TestsdeHenryetLilliefors A.Claeyspublic.iutenligne.net/mathematiques/statistiques-et... · 2013. 5. 19. · L’enjeu. Fonction de répartition. Test de Henry. Test de Lilliefors

L’enjeu. Fonction de répartition. Test de Henry. Test de Lilliefors (Kolmogorov-Smirnov).

Tests de normalité d’une populationTests de Henry et Lilliefors

A. Claeys

GEA - IUT A - Lille 1

Janvier 2012


Plan

1 L’enjeu.

2 Fonction de répartition.Définition (rappel de S2).Cas d’une loi normale.Cas d’un échantillon.Comparaison des fonctions de répartition.

3 Test de Henry.Le papier gausso-arithmétique.Exemple 1.Exemple 2.

4 Test de Lilliefors (Kolmogorov-Smirnov).Le papier de Lilliefors.Exemple 1.Exemple 2.


Présentation du problème.

Comment décider qu’une population est normale ?

population

échantillon

taille = nx1, x2 · · · xn

La distribution empirique de la population est-ellecompatible avec la loi normale ?




population

échantillon






population

•1 individu

échantillon






population

•1 individu

X = valeur du caractère

échantillon






population

•1 individu


m

échantillon






population

•1 individu


mσ

échantillon






population

•1 individu


mσ

échantillon


A tester :X ∼N or(m;σ) contre X �N or(m;σ) .





population

•1 individu


mσ

échantillon







population

•1 individu


mσ

échantillon




Utilisation d’un échantillon.




population

•1 individu


mσ

échantillon








population

•1 individu


mσ

échantillon





Prise de décision à partir de la fonction de répartition de l’échantillon.


Exemple 1.

ExempleDans un magasin de loisirs, on a étudié le nombre de livres vendus par heured’ouverture. On a obtenu les 15 mesures suivantes (en nombre d’objets) :

6−7−9−11−13−8−9−4−12−10−16−8−14−12−10.

Toutes les heuresd’ouverture

échantillon

taille = 15x1 = 6, x2 = 7 · · · xn = 10



Exemple 1.


6−7−9−11−13−8−9−4−12−10−16−8−14−12−10.


échantillon

taille = 15x1 = 6, x2 = 7 · · · xn = 10



Exemple 1.


6−7−9−11−13−8−9−4−12−10−16−8−14−12−10.


•1 heure

échantillon

taille = 15x1 = 6, x2 = 7 · · · xn = 10



Exemple 1.


6−7−9−11−13−8−9−4−12−10−16−8−14−12−10.


•1 heure

X = nombre de livres vendus

échantillon

taille = 15x1 = 6, x2 = 7 · · · xn = 10



Exemple 1.


6−7−9−11−13−8−9−4−12−10−16−8−14−12−10.


•1 heure


m

échantillon

taille = 15x1 = 6, x2 = 7 · · · xn = 10



Exemple 1.


6−7−9−11−13−8−9−4−12−10−16−8−14−12−10.


•1 heure


mσ

échantillon

taille = 15x1 = 6, x2 = 7 · · · xn = 10



Exemple 1.


6−7−9−11−13−8−9−4−12−10−16−8−14−12−10.


•1 heure


mσ

échantillon

taille = 15x1 = 6, x2 = 7 · · · xn = 10



Exemple 1.


6−7−9−11−13−8−9−4−12−10−16−8−14−12−10.


•1 heure


mσ

échantillon

taille = 15x1 = 6, x2 = 7 · · · xn = 10



Exemple 1.


6−7−9−11−13−8−9−4−12−10−16−8−14−12−10.

Diagramme à bâtons de l’échantillon.Echantillon de 15 ventes horaires des livres dans le magasin.

Le diagramme à bâtons suggère la forme de la densité d’une loi normale.


Exemple 1.


6−7−9−11−13−8−9−4−12−10−16−8−14−12−10.


4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 170livres vendus par heure

0

1

2

3

0

heures



Exemple 1.


6−7−9−11−13−8−9−4−12−10−16−8−14−12−10.



0

1

2

3

0

heures



Exemple 1.


6−7−9−11−13−8−9−4−12−10−16−8−14−12−10.



0

1

2

3

0

heures



Exemple 1.


6−7−9−11−13−8−9−4−12−10−16−8−14−12−10.



0

1

2

3

0

heures



Exemple 1.


6−7−9−11−13−8−9−4−12−10−16−8−14−12−10.



0

1

2

3

0

heures



Exemple 1.


6−7−9−11−13−8−9−4−12−10−16−8−14−12−10.



0

1

2

3

0

heures



Exemple 1.


6−7−9−11−13−8−9−4−12−10−16−8−14−12−10.



0

1

2

3

0

heures



Exemple 1.


6−7−9−11−13−8−9−4−12−10−16−8−14−12−10.



0

1

2

3

0

heures



Exemple 1.


6−7−9−11−13−8−9−4−12−10−16−8−14−12−10.



0

1

2

3

0

heures



Exemple 1.


6−7−9−11−13−8−9−4−12−10−16−8−14−12−10.



0

1

2

3

0

heures



Exemple 1.


6−7−9−11−13−8−9−4−12−10−16−8−14−12−10.



0

1

2

3

0

heures



Exemple 1.


6−7−9−11−13−8−9−4−12−10−16−8−14−12−10.



0

1

2

3

0

heures



Exemple 1.


6−7−9−11−13−8−9−4−12−10−16−8−14−12−10.



0

1

2

3

0

heures



Exemple 1.


6−7−9−11−13−8−9−4−12−10−16−8−14−12−10.



0

1

2

3

0

heures



Exemple 1.


6−7−9−11−13−8−9−4−12−10−16−8−14−12−10.



0

1

2

3

0

heures



Exemple 1.


6−7−9−11−13−8−9−4−12−10−16−8−14−12−10.



0

1

2

3

0

heures



Exemple 1.


6−7−9−11−13−8−9−4−12−10−16−8−14−12−10.



0

1

2

3

0

heures



Exemple 1.


6−7−9−11−13−8−9−4−12−10−16−8−14−12−10.



0

1

2

3

0

heures



Plan

1 L’enjeu.





Définition et exemple sur une v.a. discrète (rappel de S2).

DéfinitionSoit X une v.a. La fonction de répartition de X est définie sur R par

F (t) = P (X ≤ t) .

Si X est discrète alors la représentation graphique de F est en escalier.

ExempleDéterminer la fonction de répartition de X dont on donne la loi.

xi −3 0 3 6P (X = xi ) 1/8 3/8 3/8 1/8

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

1




F (t) = P (X ≤ t) .



xi −3 0 3 6P (X = xi ) 1/8 3/8 3/8 1/8

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

1




F (t) = P (X ≤ t) .



xi −3 0 3 6P (X = xi ) 1/8 3/8 3/8 1/8

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

1




F (t) = P (X ≤ t) .



xi −3 0 3 6P (X = xi ) 1/8 3/8 3/8 1/8

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

1


Plan

1 L’enjeu.





Fonction de répartition de la loi N or(0;1).

DéfinitionDensité f et fonction de répartition Π de X ∼N or(0;1) sont définies sur R par

f (t) = 1√2πe−

t22 et Π(t) = P (X ≤ t) =

∫ t−∞

f (x) ·dx .

Densité de la loi normale N or(0;1) :

y = f (t)

0,4

0 1 2 3−1−2−3

Fonction de répartition de la loi normale N or(0;1) :1

0 1 2 3−1−2−3




f (t) = 1√2πe−

t22 et Π(t) = P (X ≤ t) =

∫ t−∞

f (x) ·dx .


y = f (t)

0,4

0 1 2 3−1−2−3

Fonction de répartition de la loi normale N or(0;1) :1

0 1 2 3−1−2−3




f (t) = 1√2πe−

t22 et Π(t) = P (X ≤ t) =

∫ t−∞

f (x) ·dx .


y = f (t)

0,4

0 1 2 3−1−2−3

Fonction de répartition de la loi normale N or(0;1) :

Π(−2.5)' 0,006

•

1

0 1 2 3−1−2−3




f (t) = 1√2πe−

t22 et Π(t) = P (X ≤ t) =

∫ t−∞

f (x) ·dx .


y = f (t)

0,4

0 1 2 3−1−2−3


Π(−2)' 0,023

• •

1

0 1 2 3−1−2−3




f (t) = 1√2πe−

t22 et Π(t) = P (X ≤ t) =

∫ t−∞

f (x) ·dx .


y = f (t)

0,4

0 1 2 3−1−2−3


Π(−1.5)' 0,067

• • •

1

0 1 2 3−1−2−3




f (t) = 1√2πe−

t22 et Π(t) = P (X ≤ t) =

∫ t−∞

f (x) ·dx .


y = f (t)

0,4

0 1 2 3−1−2−3


Π(−1)' 0,159

• • ••

1

0 1 2 3−1−2−3




f (t) = 1√2πe−

t22 et Π(t) = P (X ≤ t) =

∫ t−∞

f (x) ·dx .


y = f (t)

0,4

0 1 2 3−1−2−3


Π(−0,5)' 0,309

• • •••

1

0 1 2 3−1−2−3




f (t) = 1√2πe−

t22 et Π(t) = P (X ≤ t) =

∫ t−∞

f (x) ·dx .


y = f (t)

0,4

0 1 2 3−1−2−3


Π(0) = 0,5

• • ••••

1

0 1 2 3−1−2−3




f (t) = 1√2πe−

t22 et Π(t) = P (X ≤ t) =

∫ t−∞

f (x) ·dx .


y = f (t)

0,4

0 1 2 3−1−2−3


Π(0,5)' 0,691

• • •••••

1

0 1 2 3−1−2−3




f (t) = 1√2πe−

t22 et Π(t) = P (X ≤ t) =

∫ t−∞

f (x) ·dx .


y = f (t)

0,4

0 1 2 3−1−2−3


Π(1)' 0,841

• • ••••••

1

0 1 2 3−1−2−3




f (t) = 1√2πe−

t22 et Π(t) = P (X ≤ t) =

∫ t−∞

f (x) ·dx .


y = f (t)

0,4

0 1 2 3−1−2−3


Π(1,5)' 0,933

• • •••••• •

1

0 1 2 3−1−2−3




f (t) = 1√2πe−

t22 et Π(t) = P (X ≤ t) =

∫ t−∞

f (x) ·dx .


y = f (t)

0,4

0 1 2 3−1−2−3


Π(2)' 0,977

• • •••••• •

•1

0 1 2 3−1−2−3




f (t) = 1√2πe−

t22 et Π(t) = P (X ≤ t) =

∫ t−∞

f (x) ·dx .


y = f (t)

0,4

0 1 2 3−1−2−3


Π(2,5)' 0,994

• • •••••• •

• •1

0 1 2 3−1−2−3




f (t) = 1√2πe−

t22 et Π(t) = P (X ≤ t) =

∫ t−∞

f (x) ·dx .


y = f (t)

0,4

0 1 2 3−1−2−3


Π(3)' 0,999

• • •••••• •

• • •1

0 1 2 3−1−2−3




f (t) = 1√2πe−

t22 et Π(t) = P (X ≤ t) =

∫ t−∞

f (x) ·dx .


y = f (t)

0,4

0 1 2 3−1−2−3


y = Π(t)

1

0 1 2 3−1−2−3




f (t) = 1√2πe−

t22 et Π(t) = P (X ≤ t) =

∫ t−∞

f (x) ·dx .


y = f (t)

0,4

0 1 2 3−1−2−3 t


y = Π(t)

1

0 1 2 3−1−2−3




f (t) = 1√2πe−

t22 et Π(t) = P (X ≤ t) =

∫ t−∞

f (x) ·dx .


