TIPE - Sommation des séries divergentes et application à la mécanique céléste

TIPESommations des Séries Divergentes etapplication à la Mécanique céleste

Réaliser par :

Hajar MAHIDI

Saâd ZERHOUNI

Document réaliser en LATEX

1

Remerciements

Nous tenons à remercier dans un premiertemps, toute l'équipe pédagogique de l'EcoleNationale des Sciences Appliquées de Kenitra

(ENSA-Kenitra) et les intervenantsprofessionnels responsables de la formation du

cycle préparatoire, pour avoir assurél'encadrement de ces TIPE.

Nous remercions également Monsieur "My TaibBelghiti" pour l'aide et les conseils concernantles missions évoquées dans ce rapport, qu'ilnous a apporté lors des di�érents suivis.

2

Table des matières

I Partie Mathématique 5

1 Séries divergentes 51.1 Dé�nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Histoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Développement asymptotique 82.1 Dé�nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2 Thomas Joannes Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3 Théorie de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3.2 Dé�nition de la représentation asymptotique par Poincaré . . . . . . 122.3.3 Les opérations simple e�ectuées sur les fonctions . . . . . . . . . . . . 12

2.4 Exemple : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4.1 Premier exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4.2 Développement asymptotique de la fonction d'erreur . . . . . . . . . 16

3 Les méthodes de sommations des séries divergentes 173.1 Sommation par la moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2 Sommation d'Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.3 Sommation au plus petit terme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4 Théorie de perturbation 204.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.2 Un premier exemple élémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.2.1 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.2.2 Théorie des perturbations au premier ordre . . . . . . . . . . . . . . 204.2.3 Comparaison avec la solution exacte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

II Partie physique 23

5 Présentation du problème 23

6 Cas du problème à 2 corps 246.1 Rappel des lois de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246.2 Le principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

7 Cas du problème à trois corps 277.1 Un peu d'histoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277.2 La théorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3

7.2.1 Le problème à 3 corps restreint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277.2.2 Les points de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

8 Problème des N-corps 318.1 Les données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318.2 Intégrales premières : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318.3 Réduction à un problème de N − 1 corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338.4 Potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348.5 Approches du problème des N-corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

8.5.1 Sphère d'in�uence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368.5.2 Intégration numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398.5.3 Approche statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

III Partie Informatique 51

9 Implantation du développement asymptotique des fonctions exp-log enMaple 51

10 Simulation de la solution du problème à N-corps avec le langage C 5210.1 Partie Algorithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5310.2 Partie Graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5610.3 le Programme main() . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

11 Références 59

4

Première partie

Partie Mathématique

1 Séries divergentes

1.1 Dé�nition

Une série in�nie est dite divergente si la suite de ses sommes partielles n'est pas conver-gente. En ce qui concerne les séries de nombres réels, ou de nombres complexes, une conditionnécessaire de convergence est que le terme général de la série tende vers 0. Par contraposi-tion, cela fournit de nombreux exemples de séries divergentes, par exemple celle dont tousles termes valent 1. Un exemple de série divergente dont le terme général tend vers 0 est lasérie harmonique :

1 +1

2+

1

3+

1

4+

1

5+ · · · =

∞∑n=1

1

n

dont la divergence a été démontrée au Moyen Âge par le mathématicien Nicole Oresme.Dans certains cas, il est malgré tout possible d'attribuer une valeur �nie à la série en usantd'une procédure dite de � sommation �, ou de � sommabilité �, dont il existe plusieursvariantes. Exemple : La série de Grandi

S =∑

(−1)n = 1− 1 + 1− 1 + 1 · · ·

se voit ainsi par exemple attribuer la valeur 1/2. Ce point de vue est fondamental en physiquethéorique, où, dans de nombreuses situations 1, on ne peut calculer des solutions qu'au moyende la théorie des perturbations, qui fournit des résultats sous la forme de séries qui sont leplus souvent divergentes.

1.2 Histoire

Pour expliquer sur quelques exemples l'intérêt du sujet et dégager l'e�cacité théorique etpratique de l'utilisation des séries divergentes, on va décrire quelques étapes déterminanteschez : Leibniz, Euler, Cauchy, Stieltjes, Poincaré, Borel, Hardy .

Sommation des séries divergentes :

Si l'on manipule des séries convergentes et leurs sommes c'est pour démontrer des égalitésnumériques ou fonctionnelles. Par exemple :

log 2 =∞∑k=0

(−1)k

k + 1

5

Et

log 2 = − log1

2=∞∑k=1

1

k

(1

2k

)Il est intéressant de disposer de plusieurs égalités de ce type l'égalité ci-dessus est évidem-

ment meilleure que la précédente pour un calcul numérique approche de log (La vitesse deconvergence est plus rapide). D'où l'intérêt d'étendre les manipulations aux séries divergenteset à leurs sommes éventuelles pour augmenter l'arsenal des identités disponibles. C'est danscet esprit qu'ont travaillé les mathématiciens du XVIIIème siècle et en particulier L. Euler.Il est clair que pour fonder un tel calcul la sommation des séries divergentes doit respectercertaines règles en gros on doit pouvoir remplacer dans les calculs utilisant les opérationsusuelles une série par sa somme sans contradiction. Soit :

� D la C-algèbre des séries numériques à termes complexes (convergentes ou Non).� Les opérations dé�nies sur D sont : l'addition, la multiplication par les scalaires et leproduit de Cauchy.

� C la sous algèbre des séries absolument convergentes.On dé�nit un homomorphisme de C-algèbre :

S : C→ C

σ =∞∑n=0

an → S(σ)

On veut dé�nir un opérateur S1 de sommation pour des séries divergentes. Voici lespremières règles qui paraissent raisonnables pour S2on peut donner les variantes sur lessuites :

R1- Règle de régularité si : σ converge S(σ) = S∗(σ), on dit que S∗ prolonge SR2- Règle d'invariance par translation :

S∗

(∞∑n=0

an

)= a0 + S∗

(∞∑n=1

an

)

R3- S∗est C-linéareR4- S∗ homomorphisme pour la multiplication.Exemples :

Soit :

σ0 = 1− 1 + 1 · · · =∞∑n=0

(−1)n

σ1 = 1− 2 + 3− 4 · · · =∞∑n=0

(−1)n(n+ 1)

6

On associe σ0 → S0 etσ1 → S1 Et on a :

S0 = 1− S0

D'où

S0 = 12

Ainsi

S1 = 1− 2 + 3− 4 · · ·S1 = 0 + 1− 2 + 3− 4 · · ·

D'où

2S1 = 1− 1 + 1 · · ·= S0

DoncS1 =

1

4

Ces deux exemples donnent naissance à deux procédés de sommation :� Sommation par moyenne.� Sommation d'Abel.

7

2 Développement asymptotique

2.1 Dé�nition

Pour une fonction non bornée en un point :

Soient f une fonction numérique d'une variable réelle dé�nie dans un voisinage V pointéenx0, un réel, et n un entier relatif. On dit que f admet un développement asymptotique aupoint x0 à l'ordre n, au sens faible (respectivement au sens fort), s'il existe un entier relatifp(p ≤ n) et des nombres réels ap, ap+1, · · · , an et s'il existe une fonction numérique notée ε,dé�nie sur le voisinage pointé V (respectivement, s'il existe une fonction numérique notée Bdé�nie bornée sur le voisinage pointé V ) tels que, pour tout x de V , on ait :

f(x) =n∑i=P

ai(x− x0)i + ε(x)(x− x0)n

limx→x0

ε(x) = 0

(respectivement : f(x) =∑n

i=P ai(c− x0)i +B(x)(x− x0)n+1)Dans la pratique on cherchera un entier relatif q, pour lequel la fonction x 7→ (x−x0)qf(x)

admet un développement limité polynomial au point x0 . En fait, le calcul formel sur lesfonctions polynômes permet de trouver de tel développement.

Bien entendu, les notations de Landau peuvent être utilisées

f(x) =n∑i=P

ai(c− x0)i + o((x− x0)n)

et

f(x) =n∑i=P

ai(c− x0)i +O((x− x0)n+1)

Exemple :Au voisinage de zéro :

1

sinx=

1

x− x3

6+ x5

120+ o(x6)

=1

x(1− x2

6+ x4

120+ o(x5)

)=

1

x

(1 +

(x2

6− x4

120

)+

(x2

6− x4

120

)2

+ o(x5)

)

=1

x

(1 +

x2

6+

7x4

360+ o(x5)

)=

1

x+x

6+

7x3

360+ o(x4)

8

Pour une fonction au voisinage de l'in�ni :

Soient f une fonction numérique d'une variable réelle dé�nie au voisinage de l'in�ni, net p deux entiers relatifs (n ≤ p). On dit que f admet un développement asymptotique auvoisinage de l'in�ni à l'ordre n, de valuation p, au sens faible (respectivement au sens fort),si la fonction)x 7→ f

(1x

)Admet un développement asymptotique au point x0, à l'ordre −n.

En d'autres termes, s'il existe des nombres réels ap, ap+1, · · · , an et s'il existe une fonctionnumérique notée ε dé�nie au voisinage de l'in�ni (respectivement, s'il existe une fonctionnumérique notée B dé�nie bornée au voisinage de l'in�ni) tels que, pour tout x voisin del'in�ni, on ait :

f(x) =n∑i=P

aixi + ε(x)xn

Avec :limx→∞

ε(x) = 0

(Respectivement : f(x) =∑n

i=P aixi +B(x)xn+1)

Exemple : Au voisinage de l'in�ni :

1

x+ 1=

1

x(1 + 1

x

)=

1

x

(1− 1

x+

1

x2− 1

x3+

1

x4+ o

(1

x4

))=

1

x− 1

x2+

1

x3− 1

x4+

1

x5+ o

(1

x5

)

NB : Il faut toujours ordonner le 'polynôme généralisé' du plus fort monôme au plus faible,au voisinage de l'in�ni.

9

Figure 1 � mathématicien néerlan-

dais du XIX-ème siècle, a travaillé sur

de nombreuses théories et thèses notam-

ment les quadratures de Gauss, les poly-

nômes orthogonaux ou encore les frac-

tions continues. Son travail sur les frac-

tions continues, et plus précisément les

approximants lui valut le surnom de �

père de la théorie analytique des frac-

tions continues �. Cependant, sa santé

très fragile, ne lui permit pas de mener

à bien l'ensemble de ses travaux.

Les pionniers de la construction de la théorie général des sériesasymptotique sont :

2.2 Thomas Joannes Stieltjes

Il appelle les séries divergente � des séries semi-convergentes �. Il suppose que :Quand a augmente indé�niment C0 donne une approximation à F (a)ie :

lima→+∞

F (a) = C0

avec a ≥ 0ie :

(F (a)− C0)→a→+∞ 0

mais il est possible d'avoir :lim

a→+∞a(F (a)− C0) = C1

ie :

lima→+∞

a

(F (a)− C0 −

C1

a

)= 0

Aussi

lima→+∞

a2

(F (a)− C0 −

C1

a

)= C2

.

.

.

ce qui nous pousse à écrire :

F (a) = C0 +C1

a+C2

a2+ · · ·

Ce développement peut être divergeant.

10

Donc le But est de calculer F (a) même si ledéveloppement soit divergeant

soit :

F (a) = C0 +C1

a+C2

a2+ · · ·+ Cn

an+Rn

Ce qui nous ramène à étudier seulement Rn sans faire appel à une étude consacré auxséries divergentes. Stieltjes a observé qu'il y a deux types de séries :

- Séries de 1er espèce (les signes des termes sont alternés) :Rn Est inférieure au dernier terme calculé ou au premier terme négligé .on peut calculer cesséries aussi loin qu'elles paraissent converger.

- Séries de 2ème espèce (tous les termes de même signe) :

Exemple :

F (a) =1

a+

1

a2+

1.2

a3+ · · ·+ 1.2.3 · · · (n+ 1)

an+Rn

Si a est déterminé, ainsi que F (a), le reste Rn , quand i augmentera, sera d'abord positif,puis négatif et décroîtra jusqu'à . Ce qui est important, c'est la détermination de la valeur dei pour laquelle Rn , se rapprochera le plus possible de zéro. La série précédente se rencontredans l'étude du logarithme intégral qui est dé�ni par la formule :

li(x) =

∫ x

0

dx

log xavec x ∈]0, 1[

Si x ≥ 1 on remplace l'intégrale par � la valeur principale � ( la valeur principale deCauchy ) c'est-à-dire :

limε→0

(∫ 1−ε

0

+

∫ x

1+ε

)cette limite existe quand ε→ 0. On remplace maintenant x par ea dans li , on obtient donc :

li(ea) = ea[

1

a− 1

a2+

1.2

a3+ · · ·+ 1.2.3 · · · (n− 1)

an+Rn

]On peut obtenir aussi, pour le logarithme intégral, un développement convergent. MaisStieltjes a montré que le développement divergent donne des résultats bien meilleurs pour lecalcul.

