1. Gabriel BaudrandMathmatiques : rsums du cours ECE 1 et 2 annes re e Cours Exemples Applications Conseils Algeria-Educ.com

2. Mathmatiques : rsums du cours ECE 1re et 2e anne Gabriel Baudrand Professeur agrg de mathmatiques en classes prparatoires au lyce Madeleine Michelis (Amiens)

3. Dunod, Paris, 2008ISBN 978-2-10-053972-7

4. Table des matiresIntroduction 1 1. Ensembles, applications 1 2. Notions de logique 5 3. Signes S , P 9 4. Dnombrement Formule du binme 12 5. quations, inquations 18 6. Polynmes 22 7. Manipulation des ingalits 25Analyse 291 tude de fonctions 31 1. Recherche de limites 32 2. Continuit 42 3. Calcul diffrentiel 47 4. Fonctions usuelles 53 5. Fonctions de deux variables 562 Suites et sries numriques 61 1. Gnralits 61 2. Suites numriques calculables 66 3. Suites un+1 = f (un ) 71 4. Sries numriques 76 5. Suites dnies implicitement 823 Calcul intgral 85 1. Primitives 85 2. Intgrale dnie 87 3. Intgrales gnralises 98 4. Sries et intgrales 104Algbre linaire 1074 Systmes linaires Calcul matriciel 109 1. Systmes linaires 109 III

5. TABLE DES MATIRES 2. Calcul matriciel 114 3. Un exemple despace vectoriel 1255 Espaces vectoriels applications linaires 131 1. Espaces vectoriels, sous-espaces vectoriels 131 2. Applications linaires 138 3. Espace vectoriel L (E,F), algbre L (E) 142 4. Noyau et image dune application linaire 144 5. Deux applications 1486 Diagonalisation 153 1. Thorie du changement de base 153 2. Diagonalisation 156 3. Autres rductions Applications 165Probabilits 1737 Probabilit sur un ensemble ni 175 1. Espaces probabiliss nis 175 2. Variables alatoires sur un ensemble ni 182 3. Couple de variables alatoires nies 186 4. Lois nies usuelles 1898 Variables alatoires discrtes 197 1. Espaces probabiliss quelconques 197 2. Variables alatoires innies discrtes 200 3. Couple de variables alatoires discrtes 206 4. Variables innies discrtes usuelles 2089 Variables alatoires densit Convergences, approximations estimation 217 1. Gnralits 217 2. Variables alatoires densit usuelles 221 3. Convergences et approximations 227 4. Estimation 230Informatique 23510 lments dalgorithmique 237 1. Le langage PASCAL 237 2. Exemples dalgorithmes 245 Index 253IV

6. Mode demploiCe livre contient lintgralit du cours de mathmatiques pour les classesprparatoires ECE, premire et deuxime annes. Il intressera aussi lestudiants en Licence de sciences conomiques, et tous ceux qui dsirentacqurir des connaissances lmentaires mais solides en analyse, algbrelinaire, probabilits.Quand on donne la dnition dun mot, celui-ci est imprim en gras. Les rsultats essentiels sont encadrs.Des lments pour la dmonstration dun rsultat sont donns quandcelle-ci utilise des techniques signicatives et utiles pour la rsolution desexercices. Ces lments demandent au lecteur une participation active(rdiger compltement, faire les calculs omis), qui est la cl des progrsen mathmatiques. Les notions nouvelles sont illustres par des exemples. Ceux-ci sont signals en tant que que tels, ou par un liser en marge gauche. Ils sont inspirs par des exercices trs classiques ou provenant des annales de concours. Ils sont plus nombreux quand une grande varit de situations se prsente.Dans le mme esprit, un certain nombre dapplications sont donnes.Elles ne font pas partie du cours, mais elles en sont le prolongementnaturel, et inspirent de nombreux exercices dannales. Ces caractris-tiques sont signales chaque fois quil est ncessaire. Sur fond gris vous trouverez des conseils dordre pdagogique : cueils viter, erreurs ne pas commettre, conseils de rdaction, remarques utiles la mmorisation. V

7. MODE DEMPLOIQuelques indications pour les diffrentes sections de ce livreLintroduction expose les connaissances et techniques de base deman-des par le programme. Sy ajoutent des considrations qui ne sont pasexplicitement demandes, mais nanmoins indispensables : les lmentsde logique aideront le lecteur raisonner juste, ce qui aidera unemeilleure comprhension du cours. Les rappels sur les quations, inqua-tions, ingalits visent consolider des acquis des classes antrieures et quiprennent maintenant toute leur importance.En ce qui concerne lanalyse, la totalit du programme de terminaleES est reprise et bien sr complte. Les points les plus dlicats duprogramme (recherche de limites, suites rcurrentes, sries, intgralesgnralises) sont exposs progressivement et illustrs par de nombreuxexemples.Pour lalgbre linaire, la difcult est dune part technique (recherchedes valeurs propres et vecteurs propres), et dautre part thorique (utili-sation des thormes abstraits du cours dans des situations diverses). Onsest efforc de bien cerner les difcults et ici aussi de donner sufsam-ment de varit dans les exemples.En probabilits, on a choisi de traiter dans trois chapitres diffrents lesproblmes concernant les variables alatoires nies, discrtes, densit.Cela oblige quelques rptitions, mais les techniques diffrentes misesen uvre (respectivement sommes nies, sries, calcul intgral) justientune telle dmarche. On a privilgi ici les dmonstrations des rsultats ducours, ou des applications les plus typiques, car leur maitrise est essentiellepour la rsolution des exercices.Sy ajoute un chapitre sur lalgorithmique : on y trouvera les lments dulangage PASCAL connatre, et quelques programmes emblmatiques. Conformment au programme, les algorithmes (rdigs en PAS- CAL) viennent illustrer le cours. Ils sont encadrs par un lisr poin- till.Pour ce qui concerne la rpartition du travail sur les deux annes declasse prparatoire, devraient tre maitriss en n de premire anne : lintroduction ; le chapitre 1, sauf 1.1.5 ; le chapitre 2 sauf 2.3 : notion de point xe, et 2.4 : critres de convergence et sries de Riemann ; le chapitre 3 : 3.1 et 3.2, sauf sommes de Riemann et formules de Taylor ; le chapitre 4 ;VI

8. MODE DEMPLOI les chapitres 7 et 8 (uniquement loi dun couple, lois marginales et indpendance de deux v.a en ce qui concerne ltude simultane de plusieurs v.a). Pour ce qui concerne lalgorithmique, lensemble du programme est trait tout au long de la formation, lexception des algorithmes de gestion des listes, et tout ce qui concerne les v.a densit et lestimation, qui seront traits en deuxime anne.Dans le texte, les renvois commencent toujours par le numro du cha-pitre ( 2.3 renvoie au chapitre 2 paragraphe 3). VII

9. Introduction Techniques de base1. Ensembles, applications1.1 Vocabulaire de la thorie des ensemblesx E : x est lment de E , ou x appartient E .On ne cherche pas dnir les notions primitives dlment, dappartenance,densemble.On peut distinguer deux faons de dnir un ensemble : Par extension : on donne la liste des lments de lensemble. On noteraen particulier, avec n N : 0, n = {0 ; . . . ; n} Par comprhension : on donne une proprit caractristique P des l-ments de lensemble. Llment x appartient lensemble E si, et seule-ment si, il vrie la proprit P, ce que lon note P (x). Par exemple, a, btant deux rels : [a, b] = {x | x R ; a x b}Ici la proprit P (x) est : x R et a x b .On rencontre des variantes de notation : [a, b] = {x R | a x b} = {x R ; a x b} . . .Certains ensembles ont des notations rserves : : lensemble vide (il ne contient aucun lment).N : lensemble des entiers naturels. N = {0 ; 1 ; 2 ; . . .}.N : lensemble des entiers naturels non nuls.Z : lensemble des entiers relatifs.Q : lensemble des nombres rationnels. 1

