THALES ET AUTRES PROPRIETES - …mathsp.tuxfamily.org/IMG/pdf/theoreme.pdf · Sur le segment [AC], on place le point J tel que AJ = 5,1cm. Les droites (IJ) et (BC) sont-elles parall`eles?

THALES ET AUTRES PROPRIETES

1 Session du brevet 1996

Aix 96

OB D

A

C

E

Sur la figure ci-contre (qui n’est pas envraie grandeur) les droites (AB) et (CD)sont paralleles et les dimensions sont lessuivantes :OA = 5 cm ; AC = AB = 4 cm ;OD = 6, 3 cm ; DE = 5, 04 cm.

1) Calculer OB et CD.

2) Les droites (AD) et (CE) sont-ellesparalleles ? Justifier votre reponse.

Allemagne 96

Un triangle A′B′C′ rectangle en A′ et d’aire 27 cm2 est un agrandissement d’un triangle ABC rectangle en A et telque AB = 3 cm et AC = 2 cm.Calculer les longueurs A′B′ et A′C′.

Allemagne 96

F G

E

MN

2,5

12

4

7

Le dessin ci-contre n’est pas en vraie grandeur.

Les droites (NM) et (FG) sont paralleles. On donne les longueurs sui-vantes : EM = 2 ; MN = 4 ; NG = 7 ; FG = 12.Calculer les longueurs MF et EN .

Amiens 96

D H

A

P

M

100m

42m

Funiculaire : chemin de fer a traction par cable pour la desserte des voies

a tres forte pente

La longueur AD de la voie du funiculaire est de 125 m.

1) De quelle hauteur AH s’est-on eleve a l’arrivee ?

2) Lorsque le funiculaire A parcouru 42 m, il s’est eleve d’une hauteurME :

a) Faire un dessin a l’echelle 1/1 000 (faire le dessin sur la copie).

b) Que peut-on dire des droites (MP ) et (AH) ? Justifier lareponse.

c) Calculer ME.

3) Determiner l’arrondi au degre de la mesure de ADH .

Antilles 96

Soit un triangle PIF tel que PI = 5 cm ; PF = 6 cm ; IF = 8 cm. L est un point du segment [PI] tel que IL = 2 cmet A un point du segment [PF ] tel que PA = 3, 6 cm.

1) Faire la figure.

2) Calculer la longueur PL.

3) Demontrer que la droite (LA) est parallele a la droite (IF ).

4) Calculer la longueur LA.

D. Le FUR 1/ 22 15 septembre 2003


Besancon 96

ABCD est un rectangle tel que AD = 7 cm et AB = 5 cm.

1) Faire une figure que l’on completera au fur et a mesure.

2) Calculer la valeur exacte de la longueur AC.

3) Sur le segment [AB], on place le point I tel que AI = 3 cm. Sur le segment [AC], on place le point J tel queAJ = 5, 1 cm.

Les droites (IJ) et (BC) sont-elles paralleles ? Justifier la reponse.

Bordeaux 96

1) Construire un triangle ABC tel que AB = 6 cm, AC = 10 cm et BC = 8 cm (on laissera les traits de constructionapparents).

2) Demontrer que ABC est un triangle rectangle.

3) On appelle E le point du segment [AC] pour lequel AE = AC. Le cercle de diametre [AE] coupe [AB] en F .

a) Demontrer que les droites (EF ) et (BC) sont paralleles.

b) Calculer AF et EF .

Clermont 96

B

A CE

FG

La figure ne doit pas etre reproduite. L’unite de longueur est le cen-timetre.Le triangle ABC est tel que AB = 5, 25 ; BC = 8, 75 ; AC = 7.

1) Demontrer que le triangle ABC est rectangle.

2) a) Soit E le point du segment [AC] tel que EC = 4. CalculerAE.

b) La parallele a la droite (AB) passant par E coupe [BC]en F . Calculer EF .

3) La parallele a la droite (AC) passant par F coupe le segment[AB] en G. Quelle est la nature du quadrilatere AEFG ? (Ondonnera la reponse la plus precise possible en la justifiant.)

Grenoble 96

Tracer un cercle C de centre O et de rayon 4 cm. Tracer [AB], un diametre de C. Placer un point E sur le cercle C tel

que BAE = 40 .

1) Montrer que le triangle ABE est rectangle.

Calculer la valeur exacte de BE puis son arrondi au millimetre.

2) Placer le point D symetrique de B par rapport a E. Demontrer que les droites (AD) et (OE) sont paralleles.

3) Quelle est la nature du triangle ABD ? Justifier.

Lille 96

F G

E

KL

M

EFG est un triangle rectangle en F . K est le milieu du segment [EG].La droite passant par K et perpendiculaire a la droite (EF ) coupe lesegment [EF ] en L.

1) a) Demontrer que les droites (LK) et (FG) sont paralleles.

b) Demontrer que L est le milieu du segment [EF ].