Remarque : Dans le cas général On a :∫ b

a

f(x)dx = limε→0,ε′→0

∫ c−ε

a

f(x)dx+

∫ b

c+ε′f(x)dx

quand f(c)→∞Cauchy prend ε = ε′

11

Figure 2 � un mathématicien, physi-

cien et philosophe français né le 29 avril

1854 à Nancy et mort le 17 juillet 1912

à Paris. Il a réalisé des travaux d'impor-

tance majeure en optique et en calcul in-

�nitésimal. Ses avancées sur le problème

des trois corps en font un fondateur de

l'étude qualitative des systèmes d'équa-

tions di�érentielles et de la théorie du

chaos ; il est aussi un précurseur majeur

de la théorie de la relativité restreinte.

On le considère comme un des derniers

grands savants universels, maîtrisant en

particulier l'ensemble des branches des

mathématiques de son époque.

2.3 Théorie de Poincaré

2.3.1 Principe

- Dé�nir une correspondance entre une fonction et une série asymptotique- Cette correspondance se conserve dans la plupart des opérations simples

2.3.2 Dé�nition de la représentation asymptotique par Poincaré

Soit : J(x) est le développement C0 + C1

x+ C2

x2+ · · · (ce développement peut être divergent)

On dit que ce dernier est le développement asymptotique de J(x) si :

limx→∞

xn[J(x)−

(C0 +

C1

x+ · · ·+ Cn

xn

)]= lim

x→∞εn = 0

J(x) = C0 +C1

x+ · · ·+ Cn−1

xn−1+Cn + εnxn

Si l'on considérait la courbe y = J(x) et les courbes y = Sn(x) Obtenues en prenant lessommes successives des termes de la série, ces courbes seraient asymptotes à la première,et le contact à l'in�ni deviendrait de plus en plus intime à mesure que n contrait. D'aprèsStieltjes, si ce développement existe donc il est unique.

� L'inconvénient de la représentation :Même série peut représenter asymptotiquement plusieurs fonctions.

2.3.3 Les opérations simple e�ectuées sur les fonctions

� La représentation asymptotique conservée par l'addition et la soustraction :

12

Soit :

J(x) = C0 +C1

x+ · · ·+ Cn + εn

xn; εn → 0

J ′(x) = C ′0 +C ′1x

+ · · ·+ C ′n + ε′nxn

; ε′n → 0

Donc quand x croît indé�niment, on aura :

J(x) + J ′(x) = (C0 + C ′0) +C1 + C ′1

x+ · · ·+ (Cn + C ′n) + (εn + ε′n)

xn; (εn + ε′n)→ 0

� la multiplication des deux fonctions J et J ′ :

JJ ′ = C0C′0 +

C0C′1 + C1C

′0

x+ · · ·+ C0C

′n + · · ·+ CnC

′0

xn+C0ε

′n + C ′0εnxn

+C1(C ′n + ε′n) + C3C

′n−1 + · · ·+ (Cn + εn)C ′1xn+1

+ · · ·+ (Cn + εn)(C ′n + ε′n)

x2n

Ou

JJ ′ = C0C′0 +

C0C′0 + C1C

′0

x+ · · ·+ C0C

′n + · · ·+ CnC

′0

xn+

γ

xn

avec γ → 0 quand x croit indé�niment.

Donc on peut multiplier deux séries asymptotiques.

� La division de deux séries asymptotiques :Soit :

1

J(x)=

1

C0

[1 + C1

C0x+ C2

C0x2+ · · ·

]le premier terme de la série diviseur non nul (C0 6= 0)

Et on pose :

Φ(x) =C1

C0x+

C2

C0x2+ · · · ;

La série converge pour Φ < 1

1

J(x)=

1

C0

[1− Φ + Φ2 − Φ3 + · · ·]

13

� L'intégration d'une série asymptotique :Soit :

J(x) = C0 +C1

x+C2

x2+ · · ·+ Cm

xm+ · · ·

et on aura de même :∫ ∞x

[J(x)− C0 −

C1

x

]dx =

C2

x+C3

2x2+ · · ·+ +

Cm(m− 1)xm−1

+ · · ·

on peut écrire :

J(τ) = C0 +C1

τ+C2

τ 2+ · · ·+ Cm + εm

τm

On fait passer les termes C0 et C1

xvers la gauche a�n de ne pas introduire des intégrales

dépourvues de sens. En intégrant, on obtient :∫ X

x

[J(τ)− C0 −

C1

τ

]dτ =

∫ X

x

(C2

τ 2+ · · ·+ Cm

τm

)dτ +

∫ X

x

εmτm

dτ ; εm → 0 quand τ → +∞

Donc quand X croit indé�niment on a :∫ ∞x

[J(τ)− C0 −

C1

τ

]dτ =

C2

τ 2+C3

2x2+ · · ·+ Cm

(m− 1)xm−1+

γmxm−1

; γm → 0 quand x→ +∞∣∣∣∣∫ ∞x

εmτm

∣∣∣∣ < µm

∫ ∞x

dτ

τm

avecµ = max

τ∈[x,+∞[(εm)

donc ∣∣∣∣∫ ∞x

εmτm

dτ

∣∣∣∣ =|γm|xm−1

<µm

m− 1· 1

xm−1

et on pose :γm = θ

µmm− 1

avec |θ| < 1;

donc γm → 0 alors l'intégrale∫∞x

[J(τ)− C0 − C1

τ

]dτ admet le développement asymptotique

qu'on a déjà indiqué.

I =

∫ ∞x

[J(τ)− C0 −

C1

τ

]dτ

=

∫ ∞x0

[J(τ)− C0 −

C1

τ

]dτ −

∫ x

x0

[J(τ)− C0 −

C1

τ

]dτ

Qu'on peut écrire sous forme :

I = C−∫ x

x0

J(τ)dτ − C0(x− x0)− C1 log

(x

x0

)14

d'où : ∫ x

x0

J(τ)dτ = −C0(x− x0)− C1 log

(x

x0

)+ C− I

= C0x− C1 log(x) + G− C2

x− 1

2· C3

x2− · · ·

Ce qui montre bien qu'on peut intégrer une série asymptotique. On déterminera G en don-nant à x une valeur particulière. Le développement asymptotique ne commence pas ici parune constante, mais par deux termes qui augmentent indé�niment avec x

C0x− C1 log(x)

Conclusion :

Généralisation de M. Poincaré :On dit qu'on a asymptotiquement :

Φ(x) = f(x) + g(x)

(C0 +

C1

x+C2

x2+ · · ·

)i.e :

Φ(x)− f(x)

g(x)= C0 +

C1

x+C2

x2+ · · ·

2.4 Exemple :

2.4.1 Premier exemple

considérons la fonction :

f(x) =

∫ ∞x

1

tex−tdt

Des intégrations par partie répétées nous permettent de transformer cette expression en :

f(x) =1

x− 1

x2+

1

x3+ · · ·+ (−1)n−1(n− 1)!

xn+ (−1)nn!

∫ ∞x

ex−t

tn+1dt

ceci nous laisse supposer que la série

1

x− 1

x2+

1

x3− 1

x4+ · · ·

pourrait représenter le développement asymptotique de f . Pour le prouver, formons

f(x)− Sn+1 = (−1)nn!

∫ ∞x

ex−t

tn+1dt

15

Dans l'intégrale, l'exponentielle est comprise entre 0 et 1, d'où la majoration

|f(x)− Sn+1| < n!

∫ ∞x

1

tn+1dt = (n− 1)!

1

xn

une quantité qui tend évidement vers zéro lorsque x croît, à n constant. On écrit souvent :∫ ∞x

1

tex−t ∼ 1

x− 1

x2+

1

x3· · · .

2.4.2 Développement asymptotique de la fonction d'erreur

soit la fonction d'erreur :

erf(z) =2√π

∫ z

0

e−t2

dt

Or si on suppose z réel positif, en intégrant plusieurs fois par parties l'intégrale :

I(z) =

∫ ∞z

ez2−t2dt

il vient :

I(z) =1

2z− 1

22z3+

1 · 323z5

+· · ·+(−1)n−1 1 · 3 · 5 · · · (2n− 3)

2nz2n−1+(−1)n

1 · 3 · 5 · · · (2n− 1)

2n

∫ ∞z

ez2−t2

t2ndt

la majoration :

1 · 3 · 5 · · · (2n− 1)

2n

∫ ∞z

ez2−t2

t2ndt <

1 · 3 · 5 · · · (2n− 1)

2n+1z2n+1

implique alors

limz→∞

z2n−1 1 · 3 · 5 · · · (2n− 1)

2n

∫ ∞z

ez2−t2

t2ndt = 0

et compte tenu de la relation ∫ ∞0

e−t2

dt =

√π

2

on obtient �nalement :

erf(z) = 1− −2√πe−z

2

(1

2z− 1

22z3+

1.3

23z5− 1.3.5

24z7+ · · ·

)qui est le développement asymptotique cherché.

16

3 Les méthodes de sommations des séries divergentes

3.1 Sommation par la moyenne

- répartir une � masse � µ(k, n) > 0sur les n+ 1 points k = 0, 1, 2, · · · , n- passer à la limite quand n→ +∞.

sous réserve de convergence :

Tn =µo,ns0 + µ1,ns1 + · · ·+ µn,nsn∑n

i=0 µi,n

et S∗(σ) = limn→+∞(Tn) Où sn est la somme partielle de la série à sommer σ .Exemple :1- Pour µk,n = 1 on aura la moyenne arithmétique, et c'est la méthode de Cesaro Càd :pour la série σ0(déjà dé�nie au-dessus) on trouve bien S∗(σ0) = 1

2, mais pour la série

σ1 cela ne marche pas et il faut opérer deux fois. On prend la moyenne des Tnpourobtenir 1

4attendu. On peut remarquer que la double méthode de CESARO, consiste à

prendre des masses µk,n di�érentes. (Lesquelles ?)2- La transformation d'Euler : (Cette transformation a été introduite pour accélérer laconvergence.) Cela consiste à prendre des masses avec les coe�cients binomiaux :

µk,n =

(nk

)Au niveau des séries la transformation :

bn =1

2n+1

n∑k=0

(nk

)ak

n∑k=0

(nk

)= 2n+1

Appliquée à la série Harmonique alternée :∑(−1)n

(1

n

)=∑ 1

n2n

Ce qui e�ectivement accélère le calcule de ln(2)On peut généraliser cette méthode des moyennes en utilisant des séries de fonctions.

Exemple Fondamental : � densité de BOREL �

Pour Obtenir la somme S∗(σ) où σ =∑an

Soit :

F (t) =∞∑n=0

sntn

n!

17

Et si la fonction F est dé�nie sur R+ alors et bien entendu sous réserve d'existence on prend :

S∗(σ) = limt→+∞

e−tF (t)

Si on applique à la série de LEIBNIZ σ0 =∑

(−1)n on trouve encore :

S∗(σ0) = limt→+∞

e−tF (t) =1

2

3.2 Sommation d'Abel

Si la série σ = Σan est convergente alors :

S(σ) = limt→ 1t < 1

∞∑n=0

antn

l'idée : prendre dans certains cas de série divergente comme dé�nition de la somme cettelimite

S∗(σ) = limt→ 1t < 1

∞∑n=0

antn

Sous réserve d'existence.� Application à la série σ1, on obtient :

S∗(σ1) = limt→ 1t < 1

∞∑n=0

(−1)n(n+ 1)tn

= limt→ 1t < 1

1

(1 + t)2

=1

4

� Généralisation :On pose t = e−x alors tn = e−nx et par conséquent on peut remplacer dans cet expression

la suite (n)n∈N par une suite (λn)n∈Nde réels positifs strictement croissante tendant vers +∞ce qui (sous réserve d'existence) nous pousse à prendre la fonction :

F (x) =∞∑n=0

ane−λnx

18

sous réserve d'existence, la somme sera dé�nie par :

S∗(σ) = limx→ 0x > 0

F (x)

Exemple :LINDELOF : λ0 = 0 et si n ≤ 1 λn = n · ln(n)HARDY : λ0 = 0 si n ≥ 2 et λn = n · ln(n) · ln (ln(n))

3.3 Sommation au plus petit terme

On prend l'exemple de la série d'Euler :Soit l'équation d'Euler :

(E) : x2y′(x) + y(x) = x

la série entière f(x) =∑∞

n=0(−1)nn!xn+1 est une solution de (E)On peut écrire f(x) sous une autre forme :

f(x) =

∫ +∞

0

e−tx

1 + tdt

On pose :

f(x) =N∑n=0

(−1)nn!xn+1 +RN(x) = fN(x) +RN(x)

tel que : limN→∞RN(x) = 0Par conséquent on aura l'encadrement pour tout entier p :

f2p(x) < f(x) < f2p+1(x)

Cet encadrement ne permet d'obtenir un encadrement arbitrairement précis de f(x) (ici leterme général tend rapidement vers +∞). Cependant on obtient un encadrement dont laqualité dépend de x. Et il se trouve qu'elle est � exponentiellement bonne � quand x est �petit �. la meilleure approximation de f(x) par fn(x) s'obtient quand l'écart

|f2p+1(x)− f2p(x)| = (2p)!x2p

Est le plus petit possible, c'est à dire quand le terme général de la série d'Euler Σ(−1)nn!est le plus petit possible.

