ) P ( 1)n n +& : Iun! donc ( ) If un ! donc Iu 1n + ! ,P(n+1)estvraie.Pourtout n! , Iun! .

3. Calculs des sommes43. et 44. Corrigs dans le manuel.

45. a. ( )p p p p1p

p n n n

0

12

0

1

0

1

+ +==

=/ / /( ) ( ) ( )n n n n n

61 2 1

21

+=

( )(3 2 1)

( 1) ( 1)n nn

n n n

61

3

++

= =

b. ( ) 4p p p2 4n n nn

2

1

12

1

1

1

1

1

1

+=+ + ++/ / //

( )( )( )

4( )( )

( )n n n n n

n6

1 2 2 32

1 24 1

+ + + + ++ +=

( )( )( )

( )

nn n n

16

2 2 36

12 2629+

+ + ++= ( )

( )( )

nn n

16

2 5 62+

+= .

46. a. 3 3 ( )3 3 9pp

p np

p

p np

p

p n2 1

0

2

0 0# #= =+

=

=

=

=

=

=/ / /3 (9 1)

1 91 9

83

nn

11#= =

++

b. 3 2 1 3 1 0

1p n

p

p np

p

1

0

# =

=

=

=

=

/ /3 1 3

11 2

22 4

nn# #= =

47. et 48. Corrigs dans le manuel.

4. Majoration, minoration49. et 50. Corrigs dans le manuel.

51. a. ( )

nn

n

n n

1 11 22 2 1

+ ++

=

nnn n

nn1

12 1

1 +

++

+= =

( )1 n vaut 1 ou1suivantn impair/pairdoncun napasdelimite.

b. ; n! , n n n0 2 1 12 2+ +G G

n n2 12 + +G

0 ( 1) 1 ( 1)n n n 2 2 2+ ++ G G G .

Comme estcroissante:

( ) 1 ( 1)n n n1 2 2 2+ +GG





1 1n n n1 2 + ++ G G

n n1 1 1 2 + ++ G G

1 1u n ++ G G ;un estborne.

c. )nu 1 3n nr r= ( )( donc lim un +=+3 3 ( , )3 14 32 1r doncpasmajoreetmino-repar0.

52. a. u n n nn1 1 1 2n

22

+ += ( )( )

1

limlim

2 2n n nn n n

1 1 1 1 1 1 22 2

+ += = + +n5

5:

Hachettelivre,2012 RepresTermS,Livreduprofesseur Hachettelivre,2012 RepresTermS,Livreduprofesseur 8



5. Soit n! ,4

fn2

12

5n += .

6.4

xx 25+7

est strictement dcrois-

santesur 0 ; +3 6@ .

7. ( )fn m 0H est donc strictement crois-

sante et minore par21 , donc lentier

fourniparlalgorithmeestbienunentier

partirduquelonaura ;f21

21

n + f! ; E .

8. Lalgorithmefournit lepluspetitrangassoci ladfinitionde laconvergence

de fn vers21 .

64.1

1

a n b n can bn c

a nan

nb

nc

nb

nc

2 2

2 2

2

2+ ++ +

+ +

+ +=

aa

nb

nc

nb

nc

1

1

2

2

+ +

+ +=

pour *n! .

or etlim limnk

nk0 0

n 2= =

+ +" 3 3

donc limnb

nc1 12

+ + =+3( )

(parsommedelimites)

et limnb

nc1 12

+ + =+3( )

do

lim

nb

nc

nb

nc

1

1

11 1

2

2

+ +

+ += =

+3

(parquotientdedelimites)etdonc

lim

a n b n can bn c

aa

aa1

2

2

+ ++ +

#= =+3

.

65. a.

an bn ca n b

anb

nc

anb

nn2

2

2 + ++

+ +

+=

na

nb

nc

anb

1

2+ +

+#= pour *n! .

limn1 0=

+3;

lim anb a a0+ += =

+3 ( ) ;lim a

nb

nc a a0 02

+ + + += =+3 ( ) ;donc lim

an bn ca n b

aa0 0

2 + ++

#= =+3

.

b. etc. a n b

an b cnn

anb

anb

nc

n22

2

++ +

+

+ +#=

na

nb

anb

nc2

+

+ +#=

donc

lim limu uaa

n n#=

+ +" 3 3;

do pour

lim uaa 0n + 2=+ 33

( 0 et 0) ou ( 0 et 0) a a a a2 2 1 1/

et pour

lim uaa 0n 1=+ 33

( et ) ou ( et ) . a a a a0 0 0 02 1 1 2/

signe( ) signe( ) lima a un +&= =+ 33 ;

signe( ) signe( ) lima a u n&! =+

33

.

66. (un)nestpasmajore:SoitA R! , Ap up2;! .(un)estcroissante:n p u un p&H H .Pourtout ; ; ARn n p u un p2H H!donc AunH . A ;p n p un +&; H! ! 3 6@soit lim un +=+ 33

.

67. 1. estfaux.( ) n1 n nestpasmajoreetelledivergedonc ( )lim n1 n +!

+3

3.

2. lim un +=+ 33Supposons que (un) estmajore.Alors il

existe M R ;! ; , Mn unG! donc

; , 1 M ;n un + +g! 3 6@ ce quicontreditlhypothse.

68. 1. 5 ( 2 )lim lim limu n n + #= = 3car 2 0 1 .

2. limlimlimu

n3 02n

= = car 032 .

3. lim lim limu nn3 2 5 0n2 + + += = 3

car et3 2limlim nn2 + +== 3 3 .


71. 1. 3 ( 1)lim lim lim limu nn1n

2 + +=

01+ + += =3 3 .

2. lim lim limu 1 6 nn

= = 3 .

3. 1 lim limu 332

nn

n

n= ( )

)1 lim 3 32n

= ( ( )

3 1lim limn#=

car 0 et 132

322 1

car 3 1+ 2= 3 .

72. 1.n

1 3lim lim limu32 n + #= ( )

n

1 3lim lim32 = ( )

1 3 0lim 1 #= = .

car 132 0 1 1 .

2.( )

limlim

limu5 7

6n n

=

( ( ))lim lim5 7

6 0 n+

= =

car 7lim n = 3 .

3.1 1

1 1

4

3u

4332

43

4332

nn

n

n

nn

n

n

n

n

n= =

( ) ( )( ) ( )

0 0lim u 11n

& #= = .

73. 1. ( 4 )lim n n+ += 3

donc4

limn

1 0n+

= .

2. lim limu 9 10nn n

=

1 )( )10lim 109n n

= ( 1 )10lim lim 10

9n n#= ( ); E

1 10lim n#= = 3 .

3. 5 (5 5 1)lim limu nn 1 3 2 += 6 @

101 5lim n 1 +#= = 3 .


76. Soit ( )un valeurs dans ;a b6 @ quiadmet pour limite l, ( )Rl! et telle que

;l a bg 6 @ . Supposons l b2 , soit I un intervallecontenantltelque I ab+ Q=6 @ ,ilexistealorsun rangpartirduquel tous lesunsont contenus dans I et donc, aussi pardfinitiondans ;a b6 @ ,or I ;a b+ Q=6 @ .Cequiestdoncabsurde.Onconclutque: ;l a b! 6 @ . Supposons l a1 ,onfaitexactementdemme.

77. SoitA ;R lim u ln =+! 3

donc A ; Ap n p u l ln +&; H ! 6@ .

Posons M ( )max un n p= Get ( )minm un n p= G .





Metmsontdfiniset R! car ( )un n pG

estensemblefini(decardinal p 1+G ).Pour on M et .n p a u u mn nG G HPour on A et An p a u l u l n n+H G H ;donc; ,n!

( , A) (M, A)min maxm l u l n +G Gdo(un)estborne.

78. SoitA R! , Ap n p vn& 1; H! (car lim v 0n =+3

).

Parhypothse: q n p u l vn n&; H G! ;Posons ( , )axmr q p= alors

et An u l v vr n n n& 1H Gdo A pour toutu l n rn 1 H .Si alors 0 Au l u ln n 1H Gdo A , ; Al u l u l ln n+ +1G ! 6 6 .Si alors Au l u l 0n n 1G Gdo A , A ;l u l u l l n n+ 1G ! @ @ .Do A ; Au l ln +! 6@

A ; ; A )l l l l +,= 6 6@ @

A ; Ar n p u l ln +&; H! ! 6@do lim u ln =+3

.

79. ( )1 n estbornepar1et+1doncellenapasdelimiteinfinie.Or ( )1 n ne converge pas car ( )1 n alterneentre1et+1. ( )1 n estdoncdivergente.Onenconclutquelensembledessuitesdivergentesestdistinctdelen-sembledessuitesdelimiteinfinie.


83. 1. Pour 2, n nH ! ;0 1 ( 1)n n n 1 n+ +G G Gcar ( )1 1 1 nG G

donc( 1)n n n1

1 11

1 n+ +

G G

carx1estdcroissantesurR*+

donc 1

( ) nn

n

nnn

1 1

111

n++

+

+ +G G

car n 1 0+ 2 .

2.nn

n11

1

1++

+=

donc limnn

11 0

++

=+3

nn

nn

11

11

21

+

++

=

do0

0limnn

11 1

+

+= =

+ 33.

3. Par le thorme des gendarmes,on dduit que ( )lim u 1 0n =+3

dolim u 1n =+3

.

84. 1. On revient la dfinition dunelimitefinie:A R! , A ; A n p u l lp n +&; H! ! 6@or 2 donc 2n n n pH H donc A ; Au l ln2 +! 6@

2 1 donc 2n n n p1+ +H H

donc A ; Au l l2n 1 ++ ! 6@ .

etlim limu l u l2 2n n 1= =+ + +3 3.

2. a. unestbornepar1et1donc(un)napasdelimiteinfinie.

b. ( 1) (( 1) )u 1 1 22

nn n n2

= = = =

( 1)( 1) 1 1 1u 2nn

12

#= = =+ .

c. Supposons quil existe Rm! tel quelim un m=+3

.

Alors etlim limu u2n n2 1m m= =+ + +3 3(daprs1.)

donc 1 et 1m m= = cequiestabsurde.(un)napasdelimitefinie.

85. 1 1sinn +G G donc si sinn aunelimite,alorselleestfinie. (2 1)2 et sinsin u nu n2 2n n 1 +== + .

(2 )sin sinu u n n1 2 2 2n n1 +=+

2 2 1cos sinn n n n2

22

2 1 2+ + += ( ) ( ) 2sin cos n

21

214 +

= .

Daprscequiprcdesi lim un m=+3

alors lim limu u2n n2 1 m= =+ + +3 3;

doncenpassantlalimite42lim cossin n

21

21 +m m =

+3;

0 2 2lim sin cos n21

21+=

+3 ( )1 0 0car

21

21 1! r

etstrictementcroissantesur 0 ;2r8 B .

do 0=)2lim cos n 21+

+3 ( ( ) .Posons cosv n

21n = ( ) .

2 2cos cosv v n n21

21 2n n1 2 +=+ ( ) ( )

( )sin sinn2 221= .