Π(t) = P (X ≤ t)

y = f (t)

0,4

0 1 2 3−1−2−3 t


y = Π(t)

1

0 1 2 3−1−2−3




f (t) = 1√2πe−

t22 et Π(t) = P (X ≤ t) =

∫ t−∞

f (x) ·dx .


Π(t) = P (X ≤ t)

y = f (t)

0,4

0 1 2 3−1−2−3 t


Π(t) =∫ t−∞

f (x) ·dx

y = Π(t)

1

0 1 2 3−1−2−3 t

Π(t)


Fonction de répartition de la loi N or(m;σ).

Densité de la loi normale N or(m;σ) :

y = f (t)

m

Fonction de répartition de la loi normale N or(m;σ) :

y = F (t)

1

m

σ petit : faible dispersion (cloche "pointue").




y = f (t)

m


y = F (t)

1

m

La forme des courbes évolue lorsque σ augmente.




y = f (t)

m


y = F (t)

1

m





y = f (t)

m


y = F (t)

1

m





y = f (t)

m


y = F (t)

1

m





y = f (t)

m


y = F (t)

1

m





y = f (t)

m


y = F (t)

1

m





y = f (t)

m


y = F (t)

1

m





y = f (t)

m


y = F (t)

1

m





y = f (t)

m


y = F (t)

1

m





y = f (t)

m


y = F (t)

1

m

σ grand : forte dispersion (cloche "applatie").


Plan

1 L’enjeu.





Fonction de répartition d’un échantillon (1/2).


6−7−9−11−13−8−9−4−12−10−16−8−14−12−10.

Tableau d’effectifsxi 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16ni 1 1 1 2 2 2 1 2 1 1 1fi 1/15 1/15 1/15 2/15 2/15 2/15 1/15 2/15 1/15 1/15 1/15

On range les valeurs par ordre croissant, on calcule les effectifs, puis les fréquences.

Fréquences cumulées croissantesxi 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16Fi 1/15 2/15 3/15 5/15 7/15 9/15 10/15 12/15 13/15 14/15 15/15' 0,067 ' 0,133 = 0,2 ' 0,333 ' 0,467 = 0,6 ' 0,667 = 0,8 ' 0,867 ' 0,933 = 1

' 6,7% des individus prennent une valeur inférieure ou égale à 4.




6−7−9−11−13−8−9−4−12−10−16−8−14−12−10.








6−7−9−11−13−8−9−4−12−10−16−8−14−12−10.








6−7−9−11−13−8−9−4−12−10−16−8−14−12−10.








6−7−9−11−13−8−9−4−12−10−16−8−14−12−10.








6−7−9−11−13−8−9−4−12−10−16−8−14−12−10.








6−7−9−11−13−8−9−4−12−10−16−8−14−12−10.








6−7−9−11−13−8−9−4−12−10−16−8−14−12−10.








6−7−9−11−13−8−9−4−12−10−16−8−14−12−10.








6−7−9−11−13−8−9−4−12−10−16−8−14−12−10.








6−7−9−11−13−8−9−4−12−10−16−8−14−12−10.








6−7−9−11−13−8−9−4−12−10−16−8−14−12−10.








6−7−9−11−13−8−9−4−12−10−16−8−14−12−10.








6−7−9−11−13−8−9−4−12−10−16−8−14−12−10.








6−7−9−11−13−8−9−4−12−10−16−8−14−12−10.








6−7−9−11−13−8−9−4−12−10−16−8−14−12−10.








6−7−9−11−13−8−9−4−12−10−16−8−14−12−10.








6−7−9−11−13−8−9−4−12−10−16−8−14−12−10.








6−7−9−11−13−8−9−4−12−10−16−8−14−12−10.








6−7−9−11−13−8−9−4−12−10−16−8−14−12−10.




80% des individus prennent une valeur inférieure ou égale à 12.




6−7−9−11−13−8−9−4−12−10−16−8−14−12−10.




100% des individus prennent une valeur inférieure ou égale à 16.


Fonction de répartition d’un échantillon (2/2).xi 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16Fi 1/15 2/15 3/15 5/15 7/15 9/15 10/15 12/15 13/15 14/15 15/15' 0,067 ' 0,133 = 0,2 ' 0,333 ' 0,467 = 0,6 ' 0,667 = 0,8 ' 0,867 ' 0,933 = 1

livres vendus par heure

fréquencecumulée

croissante

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

0,10,20,30,40,50,60,70,80,9

0

1

On place les points de coordonnées (xi ;Fi ).




fréquencecumulée

croissante

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

0,10,20,30,40,50,60,70,80,9

0

1





fréquencecumulée

croissante

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

0,10,20,30,40,50,60,70,80,9

0

1

•





fréquencecumulée

croissante

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

0,10,20,30,40,50,60,70,80,9

0

1

••





fréquencecumulée

croissante

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

0,10,20,30,40,50,60,70,80,9

0

1

••

•





fréquencecumulée

croissante

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

0,10,20,30,40,50,60,70,80,9

0

1

••

•

•





fréquencecumulée

croissante

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

0,10,20,30,40,50,60,70,80,9

0

1

••

•

•

•





fréquencecumulée

croissante

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

0,10,20,30,40,50,60,70,80,9

0

1

••

•

•

•

•





fréquencecumulée

croissante

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

0,10,20,30,40,50,60,70,80,9

0

1

••

•

•

•

••





fréquencecumulée

croissante

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

0,10,20,30,40,50,60,70,80,9

0

1

••

•

•

•

••

•





fréquencecumulée

croissante

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

0,10,20,30,40,50,60,70,80,9

0

1

••

•

•

•

••

••





fréquencecumulée

croissante

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

0,10,20,30,40,50,60,70,80,9

0

1

••

•

•

•

••

••

•





fréquencecumulée

croissante

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

0,10,20,30,40,50,60,70,80,9

0

1

••

•

•

•

••

••

••





fréquencecumulée

croissante

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

0,10,20,30,40,50,60,70,80,9

0

1

••

•

•

•

••

••

••

On complète la courbe sur les intervalles [xi ;xi+1[.




fréquencecumulée

croissante

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

0,10,20,30,40,50,60,70,80,9

0

1

••

•

•

•

••

••

••





fréquencecumulée

croissante

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

0,10,20,30,40,50,60,70,80,9

0

1

••

•

•

•

••

••

••





fréquencecumulée

croissante

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

0,10,20,30,40,50,60,70,80,9

0

1

••

•

•

•

••

••

••





fréquencecumulée

croissante

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

0,10,20,30,40,50,60,70,80,9

0

1

••

•

•

•

••

••

••





fréquencecumulée

croissante

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

0,10,20,30,40,50,60,70,80,9

0

1

••

•

•

•

••

••

••





fréquencecumulée

croissante

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

0,10,20,30,40,50,60,70,80,9

0

1

••

•

•

•

••

••

••





fréquencecumulée

croissante

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

0,10,20,30,40,50,60,70,80,9

0

1

••

•

•

•

••

••

••





fréquencecumulée

croissante

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

0,10,20,30,40,50,60,70,80,9

0

1

••

•

•

•

••

••

••





fréquencecumulée

croissante

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

0,10,20,30,40,50,60,70,80,9

0

1

••

•

•

•

••

••

••





fréquencecumulée

croissante

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

0,10,20,30,40,50,60,70,80,9

0

1

••

•

•

•

••

••

••





fréquencecumulée

croissante

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

0,10,20,30,40,50,60,70,80,9

0

1

••

•

•

•

••

••

••





fréquencecumulée

croissante

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

0,10,20,30,40,50,60,70,80,9

0

1

••

•

•

•

••

••

••





fréquencecumulée

croissante

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

0,10,20,30,40,50,60,70,80,9

0

1

••

•

•

•

••

••

••

On trace les traits pointillés verticaux.




fréquencecumulée

croissante

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

0,10,20,30,40,50,60,70,80,9

0

1

••

•

•

•

••

••

••

On trace les traits pointillés verticaux.




fréquencecumulée

croissante

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

0,10,20,30,40,50,60,70,80,9

0

1

••

•

•

•

••

••

••

Fonction de répartition de l’échantillon.


Plan

1 L’enjeu.





Comment juger de la normalité d’une population ?

Fonction de répartition d’un v.a. suivant une loi normale :

1

Fonction de répartition d’un échantillon prélevé dans une population :

1

• • ••

•• •

• • • •

Les courbes sont-elles proches ?

Peut-on accepter la normalité de la population ?

. Décision grâce au test de Henry,

. Décision grâce au test de Lilliefors.




1


1

• • ••

•• •

• • • •








1


1

• • ••

•• •

• • • •








1


1

• • ••

•• •

• • • •








1


1

• • ••

•• •

• • • •








1


1

• • ••

•• •

• • • •






Plan

1 L’enjeu.





Une déformation particulière.

La fonction de répartition de la loi N or(0;1) est tracée.

00,010,04

0,25

0,500,75

0,960,99




On étire irrégulièrement l’axe des ordonnées pour rendre la courbe droite.

00,010,04

0,25

0,500,75

0,960,99





00,01

0,04

0,25

0,50

0,75

0,960,99





0

0,010,04

0,25

0,50

0,75

0,960,99





0

0,01

0,04

0,25

0,50

0,75

0,96

0,99





0

0,01

0,04

0,25

0,50

0,75

0,96

0,99





0

0,01

0,04

0,25

0,50

0,75

0,96

0,99





0

0,01

0,04

0,25

0,50

0,75

0,96

0,99





0

0,01

0,04

0,25

0,50

0,75

0,96

0,99





0

0,01

0,04

0,25

0,50

0,75

0,96

0,99





0

0,01

0,04

0,25

0,50

0,75

0,96

0,99





0

0,01

0,04

0,25

0,50

0,75

0,96

0,99





On obtient le papier gausso-arithmétique.0

0,01

0,04

0,25

0,50

0,75

0,96

0,99

ThéorèmeSur le papier gausso-arithmétique, la représentation graphique de lafonction de répartition de X ∼N or(m;σ) est une droite.

0,01

0,020,030,04

0,060,080,10

0,150,200,250,300,350,400,450,500,550,600,650,700,750,800,85

0,900,920,94

0,960,970,98

0,99

Π(−1)' 0,16


0,01

0,020,030,04

0,060,080,10

0,150,200,250,300,350,400,450,500,550,600,650,700,750,800,85

0,900,920,94

0,960,970,98

0,99

Π(−1)' 0,16


0,01

0,020,030,04

0,060,080,10

0,150,200,250,300,350,400,450,500,550,600,650,700,750,800,85

0,900,920,94

0,960,970,98

0,99

fonction de répartitionde X ∼N or(m;σ)

Π(−1)' 0,16


0,01

0,020,030,04

0,060,080,10

0,150,200,250,300,350,400,450,500,550,600,650,700,750,800,85

0,900,920,94

0,960,970,98

0,99


0,50

Π(−1)' 0,16


0,01

0,020,030,04

0,060,080,10

0,150,200,250,300,350,400,450,500,550,600,650,700,750,800,85

0,900,920,94

0,960,970,98

0,99


0,50

m

Π(−1)' 0,16


0,01

0,020,030,04

0,060,080,10

0,150,200,250,300,350,400,450,500,550,600,650,700,750,800,85

0,900,920,94

0,960,970,98

0,99


0,50

m

Π(−1)' 0,16

Π(1)' 0,84


0,01

0,020,030,04

0,060,080,10

0,150,200,250,300,350,400,450,500,550,600,650,700,750,800,85

0,900,920,94

0,960,970,98

0,99


0,50

m

Π(−1)' 0,16

Π(1)' 0,84 0,84


0,01

0,020,030,04

0,060,080,10

0,150,200,250,300,350,400,450,500,550,600,650,700,750,800,85

0,900,920,94

0,960,970,98

0,99


0,50

m

Π(−1)' 0,16

Π(1)' 0,84 0,84

m + σ


0,01

0,020,030,04

0,060,080,10

0,150,200,250,300,350,400,450,500,550,600,650,700,750,800,85

0,900,920,94

0,960,970,98

0,99


0,50

m

Π(−1)' 0,16

Π(1)' 0,84 0,84

m + σ


0,01

0,020,030,04

0,060,080,10

0,150,200,250,300,350,400,450,500,550,600,650,700,750,800,85

0,900,920,94

0,960,970,98

0,99


0,50

m

Π(−1)' 0,16 0,16

Π(1)' 0,84 0,84

m + σ


0,01

0,020,030,04

0,060,080,10

0,150,200,250,300,350,400,450,500,550,600,650,700,750,800,85

0,900,920,94

0,960,970,98

0,99


0,50

m

Π(−1)' 0,16 0,16

m−σ

Π(1)' 0,84 0,84

m + σ


0,01

0,020,030,04

0,060,080,10

0,150,200,250,300,350,400,450,500,550,600,650,700,750,800,85

0,900,920,94

0,960,970,98

0,99


0,50

m

Π(−1)' 0,16 0,16

m−σ

Π(1)' 0,84 0,84

m + σ

2σ


Plan

1 L’enjeu.





Le fonctionnement du test.