19

4 Théorie de perturbation

4.1 Introduction

D'un point de vue heuristique, la théorie des perturbations est une méthode mathéma-tique générale qui permet de trouver une solution approchée d'une équation mathématique(Eλ)dépendante d'un paramètre λ lorsque la solution de l'équation (E0), correspondant à lavaleurλ = 0 , est connue exactement. L'équation mathématique (Eλ) peut être une équationalgébrique, une équation di�érentielle, une équation aux valeurs propres, ...

La méthode consiste à chercher la solution approchée de l'équation (Eλ) sous la formed'un développement en série des puissances du paramètre λ, cette solution approchée étantsupposé être une approximation d'autant meilleure de la solution exacte, mais inconnue, quela valeur absolue du paramètre λ est plus � petite �.

Dès le début du XVIIIème siècle, la théorie des perturbations a été utilisée par les astro-nomes pour les besoins de la mécanique céleste : en e�et, les équations di�érentielles décrivantun système de N corps en interaction gravitationnelle n'a pas de solution exacte généralepour N ≥ 3. Cet aspect de la théorie des perturbations a été synthétisé à la �n du XIXèmesiècle dans les ouvrages classiques de Laplace, Tisserand et Poincaré, avant de connaitre denouveaux développements dans la seconde moitié du XXème siècle avec l'avènement en 1954de la � théorie KAM �, du nom de ses trois concepteurs : Kolmogorov, Arnold et Moser.

4.2 Un premier exemple élémentaire

4.2.1 Position du problème

Considérons à titre d'exemple l'équation di�érentielle du premier ordre suivante :

(Eλ) :dx(t)

dt+

1

τx(t) + λ

x2(t)

τ L0

= 0

Dans cette équation, t représente le temps,τ un paramètre �xé homogène à un temps,L0 un paramètre �xé homogène à une longueur, et λ le paramètre de perturbation, sansdimensions. On cherche à déterminer la fonction x(t) inconnue, homogène à une longueur,et véri�ant la condition initiale : à l'instant t = 0, on a : x(0) = X0.

4.2.2 Théorie des perturbations au premier ordre

Le problème de départ de la théorie des perturbations est l'équation di�érentielle (E0)correspondant à la valeur λ = 0 :

(E0) :dx(t)

dt+

1

τx(t) = 0

dont la solution analytique exacte est bien connue :

x0(t) = A e− t/τ

20

où A est une constante, pour l'instant inconnue. Illustrons la méthode de perturbations ennous limitant pour simpli�er au premier ordre dans le développement en série des puissancesdu paramètre λ ; on cherche donc la solution approchée sous la forme :

xλ(t) = x0(t) + λ x1(t) + O(λ2)

où x1(t) est une fonction inconnue, à déterminer. On injecte cette expression dans l'équationdi�érentielle exacte (Eλ). En se limitant aux termes du premier ordre inclus et en utilisantle fait que x0(t) est la solution exacte de (E0), on obtient la solution physique approchée aupremier ordre :

xλ(t) = X0

(1 − λ

X0

L0

)e− t/τ + λ

X20

L0

e− 2t/τ + O(λ2)

DémonstrationOn injecte le développement dans l'équation di�érentielle exacte (Eλ). En se limitant au

termes du premier ordre inclus et en utilisant le fait que x0(t) est la solution exacte de (E0),on obtient l'équation suivante pour la fonction x1(t) :

λ

[dx1(t)

dt+

1

τx1(t)

]+ λ

x20(t)

τ L0

= 0

On a omis le terme O(λ2) de reste de Landau pour simpli�er l'écriture. Cette équation seréécrit explicitement :

dx1(t)

dt+

1

τx1(t) = − A2

τ L0

e− 2t/τ

Cette équation di�érentielle admet une solution analytique exacte de la forme :

x1(t) = B e− 2t/τ

où B est une constante, qu'on détermine en introduisant l'expression de x1(t) dans l'équationdi�érentielle. On obtient explicitement :

B =A2

L0

=⇒ x1(t) =A2

L0

e− 2t/τ

d'où la solution générale de (Eλ) approchée au premier ordre.

4.2.3 Comparaison avec la solution exacte

on peut démontrer ici que l'équation di�érentielle (Eλ) véri�ant la condition initiale :x(0) = X0 admet pour toutes les valeurs du paramètre λ la solution exacte suivante :

xλ(t) =X0 e

− t/τ

1 + λ X0

L0( 1 − e− t/τ )

21

Un développement limité de cette expression au premier ordre en λ donne explicitementla solution approchée déterminée au paragraphe précédent par la théorie des perturbationsau premier ordre :

xλ(t) = X0

(1 − λ

X0

L0

)e− t/τ + λ

X20

L0

e− 2t/τ + O(λ2)

Pour visualiser l'écart entre la solution approchée et la solution exacte, on trace ci-dessousles graphes des deux fonctions pour une série de valeurs de allant de 0.1 à 0.5, en prenant :X0 = L0 = 1m , τ = 1s- en bleu, la solution exacte.- en rouge, la solution approchée au premier ordre.

22

Deuxième partie

Partie physique

5 Présentation du problème

Le "problème à N corps" consiste à déterminer le mouvement de N masses sous l'e�etdes forces d'attraction gravitationnelles entre elles.

Pour N=2, Newton savait déjà que les deux corps décrivent des ellipses autour de leurcentre de gravité commun.

Pour N=3, Poincaré avait découvert que les trajectoires des corps pouvaient être "chao-tiques" : une toute petite di�érence dans les positions et vitesses initiales des corps pouvaitcauser de très importantes di�érences dans la trajectoire des corps.

Pour plus de 3 corps, il n'est pas possible de démontrer la stabilité d'un système avecquelques corps, comme le Système Solaire par exemple. Rien ne prouve que les planètessuivront toujours leurs orbites actuelles dans quelques centaines de millions d'années.

Comme on connait avec une très grande précision la position, la vitesse et la masse desplanètes et de leurs principaux satellites, on estime que l'on peut calculer leur position dans 5millions d'années à 150m près. Pour arriver à cette précision, mais aussi tout simplement pourréaliser une simulation réaliste, il faut tout particulièrement veiller à l'intégration utilisée,pour garantir la conservation de l'énergie totale du système. Selon cette étude, la méthodede Gauss-Hermite donne les meilleurs résultats.

D'autre part, pour chacun des N corps, il faut calculer les N-1 forces exercées par lesautres corps. Au total, il faudra calculer N.(N−1)

2forces (le /2 vient du fait qu'il su�t de ne

calculer qu'une fois la force entre deux corps FA→B = FB→A .On dit que la complexité est O(N2) : il faut e�ectuer un nombre d'opérations proportion-

nel au carré de N. Pour quelques dizaines de corps, ça ne pose aucun problème, mais si l'onveut simuler des galaxies ou même la collision de galaxies avec N=1.000.000, on se retrouveavec mille milliards de forces à évaluer, ce qui nécessite beaucoup de temps de calcul.

On pourrait se dire qu'une petite étoile à un bout de la galaxie n'attire pratiquementpas une autre petite étoile très distante, mais négliger cette force n'est pas une bonne idée.D'une part, l'énergie totale du système ne serait plus conservée, et d'autre part il faudraittrouver un critère permettant de savoir quelles forces sont négligeables, sans les calculer.

23

En dehors de quelques cas rarissimes où une solution exacte est connue, il faut en généralrecourir à des méthodes de résolutions approchées. Deux approches sont utilisées :

� la théorie des perturbations, qui permet de faire des calculs analytiques approchés sousla forme de développements en série ;

� Dans l'analyse numérique, le problème de la simulation de N corps devrait être théo-riquement d'ordre N2, car toutes les interactions de corps deux à deux devraient êtreconsidérées a priori ; des considérations de découpage spatial récursif ( Simulation deBarnes-Hut) permettent cependant d'arriver à de très correctes approximations en untemps de l'ordre de N. logN seulement.

Barnes et Hut ont proposé en 1986 un algorithme dont la complexité est O(N.logN) .Pour N = 1.000.000, il n'y a environ que 20.000.000 de forces à évaluer, ce qui rend le calculpossible. L'algorithme consiste à diviser l'espace en une structure arborescente appelée octreeet à y répartir les corps. On ne calcule les forces qu'entre les corps situé dans la même zonede l'octree, puis l'algorithme calcule les interactions entre les zones. Reste une di�culté :en se déplaçant, les corps changent de zone, et l'algorithme nécessite d'adapter l'octree à ladistribution des corps.

Dès 1987, Leslie Greengard a développé un algorithme baptisé "Fast Multipole Method"(FMM), dont la complexité est O(N) seulement, et qui ne nécessite pas d'adaptation de ladivision de l'espace utilisée. Il est assez facile d'illustrer cette méthode en 2D, mais en 3Dl'interaction entre zones est beaucoup plus complexe.

La FMM est considérée par certains comme l'un des algorithmes les plus importants duXX ème siècle, car il peut être appliqué à des problèmes beaucoup plus généraux que les Ncorps, comme certains problèmes de mécanique ou de simulation.

6 Cas du problème à 2 corps

6.1 Rappel des lois de Kepler

les lois de Kepler énoncées dans le cadre du problème des 2 corps M1 et M2 :� 1re loi de Kepler : les 2 corps décrivent des ellipses dont l'un des foyer est leur centrede masse C.

� 2me loi de Kepler ou loi des aires : le rayon vecteur qui joint le centre d'un corps aucentre de masse C balaie des aires égales en des temps égaux

� 3me loi de Kepler : le carré de la durée de révolution Tr est proportionnel au cube du

demi-grand axe a avec a = a1 + a2, soit Tr = 2Π 2

√a3

µoù µ = µ1 + µ2 = Gm1 +Gm2 ,

µ1 et µ2 étant les coe�cients gravitationnels respectifs des corps M1 et M2.

6.2 Le principe

Soient deux points M1 = (x1, y1, z1)et M2 = (x2, y2, z2) de masses respectives m1 et m2.Ces deux particules matérielles s'attirent selon la loi de Newton :

24

m1d2−−−→OM1

dt2= −Km1m2

r2

−−−−→M2M1

r

m2d2−−−→OM2

dt2= −Km1m2

r2

−−−−→M1M2

r

où r = M1M2 est la distance mutuelle et K la constante de gravitation universelle. Ona maintenant un système di�érentiel d'ordre 2 avec 6 degrés de liberté(3 translation et 3rotation). La résolution de ce problème d'ordre 12 nécessite donc d'introduire 12 constantesd'intégration arbitraires.

En ajoutant les deux équations,on obtient d2(m1

−−−→OM1+m2

−−−→OM2)

dt2=−→0 . En introduisant le

point G centre de gravité de M1 et M2,avec m1 +m2 6=−→0 , on obtient :

d2−→OGdt2

=−→0

Le mouvement de G est donc rectiligne et uniforme. Sur les 12 constantes arbitraires, 6dé�nissent ce mouvement (3 pour la position initiale de G, et 3 sa vitesse).

Le point R du repère peut ainsi être pris en G. En utilisant−−−−→M2M1 = m1+m2

m2

−−−→GM1 et

−−−−→M1M2 = m1+m2

m1

−−−→GM2 , on a :

d2−−−→GM1

dt2= −K m2

3

(m1 +m2)2

−−−→GM1

(GM1)3

d2−−−→GM2

dt2= −K m1

3

(m1 +m2)2

−−−→GM2

(GM2)3

m1 et m2 doit être non nulle.Il n'est nécessaire de résoudre que l'une ou l'autre des deux équations car, par exemple,

le mouvement de M2 se déduit de celui de M1 par−−−→GM2 = −m1

m2

−−−→GM1.

le problème des 2-corps est équivalent à 2 problèmes de 1-corps où le centre attractifserait G dont la masse M =

m3i

(m1+m2)2pour i = 1, 2.