Enpassantlalimite,ondduitque(2 ) 0 donc 0lim sin n m= =

+3

2 2 2cos cos cos sin sinn n n21

21

21+ =( )

( ( ))lim cos lim cos cosn n221 2

21+ =

+3 ( )( )lim sin sinn2

21

( (2 )) 0lim cos cos sinn021

21# #=

do 2 0 car 0lim cos cosn21!=

3.

; cos sinn nn 12 2+ =!donc cos sinn n2 2 12 2+ =(car2 n! ).Enpassantlalimite0 0 1+ = caronamontrque

2 0 2 0lim sin lim cosetn n= =+ +3 3

,cequiestabsurde,ilnyadoncpas Rm! telque lim un m=+3

.

(sinn)nadmetpasdelimite.

86. 1. u 01 = donc 0u 1 12

2 += = ;

u u 1 23 22 += = ;

u u 1 324 3 += = .

Onconjecture:u n 1n = .

2. u11 0 0 1= = = doncP(1)estvraie.P ( ) :n u n n1 1n H= .

Alors u u 1n n12 +=+

( )n 1 1 2 +=

1 1n n += = ,

donc si P(n) est vraie alors P(n+1) estvraie.La conjecture est dmontre par rcur-rence.

3. lim limu nn += =+ + 33 3.

87. ( 1) ! !u u n n n 1n n + #=+ ! ( )n n 1 1+= ! 0n n# 2= ; *n! .(un)estcroissante.Laxiome dArchimde montre que n!nestpasmajore.A , 1 et 1 0R R 2! ! donc il existe

tel que 1 Ap p# 2!! Ap p2 2 donc comme (un) est crois-

sante, n ! !p n p&H H do !n A2 pourtoutn pH .(un)estcroissanteetnonmajoredonclim un +=+ 33

.




6. partir de suites arithmtiques ou gomtriques

88. 1. P(0): 0u u r0 0 + #= doncP(0)estvraie. Hrdit:supposonsqueu u nrn 0 +=alors u u r u nr rn n1 0+ + += =+ ( )u n r10 + +=doncP(n+1)estvraie.

2. Silepremiertermeestu1,ondcalelaproprit de 1, soit ( 1)u n r u 1n += pour et 1Ru nH! .

P (1) : ( )u u r1 11 1+ + "P(1)estvraie.P(n) donc u u rn 1 1 +=+ ( )u n r r11 + += (( ) 1)u n r1 1 + += ;P(n+1)estvraie.

3. Ongnralise:Pour , , ( )n p n u u n p rn p +H =! .P(p): ( )u u p p rp p += ;P(p)estvraie.

Hrdit: ( )u u n p rn p +=

donc ( )u u r u n p r rn n p1 + + += =+ (( ) )u n p r1 p + += .P(n+1)estvraie.

89. 1. P(0): 1v v v q0 0 00

# #= = doncP(0)estvraie.

Hrdit:P(n):v v qnn

0=

v v q v q q v qnn n

n1 01

0#= = =++

$ $ $ ;P(n+1)estvraie.

2. P(n)devientv v q1nn 1

= pour .n 1HP(1): 1v v v q1 11

1 1#= = $ ;

P(n+1)estvraie.

Hrdit:Supposonsv v qnn 1

1

#= ;v v q v q q v q( )n n

n n1 1

11

1 1 # # #= = =+

+$ ;

P(n+1)estvraie.

3. pourv v q n pnn

pp H=

P(p): 1v v v qp p pp p

#= = .

Hrdit:v v q v q q v )(n p

n p pn p

n1

1 #= = =+

+ ;P(n+1)estvraie.

90. 1. Leslignesdmasquessont:SprendlavaleurS u+uprendlavaleuru r+ .2. Ilyaeffectivementplussimplepuis-quonconnatuneformuleexplicite:Pour n! et ( )un arithmtiquederai-sonretdepremiertermeu0 ,ona:

( 1)u n u nr2kk

n

00+ +=

=

( )/ .

Dolalgorithme:

variables

nentiernaturel

u0 unrel

runrel

Dbut

Saisirn

Saisisru0Saisirr

Afficherlasommevaut

Afficher ( 1) ( )/2n u n r0+ +) ) .Fin

91.1. Leslignesdmasquessont:SprendlavaleurS u+uprendlavaleuru q)2. Onreprendlemmealgorithme,mais

aveclaformule u uq

q1

1

k

k

n n

00

1

=

+

=

( )/ .Donc,seullaffichageestmodifi.

92. 1. 9 10u1

ni

i

i n

#==

=/ Somme de la suite gomtrique

nv v

101

0n = ( ) .2. 9u 9

101

1

i

n

i

i

n

+ #==

=

( )/

91

1

101

101

n 1

#=+

99

10

1101n 1

#=+

.

110

10u 1 9 1n n

#=+( )

10 9 1 101

101

n n#= = .

3. 1lim limu101 1 0 1 n n= = =+ +3 3

donc , !0 999 1=

93. 1. u100127

ini

i n

1#=

=

=/ .

2. u 2710027 27

11001

1100

1

n

i 1

i n

i

n 1+ ==

+

=

=/ .

9927 100

100100

n 1=

+( ) ;

dou9927 100

1001 27 n n= ( )

.9927 100

1001 99

9927

99 10027

n n#= =( ) 3. lim limu

9927

9927

100

19927

9927 0 n n #= =+ +3 3

.

9927

113

= =

do0,272 727113f = .

94. u ab1001

ni

i n

i0

#==

=/ .100u ab ab ab

100

199 100

100ni

i n

i n0 1+ #= =

+=

=

( )/ .u ab ab

99100

100

1 9999

1100

1 n n n=( ) ( )ab ab99 99 100

n#

= .

1 1lim100

1n

=+3 ( ) donc lim u ab99n =+3 .

95.1 00

u abc01

ni

i n

i1

#==

=/ .

u abc abc1

1001

11000

1

n

n 1+ #=

+

abc99

100010001

n#= ( ) ;

dou abc999

100010001 999 n n= ( )

abc999

110001

n= ( ) .

lim u abc999n

=+3

.

96. 1. u u u6 9 36 18 18 1 02 = = = ;6 9 618 6 9 54u 3 # # #= = = ;

u 6 954 18 9 18 1624 # # #= = = ;u 6 9 9162 54 54 4865 # # #= = = ;

6 486 9 162 9 162 1458u 6 # # #= = = .

2. Onconjecture 3u u u2 3 nnn

0#= = .

3. P (0) : 1 3u u u0 0 00# #= = .

P (1) : 2 3 2 3 3u u11

01# # #= = =

P(0)etP(1)sontvraies.

Hrdit:u u u6 9 n n n1 1# #=+

( ) ( )u u6 3 9 3 9 3n n n01

00 1 # # #= =

u 3 1n0#=+ ;P(n+1)estvraie.

97. 1. vu

u

3

1n

n

n1

1

1

+=+

+

+





u

u u

u

u u

4

2 3 3 12

4

2 3 4

n

n n

n

n n

+

+ + +

+

+

=

4

u

u

u

u1

54 15

n

n

n

n

+ +

+#=

( )u

uv

5

1

531

n

nn+

= = .

Onpeutsimplifierpar 4un + car u 0n2

(parrcurrence)pouru 1nH n

;v v51

n 0= ( ) 0 3

v 0 10 += .

2. Dov3151

n n= ;v

u

u

3

1

31 15

n

n

nn+

= =

do ( 3)u u3151 1 n n n

+ = ;

donc1 uu

51

315

n n n

n+=

soit1

1u

3151

51

n

n

n

+= .

3. 051 111 donc lim v 0n =+3 et aussi

lim v 1n =+3.

98. 1. a. 1,05 12000 12600u1 #= = .b. (1,05) 12000un

n#= ; 17729,47.u8 =

c. 120001 (1,05)

1 (1,05)132318,77.u

k

9

0

8

#= =/2. a. 12000 750 12 0v 751 += = .b. 12000v 750n n+= ;

12 750 8 18000000v8 + #= =

c.( )

.v 9 1000 7502

8 8 1135000i

i

i

0

8

++

# ##

= =

=

=/3. Lecontrat1estplusavantageux.

99. 1. Parrcurrence:v R0! ;P(0)estvraie.

Hrdit : v v32 11 nn =+ . Comme

Rvn! , v32 1n aussidonc Rv 1n + ! .

( )vn estdfiniedansR.Ondmontre lammechosepour ( )wn avecw 30 = .

2. 2 6 2 6w v v34 1 1n n n+ += =+ +

(2 6)v w32

32

n n+= = .

Donc ( )wn estgomtriquederaison32et

premierterme3.

3.n

3w32

n #= ( ) do 0 0 1lim w 32n 1 1=+3 ( ) .n

3 3w

v2 2

332 n

n= = ( ) do lim v 3n =+3 .

4.k

n 1+

3 31

1S w

32

32

32

n k

n

0# #= =( ) ( )/

1n +

9 132= ( ( ) ) .

Do 9Slim n =+3.

100. 1. a. u 10 = ; u u21 1 1

211 0 += = ;

u u21 2 1 1

412 1 + += = ;

u u21 2 1

85 1 03 2 + + H= = .P(3)estvraie.

Hrdit:supposonsP(n)vraie ( )n 3H :

u u n21 11n n +=+ ;u 01n H+ car u2

1 0nH

(hypothse)n 1 0 H pourn 9H .P(n+1)estvraie.b. P(4):u 4 24H .On a u 03H car 3 3H et 1. a. donc

u21 03H .

Ona3 1 2 H doncu u21 3 1 24 3 + H=

doncP(4)estvraie.Hrdit : P(n) est suppose vraie :u n 2nH pourn 4H .

u u n21 2n n1 +=+ .Or u2

1 0nH (1. a.)

et 4 2n n 2&H H , donc u 2n 1H+ .P(n+1)estvraie.c. ; n! ,n 4H ,ona:u n 2nH .Comme lim n 2 +=

+33 alors lim n +=

+33 .

2. a.

8( 1)4 nv u 1 nn 1 +=+ +

2 4 4 8 8 24u n n n+ +=

2 4 12 (4 8 24)u u n21 n n n+ += =

v21

n=

(pourtout n! ).( )vn est gomtrique de raison 2

1 et de

premiertermev u4 8 0 24 280 0 +#= = .

b. ( 8 24) 2 6u v nv

n41

4 n n

n+ += =

28 2 6 2 6n n41

21

27

n n+ += =( ) .

c. Onposen

7x21

n #= ( ) et 2 6y n n = .( )xn estunesuitegomtriquederaison

21 etdepremierterme7;

( )yn estunesuitearithmtiquederaison2etdepremierterme 6 .

d.

n 1+

71

114 1x

21

21

2

1

0 1i

i

i n

n#= =

+=

= ( ) ( )/

( 1)6( 1) ( 1)( )2

n nn n ny

26 i

i

i n

0

++ +#= =

=

=/DoS ( )( )n n14 1

2

1 1 6 n n 1 + += +( ) .101. 1. tn

nm= .( ) E 0,24t 1 1n n nn =&m m m

+! ( , )0 24 0 n 1 2+ m m m = 0,24 02+ m m = car 0!m + m estunesolutionde

,x x 0 24 0 2 = .Supposons que m est une solution de

,x x 0 24 0 2 = .Alors ,0 241n n n 1m m m=+ pour toutn 1H .En posant tn

nm= on obtient,t t t0 241n n n 1=+ ;donc ( ) Etn ! .