Prélever un échantillon dans la population.

Ranger les valeurs xi par ordre croissant.

Déterminer les fréquences cumulées croissantes Fi .

Placer les points de coord. (xi ;Fi ) sur le papier gausso-arithmétique.

Prendre une décision suivant l’allure du nuage de points :

. points proches d’une même droite : accepter la normalité ;

. sinon : rejetter la normalité de la population.























































xi 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16Fi 1/15 2/15 3/15 5/15 7/15 9/15 10/15 12/15 13/15 14/15 15/15' 0,067 ' 0,133 = 0,2 ' 0,333 ' 0,467 = 0,6 ' 0,667 = 0,8 ' 0,867 ' 0,933 = 1

0,01

0,020,030,04

0,060,080,10

0,150,200,250,300,350,400,450,500,550,600,650,700,750,800,85

0,900,920,94

0,960,970,98

0,99La fréquence 1 est rejetée à l’infini.

m(estimation)

xi 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16Fi 1/15 2/15 3/15 5/15 7/15 9/15 10/15 12/15 13/15 14/15 15/15' 0,067 ' 0,133 = 0,2 ' 0,333 ' 0,467 = 0,6 ' 0,667 = 0,8 ' 0,867 ' 0,933 = 1

0,01

0,020,030,04

0,060,080,10

0,150,200,250,300,350,400,450,500,550,600,650,700,750,800,85

0,900,920,94

0,960,970,98

0,99

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

La fréquence 1 est rejetée à l’infini.

m(estimation)

xi 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16Fi 1/15 2/15 3/15 5/15 7/15 9/15 10/15 12/15 13/15 14/15 15/15' 0,067 ' 0,133 = 0,2 ' 0,333 ' 0,467 = 0,6 ' 0,667 = 0,8 ' 0,867 ' 0,933 = 1

0,01

0,020,030,04

0,060,080,10

0,150,200,250,300,350,400,450,500,550,600,650,700,750,800,85

0,900,920,94

0,960,970,98

0,99

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

•


m(estimation)

xi 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16Fi 1/15 2/15 3/15 5/15 7/15 9/15 10/15 12/15 13/15 14/15 15/15' 0,067 ' 0,133 = 0,2 ' 0,333 ' 0,467 = 0,6 ' 0,667 = 0,8 ' 0,867 ' 0,933 = 1

0,01

0,020,030,04

0,060,080,10

0,150,200,250,300,350,400,450,500,550,600,650,700,750,800,85

0,900,920,94

0,960,970,98

0,99

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

•

•


m(estimation)

xi 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16Fi 1/15 2/15 3/15 5/15 7/15 9/15 10/15 12/15 13/15 14/15 15/15' 0,067 ' 0,133 = 0,2 ' 0,333 ' 0,467 = 0,6 ' 0,667 = 0,8 ' 0,867 ' 0,933 = 1

0,01

0,020,030,04

0,060,080,10

0,150,200,250,300,350,400,450,500,550,600,650,700,750,800,85

0,900,920,94

0,960,970,98

0,99

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

•

•

•


m(estimation)

xi 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16Fi 1/15 2/15 3/15 5/15 7/15 9/15 10/15 12/15 13/15 14/15 15/15' 0,067 ' 0,133 = 0,2 ' 0,333 ' 0,467 = 0,6 ' 0,667 = 0,8 ' 0,867 ' 0,933 = 1

0,01

0,020,030,04

0,060,080,10

0,150,200,250,300,350,400,450,500,550,600,650,700,750,800,85

0,900,920,94

0,960,970,98

0,99

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

•

•

•

•


m(estimation)

xi 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16Fi 1/15 2/15 3/15 5/15 7/15 9/15 10/15 12/15 13/15 14/15 15/15' 0,067 ' 0,133 = 0,2 ' 0,333 ' 0,467 = 0,6 ' 0,667 = 0,8 ' 0,867 ' 0,933 = 1

0,01

0,020,030,04

0,060,080,10

0,150,200,250,300,350,400,450,500,550,600,650,700,750,800,85

0,900,920,94

0,960,970,98

0,99

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

•

•

•

•

•


m(estimation)

xi 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16Fi 1/15 2/15 3/15 5/15 7/15 9/15 10/15 12/15 13/15 14/15 15/15' 0,067 ' 0,133 = 0,2 ' 0,333 ' 0,467 = 0,6 ' 0,667 = 0,8 ' 0,867 ' 0,933 = 1

0,01

0,020,030,04

0,060,080,10

0,150,200,250,300,350,400,450,500,550,600,650,700,750,800,85

0,900,920,94

0,960,970,98

0,99

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

•

•

•

•

•

•


m(estimation)

xi 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16Fi 1/15 2/15 3/15 5/15 7/15 9/15 10/15 12/15 13/15 14/15 15/15' 0,067 ' 0,133 = 0,2 ' 0,333 ' 0,467 = 0,6 ' 0,667 = 0,8 ' 0,867 ' 0,933 = 1

0,01

0,020,030,04

0,060,080,10

0,150,200,250,300,350,400,450,500,550,600,650,700,750,800,85

0,900,920,94

0,960,970,98

0,99

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

•

•

•

•

•

••


m(estimation)

xi 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16Fi 1/15 2/15 3/15 5/15 7/15 9/15 10/15 12/15 13/15 14/15 15/15' 0,067 ' 0,133 = 0,2 ' 0,333 ' 0,467 = 0,6 ' 0,667 = 0,8 ' 0,867 ' 0,933 = 1

0,01

0,020,030,04

0,060,080,10

0,150,200,250,300,350,400,450,500,550,600,650,700,750,800,85

0,900,920,94

0,960,970,98

0,99

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

•

•

•

•

•

••

•


m(estimation)

xi 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16Fi 1/15 2/15 3/15 5/15 7/15 9/15 10/15 12/15 13/15 14/15 15/15' 0,067 ' 0,133 = 0,2 ' 0,333 ' 0,467 = 0,6 ' 0,667 = 0,8 ' 0,867 ' 0,933 = 1

0,01

0,020,030,04

0,060,080,10

0,150,200,250,300,350,400,450,500,550,600,650,700,750,800,85

0,900,920,94

0,960,970,98

0,99

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

•

•

•

•

•

••

•

•


m(estimation)

xi 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16Fi 1/15 2/15 3/15 5/15 7/15 9/15 10/15 12/15 13/15 14/15 15/15' 0,067 ' 0,133 = 0,2 ' 0,333 ' 0,467 = 0,6 ' 0,667 = 0,8 ' 0,867 ' 0,933 = 1

0,01

0,020,030,04

0,060,080,10

0,150,200,250,300,350,400,450,500,550,600,650,700,750,800,85

0,900,920,94

0,960,970,98

0,99

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

•

•

•

•

•

••

•

•

•


m(estimation)

xi 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16Fi 1/15 2/15 3/15 5/15 7/15 9/15 10/15 12/15 13/15 14/15 15/15' 0,067 ' 0,133 = 0,2 ' 0,333 ' 0,467 = 0,6 ' 0,667 = 0,8 ' 0,867 ' 0,933 = 1

0,01

0,020,030,04

0,060,080,10

0,150,200,250,300,350,400,450,500,550,600,650,700,750,800,85

0,900,920,94

0,960,970,98

0,99

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

•

•

•

•

•

••

•

•

•


m(estimation)

xi 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16Fi 1/15 2/15 3/15 5/15 7/15 9/15 10/15 12/15 13/15 14/15 15/15' 0,067 ' 0,133 = 0,2 ' 0,333 ' 0,467 = 0,6 ' 0,667 = 0,8 ' 0,867 ' 0,933 = 1

0,01

0,020,030,04

0,060,080,10

0,150,200,250,300,350,400,450,500,550,600,650,700,750,800,85

0,900,920,94

0,960,970,98

0,99

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

•

•

•

•

•

••

•

•

•


Nuage de points proches d’une droite :on accepte la normalité de la population.

m(estimation)

xi 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16Fi 1/15 2/15 3/15 5/15 7/15 9/15 10/15 12/15 13/15 14/15 15/15' 0,067 ' 0,133 = 0,2 ' 0,333 ' 0,467 = 0,6 ' 0,667 = 0,8 ' 0,867 ' 0,933 = 1

0,01

0,020,030,04

0,060,080,10

0,150,200,250,300,350,400,450,500,550,600,650,700,750,800,85

0,900,920,94

0,960,970,98

0,99

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

•

•

•

•

•

••

•

•

•



0,50

m(estimation)

xi 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16Fi 1/15 2/15 3/15 5/15 7/15 9/15 10/15 12/15 13/15 14/15 15/15' 0,067 ' 0,133 = 0,2 ' 0,333 ' 0,467 = 0,6 ' 0,667 = 0,8 ' 0,867 ' 0,933 = 1

0,01

0,020,030,04

0,060,080,10

0,150,200,250,300,350,400,450,500,550,600,650,700,750,800,85

0,900,920,94

0,960,970,98

0,99

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

•

•

•

•

•

••

•

•

•



0,50

m(estimation)

xi 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16Fi 1/15 2/15 3/15 5/15 7/15 9/15 10/15 12/15 13/15 14/15 15/15' 0,067 ' 0,133 = 0,2 ' 0,333 ' 0,467 = 0,6 ' 0,667 = 0,8 ' 0,867 ' 0,933 = 1

0,01

0,020,030,04

0,060,080,10

0,150,200,250,300,350,400,450,500,550,600,650,700,750,800,85

0,900,920,94

0,960,970,98

0,99

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

•

•

•

•

•

••

•

•

•



0,50

m(estimation)

0,16

xi 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16Fi 1/15 2/15 3/15 5/15 7/15 9/15 10/15 12/15 13/15 14/15 15/15' 0,067 ' 0,133 = 0,2 ' 0,333 ' 0,467 = 0,6 ' 0,667 = 0,8 ' 0,867 ' 0,933 = 1

0,01

0,020,030,04

0,060,080,10

0,150,200,250,300,350,400,450,500,550,600,650,700,750,800,85

0,900,920,94

0,960,970,98

0,99

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

•

•

•

•

•

••

•

•

•



0,50

m(estimation)

