Mathematiques ´ - ECS1 - Free

Mathematiques - ECS1

1

Ce qu’il n’est pas possible de nepas savoir faire en arrivant en

prepa

Lycee La Bruyere30 avenue de Paris78000 Versailles

c©2013, Recueil d’exercices de prérentrée.

1 Révisions

La liste d’exercices de ce document a pour but de consolider les techniques de calculque vous êtes censés maîtriser à l’issue de la Terminale. Ces exercices doivent être faitsà la main sans aide d’aucune machine quelle qu’elle soit, ni d’aucun formulaire ! Si vousbloquez sur certaines questions calculatoires, il est impératif de revoir la partie de votrecours correspondante.

D’autres questions nécessitent un peu de recherche mais sont largement abordablesavec les connaissances de Terminales seules.

Seule la dernière partie sur les relations entre ensembles empiète sur une partie duprogramme de première année et demande de bien manipuler les quantificateurs et le voca-bulaire ensembliste, néanmoins elle reste accessible à votre niveau.

1.1 Logique

1.1.1 Test 0.

(1) Une maman dit à son fils : « Les élèves bons en maths sont de bons élèves. » Son filslui dit alors : « Je suis un bon élève donc je suis bon en maths. » Que pensez vous del’affirmation du fils ?

(2) Parmi les personnes possédant un ordinateur, certains ne sont pas des mathématiciens.Les non-mathématiciens qui vont à la piscine tous les jours n’ont pas d’ordinateur.

Peut-on affirmer que certains possesseurs d’ordinateurs ne vont pas à la piscine tousles jours ?

(3) Les habitants d’une certaine île sont divisés en deux groupes : le groupe de ceuxqui disent toujours la vérité, et le groupe de ceux qui mentent tout le temps. Vousrencontrez une personne sur cette île qui vous dit :« Je mens toujours. » Est ce unhabitant de l’île ?

(4) Quelle question peut-on poser à un habitant de l’île de la question précédente poursavoir s’il possède un crocodile ou non ?

2

1.2 Calculs algébriques � 3

1.1.2 Test 1. La vitre brisée.

Une vitre a été brisée par l’un des cinq frères d’une famille. Lorsqu’on les interroge,voici ce que chacun répond :

— John : « C’est soit Henry, soit Thomas, »— Henry : « Ni Ernest, ni moi n’avons brisé la vitre »— Thomas : « Henry et John mentent, »— David : « Non, deux de mes frères parmi John, Henry et Thomas mentent et l’autre

dit vrai, »— Ernest : « Non, David, ce que tu dis n’est pas vrai. »On décide d’appeler leur père, un homme honnête, qui ajoute que deux de ses fils

mentent toujours et que les trois autres sont honnêtes.Qui a brisé la vitre ?

1.1.3 Test 2. Identifiez le caissier.

Une organisation comporte un patron, un adjoint, un caissier, un porte-parole, un avo-cat conseil et un sténographe. Les noms des employés par ordre alphabétiques sont : M.Brun, M. Courant, Mlle Gonord, Mme Jones, Mlle Léonard et M. O’Connor.

Identifiez le caissier sachant que :— l’adjoint est le petit-fils du patron,— le caissier est le gendre du sténographe,— le porte-parole est la demi-sœur de Mlle Gonord,— M. Brun est célibataire,— M. Courant a 25 ans,— M. O’Connor est le voisin du patron.

1.1.4 Test 3. Question de poids.

Bob dit « Je suis plus riche que Ken et Ken est plus riche que Max. » A son tour, Kendit « Max est plus riche que moi et Max est plus riche que Bob. » Max affirme « Ken estplus riche que moi, et Bob et moi sommes aussi riches l’un l’autre. »

En supposant qu’à chaque fois, le moins riche des deux ne ment pas, rangez Bob, Kenet Max dans l’ordre croissant de leurs richesse.

1.2 Calculs algébriques

1.2.1 Test 1. Opérations algébriques, proportionnalité.

(1) Simplifier les expressions suivantes : a = 6 − 1 × 2 + 3 × 0 − 6 : 2 ;b = (6 − 1) × (2 + 3) × 0 − (6 : 2); c = 6 − (1 × 2) + 3 × ((0 − 6) : 2).

4 � Révisions

(2) Simplifier les expressions suivantes : 32 −

54 ; (−6)(−3) − 8(−2); 5

−1 + (−1)2(−1)−3.

(3) Simplifier les fractions suivantes :32 + 7

413 − 2

;615 + 2 × 3

1014 −

23

;

312 + 1

3+

56−

29

43

12 −

27

.

(4) Simplifier les expressions suivantes :√

32;√

(−3)2;√

(−2)(−8); (√

18)3.

(5) Le nombre n! est défini comme le produit des n premiers entiers consécutifs avec laconvention 0! = 1. On a donc n! = 1 × 2 × 3 × · · · × (n − 1) × n lorsque n ∈ N∗. On leprononce factorielle n.

Calculez : 2!, 3!, 4!, 5!, 7!4! .

(6) Calculez : 7!−6!5! , 4!

2!3! ,6!

2!4! et 2!4!8!(4!)2 (3!)3 .

(7) Ecrire le nombre suivant à l’aide de factorielles : 1×3×5×72×4×6

(8) Un produit coûte 25 euros. On applique une réduction de 20%.

— Quel est le prix de ce produit après réduction ?