10. IntroductionR : lensemble des nombres rels.R+ : lensemble des nombres rels positifs ou nuls.On dnit de mme R , R+ , R . . .A, B, E tant des ensembles, on dnit :Relation dinclusion. On note A E (lire A est inclus dans E ,ou A est une partie de E , ou A est un sous-ensemble de E ) si etseulement si tout lment de A est lment de E.On note aussi E A ( E contient A ). Pour tout ensemble E, on a linclusion E. N Z Q R.Runion de deux ensembles. On note A B (lire A union B )lensemble ainsi dni : A B = {x | x A ou x B}Intersection de deux ensembles. On note A B (lire A inter B )lensemble ainsi dni : A B = {x | x A et x B}Gnralisation : avec I un ensemble dindices : Ai = {x ; il existe i I tel que x Ai } iI Ai = {x ; pour tout i I, x Ai } iIComplmentaire dun ensemble dans un ensemble. Soit A E.Le complmentaire de A dans E est lensemble des lments de E quinappartiennent pas A. On le note E A, ou, sil ny a pas dambigutsur lensemble E de rfrence, A (lire A barre ).Produit cartsien de deux ensembles. Le produit cartsien A B estlensembles des couples (a ; b) avec a A et b B : A B = {(a ; b) | a A et b B}On dnit de mme les produits cartsiens A B C,. . . , et An : An = {(a1 ; ; an ) | a1 A ; ; an A}An est lensemble des suites n lments de A, ou ensemble des n-listesdlments de A (n N ).Ensemble des parties de E. On note P (E) lensemble de toutes lesparties de E : P (E) = {A ; A E}2

11. Techniques de base Soit A, B, C des sous-ensembles de lensemble de rfrence E. On notera les rgles de calculs : A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) AB=AB ; AB=AB A=A ; A= ; AE =E ; AE =A Rgles de calcul qui se gnralisent, par exemple : B Ai = (B Ai ) iI iI Remarquez que AB AB=B AB=A1.2 Fonctions et applicationsDnitions Une fonction f est dnie par la donne dun ensemble de dpartE, dun ensemble darrive F, et dune relation qui un lment de Eassocie au plus un lment de F. Notation : f : E F, x y = f (x) Si on a y = f (x), on dit que y est limage de x par f , et que x est unantcdent de y par f . Une application de E dans F est une fonction de E dans F telle quechaque lment de E admette une image. On note alors f (E) lensemble{f (x) ; x E}. Soit f : E F et g : F G deux applications. La compose g fest lapplication g f : E G, x g f (x) = g (f (x)). On dit quune application f : E F est : une injection, ou que f est injective, ssi tout lment de F admet au plus un antcdent : f (x) = f x x = x . une surjection, ou que f est surjective ssi tout lment de F admet au moins un antcdent : pour tout y F, il existe x E tel que y = f (x). une bijection, ou que f est bijective ssi tout lment de F admet exactement un antcdent dans E : pour tout y F, il existe x E, x unique, tel que y = f (x). On parle alors de bijection de E sur F. 3

12. IntroductionExemple importantSoit E un ensemble (non vide). Lapplication IdE : E E, x IdE (x) = xest appele lapplication identit de E. (Cest dailleurs une bijection.)Proprits Proposition 1. Une application est bijective ssi elle est injective et surjective. Proposition 2. Soit f une bijection de E sur F. Lapplication, note f 1 de F dans E qui tout lment y de F associe lunique lment x de E tel que f (x) = y est une bijection de F sur E, appele bijection rciproque de f : f 1 : F E, y f 1 (y) = x tel que f (x) = y Proposition 3. Une application f de E dans F est bijective ssi il existe une application g de F dans E, telle que f g = IdF et g f = IdE . On a alors g = f 1 . Il faut bien comprendre que lensemble de dpart et darrive sont essentiels dans la dnition de lapplication ou de la fonction f . Ainsi, les applications f1 : R R, x x2 ; f 2 : R R + , x x2 ; f 3 : R + R + , x x2 sont diffrentes. f1 nest ni injective ni surjective (les nombres ngatifs nont pas dantcdent par f1 , les nombres positifs en ont deux), f2 est surjective mais pas injective, f3 est bijective. La proposition 2 est essentielle, elle permet de dnir de nouvelles fonctions. La bijection rciproque de f3 est la fonction racine carre. Le logarithme nperien est une bijection de R+ sur R. Sa bijectionrciproque est la fonction exponentielle. La proposition 3 donne alors:Pour tout rel positif x, eln x = x ; pour tout rel y, ln (ey ) = y.4

13. Techniques de base2. Notions de logique2.1 GnralitsUne proprit est une afrmation dont la valeur de vrit vrai (V) oufaux (F) peut dpendre de un ou plusieurs arguments, numriques ouautres. On notera P (x) si la valeur de vrit de la proposition P dpendde la valeur de largument (ou variable) x. On dit alors que x est unevariable libre pour la proprit P. x tant un nombre entier, la proprit P (x) : x est un nombre pre- mier est vraie si x = 2, fausse si x = 4.2.2 QuanticateursDnitionsSoit P (x) une proprit, avec x appartenant un ensemble de rf-rence E. Quanticateur existentiel. La proprit x E, P (x)est vraie si, et seulement si, il existe x appartenant E tel que la propritP (x) soit vraie. On lit il existe x appartenant E tel que P (x) , ou pour quelque x appartenant E, P (x) . Quanticateur universel. La proprit x E, P (x)est vraie si, et seulement si, pour tout x appartenant E, la propritP (x) est vraie. Lire quel que soit x appartenant E, P (x). ExemplesLensemble de rfrence est N. Soit les proprits P1 : x N, x 0 ; P2 (y) : x N, x y ; P3 : x N, y N, x < y ; P4 : y N, x N, x < y.P1 est vraie (tout entier naturel est suprieur ou gal 0).P2 (y) est vraie si y = 0, fausse dans tous les autres cas.P3 est vraie : tout entier naturel admet un entier qui lui est suprieur.P4 est fausse : il nexiste pas dentier naturel suprieur tous les autres. noter que lordre des quanticateurs a de limportance.Dans P3 , ni x ni y ne sont des variables libres. P3 est une proprit de N,pas de x, ni de y, qui sont ici des variables muettes. On pourrait crireP3 sous la forme : a N, b N, a < b. 5

14. Introduction2.3 Oprateurs logiquesDnitionsSoit P, Q, deux proprits. La proprit P ou Q est vraie si une des deux proprits (ou les deux)est vraie, fausse si P et Q sont fausses. La proprit P et Q est vraie si les deux proprits sont vraies (simul-tanment), fausse si une deux proprits (ou les deux) est fausse. La proprit non P est vraie si P est fausse, fausse si P est vraie. La proprit si P, alors Q est fausse si P est vraie et Q fausse, vraiedans tous les autres cas . On dit aussi : P est une condition sufsante de Q , Pour Q, il suft que P , Q est une condition ncessaire de P , Pour P, il faut que Q , P seulement si Q , P implique Q , et on note P Q. La proprit P si et seulement si Q est vraie si P et Q ont mmevaleur de vrit, fausse sinon. On dit aussi : P est une condition ncessaire et sufsante de Q , P et Q sont quivalentes , pour que Q, il faut et il suft que P ,et on note P Q.On crit couramment en abrg ssi pour si et seulement si .Ces dnitions sont synthtises dans les tables de vrit : P Q P ou Q P et Q PQ PQ V V V V V V V F V F F F F V V F V F F F F F V VRgles de calculLes proprits suivantes sont quivalentes :non (P ou Q) et (non P) et (non Q) ;non (P et Q) et (non P) ou (non Q) ;non (x, P (x)) et x, non (P (x)) ;non (x, P (x)) et x, non (P (x)) ;non (P Q) et Q et non (P).6