2. (1,2) ( 0,2)u nn n+a b= .

Siu 60 = alors6 ( )1+a b= .

Si ,u 6 61 = alors6,6 , ,21 2 0a b=

( )56

51

533 2a b= =

33 6 6 6 ++ a b a a= = (daprs(2)).

739a = donc

73b = ((1)).

(1,2) ( 0,2)u739

73 n

n n+= .

3. ,1 2 12 donc ( , )739 1 2 n divergevers

+3 .0,2 1 1 donc ( , )

73 20 n divergevers0.

Parsommedeslimites,onobtientlim un +=+3 3 .

102. 1. a.

a3 a1a2a0 a4

a5

a6

x

0 1

b. aa a

2 21

21 0

= =

aa a

a2 4

3123

2 += =

aa a

a2 2

41

21

85

42

23 + += = =

aa a

a2 16

185

16113

54

4+ += = =

aa a

a2

132 16

113223 4

65

5+ += = =

c. A 2n + est le milieu du segmentA A 1n n +6 @ entermedabscisse( )ai celase

traduitparaa a

21nn n 1+

=++ .

2. 1a1 = et1 1a

2 0 = donc 1a

a

21

0= ;

P(0)estvraie.




Hrdit : P ( ) : 1n aa

21n

n=+ donc

( )a a2 1 1n n= + .

1aa a a

a2 2

2nn n n

n1

11 + += =+

+ ++

a1

2 n 1= + ;

P ( 1)n + estvraie.

3.v a a a v

32

21

31

21

32

21 n n n n n1 1 += = = =+ + ( ) .

( )vn estunesuitegomtriquederaison

21 .

4.Comme21 1 1 , lim v 0n =+3 ;

n.v

32

21n = ( )

v a32n n= donca v 3

2n n += donc

lim a32

n =+3.

7. Convergence monotone

103. a. Faux :n11 ( ) est croissante

(strictement)ettendvers1.b. Faux: ( ( 1) 2)n n+ # tendvers+3maisnestpascroissante.

104. ( )un eststrictementcroissantecar10u u p1n n n

1n+=+{ + o pn est le

ne nombrepremier et 1n{ + la sommedes nombres de chiffres utiliss pourcrire les 1n + premiers nombres pre-miers,cest--direlapositionaprslavir-guledu ( )n 1 e+ nombrepremierdanslenombredErds.( )un estmajorepar1car ,u 0 9 9n gG .( )un estcroissanteetmajore,elleadmetdonc une limite finie, elle converge versunelimitefinie.

105. 1. ,u u 1 9 335 555n n1 g g=+

fois

,0 0 0 19 945 0fois ( )n n 1

g f 1=:





n y

oui

non n = n + 1n = M1 + x

Afficherx.

110. 1. a.x 0 8

( )f x

1( ) , ,f x x1 4 0=( ) 0 sur ;f x 0 82 6 @

b.

8 14v6v5v4v3v2v1v00

8

y

x

v7

v8

v9

v10

y = x

y = 1,4x 0,05x2

c. Onconjectureque (vn) est croissantedelimitefinie8.

3. 2 ; 2, ;v v1 60 = = 2 v v 80 1G G G ;P(0)estvrifie.

Hrdit:SupposonsP(n): v v2 81nnG G G+ .

Parhypothse,ona: v2 n 1G +De mme v 8n 1G+ et comme f est

croissantesur ;0 86 @ ,

( ) ( )f v f 8n 1 G+soit ( )v f 8 8( 1)n 1G =+ + .

Enfin, ,v v v v v1 4 0 05 2 1 1 1n n n n n1

2=+ + + + +

, ,v v0 4 0 051n n 12

= + +

car v v0H !

(0,4 0,05 )v v1 1

;

n n

0 81n n1

= + +

+ +

0H 0H6 @

:




+ n

+ nq

q

qq

q

2 n

n

02

10

02

11

0

=

+

m ( )m ( )

Comme et 0,q q qq

q12 2

2

111 2 1

donc 0=n

limq

q

2

1

+3 ( )do

1lim qu

uq

251

2n

n

02

0 +#n

n= = =

+

+

3 ( ) .112. 1. Pourtoutn 1H ,H H .0n n1 2+2. Hn estmajore.3. Lalgorithme permet le calcul dunentierptelqueH MpH .4. Les entiers p sont extrmementgrands.5. On est tent de conjecturer que

Hlimn n

+=+"

33

maissanscertitude.

6. a. ( )u2n est extraite de ( )un donc, siIun! alors Iu2n! ,dufaitque n2

nH .

b. Si ( )u2n neconvergepas,alors ( )un neconvergepas.c. Un raisonnement par rcurrence per-metdtablirqueH n1

22n +H .

7. Donc: Hlimn 2

n +=+"

33

etdonc

Hlimn n

+=+"

33

.

113. 1. ( 1)u21

41

21

41

43 2 +#= = = .

Donc ( )un nestni arithmtique,ni go-mtrique.

2. a. ( 1) 1.v u u21

21

21 0 1 0 #= = =

b. .v u u u u u v41

21

21

41

21 n n n n n n n1 1 1 1= = =+ + ++

c. Donc ( )vn estgomtrique.

d. Pourtout n! ,v21

n n= .

3. a. wv

u

11 1 0

0

0= = = .

b. wv

u

u u

v u

2121

1

1

1

nn

n

n n

n n

1

2

+= =+

+

+

+ +

v u u v u

v u

21

41

21

41

21

n n n n n

n n

+

+=

2 2u u

v u

v

uw

2121

1n n

n n

n

nn

2

++ += = =

+ +

.

c. Ainsi( )wn estarithmtiquederaison2.d. Pourtout n! , 1w n2n += .4. Donc,

(2 1)u w v n n21

22 1 n n n n n# #= = = .

5. Immdiat.

114. 1. p0 est la population en 1969exprimeenmilliers.Parhypothse: p 445000 = .

2. Pardonnes,

251000

p p pp100035 17 9 n n nn 1 + +=+

1,018p 16n += .

3. On cherche l tel que u kun n1 =+ avec u p ln n=

1,018u p l kp kl16 n n n1 += =+

Onobtient 1,018 etp lk9

8000n= = .

4. pu9

8000n n += et

(1,018) 44500 1,018u u9

8000n

n n0 += =( )

( , )p u l u 1 0189

8000n nn

0+= =

,445009

8000 1 0189

8000n+= ( ) .5. Populationen2012:

,p 445009

8000 1 0189

80004343+= ( )

96858. .

6. p p3m 0=

3 44500 44500 1,0189

80009

8000m++ # = ( )1

1,018 133500 445009

80009

8000m + ++ = ( ) ( )), 133500 44500ln ln lnm 1 018

19

80009

8000+ ++ = ( ( ( )m 61+ . .

La population en 2030 sera le triple decellede1969.

115. a. w w10 11 110 9 += 209 1 210+= =do w 2110 = .

b. Onconjectureque 1w n2n += (P(n)).

c. 2 01 1w0 + #= = ;P(0)estvraie.

Hrdit:Supposonsque 1w n2n += .Alors ( 1) ( )2n w n w 1n n1+ + +=+ 2 2 1n n n42+ + + +=

do2

wn

n n

125

23

n 1

2

+

+ +=+

( )

n n223 2 3+ += =( )

( )n2 1 1+ += ;

P(n+1)estvraie.

d. w 1 2 2013 40272013 + #= = .

116. 1. 1 0 2u31

35 1 +#= = ;

2u u31 1

914 2 1 += = ;

u u31 2 142

27 3 2 += = .

2. 2 13u u31 0

8114 4 3 + H= = .

Hrdit:SupposonsP(n)vraie:u 0nH avecn 4H .

Alors u u n31 2n n1 +=+

donc u 0n 1H+

car 0u31

nH et n 2 0 H pour n 4H ;

P(n+1)estvraie.

3. Ona u 0nH et u u31 4 25 n +=

donc u 4 2 2 5 3 5H = =

P(n)estvraiepour n 5= .

Hrdit:Supposons u n 3nH pour ,n n 5H! .

Alors u u n31 2n n1 +=+

donc 2u nn33 n 1 +H+

u n n3

3n 1 +H+

donc u n 2n 1H+ carn3 3

5 1H H

pour n 5H( )u n 1 3n 1 +H+ ;P(n+1)estvraie.

4. Onsaitque ( 3)lim n +=+

33

,onen

dduitque lim un +=+ 33.

117. A. 1. u1 13 1112 1

5

12 0 0+ += = =P(0)estvraie.

Hrdit: Supposons que pour n! ,P(n)estvraie.

u u154

51

5 54

512

n n n1 1+ + += =+ +

1512n 1

+=+

.

P(n+1)estvraie.

2. a. S S u u n

k

k n

n n k kk

k

10

1

0=+

+

=

=

=

=/ / 1u

512 01n n 1+ H= =+ + .

doncS(n)estcroissante.

b. S 1 ( 1)n5

12

5

12k

k n

k

k n

n k k0 0

+ + += ==

=

=

=

( )/ /

n 1+

( 1) 121

1n

51

51

+ + #=

( )





En route vers le bac (p.48-49)

120. Onposepourtout n! ,P : 7 2u ( )n n

n 8#= + . P(0)estvraie,caru 10 = ; Soit n! telqueP(0)estvraie.

( )u 2 7 2 8 8 7 2 8 nn n

11+ +# #= =+

+

doncP( )n esthrditaire.Onconclut.

121. Onprocdecommepourlexerciceprcdent:soit n! tel que 2u

3 11n n

+= ,alors:

2 2 1

5 2 4u

3 11

3 11

n

n

n

1

+

+=+

( )( )

3 3 1

(6 3 2) 12

3 11

n

n

n 1

++

#

#= =

+.

Deplus,u25

1 = .

122. Vrai.Vrai.Vrai.Faux ( )u nn = .

123. 1.

Dbut

Uprendlavaleur1

SaisisN

PourIallantde0N1,

de1en1

Uprendlavaleur

U 2 I 3+ +#

AfficherU

FindePour

Fin

VariablesUunrel

Nunentier

Iunentier

3. Onobtientalors:u 10 = ; u 41 = ; u 92 = ; u 163 = ;u 254 = ; u 365 = ; u 647 = ; u 818 = ;u 1009 = etu 12110 = .4. Soit n! , 2u u n 3 0n n1 + 2=+ ;(un)eststrictementcroissante.5. a. u 10 = doncu 00

22 ;soit n! telqueu nn

22 ;

alors ( )u n 1n 12+2+ ,

(car 2u u n 3n n1 + +=+ donc

2 3 2 )u n n n n 1n 12 2+ + + +2 2+ .

b. Do: ( )lim un n

+=+"

33

.

6. On montre sans difficult que, pourtout n! , ( )u n 1n

2+= .

124. 1. u 40H ;u u4 12 4n n +&H H , car u u7 estcroissantsur 4 ; +36 6 .2.

0

4

4- 12 8x

y

( )un semble converger vers 4 en tantdcroissanteetminorepar4.3. a.Soit n! ,u u4 12 4 n n1 +=+ ;

1 15 1n51n 1

+ + +#=+( )

n5

16 3n

+= .

c. ( 16)lim nn

+ +=+

33

et =3lim51 0

n

n#

+3 ( )donc Slim

n n+=

+3

3.

