Théorie élastique de l'assemblage collé à double recouvrement: utilisation de la méthode des développements asymptotiques raccordés au voisinage des extrémités

Th6orie 61astique

de l'assemblage co116 $ double recouvrement :

utilisation de la m6thode

des d6veloppements asymptotiques

raccord6s au voisinage des extr6mit6s

Y. Gilibert Maitre de Confrrences h I'I.U.T. de Reims, ENSTA, Centre de rYvette, Laboratoire de Mrcanique et d'l~nergrtique, Groupe , Composites et Collages >>, 91120 Palaiseau, France.

A. Rigolot Professeur des Universitrs & I'I.U.T. de Troyes Laboratoire de Mrcanique Throrique associ6 au C.N.R.S., n ~ 229, 4, place Jussieu, 75230 Paris Cedex 05.

L'objet de l'article est de proposer une solution approch~e au probl~me de l'~quilibre ~lastique de l' assemblage coll~ & double recouvrement. Dans une premiere pattie le montage experimental est d~crit : grdce d u n dispositif bien precis les ph~nom~nes secondaires dus la flexion des substrats, qui peuvent avoir une influence non n~gligeable sur l'apparition parasite du pelage, sont ~Iimin~s. Les r~sultats th~oriques, bas~s sur une analyse par d~veloppements asymptotiques, sont present,s: l'essentiel de l'apport par rapport aux travaux ant~rieurs tient dans la mise en ~vidence d'une couche limite au voisinage des extr~mit~s du raccordement; ce ph~nom~ne essentiel a deux consequences importantes : 1 ~ il existe un champ de contraintes d distance suffisante des extr~mit~s du recouvrement, r~gi physiquement par les m~mes lois que celles qui ont ~t~ admises jusqu'd maintenant, mais dont la nature est influenc~e par les conditions & la limite << moyennes >>, qui interviennent dans les couches limites - ce qui explique en particulier le caract~re, jusqu'& present heuristique, des mdthodes de calculs employees dans les ouvrages technologiques; 2 ~ il existe un champ de contraintes d proximit~ des extr~mit~s du recouvrement qui est tr~s largement different de celui d~duit des m~thodes heuristiques pr~c~dentes; on constate que la contrainte de cisaillement a un module beaucoup plus faible et par contre que la contrainte de d~collement joue un r61e essentiel dans la rupture de r~prouvette ~ l'extr~mit~ du raccordement. Une comparaison avec l' exp~rience permet de montrer les limites de la mod~lisation propos~e. Une m~thode par extensom~trie a donn~ en effet le champ des d~formations dans chacun des substrats. Autant l'ad~quation exp~rience-th~orie est bonne sur l'ensemble du couvre-joint, y compris au voisinage de l'extr~mit~ charg~e, autant les ph~nom~nes de dissym~trie locale, qui apparaissent au voisinage de r extr~mit~ libre du couvre-joint, sont ignores dans la mod~lisation propos~e. Dans une deuxi~me pattie le schema de calcul est pr~sent~ : un premier paragraphe permet de calculer la solution approch~e de l'~quilibre ~lastique d'un rectangle ~lanc~ soumis d des contraintes donndes sur ses faces et en l'absence d'efforts sur ses bases. A condition de d~velopper les contraintes donn~es en s~ries asymptotiques du petit param~tre d'~lancement, le saut des d~placements entre les faces est calcul~ lui-m~me en s~rie de ce petit paramdtre. Cette m~thode permet de ne plus tenir compte dans la suite des calculs de rexistence du joint adh~sif. Ces r~sultats sont utilis~s dans un deuxidme paragraphe pour ~tudier r~quilibre ~lastique des rectangles sch~matisant les substrats qui, cette fois-ci, subissent des efforts sur leur~

0025-5432/85/05 363 25/$ 4 . 5 0 / � 9 B O R D A S - G A U T H I E R - V I L L A R S 363

V o l . 1 8 - N ~ 107 - Ma t~ r i aux et Cons t ruc t i ons

bases. D eux petits paramdtres interviennent ainsi et une technique de moindre dkg~n~rescence permet de mettre en kvidence les deux phknom~nes physiques associks aux configurations critiques : le premier phdnomdne est tout naturellement la traction et le second est celui du pelage. C'est dans ce paragraphe qu'est expliquke rorigine de la couche-limite au voisinage de chaque extrkmit~, qui intervient m~me lorsque les conditions de Saint-Venant sont v~rifi~es aux extr~mitks du recouvrement. Un deuxi~me paragraphe, est consacr~ au calcul effectif de la couche limite. Dans une premiere ~tape, rinfluence du paramktre d'~paisseur de l'adhbsif est ~valu~ : dans le cas des joints tr~s minces, il est possible d'~liminer ce param~tre et de traiter le probl~me de ~ ~quilibre ~lastique d'une demi-bande non born~e par la m~thode des fonctions stationnaires : c'est ainsi qu' apparaissent les fonctions bi-orthogonales de Papkovitch. Le d~cr~ment logarith- mique de l'exponentielle, caract~ristique de l'effet Saint-Venant, est obtenu comme solution d'une ~quation cIassique du champ complexe.

INTRODUCTION

Pratiqu6 depuis la plus haute antiquit6, l'assemblage par collage s'est d~velopp+ sur le plan technologique depuis le d6but du XX c si~cle. Cependant, les 6tudes et recherches A caract6re fondamental sur cette question, datent tout au plus d'une quarantaine d'ann6es.

Le succ6s de ce mode de liaison dans le domaine industriel rend n+cessaire les liaisons durables et r6sis- tantes utilisant des produits faciles d'emploi et de faible cofit. C 'est / t ce prix que le rendement industriel de ce type de montage sera am~lior+ et c'est pourquoi la connaissance des ph6nom6nes macroscopiques li6s fi l'adh+sion pr6sente un int6r~t aussi marqu6.

L'ant6riorit6 prise par les 6tudes/t caract+re technologique impose rutilisation d'un montage experimental fiable, bien connu sur le plan des applications: c'est pourquoi notre 6rude a port6 sur l'assemblage ~ double recouvrement, sollicit6 A la traction. Ce type d'6prou- vette est particuli~rement int6ressant, parce qu'il permet d'61iminer d'une faqon tr+s simple les effets secondaires dus ~ la flexion, et parce qu'il a attir6 rat tention de nombreux chercheurs depuis les ann6es quarante. Le domaine du collage fait appel/t de nombreuse sciences : chimique, physique et m6canique; la pr6sente 6tude est consacr~e ~ raspect m6canique des assemblages m&alliques coll~s, et utilise des moyens classiques de la R~sistance des Mat6riaux.

L'une des difficult6s essentielles de la th6orie des assemblages coll+s est de faire le point sur l'6tat actuel de nos connaissances sur ce sujet : le calcul de ces ~16ments met en oeuvre, en effet, des techniques tr~s diverses, telles que :

- les 6quations aux d6riv6es partielles, lin6aires;

- ranalyse asymptotique r~guli~re;

- les d6veloppements asymptotiques singuliers;

- les singularit~s en ~lasticit6 classique.

I1 est assez rare de trouver dans le m~me article des r6sultats portant sur tous ces domaines. Aussi, nous pensons qu'il est essentiel de pr6senter une synth6se des r6sultats actuels sur un sujet bien d61imit6, celui des assemblages /t double recouvrement : c'est robjet des remarques bibliographiques.

Le plan de l 'ouvrage est le suivant :

364

- dans un premier chapitre est expos6e la th~orie g6n~rale du saut des contraintes et des d6placements la travers+e d'un joint 61astique plan;

- d a n s les chapitres 2 et 3, le calcul approch~ du champ de contraintes dans un assemblage ~ double recouvrement est pr6sent~.

I1 est fait usage d'une m6thode de d+veloppements asymptotiques, qui permet de s~parer Ie champ de contraintes ~ fi distance >~ des extr6mit6s du champ de contraintes ~ ~ proximit6 >), o~ apparaissent des singularit6s dues ~ une couche limite.

Les lecteurs trouveront une confrontation th~orie experience dans les m6moires des Th6ses de Doctorat [31] et [67].

Une &ude approfondie se poursuit et fera l'objet de publications orient6es vers le domaine exp6rimental.

REMARQUES BIBLIOGRAPHIQUES

Depuis les travaux d'Arnovljevic [1], la th6orie classique des joints adh+sifs sollicit6s au cisaillement repose sur les hypoth6ses simplificatrices suivantes :

(1) les pi~ces A assembler pr6sentent une dimension privil~gi6e par rapport aux deux autres, si bien que l'hypoth~se de la R6sistance des Mat+riaux, selon laquelle la contrainte normale aux sections droites est pr6pond6rante, peut-~tre faite;

(2) le joint adh6sif a une 6paisseur telle que le tenseur des contraintes ne d6pend pas de la coordonn6e d'6pais- seur et se pr6sente comme un cisaillement pur;

(3) le glissement relatif des pi6ces est proportionnel, par l'interm+diaire du deuxi+me coefficient de Lam~ de l'adh~sif, A cette contrainte de cisaillement.

Ce corps d'hypoth~ses s'est r6v616 satisfaisant jusqu'aux travaux de Volkersen ([2] et [3]) " cet auteur a mis en 6vidence l'influence de la contrainte de d~collement en introduisant une hypoth~se suppl+mentaire : la proportionnalit6 entre la courbure diff6rentielle des pi6ces et cette contrainte de d6collement. Une analyse de m~me nature a 6t6 propos~e par Goland et

�9 Reissner [4], pour expliquer le comportement de pi+ces coll6es soumises / tune flexion due ~t rexcentricit6 des charges appliqu6es.

En fait toutes ces techniques ~ qualitatives )), bas6es sur la r6solution d'6quations diff6rentielles ordinaires, se sont heurt6es 5. une difficult6, qu'elles n'ont pas surmont6e: la prise en compte des conditions ~, la limite aux extr6mit6s du recouvrement. Les solutions qui sont propos6es par cette m&hode coincident en g6n6ral assez bien avec les observations d'origine exp6ri- mentale, au moins 5. grande distance des extr6mit6s du recouvrement. Au voisinage de ces extr6mit6s, une mod61isation effective du ph6nom~ne est du plus haut int6r6t, puisque l'entr6e de l'6prouvette dans la r6gion non l i n 6 a i r e - voire son endommagement ou sa rupture - a lieu dans cette r6gion.

Les diverses am61iorations propos6es par Demarkles [6] n 'ont pas permis de r6pondre /~ cette exigence : certains auteurs [59] ont m6me eu recours 5. des analo- gies avec d'autres mat6riaux pour 6tudier l'influence de l'6paisseur des substrats et de la colle constituant l'6prouvette; les m~mes auteurs pr6f6rent pour 6tudier le comportement de l'adh6sif au voisinage de l'extr6mit~ du recouvrement modifier le joint lui-m6me en lui adjoi- gnant une partie ~ r6gularisante )), appel6e par Adams et Peppiatt ~ spew fillet ~.

La m6thode des 616ments finis permet, en principe, d'~liminer les hypoth6ses simplificatrices des techniques analytiques. En pratique cependant, la limitation du credit de temps machine impose le degr6 de pr6cision de la solution; il faut choisir entre les deux options suivantes :

-- un grand nombre d'~16ments tr~s simples;

- un nombre raisonnable d'616ments 5. d6formation lin6aire ou quadratique.

La m~thode classique est bas6e sur une hypoth~se faite sur le champ de d6formations. Les solutions ne satisfont doric pas aux conditions 5. la limite, off la contrainte est impos+e; c'est seulement en utilisant des 616ments qui prennent aussi en compte la variation des contraintes, qu'il est possible de rendre compte de cette condition.

Le simple recouvrement a 6t6 ~tudi~ par Wooley et Carver [9], il y a coincidence avec de nombreux r6sul- tats de Goland et Reissner [4]. Baker et Hatt [18] +tu- dient divers types de joints adh6sifs, mais leur m6thode n'est pas assez pr6cise au voisinage des extr6mit6s. Pour r6duire les maximums des contraintes dans le joint adh6sif, Adams et Peppiatt utilisent l'artifice du ~ spew fillet ~) [19]. De m6me Chan et Sun [35] montrent qu'en utilisant des +16ments qui tiennent compte de la variation des contraintes dans l'6paisseur du joint le maximum de la contrainte de d6collement est r6duit.

Le double recouvrement est 6tudi6 par Hahn et Foyer [26], mais le comportement des contraintes au voisinage des extr6mit6s n'est pas satisfaisant.

La difficult6 a 6t6 tourn6e par Allman [30], qui introduit des techniques de ~ contraintes moyennes ))dans l'interface coll6e, en int6grant sur t'6paisseur du joint adh+sif les contraintes pr6pond6rantes. L'auteur 6tudie en particulier le joint 5. simple recouvrement, /t partir d'une densit6 d'6nergie de d6formation caract6risant

Y. Gilibert-A. Rigolot

des composites /t fibres undirectionnelles. Cette m&hode permet de sp6cifier les ordres de grandeur des petits param6tres qui caract6risent les diverses situations g6om6triques et physiques :

- joint d'adh6sif infiniment mince;

- pi6ces/t assembler rigides;

- quelques cas typiques avec calculs num6riques.

L'introduction de petits param&res et l'existence de ph6nom6nes d'extr6mit6s fait r6f6rence aux techniques de perturbations singuli6res, utilis6es en analyse fonc- tionnelle et en physique des milieux continus ([20] et [21]). En fait, toute mod61isation doit pr6ciser la nature du champ des contraintes, puisque c'est la comparaison de ce champ avec les constantes caract6risti- ques du matbriau en chaque point de l'6prouvette qui caract6rise la tenue de cette derni6re : cette exigence limite la port~e des travaux de Allman et donne route sa valeur aux recherches sur les mat6riaux composites qui tiennent compte des singularit~s d'extr~mit~s [22]; le joint d'adh~sif appara~t en fait comme la r6alisation des discontinuit6s de g6om&rie ou de chargement aux extr6mit6s.