15. Techniques de baseLes rgles de calcul ci-dessus sont utiles pour montrer quune pro-prit est fausse. Par exemple, pour montrer quune proprit universelle(x, P (x)) est fausse, il suft de donner un contre-exemple, cest--direune valeur de x telle que P (x) est fausse.UtilisationLa plupart des thormes et propositions du cours se prsentent commedes implications (vraies !) P implique Q , ou comme des quivalences.Le vocabulaire impliqu est dusage constant et doit tre bien compris.En particulier, on notera quune condition ncessaire peut ne pas tresufsante, et quune condition sufsante peut ne pas tre ncessaire : ( 2.4) Pour quune srie soit convergente, il est ncessaire, mais pas sufsant, que son terme gnral tende vers 0. En dautres termes, si le terme gnral ne tend pas vers 0, alors la srie ne converge pas, mais si le terme gnral tend vers 0, la srie peut ne pas converger. ( 6.2) Pour quune matrice soit diagonalisable, il est sufsant, mais pas ncessaire, quelle soit symtrique. noter le lien avec le vocabulaire des ensembles. Avec A, B inclus danslensemble de rfrence E, si on aA = {x|P (x)} ; B = {x | Q (x)}, alorsA B = {x | P (x) ou Q (x)} ; A B = {x|P (x) et Q (x)}A = {x | non (P (x))}A B si et seulement si P (x) Q (x). Ce quon a appel ici proprits correspond ce quon appelle enlangage PASCAL les variables boolennes, dont le contenu est TRUE(vrai) ou FALSE (faux). Les oprateurs logiques OR, AND, NOT cor-respondent aux oprateurs sur les proprits vus ici. Mais attention lins-truction IF . . . THEN. . . nest pas un oprateur logique : THEN estsuivie dune instruction, pas dune variable boolenne.2.4 Quelques mthodes de raisonnementRaisonnement par rcurrence Soit tablir quune proprit P (n) est vraie pour tout n N. On tablit que P (0) est vraie (initialisation). On suppose quil existe n N tel que P (n) est vraie (hypothse de rcurrence). On montre alors que P (n + 1) est vraie (hrdit). On conclut alors, daprs le principe de rcurrence : n N, P (n) . 7

16. Introduction Le raisonnement par rcurrence doit tre considr comme un vri- table guide de rdaction. Celui-ci doit tre suivi scrupuleusement et rdig soigneusement. Cela nempche pas que le cas chant la rdaction puisse tre rapide et synthtique. Voici quelques situations typiques o on fait un raisonnement par rcurrence qui ne prsente aucune difcult : ( 4.2.4) Soit A M3 (R), Xn M3,1 (R) telles que n N, Xn+1 = AXn . On montre alors par rcurrence : n N, Xn = An Xn ( 2.3) Soit (un )nN une suite telle que n N, un+1 = f (un ), et u0 = a, avec a tel que f (a) = a. On montre alors par rcurrence : n N un = a Pour tablir lhrdit, il faut souvent utiliser une ide ou une propritmise en vidence dans une question prcdente. Cest le cas pour lepremier exemple ci-dessus (la proprit qui permet dtablir lhrditest Xn+1 = AXn ), et dune manire tout fait typique pour ltude desuites rcurrentes grce la formule des accroissements nis (cf 2.3.3 ). Le raisonnement par rcurrence est susceptible de nombreuses varia-tions : linitialisation peut tre faite avec n = 1. Lhrdit permet depasser de n 1 n (n N ). . .Parfois linitialisation devra porter sur les proprits P (0) , P (1) , P (2),par exemple, et pour obtenir lhrdit on supposera quil existe n Ntel que P (n) , P (n + 1) , P (n + 2) sont vraies (rcurrence sur plusieursgnrations). Ou bien on supposera quil existe n N tel que, pour toutk {0 ; ; n}, P (k) est vraie (rcurrence forte).Raisonnement par contraposeLa contrapose de la proprit P Q est la proprit non Q non P.Elles sont logiquement quivalentes, et pour tablir une implication, ilpeut tre plus commode dtablir sa contrapose. Pour montrer quun polynme de degr n 1 admet au plus n racines, on dmontre la contrapose : un polynme admettant plus de n racines nest pas de degr n. Voir le 6 de cette introduction.Ne pas confondre contrapose et rciproque : la rciproque de la pro-prit P Q est la proprit Q P : la rciproque dune implicationvraie peut tre fausse.8

17. Techniques de base Limplication la srie Sun converge lim un = 0 est vraie. n+ 1 Sa contrapose est vraie, mais sa rciproque est fausse : la suite n nN converge vers 0, et la srie nN 1 diverge (voir 1.4.2). nRaisonnement par labsurdePour montrer quune proprit P est vraie, on suppose quelle est fausse,et on aboutit une contradiction. On conclut alors que P est vraie. Deux matrices (voir chap. 4) A et B sont donnes, B est non nulle et AB = 0. On montre par labsurde que A nest pas inversible : pour cela on suppose que A est inversible, et de AB = 0 on tire alors A1 AB = A1 0, donc IB = 0, B = 0. Or B = 0 : contradiction, A nest pas inversible.Mentionnons aussi le raisonnement par quivalence (utilis dans larsolution des quations) : on montre quune proprit est quivalente une proprit vraie, plus simple. Le raisonnement par analyse etsynthse consiste trouver des conditions ncessaires lexistence dunobjet (la solution dune quation par exemple), puis vrier si cesconditions ncessaires sont sufsantes.3. Signes S , P3.1 DnitionsSoit I un sous-ensemble ni de N ou de N N. Les symboles xi ; xi iI iIdsignent respectivement la somme et le produit de tous les nombresrels xi , avec i appartenant I.Cas particuliers, dutilisation trs frquente : n n xi = x1 + x2 + + xn ; xi = x0 + x1 + + xn i=1 i=0Lire sigma de i gal 1 n des x indice i . . . Notations analogues pourle produit (lire produit de i gal 1 n. . . ). 9

18. Introduction3.2 Rgles de calcul Avec I ni inclus dans N, et a constante indpendante de i, on a (xi + yi ) = xi + yi iI iI iI axi = a xi iI iI Avec n N , p N, p n (et a constante indpendante de i) : n n n a = na ; a = (n + 1) a ; a = (n p + 1) a i=1 i=0 i=pDmonstration. La premire proprit est une consquence de la com-mutativit de laddition. La deuxime proprit est une mise en facteurcommun. Pour les proprit suivantes, on compte combien la sommecontient de termes tous gaux a. Si les xi sont des rels positifs, les yi des rels quelconques : ln xi = ln xi ; exp yi = exp (yi ) iI iI iI iI Si I est une partie nie de N N, il sagit en fait dune sommedouble , quon dcompose en somme de sommes : xi,j = xi,j = xi,j (i,j)I {i ; j,(i,j)I } {j ; (i,j)I } {j ; i,(i,j)I } {i ; (i,j)I }En particulier, on a, avec I = {(i, j) ; 1 i n et 1 j i}: n i n n xi,j = xi,j i=1 j =1 j =1 i=j Les rgles de calcul ci-dessus sont les seules retenir, et utiliser. Vous prendrez garde ne pas en inventer dautres, qui ont de bonnes chances dtre fausses. Exemple : bien se persuader quen gnral n n n x i yi = xi yi i=1 i=1 i=1 Avec n = 2, en effet, on aura x1 y1 + x2 y2 = (x1 + x2 ) (y1 + y2 ).10

19. Techniques de base Par contre, il est vrai que n n n n n n x i yj = xi yj = xi yj i=1 j =1 i=1 j =1 i=1 j =1 n (Mise en facteur de xi dans la somme j =1 , puis mise en facteur de n j=1 .) Si vous tes bloqu(e) dans un calcul comportant un , une possibilit est dexpliciter le en question, sur le modle n xi = x1 + x2 + + xn i=1 On crit les deux ou trois premiers termes de la somme, puis le dernier. Mais il faut faire attention alors que si n = 1, la somme ne comporte quand mme quun seul terme, le terme x1 . Prenez bien garde au statut des variables en prsence : Dans la somme n=1 xi , i est une variable muette : la valeur de i i nintervient pas dans la valeur de la somme. On a par exemple i = 1 xi = n n k=1 xk . Dans cette mme somme, n est une variable libre : la valeur de la somme dpend a priori de la valeur de n. Ncrivez donc pas des formules du type n=1 xi = f (i) qui nont aucune chance dtre i vraies. . .3.3 Sommes remarquablesOn retient la valeur des sommes suivantes. n est un entier naturel nonnul, x un nombre rel. n n (n + 1) k= k=1 2 n n (n + 1) (2n + 1) k2 = k=1 6 n n2 (n + 1)2 k3 = k=1 4 n 1 xn+1 xk = si x = 1 k=0 1x 11

