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Université Paris Dauphine Année 2008-2009
Département MIDO C.Hess
Master d’Actuariat (2ème
année)
Théorie du Risque et Réassurance
Projet de Réassurance
Nom : NGUYEN Sujet N° 19
Prénom : Anh Tuan
2
Table des matières
1. Présentation générale et Descriptions des traitements à effectuer
1.1 Rappels sur le modèle composé
1.2 Lois du nombre de sinistres
1.3 Lois du coût de sinistres
1.4 Type du contrat.
2. Algorithmes, techniques et résultats de simulations
2.1 Simulation de nombre de sinistres (N suit une loi Géométrique généralisée de paramètres
a et � GG (a, �))
2.2 Simulation de lois de coût de sinistre (le montant de coût individuel de sinistre suit une loi
Pareto de paramètres �� et α
2.3 Simulation de coût total de sinistre.
3. Calculs des résultats obtenu par simulation MC et par des méthodes déterministes:
3.1 Les primes pures, les primes techniques du cédant et du réassureur simulées
3.2 Comparaison les valeurs obtenues avec les valeurs théoriques (ou valeurs approchées
obtenues par les méthodes déterministe).
3.2 Evaluation le coût de la réassurance pour l’assureur direct.
4. Construction des intervalles de confiance pour des valeurs estimées et l’étude de convergence
des estimateurs.
4.1 Intervalles pour les moyennes empiriques
4.2 Intervalles pour les variances empiriques, ainsi que les écart-type empiriques
4.3 Intervalles pour les primes estimées.
5. Estimation des lois empiriques
6. Annexe
3
1.Présentation générale et Descriptions des traitements à effectuer.
Le numéro du sujet à traiter est 19
1.1 Rappels sur le modèle composé
On considère un groupe de risques sur une période fixée, et on se place dans le cadre du modèle
composé. Le montant total cumulé des sinistres sur cette période s’écrit
� � ∑ �� Si N >0, 0 sinon.
N : représente le nombre de sinistres survenus pendant la période considérée.
C : La variable aléatoire parente « coût de sinistre ».
Le modèle s’est placé sous les trois hypothèses habituelles :
(i) Indépendante fréquente/coût
(ii) Indépendante et équidistribution des coûts de sinistres,
(iii) Pas de sinistre de coût nul.
On se place dans la situation où les lois de N et de C ont été identifiées et où leurs paramètres ont
été estimés.
Dans le cadre du projet, on étudie le cas où :
1.2 Lois du nombre de sinistres
Le nombre de sinistre N est de loi géométrique généralisée de paramètres ϴ et a, noté GG(a,ϴ)
Les probabilités individuelles de N s’écrivent
�� � ��� � 0� � 1 � � �� �� � ��� � �� � ��� �1 � �� � � 1
La fonction génératrice des moments de N:
����� � ��exp����� � �� # ��1 � �� $%& '$%& pour � ( )* �
L’espérance mathématiques et la variance sont données respectivement par
���� � ��1 � � �� +�,��� � ���1 # � � ����1 � ��- .
Remarque : lorsque a=1, la loi géométrique généralisée se réduite à la loi géométrique G(�).
4
1.3 Lois du coût de sinistres
La variable du coût C de sinistre suit une loi Pareto de paramètres �� et / ��,��� , /� dont la
fonction de répartition F est donné par
1��� � 2 1 � �343 �5 �6 � � �� 0 �6 � ( �� 7 Où �� et / sont des nombres strictement positifs. Le moment d’ordre k de cette loi existe si et
seulement si k< /. Donc
Si / > 1 ��� � 534 '5 et si / > 2 +�,�� � 5348�5'-��5' �8
1.4 Type du contrat. On considère un contrat de réassurance en excédent de sinistre de priorité s et de plafond par
sinistre9. Si un sinistre de coût C se produit, son coût pour la cédante après réassurance est
:��, 9� � min��, � # max�0, � 9�. Pour le réassureur, le coût est
”��, 9� � min�9 � �, @���0, � ��� . La part globale de la cédante a pour expression
�:��, 9� � ∑ :�� ��, 9�
Et celle du réassureur
�”��, 9� � ∑ ”�� ��, 9�
On ajoute en plus au traité de réassurance la clause suivante : la part du réassureur sera plafonnée à � qui est appelé l’agrégat-plafond. Autrement dit, la part de la cédante devient
A:��, 9, �� � �:��, 9� # max�0, �”��, 9� � ��. Et celle du réassureur
A”��, 9, �� � min ��, �”��, 9�� .