La technique des perturbations singuli6res a 6t6 utili- s~e [32] dans une premi6re 6tape pour mettre en 6vi- dence les ph6nom6nes physiques essentiels qui naissent dans les joints adh6sifs 5. double recouvrement 6tudi6s par Gilibert [31]: a 6t6 ainsi d6finie en fonction des param6tres g6om&riques et m6caniques, la zone de fonctionnement de l'6prouvette en r6gime ~ classique ~ et la zone de fonctionnement de l'6prouvette en r6gime ~ de flexion ~ [33] comparable aux 6tudes originales de Volkersen, Goland et Reissner; il a ~t+ possible de mettre en 6vidence le ph~nom6ne de couche limite pr6- sent6 et d'&udier son influence sur le champ des contraintes 5. grande distance des extr6mit6s, en pr+ci- sant les conditions aux limites convenables qu'il convient de prendre pour int6grer les 6quations diff~rentielles ordinaires r6gissant les contraintes de cisaillement et de d6collement 5. grande distance des extr6mit6s.

Dans la deuxi6me 6tape, la d6termination du champ de contraintes au voisinage des extr6mitbs du recouvrement a 6t6 ~labor6e pour un composite plan coll+ soumis ~i des efforts de traction [37]; ce calcul est bas6 sur la m6thode des d6veloppements asymptotiques rac- cord6s, qui dans le cas des contraintes planes, utilise explicitement un d6veloppement en s+rie de potentiels de Papkovitch [23]. Ce calcul a 6t6 pouss6 5. son terme pour la contrainte de cisaillement : appara~t ainsi le ph6nom+ne observ~ classiquement [24] dans les +prouvettes de b6ton arm6 soumises 5. la traction selon lequel la rupture de l'adh6rence a lieu non 5. l'extr6mit6 de l'6prouvette, mais au voisinage de l'extr6mit6. C'est ainsi que le maximum de la contrainte de cisaillement a pu &re 6valu6 /t 8 0 ~ du maximum calcul6 par la th6orie classique.

A la m6me 6poque, une th6orie globale du comporte-- ment des assemblages coll6s ~i simple recouvrement 6tait mise au point par Delale, Erdogan et Aydinoglu [37], en utilisant des techniques simplificatri-

365

V o L 1 8 - N ~ 1 0 7 - M a t a r i a u x e t C o n s t r u c t i o n s

ces issues des modules de comportement des plaques, en tenant compte de ph6nom+nes classiquement n6glig~s comme la d6formation due fi la contrainte normale dans l'adh6sif ou les effets de cisaillement dans les couvre-joints. Cette technique conduit ~ une ~< concentration >> de contraintes aux extr~mit6s.

En fair l'entr+e d'une 6prouvette/~ double recouvrement dans le domaine non lin6aire peut avoir lieu, soit par cisaillement au voisinage de l'extr+mit+ du recouvrement, soit par d6collement ~t l'extr~mit6 m~me, soit encore par la conjugaison des deux ph6nom+nes.

Le travail present6 voudrait offrir une explication forc6ment incompl6te ~ ce ph6nom6ne, en utilisant une m6thode de d6veloppements asymptotiques raccord6s pour d6terminer le champ des contraintes au voisinage des singularit6s dans une 6prouvette fi double recouvrement sollicit6 au cisaillement en traction.

D6crit dans la figure 1, l 'assemblage 6tudi6 est issu des travaux de Gitibert [31]. I1 convient de noter que les couvre-joints, appel6s T61e 1, et TSle 2, sont soumis A la traction pure en dehors du recouvrement. Le montage exp6rimental et les param6tres d6finissant l '6prouvette [31] sont tels que les ph6nom6nes << de pelage >> dus ~ la flexion des tSles [33] sont n6gligeables.

Du point de vue de 1'analyse dimensionnelle, trois ~ petits param+tres >> interviennent (fig. 7) :

- le rapport de l'+paisseur des tSles /t la longueur du recouvrement, soit e;

- le rapport de l'6paisseur de l 'adh6sif/t la longueur du recouvrement soit el;

- le rapport du module d 'Young E s de l'adh6sif au module d 'Young des couvre-joints E r.

S'il est nature1 de supposer el <<e, aucune hypoth6se n'est faite ~t priori sur les valeurs relatives de e~ et e d 'une part, E~/E ~ d 'au t re part. I1 apparaRra vite que la th6orie classique d6crite plus haut correspond au c a s :

E S = E r e t ej, j = O (1).

A condition de faire l 'hypoth6se des contraintes planes, le champ des contraintes loin des extr6mit6s du recouvrement peut &re calcul6, en utilisant des travaux ant6rieurs [29]; c'est l 'objet du deuxi6me chapitre, qui permet par ailleurs d'introduire la couche limite aux voisinages des extr6mit6s du recouvrement.

Cette couche limite correspond d'ailleurs ~ une r6gion de l '6prouvette de l 'ordre de grandeur de l'6pais- seur relative des substrats ~ partir des extr6mit6s : cette remarque avait 6t6 faite par Allman [30], Kelsey et Benson [12], Pahoja [14] et Pirviks [25]. C'est dans cette r6gion en effet que la coordonn6e longitudinale est de m6me ordre de grandeur que les coordonn6es transversales dans les substrats, ce qui permet de consi- d6rer l'6paisseur du joint comme un infiniment petit vis-/t-vis de cette 6chelle de longueur, et de mettre en eeuvre dans cette r6gion une m6thode de d6veloppe- ments asymptotiques avec une nouvelle jauge [36]. On peut alors se demander s'il ne convient pas de pratiquer

366

un nouveau changement d'6cheiles de longueur, pour traiter de la singularit6, qui va naitre au voisinage de l'ar~te de l'extr6mit& 11 est manifeste que cette procb- dure est vou6e ~ l'6chec; en effet, le sch6ma r6ducteur de l'61asticit6 classique employ6 ici impose une singula- rit6 pour le champ des contraintes au voisinage de l'ar~te. II convient donc de limiter la validit6 du champ solution propos6 dans ces chapitres ~ des r6gions 6loi- gn6es de l'ar6te de l'extr6mit6, par rapport ~ la mesure de longueur constitu6e par l '6paisseur de l'adh6sif. C'est d'ailleurs cette remarque qui permet d 'appliquer la m6thode mise au point ant6rieurement [36] au cas de l '6prouvette d6crite pour la figure 6.

I1 y a donc lieu de ne pas prolonger inconsid~r~ment la solution propos6e dans ce m6moire j usqu'aux extr6mi- t6s du raccordement. La mod61isation propos~e permet de donner la solution analytique, A des infiniment petits pr6cis pr+s, sur route la longueur du recouvrement, sauf sur une distance de l 'ordre de grandeur de l'6pais- seur du joint d'adh6sif compt6e / t partir des extr~mit~s.

C'est donc cette th6orie qui sera dans la suite appel6e << th6orie asymptotique >>. On a aussi appel6 << th6orie classique >> l 'am~lioration de la th6orie de Volkersen avanc6e par Gilibert [31].

PRINCIPAUX Rl~SULTATS

1. D O U B L E R E C O U V R E M E N T

Les op6rations de mise au point de l'61aboration tr6s complexe des 6prouvettes fi double recouvrement ont 6t6 d6crites dans des t ravaux ant6rieurs ([31], w II). Le type d'6chantillon test6 (f ig. 1) est tel que :

- ses substrats T x, T 2, A sont constitu6s de l 'acier ferritique h0 , 18% de carbone (nuance XC18). Le module d'~lasticit+ longitudinal E r et le coefficient de Poisson v r ont ~t~ d6termin~s en traction par une m&hode extensom6trique (capteur du type WA 06 120WT 120, Vishay-Micromesures), ~t l'aide de barreaux dont la longueur est 6gale ~ 25 cm (section carr6e de 1 cm de c6t6). La vitesse de mont6e en charge est voisine de 100 da N . mn - 1 ( ~ ~ 1 0 - 6 s - 1 ) .

La r6gularit6 de nos mat6riaux a 6t6 contrS16e en r6alisant des essais de duret6 Brinnell (HB=190) et des micrographies au microscope optique (structure ferritique).

Apr6s diff6rents essais, nous avons retenu :

E r = E a = 207 700 MPa__+ 10 MPa,

v r = v a = 0,288 __. 0,003;

- l'adh6sif est une colle structurale A 2 composants du type Eponal 317 (Soci6t6 Sonal), polym6ris6e fi tem- p6rature ambiante 20_1~ La base est une r6sine 6poxyde charg6e, elle est m61ang6e au moment de l'utili-

EPROUVETTE DE TRACTION

r~

3

F

U

;F Fig. 1

FILETASE M12 x150

TSLE5 (~, T2)

AME A

JOINTJ

~! W FENTRETO'ISE5 LC*LtBREE$

~ . ETRIER DE Z" MAINTIEN

AME O "AHCRABE

':,~, O0...5.~e'J( I-.5 I mm

eA= 10 row,

FtLETAGE N112x 150

sation h u n acc616rateur du type amine. Les constantes 61astiques du compos6 durci, ont 6t6 obtenues ~ partir de jauges 61ectriques d'extensom6trie et ont pour valeur v]=0,327 et EJ=5800 MPa. Les courbes de traction montrent que l'adh6sif a un comportement du type fragile (vitesse de traction : ~= 10 -6 S- t ) ;

- - les subjectiles recevant le liant pr6c6dent pr6sen- tent l'aspect sabl6, grglce ~ des particules de corindon (diam6tre moyen 169 pm) leur rugosit6 est d6finie par les crit6res de la norme NFE05-015; en particulier la rugosit6 totale R, est voisine de 7 pm et est adapt6e au diam6tre moyen des charges min6rales de l'adh6sif [dm=7 pm ([3], [18], [19]).

Notons que l'6tude de l'influence de l'6paisseur du film de colle, $ l'aide de substrats d'6paisseur e r=4 ,5 mm, ~t subjectiles sabl6s, a montr6 que la rupture du joint se produisait toujours par cisaillement [cas des aciers de nuances XC 18, XC 90, 0 ,05<e;< 1,5 mm ([3], w XIII et IX)].

La figure 1 d6crit une 6prouvette dont les dimensions sont optimales et lui conf6rent la r6sistance maximale.

2. R,~,SULTATS OBTENUS

La mod61isation th6orique prend en compte un grand nombre de param6tres qui d6finissent la g6om6tfie et les propri6t6s des mat6riaux.

Nous r6sumons l'ensemble des r6sultats obtenus.

Principales notations �9


A

T,

J, L,

ll, e,

F, E, V, G, O ' X ' Y ' Z ' ,

8 . = e T . L -1,

~;l=eJ .L -1,

e'* = 2 ae r,

E A = ~. E r,

x = x . L - l,

EJ= Er el ej,

co2_ J ( 2(l~_vj) 1 +

cro = F (2 er ll) - I ,

l)

x m = F ( 2 L l l ) -1,

Cxy= ~ ( 1 +vr) ,

-~L, J~F~L, T" ~-yZ,

p + i j t =2,106+i 1,125; L,

T,

time (constituant les substrats); t61e, couvre joint (constituant les substrats); joint d'adh6sif; longueur de recouvrement des subjectiles; largeur de l'6prouvette; 6paisseur des 616ments (1); effort de traction; module d'Young (1); coefficient de Poisson (1); coefficient de rigidit6 (1); rep&e direct ortho- norm6; 6paisseur relative du couvre joint (2); 6paisseur relative du joint j (2); demi-6paisseur de l'$me par rapport fi l'6chelle e r (2);

module d'Young relatif de l'fime A (2); abscisse relative de recouvrement (2); module d'Young relatif de l'adh6sif J (2);

nombre positif;

contrainte de traction dans le couvre joint en dehors du recouvrement des substrats; contrainte moyenne de cisaillement par unit6 de surface de recouvrement; contrainte sp~cifique [(z), (2)] (~, 13=1 ou 2) d6formation superficielle mesur6e des tbles T; d6formation du cisaillement, tir6e de la loi de Hooke relative au cisaillement pur dans le domaine 61astique; d~formation sp~cifique (2);

plac6e en indice, signifie longitudinale; plac6e en indice, signifie transversale.

(1) Peut-&re indic6e des lettres A, T ou J. (2) Nombre sans dimension.

367

Vol . 1 8 - N ~ 1 0 7 - M a t 6 r i a u x e t C o n s t r u c t i o n s

2

1,5

1

0 , 5

0

- 0 ,5

- 1

- 1 , 5

r{2 . . . . . . . . TH~ORIE C L A S S I Q U E

TH~ORIE ASYHPTOTIQUE

! R. -.~ ',Y I 1 1 I I I I I I "

i i

" . . � 9 i �9 . ~ i

~ 1 7 6 I

Fig. 2

i

0 ~ / , 5 0 , ' 5

La m6thode de calcul consiste, dans une premiere 6tape, A ~valuer l'influence du film de colle sur le comportement du corps d'6preuve : & des infiniment petits pr6cis pros, cette influence est nul le lorsque le joint est balanc~ (a= 1) et lorsque E A =ET(~ = 1). Dans ce cas, le calcul complet est possible en utilisant la m6thode des fonctions stationnaires pour r6soudre l'6quation biharmonique : apparaissent ainsi les potentiels de Papkovitch, qui servent de base pour les d6ve- loppements en s6rie de fonctions biorthogonales.

La valeur approch~e de Z~2 s'6crit :

Eli2 (3~) = _ ~ r ch o) x 2coth ~ 2 L sh co12 2

x [ s ( x+l12"]-t-s(X--l12"]]]'2-~ ) t , ~ , l J J

s (x) = e px [0,636 cos (Jl x) + 0,625 sin (Jl x)].

On remarque que le premier terme de la contrainte de cisaillement E~2 dans le joint est celui de Volkersen [3]. La figure 2 repr6sente la r6partition de Z~2 calcul6e par la th~orie classique et la th~orie asymptotique dans la zone d'abscisses positives du recouvrement.

On donne la relation de s de la th+orie classique :

_ E -t

2 e s w sh (w/)

I ch wl (x+ 1/2)] ], 2 ch [wl 07- 1/2)1 + x EA ea Er er j

avec :

2d(1+ ) + E- e

Trois observations peuvent ~tre faites sur la figure 2.

(1) Dans la zone m6diane, le long de l'6prouvette (loin des extr6mit6s), les deux th6ories coincident tr+s largement : reffet d'extr6mit6 est n6gligeable dans cette zone.

(2) Dans une zone proche de l'extr6mit6, alors que la fonction Z~2 (th~orie classique) d6croit exponentielle- ment pour atteindre un extr6mum A l'extr6mit6 du

368

recouvrement, la fonction E~2 (th6orie asymptotique) passe par un minimum avant de tendre vers z6ro. Cette remarque permet d'expliquer pourquoi certaines 6prouvettes entrent dans le domaine non lin6aire, au voisinage des extr6mit6s, par cisaillement du joint d'adh6sif.