2) Les droites (FK) et (GL) se coupent en M . Que represententles droites (FK) et (GL) pour le triangle EFG ?

En deduire que la droite (EM) coupe le segment [FG] en sonmilieu.



Limoges 96

A BOH

M

N L’unite de longueur est le centimetre.Soit un demi-cercle (C) de diametre [AB] tel que AB = 12. SoitO le milieu de [AB] et H le milieu de [AD]. La perpendiculaireen H a la droite (AB) coupe (C) en M .

1) Quelle est la nature du triangle AMO ? En deduire la longueur AM puis la longueur MH . (Donner des valeursexactes.)

2) Quelle est la nature du triangle AMB ? En deduire la longueur exacte de MB.

3) Calculer sin ABM . En deduire une mesure de l’angle ABM .

Etablir ce resultat d’une autre facon.

4) La mediatrice de [AB] coupe (MB) en N . Calculer les valeurs exactes de NB et ON .

Poitiers 96

Soit un triangle ABC rectangle en A tel que AB = 4, 5 cm et BC = 7, 5 cm.

1) Construire ce triangle et justifier brievement la construction.

2) On considere le point D du segment [BC] tel que BD = BC et le point E du segment [AB] tel que BE = 3 cm.

Demontrer que les droites (DE) et (CA) sont paralleles.

3) a) Quelle est la nature du triangle BED ? Justifier votre reponse.

b) Soit A1 l’aire du triangle ABC et A2 l’aire du triangle BED. Demontrer que 9A2 = 4A1.




Amerique 97

D C

BA

G

ABCD est un trapeze rectangle de bases [AB] et [CD]. On donne,en cm : AB = 3 ; AD = 3 ; DC = 6.On ne demande pas de reproduire cette figure.

1) Demontrer queGA

GC=

GB

GD=

1

2.

2) Calculer la longueur AC que l’on ecrira sous la forme a√

5.

3) Calculer la tangente de l’angle ACD ; en deduire une valeur

approchee a 1 degre pres de l’angle ACD.

Amiens 97

A G

BR

E

Z

K

Sur la figure ci-contre, les droites (AG) et (RB) sont paralleles. Les droites(AB) et (RG) se coupent en E.L’unite de longueur est le centimetre. On donne BE = 3 ; AE = 5 ;AG = 10 et EG = 8.Les dimensions ne sont pas respectees sur le schema.

1) Calculer les distances RB et RE (justifier).

2) On donne GK = 6, 4 et GZ = 8.

Montrer que les droites (ZK) et (AE) sont paralleles.

Caen 97

F

G

H

P

R

La figure ci-dessous n’est pas en vraie grandeur. On ne demande pasde reproduire.Le point R appartient au segment [FG] et le point P appartient ausegment [FH ]. Les droites (RP ) et (GH) sont paralleles et l’on a, encm :

FR = 4, 2; RP = 3, 6; HG = 18; FH = 10

1) Calculer FG.

2) Calculer, en cm, le perimetre du triangle FHG.

Clermont 97

A S C

B

R

L’unite de longueur est le centimetre.On donne un triangle ABC. Le point R appartient au segment [AB], le point Sau segment [AC] et on a AB = 20 ; BC = 21 ; RB = 12 ; AS = 11, 6 ; AC = 29.Ne pas refaire la figure.

1) Montrer que les droites (RS) et (BC) sont paralleles.

2) Les droites (RS) et (AB) sont-elles perpendiculaires ? Justifier la reponse.

Grenoble 97

S T

O

L

U

Une personne observe une eclipse de soleil. Cette situation estschematisee par le dessin ci-dessous.L’observateur est en T . Les points S (centre du Soleil), L (centrede la Lune) et T sont alignes. Le rayon SQ du Soleil mesure695 000 km. Le rayon LU de la Lune mesure 1 736 km. La dis-tance TS est l50 millions de km.Calculer la distance TL (on donnera l’arrondi au km).



Lilles 97

I

L M

J

K

Soit IJK un triangle rectangle en I tel que IJ = 3, 6 cm et IK = 4, 8 cm. On place lepoint L de la demi-droite [KI) tel que KL = 8 cm. La parallele a la droite (IJ) passantpar L coupe (KJ) en M .La figure ci-contre n’est pas en vraie grandeur, elle n’est pas a reproduire.

1) Demontrer que KJ = 6 cm.

2) Calculer la valeur de KM , en justifiant la reponse.

3) Determiner une mesure de l’angle IKJ a 1 degre pres.

Poitiers 97

A C B

I

J

4, 9 cm

7 cm3cm

Sur la figure ci-contre AB = 7 cm ; AC = 4, 9 cm ;IB = 3 cm. Les droites (JC) et (IB) sont paralleles.Demontrer que le triangle JCB est isocele.




Centres etrangers I 1998

L’unite de longueur est le centimetre.

