Ndordre : D. U. 1571 E D S P I C : 318

Universit BLAISE PASCAL - Clermont II cole Doctorale Sciences pour lIngnieur de Clermont-Ferrand

Thseprsente par

Zakoua GUDIngnieur IFMA pour obtenir le grade de

Docteur dUniversit(Spcialit : Gnie Mcanique)

Approche probabiliste de la dure de vie des structures sollicites en fatigue thermiqueSoutenue publiquement le 8 Juin 2005 devant le jury : Madame Messieurs Sylvie POMMIER Stphane ANDRIEUX Maurice LEMAIRE Jean-Louis ROBERT Bruno SUDRET Rapporteur Rapporteur Directeur de thse Prsident du jury Co-directeur de thse

Laboratoire de Mcanique et Ingnieries (LaMI), Universit Blaise Pascal et Institut Franais de Mcanique Avance. Dpartement Matriaux et Mcanique des Composants (MMC), lectricit de France - Recherche & Dveloppement.

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A ma grand mre Juliette, elle qui a su donner ses enfants la force daller de lavant.

RemerciementsTout dabord, je souhaite remercier Monsieur Maurice LEMAIRE, Professeur lIFMA et Directeur du LaMI, pour mavoir fait lhonneur de diriger mes travaux de thse. Je suis particulirement sensible la conance quil ma accorde durant ces travaux. Ses conseils et son appui mont t dune aide prcieuse. Jen prote, pour le remercier galement, lui qui a t mon professeur en cole dingnieur, pour ses enseignements et son soutien tout au long de ma formation. Quil soit assur de ma profonde reconnaissance. Mes remerciements vont galement Monsieur Bruno SUDRET, Ingnieur de recherche EDF, qui ma encadr au cours de cette thse. Son enthousiame a t pour moi un moteur et ses conseils aviss ont grandement contribu faire avancer mes travaux. Je souhaite galement lui exprimer ma profonde gratitude pour sa grande disponibilit et son soutien permanent dans ce travail. Jai pour lui une grande estime et un profond respect. Je suis profondement reconnaissant Madame Sylvie POMMIER, Professeur lENS Cachan, et Monsieur Stphane ANDRIEUX, conseiller scientique EDF, davoir accept dexercer la fonction de rapporteur de ma thse. Leurs appciations constituent pour moi un tremplin pour lamlioration de mes travaux. Jadresse un remerciement particulier Monsieur Jean-Louis ROBERT, Professeur luniversit Blaise Pascal, pour mavoir si bien clair sur le domaine de la fatigue des matriaux et pour tre intervenu mainte reprises dans la correction de mon manuscrit. Sa gnrosit, sa disponibilit et surtout sa grande rigueur scientique ont certainement contribu la qualit du travail ralis. Je lui exprime galement ma reconnaissance pour avoir accept de prsider le jury de ma thse. Quil trouve ici lexpression de ma sincre gratitude. Je tiens galement remercier Monsieur Michel FOGLI, professeur au CUST de Clermont-Ferrand, pour mavoir aid mieux matriser une notion aussi complexe que celle de processus alatoire. Sa contribution a t dun apport fructueux. Quil soit assur de ma profonde reconnaissance. Jexprime aussi toute ma sympathie tous les membres de lquipe du LaMI, qui ont particulirement contribu aux bonnes conditions dans lesquelles jai eectu mes travaux. Je leur souhaite bien de bonnes choses. Enn, jai une pense particulire pour ma mre Marie-Thrse, qui ma soutenu tout au long de ces annes, et sans qui je naurais pas pu aller au bout de ce projet. Je nai pas iii

iv de mot pour te dire quel point je te remercie. Merci galement mon pre Patrice et tous les membres de ma famille, en particuliers mes petites soeurs (Nadine, Rachelle, Marie-Louise et Colombe) pour leur soutien malgr la distance.

RsumLe comportement en fatigue thermique est extrmement marqu par de nombreuses incertitudes. Ces incertitudes proviennent du caractre alatoire des variables dentre ou du manque de connaissance sur le phnomne physique. Lindustrie nuclaire, dont certains composants sont soumis des chargements thermiques, est particulirement concerne par ce phnomne. Le code de dimensionnement des composants du nuclaire en fatigue thermique prend en compte les incertitudes en introduisant des marges de scurit empiriques de sorte que le dimensionnement soit rendu conservatif. Toutefois, cette dmarche ne permet pas de chirer le risque li aux choix eectus. Il est donc intressant dintroduire un cadre probabiliste global du dimensionnement en fatigue thermique. Ceci requiert : de caractriser les lois probabilistes des direntes variables alatoires intervenant dans la modlisation du comportement en fatigue ; dintgrer ces variables alatoires dans la procdure de dimensionnement pour estimer la dure de vie alatoire en fatigue de la structure considre. Lobjet est de calculer la probabilit de dure de vie en fatigue thermique dune structure et le poids des direntes variables alatoires dans la abilit. Lapproche probabiliste du dimensionnement en fatigue thermique propose est base sur le principe du couplage mcano-abiliste. Deux types de couplage sont proposs : un couplage mcano-abiliste dans le domaine temporel, o le chargement est reprsent par un historique de temprature ; un couplage mcano-abiliste dans le domaine frquentiel, o le chargement est reprsent par sa densit spectrale de puissance. Ces mthodes sont appliques lexemple dun lment de tuyauterie soumis un gradient de temprature d la circulation dun uide. Les rsultats montrent quil est possible de mener compltement une analyse de abilit en fatigue thermique. Ils mettent en vidence que la dispersion des donnes dessais de fatigue et le coecient dchange thermique entre le uide et la structure sont les variables les plus importantes dans la abilit.

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AbstractMaterial behavior under thermal fatigue is extremely aected by numerous uncertainties. These uncertainties are due to random nature of input variables and lack of knowledge on thermal fatigue. This phenomenon concerns in particular the nuclear industry, where the structural components are subjected to thermal loading. The current nuclear design code for thermal fatigue takes into account the uncertainties by applying empirical safety margins in order to make the design conservative. This approach does not allow for a quantication of the associated risk yet. It is therefore interesting to introduce a global probabilistic framework as an alternative to the current thermal fatigue design code. This requires : to dene the probability density function of the random variables involved in thermal fatigue model, to incorporate these random variables in the design procedure to compute the random life time of the structure under consideration. The objective is to compute the lifetime probability and the eects of each uncertainty on the reliability of the structure. The proposed probabilistic approach of thermal fatigue design is based on the theory and methods of structural reliability. Two kinds of approaches are dened : a reliability analysis in the time domain, where the loading is described by a thermal time history, a reliability analysis in the frequency domain, where the loading is described by its power spectral density function. The above methods are applied on an example of pipe submitted to thermal loading due to water ow. The results show that it is possible to perform a complete reliability analysis to assess failure probability. They show also that scatter of fatigue data and the heat-transfer coecient are the most important variables in thermal fatigue reliability.

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Table des matires1 Introduction 1.1 Contexte . . . . . . . . . . 1.2 Problmatique . . . . . . . 1.3 Objectif et enjeux . . . . . 1.4 Organisation du mmoire . 1 1 1 2 3 5 5 5 6 6 7 8 8 10 11 12 13 14 15 18 20 22 23 24 25 25 27 27 27 28 28 28 29 29

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2 Dimensionnement dterministe en fatigue 2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Revue historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Principes gnraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Dmarche gnrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Modle daction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Le modle de rsistance en fatigue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Approche base sur la contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Approche base sur la dformation locale . . . . . . . . . . . . 2.4.3 Courbe moyenne de fatigue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.4 Marge de sret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.5 Eet de la contrainte moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Mthodes danalyse en fatigue sous sollicitation multiaxiale . . . . . . 2.5.1 Cycle de contrainte multiaxiale . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Critre de fatigue multiaxial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.3 Mthode danalyse en fatigue multiaxiale dans le code RCCM 2.5.4 Critre de Dang Van . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Mthode de comptage Rainow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.2 Algorithme utilis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Loi dendommagement de Miner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 Application un lment de tuyauterie . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.1 Prsentation de lexemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.2 Modle daction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.3 Loi de comportement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.4 Rsistance en fatigue du matriau . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.5 Comptage des cycles par la mthode Rainow . . . . . . . . . 2.8.6 Calcul du dommage cumul et dure de vie de la structure . . 2.9 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix

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x 3 Sources dincertitudes 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Sources dincertitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Variations du chargement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Variabilit des paramtres mcaniques de la structure . . . . . 3.2.3 Rsistance la fatigue des prouvettes testes . . . . . . . . . 3.2.4 Incertitudes sur le passage de lprouvette la structure relle 3.2.5 Estimation des paramtres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.6 Erreurs de modlisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Expression du dommage alatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Approche continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Approche discrte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 31 31 31 33 33 34 36 36 37 37 38 38 41 41 41 43 43 44 45 45 45 45 46 46 47 48 48 50 53 60 60 62 62 63 63 65 66 69 69 69 70 71 72

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4 Rsistance alatoire la fatigue 4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Principe de base du traitement statistique des donnes de fatigue . . . . . 4.3 Hypothses sur les donnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Modlisation de lesprance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Modlisation des carts rsiduels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Mthodes destimation des paramtres du modle . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Mthode classique des moindres carrs . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Mthode des moindres carrs pondrs . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.3 Mthode du maximum de vraisemblance . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Vrication des hypothses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1 Test de normalit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.2 Mesure de lajustement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Traitement statistique des donnes de fatigue . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.1 Description des donnes disponibles . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.2 Estimation des variations de lcart-type de ln(N) en fonction de Sa 4.6.3 Rsultats numriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.4 Inuence du type de rgression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.5 Inuence de la temprature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7 Fiabilit du modle dterministe de rsistance la fatigue . . . . . . . . . 4.7.1 Dure de vie dterministe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.2 Dure de vie alatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.3 Evaluation de la abilit du dimensionnement dterministe . . . . . 4.8 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Mthodes danalyse de abilit 5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Mthode de abilit [Lem05] . . . . . . . 5.3.1 Transformation isoprobabiliste . . 5.3.2 Recherche du point de conception . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xi 5.3.3 Mthode FORM . . . . . . . . . . . 5.3.4 Mthode SORM . . . . . . . . . . . 5.3.5 Tirages dimportance . . . . . . . . . 5.4 Produits de lanalyse de abilit . . . . . . . 5.4.1 Probabilit de dfaillance et indice de 5.4.2 Facteurs dimportance . . . . . . . . 5.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . abilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 76 79 81 81 82 83 85 85 85 86 88 89 90 95 96 98 99 99 100 101 102 102 104 104 106 106 108 110 112 114 116 118 120 122 124 126 126 126 127 128 131