(3) Dans la zone d'extr6mit6, si la fonction Z~z (th6orie asymptotique), repr6sente la r6alit6 exp6rimen- tale mieux que la fonction E~z (th6orie classique), il ne faut pas pr6ter ~ s (th6orie asymptotique) plus de valeur qu'elle n'en a. En effet, deux remarques viennent l/miter la valid/t6 du r6sultat :

(a) la troncature volontaire au premier terme effec- tu6e dans le calcul [36] rend illusoire la valeur approch~e de s (th6orie asymptotique) clans la zone Ee (rl, 1/2);

(b) la pr6sence d'une singular/t6 angulaire aux extr& mit6s du recouvrement donne au tenseur des contraintes le caractSre de fonction non bornSe.

Caleul de la eontrainte de d6eollement et de la contrainte normale dans le joint J

C'est un des points essentiels de la mod61isation propos6e. En effet, la couche l/mite due aux conditions & la l/mite d'ordre e portant sur la contrainte de cisaillement, implique des contraintes normales et de d6colle- ment d'ordre ~, qui n'interviennent en fait que dans la couche l/mite.

Le calcul montre [67] que l'entr6e dans le domaine non lin6aire de l'6prouvette a lieu au voisinage des extr6mit~s, ou m~me A l'extr6mit6, sous l'action complexe des trois contraintes Y'~l, E22 et Z12. L'int&& du calcul des contraintes-correcteur est donc ~vident.

En explicitant, A partir de la fonction d'Airy, il vient par d6rivation [67] :

s176176 ~+l12)+D( 2e ,IA D (x) = e v= [0,672 cos (Jl x) + 0,278 sin (Jl x)],

de m6me :

Z~,(x-)=-o)coth~[T( x+ll2~+T( ,I 2e )]'

T(x)= ew' 0,889 sin(j 1 x) -0 ,709 cos(j1 x). 11,4

Caleui de la eontrainte normale de traction, et des d6formations longitndinales et transversales dam les t61es

Les donn6es exp6rimentales portent sur les d6forma- tions longitudinales superficielles des t61es T; c'est pourquoi il convient de d6terminer le champ de contraintes dans le domaine T et plus particuli6rement la contrainte normale de traction :

T.r I (x-)=(2a -1) I 1

+ ~ 1 7 6 (

sho)s

sh o)/2

;+ ii2" +c( ; - li2 2~ ] \ 2e ] j J

avec :

e px

C (x) = -=-: [0,89 cos (j~ x ) - 17,4 sin (j~ x)].

Pour d6terminer les d6formations superficielles longitudinales et transversales des t61es, il convient d'utiliser dans le domaine 61astique la loi de Hooke avec l'hy- poth6se de contrainte plane et a = ~ = 1. Les d6forma- tions superficielles sp~cifiques ~L, r longitudinales ou transversales, dans les t61es seront prises ~gales ~t :

~L (x--)= [2 e (1 + v r ) -1]

s h m x co x 1 - sh 0~/------2 + ~oe coth -2

~ r ( ~ = - v ~ ~ (~ (relation ~.

3. CONFRONTATION EXPI~RIENCE-THI~ORIE

Nous comparons les d6formations relatives calcul6es partir de la relation X ~ celles d6termin6es exp6rimen-

talement par extensom6trie fi jauges 61ectriques. Nous observons (fig. 3) une bonne ad6quation de la th6orie

l'exp6rience lorsque x varie de 10 fi 88 ram. A l'extr6- mit6 du bord libre des t61es T~ et T 2 ( 0 < x < 1 0 mm) l'inad6quation des valeurs calcul6es aux valeurs mesu- r6es est apparente. Par cons6quent les potentiels de Papkovitch qui servent de base pour les d6veloppe- ments en s6rie des fonctions biorthogonales permettent

I r m'm'~

160 ~ THEORIE / F:300 daN + § + Experience //

11,0 / /

F= 200daN ? IO0 u

60 / y F=100daN

~ s /

i �9

20

,'" X mm I I I I I I t

0 10 20 /+0 60 90

Fig. 3


X2

§

S w \

o 1/2 1/2

Fig. 4

d'obtenir une bonne pr6cision du comportement m6cani- que au voisinage de l'extr6mit6 d'abscisse x = 88 mm.

Nous avons d6jfi montr6 exp6rimentalement qu'il n'existait pas de sym~trie du comportement physique du corps d'6preuve (fig. 4 et 5, [31], w XIII), il est donc tout A fait normal que la relation sym6trique traduise mal cette propri6t~. En effet, dans une premiere &ape A. Rigolot a adapt6 le calcul dans le cas off la t61e est sollicit~e directement fi la traction (x =8 8 mm) et transmet ensuite la contrainte au joint adh6sif; dans cette zone l'fime A reqoit la sollicitation par l'interm6- diaire du joint ([31], w XIII). Dans une deuxi~me ~tape le calcul a 6t6 adapt6 fi l'autre extr6mit6 ( 0 < x < 1 0 m m ) , dans cette r6gion la contrainte est transmise au joint par l'fime qui ensuite la transmet aux bords libres des couvre-joints T 1 et T 2 ([31], w XIII). La m6thode asymptotique raise en oeuvre est en cours de d6veloppement, elle utilise la technique d'6tude des singularit6s en variables complexes raise au point par Milne-Thomson en 1960.

La fonction de Kolossov permet de mettre en 6vi- dence, au voisinage des r6gions angulaires concaves ou convexes, la nature diff6rente des ph~nom6nes singuliers mis en ~vidence exp6rimentalement.

M I S E E N ( E U V R E D E LA T E C H N I - Q U E A S Y M P T O T I Q U E

CONVENTIONS D'I~CRITURE

Un syst~me d'6quations est d6sign~ par une num6ro- tation alphanum6rique et l'6quation extraite de ce syst~me est d6sign6e par une num6rotation atphab6ti- que.

Les notations f et fx d~signent la d6riv~e premi6re de la fonction f par rapport ~ la variable x.

Les indices grecs courent de 1 ~t 2; les indices latins courent de 1 ~ 3; la convention des indices muets est utilis6e.

Le produit tensoriel de deux vecteurs u et v" de ~3 est not6 p a r : u'| et d6signe l 'op6rateur de &a(R3) d6fini par :

a --, u| (a)= (u. ~). s

369

Vol . 1 8 - N ~ 1 0 7 - M a t 6 r i a u x e t C o n s t r u c t i o n s

Les d6veloppements asymptotiques propos6s sont formels, aucune convergence n'est 6tudi6e et le cadre fonctionnel de l 'approximation n'est pas pr6cis6. En particulier la notation <( O , est utilis6e pour d6signer une quantit6 (< de m~me ordre que >>.

Les mots (( substrats >> et (< subjectiles >> d6signent respectivement les parties assembl6es par le joint d'adh& sif et les parties d'une surface rugueuse sur laquelle on a appliqu6 la colle.

Un assemblage 6quilibr6 signifie que l'6paisseur de l'fime est 6gale /t deux fois l'6paisseur des t61es, ce qui s'exprime dans le calcul par a = 1.

C h a p i t r e I : 6 q u i l i b r e d ' u n j o i n t 6 1 a s t i q u e

I. 1. POSITION DU PROBLI~ME

I1 s'agit d'&udier dans le cadre de l'61asticit6 classique, plane, l'6quilibre du domaine R, d6crit dans la figure 4. Le rectangle R a pour longueur l'unit6 et pour hauteur ~1 tel que l'hypoth6se g6om6trique de milieu 61anc6 puisse &re faite :

rl<< 1.

Le que �9

domaine R e s t rapports aux axes (O; x x, x2), tels

I 1 < x l < ~ ' 0 < x 2 < r l } " (x~, x=) ~ R ~ -

Le domaine R sch6matise un joint de colle entre deux +

couvre-joints, adh~rant ~ R selon les segments S e t S, d6finis par :

( I ' 1 } s= (~, x~)~R ~ - ~ < ~ 1 < ~ , ~ = n ,

1 1 x 2 = 0 }.

En l'absence de forces i distance, sont donn6es, sur +

les segments S e t S, les contraintes, par les vecteurs :

+

o 0 o)= x=, o 0 o)r x=

et sur les extr6mit6s du rectangle les contraintes sont +

nulles. Les fonctions ~ ( x l ) et ~o~(xl) sont dans une 6tape ult6rieure les inconnues du probl6me.

Darts ce chapitre, elles sont donn6es sous la forme :

+ + + +

~,(xO=~~ + . . . + n , ~ , ' ( x 0 + . . .

~.(xl)=- g'~ + . n ?o;', (x,) + . . . + n , /o ' , ' (~ , )+ . . .

370

Les 6quations du probl6me sont constitu6es d'une part par les conditions d'Airy, qui se r6sument ~ :

02Zll 2 02Z1~2 "~ 02Z2~2 = 0 (I. 1.1) ax~ axl ax2 ax~

pour le tenseur des contraintes de Cauchy :

E = Z,~ l = |

et d'autre part par les deux 6quations d'6quilibre :

OZ,, = 0 (a = 1, 2). (I. 1.2) ax~

En outre les conditions/l la limite sur les contraintes s'6crivent :

+

Y,2 =(x~, rl)= Oo m~,

Z2 = (x~, O) = 00 ~=, (I. 1.3)

z , , ( - ~ , x=)=0,

El ~( 1 ~, x=)=0. (I. 1.4)

I. 2. CALCUL APPROCHE DU TENSEUR DES CONTRAINTES

Pour d&erminer la solution du probl6me (I. 1.1) et ( I .1 .2) avec les conditions ~ la limite ( I .1 .3) et (I. 1.4), une m&hode consiste fi introduire les variables r6duites (21, Y2) telles que :

yl-~X1, y 2 = q - t X 2

et ~ chercher E=p sous la forme :

E~p = o o o~p (I. 2.1)

(5. 0 { (0) 0(1) O=p (Yl, Y2)+ 1"1 =1~ (Yl, Y2)

+ . . . +n, o~_~>Cv~, y~)+... }.

La suite des 6quations d6duites de (I. 1. i) et (I. 1.2) par identification des puissances successives de rl s'6crit :

~ 2 o i p ) ,,~2 ~.(p-- 1) 0 2 ( p - - 2 ) 2 v " - ' 1 2 + 0 2 2 ay~ ay~ ay~ ay~

- - =0 (p >0). aY2 0Yl

= 0 (p__>0), (I. 2.2)

(I. 2.3)

Pour p = 0, 1, 2, 3, les premiers termes du d6veloppe- ment (I. 2.1) prennent la forme (1) :

(o) (o) (o) =[a (Yl)y2+b (Yl)]xl ,,~(o) ~)X 1Jt'w I (Xl(~X 2 "}'X2(~X1) "}'~O) x2(~X2,

~ m = [am (Yl)Y2 + b(1) (Yt)] x~

r + ] | + [--.~- (1 -yz2)+b (~ -~'2) + ~11) ._1

X (XI @ X 2 ~t- X 2 @ X l )

. +

+ ~o)(1 -Y2) + ffJ~)] x2 | [ y3 6(2)= a(Z)(y~)Y2+b(2)(yO-ii(~ 3-

. . y 2 __ ~(0) Y22 __ ~,,(0) "r 2 ]

"~'2 2 J x l |

+ -~-(1 -y22) +/;m (1 -yz) + S f ~

x ( x ~ | + x 2 |

d (~ 2 + [ ~ - ( ~ -Y2 + Yj ~a )

�9 +] + ~ - ( 1 ) ( 1 - y ~ ) + ~ 2 ) x 2 |

(I. 2 .4)

et :

rr(3) _ ~ 2 2 - - T - - Y 2 "t- y

+b It) _y2+y 2 �9 ~(3) - - + ~ 2 ) ( 1 - - y 2 ) + 2 .

Dans ces formules, il a 6t6 tenu compte des relations "

+

&~o~= w~~ =- -,~~

d6duites des 6quat ions d '6quilibre ( I . 2 . 3 ) 6crites l 'o rdre p = 0 et les fonct ions a (~ b (~ a m, b m, a (2), b (2) sont des fonct ions de y~ satisfaisant aux 6quations diff6rentielles :

a (~ /;(o) = ~)(11)_ io~,), - - + 2

a.(o) ~(o) - + + _ _ + _ _ = ~ 2 ) _ ~ , - ) _ ~11),

3 2

a(2) _{_ b(I) = ~D(II,- ~__o12) ' 2

d o) ~(1) - + ~- 3 2

I. 3. CALCUL APPROCHI~ DU CHAMP DE DISPLACEMENTS

Le c h a m p de d6placements sur le rectangle R, soit U = U~x,, est li6 au tenseur ~: des contraintes par la loi de compor t emen t de l'61asticit6 classique (lin6aire,


homog~ne et isotrope), caract6ris~e par le module d 'Young E et le coefficient de Poisson v du mat&iau .

L 'o rd re de grandeur du c h a m p U est donn6 par le d6placement de flexion :

et par suite le champ de d6placement est cherch6 sous la forme :

~ 0 Ua= G u a

_ Oo { 4 o ) + n , 9 , + . . . + n , u T ) + . . . }. E n

La loi de c o m p o r t e m e n t de l'61asticit6 classique implique les deux relations diff6rentielles "

OUt _ Yil--rE22 Ox I E

l ( OU2 + dqUl " ~ l + v ~ 1 2 ,

soit en variables adimensionnelles :

~U 1 - - = 17 (Ol l - vo22) , Oyl (~U 1 , ~U 2 ~Y2 + rl--~ =2(1 +v)n2~12,

d'oti la relation de compatibi l i t6 :

~ 2 U 2 =2(1 +v) q ~o'12 _(Oct11 0(~22 x~

OyI oyl \ Oy~ -v Oy~ )

Le calcul des approx imat ions successives des composantes u~(ct= 1, 2) sera donc effectu6 ~ par t i r des relations �9

cgy ,

~ 2 U 2 = V 22 + 2 ( 1 + v ) - -

0Y 2 0Y2 t~Y2 dYl

et par sui te"

U (~ = 0, 1,1 ~(0)

. _ _ a(O) 2'1 1

u(t) _ a(O) 1 ,1 - Oq)y2 + b(O) ( y p _ v ~o),

u(1) _ a . ) + (2 + v) ~(lo), 2"11 =

( i . 3 . 1 )

( I .3 .29

(1) La notation variable Yl-

d6signe la d6rivation par rapport fi la

371

Vol. 18 - N ~ 107 - Mat6r iaux et Construct ions

u]2~= - -a{" ( y l ) y2+b~U(y , )

+ _ ~o, [ v - (1 -Y2) + ffo~x)],

(2) _at2)+d(O)yz2+2~(O)y2+~o~o) U2,11 =

F a~~ 2,-~(o~ ; l + ( 2 + v ) | - 7 - ( l - - y 2 )-t-o ( l - - y 2 ) + ~ ' ) , ] L 2

u]3')~ = a~2~ (Yl) Y2 + b/2) (Y0 .. y 2

__ a ( O ) Y 2 3 __ ~(0) Y2 2 __ ~ ( 2 O) r 2

3 2

2 \ 3 -Y2

+b ~~ - y ~ + + 7 4 " ( 1 - y 9 + ? o ~ ~' .