On prend � � ���”� # 2σ��”�
Les égalités suivantes sont toujours vérifiées :
� � C �
� � �:��, 9� # �”��, 9� � A:��, 9, �� # A”��, 9, �� .
Les primes pures et les primes techniques sont déterminées par les formules suivantes :
5
La prime pure E(X) et la prime technique D��� � ���� # EF���
La prime pure de réassurance ��A”) et la prime techniques DG�A”� � ��A”� # HF�A”� .
Les valeurs numériques : δ = 1.5 et ε = 2.5
Les paramètres de loi géométrique généralisée � =0,51 et � =0,98
Les paramètres de loi Pareto �� = 100 et α = 2.3
La priorité du contrat pour chaque sinistre s = 1050 et le plafond w = 1700
2. Algorithmes, techniques et résultats de simulations
2.1 Simulation de nombre de sinistres
L’algorithme de la simulation de la lois du nombre de sinistres N ~ GG(a,ϴ) repose sur le lemme
suivante :
Lemme : soient � , �-,… �J des nombres réels tous différents et soit � , �-,…, �J des nombres
réels positifs tels que :∑ �J� . On pose �� = 0 et pour tout 1 K � K * ,sM � ∑ ��� .
Soit U une variable aléatoire de lois uniforme U([0,1]) et
� � C ��J
�� 1�NOPQRSTNO�
Alors X est une variable aléatoire de loi discrète � � � E3 # �-E3- # U �JE3J .
La démonstration du lemme s’obtient aisément par le fait que l’on ait : �V1�NOPQRSTNO� � 1W � �� .
La génération de réalisation aléatoire d’une loi GG(a,ϴ) peut s’obtenir à travers l’algorithme décrit
comme suit :
On génère d’abord une réalisation aléatoire de loi uniforme r= rand ;
P = ��� � 0� � 1 � � ; k=1 ;
X = P+ ��� �1 � �� ; Si r < P alors la réalisation de loi GG(a,ϴ) sera 0 ;
Sinon tant que les inégalités PK , ( X ne sont pas vérifiées on affecte :
P= X;
k= k+1 ;
X=P+ ��� �1 � �� ;
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On fait tourner la boule tant que jusqu’au moment où un nombre k vérifiant PK , ( X .
Le nombre k obtenu est bien une réalisation aléatoire d’une loi GG(a,ϴ) .
Fin de l’algorithme.
Le code implémentant l’algorithme sous Matlab est placé en annexe
function result = GeoGen(a,theta) .
On crée en suite une fonction SimulGeoGen(n,a,theta) qui a pour but de simuler n réalisations
aléatoires indépendantes de loi GG(a,ϴ) .
En exécutant le code sous Matlab par l’instruction N=SimulGeoGen(20000,a,theta);
On obtient une vecteur contient 20000 réalisations * , *- , … , * … , *-���� dont la moyenne empirique de l’échantillon *�ZZZ � J ∑ * -����� � 25,3997
et la variance empirique ��- � J ∑ �* � *�ZZZ�--����� � 1863,3
qui sont proches de leurs valeurs théoriques de N
���� � ^$ '$ � 24,99 et +�,��� � ^$� a$'^$�� '$�8 � 1849,5
2.2 Simulation de lois de coût de sinistre
Il s’agit d’une loi Pareto de paramètres �� et α, qui a pour fonction de répartition
1��� � 2 1 � �343 �5 �6 � � �� 0 �6 � ( �� 7
La simulation de cette loi utilise l’inverse de la fonction de répartition :
1' �c� � ��� 'd�Qe pour 0 K c ( 1
On sait que si f suit une loi uniforme sur [0,1], alors 1' �f� suit la même loi que la variable C
admettant 1 comme fonction de répartition.