Quelques mois après, une hausse de la TVA entraîne une augmentation de 20% duprix de ce produit.

— Quel est le prix après les deux variations du prix ?


(9) On suppose que le prix du pain double tous les six ans. Par quel facteur le prix du painest-il multiplié en trois ans ? Et en vingt ans ?

(10) Une quantité A est inversement proportionnelle à une quantité B. Si on double B,quelle est l’évolution en pourcentage de A ?

(11) Développez (x + a)2 et (x − a)2

(12) Développez (x + a + b)2 et (x + a − b)2.

(13) Complétez les pointillés : x2 − 6x − 7 = (x − 3)2 + . . .

(14) Complétez les pointillés : 3x2 − 8x − 13 = 3(x − 4

3 )2 + . . .

6 � Révisions

(15) En interprétant x2 − 73 x comme le début d’une identité remarquable, complétez les

pointillés :

3x2 − 7x + 4 = . . . (x − . . .)2 + . . .

(16) Soit a et c deux réels non nuls. En interprétant x2 + ba x comme le début d’une identité

remarquable, complétez les pointillés :

ax2 + bx + c = a(x − . . .)2 −. . .

4ac.

(17) Simplifier l’expression suivante :x−2x4

x−3

(18) On pose x = −3 et y = 8. Calculer

√|4x − 3y|

3x

(19) Simplifier les nombres suivants(4 × 3)−6 × 8

93 ;(4 × 3)10 + 49

84 ;(

8−2

4−4

)4

(20) Simplifier lorsqu’elles sont définies, les expressions : (xy)4

x2y3 , (x3)−2, (3x)3y−2

2x4y−1


(21) Simplifier, lorsqu’elle est définie, l’expressionx2 − 16x − 4

.

(22) Développer, simplifier et réduire l’expression (2a − 1)2 − (a − 3)(2a + 1).

(23) Simplifier en réduisant au même dénominateur, lorsqu’elle est définie, l’expressionx

x−1 + 1x .

(24) Développer et simplifier l’expression (a − b√

3)2(a + b√

3)2 (le plus rapidement pos-sible !) .

(25) Factoriser l’expression (2x − 1)(x + 3) − x(2 − 4x).

1.2.2 Test 2. Equations du premier et second ordre, polynômes

(1) Résoudre dans R l’équation : 3x − 7 = 1 − 5x

8 � Révisions

(2) Résoudre dans R l’équation : 3x2 − 7x + 4 = 0.

(3) Factoriser l’expression 3x2 − 7x + 4.

(4) Un rectangle a une aire de 20m2 et un périmètre de 18m.Déterminer sa longueur et sa largeur ?

(5) Exprimer le polynôme P(x) de degré 3 dont les racines sont −1, 2 et 4 et tel queP(0) = 8.

1.2.3 Test 3. Ordre, inégalités, inéquations, valeur absolue.

(1) Ranger dans l’ordre décroissant (sans l’aide de la calculatrice) les nombres suivants− 5

3 , −√

2, 227 , π, 23

8 ,9−5

(2) Lequel des deux nombres√

6 +√

10 ou√

5 +√

12 est le plus grand ?


(3) Montrer que si a < b alors a < 2a+b3 et a−4b

3 < −b.

(4) Pour quelles valeurs de x a-t-on 3x + 2 > 1 ? ( donner une réponse sous forme d’inter-valle)

(5) Résoudre l’inéquation : 5x + 2 > 2x − 7 ( donner une réponse sous forme d’un inter-valle).

(6) Résoudre l’inéquation : 2x+1x+3 < 3 ( donner une réponse sous forme d’un intervalle ou

d’une réunion d’intervalles).

10 � Révisions

(7) Résoudre l’inéquation : x(x + 2) < (2x − 1)(x + 2) ( donner une réponse sous formed’un intervalle ou d’une réunion d’intervalles).

(8) Simplifier√

x2.

(9) Résoudre l’équation : |3x − 7| = 8.

(10) Résoudre l’équation : |3x − 7| = |−2x + 1|.


(11) Quels sont les nombres réels x tels que x2 ∈ [2, 9] ?

(12) Complétez la phrase suivante : les nombres réels x tels que |x − 3| ≤ 6 sont les nombresappartenant à l’intervalle . . . .

(13) Complétez la phrase suivante : les nombres réels x tels que |3x + 1| < 2 sont lesnombres appartenant à l’intervalle . . . .

(14) Complétez la phrase suivante en remplaçant a et b par les valeurs correspondantes : lesnombres réels x appartenant à l’intervalle [2, 6] sont les nombres x vérifiant |x − a| ≤b.

(15) Pour quelles valeurs de x a-t-on 3x2 − 2x > 1 ? ( donner une réponse sous forme d’unintervalle ou d’une réunion d’intervalles)

(16) Résoudre l’inéquation : |3x − 7| < 2 ( donner une réponse sous forme d’un intervalleou d’une réunion d’intervalles).

12 � Révisions

(17) Résoudre l’inéquation : |2x − 5| ≥ 3 ( donner une réponse sous forme d’un intervalleou d’une réunion d’intervalles).

(18) Soit t un nombre tel que 0 < t < 1. Ranger dans l’ordre croissant les nombres suivants :√

t, t, t2, t3, t√

t

(19) Soit a, b, c trois nombres réels avec a , 0.On suppose que pour tout réel x, ax2 + bx + c ≥ 0. Etablir que b2 − 4ac ≤ 0.