6 Analyse de abilit en fatigue thermique 6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Problmatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Couplage mcano-abiliste dans le domaine temporel . . . . . . . . . . . . 6.4 Couplage mcano-abiliste dans le domaine frquentiel . . . . . . . . . . . 6.4.1 Dtermination de la DSP du processus de contrainte quivalente . . 6.4.2 Mthode spectrale destimation de la distribution des amplitudes de cycles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.3 Expression du dommage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Dicults rencontres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Application 7.1 Prsentation du problme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Modlisation du chargement thermique . . . . . . . . . . . 7.3 Caractrisation probabiliste de la rsistance en fatigue . . . 7.4 Description des variables alatoires dentre . . . . . . . . 7.5 Modle mcanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.1 Dans le domaine temporel . . . . . . . . . . . . . . 7.5.2 Dans le domaine frquentiel - fonction de transfert . 7.6 Dnition des dirents cas dtude . . . . . . . . . . . . . 7.7 Dommage moyen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.8 Rsultats de lanalyse de abilit . . . . . . . . . . . . . . 7.8.1 Cas dtude n 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.8.2 Cas dtude n 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.8.3 Cas dtude n 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.8.4 Cas dtude n 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.8.5 Cas dtude n 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.8.6 Cas dtude n 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.8.7 Cas dtude n 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.8.8 Cas dtude n 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.9 Discussions des rsultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.9.1 Mthodes de abilit utilises . . . . . . . . . . . . 7.9.2 Couplage temporel vs. couplage frquentiel . . . . . 7.9.3 Facteurs dimportance et lasticits . . . . . . . . . 7.10 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Conclusion

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xii A Notations A.1 Vecteurs et matrices A.2 Oprateurs . . . . . . A.3 Abrviations . . . . . A.4 Variables et fonctions 141 . 141 . 141 . 141 . 142 145 . 145 . 145 . 146 . 147 . 147 . 148 . 148 . 148 . 149

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B Mthodes de rgression B.1 Mthode des moindres carrs pondrs . . . . . . . . . . B.1.1 Estimation des paramtres . . . . . . . . . . . . . B.1.2 Matrice de covariance du vecteur des estimateurs B.1.3 Rgion de conance des paramtres . . . . . . . B.2 Mthode classique des moindres carrs . . . . . . . . . . B.3 Mthode du maximum de vraisemblance . . . . . . . . . B.3.1 Estimation des paramtres . . . . . . . . . . . . . B.3.2 Matrice de covariance du vecteur des estimateurs B.3.3 Rgion de conance des paramtres . . . . . . . .

C Notions danalyse spectrale de processus alatoires C.1 Dnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C.2 Proprits statistiques des signaux alatoires . . . . . . . . . . . . . . C.3 Algorithme de simulation de trajectoires dun processus partir de sa C.3.1 Discrtisation des domaines temporel et frquentiel . . . . . . C.3.2 Formule de simulation numrique . . . . . . . . . . . . . . . . C.4 Transformation linaire de processus alatoire . . . . . . . . . . . . . D Loi de comportement

151 . . . 151 . . . 151 DSP 153 . . . 153 . . . 154 . . . 155 157

Table des gures2.1 Dmarche gnrale du dimensionnement dterministe en fatigue thermique. 2.2 Distribution des contraintes suivant trois modes de sollicitations simples (a) la exion ; (b) la traction ; (c) la torsion. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Image du critre de Tresca dans le plan 3 = 0. . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Comparaison de la courbe contrainte relle-dformation et de la courbe contrainte conventionnelle-dformation pour les matriaux ductiles. . . . . 2.5 Reprsentation schmatique du modle de Langer. . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Allure de la courbe normalise de fatigue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Limite lastique Sy et rsistance la rupture Su du matriau. . . . . . . . 2.8 Diagramme de Goodman modi pour un nombre de cycles la rupture donn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9 Ajustement de la courbe de fatigue pour la prise en compte de leet maximum de la contrainte moyenne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10 Cycle de contrainte multiaxiale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11 Types de contraintes multiaxiales (a) proportionnelles ; (b) non proportionnelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.12 Cycle multiaxial dans le cas de contraintes non proportionnelles. . . . . . . 2.13 Illustration de la dirence entre le nombre de cycles extraits de la contrainte quivalente et le nombre rel de cycles multiaxiaux. . . . . . . . . . . . . . 2.14 Etat de contrainte constant tournant autour de la matire. . . . . . . . . . 2.15 Composantes normale et tangentielle des contraintes sur le plan physique de normale n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.16 Partie moyenne nm et alterne na (t) du vecteur contrainte tangentielle n (t) sur le plan physique de normale n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.17 Etat moyen du tenseur dviateur Sijm et tenseur dviateur altern Sija (t). 2.18 Illustration des rgles du comptage Rainow. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.19 Traduction, dans lespace contrainte-dformation, de lidentication dun cycle par le comptage Rainow. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.20 Fraction de dure de vie associe une amplitude donne dun cycle de contrainte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.21 Blocs de cycles de contrainte de mme amplitude. . . . . . . . . . . . . . . 2.22 Schmatisation dun lment de tuyauterie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.23 Squence des tempratures du uide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 9 10 10 12 12 14 14 15 16 16 17 18 21 22 23 24 24 25 26 27 27 29

3.1 Schmatisation dun processus alatoire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.1 Schma de la mthode de rgression. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 xiii

xiv 4.2 Donnes de fatigue temprature ambiante : (a) donnes initiales ; (b) donnes regroupes en classes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.3 Donnes de fatigue temprature dans lintervalle [400 C; 550 C] : (a) donnes initiales ; (b) donnes regroupes en classes. . . . . . . . . . . . . . 49 4.4 Donnes de fatigue temprature dans lintervalle [550 C; 650 C] : (a) donnes initiales ; (b) donnes regroupes en classes. . . . . . . . . . . . . . 50 4.5 Variation de lcart-type de ln(N) en fonction de S : (a) donnes temprature ambiante ; (b) donnes temprature dans lintervalle [400 C; 550 C] ; (c) donnes temprature dans lintervalle [550 C; 650 C]. . . . . . . . . . 51 4.6 Relation entre cart-type et moyenne empiriques des observations : (a) donnes temprature ambiante ; (b) donnes temprature dans [400 C; 550 C] ; (c) donnes temprature dans [550 C; 650 C]. . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.7 Rsultats de la rgression sur les donnes temprature ambiante. . . . . . 54 4.8 Test de normalit des rsidus de variance homogne (donnes temprature ambiante) : (a) droite de Henry ; (b) fonction de rpartition empirique. . . 55 4.9 Rsultats de la rgression sur les donnes temprature dans lintervalle [400 C; 550 C]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.10 Test de normalit des rsidus de variance homogne (donnes temprature dans lintervalle [400 C; 550 C]) : (a) droite de Henry ; (b) fonction de rpartition empirique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.11 Rsultats de la rgression sur les donnes temprature dans lintervalle [550 C; 650 C] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.12 Test de normalit des rsidus de variance homogne (donnes temprature dans lintervalle [550 C; 650 C]) : (a) droite de Henry ; (b) fonction de rpartition empirique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.13 Inuence de la temprature lorsque la mthode classique des moindres carrs est applique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.14 Inuence de la temprature lorsque la mthode des moindres carrs pondrs est applique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.15 Inuence de la temprature lorsque la mthode du maximum de vraisemblance est applique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.16 Moyenne et coecient de variation de la dure de vie de la structure soumise un chargement cyclique damplitude constante - (Hypothse H1). . . 64 4.17 Moyenne et coecient de variation de la dure de vie de la structure soumise un chargement cyclique damplitude constante - (Hypothse H2). . . 64 4.18 Moyenne et coecient de variation de la dure de vie de la structure soumise un chargement cyclique damplitude constante - (Hypothse H3). . . 65 4.19 Rapport en fonction de S de la moyenne de la dure de vie alatoire sur la dure de vie dterministe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.20 Fiabilit du dimensionnement dterministe par rapport aux incertitudes sur les donnes de fatigue sous les hypothses (H1), (H2) et (H3). . . . . . . . 67 5.1 5.2 5.3 5.4 Couplage mcano-abiliste. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Schmatisation de lalgorithme de couplage direct (voir [Lem05]). Exemple de pas de descente entranant le saut du minimum. . . . Illustration des itrations suivant la mthode de Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 71 74 75

xv 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 Illustration dans lespace standard de lapproximation FORM. . . . . . . Illustration dans lespace standard de lapproximation SORM. . . . . . . . Illustration de leet du paramtre dchelle . . . . . . . . . . . . . . . . Illustration de la simulation dimportance. . . . . . . . . . . . . . . . . . Exemple de domaines de dfaillance dirents ayant le mme indice de abilit de Hasofer-Lind. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.10 Cosinus directeurs du vecteur normal la surface de dfaillance au point de conception. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.10 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 . . . . 76 76 78 80

. 81 . 83 87 88 89 91 91 92 94 95 96 97 100 100 103 106

Modle mcanique dans le domaine temporel. . . . . . . . . . . . . . . . . . Modle mcanique dans le domaine frquentiel. . . . . . . . . . . . . . . . . Systme linaire une entre et une sortie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exemple de processus alatoire bande troite. . . . . . . . . . . . . . . . . Exemple de processus alatoire bande large. . . . . . . . . . . . . . . . . . Modle de Rayleigh - distribution des amplitudes de contrainte normalises pour un processus, (a) bande troite, (b) bande large. . . . . . . . . . . Modle de Zhao et Baker - distribution des amplitudes de contrainte normalises pour un processus, (a) bande troite, (b) bande large. . . . . . Modle de Dirlik - distribution des amplitudes de contrainte normalises pour un processus, (a) bande troite, (b) bande large. . . . . . . . . . . Fonction Heaviside rgularise. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nombre de cycles admissibles amplitude constante, N struct (S), rgularis. Chargement thermique 1 (fc = 20 Hz). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chargement thermique 2 (fc = 5 Hz). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Schmatisation du modle une dimension du tuyau. . . . . . . . . . . . . Fonction de transfert du modle mcanique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Comparaison entre lhistogramme des amplitudes de cycles Rainow et leur distribution suivant la formule de Dirlik : (a) cas de charge 1 ; (b) cas de charge 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cas n 1 : poids des variables dans la abilit - cas de charge 1 - k = 1 couplage dans le domaine temporel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cas n 1 : facteurs dlasticit aux moyennes et aux coecients de variation - cas de charge 1 (t) - k = 1 - couplage dans le domaine temporel. . . . . . Cas n 2 : poids des variables dans la abilit - cas de charge 1 (t) - k = 1 - couplage dans le domaine frquentiel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cas n 2 : facteurs dlasticit aux moyennes et aux coecients de variation - cas de charge 1 (t) - k = 1 - couplage dans le domaine frquentiel. . . . . Cas n 3 : poids des variables dans la abilit - cas de charge 1 (t) - k = 4 - couplage dans le domaine temporel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cas n 3 : facteurs dlasticit aux moyennes et aux coecients de variation - cas de charge 1 (t) - k = 4 - couplage dans le domaine temporel. . . . . . Cas n 4 : poids des variables dans la abilit - cas de charge 1 (t) - k = 4 - couplage dans le domaine frquentiel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cas n 4 : facteurs dlasticit aux moyennes et aux coecients de variation - cas de charge 1 (t) - k = 4 - couplage dans le domaine frquentiel. . . . .