Le point G n'est pas un point physique dans le sens où il ne s'observe pas mais se calcule.C'est le mouvement relatif de M1 autour de M2 qui est observé ,on aura d'après ce quiprécède :

d2−−−−→M2M1

dt2= −K(m1 +m2)

−−−−→M2M1

(M2M1)3

25

On dit qu'on a "jeté"la planète dans le soleil siM1 est une planète et siM2 est le soleil ;onsuppose que le soleil est �xe de masse(m1 +m2)et que la planète est de masse nulle ou plutôtnégligeable puisqu'on a comme conditions m1 6= 0et m2 6= 0.Par conséquent on est ramenéau problème de 1-corps.

Le problème képlérien :Quand on a : d

2−→rdt2

= −µ−→rr3

Où −→r =−−→OM et µ > 0

Problème de 1 corps :−→r =

−→SA

µ = KMs

où : S :soleil de masse MS. S : astéroïde de masse négligeable.Problème des 2 corps :

−→r =−→GP

µ =KM3

s

(MS +m)2

OU−→r =

−→SP

µ = K(MS +m) = (m

MS

+ 1)KMS

Les deux intégrales fondamentales du mouvement en mécanique céleste :� Invariance de moment cinétique :

On a la relation suivante qui est vraie pour toute force centrale : −→r ⊗ d2−→rdt2

= 0 ,

en dérivant, on obtient :d(−→r ⊗ d2

−→rdt

)

dt=−→0

i.e :−→r ⊗ d

−→rdt

=−→G(cste)

Les vecteurs −→r et fracd−→r dt seront donc toujours orthogonaux à−→G . Ce qui signi�e

que, si−→G 6= −→0 ,le mouvement se fait dans le plan passant par O et orthogonal à

−→G .

� intégrale de l'énergie est :

12v2 − µ

r= h (cte)

Si h est négatif alors r est borné et le corps ne peut s'éloigner à l'in�ni. Inversement,si on suppose que le corps peut s'éloigner à l'in�ni (c'est à dire si r → ∞, et dans cecas h doit être positif) alors

√2h représente la vitesse à l'in�ni.

26

7 Cas du problème à trois corps

7.1 Un peu d'histoire

C'est à la �n du XIXème siècle que le mathématicien français Henri Poincaré (ci-contre)mit �n à un mythe acquis depuis Newton : celui d'un univers réglé et déterministe. Selon lui,la trajectoire des corps du système solaire est instable et imprévisible sur une grande échellede temps. La connaissance du présent et des lois de Newton ne permet donc pas de prédire lefutur ou de reconstruire le passé. Newton avait en e�et énoncé des lois décrivant l'action dela force de gravitation sur les astres. Ces lois s'appliquent parfaitement dans le cas simple de2 corps qui interagissent, et il est possible de connaitre leur trajectoire en fonction du temps.En revanche, lorsque l'on veut considérer le système solaire, les équations se compliquent carnous devons prendre en compte 10 corps en interactions mutuelles (Le Soleil et les 9 planètesprincipales).

Auparavant, les astronomes avaient essayé de calculer des trajectoires se rapprochant del'orbite exacte. Ce sont Laplace et Lagrange (ci-contre) qui les premiers ont fait avancer leproblème, en ignorant dans un premier temps l'interaction des planètes entre elles et en neconsidérant que le mouvement d'une planète isolée autour du Soleil, ils étaient parvenus àobtenir une description assez �dèle des mouvements du système solaire. En suivant cettedémarche, Poincaré essaya de trouver une solution la plus proche possible de la solutionexacte du problème des 3 corps en étudiant le problème à 3 corps restreint, qui est uneversion "simpli�ée" du strict problème à trois corps. Les travaux de Poincaré l'ont d'abordamené à considérer 3 corps : les équations de Newton appliquées à ces trois corps conduisent àune équation di�érentielle impossible à résoudre. En e�et, il manque des intégrales premières,c'est à dire des fonctions gardant une valeur constante le long de chaque trajectoire, et laseule connaissance de l'énergie, de la Quantité de mouvement, et du Moment cinétique nesu�sent pas pour résoudre l'équation : le problème n'a pas de solution exacte.

7.2 La théorie

7.2.1 Le problème à 3 corps restreint

Le problème à 3 corps restreint est donc une simpli�cation du problème à 3 corps, onnéglige maintenant la masse de l'un des trois corps par rapport à celle des deux autres astres.Ainsi, on suppose que le mouvement du petit corps (que l'on appellera "corps d'épreuve", oubien "troisième corps") n'a�ecte pas le mouvement des deux autres : les deux corps massifsévoluent on aura alors un système à 2 corps. Les trajectoires de ces deux corps, de masserespective m1 et m2 (m1 > m2) sont donc circulaires autour de leur centre de gravité O, avecune vitesse angulaire constante.

27

soi L la distance entre M1 et M2, et Θ leur vitesse angulaire, avec θ = ω.t (t le temps).La loi des aires de Kepler permet d'écrire : L3ω2 = G(m1 +m2)Le troisième corps de petite masse est lui soumis au champ gravitationnel formé par

les deux autres. Nous calculons le Lagrangien puis l'Hamiltonien qui lui est associé : aprèsdé-dimensionnement du problème et passage dans le référentiel tournant (centré en O) parune transformation canonique, nous aboutissons à l'Hamiltonien suivant :

H = p1q̇1 + p2q̇2 − L = 1/2(p21 + p2

2)−(

1− µR1

+µ

R2

)q1 et q2 sont les positions du troisième corps dans le référentiel tournant : q1 = x/L et

q2 = y/L,p1 et p2 sont les moments conjugués correspondantsR1 et R2 désignent les distances respectives du corps d'épreuve aux masses M1 et M2

µ est la masse réduite telle que : µ = m2/(m1 +m2)Dans le référentiel tournant,M1 etM2 sont �xes sur l'axe (Ox). La durée d'une révolution

est t = 2 · π.

7.2.2 Les points de Lagrange

A partir des équations du mouvement déduites du Hamiltonien, nous pouvons rechercherles points �xes de ce système, c'est à dire les points où les forces engendrées par les deuxastres principaux s'équilibrent. Il en existe cinq, baptisés points de Lagrange, en l'honneurdu mathématicien français Louis Lagrange.

Les 3 premiers points L1, L2 et L3, situés sur l'axe passant par M1 etM2, sont instables :un corps (sonde, satellite) placé sans vitesse initiale à proximité de ces points aurait tendance

28

à s'en éloigner. Leurs coordonnées sont les suivantes (Avec R :distance (M1 −M2)) :

L1 :

(R

(1−

(µ3

)1/3), 0

)Exemple :

On considère un objet orbitant autour du Soleil, plus près de celui-ci que la Terre maissur une même ligne.

Cet objet subit une gravité solaire supérieure à celle de la Terre, et tourne donc plusrapidement autour du Soleil que ne le fait la Terre. Mais la gravité terrestre contrecarre enpartie celle du Soleil, ce qui le ralentit.

Plus on rapproche l'objet de la Terre, plus cet e�et est important.A un certain point, le point L1, la vitesse angulaire de l'objet devient exactement égale

à celle de la Terre.

L2 :

(R

(1(µ

3

)1/3), 0

)Exemple :

Le principe est similaire au cas précédent, de l'autre côté de la Terre.L'objet devrait tourner moins vite que la Terre parce que la gravité solaire y est moindre,

mais le champ gravitationnel supplémentaire dû à la Terre tend à l'accélérer.Au point L2, l'objet tourne exactement à la même vitesse que la Terre autour du Soleil.

L3 :

(−R

(1 +

(5µ

12

)), 0

)Exemple :

De manière identique au point L2, il existe un point situé un peu plus loin que l'opposéde la Terre par rapport au Soleil, où un objet de masse négligeable serait en équilibre.

Les 2 autres points L4et L5 sont stables pour µ < 0, 038520897 · · · Dans un tel cas,un corps placé sans vitesse initiale à proximité de ces points serait attiré par ces points etdécrirait un mouvement de libration autour d'eux. Les coordonnées deL4 et L5 dans le repèretournant sont les suivantes :

L4 :

(R

2

(M1 −M2

M1 +M2

),

2√

3R

2

)

L5 :

(R

2

(M1 −M2

M1 +M2

),− 2√

3R

2

)Exemple :

L4est en avance sur la plus petite des masses, dans son orbite autour de la grande, et L5

est en retard.Ces points sont parfois appelés points de Lagrange triangulaires ou points Troyens.

29

Fait remarquable, ces deux derniers points ne dépendent en rien des masses relatives desdeux autres corps. Voici une représentation de l'emplacement des cinq points de Lagrangedans le repère tournant, pour une valeur de mu donnée :

Ces points présentent un grand intérêt pour les missions scienti�ques qui nécessitent dese stabiliser autour d'un point d'observation �xe dans le repère tournant. En plaçant unesonde sur l'un de ces points, on minimise la consommation de carburant pour la stabiliser, cequi permet d'accroitre la durée de vie de la mission. En outre, ces points présentent plusieursavantages par rapport à des orbites terrestres classiques : Il sont plus éloignés de la Terre(moins de perturbations dues à l'environnement terrestre), peuvent présenter des "points devue" privilégiés : vers le Soleil (pas d'éclipse, observation continue possible depuis L1), oubien dans la direction opposée au système Soleil-Terre (cas de L2). Ainsi, le satellite d'obser-vation solaire SOHO, placé autour du point L1, réalise un survey continu du Soleil depuis1996. Le point L2 quand à lui devrait accueillir les futures missions MAP, PLANCK etNGST entre autre. Les points L4 et L5 du système Soleil-Terre n'ont pas pour l'instant deprojet d'instrument scienti�que associé ; en revanche, les points L4 et L5 du système Terre-Lune ont connu des projets (non réalisés) d'installation d'instruments. Ces points intéressenten outre les planétologues puisqu'il est démontré que de nombreux astéroïdes sont placé auxpoints L4 et L5 de nombreux astres du système solaire.

StabilitéPour les trois premiers points de Lagrange, la stabilité n'apparaît que dans le plan perpen-diculaire à la ligne occupée par les deux masses.

Par exemple, pour le point L1, si on déplace un objet perpendiculairement à la ligne entreles deux masses, les deux forces gravitationnelles vont jouer pour le ramener vers la positioninitiale.

L'équilibre est stable.En revanche, si on le déplace vers une des deux masses, alors le champ de celle-ci va

l'emporter sur l'autre et l'objet tendra à se rapprocher encore plus.

30

L'équilibre est instable.Pour les points L4 et L5, la stabilité est obtenue grâce aux forces de Coriolis qui agissent

sur les objets s'éloignant du point.

8 Problème des N-corps

8.1 Les données

L'étude du mouvement de N masses ponctuelles mi repérées par des points Pi et ani-mées sous l'e�et de leur attraction mutuelle. On peut aussi considérer que cela concerneles interactions gravitationnelles de N solides ayant leur masse répartie avec une symétriesphérique :

On sait en e�et que le champ de gravitation de chaque sphère est alors équivalent à celuid'une masse ponctuelle, égale à la masse totale de cette sphère et placée en son centre. Onpose N = n + 1, on numérote ces N corps de 0 à n : Ainsi P1, P2 · · · , Pn auront pour massesrespectives m0,m1, · · · ,mn.Soit un repère galiléen Ro d'origine O. Sachant que Les N corps sont isolés dans l'espace,alors les équations du mouvement s'écrivent :

mkd2−−→OPkdt2

=k−1∑i=0

Kmimk

|−−→PkPi|3−−→PkPi +

n∑i=k+1

Kmimk

|−−→PkPi|3−−→PkPi k = 0, · · · , n (1)

Pour N = 2, ces équations s'intègrent, aboutissant au mouvement képlérien des 2 corps.En fait, pour N supérieur ou égal à 3, ces équations n'ont pas de solution générale. On saitseulement construire certaines solutions particulières, ou des solutions approchées, valablessur un intervalle de temps limité.