(20) Etablir quelque soient les réels x et y, l’inégalité x2 + xy + y2 ≥ 0.

1.2.4 Test 4. Logarithme, exponentielle, sinus, cosinus

(1) Définir, pour x > 0, le nombre ln x.

(2) Simplifier les nombres suivants : e5 ln 2, 2 ln 4 − 3 ln 2, ln(2 +√

3) + ln(2 −√

3)


(3) Simplifier pour n ∈ N l’expression ln((n + 1)!) − ln(n!)

(4) On suppose que a2 + b2 = 7ab. Etablir l’égalité ln(

a+b3

)= 1

2 (ln a + ln b).

(5) Deux nombres x et y sont reliés par y =√

1 + e2x.

Exprimer x en fonction de y.

(6) Deux nombres x et y sont reliés par y = ln(ex + 1).


(7) Deux nombres x et y sont reliés par y =ex − e−x

ex + e−x .


14 � Révisions

(8) Exprimez y en fonction de x sachant que ln(ey − ex) = y + ln 2 − ln(ey + ex)

(9) Sachant que 2 ln(x − 2y) = ln x + ln y, déterminerxy

.

(10) Résoudre dans R∗ l’équation : (ln x)2 − 4 ln x − 5 = 0.


(11) Résoudre dans ]1,+∞[ l’inéquation : ln(1 + x) < 2 ln(x − 1)

(12) Donner les valeurs de cos( 7π3 ) et de sin( 5π

4 )

(13) On donne cos t =

√23 . Calculer cos 2t − sin t sin 2t.

(14) Exprimer√

2(1 − cos 2x) en fonction de sin x

16 � Révisions

(15) Résoudre dans R l’équation : cos x + 2 sin(x) = 72

(16) Résoudre dans R l’équation : cos x + cos2(3x) = 2 + sin2 x

1.2.5 Problèmes.

(1) Une droite D coupe la courbe d’équation xy = 1 en deux points A et B. Elle coupe lesaxes du repère orthonormé en C et D. Montrer que AC = BD.

(2) Des nombres a et b sont les racines de l’équation x2 − px + q = 0. De quelle équationsont solutions les nombres a + 1

b et b + 1a ?


(3) Déterminer trois entiers en progression géométrique dont la somme est 21 et la somme

des inverses est 712 .

(4) On allume deux bougies en même temps. L’une se consume en quatre heures et l’autre

en cinq heures. Après combien de temps, le rapport de leur longueur sera-t-il de 13 ?

(5) Résoudre le système{

x2 + y2 + x + y = 8xy + x + y = 5

18 � Révisions

(6) Une certaine opération, affine, appliquée à x donne y. La même opération appliquée à

y donne 3x2. Déterminer y.

(7) Une carte indique l’emplacement d’un trésor quelque part le long d’une route droite.

Quatre villes A, B,C,D sont raccordées dans cet ordre par cette route. La carte in-

dique :

— Depuis A, parcourir la moitié de la distance à C.

— Parcourir ensuite, un tiers de la distance ‘a D.

— Le trésor est alors situé au quart de la distance qui vous sépare de B.

On donne AB = 6 kms, BC = 8 kms et le trésor est à mi-chemin entre A et D. Quelle

distance sépare les villes C et D ?

1.3 Géométrie � 19

(8) On dispose de deux sabliers, l’un de sept minutes et l’autre de onze minute. Un œuf

à la coque nécessite quinze minutes de cuisson. Comment pouvez vous procéder pour

cuire un œuf à l’aide de ces deux sabliers uniquement ?

(9) Un immeuble comporte vingt étages. L’ascenseur de cet immeuble est doté de deux

boutons uniquement. L’un fait monter de treize étage et l’autre fait descendre de huit

étage. Ces boutons ne fonctionnent pas s’il n’y a pas assez d’étages à monter ou

descendre. Vous êtes au 13-eme étage. Comment atteindre le 8-eme étage ?

1.3 Géométrie

1.3.1 Test 1. Nombres complexes

(1) Quelles sont les coordonnées des points P et Q et des vecteurs ~u et ~v ?

20 � Révisions

Q

P ~u

~v

(2) Mettre sous forme a + ib les nombres complexes3 − 5i1 + i

et (2 + i)3.

(3) Représenter les nombres suivants dans le plan complexe : z1 = (2 + i)3, z2 =3 − 5i1 + i


(4) Mettre sous la forme trigonométrique les nombres complexes :√

21 − i1 + i

et (1+i√

3)−2.

(5) Quel est le module du nombre complexe −1 + 23 i ?

(6) Calculer le module et un argument de u =

√6 − i

√2

2et v = 1 − i.

En déduire le module et un argument de w =uv

.

22 � Révisions

(7) Résoudre dans C l’équation z2 + 2z + 2 = 0.

(8) Faire le produit du nombre complexe de module 2 et dont un argument estπ

3par le

nombre complexe de module 3 et dont un argument est−5π

6.

(9) Simplifier le nombre complexe1 + i

√3

2

2013

.

(10) Développer (z − eit)(z − e−it).


(11) Simplifier le nombre complexe :(cos π

2n + i sin π2n

)noù n ∈ N∗.

1.3.2 Test 2. Géométrie analytique : équation de droite, équation de plan, distance.

(1) Quelle est la pente (le coefficient directeur) de la droite D d’équation 3y + 4x = 2 ?