20. IntroductionVoir le 2.2.1 (suites arithmtiques) pour la dmonstration du premierrsultat, et le paragraphe 2.2.2 pour celle du dernier.Les deuxime et troisime rsultats (somme des carrs, somme des cubes)se dmontrent classiquement par rcurrence.4. Dnombrement Formule du binmeUn ensemble non vide E est dit ni ssi il existe n N tel quil existeune bijection de E sur 1 ; n . n est alors le cardinal de E.On note Card E = n. Lensemble vide est ni, de cardinal 0.Le cardinal dun ensemble ni est simplement le nombre de ses lments.Un ensemble est dit dnombrable ssi il existe une bijection de N surcet ensemble. Attention, les problmes de dnombrement concerne lesensembles nis !4.1 Factorielle dun nombre entierDnitionPour n appartenant N, on dnit par rcurrence : 0! = 1 ; si n 1, n! = n (n 1)!Lire factorielle n . Daprs la dnition, on a 1! = 1 ; 2! = 2 1 = 2 ; 3! = 3 2 1 = 6 ; 4! = 24 ; . . .De faon gnrale, pour n 1 : n! = n (n 1) 1 La programmation de n! en langage PASCAL peut se faire de faon itrative : La programmation rcursive est ici prfrable : 12

21. Techniques de baseOn rencontre souvent des simplications du type : (n + 1)! n! =n+1 ; = n (n 1) . . . (n k + 1) ; . . . n! (n k)!4.2 Formules lmentairesNombre de termes p et n tant des entiers naturels tels que p n, de p n il y a n p + 1 nombres entiers.Ainsi, de 1 100, il y a 100 nombres entiers, et non 99. De 100 200 ily a 200 100 + 1 = 101 nombres entiers.Nombre de suites nies Soit n, k N. Le nombre de suites k lments dun ensemble n lments est gal nk . Soit n, k N tels que 1 k n. Le nombre de suites k lments distincts dun ensemble n lments est gal n! n (n 1) . . . (n k + 1) = (n k)! Soit n N ; le nombre de suites n lments distincts de len- semble E n lments, ou permutations de E, est gal n!.On obtient ces formules laide de reprsentations arborescentes.La premire est un cas particulier de la formuleCard(A1 A2 Ak ) = Card(A1 ) Card(A2 ) . . . Card(Ak ),avec tous les Ai gaux, de cardinal n.Elle est valable mme si n ou k sont nuls, si on considre la suite vide (suite 0 lment), et avec la convention 00 = 1.De mme, en adoptant lcriture avec des factorielles, la deuxime for-mule reste valable mme si k ou n sont nuls. Notez que le produit n (n 1) . . . (n k + 1)comporte k facteurs (autant que de nombres de 0 k 1).La troisime formule est un cas particulier important de la deuxime,avec k = n. Une permutation dun ensemble n lments peut tre vuecomme une manire dcrire dans un certain ordre les lments de cetensemble, ou comme une bijection de 1, n sur cet ensemble. 13

22. IntroductionCardinal de la runion de deux ensembles Card (A B) = Card (A) + Card (B) Card (A B) ; Si A B = , Card (A B) = Card (A) + Card (B).Formule qui se gnralise 3, 4, n ensembles sur le modle de la formuledu crible, voir 7.1.2, o on remplacera les P par des Card .4.3 Nombre de parties dun ensemble Thorme Soit k, n N, 0 k n. Le nombre de parties k lments dun ensemble n lments est gal : n n! = k k! (n k)! Le nombre de parties dun ensemble n lments est gal 2n : Si Card (E) = n, alors Card (P (E)) = 2nEn effet le nombre de suites k lments distincts dun ensemble n l- n!ments est gal (nk)! . Mais chaque partie k lments de cet ensemble n lments est reprsente par k! permutations distinctes, do le pre-mier rsultat. On en dduit le deuxime rsultat en utilisant la formuledu binme, voir 2.4.4. n se lit k parmi n . Cest le nombre de manires de choisir k klments parmi n, quand on ne tient pas compte de lordre du choix. Les nombres n sont appels coefcients binomiaux, voir 2.4.4. k Aprs simplications, quand 1 k n, on peut crire n n (n 1) . . . (n k + 1) = k k (k 1) . . . 1 Le numrateur et le dnominateur comportent chacun k facteurs. Vous utiliserez cette technique, et la formule n n k = n k , pour calculer des valeurs particulires, par exemple 10 10 10 9 8 = = = 720 7 3 32114

23. Techniques de base nProprits de nombres k Soit n, k N, 0 k n 1. Alors : n n n n n n = =1 ; = =n ; = ; 0 n 1 n1 nk k n n n+1 (formule de Pascal) + = . k k+1 k+1Ces formules se dmontrent en utilisant les factorielles, ou bien pardes considrations de dnombrement : il est vident par exemple que 0 = 1. Pour la formule de Pascal, considrer les parties k + 1 l- nments de lensemble {a1 , a2 , . . . , an , b} : il y en a n+1 , et celles qui k+1contiennent b sont au nombre de n , celles qui ne contiennent pas b k nsont au nombre de k+1 .Elles permettent de construire de proche en proche le triangle de Pas-cal, ou gure en ligne n et colonne k le nombre n : kHH k n HH 0 1 2 3 4 5 6 H 0 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1 5 1 5 10 10 5 1 6 1 6 15 20 15 6 1 Programmation du triangle de Pascal jusqu la ligne n : on utilise des boucles dnies embotes. La variable dentre est , celle de sortie est de type tableau. {initialisation de la premire colonne et de la diagonale} {initialisation du reste du tableau par la formule de Pascal} 15

24. Introduction {criture} n Comme autres proprits des nombres k , mentionnons : n n n1 n s n nk = ; = ; k k k1 s k k sk n i n+1 = ; i=k k k+1 p n n m n+m n 2 2n = ; = k=0 k pk p k=0 k n Les deux premires galits stablissent trs facilement avec les facto- rielles. La premire est frquemment utilise. La troisime se dmontre par rcurrence sur n: la proprit est vraie pour n = 0. On la suppose vraie pour n x dans N ; pour k 0 ; n , on a alors n+1 n i i n+1 n+1 n+1 n+2 = + = + = i=k k i=k k k k+1 k k+1 (hypothse de rcurrence, puis formule de Pascal). Pour k = n + 1, la proprit est aussi vraie, lhrdit est ainsi compltement tablie. La quatrime galit est connue sous le nom de formule de Vander- monde. Elle est facile mmoriser si on pense un exemple : avec n = 8, m = 24, p = 5, le nombre de mains de 5 cartes dun jeu de 32 cartes (membre de droite de lgalit) est gal la somme des nombres de mains de 5 cartes comportant 0, 1, 2, 3, 4, 5 curs (membre de gauche ; en effet, le nombre de mains de 5 cartes comportant k curs est gal 8 524k : on choisit k curs parmi les 8 curs du jeu de 32 k cartes, puis on complte avec 5 k non-curs parmi 24 non-curs). La cinquime formule est un cas particulier de la quatrime, avec : m = p = n, en utilisant n n k = n k .16

25. Techniques de base4.4 Formule du binmeOn dmontre classiquement par rcurrence le Thorme. Pour tout a, b R, n N : n n n n k k n k n k (a + b)n = a b = ab k=0 k k=0 kPour les premires valeurs de n, on obtient : (a + b)0 = 1 (a + b)1 = a + b (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 (a + b)4 = a4 + 4a3 b + 6a2 b2 + 4ab3 + b4 Vous devez mmoriser, et savoir utiliser cette formule dans les deux sens (dveloppement ou factorisation). Voici quelques remarques pour aider cette mmorisation : Dans le dveloppement, les coefcients sont ceux de la ligne n du tableau de pascal. Le premier dveloppement est fait suivant les puis- sances dcroissantes de a, croissantes de b, et cest le contraire pour le deuxime dveloppement. Dans chaque terme, la somme des expo- sants est gale n. Quelques exemples dutilisation Pour obtenir le dveloppement de (a b)n , on crit : n n n k (a b)n = (a + (b))n = a (1)k bk k=0 k Avec a = b = 1, on obtient n n = 2n k=0 k ce qui dmontre que le nombre de parties dun ensemble n l- ments est gal 2n . 17