8.2 Intégrales premières :

Le problème des N corps est représenté par N équations di�érentielles du second ordre.Donc c'est un système d'équations scalaires d'ordre 6N .Montrons qu'il existe 10 intégrales premières scalaires, qui permettraient donc de le ré-

duire à un système d'ordre 6N − 10 .On a d'abord 6 intégrales premières qui proviennent du mouvement rectiligne et uniforme

de G, centre de masse des N corps.Barycentrele système étant supposé isolé, la somme de toutes les interactions mutuelles est nulle ;

on a donc :

n∑k=0

mkd2−−→OPkdt2

= Md2−→OGdt2

=−→0 (2)

31

Où M représente la masse totale des N corps.On a alors :

−→OG =

−−→OG0 +

−→VG · t

Où−−→OG0 et

−→VG sont deux vecteurs constants représentant 6 constantes d'intégration scalaires.

On pourrait réduire le problème à celui de N − 1 corps, déterminant le mouvement deP1, P2 · · · , Pn autour de G et déduisant celui de P0 de la relation :

m0−−→GP0 = −

n∑i=1

mi−−→GPi (3)

Moment cinétiqueOn a ensuite 3 intégrales premières données par le théorème du moment dynamique

appliqué à un système isolé :

n∑k=0

−−→OPk ⊗ mk

d2−−→OPkdt2

=

d

(∑nk=0(−−→OPk ⊗mk

d−−→OPkdt

)

)dt

=−→0

Le moment cinétique en O du système des N corps est donc un vecteur constant. Le repèred'origine G en translation par rapport à Ro étant aussi galiléen, le moment cinétique en Gest aussi constant :

−→C =

n∑k=0

−−→GPk ⊗mk

d−−→GPkdt

(4)

Le plan orthogonal en G au vecteur−→C est appelé plan invariable du système des N corps.

C'est dans ce plan �xe que s'e�ectueraient le mouvement de tous les Pk si à l'instant initial

les vecteurs positions−−→GPk et vitesse et

d−−→GPkdt

étaient coplanaires,−→C étant alors orthogonal

à ce plan commun.

ÉnergieOn a en�n l'intégrale première de l'énergie cinétique :

dT

dt=

1

2

d

dt

n∑k=0

mkd2−−→OPkdt2

· d−−→OPkdt

=n∑k=0

n∑i = 0i 6= k

Kmimk

|−−→PkPi|3−−→PkPi

d−−→OPkdt

=n−1∑k=0

n∑i=k+1

Kmimk

|−−→PkPi|3−−→PkPi

(d−−→OPkdt− d−−→OPidt

)

avec d(−−→OPk−

−−→OPi)

dt= −d(

−−→PkPi)dt

, on en déduit :

d

dt

n∑k=0

1

2mk

(d−−→OPkdt

)2

=d

dt

(n−1∑k=0

n∑i=k+1

Kmimk

|−−→PkPi|

)(5)

32

soit, en notant T l'énergie cinétique des N corps et U leur énergie potentielle :T + U = h avec :

U = −∑n−1

k=0

∑ni=k+1

Kmimk|PkPi|

La constante h : l'énergie totale du système, qui est conservée au cours du temps. Entenant compte des constantes C et h, on pourrait réduire encore l'ordre du système di�é-rentiel de 4 unités (en exprimant 4 des variables de position ou de vitesse en fonction deces 4 constantes scalaires). En fait on explicite rarement cette réduction d'ordre car celadétruit les symétries présentes initialement dans les équations. Remarque : Si l'on ne peutrésoudre analytiquement le problème des N corps, on peut toujours au moins, par l'inté-gration numérique, trouver une solution particulière discrète correspondant à des conditionsinitiales données, et valable sur un intervalle de temps �ni ; les intégrales premières peuventalors servir pour contrôler l'évolution des erreurs numériques(de troncature et d'arrondi)qui se propagent lors des "pas" successifs de l'intégration : Les expressions (4) et l'encadrénotamment doivent conserver une valeur constante tout le long de L'intégration numérique.

8.3 Réduction à un problème de N − 1 corps

On a déjà évoqué la possibilité de cette réduction, après avoir obtenu le mouvementrectiligne et uniforme du point G, centre de masse des N corps. En posant −→uk =

−−→GPk, la

relation (3) devient :

−→u0 = −n∑k=1

mk

m0

−→uk (6)

Comme le système est isolé, un repère en translation d'origine G est galiléen, et l'on peutécrire les équations(1) pour k = 1 à n sous la forme :

d2−→ukdt2

= Km0

−→u0 −−→uk|−→u0 −−→uk|3

+n∑

i = 1i 6= k

Kmi

−→ui −−→uk|−→ui −−→uk|3

(7)

On pourrait alors, dans le premier terme, remplacer u0 par son expression. Cependant, lesn équations qu'on obtiendrait ainsi sont toutes moins simples que les équations initiales. Onpréfère le plus souvent étudier le mouvement relatif des points Pk par rapport à l'un d'entreeux,d'autant plus que les seconds membres des équations initiales (1) ou (7) ne dépendentque des positions relatives des Pk. Choisissons P0 comme corps de référence et posons :

−→rk =−−→P0Pk = −→uk −−→u0

33

avec−−→PkPi = −→ui −−→uk = −→ri −−→rk ,on déduit alors des equations (8) :

d2−→rkdt2

=d2−→ukdt2− d2−→u0

dt2=

n∑i=0 (i 6=k)

Kmi

−→ri −−→rk|−→ri −−→rk |3

−n∑i=1

Kmi

−→ri −−→r0

|−→ri −−→r0 |3

Ces équations décrivent le mouvement des Pk dans un repère de directions �xes et d'ori-gine P0 (ce repère est en translation non rectiligne et non uniforme, ce qui justi�e les termesen Kmi

−→ri |−→ri |3 représentant l'accélération d'entraînement de P0 due à la présence de Pi).Le choix de P0 comme référence pour le mouvement des Pk est arbitraire, mais on prendgénéralement le corps ayant la masse la plus élevée.

en supposant qu'on puisse résoudre ces n équations di�érentielles, on pourrait obtenirensuite le mouvement absolu des Pk autour de G,puisqu'on a −→uk = −→rk + −→u0 et m0

−→u0 =−∑n

k=1mk−→uk,dont en déduit :

−→u0 = −∑n

k=1mk

Mrk avec M =

∑nk=0mk puis : −→uk = −→rk −

∑ni=1

mi

M−→ri

8.4 Potentiel

Les équations du mouvement des N corps peuvent s'écrire à l'aide de l'énergie potentielU . En e�et, en O = G on véri�e que :

mkd2−−→GPkdt2

= −−−−−→GradkU

avec k = 0, · · · , n En coordonnées cartésiennes, l'opérateur gradient de U au point Pk s'ex-prime

−−−−→GradkU = (

∂U

∂xk,∂U

∂yk,∂U

∂zk)

Les xk, yk et zk désignent les coordonnées cartésiennes de Pk, ou ce qui est équivalent,les coordonnées cartésiennes de

−−→GPk L'avantage de cette expression est qu'elle utilise qu'une

seule fonction (le potentiel−U) pour toutes les équations même si, pour une équation d'indicek donné, seuls n termes parmi les n(n+1)

2qui dé�nissent la somme, interviennent dans le calcul

du gradient. Dans les équations du mouvement relatif, on peut aussi écrire le second membreà l'aide d'un gradient. On dé�nit l'opérateur gradient :

∂

∂rk=

(∂

∂Xk

,∂

∂Yk,∂

∂Zk

)Les Xk, Yk et Zk désignent les coordonnées de −→rk . Les équations deviennent alors :

d2−→rkdt2

= −K(m0 +mk)−→rk|−→rk |3

+∂Vk∂−→rk

34

avec

Vk =n∑

i = 1i 6= k

Kmi

(1

|−→ri −−→rk |−−→ri .−→rkr3i

)

8.5 Approches du problème des N-corps

Le problème des N-corps consiste à trouver le mouvement de N points matériels quis'attirent mutuellement suivant la loi de Newton. Nous l'avons formulé dans le chapitreprécédent.

� Si N=1 ou 2, on aboutit au problème képlérien qui est complètement intégrable.� Si N=3, il s'agit du problème des 3 corps dont Poincaré disait qu'il .a une telle im-portance pour l'astronomie, et il est en même temps si di�cile, que tous les e�ortsdes géomètres ont été depuis longtemps dirigés de ce côté. Une intégration complèteet rigoureuse étant manifestement impossible, c'est aux procédés d'approximation quel'on a dû faire appel. (H. Poincaré, .Les méthodes nouvelles de la Mécanique Céleste.,1892). C'est en e�et lui qui a montré que ce problème n'est pas intégrable dans sagénéralité en ce sens qu'il n'existe pas d'intégrale première du mouvement analytiqueet uniforme autre que celle de l'énergie et celle du moment cinétique.

� Si N est petit (disons de l'ordre de 10), on parle de Mécanique Céleste et les mé-méthodes sont identiques à celles utilisées dans le problème des 3 corps. .

� Si N est grand (disons entre 103 et 1012), il s'agit de dynamique stellaire. Dans ce cas,N varie de quelques centaines pour des amas ouverts à quelques centaines de millierspour des amas globulaires jusqu'à quelques centaines de milliards pour des galaxies.Le cas des anneaux planétaires peut être vu comme intermédiaire à ces deux dernierscas : La dynamique d'une particule autour d'une planète subissant son attraction gra-vitationnelle en même temps que celles de quelques autres corps (satellites principaux,satellites bergers, ...) relève des méthodes de la mécanique céleste ; par contre l'e�etcollectif de toutes les particules des anneaux s'apparente à la dynamique stellaire.

Quatre approches sont utilisées pour étudier ce type de système :1 l'approche analytique.2 l'approche numérique : on résout numériquement l'équation di�érentielle correspon-dante.

3 l'approche statistique : on considère le système stellaire comme un �uide d'étoiles, lesystème est décrit par une fonction de distribution.

4 l'approche observationelle . On consacre cette partie à l'étude des approches numériqueet statistique,mais avant cela on va introduire la notion de sphère d'in�uence qui nousest utile à plusieurs endroits dans notre TIPE.

35

8.5.1 Sphère d'in�uence

SOit −→rk =−−→P0Pk

on a :

d2−→rkdt2

= −K(m0 +mk)−→rk|−→rk |3

+n∑

i = 1i 6= k

Kmi

( −→ri −−→rk|−→ri −−→rk |3

−−→ri|−→ri |3

)

on reprend cette equation avec n = 2 et K = 1, 2 les equation obtenues sont donc uneformulation du problème des 3 corps. Si par exemple m2 est négligeable (exemple : So-leil+Jupiter+astéroïde), la première équation est un problème képlérien et seule la deuxièmeéquation mérite une étude particulière : C'est le problème restreint des 3 corps qu'on vientde voir. A�n de faciliter la discussion et surtout parceque nous nous intéressons au cas dusystème solaire, nous allons supposer dans la suite que m0 >> m1et quem0 >> m2. En�xant les idées, P0 est le Soleil, P1 une planète (par exemple, la plus massive des planètesdu système solaire : Jupiter) et P2 un autre corps. Pour l'instant P2 peut être une planètede masse du même ordre de grandeur que celle de P1 ou un corps de masse négligeable (ex :une sonde spatiale).

La géométrie des 3 corps P0, P1 et P2 On note :−→∆ = −→r2 − −→r1 =

−−→P1P2 :Le rayon

vecteur jovicentrique du troisième corps P2,et on rappelle que :

−→r1 =−−→P2P1

le rayon vecteur héliocentrique de Jupiter.

−→r1 =−−→P2P1

le rayon vecteur héliocentrique du troisième corps P2.On aura :

d2−→∆dt2

= −K(m1 +m2)

−→∆

|−→∆ |3+Km0

( −→r1

|−→r1 |3−−→r2

|−→r2 |3

)Le mouvement héliocentrique de P2 se réécrit :

d2−→r2

dt2= −K(m0 +m2)

−→r2

|−→r2 |3−Km1

( −→∆

|−→∆ |3+−→r1

|−→r1 |3

)(∗)

Les deux formes obtenues permettent de séparer,dans l'accélération de P2, la partie képlé-rienne de la partie non képlérienne. La notion de sphère d'in�uence que nous allons dé�nirpermet de voir quand la partie képlérienne peut être considérée comme une perturbation

36

d'un problème képlérien. Plus précisément, cette notion permet de dire à quelle condition età quelle précision, les deux derniers équations peuvent être approchées par :

d2−→r2

dt2= −K(m0 +m2)

−→r2

|−→r2 |3

ou par :d2−→∆dt2

= −K(m1 +m2)

−→∆

|−→∆ |3

� Cas d'un mouvement héliocentrique l'équation peut être vue comme un mouve-ment képlérien perturbé quand on a :

d2−→r2

dt2= −K(m0 +m2)

−→r2

|−→r2 |3+ Perturbation

Comme m1 << m0 ; cela se produit que si ∆ n'est pas trop petit. On se demande alorsà quelle distance de P1 peut passer P2 pour que le rapport Rh en module de la partieperturbatrice sur la partie képlérienne soit inférieur à un niveau de précision ε donné :

Rh = m1

||−→∆∆3 +

−→r1r31||

m0+m2

r22

< ε

Soit ϕ l'angle jovicentrique de la direction de P2 par rapport à celle du Soleil, et posonsu = ∆

r1.