(2) Déterminer une équation de la droite passant par les points de coordonnées (2, 3) et(1, 5).

(3) Quelle est la distance entre

— les points de coordonnées (2, 3) et (5,−1) ?

— les points de coordonnées (127, 438) et (25, 438) ?

(4) Déterminer une équation de la droite passant par le point P de coordonnées (−5,−1)et de pente 0.

(5) Déterminer une équation de la droite passant par le point P de coordonnées (−7, 3) etde pente − 1

2 . La représenter.

24 � Révisions

(6) Déterminer les points d’intersection de la droite d d’équation 12 x − 3y + 1

3 = 0 avecl’axe des abscisses et l’axe des ordonnées.

1.3.3 Test 3. Géométrie analytique : calcul vectoriel.

(1) Exprimer le vecteur ~v (−2, 1) en fonction des vecteurs ~k (1,−2) et ~l (−2, 3).


(2) Représenter le vecteur ~u + 2~v − ~w où ~u(−2, 3),~v(−1, 2) et ~w(−1, 4)

(3) Les vecteurs ~u (−2, 1) et ~v (−1, 4) sont-ils colinéaires ?

(4) Les vecteurs ~u (−2, 3) et ~v ( 12 ,−

34 ) sont-ils colinéaires ?

(5) Déterminer les réels a pour lesquels les vecteurs ~u (a, 1) et~v (−6, a−5) sont colinéaires.

(6) Déterminer les réels a pour lesquels les vecteurs ~u (a,−1) et ~v (a + 1, a − 3) sontcolinéaires.

26 � Révisions

(7) Donner un vecteur directeur de la droite D d’équation 3y + 4x = 2.

(8) Donner un vecteur normal à la droite D d’équation 2y + 3x − 2 = 0.

(9) Déterminer une équation de la droite d passant par (1, 1) et perpendiculaire à la droited’équation 4x + 5y − 9 = 0.

(10) Déterminer une équation du cercle de centre P(−1, 7) et de rayon 3.

(11) Déterminer le centre et le diamètre du cercle d’équation (x − 1)2 + (y + 1)2 = 7.

(12) Déterminer le centre et le diamètre du cercle d’équation x2 + y2 + 2x − 4y − 4 = 0.


(13) Exprimer le vecteur ~v (−2, 3) en fonction des vecteurs~i (1, 0) et ~j (0, 1).

(14) Exprimer le vecteur ~v (−2, 3) en fonction des vecteurs ~k (1, 1) et ~ (1,−1).

(15) Exprimer le vecteur ~v (−2, 3,−1) en fonction des vecteurs ~j (1, 1, 1), ~k (1, 1, 0) et~ (0, 1,−1).

(16) Déterminer une équation du plan P passant par les points A(1, 0, 0), B(−1, 1, 0) etC(−1, 0, 2)

(17) Déterminer une équation du plan P passant par (1, 1, 1) et dont un vecteur normal est~u (−1, 2, 4)

28 � Révisions

1.4 Fonctions, suites, limites, continuité

1.4.1 Test 1. Suites

(1) Pour tout n ∈ N, on pose un = n + (−1)n. Donner u17.

(2) Pour tout n ∈ N, on pose un = n2. Exprimer u2p et u2p+1 en fonction de p.

(3) Pour tout n ∈ N, on pose un = n2+6n−122n+6 . Exprimer up−3 en fonction de p.

(4) Pour tout n ∈ N, on pose un = 2n + 3n. Exprimer u2p en fonction de p.

(5) Pour tout n ∈ N, on pose un = 2n2 + 3n − 1. Exprimer u2p+1 − u2p en fonction de p.

(6) Pour tout n ∈ N, on pose un =(√

2)n

n! . Exprimer u2p+3

u2p−1en fonction de p.

1.4 Fonctions, suites, limites, continuité � 29

(7) Pour tout n ∈ N, on pose un = cos(nπ). Donner les valeurs de u2p et u2p+1.

(8) Pour tout n ∈ N, on pose un = sin(n π2 ). Exprimer u2p et u2p+1 en fonction de p.

(9) Simplifier sin nπ et cos n π2 lorsque n est un entier ?

(10) On pose u0 = −3 et pour tout n ∈ N, un+1 = un + 1. Donnez u503.

(11) On pose u0 = 5 et pour tout n ∈ N, un+1 = 23 un. Exprimez un en fonction de n.

(12) On pose u0 = 5 et pour tout n ∈ N, un+1 = 1un

. Donnez u51 et u86.

(13) On pose u0 = 3 et pour tout n ∈ N, un+1 = (un)2. Exprimez un en fonction de n.

(14) Trouver une formule pour 1 + 2 + 3 + . . . + (p − 1) + p.

30 � Révisions

(15) Calculer la somme : 1002 − 992 + 982 − 972 + 962 − 952 + . . . + 22 − 1.

(16) Calculer (très rapidement) la somme 1 + 3 + 5 + 7 + . . . + 21 + 23.

(17) Calculer (très rapidement) la somme 2 + 5 + 8 + 11 + . . . + 23 + 27.

(18) Donnez une formule pour 1 + q + q2 + . . . + qn−1 + qn en fonction de q et n.

(19) Calculer (très rapidement) la somme 1 + 2 + 22 + . . . + 27

(20) Simplifiez la somme −2 + 22 − 23 + . . . + 212 − 213.