108 110 111 112 113 114 115 116 117

7.6 7.7 7.8 7.9 7.10 7.11 7.12 7.13

xvi 7.14 Cas n 5 : poids des variables dans la abilit - cas de charge 2 (t) - k = 1 - couplage dans le domaine temporel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.15 Cas n 5 : facteurs dlasticit aux moyennes et aux coecients de variation - cas de charge 2 (t) - k = 1 - couplage dans le domaine temporel. . . . . . 7.16 Cas n 6 : poids des variables dans la abilit - cas de charge 2 (t) - k = 1 - couplage dans le domaine frquentiel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.17 Cas n 6 : facteurs dlasticit aux moyennes et aux coecients de variation - cas de charge 2 (t) - k = 1 - couplage dans le domaine frequentiel. . . . . 7.18 Cas n 7 : poids des variables dans la abilit - cas de charge 2 (t) - k = 4 - couplage dans le domaine temporel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.19 Cas n 7 : facteurs dlasticit aux moyennes et aux coecients de variation - cas de charge 2 (t) - k = 4 - couplage dans le domaine temporel. . . . . . 7.20 Cas n 8 : poids des variables dans la abilit - cas de charge 2 (t) - k = 4 - couplage dans le domaine frquentiel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.21 Cas n 8 : facteurs dlasticit aux moyennes et aux coecients de variation - cas de charge 2 (t) - k = 4 - couplage dans le domaine frquentiel. . . . .

118 119 120 121 122 123 124 125

C.1 Largeur de bande dun processus alatoire : (a) processus bande troite ; (b) processus bande large. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 D.1 Elment de tuyauterie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

Liste des tableaux2.1 Donnes gomtriques et thermomcaniques du tuyau. . . . . . . . . . . . 28

3.1 Considration des dirents eets selon divers auteurs [Col98]. . . . . . . . 35 3.2 Variabilit de lindice de Miner suivant le caractre large ou troit de la bande du processus de chargement alatoire [Mah99]. . . . . . . . . . . . . 36 4.1 Donnes rparties en classes de temprature. . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Rsultats numriques du traitement statistique des donnes temprature ambiante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Rsultats des tests de Kolmogorov appliqus aux donnes temprature ambiante regroupes en classes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Rsultats numriques du traitement statistique des donnes des tempratures dans lintervalle [400 C ;550 C]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Rsultats des tests de Kolmogorov appliqus aux donnes, des tempratures dans lintervalle [400 C ;550 C], regroupes en classes. . . . . . . . 4.6 Rsultats numriques du traitement statistique des donnes des tempratures dans lintervalle [550 C ;650 C]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7 Rsultats des tests de Kolmogorov appliqus aux donnes des tempratures dans lintervalle [550 C ;650 C] , regroupes en classes. . . . . . . . . . . 4.8 Rsum des rsultats. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 . 53 . 54 . 56 . 57 . 58 . 59 . 60

5.1 Expressions des facteurs dimportance pour des variables alatoires indpendantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Proprits des deux cas de charge considrs. . . . . . . . . . . . . . . . . Valeurs des paramtres du modle de rsistance la fatigue. . . . . . . . Description des variables alatoires dentre 130 C. . . . . . . . . . . . Cas dtude considrs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dommage total moyen pour les dirents cas de charge. . . . . . . . . . . Cas n 1 : indice de abilit et probabilit de dfaillance - cas de charge 1 - k = 1 - couplage dans le domaine temporel. . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7 Cas n 2 : indice de abilit et probabilit de dfaillance - cas de charge 1 - k = 1 - couplage dans le domaine fruentiel. . . . . . . . . . . . . . . . q 7.8 Cas n 3 : indice de abilit et probabilit de dfaillance - cas de charge 1 - k = 4 - couplage dans le domaine temporel. . . . . . . . . . . . . . . . . 7.9 Cas n 4 : indice de abilit et probabilit de dfaillance - cas de charge 1 - k = 4 - couplage dans le domaine fruentiel. . . . . . . . . . . . . . . . q xvii 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 . . . . . 100 101 102 107 107

. 110 . 112 . 114 . 116

xviii 7.10 Cas n 5 : indice de abilit et probabilit de dfaillance - cas de charge 2 - k = 1 - couplage dans le domaine temporel. . . . . . . . . . . . . . . . . 7.11 Cas n 6 : indice de abilit et probabilit de dfaillance - cas de charge 2 - k = 1 - couplage dans le domaine fruentiel. . . . . . . . . . . . . . . . q 7.12 Cas n 7 : indice de abilit et probabilit de dfaillance - cas de charge 2 - k = 4 - couplage dans le domaine temporel. . . . . . . . . . . . . . . . . 7.13 Cas n 8 : indice de abilit et probabilit de dfaillance - cas de charge 2 - k = 4 - couplage dans le domaine fruentiel. . . . . . . . . . . . . . . . q 7.14 Comparaison des indices de abilit suivant le couplage temporel ou frquentiel - le numro du cas dtude est indiqu en exposant dans chaque cas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.15 Comparaison des poids dans la abilit des variables alatoires - couplage mcano-abiliste dans le domaine temporel. . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.16 Comparaison des poids dans la abilit des variables alatoires - couplage mcano-abiliste dans le domaine frquentiel. . . . . . . . . . . . . . . . .

. 118 . 120 . 122 . 124

. 126 . 127 . 128

Chapitre 1 Introduction1.1 Contexte

Si la fatigue des structures soumises des chargements mcaniques est marque par de nombreuses incertitudes, la fatigue cause par des chargements dorigine thermique lest encore plus. Les sollicitations thermiques, qui font intervenir par exemple des phnomnes thermohydrauliques, ont en eet des origines qui demeurent aujourdhui encore mal connues [Sud04a]. Les mthodes dvaluation des contraintes thermiques, passant par la phase intermdiaire danalyse du transitoire thermique, ajoutent des incertitudes supplmentaires la fatigue thermique [Mer95]. La fatigue thermique est dnie par Spera [Spe76] comme la dtrioration progressive et ventuellement la ssuration du matriau par lalternance de rchauement et de refroidissement au cours de laquelle la dilatation du matriau est partiellement ou compltement bloque. Les centrales nuclaires, qui gnrent de llectricit en transfrant notamment de lnergie calorique, soumettent leurs composants des uctuations de chargement dorigine thermique. Certains composants comme les aubes de turbine et les tuyauteries, sont donc susceptibles de connatre un endommagement par fatigue thermique. Il est donc important de prendre en compte ce phnomne ds la conception. Dans le but de mieux comprendre la fatigue thermique et damliorer le dimensionnement suivant ce mode de dfaillance, de nombreuses recherches sont actuellement menes dans plusieurs laboratoires et galement au dpartement MMC de EDF. Nos travaux ont t eectus au Laboratoire de Mcanique et Ingnieries (LaMI) de lUniversit Blaise Pascal et de lInstitut Franais de Mcanique Avance en collaboration avec Electricit de France.

1.2

Problmatique

La description du comportement en fatigue des structures est complexe notamment pour les raisons suivantes : La fatigue est dcrite suivant deux phases principales distinctes, savoir, lamorage dune ssure et sa propagation. Mais la limite entre ces deux phases nest pas clairement dnie et dpend de la taille de la structure considre et de la nature des chargements appliqus [Mer95]. De plus, les mcanismes associs ces deux tapes 1

2 Introduction de la fatigue ne sont pas uniques, mais dpendent des cas rencontrs. Le comportement en fatigue est inuenc de manire signicative par de nombreux facteurs. Les zones dirrgularit gomtrique amplient les niveaux de contrainte. La temprature altre les proprits du matriaux. Ltat de surface aecte la rpartition des microssures la surface de la pice. Lenvironnement, de par sa chimie, peu acclrer lendommagement par fatigue des structures. Lvolution du chargement est souvent complexe. Elle peut tre alatoire et instationnaire. Les donnes dessais de fatigue disponibles prsentent une forte dispersion mme pour des expriences bien contrles. Ceci montre que le phnomne de fatigue relve de facteurs alatoires. Il manque encore beaucoup de donnes sur le comportement en fatigue des matriaux. Ainsi, le comportement en fatigue des structures est aect par de nombreuses sources dincertitudes. De plus, dans le cas particulier de la fatigue thermique, des incertitudes supplmentaires sont introduites. Dans la dmarche adopte actuellement dans lindustrie nuclaire pour dimensionner les structures en fatigue thermique [ASM69], les incertitudes sont prises en compte individuellement en appliquant des marges de scurit chacun des paramtres intervenant dans la modlisation du comportement en fatigue. Le choix des valeurs de ces marges repose sur des considrations empiriques et sur le jugement dexperts. Il vise couvrir les incertitudes sur les variables de sorte que le dimensionnement soit rendu conservatif. Par exemple, la grande dispersion sur les donnes dessais de fatigue est traite en appliquant la courbe mdiane de fatigue des facteurs qui couvrent 95% des prouvettes rompues. Mme si les marges de scurit ont un contenu statistique, elles ne renseignent pas sur le risque de dfaillance en fatigue li aux choix eectus. Autrement dit, elles permettent de juger qualitativement de la sret du dimensionnement en se basant sur lexprience et la connaissance des phnomnes mis en jeu, mais elles ne chirent pas la abilit du dimensionnement retenu. Pour ces raisons, il parat intressant dintroduire un cadre probabiliste global au dimensionnement des structures en fatigue thermique. Cela consiste intgrer, dans la description du comportement en fatigue thermique des structures, les incertitudes sur les direntes variables en les reprsentant par des variables alatoires. On peut esprer ainsi valuer le risque li au scnario de dfaillance en fatigue.