Par des calculs de géométrie élémentaire, on trouve :

Rh =m1

(m0 +m2)u(1− 2u cosϕ+ u2)

√1− 2u2 cosϕ+ u4

Puisque P2 se rapproche de P1 (et puisque m1 << m0), on considère u petit devant1,et on assimile Rh à sa partie principale m1

(m0+m2)u2.

Par conséquent la condition est

m1

(m0 +m2)ε< u2

� cas d'un mouvement planétocentriqueOn aura un mouvement képlérien perturbé quand :

d2−→∆dt2

= −K(m1 +m2)

−→∆

∆3+ Perturbation

On se demande alors à quelle distance de P1 peut s'éloigner de P2 pour que le rapportRp en module de la partie perturbatrice sur la partie képlérienne soit inférieur à unniveau de précision ε donné

Rp =||m0(

−→r1r31−−→r2r32

)||m1+m2

∆2

< ε

37

Avec les mêmes notations que précédemment, on trouve :

Rp =u2m0

m1 +m2

√1 + (1− 2u cosϕ+ u2)− 2(1− u cosϕ)

√1− 2u cosϕ+ u2

1− 2u cosϕ+ u2

dont la partie principale est

Rp =m0

m1 +m2

u3√

1 + 3 cos2 ϕ

Donc la condition nécessaire est

u3 < εm1 +m2

m0

� La sphereLes deux conditions que nous avons vu au dessus dé�nissent chacune une sphère derayon respectif :

uh =

(m1

ε(m0 +m2)

) 12

et

up =

(ε(m1 +m2)

m0

) 13

A l'extérieur de la sphère dé�nie par uh, à ε près, l'accélération est képlérienne hélio-centrique. Tandis qu'à l'intérieur de la sphère dé�nie par up, l'accélération, toujours àε près,est képlérienne jovicentrique. Il est facile de tracer les courbes correspondantesà Rh et Rp en fonction de u. Celles-ci se coupent en un point (u0;R0). Ce point dé�nitla sphère d'in�uence proprement :

u0 = uh = up = (m1

m0

)25

R0 = Rh = Rp = (m1

m0

)15

Les expressions utilisées ici de uh et up ne sont valables que si u est su�samment petit.On retrouve bien que c'est le cas sim1 est un ordre de grandeur plus petit que m0. Pourobtenir ces expressions, on a de plus supposer que m2 << m1.Si nous n'avions pas fait de majoration sur ϕ ; nous aurions obtenu l'expression

u0 = (1 + 3 cos2 ϕ)−110 (

m1

m0

)2

5

Or la valeur numérique de (1 + 3 cos2 ϕ)110 varie entre 0, 87 et 1. Cela signi�e que

la surface correspondante n'est pas très éloignée d'une sphère mais qu'elle est quandmême un peu allongée dans la direction perpendiculaire à celle Soleil-Planète.

38

8.5.2 Intégration numérique

On a déjà mentionné qu'on ne pouvait pas,en général, intégrer le problèmes des N-corps.Toutefois, on peut, par intégration numérique, trouver une solution particulière. Il faut pourcela que des conditions initiales soient données et la solution est composée d'une série discré-tisée de points de la trajectoire sur un intervalle de temps �ni. Comme tout calcul numérique,elle est a�ectée d'erreurs (numériques) qui ici se propagent pas à pas lors de l'intégration.Les intégrales premières peuvent alors servir à contrôler ces erreurs numériques puisqu'ellesdoivent rester constantes tout au long du calcul.

� Le problème de CauchySoit [O;T ] un intervalle fermé de < et f une application de <× <d dans <d . On considèrealors le système di�érentiel du premier ordre suivant avec une condition initiale :

dy(t)

dt= f(t, y(t))

avecy(0) = y0

où y est une application di�érentiable sur [0;T ] dans <d.

Théorème

Si f est dé�nie et continue sur[O;T ]×<d et si ∃L > 0 tel que

||f(t, y)− f(t, z)|| <= L||y − z||

c'est la condition de Lipschitz.pour touty et z appartenant à <det tout t dans [0;T ]. || || désigne une norme de <d,

alors le problème de Cauchy admet, quelque soit y0, une solution unique sur [0;T ].

Démonstration on démontra cette preuve que dans le cas d = 1.On travaille dans l'espace de Banach C1 [0;T ] des fonctions continues sur [0;T ] à valeursdans < muni de la norme∞ :

||g|| = maxu∈[0;T ]|g(u)|

La solution y du problème de Cauchy véri�e, pour tout t dans [0;T ] :

y(t) = y0 +

∫ t

0

f(u, yk(u))du

Existence

On considère la suite (yk) des fonctions de C∞[0;T ] dé�nie par

39

y0(t) = y0

yk+1(t) = y0 +

∫ t

0

f(u, yk(u))du

On a

yk+1(t)− yk(t) =

∫ t

0

(f(u, yk(u))− f(u, yk−1(u)))du

Avec la condition de Lipschitz, on obtient

|yk+1(t)− yk(t)| <= L

∫ t

0

|yk(u)− yk−1(u)du|

En passant au max (pour u sur [0; t]) :

|yk+1(t)− yk(t)| <= Lt||yk − yk−1||

Cette inégalité est vraie pour tout t dans [0 ; T]. On peut donc écrire :

|yk+1(t)− yk(t)| <= L2||yk−1 − yk−2||∫ t

0

udu

la 2eme partie de l'inégalité est égal à L2 t2

2||yk−1 − yk−2||

On montre ainsi par récurrence que

|yk+1(t)− yk(t)| <= Lntn

n!||yk+1−n − yk−n||

Par conséquent ,on obtient

|yk+1(t)− yk(t)| <=Ln+1

n!||yk−n − yk−1−n||

∫ t

0

undu

= Ln+1 tn+1

(n+ 1)!||yk+1−(n+1) − yk−(n+1)||

l'inégalité quand vient de voir au dessus est donc vrai pour tout (n <= k), en particulierpour n = k :

|yk+1(t)− yk(t)| <= Lktk

k!||y1 − y0||

Cette inégalité est vraie pour tout t dans [0;T ] et en passant encore au max, on obtient :

||yk+1 − yk|| <= Lktk

k!||y1 − y0||

40

Soit maintenant un entier p >= 1. En remarquant que Ckk+i = Ci

k+i = (k+i)!k!i!

est un entiernon nul donc >= 1, on a (k + i)! >= k!i! , et il vient :

||yk+p − yk|| <=

p−1∑i=0

||yk+i+1 − yk+i|| <= LkT k

k!||y1 − y0||

p−1∑i=0

LiT i

i!

Et puisequep−1∑i=0

LiT i

i!<= expLT

||yk+p − yk|| <= LkT k

k!||y1 − y0||expLT

Or le second membre de cette inégalité tend vers 0 quand k tend vers 1. Cela signi�equ'il peut être rendu aussi petit que l'on souhaite, il su�t pour cela que k soit assez grand.Cela est vrai pour le premier membre. La suite (yk) est donc une suite de Cauchy. L'espaceC∞[0;T ]étant complet, il existe une fonction y de C∞[0;T ] vers laquelle converge (yk).

Par passage à la limite cette fonction véri�e :

y(t) = y0 +

∫ t

0

f(u; y(u))du

Nous avons donc démontré l'existence de la solution du problème de Cauchy.Unicité

Supposons qu'il existe une deuxième solution z du problème de Cauchy. On peut écrire :

y(t)− z(t) =

∫ t

0

(f(u; y(u))− f(u; z(u)))du

On peut reprendre le schéma de la démonstration de l'existence. Avec la condition deLipschitz, on obtient :

|y(t)− z(t)| <= L

∫ t

0

|y(u)− z(u)|du

En passant au max (pour u sur [0; t] inclus dans [0;T ]) :

|y(t)− z(t)| <= Lt||y(u)− z(u)||

Puis en reportant dans l'inégalité précédente :

|y(t)− z(t)| <= L2||y − z||∫ t

0

udu = L2 t2

2||y − z||

Ainsi on montre encore par récurrence que :

|y(t)− z(t)| <= Lntn

n!||y − z||

41

Cette inégalité est vraie pour tout t dans [0;T ] et en passant au max, on obtient :

||y − z|| <= Lntn

n!||y − z||

ou encore :||y − z||(1− Ln t

n

n!) <= 0

En faisant tendre n vers ∞, on obtient que

||y − z|| <= 0

Ce qui signi�e que y et z sont la même solution et donc que la solution est unique.Remarque

� Si la fonction f est di�érentiable par rapport à la variable y.� Si cette di�érentielle est continue.� Si il existe M tel que ||∂f

∂y|| <= M , pour tout t dans [0;T ] et tout y dans <d alors la

condition de Lipschitz est véri�ée. En e�et, on sait qu'il existe yi tel que

f(t; y)− f(t; z) =∂f(t, yi)

∂y(y − z)

pour tout t dans [0;T ] et tout y et z dans <d. Ainsi les conditions énoncées ci-dessussu�sent pour pouvoir dire que le problème de Cauchy admet une solution unique.

� Recherche d'une solution discrète approchéeIl s'agit de rechercher, en certain points tn de [0;T ], une approximation yn de la solutionexacte y(tn) . Dans cette section nous allons nous limiter aux méthodes à pas constants etséparés. Elles s'écrivent sous la forme :

yn+1 = yn + hφ(tn; yn;h)

en démarrant avec la condition initiale :

y0 = y(0)

Les tn sont dé�nis par t0 = 0 et tn+1 = tn + hie tn = nh

φ est une application continue sur le compact [0;T ]×<d × [0;T ] à valeurs dans <dCette application caractérise la méthode d'intégration. Nous supposerons encore dans ce

paragraphe que d = 1, ceci par souci de simplicité d'écriture. La généralisation à d > 1 nepose pas de problème.

� La méthode d'EulerLa méthode d'Euler consiste simplement à prendre

φ(tn, yn, h) = f(tn; yn)

42

En e�et, on sait quedy

dt(t) = lim

y(t+ h)− y(t)

h

La méthode d'Euler consiste donc à identi�er

f(t, y(t)) =dy

dt(t) ≈ y(t+ h)− y(t)

h

aux points (tn; yn)

On voit apparaître deux sortes d'erreur :� l'une due au fait qu'à chaque pas dy

dt(t) 6= y(t+h)−y(t)

h

� l'autre qui se cumule, vient qu'on évalue y(tn+1) à partir de yn et non à partir de y(tn)(dans le schéma, n = 1)

Ces erreurs sont d'autant plus petites que h est petit. C'est l'objet des sections suivantesde les étudier. La méthode d'Euler est la plus simple et la plus intuitive des méthodesd'intégration.

� Consistance, stabilité et convergenceCes notions que nous allons introduire ici ne seront utilisées ici que pour la méthode d'Eulermais elles s'appliquent bien-sur aux autres méthodes d'intégration numérique.

ConsistanceCette notion indique que la méthode d'intégration doit être liée à l'équation di�érentielle

à intégrer. On dit que la méthode d'intégration


est consistante avec l'équation di�érentielle

dy(t)

dt= f(t, y(t))

,avecy(0) = y0

si :

limh→0

maxn|(y(tn+1)− y(tn))

h− φ(tn, y(tn), h)| = 0

Théorème

La méthode d'Euler est consistante

43

Preuve

On a :

(y(tn+1)− y(tn))

h− f(tn, y(tn)) =

∫ tn+1

tn(f(t, y(t))− f(tn, y(tn)))dt

h

(On a tn+1 − tn = h)On utilise la continuité uniforme de f sur (t, y(t)); t ∈ [0, T ] Avec

limh→0

(f(t, y(t))− f(tn, y(tn))) = 0

car t→ tn, puisque t ∈ [tn, tn+1] , on a :

limh→0

maxn(f(t, y(t))− f(tn, y(tn))) = 0

Cela entraine

limh→0

maxn|∫ tn+1

tn(f(t, y(t))− f(tn, y(tn)))dt

h|

stabilitéCette notion indique l'e�et des petites perturbations numériques dues à la troncature

numérique qu'e�ectue la machine. Soient yn et zn dé�nies respectivement par :


y0 quelconque et zn+1 = zn + h(φ(tn; zn;h) + εn)avec z0quelconque

t0 = 0 et tn+1 = tn + hOn dit que la méthode d'intégration yn+1 = yn + hφ(tn; yn;h) est stable s'il existe M1 et

M2 indépendants de h tels que :

maxn|yn − zn| <= M1|y0 − z0|+M2maxn|εn|

Cette notion ne dépends que de la méthode d'intégration et n'est pas du tout liée ausystème di�érentielle étudiée. Elle indique qu'une (petite) perturbation numérique sur lacondition initiale et sur le calcul e�ectif de φ n'entraine qu'une perturbation du même ordrede grandeur sur yn et ceci indépendamment de h.