0,16

m−σ

(estimation)

xi 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16Fi 1/15 2/15 3/15 5/15 7/15 9/15 10/15 12/15 13/15 14/15 15/15' 0,067 ' 0,133 = 0,2 ' 0,333 ' 0,467 = 0,6 ' 0,667 = 0,8 ' 0,867 ' 0,933 = 1

0,01

0,020,030,04

0,060,080,10

0,150,200,250,300,350,400,450,500,550,600,650,700,750,800,85

0,900,920,94

0,960,970,98

0,99

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

•

•

•

•

•

••

•

•

•



0,50

m(estimation)

0,16

m−σ

(estimation)

0,84

xi 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16Fi 1/15 2/15 3/15 5/15 7/15 9/15 10/15 12/15 13/15 14/15 15/15' 0,067 ' 0,133 = 0,2 ' 0,333 ' 0,467 = 0,6 ' 0,667 = 0,8 ' 0,867 ' 0,933 = 1

0,01

0,020,030,04

0,060,080,10

0,150,200,250,300,350,400,450,500,550,600,650,700,750,800,85

0,900,920,94

0,960,970,98

0,99

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

•

•

•

•

•

••

•

•

•



0,50

m(estimation)

0,16

m−σ

(estimation)

0,84

m + σ

(estimation)

xi 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16Fi 1/15 2/15 3/15 5/15 7/15 9/15 10/15 12/15 13/15 14/15 15/15' 0,067 ' 0,133 = 0,2 ' 0,333 ' 0,467 = 0,6 ' 0,667 = 0,8 ' 0,867 ' 0,933 = 1

0,01

0,020,030,04

0,060,080,10

0,150,200,250,300,350,400,450,500,550,600,650,700,750,800,85

0,900,920,94

0,960,970,98

0,99

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

•

•

•

•

•

••

•

•

•



0,50

m(estimation)

0,16

m−σ

(estimation)

0,84

m + σ

(estimation)

2σ ' 6,4

xi 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16Fi 1/15 2/15 3/15 5/15 7/15 9/15 10/15 12/15 13/15 14/15 15/15' 0,067 ' 0,133 = 0,2 ' 0,333 ' 0,467 = 0,6 ' 0,667 = 0,8 ' 0,867 ' 0,933 = 1

0,01

0,020,030,04

0,060,080,10

0,150,200,250,300,350,400,450,500,550,600,650,700,750,800,85

0,900,920,94

0,960,970,98

0,99

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

•

•

•

•

•

••

•

•

•



0,50

m(estimation)

0,16

m−σ

(estimation)

0,84

m + σ

(estimation)

2σ ' 6,4

σ ' 3,2


Plan

1 L’enjeu.





Exemple 2.

ExempleDans une société de transport en commun, on a étudié le temps deparcours d’un tronçon :

Durées du trajet en minutes [5;8[ [8;11[ [11;14[ [14;20[ [20;23[

Nombres de trajets 13 17 5 0 4

Tous les trajetssur le tronçon

échantillon

taille = 39x1, x2 · · · , x39



Exemple 2.





échantillon

taille = 39x1, x2 · · · , x39



Exemple 2.





•1 trajet

échantillon

taille = 39x1, x2 · · · , x39



Exemple 2.





•1 trajet

X = durée

échantillon

taille = 39x1, x2 · · · , x39



Exemple 2.





•1 trajet

X = durée

m

échantillon

taille = 39x1, x2 · · · , x39



Exemple 2.





•1 trajet

X = durée

mσ

échantillon

taille = 39x1, x2 · · · , x39



Exemple 2.





•1 trajet

X = durée

mσ

échantillon

taille = 39x1, x2 · · · , x39



Exemple 2.





•1 trajet

X = durée

mσ

échantillon

taille = 39x1, x2 · · · , x39



Exemple 2.




Histogramme de l’échantillon.Répartition des 39 trajets de l’échantillon suivant leur durée.

5 8 11 14 17 20 23durée (minutes)

L’histogramme ne suggère pas la forme de la densité d’une loi normale.


Exemple 2.





5 8 11 14 17 20 23durée (minutes)

5 trajets



Exemple 2.





5 8 11 14 17 20 23durée (minutes)

5 trajets



Exemple 2.





5 8 11 14 17 20 23durée (minutes)

5 trajets



Exemple 2.





5 8 11 14 17 20 23durée (minutes)

5 trajets



Exemple 2.





5 8 11 14 17 20 23durée (minutes)

5 trajets

L’histogramme ne suggère pas la forme de la densité d’une loi normale.L’histogramme ne suggère pas la forme de la densité d’une loi normale.

xi 5 8 11 14 20 23Fi 0/39 13/39 30/39 35/39 35/39 39/39

= 0 ' 0,333 = 0,769 ' 0,897 ' 0,897 = 1

0,01

0,020,030,04

0,060,080,10

0,150,200,250,300,350,400,450,500,550,600,650,700,750,800,85

0,900,920,94

0,960,970,98



xi 5 8 11 14 20 23Fi 0/39 13/39 30/39 35/39 35/39 39/39

= 0 ' 0,333 = 0,769 ' 0,897 ' 0,897 = 1

0,01

0,020,030,04

0,060,080,10

0,150,200,250,300,350,400,450,500,550,600,650,700,750,800,85

0,900,920,94

0,960,970,98



xi 5 8 11 14 20 23Fi 0/39 13/39 30/39 35/39 35/39 39/39

= 0 ' 0,333 = 0,769 ' 0,897 ' 0,897 = 1

0,01

0,020,030,04

0,060,080,10

0,150,200,250,300,350,400,450,500,550,600,650,700,750,800,85

0,900,920,94

0,960,970,98



xi 5 8 11 14 20 23Fi 0/39 13/39 30/39 35/39 35/39 39/39

= 0 ' 0,333 = 0,769 ' 0,897 ' 0,897 = 1

0,01

0,020,030,04

0,060,080,10

0,150,200,250,300,350,400,450,500,550,600,650,700,750,800,85

0,900,920,94

0,960,970,98



xi 5 8 11 14 20 23Fi 0/39 13/39 30/39 35/39 35/39 39/39

= 0 ' 0,333 = 0,769 ' 0,897 ' 0,897 = 1

0,01

0,020,030,04

0,060,080,10

0,150,200,250,300,350,400,450,500,550,600,650,700,750,800,85

0,900,920,94

0,960,970,98



xi 5 8 11 14 20 23Fi 0/39 13/39 30/39 35/39 35/39 39/39

= 0 ' 0,333 = 0,769 ' 0,897 ' 0,897 = 1

0,01

0,020,030,04

0,060,080,10

0,150,200,250,300,350,400,450,500,550,600,650,700,750,800,85

0,900,920,94

0,960,970,98



xi 5 8 11 14 20 23Fi 0/39 13/39 30/39 35/39 35/39 39/39

= 0 ' 0,333 = 0,769 ' 0,897 ' 0,897 = 1

0,01

0,020,030,04

0,060,080,10

0,150,200,250,300,350,400,450,500,550,600,650,700,750,800,85

0,900,920,94

0,960,970,98



xi 5 8 11 14 20 23Fi 0/39 13/39 30/39 35/39 35/39 39/39

= 0 ' 0,333 = 0,769 ' 0,897 ' 0,897 = 1

0,01

0,020,030,04

0,060,080,10

0,150,200,250,300,350,400,450,500,550,600,650,700,750,800,85

0,900,920,94

0,960,970,98

0,99

5 8 11 14 17 20 23



xi 5 8 11 14 20 23Fi 0/39 13/39 30/39 35/39 35/39 39/39

= 0 ' 0,333 = 0,769 ' 0,897 ' 0,897 = 1

0,01

0,020,030,04

0,060,080,10

0,150,200,250,300,350,400,450,500,550,600,650,700,750,800,85

0,900,920,94

0,960,970,98

0,99

5 8 11 14 17 20 23



xi 5 8 11 14 20 23Fi 0/39 13/39 30/39 35/39 35/39 39/39

= 0 ' 0,333 = 0,769 ' 0,897 ' 0,897 = 1

0,01

0,020,030,04

0,060,080,10

0,150,200,250,300,350,400,450,500,550,600,650,700,750,800,85

0,900,920,94

0,960,970,98

0,99

5 8 11 14 17 20 23

•



xi 5 8 11 14 20 23Fi 0/39 13/39 30/39 35/39 35/39 39/39

= 0 ' 0,333 = 0,769 ' 0,897 ' 0,897 = 1

0,01

0,020,030,04

0,060,080,10

0,150,200,250,300,350,400,450,500,550,600,650,700,750,800,85

0,900,920,94

0,960,970,98

0,99

5 8 11 14 17 20 23

•

•



xi 5 8 11 14 20 23Fi 0/39 13/39 30/39 35/39 35/39 39/39

= 0 ' 0,333 = 0,769 ' 0,897 ' 0,897 = 1

0,01

0,020,030,04

0,060,080,10

0,150,200,250,300,350,400,450,500,550,600,650,700,750,800,85

0,900,920,94

0,960,970,98

0,99

5 8 11 14 17 20 23

•

•

•



xi 5 8 11 14 20 23Fi 0/39 13/39 30/39 35/39 35/39 39/39

= 0 ' 0,333 = 0,769 ' 0,897 ' 0,897 = 1

0,01

0,020,030,04

0,060,080,10

0,150,200,250,300,350,400,450,500,550,600,650,700,750,800,85

0,900,920,94

0,960,970,98

0,99

5 8 11 14 17 20 23

•

•

• •



xi 5 8 11 14 20 23Fi 0/39 13/39 30/39 35/39 35/39 39/39

= 0 ' 0,333 = 0,769 ' 0,897 ' 0,897 = 1

0,01

0,020,030,04

0,060,080,10

0,150,200,250,300,350,400,450,500,550,600,650,700,750,800,85

0,900,920,94

0,960,970,98

0,99

5 8 11 14 17 20 23

•

•

• •



xi 5 8 11 14 20 23Fi 0/39 13/39 30/39 35/39 35/39 39/39

= 0 ' 0,333 = 0,769 ' 0,897 ' 0,897 = 1

0,01

0,020,030,04

0,060,080,10

0,150,200,250,300,350,400,450,500,550,600,650,700,750,800,85

0,900,920,94

0,960,970,98

0,99

5 8 11 14 17 20 23

•

•

• •



Nuage de points non proches d’une droite :on rejette la normalité de la population.


Plan

1 L’enjeu.




En noir : la fonction de répartition de N or(0;1).

Si la population est normale (avec m = 0 et σ = 1), il n’y a que 5% de chance que lafonction de répartition d’un futur échantillon de taille n = 100 sorte des frontières.

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0

1

0 1 2 3−1−2−3Risque de première espèce : 5%


En bleu: les frontières significatives pour n = 100 :


n = 100

n = 100

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0

1



En magenta: les frontières significatives pour n = 50 :


n = 50

n = 50

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0

1



En vert: les frontières significatives pour n = 30 :


n = 30

n = 30

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0

1



En marron: les frontières significatives pour n = 20 :


n = 20

n = 20

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0

1



En orange: les frontières significatives pour n = 10 :


n = 10

n = 10

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0

1



En jaune: les frontières significatives pour n = 5 :


n = 5

n = 5

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0

1




Le papier de Lilliefors mesure si la différence entre la fonction de répartition del’échantillon et la fonction de répartition de la loi N or(0;1) est significative.

n = 100

n = 50

n = 30

n = 20

n = 10

n = 5

n = 100

n = 50

n = 30

n = 20

n = 10

n = 5

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0

1



Plan

1 L’enjeu.








Centrer et réduire les valeurs xi : x?i = xi−x

σ̂.


Construire la fonction de répartition de l’échantillon (valeurscentrées-réduites) sur le papier de Lilliefors.

