1. Gabriel BaudrandMathmatiques : rsums du cours ECE 1 et 2 annes re e Cours Exemples Applications Conseils Algeria-Educ.com
2. Mathmatiques : rsums du cours ECE 1re et 2e anne Gabriel Baudrand Professeur agrg de mathmatiques en classes prparatoires au lyce Madeleine Michelis (Amiens)
3. Dunod, Paris, 2008ISBN 978-2-10-053972-7
4. Table des matiresIntroduction 1 1. Ensembles, applications 1 2. Notions de logique 5 3. Signes S , P 9 4. Dnombrement Formule du binme 12 5. quations, inquations 18 6. Polynmes 22 7. Manipulation des ingalits 25Analyse 291 tude de fonctions 31 1. Recherche de limites 32 2. Continuit 42 3. Calcul diffrentiel 47 4. Fonctions usuelles 53 5. Fonctions de deux variables 562 Suites et sries numriques 61 1. Gnralits 61 2. Suites numriques calculables 66 3. Suites un+1 = f (un ) 71 4. Sries numriques 76 5. Suites dnies implicitement 823 Calcul intgral 85 1. Primitives 85 2. Intgrale dnie 87 3. Intgrales gnralises 98 4. Sries et intgrales 104Algbre linaire 1074 Systmes linaires Calcul matriciel 109 1. Systmes linaires 109 III
5. TABLE DES MATIRES 2. Calcul matriciel 114 3. Un exemple despace vectoriel 1255 Espaces vectoriels applications linaires 131 1. Espaces vectoriels, sous-espaces vectoriels 131 2. Applications linaires 138 3. Espace vectoriel L (E,F), algbre L (E) 142 4. Noyau et image dune application linaire 144 5. Deux applications 1486 Diagonalisation 153 1. Thorie du changement de base 153 2. Diagonalisation 156 3. Autres rductions Applications 165Probabilits 1737 Probabilit sur un ensemble ni 175 1. Espaces probabiliss nis 175 2. Variables alatoires sur un ensemble ni 182 3. Couple de variables alatoires nies 186 4. Lois nies usuelles 1898 Variables alatoires discrtes 197 1. Espaces probabiliss quelconques 197 2. Variables alatoires innies discrtes 200 3. Couple de variables alatoires discrtes 206 4. Variables innies discrtes usuelles 2089 Variables alatoires densit Convergences, approximations estimation 217 1. Gnralits 217 2. Variables alatoires densit usuelles 221 3. Convergences et approximations 227 4. Estimation 230Informatique 23510 lments dalgorithmique 237 1. Le langage PASCAL 237 2. Exemples dalgorithmes 245 Index 253IV
6. Mode demploiCe livre contient lintgralit du cours de mathmatiques pour les classesprparatoires ECE, premire et deuxime annes. Il intressera aussi lestudiants en Licence de sciences conomiques, et tous ceux qui dsirentacqurir des connaissances lmentaires mais solides en analyse, algbrelinaire, probabilits.Quand on donne la dnition dun mot, celui-ci est imprim en gras. Les rsultats essentiels sont encadrs.Des lments pour la dmonstration dun rsultat sont donns quandcelle-ci utilise des techniques signicatives et utiles pour la rsolution desexercices. Ces lments demandent au lecteur une participation active(rdiger compltement, faire les calculs omis), qui est la cl des progrsen mathmatiques. Les notions nouvelles sont illustres par des exemples. Ceux-ci sont signals en tant que que tels, ou par un liser en marge gauche. Ils sont inspirs par des exercices trs classiques ou provenant des annales de concours. Ils sont plus nombreux quand une grande varit de situations se prsente.Dans le mme esprit, un certain nombre dapplications sont donnes.Elles ne font pas partie du cours, mais elles en sont le prolongementnaturel, et inspirent de nombreux exercices dannales. Ces caractris-tiques sont signales chaque fois quil est ncessaire. Sur fond gris vous trouverez des conseils dordre pdagogique : cueils viter, erreurs ne pas commettre, conseils de rdaction, remarques utiles la mmorisation. V
7. MODE DEMPLOIQuelques indications pour les diffrentes sections de ce livreLintroduction expose les connaissances et techniques de base deman-des par le programme. Sy ajoutent des considrations qui ne sont pasexplicitement demandes, mais nanmoins indispensables : les lmentsde logique aideront le lecteur raisonner juste, ce qui aidera unemeilleure comprhension du cours. Les rappels sur les quations, inqua-tions, ingalits visent consolider des acquis des classes antrieures et quiprennent maintenant toute leur importance.En ce qui concerne lanalyse, la totalit du programme de terminaleES est reprise et bien sr complte. Les points les plus dlicats duprogramme (recherche de limites, suites rcurrentes, sries, intgralesgnralises) sont exposs progressivement et illustrs par de nombreuxexemples.Pour lalgbre linaire, la difcult est dune part technique (recherchedes valeurs propres et vecteurs propres), et dautre part thorique (utili-sation des thormes abstraits du cours dans des situations diverses). Onsest efforc de bien cerner les difcults et ici aussi de donner sufsam-ment de varit dans les exemples.En probabilits, on a choisi de traiter dans trois chapitres diffrents lesproblmes concernant les variables alatoires nies, discrtes, densit.Cela oblige quelques rptitions, mais les techniques diffrentes misesen uvre (respectivement sommes nies, sries, calcul intgral) justientune telle dmarche. On a privilgi ici les dmonstrations des rsultats ducours, ou des applications les plus typiques, car leur maitrise est essentiellepour la rsolution des exercices.Sy ajoute un chapitre sur lalgorithmique : on y trouvera les lments dulangage PASCAL connatre, et quelques programmes emblmatiques. Conformment au programme, les algorithmes (rdigs en PAS- CAL) viennent illustrer le cours. Ils sont encadrs par un lisr poin- till.Pour ce qui concerne la rpartition du travail sur les deux annes declasse prparatoire, devraient tre maitriss en n de premire anne : lintroduction ; le chapitre 1, sauf 1.1.5 ; le chapitre 2 sauf 2.3 : notion de point xe, et 2.4 : critres de convergence et sries de Riemann ; le chapitre 3 : 3.1 et 3.2, sauf sommes de Riemann et formules de Taylor ; le chapitre 4 ;VI