1.3

Objectif et enjeux

Lobjectif des travaux prsents dans ce mmoire est de dvelopper une approche probabiliste du dimensionnement en fatigue thermique des structures intgrant toutes les incertitudes qui aectent le comportement de la structure considre. Cette approche doit sappuyer sur les modles et les rgles adopts dans le code de dimensionnement des composants des centrales nuclaires en les tendant en contexte alatoire. La fatigue est aujourdhui clairement considre comme un phnomne soumis des facteurs alatoires. Par consquent, aborder le dimensionnement en fatigue thermique par une approche probabiliste apparat cohrent. De cette manire on est capable de quantier les incertitudes sur les dures de vie des structures par le calcul par exemple de moyennes et dcarts-types, mais aussi de chirer le risque li au dimensionnement retenu. On peut

Organisation du mmoire 3 ainsi mieux apprcier les marges de scurit introduites dans la dmarche actuelle de dimensionnement. De plus, en introduisant des incertitudes dans la description du comportement en fatigue thermique, il est possible den estimer les eets sur la abilit. Ceci peut permettre de dterminer les besoins en matire de meilleure connaissance des paramtres les plus inuents. Enn, lapproche probabiliste du dimensionnement permettra denrichir le code de dimensionnement en fatigue en lui apportant terme un contenu probabiliste. Lapproche probabiliste propose pour dimensionner des structures en fatigue thermique est base sur le principe du couplage mcano-abiliste. Il consiste coupler un modle stochastique, contenant la description probabiliste des variables alatoires du problme, et un modle mcanique, reprsent par la procdure dvaluation dune fonction de performance qui dcrit ltat dfaillant ou non de la structure tudie. Cela requiert de caractriser les direntes variables alatoires du problme et dtre capable dvaluer la fonction de performance pour une ralisation de lensemble de ces variables. Il existe aujourdhui une thorie complte sur le couplage mcano-abiliste [Lem04]. Mais cette thorie a t dveloppe principalement pour des problmes de mcanique alatoire en statique. Il sagit ici dappliquer ces mthodes au problme de la fatigue thermique.

1.4

Organisation du mmoire

Dans le deuxime chapitre, les lments de base du dimensionnement actuel des structures en fatigue thermique sont prsents. On insiste particulirement sur la dmarche utilise dans lindustrie nuclaire. Cette dmarche est illustre sur lexemple dun lment de tuyauterie soumis un gradient de temprature. Dans le troisime chapitre, les direntes sources dincertitude aectant le comportement en fatigue sont numres. On en explique les origines et on propose des modles probabilistes pour les dcrire. Le dommage par fatigue, qui devient alatoire du fait de ces incertitudes, est ensuite exprim suivant deux formulations quivalentes sous certaines hypothses. Le quatrime chapitre sattache particulirement aux incertitudes sur les donnes de fatigue dont dpend la caractrisation de la rsistance en fatigue. On propose une mthode de caractrisation probabiliste de la rsistance en fatigue partir dun traitement statistique des donnes dessais de fatigue. Les rsultats de cette caractrisation sont utiliss pour estimer la abilit de la courbe de rsistance dterministe par rapport aux incertitudes sur les donnes de fatigue. Le cinquime chapitre est consacr un rappel des notions de base de lanalyse de abilit, notamment son principe, les mthodes auxquelles elle fait appel ainsi que les dirents rsultats quelle produit. Le sixime chapitre montre comment les mthodes danalyse de abilit sont utilises pour dimensionner les structures en fatigue thermique. Deux approches duales sont proposes : une mthode dans le domaine temporel et une mthode dans le domaine frquentiel. On explique, en outre, les dicults rencontres dans la mise en uvre de ces mthodes. Le septime chapitre est destin une application de la mthode propose. On considre lexemple dun lment de tuyauterie soumis un gradient de temprature pour lequel on mne une analyse de abilit complte.

4 Introduction Enn, le dernier chapitre est ddi aux conclusions et aux perspectives des travaux eectus.

Chapitre 2 Dimensionnement dterministe en fatigue2.12.1.1

IntroductionRevue historique

Une brve revue historique de la fatigue donne un horizon gnral de ce concept et montre comment ont t dveloppes les ides de base qui lui sont associes. La prise de conscience de la fatigue commence rellement au milieu du dix-neuvime sicle avec lavnement des chemins de fer dans le centre de lEurope en pleine rvolution industrielle. Plusieurs accidents dramatiques se sont produits sur les voies ferres dans cette priode et, dans de nombreux cas, ils taient dus des ruptures par fatigue daxes, dattelages et de rails [Sch96]. Mme si le terme de fatigue est dj employ bien avant, cest Whler (1858) [Woh58] qui apporte les bases du dimensionnement en fatigue. Il ralise les premiers essais de fatigue sur des axes de chemins de fer et montre partir dun diagramme S-N comment quantier la rsistance en fatigue. Les travaux de Whler ont t ensuite tendus la prise en compte de linuence de la contrainte moyenne par Gerber puis plus particulirement par Goodman qui dveloppe une thorie simple sur cette question. En 1900, avec lapparition des microscopes optiques, on peut examiner nement le processus dapparition dune ssure. Elle commence ds les premiers cycles de sollicitations par la formation de bandes de glissement supercielles qui se multiplient au fur et mesure de la rptition du chargement, et produisent des bandes persistantes dbouchant sur lapparition de microssures. En 1924, Gough [Gou24] montre les eets combins de la exion et de la torsion en fatigue (fatigue multiaxiale). En 1945, Miner [Min45] formule une loi linaire de cumul du dommage en fatigue suggre auparavant par Palmgreen et qui est communment appele aujourdhui rgle de Palmgreen-Miner. Ltude, dans les annes 60, des eets des dformations plastiques sur la fatigue donne de nouvelles orientations aux thories sur la fatigue. Il en rsulte en particulier les mthodes bases sur la dformation dcouvertes par Manson et Con [TC59]. Depuis les annes 60, ces mthodes sont devenues prpondrantes dans certains domaines industriels. Paralllement, les bases de la mcanique de la rupture sont poses par Grith [Gri20] (1920) qui introduit le facteur dintensit de contrainte. Des dveloppements ultrieurs sont apports par Paris 5

6 Dimensionnement dterministe en fatigue [PE63], qui montre que la croissance de la longueur de ssure est bien dcrite par le facteur dintensit de contrainte. Dans les annes qui ont suivi, dautres progrs sont raliss dans la connaissance du processus de fatigue, notamment en ce qui concerne leet de lenvironnement. Toutefois, notons que les concepts de base associs au dimensionnement en fatigue ont tous t dvelopps avant les annes 70.

2.1.2

Principes gnraux

Les dnitions de la fatigue des pices mtalliques varient selon les auteurs. Citons Bathias [BB97] qui dnit la fatigue ou lendommagement par fatigue comme la modication progressive des proprits du matriau conscutive lapplication de cycles de contrainte, cycles dont la rptition peut conduire la rupture des pices constitues de ce matriau. Lintensit des contraintes reste en gnral nettement infrieure la limite lastique du matriau, mais cest la suite de lapplication dun nombre important de cycles quune ssure macroscopique peut tre produite et provoquer la ruine dune structure. Ainsi, le dimensionnement en fatigue des structures ne fait pas intervenir uniquement des charges extrmes, mais les eets cumuls de lensemble du chargement tout au long de la vie de la structure [JJ93]. Le critre de ruine dune structure nest pas unique et est li notamment aux deux grandes tapes du processus de fatigue, lamorage et la propagation [Bol98]. La dfaillance en rapport avec ltape damorage dune ssure se dnit comme le temps ncessaire lapparition dune ssure macroscopique. Associe ltape de propagation, la dfaillance survient lorsque la ssure dpasse une longueur limite dnie lavance [BM90]. Dans notre cas, la mthode de dimensionnement en fatigue est associe ltape damorage dune ssure macroscopique. Cette mthode est dterministe et consiste relier lhistorique du chargement la rsistance en fatigue du matriau pour estimer la dure de vie. Pour cela, un ensemble de modles est dni en fonction du type de chargement considr, de la modlisation de la rsistance en fatigue du matriau et de lenvironnement des structures tudies. Aussi, suivant le type dindustrie, on rencontre une mthode de dimensionnement avec des modles spciques. Dans cette tude, nous nous intressons plus particulirement au dimensionnement en fatigue thermique de composants mcaniques des lots nuclaires. Deux codes sont en gnral utiliss : le code amricain ASME en sa section III [ASM69] et le code franais RCCM [Col00]. Lobjectif de ce chapitre est de dcrire la dmarche gnrale de dimensionnement dterministe des structures soumises la fatigue, en insistant particulirement sur la pratique dans lindustrie nuclaire. Cette mthode est ensuite illustre sur un exemple simple, celui dun lment de tuyauterie soumis aux variations dun chargement thermique.

2.2

Dmarche gnrale

La mthode de dimensionnement en fatigue thermique des composants dun lot nuclaire comprend les lments suivants (Figure 2.1) : la dnition dun modle daction sur une priode reprsentative de lhistorique du chargement ;

Modle daction 7

modle d'action

amplitudes des cycles de contrainte

modle de rsistance en fatigue

loi de comportement lastique rgle de Miner

tenseur de contrainte

rduction du tenseur de contrainte en une grandeur scalaire quivalente (cisaillement maximum)

dommage cumul, D

rgle de dimensionnement D 0 pour atteindre le minimum.v

u

2

fonction objectif du problme d'optimisation u

u(k) u(k+1)

Fig. 5.3 Exemple de pas de descente entranant le saut du minimum. La convergence de lalgorithme dAbdo-Rackwitz se traduit par latteinte simultane de deux tolrances. La premire, note H , concerne la fonction de performance et le critre de convergence associ se traduit par : (k) H u (5.25) /H(u(0) ) < H

La seconde, note , porte sur lindice de abilit et le critre de convergence correspondant scrit : (k+1) (k) < (5.26)

Mthode de fiabilit [Lem05] 75

(v)

v(k+2) v v(k+1) v(k)

v

Fig. 5.4 Illustration des itrations suivant la mthode de Newton.