1) Tracer le cercle C1 de centre O et de diametre [AB] tel que AB = 10. Placer le point C du segment [AB] tel queAC = 6.

Tracer le cercle C2 de diametre [AC] et le cercle C3 de diametre [BC].

Placer un point D du cercle C1 tel que BD = 5. La droite (AD) recoupe C2 en E.

2) Demontrer que ADB est un triangle rectangle.

3) Demontrer que les droites (BD) et (CE) sont paralleles.

4) a) Calculer EC.

b) Calculer AE. En deduire que ED = 2√

3.

Clermont 1998


1) Tracer un segment [EF ] tel que EF = 10, puis un demi-cercle de diametre [EF ]. Sur ce demi-cercle, placer lepoint G tel que EG = 9. Sur le segment [EF ], placer le point M tel que EM = 8. Par M , tracer la droite (d)perpendiculaire a la droite (EG), les droites (d) et (EG) se coupent en P .

2) Demontrer que les droites (FG) et (EG) sont perpendiculaires.

3) Demontrer que les droites (FG) et (MP ) sont paralleles.

4) Calculer la longueur EP

Grenoble 1998

AD

E

B

C

Sur cette figure, l’unite est le centimetre. On donne les lon-gueurs suivantes : AB = 5, BC = 3, AE = 16, 8, DE = 6, 3.Les droites (BD) et (CE) sont-elles paralleles ? Justifier lareponse.

Groupe est 1998

A C

KF

R

P

Un cerf-volant a la forme du quadrilatere PAFC ci-contre.PA = PC = 2 mFA = FC = 1, 5 m

APC = 90 .

1) Faire une representation du quadrilatere PAFC a l’echelle 1/20.

2) Demontrer que la droite (PF ) est la mediatrice du segment [AC].

3) Montrer que AC = 2 m.

4) Une des armatures [KR] est parallele a la droite (FC) et a pour extremite le point K tel que PK = 1, 4 m.

Calculer la longueur de cette armature [KR].



Nantes 1998

E

F

S

M

O

D

K

Sur la figure ci-contre :– les droites (MK) et (OD) sont paralleles ;– les points E, S, M et O sont alignes dans cet ordre ;– les points F, S, K et D sont alignes dans cet ordre.On donne SO = 6 cm, SD = 10 cm, SM = 4, 8 cm, SE = 2 cm, SF = 3 cm. Onne demande pas de reproduire la figure sur la copie.

1) Calculer SK.

2) Les droites (EF ) et (OD) sont-elles paralleles ? Justifier.

Poitiers 98

A B

C

EH

F

Dans cet exercice, l’unite de longueur est le centimetre et la figure ci-contrene respecte pas les donnees de longueurs.ABC est un triangle tel que AB = 8, AC = 10. On pose BC = a.

1) Le point E sur le segment [AC] est tel que AE = 6. La parallele a ladroite (BC) passant par E coupe la droite (AB) en F . La parallelea la droite (AB) passant par E coupe la droite (BC) en H .

Calculer EH . Exprimer CH en fonction de a et montrer que

CH =2

5a.

2) a) Quelle est la nature du quadrilatere EHBF ? Justifier lareponse.

b) En deduire BF . Exprimer BH en fonction de a.

3) Calculer la valeur de a pour que EHBF soit un losange.

4) Calculer la valeur de a pour que EHBF soit un rectangle. Donner

dans ce cas une valeur approchee a un degre pres de l’angle BCA.




Aix 1999

A

G

C

BF

DE

Sur la figure ci-contre, qui n’est pas dessinee en vraie grandeur, les droites(BF ) et (CG) sont paralleles.

1) On donne AB = 5 cm, BC = 4 cm, AF = 3 cm.

Calculer AG puis FG.

2) On donne AD = 7 cm et AE = 4, 2 cm.

Demontrer que les droites (ED) et (BF ) sont paralleles.

Inde 1999

1) Construire le triangle TRI tel que RI = 8 cm, RT = 6 cm et TI = 10 cm.

2) Quelle est la nature du triangle TRI ?

3) Placer le point O sur le segment [TR] tel que TO = 3, 6 cm et le point P sur le segment [TI] tel que TP = TI.

4) Les droites (OP ) et (RI) sont-elles paralleles ?

Limoges 1999

B C

A

F

E DLa figure ci-dessous est donnee a titre d’exemple

pour preciser la disposition des points, segments

et droites. Elle n’est pas conforme aux mesures

donnees.

L’unite de longueur est le centimetre. On donneAB = 7, 5, BC = 9, AC = 6, AE = 4, BF = 6.Les droites (DE) et (BC) sont paralleles.

1) Calculer la longueur AD.

2) Les droites (EF ) et (AB) sont-elles pa-ralleles ?

Calculer la longueur EF .

Rennes 1999

Le triangle MNP est tel que MP = 8 cm, PN = 12 cm et MN = 15 cm. Le point A est sur le segment [MP ], tel quePA = 4, 8 cm.La parallele a la droite (PN) passant par A coupe la droite (MN) en B. La parallele a la droite (MP ) passant parB coupe la droite (NP ) en C.