B. P1 est fausse : x 1n = (xn) convergevers1mais 1S nn += tendvers +3 .

P2 est fausse : x21n

= (xn) est dcrois-

santeet(Sn)estcroissante.

118. 1. Siu0estpair, ilexiste k! telqueu k20 = ;

do 2 ( )sinsinu k k2

01r r= = =( ) .

Ilestalorsclairque u 0n = pour u 1H

car sin sinu u2

0 0 2 1r

= = = ;

sin sinu u2

0 0 23r

= = = ;

(ourcurrence).

2. Soitu0 impair: ilexiste k! telque2u k 10 += .

(2 1)sin sinu k k2 2

1 + +r r r= =( ) ( )

donc 1 ou 1u 1 = ;P(1)estvraie.

Hrdit: ;u 1 1n! " , .

Alors sinu2

1nr

=+ ( ) ou sinu

2n 1

r=+ ,

donc ouu 1 11n =+ ,

;u 1 1n 1+ ! " ,

P(n+1)estvraie.

3. sinestvaleurdans ;1 16 @ donc(un)estvaleurdans ;1 16 @ .

Partie B.4. a.

x2

r 02r

sinx1

0

1

dox 1 0 1

sin x2

r1

01

b. Pour 1, ;n u 1 1nH ! 6 @ .

Pourtout n! :( , 1) ( , 1)min minu u u0 n 0G G

donc(un)estborne.

c. (un) est donc convergente si et seule-mentsielleestmonotone.

5. a. Pourtout ; ;x 1 0 0 1 ,! 6 6@ @ ,

; 0 0 ;x2 2 2

,r r r! 8 8B B .

Orsur ;2 2

r r8 B sinxestnulseulementen

0et sin x 1= seulementen2

r et2r ;

donc ( ) ; ;f x 1 0 0 1 ,! 6 6@ @ .

b. P(0)estvraiepardfinition.

Hrdit: supposons P(n) vraie: un nestpasentier.Alors

; ;sinu u2

1 0 0 1 n n1 ,r

=+ !( ) 6 6@ @puisqueunnestpasentier;P(n+1)estvrifie.

6. a. partir du tableau en 4.a., ondduitque ( ; ) ;f 1 0 0 1 =6 6@ @ et

( ; ) ;f 1 00 1=6 6@ @ .

b. ( )u f un n1 =+

doncsi u 0n2 alors u 0n 11+ et ( )u f u 0n n 12 2=+ + ;

etsi 0un1 alors 0un 12+ et ( ) 0u f un n2 1 1=+ + .

Donc(un)nestpasmonotone.

7. Onestencontradictionaveclacondi-tion ncessaire en 4.c. donc (un) neconvergepasquand u0g .




soit 4uu

u

12 4

4

n

n

n1

+ +=+ ;

avec u 12 4 0n + H H

do0 4 ( )u u41 4 n n1G G+ .

b. laide dun raisonnement par rcur-rence,onendduitque:

1n 0 4 .u

41nG G( )

4. Lethormedesgendarmesapportelaconclusionsouhaite.

125. Soit x 0H et k x2 ( )k! donck 1H .a. Pourk n= cestvident.

Soitk nG fixtelque! !k

kkkn kG ;

onsaitquen kH doncn k1+ H etdonc

0nk1

1+

1 G .

Ainsi! !n

knk

nk

1

n n

+# G( ) ;

soit( )! !nk

nk

1

n n1

+G

+.

b. Soitn kH , #n

! ! !nn

kn

nk

kn

nkn

n

n n n#= = ( )

et ce qui prcde fournit la majorationattendue.c. Vuquek x2 alors 0=

nlim

kn

n +" 3( )onpeutdoncconclure.2. a. Soitn 2H

! 11

nn

nn n2

( 1) facteurs

n

n

1

# ## # ##

ff

=

6 7 844 44

1 n nnn

2 3# # # #f= ( ) ( ) ( ) .

Ainsi,!n

n 1n 1H ,pourn 2H .

b. Soitn 2H .

! !nn n

nnn n 1

#= .

Ainsi,!n

n nnH .

Do!

limnn

n

n+=

+"3

3( ) .126. a. Vrai. b. Faux. c. Vrai.

127. a.Faux. b.Vrai. c.Faux. d.Faux.

128. a. Faux. b. Vrai. c. Vrai.

129. a. Vrai. b. Vrai. c. Vrai. d. Vrai.

130. a.Vrai. b.Faux. c.Faux. d.Faux.e. Vrai.

131. Soit l1 et l2 deux rels tels quel l1 2! .Soitalors I1 et I2 deuxintervallestelsque

II

ll1 1

2 2

!

!3 et I I1 2+ Q= .

(Cestpossiblecar l l1 2! .)( )un converge vers l1 donc tous les un sont contenus dans I1 partir dun rangN1 .( )un converge vers l2 donc tous les un sont contenus dans I2 partir dun rangN2 .Conclusion:partirdunrangsuprieurougal aux rangs N1 et N2 , les un sontcontenus dans I1 et dans I2 . Ce qui estabsurdecar I I1 2+ Q! .132. Soit ( )un telleque:

( ) est dcroissante ;limu

u 0n

n

n

:: =

+" 3) .

Supposonsquilexisteu 0p1 .Soit IunintervallecontenantOmaispasup .Ilexisteunrangqpartirduqueltousces un sont contenus dans I.Or partirdun rang suprieur gal p etq, les un sontdanslesintervallesIet ; u p3@ @ (car( )un estdcroissante).Cequiestabsurde.

133. 1. Il existe deux rangs N1 et N2 telsque: partir du rang N1 tous les un sontcontenusdansI; partir du rang N2 tous les wn sontcontenusdansI.2. PrenonsunrangNsuprieurougalN1 etaussiN2 .Alors,partirdecerangN,lesun etlesvn sontcontenusdanslin-tervalleIdoncaussitouslesrelscomprisentre euxdeux.Ainsi, partir du rangN,lintervalle ;u wn n6 @ estinclusdansI,donc

Iwn! ,cequelonvoulait.

134. ( 1)k kunk

k n

0+=

=

=/ ; 0 0(0 1 (0 2))u30

+ += = , P(0) est

vraie.

Hrdit:SupposonsP(n)vraie;

( )( ) ( )( )( )( )

u n n u n nn n n

1 2 1 23

1 2n n1 + + + + + +

+ += =+

( )( )( )( )( )

n n nn n n

1 2 13 3

1 2 3+ + +

+ + += =( )

( )(( ) (( ) )n n n

3

1 1 1 1 3+ + + + += ;P(n+1)estvrifie.

135. u 10 = ;u

u1 11

21

1

0

+= = ;u

u1 11

31

2

1

+= = ;u

13

11

41

3

1+

= = .

P ( ) :1

n un

1n +

= ?

Hrdit:Onsupposeun 11

n += .

Alors1

1 1P ( 1)u

un

n1

1 1n

n

1+

+ ++&= =+ estvrifie.

136. P(0):1 1 20H = doncv 200H ;P(0)estvraie.

Hrdit:Supposonsv 2nnH .

Alors 1vvn n12 +=+ .

(2 ) 1 2 1v 2 1nn n n

12 2+ +H H=+

+ pourn 1H .

si 0(2 ) 1 2 2n 20 10 2 + H= = =+ .

v 2 1nn

1H++ .

137. wn estunquotientdefacteurspositifsdoncw 0nH .2

11

1n

n nn

nw

121

43

0

n 2

2

2++

+

+H= =

( )donc1 wnH .

Accompagnement personnalis (p.50-51)





138. 3 4x 11 += = donc0 x 41G G ;P(n)estvraie.Hrdit:Onsuppose0 x 4nG G .

3 4xx 0n n1 + H=+et3 0 4 3 4 3 4x 164n+ + +# #G G =

do 3 4x4 16 4n +G G = donc x 4n 1G+ ( estcroissante).Do0 4xn 1G G+ ;P(n+1)estvrifie.

139. 1

n nn

nw1

1

+

#=

( ).Pour *n! ,w

nn1

11

+= .

lim lim limnn

nn

1 1+ + += =+ + +3 3 3

3( ) donc lim w 0n =+3 .

140. 4 44

4x x

x

x3 4

3 4

3 4 1 n

nn

n 1

++ +

+ +#=+

+

,

car 4 04 3 4xn+ + 2H .

4 4

( )3

x

x

x x

x

16 3 4 4

4

43

n

n

n

n n

1 1+ +G= =

+ +

carx 0n 1H+ .

4 4 4 4x x xx43

43 n n n n1 1+G G+ + car0 x 4nG G .

04 5 5x

43 0 #G= ( ) nP ( ) : 4 5n x 4

3 n #G( ) estvraiepourn 0= .

Hrdit:Soit n! ,onsupposeP(n)vraie.

Onsaitque 4 4x x43 1n nG+

donc x49343 5

43 5 n

n n

1 # #G =+ ( ) P(n+1)estvraie.Comme ;

43 0 1! 6 6 , nlim

403 =

+3 ( ) donc lim x 4n =+3 .

141. a 00 = ; 2 0 1 1a a1 0 + +#= = ; 2 1a a 42 1 + += = ;1a a 4 93 2 + += = ;a a 16 164 3 + += = .

P ( ) :n a nn2

= .P(0)estvident.Hrdit: Soit n! , on suppose a nn

2= ;

1 2 1 ( 1)2a a n n nn1 nn2 2+ + + + += = =+ ; P ( 1)n + est

vrifie.

142. b 00 = ; b 0 1 112 += = ; b 1 1 22

2 += = ; 2b 1 523 += = ;b 5 1 264

2 += = .P ( ) : 1n nbn +H .

5 3 1b3 +H= doncP(3)estvraie.Hrdit:Soit n! ,n 3H ,onsupposeP(n)vraie:

( ) 1 ( 1) 1 2 1b n n nbn n12 2+ + + + +H= =+

( )n n 2 1+ +=donc ( ) (( ) 1n nb 2 1 1n 1 + + + +H =+ car n 1H pour n 3H ,donc ( 2) 2n n n+ +H .

(1 )lim n+ +=+3

3 et nb 1n +H .Onendduitque lim bn +=+3 3 .

143. Soitun 1+ lintersectiondelatangenteen ( , ( ))u f un n aveclaxedesabscisses.festdrivablesur 0, +36 6 donc: ( ) ( )f u u

fu

u 0

n nn

n

1=

+

u uu

u

2

2

n n

n

n1

2

=+ (u 0n! car 0 ;un +! 3 6@ )

do 1u uu

u

u

uu

u21

21 2

2n n

n

n

n

nn

n1 + + += = =+ ( ) .

1. 1 2 41 1 donc 1 2 411 car estcroissantesur0, +3 6@ do 21 21 1 .2. )(un estdfiniesiu 0n2 pourtout n! :u 2 00 2= doncP(0)estvraie;Hrdit:Supposonsu 0n2 pourndonn.

Alors 0u uu2

1 2n n

n1 + 2=+ ( ) P(n+1)estvraie.