8. MODE DEMPLOI les chapitres 7 et 8 (uniquement loi dun couple, lois marginales et indpendance de deux v.a en ce qui concerne ltude simultane de plusieurs v.a). Pour ce qui concerne lalgorithmique, lensemble du programme est trait tout au long de la formation, lexception des algorithmes de gestion des listes, et tout ce qui concerne les v.a densit et lestimation, qui seront traits en deuxime anne.Dans le texte, les renvois commencent toujours par le numro du cha-pitre ( 2.3 renvoie au chapitre 2 paragraphe 3). VII
9. Introduction Techniques de base1. Ensembles, applications1.1 Vocabulaire de la thorie des ensemblesx E : x est lment de E , ou x appartient E .On ne cherche pas dnir les notions primitives dlment, dappartenance,densemble.On peut distinguer deux faons de dnir un ensemble : Par extension : on donne la liste des lments de lensemble. On noteraen particulier, avec n N : 0, n = {0 ; . . . ; n} Par comprhension : on donne une proprit caractristique P des l-ments de lensemble. Llment x appartient lensemble E si, et seule-ment si, il vrie la proprit P, ce que lon note P (x). Par exemple, a, btant deux rels : [a, b] = {x | x R ; a x b}Ici la proprit P (x) est : x R et a x b .On rencontre des variantes de notation : [a, b] = {x R | a x b} = {x R ; a x b} . . .Certains ensembles ont des notations rserves : : lensemble vide (il ne contient aucun lment).N : lensemble des entiers naturels. N = {0 ; 1 ; 2 ; . . .}.N : lensemble des entiers naturels non nuls.Z : lensemble des entiers relatifs.Q : lensemble des nombres rationnels. 1
10. IntroductionR : lensemble des nombres rels.R+ : lensemble des nombres rels positifs ou nuls.On dnit de mme R , R+ , R . . .A, B, E tant des ensembles, on dnit :Relation dinclusion. On note A E (lire A est inclus dans E ,ou A est une partie de E , ou A est un sous-ensemble de E ) si etseulement si tout lment de A est lment de E.On note aussi E A ( E contient A ). Pour tout ensemble E, on a linclusion E. N Z Q R.Runion de deux ensembles. On note A B (lire A union B )lensemble ainsi dni : A B = {x | x A ou x B}Intersection de deux ensembles. On note A B (lire A inter B )lensemble ainsi dni : A B = {x | x A et x B}Gnralisation : avec I un ensemble dindices : Ai = {x ; il existe i I tel que x Ai } iI Ai = {x ; pour tout i I, x Ai } iIComplmentaire dun ensemble dans un ensemble. Soit A E.Le complmentaire de A dans E est lensemble des lments de E quinappartiennent pas A. On le note E A, ou, sil ny a pas dambigutsur lensemble E de rfrence, A (lire A barre ).Produit cartsien de deux ensembles. Le produit cartsien A B estlensembles des couples (a ; b) avec a A et b B : A B = {(a ; b) | a A et b B}On dnit de mme les produits cartsiens A B C,. . . , et An : An = {(a1 ; ; an ) | a1 A ; ; an A}An est lensemble des suites n lments de A, ou ensemble des n-listesdlments de A (n N ).Ensemble des parties de E. On note P (E) lensemble de toutes lesparties de E : P (E) = {A ; A E}2
11. Techniques de base Soit A, B, C des sous-ensembles de lensemble de rfrence E. On notera les rgles de calculs : A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) AB=AB ; AB=AB A=A ; A= ; AE =E ; AE =A Rgles de calcul qui se gnralisent, par exemple : B Ai = (B Ai ) iI iI Remarquez que AB AB=B AB=A1.2 Fonctions et applicationsDnitions Une fonction f est dnie par la donne dun ensemble de dpartE, dun ensemble darrive F, et dune relation qui un lment de Eassocie au plus un lment de F. Notation : f : E F, x y = f (x) Si on a y = f (x), on dit que y est limage de x par f , et que x est unantcdent de y par f . Une application de E dans F est une fonction de E dans F telle quechaque lment de E admette une image. On note alors f (E) lensemble{f (x) ; x E}. Soit f : E F et g : F G deux applications. La compose g fest lapplication g f : E G, x g f (x) = g (f (x)). On dit quune application f : E F est : une injection, ou que f est injective, ssi tout lment de F admet au plus un antcdent : f (x) = f x x = x . une surjection, ou que f est surjective ssi tout lment de F admet au moins un antcdent : pour tout y F, il existe x E tel que y = f (x). une bijection, ou que f est bijective ssi tout lment de F admet exactement un antcdent dans E : pour tout y F, il existe x E, x unique, tel que y = f (x). On parle alors de bijection de E sur F. 3
12. IntroductionExemple importantSoit E un ensemble (non vide). Lapplication IdE : E E, x IdE (x) = xest appele lapplication identit de E. (Cest dailleurs une bijection.)Proprits Proposition 1. Une application est bijective ssi elle est injective et surjective. Proposition 2. Soit f une bijection de E sur F. Lapplication, note f 1 de F dans E qui tout lment y de F associe lunique lment x de E tel que f (x) = y est une bijection de F sur E, appele bijection rciproque de f :...