( I . 3 .3 )

(I. 3.4)

(3" 0

ce qui n'est possible que si " to) . t2) u a et u= sont nuls.

La relation (I. 3.1) implique alors �9

at~ Cvl) = 0 ( I .4 . I)

et la relation (I. 3.2) implique :

bW) (y l )= v ff3~~ ,

a~l)Cvl)=(2+v) o~o)" (I. 4.2)

Reste fi identifier le champ de d~placement dans A~ et dans A 2 avec le champ de d6placement dans R "

0 0 q . (2) . . . .{_l](P--2) u(p) [u= + n u ~ ' + . + . . . ] . E

En conclusion, lorsque les contraintes d'interface +

c0~- sont connues, le champ de contraintes et de d6place- ment est approch6 par les formules ( I . 2 .4 ) et (I . 3 . 1 ) . . . (I. 3.4). II convient dans une nouvelle ~tape d'utiliser la continuit6 des d6placements entre les cou-

+

vre-joints et le joint le long des interfaces S e t S pour obtenir des informat ions sur le comportement des contraintes d'interface.

I1 y a lieu alors de remarquer que sur chaque domaine A1, A2 et R chacun des probl6mes aux contraintes admet une classe de solutions, diff6rant rune de l 'autre par un champ du type :

0~ 1 - - O3 X2,

(~2 "{- f.0 X 1,

les r6els ml, m2 et o3 6tant arbitraires; par suites seules les quantit~s aul/Ox I = aul/Oyl et a 2 uz/Oxl 2 = a 2 u2/Oyl z sont d+finies aux interfaces.

I . 4. I N T E R F A C E S

Un milieu A 1 est en contact avec R le long de +

l ' interface S; de m~me un milieu A 2 est en contact

avec R le long de I'interface S. Sous ract ion de forces fi distances et de fortes de contact, nait dans AI et A 2 un champ de contraintes dont l 'ordre de grandeur est 0 o.

Les milieux A 1 et Az sont 61astiques, homog~nes et isotropes. Leurs caract6ristiques m6caniques sont respectivement :

E l, E=, pour les modules d 'Young;

v~, re, pour les coefficients de Poisson.

Le cadre physique dans lequel il convient de se placer est caract6ris6 par le choix suivant des ordres de grandeur :

EI ~- E 2, E<<E t.

Lorsque les milieux A 1 et A z ne pr6sentent aucune particularit6 g6om6trique, le champ de d6placement dans chacun de ces milieux est de l 'ordre de oo/E 1 "-' 00/ E 2. La continuit6 du d6placement aux interfaces implique alors :

~ { u~,~ u~," + . . . . ~,=~_,'+. . . }

A l'ordre r I pros, le saut des quantit6s caract6ristiques (~Ul/Oy Iet ~2 U2/ayi2 s'6crit :

E rl dy2lj,2=o=LL~' wU,2=o 0 0 l ] 2>, + O ( ~ -

ce qui s'~crit gr~tce aux formules (I. 3.3) :

[E ~176 dutIT2='=~176 Erl ~Yl _ldy2 =o E

+ v u~ ~ } + o 01)],

E r l a y , 3J,2 = o

+ ~z~ (2 + v) [ a'~ (rl)] 2 + b ' ~ + 0

ou encore en employant les relations ( I . 4 . 2 ) et ( I . 4 . 2 ) :

372

[[0"0 Out lmz=z_ 0"oq [2(l +u)~O)+o(q)], Oy t j jy2 =o E

0 y l 2 JAr2 =0 E

Dans les chapitres suivants, ne sont retenus que les termes d'ordre z&o. Les conditions de saut ~ la tra- vers6e du joint R sont donc les suivantes �9

L c~Yz -J.Jy2=O E

I F iT ,:, 0"0 (1 - 2 v - v z) ~o). L a-~T,2 JJ ,~=o - E

(1.4.3)

I. 5. CONCLUSIONS

L'interpr&ation physique des relations (I. 4.3) est particuli~rement simple. La relation (I. 4 .3 a) traduit la proportionnalit6 entre le glissement relatif des couvre- joints et la contrainte de cisaillement - constante dans l'6paisseur du joint - par l'interm6diaire du module de cisaillement de la cotte " G = E/2(1 +v). Cette relation est classique et estut i l is& depuis de nombreuses ann6es, aussi bien pour des ~tudes th6oriques que clans le cadre de r6alisations technologiques ([2], [3], [4], [6], [64], [65], [66]). La relation (I. 4 .3 b) fait intervenir la contrainte de d6collement et formalise ainsi la contribution d6cisive de Volkersen et Reissner ([2], [4]): les deux contraintes - de cisaillement et de d6collement - participent au fonctionnement m6cani- que de la jonction par adh&ion.

L'&ude de l'6quilibre d'un joint 61astique est faite et sera utilis6e syst~matiquement dans tousles assemblages par joint coil& Sous l'action des contraintes dans le joint, ~ 1"1 pr&, soit :

~~ le champ de d6placement dans A t et A 2 s'~crit :

o~ (&~o~, ~o,, 0; (~o~, ~o~), +

et les ~quations sur les fonctions ff~o~ et ~o) s'~crivent "

dot ~ o ao; '~ (~o), ~o,)_ --(co~; ~, ~o)) dx t dxt

= 0.on 2(1 +v) dff31m,'" E dx t

+

a ~ *2 (?o~o~, ?o~ ~ - ~ % ,~o(o, ?o~o)) d--xt'- ~ dxlZ t 1 ,

= a~ &~o~ ~ 1 7 6 2)

E dxl 2


Les chapitres suivants sont consacr6s ~ la d&ermina- +

tion des fonctionnelles O~ et O~(cz= 1,2) pour divers types d'assemblages.

REMARQUE COMPL[2MENTAIRE

Le calcut du champ de d6placement a fait appel uniquement aux deux premidres lois de comportement de l'61asticit6 classique.

En fait Ia troisi~me, fi savoir :

3 U 2 = E z z - - V S Z l l

O~ 2 E

permet de calculer le gradient de U2 ~ la travers~e du rectangle R sous la forme -

( ~ U 2 : 1] 2 (0"22 - - V0"11) gy:

et par suite u z est, conform6ment aux hypoth&es faites dans le paragraphe (I. 4), de l 'ordre de rl 2, avec :

au~22) =~2 m - v [a (~ (Yz) Y2 + b(~ (Yz)] OY2

ou encore avec l'aide de la relation (I. 4.1) et (I. 4.2) "

a"9-~ = ( i - v) ff,~o,. ay~

Chapitre II : 6quilibre d'un assemblage

fi double recouvrement, sollicit6 ~ la traction

II. 1. [;QUILIBRE D'UN RECTANGLE DANS L'APPROXIMA- TION DE LA RI~SISTANCE DES MATI~RIALrX

Ce paragraphe est consacr+/t l'analyse des contrain- teset des d+placements dans un rectangle A en 6quilibre 61astique plan sous l'action des forces de contact non nulles sur les extr6mit6s, ce qui diff6rencie essentielle- ment cette &ude par rapport ~ celle qui a &6 conduite dans le chapitre I.

Le rectangle A d+crit dans la figure (5) a pour longueur l'unit6 et pour hauteur e, tel que l'hypothdse g6om6trique de milieu 61anc6 puisse &re faite :

~<1.

Le domaine A est rapport6 aux axes (O; X 1, X2) tels que :

1 1, A={(XI , X 2 ) ~ 2 - - ~ < X z < } 0 < X 2 < r

373

Vol. 1 8 - N ~ 1 0 7 - Mat6 r iaux et Const ruct ions

Le domaine A sch6matise un des couvre-joints qui vont &re assemblrs grace h un joint de colle, drcrit dans le chapitre I.

En l'absence de forces ~ distance, les forces de contact sont donnres :

- d'une part sur les extrrmitrs X~ = _ I/2 par des contraintes de traction, de vecteur :

+

0.0 S (X2) X~, 0.0 S (Xz) X~;

- d'autre part sur les bords X 2 = 0 et X 2 = 6 par des contraintes de vecteur :

0.0 [6~ ( X l ) X 1 -4- 62 ~ ( X l ) X2] ,

+ +

Oo [6z (X~) X~ + 62 o (X~) X/].

I X2

' o ~(: g(x~) I ~t2 . . ~2

Fig. 5

X1

-- +

Les contraintes x et x repr+sentent la contrainte de -- +

cisaillement et les contraintes 0. et cr la contrainte de drcollement. Le choix de l 'ordre de grandeur, par rapport ~ 6, de ces contraintes est drduit de l'rquilibre global du rectangle A, qui impose en effet :

o~S (X2)dX2- fo "(X2)dX2

;o + + fo + e'r z (X1)dX i - 6x(Xl)dX 1 =0,

0.(X~)dX~ - 8(X~) dX~ =0,

s (x~) x~ asz - x~ ff(x~) ax~

+ 6 ~ �9 (X~)dXi

; [ + + ~ [0. (X1) - 8 (X1)l X1 dXl = O.

Le champ de contraintes de Cauchy :

]g = E,~ X,|

satisfait aux 6quations diff6rentielles partielles analogues aux 6quations (I. 1.1) et (I. 1.2) et les conditions

la limite sur la fronti~re du rectangle A sont 6videntes.

374

En introduisant les variables r6duites (xi, x2), telles que :

Xl=Xl, x 2 = E - I S 2 ,

il convient de chercher Z=B sous la forme :

~=lt = 0.0 0.~[t (o) x = 0.0 { o~ ( i, xz) + 60.(~ ~ ( x . x~)

+.. . +6~ 0.~(~, ~ )+ . . . }.

Une &ude analogue /t celle du paragraphe (I.2) conduit ~ 6crire les approximations successives du tenseur des contraintes ~r = 0.0 ~ ~ sous la forme :

~(o) = [A(o) (x~) xz + B (~ (Xl)] X1 |

a(i)= [A(1) (xl) xz + B ~ (xl) ] Xl |

F T 4(~ + Jl + [ (1 - x~) +/)(o) (1 - xz) + ":")

x (X~| + X2|

if(2) = [A(2) (X2) X2 -l- B (2) (X2)

~1"(0) 3 ] 3 xz B(~174

+ (1--x~) +/3(t) (1 - - x 2 ) + "c (2) (II. 1.1)

[Tt

_(3) _ _ x2 + u22- T

+~(~) - x z + + o (3).

+ + Dans ces formules, les contraintes x et 0. ont &6

drveloppres en s6ries asymptotiques :

+ + +e' + + + = 6,~(1)..~ 62 ,[(2).+ . , . , 0.=-=62 0.(2) .+62 0 - (3 )+ . . .

et les fonctions A (~ B (~ et A (1), B (" sont astreintes aux conditions diffrrentielles :

,i(o, B,o,=~,l, ~,,), 2

.~'(o) ~(o) _o-(z)_ +

3 2

(II. 1.2)

+ 4 (1 ) ~(2) ~(2) _ _ +/~(1) =

2

x(1) + = 0.(3)_ o(3).

3 2

(II. I . 3)


Le champ de d6placements V = V, X, dans le rectangle A s'6crit en fait �9

O'0 "' - - O'0 fV (~ IX

+ev-(1)(Xl, x2)+... +e"v~)(Xl, x2)+...], (II. 1.4)

pourvu que /~ et ~'d6signent le module d 'Young et le coefficient de Poisson du mat6riau. Les relations de l'61asticit~, lin~aire, h o m o # n e et isotrope impliquent alors :

aN----1 - - O F ((~Ii - - ~ 5 ~ 2 2 ) ' 0xt

l ( OV~ aV2"~ ~1+ ~ - - "F

2 Ox~ 0 x l / E ~ 1 7 6

et par suite :

av l = ~ ( ~ i - v ~ z 2 ) ,

Oxi

a2v2 = 2 ( 1 + ~ ) OO'i2 (OO'li__~ __ 0O21 "~ axl axl ax~ aX~/

Les premiers termes du d~veloppement (II. 1.4) s'6cri- vent done :

v(o) _ O, 1 ' 1 - -

b(0) : 2'11 - A ( ~

(1) _ A(O) x2 + B(O), U1, ,

La suite montrera que le calcul des approximations ult6rieures est inutile, du moins pour la pr6cision qui est recherch6e.

H. 2. POSITION DU P R O B L ~ M E DE L'I~QUILIBRE DE L'AS- SEMBLAGE A DOUBLE RECOUVREMENT

L'assemblage A double recouvrement est utilis6 classiquement comme le montre la figure 6, pour relier deux

J1 J'2 TI J 2 J 1 I

i . . . . . . f

I Fo

T2.~/// i l _ _ LL ~ t

p Fo

P

Fig. 6

pi6ces P e t P' sollicit6es, par exemple, A la traction par une force Fo, par l'interm6diaire de deux couvre-joints T~ et T 2, reli6es aux pi6ces P et P ' par l'interm6diaire des joints de colle J1, J2, J~ et J~.

Par raison de sym6trie, il ne sera fait mention dans la suite que de la partie droite de la figure 6, ainsi que le montre la figure 7, off la longueur de recouvrement est choisie comme unit6 de longueur. II est naturel d'introduire les coordonn6es caract&istiques suivantes :

pour le domaine T 1 :

Xl = X I , X2 ( 1 ) = g - 1 ( X 2 - - a e--T1) ,

pour le domaine J1 :

x I = X i , x 2 = q -1 (X2 -- a e),

pour le domaine P :

Xl --=Xl, x2(2)=(ag)-lX2.

Le champ de contraintes a pour ordre de grandeur Oo tel que :

F0 O ' 0 g = ~-~,

off ? est l'~paisseur de l'6prouvette.