Donc l’algorithme de génération d’une réalisation aléatoire de loi ��,��� , /� est relativement
simple :
On génère d’abord une réalisation de loi uniforme r = rand ;
La réalisation aléatoire de loi ��,��� , /� s’obtient en évaluant l’expression ��� 'G�Qe
Fin de l’algorithme.
Le code en annexe a pour l’entête function result = Pareto(x0,alpha) .
7
En faisant une génération d’un nombre k=20000 réalisations aléatoire de loi ��,��� , /�
( on fait appelle à la fonction SimulPareto(n,x0,alpha) ) on obtient un échantillon simulé de façon
indépendante : g , g- , … , g … , g-���� dont la moyenne empirique est :
g�h � J ∑ g -����� � 176.3995 i ��� � 534 '5 = 176,9231
La variance empirique de l’échantillon ��-�� � J ∑ �g � g�h �--����� � 28895 qui diffère de la
variance théorique +�,�� � 5348�5'-��5' �8 � 45365 , cette différence liée au fait de l’épaisseur de la
queue de la distribution de loi ��� , /� , il faut que le nombre de simulations soit plus grand pour que
ces deux valeurs s’approchent .
2.3 Simulation de coût total de sinistre.
Le montant cumulé des sinistres s’effectue comme suite :
-Simuler k=20000 réalisations indépendantes de N soit * , *- , … , *j … , *-���� -puis, pour j allant de 1 à k, on simuler *j réalisations indépendante de C soit gj, , gj,- , … , gj,� La fonction écrite sous Matlab implémentant cette simulation a pour l’en-tête
function result = MatriceCout(N,x0,alpha) .
Cette fonction crée une matrice contenant les valeurs simulées gj, , gj,- , … gj, … , gj,Jk pour 1 K l K �
En disposant une telle matrice simulée on peut calculer les k réalisations indépendants de X soit
�j � ∑ j,Jk� pour 1 K l K �
A titre exemple , en effectuant les instructions suivantes sous matlab :
N=SimulGeoGen(20000,a,theta);
C= MatriceCout(N,x0,alpha);
sum(C(1,:))
ans =
1.9495e+004
On observe que la première réalisation de X est � � 19495
3. Calculs des résultats obtenu par simulation MC et par des méthodes
déterministes:
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3.1 Les primes pures, les primes techniques du cédant et du réassureur simulées
On dispose la matrice C ,créé par la fonction MatriceCout(N,x0,alpha), contenant les simulations
indépendantes gj, pour 1 K l K � , 1 K 6 K *j .
On calcule en suite les valeurs estimées par la Méthode Monté Carlo :
-en l’absence de la réassurance :
la prime pure ��ZZZ � � ∑ � -����� comme une réalisation de l’estimateur de ����
la prime technique DZ��� � ��ZZZ # E m��-��� estimant D��� � ���� # EF���
la prime pure de réassurance n"�ZZZZ � � ∑ n" -����� estimant ��A”�
la prime technique DZG�A”� � n"�ZZZZ # E m��-�A”� comme une réalisation de l’estimateur de
DG�A”� � ��A”� # HF�A”�.
Pour ce but on écrite la fonction function result = CoutTotal(s,w,N,C) qui envoie comme résultat une
matrice 5 ligne dont chacune contient respectivement les k=20000 réalisations de �, �p, �”, Ap, A”.
En suite on crée la fonction function result = PrimesMonteCarlo(T,delta,epsi) qui calcule les valeurs
de primes .
Le détail de cette fonction se trouve en annexe.