Prendre une décision suivant la position de la fonction de répartition :

. ne coupe pas les frontières : accepter la normalité ;

. coupe les frontières : rejetter la normalité de la population.






σ̂.











σ̂.











σ̂.











σ̂.











σ̂.











σ̂.











σ̂.







Centrage et réduction des valeurs de l’échantillon.


6−7−9−11−13−8−9−4−12−10−16−8−14−12−10.

x = ΣxiN = 149

15 =' 9,93.

V =Σx2

iN − x2 = 1621

15 −(149

15

)2 ' 9,3955 · · ·

σ̂ = σ ×√

1514 ' 3,1728 · · ·




6−7−9−11−13−8−9−4−12−10−16−8−14−12−10.

x = ΣxiN = 149

15 = ' 9,9333 · · ·

V =Σx2

iN − x2 = 1621

15 −(149

15

)2 ' 9,3955 · · ·

σ̂ = σ ×√

1514 ' 3,1728 · · ·




6−7−9−11−13−8−9−4−12−10−16−8−14−12−10.

x = ΣxiN = 149

15 = ' 9,9333 · · ·

V =Σx2

iN − x2 = 1621

15 −(149

15

)2 ' 9,3955 · · ·

σ̂ = σ ×√

1514 ' 3,1728 · · ·




6−7−9−11−13−8−9−4−12−10−16−8−14−12−10.

x = ΣxiN = 149

15 = ' 9,9333 · · ·

V =Σx2

iN − x2 = 1621

15 −(149

15

)2 ' 9,3955 · · ·

σ̂ = σ ×√

1514 ' 3,1728 · · ·




6−7−9−11−13−8−9−4−12−10−16−8−14−12−10.

x = ΣxiN = 149

15 = ' 9,9333 · · ·

V =Σx2

iN − x2 = 1621

15 −(149

15

)2 ' 9,3955 · · ·

σ̂ = σ ×√

1514 ' 3,1728 · · ·




6−7−9−11−13−8−9−4−12−10−16−8−14−12−10.

x = ΣxiN = 149

15 = ' 9,9333 · · ·

V =Σx2

iN − x2 = 1621

15 −(149

15

)2 ' 9,3955 · · ·

σ̂ = σ ×√

1514 ' 3,1728 · · ·




6−7−9−11−13−8−9−4−12−10−16−8−14−12−10.

x = ΣxiN = 149

15 = ' 9,9333 · · ·

V =Σx2

iN − x2 = 1621

15 −(149

15

)2 ' 9,3955 · · ·

σ̂ = σ ×√

1514 ' 3,1728 · · ·




6−7−9−11−13−8−9−4−12−10−16−8−14−12−10.

x = ΣxiN = 149

15 = ' 9,9333 · · ·

V =Σx2

iN − x2 = 1621

15 −(149

15

)2 ' 9,3955 · · ·

σ =√

V ' 3,0652 · · · σ̂ = σ ×√

1514 ' 3,1728 · · ·




6−7−9−11−13−8−9−4−12−10−16−8−14−12−10.

x = ΣxiN = 149

15 = ' 9,9333 · · ·

V =Σx2

iN − x2 = 1621

15 −(149

15

)2 ' 9,3955 · · ·

σ =√

V ' 3,0652 · · · σ̂ = σ ×√

1514 ' 3,1728 · · ·




6−7−9−11−13−8−9−4−12−10−16−8−14−12−10.

x = ΣxiN = 149

15 = ' 9,9333 · · ·

V =Σx2

iN − x2 = 1621

15 −(149

15

)2 ' 9,3955 · · ·

σ =√

V ' 3,0652 · · · σ̂ = σ ×√

1514 ' 3,1728 · · ·




6−7−9−11−13−8−9−4−12−10−16−8−14−12−10.

x = ΣxiN = 149

15 = ' 9,9333 · · ·

V =Σx2

iN − x2 = 1621

15 −(149

15

)2 ' 9,3955 · · ·

σ =√

V ' 3,0652 · · · σ̂ = σ ×√

1514 ' 3,1728 · · ·




6−7−9−11−13−8−9−4−12−10−16−8−14−12−10.

x = ΣxiN = 149

15 = ' 9,9333 · · ·

V =Σx2

iN − x2 = 1621

15 −(149

15

)2 ' 9,3955 · · ·

σ =√

V ' 3,0652 · · · σ̂ = σ ×√

1514 ' 3,1728 · · ·

xi 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16x?i −1,870 −1,240 −0,925 −0,609 −0,294 0,021 0,336 0,651 0,967 1,282 1,912

Fi 1/15 2/15 3/15 5/15 7/15 9/15 10/15 12/15 13/15 14/15 15/15' 0,067 ' 0,133 = 0,2 ' 0,333 ' 0,467 = 0,6 ' 0,667 = 0,8 ' 0,867 ' 0,933 = 1




6−7−9−11−13−8−9−4−12−10−16−8−14−12−10.

x = ΣxiN = 149

15 = ' 9,9333 · · ·

V =Σx2

iN − x2 = 1621

15 −(149

15

)2 ' 9,3955 · · ·

σ =√

V ' 3,0652 · · · σ̂ = σ ×√

1514 ' 3,1728 · · ·

xi 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16x?i −1,870 −1,240 −0,925 −0,609 −0,294 0,021 0,336 0,651 0,967 1,282 1,912

Fi 1/15 2/15 3/15 5/15 7/15 9/15 10/15 12/15 13/15 14/15 15/15' 0,067 ' 0,133 = 0,2 ' 0,333 ' 0,467 = 0,6 ' 0,667 = 0,8 ' 0,867 ' 0,933 = 1

x?1 = x1−x

σ̂' 4−9,9333

3,1728 '−1,870




6−7−9−11−13−8−9−4−12−10−16−8−14−12−10.

x = ΣxiN = 149

15 = ' 9,9333 · · ·

V =Σx2

iN − x2 = 1621

15 −(149

15

)2 ' 9,3955 · · ·

σ =√

V ' 3,0652 · · · σ̂ = σ ×√

1514 ' 3,1728 · · ·

xi 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16x?i −1,870 −1,240 −0,925 −0,609 −0,294 0,021 0,336 0,651 0,967 1,282 1,912

Fi 1/15 2/15 3/15 5/15 7/15 9/15 10/15 12/15 13/15 14/15 15/15' 0,067 ' 0,133 = 0,2 ' 0,333 ' 0,467 = 0,6 ' 0,667 = 0,8 ' 0,867 ' 0,933 = 1

x?2 = x2−x

σ̂' 6−9,9333

3,1728 '−1,240




6−7−9−11−13−8−9−4−12−10−16−8−14−12−10.

x = ΣxiN = 149

15 = ' 9,9333 · · ·

V =Σx2

iN − x2 = 1621

15 −(149

15

)2 ' 9,3955 · · ·

σ =√

V ' 3,0652 · · · σ̂ = σ ×√

1514 ' 3,1728 · · ·

xi 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16x?i −1,870 −1,240 −0,925 −0,609 −0,294 0,021 0,336 0,651 0,967 1,282 1,912

Fi 1/15 2/15 3/15 5/15 7/15 9/15 10/15 12/15 13/15 14/15 15/15' 0,067 ' 0,133 = 0,2 ' 0,333 ' 0,467 = 0,6 ' 0,667 = 0,8 ' 0,867 ' 0,933 = 1

x?3 = x3−x

σ̂' 7−9,9333

3,1728 '−0,925




6−7−9−11−13−8−9−4−12−10−16−8−14−12−10.

x = ΣxiN = 149

15 = ' 9,9333 · · ·

V =Σx2

iN − x2 = 1621

15 −(149

15

)2 ' 9,3955 · · ·

σ =√

V ' 3,0652 · · · σ̂ = σ ×√

1514 ' 3,1728 · · ·

xi 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16x?i −1,870 −1,240 −0,925 −0,609 −0,294 0,021 0,336 0,651 0,967 1,282 1,912

Fi 1/15 2/15 3/15 5/15 7/15 9/15 10/15 12/15 13/15 14/15 15/15' 0,067 ' 0,133 = 0,2 ' 0,333 ' 0,467 = 0,6 ' 0,667 = 0,8 ' 0,867 ' 0,933 = 1

x?4 = x4−x

σ̂' 8−9,9333

3,1728 '−0,609




6−7−9−11−13−8−9−4−12−10−16−8−14−12−10.

x = ΣxiN = 149

15 = ' 9,9333 · · ·

V =Σx2

iN − x2 = 1621

15 −(149

15

)2 ' 9,3955 · · ·

σ =√

V ' 3,0652 · · · σ̂ = σ ×√

1514 ' 3,1728 · · ·

xi 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16x?i −1,870 −1,240 −0,925 −0,609 −0,294 0,021 0,336 0,651 0,967 1,282 1,912

Fi 1/15 2/15 3/15 5/15 7/15 9/15 10/15 12/15 13/15 14/15 15/15' 0,067 ' 0,133 = 0,2 ' 0,333 ' 0,467 = 0,6 ' 0,667 = 0,8 ' 0,867 ' 0,933 = 1

x?5 = x5−x

σ̂' 9−9,9333

3,1728 '−0,294




6−7−9−11−13−8−9−4−12−10−16−8−14−12−10.

x = ΣxiN = 149

15 = ' 9,9333 · · ·

V =Σx2

iN − x2 = 1621

15 −(149

15

)2 ' 9,3955 · · ·

σ =√

V ' 3,0652 · · · σ̂ = σ ×√

1514 ' 3,1728 · · ·

xi 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16x?i −1,870 −1,240 −0,925 −0,609 −0,294 0,021 0,336 0,651 0,967 1,282 1,912

Fi 1/15 2/15 3/15 5/15 7/15 9/15 10/15 12/15 13/15 14/15 15/15' 0,067 ' 0,133 = 0,2 ' 0,333 ' 0,467 = 0,6 ' 0,667 = 0,8 ' 0,867 ' 0,933 = 1

x?6 = x6−x

σ̂' 10−9,9333

3,1728 ' 0,021




6−7−9−11−13−8−9−4−12−10−16−8−14−12−10.

x = ΣxiN = 149

15 = ' 9,9333 · · ·

V =Σx2

iN − x2 = 1621

15 −(149

15

)2 ' 9,3955 · · ·

σ =√

V ' 3,0652 · · · σ̂ = σ ×√

1514 ' 3,1728 · · ·

xi 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16x?i −1,870 −1,240 −0,925 −0,609 −0,294 0,021 0,336 0,651 0,967 1,282 1,912

Fi 1/15 2/15 3/15 5/15 7/15 9/15 10/15 12/15 13/15 14/15 15/15' 0,067 ' 0,133 = 0,2 ' 0,333 ' 0,467 = 0,6 ' 0,667 = 0,8 ' 0,867 ' 0,933 = 1

x?7 = x7−x

σ̂' 11−9,9333

3,1728 ' 0,336




6−7−9−11−13−8−9−4−12−10−16−8−14−12−10.

x = ΣxiN = 149

15 = ' 9,9333 · · ·

V =Σx2

iN − x2 = 1621

15 −(149

15

)2 ' 9,3955 · · ·

σ =√

V ' 3,0652 · · · σ̂ = σ ×√

1514 ' 3,1728 · · ·

xi 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16x?i −1,870 −1,240 −0,925 −0,609 −0,294 0,021 0,336 0,651 0,967 1,282 1,912

Fi 1/15 2/15 3/15 5/15 7/15 9/15 10/15 12/15 13/15 14/15 15/15' 0,067 ' 0,133 = 0,2 ' 0,333 ' 0,467 = 0,6 ' 0,667 = 0,8 ' 0,867 ' 0,933 = 1

x?8 = x8−x

σ̂' 12−9,9333

3,1728 ' 0,651




6−7−9−11−13−8−9−4−12−10−16−8−14−12−10.