La non convergence de lalgorithme est caractrise par le dpassement dun nombre admissible ditrations. On remarque, daprs ce qui prcde, que la rsolution du problme doptimisation (5.11) requiert que la fonction de performance H(u) soit direntiable voire deux fois direntiable pour la mise en uvre de la plupart des algorithmes. La distance entre le point de conception u et lorigine de lespace standard est, par dnition, lindice de abilit dHasofer-Lind, not HL [HL74]. Connaissant le point de conception u , on peut maintenant appliquer les mthodes dapproximation FORM /SORM et la simulation dimportance an dvaluer la probabilit de dfaillance.

5.3.3

Mthode FORM

Cette mthode approxime le domaine de dfaillance par un demi-espace dlimit par un hyperplan tangent la surface dtat-limite au point de conception (Figure 5.5). Du fait de la symtrie de rvolution de la distribution multinormale norme, la probabilit de dfaillance est simplement approche par :

Pf ()

(5.27)

Notons que cette mthode fournit un rsultat exact lorsque ltat-limite est linaire dans lespace standard. Elle devient imprcise lorsque la fonction de performance est fortement non linaire au voisinage du point de conception ou lorsquil existe des minimums secondaires signicatifs.

76 Mthodes danalyse de fiabilit

Fig. 5.5 Illustration dans lespace standard de lapproximation FORM.

5.3.4

Mthode SORM

Fig. 5.6 Illustration dans lespace standard de lapproximation SORM. La mthode SORM consiste approcher la surface dtat-limite par une surface quadratique (Figure 5.6). Pour cela, on eectue un dveloppement de Taylor de la fonction de performance lordre deux au point de conception u . La probabilit de dfaillance est alors approche par le contenu probabiliste de lhyperquadrique ainsi obtenue. La probabilit de ce domaine quadratique est calcule par deux formules : la formule de Tvedt [Tve90], qui fournit le rsultat exact du contenu probabiliste du domaine quadratique ;

Mthode de fiabilit [Lem05] 77 la formule de Breitung [BH89] qui part du constat que la probabilit de dfaillance est en gnral trs faible (indice de abilit grand) et value cette probabilit laide dune analyse asymptotique. Formule de Tvedt La formule de Tvedt est obtenue par le raisonnement suivant. On part du dveloppement de Taylor lordre deux de la fonction de performance au point de conception : HS (u) = T (u u ) + (u u )T B (u u ) o = u H ku Hk 1 2H 1 B = 2 ku Hk ui uj u (5.28)

On applique ensuite une rotation orthonormale R (matrice de changement de base) au vecteur U de telle sorte que la n-ime colonne du vecteur rsultant Y (Y = R U) ait la direction de . Le dveloppement de Taylor (5.28) devient, dans la nouvelle base : HS (y) = yn + o e y yn T A e y yn (5.29)

Notons que :

e y = (y1 , ..., yn1 ) A = R B RT e e HS (u) 0 est quivalente yn + yT A0 y 0 (5.30)

o A0 est la sous-matrice de dimension n 1 de A forme par les n 1 premires colonnes et les n 1 premires lignes. Le domaine de dfaillance est alors aisment dcrit par la variable m donne par : e e m = yn yT A0 y (5.31) En appliquant nouveau une rotation orthonormale qui diagonalise la matrice A0 , m scrit sous forme canonique :0 m = yn +

1X 0 i yi 2 i=1n1

2

(5.32)

On note que les i correspondent aux courbures principales de la surface dtat-limite au point de conception. Sous cette forme, la variable m apparat comme une fonction de variables gaussiennes centres rduites et indpendantes, puisque les yi sont obtenues partir des ui par simple rotation de la base. On peut donc dterminer la fonction caractristique de m en fonction des fonctions caractristiques des yi (la fonction caractristique

78 Mthodes danalyse de fiabilit dune variable est la transformation de Fourier de sa densit de probabilit). On obtient ensuite la densit de probabilit de m en inversant cette fonction caractristique. On peut alors valuer exactement la probabilit du domaine quadratique, qui scrit [Rac01] : Z

1 1 Pf = 2

0

# n1 1X sin m + tan1 (i m) 2 i=1

"

m

"n1 Yi=1

exp 1 m2 2

(1 + 2 m2 ) i

#1/4 dm

(5.33)

Formule de Breitungu2

u*

u0*1

H(u ,) = 0

H0(u) = 0 u1

Fig. 5.7 Illustration de leet du paramtre dchelle . Cette formule est base sur une analyse asymptotique. Supposons tout dabord que le point de conception soit unique. Considrons la fonction de performance H0 (u) obtenue partir de la fonction de performance H(u) du problme par une homothtie qui ramne la distance minimale de H0 (u) lorigine de lespace lunit (Figure 5.7). Lindice de abilit associ la fonction de performance H0 (u) vaut un et on note u le point de 0 conception associ H0 . Considrons ensuite la famille de fonctions {H(u, )} indexes par le paramtre et dnies par : H(u, ) = H0 ( 1 u) (5.34)

Par construction, les fonctions H(u, ) admettent respectivement un seul point de conception u = u et la distance minimale de ces fonctions lorigine vaut . Le contenu 0 probabiliste du domaine de dfaillance Df = {u|H(u, ) 0} scrit : Pf = Prob (Df ) = Z n (u) du = (2 )n/2

Df

Z

kuk2 exp 2 H(u,)0

!

du

(5.35)

Mthode de fiabilit [Lem05] 79 En faisant le changement de variable yi = 1 ui , i = 1, ..., n, on obtient : ! Z 2 kyk2 n/2 n Pf = (2 ) dy exp 2 H0 (y)0

(5.36)

Sous cette forme on peut appliquer lapproximation asymptotique de lintgrale de Laplace. Les dtails de cette approximation ne sont pas exposs ici, mais le lecteur les trouvera dans larticle de Breitung [BH89]. On montre en particulier que lorsque tend vers linni, Pf tend vers le contenu probabiliste du domaine de dfaillance correspondant au dveloppement de Taylor lordre deux de la surface dtat-limite. Pf scrit alors simplement par : 1/2 1 (5.37) Pf ' () det V o ku k V = I V0 ku Hk 2 H ; i, j = 1, ..., n 1 avec V0 = ui uj un1 Y i=1

En appliquant une rotation orthonormale adquate et aprs quelques manipulations algbriques, on obtient nalement : Pf () (1 + i )1/2 (5.38)

lorsque 1 et i < 1 pour tout i. Cette expression apparat comme le produit de lapproximation FORM par un facteur de correction fonction des courbures principales au point de dfaillance le plus probable. Dans la formule (5.38), il est admis que lorigine de lespace standard appartient au domaine de sret (H(0) > 0). Si cette condition nest pas vrie, le raisonnement prcdent doit tre appliqu au problme complmentaire, qui consiste estimer Prob(H(u) > 0). La formule de Breitung (5.38) est plus limite dans son application que la formule de Tvedt (5.33). En eet, la formule de Breitung prsente une singularit lorsquune courbure principale = 1/. De plus elle nest valable que lorsque tend vers linni. En pratique, est considr grand quand il est suprieur 2. Notons, enn, que ces deux approximations paraboliques de la probabilit de dfaillance ne dpendent pas de la formulation de la fonction de performance pourvu que celle-ci conserve la nature du domaine de dfaillance. Ceci vient du fait que ces deux formules ne dpendent que des proprits gomtriques de la surface dtat-limite, savoir la position du point de conception et les courbures principales de la surface dtat-limite en ce point.

5.3.5

Tirages dimportance

La simulation dimportance est une mthode de simulation ecace pour estimer la probabilit de dfaillance. En eet, la simulation de Monte-Carlo standard requiert un

80 Mthodes danalyse de fiabilitsurface d'tat-limite H(u) = 0

u2

P*

domaine de dfaillance

O u1

Fig. 5.8 Illustration de la simulation dimportance. nombre important de ralisations pour obtenir la probabilit de dfaillance avec une bonne prcision. Ceci vient du fait que pour de faibles probabilits de dfaillance, les tirages qui entranent la dfaillance sont rares. Ainsi, un nombre important de ralisations est ncessaire pour obtenir susamment de tirages associs la dfaillance. Suite ces considrations, la simulation dimportance a t introduite an de gnrer des tirages qui conduisent plus frquemment la dfaillance et permettent de gagner plus dinformation sur le domaine de dfaillance. Cette mthode consiste, ainsi, eectuer les tirages autour du point de dfaillance le plus probable (Figure 5.8). Elle fournit une estimation sans biais de la probabilit de dfaillance Pf et a lavantage de donner une estimation de la variance de lestimation obtenue. On introduit la fonction (u), dite densit dimportance. Celle-ci doit tre choisie judicieusement. On peut par exemple la prendre gale la densit multinormale rduite centre au point de conception u . ku u k n/2 (u) = (2 ) exp (5.39) 2 Dans ce cas particulier, pour simuler u suivant la densit (u), on gnre dabord une variable multinormale centre rduite ur et on eectue le changement de variable u = ur + u . Pf scrit alors sous la forme : Pf = Z U (u) du = Z U (u) (u) du (u) (5.40)

H(u)0

H(u)0

Notant 1{H(u)0} la fonction indicatrice du domaine de dfaillance, lexpression (5.40) devient : Z (u) Pf = (u)du (5.41) 1{H(u)0} n (u) IRn

Produits de lanalyse de fiabilit 81 ce quon interprte comme lesprance dune certaine fonction de u par rapport la densit dimportance : n (u) Pf = E 1{H(u)0} (5.42) (u) On peut alors valuer cette quantit par simulation de Monte-Carlo. En utilisant K ralisations du vecteur alatoire u = (u1 , ..., un )T , on obtient :K (u(i) ) 1 X Pf = 1(H(u(i) )0) U (i) K i=1 (u )

(5.43)

Cette mthode peut tre considre comme exacte dans le sens o elle produit le rsultat exact quand le nombre de simulations est inni.