Théorème

La méthode d'Euler est stablepreuve

On a :|yn+1 − zn+1| <= |yn − zn|+ h|f(tn, yn)− f(tn, zn)|+ h|εn|

On va utiliser que f véri�e la condition de Lipschitz. Notons M la constante correspon-dante. Montrons par récurrence que :

|yn − zn| <= (1 + hM)n|y0 − z0|+(1 + hM)n − 1

Mmaxn|εn−1|

44

Par consequent :|yn+1 − zn+1| <= (1 + hM)|yn − zn|+ h|εn|

d'où, avec l'hypothèse de récurrence :

|yn+1−zn+1| <= (1+hM)n+1|y0−z0|+(1 + hM)n+1

Mmaxn|εn−1|+

−(1 + hM)maxn|εn−1|+ hM |εn|M

= (1 + hM)n+1|y0 − z0|+A

M

oùA = ((1 + hM)n+1 − 1− hM)maxn|εn−1|+ hM |εn|

Il su�t alors d'écrire que

(1 + hM)n+1 = 1 + (n+ 1)hM +n+1∑p=2

Cpn+1(hM)p

Donc

A = hM |εn|+ (nhM +n+1∑p=2

Cpn+1(hM)p)maxn|εn−1|

<= maxn|εn|(hM + nhM +n+1∑p=2

Cpn+1(hM)p)

= ((1 + hM)n+1 − 1)maxn|εn|

Ce qui montre la relation de récurrence. Or, on a pour tout x réel : 1 + x <= expx ; etcomme nh <= T , on en déduit :

(1 + hM)n <= exp(nhM) <= expTM

Cela permet de conclure que

|yn − zn| = expTM |y0 − z0|+expTM − 1

Mmaxn|εn−1|

On a donc la stabilité, les constantes (indépendantes de h) sont :

M1 = expTM

et

M2 =expTM − 1

Mconvergence

45

Cette notion exprime le fait que la solution approchée doit tendre vers la solution exacteen tout point de [0, T ] lorsque le pas h tend vers 0.

On dit que la méthode d'intégration est convergente avec l'équation di�érentielle. si :

limh→0

maxn|yn − y(tn)| = 0

Théorème

La méthode d'Euler est convergente.preuve

Elle découle directement de la consistante et de la stabilité. En e�et, on peut écrire :

y(tn+1) = y(tn) + h(f(tn, y(tn)) + εn)

ety(0) = y0

Comme la méthode est consistante, on a :

limh→0

maxn|εn| = 0

On utilise maintenant la stabilité en prenant zn = y(tn)(et z0 = y(0)) : il existe donc uneconstante M2 indépendante de h telle que :

maxn|yn − y(tn)| <= M2maxn|εn|

En faisant tendre h vers 0, on a la convergence.

Méthode de de Runge-Kutta d'ordre 4

La convergence est indispensable à une méthode d'intégration, mais elle n'indique pas lamanière dont se fait cette convergence. En fait pour une méthode d'intégration donnée, oncherche à savoir à quelle ordre p s'e�ectue cette convergence. C'est à dire :

maxn|yn − y(tn)| = O(hp)

On a vu que la méthode d'Euler est d'ordre 1. On pourrait chercher des méthodes d'ordreplus élevé

Ce n'est pas l'objet de ce cours d'aller plus loin dans l'étude des méthodes d'intégrationnumérique. Citons simplement la méthode de Runge-Kutta d'ordre 4.

Cette méthode numérique classique utilise une technique calquée sur la méthode d'Eu-ler.Elle converge considérablement plus vite que cette dernière. Elle fut développée à la �ndu XIXe siècle par les mathématiciens allemands C. Runge et W. Kutta.

46

Dans la méthode d'Euler,φ est simplement la pente f(t, y). Pour la méthode de Runge-Kutta d'ordre 4, on prend pour la fonction φ la moyenne pondérée des valeurs de f en quatrepoints :

k1 = f(t, y)

k2 = f

(t+

h

2, y + h

k1

2

)k3 = f

(t+

h

2, y + h

k2

1

)k4 = f(t+ h, y + hk3)

φ =1

6(k1 + 2k2 + 2k3 + k4)

k1est la pente au point de départ.k2 est la pente au point milieu où l'on arrive en un demi pas par la méthode d'Euler.Si k2 est une bonne pente moyenne, le point milieu du segment [y(tn) , y(tn + h)] doit

être le point (tn + h2, y(tn) + h

2k2).La pente en ce point est k3.

Si k3 est une bonne pente moyenne sur [y(tn), y(tn+h)], on doit arriver en (tn+h y(tn)+hk3) après un pas entier et la pente en ce point doit être k4.

8.5.3 Approche statistique

Cette approche n'est intéressante que si Nest grand. Quelques applications sont possiblesdans le système solaire mais l'essentiel de celles-ci se trouve dans la dynamique stellaire.

Théorême du viriel et la relation masse-période-distance On dé�nit le momentd'inertie du système par rapport aux axes par

J =n∑k=0

mk−−→OPk

2

Dans le cas des systèmes stellaires, ceux-ci sont dans un état stationnaire, c'est à direqu'on peut considérer que J est constant en moyenne. Ainsi, en moyenne,d

2Jdt2

= 0. Cela estd'autant mieux véri�é que le nombre N d'étoiles est grand.

dJ

dt= 2

n∑k=0

mk−−→OPk ·

d−−→OPkdt

d2J

dt2= 2

n∑k=0

mk

(d−−→OPkdt

)2

+ 2n∑k=0

mk−−→OPk ·

d2−−→OPkdt2

47

d2J

dt2= 4T + 2

n∑k=0

n∑i = 0i 6= k

Kmimk

PkP 3i

· −−→PkPi ·−−→OPk

= 4T + 2n−1∑k=0

n∑i=k+1

Kmimk

PkP 3i

−−→PkPi · (

−−→OPk −

−−→OPi)

= 4T − 2n−1∑k=0

n∑i=k+1

Kmimk

PkPi

On reconnait le potentiel U. On a donc :

d2J

dt2= 4T + 2U

Puisque d2Jdt2

= 0, le théorème du Viriel s'écrit donc :

2T + U = 0

Comme l'énérgie totale h = T + U , on obtien :

T = −h et U = 2h

Relation masse-période-distanceOn suppose qu'il n'y a pas de corrélation entre les distances, les vitesses et les masses

des étoiles de l'amas stellaire. On s'autorise ainsi à assimuler la moyenne d'un produit auproduit des moyennes. L'énergie cinétique :

T =1

2

n∑k=0

mkv2k devient doncT =

N

2mv2

De la même manière, avec l'énergie potentielle :

U = −∑k=0

Kmimk

PkPi

= −N(N − 1)

2K Esp

(mimk

PkPi

)≈ −N

2

2Kmm

r

r est le rayon moyen du système et, si on note M la masse totale du système (M = Nm),on en déduit avec le théorême du viriel :

v2 =KM

2r

Un exemple typique est un amas globulaire composé de 100 000 étoiles dont la masse dechacune est en moyenne la moitié de celle du Soleil et dont le rayon moyen est de 5 parsecs(1pc=206 265 ua). On trouve alors que la dispersion des vitesses est de 22 ; 5 km/s.

48

Dynamique stellaire sans rencontre : Équations de Boltzmann

A chaque instant donné t, chaque étoile k est dé�nie par sa position −→rk = (xk, yk, zk),sa vitesse −→vk = (uk, vk, wk) et sa masse mk. Cette étoile est donc représentée par un point(xk, yk, zk, uk, vk, wk,mk) dans l'espace des phases à 7 dimensions. Un système de N étoilesest représentée par un nuage de N points. On utilise la notion de densité dans l'espace desphases. Celle-ci remplace la notion de trajectoires dans l'espace à 3 dimensions que l'on utiliseen mécanique. On dé�nit alors la fonction de distribution φ(−→r , −→v , m, t) comme la densitédes particules dans l'espace des phases. La densité dans l'espace physique à 3 dimensions est

ρ(x, y, z, t) =

∫ ∞0

m dm

∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞φ dudvdw

Remarque : la densité ainsi dé�nie est une densité "lissée" puisque la densité réelle estnulle autour de chaque étoile.

Avec cette densité, on obtient le potentiel gravitationnel (lissé) :

U(X, Y, Z) = K

∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞

ρ(x, y, z)√(X − x)2 + (Y − y)2 + (Z − z)2

dxdydz

Pour éviter les singularités, on utilise généralement l'équation de Poisson qui est obtenueen inversant l'équation précédente :

4πKρ = ∇2U

En mécanique l'évolution du système est donnée par les équations :

d2x

dt2= −∂U

∂xd2y

dt2= −∂U

∂y

d2z

dt2= −∂U

∂z

Ici, dans l'esapce à 7 dimensions, l'évolution du système est donnée par :

dx

dt= u = fx

dy

dt= v = fy

dz

dt= w = fz

du

dt= −∂U

∂x= fu

49

dv

dt= −∂U

∂y= fv

dw

dt= −∂U

∂z= fw

dm

dt= 0 = fm

on remarque que :div−→f = 0

En fait, tous les termes de cette divergence sont nuls. La divergence de−→f étant nulle, on

peut appliquer les techniques de la mécanique des �uides. Le �uide, ici, est incompressible,c'est à dire que les volumes se conservent dans l'espace des phases. A partir de l'équation decontinuité :

∂φ

∂t+ div(φ

−−−−→f) = 0

on obtient l'équation de Boltzmann-Liouville :

∂ψ

∂t+ u

∂ψ

∂x+ v

∂ψ

∂y+ w

∂ψ

∂z

−∂U∂x

∂ψ

∂u− ∂U

∂y

∂ψ

∂v− ∂U

∂z

∂ψ

∂w= 0

50

Troisième partie

Partie Informatique

9 Implantation du développement asymptotique des fonc-

tions exp-log en Maple

La résolution de la plupart des problèmes physiques nécessite de pouvoir produire desapproximations de précision arbitraire. L'implantation de séries formelles uni variées ou mul-tivariées dans les systèmes de calcul formel ou numérique permet de traiter automatiquementle comportement de fonctions au voisinage de points où elles sont analytiques.

Pour traiter les points singuliers, la première di�culté de l'automatisation du calcul estla détermination de l'échelle asymptotique appropriée à chaque problème. La seconde est leproblème des annulations perpétuelles illustré par l'exemple du comportement à l'in�ni dee1/x+e−x− e1/x : si l'on développe chaque sommant en puissances de 1/x avant de soustraire,il est impossible de trouver un équivalent. De telles annulations se produisent par exemplesystématiquement dans les calculs de variance en théorie des probabilités. Même en l'absenced'annulation, la connaissance des exponentiellement petits joue un rôle important dans letraitement des séries divergentes.

Contributions.on réalise le module Maple MultiSeries qui utilise une nouvelle structure de données

dans Maple, les multiséries, a�n de permettre le développement asymptotique d'une trèslarge classe de fonctions dans des échelles asymptotiques exp− log.

Dans le cas le plus simple, une multisérie correspond à un développement de Taylorclassique

> multiseries( 11+x

, x) ;

1− x+ x2 − x3 + x4 − x5 +O(x6)

cette implantation permet donc de faire tous les calculs classiques déjà implantés dansMaple. Cependant, elle présente dès ce stade des fonctionnalités nouvelles comme par exemplede prendre en compte des exposants non rationnels :

> multiseries(exp(xπ + x√

2), x, 7) ;

1 + x√

2 + 12x2√

2 + xπ + 16x3√

2 + xπ+√

2 + 124x4√

2 +O(xπ+2√

2)

Plus généralement, une multisérie est dé�nie récursivement par rapport à une échelleasymptotique. Ce type d'échelle est constitué par un ensemble �ni ordonné de k fonctionspositives f1, · · · , fk tendant vers zéro telles que fi+1 = o(fni ), pour tout entier n et pouri = 1, · · · , k − 1. Dans le cas d'un développement de Taylor, l'échelle est réduite à {x}.