En faisant exécuter les instructions
T=CoutTotal(s,w,N,C);
Resultat=PrimesMonteCarlo(T,delta,epsi);
>> Resultat
Resultat =
1.0e+004 *
0.4496 1.6058 0.0043 0.0466 0.0026 0.0255
On récupère les valeurs obtenues par simulation :
Sans recours à la réassurance Contrat de réassurance sans
l’agrégat p
Contrat de réassurance avec
l’agrégat p ���� D���� ���� # EF���
���”� DG��”� � ���”�# HF��”�
��A”� DG�A”� � ��A”�# HF�A”�
4496 16058 43 466 26 255
9
3.2 Comparaison les valeurs obtenues avec les valeurs théoriques (ou valeurs approchées
obtenues par les méthodes déterministe).
La moyenne empirique des 20000 réalisations de coût total ��ZZZ � � ∑ � -����� � 4495,8 qui est
comparable à la moyenne mathématiques ���� � ������� � 24,99 x 176,9231 = 4421,3 .
La variance empirique : ��-��� � � ∑ �� � ��ZZZ�- � 5.9416� # 007-�����
La variance théorique : +�,��� � ����+�,�� # +�,�����-� � 5.9027� # 007
La prime technique obtenue par simulation : DZ��� � ��ZZZ # E m��-��� �1605,8
La prime théorique: D��� � ���� # EF��� � 15946
On constate que les valeurs théoriques et les valeurs obtenues par la méthode de simulation de
Monté Carlo sont assez proches pour les primes d’assurance directe.
Calcul des moments théoriques de C ” , r” , s” :
La variable aléatoire ”��, 9� se définie : ”��, 9� � 1�Cu��min �C � s, w � s� .
”��, 9� prend donc des valeurs dans l’intervalle w0, 9 � �x ; La connaissance de la fonction de répartition 1y de C détermine entièrement la loi de ”��, 9�
1y”�c� � z 1y��� �6 c � 01y�c # �� �6 0 ( c ( 91 � 1y�9� �6 c � 9 � �7 � �
Détermination des moments de ”��, 9� :
On se place dans le cas où ~��,��� , /� ,
Sous réserve que le moment d’ordre � de ”��, 9� existe, il s’écrit donc :
�V”�W � { c�|}� 1y”�c� � 0. 1y��� # { c�|}'~� 1y�c # �� # �9 � ����1 � 1y�9�)
En effectuant le changement de variable � � c # � on a :
�V”�W � ��� � ���|}~
1y��� # �9 � ����1 � 1y�9� �
A ce stade on remarque que si la fonction 1y��� est continue (et donc borné) sur le compact w�, 9x,
alors l’intégrale { �� � ���|1y���}~ ( ∞ .
10
Autrement dit le moment d’ordre � de ”��, 9� existe pour tous � entier positif. C’est le cas où �� ( � et ~��,��� , /� de fonction de répartition :
1y��� � 2 1 � �343 �5 �6 � � �� 0 �6 � ( �� 7
Dans le but de calculer explicitement les moments de ”��, 9� on commence à calculer :
�j � { �j|}~ 1y��� � { /��5�j'5' |� � 534ej'5}~ w�9�j'5 � �j'5x pour l � 0, 1, 2, 3, …. Come �� � ��� � C ��j� �j�����'j�
j�� , On en déduit que :
��� � ���|}~
1y��� � � � ��l � �j�����'j�
j�� |}
~1y��� � � ��l � �����'j
�
j��� �j�
N d1y���
� � ��l � �����'j�
j�� �j
Finalement le moment d’ordre k de ”��, 9� s’exprime come suit :
�V”�W � �9 � ���V1 � 1y�9�W # � ��l � �����'j�
j�� �j
En particulier pour � � 1 :
• ��”� � �9 � ��V1 � 1y�9�W # � � �V1y�9� � 1y���W
� � 2: • ��”-� � �9 � ��-V1 � 1y�9�W # �- � 2�� # �-V1y�9� � 1y���W
• +�,�”� � ��”-� � ��”�- � � 3