L'application des r6sultats du paragraphe (II. 1) donne le champ des contraintes dans le domaine T1 :

i f(0) _ (o) D(0) (i)-- [A m (Xl) x 2 (D + , ,m (xD] X1|

lll = [AHI + BHI (x,)] x x l

F s ~ ] + [ 2 ~Y~(1 --x22 (1,) + Bl~ (1--x2 (1,)

X (X 1 ~ ) X 2 2~ X2 (~)Xl) '

~(2)__ I (2) (2)

I

A(l)(xl)x2 B(1)(x i) "(2) - - (1) + L

L'I'~ 1 )x3 - ~/(~ x,2 X l | 3 2 (1) ~ ( I ) (1)

F~(1) ] + L 2 ( I --x22 (~)) + I--,(i)h(I) (I --X2 (I))

-,o, x (x, | + Xe| + f A.,(2

L-?--\3 -x , . ,+ ,o,r:

+ (1)L2 --x2(i)+

avec �9

+ ~(o) ~(o)_ .~ (i), -~(1) ..h ~(1) _ 2

(II. 2. i) ~i'(o) /~(o) +

(I) ..1_ u(1) = C]r(2),

3 2 + +

off cette fois, et pour la suite, ~ et o d6signent les contraintes d'interface T1/J i . Le champ de d6placement dans T 1 s'~crit :

375

Vol. 1 8 - N ~ 1 0 7 - Mat6riaux et Constructions

~xz TI

. . . . X - ~

"r2

1/2

Fig. 7

V ( 1 ) = - - V ( 1 ) = g V~ (1) X=

_ (3"o r,,(o) _ L o v ( 1 ) -L . ] X ~ , E1 c tu~(1) ~ ~ ~(1) - - �9 �9

avec :

b'(0) = 0, 1 (1)

-a(?', l'(1) _ A ( 0 ) ~ , . . j _ R ( 0 )

1 (1)-- 'x(1)-~'2 T 'U(1 ) '

b~l~,)= A{II.

L'6tude du domaine P est limit6e, pour des raisons de sym6trie & la partie )(2 >0 . Cette m6me sym6trie permet de r6duire l'expression des tenseurs approch&s qui apparaissent dans l'expression :

co) (,) . . + ( ~ ) . ~ { ~ + . . . 1 ; ~2 = (~0 [(~(2) "{- a e 6(2 ) + ,

en effet les premiers termes s'6crivent :

6 (o)_ Rio) r~ ~ X I | (2) - - ~(2) \"~" 1)

f f ( 1 ) - - n ( 1 ) / ~ " ~ X l @ X 1 D(0) g ( 2 ) ( X l @ X 2 + X z ~ X l ) , (2 ) - - ~(2) k'~'l/ - - D(2) 2 GC2) __ rn(2) "'(0) 2 (2) -- [~ (Xt) -- B(2) x2 C2)] Xt |

]~(1) ~r ( X l (~) X 2 .q.- X 2 ( ~ X 1) - - ~ ( 2 ) ~ 2 (2)

F7-,c2). ~/co) x2 c2A- 1 ] X2 | X L V ~ ( 2 ) 2

a v e c ."

~ ( o ) _ 7 ( t ) ( I I 2 . 2 ) - - ~-'(2)-- ~ ,

off x et ~ d6signent les contraintes d'interface T2/J ~. Le champ de d6placement dans T 2 s'6crit :

(3" 0 (3" 0 I)~ (2) X~

V ( 2 ) = E 2 a ~ v (2 ) = E 2 a

(3"O (0) (1) [V~ (2) " ~ a e Vt~(2) + " " �9 ] X~

E z a~:

a v e c :

"(o) - - 0 , Ol ( 2 ) -

~l o) _ r~ 2 (2) - - ~,

i • ( 1 ) --RC0) 1 ( 2 ) - - ~ - ' 2 ,

Uh,=o. Le joint J1 n'intervient que par les condit ions

(I. 4 .3 ) . Encore convient-il d'expliciter les contraintes o(1 ~ et ff3(2 ~ qui apparaissent dans ces condit ions, en

+ +

fonct ion des contraintes d'interface z, (7 et z, (~ du probl6me 6tudi& Par construct ion, il vient : + +

(x l )=F~(?)+n~(?)+ . . . + +

= e z m ( x l ) + e 2 ~(2)(xl)+ . . . + + -4-

- (0 ) - ( i ) ~ ( X 1 = 0 1 2 +1"1012 + . . . . 1"7,2 0"(2) (X1) -'}-" , . .

(x,) = ?o(lo)+ n & { ' + . . . . a e~") + a 2 ~2 ~(2) + . . .

(X2) = ~(o) + q ~ ( 1 ) + . . . . a 2 ~2 ~(2) + . . .

et il y a lieu d'utiliser un formalisme ~t deux petits param6tres e et rl :

+ + + - (xx) = z -co) (o ) + e z - ( ' ) c o )

+ +

"-~- q T - ( 0 ) ( 1 ) + . . . _m..~nl, lp T --(n) (P)-I- . . .

+ + +

~ - ( x 1 = (~ - (~ C~ + e O ' - ( D (~

+ +

+ rlo--(0)(t)+... + a" qv O--(") (,") + . . .

Les relations (I. 4 .3 ) peuvent alors 6tre tronqu6es l'ordre 0 (e 2) pour la premiere & l'ordre 0 (e 3) pour la seconde sous la forme �9

O'0 c R(o) (0) _ O"o ~ . R(0) (0) ~ ( I ) u c, .'-'(2)

E, e E2ae

(3" o = --~-r I 2 (1 + v ) az (t)(~ E

(II. 2.3)

(3"0 A(0) (0) = (3"0 82 (~(2) (0) Ele' - (1) - f f r l ( l - 2 v - v 2 )

En tenant compte des relations (II. 2 . 1 ) et (II. 2 .2 ) les 6quations diff6rentielles qui r6gissent le comportement des fonctions z Ct)C~ et cs C2)(~ deviennent, par d&ivation des condit ions (II . 2 . 3 ) :

2(1 +v) El e~q "~'c1)(o) E

(5) = + 4 "c(1) C~ 6 cr(2) c~ (II. 2.4)

(1 --2 v - v 2) E1 e31"1 "b'(2 ) CO)

E

= 6 ~(~) co) _ 12 c (2) (o),

en d6signant par ct le rapport Et/E2, choisi de l'ordre de l'unit6.

C'est ainsi qu'apparaissent les trois petits param6tres E/E 1, e et rl sous la forme de quotients adimensionnels , facteurs des d6riv6es de plus haut degr6 dans un sys-

376


t~me diff~rentiel. Cette situation est caract~ristique des ph6nom~nes de perturbations singuli~res, classiques en m6canique des fluides [21] et des solides [29]. Conform~- ment au sch6ma classique [70] des 6quations fi plusieurs petits param~tres, il existe des relations privil~gi6es entre ces param~tres, pour lesquelles les ph6nomdnes physiques sont les plus int6ressants. Dans notre cas il existe deux relations de ce type :

EIE11"1 = O (~) et EIE1 ~1 = O (e3).

Ce sont ces deux configurations qui vont atre 6tudi6es successivement.

II. 3. ASSEMBLAGE EN TRACTION

Lorsque la relation de qualification �9

E=Elqej, j = O (1),

est v6rifi6e, les ph6nomdnes de flexion li6s fi la pr6sence de la fonction A]O)(O) sont n6gligeables. Les 6quations (II. 2.4) s'6crivent, en effet :

l - ~aa + 4 z (I)(~

_6o,~,,o,=(~+0~.;,o, 0 = 6 ~(1)(o)_ 12 c ~2~ (o)

et l '~quation diff~rentielle sur z (1)(~ s'~crit finalement :

..o z (i)(~ z(1)(~ O, (II. 3.1)

avec :

o~__(1 ) ~ o~o ~ + ~ 2 (~-+ v)'

soit :

1 ,~,(~) =, 8,o,(I ) =o, 1 \ 2 )

(II. 3.2)

.,o(~) o B(o,/_l ~ - i

2 \ 2 / } = a

(II. 3.3)

La condition (II. 2 .3 a) implique alors :

1; ( 1 ) 2( v) - 2 =l,

2 ( 1 - + v ) i ( ~ ) - - 1 J eta

et l ' int6gration de l '6quation (II. 3.1) conduit fi :

J - ~ a a ch ~(i) (o)(xl) = 4 (i + v) o)/2

0+_~ ~1~} eta.] sh c0/2

Pour calculer la fonction x m(~ il convient de tenir compte de l ' ~ q u a t i o n ( I I . 2 . 1 a ) " /~~176 et en tenant compte des conditions ( I I .3 .2 ) , il vient successivement :

fl 1 B(lO) (xl) = z(1) (o) (u) du, /2

"dl)(~ 1,

Pour int6grer l '6quation diff6rentielle (II. 3.1), il y a lieu de consid6rer les condit ions/ t la limite aux extr6mi- t~s du recouvrement (x l=- t - I /2 ) . En l'absence de flexion dans les couvre-joints, en dehors du recouvrement, les conditions d'6galit6 des tenseurs des efforts appliqu6s impliquent :

sur la face x 1 = - 1 / 2 :

'JO u(1) t (i) ~ (~0,

;:oo.IOI(_~)~..,_-o; sur la face x 1 = + 1 / 2 :

f~oo.lO,(~)~.. 0

fo (~) ~(0) (3"0 L'(2) dx2 (2) ~ (~0 a- t,

si bien que :

- j 1 "~(i't~176 ch 0)/2

+ ( 1 + l'~Chc~xl \eta / lho)/21"

En r6sum6 le champ de contraintes dans les domaines TI, J1 et E s'hcrit, A rordre inf(e 2, rl) pr4s :

~( ')~{( ~ , ~ o . n(1)= l+~aa ~aa /ch(o/2

"t-( 1 "{- 1~ sh Ojxt//sh (I)/2 L } xl l~xl

, {(1 )s~o. --~;(1--x2 (1)) 4 (1 +v) co ~ a - 1 ch r v

chcox 1 +(~+l)~} ,x~x~+x~. 377

V o l . 1 8 - N ~ 1 0 7 - M a t 6 r i a u x e t Constructions

{ ( ) s h t o x l ~ = e J l _ _ l 4(1 +v)co ~a ch co/2

q - ( ~ a + l ) C h ~ X ~)X ,

(l)s ox, } + ~ + 1 shin/2 +2 Xl |

J --eX2(z)4(1;v)o{(~--a-- ]c--ff~/2jl'~Shc'~

+ / shoo/2

(II. 3.4)

II . 4. ASSEMBLAGE EN FLEXION

Lorsque la relation de qualification �9

E=Elrle3m, m = O (1),

est v6rifi6e, apparaissent dans te couvre-joint T1 des ph6nom6nes de flexion, appel6s dans la litt6rature technique ph6nom+nes de pelage. Les 6quations diff6rentiel- les (II. 2.4) deviennent :

,~(1) (0) = 0, (IX. 4.1)

(2) (o) + ~-~4 0.(2) (0) = O,

a v e c :

Q 4 = l 2 m ~l__>0. 1 - -2v - -v z'

Pour int~grer le syst+me (II. 4.1), il y a lieu d'envisa- ger les conditions (II. 2.3) et les conditions h la limite aux extr6mit6s du recouvrement (x 1 = +__ 1/2), ~ savoir :

1 x

~,,'~ IA(0)

+B,o,f!~qfx _i~ =0, ("\2J.J\ a(1) 2,] dx2(1) l~ L ~ l . ,o , f_ 1 ~ 2,] x2(1)

oo, ~ ( 1 ) k - - dx2 (x)--

~ ")k2 )~"' +~,o,(+ ~)]~,1,=o,

fo ~ B,o,/_ l ) =o,

] Cro (2)\ 2)dx2(2)=Croa-1,

off IX d6signe le moment de flexion adimensionnel dans la section xl = - 1/2 du couvre-joint T 1. I1 vient alors :

(1)\ = - 1 2 g ,

A(O) { 0

1+6 (1)

(l)

(2) - -

(2)

si bien que, en particulier, d'apr~s (II. 2 .3 .5) :

m ~(2)(0) l - - ~ / = 121-t 1 , 2 v _ v 2 ,

6(2)(~ =0. (II. 4.2)

Pour int6grer l'6quation diff&entielle (II. 4.1. b), il convient par ailleurs de tenir compte des conditions d'6quilibre (II .2.1) particulier �9

X(o)_ 12 0 -(2) (0), (1) - -

B(O) - 6 r (o) (1)----

et ( I I .2 .2) , qui impliquent en

(2)

avec :

d l ) ( ~ - 1,

et

fl ~/~2 t~t2)(~ (u) du=O' (tt. 4.3)

;_1/2 ~(~) (u) 1 1/2u (o) du=l.t- ~.

La constante g, qui apparait comme une inconnue hyperstatique dans le montage de la figure 6, est calcu- 16e en annexe de ce chapitre fi partir de la compatibilit6 des d6formations dans la section d'extr6mit6 xl = - 1/2 :

378


l----v2 o~2)w)(- ~ ) ( I I .4 .4 ) Ix= 12m \ "

La fonction ~r ~2) ~o) est solution de l'6quation diff6ren- tielle (II. 4.1 b) avec les quatre conditions ~ la limite (II. 4.2) et (II. 4.3), compl&~es par la relation (II. 4.4). Le r6sultat le plus important est cons- tituS, en fait, par la constance de x ")~~ qui est 6gale ( - 1) sur toute la longueur du recouvrement.

En rSsum6, le champ de contraintes dans les domaines 7"1, Jt et P s'6crit, fi l 'ordre inf(e z, rl) pros :

".)= { xz.,I + ; ;'2du fl;z l2 (v) du

l~(f-,/z , + ( x t - - ~ ] k . j , , z duf,/212cr'2't~

+ [ - f l ; ' z d u f 6 c r ' 2 " ~

d 1/2 d 1/2 (II. 4.5)

- - ~ ( 1 - - X 2 (1)) ( X l (~)X2 "Jl- X 2 ( ~ X l ) ,

= ~(X~| + X2 x XO,

~ ( x ~ + ~ ) X ~ |

- ~ x2 ~2) (X~ | + X2 @Xt).

I I . 5. C O N C L U S I O N

ANNEXE RELATIVE AU C A L C U L DE L ' I N C O N N U E HYPER- STATIQUE I~

Pour calculer Ix, il est fait usage de la continuit6 de la pente de la d6form6e OV2m/Ox t dans la section d'extr6mit6 x I = - 1/2.