(21) Simplifiez la somme√

2 − 2 + 2√

2 − 4 + 4√

2 + . . . − 64 + 64√

2.

(22) Simplifier la fraction :(2n)!(n + 1)!

(2n + 1)!(n − 1)!.


(23) Simplifier la fraction :2(n + 2)! − n!(n + 1)(n + 1)!

.

1.4.2 Test 2. Fonctions

(1) Soit g la fonction définie par g(x) = 3x2+2x−82x2−x .

— Quel est le domaine de définition de g ?

— Calculer g(2).

(2) Déterminer le domaine de définition des fonctions définies par les expressions sui-vantes : f (x) =

√x(4 − x), g(x) = 2x−1

x(x2−2x+1) , h(x) = 5x√

1−2x2.

(3) Déterminer le domaine de définition des fonctions définies par les expressions sui-vantes : f (x) = ln |x| , g(x) =

√ln(1 − x), h(x) =

√x−1√

2−x.

32 � Révisions

(4) Représenter la fonction définie sur R par x 7→ x2 − x − 2.

(5) Soient f et g les fonctions définies sur R par f (x) = 7x − 4 et g(x) = 3x2. Déterminer

les points d’intersection des courbes de f et de g.


(6) Représenter graphiquement la fonction définie sur R par f (x) =√

x + 1.

(7) Représenter graphiquement la fonction définie sur R par f (x) =∣∣∣x2 − 1

∣∣∣.

34 � Révisions

(8) Représenter graphiquement la fonction définie sur R par f (x) =√

x2 − 1.

(9) Représenter graphiquement la fonction définie sur R par f (x) = x |x|.


(10) Représenter graphiquement l’ensemble des points (x, y) tels que x + y ≥ 1.

(11) Représenter graphiquement l’ensemble des points (x, y) tels que x − y ≤ 1.

36 � Révisions

(12) Représenter graphiquement l’ensemble des points (x, y) tels que y =x + |x|

2.

(13) Représenter graphiquement l’ensemble des points (x, y) tels que y =|x| − x

2.


1.4.3 Test 3. Limites

(1) Pour tout entier naturel n, on pose xn = n(3− 25n ). Quelle est la limite de la suite (xn) ?

(2) Pour tout entier naturel n, on pose xn = ln(1− 12n ). Quelle est la limite de la suite (xn) ?

(3) Pour tout entier naturel n, on pose xn = n3

(1+√

2)n . Quelle est la limite de la suite (xn) ?

(4) Pour tout entier naturel non nul n, on pose xn = n2 ln(1 − 1n2 ). Quelle est la limite de

la suite (xn) ?

38 � Révisions

(5) Pour tout entier naturel n, on pose xn =√

n + 2 −√

n + 3. Quelle est la limite de lasuite (xn) ?

(6) Pour tout entier naturel non nul n, on pose xn =(1 + ln 3

n

)n. Quelle est la limite de la

suite (xn) ?

(7) Pour tout entier naturel n, on pose xn = (−1)n(2 − 1

n+1

). Etudier la limite de la suite

(xn).

(8) Pour tout entier naturel n, on pose xn =(−1)n

n√

n+1 . Etudier la limite de la suite (xn).

(9) Etudier la limite limx→+∞

x3 + 1x2 − x + 1

(10) Etudier la limite limx→0

1x

(1

2 + x−

12

)

(11) Etudier la limite limx→−1

x2 + x(x − 2)(x + 1)


x3 + x2 − 5x − 2x2 − 4


(13) Etudier la limite limx→ 3

2

4x2 − 92x − 3


x3 − 1x − 1


xn − 1x − 1

où n ∈ N∗


ln(

sin xx

)


e−1x2

(18) Etudier la limite limx→+∞

ln√

xx

(19) Etudier la limite limx→−∞

x2e−x

40 � Révisions

1.5 Dérivation et intégration


x−3 − 8−1

x − 2


ln( x2 )

x − 2


ex − 1x

(4) Donnez une équation de la tangente au point d’abscisse 2 de la courbe représentativede la fonction définie par f (x) = e2x−4

(5) Donnez une équation de la tangente au point d’abscisse 4 de la courbe représentativede la fonction définie par f (x) = 1

√x

(6) En quels points la courbe représentative de la fonction définie par f (x) = x3 − 3x2 + 1admet-elle une tangente de pente −3.

(7) Exprimer la dérivée de la fonction définie par f (x) = (x2 + 2x − 5)3

1.5 Dérivation et intégration � 41

(8) Exprimer la dérivée de la fonction définie par f (x) = (x3 − 3x)(2 − x2)

(9) Exprimer la dérivée de la fonction définie par f (x) =1

x4 − x2 + 1

(10) Exprimer la dérivée de la fonction définie par f (x) =2x − 13x + 2

(11) Exprimer la dérivée de la fonction définie par f (x) =x − 2x2 + 3

(12) Exprimer la dérivée de la fonction définie par f (x) =

( x1 − x

)2

(13) Exprimer la dérivée de la fonction définie par f (x) =

√x − 1√

x + 1

(14) Exprimer la dérivée de la fonction définie par f (x) = xe−x

42 � Révisions

(15) Exprimer la dérivée de la fonction définie par f (x) = ex sin x

(16) Exprimer la dérivée de la fonction définie par f (x) = e−12 x2

(17) Exprimer la dérivée de la fonction définie par f (x) = ex sin x

(18) Exprimer la dérivée de la fonction définie par f (x) = x ln(x) − x

(19) Exprimer la dérivée de la fonction définie par f (x) = ln(1 + x2)