• ��”�� � �9 � ���V1 � 1y�9�W # �� � 3��- # 3�-� � ��V1y�9� � 1y���W
• µ��”� � ��”�� � 3��”-���”� # 3��”�-��”� � ����
Les moments d’ordre de 1, 2 et 3 de �”��, 9� � ∑ ”�� ��, 9� en déduit facilement (en
appliquant les résultats du cours):
11
• ���”� � ������”�
• ���”-� � ���-���”�- # ����+�,�”�
• +�,��”� � ����+�,�”� # +�,�����”�-
• µ���”� � ����µ��”� # 3+�,�����”� # µ������”��
Application numérique : pour 9 � 1700 , � � 1050 , �� � 100 , / � 2,3 On trouve les valeurs
théoriques suivantes :
• ��”� � 1,6843
• ��”-� � 894,65
• +�,�”� � 891.813
• ��”�� � 526750
• µ��”� �522239
• ���”� � 42,09
• ���”-� � 26453,36
• +�,��”� � ����+�,�”� # +�,�����”�- � 24681.8
• µ���”� � ����µ��”� # 3+�,�����”� # µ������”��
• L’agrégat –plafond est donc : � � ���”� # 2σ��”� � 356,3
Calcul des moments de s” :
A”��, 9, �� � minV�, �”��, 9�W � �1��”�� � # �” 1��”R� � . Si on désigne 1�” comme la fonction de répartition de ” , on a :
��A”� � �V1 � 1�”���W # � �|1�”�� ���
��A”-� � �-V1 � 1�”���W # � �-|1�”�� ���
L’intégration par partie permet d’écrire :
��A”� � � � � 1�”�� ���|�
��A”-� � �- � 2�1�”��� # 2 � 1�”�� ���|�
A priori on ne peut pas déterminer 1�” explicitement, par contre on peut utiliser l’approximation
d’Edgeworth :
On pose � � ���”� F � F��”� � � ����”���
D’autre part on désigne par ф et ψ respectivement la fonction de répartition et de densité de la loi
normale centrée réduite, et pour tout réel � positive on pose c � 3'��
12
L’approximation d’Edgeworth à l’ordre 2 qui s’écrit :
1�”��� � ф�c� � �1� �c- � 1 ���c� On utilise ensuite des méthodes d’intégration numérique (trapèze) en recourant au logiciel … afin de
déterminer la quantité { 1�”�� ���|� Par cette procédure, on obtient les moments d’ordre 1 et 2 de A” de façon approché et
déterministe.
��A”� � U . . �� ��A”-� … On compare ensuite ces valeurs avec celles obtenues par la méthode Monte Carlo.
Valeurs obtenues par MC Valeurs obtenues par une
méthode déterministe ���� 4495,8 4421,3 D��� � ���� # EF��� 16058 15946 ���”� 43 42,09 � � ���”� # 2σ��”� 381,5 356,3 ��A”� 26,4 DG�A”� � ��A”� # HF�A”� 255
3.2 Evaluation le coût de la réassurance pour l’assureur direct.
En l’absence de réassurance, le bénéfice de l’assureur est :
� � D��� � � � ���� # EF��� � �
D’où on déduit
���� � EF��� et F��� � F��� .
Après réassurance le bénéfice de l’assureur devient :
�^�Gè~ � D��� � Ap � DG�A”� � D��� � ��: # max�0, �” � ��� � ���A”� � HF�A”��
En remplaçant A: � �: # max�0, �” � �� � �: # ��” � ��1��”'���� A” � min��”, �� � �1��”'���� # �”1��”'�T�� On déduit que :
�V�^�Gè~W � EF��� # ���� � ���:� � �V��” � ��1��”'���� W � �V�1��”'���� # �”1��”'�T��W� HF�A”�
� EF��� # ���”� � ���”1��”'���� # �”1��”'�T�� � HF�A”�
� EF��� � HF�A”�
13
Ce qui implique la diminution du bénéfice moyen de l’assureur après la réassurance est :
∆B= ���� � �V�^�Gè~W � HF�A”�
Le résultat de la simulation donne ∆B = 2,5. 91.5805 = 228,9513.