1) Faire la figure.

2) Demontrer que le quadrilatere ABCP est un parallelogramme.

3) Calculer AB.

4) Preciser la nature du parallelogramme ABCP .

Reunion 1999

AIR est un triangle tel que AI = 7, 6 cm, AR = 9, 6 cm, IR = 4, 8 cm.

1) Construire ce triangle.

2) Le triangle AIR est-il rectangle ? Justifier votre reponse.

3) a) Sur le cote [AI], placer le point B tel que AB = 5, 7 cm. Sur le cote [AR], placer le point C tel queAC = 7, 2 cm.

b) Montrer que les droites (BC) et (IR) sont paralleles.

4) Calculer la longueur BC.




Clermont 2000

I

M

N

R

P

S

T

Sur la figure ci-contre, tracee a main levee , IR = 8cm ;RP = 10cm ; IP = 4, 8cm ; IM = 4cm ;IS = 10cm ; IN = 6cm ; IT = 6cm.On ne demande pas de refaire la figure.

1) Demontrer que les droites (ST ) et (RP ) sont paralleles.

2) En deduire ST .

3) Les droites (MN) et (ST ) sont-elles paralleles ? Justi-fier.

Grenoble 2000

L’unite est le centimetre.A

B C

DEF

On considere un triangle ABC. Soit E un point du segment [AB] ; la parallelea la droite [BC] passant par E coupe le segment [AC] au point D.On donne AE = BC = 3 et EB = AD = 2.

1) Montrer que ED = 1, 8.

2) Sur la demi-droite [DE], on place, comme indique sur la figure, le point Ftel que DF = 3.

Les droites (AD) et (BF ) sont-elles paralleles ?

Limoges 2000

1) Resoudre le systeme :{

x − 3y = 0x − y = 4, 5

2) Dans le triangle ABC ci-contre, on donne : AB = 6cm ; BC = 9cm.

M est le point de [AB] tel que AM = 2cm.La droite parallele a (BC) passant par M coupe[AC] en N .

a) Calculer MN .

b) Donner la valeur deAN

AC.

A

B C

M N

3) On suppose que [NC] mesure 4, 5cm et l’on pose AN = y et AC = x.

a) Etablir les egalites :

x − y = 4, 5 et x − 3y = 0.

b) Calculer AN et AC, en utilisant eventuellement les questions 1 et 3.a.

(Remarque : les calculs sont possibles meme si les questions 1 et 3.a n’ont pas ete traitees.)



Nancy-Metz 2000

AB

C

E

F

M

P

L’unite est le centimetre. La figure ci-dessous n’est pas

a l’echelle.

On ne demande pas de refaire cette figure.

Les points E, M , A, B sont alignes dans cet ordre ; lespoints F , P , A, C sont alignes dans cet ordre.Les droites (EF ) et (MP ) sont paralleles.AM = 6 ; MP = 4, 8 ; AP = 3, 6 ;EF = 6 ; AC = 4, 5 ; AB = 7, 5.

1) Demontrer que le triangle AMP est un trianglerectangle.

2) Calculer AE et en deduire la longueur ME (onjustifiera les calculs).

3) Demontrer que les droites (MP ) et (BC) sontparalleles.

4) Demontrer que les angles CBA et AMP sontegaux.

Paris 2000

A B

CD

E

On completera la figure au fur et amesure de l’exercice.ABCD est un parallelogramme.AB = 8cm et AD = 4, 5cm.E est le point de la droite (AD) telque AE = 1, 5cm et E n’est pas surle segment [AD].La droite [EC] coupe le segment [AB]en M .

1) Calculer AM .

2) Placer le point N sur le segment

[DC] tel que DN =3

4DC.

Demontrer que les droites (AN)et (EC) sont paralleles.

Orleans-Tours 2000

Construire un cercle de centre O et de rayon 5cm.Soit [MN ] un diametre et K un point du cercle distinct de M et N .

1) Quelle est la nature de l’angle MKN ? Justifier.

2) Construire la bissectrice de l’angle MKN . Elle recoupe le cercle en P .

Calculer la mesure de l’angle MOP .

3) Construire le point L, image du point M par la translation qui transforme O en P . Quelle est la nature duquadrilatere OMLP ? Justifier.



Orleans-Tours 2000

Attention : le bareme de cet exercice sur trois points est le suivant : 1 point pour une reponse exacte, -0,5 point pour

une reponse inexacte, 0 point s’il n’y a pas de reponse. La note globale de l’exeercice ne pourra etre negative.

Pour chaque ligne du tableau ci-apres, trois reponses sont proposees, mais une seule est exacte dont vous devez indiquerle numero dans le second tableau.