26. Introduction Avec a = 1, b = 1, on obtient : n n (1)k =0 k=0 k ce qui montre que dans un ensemble n lments, le nombre de parties de cardinal pair et le nombre de parties de cardinal impair sont tous deux gaux, et donc gaux 2n1 . Voici un exercice de dnombrement o la formule du binme est utilise : si E est un ensemble de cardinal n, alors le nombre de couples (A, B) de parties de E telles que A B = est gal 3n . En effet, pour tout k appartenant 0, n , le nombre de parties A k lments est n . Le choix de A tant fait, le nombre de parties B telles k que A B = est 2nk , car A B = ssi B A, ssi B est une partie de A, et le nombre de parties de A est gal 2nk , A tant de cardinal n k. En faisant varier k de 0 n, on obtient un nombre de couples (A, B) qui conviennent gal n n n n k n n k k 2 = 2 1 = (2 + 1)n = 3n k=0 k k=0 k5. quations, inquationsRsoudre une quation dinconnue x R, cest dterminer lensembledes nombres rels par lesquels on peut remplacer linconnue x de faon obtenir une galit vraie.Dnitions analogues pour un inquation, un systme dquations.5.1 Problmes du premier degr Thorme (quation du premier degr). Soit a, b R, et soit S = {x R ; ax + b = 0}. Alors b si a = 0, S = ; a si a = 0 et b = 0, S = ; si a = 0 et b = 0, S = R. En particulier, lquation ax + b = 0 admet une solution unique ssi a = 0.18

27. Techniques de base Cette remarque est tout fait essentielle et trouve sa gnralisation dans les systmes dquations linaires, voir 4.1. Vous serez particulirement vigilant devant une quation telle que ax = 0 : si a = 0, lquation devient 0 x = 0, qui a une innit de solutions. Sinon lquation devient x = 0, qui a une solution unique.Signe de ax + b, Pour a = 0: x b/a + ax + b signe de (a) 0 signe de a5.2 Problmes du second degrSoit a, b, c des nombres rels, avec a = 0, et soit le polynme du seconddegr P (x) = ax2 + bx + c. Tous les rsultats connatre dcoulent de cecalcul : 2 b c b b2 c P (x) = a x2 + x + =a x+ 2 + a a 2a 4a a 2 b b2 4ac =a x+ 2a 4a2Soit D = b2 4ac (discriminant). Si D < 0, P (x) est de la forme a B2 + C avec C > 0 : P (x) nesannule pas, ne se factorise pas dans R, est toujours du signe de a. 2 Si D = 0, alors P (x) = a x + 2a , admet 2a pour racine double, se b bfactorise dans R, est du signe de a en dehors de la racine. Si D > 0, P (x) est de la forme a B2 C 2 = a (B C) (B + C). Onobtient P (x) = a (x x1 ) (x x2 ) b D b + Davec x1 = ; x2 = 2a 2aP (x) admet les deux racines distinctes x1 et x2 , est factorisable dans R,est du signe de a lextrieur des racines , du signe de a lintrieur.On voit donc que pour un polynme du second degr, P (x) est facto-risable par x a ssi a est racine de P (x). Ce rsultat se gnralise auxpolynmes de degr suprieur, voir le 6 de cette introduction. 19

28. Introduction Ces formules de rsolution sont relativement sophistiques, et vous devriez viter de les utiliser quand cest possible, cest--dire assez souvent : quation ax2 + c = 0 : isoler x2 , ou factoriser quand cest possible. quation ax2 + bx = 0 : factoriser par x. Racine vidente : si a + b + c = 0, alors ax2 + bx + c admet 1 pour racine, on trouve lautre en factorisant par x 1 ; elle vaut a . c De mme, si a b + c = 0, les deux racines sont 1 (vidente) et a.c De faon gnrale, quand elles existent, la somme et le produit des racines de ax2 + bx + c valent respectivement a et b (dvelopper c a a (x x1 ) (x x2 ) = ax + bx + c, puis identier). 2 Pour dterminer la position dun nombre m par rapport aux racines de P (x), il nest pas ncessaire de dterminer celles-ci, il suft de calculer P (m), qui sera du signe de a si m est lextrieur des racines. Si lquation est coefcients entiers et b est pair, vous simplierez par 2 lexpression des racines (si elles existent).5.3 Autres quations et inquationsIl ny a pas de thorie gnrale et qui marcherait dans toutes les situations.Contentons-nous de donner quelques principes : Problmes du type P (x) = 0, P (x) 0, o P est un polynme. Onse ramne par factorisation des problmes de degr 2, en utilisant lethorme de factorisation des polynmes, voir le 6 de cette introduc-tion. Problmes du type R1 (x) = R2 (x) , R1 (x) R2 (x), o R1 , R2 sontdes fractions rationnelles, ou fonctions rationnelles, cest--dire des quo-tients de polynmes. On limine les dnominateurs, en suivant les prin-cipes : A = 0 A = 0 et B = 0 ; le signe de A est dtermin par le B Bsigne de A et de B. x2 1 x2 1 0 (surtout pas quivalent x2 1 !) x1 x1 x1 (x 1) (x + 1) 0 x + 1 0 et x = 1 x ] 1, +[ {1} x1 Problmes irrationnels, avec prsence dun (ou plusieurs) radicaux. Onisole le radical, puis on lve au carr, mais attention aux quivalences : A = B A = B2 et B 0 ; A B 0 A B2 et B 020

29. Techniques de base Rsoudre f (x) = x, f (x) x, avec f (x) = x+1 1. x2 +1 1 f (x) = x (x + 1) 1 =0 x2 +1 x = 1 ou x2 + 1 = 1 x = 1 ou x2 + 1 = 1 x = 1 ou x = 0 1 x2 + 1 f (x) x (x + 1) 0 x2 + 1 (x + 1) 1 x2 + 1 0 1 x2 + 1 0 x2 + 1 1 x 2 + 1 1 x R Un tableau de signes conduit nalement lensemble des solutions [1 ; + [. Autres types dquations, comportant des fonctions logarithmes ouexponentielles. e2x 3 ex +2 = 0 y = ex et y2 3y + 2 = 0 ex = 1 ou ex = 2 x = 0 ou x = ln 2 ex ex > 0 ex > ex x > x x > 0.Dautres techniques sont parfois ncessaires, en particulier ltude dunefonction : Pour tout x R, ex x + 1. En effet, avec g (x) = ex x 1, on a g (x) = ex 1, donc x 0 + g (x) 0 + do la conclusion g (x) 0 (ltude des limites est inutile). On montre de mme : x > 0, ln x x 1. Vous prendrez bien garde lnonc ; la question : Rsoudre lquation f (x) = 0 est tout fait diffrente de la question Montrer que lquation f (x) = 0 admet une solution unique . Pour la premire question la valeur explicite de la solution, ou des solutions, est demande. Ce nest pas le cas de la dernire question, et il ne faut donc pas chercher exprimer cette solution. 21

30. Introduction Ainsi on peut prouver par des techniques danalyse que lquation ex = x admet une solution unique, et en donner une valeur approche, mais il ne faut surtout pas chercher en donner la valeur exacte !6. Polynmes6.1 DnitionsUn polynme, ou fonction polynme, est une application P de Rdans R dnie par : P (x) = a0 + a1 x + + an xno les ai sont des nombres rels.Le plus grand entier i tel que ai = 0 est appel le degr de P. On notei = d (P). Si tous les ai sont nuls, P est le polynme nul, on convientque son degr est .On dit que le rel a est une racine de P ssi P (a) = 0.On dit que le polynme P est factorisable (ou divisible) par le poly-nme Q ssi il existe un polynme R tel que P (x) = Q (x) R (x).6.2 PropritsProprits algbriques Si P et Q sont des polynmes, alors P + Q et PQ sont des polynmes,et on a : d (PQ) = d (P) + d (Q) ; d (P + Q) Max (d (P) , d (Q)) ;Les rsultats sur le degr sont valables mme si un des polynmes est nul,avec la convention + b = . La compose de deux polynmes est un polynme, et on a, avec P etQ non nuls : d (P Q) = d (P) d (Q). La drive dun polynme de degr n, n 1, est un polynme dedegr n 1.Thorme de factorisation des polynmes Le polynme P (x) est factorisable par x a ssi a est racine de P : P (x) = (x a) Q (x) avec Q polynme P (a) = 022