x = ΣxiN = 149

15 = ' 9,9333 · · ·

V =Σx2

iN − x2 = 1621

15 −(149

15

)2 ' 9,3955 · · ·

σ =√

V ' 3,0652 · · · σ̂ = σ ×√

1514 ' 3,1728 · · ·

xi 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16x?i −1,870 −1,240 −0,925 −0,609 −0,294 0,021 0,336 0,651 0,967 1,282 1,912

Fi 1/15 2/15 3/15 5/15 7/15 9/15 10/15 12/15 13/15 14/15 15/15' 0,067 ' 0,133 = 0,2 ' 0,333 ' 0,467 = 0,6 ' 0,667 = 0,8 ' 0,867 ' 0,933 = 1

x?9 = x9−x

σ̂' 13−9,9333

3,1728 ' 0,967




6−7−9−11−13−8−9−4−12−10−16−8−14−12−10.

x = ΣxiN = 149

15 = ' 9,9333 · · ·

V =Σx2

iN − x2 = 1621

15 −(149

15

)2 ' 9,3955 · · ·

σ =√

V ' 3,0652 · · · σ̂ = σ ×√

1514 ' 3,1728 · · ·

xi 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16x?i −1,870 −1,240 −0,925 −0,609 −0,294 0,021 0,336 0,651 0,967 1,282 1,912

Fi 1/15 2/15 3/15 5/15 7/15 9/15 10/15 12/15 13/15 14/15 15/15' 0,067 ' 0,133 = 0,2 ' 0,333 ' 0,467 = 0,6 ' 0,667 = 0,8 ' 0,867 ' 0,933 = 1

x?10 = x10−x

σ̂' 14−9,9333

3,1728 ' 1,282




6−7−9−11−13−8−9−4−12−10−16−8−14−12−10.

x = ΣxiN = 149

15 = ' 9,9333 · · ·

V =Σx2

iN − x2 = 1621

15 −(149

15

)2 ' 9,3955 · · ·

σ =√

V ' 3,0652 · · · σ̂ = σ ×√

1514 ' 3,1728 · · ·

xi 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16x?i −1,870 −1,240 −0,925 −0,609 −0,294 0,021 0,336 0,651 0,967 1,282 1,912

Fi 1/15 2/15 3/15 5/15 7/15 9/15 10/15 12/15 13/15 14/15 15/15' 0,067 ' 0,133 = 0,2 ' 0,333 ' 0,467 = 0,6 ' 0,667 = 0,8 ' 0,867 ' 0,933 = 1

x?11 = x11−x

σ̂' 16−9,9333

3,1728 ' 1,912

xi 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16x?i −1,870 −1,240 −0,925 −0,609 −0,294 0,021 0,336 0,651 0,967 1,282 1,912

Fi 1/15 2/15 3/15 5/15 7/15 9/15 10/15 12/15 13/15 14/15 15/15' 0,067 ' 0,133 = 0,2 ' 0,333 ' 0,467 = 0,6 ' 0,667 = 0,8 ' 0,867 ' 0,933 = 1

n = 100

n = 50

n = 30

n = 20

n = 10

n = 5

n = 100

n = 50

n = 30

n = 20

n = 10

n = 5

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0

1


xi 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16x?i −1,870 −1,240 −0,925 −0,609 −0,294 0,021 0,336 0,651 0,967 1,282 1,912

Fi 1/15 2/15 3/15 5/15 7/15 9/15 10/15 12/15 13/15 14/15 15/15' 0,067 ' 0,133 = 0,2 ' 0,333 ' 0,467 = 0,6 ' 0,667 = 0,8 ' 0,867 ' 0,933 = 1

n = 100

n = 50

n = 30

n = 20

n = 10

n = 5

n = 100

n = 50

n = 30

n = 20

n = 10

n = 5

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0

1

0 1 2 3−1−2−3

•

Risque de première espèce : 5%

xi 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16x?i −1,870 −1,240 −0,925 −0,609 −0,294 0,021 0,336 0,651 0,967 1,282 1,912

Fi 1/15 2/15 3/15 5/15 7/15 9/15 10/15 12/15 13/15 14/15 15/15' 0,067 ' 0,133 = 0,2 ' 0,333 ' 0,467 = 0,6 ' 0,667 = 0,8 ' 0,867 ' 0,933 = 1

n = 100

n = 50

n = 30

n = 20

n = 10

n = 5

n = 100

n = 50

n = 30

n = 20

n = 10

n = 5

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0

1

0 1 2 3−1−2−3

•

•


xi 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16x?i −1,870 −1,240 −0,925 −0,609 −0,294 0,021 0,336 0,651 0,967 1,282 1,912

Fi 1/15 2/15 3/15 5/15 7/15 9/15 10/15 12/15 13/15 14/15 15/15' 0,067 ' 0,133 = 0,2 ' 0,333 ' 0,467 = 0,6 ' 0,667 = 0,8 ' 0,867 ' 0,933 = 1

n = 100

n = 50

n = 30

n = 20

n = 10

n = 5

n = 100

n = 50

n = 30

n = 20

n = 10

n = 5

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0

1

0 1 2 3−1−2−3

•

•

•


xi 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16x?i −1,870 −1,240 −0,925 −0,609 −0,294 0,021 0,336 0,651 0,967 1,282 1,912

Fi 1/15 2/15 3/15 5/15 7/15 9/15 10/15 12/15 13/15 14/15 15/15' 0,067 ' 0,133 = 0,2 ' 0,333 ' 0,467 = 0,6 ' 0,667 = 0,8 ' 0,867 ' 0,933 = 1

n = 100

n = 50

n = 30

n = 20

n = 10

n = 5

n = 100

n = 50

n = 30

n = 20

n = 10

n = 5

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0

1

0 1 2 3−1−2−3

•

•

•

•


xi 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16x?i −1,870 −1,240 −0,925 −0,609 −0,294 0,021 0,336 0,651 0,967 1,282 1,912

Fi 1/15 2/15 3/15 5/15 7/15 9/15 10/15 12/15 13/15 14/15 15/15' 0,067 ' 0,133 = 0,2 ' 0,333 ' 0,467 = 0,6 ' 0,667 = 0,8 ' 0,867 ' 0,933 = 1

n = 100

n = 50

n = 30

n = 20

n = 10

n = 5

n = 100

n = 50

n = 30

n = 20

n = 10

n = 5

0,1

0,2

0,3

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0,7

0,8

0,9

0

1

0 1 2 3−1−2−3

•

•

•

•

•


xi 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16x?i −1,870 −1,240 −0,925 −0,609 −0,294 0,021 0,336 0,651 0,967 1,282 1,912

Fi 1/15 2/15 3/15 5/15 7/15 9/15 10/15 12/15 13/15 14/15 15/15' 0,067 ' 0,133 = 0,2 ' 0,333 ' 0,467 = 0,6 ' 0,667 = 0,8 ' 0,867 ' 0,933 = 1

n = 100

n = 50

n = 30

n = 20

n = 10

n = 5

n = 100

n = 50

n = 30

n = 20

n = 10

n = 5

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0

1

0 1 2 3−1−2−3

•

•

•

•

•

•


xi 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16x?i −1,870 −1,240 −0,925 −0,609 −0,294 0,021 0,336 0,651 0,967 1,282 1,912

Fi 1/15 2/15 3/15 5/15 7/15 9/15 10/15 12/15 13/15 14/15 15/15' 0,067 ' 0,133 = 0,2 ' 0,333 ' 0,467 = 0,6 ' 0,667 = 0,8 ' 0,867 ' 0,933 = 1

n = 100

n = 50

n = 30

n = 20

n = 10

n = 5

n = 100

n = 50

n = 30

n = 20

n = 10

n = 5

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0

1

0 1 2 3−1−2−3

•

•

•

•

•

•

•


xi 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16x?i −1,870 −1,240 −0,925 −0,609 −0,294 0,021 0,336 0,651 0,967 1,282 1,912

Fi 1/15 2/15 3/15 5/15 7/15 9/15 10/15 12/15 13/15 14/15 15/15' 0,067 ' 0,133 = 0,2 ' 0,333 ' 0,467 = 0,6 ' 0,667 = 0,8 ' 0,867 ' 0,933 = 1

n = 100

n = 50

n = 30

n = 20

n = 10

n = 5

n = 100

n = 50

n = 30

n = 20

n = 10

n = 5

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0

1

0 1 2 3−1−2−3

•

•

•

•

•

•

•

•


xi 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16x?i −1,870 −1,240 −0,925 −0,609 −0,294 0,021 0,336 0,651 0,967 1,282 1,912

Fi 1/15 2/15 3/15 5/15 7/15 9/15 10/15 12/15 13/15 14/15 15/15' 0,067 ' 0,133 = 0,2 ' 0,333 ' 0,467 = 0,6 ' 0,667 = 0,8 ' 0,867 ' 0,933 = 1

n = 100

n = 50

n = 30

n = 20

n = 10

n = 5

n = 100

n = 50

n = 30

n = 20

n = 10

n = 5

0,1

0,2

0,3

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0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0

1

0 1 2 3−1−2−3

•

•

•

•

•

•

•

•

•


xi 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16x?i −1,870 −1,240 −0,925 −0,609 −0,294 0,021 0,336 0,651 0,967 1,282 1,912

Fi 1/15 2/15 3/15 5/15 7/15 9/15 10/15 12/15 13/15 14/15 15/15' 0,067 ' 0,133 = 0,2 ' 0,333 ' 0,467 = 0,6 ' 0,667 = 0,8 ' 0,867 ' 0,933 = 1

n = 100

n = 50

n = 30

n = 20

n = 10

n = 5

n = 100

n = 50

n = 30

n = 20

n = 10

n = 5

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1

0 1 2 3−1−2−3

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•


xi 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16x?i −1,870 −1,240 −0,925 −0,609 −0,294 0,021 0,336 0,651 0,967 1,282 1,912

Fi 1/15 2/15 3/15 5/15 7/15 9/15 10/15 12/15 13/15 14/15 15/15' 0,067 ' 0,133 = 0,2 ' 0,333 ' 0,467 = 0,6 ' 0,667 = 0,8 ' 0,867 ' 0,933 = 1

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n = 50

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n = 100

n = 50

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n = 20

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n = 5

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•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•


xi 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16x?i −1,870 −1,240 −0,925 −0,609 −0,294 0,021 0,336 0,651 0,967 1,282 1,912

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n = 100

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n = 30

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1

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•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•


xi 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16x?i −1,870 −1,240 −0,925 −0,609 −0,294 0,021 0,336 0,651 0,967 1,282 1,912

Fi 1/15 2/15 3/15 5/15 7/15 9/15 10/15 12/15 13/15 14/15 15/15' 0,067 ' 0,133 = 0,2 ' 0,333 ' 0,467 = 0,6 ' 0,667 = 0,8 ' 0,867 ' 0,933 = 1

n = 100

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n = 100

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•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•


xi 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16x?i −1,870 −1,240 −0,925 −0,609 −0,294 0,021 0,336 0,651 0,967 1,282 1,912

Fi 1/15 2/15 3/15 5/15 7/15 9/15 10/15 12/15 13/15 14/15 15/15' 0,067 ' 0,133 = 0,2 ' 0,333 ' 0,467 = 0,6 ' 0,667 = 0,8 ' 0,867 ' 0,933 = 1

n = 100

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n = 100

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1

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•

•

•

•

•

•

•

•

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•

•


xi 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16x?i −1,870 −1,240 −0,925 −0,609 −0,294 0,021 0,336 0,651 0,967 1,282 1,912