Question Enonce Reponse 1 Reponse 2 Reponse 3

Q

Sachant que les coordonnees de deuxpoints dans un repere du plan dontdonnees par A(1;−4) et B(3; 6), alorsles coordonnees du milieu de [AB] sont :

(4; 2) (2; 1) (1; 5)

RSi on multiplie par 1/5 les dimensionsd’un trapeze, son perimetre est multi-plie par :

4/5 1/25 1/5

S

Soit FGHI un rectangle de centre E,

alors :−−→FG +

−→FI =

E

F G

HI

−−→FH

−−→FE

−→GI

Question Indication du numero (1, 2 ou 3) de la reponse choisie

Q Reponse :

R Reponse :

S Reponse :

Paris 2000

O A

B

E

F

Voici le plan dun terrain d’entraınement de javelot.Les dimensions ne sont pas respectees.

La piste d’elan se termine par l’arc de cercle⌢

AE de centreO. Le javelot doit atterrir dans le gazon delimite par les

arcs de cercles⌢

AE et⌢

BF de meme centre O et par lessegments [AB] et [EF ].On donne :OA = 8m, OB = 90m et AOE = 30 .

1) On remarque que l’aire de la portion de disque OAE est une fraction de l’aire du disque de centre O et de rayonOA.

a) Determiner cette fraction et deduire que l’aire de la portion OAE est egale a16

3πm2.

b) Montrer que l’aire de la zone en gazon est egale a2 009

3πm2.

2) I est le milieu de [AE].

a) Donner sans explication la valeur de AOI .

b) Calculer AI a 1cm pres. En deduire AE.



Poitiers 2000

A

B

C

D

E

F

5,253

4

73,5

Sur la figure ci-contre :– les points F , C et B sont alignes dans cet ordre ;– les segments [CE] et [BD] se coupent au point

A ;– les droites (BC) et (DE) sont paralleles.On donne les longueurs :BC = 4 ; CA = 3 ; AD = 3, 5 ;FC = 7 ; AE = 5, 25.

1) Demontrer que AB = 2.

2) Demontrer que les droites (AC) et (DF ) sontparalleles.

Rennes 2000

O

BC

A

D

Sur le dessin ci-dessus, les droites (AB) et (CD) sontparalleles ; les droites (AC) et (BD) sont secantes enO.On donne OA = 8cm ; OB = 10cm ; OC = 2cm ;DC = 1, 5cm.

1) Calculer la longueur du segment [AB].

2) Calculer la longueur du segment [OD].

Amerique du nord 2000

AB H

O

D Pour trouver la hauteur BD d’un arbre, on dispose des renseignements sui-vants :HA = 1m ; BH = 5m et OH = 0, 9m.Les points A, H et B sont alignes, ainsi que les points O, A et D.

Les angles AHO et ABD sont droits.

1) Demontrer que les droites (OH) et (BD) sont paralleles.

2) Calculer la hauteur de l’arbre.

Antilles-Guyane 2000

AB

C

E

FM

NLa figure ci-contre n’est pas dessinee en vraie grandeur.Les droites (BC) et (MN) sont paralleles.On donne :AC = 3cm ; AN = 5cm ; AB = 4, 2cm ; MN = 3, 5cm.

1) Calculer AM et BC.

2) On sait que AF = 2, 7cm et AE = 2cm. Les droites (FE) et(MN) sont-elles paralleles ?



Centres etrangers I2 2000

Dans chacun des trois cas de figure ci-dessous et en utilisant les informations donnees, calculer, en justifiant, la valeurexacte de la longueur demandee.Attention, certaines informations peuvent etre inutiles et les dimensions ne sont pas respectees sur les figures.

1) Calculer BC 2) Calculer EG 3) Calculer ST

OG

B

C

OG = 5cm ;BG = 8cm

E

F GH

HG = 4cm ;

EFH = 40 ;

GEH = 30

P

Q R

S T

U V

RP = 4cm ;QR = 2, 4cm ;PV = 2cm ;PS = 4, 5cm ;(QR)//(UV ) et (UV )//(ST )

Centres etrangers I4 2000

A

B

C D

E

La figure ci-dessus, donnee a titre indicatif, n’est pas en vraie grandeur.

On donne : AB = 4cm ; AE = 5cm ; AC = 6, 4cm ; AD = 8cm.Question : les droites (BE) et (CD) sont-elles paralleles ?

Amiens septembre 1999

A

B C

E F

Sur la figure ci-contre qu’il n’est pas necessaire de reproduire, les dimensions, en cm,sont les suivantes :AE = 4 ; AB = 6 ; AF = 3, 2 ;BC = 5, 4 ; AC = 4, 8.

1) Demontrer que les droites (EF ) et (BC) sont paralleles.

2) Calculer EF .

Polynesie septembre 1999

A J B

I

F

xCette figure n’est pas a l’echelle. l’unite de longueur est le centimetre.

Sur la demi-droite [Ax), on a porte le point I tel que AI = 14 et le pointF tel que AF = 8.Par le point F , on mene la parallele a la droite (IB) qui coupe le segment[AB] au point J .