5.45.4.1

Produits de lanalyse de abilitProbabilit de dfaillance et indice de abilit

Fig. 5.9 Exemple de domaines de dfaillance dirents ayant le mme indice de abilit de Hasofer-Lind. La probabilit de dfaillance est dnie par lexpression (5.5). Une premire estimation de lindice de abilit est donne par Hasofer et Lind [Mel99], comme la distance dans lespace standard de lorigine au point de conception u . Toutefois, cette dnition ne permet pas toujours de relier directement la valeur dun indice de abilit au contenu probabiliste du domaine de dfaillance associ. En particulier, on peut avoir plusieurs domaines de dfaillance dirents qui ont le mme indice de abilit comme le montre la gure 5.9. Ainsi, la dnition de lindice de abilit de Hasofer-Lind, on prfre celle plus formelle dnie par Ditlevsen [Dit79] : Z ! = 1 (Pf ) = 1 U (u) du (5.44)Df

On introduit en particulier lindice gnralis SORM lorsque Pf est approxime par la mthode SORM.

82 Mthodes danalyse de fiabilit

5.4.2

Facteurs dimportance

Dans le cas de lapproximation FORM, les expressions de ces sensibilits se rduisent des formules simples [Lem05] (tableau 5.1). Notons que lexpression de la sensibilit aux coordonnes x donne dans ce tableau nest valable que lorsque les variables alatoires i Xi sont indpendantes. Lorsquelles sont corrles cette expression devient : x |x = SX JT (5.46)

Le terme facteurs dimportance regroupe les sensibilits de lindice de abilit certains paramtres, notamment : les variables alatoires du problme ; les coordonnes du point de conception dans lespace physique ; les paramtres des distributions des variables, notamment la moyenne et le coecient de variation ; les paramtres de la fonction de performance. Ces facteurs permettent didentier les sources dincertitudes les plus importantes dans la abilit. Dune manire gnrale, la sensibilit sr de lindice de abilit par rapport au paramtre r est donne par : sr = (5.45) r P

o J est le jacobien de la transformation isoprobabiliste et SX la matrice diagonale des b b carts-types de la variable X dnie par : x = J1 (u u ) + x [Lem05]. sensibilit de lindice de abilit aux variables alatoires ui aux coordonnes x i aux paramtres pi des distributions aux paramtres ai de H(u) expression = i ui u X Tj (x) = j xi xi x j X T (x ,p) = j jpi pi x j 1 = kH(u,a)k H(u,a) ai aiu

Tab. 5.1 Expressions des facteurs dimportance pour des variables alatoires indpendantes. Les sensibilits aux variables alatoires du problme sont donnes par les cosinus directeurs qui sont les composantes i de la normale lhyperplan tangent au point de dfaillance le plus probable u (Figure 5.10). En particulier, lorsque les variables Xi sont indpendantes, le signe des i renseigne sur la nature des variables correspondantes. Dans ce cas, lorsque i est positif, la variable ui est de type "sollicitation" puisquune augmentation de ui entrane une diminution de la abilit. En revanche, quand i est ngatif, la variable ui est de type "rsistance" car une augmentation de cette variable implique une augmentation de la abilit. Notons toutefois que la nature sollicitante ou rsistante de la variable nest pas intrinsque mais dpend de la fonction de performance choisie. Les valeurs des sensibilits ne sont pas exploitables pour comparer entre eux les eets sur la abilit des variations des variables et des paramtres. On introduit alors les facteurs

Conclusion 83

u2

H(u) = 0

1

domaine de dfaillance

2u1

Fig. 5.10 Cosinus directeurs du vecteur normal la surface de dfaillance au point de conception. dlasticit er qui permettent de mesurer limportance relative de ces grandeurs dans la abilit. Ils sont obtenus en normalisant les sensibilits sr de la manire suivante : er = r r sr = r (5.47)

o r reprsente la variable ou le paramtre considr. On a notamment : r = er r (5.48)

On voit partir de lexpression prcdente (5.48) que er indique de quel facteur lindice est ampli lorsque le paramtre r varie. Les facteurs dlasticit par rapport aux variables alatoires Ui du problme valent 2 et permettent de classer ces variables suivant i leurs poids respectifs dans la abilit. Les variables dont les poids abilistes sont ngligeables pourront tre considres comme dterministes. Les facteurs dlasticit sur les paramtres des distributions constituent des indicateurs importants pour le dimensionnement, notamment ceux associs la moyenne et au coecient de variation. Ces facteurs permettent donc didentier pour chaque variable le paramtre de la distribution le plus inuent sur la abilit. En particulier, llasticit la moyenne indique limpact sur la abilit dincertitudes sur la moyenne de la variable considre. Ainsi, elle instruit quant la valeur retenir pour cette variable en conception. De mme, llasticit au coecient de variation correspond au poids dans la abilit de lincertitude sur la dispersion dune variable. Notons que llasticit au coecient de variation est toujours ngative puisquune augmentation de la dispersion est toujours dfavorable la abilit. Si cette lasticit est importante, on peut envisager de rduire la dispersion de la variable en ralisant un contrle qualit en fabrication quand cela est possible.

5.5

Conclusion

Lanalyse de abilit permet dvaluer les indices de abilit et les probabilits de dfaillance associs un scnario de dfaillance. Il existe aujourdhui une thorie complte

84 Mthodes danalyse de fiabilit sur ce point. Celle-ci fournit des outils (mthode dapproximation FORM /SORM et tirages dimportance) permettant dvaluer simplement la probabilit de dfaillance. Mieux, lanalyse de abilit fournit les facteurs dimportance qui sont les poids des paramtres du problme dans la abilit. Ces dernires grandeurs sont un indicateur important pour le concepteur dans la mesure o elles permettent de voir le sens dans lequel varie la abilit suivant les variations des paramtres. En particulier, les lasticits aux direntes variables alatoires donnent une classication de ces variables, ce qui permet didentier les variables alatoires signicatives pour la abilit et, le cas chant, de supposer dterministes les variables de poids ngligeable. Quant aux lasticits par rapport aux moyennes, elles renseignent sur les dimensionnements retenir tandis que les lasticits par rapport aux coecients de variation peuvent orienter si possible le contrle qualit.

Chapitre 6 Analyse de abilit en fatigue thermique6.1 Introduction

La mthode actuelle de dimensionnement en fatigue thermique des composants du nuclaire est dterministe (chapitre 2). Cependant, comme cela a t not au chapitre 3, le phnomne de fatigue, qui est aect par de nombreuses sources dincertitudes, est fondamentalement alatoire. Il est donc plus cohrent dutiliser des mthodes probabilistes pour tudier la tenue des structures en fatigue thermique. Lobjectif de ce chapitre est de proposer un dimensionnement probabiliste en fatigue thermique bas sur les modles utiliss dans le dimensionnement dterministe. La dmarche adopte consiste intgrer dans la modlisation du comportement en fatigue les incertitudes sur les variables dentre, qui sont reprsentes par des variables alatoires. Dans ce cas, la tenue en fatigue est caractrise par la probabilit de dfaillance de la structure considre. Cette probabilit est value suivant le principe du couplage mcano-abiliste dcrit au chapitre 5. Deux approches du couplage mcano-abiliste sont considres, savoir un couplage dans le domaine temporel et un couplage dans le domaine frquentiel. Ce chapitre est organis comme suit. Dans la premire section, la problmatique du dimensionnement en fatigue est pose. Les deux sections suivantes sont consacres la prsentation du couplage mcano-abiliste dans le domaine temporel et dans le domaine frquentiel respectivement. Enn, dans la dernire section, les dicults relatives la mise en uvre de ces mthodes sont exposes.

6.2

Problmatique

La problmatique du dimensionnement probabiliste en fatigue se formule de la manire suivante. On se xe une dure de vie admissible en service et on cherche valuer la probabilit de dfaillance en fatigue sur cette dure. Cette probabilit est estime suivant le principe du couplage mcano-abiliste. Celui-ci requiert, notamment, la dnition dune fonction de performance G(x), o x reprsente une ralisation du vecteur des variables alatoires du problme, et la donne de la loi conjointe fX (x) du vecteur X compos des 85

86 Analyse de fiabilit en fatigue thermique variables alatoires du problme. Soit N(x) le nombre de cycles la rupture. Si on xe N0 , le nombre de cycles en service vise pour la structure considre, la dfaillance se produit lorsque N(x) est infrieur N0 . En vertu des conventions qui dnissent le domaine de dfaillance comme le domaine o la fonction de performance est ngative ou nulle, la fonction de performance G(x) associe au dimensionnement probabiliste en fatigue scrit : G(x) = N(x) N0 En divisant cette expression (6.1) par N(x), elle peut tre rcrite sous la forme : G(x) = 1 D(N0 , x) (6.2) (6.1)

o D(N0 , x) = N0 /N(x) est le dommage total en fatigue gnr par N0 cycles selon la rgle de Miner. Dans notre tude, on admet que la modlisation du comportement en fatigue est exacte. On ne tient donc pas compte des incertitudes sur les modles adopts. Ds lors, les paramtres du modle de rsistance la fatigue, en particulier la limite dendurance, sont dterministes. De mme, lindice de la loi de Miner est suppos non biais, dterministe et gal un. Enn, la loi de comportement lastique utilise pour gnrer le champ de contrainte dans la structure, ainsi que le critre multiaxial de fatigue et le comptage Rainow sont supposs ne contenir aucune incertitude. Les seules variables alatoires sont les variables dentre du problme. Le chargement est reprsent par un processus alatoire. La rsistance la fatigue du matriau, dnie par le nombre de cycles admissibles sous sollicitation damplitude Sa constante, est dcrite par une variable alatoire dont les caractristiques dpendent de Sa . Par ailleurs, les marges de scurit appliques la rsistance en fatigue du matriau pour tenir compte de lenvironnement spcique des structures du nuclaire, sont dnies comme des variables alatoires. Enn, les dimensions gomtriques et les proprits thermomcaniques du matriau sont donnes par des variables alatoires. En pratique, il sut de connatre les lois marginales de toutes ces variables et leur matrice de corrlation pour appliquer la mthode de couplage mcano-abiliste.