Fi 1/15 2/15 3/15 5/15 7/15 9/15 10/15 12/15 13/15 14/15 15/15' 0,067 ' 0,133 = 0,2 ' 0,333 ' 0,467 = 0,6 ' 0,667 = 0,8 ' 0,867 ' 0,933 = 1

n = 100

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n = 30

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n = 100

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n = 30

n = 20

n = 10

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•

•

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•

•

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•

•


xi 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16x?i −1,870 −1,240 −0,925 −0,609 −0,294 0,021 0,336 0,651 0,967 1,282 1,912

Fi 1/15 2/15 3/15 5/15 7/15 9/15 10/15 12/15 13/15 14/15 15/15' 0,067 ' 0,133 = 0,2 ' 0,333 ' 0,467 = 0,6 ' 0,667 = 0,8 ' 0,867 ' 0,933 = 1

n = 100

n = 50

n = 30

n = 20

n = 10

n = 5

n = 100

n = 50

n = 30

n = 20

n = 10

n = 5

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0

1

0 1 2 3−1−2−3

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•


xi 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16x?i −1,870 −1,240 −0,925 −0,609 −0,294 0,021 0,336 0,651 0,967 1,282 1,912

Fi 1/15 2/15 3/15 5/15 7/15 9/15 10/15 12/15 13/15 14/15 15/15' 0,067 ' 0,133 = 0,2 ' 0,333 ' 0,467 = 0,6 ' 0,667 = 0,8 ' 0,867 ' 0,933 = 1

n = 100

n = 50

n = 30

n = 20

n = 10

n = 5

n = 100

n = 50

n = 30

n = 20

n = 10

n = 5

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0

1

0 1 2 3−1−2−3

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•


xi 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16x?i −1,870 −1,240 −0,925 −0,609 −0,294 0,021 0,336 0,651 0,967 1,282 1,912

Fi 1/15 2/15 3/15 5/15 7/15 9/15 10/15 12/15 13/15 14/15 15/15' 0,067 ' 0,133 = 0,2 ' 0,333 ' 0,467 = 0,6 ' 0,667 = 0,8 ' 0,867 ' 0,933 = 1

n = 100

n = 50

n = 30

n = 20

n = 10

n = 5

n = 100

n = 50

n = 30

n = 20

n = 10

n = 5

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0

1

0 1 2 3−1−2−3

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•


xi 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16x?i −1,870 −1,240 −0,925 −0,609 −0,294 0,021 0,336 0,651 0,967 1,282 1,912

Fi 1/15 2/15 3/15 5/15 7/15 9/15 10/15 12/15 13/15 14/15 15/15' 0,067 ' 0,133 = 0,2 ' 0,333 ' 0,467 = 0,6 ' 0,667 = 0,8 ' 0,867 ' 0,933 = 1

n = 100

n = 50

n = 30

n = 20

n = 10

n = 5

n = 100

n = 50

n = 30

n = 20

n = 10

n = 5

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0

1

0 1 2 3−1−2−3

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•


xi 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16x?i −1,870 −1,240 −0,925 −0,609 −0,294 0,021 0,336 0,651 0,967 1,282 1,912

Fi 1/15 2/15 3/15 5/15 7/15 9/15 10/15 12/15 13/15 14/15 15/15' 0,067 ' 0,133 = 0,2 ' 0,333 ' 0,467 = 0,6 ' 0,667 = 0,8 ' 0,867 ' 0,933 = 1

n = 100

n = 50

n = 30

n = 20

n = 10

n = 5

n = 100

n = 50

n = 30

n = 20

n = 10

n = 5

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0

1

0 1 2 3−1−2−3

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•


xi 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16x?i −1,870 −1,240 −0,925 −0,609 −0,294 0,021 0,336 0,651 0,967 1,282 1,912

Fi 1/15 2/15 3/15 5/15 7/15 9/15 10/15 12/15 13/15 14/15 15/15' 0,067 ' 0,133 = 0,2 ' 0,333 ' 0,467 = 0,6 ' 0,667 = 0,8 ' 0,867 ' 0,933 = 1

n = 100

n = 50

n = 30

n = 20

n = 10

n = 5

n = 100

n = 50

n = 30

n = 20

n = 10

n = 5

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0

1

0 1 2 3−1−2−3

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•


xi 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16x?i −1,870 −1,240 −0,925 −0,609 −0,294 0,021 0,336 0,651 0,967 1,282 1,912

Fi 1/15 2/15 3/15 5/15 7/15 9/15 10/15 12/15 13/15 14/15 15/15' 0,067 ' 0,133 = 0,2 ' 0,333 ' 0,467 = 0,6 ' 0,667 = 0,8 ' 0,867 ' 0,933 = 1

n = 100

n = 50

n = 30

n = 20

n = 10

n = 5

n = 100

n = 50

n = 30

n = 20

n = 10

n = 5

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0

1

0 1 2 3−1−2−3

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•


xi 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16x?i −1,870 −1,240 −0,925 −0,609 −0,294 0,021 0,336 0,651 0,967 1,282 1,912

Fi 1/15 2/15 3/15 5/15 7/15 9/15 10/15 12/15 13/15 14/15 15/15' 0,067 ' 0,133 = 0,2 ' 0,333 ' 0,467 = 0,6 ' 0,667 = 0,8 ' 0,867 ' 0,933 = 1

n = 100

n = 50

n = 30

n = 20

n = 10

n = 5

n = 100

n = 50

n = 30

n = 20

n = 10

n = 5

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0

1

0 1 2 3−1−2−3

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•


xi 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16x?i −1,870 −1,240 −0,925 −0,609 −0,294 0,021 0,336 0,651 0,967 1,282 1,912

Fi 1/15 2/15 3/15 5/15 7/15 9/15 10/15 12/15 13/15 14/15 15/15' 0,067 ' 0,133 = 0,2 ' 0,333 ' 0,467 = 0,6 ' 0,667 = 0,8 ' 0,867 ' 0,933 = 1

n = 100

n = 50

n = 30

n = 20

n = 10

n = 5

n = 100

n = 50

n = 30

n = 20

n = 10

n = 5

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0

1

0 1 2 3−1−2−3

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•


xi 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16x?i −1,870 −1,240 −0,925 −0,609 −0,294 0,021 0,336 0,651 0,967 1,282 1,912

Fi 1/15 2/15 3/15 5/15 7/15 9/15 10/15 12/15 13/15 14/15 15/15' 0,067 ' 0,133 = 0,2 ' 0,333 ' 0,467 = 0,6 ' 0,667 = 0,8 ' 0,867 ' 0,933 = 1

n = 100

n = 50

n = 30

n = 20

n = 10

n = 5

n = 15

n = 100

n = 50

n = 30

n = 20

n = 10

n = 5

n = 15

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0

1

0 1 2 3−1−2−3

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•


La fonction de répartition de l’échantillon de taille n = 15 ne sort pas des courbes n = 15.

On accepte la normalité de la population.

n = 100

n = 50

n = 30

n = 20

n = 10

n = 5

n = 15

n = 100

n = 50

n = 30

n = 20

n = 10

n = 5

n = 15

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0

1

0 1 2 3−1−2−3

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•



Plan

1 L’enjeu.





Exemple 2.




x = ΣnixiΣni

= 394,539 ' 10,1154 · · ·

V =Σnix2

iΣni− x2 = 4713,75

39 −(

394,539

)2' 18,5444 · · ·

σ̂ = σ ×√

3938 ' 4,3626 · · ·


Exemple 2.




x = ΣnixiΣni

= 394,539 = ' 10,1154 · · ·

V =Σnix2

iΣni− x2 = 4713,75

39 −(

394,539

)2' 18,5444 · · ·

σ̂ = σ ×√

3938 ' 4,3626 · · ·


Exemple 2.




x = ΣnixiΣni

= 394,539 = ' 10,1154 · · ·

V =Σnix2

iΣni− x2 = 4713,75

39 −(

394,539

)2' 18,5444 · · ·

σ̂ = σ ×√

3938 ' 4,3626 · · ·


Exemple 2.




x = ΣnixiΣni

= 394,539 = ' 10,1154 · · ·

V =Σnix2

iΣni− x2 = 4713,75

39 −(

394,539

)2' 18,5444 · · ·

σ̂ = σ ×√

3938 ' 4,3626 · · ·


Exemple 2.




x = ΣnixiΣni

= 394,539 = ' 10,1154 · · ·

V =Σnix2

iΣni− x2 = 4713,75

39 −(

394,539

)2' 18,5444 · · ·

σ̂ = σ ×√

3938 ' 4,3626 · · ·


Exemple 2.




x = ΣnixiΣni

= 394,539 = ' 10,1154 · · ·

V =Σnix2

iΣni− x2 = 4713,75

39 −(

394,539

)2' 18,5444 · · ·

σ̂ = σ ×√

3938 ' 4,3626 · · ·


Exemple 2.




x = ΣnixiΣni

= 394,539 = ' 10,1154 · · ·

V =Σnix2

iΣni− x2 = 4713,75

39 −(

394,539

)2' 18,5444 · · ·

σ̂ = σ ×√

3938 ' 4,3626 · · ·


Exemple 2.




x = ΣnixiΣni

= 394,539 = ' 10,1154 · · ·

V =Σnix2

iΣni− x2 = 4713,75

39 −(

394,539

)2' 18,5444 · · ·

σ =√

V ' 4,3063 · · · σ̂ = σ ×√

3938 ' 4,3626 · · ·


Exemple 2.




x = ΣnixiΣni

= 394,539 = ' 10,1154 · · ·

V =Σnix2

iΣni− x2 = 4713,75

39 −(

394,539

)2' 18,5444 · · ·

σ =√

V ' 4,3063 · · · σ̂ = σ ×√

3938 ' 4,3626 · · ·


Exemple 2.




x = ΣnixiΣni

= 394,539 = ' 10,1154 · · ·

V =Σnix2

iΣni− x2 = 4713,75

39 −(

394,539

)2' 18,5444 · · ·

σ =√

V ' 4,3063 · · · σ̂ = σ ×√

3938 ' 4,3626 · · ·


Exemple 2.




x = ΣnixiΣni

= 394,539 = ' 10,1154 · · ·

V =Σnix2

iΣni− x2 = 4713,75

39 −(

394,539

)2' 18,5444 · · ·

σ =√

V ' 4,3063 · · · σ̂ = σ ×√

3938 ' 4,3626 · · ·


Exemple 2.




x = ΣnixiΣni

= 394,539 = ' 10,1154 · · ·

V =Σnix2

iΣni− x2 = 4713,75

39 −(

394,539

)2' 18,5444 · · ·

σ =√

V ' 4,3063 · · · σ̂ = σ ×√

3938 ' 4,3626 · · ·

xi 5 8 11 14 20 23x?i −1,173 −0,485 0,203 0,890 2,266 2,953

Fi 0/39 13/39 30/39 35/39 35/39 39/39= 0 ' 0,333 ' 0,769 ' 0,897 ' 0,897 = 1


Exemple 2.




x = ΣnixiΣni

= 394,539 = ' 10,1154 · · ·

V =Σnix2

iΣni− x2 = 4713,75

39 −(

394,539

)2' 18,5444 · · ·

σ =√

V ' 4,3063 · · · σ̂ = σ ×√

3938 ' 4,3626 · · ·

xi 5 8 11 14 20 23x?i −1,173 −0,485 0,203 0,890 2,266 2,953

Fi 0/39 13/39 30/39 35/39 35/39 39/39= 0 ' 0,333 ' 0,769 ' 0,897 ' 0,897 = 1

x?1 = x1−x

σ̂' 5−10,1154

4,3626 '−1,173


Exemple 2.