(20) Exprimer la dérivée de la fonction définie par f (x) = x32

(21) Exprimer la dérivée de la fonction définie par f (x) = sin xx

(22) Exprimer la dérivée de la fonction définie par f (x) = sin x ln x

(23) Exprimer la dérivée de la fonction définie par f (x) = ln(sin x)


(24) Exprimer la dérivée de la fonction définie par f (x) = 13 (sin x)3

(25) Exprimer la dérivée de la fonction définie par f (x) = 13 sin 3x

(26) Exprimer la dérivée de la fonction définie par f (x) = x ln x − x

1.5.1 Test 3

(1) Calculer∫ 5

−10 dx

(2) Calculer∫ 2

3(−2) dx

(3) Calculer∫ 2

3(1 + x3)dx

(4) Calculer∫ 2

1(1 +

√x)dx

44 � Révisions

(5) Calculer∫ 2

1(s2 +

1s2 )ds

(6) Calculer∫ 1

−1(1 + x2)2dx

(7) Calculer∫ 16

8

1x

dx

(8) Calculer∫ a2+1

a2−1

11 + t

dt (a > 1)

(9) Calculer∫ 3

2

11 − t

dt

(10) Calculer∫ 3

1

t1 + 2t2 dt


(11) Calculer∫ 8

1x

23 dx

(12) Calculer∫ 3

2

x3 − 1x − 1

dx

(13) Une unité d’aire étant fixée, quelle est l’aire de la région D du plan définie par D =

{(x, y) | x ∈ [−1, 1], 0 ≤ y ≤ 1 − x2}.

(14) Vérifier que t 7→t3

1 + t3 est une primitive de la fonction t 7→3t2

(1 + t3)2

(15) Calculer∫ 2

0

x2

(1 + x3)2 dx

(16) Vérifier que t 7→ ln |cos t| est une primitive de la fonction t 7→ tan t sur ] − π2 ,

π2 [.

(17) Calculer∫ π

4

π6

tan xdx.

46 � Révisions

(18) Soit f la fonction définie sur [0, 6] par f (t) =

t2 si t ∈ [0, 1]1 si t ∈ [1, 5](t − 6)2 si t ∈ [5, 6]

Calculer∫ 6

0f (s)ds.

(19) Calculer∫ e

1

ln tt

dt

(20) Calculer∫ π

6

0cos 2xdx

(21) Calculer∫ π

3

0(sin x)2dx

(22) Calculer∫ 1

2

0e−2tdt

(23) Déterminer géométriquement la valeur de l’intégrale∫ 1

0

√1 − t2dt

1.6 Probabilités � 47

(24) La figure suivante représente la courbe représentative d’une fonction f .

→

i

→

j

0 x

y

On pose pour x > 0, F(x) =

∫ x

0f (t)dt. Calculer F( 5

2 ).

(25) Sans les calculer, ranger les intégrales suivantes dans l’ordre croissant :

∫ π3

π4

cos tdt,∫ π

3

π4

cos2 tdt,∫ π

3

π4

sin tdt,∫ π

3

π4

cos2 t sin tdt,

1.6 Probabilités

1.6.1 Test 1. Probabilités élémentaires

(1) On lance un dé à six faces parfait et on observe la face qui apparaît. Décrire de manièreensembliste les événements :

— A : « le numéro de la face est pair »

— B : « le numéo de la face est supérieur ou égal à 3 »

— C : « le numéro de la face est pair ou supérieur à 3 »

48 � Révisions

(2) On lance un dé à six faces parfait et on observe la face qui apparaît. Quelle est la

probabilité d’observer un numéro pair ou supérieur à 3 ?

(3) On lance un dé à six faces parfait et on observe la face qui apparaît. Quelle est la

probabilité d’observer un numéro pair supérieur à 3 ?

(4) On lance une pièce équilibrée trois fois de suite.


(5) On tire une carte d’un jeu de 52 cartes. Quelle est la probabilité que cette carte ne soit

ni un coeur, ni de couleur noire ?

(6) Parmi 100 étudiants, 30 font des maths, 20 de la physique et 10 font des maths et de

la physique. On sélectionne un étudiant au hasard.

Quelle est la probabilité qu’il fasse des maths ou de la physique ?

(7) On lance deux dés parfaits à six faces.

Quelle est la probabilité qu’une face portant le numéro 2 apparaît si la somme des

faces obtenues est de 6 ?

50 � Révisions

(8) Dans un lot de 12 articles, quatre sont défectueux. On prélève au hasard trois articlesl’un après l’autre sans les remettre.Quelle est la probabilité que les trois articles soient défectueux ?

(9) Trois colis contenant des ampoules sont expédiés à un service technique. Le premiercolis contient 10 ampoules parmi lesquelles quatre sont défectueuses. Le second coliscontient six ampoules parmi lesquelles une seule est défectueuse. Le troisième coliscontient huit ampoules parmi lesquelles trois sont défectueuses. Un agent sélectionneun colis au hasard et prélève une ampoule.Quelle est la probabilité que l’ampoule prélevée soit défectueuse ?