3. P(n): u 21 nGG P(0)estvraiecar1 u 00GG ( )u 20 = .

Hrdit:Onsupposeque1 u 2nGG pourndonn.

u uu2

1 2n n

n1 +=+ ( ) donc 1 u2 2nG G car u2

1 1 1n

G G et alors

1 1 2 2uu2

nn

+ +G G do 1 1 2 2u2 2n 1+ +G G+ ,

1 u 2n 1G G+ ;P(n+1)estvrifie.

4. u uu u

u

u

u u2

21 2 2

2

22

2

2 2

n n

n n

n

n

n n1

2 2 2

++ +

= = =+ ( )

2 ( 2 ( ))u

u

uu

u

u u

22 2

2

2

n

n

nn

n

n n2 +

= =

( ) ( )uu

uu

u

u2 1

2

22

2

2

n

nn

n

n= =( )

( )

u

u

u2

2

21

n

n

n

2

#= .

Comme 1 ( )u

u1 1n

nG H onadonc( )

uu

22

2

n

n1

2

G+ .

5. Lcartdunterme 2 estinfrieurlamoitidelcartaucarrdutermeprcedentracinede2.Dsqueu 2n devientinfrieur1,lcartdiminuedautantplusvite.puisque ( ( ))u u2 2 n n

2G .

6. Rcurrence:P ( ) :n u 221n n 1G .

P(0): 2u 2 2 2 1 1 0 G == car 2 1H .

2

1 12 10

= doP(0)estvrifie.

Hrdit:SupposonsqueP(n)estvraiepourunndonn:

Onavu: ( )u u221 2 n n1

2G+

donc ( )u u221 2

21

2

1 n n12

2 1

2

1nG G+ +( )

221

2

121

2

1 12 1 2 2 2 1 1n n n 1

= =+ +( )

do u 22

12 1

n 11n

G+ + doncP(n+1)estvrifie.

( )un convergevers 2 car 0lim2

12 1n 1

=+ +3

.

7. Pourtre10 10 prs,ilfaut2

1101

2 1 10nG




do2 102 1 10nH soit (2 1) Z 10 10ln lnn H

do2 1lnln2

10 10n +H

10 10 1

ln

lnlnln

n22

+H

( ).

144. I. 1. ( ) ( )w w v u v u n n n n n n1 1 1=+ + +

( ) ( )v v u u n n n n10

10

car ( ) car ( )v un n

+=G G

+ +

3 3

doncw w 0n n1 G+ ( )wn estdcroissante.

2. lim w 0n =+3 ( )wn dcroissante donc 0wnH (sinon il existe

p! telquew 0p1 etalorspourtoutn pH , ww 0n p1G ).3. ( )lim lim limv u v u0 n n n n= =+ + +3 3 3

do lim lim vun n=+ +3 3,

w 0nH donc uvn nH etcommeu un 0H , uvn 0H .Donc ( )vn estdcroissanteetminore:elleconvergeieilexiste

Rm! telque lim vn m=+3.

De mme ( )un est croissante et majore par v0 , donc elleconverge.Commeonavueque lim limu vn n=+ +3 3

,alors( )un et( )vn converge

versunemmelimitefinie.

II. 1.(1 )!n

u u 1 0n n1 +2=+ pour tout * ( )n un"! est

strictementcroissante.

(1 )! ( 1)( 1)! ! ( 1)( 1)!

( 1) ( 1)v v

n n n n n n n n

n n n n1 1 1

1n n

2

++

+ + + +

+ + += =+ :

( 1)( 1)!n n n

1 0+ +

1= pour tout * ( )n vn"! est

strictementdcroissante.

2.!

un

vn1 n n = :

donc ( )lim u v 0n n =+3.

De1. et2. ondduitque ( )un et ( )vn sontadjacentes.

3. a. u enG pourtout n! car ( )un estcroissanteet tendverse.Demme, evnH pourtout n! .Donce u 0 nH et ev 0n H pourtout n! .

. !v u

n nv e e u1 n n n n

0 0

+= =H H

:




I. 1. (u2n)estlasous-suitedestermespairsde(un).(u 1n2 + )estlasous-suitedestermesimpairsde(un).

2. Si(un)admetunelimitefiniel,ilestclairque(u2n)et(u 1n2 + )convergentverscette limite(enappliquant ladfinitionmmedelalimitefiniedunesuite).Supposonsque(u2n)et(u 1n2 + )ontpourlimite Rl! .Alorspourtout Rf! ,ilexistepetqtelsque: pourtout 2n p u l2nH Gfetpourtout 2n u lq1 2n 1+ H Gf+

Enposant ;maxrp q2 2

1= ( ) ,onobtientdonc

pourtout n u lr nH Gf

donc lim u ln =+3.

Application:n

( ) 1 carq q q 12n 2 2H H=n

( ) 1 car 1 et 1q q q q q 2n 1 2 2G H G=+

donc 1 et 1lim lim qq 2 2n n 1H G+ +

+

3 3

donc lim limq qn n2 2 1!+ +

+

3 3

do(qn)neconvergepasversune ;Rlim l +,! 3 3" , .

II. 1. uu

au b

b

dbcu bd

adu bd

c d 1

1

nn

n

n

n1 +

+

+

+= =+ ,

doncsi ad bc 0 = alors ad bc= do udb

n 1 =+ .

Onmontrealorspar rcurrenceque (un)estconstanteen db

partirdurang1.

2. Lessolutionsde(E)sontlesabscissesdespointsdintersectionde:

: ( )y f x= =cx dax b

++

et: y x=J

L

KKKK

1

2

.

3. ( )xxax b cx d x bc d

a 0 2++ ++= = sur \R

cd( )' 1

Ledterminantdecepolynmeest ( )d a bc4 2 +T=

( ) 4 4d a ad bc2+ +=

( ) ( ) .d a ad bc42+ +=4. a. Cas 0T= :

Alorslaracineuniqueestc d

a b

+

+

c

cc = (solutiondeE).

Montronsparrcurrenceque(vn)estdfinie

P(0):v0estdfinicar et uuv 1

0 00!cc= .

Hrdit:Supposonsquevnestdfini:un!c

donccu d

a bu

n

n

+

+!c (un +!c unnestpasunesolutionde(E))

do un 1!c+ donc vn 1+ estdfini.Soit n! ,v v

u u1 1

n n n n

11 c c

=++

cu d

au b

cu d

cu d u1 1

n

n

n

n n

+

+

+

+c c c=

( ) ( )a c u d

cu d

ub1

n

n

n+

+

c c c= .

Calculons f 1 :

ycx dax b

++

= donc ycx yd ax b+ += do ( )yc a x b yd =

soit ; ( )xyc a

b ydf x

xc ab xd

1

= = .

Comme) ( )(

v vc u d

d

ua b

cu 1

n n

n

n

n1 +

+

c c c=+

( )a c

cu d

uc a

b d u1 1

n

nn

+

c

c

c c= .

Comme ( ), ( ) ( )f f f f1 1 c c c c c= = =% do c ab d

c

cc= .

Sur les pas du suprieur (p.53)

,0 003751

375100000

7520000

154000

3800

= = = = .

do,Mv u v

800803

0 00375 800803n n n1 = =+ ( ) .

3. (vn)estgomtriquederaison803800

do vv800803

n

n

0= ( ) .v

,M

,Mu v

0 00375 800803

0 00375n nn

0+ += = ( )

,M

,Mu

800803

0 00375 0 003750

n+= ( ) ( ) .

Onveutu 024 = ;

do

0 3500,M

,M

800803

0 00375 0 00375 +=

24( ) ( ) ;+ ( )0 3500 , M , M800803 800803 0 00375 0 00375= ( )

24 24;

,M 1 3500

0 00375 800803

800803 #=

24 24(( ) ) ( )

1M 0,00375

3500,

800803

800803

152 767#

-=

( )2424( )

.

Mensualit ,152 77= (arrondiausupriur,sinonu 0242 ).




Alors( )( )

v va c u

cu d

u1

n nn

n

n1

+

c c c=+

( )( ) ( )( )a c u

cu d a c

a c u

cu d a d2

n

n

n

n+ + + +

c c

c

c c= =

( )( ) ( )( )a c u

cu d a

a c u

c uc

d a2 2

n

n

n

n+ +

c c c c= =

( )

cara a d

cu

u

a dc u

2

2

n

nn+!

c

cc= = .

(vn)estdoncunesuitearithmtiquederaisona dc2+

.

b. Par rcurrence, ;u0 a bg " , donc v uu

0

0

0

a

b= est dfini,

P(0)estvraie.

Hrdit:Supposonsvndfinidonc un!b

ucu d

au bun

n

nn1 +

++ +b b b= = =+

carb estunesolutionde(E).Onendduitque un 1!b+ etdoncquevn 1+ estdfini.Calculonsvn 1+ :

vu

u

cu d

au b

c d

a b

cu d

au b

c da b

nn

n

n

n

n

n

11

1

+

+

+

+

+

+

++

a

b

b

aa

b= =+

+

+

( ) ( )cu d c d

au c au bc bd a cu bcu da dbd

n

n n n n

+

+ + +

a

a a a a=

+

( ) ( )

au c adu bc bd a cu a d bcu db

cu c d1

n n n n

n

+ + +

+#

b b b b

b+

( ) ( )

( ) ( )c d

ad bc u bc da

ad bc u bc ad

dc

n

n+

+

+

+

a

a b

b=

( )( )

( )( )

c d

c d

ad bc u

ad bc u

c d

c d

u

u

n

n

n

n

+

+

+

+

a

b

b

a

a

b

b

a= =

car ad bc 0 ! do vc d

c dvn n1 +

+

a

b=+ .

On a montr que (vn) est une suite gomtrique de raison

c d

c d

+

+

a

b.

5. u d

uc

au bn

n

n1 +

+=+ avec 3, 2, 1 et 4a b c d= = = =

ad bc 12 2 10 0 != =et (4 3) 4(3 4 2 1) 49 40 9 0 2+ # #T 2= = = .

( )et

24 3 9

21 9 +

a b= = ;

et1 2a b= = .

Posonsu

u

u

uv

2

1

n

n

n

n

n

+

a

b= = .

(vn)estunesuitegomtriquederaison

1 41 ( 2) 4

c d

c d1 5

2

+

+++

#

#

a

b= =

1 donc 0lim v52

n1 =+3.

Comme vu

u

2

1n

n

n

+= ,oncalcule

1u

v

v

1

2

n n

n+= .

Comme lim v 0n =+3,(un)estdfiniepartirdunrang n! .

Enappliquantlesoprationssurleslimites,onobtient:1 2 0lim u1 0

1n

+ #= =

+3.

III. 1. ( )v ln

u ln

un

n l1

11

11

1 1 0

n

k

k n

n k kk

k

0+ + ++= =

=

=

=

=/ /

( )n

un

ln

u l1

11

11

1 0 0 0k

k n

k

k n

k

k n

k k+ + += =

=

=

=

=

=

=/ / / .Pourtout , u l u lk k kG!

donc ( )u l u l 0 0k

k n

k

k n

k kG=

=

=

=/ /Demme l u l u u lk k kG- - =

do l vn

u l1

1 0k

k n

n k+G-

=

=/ .Onendduit v l

nu l

11

0k

k n

n k+G

=

=/ .2. a. Cest ladfinitionde (un) converge vers l (qui est lhypo-thsededpart).Pour

n0!,telque n n u lk0& 1H f ,ona:

nu l

n

n n

11

1

1

0k

k n

k0

1+ +

+1 1f f

G=

=

:




donc n nn

u l1

1 10

k

k n

k

10

+& 1H f

=

=

/ .3.