La quantit6 8V 2 t~)/Sx~, ~t gauche, dans cette section peut &re calcul6e comme la pente de la d6form6e d'une poutre soumise fi la flexion pure par un moment Ix : la courbure est constante et 6gale A sa valeur dans la section x~ = -1 /2 , c'est-/~-dire -Al~ ( -1 /2 ) . Si L dSsi- gne la demi-longueur de T t hors-recouvrement, il vient :

Or2 ~x) Ox~ E~ e Ox t }~t =~- ~/2)-

El :t(1) -- El ~

La quant i t60V2. ) /Ox ~, "~ droite, dans la section x~ = - 1 / 2 est calcul+e de la faqon suivante :

0V 2 ~x) 1 m,~o) __ "" ~ 2 (1)

dxx gxe 0xx Is~=<- x/2)+

1 ~0) ~ rl d z u2 _ dv2 ~2) +

Exe dxx Jo E a y 10y 2 dy2,

avec, d'apr6s la remarque chapitre I :

= ( 1 + v 2) ~2 crr r

compl6mentaire du

Le comportement m6canique de l'assemblage fi double recouvrement est done caract~ris6 par la comparaison des deux petits param6tres : E/E1 ~ et e; lorsqu'ils sont comparables, la th6orie classique est valide; lorsque la relation :

E - - = O (E 3) Et q

est vSrifi~e, le ph6nom~ne de pelage apparait et l'influence de la contrainte de d6collement devient d&ermi- nante, conform6ment aux intuitions classiques ([2], [4]).

L'int6r& de la prSsentation adopt6e tient fi ce qu'elle tient compte des conditions fi la limite; conform6ment au sch6ma habituel des milieux ~lanc& [29], les conditions ~t l'extr~mit~ du recouvrement interviennent sous forme de leur tenseur 6quivalent : le principe de Saint- Venant permet de r~soudre le problSme de la r6parti- tion des contraintes dans l'assemblage.

Cependant, m~me si les conditions du probl~me de Saint-Venant sont v6rifi6es aux extr6mit6s du recouvrement, apparait d6s l 'ordre e l'impossibilit6 de satisfaire les conditions aux limites, en particulier la nullit6 de la contrainte de cisaillement. C'est l'origine d'une couche limite au voisinage de chacune des extr6mit6s, qui va 6tre 6tudi6e dans le chapitre suivant.

et

0v ~ = 0. 0xt

La valeur de IX est d6termin6e par la condition �9

1 v 2

Chapitre III champ des contraintes correcteur

au vois inage des extr6mit6s du recouvrement

H I . 1. P O S I T I O N D U PROBLI~ME

Comme le chapitre pr6c6dent l'a montr6, le champ des contraintes aux extr6mit6s (xt = _ 1/2) ne satisfait pas aux conditions ~t la limite sur ces extr6mit6s - et ce d~s rordre e. En particulier, ~i l'extr6mit6 x t = -- I/2, le champ de contraintes approch6 tel qu'il rSsulte des formules (II. 3.4) pour l'assemblage en traction s'6crit :

379

Vol. 18 - N ~ 107 - Ma t6 r i aux et Constructions

n m l . , = - l a = - X l | + e ( 1 - x 2 m)

1 __ J x [ ( ~ a 1) th 0) /2- ( ~ a + 1) c~ 0)/2] 4 (1 + v) 0)

(X 1 | 2 "t- X 2 |

e 1 1 ffl~,=-l/2 = I ( 7 - ~ a - 1 ) t h 0 ) / 2 + ( ~ a + 1 )

x coth 0)/2] 4 (1 + v) 0 ) J (Xl | "l" X2|

J if(2) [xl = - 1/2 = 8 X2 (2)

4(1 + v ) w

x --1 th0)/2+ - - + 1 cotho)/2 ~ a

X ( X l | 2 -'[- X 2 | 1),

Des formules analogues ont lieu, grfice aux relations ( I I .4 .5) , pour l'assemblage en flexion. En introduisant la fonction (E), d6finie pour l'axe r6el positif par :

(-% (x2 <2~) = x2 ~2~,

(E) (~) = 1,

(E) (x2 ~)) = 1 --x 2 (2),

le champ de contraintes/t l'ordre e s'~crit, sur l'extr& mit6 xl = - 1 / 2 :

~ (~) [x l | + x ~ |

off la constante C~ (at= 1, 2) prend une valeur diff& rente selon la nature de l'assemblage :

~'l = I ( ~ a -- 1 ) t h 2 -- ( ~ a + 1 )

2] ' eotra t on, x coth _ 4 (+-v) co

6"2 = - 1 (en flexion).

Pour corriger le c h a m p . ~t distance >> calcul6 dans le chapitre II pr6c6dent, il convient donc de lui ajouter d'une part un champ de contraintes N' ~t proximit6 de l'extr6mit6 xl = - 1/2 et un champ de contraintes N" ~i proximit6 de l'extr6mit6 x~=l /2 , de faqon que le champ :

if(D'

0"0 ~ + s + s

0"(2 )

satisfasse au mieux aux 6quations du probl6me. La m&hode de calcul des champs 1~' et ~", qui est utilis6e dans la suite de ce chapitre, est celle des << correcteurs >> [20] : elle constitue une variante de la m&hode des d6veloppements asymptotiques raccor- d6s, classique en m6caniques des fluides.

380

Le champ correcteur s prend la forme :

~2'= 0-o ca', o' = 0-.13 X.|

avec (cf. fig. 7) :

02 60 02 ,.~ 02 ,SP t t t --. 0-11 = 0X22, 0"12 = 0 X 1 0 X 2 0"22 0212

La fonction d'Airy 60 (X 1, X2) satisfait fi la condition de biharmonicit6 :

dx2) 60 = + 50=0.

Les conditions fi la limite sur tes frontiSres (X 2 =0) et (X 2 = c t e + q + 0 sont de type homog6ne :

02 6e(X 1, a e + q + O = O 5--x7 60 paire en X2

025o dX1 0X2 (X1, a ~ -~- 1] -[- a) : 0

et les conditions sur l'extr6mit6 X, = - 1/2 traduisent la condition de << correction >> :

OX 2 2 2'

0260 ( 1 X 2 ) = ( E ).

o x , o - x 2 - -2 '

En fait, il convient d'introduire les variables de proximit6 (Yl, Y2) d6finies par :

y l = e - l ( X l + ~ ) , y2=g-1 X2

et la nouvelle fonction d'Airy ~, telle que :

Z (Yl, Y2) = 5" (X 1 , X2)

satisfait ~ l'6quation :

A~2)Z=0 , (III. 1.1)

avec les conditions/t la limite :

02Z (Yl, a + 1 + ~ ) = 0 0yl 2

avec ~= rl, (III. 1.2) 02Z (Yl, a + l + ~ ) = O e

0yl 0Y2

~ ~- (o, y2) = o, Oy22

02 Z (0, OY-7 flY2 Y2) = e2 (E).

(III. 1.3)

Le domaine de d6finition de la fonction X est pr6cis6 sur la figure 8 : c'est un domaine, co semi-infini, consti- tu6 de trois demi-bandes infinies :

03~ = { (Yl, Y2)~R2, Yl >0 , a+~<y2<a+"d+ 1 },

~ = { (Yl, Y2)ffR2, Yl >0 , a<Y2 < a + ~ } ,

6o22 {(yt , y2)eR2, y~>0, 0 < Y 2 < a } .

I1 y a lieu d'adjoindre aux relations (III. 1.1), (III. 1.2) et (III. 1.3) une condition sur le comportement de Z lorsque yx tend vers l'infini :

lim Z(Yl, Y2) =0. (III. 1.4) ),1 ~ cO

C'est la condition de raccordement avec le champ de contraintes fi distance.

La m6thode de catcut de la fonction X consiste dans une premi+re &ape fi utitiser ta petitesse du rapport pour &ablir, de faqon analogue/t celle qui a 6t6 mise en ~uvre dans le chapitre I, les conditions de saut la travers6e de ~.

III. 2. I~QUILIBRE I~LASTIQUE DU DOMAINE ,~

I1 convient de g6n6raliser au cas :off il y a un chargement sur la face terminale, precis6 par les formules (III. 1.3), l '&ude faite dans le paragraphe (I. 2). Une difficult6 sup pl6mentaire est. dueau caract6re non born6 du domaine co.

Les variables caract6ristiques (~1, ~2) sont d~finies par :

.~i =Yl, Y2 ='~-1 (y2-a)

et l'6quation diff6rentielle (III. I. 1) devient :

- - g2 - , a2 - , a 2 ~ 2e o12 +~2 ~ 0~2 2 6~y 1 6qy 2 63yl 2

Les 6quations d'6quilibre s'6crivent :

ao~,2 - ao'--1 ~. +~;.-.--=--- = 0

ay 2 t~yt

et par suite le champ de contraintes, fi l 'ordre z+ro en ~, s'6crit :

~ '= [ h'(~ (#1)~ + b'(~ GO] x , | x l

+ ~ ] 2 (y l ) (X l | + X z | ) - ' - + O22 (Yl) X2 |

k Y2

(.01

W2

Fig. 8

v


off les fonctions 0~2 et 0~2 sont les contraintes d' interface, constantes fi la travers~e de ~, avec :

8 2 2 ( 0 ) = 0 , ~12 ( o ) = - ( z ) .

Par suite le saut de la fonction Z et de la d6riv6e normale aT/ay2 ~ la travers6e de ~ sont nulles �9

[[ ~y2=~+; 0 Xlly2=~ = ,

[r0 m .+L0 LO-~yyjjy2=" - .

(III. 2.1)

Le champ de d+placements dans le domaine if3 s'6crit :

o=L = l _

Ee

1 z~o)_Tu~) + . ] X , - / ~ [ , , ~-~ . .

et la loi de comportement de l'61asticit6 classique conduit aux relations suivantes, d6duites des relations ( I .3 . I) et ( I .3 .2) :

@,

a 2 ffhoj = _ yo~

ayt 2

a~c") = a ~~ ( ; , ) ;= + E ~~ ( y , ) - v8;2, ayl

O 2 fft2o) ayl 2

Le champ de d6placements dans les domaines co 1 et 6% est de l'ordre de 1~El ~ et par suite par analogie avec la condition (I. 4.1), il vient :

a(~

et de m~me la relation (I. 4.2) impose :

~'(0) ~~, (yl)=vo22,

si bien que la condition de saut h la travers6e de ~ est, fiO(~) prds:

LL ayi -IJyz =~

= .

(III. 2.2)

La continuit6 des fonctions ul et u 2 aux interfaces col/ff3 et oaz/ffo permet d'6crire les conditions de saut sur le champ de d6placement :

U~ X a

381

Vol. 18 - N ~ 107 - M a t 6 r i a u x et C o n s t r u c t i o n s

d v~

D1

D2

Fig. 9

1 t I+Q

I+(I Y1 h b v

~t l'aide des lois de comportement dans les domaines cox et (1) 2 :

c3U ~ 8 t t

ayx E~ (~x~-v~ ~2 )

0U2 ~ = - - ( % ~ - v ~ i O

Oy 2 E~,

0U x + OU~ _ 2 (1 + v,) ecr] 2

8y 2 Oy 1 E~,

(~=1, 2), (1II .2.3)

ce qui implique en particulier :

O 2 U 2 = ~ f z ( I + v , ) . - - acr]2 Oy t 2 ( E, ay x

:roo , oo, ]} G L OY2 a y 2 v~, .

Grfice aux relations (III. 2.3 a) et (III. 2.4), les conditions de saut (III. 2.2) s'6crivent "

E y 2 = a

[E2(1+v)Ocs't2/OYx--[Ocr'lx/c3y2--vacr'22/aY2]l]y2=a+'i=O, E _,l_.ly2=a

Ces derni6res conditions doivent 6tre traduites en fonction de Z; les relations de d6finition donnent alors �9

\~-~2 2 8Y22 )]-.I,2=. =0,

LIE[_ OyxZOy2 ay23 ]JJy2=~ -

(III. 2.5)

Grace aux relations de saut (III. 2.1) et (III. 2.5), le probl6me est maintenant ramen6 ~ la d6termination de la fonction d'Airy Z(Yt, Y2) sur le domaine cox U co2, ce qui constitue l'objet du paragraphe suivant. I1 est int6ressant de remarquer n6anmoins que lorsque les milieux constituant col et co2 sont identi- ques, les conditions (III. 2.5) d6g6n6rent, grace aux conditions (III. 2.1), en

V II FF ll' =~

et par suite que la fonction Z e s t celle du probl~me classique pour le domaine co x t,_)o 2 homog6ne.

III.3. CALCUL DE LA FONCTION D'AIRY DANS LE DOMAINE ml U o2

La m6thode de calcul de la fonction Z dans le domaine co x U (02 est due ~ D. D. Joseph [23] et repose sur une formulation renouvel6e des potentiels de Papkovitch [71].

Pour des raisons de simplification des calculs num6ri- ques, le domaine cox U o 2 est transform6 dans le domaine D :

D=DI [_)D 2

d6crit par la figure 9, par le changement de variables �9

y~= Yx y2 = Y2 l+a" l + a "

La fonction Z est ainsi transform6e en la fonction X, tetle que :

X(Yx, Y2)=Z(Yx, Y2),

qui satisfait aux conditions �9

AIA2)X=0 dans D,

X ( Y x, 1)=0 sur la fronti+re

OX - - ( Y 1 , l ) = 0 (yx < 0 , .,V2= 1), 0Y2

(III. 3.1)

632X(0, Y2)=0, OY22

~2 X (III. 3.2) - - ( 0 , Y2)= _~2 (1 +a) 2 (E), OYt ~Y2

auxquelles il faut ajouter la condition de parit6 par rapport $ Y2 et la condition de d6croissance vers z6ro lorsque Yx tend vers - o o .

La fonction X est alors obtenue par une d6composi- tion en fonctions stationnaires :

X ( Y 1, Y2) = ~ eS, rl ~tn)(y2) , n

off les fonctions �9 t") sont les fonctions de Papkovitch du probl6me :

d 4 O(n) d 2 O(n) dY24 +2 S 2 dY2-----T+S~O~")=O,

avec les conditions i la limite pour Y2 = 1 ad6quates et de conditions de saut du type (III. 2.2) et (III. 2.5) pour Y2 = a/(1 + a).