31. Techniques de baseSi P (x) = (x a) Q (x), il est vident que P (a) = 0. On admet la rci-proque (si P (a) = 0, alors P (x) est factorisable par x a).Voici quelques utilisations et consquences de ce thorme : Rsolution dquations ou dinquations de degr 3. La miseen vidence dune racine a par lnonc, ou lexistence dune racinevidente a (le plus souvent 0, 1 ou 1), permet une mise en facteur parx a, donc de faire baisser le degr . Soit P (x) = x3 + 5x2 7x + 1. Rsoudre dans R : P (x) = 0 ; P (x) 0 P (1) = 0, donc P est factorisable par x 1, donc P (x) = (x 1) ax2 + bx + c . Pour dterminer a, b, c, on peut dvelopper, puis procder par identication ; trouver les coefcients de proche en proche : a = 1, puis b = 6 en regroupant mentalement les deux termes en x2 du dveloppement. . . utiliser la mthode de Horner, voir plus loin. On trouve P (x) = (x 1) x2 + 6x 1 , puis P (x) = 0 x 1, 3 + 10, 3 10 laide dun tableau de signes, on trouve P (x) 0 x 3 10, 3 + 10 [1, +[ Mthode de Horner pour calculer P (a). On considre P (x) = an xn + + a1 x + a0Le polynme Q (x) = P (x) P (a) admet a pour racine, doncan xn + . . . a1 x + a0 P (a) = (x a) bn1 xn1 + + b1 x + b0= bn1 xn + (bn2 abn1 ) xn1 + + (b0 ab1 ) x ab0Par identication, on obtient le systme dquations bn1 = an bn2 abn1 = an1 ... b0 ab1 = a1 ab0 = a0 P (a) 23

32. Introductionqui se rsout en cascades : bn1 = an , puis bn2 = an1 + abn1 ,. . . ,b0 = a1 + ab1 , P (a) = a0 + ab0 . Disposition pratique (avec n = 3 ; lesches indiquent une multiplication par a) : a3 a2 a1 a0 +ab2 +ab1 +ab0 b2 = a3 = b1 = b0 = P (a) La mthode de Horner se prte particulirement bien une pro- grammation informatique et savre trs conome en temps de calcul. Les variables dentre sont (degr du polynme, de type entier), (suite des coefcients du polynme par degrs crois- sants, de type tableau), , de type rel. La variable de sortie est , de type rel. On compte avec cette mthode n additions et n multiplications, comparer avec la programmation directe du calcul de P (a), qui conduirait 1 + 2 + + n = n(n+1) multiplications et n additions. 2 Mthode de Horner pour factoriser par x a. Dans le cas o aest une racine de P, la mthode de Horner continue de sappliquer, elleaboutit au rsultat 0, mais elle donne aussi les coefcients du polynmeQ (x) tel que P (x) = (x a) Q (x).Exemple prcdent : P (x) = x3 + 5x2 7x + 1, racine 1 : 1 5 7 1 +1 +6 +(1) 1 =6 = 1 =0Do le rsultat P (x) = (x 1) x2 + 6x 1 . On dit que a est une racine dordre de multiplicit n du polynmeP ssi P (x) = (x a)n Q (x), avec Q (x) polynme nayant pas a pourracine.24

33. Techniques de baseUne racine simple est une racine dordre de multiplicit 1, une racinedouble est une racine dordre de multiplicit 2. La somme des ordres demultiplicit des racines dun polynme de degr n est au plus gale n. Un polynme de degr n 1 admet au plus n racines. Preuve parla contrapose, savoir : si un polynme admet plus de n racines, alorsil nest pas degr n. Daprs le thorme de factorisation des polynmes,si le polynme admet les racines x1 , . . . , xn+1 , il est alors factorisable par(x x1 ) . . . (x xn+1 ), et par consquent il est de degr > n.7. Manipulation des ingalits7.1 Ingalits et oprations Somme a b a ba+c b+c; a+a b+b a bEn particulier, a b et c 0a b + c et a c b. n nGnralisation : i 1, n , ai bi ai bi i=1 i=1 Pour majorer une somme, on majore chaque terme de la somme. Produit a b a b ac bc ; ac bc c 0 c 0 0 a b 0 aa bb 0 a b On peut multiplier entre elles des ingalits de mme sens portant sur des nombres positifs. Ne pas oublier de renverser lingalit quand on multiplie par un nombre ngatif. Prudence si on ne connat pas le signe du nombre par lequel on multiplie ! Oppos, inverse 1 1 a b a b ; 0

34. Introduction Diffrence, quotient On ne peut rien dire de gnral, et on se gardera de soustraire ou diviser membre membre des ingalits.Pour encadrer une diffrence x y, le mieux est dencadrer y, puisx + (y) : a x a a x a ab xy a b b y b b y bPour encadrer un quotient de nombres positifs : 0

35. Techniques de base 0 >0 a b Attention la fonction x x2 : 0 a b a2 b2 , mais a2 b2 a2 b2 , cest--dire seulement : a2 b |a| |b| 2 Si a 0, b 0, alors a 2 b a b (et il y a quivalence). 2 On notera en particulier, avec b 0: x2 b b x b ; x2 b x b ou x b noter galement, avec n entier 2: 0 x 10 x n x x 1 x 1x n x x 1Ingalits et valeur absolue |x| = Max {x, x} (le plus grand des deux nombres x, x). x si x 0 |x| = x si x 0 |x| est la distance du point x au point 0 de la droite relle : 0 | | |a b| est la distance du point a au point b : Pour tout x R : |x| 0, et |x| = 0 x = 0. Pour tout a, b dans R : |a + b| |a| + |b| (ingalit triangulaire).Gnralisation : n n ai |ai | i=1 i=1Attention, on a seulement |a b| |a| + |b|. 27

36. Introduction |A| B B A B ; |A| BA B ou A BAinsi, avec > 0 : |x x0 | < < x x0 < x0 < x < x0 + 28

37. Partie 1Analyse

38. tude de fonctions 1Vocabulaire de baseSoit f une fonction numrique de la variable relle, cest--dire unefonction de R dans R.Soit D une partie non vide de R.On dit que f est dnie sur D ssi f est une application de D dans R.Soit f une application dnie sur D.On dit que f estpaire ssi x D, x D et f (x) = f (x) ,impaire ssi x D, x D et f (x) = f (x).Soit I un intervalle non vide inclus dans D.On dit que f est croissante, resp. dcroissante sur I ssi, pour tout a, b dans I : a b f (a) f (b) , resp. a b f (a) f (b) strictement croissante, resp. strictement dcroissante sur I ssi,pour tout a, b dans I : a < b f (a) < f (b) , resp. a < b f (a) > f (b) monotone sur I ssi f est croissante ou dcroissante sur I ; strictement monotone sur I ssi f est strictement croissante ou stric-tement dcroissante sur I ; majore par M, resp. minore par m sur I ssi x I, f (x) M resp. x I, f (x) mM est alors un majorant et m est un minorant de f sur I. borne sur I ssi f est majore et minore sur I. 31

39. Partie 1 AnalyseLes paragraphes 1 5 concernent les fonctions de R dans R.Le paragraphe 6 concerne les fonctions de deux variables ( fonctions de R2dans R).1. Recherche de limites1.1 DnitionsSoit I un intervalle de R, x0 I, f une fonction dnie sur D, avecD = I ou D = I {x0 }, et un nombre rel. On pose lim f = ssi : x0 > 0, a > 0, x D et |x x0 | < a |f (x) | < . lim f = ssi il existe x I tel que x > x0 , et : +x0 > 0, a > 0, 0 < x x0 < a |f (x) | < . lim f = + ssi : x0 A R, a > 0, x D et |x x0 | < a f (x) > AOn dnit de faon analogue la limite gauche en x0 lim f , la limite x0en +, en , ces limites tant ventuellement +, .On a aussi les notations : lim f (x) = ; lim+ f (x) = ; lim f (x) = . . . xx0 xx0 xx0 ,x>x0La notation f (x) savre trs pratique, mais il faut veiller ne pas xx0sparer les deux ches, qui nont de signication que conjointement.1.2 Oprations sur les limitesLimites usuellesOn rappelle les limites suivantes : 1 Avec r > 0 : lim xr = + ; lim =0 x+ x+ xr + si n est pair Avec n N , lim xn = x si n est impair lim ln x = ; lim ln x = + ; lim ex = 0 ; lim ex = + x0 x+ x x+32