2f estunrel 02 donc2. a. et 2. b. donnent:

ilexiste !n0 :

n nn

u l1

12

0k

k n

kn0

+& 1H f

=

=/

ilexiste !n1 : 1

n nn

u l1

12

k

k

k

n

10

0

+& 1H f

=

=

/ .

Enposant ; )n(maxn n2 0 1= etenadditionnantles2ingalitsci-dessusmembremembre,onobtient:

n nn

u l1

1 0k

k

k

n

1 +& 1H f

=

=/do n n v l2 n& 1H f ,(vn)convergeversl.

2Fonctions :

limites, continuit,calculs de drives

Trigonomtrie


Contenus Capacits attendues

Limites de fonctions

Limitefinieouinfiniedunefonctionlinfini.

Limiteinfiniedunefonctionenunpoint.

Limitedunesomme,dunproduit,dunquotientoudunecomposededeuxfonctions.

Limitesetcomparaison.

Asymptoteparalllelundesaxesdecoordonnes.

Dterminerlalimitedunesomme,dunproduit,dunquotientoudunecomposededeuxfonctions.

Dterminerdeslimitesparminoration,majorationetencadrement.

Interprtergraphiquementleslimitesobtenues.

Continuit sur une intervalle, thorme des valeurs intermdiaires

Exploiterlethormedesvaleursintermdiairesdanslecasolafonctioneststrictementmonotone,pourrsoudreunproblmedonn.

Calculs de drives : complments Calculerlesdrivesdesfonctions:( )x u x7 ;

( ( ))x u x n7 ,nentierrelatifnonnul;ex )(xu7 ;

( ( ))lnx u x7 .

Calculerladrivedunefonction )(x bf ax +7 ofestunefonctiondrivable,aetbdeuxnombresrels.

Fonctions sinus et cosinus Connatreladrivedesfonctionssinusetcosinus.

Connatrequelquespropritsdecesfonctions,notammentparitetpriodicit.

Connatrelesreprsentationsgraphiquesdecesfonctions.

Programme officiel

1. O sont les limites ?1. Limite dune fonction en 3 et en +31.

x 10 5 10 3 100 10

( )f x 1,99999 1,999 1,99 1,9

( )g x 9999999995 999995 9995 95

( )xh 2 10 14# 200000004 200004 204

x 10 100 103 105

( )f x 2,1 2,01 2,001 2,00001

( )g x 95 9995 999995 9999999995

( )xh 196 199996 199999996 2 1014#

Dcouverte (p.56-57)



Chap. 2 Fonctions : limites, continuit, calculs de drives - Trigonomtrie


2. Quand x est un rel de plus en plus grand, ( )f x semble serapprocherde2.

3. Quandxestunrelngatifdeplusenplusgrandenvaleurabsolue, ( )f x sembleserapprocherde2.

4. Pour 10010 000 x 000G G et1,5 ,y 2 5G G :

Lacourbesembledroite.

Pour , ,y1 999 9 2 000 1G G :

Enzoomant,onvoitquelacourbenestpasdroite.

5. Avec 10 x 10 G G et y10 10 G G :

La reprsentation graphique de f semble se rapprocher de ladroitedquationy 2= lorsquexestunreldeplusenplusgrandoungatifdeplusenplusgrandenvaleurabsolue.

6. Quandxestunreldeplusenplusgrandetquandxestunrelngatifdeplusenplusgrandenvaleurabsolue, ( )xg sembledeplusenplusgrand.

Quandxestunreldeplusenplusgrand, ( )xh sembledeplusenplusgrand.

Quandxestunrelngatifdeplusenplusgrandenvaleurab-solue, ( )xh estngatifetsembledeplusenplusgrandenvaleurabsolue.

Lacourbedegmontedroiteetgauchedugraphique.

Lacourbedehmontedroitedugraphiqueetdescendgauche.

Courbedeg:

Courbedeh:

2. Limite infinie dune fonction en un point

Onconsidrelafonctionfdfiniesur \R 3" , par ( )xxxf

32

= .

1. Recopieretcomplterletableausuivant:

x 2,9 2,99 2,999 2,9999 3,0001 3,001 3,01 3,1

( )f x 9 99 999 9999 100015 1001 101 11

2. Quand x sapproche de 3 en tant plus grand que 3, ( )f x sembledeplusenplusgrand.Quandxsapprochede3entantpluspetitque3, ( )f x semblengatifetdeplusenplusgrandenvaleurabsolue.

3. Courbereprsentativedef:

4. Quandxserapprochede3,cettecourbesembleserapprocherdeladroitedquationx 3= .

2. Limite et oprations

1.

1 2 3 4 5 6 7 8-1-2-3-4

1

2

3

45

0-1-2

-3

9

f

g

2. Graphiquement, ( ) 2lim f xx

=+" 3

et ( ) 3lim g x x

=+" 3

.

3. a.

b. Graphiquement, ( )lim xh 1x

=+" 3

.





4. a.

1 2 3 4 5 6 7 8-1-2-3-4

1

2

3

4

5

0-1

-2

-3

9

f

g

-5

-4

-6

h

k

Graphiquement, ( )lim xk 6x

=+" 3

.

b.

1 2 3 4 5 6 7 8-1-2-3-4

1

2

3

4

5

0-1

-2

-3

9

f

g

-5

-4

-6

h

k

l

Graphiquement, ( ) ,lim xl 0 66x

.+" 3

.

5. a.

1 2 3 4 5 6 7 8-1-2-3-4

5-6

1

2

3

45

0-1-2

-3

-4

9

k

l

f

g

h

b. Graphiquement, ( )lim xf 1x

=+" 3

, ( )lim xh 4x

=+" 3

,

( )lim xk 3x

=+" 3

, ( ) ,lim l x 0 33x

.+" 3

.

6. La limite dune somme, dun produit ou dun quotient defonctionsdontonconnat les limites rellesnonnullessembletrelasomme,leproduitoulequotientdeslimites.7. Cas des limites nulles :

a. ( )f xx32

= et ( )xx

g 12

=

1 2 3 4 5 6 7 8-1-2

1

2

3

45

0 9

kf gh

10

l

Graphiquement, ( )lim f x 0x

=+" 3

, ( )lim xg 0x

=+" 3

,

( )lim k x 0x

=+" 3

, ( )lim l x 3x

=+" 3

.

b. ( )f xx3

= et ( )xx

g 12

=

1 2 3 4 5 6 7 8-1

1

2

3

4

5

0-1

-2

9

k

f

g

h

10 11

l


=+" 3

, ( )lim xg 0x

=+" 3

,

( )lim k x 0x

=+" 3

, ( )lim l xx

+=+"

33

.

c. ( )f xx33

= et ( )xx

g 12

=

1 2 3 4 5 6 7

1

2

3

0

k

lf

g

h


=+" 3

, ( )lim xg 0x

=+" 3

,

( )lim k x 0x

=+" 3

, ( )lim l x 0x

=+" 3

.

8. Onnepeutpasconcluresurlalimitedunquotientlorsquelesdeuxlimitessontnulles.

3. Continuit ou pas1. a.

x 6,2 5 0,8 3,79 3,9 3,99 3,99999 4

( )E x 7 5 1 3 3 3 3 4

b. Lalimitegaucheen4deEsembletregale3.Or ( ) .E 4 4= Donccettelimitenestpasgale ( )E 4 .

2.

3. Lacourbeestenplusieursmorceaux.

4. Drivons1. a. Lafonction :f x x7 estdrivablesur ;0 +3 6@ etpour

toutx 02 , ( )f xx2

1= .

b. i) :f x x3 57





ii) : 4x x x xg 5 1 23 +7

iii) : x xh 57

c. On peut conjecturer que la fonction ( )x u x7 o u estunefonctionvaleurspositivesadmetpourdrivelafonction

2 ( )

( )x

u x

u x7 .

2. a. Lafonction x xn7 onestunentierrelatifnonnulestdrivablesurRsin 02 etsurR*si 0n1 etsafonctiondriveestx nxn 17 .

b. i) : (7 )x xf 2 5+7

ii) : ( 5 )x x x xg 6 34 3 +7

iii) : ( )x x xh 5 1 32 +7

iiii) : ( 4 )x x x xk 7 2 25 4+ +7

c. Onpeutconjecturerquelafonction ( )x u x n7 6 @ ouestunefonctionetn unentier relatif nonnul apour fonctiondrive

( ) ( )x n u x u x n 1# #7 6 @ .

Exercices rsolus (p.7485)

Page 74

1. 1. ( )lim xx

4 +=+"

33

; (3 )lim xx

3 +=+"

33

et ( )lim 55 x

=+" 3

donc ( ( ))lim f xx

+=+"

33

.

2. a. Pourtoutrelx 0! ,1 + ( ) .x

x xx x

xx

xx x f x3 5 1 3 5 3 54

44 4 4

44 3+ +# # #= = =( )

b. limx3 0

x =

" 3 ( ) et lim x5 0

x 4=

" 3 ( ) . Donc daprs la pro-prit sur les limites de sommes, 1 +lim

x x3 5 1

x 4=

" 3 ( ) . Deplus, ( )lim x

x4

+=

"3

3.Donc ( ( ))lim f x

x +=

"3

3.

2. Onnepeutpasdterminerdirectement les limitesdeman-des.

Pourtoutrelx 0! , ( )f x xx x x

1 2 1 3 53 4 5

+= ( ) .Or 1lim

x x x2 1 3 1

x 3 4 5+ =

+" 3( ) et ( )lim x x 5 =+" 33 ,donc ( ( ))lim f x

x=

+"3

3

( )lim xx

5

+="

33

,donc ( ( ))lim f xx

+="

33

Page 751. Pourtoutrelx 0! ,

( )x

x x

x

x xx

x

xx x

xx

f x3

1 2 4

135

2 4

3 5

2 4

3 5

3

2 43 4 2+ + + + + +

= = =( )2. lim

x x

x

1 2 4

135

1

2 4

x + +

=" 3( ) et 0lim x3x 3 =" 3 ( )

donc ( ( ))lim f x 0x

=" 3

.

Page 76Limitedefen3 :

( 4 )lim x x 3x

2

+ +="

33

et (2 )lim x x

="

33

. Do une

formeindtermine.Pourtoutrelx 01 ,

( )( ) ( )

f xx x x

x x x x x x

4 3 2

4 3 2 4 3 2

2

2 2

+

+ + +#=

4 3 4

2

3

x x x

x x x

x x x

x

4 3 2 4 3

2

2

2

2

+

+

+

+= =

( )f x

xx x

x

x

x xx x

x

x

4 1 3 2

3

4 1 3 2

3

2 22 2+

+

+

+= =

( ) ( )




carpourx 01 , x x x2 = =

( )1

f x

x x

x

4 1 3 2

3

2

+

+=

1 +x

1lim 3 x

=" 3 ( ) et lim x x4

1 3 2 4 2x

+ =" 3 ( ) ,

donc ( ( ))lim f x41

x =

" 3.