382

Les conditions exp6rimentales des m6moires ult6- rieurs imposent l'identit6 des milieux 0~ et o) 2 et par suite les potentiels �9 (") sont ceux d'une bande semi- infinie d'6paisseur unit& Cette hypoth6se sera faite dans toute la suite du chapitre.

La parit6 en Y2 impose alors :

(I)(n) (Y2) = an cos S n Y2

+ d. Y2 sin S. Y2

et les constantes a. et d. sont d6termin~es fi partir des relations (III. 3.1) :

a. cos S. + d. sin S. = 0,

- a. S. sin S. + d. [S. cos S. + sin S.] = 0.

Ce syst6me admet une solution non banale si et seulement si la suite des nombres complexes S, est solution de l'6quation du champ complexe :

2 S, + sin (2 S,) =0 (III. 3.3)

et par suite, fi une constante multiplicative pros :

c~(")(Y2)=SnsinS.cos(S. Y2) '

-- Sn Y2 cos S n sin (S. Y2)"

A part z6ro, les solutions de l'6quation (III. 3.3) sont imaginaires : par convention, S, d6signera dans la suite les solutions situ6es dans le premier quadrant du plan complexe, avec :

O < R ~ ( S ~ ) < R ~ ( S z ) < . . . < R ~ ( S , ) < . . . (n>--, O).

En d6signant par S_ . la racine conjugu6e de S., la condition de nullit6 ~ l'infini impose de chercher X sous la forme :

X ( y i , Y2) = ~ ~2 0(")(Y2) es"r~, n~O~n

(III. 3.4)

les constances C. &ant choisies de faqon que :

ECn l _2020(n) I +(Sn-'l--1) v Y2)

L 0 '

off la fonction K est une primitive de la fonction (E) avec:

a ( ~ ) a - - < Y 2 < l , K(Y2) = Y2-- ( a+ 1)-- ~, l + a

O<Y2 < a K ( Y 2 ) = a+ l 1 +----a' 2a Y22"

D'apr6s cette derni6re 6galit6, les nombres C, peuvent ~tre interpr6t6s simplement, au sens des fonctions biorthogonales [23], comme les coefficients de Fourier g6n6ralis6s de la fonction-colonne du deuxi6me mem- bre. Ils peuvent donc ~tre calcul6s grfice/t un syst6me

Y. Gil ibert-A. Rigolot

lin~aire en cascade. Un calcul approch~ est pr6sent~ dans le paragraphe suivant.

III. 4. CONSTRUCTION DE LA SOLUTION APPROCHI~E

Les deux premieres racines de l'~quation (III. 3.3) sont :

S t =2 ,106+i 1,125= p~ +ij l ,

$ 2 = 5 , 3 5 6 + i . . .

I1 est donc 16gitime de limiter le d6veloppement (III. 3.4) aux termes :

X~I) (YI, Y2) = ~ 0") (Y2) eSlrl

+ ~-~120(1)(y2) es~ Y1.

Le calcul num~rique des constantes Ct et Cx est effectu6 dans la r~f~rence [67]. Nous ne donnerons ici que les r6sultats :

C 1 = -0 ,166 + i0,062 = a l +ib 1 ,

lorsque a = I, ce qui sera suppos6 r~alis6 dans la suite et dans le module experimental 6tudi6 dans les m6moires ult~rieurs.

Les champs de contraintes font jouer un r61e essentiel aux fonctions r6elles s, d et t d~finies par :

s (x) = e plx [0,636 cos (Jl x) + 0,625 sin (Ji x)],

d (x) = e ~ [0,672 cos (Ji x) + 0,278 sin (Jl x)],

F0,889 . . 0,709 ] t (x )=eOlXl sin(j1 x ) - cos (ji x) .

A L 11,4 11,4

Le champ correcteur ~', introduit dans le paragraphe III. 1, s'6crit donc en fait :

c~2X "~ X l | _ _ ~ 2 - 2 OY2 2 4

02X ~1) _ 2 Xl (~)X2 .+ X2 (~Xl

OYI OY2 4 Ai - O2X(1) X2(~X2e_2,

0Y12 4

C~ t l / 2 x l | i 2e

Z , = (yo g +S( , -- xl + 1 /2) (Xi(~X2 + X 2 ( ~ ) X i ) 2 e

+,( 02X (1) Xl (~)X 1 _ _ 8 - 2 OY2 2 4

6~2X ~1) e_ 2 Xl(~X2 + X2(~Xl + - - 0Yi 0Y2 4

O2X(1) X2~)X2 -2 4 - - - - - ~ ;

OY12 4

383

Vol . 1 8 - N ~ 1 0 7 - M a t e r i a u x et C o n s t r u c t i o n s

Dans la suite de ce paragraphe, seul l'6tat des contraintes dans le domaine if3 sera examin6. La justifi- cation de cette restriction est d 'ordre physique: la partie la plus fragile de l'assemblage est en g6n6ral le joint d'adh6sif, off la rupture nait soit par d6coh6sion, soit par rupture d'adh6sion. I1 est donc int6ressant de d6terminer les extremes des contraintes dans ce domaine.

La figure 10 montre la variation des contraintes le long du recouvrement dans te joint d'adh6sif. Les trois composantes du tenseur des contraintes sont constantes selon l'6paisseur du joint; sont repr6sent6es sur la figure 10 les fonctions suivantes de la variable xa :

~ j cho)x, 0"12 =

2(I+o)(o sh~/2

xl / / j '

~..22__.~tEd ( xt+l/2)2s -I-d(-X'--'/2~,. 2~: /_J

qui sont les valeurs approch6es du champ de contraintes adimensionnelles :

~: (~o ~)-'

L'int6r& de la figure 10 est de montrer que les contraintes extr6males dans le joint d'adh6sif sont la contrainte de cisaillement et la contrainte de d6colle- ment, alors que la contrainte normale ~ t , reste petite vis-&-vis des deux autres. I1 y a donc deux m6canismes possibles pour l'entr6e du joint dans le domaine non lin6aire :

(a) le m6canisme << classique >> obtenu par cisaillement du joint au voisinage de l'extr6mit6 du recouvrement;

(b) le m6canisme par d6collement du joint d l'extrd- mit~ du recouvrement.

I1 faut remarquer que ce deuxi~me m6canisme, cons- tat6 exp~rimentalement, n'admet une explication coh6- rente que dans le cadre de la technique des << correcteurs >> expos6e plus haut : en effet si la couche limite est n6glig+e, la contrainte de d6collement est nulle tout le long du recouvrement, ainsi qu'il r6sulte des formules (II. 3.4).

III. S. CONCLUSION

La mod61isation propos6e peut donc ~tre r6sum6e de la faqon suivante; il existe trois zones le long du recouvrement :

384

Premiere zone: loin des extr6mit6s et d'une longueur 6gale /t environ les deux-tiers du recouvrement. Dans cette zone, les hypotheses de Volkersen ([2], [3]) sont valables, & savoir :

(a) pr~pond6rance de la contrainte normale de traction dans les substrats T et A;

(b) pr6pond6rance de la contrainte de cisaillement dans le joint d'adh~sif J, ind~pendante de la coordon- n~e d'6paisseur;

(c) proportionnalit6 entre le glissement relatif des substrats de cette contrainte de cisaillement par l'inter- m6diaire du coefficient de glissement de l'adh6sif.

Pour int6grer l'6quation diff6rentielle portant sur la contrainte de cisaillement qui r6sulte de l'application des trois hypotheses pr6c6dentes, il convient d'utiliser les conditions & la limite aux extr6mit6s du recouvrement, qui traduisent les hypotheses de Saint-Venant des poutres : sur chaque substrat la contrainte normale 6quilibre l'effort normal, qui prend des valeurs pr6cises aux extr6mit6s du recouvrement. Une am61ioration notable sur les travaux de Volkersen est ainsi mise en 6vidence.

Deuxi~me zone: au voisinage des extr6mit6s chacune ayant une longueur d 'environ 1/6 de la longueur du recouvrement. Dans cette zone, les contraintes normales de traction sont encore pr6pond~rantes dans les substrats; mais elles sont fonction des coordonn6es d'~paisseur. Dans le joint d'adh6sif, les deux contraintes pr6pond6rantes sont successivement :

- au voisinage d'une distance de l'extr6mit6 d'un dixi6me de la longueur de recouvrement, la contrainte de cisaillement qui est ind6pendante de la coordonn6e d'~paisseur;

- au voisinage d'une distance de l'extr6mit6 6gale /t l'~paisseur du joint, la contrainte de d6collement qui est ind6pendante de la coordonn6e d'6paisseur.

/. _ 3,5 _

3 _

2 , 5 .

2 _

1 ,5_

1 _

0 ,5_

0

- 8 , 5 _

- 1

- 1,5

- 2

0105

/ E11 E z 2 \ ~

01 0~15 012 0 2 5 0 3 0 3 5 I

Fig. 10

C'est dans cette zone qu'apparaissent les premiers m6canismes non lin6aires dans le joint de l'adh6sif, ainsi qu'il est expliqu6 dans le paragraphe (III. 4).

Troisi6me zone : aux extr6mit6s de l '6prouvet te chacune ayan t une longueur d ' env i ron l '6paisseur du joint . La

f igure 10 mon t re en effet que le po in t off ~ 2 est nul, est situ6 ~ une dis tance d ' env i ron q de l 'extr6mit6.

Dans cette zone, la mod61isation propos6e n ' a plus de sens et il est ill6gitime de la p ro longe r dans le domaine . Cet te carence t rouve son origine dans trois consid6rat ions :

(a) le caract6re t ronqu6 de la formule approch6e ~12 rend mal compte de la nu l l i t6 de la con t ra in te de cisai l lement i l 'extr6mit6;

(b) le sch6ma de calcul p ropos6 dans le pa r ag raphe ( I I I . 3) impl ique une 6paisseur relat ive du jo in t rl/e pet i te pa r r a p p o r t i l '6chelle de longueur choisie soit e. Ce n 'es t plus le cas dans cette t roisi6me zone;

(c) la pr6sence d ' un angle entre T et A est caract6ris- t ique d 'une singulari t6 dans la so lu t ion du probl6me d'61asticit6 ob tenu lorsque 11 tend vers z6ro. Cet te solu- t ion pr6sente un caract6re non born6 au sommet de l 'angle, m~me p o u r des chargements F inf in iment petits. Le compor t emen t des mat6r iaux au vois inage de ces sommets n 'es t ce r ta inement plus 61astique lin6aire, m6me pour de faibles chargements . Le mod61e p ropos6 est cer ta inement loin du cornpor tement phys ique dans ces r6gions.

R~F~RENCES

[1] ARNOVLJEVIC. - - Das Verteilungsgesetz der Tiefspannun- gen in axial beanspruchten Verbundstaben. Z. F. Archund-Ing-Wesen, Hanovre, vol. 55, 1909, p. 415.

[2] VOLKERSEN O. -- Die Nietkraftverteilung in zugbeanspru- chten Nietverbindungen mit konstanten Laschequerschnit- ten. Luftfahrtforschung, vol. 15, 1938, p. 41-47.

[3] VOLKERSEN O. -- Recherche sur la th~orie des assemblages coil,s. Construction m&allique, n ~ 4, 1965, p. 3-13.

[4] GOLAND M., REISSNER E. -- The stresses in cemented joints. J. Appl. Mech., vol. 11, 1944, p. A-17/A-27.

[5] CORNELLE R. W., WINDSOR L. C. - Determination o f stresses in cemented lap joints. J. Appl. Mech. Trans. ASME, vol. 75, 1953, p. 355-364.

[6] DEMARKLES D. -- Investigation o f the use o f a rubber analog in the study o f stress distribution in riveted and cemented joints. Tech. Notes. Advis. Comm. Aeronaut. Wash, 3413, 1955.

[7] LUBKIN J. L., GREENWICH C. -- A theory o f adhesive scarf joints. J. Applic. Mech., juin 1957, p. 255-260.

[8] ERDOGAN F., RATWANI M. - - Stress distribution in bonded joints. J. Composite Mater., vol. 5, n ~ 3, juillet 1971, p. 378-392.

[9] WOOLEV G. R., CARVER D. R. -- Stress concentration factors for bonded lap joints. J. Aircraft, octobre 1971, p. 817.

[10] GRIMES G. C. - Stress distribution in adhesive bonded lap joints. SAE Trans. 710107, 1971, p. 370-378.

[11] HARRISON N. , HARRISON W. J. - - The stresses in an adhesive layer. J. Adhesion, vol. 3, 1972, p. 195-212.


[12] KELSEY S., BENSON N. K. -- lnstitut fiir Statik u. Dyna- mik der Luft. Stuttgart ISD, Rapport n ~ 10, 1966.

[13] BRESSON J. -- Recherche et application concernant Fem- ploi des collages. Ann. ITBTP, n ~ 27, 1972, p. 23-55.

[14] PAHOJA M. H. -- Stress analysis o f an adhesive lap joint subjected to tension, shear force and bending moments. MAT, Report n ~ 361, University of Illinois, 1972.

[15] HART-SMITH L. J. -- Adhesive-bonded double-lap joints (Douglas Aircraft Co.). NASA-CR-112235, janvier 1973, p. 1-106.

[16] HART-SMITH L. J. -- Adhesive-bonded single lap joints (Douglas Aircraft Co.). NASA-CR-112236, janvier 1973, p. 106.

[17] HART-SMITH L. J. -- Adhesive-bonded scarf and stepped- lap joints. NA SA-CR- 112237, janvier 1973, p. 114.

[18] BARKER R. M., HAT"r P. -- Analysis o f bonded joints in vehicular structures. AIAA J., vol. 11, n ~ 12, drcembre 1973, p. 1650.

[19] ADAMS R. D., PEPP~AT N. A. - Stress analysis o f adhesive bonded lap joints. J. Strain Anal., vol. 9, n ~ 3, 1974, p. 185-196.

[20] LioNs J. L. -- Perturbations singuli~res dans les probl~mes aux limites et en contr61e optimal. Lecture Notes in Math., n ~ 323, Springer-Verlag, Berlin, 1973.

[21] SANCHEZ-PALENCIA E. -- Non homogeneous media. Lec- ture Notes, Springer-Verlag, Berlin, 1973.

[22] TSAMASFYROS G. -- Thrse d'l~tat de Physique, Universit6 Paris-VI, 1973.

[23] JOSEPH D. D. -- A new separation o f variables theory for problems o f stokes flow and elasticity. Proceeding the Symposium of Kobzubnik, 1973.