x = ΣnixiΣni

= 394,539 = ' 10,1154 · · ·

V =Σnix2

iΣni− x2 = 4713,75

39 −(

394,539

)2' 18,5444 · · ·

σ =√

V ' 4,3063 · · · σ̂ = σ ×√

3938 ' 4,3626 · · ·

xi 5 8 11 14 20 23x?i −1,173 −0,485 0,203 0,890 2,266 2,953

Fi 0/39 13/39 30/39 35/39 35/39 39/39= 0 ' 0,333 ' 0,769 ' 0,897 ' 0,897 = 1

x?2 = x2−x

σ̂' 8−10,1154

4,3626 '−0,485


Exemple 2.




x = ΣnixiΣni

= 394,539 = ' 10,1154 · · ·

V =Σnix2

iΣni− x2 = 4713,75

39 −(

394,539

)2' 18,5444 · · ·

σ =√

V ' 4,3063 · · · σ̂ = σ ×√

3938 ' 4,3626 · · ·

xi 5 8 11 14 20 23x?i −1,173 −0,485 0,203 0,890 2,266 2,953

Fi 0/39 13/39 30/39 35/39 35/39 39/39= 0 ' 0,333 ' 0,769 ' 0,897 ' 0,897 = 1

x?3 = x3−x

σ̂' 11−10,1154

4,3626 ' 0,203


Exemple 2.




x = ΣnixiΣni

= 394,539 = ' 10,1154 · · ·

V =Σnix2

iΣni− x2 = 4713,75

39 −(

394,539

)2' 18,5444 · · ·

σ =√

V ' 4,3063 · · · σ̂ = σ ×√

3938 ' 4,3626 · · ·

xi 5 8 11 14 20 23x?i −1,173 −0,485 0,203 0,890 2,266 2,953

Fi 0/39 13/39 30/39 35/39 35/39 39/39= 0 ' 0,333 ' 0,769 ' 0,897 ' 0,897 = 1

x?4 = x4−x

σ̂' 14−10,1154

4,3626 ' 0,890


Exemple 2.




x = ΣnixiΣni

= 394,539 = ' 10,1154 · · ·

V =Σnix2

iΣni− x2 = 4713,75

39 −(

394,539

)2' 18,5444 · · ·

σ =√

V ' 4,3063 · · · σ̂ = σ ×√

3938 ' 4,3626 · · ·

xi 5 8 11 14 20 23x?i −1,173 −0,485 0,203 0,890 2,266 2,953

Fi 0/39 13/39 30/39 35/39 35/39 39/39= 0 ' 0,333 ' 0,769 ' 0,897 ' 0,897 = 1

x?5 = x5−x

σ̂' 20−10,1154

4,3626 ' 2,266


Exemple 2.




x = ΣnixiΣni

= 394,539 = ' 10,1154 · · ·

V =Σnix2

iΣni− x2 = 4713,75

39 −(

394,539

)2' 18,5444 · · ·

σ =√

V ' 4,3063 · · · σ̂ = σ ×√

3938 ' 4,3626 · · ·

xi 5 8 11 14 20 23x?i −1,173 −0,485 0,203 0,890 2,266 2,953

Fi 0/39 13/39 30/39 35/39 35/39 39/39= 0 ' 0,333 ' 0,769 ' 0,897 ' 0,897 = 1

x?6 = x6−x

σ̂' 23−10,1154

4,3626 ' 2,953

xi 5 8 11 14 20 23x?i −1,173 −0,485 0,203 0,890 2,266 2,953

Fi 0/39 13/39 30/39 35/39 35/39 39/39= 0 ' 0,333 ' 0,769 ' 0,897 ' 0,897 = 1

n = 100

n = 50

n = 30

n = 20

n = 10

n = 5

n = 100

n = 50

n = 30

n = 20

n = 10

n = 5

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0

1


xi 5 8 11 14 20 23x?i −1,173 −0,485 0,203 0,890 2,266 2,953

Fi 0/39 13/39 30/39 35/39 35/39 39/39= 0 ' 0,333 ' 0,769 ' 0,897 ' 0,897 = 1

n = 100

n = 50

n = 30

n = 20

n = 10

n = 5

n = 100

n = 50

n = 30

n = 20

n = 10

n = 5

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0

1

0 1 2 3−1−2−3•


xi 5 8 11 14 20 23x?i −1,173 −0,485 0,203 0,890 2,266 2,953

Fi 0/39 13/39 30/39 35/39 35/39 39/39= 0 ' 0,333 ' 0,769 ' 0,897 ' 0,897 = 1

n = 100

n = 50

n = 30

n = 20

n = 10

n = 5

n = 100

n = 50

n = 30

n = 20

n = 10

n = 5

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0

1

0 1 2 3−1−2−3•

•


xi 5 8 11 14 20 23x?i −1,173 −0,485 0,203 0,890 2,266 2,953

Fi 0/39 13/39 30/39 35/39 35/39 39/39= 0 ' 0,333 ' 0,769 ' 0,897 ' 0,897 = 1

n = 100

n = 50

n = 30

n = 20

n = 10

n = 5

n = 100

n = 50

n = 30

n = 20

n = 10

n = 5

0,1

0,2

0,3

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0,6

0,7

0,8

0,9

0

1

0 1 2 3−1−2−3•

•

•


xi 5 8 11 14 20 23x?i −1,173 −0,485 0,203 0,890 2,266 2,953

Fi 0/39 13/39 30/39 35/39 35/39 39/39= 0 ' 0,333 ' 0,769 ' 0,897 ' 0,897 = 1

n = 100

n = 50

n = 30

n = 20

n = 10

n = 5

n = 100

n = 50

n = 30

n = 20

n = 10

n = 5

0,1

0,2

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0,5

0,6

0,7

0,8

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0

1

0 1 2 3−1−2−3•

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•

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xi 5 8 11 14 20 23x?i −1,173 −0,485 0,203 0,890 2,266 2,953

Fi 0/39 13/39 30/39 35/39 35/39 39/39= 0 ' 0,333 ' 0,769 ' 0,897 ' 0,897 = 1

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n = 5

n = 100

n = 50

n = 30

n = 20

n = 10

n = 5

0,1

0,2

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0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0

1

0 1 2 3−1−2−3•

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xi 5 8 11 14 20 23x?i −1,173 −0,485 0,203 0,890 2,266 2,953

Fi 0/39 13/39 30/39 35/39 35/39 39/39= 0 ' 0,333 ' 0,769 ' 0,897 ' 0,897 = 1

n = 100

n = 50

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n = 5

n = 100

n = 50

n = 30

n = 20

n = 10

n = 5

0,1

0,2

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0,5

0,6

0,7

0,8

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0

1

0 1 2 3−1−2−3•

•

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xi 5 8 11 14 20 23x?i −1,173 −0,485 0,203 0,890 2,266 2,953

Fi 0/39 13/39 30/39 35/39 35/39 39/39= 0 ' 0,333 ' 0,769 ' 0,897 ' 0,897 = 1

n = 100

n = 50

n = 30

n = 20

n = 10

n = 5

n = 100

n = 50

n = 30

n = 20

n = 10

n = 5

0,1

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1

0 1 2 3−1−2−3•

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xi 5 8 11 14 20 23x?i −1,173 −0,485 0,203 0,890 2,266 2,953

Fi 0/39 13/39 30/39 35/39 35/39 39/39= 0 ' 0,333 ' 0,769 ' 0,897 ' 0,897 = 1

n = 100

n = 50

n = 30

n = 20

n = 10

n = 5

n = 100

n = 50

n = 30

n = 20

n = 10

n = 5

0,1

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0

1

0 1 2 3−1−2−3•

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•


xi 5 8 11 14 20 23x?i −1,173 −0,485 0,203 0,890 2,266 2,953

Fi 0/39 13/39 30/39 35/39 35/39 39/39= 0 ' 0,333 ' 0,769 ' 0,897 ' 0,897 = 1

n = 100

n = 50

n = 30

n = 20

n = 10

n = 5

n = 100

n = 50

n = 30

n = 20

n = 10

n = 5

0,1

0,2

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0,4

0,5

0,6

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0,8

0,9

0

1

0 1 2 3−1−2−3•

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• •

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xi 5 8 11 14 20 23x?i −1,173 −0,485 0,203 0,890 2,266 2,953

Fi 0/39 13/39 30/39 35/39 35/39 39/39= 0 ' 0,333 ' 0,769 ' 0,897 ' 0,897 = 1

n = 100

n = 50

n = 30

n = 20

n = 10

n = 5

n = 100

n = 50

n = 30

n = 20

n = 10

n = 5

0,1

0,2

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0

1

0 1 2 3−1−2−3•

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•


xi 5 8 11 14 20 23x?i −1,173 −0,485 0,203 0,890 2,266 2,953

Fi 0/39 13/39 30/39 35/39 35/39 39/39= 0 ' 0,333 ' 0,769 ' 0,897 ' 0,897 = 1

n = 100

n = 50

n = 30

n = 20

n = 10

n = 5

n = 100

n = 50

n = 30

n = 20

n = 10

n = 5

0,1

0,2

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0

1

0 1 2 3−1−2−3•

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xi 5 8 11 14 20 23x?i −1,173 −0,485 0,203 0,890 2,266 2,953

Fi 0/39 13/39 30/39 35/39 35/39 39/39= 0 ' 0,333 ' 0,769 ' 0,897 ' 0,897 = 1

n = 100

n = 50

n = 30

n = 20

n = 10

n = 5

n = 100

n = 50

n = 30

n = 20

n = 10

n = 5

0,1

0,2

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0,4

0,5

0,6

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0,8

0,9

0

1

0 1 2 3−1−2−3•

•

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xi 5 8 11 14 20 23x?i −1,173 −0,485 0,203 0,890 2,266 2,953

Fi 0/39 13/39 30/39 35/39 35/39 39/39= 0 ' 0,333 ' 0,769 ' 0,897 ' 0,897 = 1

n = 100

n = 50

n = 30

n = 20

n = 10

n = 5

n = 100

n = 50

n = 30

n = 20

n = 10

n = 5

0,1

0,2

0,3

0,4

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0,6

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0,8

0,9

0

1

0 1 2 3−1−2−3•

•

•

• •

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xi 5 8 11 14 20 23x?i −1,173 −0,485 0,203 0,890 2,266 2,953

Fi 0/39 13/39 30/39 35/39 35/39 39/39= 0 ' 0,333 ' 0,769 ' 0,897 ' 0,897 = 1

n = 100

n = 50

n = 30

n = 20

n = 10

n = 5

n = 100

n = 50

n = 30

n = 20

n = 10

n = 5

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0

1

0 1 2 3−1−2−3•

•

•

• •

•


xi 5 8 11 14 20 23x?i −1,173 −0,485 0,203 0,890 2,266 2,953

Fi 0/39 13/39 30/39 35/39 35/39 39/39= 0 ' 0,333 ' 0,769 ' 0,897 ' 0,897 = 1

n = 100

n = 50

n = 30

n = 20

n = 10

n = 5

n = 39

n = 100

n = 50

n = 30

n = 20

n = 10

n = 5

n = 39

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0

1

0 1 2 3−1−2−3•

•

•

• •

•


La fonction de répartition de l’échantillon de taille n = 39 sort des courbes n = 39.

On rejette la normalité de la population.

n = 100

n = 50

n = 30

n = 20

n = 10

n = 5

n = 39

n = 100

n = 50

n = 30

n = 20

n = 10

n = 5

n = 39

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0

1

0 1 2 3−1−2−3•

•

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• •

•


Documents

TestsdeHenryetLilliefors A.Claeyspublic.iutenligne.net/mathematiques/statistiques-et... · 2013. 5. 19. · L’enjeu. Fonction de répartition. Test de Henry. Test de Lilliefors