40. Chapitre 1 tude de fonctionsDans la suite du paragraphe, x0 , , sont des nombres rels. b, b , b sont mis la place dun des symboles x0 , x+ , x , +, . 0 0Limite dune somme, dun produit, dun quotient Thorme. Soit f et g telles que lim f = , lim g = b b Alors : lim ( f + g) = + b lim ( fg) = b f lim = si de plus =0 b gSi une des limites est innie ou si = 0, on a des rsultats partiels.RS signie quon utilise la rgle des signes, FI signale une forme ind-termine : u lim u lim v lim (u + v) lim (uv) lim b b b b b v =0 0 0 RS 0 0 0 0 FI =0 RS 0 0 FI 0 =0 RS RS 0 FI 0 + FI FI + + + + FILimite dune fonction compose lim f (x) = b ; lim g (y) = b lim g f (x) = b xb yb xb 1 1 lim+ e x = + car lim+ = + et lim ey = + x0 x0 x y+ 1 1 lim e x = 0 car lim = et lim ey = 0 x0 x0 x y 33

41. Partie 1 AnalysePassage la limite dans les ingalits Si f g, lim f = , lim g = , alors b b Si f g h, lim f = lim h = , alors lim g = b b b Si |f (x) | g (x) et lim g = 0, alors lim f = b bLes deux premires formules restent valables si , appartiennent {, +}. En particulier : Si f g et lim f = +, alors lim g = + b b Si f g et lim g = , alors lim f = b bNotons ce thorme dexistence : Soit f une fonction croissante (resp. dcroissante) et majore par M (resp. minore par m) sur lintervalle [a, b[, avec a < b +. Alors f admet une limite nie en b, et M (resp. m).Ce thorme est rapprocher du thorme analogue sur les suites num-riques, voir 2.1.2. Il ne permet pas de dterminer la limite .1.3 NgligeabilitDans la suite du chapitre, on parlera de proprits vries au voisinagede b, cest--dire sur un ensemble non vide du type [a, x0 [ x0 , a sib = x0 , un intervalle (non vide) [a, +[ si b = +, ou ] ; a] sib = Dnition. On dit que f est ngligeable devant g en b , et on notef = (g), ssi b f (x) lim =0 xb g (x)La dnition adopte suppose que g ne sannule pas au voisinage de x0 .Cela ne pose pas de difcults dans la pratique.34

42. Chapitre 1 tude de fonctions Ngligeabilits classiques. Pour a > 0 : ln x lim =0 et donc ln x = (xa ) x+ xa + ex lim a = + et donc xa = (ex ) x+ x + 1 lim (xa ln x) = 0 et donc ln x = x0 0 xa Mmorisez soigneusement ces limites, elles sont dusage constant. Elles nont pas tre justies, elles font partie des connaissances de base. Au besoin, vous voquerez les ngligeabilits classiques . Vous pouvez retenir aussi, pour n N : lim xn ex = 0. x xa On a aussi : lim = 0 ... x+ ex1.4 quivalenceDnition. On dit que f est quivalente g en b, et on note f g, bssi f (x) lim =1 xb g (x)La dnition adopte suppose que g ne sannule pas au voisinage de x0 .Cela ne pose pas de difcults dans la pratique.quivalents classiques. ln x x 1 ; ln (1 + h) h ; ex 1 x 1 0 0Considrer ln (1) = 1 pour montrer la premire quivalence (voirla dnition de f (x0 ) 1.3.1). Poser alors x = 1 + h pour montrerla deuxime. La troisime quivalence se dmontre en considrantexp (0) =1. Proprits u v u = v + b (v) u = v (1 + ) avec lim = 0 b b u1 v1 u1 v1 u1 u2 v1 v2 ; u2 v2 u2 v2 35

43. Partie 1 Analyse Pour tout a R tel que ua et va existent : u v ua va u v v u ; u v et v w u w uPour tablir la premire proprit, posez = 1 + . Les proprits vsuivantes sont des consquences directes de la dnition. La premire proprit permet de voir immdiatement des quiva- lents : x ln x x car ln x = (x) ; ex x2 ex car x2 = (ex ) + + x+ + Un polynme est quivalent en son terme de plus haut degr. Les deux proprits suivantes signient que les quivalences passent dans les produits, les quotients, les lvations la puissance. Mais attention, vous ne devez pas croire que cest le cas pour la somme, le logarithme, lexponentielle : En 0, x2 + x3 x2 ; x2 x2 + x4 ; mais x3 x4 . En 0, 1 + x2 1 + x, mais ln 1 + x2 ln (1 + x), car ln 1 + x2 x2 , ln (1 + x) x, et, daprs la dernire proprit, si on avait ln 1 + x2 ln (1 + x), on aurait x2 x. 2 En +, x2 + x x2 , mais ex ex ( faire le quotient).Utilisation uv b lim u = ; u R lim u = lim v = b b b b Pour dterminer la limite dune fonction en un point, on peut essayer de lui trouver un quivalent plus simple, dont on cherche la limite. x3 Avec f (x) = , lim f = lim f = 0. ex 1 0 + 3 3 x x En effet x = x2 0, donc lim f = 0 ; e 1 0 x x0 0 3 3 x x 0 (ngligeabilit classique), donc lim f = 0. x 1 + ex x+ e +36

44. Chapitre 1 tude de fonctions lim ex ln (1 + ex ) = 1 car ex ln (1 + ex ) ex ex = 1. x On a utilis lim e = 0 et ln (1 + y) y. x x 0Attention utiliser les quivalents bon escient : x ln x lim = 0 car lim x ln x = 0 : les quivalents sont ici inutiles. x0 1 + x2 x0 x ln x x ln x x ln x ln x lim = 0 car = 0 : ne pas x+ 1 + x2 1+x 2 + x 2 x x0 chercher dquivalent ln en +. ln (1 + x) lim = 0 : ne pas utiliser 1 + x x : les quivalents ne x+ x + passent pas aux logarithmes. Le mieux est dcrire : ln (1 + x) ln x 1 + 1 ln x + ln 1 + 1 = x = x x x x 1 ln x ln 1 + x = + x x ce qui permet de conclure. u v et lim v = lim u = , mais deux fonctions ayant mme b b b limite ne sont pas toujours quivalentes ! Par exemple : lim 2x2 = lim x2 = 0, mais 2x2 x2 . x0 x0 0 u R lim u = : attention, lcriture u 0 na aucune b b b signication, et est proscrire absolument ! (Idem pour u +) b Rciproquement, lim u = R u . b b1.5 Utilisation des dveloppements limitsDveloppements limits usuels partir de lingalit de Taylor-Lagrange ( 3.2.5), on trouve et onretient les dveloppements limits (DL) dordre n au voisinage de0 suivants : 37

45. Partie 1 Analyse est une fonction de limite nulle en 0, n N , a R. 2 xn ex = 1 + x + x + + 2! + xn (x) n! x2 xn ln (1 + x) = x + + (1)n+1 + xn (x) 2 n a (a 1) (a n + 1) n (1 + x) = 1 + ax + + a x + xn (x) n! Les DL les plus frquemment utiliss sont les suivants : x2 x2 x3 ex = 1 + x + + x2 (x) ; ex = 1 + x + + + x3 (x) 2! 2! 3! x2 x2 x 3 ln (1 + x) = x + x2 (x) ; ln (1 + x) = x + + x3 (x) 2 2 3 noter le DL : 1x = 1 + x + x2 + + xn + xn (x), qui se retrouve 1 partir de lidentit gomtrique. 2 On peut crire, de faon quivalente, ex = 1 + x + x2 + x2 , parexemple. Mais lcriture adopte ici semble plus maniable. Pour la mmorisation, le troisime DL encadr est rapprocher de la formule du binme (le coefcient de xn comporte n facteurs en descendant partir de a, resp. de n, pour le numrateur, resp. le dnominateur). On obtient un DL au voisinage de x0 R en posant x = x0 + h, et au voisinage de en posant x = 1 . h Ainsi, avec x = 1 + h, on a x ln x = (1 + h) ln (1 + h) h2 h2 = (1 + h) h + h2 (h) =h + h2 (h) 2 2 (x 1)2 =x1+ + (x 1)2 (x 1) (DL en 1) 2 1 Et avec x = : h 1 h2 1 h xe x 1 = 1h+ + h2 (h) = 1 + + h (h) h 2 h 2 1 1 1 =x1+ + ( DL en + ) 2x x x38