4. Construction des intervalles de confiance pour des valeurs estimées et
l’étude de convergence des estimateurs.
Principe de la construction de l’intervalle de confiance :
Etant donné un échantillon � , �- , … , �� indépendantes issues de même loi qu’une variable X
Soit �: � � ���� � une fonction mesurable .
Sous réserve que ������� soit fini, on considère son estimateur standard défini par �����ZZZZZZZZ � 1� C ��� ��
�
D’après la loi de forte grande nombres on sait que �����ZZZZZZZZ tend presque surement vers ������� lors
que k tend vers l’infini. L’erreur de l’approximation de ������� par �����ZZZZZZZZ décroit lorsque k
augmente, il est lié à l’aléa de l’échantillonnage.
L’intervalle de confiance ��¡� que l’on souhaite expliciter est centré sur l’estimateur �����ZZZZZZZZ tel
que ������� appartient à ��¡� avec la probabilité 1 � ¡ , ce qui signifie que :
¢V������� � ��¡�W � 1 � ¡
Lorsque le moment d’ordre 2 de � existe ie (���-� ( ∞� le théorème central limite assure que :
�����ZZZZZZZZ ~���V�����ZZZZZZZZW, +�,V�����ZZZZZZZZ W�
Ce qui revient à dire que √� �����ZZZZZZZZ ~�������� �, +�,����� ��
Donc on déduit que
��¡� � w�����ZZZZZZZZ � m¤^G�¥��� �M ¦' �1 � §-� , �����ZZZZZZZZ # m¤^G�¥��� �M ¦' �1 � §-� x
Où φ représente la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.
On remarque qu’il s’agit d’un intervalle aléatoire dépendant de la réalisation de variable aléatoire ��ZZZZ , c'est-à-dire des valeurs � simulées pour 1 K 6 K � . En plus on peut noter que la taille de cet
intervalle diminue lorsque k augmente, et la vitesse de cette diminution est de l’ordre √� .
Par ailleurs, lorsque +�,����� � est inconnu, on peut toujours construire l’intervalle ��¡� en
remplaçant +�,����� � par son estimateur noté ¥̈ défini par :
14
¥̈ � 1� C ����-�� � � 1� C �����
� �- � 1� C����� � �����ZZZZZZZZ�-��
L’intervalle de confiance s’écrit alors
��¡� � w�����ZZZZZZZZ � m ¥̈k ¦' �1 � ¡2� , �����ZZZZZZZZ # m ¥̈k ¦' �1 � ¡2� x
Application de ce principe à :
4.1 Intervalles pour les moyennes empiriques :
On revient au cas où � � ∑ �� représente variable de coût total cumulé de sinistres,
�:��, 9� et �”��, 9� représente respectivement les charges imputés à l’assureur et au
réassureur en l’absence de l’agrégat-plafond � .
A:��, 9� et A”��, 9� représente respectivement les charges imputés à l’assureur et au
réassureur en présente de l’agrégat-plafond � .
-Intervalle de confiance pour ª�r�. La fonction �: � � ���� � dé fini par ��� � � .
Après avoir simulé on dispose une réalisation de l’échantillon � , �- , … , �� . Dans ce cas la variance
de � soit +�,��� est connue est déterminé par :
+�,��� � ����+�,�� # +�,�����-� � 5.9027. 10«
En appliquant le principe décrit au dessus, l’intervalle de confiance de ���� s’exprime donc :
��¡� � w ��ZZZZ � ¬+�,�� �k ¦' �1 � ¡2� , ��ZZZZ # ¬+�,���k ¦' �1 � ¡2� x
Où ��ZZZZ � � ∑ � ��
Pour k=20000, une réalisation ��ZZZ � � ∑ � �� � 4495,8 , ¡ � 0,05 , ¦' �1 � §-� � 1,96 On a alors : ��¡� � w4389,3 ; 4602,2x.
Remarque : l‘estimation de ���� est construite à titre exemplaire. En effet ���� est parfaitement
déterminée en évaluant l’expression ���� � ������� .