Un développement F en multiséries à l'ordre p est de la formep∑i=1

cifαik +O(f

αp

k )

51

avec des exposants αi réels et fk = o(|ci|j) pour tout entiers i et j. Les coe�cients ci sontdes fonctions qui peuvent dépendre des fonctions f1, · · · , fk.

Ainsi, les multiséries sont construites en exprimant récursivement chaque coe�cientcomme des multiséries par rapport aux fonctions de l'échelle asymptotique.

Notons que le développement asymptotique d'une fonction g(x) lorsque x tends vers 0par valeur positive est une multisérie F telle que g − F = O(f

αp

k ).Pour conclure cette rapide présentation en exhibant deux exemples qui, ne pouvaient être

traités automatiquement auparavant. Le premier est un exemple d'annulation indé�nie :> a := multiseries

(1

1+x+exp(−1x

)− −1

1+x, x, 2

):

> multiseries(

11+x+exp(−1

x)− 1

1+x, op(1, a), 4

);

−1+2x−3x2+4x3+O(x4)exp(1+x)

+ 1−3x+6x2−10x3+O(x4)exp(1+x)2

+ −1+4x−10x2+20x3+O(x4)exp(1+x)3

+ O(1)exp(1+x)4

Le second est l'occasion de préciser que ce code peut gérer la plupart des fonctions spé-ciales classiques. Ainsi, on a par exemple :> multiseries(GAMMA(x+ exp(−x)), x = infinity, 2) ;

√2√π

√1

x+

1

12

√2√π

(1

x

)3/2

+O

((1

x

)5/2)

+O

ln(x)√

2√π√

1x

ex

e(ln(x)−1)x

10 Simulation de la solution du problème à N-corps avec

le langage C

L'apparition de l'outil informatique a permis une grande progression dans l'étude duproblème à N corps, et donc dans l'étude de la mécanique céleste. Le but de ce projet estde créer un programme capable de résoudre de façon approchée les équations di�érentiellesnon linéaires couplées du problème à N corps, et de l'exploiter, pour l'étude de la mécaniquecéleste en particulier. ce programme utilisera une approche de la méthode d'Euler pour leproblème des N corps. Ce problème sera traité suivant deux grandes parties :

� Partie Algorithmique.� Partie Graphique.

la Partie Graphique sera traité par des fonctions prédé�nies dans la librairie "SDL" dulangage C et qui marche aussi avec C++ .

52

10.1 Partie Algorithmique

On doit tout d'abord dé�nir les constantes du programme en commencent par le nombredes corps, dans ce cas on prend l'exemple de 5 corps.

#de�ne N 5La constante universelle de gravitation :#de�ne G 6.67e-11puis on passe à créer la fonction du vecteur du plan :typedef struct _ vect

{double x ;double y ;

} vect ;vect vecteur_ nul = {0,0} ;après cela on aura besoin de dé�nir la structure du corps ainsi que la norme du vecteur :

typedef struct _ corps{

double m ; /* masse */vect pos ; /* position */vect v ; /* vitesse */vect a ; /* acceleration */

} corps ;et la norme ||−→u || = u ·

√x2 + y2 qui se traduit :

double norme2(vect u){

return sqrt((u.x * u.x) + (u.y * u.y)) ;}

puisque la majorité des calcules s'e�ectuent à l'aide des vecteurs, on aura besoin donc dedé�nir quelque fonctions qui s'appliquent aux vecteurs :

La somme de deux vecteurs :vect vect_add(vect u1, vect u2){

vect res ;res.x = u1.x + u2.x ;res.y = u1.y + u2.y ;return res ;

}La soustraction de deux vecteurs :

vect vect_sub(vect u1, vect u2){

vect res ;res.x = u1.x - u2.x ;res.y = u1.y - u2.y ;

53

return res ;}

La multiplication d'un vecteur par un scalaire :vect mul_scal(double a, vect u){

vect res ;res.x = a * u.x ;res.y = a * u.y ;return res ;

}on sait que tout corps dans l'espace subit a une force de gravitation exercée par les autres

corps voisins, cette force s'exprime :

FA/B = G.mamb

d2

avec d la distance entre les deux corps.Donc on doit dé�nir la fonction qui permet de calculer cette force entre chaque deux

corps p1 et p2.vect force_ grav(corps p1, corps p2){

double d ;vect u ; /* vecteur unitaire dirigé de p2 vers p1 */d = norme2(vect_sub(p1.pos, p2.pos)) ;u = mul_scal((1 / d),vect_sub(p1.pos,p2.pos)) ;return mul_scal(G * (p1.m * p2.m) * (1/(d*d)), u) ;

}application du Principe Fondamentale de la Dynamique :

La fonction suivante permet d'appliquer le principe fondamental de la dynamique au pointp, d'index i dans un tableau de taille p :void pfd(corps *tab, int i, int n){

int k ;vect f = vecteur_nul ; /* vecteur force */corps p = tab[i] ;for(k=0 ;k<n ;k++){ if(k != i)f = vect_add(f, force_grav(tab[k], p)) ;}tab[i].a = mul_scal((1 / p.m),f) ;

}Pour simpli�er les calcules on sait que FA/B = −FB/A donc on doit apporter une optimi-

sation au programme a�n d'éviter la moitié des calcules.

54

void pfd2(corps *tab, int i,int n){

int k ;corps p = tab[i] ;vect v = vecteur_nul ;/* premier corps : on réinitialise l'accélération de tous les corps */if(i==0)for(k=0 ; k<n ; k++)tab[k].a = vecteur_nul ;

/* Dernier corps : toutes les contributions ont déjà été calculée */if(i==(n-1)) return ;for(k=i+1 ; k<n ; k++){v = force_grav(tab[k],p) ;tab[i].a = vect_add(tab[i].a , mul_scal((1/p.m) , v)) ;tab[k].a = vect_add(tab[k].a , mul_scal((-1/tab[k].m) , v)) ;}

}On a : dv

dt= a et dx

dt= v

donc : dv = a · dt et dx = v · dtOn applique ce résultat pour modi�é la position d'un corps (on considère que l'accélérationa été déjà calculée)void change_pos(corps *tab, int i, double dt){

tab[i].v = vect_add(tab[i].v , mul_scal(dt,tab[i].a)) ;tab[i].pos = vect_add(tab[i].pos , mul_scal(dt,tab[i].v)) ;

}et �nalement pour terminer la partie algorithmique on doit actualiser le tableau du corps

pour toute instant dt :void maj(corps *tab, int n, double dt){ int i ;

for(i=0 ;i<n ;i++) /* on change les accélérations des corps */{pfd2(tab,i,n) ;}for(i=0 ;i<n ;i++) /* puis on actualise les positions */{change_pos(tab,i,dt) ;}

}

55

10.2 Partie Graphique

cette partie sera traiter par la librairie SDL de C, qui facilite la manipulation graphiquedes programmes. On utilisera dans cette partie principalement la fonction PutP ixel qui secharge d'a�cher un pixel en prenant soin du format de la surface de destination et de l'ordredes octets de la machine.on dé�nit cette fonction comme suit :void PutPixel(SDL_Surface *surface, Uint16 x, Uint16 y, Uint32 color){

Uint8 bpp = surface->format->BytesPerPixel ;Uint8 *p = ((Uint8 *) surface->pixels) + y * surface->pitch + x * bpp ;switch(bpp){case 1 :*p = (Uint8) color ;break ;

case 2 :*(Uint16 *)p = (Uint16) color ;break ;

case 3 :if(SDL_BYTEORDER == SDL_BIG_ENDIAN){

*(Uint16 *)p = ((color � 8) & 0x�00) | ((color � 8) & 0x�) ;*(p+2) = color & 0x� ;

}else{

*(Uint16 *)p = color & 0x�� ;*(p+2) = (color � 16) & 0x� ;

}break ;case 4 :*(Uint32 *)p = color ;break ;}

}et puisqu'il s'agit d'une interface graphique donc on doit dé�nir les couleurs utilisées :#de�ne NBR_COLOR 5#de�ne XRES 1024#de�ne YRES 768Uint32 color[NBR_COLOR] = {0x00�0000, 0x0000�00, 0x000000�, 0x00�00�, 0x00��00} ;On a maintenant qu'à animer les corps sur l'écran avec une fonction qu'on appellera "ani-mer" :

56

void animer(corps *tab, int n, double dt, SDL_Surface *screen){

int i ;int need_update = 0 ;while(1) {

maj(tab,n,dt) ;for(i=0 ;i<n ;i++)

{ Uint16 new_x = (Uint16)tab[i].pos.x ;Uint16 new_y = (Uint16)tab[i].pos.y ;

if((new_x <= 0) || (new_x >= XRES) ||(new_y <= 0) || (new_y >= YRES)){

printf("Un corps a quitté l'écran. Fin du programme \n ") ;return ;

}mais on ne change l'a�chage que si le corps a e�ectivement bouger donc on doit ajouter lacondition suivante :

if((new_x != old_pos_x[i]) || (new_y != old_pos_y[i])){old_pos_x[i] = new_x ;old_pos_y[i] = new_y ;SDL_LockSurface(screen) ;PutPixel(screen,new_x, new_y, color[i % NB_COLOR]) ;SDL_UnlockSurface(screen) ;need_update++ ;}

10.3 le Programme main()

dans les deux parties précédentes on a préparé l'environnement physique et graphiquedu programme, il nous reste maintenant qu'à regrouper les fonctions déjà dé�ni dans leprogramme principal main(). dans notre cas on a traité 5 corps dans ce programme (le soleilet 4 autre planète) ce qui nous donne :

int main(int argc, char **argv)SDL_Surface *screen ;corps tab[]= { {1000000000 ,{512,384}, vecteur_nul ,vecteur_nul}, /* le "soleil" */{1000000 ,{350,384}, {0,0.01} ,vecteur_nul}, /* les planetes */{3000000 ,{512,450}, {0.02,0} ,vecteur_nul},{1000500 ,{300,300}, {0.007,-0.001} ,vecteur_nul},{2000000 ,{650,450}, {-0.003,0.003} ,vecteur_nul}} ;

if(SDL_Init(SDL_INIT_VIDEO) == -1){

printf("Initialisation de SDL impossible : %s\n",SDL_GetError()) ;return -1 ;

57

}screen = SDL_SetVideoMode(XRES,YRES,24,SDL_VIDEO_FLAGS) ;SDL_FillRect(screen, NULL, SDL_MapRGB(screen->format, 0x00,0x00,0x00)) ; // écran

noirSDL_ShowCursor(SDL_DISABLE) ;SDL_Flip(screen) ;animer(tab,N,1,screen) ;SDL_Quit() ;return 0 ;

}voici un aperçue du programme :

NB : un CD est joint avec ce TIPE qui contient le code source du programme.

58

11 Références

Livres :

Borel : LEÇONS sur Les SÉRIES DIVERGENTES.Christiane ROUSSEAU : Divergent séries : past, present, future .Fruchard et R. Schäfke : Développements asymptotiques combinés et Points tournants

d'équations di�érentielles Singulièrement perturbées, 4 mars 2010

Farid Mita : Développement limité polynomial et asymptotique d'une fonction numé-rique d'une variable réelle.

Jean MARTINET : LE PROBLÈME DES TROIS CORPS : UN CAS SIMPLE !Journées X-UPS : Séries divergentes et procédés de resommation.Jean LEFORT : LES SÉRIES DIVERGENTES CHEZ EULER.Notes de cours MIAS1,H. Le Ferrand : Développements asymptotiques. Applications.H.Poincaré : Les méthodes nouvelles de la mécanique célesteV. S. VARADARAJAN,For the 300th anniversary of Leonhard Euler's birth : EULER

AND HIS WORK ON INFINITE SERIES.Zarc Zamansky : La sommation des séries divergentes.

Internet :

http ://drgoulu.com/2008/11/16/le-probleme-a-n-corps/http ://ressources.univ-lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02/divers/troiscorps.htmlhttp ://aristote.obspm.fr/phynum/TPs/TP_3C_c/doc/cours/cours/cours.htmlhttp ://www.aucoeurdelaplanete.com/Termes-Astronomie/Point-de-Lagrange.htmlhttp ://luciole.ca/gilles/mat265/chap1/s1-numeriques.htmlhttp ://www.cppfrance.com/codes/PROBLEME-CORPS-GRAVITATION_32715.aspx

59

Documents

TIPE - Sommation des séries divergentes et application à la mécanique céléste