6.3

Couplage mcano-abiliste dans le domaine temporel

Dans cette approche, pour valuer la fonction de performance, les calculs sont mens dans le domaine temporel. Le modle mcanique associ cette approche est schmatis sur la gure 6.1. On part dune ralisation des variables alatoires du problme. En particulier, une ralisation du processus de chargement est donne par une trajectoire sur la dure de vie en service T0 considre. On commence par calculer le champ de contrainte Sij (x, t) au point le plus sollicit de la structure. Le critre de Tresca est ensuite utilis pour rduire le tenseur de contrainte une contrainte scalaire quivalente S(x, t), sur laquelle on applique le comptage Rainow pour dterminer les amplitudes de cycles {Sk (x), k = 1, ..., Nc }, o Nc est le nombre total de cycles Rainow de la squence considre. Les amplitudes Sk (x) sont ensuite relies au modle de rsistance en fatigue pour obtenir les nombres N struct (Sk (x), x) de cycles admissibles amplitude constante gale

Couplage mcano-fiabiliste dans le domaine temporel 87trajectoire du chargement (t,x)

proprits thermomcaniques dimensions de la structure

amplitudes de contrainte {Sk(x)}

modle alatoire de rsistance en fatigue Nstruct (Sa,x)

0

T0 t

modle mcaniquechamp de contrainte, Sij(t,x)

rgle de Minerdommage lmentaire

rduction du tenseur de contrainte en une grandeur scalaire quivalente, S(t,x) (cisaillement maximum) comptage Rainflowamplitudes de contrainte {Sk(x)}, k = 1,..., Nc

d ( S k (x)) =dommage total sur la dure T0

N

struct

1 ( S k (x), x)1 ( Sk (x), x)

D(T0 , x) = k

N

struct

fonction de performance

G (T0 , x) = 1 D(T0 , x)

Fig. 6.1 Modle mcanique dans le domaine temporel. Sk (x). On en dduit les dommages lmentaires puis le dommage total de fatigue sur la dure T0 , qui scrit : Nc X 1 (6.3) D(T0 , x) = struct (S (x), x) N k k=1

Il sagit, en fait, de lapproche discrte (section 3.3.2) destimation du dommage de fatigue. Considrons prsent le cas particulier de la gnration de ralisations du processus alatoire de chargement. On peut ramener la simulation des trajectoires la gnration de variables alatoires. En eet, lorsque le processus est suppos gaussien stationnaire (hypothse faite dans cette tude) il existe des mthodes de simulation de trajectoires de processus qui dpendent dun certain nombre de variables alatoires. Les variables alatoires dont dpend la discrtisation du processus peuvent alors tre considres comme des donnes dentre du problme. Dans cette tude, la mthode de simulation de trajectoires de processus est dcrite en annexe C. Elle consiste dabord gnrer judicieusement une squence de coecients de Fourier Ck dont les amplitudes dpendent de la densit spectrale du processus tandis que leurs phases respectives sont des variables alatoires de distribution uniforme, puis appliquer une transforme de Fourier inverse la squence des coecients Ck pour obtenir la trajectoire du chargement. On peut donc considrer les phases des coecients Ck comme des donnes dentre. Toutefois, dans le cas particulier des processus stationnaires et lorsque le nombre de cycles est grand, il a t dmontr [SGL03] que lala sur le chargement a un eet ngligeable sur la variabilit du dommage de fatigue. Par consquent, on peut se contenter de considrer un chargement dterministe

88 Analyse de fiabilit en fatigue thermique reprsent par une de ses trajectoires sur la dure de service T0 (suppose susamment grande). En conclusion, si on dispose des lois probabilistes de lensemble des variables alatoires, on est capable de les coupler au modle mcanique dni dans le domaine temporel (Figure 6.1). Cette approche parat naturelle et consiste valuer la fonction de performance en utilisant directement la procdure propose dans le code de dimensionnement dterministe.

6.4

Couplage mcano-abiliste dans le domaine frquentiel

Fig. 6.2 Modle mcanique dans le domaine frquentiel. Dans cette approche, pour valuer la fonction de performance, les calculs sont mens dans le domaine frquentiel. Cette approche sappuie sur les mthodes spectrales de dimensionnement en fatigue de structures soumises des chargements alatoires stationnaires. Ces mthodes sont dveloppes dans le but destimer la dure de vie en fatigue dune structure partir de paramtres statistiques dcrivant le processus alatoire de contrainte rsultant du chargement alatoire. Les paramtres statistiques requis sont des caractristiques spectrales du processus. Sous lhypothse de stationnarit, le chargement est dcrit par sa densit spectrale de puissance (DSP), qui est une quantit dterministe. Le modle mcanique associ cette approche est schmatis sur la gure 6.2. On part

Couplage mcano-fiabiliste dans le domaine frquentiel 89 du chargement dni par sa DSP, note W (), tant la pulsation exprime en radians par seconde. Puis on estime successivement : la DSP du processus de contrainte quivalente ; la distribution des amplitudes de cycles ; le dommage total de fatigue.

6.4.1

Dtermination de la DSP du processus de contrainte quivalente

(t,)

systme

S(t,)

Fig. 6.3 Systme linaire une entre et une sortie. Les contraintes dans la structure sont calcules sous lhypothse dun comportement lastique du matriau, requise dans le dimensionnement en fatigue des matriels dlots nuclaires. Sous cette hypothse, le problme est alors modlis comme un systme physique linaire avec en entre la temprature (t, ) et en sortie le champ de contrainte S(t, ) dans la structure (Figure 6.3). Lorsque lentre du systme (t) est une fonction dterministe du temps, le systme est caractris par sa rponse impulsionnelle, z(t), et on a : Z N S(t) = z(t) (t) = z(t)(t )d (6.4) N0

o est loprateur produit de convolution. Lorsque lentre du systme (t, ) est un processus alatoire stationnaire, la sortie S(t, ) est aussi un processus alatoire stationnaire du fait de la linarit du systme. Si on considre W () et WS () les densits spectrales de puissance respectives de (t, ) et S(t, ), on dmontre quelles sont relies par la formule [Pri81] : WS () = |F T ()|2 W () (6.5)

o F T (), appele fonction de transfert du systme, est la transforme de Fourier de la rponse impulsionnelle z(t) : Z F T () = z(t) ej d (6.6)0

Le dtail de cette dmonstration est prsent en annexe C. Si ltat de contrainte est tridimensionnel, la fonction de transfert est une matrice. Dans ce cas, les critres multiaxiaux de fatigue sont traduits dans le domaine frquentiel. Il existe dans la littrature des formulations spectrales de critres multiaxiaux de fatigue. En particulier, Pitoiset et Preumont [PP00] ont formul dans le domaine frquentiel deux types de critres, notamment des critres bass sur les invariants des contraintes (approche globale) et des critres de type plan critique. Cependant, la connaissance de lauteur, il

90 Analyse de fiabilit en fatigue thermique nexiste pas de formulation spectrale de la contrainte quivalente de Tresca utilise dans le code RCCM. Connaissant la DSP du processus de contrainte quivalente, il sagit prsent dextraire de ce processus les cycles de contrainte. Mais la contrainte tant alatoire, les amplitudes des cycles deviennent elles aussi alatoires. On cherche donc estimer la densit de probabilit fS (Sa ) de ces amplitudes.

6.4.2

Mthode spectrale destimation de la distribution des amplitudes de cycles

On prsente ici les principales mthodes spectrales pour estimer la distribution des amplitudes des cycles Rainow fS (Sa ). Les caractristiques de base dun processus sont dnies partir de ses moments spectraux. Le moment spectral, mi , dordre i est dni comme suit : Z + i WS () d (6.7) mi =

Les caractristiques spectrales les plus importantes dans lanalyse de fatigue sont celles qui donnent des indications sur la largeur de bande du processus. On en identie deux dans la littrature. Le premier est le facteur dirrgularit, not I. Il reprsente le rapport entre le nombre moyen par unit de temps de passages par zro pente positive et le nombre moyen par unit de temps de maximums et vaut : m2 I= (6.8) m0 m4 Le facteur dirrgularit I est compris entre 0 et 1. Le processus est dit bande troite lorsque I est proche de 1, il est dit bande large quand I est proche de 0. Lautre paramtre de largeur de bande souvent utilis est not et vaut :2

=1

m2 2 = 1 I2 m0 m4

(6.9)

Sur les gures 6.4 et 6.5 sont reprsents des exemples de processus de contrainte respectivement bande troite et large. Ces processus sont des pseudo bruits blanc de moyennes nulles et dcarts-types identiques gaux 100 MPa. Le processus bande troite a une frquence centrale de 20 Hz, une largeur de bande de 2 Hz et son facteur dirrgularit vaut 0, 99. Le processus bande large est de frquence centrale nulle, de largeur de bande valant 20 Hz et son facteur dirrgularit est 0, 74. La premire approche spectrale pour estimer la loi des amplitudes de contrainte est attribue Bendat [Ben64]. Il montre, dans le cas particulier des processus idalement bande troite, que les pics du signal sont directement suivis par un minimum local de mme amplitude et forment avec celui-ci un cycle de contrainte. Ayant not que les pics dun processus bande troite suivent une loi de Rayleigh, il en dduit que les amplitudes des cycles de contrainte suivent aussi une loi de Rayleigh. Et en utilisant les quations de Rice [Ric54], il en dduit que la distribution des amplitudes Sa de cycles de contrainte est donne par lexpression : fS (Sa ) = f Ray (Sa ) =2 a Sa 2 Sm 0 e m0

(6.10)

Couplage mcano-fiabiliste dans le domaine frquentiel 91

Fig. 6.4 Exemple de processus alatoire bande troite.