[24] ROBINSON J. R. -- Cours de Brton-Arm6 de l'l~cole Nationale des Ponts et Chaussres, 1965.

[25] FhRvms J. - Two-dimensional displacement stress distribu- tions in adhesive bonded composite structures. J. Adhesion, vol. 6, n ~ 3, 1974, p. 207-228.

[26] HAHN O., FOYER G. -- R~partition des contraintes duns un composite mbtal-mati~re plastique baske sur l'hypoth~se d'un comportement blastique des mat~riaux. Mrthode des 616ments finis, Adh/ision, Heft 12, 1975.

[27] ISHAI O., PERETZ D., GALIS S. -- Direct determination o f interlaminar stress in polymeric adhesive layer. Exp. Mech., 1975, p. 265-270.

[28] KAWATA K., TAKEDA N. -- Shearing fracture o f single lap adhesive joints. Trans. JSCM, vol. 1, n ~ 1, 1976, p. 26-29.

[29] RIGOLOT A. -- Sur une th~orie asymptotique des poutres droites. Thrse de Doctorat d 'Etat de Mathrmatiques, Universit6 Paris-VI, 1976.

[30] ALLMAN D. J. - A theory for elastic stresses in adhesive bonded lap joints. RAE: (a) J. Q. Mech. Applic. Math., vol. 13, 1977, p. 415-436; (b) Tech. Report 76024, 1977, p. 47.

[31] GILIBERT Y. -- Contribution ?t l'~tude de l'adh~sivit~ de mat~riaux collks par l'interm~diaire de r~sines ~poxydi- ques. Thrse de Doctorat d'l~tat 6s-sciences physiques, Universit6 Reims, 1978.

[32] GILmERT Y., RmOLOT A. -- Analyse asymptotique des, assemblages-collbs ,i double recouvrement sollicitbs au cisaillement en traction. J. Mech. Appl., vol. 3, n ~ 3, 1979, p. 341-372.

[33] GILmERT Y., RmOLOT A. -- Analyse asymptotique des assemblages-collbs d double recouvrement sollicitbs au cisaillement en traction. C. R. Acad. Sc., Paris, t. 288, srrie B, 1979, p. 387-390.

[34] GILmERT Y., RIGOLOT A. -- Th~orie ~lastique des assemblages collbs fi double recouvrement. Quatrirme C. F. Mrcan., Nancy, 1979, p. 301-302.

385

Vol . 1 8 - N ~ 1 0 7 - M a t 6 r i a u x et C o n s t r u c t i o n s

[35] CHAN W. W . , SUN C. R. -- Interfacial stresses and strength of lap joints. 21" Conf. Struc. Dyn. and Mater., Seattle, mai 1980, AIAA/ASME/ASCE/AHS.

[36] RIGOLOT A. -- Application de la m~thode des d~veloppements asymptotiques raccord~s au calcul des effets d'extr~- mitbs clans un composite plan coll& 2" C. I. du G A M N I , 2 au 7 d6cembre 1980, p. 245-259.

[37] DELALE F., ERDOGAN F., AYDrNOGLU M. N. -- Stresses in adhesively bonded joints: A closed-form solution. J. Comp. Math., vol. 15, 1981, p. 249-271.

[38] GILIBERT V. , BERNASCONI J. , COLLOT C. - - Mesure de d~formations et des contraintes engendrkes lots a~un essai de cisaillement en traction, d la surface de plaques d:acier collkes. Mat. et Constr. , Bulletin de RILEM, n ~ 52, juillet-aofit 1976, p. 255-265.

[39] BERNASCONI J., GILIBERT Y. - - Mkthode de track automatique des courbes de dkformations et de contraintes engendrkes d la surface d'~prouvettes de traction r~alis~es en acier ou en b~ton plaque. Note de recherche ENSTA, n ~ 053, d6cembre 1983.

[40] ENSTA, Groupe GSC, 91120 Palaiseau. - Contra t de programmes adh6sif hautes performances, D6cision d'aide, DGRST, n ~ 81 p. 1365, 1982-1983.

[41] VISHAY M I C R O M E S U R E S . - (a) Notices d 'emploi des colles AE 10/15 et GA2 B 137-1971; (b) Encyclop6die d 'analyse des contraintes Vishay-Micromesures, Paris.

[42] BRUOT G. -- M~thode de calcul automatique des contraintes et des glissements th~oriques dans un assemblage m~tal- lique collL M6moire de fin d'6tudes, D6partement Infor- matique de l ' Inst i tut Universitaire de Technologic de Reims 1975-1976 (sujet ipropos6 par le laboratoire des sciences des mat6riaux et dirig6 par MM. Bernasconi et Gilibert).

[43] DuBois D. -- Automatisation de la reprksentation de r~sultats exp~rimentaux. M6moire de fin d'6tudes, D6par- tement Informatique de l ' Inst i tut Universitaire de Tech- nologic de Reims 1975-1976 (sujet propos6 par le laboratoire des sciences des mat6riaux et dirig6 par MM. Bernasconi et Gilibert).

[44] GILIBERT Y., COLLOT C. - - Influence de rkpaisseur du joint d' adh~sif sur la r~sistance m~canique de l' acier coll~ par l'interm~diaire d'une rksine kpoxydique. C. R. Acad. Sc., Paris, t. 284, n ~ 9, 1978, p. 155.

[45] GIP.~UD J. M. -- Quelle ~paisseur de colle choisir pour un assemblage collk ? Mat6riaux et Techniques, juin-juillet 1980, p. 255-259.

[46] CHERRY B. W., HARRISON N. L. -- Optimum profile for a lap joint. J. Adhesion, vol. 2, avril 1970, p. 125.

[47] GERMAIN P. -- M~canique des milieux continus. Masson, Paris, 1962.

[48] TIMOSHENKO S. P., GOODIER J. N. -- Theory of elasticity. 3" 6dition, Internat ional Student Edition, McGravy, Copyright 1970.

[49] GILIBERT Y, , VERCHERY G . - - Influence of surface rough- ness mechanical properties of joints. Internat ional symposium on adhesive joints: formation, caracteristics and testing, 13-16 septembre 1982, Kansas City.

[50] BIELLE J. -- La normalisation de rktat de surface en France. Congr6s de Rouen, Revue Arts et M6tiers, n ~ 3, 1973, p. 44.

[51] R N U R - E N S A M . - R6gie Nat ionale des Usines Renault; 10, avenue E.-Zola, 92109 Boulogne-Billan- court; Ecole Nat ionale Sup&ieure d 'Ar t s et M6tiers, Centre R6gional de Ch~lons-sur-Marne, 51000 Chgdons- sur-Marne.

[52] GILZBERT Y., COLLOT C. - - Contribution gt r~tude de r adh~sivitk colle-acier en fonction des ktats microg~omktri- ques des surfaces rectifi~es et rectifikes sablkes. Mat. et Constr., Bulletin de la RILEM, n ~ 48, novembre- d6cembre 1975, p. 425-437.

386

[53] GILIBERT Y., BIELLE J., BERNASCONI J., COLLOT C. - -

Etude de la rksistance mkcanique de plaques cr acier collkes en fonction de la rugositk des subjectiles et de r~paisseur de l'adh~sif. Mat. et Constr . , Bulletin de la RILEM, n ~ 54, novembre-d6cembre 1976.

[54] GILIBERT Y., BIELLE J., BERNASCONI J. , COLLOT C. - - Influence de la rugosit~ des subjectiles, des ~paisseurs de Fadhksif et des t61es, de la longueur de recouvrement sur la r~sistance m~canique des plaques d'acier par rinterm~- diaire d'une r~sine kpoxydique. Communicat ion pr6sent6e au Colloque ITBTP, << Le collage structural par r6sines des structures de la const ruct ion >>, Paris, 1-2 juin 1976, p. 36-52.

[55] GILIBERT Y., COLLOT C. - - Influence de la rugositk des subjectiles, de la microstructure et du module d'~lasticit~ des plaques mktalliques sur la r~sistance au cisaillement d'assemblages collks. Communica t ion pr6sent6e au Collo- que du G A M I , << M6trologie et aptitudes fonctionneUes des 6tats de surfaces microg6om6triques, Paris, 14- 15 mars 1977, Revue M6canique-Mat6riaux-Electricit6, n ~ 337, 1978, p. 26-37.

[56] M. LAREN A. S., MACINNES I. -- The influence on the stress distribution in an adhesive lap joint of bending of the adhering sheets, British J. of App. Phys., vol. 9, 1958, p. 72-77.

[57] ROKURO M., ELI STERNBERG. - - On the stress analysis of over lapping bonded elastic sheets. Int. J. Solids, Struct., vol. 4, 1968, p. 74-75.

[58] SAINSBURY-CARTER J. B. - - Automated design of bonded joints. J. of Eng. for Ind., 1973, p. 919-924.

[59] ADAMS R. D., CHAMBRES S. H., DEL STROTHER P. J. A., PEPPIATT N. A. - Rubber model for adhesive lap joints. J. of Strain Analysis, vol. 8, n ~ 1, 1973, p. 57-59.

[60] FRIGYES T. -- Stress distribution in lap joints with par- tially thinned adherends. J. Adhesion, vol. 7, 1976, p. 301-309.

[61] GUESS T. R., ALLRED R. E., GERSTLE F. P. -- Comparison of lap shear test specimens. J. of testing and Evaluation, Vol. 5, n ~ 3, 1977, p. 84:93.

[62] STEG I. D., ISHAI O. -- The effect of lateral constraint on the strength of a single lap joint. J. Adhesion, vol. 8, 1977, p. 263-273.

[63] ISHAI O. , GALl S. - Two-dimensional interlaminar stress distribution within the adhesive layer of a symetrical double model. J. Adhesion, vol. 8, n ~ 7, 1977, p. 301-312.

[64] HART-SMrrH L. J. -- Designing adhesive bonds. Adhesives Age, 1978, p. 32-37.

[65] ANCENAY H., BENAZET D. - - Action prospective collage. l~ditions du CETIM, Senlis, 1982.

[66] Bulletin Technique de la colic structurale Scotch-Weld 2216B/A, 3M-France, D6par tement colles, Mastics, Rev~tements, boulevard de l 'Oise, 95006 Cergy-Pontoise Cedex.

[67] KOMIHA M. A. -- Analyse th~orique et exp~rimentale de rinfluence de l'~paisseur du film de colle, dans un assemblage coll~, d double recouvrement. Doctora t de 3" cycle, Paris-VI, 1983.

[68] ENSTA, 91120 Palaiseau. -- Groupe << Composi tes et Collage >>, Travaux en tours .

[69] ENSTA, 91120 Palaiseau. - - Aide fi la recherche, Minis- t6re de la Recherche et de l ' Industr ie (MRI, d6cision n ~ 82.S.0962 du 25 novembre 1982).

[70] DARROSES J. S. - The method of "Matched asymptotic Exparices" applied to problems involving two singular parameters. Fluid Dynamics Transactions, vol. 6, 1971, p. 119-129.

[71] SOLOMON L. -- Elasticitk lin~aire, Masson, Paris, 1968.

[72] GILIIIERT Y., VERCHERY G. -- Influence of surface rough- ness on mechanical properties of joints, Title of book:

Adhesive joints: Formation, characteristics and Testing. Plenum Publishing Corporation, 1984, p. 69-84.

[73] GILIBERT Y., KOMIHA M. A., RIGOLOT A., VERCHERY G. -- Analyse th~orique et expdrimentale, de l'influence de


Fdpaisseur du film de colle, clans un assemblage colld & double recouvrement. Communication pr6sent6e ~. l'occa- sion des Journ6es Universitaires de G6nie Civil, 26 et 27 avril 1984, ENSET, Cachan.

SUMMARY

Elastic theory of bonded double-lap joints: Use of the asymptotic expansions method near the ends of the overlap. - - T h e article aims at proposing an approximate solution to the problem of elastic equilibrium of a bonded double-lap joint. First the experimental set up is descri- bed, showing the contribution of a specific device which eliminates the secondary effects due to the bending of substrates, exerting non-negligible influence on the occur- rence of peeling. The theoretical results are presented, based on an analysis by asymptotic expansions.

This research contributes essential knowledge to pre- vious work, by identifying the presence of a boundary layer near the ends of the overlap. This essential phenomenon has two important consequences:

(1) at sufficient distance from the ends of the overlap, there exists a field of stresses, physically governed by the same laws as those accepted up to present, but the nature of which is influenced by the "mean" boundary conditions in boundary layers (this explains the heuristic nature up to now of calculation methods used in techno- logy manuals;

(2) near the ends of the overlap, there exists a field of stresses which is quite different from that deduced from existing heuristic methods; it is shown that the shear stress has a much lower modulus, whereas the debonding stress plays an essential role in the failure of the test piece at the end of the overlap.

A comparison with experiment defines the limits of the proposed modelling. The deformation field in each of the substrates is traced by a method using strain gauges.

Theory and experiment correlate well for the overlap in general, including near the loaded end, but the pheno- mena of local asymmetry occurring near the free end of the overlap are left aside in the proposed modelling.

The calculation is presented in the second part: a first paragraph indicates the approximate solution for elastic equilibrium of a slender rectangle subjected to given stresses on its surfaces with no loads on its bases. Provi- ded the given stresses are expanded in asymptotic series of the slenderness parameter, the jump in displacements between the surfaces is calculated in series of this parameter. With this method it is possible to leave aside the existence of the bonded joint in the ensuing calculation.

These results are used in a second paragraph to study the elastic equilibrium of rectangles representing the substrates which, this time, are subjected to loads on their bases. This brings in two small parameters. A technique of least degenerescence identifies the two physical pheno- mena associated with critical configurations, the first phenomenon is quite naturally tensile stress and the second is peeling. The origin of the boundary layer near each extremity is explained in this paragraph. It appears even when the St Venant conditions are satisfied at the overlap ends.

A second paragraph is devoted to effective computation the boundary layer. First the influence of the adhesive thickness parameter is assessed. In the case of very thin joints, this parameter can be eliminated and the problem of the elastic equilibrium of a unbounded half strip can be dealt with by the stationary function method using the bi-orthogonal functions of Papkovitch. The logarithmic decrement of the exponential function, characteristic of the St Venant effect, is obtained as a solution of a classical equation of the complex field.

387

Documents

Théorie élastique de l'assemblage collé à double recouvrement: utilisation de la méthode des développements asymptotiques raccordés au voisinage des extrémités