46. Chapitre 1 tude de fonctionsProprits Soit le DL dordre n de f en 0 : f (x) = Pn (x) + xn (x), avec Pnpolynme de degr n. Alors, si lim u = 0, on a : 0 f (u (x)) = Pn (u (x)) + (u (x))n (x)On devrait crire (u (x)), mais cela napporte aucune information, carla seule chose que lon sait de , cest que cest une fonction de limitenulle en 0. x2 x3 2 x 2 x4 ln (1 x) = x + x3 (x) ; ex = 1 + + + x4 (x) 2 3 2 6 Dans le dveloppement du produit de deux DL, on ncrit pas lestermes qui sont absorbs par le terme en xn (x) dont lordre est leplus petit. ex 1 x2 = ex = 1+ + x2 (x) 1 + x + x2 + x2 (x) 1x 1x 2 x2 = 1 + x + x2 + x2 (x) + 2 x3 x4 Il est inutile dcrire les autres termes 2 , 2 ,... qui sont tous de la forme x (x) et napportent donc aucune prcision supplmentaire. Il 2 reste alors achever les calculs.UtilisationOn utilise les DL dans la recherche des limites quand les quivalentssavrent inoprants. 1 Prouvons que lim f = , avec, pour x R : 0 2 ex 1 x f (x) = x2 Il sagit dune forme indtermine ; on ne peut utiliser lquivalent ex 1 x car a ne passe pas dans les sommes : le numrateur serait 0 quivalent 0 ? Mais on peut remplacer ex par son DL, lordre 2 suft : x2 x2 1+x+ + x2 (x) 1 x + x2 (x) 1 f (x) = 2 = 2 = + (x) x2 x2 2 Ce qui permet de conclure.Voir dautres utilisations, 2.3.2 (thorme de prolongement de la dri-ve), 2.4.4 (tude des branches innies). 39

47. Partie 1 Analyse1.6 Autres techniques Limite de f (x) = ln ex ex x en +. Il y a forme indtermine, on ne peut utiliser dquivalents (qui ne passent ni dans les logarithmes ni dans les sommes), et un DL ne semble pas trs naturel. Lide est dutiliser x = eln x , puis les rgles de calcul pour les logarithmes : ex ex f (x) = ln ex ex ln ex = ln = ln 1 e2x ex tend vers 0 quand x tend vers +. Limite de f (x) = 4 + (x + 1)2 (x + 1) en +. Lutilisation dun DL est possible, mais la technique de la quantit conjugue est plus rapide : 4 + (x + 1)2 (x + 1) 4 + (x + 1)2 + (x + 1) f (x) = 4 + (x + 1)2 + (x + 1) 4 + (x + 1)2 (x + 1)2 4 = = 2 4 + (x + 1) + (x + 1) 4 + (x + 1)2 + (x + 1) tend vers 0 quand x tend vers +. Limites en + et de f (x) = x+1 . Lutilisation des quiva- x2 +1 lents est possible. On peut aussi mettre le terme dominant en facteur lintrieur du radical : x+1 x+1 x+1 = = x2 + 1 1 1 x2 1 + 2 |x| 1+ 2 x x ce qui permet de conclure en remplaant |x| par x ou x, puis en utilisant les quivalents.1.7 Branches innies, lments graphiquesAsymptotes Si lim f = ou lim f = ou lim f = , la droite dquation x0 x0+ x0x = x0 est asymptote la courbe (asymptote verticale) (x0 R). Si lim f = b R, la droite dquation y = b est asymptote la courbe (asymptote horizontale). Si f (x) = ax + b + (x) et lim = 0, la droite dquation y = ax + b est asymptote la courbe (oblique si a = 0).40

48. Chapitre 1 tude de fonctionstude systmatique dans le cas lim f = f (x) Si lim =0: x x Cf admet une branche parabolique de direction (Ox) f (x) Si lim = : x x Cf admet une branche parabolique de direction (Oy) f (x) Si lim = a R : x x dans le cas gnral : Cf a pour direction asymptotique la droite dquation y = ax si lim ( f (x) ax) = b R : x Cf admet la droite dquation y = ax + b pour asymptote si lim ( f (x) ax) = : x Cf admet une branche parabolique de direction la droite dquation y = axAvant de faire ltude systmatique ci-dessus, sassurer de ntre pas dansle cas f (x) = ax + b + (x) voqu plus haut. Lnonc peut demanderde dterminer a, b et par identication.On peut tre amen utiliser les DL pour ltude dune branche innie. Pour x = 1, f (x) = xx 1 = ax + b + x1 = ax +(bx1 b a)x+c 2 2 c a = 1, b a = 0, c b = 0 ; donc f (x) = x + 1 + x1 1 On a donc une asymptote D dquation y = x+1, et Cf est au-dessus de D pour les points dabscisse > 1, en-dessous pour les points dabscisse < 1. Avec x = 1 , au voisinage de +: h 1 h2 1 h f (x) = xe x = 1 1h+ + h2 (h) = 1 + + h (h) h 2 h 2 1 1 1 =x1+ + . 2x x x D dquation y = x 1 est asymptote Cf . 41

49. Partie 1 Analyse Au voisinage de +, Cf est au-dessus de D car 1 x est ngligeable x 1 devant 2x , qui donne donc le signe de f (x) (x 1) pour les grandes 1 valeurs de x.Autres lments graphiquesf : D R est paire ssi x D, x D et f (x) = f (x).On tudie f sur D R+ . Dans un repre orthogonal (xOy), Cf estsymtrique par rapport (Oy).f : D R est impaire ssi x D, x D et f (x) = f (x).On tudie f sur D R+ . Dans un repre orthogonal (xOy), Cf estsymtrique par rapport O. Pour le trac de Cf , commencez (sil y a lieu) par placer les asymp- totes, et les points tangentes remarquables, cest--dire : points tangente horizontale, points anguleux (o les drives gauche et droite sont diffrentes), voir 1.3.2 ; points dinexion si ceux-ci sont demands, voir 1.3.3. Le point dabscisse 0 de Cf (sil existe) est souvent intressant placer.2. Continuit2.1 DnitionsSoit I un intervalle de R, et soit x0 I. Soit f une fonction dnie sur I. On dit que f est continue en x0 ssi lim f = f (x0 ) x0On dnit de mme la continuit droite et gauche en x0 .f est continue en x0 ]a ; b[ ssi f continue droite et gauche en x0 . On dit que f est continue sur I ssi f est continue en tout point de I.f est continue sur [a ; b] ssi f est continue sur ]a ; b[, continue droite enb et continue gauche en a. Soit f un fonction dnie sur I {x0 }. On dit que f est prolongeablepar continuit en x0 ssi f admet une limite nie en x0 .En posant f (x0 ) = lim f , on obtient un prolongement de f I, et ce x0prolongement est continu en x0 .42

50. Chapitre 1 tude de fonctions2.2 Oprations sur les fonctions continues Thorme Les fonctions polynmes, la fonction exponentielle sont continues sur R. La fonction ln est continue sur ]0 ; + [. La fonction racine carre est continue sur [0 ; + [, ainsi que les fonctions x xr , avec r > 0. La somme, le produit, le quotient avec le dnominateur qui ne sannule pas de deux fonctions continues sur I sont des fonctions continues sur I. Si u est continue sur I et f continue sur u (I), alors la compose f u est continue sur I.On utilise ce thorme pour montrer quune fonction est continue surun interval