1) CalculerAF

AI.

2) En deduireAJ

AB. Justifier le resultat.




Groupement II 2001

A

B

C

J

H

M

E

On considere un triangle ABC tel que AB = 6 cm, AC = 9 cm et BC =√117 cm.

sur ce dessin, les dimensions ne sont pas respectees.

1) Quelle est la nature du triangle ABC ?

2) Le point E est le point du segment [AC] tel que AE = 4 cm. Lamediatrice du segment [EC] coupe le segment [EC] en H , le segment[BC] en J et la droite (BE) en M .

a) Prouver que :– Les droites (JH) et (AB) sont paralleles ;– le segment [HC] mesure 2, 5 cm.

b) Calculer la valeur exacte de longueur JH .

c) Calculer la longueur HM .

Est 2001

AM O

B

(C)

C

D

T

la figure ci-contre n’est pas a refaire sur la copie. Elle n’est pas donnee

en vraie grandeur.

Le rayon du cercle (C) de centre O est egal a 3cm.[AB] est un diametre de ce cercle.Les points C et D appartiennent a la mediatrice du rayon [OA].La droite (OC) coupe en T la tangente au cercle (C) au point B.

1) Montrer que (CM) et (BT ) sont paralleles.

2) Calculer, en utilisant la propriete de Thales, la longueur OT .

3) a) Demontrer que le triangle COA est equilateral.

b) En deduire une mesure (en degres) de l’angle MCO puis une

mesure (en degres) de l’angle DOT .

Sud 2001

L

A

B

C

E R T

Sur la figure ci-contre :– les droites (AR) et (CT ) sont paralleles ;– les points E, L, R, T sont alignes ;– les points C, A, L, B sont alignes ;– on donne :

LC = 6cm ; LT = 9cm ; LA = 4, 8cm ;LB = 2cm ; LE = 3cm.

1) Calculer LR.

2) Les droites (EB) et (CT ) sont-elles paralleles ?

La figure ci-contre n’est pas conforme aux dimensionsdonnees.



Afrique II 2001

O

A

B

C

D

E

F

3

4

8,4

4,6

6 3,3

Sur la figure ci-dessus, on donne :OA = 4cm, OC = 6cm, OD = 8, 4cm,AB = 3cm, DF = 4, 6cm et CE = 3, 3cm.Les droites (AB) et (CD) sont paralleles.

1) a) Calculer OB.

b) Calculer CD.

2) Les droites (CD) et (EF ) sont-elles pa-ralleles ?

Amerique du sud novembre 2000

A

B C

D

E

Dans la figure ci-contre, les droites (AC) et (BD) se coupent en E.L’unite de longueur est le millimetre.On donne /BC = 70 ; BE = 60 ; EA = 16 ;ED = 24 ; EC = 40.

1) Montrer que les droites (AD) et (BC) sont paralleles.

2) Calculer la longueur AD.


1) Tracer un cercle (C) de centre O et de diametre [AB] mesurant 8cm.

Placer un point E sur ce cercle tel que l’angle BAE mesure 52 .

2) Montrer que le triangle AEB est rectangle.

3) Sur le demi-cercle d’extremites A et B, qui ne contient pas E, placer un point K.

Quelle est la valeur exacte des angles EOB et EKB ? Justifier.

Espagne Portugal 2001

O

AB

M

N

[AN ] et [BM ] sont deux segments qui se coupent en un point O comme sur la figureci-contre et qui verifient :AN = 6cm ; OA = 1, 5cm ;BO = 2, 5cm ; BM = 10cm.Montrer que les droites (AB) et (MN) sont paralleles : vous justifierez votre reponse encitant avec precision le theoreme que vous utilisez.



Antilles-Guyane septembre 2000

A

BC

EF

On donne la figure ci-contre (elle ne respecte pas les dimensions).On donne :AB = 5cm ; AF = 2, 1cm ; BC = 8cm ;AC = 7cm ; AE = 1, 5cm.

1) Des droites (FE) et (BC) sont-elles paralleles ? Justifier.

2) Calculer FE.

Inde 2001

Soit ABC un triangle tel que :AB = 10, 4cm ; AC = 9, 6cm ; BC = 4cm.

1) Faire une figure qui sera completee au fur et a mesure.

2) Demontrer que le triangle ABC est un triangle rectangle.

3) Soit D le point du segment [AB] tel que AD = 7, 8cm.

Le cercle (C) de diametre [AD] recoupe le segment [AC] en E.

Preciser la nature du triangle AED.

Demontrer que les droites (BC) et (DE) sont paralleles.

4) Calculer DE.

Polynesie septembre 2001

A

B C

E F

Dans tout cet exercice, les mesures sont exprimees en cm.La figure n’est pas a l’echelle.On donne : AB = 5 ; AE = 3 ; AF = 4, 5 ; AC = 7, 5.Demontrer que les droites (EF ) et (BC) sont paralleles.