15
-Intervalle de confiance pour ª�s”�. On suit la même démarche que la construction de l’intervalle de confiance pour ����.
Comme +�,�A”� est inconnue on la remplace par son estimateur
¥̈ � ��-�A”� � � ∑ �A” � A”�ZZZZZ�-��
Ce qui donne :
��¡� � w A�ZZZ � m ¥̈k ¦' �1 � ¡2� , A�ZZZ # m ¥̈k ¦' �1 � ¡2� x
Pour k=20000, n�ZZZ � � ∑ n �� � 26, ¡ � 0,05 , ¦' �1 � §-� � 1,96 ¥̈ � ��-�A”� � � ∑ Vn” � n”�ZZZZW-�� � 8387 donc ��¡� � w24,73 ; 27,26x
16
4.2 Intervalles pour l’écart-type empirique :
La construction de l’intervalle de confiance se base sur le résultat suivant :
On sait que le moment d’ordre 4 de A” est fini ( car les moments de � et de " le sont ).
Pour � suffisamment grand
Si on note F®” l’écart-type de A” et ¯- � ¯�-�A”� � � ∑ VA” � A”�ZZZZZW-�� . En utilisant le Théorème
de Central Limite ( cf P. Tassi Méthodes Statistiques)
√2� �¯ � F®”�F®” � °�0,1�
Pour un niveau de risque ¡ :
¢ ±�¦' �1 � ¡2� K √2� �¯ � F®”�F®” K ¦' �1 � ¡2� ² � 1 � ¡
i.e
¢ ³́´́́µ ¯1 # ¦' �1 � ¡2�√2�
K F®” K ¯1 � ¦' �1 � ¡2�√2� ¶·
···̧ � 1 � ¡
L’intervalle de confiance pour F®” au niveau ¡ s’écrit donc :
��¡� �³́´́́µ ¯1 # ¦' �1 � ¡2�√2�
, ¯1 � ¦' �1 � ¡2�√2�
¶····̧
On remarque que les deux valeurs extrêmes de l’intervalle ci-dessus tend vers ¯ quand � tend vers
infini avec la vitesse de √� . Pour k=20000, � � m � ∑ Vn” � n”�ZZZZW-�� � 91,58 , ¡ � 0,05 , ¦' �1 � §-� � 1,96 ��¡� � w90,69 ; 92,48x.
17
4.3 Intervalles pour les primes estimées :
L’estimation de la prime technique de réassurance DG�A”� � ��A”� # HF�A”� est fait à travers
l’estimateur DZG�A”� � A"�ZZZZZ # H m¯�-�A”� � A"�ZZZZZ # E¯
Avec A"�ZZZZZ et ¯ sont respectivement les estimateurs de l’espérance et de l’écart-type de A”
A partir d’un même échantillon �A , A- … . , A�� on a construite, aux étapes précédents les deux
intervalles :
� � w� ¹ , º »x de A"�ZZZZZ au niveau de risque ¡
�- � w�-¹ , º-»x de ¯ au niveau de risque ¡-
Comme :
¢¼�A"�ZZZZZZ � � ½, �¯ � �-�x � ¢ ¾DZG�A”� � ¼� ¹ # H�-¹ , º » # Hº-» ¿À D’autre part :
¢¼�A"�ZZZZZZ � � ½, �¯ � �-�x � 1 � �¡ # ¡-� Donc au seuil de risque ¡ # ¡- , l’intervalle de confiance de DZG�A”� s’écrite :
���¡ # ¡-� � w� ¹ # H�-¹. ; º » # Hº-» x .
Pour ¡ # ¡- � ¡ � 0.05 La réalisation simulée de �n , n- … . , n�� nous donne :
��0.1� � w251,45 ; 258,46x
5. Estimation des lois empiriques
L’estimation des fonctions des répartitions des variables aléatoires peut être obtenue à l’aide du
théorème suivante :
Soit � une variable aléatoire réel de fonction de répartition 1.