Fig. 6.5 Exemple de processus alatoire bande large. o m0 est le moment spectral dordre zro (variance) du processus. La gure 6.6 confronte les histogrammes des amplitudes de contrainte normalises issues des deux exemples de processus (processus bande troite ou large) et les distributions donnes par le modle de Rayleigh. Notons que les amplitudes sont obtenues en appliquant la mthode de comptage Rainow une trajectoire simule partir des DSP des processus avec 217 pas de temps sur une dure de 1000 s. On vrie que le modle de Rayleigh sajuste lhistogramme des amplitudes de cycles Rainow pour le processus bande troite, mais est compltement dcal pour le processus bande large. Dans la ralit, les processus sont rarement bande troite. En associant un cycle chaque pic de contrainte, la loi de Rayleigh propose par Bendat devient exagrment conservative pour la plupart des processus rencontrs dans la ralit. An de dterminer des distributions plus ralistes damplitudes des cycles de contrainte Rainow, dautres modles spectraux sont proposs. Ces modles dvelopps notamment pour lindustrie oshore amliorent le modle de Rayleigh en le multipliant par un facteur de correction semi-empirique. On peut citer en exemple le modle de Wirsching et Light [WL80] qui proposent le facteur de correction suivant : fS (Sa ) = W L f Ray (Sa ) W L = a(c) + [1 a(c)] (1 )b(c)

(6.11) (6.12)

92 Analyse de fiabilit en fatigue thermique

f (S )0.6 0.4 0.2 0

(a)

f (S )0.6 0.4 0.2 0

(b)

0

0.5 1

1.5 2

2.5

3

3.5

4

0 0.5 1

1.5 2 2.5 3 3.5 4

S

m0

S

m0

Fig. 6.6 Modle de Rayleigh - distribution des amplitudes de contrainte normalises pour un processus, (a) bande troite, (b) bande large. o c est lexposant de lamplitude de contrainte dans lexpression de la courbe moyenne de fatigue dnie suivant le modle de Basquin :c modle de Basquin : N(Sa ) = K Sa

(6.13)

et a(c) = 0, 926 0, 033 c b(c) = 1, 587 c 2, 323 (6.14) (6.15)

est le paramtre de largeur de bande dni par lexpression (6.9). On note, en particulier, que ce modle suppose que la courbe moyenne de fatigue est dcrite par un modle de Basquin, adopt en gnral dans loshore. Ceci rend ce modle propre cette industrie. Plus gnralement, les modles introduisant un facteur semi-empirique de correction du modle de Rayleigh sont trs spciques au type dindustrie pour lequel ils ont t dvelopps [Hal99]. Une alternative pour dnir un modle plus gnral est propose par Zhao et Baker [ZB92]. Les auteurs montrent que la densit de probabilit des amplitudes des cycles de contrainte Rainow issus dun processus de contrainte alatoire stationnaire peut tre approxime par une combinaison linaire dune loi de Weibull et dune loi de Rayleigh. De plus, les coecients de la combinaison linaire ainsi que les paramtres de ces lois sexpriment en fonction du facteur dirrgularit I (Eq. 6.8). La distribution fS (Sa ) des amplitudes des cycles de contrainte Rainow scrit alors sous la forme : fS (Sa ) = a1 f W eib (Sa ) + a2 f Ray (Sa ) o a1 et a2 sont des constantes et : f W eib (Sa ) = a b f Ray (Sa ) = Sa m0 b1 " b # (6.16)

exp a

Sa m0

(6.17) (6.18)

2 a Sa 2 Sm 0 e m0

Couplage mcano-fiabiliste dans le domaine frquentiel 93 a et b sont les paramtres de la loi de Weibull. Notons que dans les deux distributions de Weibull et de Rayleigh, lamplitude de contrainte Sa est normalise en la divisant par son cart-type (qui est la racine carre de sa variance m0 ). Par ailleurs, puisque lintgrale de la fonction densit de probabilit fS (Sa ) de la variable Sa de zro linni vaut un : Z fS (Sa ) dSa = 1 (6.19)0

on a a1 + a2 = 1. On peut donc se contenter dun seul coecient de combinaison w et rcrire lexpression (6.16) sous la forme : fS (Sa ) = w f W eib (Sa ) + (1 w) f Ray (Sa ) (6.20)

Pour dterminer les paramtres a et b de la loi de Weibull et le coecient de combinaison w, les auteurs de cette approche utilisent les critres suivants : 1. la forme de fS (Sa ) doit approcher lhistogramme des amplitudes des cycles de contraintes obtenus par la mthode Rainow ; 2. les moments des amplitudes de contrainte distribues suivant fS (Sa ) doivent tre trs voisins des moments des amplitudes de contrainte simules par la mthode Rainow. A partir dtudes thoriques sur la distribution des pics dans un processus et laide de simulations sur une grande varit de DSP, les expressions suivantes sont obtenues pour les paramtres a, b et w : 1I 1 + 1 a1/b b

w = 1

a = 87 I 1, 1 si I < 0, 9 b = 1, 1 + 9 (I 0, 9) si I 0, 9

q

(6.21) (6.22) (6.23)

2

o est la fonction gamma. Le modle de Zhao et Baker [ZB92] se rvle prcis pour un grand nombre de DSP, notamment les DSP de formes simples. Mieux, ce modle a lavantage dtre trs simple puisquil ne dpend que du facteur dirrgularit du processus. La comparaison du modle de Zhao et Baker aux simulations Rainow (Figure 6.7), montre que ce modle est plus raliste lorsque le processus est bande large. Notons quil concide exactement avec le modle de Rayleigh dans le cas de la bande troite. Mais le modle le plus abouti pour estimer la distribution des amplitudes des cycles extraits par mthode Rainow partir des caractristiques spectrales du processus de contrainte est celui donn par Dirlik [Dir85]. Il propose une formule empirique base sur une tude approfondie des simulations Rainow. Cette formule dpend uniquement de quatre moments spectraux du processus de contrainte, savoir, m0 , m1 , m2 et m4 . Le nombre de cycles Rainow dtendue comprise entre S et S + dS est donn par : n(S) = E [MT ] T0 p(S) (6.24)

94 Analyse de fiabilit en fatigue thermique

f (S )0.6 0.4 0.2 0

(a)

f (S )0.6 0.4 0.2

(b)

0

1

2

3

4

0

0

1

2

3

4

S

m0

S

m0

Fig. 6.7 Modle de Zhao et Baker - distribution des amplitudes de contrainte normalises pour un processus, (a) bande troite, (b) bande large. o E[MT ] est le nombre moyen de pics par unit de temps et vaut : 1 E [MT ] = 2 r m4 m2 (6.25)

et p(S) est la probabilit dextraire un cycle dtendue S. Cette probabilit est donne par lquation : 2 Z 1 D1 Q D2 Z Z 22 Z p(S) = e + e 2R + D3 Z e 2 2 m0 Q R2 avec :2 2 (xm 2 ) 1 D1 + D1 ; D2 = ; D3 = 1 D1 D2 1 + 2 1R r 2 m1 m2 m2 xm D1 xm = ; = ; R= 2 m0 m4 m0 m4 1 D1 + D1 1, 25 ( D3 D2 R) S Q = ; Z= D1 2 m0

D1 =

(6.26)

La gure 6.8 met en vidence ladquation entre le modle de Dirlik et les simulations des amplitudes des cycles Rainlow pour les deux exemples de processus considrs (Figures 6.4 et 6.5). De plus, aprs une comparaison approfondie des approches spectrales couramment utilise, Bouyssy et al. [BNR93] concluent que la formule de Dirlik est la plus satisfaisante en terme de prcision. Par consquent, cest cette formule qui est utilise dans notre analyse. Indiquons, par ailleurs, que la formule de Dirlik est utilise dans lindustrie et implmente dans des logiciels de fatigue commercialiss par nCode International Ltd [Hal99].

Couplage mcano-fiabiliste dans le domaine frquentiel 95

f (S )0.6

(a)

f (S )0.8 0.6

(b)

0.4

0.4 0.2 0

0.2

0

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

S

m0

S

m0

Fig. 6.8 Modle de Dirlik - distribution des amplitudes de contrainte normalises pour un processus, (a) bande troite, (b) bande large.

6.4.3

Expression du dommage

Ayant not que la formule de Dirlik fournit la distribution p(S) des cycles dtendue S, on montre aisment que la distribution des cycles damplitude Sa = S/2 vaut : 1 fS (Sa ) = p(S) 2 (6.27)

ainsi, le nombre de cycles Rainow damplitude comprise entre S et S + dS sur la dure de service T0 scrit : n(Sa ) dSa = T0 E [MT ] fS (Sa ) dSa (6.28) En appliquant la rgle de Miner, le dommage lmentaire d DT provoqu par les cycles damplitude dans lintervalle [Sa ; Sa + dSa ] vaut donc : d DT = n(Sa ) dSa T0 E [MT ] fS (Sa ) dSa = struct (S ) N N struct (Sa ) a (6.29)

o N struct (Sa ) dnit la rsistance en fatigue du matriau de la structure tudie et est donn par le nombre de cycles sous sollicitation cyclique damplitude constante gale Sa . Le dommage total de fatigue sur la dure de service T0 est obtenu en intgrant la relation (6.29) sur le domaine de variation de Sa : Z Z n(Sa ) dSa E [MT ] fS (Sa ) dSa DT (x) = = T0 (6.30) struct (S ) N N struct (Sa ) a 0 0 Notons que cette approche value le dommage sous sa formulation continue (section 3.3.1). On est ainsi capable dvaluer le dommage de fatigue et par consquent la fonction de performance pour une ralisation de lensemble des variables alatoires dentre du problme. On peut donc utiliser ce schma bas sur une approche spectrale comme modle mcanique dans notre analyse de abilit.

96 Analyse de fiabilit en fatigue thermique

6.5

Dicults rencontres

1. La premire dicult est relative la rgularit de la fonction de performance. En eet, les algorithmes les plus couramment utiliss pour rechercher le point de conception sur la surface dtat-limite font appel au calcul de drives dordre un voire dordre deux de la fonction de performance. Ceci implique que la fonction de performance doit tre au moins continment drivable sur son domaine de dnition. Dans notre cas, le nombre de cycles la rupture de la structure, N struct (Sa , ), sous sollicitation damplitude constante Sa , scrit : ( N1 (Sa , ) = 1 e(Sa )+(Sa ) () si Sa > Scrit N struct p N (Sa , ) = ( S Sa )+( S Sa ) () p N2 (Sa , ) = e p si SD / S < Sa Scrit p (6.31) Il a une drive discontinue au point Scrit qui dlimite les domaines de faible et grand nombre de cycles. La fonction de performance nest donc pas drivable sur tout son domaine de dnition. Pour lever cette insusance, on peut rgulariser N struct (Sa , ) en utilisant une fonction de rgularisation [Sud04b]. En particulier, on prend la fonction Heaviside rgu