Est (Lyon) 2002

A

B

C

D

O

Sur la figure ci-contre qui n’est pas en vraie grandeur, le point A est sur le segment[OB] et le point C est sur le segment [OD].On donne :OA = 8, 5cm ; AB = 11, 5cm ;OC = 5cm ; CD = 7cm.

1) Calculer les longueurs OB et OD.

2) Les droites (AC) et (BD) sont-elles paralleles ? Justifier votre reponse.

Nord 2002

A

B

CO

Determiner la mesure des angles du triangle ABC sachant que

AOB = 50 et BOC = 150 , en justifiant chacune de vosreponses.

Ouest 2002

[AC] et [EF ] sont deux segments secants en B.On connaıt :AB = 6cm et BC = 10cm ;EB = 4, 8cm et BF = 8cm.

1) Faire un dessin en vraie grandeur.

2) Les droites (AE) et (FC) sont-elles paralleles ?Justifier.

3) les droites (AF ) et (EC) sont-elles paralleles ? Justifier.

Sud 2002

A B

C

MNLa figure ci-contre n’est pas en vraie grandeur et n’est pas a reproduire.Elle est fournie pour preciser la position des points. L’unite est le centimetre.

1) Le triangle ABC est rectangle en A.

AB = 5 et BC = 13.

Demontrer que AC = 12.

2) Les points A, C et M sont alignes.

Les points B, C et N sont alignes.

CM = 2, 4 et CN = 2, 6.

Demontrer que les droites (AB) et (MN) sont paralleles.

3) Calculer la longueur MN .

4) Preciser la nature du triangle CMN ; justifier la reponse sans effectuer de calcul.



Afrique I 2002

A

E

F

G

H

I

J

On considere la figure ci-contre. (la figure n’est pas a l’echelle.)

1) Les droites (IG) et (JH) se coupent en un point A.

Le point E est sur (JH) et le point F est sur (IG).

Les droites (EF ) et (HG) sont paralleles.

On a :

AE = 3cm ; AF = 4cm ;

AH = 7cm ; EF = 6cm.

Calculer les longueurs AG et HG en justifiant la demarche utilisee.

Donner les resultats sous la forme d’un nombre entier ou d’une fraction irreductible.

2) On a : AI = 6cm et AJ = 4, 5cm.

Les droites (IJ) et (EF ) sont-elles paralleles ?

Justifier la demarche utilisee.

Afrique II 2002

A B

S

NM

1,8

m

6m

1,95

m

2,5m

Pour consolider un batiment, on a construit un contrefort en bois(dessin ci-contre).On donne :BS = 6m ; BN = 1, 8m ;AM = 1, 95m ; AB = 2, 5m.

1) En considerant que le montant [BS] est perpendiculaire ausol, calculer la longueur AS.

2) Calculer les longueurs SM et SN .

3) Demontrer que la traverse [MN ] est bien parallele au sol.

Guadeloupe 2002

AB

O

D

C

Sur cette figure (donnee a titre indicatif), on a les longueurs suivantes :OA = 7, 5cm ; OB = 4cm ;OC = 3cm ; OD = 1, 6cm.

1) Montrer que les droites (DC) et (AB) sont paralleles.

2) Sachant que DC = 5cm, calculer AB.

Polynesie 2001

A

B

C

D

G

F

E

Observer la figure ci-contre :On donne :AG = 2 ; AF = 5 ; AC = 4 ;GB = 1, 5 ; AE = 10 ; AD = 8 ;(GB) // (FC).

1) Calculer les longueurs AB et FC.

2) Les droites (FC) et (ED) sont-elles paralleles ? Justifier la reponse.




Est 2003

A G B

C D

EF

L’unite est le centimetre.

Dans la figure ci-contre, les droites (AB) et(CD) sont paralleles. Les droites (AD) et(BC) se coupent en E.On donne DE = 6, AE = 10, AB = 20 etBE = 16.La figure n’est pas realisee en vraie gran-

deur. Elle n’est pas a reproduire.

1) Calculer la distance CD.

2) Les points F et G appartiennent respectivement aux segments [BC] et [AB]. Ils verifient : BF = 12, 8 etBG = 16.Montrer que les droites (FG) et (AE) sont paralleles.

Sud 2003

M B A

R

N

C

POn precisera pour chacune des deux questions de cet exer-

cice la propriete de cours utilisee.

La figure ci-contre n’est pas representee en vraie grandeur.Les droites (BC) et (MN) sont paralleles.On donne :AB = 2, 4cm ; AC = 5, 2cm ;AN = 7, 8cm et MN = 4, 5cm.

1) Calculer les longueurs AM et BC.

2) Sachant que AP = 2, 6cm et AR = 1, 2cm, montrerque les droites (PR) et (BC) sont paralleles.