(10) L’ampoule prélevée se révèle défectueuse.Quelle est la probabilité qu’elle provienne du premier colis ?

(11) On lance une pièce équilibrée trois fois de suite à pile ou face. On considère les évé-nements :— A : « le premier lancer donne face »— B : « le deuxième lancer donne face »— C : « deux faces à la suite sont observés »


Vérifier que A et B sont indépendants, puis que A et C sont indépendants mais B et Cne le sont pas.

(12) Deux joueurs tirent indépendamment sur une cible. Le premier atteint la cible avecprobabilité 1

4 tandis que le second l’atteint avec probabilité 25 .

Quelle est la probabilité que la cible soit atteinte ?

(13) On tire deux boules successivement sans remise d’une urne en contenant six blancheset cinq noires. Quelle est la probabilité d’obtenir une noire et une blanche ?

1.6.2 Test 2. Lois classiques

(1) Des courses entre trois chevaux A, B,C sont organisées. Les probabilités de remporterune course sont de 1

2 pour A, 13 pour B et 1

6 pour C.

Les chevaux courent deux fois de suite et on s’intéresse aux vainqueurs des courses.

Décrire l’ensemble des résultats possibles et calculer les probabilités de chaque résul-tat possible.

52 � Révisions

(2) On lance une pièce donnant pile avec probabilité 25 six fois de suite. On note X le

nombre de piles obtenues sur les six lancers.Quelle est la loi de X ?

(3) On lance une pièce donnant pile avec probabilité 25 six fois de suite.

Quelle est la probabilité d’obtenir au moins quatre piles ?

(4) On lance une pièce donnant pile avec probabilité 25 six fois de suite.

Quelle est la probabilité d’obtenir au moins un pile ?

(5) John lance six pièces à Pile ou Face. Marie fait de même mais avec cinq pièces seule-ment. Toutes les pièces sont équilibrées. Quelle est la probabilité que John obtienneplus de faces que n’en a obtenu Marie ?

(6) On lance trois pièces équilibrées à Pile ou Face. On note Y le nombre de Piles obte-nues. Calculer P(Y ≤ 2).


(7) On lance une pièce jusqu’à obtenir Pile la première fois mais en faisant au plus 10lancers. La probabilité d’obtenir Pile est 3

7 . On note X le nombre de lancers effectués.Déterminer les probabilités P(X = 1), P(X = 2), . . . , P(X = 10).

(8) Les réacteurs d’un avion ont une défaillance en cours de vol avec probabilité q = 1−p.Les défaillances sont indépendantes les unes des autres. Le vol se termine bien si lamoitié des réacteurs fonctionnent. Pour quelles valeurs de p les quadriréacteurs sont-ils préférables aux biréacteurs ?

(9) A partir de 7h, les bus passent tous les quarts d’heure à un arrêt donné. Ils passent doncà 7h, 7h15, 7h30, etc. Un usager arrive entre 7h et 7h30 à cet arrêt, l’heure d’arrivéede l’usager suivant une loi uniforme sur cette période (donc sur [0, 30]). Quelle est laprobabilité que l’usager attende moins de cinq minutes ? Plus de 10 minutes ?

(10) La durée (en minutes) d’une conversation téléphonique suit une loi exponentielle deparamètre λ = 1

10 . Quelqu’un passe juste devant vous à une cabine téléphonique.Quelle est la probabilité d’attendre moins de dix minutes ? Et celle d’attendre entre 10et 20 minutes ?

54 � Révisions

1.7 Relations ensemblistes

1.7.1 Test 1. Relations entre ensembles.

(1) Pour chacune des relations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse :

5 ∈]112, 6

], 4 ∈

]−4,

92

[,

(32−

72

)∈ Z, −

72<

[−3,−

32

[

(2) Pour chacune des relations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse :

[1, 2] ⊂ {0, 1, 2, 3};{

0,−1,12, 1

}⊂ [−1, 1]; [−1, 4[⊂

]−

32,

92

[

(3) On note E l’ensemble {−1, 0,√

3, i, e}. Pour chacune des relations suivantes, dire sielle est vraie ou fausse :

−1 ∈ E, {i} ∈ E, {0, e} ∈ E, {0, 1} ⊂ E, {−1, 0, 0, i, e,√

3, e} = E

(4) Identifier précisément les ensembles suivants :

A = {n ∈ N|∃p ∈ N, n = 2p}; B =

{x ∈ R

∣∣∣∣∃a ∈ Z,∃b ∈ N∗, x =ab

};

C =

{x ∈ R

∣∣∣∣ x2

1 + 2x2 = 1}

; D = {n ∈ N | n2 est impair}

(5) Ecrire sous forme ensembliste :

— l’ensembles des entiers relatifs impairs,

— l’ensemble des nombres complexes dont les parties réelles et imaginaires sont desrationnels.

1.7 Relations ensemblistes � 55

(6) Décrire à l’aide d’une propriété les ensembles suivants :

A = {. . . ,−64,−27,−8,−1, 0, 1, 8, 27, 64, . . .}; B = {1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, . . .}

(7) Soit T l’ensemble de la population, H celui des hommes, et F celui des femmes.