Limitedegen3 :Pourtoutrelx, ( )1 sin x 1 G G ,donc ( )sin x1 2 3+G G ,do

( )1

sin x31

21+

G G .

Pourx 31 ,3 x 0 2 ,donc( )3

sinx

xx x

33

23

+G G .

Or3

lim x3 x

+="

33 ( ) donc ( ( ))lim g xx +=" 33 .

Page 77f u5= o :u x

x9 412

7 .

Pourquefexisteetsoitdrivable,ilfautque x9 4 02 ! .9 4 0x x

32 2 += = oux

32

= ,donclensemblededfinitionet

dedrivabilitdefest ;\RD32

32= ' 1 .

La fonction u est drivable sur D et pour tout x de D,

( )( )

u xx

x9 4

182 2

= .

PourtoutxdeD,( ) ( ) ( ( ))f x u x u x5 5 1# #=

4

( ) ( )xx

x xx

9 418

9 41

9 490

2 2 2 2 6#= =( )( ) .

Page 791.

0 0x x2 1

( ( )) ( ( ))lim limf x f xx x0 0

+= =" "

3 et

( ( )) ( ( ))lim limf x f x43

x x = =

+" " 33.

2. Laxedesabscissesestasymptoteverticale.

La droite dquation y43

= est asymptote horizontale en+3 eten3 .3. PourtoutxdeR*, ( )

4f x

x43 1 0

22= doncestau-dessus

deladroitedquationy43

= .

4. Pour tout x deR*, ( )f xx1

8

3= , donc pour tout x deR+,

( )f x 01 , ainsi f estdcroissante surR+etpour toutx deR,( )f x 02 ,ainsifestcroissantesurR.

5.

0,5 1-0,5-1-1,5

-4

2

4

6

8

10

0

k

f

x = 0

y = 0,75

Page 801. x x1 0 1 1 2 +H G G ,donc ;D 1 1f = 6 @ .

2. Les fonctions : x xu 17 et : 1x xv 27 sont conti-nuessur ;1 16 @ .Doncfestcontinuesur ;1 16 @ .tude de la drivabilit de f : Les fonctions u et v sont dri-vablessur 1 ; 1 6@ etpourtoutrelxde 1 ; 1 6@ , ( )u x 1= et

( )1

xx

xv

2

= .

f u v#= ,doncfestdrivablesur 1 ; 1 6@ et . f u v u v+# #=Dopourtoutrelxde 1 ; 1 6@ ,( ) 1 ( 1) 1 21f x x x

x

x

x

x x

1 1

22 2

2+ +# #= = .

En ( 1) :Pourtoutrelhtelque ( 1 )h D f+ ! ,

( )( ) ( ) ( )

t hh

f h f

h

h h h1 1 22 0 2

1

+ + += =

( ) (2 ) ( 2 )

h

h h h

h

h h2 2 + += = .

Donc (( ) )lim h h2 2 2 2 h 0

+ ="

et lim h 0h 0

=+

",

do ( )lim t h 1h 0 =

"3

Ainsifnestpasdrivableen ( 1) .En1:Pourtoutrelhtelque ( 1 )h D f+ ! ,

( )( ) ( )

t hh

f h f

hh h h h h

1 1 2 0 2 1

22+

= = = .

Donc ( )lim t h 0h 0 1

=

".

Ainsifestdrivableen1et ( )f 1 0= .Parconsquent,festdrivablesur

1 ; 1 6@ et ( ) 1

1 21si 1f x x

x xx

2

2+1 1=

0 si 1x = * .

Page 811. On considre la fonction f dfinie sur R par( )f x x x x2 6 18 59 23 + += . On cherche rsoudre lqua-

tion ( )f x 0= .festunefonctionpolynme,doncfestcontinueetdrivablesurR.tudedeslimitesdefen+3 eten3 :Pourtoutx 0! , ( )f x x

x x x2 1 3 9

259

2 33 += ( ) .

1 1limx x x3 9

259

x 2 3+ =

+" 3( ) et ( 2 )lim x x 3 =+" 33donc ( ( ))lim f x

x=

+"3

3.

1 1limx x x3 9

259

x 2 3+ =

" 3( ) et ( 2 )lim xx 3 +=" 33donc ( ( ))lim f x

x +=

"3

3.

tudedusensdevariationdelafonctionf:Pourtoutrelx,( ) 6 12 18 6( 2 3) 6( 1)( )f x x x x x x x 3 2 2+ + += = = .

Onobtientdoncletableaudevariationssuivant:

x-3 3 1 +3

( )f x 0 + 0

( )f x+3

5

69

3





Rsolutiondelquation ( )f x 0= :Sur lintervalle ; 13@ @ , lafonctionfeststrictementpositivepuisquelleadmet5commeminimum,quelleatteinten ( )3 .Parconsquent,lquation ( )f x 0= napasdesolutiondanslin-tervalle ; 13@ @ .La fonction f est continue et strictement croissante sur

; .1 +36 6 Deplus, ( ( ))lim f x x

=+"

33

et ( )f 691 = ,donc,daprslethormedesvaleursintermdiaires,puisque 0 ; 69! 3@ @ ,lquation ( )f x 0= admetuneuniquesolutiondans lintervalle

; .1 +36 62. Onobtient31 1a 3,1.

Page 85 haut de page1. \RD 3f = " , .2. f v u%= ovestlafonctiondfiniesurRpar ( ) xv x 4= etu

estlafonctiondfiniesurDf par ( )u x xx

32 1

+

= .

3. ( ) ( )lim limu x u x 2x x

= =+" " 33

et ( )lim xv 16x 2

=

"donc ( ) ( )lim limf x f x 16

x x = =

+" " 33.

Donclacourbereprsentantfdansunrepreadmetpourasymp-totehorizontaleladroitedquationy 16= en+3 eten3 .

)(2lim x 1 7x 3

+ ="

etx 32

( )lim x 3 0x 3

=+

"donc

x 32

limxx

32 1

x 3+ +=

"3( )

3x1

( )lim x 3 0x 3

=

"donc

3x1

limxx

32 1

x 3

+=

"3( ) .

Or ( ) ( )lim limv x v xx x

+= =+" "

333

.

Donc3x x31 2

( ) ( )lim limf x f xx x3 3

+= =" "

3 .

Parconsquent,ladroitedquation x 3= estasymptoteverti-calelacourbedef.4. festdrivablesurDf etpourtoutrelxdeDf ,

( ) 4 ( ) ( ( ))f x x xu u 3# #=

( ) 4( )

2( 3)

28(2 1)f x

x xx

x

x

37

31

2

3

5

3+ +

# #= =( )

x -3 21 3 +3

Signe de 2x 1+ 0 + +

Signe de x 3 0 +

Signe de ( )f x 0 +

Variations de f16

0

+3 +316

5.

20 40 60 80-20-60-80-100

20

40

60

80

0

y =16

x = 3

-40

100

Page 85 bas de pageNotonsglafonction ( )sinx x r7 .AlorsgestdrivablesurRetpourtoutrelx, ( ) ( )cosx xg r= .Puisque ( ) ( ) ( )sinsing 0 0r rr = = = ,pourtoutrelxnonnul,

( ) ( ) ( )sinx

x

x

g x g

r

r

r

r= .

Or,puisquegestdrivableenr ,( ) ( )

( )limx

g x gg

x r

rr=

r" ( ) .Donc

( )( ) ( )lim

sincos

x

xg 0 1

x r

rr= = =

r" ( ) . Par consquent,( )

( )limsin

x

xf

x r

rr=

r" ( ) .Ainsifestcontinueenr .Les fonctions ( )sinx x r7 et x x7 sont continues sur

; r3 6@ etsur ; +r 3 6@ ,donc f lestaussi.Parconsquent, festcontinuesurR.

Exercices (p.86)


1. Limites31. 1. ( )lim f x

x=

+3"3 .

2. ( )lim f xx

+=3"

3 .3. ( )lim f x 0

x=

+3".

4. ( )lim f x 1x

=+3"

.


33. 1.

x1

2

2

( )lim f x7

7

x

+="

3 et

x

2

22

( )lim f x 7

7

x

=

"

3

2.x x8 81 2

( ) ( )lim limf x f xx x 88

+= =" "

3 .

3.

x

3

32

( )lim f x 2

2

x

=

"

3 .

34. Lacourbereprsentant fdansunre-pre admet une asymptote horizontaledquationy 2= en+3 etuneasymp-totehorizontaledquationy 1= en3 .35. Lquationduneasymptoteverticalelacourbereprsentantfdansunrepreestx 3= .36. Lacourbereprsentantfdansunre-pre admet une asymptote horizontaledquation y 5= en +3 et en .3 Lquation dune asymptote verticale

cettecourbeestx32

= .

37. 1. Il semble que ( )lim f x 5x

.+3"

et( )lim f x 2

x .

3".

2. Il semble que ( )lim f xx

+=+3"

3 et( )lim f x

x =

3"3 .

38. 1. ( ) ( )lim limf x f x 1x x

= =+3 3" "

x x0 01 2


+= =" "

3 .

x 21

( )lim f x x 2

=

"3 et

x 22

( )lim f xx 2

+="

3 .

x x3 31 2

( ) ( )lim limf x f x x x3 3

= =

" "3 .

2. Lacourbeadmetlaxedesabscissesetlesdroitesdquations x 2= et x 3=commeasymptotesverticalesetladroite




dquation y 1= commeasymptoteho-rizontaleen+3 eten3 .39. 1. ( ) ( )lim limf x f x 2

x x = =

+3 3" "2.

x 01

( )lim f x x 0

=

"3 et

x 02

( )lim f xx 0

+="

3 .

3. La courbe reprsentative de la fonc-tion f admet laxe des abscisses commeasymptote verticale et la droite dqua-tion y 2= commeasymptotehorizon-taleen+3 eten .340. ( ) ( )lim limf x f x 0

x x = =

+3 3" "

x x1 1 1 2


+= =" "

3

x 01

( )lim f xx 0

+="

3 etx 02

( )lim f x x 0

=

"3 .

x 31

( )lim f x x 3

=

"3 et

x 32

( )lim f xx 3

+="

3 .

41. Corrig dans le manuel.42. 1. Lensemble de dfinition de lafonctionfest ; ;0 2 2 7,6 6 @ @ .2.

x 21

( )lim f x x 2

=

"3 et

x 22

( )lim f xx 2

+="

3 .

3. Lquation de lasymptote verticale la courbe reprsentativede la fonction festx 2= .43. 1. Lensemble de dfinition de lafonctionfest \R 3" , .2.

x x3 3 1 2


+= =" "

3

( )lim f x 1x

=3"

et ( )lim f x 1x

=+3"

.

3. Lquation de lasymptote verticale la courbe reprsentativede la fonction festx 3= .Ladroitedquation y 1= estasymp-tote horizontale la courbe reprsenta-tivede la fonction fen 3 et ladroitedquation y 1= estasymptotehorizon-talelacourbereprsentativedelafonc-tionfen+3 .44. Corrig dans le manuel.45. 1. Pourtout xdeDf,

( )( ) .

x x

x

xx f x2

35

3

2 3 5

32 1

+

= = =

2. ( ) 23

2.lim limf xx5

x x

= =+ +3 3" " ( )

Mmersultaten3 .Donc lquationde lasymptotehorizon-tale(d)lacourbeen 3 eten+3 esty 2= .3. PourtoutxdeDf,

( ) ( ) 2 .f xx x

2 23

53

5

+ ==

Si x 31 , alors x 3 0 1 , donc ( ) ( )f x 2 0 2 ,do ( ) ( 2)f x 2 .