Amerique du nord 2003

1) a) Tracer un triangle ABC tel que AC = 7, 5cm, BC = 10cm et AB = 6cm.

b) Placer E sur [AC] tel que AE = 4, 5cm et F sur [BC] tel que BF = 6cm.

2) Les droites (AB) et (EF ) sont-elles paralleles ? Justifier.

3) On trace la droite parallele a (AB) passant par C. Cette droite coupe (BE) en L.

Determiner CL.

Asie 2003

1) Construire un triangle ABC rectangle en A tel que : AB = 6cm et BC = 10cm.

2) Calculer AC.

3) a) Placer le point I milieu du segment [BC] puis tracer la mediane (AI) du triangle ABC.

b) Montrer que IA = 5cm.

4) a) Placer le point M sur le segment [AI] tel que IM = 2cm.

b) Tracer la parallele a (AB) passant par M et le point P en lequel elle coupe [BC].

c) Calculer IP .

5) a) Placer sur le segment [IC] le point N tel que IN = 2cm puis tracer la droite (MN).

b) Demontrer que (MN) et (AC) sont paralleles.



Polynesie 2003

1) Construire le triangle ABC tel que AB = 7, 5cm, BC = 10cm et AC = 12, 5cm.

2) Montrer que le triangle ABC est rectangle.

3) a) M est un point du segment [BC] tel que BM = 4cm. Placer le point M et construire la droite (d) parallelea la droite (AC) passant par M . la droite (d) coupe [AB] au point N .

b) Calculer BN et MN .

Est septembre 2002

1) On considere un triangle ABC tel que AB = 4, 5 ; AC = 7, 5 et BC = 6. Montrer que le triangle ABC estrectangle.

2) Tracer le triangle ABC.

Placer le point E tel que les points A, C et E soient alignes dans cet ordre et que CE = 4.

Placer le point F tel que−−→BA =

−−→EF .

On note G le point d’intersection des droites (BC) et (EF ). Placer le point G.

3) a) Donner la longueur EF . Justifier le resultat.

b) Calculer la longueur EG.

c) En deduire la longueur GF .

4) On note O le milieu du segment [CF ].

Les droites (OG) et (CE) sont-elles paralleles ?

Nord septembre 2002

A

BC

D

E

FG


Sur la figure ci-contre qui n’est pas en vraie grandeur, les droites (BC) et (GF )sont paralleles.On sait que :AB = 3 ; CE = 2, 4 ; AC = 4 ;BD = 1, 8 ; BC = 4, 5 ; AF = 3, 6.

1) Calculer la longueur GF .

2) Les droites (BC) et (ED) sont-elles paralleles ?

Ouest septembre 2002

G E

T

F R

S

Suer la figure ci-contre, les droites (SF ) et (TE) sont pa-ralleles.Les points R, S et T sont alignes dans cet ordre.Les points R, F , E et G sont alignes dans cet ordre.SR = 2cm et ST = 4cm.RF = 1, 5cm et EG = 9cm.

1) Demontrer que : RE = 4, 5cm.

2) Les droites (ES) et (TG) sont-elles paralleles ? Justi-fier.




D F AB

C

G

E

L’unite de longueur est le centimetre. La figure

ci-dessus n’est pas a l’echelle.

Les points D, F , A et B sont alignes.Les points E, G, A et C sont alignes.Les droites (DE) et (FG) sont paralleles.AF = 5 ; FG = 3 ; AG = 4 ; DE = 7, 5 ; AC = 3 ;AB = 3, 75.

1) Demontrer que le triangle AFG est un tri-angle rectangle.

2) a) Calculer AD ; en deduire FD.

b) Calculer AE ; en deduire EG.

3) Demontrer que les droites (FG) et (BC)sont paralleles.

Martinique septembre 2002

1) Construire un triangle RAD tel que :

RA = 8cm ; RS = 6, 4cm ; AS = 4, 8cm.

2) Prouver que le triangle RAS est rectangle.

3) a) Placer le point M du segment [RS] tel que RM = 4, 8cm et le point N du segment [RA] tel que RN = 6cm.

b) Prouver que les droites (MN) et (AS) sont paralleles.

c) Calculer MN .




Groupe Nord 2004

La figure ci-dessous donne le schema d’une table a repasser.Le segment [AD] represente la planche.Les segments [AB] et [EC] representent les pieds.Les droites (AB) et (EC) se coupent en O.

E B

CA D

O

On donne :AD = 125 cmAC = 100 cmOA = 60 cmOB = 72 cmOE = 60 cmOC = 50 cm

1) Montrer que la droite (AC) est parallele a la droite (EB).

2) Calculer l’ecartement EB en cm.

2004

2004

2004


Documents

THALES ET AUTRES PROPRIETES - …mathsp.tuxfamily.org/IMG/pdf/theoreme.pdf · Sur le segment [AC], on place le point J tel que AJ = 5,1cm. Les droites (IJ) et (BC) sont-elles parall`eles?