Si on appelle �� , �-, … , ��� un n-échantillons issue de � , et Soit � un nombre réel tel que � � ����
La variable aléatoire définie par : FM�x� � M ∑ 1�Xi(x�ki�1 est appelée fonction de répartition
empirique de X. On a :
limM�Ä FM�x� � 1��� presque surement.
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Démonstration : C’est le résultat immédiat du théorème de grands nombres appliquant à la suite des
variables aléatoires iid : Å � 1�Xi(x� .
� ∑ Å�� � ��Å� � ¢�� ( �� � 1��� P.s quand k tend vers infini.
En se reposant sur ce théorème, la simulation de MC nous permet aussi d’estimer les fonctions de
répartition de coût total des sinistres avant et après la réassurance. Ainsi les fonctions répartitions 1� et 1®” de � et A” sont estimées respectivement par :
FMÆ�x� � M ∑ 1�Xi(x�ki�1 et FMÇ”�x� � M ∑ 1�Zi(x�ki�1 pour x réel positive.
Les réalisations simulées auparavant �� , �-, … , �J� et �n , n-, … , nJ� permet d’avoir des valeurs
estimés de 1� et 1®” . Par exemple pour � � ���� � 4421,3 1����� � M ∑ 1�xi(x�ki�1 � 0,6939 .
Pour � � n�ZZZ � � ∑ n � -����� 26 1�®”��� � M ∑ 1�zi(x�ki�1 � 0.912
On peut en plus déterminer l’intervalle de confiance pour chaque l’estimation des fonctions de
répartition. La connaissance de fonction de répartition empirique servir à estimer divers indicateurs
tels que les quantiles, la VaR ou la TaR.
6.Annexe
La liste des en-tête des fonctions écrites dans le but de réalisation du projet s’est trouvé ci-dessous.
Les programmes associés à ces fonctions peut être téléchargés à partir du site web :
http://nguyenanhtuan179.free.fr/
function result = GeoGen(a,theta)
Génération d’une réalistion aléatoire d’une loi Géométrique généralisé de paramètres a et theta
function result = Pareto(x0,alpha)
Génération d’une réalistion aléatoire d’une loi Géométrique généralisé de paramètres a et theta
function result = MatriceCout(N,x0,alpha)
Etant donné un vecteur N contenant les k réalisations indépendants du nombre de sinistre, cette
fonction génère une matrice contenant les réalisations indépendants du montant de coût individuel : gj, pour 1 K l K � , 1 K 6 K *j .
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function result = CoutTotal(s,w,N,C)
Disposant le un vecteur N de nombres de sinistres et C la matrice de coût de sinistre associée, cette
fonction a pour but de calculer le montant cumulé de sinistre � � ∑ �� , ainsi que les parts
imputés au cédant et au réassureur �:, �” , A:, A” .
function result = PrimesMonteCarlo(T,delta,epsi)
En utilisant les coefficients techniques delta (δ) et epsi (ε) , cette fonction calcule à partir des
simulations MC, les primes purs et techniques .
function result = VCover(a,theta,x0,alpha,s,w)
Dans le but d’étudier empiriquement la vitesse de convergence des estimateurs, cette fonction
permet de retrouver les valeurs prises par les estimateurs chaque fois que l’on augment le nombre k
de simulation . (k =10000 ,10100, 10200,…. 20000 ,20100,….50000).
L’exécution de cette fonction demande un certain temps .
function result = ReparEmpi(X,x)
Les deux paramètres entrant sont :
Un vecteur contenant la réalisation �� , �-, … , �J� d’un échantillons aléatoire issue d’une v.a X
Un nombre réel x qui est la valeur à la quel on souhaite évaluer la fonction de répartition empirque.
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![Finance comportementale GSF-2101. Théorie de l’utilité espérée Fonction d’utilité concave (aversion au risque): U(E[W]) > E[U(W)]](https://img.pdfslide.fr/doc/110x75/551d9dc9497959293b8e3f9c/finance-comportementale-gsf-2101-theorie-de-lutilite-esperee-fonction-dutilite-concave-aversion-au-risque-uew-euw.jpg)