Décrire en français les ensembles suivants :

— A = {x ∈ T | x ∈ H et x a un enfant}

— B = {x ∈ T | ∃y ∈ F, x est marié à y}

— C = {x ∈ T | ∃y ∈ T,∃z ∈ T, y est fils de x et z est fils de y}

— D = {x ∈ T | x est fils de x}

— E = {x ∈ T | ∀y ∈ T, x est plus âgé que y}

(8) Simplifier les ensembles suivants :

A =

[−

54, 0

]∩

[18,

54

]; B = [−3, 5] ∩ Z; C = [−1, 1]∪]0, 2[; D =] −∞, 1] ∪ [−2,+∞[

56 � Révisions

(9) Simplifiez les ensembles suivants :

A = [−1, 1] ∩[−

32, 2

]∩ [−2, 3]; B = [0, 1] ∪ [−2, 2] ∪

[−3,

72

]

(10) On pose A = {n ∈ Z | n2 est impair } et B = {n ∈ N | ∃p ∈ Z, n = 2p}.Identifier A ∪ B et A ∩ B.

1.7.2 Test 2. Langage mathématique

(1) Formuler en langage mathématique (à l’aide des quantificateurs et des symboles ma-thématiques) les phrases suivantes :— L’entier n est le carré d’un entier.— Le cercle unité possède un point à coordonnées rationnelles.— Tout élément de l’ensemble A est élément de l’ensemble B.— Les ensembles A et B ne sont pas disjoints.— Tout réel positif est un carrée.— L’équation f (z) = 0 ne possède pas de solution entière.— La fonction f s’annule sur tout intervalle de longueur 2π.— Tout intervalle ouvert de R contient un nombre rationnel.— Les ensembles A et B sont distincts.— La fonction f ne s’annule pas sur l’intervalle [a, b].— Tout intervalle fermé de R d’amplitude 1 contient un nombre entier.


(2) Formuler en français les phrases mathématiques suivantes :

— ∀n ∈ N∗, 1n < N

— ∀n ∈ Z,∃k ∈ Z, n(n + 1) = 2k

— ∃z ∈ C, z2 = −3

— ∀x ∈ R,∀y ∈ R, (x − y)(ex − ey) ≥ 0

— ∀a ∈ C∗,∃z ∈ C, z5 = a.

— ∀n ∈ N,∃xn > n, f (xn) = 0

— ∀y ∈ [−1, 1],∃t ∈ R, f (t) = y

— ∀x ∈ R, f (x) = 2

— ∀x ∈ R,∀y ∈ R, f (x) = f (y)

58 � Révisions

(3) Décrire en français les ensembles suivants :— A = {x ∈ R | cos x = 1

2 }

— B = {n ∈ Z | ∃a ∈ Z,∃b ∈ Z, n = a2 + b2}

— C = {z ∈ C | |z| =√

2}— D = {z ∈ C | ∃a ∈ R, z = a + ia}— E = {a ∈ R | ∀x ∈ [−1, 1], f (x) ≤ f (a)}

(4) Reformulez les implications suivantes sous la forme « Si . . . alors . . . » :— Toute fonction dérivable sur l’intervalle [a, b] est continue sur [a, b].— La somme deux entiers impairs est un nombre entier pair.— Je me fâche dès que je lis une bêtise.— Le carré d’un nombre réel est positif.


— Je prends mon parapluie chaque fois qu’il pleut.

— Le produit de deux nombres négatifs est positif.

— Faire des maths me suffit pour être heureux.

— Toute suite croissante et majorée est convergente.

— Je progresserai pourvu que je travaille régulièrement.

— La dérivée d’une fonction dérivable et croissante est positive.

— Il est nécessaire de posséder un permis pour conduire.

— La fonction f ne peut s’annuler qu’en x = 0.

— Deux droites perpendiculaires à une même troisième sont parallèles entre elles.

(5) Soit V l’ensemble des vaches, M le sous ensemble des vaches marrons, Q celui desvaches agées de quatre ans et T celui des vaches tachetées de blanc.

Ecrire de manière symbolique (en utilisant les quantificateurs et les symboles ensem-blistes) les phrases suivantes :

— Une vache au moins est marron.

— Toutes les vaches sont âgées de quatre ans.

— Une des vaches marrons est tachetée de blanc.

— Toute vache âgée de quatre ans est tachetée de blanc.

— Toute vache tachetée de blanc est âgée de quatre ans.

— Une des vaches âgée de quatre ans n’est pas tachetée.

— Aucune vache n’est marron.

60 � Révisions

(6) Pour tout k ∈ N∗, Fk =] 1k , 2 + 2

k [. Identifier⋂k∈N∗

Fk.

(7) Pour tout k ∈ N∗, Fk =] 1k , 2 −

2k [. Identifier

⋂k∈N∗

Fk.

(8) Pour tout k ∈ N, Fk = [k, k + 1[. Identifier⋃k∈N

Fk.

(9) Pour tout k ∈ N∗, Fk =] 1k , 2 −

2k [. Identifier

⋃k∈N∗

Fk.


(10) Pour tout k ∈ N∗, Fk =]k, k + 1[. Identifier⋂k∈N

Fk.

(11) Pour tout k ∈ N∗, Fk =] − 1k ,

1k [. Identifier

⋂k∈N

Fk.

(12) Pour tout k ∈ N∗, Fk = R\] − k, k[. Identifier⋂k∈N

Fk.

(13) Définir des ensembles Fk deux à deux distincts tels que⋂k∈N

Fk = [0, 1]

(14) Définir des ensembles Fk deux à deux distincts tels que⋃k∈N

Fk = [0,+∞[

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