Ainsiestau-dessusde(d)sur ; 33 6@ .Si x 32 , alors x 3 0 2 , donc( ) ( )f x 2 0 1 ,do ( ) ( )f x 21 .

Ainsi est au-dessous de (d) sur; .33 6@

46. 1. PourtoutxdeR*,

( ) 5 .f xxx

x x5 22 = =

2. ( ) ( )lim limf x f x 5x x

= =+3 3" "

.

3. Donc lquation de lasymptote hori-zontaleen3 eten+3 esty 5= .4.

x 01

( )lim f xx 0

+="

3 etx 02

( )lim f x x 0

=

"3 .

Doncladroitedquation x 0= (axedesabscisses)estlasymptoteverticalede.47. 1. ( ) ( )lim limf x f x 2

x x= =

+3 3" "

x 12

( )lim f xx 1

+="

3 etx 11

( )lim f x x 1

=

"3 .

2. Ladroitedquationy 2= estasymp-totehorizontaleen3 eten+3 .La droite dquation x 1= est lasymp-toteverticalede.48. 1. ( ) ( )lim limf x f x 3

x x= =

+3 3" "

x 22

( )lim f xx 2

+="

3 etx 21

( )lim f x x 2

=

"3 .

x 22

( )lim f x x 2

=

"3 et

x 21

( )lim f xx 2

+="

3 .

2. La droite dquation y 3= estasymptotehorizontaleen 3 eten+3 .Lesdroitesdquations x 2= et x 2= sontasymptotesverticalesde.

3.

Doncestau-dessusdeladroitedqua-tiony 3= surlintervalle .;2 2 6@Et est au-dessous de la droitedquation y 3= sur ; 2 3 6@ ;

; ;2 2 +,3 36 6@ @ .

2. Limites et oprations49. 1. (2 ) ( )lim limx x

x x5 3

= =

3 3" "3

donc ( ( ))lim f x x

=3"

3 .

2. ( ) (4 ) ( )lim lim limx x xx x x

5 3 += = =+ + +3 3 3" " "

3donc ( ( ))lim f x

x+=

+3"3 .

3. ( 2 )lim x 1 1x 0

+ ="

x 02

limx3

x 0+=

"3( ) donc

x 02

( ( ))lim f xx 0

+="

3

x 01

limx3

x 0=

"3( ) donc

x 01

( ( ))lim f x x 0

=

"3

4. ( )lim xx

+=+3"

3 et 0lim x1

x=

+3" ( ) donc ( ( ))lim f x

x+=

+3"3 .

50. 1. ( 4)lim x2x

+ +=3"

3 et ( )lim x2 5

x + +=

3"3

donc ( ( ))lim f xx

+=3"

3 .

2. ( )lim x5x

+=+3"

3

et limx1 3 3

x=

+3" ( ) donc ( ( ))lim f x

x=

+3"3 .

3. ( 5 )lim x x

=+3"

3

et ( 2)lim xx

+ +=+3"

3

donc ( ( ))lim f x x

=+3"

3 .

51. 1. (8 1)lim x 3x

+=+3"

3 donc ( ( ))lim f x 0

x=

+3".

2. ( ) 0lim xx 0

=+

"

donc ( ( ))lim f x x 0

=

"3 .

3. (9 ) ( 6 )lim limx x2x x

+= =3 3" "

3

donc (9 6 1)lim x x2x

+ +=3"

3 do ( ( ))lim f x 0

x =

3".

4. ( 2 1)lim x x2x

+ +=+3"

3 do ( ( ))lim f x 0

x=

+3".

52. 1. ( 7 3 4) 4lim x x 3x 0

+ ="

et ( )lim x 02x 0

=

"donc

x 0!( ( ))lim f x

x 0=

"3 .

2. ( )lim x 3 22x 5

2

=

";

x 51

( 5) 0lim xx 5

+ ="

;x 52

( 5) 0lim x5x

+ = +"

doncx 51

( )lim f x x 5

=

"3 et

x 52

( )lim f xx 5

+="

3 .

53. Fonctionf:courbe3(x 21

( )lim f x x 2

=

"3

etx 22

( )lim f xx 2

+="

3 .)

Fonctiong:courbe1(x x2 2 1 2

( ) ( )lim limx g xgx x2 2

+= =" "

3 )

Fonctionh:courbe2(x x2 2 1 2

( ) ( )lim limx xh h x x2 2

= =

" "3 )

54. Corrig dans le manuel.55. 1. Pourtoutrelx,

( ) 8 1f x xx xx 88

341 1 53 5

+ += ( )





lim

x x x1

83

41

81

x 3 5+ +

+3" ( )1lim

x x x1

83

41

81

x 3 5+ += =

+3" ( ) ( 8 )lim x 5

x +=

3"3

et ( 8 )lim x 5x

=+3"

3 .

Donc ( )lim f xx

+=3"

3 et( )lim f x

x=

+3"3

2. Demme, ( )lim g x x

=3"

3 et ( )lim g x

x+=

+3"3

3. Demme, ( )lim xh x

=3"

3 et ( )lim xh

x+=

+3"3


57. 1. Pourtoutrelx,

( )

4 1

2 1f x

xx x

xx

141

21

42 4

+ +

=

( )

( )

1

1

xx x

x11

41

21

3

2 4+ +

= ( )1

1lim

x x

x1

41

21

2 4

x+ +

+3" ( ) 1lim

x x

x

1 141

121

x

2 4

+ +

= =3" ( )

0limx13x

=+

3" ( ) et 0lim x1

x 3

=+3" ( ) .

Donc ( ) 0lim f xx

=+

3"et ( ) 0lim f x

x

=+3"

.

2. De mme, ( )lim xg x

=3"

3 et( )lim xg

x+=

+3"3 .

3. Demme, ( ) ( ) 5lim limh x h xx x

= =+3 3" "

.

58. 1. ( ) 0lim f x x

=3"

et

( ) .lim f x 0x

=+

+

3"

3

( )lim x 235

x1

=

"

et

3

(3 ) 01lim x x

1

2=

+

".

Donc

3

( )lim f x x

1=

"

3

2. ( ) ( )lim limg x g x 4x x

= =+3 3" "

( )lim g xx 0

+="

3 .

3. ( )lim h x x

=3"

3 et ( )lim h xx

+=+3"

3

x 51

( )lim xh x 5

=

"3 et

x 52

( )lim xhx 5

+="

3 .

59. 1. On cherche pour quels x,3 7 0x x2 + + H .

83T= .0T1 donc, puisque le coefficient de

x2 estpositif,3 7 0x x2 + + H pourtoutrelx.Ainsi RD = .2. a.

10 20

0,5

1

0

-0,5

-1

-20 -10

b. Ilsembleque ( ) ,lim f x 0 5x

.+3"

.

c. Pourtoutrelx 02 ,

( )f x

xx x

x

3 1 722

+ +

=

( )

3 3xx x

x

x x1 7 1 7

1

2 2+ + + +

= = .

Donc ( )lim f x33

x=

+3".

60. 1. Oncherchepourquelsx,x x 06 2 H .

25T= ,donccetrinmeadeuxracines:( )2 et3.Donc ; ;D 2 3 +,= 3 36 6@ @ .2. PourtoutxdeD,

( )( )( )

f xx x x

x x x x x x

6

6 6

2

2 2

+

+=

x x x

x x x

x x x

x

6

6

6

6

2

2 2

2+ += =

1 11

1

1

1

xx x

xx

x x

x

1 6

6

1 6

6

2 2+

+

+

+= =

( )

( ).

Donc ( )lim f x21

x=

+3".

3. Limites et composes de fonctions

61. 1. Pourtoutrelx,( ) (4 1) (4 1)g f x g x x2 2 3+ +% = = .

2. (4 1)lim xx

2 + +=+3"

3

et ( )lim xx

3 +=+3"

3

donc ( ( ))lim f xgx

+% =+3"

3 .

(4 1)lim xx

2

+ +=3"

3

et ( )lim xx

3 +=+3"

3

donc ( ( ))lim g f xx

+% =+3"

3 .

62. 1. f h g%= og est dfinie surR

par ( ) 5 3g x x2 += et h est dfinie sur

\R 0" , par ( )h xx1

= .

2. ( )lim x5 3x

2 + +=+3"

3

et limx1 0

x=

+3" ( ) donc ( ( ))lim f x 0x =+3" .(5 3)lim x

x2

+ +=

3"3 et lim x

1 0x

=+3" ( )

donc ( ( )) 0lim f xx

=3"

.

63. 1. Pourtoutrelx,( ) ( ) ( ) .g f x g x x x x5 4 5 4 3 2 3 2 2+ +% = =

2. (5 )lim x x 4x

3 2 + +=+3"

3

et ( )lim xx

2 +=+3"

3 donc ( ( ))lim g f x

x+% =

+3"3 .

(5 4)lim x x x

3 2

+ =3"

3

et ( )lim xx

2

+=3"

3 donc ( ( ))lim g f x

x +% =

3"3 .

64. 1. Pourtoutxde \R51' 1 ,

( ) ( 5 1)5 1

f g x f xx1

+

+% = = .

x25

5

( 5 1)lim x 0x

1

1

+ ="

et limx1

x 0=

"3( )

donc

x25

5

( ( ))lim f x x

1

1

=

"

3 .

x15

5

( )lim x5 1 0x

1

1

+ = +

"

et limx1

x 0+=

+"3( )

donc

x15

5

( ( ))lim f xx

1

1

+="

3 .

2. Pourtoutrelx, 2 ( 1)( 2)x x x x2 += .

Pour tout x de \ ;R 2 1" , ,

( ) ( 2)2

f g x f x xx x

1

22

% = = .

x 12

( 2) 0lim x xx

2

1=

+

" et lim

x1

x 0+=

+"3( )

doncx 12

( ( ))lim f xx 1

+="

3 .




x 11

( 2) 0lim x xx 1

2 =

" et lim

x1

x 0=

"3( )

doncx 11

( ( ))lim f x x 1

=

"3 .

3. Pourtoutxde 3 ; +3 6@ ,

( ) ( )g x f xx

f 33

1

% = = .

( )lim x 3 0x 3

=+

" et lim

x1

x 0+=

+"3( )

donc ( ( ))lim f xx 3

+="

3 .4. Pour tout x de \R 4" , ,

( ) (( ) )( 4)

f g x f xx

14 22

++

% = = .

( 4)lim x 0x 4

2

+ = +

" et lim

x1

x 0+=

+"3( )

donc ( ( ))lim f xx 4

+="

3 .

65. 1. x3 2 0 2 pourx322 .

Pour tout x de ;32 +3; ; ,

( ) ( ) 3 2f g x f x x3 2 % = = .(3 2)lim x

x+=

Documents

Term S Maths Repères - Livre Du Professeur [2011]